Cadena de markov

Cadenas de Markov Las cadenas de Markov y los procesos de Markov son un tipo especial de procesos estocásticos que poseen la siguiente propiedad: Propiedad de Markov: Conocido el estado del proceso en un momento dado, su comportamiento futuro no depende del pasado. Dicho de otro modo, “dado el presente, el futuro es independiente del pasado”

Cadenas de Markov Sólo estudiaremos las cadenas de Markov, con lo cual tendremos espacios de estados S discretos y conjuntos de instantes de tiempo T también discretos, T={t 0 , t 1 , t 2 ,…} Una cadena de Markov (CM) es una sucesión de variables aleatorias X i , i  N , tal que: que es la expresión algebraica de la propiedad de Markov para T discreto.

Probabilidades de transición Las CM están completamente caracterizadas por las probabilidades de transición en una etapa, Sólo trabajaremos con CM homogéneas en el tiempo, que son aquellas en las que donde q ij se llama probabilidad de transición en una etapa desde el estado i hasta el estado j

Matriz de transición Los q ij se agrupan en la denominada matriz de transición de la CM:

Propiedades de la matriz de transición Por ser los q ij probabilidades, Por ser 1 la probabilidad del suceso seguro, cada fila ha de sumar 1, es decir, Una matriz que cumpla estas dos propiedades se llama matriz estocástica

Diagrama de transición de estados El diagrama de transición de estados (DTE) de una CM es un grafo dirigido cuyos nodos son los estados de la CM y cuyos arcos se etiquetan con la probabilidad de transición entre los estados que unen. Si dicha probabilidad es nula, no se pone arco. i j q ij

Ejemplo: línea telefónica Sea una línea telefónica de estados ocupado=1 y desocupado=0. Si en el instante t está ocupada, en el instante t+1 estará ocupada con probabilidad 0,7 y desocupada con probabilidad 0,3. Si en el instante t está desocupada, en el t+1 estará ocupada con probabilidad 0,1 y desocupada con probabilidad 0,9.

Ejemplo: línea telefónica 0 1 0,9 0,1 0,3 0,7

Ejemplo: buffer de E/S Supongamos que un buffer de E/S tiene espacio para M paquetes. En cualquier instante de tiempo podemos insertar un paquete en el buffer con probabilidad  o bien el buffer puede vaciarse con probabilidad  . Si ambos casos se dan en el mismo instante, primero se inserta y luego se vacía. Sea X t =nº de paquetes en el buffer en el instante t. Suponiendo que las inserciones y vaciados son independientes entre sí e independientes de la historia pasada, { X t } es una CM, donde S={0, 1, 2, …, M}

Ejemplo: buffer de E/S 0 1 2 3  (1–  )  (1–  )  (1–  ) 1–  –  +  1–  –  +  1–  –  +     … 1 –  (1–  ) … M … 1–   (1–  ) 

Ejemplo: Lanzamiento de un dado Se lanza un dado repetidas veces. Cada vez que sale menor que 5 se pierde 1 €, y cada vez que sale 5 ó 6 se gana 1 €. El juego acaba cuando se tienen 0 € ó 100 €. Sea X t =estado de cuentas en el instante t. Tenemos que { X t } es una CM S={0, 1, 2, …, 100}

Ejemplo: Lanzamiento de un dado 0 1 2 3 2/3 … 1 4 5 … 2/3 2/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 1/3 1/3  100 99 98 97 1 2/3 2/3 1/3 1/3 2/3 1/3 1/3 1/3 … … …

Ejemplo: organismos unicelulares Se tiene una población de organismos unicelulares que evoluciona así: cada organismo se duplica con probabilidad 1–p o muere con probabilidad p. Sea X n el nº de organismos en el instante n. La CM { X n } tendrá S = { 0, 1, 2, 3, … } = N Si hay i organismos en el instante n, en el instante n+1 tendremos k organismos que se dupliquen e i–k que mueran, con lo que habrá 2k organismos.

Ejemplo: organismos unicelulares Mediante la distribución binomial podemos hallar las probabilidades de transición q i,2k (el resto de probabilidades son nulas):

Clasificación de estados Probabilidad de alcanzar un estado: Diremos que un estado j  S es alcanzable desde el estado i  S sii  ij  0. Esto significa que existe una sucesión de arcos (camino) en el DTE que van desde i hasta j. Un estado j  S es absorbente sii q jj =1. En el DTE, j 1

Subconjuntos cerrados Sea C  S, con C  . Diremos que C es cerrado sii  i  C  j  C, j no es alcanzable desde i, o lo que es lo mismo,  ij =0. En particular, si C={i}, entonces i es absorbente. S siempre es cerrado. Un subconjunto cerrado C  S se dice que es irreducible sii no contiene ningún subconjunto propio cerrado

Estados recurrentes y transitorios Si S es irreducible, se dice que la CM es irreducible. En el DTE, esto ocurre sii dados i,j cualesquiera, j es alcanzable desde i Diremos que un estado j  S es recurrente sii  jj =1. En otro caso diremos que j es transitorio. Se demuestra que una CM sólo puede pasar por un estado transitorio como máximo una cantidad finita de veces. En cambio, si visitamos un estado recurrente, entonces lo visitaremos infinitas veces.

Estados recurrentes y transitorios Proposición: Sea C  S cerrado, irreducible y finito. Entonces  i  C, i es recurrente Ejemplos: La CM de la línea telefónica es irreducible. Como además es finita, todos los estados serán recurrentes. Lo mismo ocurre con el ejemplo del buffer Ejemplo: En el lanzamiento del dado, tenemos los subconjuntos cerrados {0}, {  100}, con lo que la CM no es irreducible. Los estados 0 y  100 son absorbentes, y el resto son transitorios

Estados recurrentes y transitorios Proposición: Sea i  S recurrente, y sea j  S un estado alcanzable desde i. Entonces j es recurrente. Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que j es transitorio. En tal caso, existe un camino A que sale de j y nunca más vuelve. Por ser j alcanzable desde i, existe un camino B que va desde i hasta j. Concatenando el camino B con el A, obtengo el camino BA que sale de i y nunca más vuelve. Entonces i es transitorio, lo cual es absurdo porque contradice una hipótesis.

Cadenas recurrentes y transitorias Proposición: Sea X una CM irreducible. Entonces, o bien todos sus estados son recurrentes (y decimos que X es recurrente), o bien todos sus estados son transitorios (y decimos que X es transitoria). Ejemplo: Estado de cuentas con un tío rico ( fortunes with the rich uncle ). Probabilidad p de ganar 1 € y 1–p de perder 1 €. Cuando me arruino, mi tío me presta dinero para la próxima tirada:

Cadenas recurrentes y transitorias 0 1 p 2 1–p 3 … … p p p 1–p 1–p 1–p 1–p p n+1 1–p p p 1–p 1–p n … … … …

Cadenas recurrentes y transitorias Esta cadena es irreducible e infinita. Se demuestra que es transitoria sii p>0,5 y recurrente en otro caso (p  0,5) La cadena es transitoria cuando la “tendencia global” es ir ganando dinero. Esto implica que una vez visitado un estado, al final dejaremos de visitarlo porque tendremos más dinero.

Periodicidad Sea j  S tal que  jj >0. Sea Si k>1, entonces diremos que j es periódico de periodo k. El estado j será periódico de periodo k>1 sii existen caminos que llevan desde j hasta j pero todos tienen longitud mk, con m>0

Periodicidad Ejemplo: En la siguiente CM todos los estados son periódicos de periodo k=2: … … Ejemplo: En la siguiente CM todos los estados son periódicos de periodo k=3:

Periodicidad Proposición: Sea X una CM irreducible. Entonces, o bien todos los estados son periódicos de periodo k (y decimos que X es periódica de periodo k), o bien ningún estado es periódico (y decimos que X es aperiódica) En toda CM periódica de periodo k, existe una partición  de S,  ={A 1 , A 2 , …, A k }, de tal manera que todas las transiciones van desde A i hasta A (i mod k)+1

Periodicidad Ejemplo de CM periódica de periodo k=3: A 1 A 2 A 3

Cadenas ergódicas Sea X una CM finita. Diremos que X es ergódica sii es irreducible, recurrente y aperiódica Ejemplo: Analizar la siguiente CM, con S={a, b, c, d, e}:

Ejemplos 1º Dibujar el DTE: d b c e a 1/4 1/4 3/4 1/2 1/4 1/2 1/2 1/3 1/3 1/3 2/3 1/3

Ejemplos 2º Hallar los conjuntos cerrados Tomado un estado i, construimos un conjunto cerrado C i con todos los alcanzables desde él en una o más etapas (el propio i también se pone): C a ={a, c, e}=C c =C e C b ={b, d, a, c, e}=C d =S La CM no será irreducible, ya que C a es un subconjunto propio cerrado de S

Ejemplos 3º Clasificar los estados Recurrentes: a, c, e Transitorios: b, d Periódicos: ninguno Absorbentes: ninguno 4º Reorganizar Q. Dada una CM finita, siempre podemos agrupar los estados recurrentes por un lado y los transitorios por otro, y hacer:

Ejemplos En nuestro caso, la nueva ordenación de S es S={a, c, e, b, d}, con lo que obtenemos: 5º Clasificar la cadena. No es irreducible, con lo cual no será periódica, ni aperiódica, ni recurrente, ni transitoria ni ergódica.

Ejemplos Ejemplo: Analizar la siguiente CM, con S={a, b, c, d, e, f, g}:

Ejemplos 1º Dibujar el DTE: a e c b f d g 1 0,8 1 0,2 0,4 0,2 0,4 0,7 0,3 1 1

2º Hallar los conjuntos cerrados C a ={a, c, e}=C c =C e C f ={f, d}=C d C g ={g} S 3º Clasificar los estados Recurrentes: a, c, d, e, f, g Transitorios: b Periódicos: a, c, e (todos de periodo 2) Absorbentes: g

Ejemplos 4º Reorganizar Q. Cuando hay varios conjuntos cerrados e irreducibles de estados recurrentes (por ejemplo, n conjuntos), ponemos juntos los estados del mismo conjunto:

Ejemplos En nuestro caso, reordenamos S={a, c, e, d, f, g, b} y obtenemos:

Ejemplos 5º Clasificar la cadena. No es irreducible, con lo cual no será periódica, ni aperiódica, ni recurrente, ni transitoria ni ergódica. Ejemplo: Número de éxitos al repetir indefinidamente una prueba de Bernouilli (probabilidad p de éxito). No es CM irreducible, porque por ejemplo C 1 ={1, 2, 3, …} es cerrado. Todos los estados son transitorios. 0 1 2 3 … p 1–p p p p 1–p 1–p 1–p

Ejemplos Ejemplo: Recorrido aleatorio . Es una CM irreducible y periódica de periodo 2. Se demuestra que si p  q, todos los estados son recurrentes, y que si p>q, todos son transitorios. 0 1 1 2 q 3 … … p p p q q q

Ejemplos La siguiente CM es irreducible, recurrente y periódica de periodo 3. No es ergódica.

Ejemplos La siguiente CM es irreducible, aperiódica, recurrente y ergódica.

Ejemplos La siguiente CM es irreducible, aperiódica, recurrente y ergódica

Ejemplos La siguiente CM no es irreducible, y por tanto no es de ninguno de los demás tipos. 1 y 4 son recurrentes; 2 y 3 son transitorios. 1 4 3 2

Ejemplos La siguiente CM no es irreducible, y por tanto no es de ninguno de los demás tipos. Todos los estados son recurrentes y ninguno es periódico.

Ejemplos La siguiente CM no es irreducible, y por tanto no es de ninguno de los demás tipos. Ningún estado es periódico. 4 es transitorio, y el resto recurrentes. 1 es absorbente. 1 4 2 3

Ejemplos La siguiente CM no es irreducible, y por tanto no es de ninguno de los demás tipos. Ningún estado es periódico. 4 y 5 son transitorios, y el resto recurrentes. 3 es absorbente. 1 5 2 4 3

Ejemplos La siguiente CM es no es irreducible, y por tanto tampoco de ninguno de los demás tipos. 4 es absorbente, y el resto son transitorios. 1 4 3 2

Ejemplos La siguiente CM no es irreducible y por tanto no es de ninguno de los demás tipos. 1,3 y 5 son recurrentes de periodo 3. 2 y 6 son recurrentes, pero no periódicos. 4 es transitorio. 1 6 2 5 4 3

Concepto de cadena absorbente Sea X una CM cuyos estados son todos transitorios o absorbentes. En tal caso diremos que X es absorbente. Si X es finita y absorbente, reordenamos S poniendo primero los estados transitorios y obtenemos:

Resultados sobre cadenas absorbentes Proposición: El número medio de etapas que se estará en el estado transitorio j  S antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el estado transitorio i  S, viene dado por el elemento (i,j) de (I–Q’) –1 Nota: La etapa inicial también se cuenta, es decir, en la diagonal de (I–Q’) –1 todos los elementos son siempre mayores o iguales que 1

Resultados sobre cadenas absorbentes Proposición: La probabilidad de ser absorbido por un estado absorbente j  S, suponiendo que empezamos en el estado transitorio i  S, viene dada por el elemento (i,j) de la matriz (I–Q’) –1 R, que se denomina matriz fundamental de la CM

Ejemplo de CM absorbente En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda al aire. Si sale cara, A le da 1 € a B. Si sale cruz, B le da 1 € a A. Al principio, A tiene 3 € y B tiene 2 €. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine. Calcular: La probabilidad de que A termine arruinándose. La probabilidad de que B termine arruinándose. El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego.

Ejemplo de CM absorbente Tendremos una CM con un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}. Descomponemos Q:

Ejemplo de CM absorbente Realizamos los cálculos necesarios:

Ejemplo de CM absorbente Probabilidad de que A termine arruinándose. La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente. Como empezamos en el 3 er estado transitorio (A empieza con 3 €), debemos consultar la 3ª fila, 2ª columna de (I – Q’) –1 R , que nos da una probabilidad de 0,4 de que A empiece con 3 € y termine en la ruina. Probabilidad de que B termine arruinándose Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6. También podríamos haber consultado la 3ª fila, 1ª columna de (I – Q’) –1 R .

Ejemplo de CM absorbente Número medio de tiradas que tarda en acabar el juego Sumamos los números medios de etapas que se estará en cualquier estado transitorio antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el 3 er estado transitorio. Dichos números medios son los que forman la 3ª fila de la matriz (I – Q’) –1 . El promedio es: 0,8+1,6+2,4+1,2=6 tiradas. Nota: si observamos la 1ª columna de (I – Q’) –1 R, vemos que los valores van creciendo. Esto se debe a que, cuanto más dinero tenga al principio A, más probabilidad tiene de ganar el juego.

Concepto de distribución estacionaria Teorema: Sea X una CM irreducible, aperiódica y recurrente. Entonces, Diremos que una CM alcanza la distribución estacionaria sii existen los límites del teorema anterior y además se cumple que:

Existencia de la distribución estacionaria Teorema: Sea X finita y ergódica. Entonces la distribución estacionaria existe y viene dada por la solución de las siguientes ecuaciones: Este teorema no sólo dice cuándo existe distribución estacionaria (en los casos finitos), sino que además nos dice cómo calcularla.

Nomenclatura para las ecuaciones A las primeras ecuaciones del teorema se les llama ecuaciones de equilibrio, porque expresan que lo que “sale” de j (izquierda) es igual a lo que “entra” en j (derecha): A la última ecuación se le llama ecuación normalizadora, ya que obliga a que el vector formado por los p j esté normalizado (en la norma 1)

Ejemplos Ejemplo: Hallar la distribución estacionaria (si existe) del ejemplo de la línea telefónica. 0 1 0,9 0,1 0,3 0,7 1º Comprobar que la CM es finita y ergódica, para así saber que existe la distribución estacionaria. Lo es, con lo cual dicha distribución existe.

Ejemplos O lo que es más fácil, 3º Plantear la ecuación normalizadora: 2º Plantear las ecuaciones de equilibrio (una por nodo):

Ejemplos 4º Resolver el sistema. Hay dos métodos: Utilizar un algoritmo estándar de sistemas de ecuaciones lienales para resolver todas las ecuaciones conjuntamente, por ejemplo, Gauss. El sistema debe tener solución única. En nuestro caso,

Ejemplos La solución verdadera será de la forma (3k,k) T . Aplicando la normalizadora, Con lo cual la solución verdadera es (0’75,0’25) T Encontrar una solución cualquiera de las ecuaciones de equilibrio. Para ello le daremos un valor no nulo a nuestra elección a una sola de las incógnitas. Una vez conseguida esa solución, la solución verdadera será un múltiplo de ella (usaremos la normalizadora). En nuestro caso, haciendo p 1 =1,

Ejemplos Ejemplo: Hallar, si existe, la distribución estacionaria para esta CM con S={1, 2, 3}:

Ejemplos 1 3 2 1º Dibujamos el DTE y así comprobamos más fácilmente que la CM es finita y ergódica:

Ejemplos 2º y 3º Planteamos las ecuaciones: 4º Resolvemos. Para ello fijamos p 1 =1 y hallamos una solución para las ecuaciones de equilibrio:

Ejemplos Por tanto la solución verdadera será de la forma: Normalizamos y obtenemos la solución verdadera:

Ejemplos Ejemplo: Hallar la distribución estacionaria, si existe, en el ejemplo del buffer . 1º Ya vimos que la CM es finita y ergódica 2º y 3º Planteamos las ecuaciones de equilibrio nodo a nodo y expresándolas como “salidas”=“entradas” (usar Q T sería más difícil):

Ejemplos 4º Podemos despejar p i en la ecuación de cada nodo i, y así observamos que los p i forman una progresión geométrica, cuya razón llamaremos  :

Ejemplos Usando la suma de los M–1 primeros términos de una sucesión geométrica y la ecuación normalizadora, llegamos a la solución:

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