![b) Spline Cuadrática: Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline
tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c
Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N
son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a
asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser
continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar
cómo condiciones:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos
Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de
estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función
definida a trozos que pasa por tal punto común.
Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?.
Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres
puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total.
Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco:
cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo),
y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).
Se necesita una sexta ecuación, ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de
la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).
c) Spline Cubica: Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n]
tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d
En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva
condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos
Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de
estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función
definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto
siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal
punto común.
Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos
va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que
tenemos.](https://image.slidesharecdn.com/infjarch-150920123004-lva1-app6892/85/INF_JARCH-4-320.jpg)
![La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos
usar:
Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el
primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos
m y n en el intervalo [m,n].
Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines
definidos en el intervalo [m,n].
Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos
en el intervalo [m,n].
Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada
primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de
Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].
Interpolación de Lagrange
Interpolación Polinómica
Objetivo
Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas
x): (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn). Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica
que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase
por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.
Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de interpolación de
Lagrange. (Lagrange publicó su fórmula en 1795 pero ya había sido publicada en 1779 por
Waring y redescubierta por Euler en 1783).
Definición
Dado un conjunto de k + 1 puntos: (xo,yo), …, (xk,yk) donde todos los xj se asumen
distintos.
La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es
Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:](https://image.slidesharecdn.com/infjarch-150920123004-lva1-app6892/85/INF_JARCH-5-320.jpg)
![Fórmula del error . Acotación
Objetivo
1. Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error de interpolación en el
proceso de interpolación polinómica de Lagrange
2. Obtener cotas del error de interpolación de Lagrange
Definición
A veces se tiene suficiente información de la función a interpolar y es posible
conocer una cota del error cometido en la interpolación. Esto ocurre, por ejemplo, cuando
se desea elaborar unas tablas de una función conocida para después calcular sus valores en
puntos intermedios mediante interpolación. En estos casos puede ser de utilidad el siguiente
teorema.
Teorema
Hipótesis:
f [a,b] -> R
f(x) es continua en [a,b]
f(X) es n+1 veces derivable en [a,b]
xo,x1,…,xn ∈ [a,b] y son distintos dos a dos;
P es el único polinomio de grado ≤ n tal que P(xi) = f (xi) para i = 0,1,…,n y x ∈ [a,b]
Tesis:
∃ ξ ∈ [a,b] tal que f(x).P(x) =
Acotación
Si existe (y además conocemos) una cota (M) de la derivada n+1-ésima de f(x) en
[a,b] , podremos acotar el error de la interpolación mediante la siguiente expresión:
Se observa en la gráfica de la cota del error que ésta es menor en la zona central de
los puntos base. Las zonas a la izquierda de xo y a la derecha de x4 no son de interpolación,
sino de extrapolación, y la gráfica da una idea de la falta de exactitud en la zona de
extrapolación, pues el error puede crecer indefinidamente si nos alejamos de la zona de
interpolación.](https://image.slidesharecdn.com/infjarch-150920123004-lva1-app6892/85/INF_JARCH-8-320.jpg)
![Interpolación de Newton
Diferencias Divididas
Introducción
Para comenzar a explicar lo que es una diferencia dividida primero debemos conocer
lo que es un soporte equidistante. Para un cierto valor positivo de h se denomina soporte
equidistante a todo soporte de puntos generado a partir de un cierto x0, tal que:
xi = x0+ i·h (i = 1,2,…,n)
Un soporte equidistante se caracteriza, como su propio nombre indica, en que todos
los puntos tienen la misma separación.
Definición
Se denomina Diferencia Dividida a la constante Cn resultante de
En las diferencias divididas de la función f(x), el soporte es{x0,x1,…,xn-1,xn}yse representa
por:f[x0,x1,…,xn-1,xn]
Propiedades
El orden en el que estén ordenados los valores del soporte no altera el resultado
final.
La relación entre las diferencias divididas verifica:
Fórmula de Newton
Por medio de las diferencias divididas podemos deducir el polinomio interpolador
de Newton, que se representa por la siguiente expresión:](https://image.slidesharecdn.com/infjarch-150920123004-lva1-app6892/85/INF_JARCH-9-320.jpg)
![Para calcular diferencias finitas regresivas, haremos uso de la siguiente tabla:
Las diferencias finitas progresivas guardan cierta relación con las regresivas, como
podemos ver a continuación:
Diferencias finitas progresivas
Diferencias finitas regresivas
Interpolación de Hermite
Objetivo
El objetivo de Hermite es minimizar el error producido en la interpolación de
Lagrange de la función f(x) sobre el intervalo [a, b] sin aumentar el grado del polinomio
interpolador.
Definición
Dados un entero no negativo N, N + 1 puntos (x0, … , xN) de la recta distintos dos a
dos y los valores f(j)(xi), 0< i< N, 0< j< ki-1 de una función f y de sus derivadas, encontrar un
polinomio de grado m = (k0 +k1 +· · ·+kn-1,) tal que:
P(j)(xi) = f(j)(xi), 0 < i < N, 0< j < ki-j
Teorema
El problema de interpolación de Hermite tiene solución única, que se llama polinomio
interpolador de Hermite.](https://image.slidesharecdn.com/infjarch-150920123004-lva1-app6892/85/INF_JARCH-11-320.jpg)
INF_JARCH
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD “FERMIN TORO” CABUDARE ESTADO LARA TEORIA DE LA INTERPOLACIÓN AUTOR JESÚS ARMANDO RODRÍGUEZ 18.546.595 INGENIERÍA ELECTRICA SAIA-A SEPTIEMBRE DEL 2015
- 2. Teoría de la Interpolación En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. Interpolación segmentaria o splines En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. Spline El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. Tipos a) Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta.
- 3. Dados los n+1 puntos: Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras: Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:
- 4. b) Spline Cuadrática: Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x). Se necesita una sexta ecuación, ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x). c) Spline Cubica: Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.
- 5. La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]. Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n]. Interpolación de Lagrange Interpolación Polinómica Objetivo Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x): (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn). Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación. Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de interpolación de Lagrange. (Lagrange publicó su fórmula en 1795 pero ya había sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en 1783). Definición Dado un conjunto de k + 1 puntos: (xo,yo), …, (xk,yk) donde todos los xj se asumen distintos. La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:
- 6. Expandiendo el producto para verlo mejor: Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad: Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los n+1 puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolación). Demostración La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k. El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros. Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador. Fórmula de Lagrange La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones: 1. Primera forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: resolviendo un sistema de (n+1) ecuaciones llegamos a la matriz de Van der Monde (si los puntos del soporte son distintos es no singular, solución única del sistema) 2. Segunda forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: fórmula de Lagrange, el aspecto de las funciones de base de Lagrange (polinomios de Lagrange) depende del nº de puntos de soporte Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:
- 7. Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.
- 8. Fórmula del error . Acotación Objetivo 1. Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error de interpolación en el proceso de interpolación polinómica de Lagrange 2. Obtener cotas del error de interpolación de Lagrange Definición A veces se tiene suficiente información de la función a interpolar y es posible conocer una cota del error cometido en la interpolación. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se desea elaborar unas tablas de una función conocida para después calcular sus valores en puntos intermedios mediante interpolación. En estos casos puede ser de utilidad el siguiente teorema. Teorema Hipótesis: f [a,b] -> R f(x) es continua en [a,b] f(X) es n+1 veces derivable en [a,b] xo,x1,…,xn ∈ [a,b] y son distintos dos a dos; P es el único polinomio de grado ≤ n tal que P(xi) = f (xi) para i = 0,1,…,n y x ∈ [a,b] Tesis: ∃ ξ ∈ [a,b] tal que f(x).P(x) = Acotación Si existe (y además conocemos) una cota (M) de la derivada n+1-ésima de f(x) en [a,b] , podremos acotar el error de la interpolación mediante la siguiente expresión: Se observa en la gráfica de la cota del error que ésta es menor en la zona central de los puntos base. Las zonas a la izquierda de xo y a la derecha de x4 no son de interpolación, sino de extrapolación, y la gráfica da una idea de la falta de exactitud en la zona de extrapolación, pues el error puede crecer indefinidamente si nos alejamos de la zona de interpolación.
- 9. Interpolación de Newton Diferencias Divididas Introducción Para comenzar a explicar lo que es una diferencia dividida primero debemos conocer lo que es un soporte equidistante. Para un cierto valor positivo de h se denomina soporte equidistante a todo soporte de puntos generado a partir de un cierto x0, tal que: xi = x0+ i·h (i = 1,2,…,n) Un soporte equidistante se caracteriza, como su propio nombre indica, en que todos los puntos tienen la misma separación. Definición Se denomina Diferencia Dividida a la constante Cn resultante de En las diferencias divididas de la función f(x), el soporte es{x0,x1,…,xn-1,xn}yse representa por:f[x0,x1,…,xn-1,xn] Propiedades El orden en el que estén ordenados los valores del soporte no altera el resultado final. La relación entre las diferencias divididas verifica: Fórmula de Newton Por medio de las diferencias divididas podemos deducir el polinomio interpolador de Newton, que se representa por la siguiente expresión:
- 10. Un método para conseguir esta expresión es mediante la tabla de Frasser-Logenze. Diferencias Finitas Podemos distinguir entre diferencias finitas progresivas y regresivas. Diferencias Finitas Progresivas Se denomina diferencia finita progresiva de un orden determinado a la siguiente expresión: y, particularizando para m=0, nos queda: Para calcular diferencias finitas progresivas, haremos uso de la siguiente tabla: Diferencias Finitas Regresivas Se denomina diferencia finita regresiva de un orden determinado a la siguiente expresión: mfi= m-1fi- m-1fi-1 (i = m, m+1, …,n)
- 11. Para calcular diferencias finitas regresivas, haremos uso de la siguiente tabla: Las diferencias finitas progresivas guardan cierta relación con las regresivas, como podemos ver a continuación: Diferencias finitas progresivas Diferencias finitas regresivas Interpolación de Hermite Objetivo El objetivo de Hermite es minimizar el error producido en la interpolación de Lagrange de la función f(x) sobre el intervalo [a, b] sin aumentar el grado del polinomio interpolador. Definición Dados un entero no negativo N, N + 1 puntos (x0, … , xN) de la recta distintos dos a dos y los valores f(j)(xi), 0< i< N, 0< j< ki-1 de una función f y de sus derivadas, encontrar un polinomio de grado m = (k0 +k1 +· · ·+kn-1,) tal que: P(j)(xi) = f(j)(xi), 0 < i < N, 0< j < ki-j Teorema El problema de interpolación de Hermite tiene solución única, que se llama polinomio interpolador de Hermite.
- 12. Cálculo del Polinomio de Hermite En lugar de interpolar sobre un soporte de puntos (de Tchebycheff) donde en general se desconoce el valor de la función, de hace de otra manera, imponiendo unas condiciones al polinomio: 1. Igualar el valor de la función en en los puntos del soporte, p(xi) = f(xi) 2. Igualar el valor de algunas derivadas de la función también en los puntos del soporte, p(j)(xi)=f (j)(xi) Por lo que podemos dejar el polinomio de Hermite de grado (n-1) expresado de la siguiente manera: Tipos Interpolación de Hermite de primer orden: Se puede expresar el polinomio interpolador de Hermite de primer orden de la siguiente forma: donde B0,i(x), se calculan con la siguiente fórmula: donde Li(x) son los polinomios de la base de Lagrange.
- 13. Otras Formas de Interpolación Existen otros métodos de interpolación no-polinómica que proporcionan aproximaciones de funciones de las cuales conocemos información limitada. En el mismo contexto que la interpolación polinómica, contamos con la interpolación racional y la interpolación trigonométrica, que consisten en aproximar funciones por cocientes de polinomios y por polinomios trigonométricos respectivamente. La segunda es especialmente útil para funciones con valores en el cuerpo de los números complejos . También es frecuente el uso de wavelets (ondaletas). Cuando el conjunto de las abscisas es infinito, podemos recurrir a la Fórmula de Interpolación de Whittaker-Shannon. Cuando estamos trabajando con funciones de varias variables, disponemos de la interpolación multivariable para conseguir aproximaciones de las mismas. Entre los métodos de interpolación multivariable, destacar la interpolación bilineal y la interpolación bicúbica para funciones de dos variables y la interpolación trilineal para funciones de tres variables. La interpolación de funciones, a menudo no consiste un problema por sí solo sino que suele tratarse de un paso dentro de la resolución de problemas mayores. Es habitual usarla como paso previo en la derivación numérica y en la integración numérica. En el segundo caso, necesitamos realizar una partición del intervalo de definición de la función que queremos integrar, de modo que haya suficientes abscisas para que el error sea razonablemente pequeño. Sin embargo, puede que no tengamos datos acerca de algunas de las abscisas que separan los subintervalos. Cuando esto ocurra, tendremos que resolver un problema de extrapolación (método de extrapolación de Richardson). Otros problemas relacionados con la interpolación son la aproximación de funciones y el cálculo de ceros de funciones no lineales.
- 14. Referencias Bibliográficas 1. J. Scott Armstrong and Fred Collopy (1993). «Causal Forces: Structuring Knowledge for Time-series Extrapolation». Journal of Forecasting 12: 103–115. 2. Volver arriba↑ AIDSCJDUK.info Main Index 3. Volver arriba↑ J. Scott Armstrong (1984). «Forecasting by Extrapolation: Conclusions from Twenty-ve Years of Research». Interfaces 14: 52–66. 4. Volver arriba↑ J. Scott Armstrong, Fred Collopy and J. Thomas Yokum (2004). «Decomposition by Causal Forces: A Procedure for Forecasting Complex Time Series». 5. A. Aubanell, A. Benseny, A. Delshams (1993). Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor/Publicaciones de la UAB. 6. Joaquín M. Ortega Aramburu (2002). Introducció a l'Anàlisi Matemàtica (2a edición, catalán). Publicacions de la UAB. 7. Burden, R.L., Faires, J.D., Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoamericano, 1985.