![Nociones preliminares.
Es una circunstancia en la que se genera un obstáculo al curso normal de las cosas. Su etimología
nos demuestra que un problema es aquel que requiere de solución. A nivel social, el concepto más
genérico de problema puede ser vertido en cualquier campo, porque en teoría, problemas existen
en todos lados.
Primeras derivadas de los polinomios interpolantes.
Sea f una función continua en [a, b] de la que se conoce el valor que toma en n+1 puntos distintos
(nodos): x x0 x1. . . xn y y0 y1. . . yn Se trata de calcular el valor aproximado de f en cualquier otro
punto. Si no se dispone de más información acerca de f, se busca una función, P, de un conjunto de
funciones, que en cada punto xi tome el valor yi, (i = 0,. . ., n). El conjunto de funciones que se toma
es el conjunto de polinomios de grado ≤ n (dados n+1 nodos), porque: 1. Los polinomios aproximan
de manera uniforme a las funciones continuas (dada una función cualquiera, definida y continua en
un intervalo cerrado, existe un polinomio “tan próximo” a la función como se desee). 2. La derivada
y la primitiva de un polinomio son fáciles de determinar y también son polinomios. Los polinomios
de Taylor concentran toda la información en un solo punto x0 (lo que limita su uso al caso de
aproximaciones en puntos cercanos a x0). Normalmente resulta más conveniente usar métodos que
incluyan información en diversos puntos como es el caso de la interpolación.
Extrapolación de Richardson
Desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia
convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente
para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma
mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la
serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el
método de Romberg.
Fórmulas de integración de Newton-Cotes.
Son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio en las cuales se evalúa la
función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuantos más
intervalos se divida la función más preciso será el resultado. Este método es eficiente si se conocen
los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los
cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más
eficientes.
Regla del trapecio.
Es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una
integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de {displaystyle f(x)} por el de
la función lineal, que pasa a través de los puntos {displaystyle (a, f(a))} y {displaystyle (b, f (b))}. La
integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.](https://image.slidesharecdn.com/slideshareanalisisnumerico-200323124207/85/Slideshare-analisis-numerico-2-320.jpg)
Slideshare analisis numerico
- 1. República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín toro Vice-rectorado académico Escuela De Computación Barquisimeto-Lara ANALISIS NUMERICO. Antonio Apóstol 26260064
- 2. Nociones preliminares. Es una circunstancia en la que se genera un obstáculo al curso normal de las cosas. Su etimología nos demuestra que un problema es aquel que requiere de solución. A nivel social, el concepto más genérico de problema puede ser vertido en cualquier campo, porque en teoría, problemas existen en todos lados. Primeras derivadas de los polinomios interpolantes. Sea f una función continua en [a, b] de la que se conoce el valor que toma en n+1 puntos distintos (nodos): x x0 x1. . . xn y y0 y1. . . yn Se trata de calcular el valor aproximado de f en cualquier otro punto. Si no se dispone de más información acerca de f, se busca una función, P, de un conjunto de funciones, que en cada punto xi tome el valor yi, (i = 0,. . ., n). El conjunto de funciones que se toma es el conjunto de polinomios de grado ≤ n (dados n+1 nodos), porque: 1. Los polinomios aproximan de manera uniforme a las funciones continuas (dada una función cualquiera, definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio “tan próximo” a la función como se desee). 2. La derivada y la primitiva de un polinomio son fáciles de determinar y también son polinomios. Los polinomios de Taylor concentran toda la información en un solo punto x0 (lo que limita su uso al caso de aproximaciones en puntos cercanos a x0). Normalmente resulta más conveniente usar métodos que incluyan información en diversos puntos como es el caso de la interpolación. Extrapolación de Richardson Desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg. Fórmulas de integración de Newton-Cotes. Son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más preciso será el resultado. Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes. Regla del trapecio. Es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de {displaystyle f(x)} por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos {displaystyle (a, f(a))} y {displaystyle (b, f (b))}. La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.
- 3. Integración de Romberg. Genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente: {displaystyle int _ {a} ^ {b} f(x), dx} usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw– Curtis son más adecuados.