![UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA “
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
Trazadores cúbico “Spline”
El objetivo de los spline es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos,
con la finalidad de minimizar los errores de redondeo que pudieran aparecer al utilizar cualquiera de
los métodos de interpolación ya estudiados.
De estas nuevas funciones generadas se debe cumplir lo siguiente:
1.- Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores.
2.- la primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos.
3.- Las primeras y segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales.
4.- Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero.
Buscamos una función que interpole n puntos datos dados (xi, yi). Suponiéndose que x1 < x2 < ...< xn y
sean x1 = a y xn = b. Entonces se quiere construir una nueva función la cual denotaremos como S(x)
tal que sobre [a,b], se cumpla que S(xi)=yi.
Se quiere que sobre [a,b], S(x) sea una función suave por lo tanto S´(x) y S´´(x) deben ser continuas.
Decir que S(x) sea suave sobre [a,b] implica que la curvatura sea pequeña, eso es equivalente a decir
a S´´(x) dx
b 2
que el valor de: debe ser pequeño.
La solución a lo planteado viene dada mediante una función interpolante que cumpla con dos
condiciones:
La función S(x) es un polinomio cúbico sobre cada subintervalo [xi ,xi+1], i = 1,2,3,...,n –1
S´´(x1)= S´´(xn) = 0
Una función que cumpla con estas condiciones nos lleva a lo que se denomina segmentaria cúbica
natural (Spline natural).
Para construir los Spline en el subintervalo [xi ,xi+1] trabajaremos en base a la siguiente fórmula:
3
S ( x) w y i 1 w y i hi2 w 3 w M i 1 w w M i de donde :
hi es el tamaño del subintervalo donde se va a construir la función cúbica y se obtiene mediante la
siguiente expresión: hi = xi+1 – xi.
x xi
w es el único parámetro que no es constante. w 1 w es el complemento. Las constantes M
hi
son parámetros que se pueden determinar mediante la siguiente ecuación:
hi 1 M i 1 2hi 1 hi M i hi M i 1 i i 1 (*)
y i 1 y i
siendo i
hi](https://image.slidesharecdn.com/trazadorescbicospline-130216111518-phpapp02/85/Trazadores-cubico-spline-1-320.jpg)
Trazadores cúbico spline
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA “ DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA ÁREA DE TECNOLOGÍA Trazadores cúbico “Spline” El objetivo de los spline es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos, con la finalidad de minimizar los errores de redondeo que pudieran aparecer al utilizar cualquiera de los métodos de interpolación ya estudiados. De estas nuevas funciones generadas se debe cumplir lo siguiente: 1.- Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores. 2.- la primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos. 3.- Las primeras y segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. 4.- Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero. Buscamos una función que interpole n puntos datos dados (xi, yi). Suponiéndose que x1 < x2 < ...< xn y sean x1 = a y xn = b. Entonces se quiere construir una nueva función la cual denotaremos como S(x) tal que sobre [a,b], se cumpla que S(xi)=yi. Se quiere que sobre [a,b], S(x) sea una función suave por lo tanto S´(x) y S´´(x) deben ser continuas. Decir que S(x) sea suave sobre [a,b] implica que la curvatura sea pequeña, eso es equivalente a decir a S´´(x) dx b 2 que el valor de: debe ser pequeño. La solución a lo planteado viene dada mediante una función interpolante que cumpla con dos condiciones: La función S(x) es un polinomio cúbico sobre cada subintervalo [xi ,xi+1], i = 1,2,3,...,n –1 S´´(x1)= S´´(xn) = 0 Una función que cumpla con estas condiciones nos lleva a lo que se denomina segmentaria cúbica natural (Spline natural). Para construir los Spline en el subintervalo [xi ,xi+1] trabajaremos en base a la siguiente fórmula: 3 S ( x) w y i 1 w y i hi2 w 3 w M i 1 w w M i de donde : hi es el tamaño del subintervalo donde se va a construir la función cúbica y se obtiene mediante la siguiente expresión: hi = xi+1 – xi. x xi w es el único parámetro que no es constante. w 1 w es el complemento. Las constantes M hi son parámetros que se pueden determinar mediante la siguiente ecuación: hi 1 M i 1 2hi 1 hi M i hi M i 1 i i 1 (*) y i 1 y i siendo i hi
- 2. 2 Con (*) se genera un sistema de n – 2 ecuaciones con n incógnitas que junto con Mo = Mn= 0 determinan un Spline cúbico natural de manera única. Observación: De la definición del polinomio cúbico se tiene: Uno de las dos siguientes condiciones de frontera se satisface: (i) S’’(x1) = S’’(xn) = 0, en este caso la Spline cúbica se denomina Natural (esto es equivalente a decir que Mo = Mn= 0) (ii) Si f es derivable en los extremos tal que S’(x1) = f’(x1) y S’(xn) = f’(xn), se dice entonces que f tiene un adaptador cúbico no natural o fijo. Ejercicio: Dados los puntos (1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3), (4, 1/4) Determine la Spline cúbica natural para este conjunto de puntos con hi = 1. Solución: Como se pide que la Spline sea natural entonces Mo = M3 = 0. Al ser cuatro puntos se tienen tres subintervalos y n = 4, por lo tanto para i = 1,2 se tiene: 3 S ( x) w y i 1 w y i hi2 w 3 w M i 1 w w M i Trabajamos con i = 1 e i = 2 para generar un sistema de ecuaciones que nos permita determinar las M faltantes. y1 y 0 1 / 2 1 1 y 2 y1 1 / 3 1 / 2 1 y3 y 2 1 / 4 1 / 3 1 0 1 2 h0 1 2 h1 1 6 h2 1 12 i=1 0 h0 M 0 2h0 h1 M 1 h1 M 2 1 0 4M1 + M2 = 1/3 (**) i=2 0 h1 M 1 2h1 h2 M 2 h2 M 3 2 1 M1 + 4M2 = 1/12 (***) Como se puede notar (**) y (***) forman un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas cuya solución es: M1 = 1/12 M2 = 0 Los Spline para cada subintervalos serán: 1x2 S ( x) w y 2 w y1 h12 w3 w M 2 w w M 1 3
- 3. 3 x x1 w ( x 1) y w 1 ( x 1) 2 x y se sustituyen en la ecuación para obtener la función hi cúbica: este proceso se repite para los otros spline de los demás subintervalos. S ( x) 1 / 2( x 1) (2 x) ( x 1) 3 ( x 1) 1 / 12 2x3 S ( x) 1 / 3( x 2) 1 / 2(3 x) (3 x) 3 (3 x) 1 / 12 3x4 S ( x) 1 / 4( x 3) 1 / 3(4 x) EJERCICIOS PORPUESTOS 1.- Desarrolle las siguientes funciones en series de Taylor: 1 1 a ) f ( x) a=1 b) f(x) = tan(x) a = 0 c) f ( x) a=0 d) f(x) = ln (1 + x) a = 0 1 x 2 1 x 2.- Desarrolle los siguientes límites utilizando los polinomios de Taylor: senx cos x 1 tan x lim lim 2 lim x0 x x0 x x0 x ex 1 3.- El cociente g ( x) x no está definido para x = 0. aproxime ex usando polinomios de Taylor de grados 1, 2 y 3 y a su vez, determine la definición natural de g(0). 4.- Escriba una fórmula de interpolación lineal que aproxime sen(x) en el intervalo 0 x /4 utilizando los valores en x = 0 y x = /4. grafique el error para determinar el error máximo de la interpolación y en qué x ocurre. 5.- Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a 4 cifras significativas para construir una aproximación de f(1,09) utilizando polinomios de Lagrange. La función que va a ser aproximada es f(x) = log10(tanx). Conociendo lo anterior, calcule una cota del error en la aproximación. X0 = 1.00 X1 = 1.05 X2 = 1.10 X3 = 1.15 6 a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange a través de los siguientes datos: x 0 0,4 0,8 1,2 f(x) 1,0 1,491 2,225 3,320 b) Conociendo fiv(0,6) = 1,822 estime el error en x = 0,2, 0,6 y 1,0 utilizando la fórmula del error en la interpolación de Lagrange con c igual al punto medio.
- 4. 4 a) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de f(x) = ex, evalúe el error de la fórmula de interpolación en x = 0,2, 0,6 y 1,0, usando las fórmulas de error absoluto y relativo. 7.- Para los datos: x -1 0 1 2 y 1/3 1 3 9 Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange b.) El polinomio de Interpolación de Newton c.) El Spline cúbico natural. 8.- Para los datos: x 0 ½ 1 3/2 y 1 2 1 0 Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange b.) El polinomio de Interpolación de Newton c.) El Spline cúbico natural. 9.- Para los datos: x -1 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1 y 0 -0,7 -0,7 0,7 0,7 0 Encuentre: a.) El polinomio de interpolación de Lagrange b.) El polinomio de Interpolación de Newton c.) El Spline cúbico natural. d.) El Spline cúbico no natural. Compare los valores interpolados en x = -0,5 y x = 0,5 con los valores de f(x) = sen(x) 10.- Construya un Spline cúbico no natural para aproximar f(x) = sen(ex – 2) utilizando los valores dados por f(x) en x = 0.7 ; 0.8 ; 0.9 ; 1.0, para aproximar f(0.85). Use las derivadas del Spline para aproximar f ´(0.85), compare las aproximaciones con los valores reales. 11.- Con una función f la fórmula de las diferencias divididas interpolantes de Newton da el polinomio interpolante 16 P3(x) = 1 + 4x + 4x(x – 0.25) + x(x – 0.25)(x – 0.5) 3 En los nodos x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5 y x3 = 0.75. Obtenga f(0.75) 12.- Haga la tabla de difrencias divididas a partir de la siguiente tabla de valores: i 1 2 3 4 5 6 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 1.143 1 0.828 0.667 0.533 0.428 por medio de las fórmulas de Newton, escriba los polinomios de Interpolación ajustados a: a) i = 1,2,3
- 5. 5 b) i = 4,5,6 c) i = 2,3,4,5 13.- Dada la tabla. i 0 1 2 3 xi 1 1.35 1.70 1.90 f(xi) 0 0.30010 0.53063 0.64185 Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.5. utilice un polinomio de Newton de segundo grado. 14.- Cierta función discreta relaciona las variables “x” y “y” a través de la tabla: x 0 1 2 2.5 3 3.5 4 y 2.50 1.15 0.50 1.20 1.50 1.125 0 a. Calcule el valor de y para un x = 1.125 b. Calcule el valor de x que corresponda a un y = 1.089 (Aplique para ambos casos polinomios de Newton y Polinomios de Lagrange). 15.- a.- Construya un Spline cúbico no natural para aproximar f(x) = ln(x4+ 3) utilizando los valores para f(x) dados en x = 0, 0.3, 0.5, 0.75 y 1. b.- Integre el spline sobre 0,1 y compare su resultado con el valor exacto. c.- Use las derivadas del spline para aproximar f´(0,5) y f´´(0,5) compare con los valores verdaderos.