![Retomando el polinomio interpolante de Newton:
Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ... +an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1)
Observamos que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de ƒ
en xi, i=0,1,2,...,nentonces P(xi) = ƒ(xi), en particular Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Si se usa
la notación de diferencia dividida a0= ƒ[x0]. Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0),
como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces reemplazando se tiene
ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x11–x0), donde
Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[x0, x1].
De manera similar cuando se evalúa Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = ƒ[x0, x1, x2]. En
general ai = ƒ[x0 ,x1 ,x2, ..., xi], y el polinomio interpólate de Newton se escribe
como:
(2)
En la formula se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes
del polinomio interpólate de Newton para 4 pares de valores (x, ƒ(x)) Los
elementos de la diagonal en la formula son los coeficientes del polinomio
interpólate de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.](https://image.slidesharecdn.com/interpolacinalejandro-130209205932-phpapp02/85/Interpolacion-alejandro-5-320.jpg)
Interpolación alejandro
- 1. Republica Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Fermín Toro Núcleo Portuguesa Ing. en Computación Estudiante Alejandro riera Cl:24023666 Araure 9 de febrero del 2013
- 2. INTERPOLACIÓN Son los nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. Pero en la función interpólate de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación la interpolación por medio despline o la interpolación poli nómica de Hermite. INTERPOLACIÓN LINEAL se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula: La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no muy precisa. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide POLINOMIO INTERPOLARTE DE GAUSS Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpelante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de cruzada, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de cruzada. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de cruzada, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de cruzada iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolarte de Gauss. INTERPOLACIÓN DE HERMITE En algunas aplicaciones que se precisan a una interpolación que trabaja con datos ya escritos de la función y su derivadas en una serie de puntos con el
- 3. objeto de aumentar la aproximación de los puntos . dentro de estas clases de método esta la interpolación de hermite INTERPOLACIÓN DE SPLINES Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un sub intervalo, que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad. Supongamos que disponemos de n+1 puntos, a los que denominaremos nudos, tales que . Supongamos además que se ha fijado un entero . Decimos entonces que una función spline de grado k con nudos en es una función S que satisface las condiciones: o en cada intervalo , S es un polinomio de grado menor o igual a k. o S tiene una derivada de orden (k-1) continua en . Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente: TIPO DE INTERPOLACIÓN DE SPLINES Trazadores lineales La unión más simple entre dos puntos es una línea recta Trazadores (splines) cuadráticos: Para asegurar que las derivadas m- ésimas sean continuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usan con más frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segunda derivadas continuas.
- 4. Trazadores cúbicos : es el spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo. POLINOMIO INTERPOLARTE DE LAGRANGE Este método de interpolación consiste en encontrar una función que pase a través de n puntos dados. Un polinomio en series de potencias es g(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn La formula de interpolación de Lagrange de orden n es MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON La forma general del polinomio interpólate de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es: Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas. La notación para las diferencias divididas de una función ƒ(x) están dadas por: Las diferencias divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente regla recursiva:
- 5. Retomando el polinomio interpolante de Newton: Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ... +an(x – x0)(x – x1)…(x – xn-1) Observamos que Pn(x0) = a0. Como Pn(x) interpola los valores de ƒ en xi, i=0,1,2,...,nentonces P(xi) = ƒ(xi), en particular Pn(x0) = ƒ(x0) = a0. Si se usa la notación de diferencia dividida a0= ƒ[x0]. Ahora, Pn(x1)= a0 + a1(x1 – x0), como Pn(x1)= ƒ(x1) y a0= ƒ(x0), entonces reemplazando se tiene ƒ(x1)=ƒ(x0) + a1(x11–x0), donde Si se usa la notación de diferencia dividida a1= ƒ[x0, x1]. De manera similar cuando se evalúa Pn(x) en x = x2 se obtiene a2 = ƒ[x0, x1, x2]. En general ai = ƒ[x0 ,x1 ,x2, ..., xi], y el polinomio interpólate de Newton se escribe como: (2) En la formula se muestra la forma recursiva para calcular los coeficientes del polinomio interpólate de Newton para 4 pares de valores (x, ƒ(x)) Los elementos de la diagonal en la formula son los coeficientes del polinomio interpólate de Newton para el caso de un polinomio de grado 3.