Caos y Wavelets

An´lisis tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas mediante
a o
wavelets
David Arroyo Guardeõ
n

´
Indice

´
Indice 1

1. Introducciń
o 2

2. Caracterizaciń tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas
o o 2
2.1. Wavelet anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Resoluciń tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 2
2.3. Escalograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4. Wavelets por modulaciń de ventanas . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 3
2.5. Crestas wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.6. Detecciń de comportamiento ca´tico en una secuencia . . .
o o . . . . . . . . . . . . . 4

3. Entrop´ ıa 6
3.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1. An´lisis multiresoluciń . . . . . . . . . . . . . . . .
a o . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Entrop´ de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Entrop´ de Tsallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . 9
3.4. Energ´ wavelet relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . 9
3.5. Entrop´ wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . 10
3.6. Entrop´ multiresoluciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa o . . . . . . . . . . . . . 11
3.6.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluciń . . . . .
ıa o . . . . . . . . . . . . . 12
3.7. Entrop´ multiresoluciń continua . . . . . . . . . . . . . . .
ıa o . . . . . . . . . . . . . 15
3.7.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluciń continua
ıa o . . . . . . . . . . . . . 17

4. Conclusiones 19

Referencias 20

1

1. Introducciń
o
El an´lisis de los sistemas ca´ticos se ha efectuado tradicionalmente mediante la determinaciń
a o o
de invariantes como el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst, la entrop´ ıa... El objeto de
este art´
ıculo es presentar las wavelets como una herramienta v´lida para la caracterizaciń de aquel
a o
tipo de sistemas. De forma m´s concreta, se tratar´ de presentar un mecanismo mediante el cual
a a
concluir si una cierta seãl manifiesta o no un comportamiento ca´tico. Tal objetivo ser´ cubierto en
n o a
la primera parte de trabajo mediante el c´lculo y an´lisis de crestas de wavelets. En la segunda parte
a a
del documento se recogen diversas propuestas ([1],[6]-[11]) que explotan la transformada wavelet
como un veh´ ıculo para potenciar el an´lisis de entrop´ de un cierto sistema. La exposiciń que
a ıa o
aqu´ aparece referida constituye un primer acercamiento a las implicaciones de dichas propuestas.
ı

2. Caracterizaciń tiempo-frecuencia de secuencias ca´ticas
o o
En este apartado se van a mostrar los resultados obtenidos al trabajar con lo expuesto en [5].
All´ se presenta el an´lisis de crestas de wavelets como herramienta para detectar el comportamiento
ı a
ca´tico de una cierta secuencia. Lo primero ser´ mostrar el fundamento te´rico de las crestas de una
o a o
transformada wavelet. Por ello, se comienza la secciń definiendo el concepto de wavelet anal´
o ıtica,
pues sobre este tipo de transformada se construye la herramienta objeto del estudio que nos ocupa.
El fin perseguido al explotar la transformada wavelet anal´ ıtica no es otro que el de conseguir una
eficiente localizaciń de tonos, de frecuencias. Esa localizaciń lleva a la concreciń de las llamadas
o o o
crestas de una transformada, que no son m´s que m´ximos locales del m´dulo de la transformada
a a o
wavelet. Se justificar´ por qu´ esos m´ximos locales sirven como elemento localizador de frecuencias.
a e a

2.1. Wavelet anal´
ıtica
Definiciń 2.1. Se dice que un funciń fa ∈ L2 (R) es anal´
o o ıtica si su transformada de Fourier es
nula para frecuencias negativas
Fa (ω) = 0 ∀ω < 0

Corolario 2.2. Una funciń anal´
o ıtica es necesariamente compleja y esta determinada enteramente
∗
por su parte real. En efecto, sea f (t) = fa (t) + fa (t) la parte real de la funciń anal´
o ıtica fa (t). La
transformada de Fourier de f (t) vendr´ dada por
a
∗
Fa (ω) + Fa (−ω)
F (ω) = ,
2
lo que permite expresar
2F (ω) si ω ≥ 0
Fa (ω) = (1)
0 si ω < 0
En definitiva, la funciń anal´
o ıtica fa (t) asociada a una cierta funciń f (t) real se determinar´ cal-
o a
culando la inversa de la transformada de Fourier referida por (1)

2.2. Resoluciń tiempo-frecuencia
o
La transformada wavelet de una cierta funciń f (t) se determinada a partir de una wavelet
o
continua y segń la expresiń:
u o
+∞
1 t−u
W f (u, s) = f, ψu,s = f (t) √ ψ ∗ dt (2)
−∞ s s

donde ψu,s (t) = ψ( t−u ).
s
2 +∞ 2
Suponiendo que ψ(t) est´ centrada en 0, si σt =
a −∞
t |ψ(t)| dt, se tiene que la dispersiń
o
temporal de ψu,s es
+∞
(t − u)2 |ψu,s (t)|2 dt = s2 σt
2
(3)
−∞

Dado que ψ(t) es una funciń anal´
o ıtica, la frecuencia central de su espectro se puede calcular
como
+∞
1 2
η= ω |Ψ(ω)| dω (4)
2π 0

2

La transformada de Fourier de ψu,s es
√
Ψu,s (ω) = sΨ(sω)e−jωu (5)

y, en consecuencia, su frecuencia central ser´ η/s. Por otro lado, se tiene
a
+∞
2 1 2
σω = (ω − η)2 |Ψu,s (ω)| dω, (6)
2π 0

de modo que la dispersiń de potencia en el caso de ψu,s es
o
+∞ 2
1 η 2
2 σω
ω− |Ψu,s (ω)| dω = (7)
2π 0 s s2
En definitiva, la transformada wavelet anal´ ıtica corresponde a una caja de Heisenberg centrada
en (u, η/s), con amplitud en el eje del tiempo s2 σt , mientras que la amplitud en el eje de las
2

frecuencias σω /s. De este modo, el ´rea de la caja ser´ constante e igual a σt σω , aunque la resoluciń
a a o
en tiempo y frecuencia depende del valor de escala s:
A frecuencias mayores, menor valor de escala, mayor resoluciń temporal
o
A frecuencias menores, mayor valor de escala, mayor resoluciń en frecuencia
o

2.3. Escalograma
Definiciń 2.3. Se define el escalograma como la densidad de energ´ encerrada en una caja de
o ıa
Heisenberg ligada a una transformada wavelet anal´
ıtica. Matem´ticamente vendr´ dada como
a a
2
2 η
PW f (u, ξ) = |W f (u, s)| = W f u, (8)
ξ

2.4. Wavelets por modulaciń de ventanas
o
Las wavelets con las que se trabajara, se van a obtener como resultado de la modulaciń de
o
una ventana real y sim´trica g
e
ψ(t) = g(t)eiηt (9)
Al ser g(t) real, su espectro es sim´trico y tiene valor m´ximo en ω = 0. Por tanto, Ψ(ω) alcanza
e a
su valor m´ximo en ω = η y estar´ centrado en ω = η. Para que la funciń obtenida mediante 3.12
a a o
sea anal´
ıtica, es preciso que G(ω) = 0 ∀ |ω| > η
En adelante se considerar´ que g(t) es una ventana gaussiana definida
a
1 2
/(2σ 2 )
g(t) = e−t (10)
(σ 2 π)1/4
La transformada de Fourier de la ventana es
2
ω 2 /2
G(ω) = (4πσ 2 )1/4 e−σ (11)

2.5. Crestas wavelet
Sea g(t) una ventana sim´trica que es distinta de cero s´lo en [−1/2, 1/2]. Sea ∆ω el ancho de
e o
banda de G(ω). Si se define ψ(t) = g(t)e(iηt) , y adem´s se cumple que η > ∆ω entonces
a

∀ω < 0, Ψ(ω) = G(ω − η) << 1.

ψ no es estrictamente anal´
ıtica, pues su transformada de Fourier no es estrictamente nula para
frecuencias negativas.
1 t−u
ψu,s (t) = ψ( ) = gu,s,ξ (t)e−iξu , (12)
(s) s
donde ξ = η/s y
t − u iξt
gs,u,ξ (t) = (s)g( )e . (13)
s
La transformada de wavelet queda

W f (u, s) = f, ψu,s = f, gs,u,ξ eiξu (14)

3

Si se tiene
f (t) = a(t)cosφ(t), (15)
en [3] se demuestra que

(s)
f, gs,u,ξ = a(u)ei[φ(u)−ξu] (G(s[ξ − φ (u)]) + (u, ξ)) , (16)
2
donde (u, ξ) es un t´rmino correctivo que puede despreciarse si a(t) y φ (t) presentan pocas
e
variaciones en el intervalo de definiciń de φu,s y si se cumple φ (u) ≥ ∆ω/s.
o
El escalograma normalizado de la seãl a partir de la wavelet anal´
n ıtica definida es
2
ξ |W f (u, s)|
PW f (u, ξ) = para ξ = η/s, (17)
η s
√
s iφ(u)
y dado que (14) y (16) llevan a W f (u, s) = 2 a(u)e (G(s[ξ − φ (u)]) + (u, ξ)), se tiene que
2 2
ξ |W f (u, s)| 1 φ (u)
PW f (u, ξ) = = a2 (u) G η 1 − + (u, ξ) para ξ = η/s. (18)
η s 4 ξ

Dado que |G(ω)| es m´ximo para ω = 0 , si se desprecia el t´rmino correctivo (u, ξ), el escalograma
a e
es m´ximo para
a
η
= ξ(u) = φ (u) (19)
s(u)
Definiciń 2.4. Se denominan crestas wavelet a los puntos (u, ξ(u)) en los que el escalograma
o
presenta m´ximos locales.
a

2.6. Detecciń de comportamiento ca´tico en una secuencia
o o
El c´lculo de crestas wavelet va a ser una herramienta de gran utilidad a la hora de identificar
a
una determinada secuencia como ca´tica. De los resultados expuestos hasta ahora, se tiene que si
o
una cierta secuencia es estacionaria y peri´dica, la funciń de m´ximos locales (las crestas de la
o o a
transformada wavelet anal´ ıtica) es constante. Si esa secuencia no es estrictamente peri´dica, sino
o
que lo es en determinados intervalos de tiempo, el an´lisis de crestas de la transformada wavelet
a
permitir´ localizar en tiempo y en frecuencia tal comportamiento. Supongamos que la secuencia es
a
tal que los valores de la misma estń contenidos en un determinado intervalo. Supongamos que dicha
a
secuencia no es peri´dica, y que la probabilidad de determinar a partir de un valor dado el siguiente
o
es aproximadamente 1/2. Supongamos, adem´s, que los valores que la secuencia toma a lo largo del
a
tiempo recorren completamente el intervalo de definiciń. Bajo estas hip´tesis, la determinaciń
o o o
de crestas de la transformada wavelet anal´ ıtica dar´ lugar a una funciń con un gran n´mero de
a o u
discontinuidades a lo largo del tiempo. Es decir, la secuencia presenta comportamiento peri´dicoo
en intervalos de tiempo de muy corta duraciń y, adem´s, la frecuencia, el per´
o a ıodo asociado a cada
uno de esos intervalos es distinto. Pues bien, esto es lo que ocurre con las secuencias ca´ticas. La
o
representaciń de los m´ximos locales de la transformada wavelet en el caso de estos sistemas es
o a
una funciń totalmente discontinua, definida a puntos, ya que las secuencias generadas a partir de
o
tal tipo de sistemas “se comportan como” una secuencia de ruido blanco y, por tanto, presentan
un espectro frecuencial cuasiplano.
A modo de ejemplo, vamos a realizar una serie de simulaciones con el mapa logistico:

xn+1 = λxn (1 − xn ) ∀n ≥ 0, (20)

donde 0 ≤ λ ≤ 4 con el objeto de que la secuencia est´ acotada (0 ≤ xn ≤ 1 ∀n ≥ 0). Sobre este
e
sistema se van a calcular las crestas de la transformada wavelet anal´
ıtica para distintos valores del
par´metro din´mico λ, y empleando la funciń wavelet de tipo Morlet:
a a o
2
ψ(t) = πFb e−i2πFc t e−t /Fb
. (21)

En las figuras 1 y 3 se recogen los resultados de las simulaciones efectuadas. En las figuras 2 y 4
aparecen representados los histogramas del mapa log´ ıstico para el conjunto de valores de λ que se
han estudiado. Se observa que para aquellos histogramas con un n´mero discreto de elementos, la
u
funciń de crestas es constante. Es decir, en los casos en los que el par´metro din´mico da lugar a
o a a
secuencias con una tasa alta de repeticiń de valores, el c´lculo de crestas de la transformada wavelet
o a
indica la existencia de un comportamiento peri´dico. Por el contrario, si el histograma presenta un
o

4

conjunto no discreto de valores, esto es, si el histograma presenta dispersiń de valores, la funciń
o o
de crestas wavelet es totalmente discontinua. Es m´s, no se obtiene sino un conjunto de puntos
a
que evidencian el carćter psuedoaleatorio de la secuencia analizada. Adem´s, cuanto m´s ca´tica
a a a o
es una secuencia, m´s dispersiń presentan la funciń de m´ximos locales del valor absoluto de la
a o o a
transformada wavelet.

λ=2.5 λ=3.5 λ=3.65
1 1 1
0.8906 0.8906 0.8906
0.7813 0.7813 0.7813
0.6719 0.6719 0.6719
ξ / 2π 0.5625 0.5625 0.5625
0.4531 0.4531 0.4531
0.3438 0.3438 0.3438
0.2344 0.2344 0.2344
0.125 0.125 0.125
0.0156 0.0156 0.0156
0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000
Parámetro temporal Parámetro temporal Parámetro temporal

λ=3.82 λ=3.829 λ=3.92
1 1 1
0.8906 0.8906 0.8906
0.7813 0.7813 0.7813
0.6719 0.6719 0.6719
0.5625 0.5625 0.5625
ξ / 2π

0.4531 0.4531 0.4531
0.3438 0.3438 0.3438
0.2344 0.2344 0.2344
0.125 0.125 0.125
0.0156 0.0156 0.0156
0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000

Figura 1: C´lculo de crestas mediante wavelet tipo Morlet: Fb = 3, Fc = 2
a

λ=2.5 λ=3.5 λ=3.65
2500 600 25

2000 500 20
400
1500 15
300
1000 10
200
500 100 5

0 0 0
0.5 0.6 0.7 0 0.5 1 0 0.5 1

λ=3.82 λ=3.829 λ=3.92
25 700 30

600 25
20
500
20
15 400
15
10 300
10
200
5 5
100

0 0 0
0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1

Figura 2: Histogramas del mapa log´
ıstico para distintos valores del par´metro din´mico
a a

5

λ=3.828 λ=3.8282 λ=3.8284
1 1 1
0.8906 0.8906 0.8906
0.7813 0.7813 0.7813
0.6719 0.6719 0.6719

ξ / 2π
0.5625 0.5625 0.5625
0.4531 0.4531 0.4531
0.3438 0.3438 0.3438
0.2344 0.2344 0.2344
0.125 0.125 0.125
0.0156 0.0156 0.0156
0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000

λ=3.8286 λ=3.8288 λ=3.829
1 1 1
0.8906 0.8906 0.8906
0.7813 0.7813 0.7813
0.6719 0.6719 0.6719
ξ / 2π

0.5625 0.5625 0.5625
0.4531 0.4531 0.4531
0.3438 0.3438 0.3438
0.2344 0.2344 0.2344
0.125 0.125 0.125
0.0156 0.0156 0.0156
0 1000 2000 0 1000 2000 0 1000 2000

Figura 3: Crestas con wavelet Morlet Fb = 3, Fc = 2

λ=3.828 λ=3.8282 λ=3.82824
60 120 250

50 100 200
40 80
150
30 60
100
20 40

10 20 50

0 0 0
0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1

λ=3.82826 λ=3.82828 λ=3.8289
700 700 700

600 600 600

500 500 500

400 400 400

300 300 300

200 200 200

100 100 100

0 0 0
0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1

Figura 4: Histogramas del mapa log´
ıstico para diversos valores del par´metro din´mico
a a

3. Entrop´
ıa
Dado que la entrop´ es una medida del grado de desorden en el seno de un determinado sistema,
ıa
se nos muestra como una herramienta de gran utilidad en el estudio de la din´mica de sistemas en
a
general y, por supuesto, de los sistemas ca´ticos en especial. En esta secciń se presentan diversas
o o
v´ a trav´s de las cuales efectuar la mediciń de ese grado de incertidumbre. Adem´s se incorpora
ıas e o a
el uso de los wavelets como un alternativa a los sistemas cl´sicos de c´lculo de la entrop´ Mediante
a a ıa.
los wavelets se puede realizar un an´lisis de la entrop´ a distintos niveles de resoluciń, esto es, es
a ıa o
viable analizar la evoluciń del “grado de desorden” vinculado a una componente frecuencial a lo
o
largo del tiempo.
Se va a trabajar sobre dos caracterizaciones de la entrop´ La primera es la definida en el
ıa.
sentido cl´sico de Shannon. La segunda fue propuesta por Tsallis. El examen multiresoluciń de
a o
la entrop´ se llevar´ a cabo mediante esas medidas de la entrop´ y el aprovechamiento de las
ıa a ıa
virtudes de la transformada wavelet.

6

3.1. Consideraciones previas sobre la transformada wavelet
En el apartado anterior se ha trabajo exclusivamente con la transformada wavelet continua
(CWT). Ahora, adem´s, vamos a llevar cabo una discretizaciń del espacio de escalas y de tiempo.
a o
Para ello, en (2) hacemos s = 2−j y u = k · 2−j con j = 1, 2, . . ., con lo que se tendr´ una trans-
a
formada wavelet di´dica (DWT). La DWT emplea un conjunto de ventanas de tamaõ variable y
a n
proporcional a 2−j , con el objeto de extraer informaciń respecto a las estructuras de datos “em-
o
plazadas” en las distintas escalas. Imponiendo una serie de condiciones a ψ(t), esta transformada
puede ser invertida y es posible reconstruir la seãl original.
n
Hay una clase de DWT que puede ser implementada utilizando algoritmos muy eficientes [2].
Estos tipos de transformada wavelet estń asociados con estructuras matem´ticas llamada apro-
a a
ximaciones multiresoluciń de L2 (R)(MRA) [2],[3].
o

3.1.1. An´lisis multiresoluciń
a o
Definiciń 3.1. Una secuencia {Vj }j∈Z de subespacios cerrados de L2 (R), es una aproximaciń
o o
multiresoluciń de f (t) si se satisfacen las siguientes propiedades:
o

∀(j, k) ∈ Z2 , f (t) ∈ Vj ⇔ f (t − 2j k) ∈ Vj , (22)
∀j ∈ Z, Vj+1 ⊂ Vj , (23)
t
∀j ∈ Z, f (t) ∈ V ⇔ f ∈ Vj+1 , (24)
2
+∞
l´ Vj =
ım Vj = {0}. (25)
j→+∞
j=−∞
+∞
l´ Vj =
ım Vj es denso en L2 (R) (26)
j→−∞
j=−∞

La idea es obtener una secuencia de aproximaciones sucesivas de la seãl a trav´s de proyec-
n e
ciones reiteradas de la misma sobre subespacios Vj de L2 (R), los cuales son generados mediante
translaciones de una funciń de escalado φ(t):
o

Vj = cj (k)φj,k (t) , (27)
k∈Z

donde φj,k (t) = 2j/2 φ(2j t − k) son dilataciones (o reducciones) y translaciones de la funciń φ(t).
o
Adem´s, para un valor dado de j, el conjunto {φj,k (t), k ∈ Z} debe ser una base incondicional de
a
Vj .
En definitiva, la aproximaciń multiresoluciń puede ser interpretada como una “escalera” de
o o
espacios incrustados unos en otros. En base a (22)-(26), la funciń de escalado φ(t) no puede ser
o
escogida de cualquier modo. Dado que V1 ⊂ V0 , 21/2 φ(t/2) ∈ V1 y φ(t) ∈ V0 , y teniendo en cuenta
que {φ(t − n)}n∈Z es una base ortonormal de V0 , podemos expresar
+∞
1 t
√ φ = h[n]φ(t − n), (28)
2 2 n=−∞

con
1 t
h[n] = √ φ , φ(t − n) . (29)
2 2
Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaciń (28), se tiene
o
1
Φ(2ω) = √ H(ω)Φ(ω), (30)
2
ecuaciń que, para p ≥ 0, conduce a
o
1
Φ(2−p+1 ω) = √ H(2−p ω)Φ(2−p ω) (31)
2
Por sustituciń, se tiene
o
P
H(2−p ω)
Φ(ω) = √ Φ(2−P ω) (32)
p=1
2

7

Si Φ(ω) es continua en ω = 0, entonces ım Φ(2−P ω) = Φ(0), con lo que
l´
P →+∞

+∞
H(2−p ω)
Φ(ω) = √ Φ(0). (33)
p=1
2

El siguiente teorema [3] da las condiciones necesarias y suficientes que debe satisfacer H(ω) para
que (33) sea la transformada de Fourier de la funciń de escalado.
o
Teorema 3.2. Sea φ ∈ L2 (R) una funciń de escalado integrable. La transformada de Fourier de
o
h[n] = 2−1/2 φ(t(2), φ(t − n) satisface

∀ω ∈ R, |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 = 2, (34)

y √
H(0) = 2. (35)
Por otro lado, si H(ω) es 2π peri´dica y continuamente diferenciable en un entorno de ω = 0, se
o
satisface (34) y (35)y si
´
ınf |H(ω)| > 0 (36)
ω∈[−π/2,π/2]

entonces
+∞
H(2−p ω)
Φ(ω) = √ (37)
p=1
2

es la transformada de Fourier de una funciń de escalado φ ∈ L2 (R).
o
Definiciń 3.3. Los filtros discretos que satisfacen (34) son denominados filtros espejo conjugados.
o
Las aproximaciones de f (t) en las escalas 2j y 2j−1 son, respectivamente,su proyecciń ortogonal
o
sobre Vj y Vj−1 . Se nota Wj el complemento ortogonal de Vj en Vj−1 :

Vj−1 = Vj ⊕ Wj . (38)

La proyecciń ortogonal de f sobre Vj−1 puede ser expresada como la suma de las proyecciones
o
ortogonales sobre Vj y Wj :
PVj−1 f = PVj f + PWj f (39)
Dado que la proyecciń sobre Vj representa la aproximaciń en la escala 2j , la proyecciń sobre el
o o o
subespacio complementario constituyen los detalles de la seãl f (t) presentes en la escala 2j pero
n
que desaparecen en 2j+1 . El siguiente teorema [3] prueba que es factible construir una base de Wj
mediante escalado y translaciń de una funciń wavelet ψ.
o o
Teorema 3.4. Sea φ una funciń de escalado y h el filtro espejo conjugado asociado. Sea ψ la
o
funciń cuya transformada de Fourier es
o
1 ω ω
Ψ(ω) = √ G Φ √ , (40)
2 2 2
con
G(ω) = eiω H ∗ (ω + π). (41)
Sea
1 t − 2j k
ψj,k (t) = √ ψ . (42)
2j 2j
Para cualquier escala 2j , {ψj,k }k∈Z es una base ortonormal de Wj . Para todas las escalas, {ψj,k }(j,k)∈Z2
es una base ortonormal de L2 (R).
La demostraciń del teorema [3] muestra que G(ω) es la transformada de Fourier de
o

1 t
g[n] = √ ψ , φ(t − k) , (43)
2 2
que son los coeficientes de la descomposiciń de
o
+∞
1 t
√ ψ = g[k]φ(t − k). (44)
2 2
k=−∞

8

La proyecciń ortogonal de una seãl f en un espacio de “detalles” Wj es obtenida, pues, como
o n
una expansiń parcial en su base wavelet
o
+∞
PWj f = f, ψj,k ψj,k . (45)
k=−∞

La expansiń de una seãl en base wavelet ortogonal puede ser, por tanto, interpretada como una
o n
agregaciń de detalles a todas las escalas 2j
o
+∞ +∞ +∞
f= PWj f = f, ψj,k ψj,k . (46)
j=−∞ j=−∞ k=−∞

El teorema 3.4 aporta la v´ a trav´s de la cual diseãr un base wavelet ortogonal. Ahora bien,
ıa e n
¿toda base wavelet ortogonal est´ asociada a una aproximaciń multiresoluciń y a un filtro espejo
a o o
conjugado? Si imponemos que ψ tenga soporte compacto, en [12] se demuestra que ψ necesaria-
mente corresponde a una aproximaciń multiresoluciń. En este trabajo el an´lisis multiresoluciń
o o a o
de seãles se llevar´ a cabo mediante funciones wavelet de este tipo. De modo m´s concreto, se
n a a
utilizarń funciones wavelet Battle-Lemari´ de orden 3. Esta clase de funciones efectá una aproxi-
a e u
maciń mutiresoluciń mediante splines y es bastante adecuada para el an´lisis de seãles de caos
o o a n
([6],[7]).

3.2. Entrop´ de Shannon
ıa
Definiciń 3.5. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un cierto
o
estado j. La entrop´ en el sentido de Shannon vendr´ dada por
ıa a
M
SE = − pj log(pj ), (47)
j=1

donde M representa el n´mero total de estados en los que se puede encontrar el sistema en cuestiń.
u o

3.3. Entrop´ de Tsallis
ıa
Definiciń 3.6. Sea pj la probabilidad de que un determinado sistema se encuentre en un cierto
o
estado j. La entrop´ en el sentido de Tsallis vendr´ dada por
ıa a
M
T Eq = (q − 1) −1
pj − pq .
j (48)
j=1

3.4. Energ´ wavelet relativa
ıa
Dado que la familia {ψj,k (t)} constituye una base ortonormal en L2 (R), el concepto de ener-
g´ estar´ ligado con las nociones derivadas de la teor´ de Fourier. Dada una seãl s(t), se
ıa a ıa n
muestrea con un tiempo de muestreo Ts , obtenińdose un conjunto S de M elementos (S =
e
{s(0), s(Ts ), . . . , s((M −1)·Ts )}). Si se obtienen los coeficientes wavelet de S como Cj (k) = S, ψj,k ,
la energ´ asociada a cada nivel de resoluciń j = 1, 2, . . . , N , con N = log2 (M ), ser´ la energ´
ıa o a ıa
promedio de la seãl de detalle:
n
1
Ej = |Cj (k)|2 , (49)
Nj
k
siendo Nj el n´mero de coeficientes en la escala j. La energ´ total se obtendr´ como
u ıa a

Etot = ||S||2 = |Cj (k)|2 = Ej . (50)
j<0 k j<0

Definiciń 3.7. La energ´ wavelet relativa (RWE) es el cociente entre la energ´ asociada a cada
o ıa ıa
escala de resoluciń y la energ´ total:
o ıa
Ej
pj = (51)
Etot
para j = 1, 2, . . . , N .
Es decir, la energ´ wavelet relativa representa la funciń de distribuciń probabil´
ıa o o ıstica de la
energ´ Se cumple, en consecuencia, j pj = 1, y la distribuciń {pj } puede ser interpretada como
ıa. o
una funciń de densidad tiempo-escala.
o

9

3.5. Entrop´ wavelet
ıa
La entrop´ segń Shannon proporciona un criterio v´lido para analizar y comparar distribu-
ıa u a
ciones de probabilidad, ya que proporciona una medida de la informaciń de cualquier distribuciń.
o o
Definiciń 3.8. A partir de la entrop´ segń el criterio de Shannon y (51), se define la entrop´
o ıa u ıa
wavelet (WE) como
SW T ≡ SW T (p) = − pj · ln[pj ] (52)
j<0

WE es una medida del grado de orden/desorden de una seãl, por lo que permitir´ inferir
n a
informaciń sobre la din´mica del proceso subyacente. As´ un proceso determinista, esto es, con
o a ı,
un alto grado de orden, puede ser interpretado como una seãl peri´dica pura, de un solo tono.
n o
La representaciń wavelet de tal tipo de seãl se caracterizar´ por la existencia de m´ximos sobre-
o n a a
salientes en una determinada escala o, lo que es lo mismo, todas las energ´ wavelet relativas serń
ıas a
casi cero excepto para el nivel de resoluciń wavelet que incluye las componentes frecuenciales sig-
o
nificativas de la seãl. Para este nivel especial la energ´ wavelet relativa estar´ pr´xima a 1 y, en
n ıa a o
consecuencia, WE estar´ pr´xima a cero. Una seãl generada por un proceso totalmente aleatorio
a o n
puede ser considerada como muestra de un comportamiento totalmente desordenado. Este tipo
de seãl presentar´ valores significativos para todas las escalas de su representaciń wavelet. Es
n a o
m´s, es esperable que la contribuciń energ´tica de los distintos niveles sea del mismo orden. De
a o e
este modo, la energ´ wavelet relativa ser´ aproximadamente igual para todas las escalas, y WE
ıa a
tomar´ valores m´ximos.
a a
Las virtudes de las figuras que acaban de ser citadas, pueden verificarse mediante la observaciń o
de las gr´ficas recogidas en la figura 5. La primera de estas gr´ficas corresponde a una seãl
a a n
puramente peri´dica. La seãl de partida es muestreada a una frecuencia de muestreo de 250Hz,
o n
de modo que sobre la secuencia resultante se calculan tanto la RWE como la WE. Los resultados
obtenidos corresponden a la gr´fica (a) de la figura 5. La gr´fica en cuestiń evidencia que las
a a o
componentes de alta frecuencia (valores bajos de escala, esto es, valores pequeõs de j) contienen
n
la mayor parte de la informaciń asociada a la seãl en cuestiń. En efecto, la seãl analizada
o n o n
presenta un unico tono frecuencia en 75Hz y, dado que la frecuencia de muestreo es de 250Hz, la
´
mayor parte de la energ´ se localizar´ en j = 1 y j = 2, esto es, en los valores de escala 2 y 4, pues
ıa a
la escala asociada al nivel j engloba las frecuencias 2−j Fs ≤ |f | ≤ 2−(j−1) Fs . De forma m´s precisa,
a
la componente principal del espectro se emplazar´ en la escala de nivel j = 2, mientras la escala de
ıa
nivel j = 1 recoge los valores de frecuencia que son m´ltiplos de la principal. Dicho de otro modo,
u
el examen efectuado identifica el tono de 75Hz, pero tambiń identifica tonos en 150Hz y 225Hz.
e
Las restantes gr´ficas de la figura 5 constituyen un an´lisis del mapa log´
a a ıstico. Vemos que, tal y
como cabr´ esperar, a medida que aumenta la complejidad del sistema, crece el valor de entrop´
ıa ıa
wavelet (WE). Asimismo, se comprueba que a medida que el sistema muestra mayor carćter a
ca´tico, el diagrama de energ´ wavelet relativa (RWE) presenta una mayor dispersiń, esto es,
o ıa o
todas las escalas tienen asociada energ´ En definitiva, conforme aumenta la complejidad del mapa
ıa.
log´ıstico, tambiń crece su carćter aleatorio. Por tanto, las figuras que se han introducido en este
e a
apartado, esto es, la WE y la RWE se constituyen en un m´todo v´lido para medir la complejidad de
e a
un sistema din´mico, adem´s de mostrarse con una buena alternativa a otras variantes empleados
a a
para este menester, como son el exponente de Lyapunov, el exponente de Hurst o las dimensiones
de correlaciń, pues reduce considerablemente la carga computacional y es un m´todo libre de
o e
par´metros ([1],[6],[13]).
a

10

coseno(2⋅ π ⋅ 75 ⋅ t) Mapa Logistico λ=3.92 Mapa Logistico λ=3.82
WE=1.760655 WE=2.066894 WE=2.065143
0.45 0.35 0.25

0.4
0.3
0.35 0.2
Energía wavelet relativa


0.25
0.3
0.15
0.25 0.2

0.2 0.15
0.1
0.15
0.1
0.1 0.05
0.05
0.05

0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
Niveles de resolución Niveles de resolución Niveles de resolución
(a) (b) (c)
Mapa Logistico λ=2.5 Mapa Logistico λ=3.5 Mapa Logistico λ=3.829
WE=1.181521 WE=1.471527 WE=1.181753
0.7 0.5 0.7

0.6 0.6
0.4


0.5 0.5

0.3
0.4 0.4

0.3 0.3
0.2

0.2 0.2
0.1
0.1 0.1

0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
Niveles de resolución Niveles de resolución Niveles de resolución
(d) (e) (f)

Figura 5: Energ´ wavelet relativa para un tono puro y el mapa log´
ıa ıstico

3.6. Entrop´ multiresoluciń
ıa o
En [7] se presenta una nuevo m´todo para el c´lculo de la entrop´ explotando las cualidades
e a ıa
de la transformada wavelet. De nuevo se har´ uso de una transformada wavelet discreta (DWT) en
a
base a funciones wavelet madre de tipo spline c´bico. Aprovechando las buenas caracter´
u ısticas de
las wavelets spline, en cuanto a localizaciń en el plano tiempo-frecuencia (tienen soporte compacto
o
y n´mero suficientemente elevado de momentos nulos), se llevar´ a cabo una mediciń del grado
u a o
de desorden de los coeficientes determinados (Cj (k) = S, ψj,k ). Supondremos que la longitud de
la secuencia sobre la que se calcula la transformada DWT es una potencia de dos, es decir, si M
es la longitud de la secuencia, se cumple que M = 2N , donde N ser´ el n´mero de niveles que se
a u
analizarń en la transformada DWT. De este modo, debido al efecto de decimaciń, el n´mero de
a o u
coeficientes wavelet en el nivel j (Kj ) es aproximadamente 2N −j . Otro concepto importante en
este an´lisis de entrop´ es el de ventana deslizante.
a ıa
Definiciń 3.9. Sea w ∈ N (entero par) la anchura de la ventana, y ∆ ∈ N el par´metro de
o a
deslizamiento. La ventana deslizamiento queda definida como
W j (m; w, ∆) = {Cj (k), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆}, m = 0, 1, . . . , mj
max (53)
donde ∆ y w son seleccionados de modo que w ≤ Kj y (Kj − w)/∆ ∈ N. El centro de la ventana
est´ ubicado en m = w/2 + m∆.
a
Una vez se tiene la ventana deslizante para cada nivel, se divide el espacio de valores de los
coeficientes contenidos en la ventana en L subespacios. Si Cmax es el coeficiente de m´ximo valor
a

11

de entre los contenidos en la ventana W j (m; w, ∆), y Cmin el coeficiente de m´
ınimo valor de entre
los contenidos en esa misma ventana, se divide el intervalo [Cmin , Cmax ] en L subintervalos de
tamaõ t = |Cmax − Cmin |/L:
n
m
Ij,1 = [Cmin , Cmin + t) ,
m
Ij,2 = [Cmin + t, Cmin + 2 · t) ,
···
m
Ij,L = [Cmin + (L − 1) · t, Cmax ] . (54)

Construidos estos subintervalos, es tiempo de llevar a cabo una estimaciń de la funciń de dis-
o o
tribuciń de los valores de coeficientes asociadas a una cierta ventana W j (m; w, ∆). Para ello se
o
m
calcula la probabilidad p(Ij,l ) de que un coeficiente contenido en dicha ventana pertenezca al in-
m
tervalo Ij,l , para 1 ≤ l ≤ L. En base a esta funciń de distribuciń probabil´
o o ıstica se definen la
entrop´ multiresoluciń segń el criterio de Shannon o de Tsallis.
ıa o u
Definiciń 3.10. Se define la entrop´ multiresoluciń de Shannon asociada a la escala 2j (MREj)
o ıa o
como
L
j m m
HS (m) = − p(Ij,l ) log(p(Ij,l )), m = 0, 1, . . . , mj
max . (55)
l=1

Definiciń 3.11. Se define la entrop´ multiresoluciń de Tsallis asociada a la escala 2j (MRETj)
o ıa o
como
L
q
Hq (m) = (q − 1)−1
j m m
p(Ij,l ) − p(Ij,l ) , m = 0, 1, . . . , mj
max . (56)
l=1

j j
Si se representan los puntos (w/2 + m∆, Hx (m)) ( siendo Hx la entrop´ bien de Shannon, bien
ıa
j
de Tsallis para la escala 2 ) obtendremos un sistema equivalente a las wavelets splines en lo que
ata˜e a la localizaciń de detalles en el plano frecuencia-tiempo. De este modo, las propiedades
n o
de localizaciń del esquema, unidas al an´lisis estad´
o a ıstico que se lleva a cabo, permiten detectar
con precisiń cambios en la din´mica del sistema. Hay que tener en cuenta, no obstante, que
o a
la localizaciń temporal est´ superditada a la imprecisiń subyacente al examen mediante
o a o
ventana deslizante. En efecto, la entrop´ es representada con respecto a la posiciń central de
ıa o
dicha ventana, de modo que entre dos muestras de entrop´ existe una diferencia de w muestras
ıa
temporales reales. En definitiva, existe una imprecisiń temporal del orden de w/2, a lo que hay
o
que unir la derivada del c´lculo di´dico de la transformada wavelet (en el nivel de escala j existen
a a
la mitad de coeficientes que en el nivel j − 1: la resoluciń temporal se reduce aproximadamente a
o
la mitad).

3.6.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluciń
ıa o
Con el objeto de verificar las propiedades del an´lisis multiresoluciń de la entrop´ se van a
a o ıa,
analizar dos sistemas ca´ticos. El primero es un mapa de Henon en el que se introducen variaciones
o
en el valor de unos de los dos par´metros din´micos que lo controlan. El mapa de Henon viene
a a
definido como
2
xn = 1 + yn−1 − an yn−1 ,
yn = bxn−1 . (57)

Sobre el mapa de Henon se construyen dos sistemas:
1. an constante e igual a 1.023718384
2. an variable segń el esquema
u

 a1 si n < n1,
an = a1 + [(n − n1 )(a2 − a1 )/(n2 − n1 )] si n1 ≤ n ≤ n2 , (58)

a2 si n > n2 ,
con a1 = 1.062371838, a2 = 1.080744879, n1 = 812, n2 = 1842 y b = 0.3 en ambos casos.
En la figura 6 se recogen los resultados del an´lisis de entrop´ de la primera componente xn
a ıa
del mapa de Henon en el sentido de Shannon y de Tsallis. Estas gr´ficas se obtuvieron empleando
a
el modelo de ventana deslizante sobre los valores de secuencia directamente en lugar de emplear los

12

coeficientes de la transformada wavelet. En las figuras 7 y 8 se lleva a cabo este mismo examen pero
utilizando, en esta ocasiń, el enfoque multiresoluciń para j = 1, 2, 3 . En las tres figuras citadas
o o
se puede detectar fćilmente cuando se produce el cambio en la din´mica del sistema. En el caso de
a a
la entrop´ en el sentido de Tsallis, el enfoque multiresoluciń mejora considerablemente las presta-
ıa o
ciones, pues la determinaciń cl´sica de entrop´ no hace pensar que se haya producido cambio
o a ıa
alguno en la din´mica del sistema. Con respecto al enfoque segń Shannon, la ´ptica multiresolu-
a u o
ciń, adem´s de permitir localizar en tiempo y en frecuencia la modificaciń de par´metros, ayuda
o a o a
a eliminar influencias negativas propiciadas por presencia de ruido en las muestras de la seãl, n
gracias a que la transformadas wavelet actá como un filtro paso banda.
u
Un segundo ejemplo al respecto de las prestaciones de las figuras MRE y MRET se va a
desarrollar con el mapa log´ıstico(20). Se considerar´ un sistema tal que el par´metro din´mico λ
a a a
evoluciona segń:
u

 λ1 si n < n1,
λn = λ1 + [(n − n1 )(λ2 − λ1 )/(n2 − n1 )] si n1 ≤ n ≤ n2 , (59)

λ2 si n > n2 ,

con λ1 = 3.5, λ2 = 3.8123, n1 = 1182 y n2 = 1634.
En las figuras 9, 10 y 11 aparecen los resultados del an´lisis de entrop´ del mapa log´
a ıa ıstico con
par´metro din´mico segń se acaba de referir. Los experimentos efectuados permite comprobar el
a a u
buen comportamiento del an´lisis multiresoluciń, pues es fćilmente localizable el instante en el
a o a
cual el sistema deja de comportarse como un sistema peri´dico para, paulatinamente, convertirse
o
en un sistema ca´tico. Este cambio es perceptible en todas las gr´ficas, pero la localizaciń en
o a o
frecuencia es m´s precisa en el caso de emplear un an´lisis multiresoluciń en el sentido de Tsallis.
a a o
En resumen, el an´lisis multiresoluciń de entrop´ es una herramienta interesante, en la medida
a o ıa
que permite inferir la complejidad de un determinado sistema de forma menos onerosa que un
esquema sustentado en la determinaciń de par´metros como el exponente de Lyapunov, dimensiń
o a o
de correlaciń...Adem´s permite identificar con facilidad cambios producidos en la din´mica de un
o a a
sistema y confiere mayor inmunidad frente a ruido subyacente a la toma de muestras del sistema
a examinar, esto es, las figuras MRE y MRET presentan mayor inmunidad frente al ruido que un
esquema cl´sico de determinaciń de entrop´
a o ıa.

Entropia Shannon w=204 , ∆=4, L=16
1.05

1

0.95

0.9

0.85
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Entropia Tsallis,q=5 , w=204, ∆=4 , L=16
0.26
Henon parametros constantes
0.255 Henon parametros variables

0.25

0.245

0.24

0.235

0.23
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Figura 6: An´lisis de entrop´ para mapa de Henon con par´metros constantes y variables
a ıa a

13

MRE1 w=204 , ∆=4, L=16
1.4
Henon parametro constante
1.2 Henon parametro variable

1

0.8

0.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRE2 w=204 , ∆=4, L=16
1.5
Henon parametro variable
1

0.5

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
MRE3 w=204 , ∆=4, L=16
1.4

1

0.8

0.6
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Figura 7: An´lisis de entrop´ multiresoluciń segń criterio de Shannon para el mapa de Henon
a ıa o u
con par´metros constantes y variables
a

MRET1 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5
0.25

0.245

0.24
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRET2 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5
0.26
0.25

0.24

0.23
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
MRET3 w=204 , ∆=4, L=16 , q=5


0.249

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Figura 8: An´lisis de entrop´ multiresoluciń segń criterio de Tsallis para el mapa de Henon con
a ıa o u
par´metros constantes y variables
a

Entropia Shannon w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00
0.7
λ=3.50
0.65 λ=3.81
λ variable

0.6

0.55

0.5

0.45
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Entropia Tsallis,q=5.00 , w=82.00, ∆=2.00 , L=5.00
0.25
λ=3.50
0.248 λ=3.81
λ variable
0.246

0.244

0.242

0.24

0.238
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Figura 9: An´lisis de entrop´ para mapa log´
a ıa ıstico con par´metros constantes y variables
a

14

MRE1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00

0.6 λ=3.50
λ=3.81
0.4 λ variable

0.2

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRE2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00

0.6 λ=3.50
λ=3.81
0.4 λ variable

0.2

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRE3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00

0.6 λ=3.50
λ=3.81
0.4 λ variable

0.2

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Figura 10: An´lisis de entrop´ multiresoluciń segń criterio de Shannon para el mapa log´
a ıa o u ıstico
con par´metros constantes y variables
a

MRET1 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00

λ=3.50
λ=3.81
0.2
λ variable

0.1

0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRET2 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00

0.3 λ=3.50
λ=3.81
0.2
λ variable
0.1

0

−0.1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
MRET3 w=82.00 , ∆=2.00, L=5.00 , q=5.00

0.3 λ=3.50
λ=3.81
0.2
λ variable
0.1

0

−0.1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Figura 11: An´lisis de entrop´ multiresoluciń segń criterio de Tsallis para el mapa log´
a ıa o u ıstico con
par´metros constantes y variables
a

3.7. Entrop´ multiresoluciń continua
ıa o
Otra posibilidad ser´ utilizar la transformada wavelet continua (CWT) como sustento para
ıa
efectuar una evaluaciń del grado de desorden presente en un cierto sistema. Esto es lo que se
o
lleva a cabo en [8]-[11]. La idea es la misma que la esbozada en 3.6, pero ahora se utilizan los
coeficientes de la transformada CWT en lugar de los de la DWT. En el caso de que se emplee una
wavelet compleja, como la Morlet, en lugar de utilizar los coeficientes, se emplea el cuadrado de
su m´dulo. La selecciń de tipo de wavelet a emplear depender´ del tipo de seãl. Si nos interesa
o o a n
trabajar con una wavelet que tenga buenas propiedades de localizaciń, podr´
o ıamos optar por una
de tipo sombrero mejicano. Si lo que se quiere es detectar singularidades, una buena elecciń ser´
o ıa
un wavelet de tipo Morlet.
Sea s(t) la seãl sobre la que se va a llevar a cabo el estudio de entrop´ Se muestrea la seãl
n ıa. n
a una tasa de Ts segundos, obtenińdose un total de M muestras. Sea s[n], para n = 0, . . . , M − 1,
e

15

el conjunto resultante de muestras. Los coeficientes wavelet vendrń dados por:
a
N −1
j ∗
Ws[n, 2 ] = s[m]ψj [m − n],
m=0
−j n
ψj [n] = 2 ψ . (60)
2j
Con el objeto de que el an´lisis sea lo m´s general posible se trabajar´ con el cuadrado del
a a a
m´dulo de los coeficientes:
o

d(i, j) = Ws[i, 2j ] j = 1, 2, . . . , N ; i = 0, 1, . . . , M − 1. (61)

El conjunto de todos estos coeficientes da lugar a una matriz de dimensiones M xN . A continuaciń,
o
para cada escala, esto es, para cada columna de la matriz se define la ventana deslizante:
Definiciń 3.12. Dados w entero par y ∆ ∈ Z tales que w ≤ M y (M − w)/∆ ∈ N, la ventana
o
de deslizamiento asociada a cada escala j es

W j (m; w, ∆) = {d(k, j), k = 1 + m∆, 2 + m∆, . . . , w + m∆} m = 0, 1, . . . , mmax , (62)
M −w
donde mmax = ∆ .

Esta ventana deslizante puede ser interpretada como la uniń de una serie de L intervalos dis-
o
ın{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)}, m´x{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)}]
juntos obtenidos dividiendo el intervalo [m´ a
en L partes de igual tamaõ:
n
L
W j (m; w, ∆) = m
Ij,l ,
l=1

m [dj
min + (l − 1) · t, dj + l · t)
min para l=1,. . . ,L-1 ,
Ij,l =
[dj
min + (L − 1) · t, dmax ] para l=L ,

dj = m´
min ın{d(i, j) ∈ W j (m; w, ∆)} ,

dj j
max = m´x{d(i, j) ∈ W (m; w, ∆)} ,
a

j
t = (dj
max − dmin )/L . (63)
m
Definiciń 3.13. Se define p(Ij,l ) como la funciń distribuciń probabil´
o o o ıstica de los coeficientes
wavelet asociados a la ventana deslizamente W j (m; w, ∆). Representa la probabilidad de que un
m
elemento de la ventana en cuestiń pertenezca al intervalo Ij,l . Se calcula como el cociente en-
o
m
tre el n´mero de elementos de W (m; w, ∆) contenidos en Ij,l y el n´mero total de coeficientes
u u
pertenecientes a esta ventana.
Con los conceptos introducidos hasta este punto, estamos en condiciones de definir las matrices
CME y CMEq.
Definiciń 3.14. Sea s(t) una seãl que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo la
o n
secuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matriz
CME o de an´lisis multiresoluciń continuo de entrop´ Shannon asociada a s[n] como:
a o ıa
L
CM E(m, j) = − p(Ij,l ) log pm (Ij,l ) ,
m m
(64)
l=1

para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax .
Definiciń 3.15. Sea s(t) una seãl que es muestreada a una tasa de Ts segundos, obteniendo la
o n
secuencia s[n] de longitud M . En base a (60), (61) y las definiciones 3.12,3.13, se define la matriz
CMEq o de an´lisis multiresoluciń continuo de entrop´ Tsallis asociada a s[n] como:
a o ıa
L
q
CM Eq (m, j) = (q − 1)−1 m m
p(Ij,l ) − p(Ij,l ) , (65)
l=1

para j = 1, . . . , N y m = 0, 1, . . . , mmax .

16

3.7.1. Aplicaciones de la entrop´ multiresoluciń continua
ıa o
Segń muestran [8]-[11], la principal ventaja aportada por las figuras CME y CMEq es el de
u
la localizaciń de cambios en la din´mica de un sistema. En dichas referencias, se desarrolla un
o a
m´todo que es capaz de inferir cambios en los par´metros que regulan la din´mica de un cierto
e a a
sistema. El m´todo en cuestiń, en primera instancia, lleva a cabo la determinaciń de la evoluciń
e o o o
temporal de la componente principal asociada bien a CME, bien a CMEq. De forma m´s precisa,
a
se determina el autovalor de valor m´ximo asociado a cada una de las matrices dadas por
a

{P Cp } = {CM E(m, j)}
m = w − 1 + (p − 1), . . . , 2w + (p − 1) ,
j = 1, . . . , N ,
p = 1, . . . , (mmax − w + 1). (66)

Es decir, se analiza la componente principal de matrices de entrop´ asociadas a intervalos de w
ıa
muestras temporales. La representaciń del autovalor m´ximo de cada una de esas matrices da una
o a
idea de como evoluciona la din´mica del sistema. El estudio de esa evoluciń, mediante el m´todo
a o e
CUSUM o mediante redes neuronales autosintonizables (SOM), permite inferir si se ha producido
cambio alguno en la din´mica del sistema, segń se demuestra en [8]-[11].
a u
En la figura 12 se representan los coeficientes de la matriz CMEq para el caso de una secuencia
obtenida a partir del mapa log´ ıstico con valores del par´metro λ segń el esquema expuesto en (59),
a u
mientras que la figura 14 se muestra la matriz CMEq para un sistema basado en el mapa de Henon
siguiendo el planteamiento referido en (58). Para el mapa log´ ıstico se aprecia fćilmente que existe
a
un cambio en la din´mica del mismo, pues se pasa de un comportamiento peri´dico (λ = 3.5) a un
a o
comportamiento ca´tico (λ = 3.8123). De este modo, el an´lisis de la componente principal (figura
o a
13) claramente alude a ese cambio, pues en el entorno de n = 800 la componente manifiesta un
cambio brusco. Lo mismo ocurre para n ≈ 1400, aunque es cierto que existen cambios bruscos para
otros instantes. Por tanto, la capacidad de detectar los cambios de modo riguroso, depender´ bien a
del establecimiento de un umbral adecuado en el caso de emplear el algoritmo CUSUM, bien de un
buen entrenamiento en el caso de optar por las redes SOM con m´todo autom´tico de detecciń
e a o
de cambios bruscos. Adem´s, hemos de tener en cuenta la imprecisiń a la la hora de localizar
a o
los cambios en el tiempo, debido a al error inmanente a la utilizaciń de ventanas deslizantes y
o
coeficientes wavelet calculados mediante DWT (en la escala 2j existen aproximadamente la mitad
de coeficientes que en la escala 2j−1 , i.e., se ha reducido la resoluciń temporal casi a la mitad). En
o
el caso del sistema basado en el mapa de Henon, la situaciń es similar. El an´lisis de componente
o a
principal (15) claramente seãla la existencia de una modificaciń en la din´mica para n ≈ 800 y
n o a
otra en el entorno de n = 1500, lo que coincide, siempre de forma aproximada, con lo que cabr´ ıa
esperar.

w=80,∆=16,L=5,q=90,wavelet=Morlet con Fb=4, Fc=2

60

2

50

4

40
6
Nivel de escala
j

30
8

20
10

10
12

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
w/2+m∆

Figura 12: Matriz CMEq para el mapa log´
ıstico con λ desde 3.5 a 3.8123

17

55

50

45

40

Componente principal
35

30

25

20

15

10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Parámetro temporal

Figura 13: An´lisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para mapa log´
a ıstico con
λ variable de 3.5 a 3.8123

w=80, ∆=16, L=5,wavelet=Morlet Fb=4, Fc=2

250

2

200
4

150
Nivel de escala

6
j

8
100

10

50

12

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
w/2+m∆

Figura 14: Matriz CMEq para el mapa de Henon con el par´metro a variable
a

18

38

36

34

32

Componente principal
30

28

26

24

22

20

18
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Parametro temporal

Figura 15: An´lisis de componente principal asociada a la matriz CMEq para el mapa de Henon
a
con el par´metro a variable
a

4. Conclusiones
El trabajo llevado a cabo ha permitido apreciar las virtudes fundamentales de la transformada
wavelet en su aplicaciń al an´lisis de la din´mica de sistemas. Se ha demostrado que la deter-
o a a
minaciń de crestas wavelet es una herramienta v´lida para caracterizar el grado de complejidad
o a
de un determinado sistema din´mico. El an´lisis de m´ximos locales de una transformada wavelet
a a a
anal´ıtica se mostr´ como un indicador del comportamiento ca´tico de una determinada secuencia.
o o
Por otro lado, la utilizaciń de la transformada wavelet discreta (DWT) ha permitido elaborar
o
diversos criterios de medida de la entrop´ del grado de desorden de un sistema. A este respecto, se
ıa,
introdujeron la entrop´ wavelet o WE y los an´lisis multiresoluciń de entrop´ (MRE y MRET).
ıa a o ıa
Mediante WE se comprob´ que se obten´ una buena medida del grado complejidad de un sistema,
o ıa
mostrńdose, dado el escaso coste computacional que lleva asociado su c´mputo, como una alter-
a o
nativa a tener cuenta respecto a otras medidas de complejidad como el exponente de Lyapunov, el
exponente de Hurst o las dimensiones de correlaciń. Por su parte, tanto la MRE como la MRET
o
nos permitieron detectar cambios en la din´mica de un sistema, gracias a que efectán una medi-
a u
ciń de la evoluciń temporal de la complejidad, a diferentes escalas frecuenciales, de un cierto
o o
sistema din´mico. En este punto, hemos de recordar que la localizaciń en tiempo de tales cambios
a o
ten´ asociada una cierta imprecisiń, debido a la p´rdida de resoluciń impl´
ıa o e o ıcita en un esquema
di´dico de c´lculo de coeficientes wavelet, y debido, tambiń, al uso de ventanas deslizantes.
a a e
Por ultimo, se introdujo el concepto de entrop´ multiresoluciń continua. En este punto se
´ ıa o
habl´ de las matrices de entrop´ CME y CMEq, las cuales se obtuvieron mediante un an´lisis de
o ıa a
entrop´ basado en modelo de ventana deslizante y sobre los coeficientes resultado del c´lculo de la
ıa a
transformada wavelet continua o CWT de la secuencia analizada. En el caso de CME se hizo uso
del concepto de entrop´ segń Shannon (47), mientras que CMEq se basa en la interpretaciń de
ıa u o
Tsallis (48). Las pruebas efectuadas demostraron que una an´lisis de componente principales sobre
a
CMEq permite detectar cambios bruscos en la din´mica de un sistema. No obstante, la indagaciń
a o
en mecanismos de detecciń autom´ticos de tales cambios queda como l´
o a ınea de investigaciń futura.
o

19

Referencias
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through turbulent media by quantiﬁers based on the wavelet transform: Dynamic study, Physica
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