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Tema 1 Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

Investigación Operativa

CONTENIDOS
1.  Procesos Estocásticos y de Markov
2.  Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (CMTD)
3.  Comportamiento de Transición de las CMTD
4.  Comportamiento Estacionario de las CMTD



1. Procesos Estocásticos y de Markov
1.1. Definición de Proceso Estocástico

Un fenómeno aleatorio es un fenómeno empírico que obedece a leyes
probabilísticas en lugar de determinísticas.
Un proceso estocástico es un fenómeno aleatorio que surge en un proceso que se
desarrolla en el tiempo de una manera controlada por medio de leyes
probabilísticas.
Así, un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias que
proporcionan una descripción de la evolución de un determinado fenómeno
físico a través del tiempo.

estado del proceso en el instante t

conjunto de índices del proceso



1.2. Clasificación de los Procesos Estocásticos

Proceso estocástico

Numerable

Proceso estocástico en tiempo discreto

Intervalo de la recta real
Proceso estocástico en tiempo continuo
Espacio de estados del proceso es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la variable aleatoria
Clasificación de Procesos Estocásticos:
Tiempo discreto y espacio de
estados discreto.
Tiempo discreto y espacio de
estados continuo.
Tiempo continuo y espacio de
estados discreto.
Tiempo continuo y espacio de
estados continuo.

Ejemplo: Jugador con 3 € y en cada jugada puede
ganar o perder 1 € con probabilidad p y 1-p. Deja de
jugar cuando tenga 0 o 6 €.
Ejemplo: Cantidad de agua almacenada en un pantano
cada hora.
Ejemplo: Número de ordenadores ocupados.
Ejemplo: m3 de agua almacenada en un pantano en
cada instante.



La Teoría de la Probabilidad se ha centrado fundamentalmente en el estudio
de la independencia y sus consecuencias

Un Proceso de Markov es un proceso estocástico que verifica

Interpretación de un Proceso de Markov:

Futuro

Presente

Pasado

Futuro
Presente
Las predicciones del futuro del proceso, una vez conocido el estado actual,
no pueden mejorar con conocimiento adicional del pasado.



2 Definición de Cadena de Markov en Tiempo Discreto

Cadena es un proceso estocástico con espacio de estados discreto.
Cadena en tiempo discreto es un proceso estocástico en tiempo discreto con
espacio de estados discreto
Cadena en tiempo continuo un proceso estocástico en tiempo continuo con
espacio de estados discreto
Un proceso estocástico {Xn, n = 0, 1, 2,…}es una Cadena de Markov en
Tiempo Discreto (CMTD) si para cada n y xj, j=0,…,n+1, se verifica

La probabilidad de transición en un paso del estado xn al xn+1 en el instante n+1 es:



Sin pérdida de generalidad y para simplificar la notación, escribiremos la
probabilidad de transición en un paso del estado i al estado j en el instante n+1
como
La CMTD se denomina homogénea si pij(n) no depende de n, es decir,

En tales casos escribiremos pij en lugar de pij(n).
La matriz formada por las probabilidades de transición en un paso se denomina
matriz de transición o matriz de probabilidades de transición y toma la forma



P es una matriz cuadrada no negativa cuyas
filas suman la unidad, es decir, 0 ≤ pij ≤ 1 y
∑j pij = 1 para cada i ∈ S. Por lo tanto, P es
una matriz estocástica.
Gráficamente, una CMTD con espacio de estados finito se puede representar
mediante un diagrama de transición, es decir, mediante un grafo dirigido finito,
donde cada nodo representa un estado de la cadena, los arcos representan las
posibles transiciones entre estados y sobre los arcos se indican las probabilidades
de transición entre los estados representados por los nodos unidos por cada arco.
Ejemplo (Sistema de comunicaciones) Consideremos un sistema de
comunicaciones que transmite dígitos 0 y1. Cada dígito debe pasar por varias fases,
en cada una de las cuales hay una probabilidad p de que el dígito que entra coincida
con el que sale. Las fases son independientes entre sí.



Ejemplo (Fiabilidad de un sistema) Se sabe que un sistema fallará o no dependiendo
de si ha fallado o no el día anterior. La probabilidad de que falle un día sabiendo que
ha fallado el día anterior es de 0.7, pero si no ha fallado el día anterior es de 0.2.

Ejemplo (Transformando un proceso en una cadena de Markov) Consideremos de
nuevo el ejemplo de fiabilidad de un sistema en el que ahora suponemos que el
estado en el que se encuentra el sistema un día depende de lo que ha ocurrido los dos
días anteriores. Concretamente, supongamos que si falló ayer y falla hoy, fallará
mañana con probabilidad 0.8; si está fallando hoy pero no ayer, entonces fallará
mañana con probabilidad 0.6; si falló ayer pero no hoy, entonces fallará mañana con
probabilidad 0.4; si no ha fallado ni hoy ni ayer, entonces fallará mañana con
probabilidad 0.1.
Estados: 0 (falló ayer y hoy),
1 (falló ayer pero no hoy),
2 (no falló ayer pero sí hoy),
3 (no falló ni ayer ni hoy).



La distribución de probabilidad inicial de X0 es

Una cadena de Markov queda determinada si se conocen las probabilidades de
transición, pij, y la distribució de probabilidad inicial, π0.



3 Comportamiento de transición

Comencemos esta sección estudiando los tiempos de permanencia de la cadena
en cada estado. Supongamos que la cadena está en el estado i. Entonces,
permanecerá en el estado i en el próximo paso con probabilidad pij y dejará el
estado i con probabilidad 1-pii. Por lo tanto, la probabilidad de que la cadena
permanezca en el estado i exactamente m pasos, supuesto que hemos
comenzado ese estado es piim(1-pii), es decir, el tiempo de permanencia en el
estado i se distribuye geométricamente.
Las probabilidades de transición en n pasos son las probabilidades de
transición del estado i al estado j en n pasos y se denotan como

Por lo tanto,



Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov:

Si denotamos con P(n) la matriz de transición en n pasos, lo que nos están
diciendo las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov es que
P(n+m) = P(n) P(m).
Por lo tanto,

P(2) = P(1) P(1) = PP
P(3) = P(2) P(1) = P3
…



Una vez conocidas las probabilidades de transición en n pasos calculemos la
distribución marginal del paso n-ésimo

Dentemos la distribución de probabilidad en n pasos como:

Entonces

! n = ! 0Pn



Ejemplo (Continuación del ejemplo de Fiabilidad de un sistema)
1.  ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema falle dentro de cuatro días
sabiendo que hoy no ha fallado?
2.  ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema falle el cuarto día sabiendo que
inicialmente la probabilidad de fallar es de 0.4 y la de no fallar es de 0.6?



Estado esperado en el instante n suponiendo que se parte del estado i:

Estado esperado en el instante n:

1.  ¿Cuál es el estado esperado dentro de cuatro días sabiendo que hoy no ha
fallado?
2.  ¿Cuál es el estado esperado para el cuarto día sabiendo que la distribución de
probabilidad inicial es (0.4, 0.6)?


Cálculo de la matriz Pn de forma eficiente:

H matriz de autovectores

D matriz de autovalores




3 Comportamiento Estacionario


Ejemplo. Consideremos la CMTD con matriz de transición

Pn no tiene límite.



Ejemplo. Consideremos la CMTD con matriz de transición

3.1 Clasificación de estados

El estado j es accesible desde el estado i, i ! j
Dos estados i y j comunican, denotado como

Denotemos

si pij(n) > 0 para algún n ≥ 0.

i ! j si son accesibles entre sí.



Proposición. La relación de comunicación es una relación de equivalencia,
es decir, verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Por lo tanto podemos considerar clases de equivalencias con respecto a la
relación de comunicación: dos estados que comunican están en una misma clase
de comunicación.
Si todos los estados de una cadena de Markov comunican entre sí, es decir si la
cadena consta de una sola clase de equivalencia, se dice que es irreducible.



Ejemplo. La cadena de Markov con matriz y diagrama de transición

es irreducible.

Ejemplo. La cadena de Markov con matriz y diagrama de transición

no es irreducible, al tener tres clases de equivalencia: {0,1}, {2} y {3,4}.



El estado i es recurrente si fi = 1, siendo fi la probabilidad de que
comenzando en el estado i, el proceso vuelva a entrar alguna vez en él.
El estado i es transitorio si fi < 1, siendo fi la probabilidad de que
comenzando en el estado i, el proceso vuelva a entrar alguna vez en él.
Proposición. El estado i es recurrente si y sólo si
El estado i es transitorio si y sólo si
Corolario. El estado i es recurrente si y sólo si comenzando en el estado i, el
número esperado de instantes que la cadena está en i es infinito.
Definamos

Entonces, el número de instantes que la cadena
está en el estado i es

y el número esperado de instantes que la cadena está en i es



Corolario. El estado i es transitorio si y sólo si comenzando en el estado i, el
número esperado de instantes que la cadena está en i es finito.
Corolario. En una cadena de Markov con espacio de estados finito no todos los
estados pueden ser transitorios.
Corolario. El estado i es recurrente y j comunica con i, entonces j es recurrente, es
decir, la recurrencia es una propiedad de clase.

Corolario. El estado i es transitorio y j comunica con i, entonces j es transitorio, es
decir, ser transitorio es una propiedad de clase.



Corolario. Todos los estados de una CMTD irreducible finita son recurrentes.
Ejemplo. Consideremos la CMTD con matriz y diagrama de transición.

Cadena finita, irreducible y todos los estados recurrentes.

Tres clases de equivalencia: {0,1} transitoria, {2,3} recurrente y {4} transitoria.



Un estado recurrente i se dice que es recurrente positivo si comenzando en i,
el tiempo esperado hasta que la cadena vuelva al estado i es finito. Por el
contrario, si el tiempo esperado hasta que la cadena vuelva al estado i es finito,
se dice que es recurrente nulo.
Proposición. Si el estado i es recurrente positivo y j comunica con i, entonces j es
recurrente positivo, es decir, la recurrencia positiva es una propiedad de clase.

Corolario. En una cadena de Markov con espacio de estados finito, todos los
estados recurrentes son recurrentes positivos.



Corolario. Todos los estados de una cadena de Markov irreducible pertenecen a la
misma clase, es decir, o bien todos son de transición, o todos son recurrentes nulos
o todos son recurrentes positivos. En particular, si la cadena de Markov es finita
todos los estados son recurrentes positivos.
El estado i tiene periodo d si Pii(n) = 0 cuando n no es divisible por d y d es el
mayor entero con esa propiedad, es decir, d es el máximo común divisor del
conjunto
Un estado con periodo 1 se dice aperiódico. Es decir, el periodo de un estado i de
una cadena de Markov es el máximo común divisor del número de pasos
necesarios para volver al estado i supuesto se ha partido de él.
Proposición. Si el estado i tiene periodo d y j comunica con i, entonces j tiene
periodo d, es decir, la periodicidad es una propiedad de clase.
Todos los estados son
periódicos con periodo 4.



El estado i es absorbente si y sólo si ningún otro estado de la cadena es accesible
desde él, es decir, si Pii = 1.
El estado i es ergódico si es aperiódico y recurrente positivo.
Una cadena es ergódica si todos sus estados son ergódicos.
3.2 Teoremas Límite

El vector de probabilidades de una CMTD se dice estacionario si cualquier
transición de acuerdo con la matriz P no tiene efecto sobre esas probabilidades, es
decir, se verifica



Ejemplo (Continuación del ejemplo de Sistema de comunicaciones)
Consideremos el Ejemplo

Entonces, el vector de probabilidad estacionario se obtiene resolviendo

El vector de probabilidades de una CMTD se dice límite si

El vector de probabilidades de una CMTD se dice el único vector de
probabilidades de equilibrio de la cadena si P n y π n convergen
independientemente de la distribución inicial π0, cada probabilidad es mayor
estrictamente que cero.



Ejemplo (Continuación del ejemplo de Sistema de comunicaciones)
Consideremos el Ejemplo

Existe el único vector de probabilidades de equilibrio.
Si la distribución límite es independiente de π0 es porque se verifica:

Si el único vector de probabilidad de equilibrio existe, puede obtener como:



Ejemplo

Existe un número infinito de vectores de probabilidades estacionarios.
Pn tiene límite
No existe un único vector de probabilidades de equilibrio.

Ejemplo

Existe un único vector de probabilidades estacionario π = (0.5, 0.5).
Pn no tiene límite. Por lo tanto, las probabilidades límite no existen.



Ejemplo

Existe un único vector de probabilidades estacionario π = (0.5, 0.5).
Pn tiene límite
Existe la distribución límite y es independiente de la distribución inicial
Existe un único vector de probabilidades de equilibrio.
Ejemplo
Existe un único vector de probabilidades estacionario π = (0, 1).
Pn tiene límite
Existe la distribución límite y es independiente de la distribución inicial



Teorema. Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov finita,
irreducible y aperiódica, este una única distribución de probabilidad de
equilibrio, es decir, existe una única distribución que satisface

Además, para cualquier distribución inicial π0, tiene

Teorema. Para una cadena de Markov ergódica e irreducible existe límnè∞ pij(n) y
es independiente de i. Además, haciendo πj = límnè∞ pij(n) , entonces πj es la única
solución no negativa de



Ejemplo

La cadena es finita, irreducible y aperiódica. Por lo tanto, existe la distribución de
equilibrio que es obtiene resolviendo

Ahora veremos qué ocurre cuando algunas de las condiciones de los teoremas
anteriores no se verifican, es decir, cuando las cadenas no son irreducibles y
aperiódicas.



En primer lugar, supongamos que P es reducible con clases recurrentes R1, R2,…,
RR y las clases de transición T1, T2,…, Tt. Cada clase recurrente se comporta como
una subcadena de Markov.
Ejemplo



Supongamos ahora que P es irreducible, pero tiene periodo d > 1.
Proposición. Sea una cadena de Markov irreducible, recurrente positiva y periódica
con periodo d >1. Entonces, existe solución única no negativa del sistema

y para cualquier distribución inicial π0

πj representa la fracción de tiempo a largo plazo que la cadena está en el estado j.
mi representa el número esperado de pasos hasta volver a i.




1.  ¿Cuál es la proporción de tiempo, a largo plazo, que la cadena está en cada
uno de los estados?
2.  ¿Cuál es el número medio de iteraciones para que la cadena vuelva al estado i
supuesto que ha partido del estado i?

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