Interpolacion daniela
- 1. Republica Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Fermín Toro Núcleo Portuguesa Ing. en Computación Estudiante Daniela Alvarado Cl:23052381 Araure 9 de febrero del 2013
- 2. INTERPOLACIÓN Es una función polinomio que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible; muy importante es la interpolación por funciones polinomia les. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único. Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación. Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica. LA INTERPOLACIÓN LINEAL Es un método de conexión usando polinomios lineales de curva. La contribución de interpolación lineal de interpelantes lineales entre cada par de puntos de datos para establece datos puntos pueden calcularse mediante la fórmula general La interpolación lineal: 2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1 y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Consiste en efectuar la aproximación a través de un polinomio de segundo grado. El proceso de interpolación consiste en, tomando tres puntos conocidos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), encontrar la ecuación de una parábola y=a2.x2+a1.x+a0 que pase por ellos. Los coeficientes de este polinomio se calculan resolviendo el sistema que resulta de sustituir en la expresión anterior las coordenadas de los puntos conocidos :
- 3. TABLA DE DIFERENCIAS Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo): x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x) 0,0 0,000 0,203 0,2 0,203 0,017 0,220 0,024 0,4 0,423 0,041 0,020 0,261 0,044 0,6 0,684 0,085 0,052 0,346 0,096 0,8 1,030 0,181 0,211 0,527 0,307 1,0 1,557 0,488 1,015 1,2 2,572 MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:
- 4. Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado. El polinomio de grado resultante tendrá la forma definiendo como y definiendo como Los coeficientes son las llamadas diferencias divididas. Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a . Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función . queda definido, como: Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas. Para datos tabulados en forma espaciada o no espaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- 5. INTERPOLACIÓN DE HERMITE Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada sub intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. POLINOMIO INTERPOLARTE DE LAGRANGE Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: donde se supone que si xi ¹ xj. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolarte de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento. INTERPOLACIÓN DE SPLINES Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. FUNCIONES SPLINES CUBICAS Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3). Dados los n 1 datos:
- 6. Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función s(x) definida como sigue : s0 x si x x0 , x1 s x si x x1 , x2 s x 1 sn 1 x si x xn 1 , xn donde cada si x es un polinomio cúbico; si xi yi , para toda i 0,1,, n y tal que sx tiene primera y segunda derivadas continuas en x0 , xn . ERRORES DE LA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si la función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio de interpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de truncamiento