Spline cubico
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Este documento aborda el uso de splines cúbicos en problemas de interpolación, destacando sus ventajas sobre polinomios de grado elevado. Explica la construcción de splines cúbicos a través de polinomios de tercer grado y las condiciones de continuidad necesarias entre intervalos. Además, se presenta un ejemplo práctico que ilustra cómo resolver un sistema de ecuaciones para determinar los coeficientes de los splines a partir de datos tabulados.
![Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y
cubico
En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos
los Splines en [m,n] tiene grado 3.
Esto quiere decir, que va a tener la forma
P(x) = ax³ + bx² + cx +](https://image.slidesharecdn.com/splinecubico-150411020604-conversion-gate01/85/Spline-cubico-5-320.jpg)
![La forma
de
soluciona
r esto,
determina
el
carácter
de los
splines
cúbicos.
Así,
podemos
Splines cúbicos naturales: La forma
más típica. La derivada segunda de P se
hace 0 para el primer y último punto
sobre el que está definido el conjunto de
Splines, esto son, los puntos m y n en el
intervalo [m,n].
Dar los valores de la derivada
segunda de m y n de forma
"manual", en el conjunto de
splines definidos en el intervalo
[m,n].
Hacer iguales los valores de la
derivada segunda de m y n en
el conjunto de splines definidos
en el intervalo [m,n]](https://image.slidesharecdn.com/splinecubico-150411020604-conversion-gate01/85/Spline-cubico-7-320.jpg)
![:Ecuación de interpolación
El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un
excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente
complejo.
Sobre cada intervalo , S está definido por un
polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el
intervalo [ti,ti+1], por tanto:](https://image.slidesharecdn.com/splinecubico-150411020604-conversion-gate01/85/Spline-cubico-8-320.jpg)
Spline cubico
- 1. Universidad Politécnica del Golfo de México
- 2. Frida Miguel Monzalvo Navarrete Diego Mariano Espinosa Casso Melisa Priego Rodríguez Samuel Alberto Leal González Elda Patricia Torruco Cordova Adriana Lorena López Julia Xunaaxi del Cármen Segura Segura ISAI 5B Métodos Numéricos Spline Cubico
- 3. un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.
- 4. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.
- 5. Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y cubico En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx +
- 6. En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la segunda derivada : Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos P(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por
- 7. La forma de soluciona r esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]
- 8. :Ecuación de interpolación El spline cúbico (k=3) es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo. Sobre cada intervalo , S está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo [ti,ti+1], por tanto:
- 9. Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple: Si-1(ti) = yi = Si(ti) por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico.
- 10. Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No vamos a obtener esta expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito de estos apuntes. Simplemente diremos que la expresión resultante es: En la expresión anterior, hi=ti+1-ti y son incógnitas. Para determinar sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas funciones. El resultado (que tampoco vamos a demostrar) es:
- 11. La ecuación anterior, con genera un sistema de n-1ecuaciones lineales con n+1 incógnitas . Podemos elegir z0 y z1 de forma arbitraria y resolver sistema de ecuaciones resultante para obtener los valores de una elección especialmente adecuada es hacer z0=z1=0. La función spline resultante se denomina spline cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en forma matricial es: (70)
- 12. • Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra la evolución de la temperatura en Hong-Kong (y) cada dos horas (x). X Y 2 8 4 8 6 7 8 8 10 14 12 15 Utilizamos la siguiente fórmula para encontrar el número de ecuaciones e incógnitas que encontraremos: (n-1)*4 Donde n es el número de datos en la tabla: N= 6 (n-1)*4= (6-1)*4 =20 20 Número de ecuaciones y variables
- 13. • Para facilitar la identificación de los intervalos podemos dibujar una recta. x 2 4 6 8 10 12 5 intervalos Intervalos (2,4) (4,6) (6,8) (8,10) (10,12) Hacemos que se cumpla la condición de que el spline tiene que pasar por los puntos dados en la tabla. Luego se define un polinomio cúbico para cada valor de los intervalos. S(x)= ax³+bx²+cx+d Y sustituimos el valor correspondiente de “y” en a, b, c y d.
- 14. El subíndice de las variables a, b, c, y d dependerán del intervalo en el que se encuentre el valor para el que asignamos el polinomio.
- 15. Una discontinuidad es un punto donde se cambia de intervalo, esto afecta la función del spline, y para evitarlo las evaluamos con la primera y segunda derivada de la función: S(x)= ax³+bx²+cx+d S’(x)= 3ax²+2bx+c Primera derivada S’’(x)= 6ax+2b Segunda derivada En este caso, las discontinuidades son : (4, 6, 8, 10). Después evaluaremos la primera derivada con estos valores.
- 16. Para x=4 S’(x)= 3a(4)²+2b(4)+c = 48a1+8b1+c1 = 48a2+8b2+c2 Para x=6 S’(x)= 3a(6)²+2b(6)+c= 108a2+12b2+c2 = 108a3+12b3+c3 Para x=8 S’(x)= 3a(8)²+2b(8)+c= 192a3+16b3+c3 = 192a4+16b4+c4 Para x=10 S’(x)= 3a(10)²+2b(10)+c = 300a4+20b4+c4 = 300a5+20b5+c5 Ya que se trata de una discontinuidad tenemos que tomar en cuenta que forma parte de dos intervalos y que este no cambia de un polinomio a otro, es por eso que se da la igualdad.
- 17. Continuamos con la evaluación ahora con la segunda derivada de la función: Para x=4 S’’(x)= 6a(4)+2b = 24a1+2b1 = 24a2+2b2 Para x=6 S’’(x)= 6a(6)+2b = 36a2+2b2 = 36a3+2b3 Para x=8 S’’(x)= 6a(8)+2b = 48a3+2b3 = 48a4+2b4 Para x=10 S’’(x)= 6a(10)+2b = 60a4+2b4 = 60a5+2b5
- 18. Para cumplir con nuestras 20 ecuaciones debemos obtener dos mas y agregarlas a las 18 que ya conocemos, para eso asignaremos las siguientes condiciones: S’’(x0)= o y S’’(xn)=0 X0= Punto inicial Xn= Punto final S’’(2)= 6a(2)+2b 12a1+2b1=0 S’’(12)= 6a(12)+2b 72a5+2b5=0 Con esto tenemos ya nuestras 20 ecuaciones y 20 incógnitas, lo siguiente será acomodarlas en una matriz cuadrada para su resolución.
- 20. De la matriz anterior obtenemos los siguientes resultados:
- 21. Sustituimos los valores en la función inicial y obtenemos los siguientes splines:
- 22. :Gracias: