![BLOQUE 1: ALGEBRA – TEMA 2: ALGEBRA DE MATRICES Y TEMA 3: DETERMINANTES MATEMATICAS
MATRICES DETERMINANTES -> matrices cuadradas
Def = tabla de doble entrada
aij ∈ IR i = fila j = columna
dimenson = mxn fila x columna
M. TRANSPUESTA = At
: cambiar las filas por columnas y
viceversa
M. IGUALES : mismas dimensiones y coinciden elementos
M. CUADRADA : m = n
M. SIMETRICA = es cuadrada y coincide con su traspuesta
UNA MATRIZ ES SIMETRICA Y CUADRADA si los elementos
por debajo de la diagonal principal son un reflejo de los
elementos q hay por encima aij = aji
M. IDENTIDAD DE ORDEN N = In = tiene 1s en la diagonal
principal y 0s en el resto de elementos , tiene que ser
cuadrada
M. TRIANGULAR SUPERIOR = elementos debajo de la
diagonal principal son 0s
OPERACIONES
SUMA = tiene misma dimensión, el resultado de la matriz
tiene la misma dimensión y se obtiene: 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 →
𝑐 = 𝑎 + 𝑏
RESTA = sumar el opuesto
PRODUCTO DE k ∈ IR POR UNA MATRIZ = 𝑘 · 𝐴 =
(𝑘 · 𝐴 )
PRODUCTO DE M. FILA POR UNA M. COLUMNA=
𝐴 · 𝐵 = 𝑎1 · 𝑏1 + 𝑎2 · 𝑏2 … + 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛
PRODUCTO DE MATRICES = nº de columnas de A debe
coincidir con nº de filas de B
𝐴 · 𝐵 = 𝐶
→ 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟
𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵
PROPIEDADES
SUMA PRODUCTO
asociativa (A+B)+C=A+(B+C) (A·B)·C = A·(B·C)
conmutativa A+B = B +A A·B ≠ B·A
Elemento
neutro
Matriz 0 (todos los
elementos son 0s)
I · A = A · I = A
(I = identidad)
simétrico Opuesto = A -A
Matriz inversa q
algunas matrices
tienen = A-1
A-1
· A = A · A-1
= I
Distributivo
A · (B+C) = A ·B + A·C
≠ (B+C) · A = B·A + C·A
Identidades
notables
No se cumplen -> (A·B)2
= A2
+ AB + BA + B2
Factor
común
No se puede sacar Factor común SI NO
ESTAN EN EL MISMO ORDEN LAS
MATRICES
CALCULAR INVERSA : A-1
GAUSS:
Añadir m. identidad de orden correspondiente a la derecha y Transformar
la primera matriz en la derecha mediante: Hacer ceros en orden antihorario, excepto en la diagonal
q al final dividir para q la diagonal sean 1s La matriz a la derecha resultante es la inversa
*** si una fila entera sale de 0s = no existe inversa
MENORES:
Sea A una matriz cuadrada de orden n -> para que tenga inversa su IAI ≠ 0
𝐴 = | |
· [𝐴𝑑𝑗 (𝐴)] → la matiz adjunta de A esta hecha de todos los adjuntos de A
ECUACIONES
a) Usando las propiedades añadimos a ambos miembros para quitar o mover matrices y poder
despejar (asumiendo que la inversa exista)
b) Descomponer multiplicaciones de matrices en varias ecuaciones
RANGO DE UNA MATRIZ
Conjunto de vectores de IRn
son l.i si: la único combinación lineal de estos vectores que da lugar al
vector 0
⃗ es 0𝑣1⃗ + ⋯ 0𝑣𝑛
⃗ = 0
⃗
Las líneas dependientes son combinaciones lineales de las otras filas
rango por filas de una matriz = el nº de vectores l.i que hay entre sus filas o columnas rg(A) = rg (At
)
𝑛º 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ≥ 𝑅𝑔(𝑀) ≥ 1
GAUSS
1. intentar hacer una fila completa de 0s que será la l. dependiente
2. ver transformaciones hechas para obtener el vector 0
⃗ obtenido
MENORES
Hacer menores de orden r = determinante de submatriz de r filas y r columnas
Menor de orden 1 = |𝑎11| = |4| = 4 -> cualquier elemento de la matriz
Menor de orden 2 =
Menor de orden 3 =
𝑎11 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎23 𝑎24
𝑎41 𝑎43 𝑎44
Si IAI = 0 alguna fila o columna son linealmente dependientes y si IAI ≠ 0 son todas indep.
DISCUTIR RANGOS
GAUSS
1. hacer todos los vectores cero posibles para ver cuales son l.d.
2. buscar valores del parámetro para los que las filas = 0
⃗
3. crear casos diferentes para los valores diferentes determinando el rango de cada uno
DETERMINANTES
1. Ver en qué valores dados a m el determinante de la matriz o submatriz es 0
- si es cuadrada: hacer el determinante directamente o por adjuntos
- si no es cuadrada:
1. hacer menores de orden máx posible -> tantas como existan
2. resolver el determinante del primer menor igualando a 0
3. las raíces comunes a todos los det. de las menores serán las validas: sustituir en el resto
de menores las raíces de la resuelta
2. Establecer los diferentes casos con cada uno de los valores dado a m -> sustituir en la matriz
original con el valor escogido y comprobar el determinante y determinar el rango en cada caso ->
ya sea aplicando menores o con el adjunto
Determinantes de MATRICES 2x3
Determinantes de MATRICES 3x3
1. diagonal principal (+) 2. diagonal secundaria (-)
Determinantes de MATRICES 4x4 o mayores
Elegimos una fila o columna (usar gauss y propiedades
para hacer 0s) y multiplicamos cada elemento por su
respecto adjunto y sumamos resultados
1 4
0
0
0
3
5
−7
2 1
5
7
−7
3
−4
0
=
= 1 · 𝑎𝑑𝑗 (1) + 0 · 𝑎𝑑𝑗(0) + 0 · 𝑎𝑑𝑗 (0) + 0 · 𝑎𝑑𝑗(0) = 1 · (−1) · |𝑀|
PROPIEDADES
1. |𝐴| = |𝐴 |
2. |𝐴| = 0 Si una matriz cuadrada tiene: una línea de 0s
o combinación lineal Lo contrario tmb se cumple
3. Si intercambiamos 2 filas contiguas en una matriz el
determinante cambia de signo, cambia tantas veces
como intercambios contiguos
4. Si multiplicamos por un mismo nº los elementos de
una fila el determinante queda multiplicado por ese
mismo. |2𝐴| = 2 |𝐴|
5. Si una fila de la matriz le sumamos una combinación
lineal de las demás el determinante no varia
6.
𝑎11 𝑎12 + 𝑎′12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 + 𝑎′22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 + 𝑎′32 𝑎33
=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
+
𝑎11 𝑎′12 𝑎13
𝑎21 𝑎′22 𝑎23
𝑎31 𝑎′32 𝑎33
7. |𝐴 · 𝐵| = |𝐴| · |𝐵|
MENOR COMPLEMENTARIO
El menor complementario de un elemento 𝑎 = 𝛼 = el
determinante de la matriz cuadrada de orden n cuya fila i
y columna j son suprimidas menor es de orden n-1
Adjunto del elemento 𝑎 = 𝐴 = (−1) · 𝛼
Ej: 𝐴 = (−1) · (−6) = 6](https://image.slidesharecdn.com/b1-230212105719-98cef319/85/B1-T1y2-matrices-y-determinantes-pdf-1-320.jpg)
B1.T1y2 matrices y determinantes.pdf
- 1. BLOQUE 1: ALGEBRA – TEMA 2: ALGEBRA DE MATRICES Y TEMA 3: DETERMINANTES MATEMATICAS MATRICES DETERMINANTES -> matrices cuadradas Def = tabla de doble entrada aij ∈ IR i = fila j = columna dimenson = mxn fila x columna M. TRANSPUESTA = At : cambiar las filas por columnas y viceversa M. IGUALES : mismas dimensiones y coinciden elementos M. CUADRADA : m = n M. SIMETRICA = es cuadrada y coincide con su traspuesta UNA MATRIZ ES SIMETRICA Y CUADRADA si los elementos por debajo de la diagonal principal son un reflejo de los elementos q hay por encima aij = aji M. IDENTIDAD DE ORDEN N = In = tiene 1s en la diagonal principal y 0s en el resto de elementos , tiene que ser cuadrada M. TRIANGULAR SUPERIOR = elementos debajo de la diagonal principal son 0s OPERACIONES SUMA = tiene misma dimensión, el resultado de la matriz tiene la misma dimensión y se obtiene: 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 → 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 RESTA = sumar el opuesto PRODUCTO DE k ∈ IR POR UNA MATRIZ = 𝑘 · 𝐴 = (𝑘 · 𝐴 ) PRODUCTO DE M. FILA POR UNA M. COLUMNA= 𝐴 · 𝐵 = 𝑎1 · 𝑏1 + 𝑎2 · 𝑏2 … + 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛 PRODUCTO DE MATRICES = nº de columnas de A debe coincidir con nº de filas de B 𝐴 · 𝐵 = 𝐶 → 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐶 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝐵 PROPIEDADES SUMA PRODUCTO asociativa (A+B)+C=A+(B+C) (A·B)·C = A·(B·C) conmutativa A+B = B +A A·B ≠ B·A Elemento neutro Matriz 0 (todos los elementos son 0s) I · A = A · I = A (I = identidad) simétrico Opuesto = A -A Matriz inversa q algunas matrices tienen = A-1 A-1 · A = A · A-1 = I Distributivo A · (B+C) = A ·B + A·C ≠ (B+C) · A = B·A + C·A Identidades notables No se cumplen -> (A·B)2 = A2 + AB + BA + B2 Factor común No se puede sacar Factor común SI NO ESTAN EN EL MISMO ORDEN LAS MATRICES CALCULAR INVERSA : A-1 GAUSS: Añadir m. identidad de orden correspondiente a la derecha y Transformar la primera matriz en la derecha mediante: Hacer ceros en orden antihorario, excepto en la diagonal q al final dividir para q la diagonal sean 1s La matriz a la derecha resultante es la inversa *** si una fila entera sale de 0s = no existe inversa MENORES: Sea A una matriz cuadrada de orden n -> para que tenga inversa su IAI ≠ 0 𝐴 = | | · [𝐴𝑑𝑗 (𝐴)] → la matiz adjunta de A esta hecha de todos los adjuntos de A ECUACIONES a) Usando las propiedades añadimos a ambos miembros para quitar o mover matrices y poder despejar (asumiendo que la inversa exista) b) Descomponer multiplicaciones de matrices en varias ecuaciones RANGO DE UNA MATRIZ Conjunto de vectores de IRn son l.i si: la único combinación lineal de estos vectores que da lugar al vector 0 ⃗ es 0𝑣1⃗ + ⋯ 0𝑣𝑛 ⃗ = 0 ⃗ Las líneas dependientes son combinaciones lineales de las otras filas rango por filas de una matriz = el nº de vectores l.i que hay entre sus filas o columnas rg(A) = rg (At ) 𝑛º 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 ≥ 𝑅𝑔(𝑀) ≥ 1 GAUSS 1. intentar hacer una fila completa de 0s que será la l. dependiente 2. ver transformaciones hechas para obtener el vector 0 ⃗ obtenido MENORES Hacer menores de orden r = determinante de submatriz de r filas y r columnas Menor de orden 1 = |𝑎11| = |4| = 4 -> cualquier elemento de la matriz Menor de orden 2 = Menor de orden 3 = 𝑎11 𝑎13 𝑎14 𝑎21 𝑎23 𝑎24 𝑎41 𝑎43 𝑎44 Si IAI = 0 alguna fila o columna son linealmente dependientes y si IAI ≠ 0 son todas indep. DISCUTIR RANGOS GAUSS 1. hacer todos los vectores cero posibles para ver cuales son l.d. 2. buscar valores del parámetro para los que las filas = 0 ⃗ 3. crear casos diferentes para los valores diferentes determinando el rango de cada uno DETERMINANTES 1. Ver en qué valores dados a m el determinante de la matriz o submatriz es 0 - si es cuadrada: hacer el determinante directamente o por adjuntos - si no es cuadrada: 1. hacer menores de orden máx posible -> tantas como existan 2. resolver el determinante del primer menor igualando a 0 3. las raíces comunes a todos los det. de las menores serán las validas: sustituir en el resto de menores las raíces de la resuelta 2. Establecer los diferentes casos con cada uno de los valores dado a m -> sustituir en la matriz original con el valor escogido y comprobar el determinante y determinar el rango en cada caso -> ya sea aplicando menores o con el adjunto Determinantes de MATRICES 2x3 Determinantes de MATRICES 3x3 1. diagonal principal (+) 2. diagonal secundaria (-) Determinantes de MATRICES 4x4 o mayores Elegimos una fila o columna (usar gauss y propiedades para hacer 0s) y multiplicamos cada elemento por su respecto adjunto y sumamos resultados 1 4 0 0 0 3 5 −7 2 1 5 7 −7 3 −4 0 = = 1 · 𝑎𝑑𝑗 (1) + 0 · 𝑎𝑑𝑗(0) + 0 · 𝑎𝑑𝑗 (0) + 0 · 𝑎𝑑𝑗(0) = 1 · (−1) · |𝑀| PROPIEDADES 1. |𝐴| = |𝐴 | 2. |𝐴| = 0 Si una matriz cuadrada tiene: una línea de 0s o combinación lineal Lo contrario tmb se cumple 3. Si intercambiamos 2 filas contiguas en una matriz el determinante cambia de signo, cambia tantas veces como intercambios contiguos 4. Si multiplicamos por un mismo nº los elementos de una fila el determinante queda multiplicado por ese mismo. |2𝐴| = 2 |𝐴| 5. Si una fila de la matriz le sumamos una combinación lineal de las demás el determinante no varia 6. 𝑎11 𝑎12 + 𝑎′12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 + 𝑎′22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 + 𝑎′32 𝑎33 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 + 𝑎11 𝑎′12 𝑎13 𝑎21 𝑎′22 𝑎23 𝑎31 𝑎′32 𝑎33 7. |𝐴 · 𝐵| = |𝐴| · |𝐵| MENOR COMPLEMENTARIO El menor complementario de un elemento 𝑎 = 𝛼 = el determinante de la matriz cuadrada de orden n cuya fila i y columna j son suprimidas menor es de orden n-1 Adjunto del elemento 𝑎 = 𝐴 = (−1) · 𝛼 Ej: 𝐴 = (−1) · (−6) = 6