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- 1. Universidad Fermín Toro Vicerrectorado Académico Facultad de Ingeniería Cabudare, Edo. Lara. Métodos Numéricos Alumno: Marcos Serrada C.I. 23.933.123 Analisis Numericos Tutor: Domingo Mendez Abril, 2019.
- 2. Métodos numéricos Son metodologías que utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se realizan a partir de un problema planteado para resolver de forma aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas, que analíticamente resultan muy difíciles de resolver, las cuales es posible formular problemas con operaciones aritméticas. En si es una herramienta matemática que ahora gracias a lo avanzado de la programación (calculadoras), ayudan a resolver problemas de iteración y matemáticos. Importancia de métodos numéricos El estudio de los métodos numéricos es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices. Cifras significativas Cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información, vienen determinadas por su error y son aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes: Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más. Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida. Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior. Pero se le suelen llamar comúnmente a los dígitos del 1 al 9 (incluidos el 1 y el 9). Por ejemplo, cuando al pasar un número a notación científica, se suele decir que la parte entera del coeficiente debe ser una cifra y que además sea significativa (no cero) por ejemplo 4,7 aquí vemos que el 4 es una cifra significativa, ya que está entre el 1 y el 9 y al momento de redondear queda 5.
- 3. Precisión y exactitud Precisión: se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. En si precisión es cuando un instrumento te da siempre la misma medida ejemplo: cuando haces un experimento varias veces, y los datos obtenidos caen dentro de un pequeño rango de valores se dice que el método utilizado es reproducible, es decir, que es preciso. Exactitud: se refiere a cuán cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación. En si exactitud se refiere a qué tan cercana está esa medición de la realidad ejemplo: el valor obtenido en un experimento es muy cercano al valor verdadero. Lo que no te dice es que sea reproducible ese valor verdadero. Ejemplo general: si hablaras de un tiro al blanco. Preciso sería dar siempre en el mismo sitio; exacto sería dar justo en el centro. En métodos numéricos siempre se implementan las dos técnicas precisión y exactitud. Incertidumbre Es cuando tienes un problema y no sabes que va a pasar o si tienes varias soluciones al problemas no sabes escoger cual utilizar para que todo te salga bien es como una Probabilidad de que un resultado esté fuera de la cota establecida o de un gran margen de error sin certeza. Sesgo Es el alejamiento de un valor con respecto a una medida de tendencia central (que puede ser la media) Cuando tienes un grupo de datos, estos pueden ser representados por valores promedio) como el promedio de calificaciones de todos los alumnos de un examen. Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática En si es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. Definición de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.
- 4. Esto ocurre cuando tienes pocas interacciones, al tener muchos el error baja, debido a que los métodos numéricos no son exactos sino simples a aproximaciones a un valor numérico, para que fueran exactos necesitarías un numero de iteraciones infinitas lo cual no es posible, además de cual es e método que vas a utilizar. Cada uno tiene su nivel de error, y sirve para diferentes cosas Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: Valor verdadero = valor aproximado + error. Se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado esto es : Ev = valor verdadero - valor aproximado Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v para dar a entender que se trata del "verdadero" error. Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando . Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluendo es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en: Error relativo fraccional = error / valor verdadero Dónde: Error = valor verdadero - valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero. Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:
- 5. Ea = (error aproximado/ valor aproximado)100 Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por: Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100) Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado(Es). ERROR POR TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. EJEMPLO: * 5,2536 (A CENTIMETRO) = 5,25. * 9,217983 (A MILIMETRO) = 9,217. ERROR POR REDONDEO. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó "truncamiento" en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. EJEMPLO: * 5,2536 (A CENTIMETRO) = 5,25|3 (3 COMO ES <5) = 5,25. * 9,217983 (A MILIMETRO) = 9,217|9 (9 COMO ES >5) = 9,218 ERROR ABSULUTO Y RELATIVO Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
- 6. FORMULA: Ea= /Ve - Va/ Ea= Error Absoluto. Ve= Valor Exacto. Va= Valor aproximado. Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades FORMULA: Er = Error Relativo Va = Valor Absoluto Ve= valor Exacto EJEMPLO: Se desea medir una pared donde: Va= 65 Ve= 70 Ea= Ve - Va = /70 - 65/ = 5 (el resultado siempre da positivo). ERROR NUMÉRICO TOTAL El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro). EJEMPLO: Valor del error por truncamiento = 5,25. Valor del erro por redondeo = 5,25. Valor número total= 5.25 + 5.25= 10.5 error numérico total.
- 7. Serie de Taylor Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin. Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales; se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones; es posible calcular la optimidad de la aproximación.