Analisis numerico

Prof.: Domingo Méndez
Análisis Numérico
Alumno:
Wuenses Vásquez.
C.I: 20.904.787
Porlamar, Junio de 2016

Un Error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define
como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:
e = Vr – Va
Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma
absoluta o en forma relativa.
Tipos de errores
Error de redondeo:
Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico
requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que
resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes,
teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el
instrumento de cálculo que se esté utilizando.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
* Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden
conservar dentro de la memoria correspondiente.
* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo
del número en particular:
para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la
localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito
despreciado es mayor o igual a 5.
Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la
localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito
despreciado es mayor o igual a 5.
Error por truncamiento:
Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de
instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema.
Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso
debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se
pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido
por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de
truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el
desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de realizar
los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.
Error numérico total:

Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento
introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realiza para
obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.
Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más
términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea
mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).
Errores humanos:
Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden
dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras
son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con
un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de
métodos y el diseño de la solución del problema. Los errores humanos por
negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.
Error absoluto:
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y
su valor calculado o redondeado:
Error absoluto = [exacto - calculado]
Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error
absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre
se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado
que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es
posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con
aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa.
Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen
cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial
el redondeo, están estadísticamente distribuidos.
Error relativo:
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado.
Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor
exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de
estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos
Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]
El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en

especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que
los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de
manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud
de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba
compensa este efecto.
Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar
la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero,
incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena
medida del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al
cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el error
aparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las
matemáticas puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el
error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.
Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para
ponerlo en una base porcentual.
Propagación del error
Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema
son más importantes de lo que aparentemente puede parecer.
Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar
operaciones con dichos
datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de
significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se
calcula la diferencia entre los números:
a= 0,276435 b=0,2756
Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por
aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores
aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:
a= 0,276 error relativo= 1,57 x10−3
b= 0,276 error relativo= 1,45 x10−3
Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre
los aproximados se obtiene:

a – b = 0,000835
a'- b'= 0.0
Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del
100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como
el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única
operación, hasta generar un
resultado carente de significado.
Tipos deerrores demedición
Atendiendo a su naturaleza los errores cometidos en una medición admiten
una clasificación en dos grandes vertientes: errores aleatorios y errores
sistemáticos.
 Error aleatorio. No se conocen las leyes o mecanismos que lo causan por su
excesiva complejidad o por su pequeña influencia en el resultado final.
Para conocer este tipo de errores primero debemos de realizar un
muestreo de medidas. Con los datos de las sucesivas medidas podemos
calcular su medida y la desviación típica muestral. Con estos parámetros se
puede obtener la distribución normal característica, N[μ, s], y la podemos
acotar para un nivel de confianza dado.
Las medidas entran dentro de la campana con unos márgenes determinados
para un nivel de confianza que suele establecerse entre el 95% y el 98%.
 Error sistemático. Permanecen constantes en valor absoluto y en el signo al
medir una magnitud en las mismas condiciones, y se conocen las leyes que
lo causan.
Para determinar un error sistemático se deben de realizar una serie de
medidas sobre una magnitud Xo, se debe de calcular la media aritmética de
estas medidas y después hallar la diferencia entre la media y la magnitud X0.
Error sistemático = | media - X0 |
Causas deerrores demedición
Aunque es imposible conocer todas las causas del error es conveniente
conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar

los errores más frecuentes. Las principales causas que producen errores se
pueden clasificar en:
 Error debido al instrumento de medida.
 Error debido al operador.
 Error debido a los factores ambientales.
 Error debido a las tolerancias geométricas de la propia pieza.
Errores debidos al instrumento de medida
Cualquiera que sea la precisión del diseño y fabricación de un instrumento
presentan siempre imperfecciones. a estas, con el paso del tiempo, les
tenemos que sumar las imperfecciones por desgaste.
 Error de alineación.
 Error de diseño y fabricación.
 Error por desgaste del instrumento. Debido a este tipo de errores se tienen
que realizar verificaciones periódicas para comprobar si se mantiene dentro
de unas especificaciones.
 Error por precisión y forma de los contactos.
Errores debidos al operador
El operador influye en los resultados de una medición por la imperfección de
sus sentidos así como por la habilidad que posee para efectuar las medidas.
Las tendencias existentes para evitar estas causas de errores son la
utilización de instrumentos de medida en los que elimina al máximo la
intervención del operador.
 Error de mal posicionamiento. Ocurre cuando no se coloca la pieza
adecuadamente alineada con el instrumento de medida o cuando con
pequeños instrumentos manuales se miden piezas grandes en relación de
tamaño. Otro ejemplo es cuando se coloca el aparato de medida con un
cierto ángulo respecto a la dimensión real que se desea medir.
 Error de lectura y paralelaje. Cuando los instrumentos de medida no tienen
lectura digital se obtiene la medida mediante la comparación de escalas a

diferentes planos. Este hecho puede inducir a lecturas con errores de
apreciación, interpolación, coincidencia, etc. Por otra parte si la mirada del
operador no está situada totalmente perpendicular al plano de escala
aparecen errores de paralelaje.
 Errores que no admiten tratamiento matemático. Error por fatiga o cansancio.
Errores debidos a los factores ambientales
El más destacado y estudiado es el efecto de la temperatura en los metales
dado que su influencia es muy fuerte.
 Error por variación de temperatura. Los objetos metálicos se dilatan cuando
aumenta la temperatura y se contraen al enfriarse. Este hecho se modeliza
de la siguiente forma.
Variación de longitud = Coeficiente de dilatación específico x longitud de la
pieza x variación temperatura
( ΔL = α.L.ΔT )
 Otros agentes exteriores. Influyen mínimamente. Humedad, presión
atmosférica, polvo y suciedad en general. También de origen mecánico,
como las vibraciones.
Errores debidos a las tolerancias geométricas de la propia pieza
Las superficies geométricas reales de una pieza implicada en la medición de
una cota deben presentar unas variaciones aceptables.
 Errores de deformación. La pieza puede estar sometida a fuerzas en el
momento de la medición por debajo del limite elástico tomando cierta
deformación que desaparece cuando cesa la fuerza.
 Errores de forma. Se puede estar midiendo un cilindro cuya forma
aparentemente circular en su sección presente cierta forma oval.
 Errores de estabilización o envejecimiento. Estas deformaciones provienen
del cambio en la estructura interna del material. El Tempe de aceros, es
decir, su enfriamiento rápido, permite que la fase autentica se transforme a
fase martensítica estable a temperatura ambiente. Estos cambios de
geometría son muy poco conocidos pero igualmente tienen un impacto
importante.

En física, química e ingeniería, un instrumento de medición es un
aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso
de medición. Como unidades de medida se utilizan objetos y sucesos
previamente establecidos como estándares o patrones y de la medición
resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de
referencia. Los instrumentos de medición son el medio por el que se hace
esta conversión.
 Características de un instrumento
 Las características importantes de un instrumento de medida son: precisión,
exactitud, apreciación y la sensibilidad según las siguientes definiciones:
 Precisión: es la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en
mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones.
Exactitud: es la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al
valor de la magnitud real.
Apreciación: es la medida más pequeña que es perceptible en un
instrumento de medida.
Sensibilidad: es la relación de desplazamiento entre el indicador de la medida
y la medida real
Redondear quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor
parecido. El resultado es menos exacto, pero más fácil de usar.
Para redondear números decimales tenemos que fijarnos en la unidad
decimal posterior a la que queremos redondear. Si la unidad es mayor o igual
que 5, aumentamos en una unidad decimal anterior; en caso contrario la cifra
se deja igual:
Ejemplo:
9,245; redondeando a la centésima 9,250
8,33353; redondeando a la diezmilésima 8,3335

Para truncar número en cierta cifra decimal se eliminan las cifras
decimales que le siguen. Por ejemplo, el truncar el 3,1415 en las centésimas
resulta 3,14
Ejemplo aproximar π a los diezmilésimos, mediante los dos tipos de
aproximaciones.
Π = 3,1415926535
Aproximación por truncamiento es: 3,1415
Aproximación por redondeo es: 3,1416
¿Qué cifra se aproxima más al valor exacto?
La aproximación por redondeo porque incluye el 9.
La estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos.
Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del
algoritmo. En un método estable, los errores debidos a las aproximaciones se
atenúan a medida que la computación procede. En un método inestable,
cualquier error en el procesamiento se magnifica conforme el cálculo
procede. Métodos inestables generan rápidamente basura y son inútiles para
el procesamiento numérico.

Analisis numerico

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (15)

Similar a Analisis numerico (20)

Último (20)

Analisis numerico