MATEMATICASIV2013
- 1. TALLER Determine los puntos de corte con el eje de las x de las siguientes ecuaciones.
- 3. Identifique el valor de las siguientes incógnitas en los siguientes grupos de ecuaciones. 3 -5 8 22 1 -3 22 0 3 5 2 -3 12 3 3 -5 8 22 0 -4 58 -22 0 31 -49 -74 4 3 -5 8 22 0 -4 59 -22 0 0 1602 -978
- 5. Hallar el valor de la ecuación que cruza por los siguientes puntos (m(pendiente) y punto de corte) (7,2) y (-2,3) (4,5) y (-2,8)
- 6. EXPOSICIONES ERROR Es una medida del ajuste o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su ESTABILIDAD NUMÉRICA. Dicha estabilidad se refiere a cómo dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del PROPIOALGORITMO. El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene. Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores: Aquellos que son inherentes a la formulación del problema. Si |error absoluto| < ε, decimos que ε es una cota de error absoluto. Entonces la ε relativa es: Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema. Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas. Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en
- 7. cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacionalmente. En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales: 1. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar. 2. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son: El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor. Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide. Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas). Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito. Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico. 3. Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo,
- 8. para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: . El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente. Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos. Sucesiones Matemáticas Definición: En terminología matemática se incluye sucesiónpara designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro. Véase secuencia, colección, familia y conjuntos en matemáticas. Definición abstracta: Clase de finitos o numerables objetos ordenados. Definición conjuntista:
- 9. Unasucesiónen un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de en X. Notación: Notaremos por {Xn} n€N a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos{Yn} n€NLa notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario. Definición de término general: Llamaremos término general de una sucesión a Xn , donde n€N indica el lugar que ocupa en dicha sucesión. Definición de parcial: Llamaremos parcial de {Xn} n€N a una sucesión donde {Xni} ni€N. donde ni<ni+1 Series Matemáticas: Definición: En matemáticas, u n a seriee s l a sumad e l o s t é r m i n o s d e u n a sucesión. Se representa una serie con términosancomo donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, las series convergen o divergen. El calculo se diverge si no existe o si tiende a infinito. Y converge si
- 10. REDONDEO DE NUMEROS Redondear un número quiere decir reducir el numero de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado es menos exacto, pero mas fácil de usar. Ejemplo: 73 redondeado a la decena mas cercana es 70, porque 73 estamas de cerca de 70 que de 80. Redondear decimales: Primero tienes que saber si estás redondeando a décimas, centésimas, etc. O a lo mejor a "tantas cifras decimales". Así sabes cuánto quedará del número cuando hayas terminado. Ejemplos Porque ... 3,1416 redondeado a las centésimas es 3,14 ... la cifra siguiente (1) es menor que 5 1,2635 redondeado a las décimas es 1,3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más 1,2635 redondeado a 3 cifras decimales es 1,264 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más Redondear números enteros: Si quieres redondear a decenas, centenas, etc. tienes que sustituir las cifras que quitas por ceros. Ejemplos Porque ... 134,9 redondeado a decenas es 130 ... la cifra siguiente (4) es menor que 5 12.690 redondeado a miles es 13.000 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más 1,239 redondeado a unidades es 1 ... la cifra siguiente (2) es menor que 5 Redondear a cifras significativas: Para redondear "tantas" cifras significativas, sólo tienes que contar tantas de izquierda a derecha y redondear allí. (Nota: si el número empieza por ceros (por ejemplo 0,006), no los contamos porque sólo se ponen para indicar lo pequeño que es el número). Ejemplos Porque ... 1,239 redondeado a 3 cifras significativas es 1,24 ... la cifra siguiente (9) es 5 o más 134,9 redondeado a 1 cifra significativa 100 ... la cifra siguiente (3) es menor que 5
- 11. 0,0165 redondeado a 2 cifras significativas es 0,017 ... la cifra siguiente (5) es 5 o más ALGORITMO Es un conjunto pre-escrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha 2 actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un 1 estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia. En la vida cotidiana, se emplean algoritmos frecuentemente para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en matemática son el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Ejemplo.. El algoritmo de la suma es escribir las cantidades una abajo de la otra, de tal forma que cada una de las cifras, colocadas una debajo de la otra coincida con las de las demás.. Después vas sumando todas las unidades, y la unidad del resultado lo colocas en la parte de abajo de la raya de sumar... y así hasta terminar la operación.
- 12. EXACTITUD Se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de acercarse al valor de la magnitud real. La exactitud depende de los errores sistemáticos que intervienen en la medición, denotando la proximidad de una medida al verdadero valor y, en consecuencia, la validez de la medida.1 2 Suponiendo varias mediciones, no estamos midiendo el error de cada una, sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de las mediciones (cuán calibrado está el aparato de medición). Esta cualidad también se encuentra en instrumentos generadores de magnitudes físicas, siendo en este caso la capacidad del instrumento de acercarse a la magnitud física real. Exactitud es la cercanía del valor experimental obtenido, con el valor exacto de dicha medida. El valor exacto de una magnitud física es un concepto utópico, ya que es imposible conocerlo sin incertidumbre alguna. Por ejemplo, si leemos la velocidad del velocímetro de un auto, esta tiene una precisión de 3 cifras significativas y una exactitud de 5 km/h.
- 13. EXACTITUD Y PRECISIÓN Exactitud: La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero. Precisión: La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos de otros. Ejemplos de exactitud y precisión: Exactitud baja Exactitud alta Exactitud alta Precisión alta Precisión baja Precisión alta o Así que si estás jugando al fútbol y siempre le das al poste izquierdo en lugar de marcar gol, ¡entonces no eres exacto, pero eres preciso! Sesgo: Así que si medimos algo varias veces y los valores están cerca unos de otros, pueden estar todos equivocados si hay "sesgo". El sesgo no es lo mismo que la precisión. Un sesgo es un error sistemático (pasa siempre) que hace que todas las medidas estén desviadas en una cierta cantidad. Ejemplos de sesgos: o Un balanza dice "1 kg" cuando no hay ningún peso encima o Siempre mides tu altura con zapatos de suelas anchas o Un cronómetro que se para medio segundo después de pulsar el botón
- 14. Grado de exactitud La exactitud depende del instrumento de medida. Pero por regla general: El grado de exactitud es la mitad de la unidad de medida. Ejemplos: Si tu instrumento mide en "unidades" entonces cualquier valor entre 6½ y 7½ se mide como "7" Si tu instrumento mide "de 2 en 2" entonces los valores entre 7 y9 dan medida "8"