![PROBABILIDADES DE
TRANSICIÓN
De allí que, las probabilidades de transición satisfacen que:
Y esto a su vez, genera la matriz de transición T = [pij], la
cual es de tamaño m x m y se define como:
Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 6](https://image.slidesharecdn.com/cadenasdemarkovblog-121202213448-phpapp02/85/Cadenas-de-markov-blog-6-320.jpg)
![EJEMPLO 3
Aplicando MATLAB se definen:
Ei=[.4, .25, .35]; % Estado Inicial
T=[.6, .2, .2; .3 .5 .2; .3, .3, .4]; % Matriz de Transición
x=Ei*T^6; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la letra T elevado a
la potencia 6, debido a que el estudio es realizado en un semestre
disp(Ei)
% x = 0.4286 0.3214 0.2500; Resultado del producto
plot (x) % Graficar x
Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15](https://image.slidesharecdn.com/cadenasdemarkovblog-121202213448-phpapp02/85/Cadenas-de-markov-blog-19-320.jpg)
![EJEMPLO 4
Aplicando MATLAB se definen:
Ei=[.5, .5] % Estado Inicial
T=[.95, .05; .90 .10]; % Matriz de Transición
x=Ei*T^2; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la letra T
elevado a la potencia 2, debido a que el estudio tiene 2 opciones.
disp(Ei)
% x = 0.9463 0.0538; Resultado del producto
plot (x) % Graficar x
Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15](https://image.slidesharecdn.com/cadenasdemarkovblog-121202213448-phpapp02/85/Cadenas-de-markov-blog-23-320.jpg)
![EJEMPLO 5
Aplicando MATLAB se definen:
Ei=[.4, .25, .35]; % Estado Inicial
T=[.1, .3, .6; .3 .4 .3; .4, .1, .5]; % Matriz de Transición
x=Ei*T^3; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la
letra T elevado a la potencia 2, debido a que el estudio se realiza trimestralmente.
disp(x)
% x = 0.2879 0.2279 0.4843; Resultado del producto
plot (x) % Graficar x
Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15](https://image.slidesharecdn.com/cadenasdemarkovblog-121202213448-phpapp02/85/Cadenas-de-markov-blog-27-320.jpg)
Cadenas de markov blog
- 1. U N I V E R S I DA D NA C I O NA L E X P E R I M E N TA L POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICERECTORADO BARQUISIMETO DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y P O S T- G R A D O Cadenas de Markov Autores: I n g. H é c t o r R . M a r t í n e z I n g. O s k a r J . S á n c h e z Facilitadora: MSc . Marienny A r rieche Barquisimeto, Noviembre 2012
- 2. CADENAS DE MARKOV Definición de Cadenas de Markov Probabilidades de Transición Probabilidad para el n-ésimo estado. Ejemplos Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 2
- 3. CADENAS DE MARKOV Una “CADENA” es un proceso en tiempo discreto en el que una variable aleatoria “Xn” va cambiando con el paso del tiempo X1 X2 X3 X… Xn t Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 3
- 4. CADENAS DE MARKOV En cadenas de Markov, se obedece la propiedad de Markov, la cual establece que: La probabilidad de que Xn= j solo depende del estado inmediatamente anterior Xn-1 Se define una Cadena Homogénea: Cuando las probabilidades no dependen del tiempo en que se considere. Matemáticamente Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 4
- 5. PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN En una cadena homogénea finita de m posibles estados E1, E2, … Em se introduce la notación Sucede porque en cada paso, puede ocurrir algún suceso E1, E2…Em. Los cuales son mutuamente excluyentes. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 5
- 6. PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN De allí que, las probabilidades de transición satisfacen que: Y esto a su vez, genera la matriz de transición T = [pij], la cual es de tamaño m x m y se define como: Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 6
- 7. PROBABILIDAD PARA EL N-ÉSIMO ESTADO. Se refiere a la probabilidad de llegar a Ej después de n pasos, dada una distribución de probabilidad. Se denota , para un sistema que ocupe inicialmente el estado Ei Entonces: es la probabilidad de alcanzar Ej en un solo paso . De allí que considerando el Teorema de la Probabilidad Total, resulta: Probabilidad Inicial Probabilidad de alcanzar Ej en un solo paso Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 7
- 8. PROBABILIDAD PARA EL N-ÉSIMO ESTADO. En forma Vectorial se representan: Probabilidad Inicial Probabilidad de alcanzar Ej en un solo paso El segundo vector permite obtener: Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 8
- 9. PROBABILIDAD PARA EL N-ÉSIMO ESTADO. Y de forma análoga, para un tercer estado: Para el n-ésimo estado: En general: Donde: Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 9
- 10. TRANSICIÓN EN N PASOS. Estado Segundo Estado … Inicial Estado Final Se refiere a cuando un proceso, que inicia en un estado Ei, debe pasar a un estado Ej, y durante su trayecto pasa por n cantidad de estados. Esta analogía, se utiliza para procesos complejos, y variantes . De allí que se justifica su estudio en el campo estocástico. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 10
- 11. TRANSICIÓN EN N PASOS. Se define: Es la probabilidad de que la cadena esté en el estado Ej después de n pasos, dado que la cadena empezó con el estado Ei . La distribución de Probabilidad para este caso viene dada por: Analizando, a través de la Probabilidad Markoviana Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 11
- 12. TRANSICIÓN EN N PASOS. Tomando como referencia 3 EVENTOS que cumplen con la A B C propiedad combinacional De las identidad de la transición en N pasos, se sustituyen: Ecuación de Chapman Kolmogorov Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 10
- 13. EJEMPLO 1 El área de mantenimiento de los Servicios a la Navegación Aérea, clasifica las fallas de los equipos en dos categorías, a saber: Clase A para las fallas que ocurren en forma intermitente, más de la mitad del día y Clase B si lo hace con menos frecuencia. Esta clasificación se obtiene de una secuencia estadística de fallas. Por experiencia, si un día la falla es tipo B, es igual de probable que al día siguiente la falla también lo sea. Entonces, hipotéticamente, si un día cualquiera la falla es tipo A, la probabilidad es de 2/3 de que sea también tipo A al día siguiente. Esta situación permite, representar un proceso de Markov, considerando su dependencia temporal, y no obstante, académicamente, se debe considerar que las fallas solo dependen del día anterior. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 10
- 14. EJEMPLO 1 De allí que se identifican dos estados. La matriz de transición seria determinada por: A B A 1/2 1/2 B 1/3 2/3 De allí que: Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 10
- 15. EJEMPLO 2 Analizando el día actual : Resulta lógico, considerando que solo una condición se dará. El equipo puede falla clasificado Tipo A o B. Si la falla es Tipo B, entonces por ejemplo se podría determinar como será clasificada al tercer día, mediante la relación: De tal manera que: La probabilidad de que al tercer día, sea tipo A es del 0.403 y del tipo B es de 0.597 Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 16. EJEMPLO 3 En Venezuela existen 3 operadores principales de telefonía móvil como lo son: Movilnet, movistar y digitel. Todas estas operadoras representan los estados. Los porcentajes estimados por cada operador en el mercado actual indican que movilnet tiene el 0.4, movistar posee el 0.25 y digitel el 0.35. Todo esto indica el estado inicial. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 17. EJEMPLO 3 Se tiene la siguiente información un usuario actualmente de movilnet tiene una probabilidad de permanecer en movilnet de 0.60, de cambiarse a movistar 0.2 y de pasar a digitel de 0.2; si en la actualidad un usuario el cliente de movistar tiene una probabilidad de mantenerse en la misma del 0.5, de que esta persona se cambie a movilnet 0.3 y que se pase a digitel 0.2; si el usuario es cliente en la actualidad de digitel la probabilidad de que permanezca en digitel es de 0.4 de que se cambie a movilnet de 0.3 y de que se cambie a movistar 0.3. Cabe destacar que el estudio se hace a lo largo de un semestre. Partiendo de esta información podemos elaborar la matriz de transición. La suma de las probabilidades de cada estado debe ser igual a 1. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 18. EJEMPLO 3 Matriz de Transición Movilnet Movistar Digitel E1 Movilnet 0.6 0.2 0.2 =1 E2 Movistar 0.3 0.5 0.2 =1 E3 Digitel 0.3 0.3 0.4 =1 Se requiere graficar el comportamiento de la cadena de Markov a lo largo de 6 meses. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 19. EJEMPLO 3 Aplicando MATLAB se definen: Ei=[.4, .25, .35]; % Estado Inicial T=[.6, .2, .2; .3 .5 .2; .3, .3, .4]; % Matriz de Transición x=Ei*T^6; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la letra T elevado a la potencia 6, debido a que el estudio es realizado en un semestre disp(Ei) % x = 0.4286 0.3214 0.2500; Resultado del producto plot (x) % Graficar x Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 20. EJEMPLO 3 Comportamiento de la Cadena de Markov 0.44 0.42 0.4 0.38 0.36 Probabilidad (P) 0.34 0.32 0.3 0.28 0.26 0.24 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Tiempo (t) Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 21. EJEMPLO 4 Suponga que una aeronave tiene 2 opciones (estados) para aterrizar con la ayuda de los sistemas de la radionavegación aérea en el Aeropuerto Internacional de Barquisimeto, la primera de las opciones es el procedimiento ILS y la segunda es el procedimiento DVOR. El modelo de Markov utiliza: La probabilidad de que utilice el procedimiento ILS es 0.95 y la probabilidad de cola es 0.05. La probabilidad de que utilice el procedimiento DVOR es 0.90 y la probabilidad de cola es 0.10. La probabilidad que utilice uno de los procedimientos es 0.5. Dado a que la aeronave puede aterrizar por la 090 o por la 027 de la pista de aterrizaje, la probabilidad es 0.5. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 22. EJEMPLO 4 Matriz de Transición Se requiere graficar el comportamiento de la cadena de Markov a lo largo de 6 meses. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 23. EJEMPLO 4 Aplicando MATLAB se definen: Ei=[.5, .5] % Estado Inicial T=[.95, .05; .90 .10]; % Matriz de Transición x=Ei*T^2; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la letra T elevado a la potencia 2, debido a que el estudio tiene 2 opciones. disp(Ei) % x = 0.9463 0.0538; Resultado del producto plot (x) % Graficar x Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 24. EJEMPLO 4 Comportamiento de la Cadena de Markov 1 0.9 0.8 0.7 0.6 Probabilidad (P) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Tiempo (t) Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 25. EJEMPLO 5 Considere que el departamento de electrónica clasifica las fallas de un RADAR primario de vigilancia trimestralmente a nivel de potencia, transmisión, recepción y el grupo de antenas. Las probabilidades de que una de las secciones se averíe son: Potencia 0.1. Transmisión 0.4. Recepción 0.5. Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 26. EJEMPLO 5 Matriz de Transición Potencia Transmisión Recepción E1 Potencia 0.1 0.3 0.6 =1 E2 Transmisión 0.3 0.4 0.3 =1 E3 Recepción 0.4 0.1 0.5 =1 Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 27. EJEMPLO 5 Aplicando MATLAB se definen: Ei=[.4, .25, .35]; % Estado Inicial T=[.1, .3, .6; .3 .4 .3; .4, .1, .5]; % Matriz de Transición x=Ei*T^3; % Producto del vector Ei por la matriz de transición definida con la letra T elevado a la potencia 2, debido a que el estudio se realiza trimestralmente. disp(x) % x = 0.2879 0.2279 0.4843; Resultado del producto plot (x) % Graficar x Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 28. EJEMPLO 5 Comportamiento de la Cadena de Markov 0.5 0.45 0.4 Probabilidad (P) 0.35 0.3 0.25 0.2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Tiempo (t) Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15
- 29. GRACIAS Procesos Estocásticos: Cadenas de Markov U.N.E.X.P.O 15