CAP 1.1 - ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO.ppt
- 1. Dr Félix Aucallanchi Velásquez
- 2. Se considera a Hiparco (180 -125 a.C) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. http://usuarios.lycos.es/calculo21/id347.htm Hiparco de Nicea Griego (180-125 a.C) matemático y astrónomo
- 3. TRIGONOMETRÍA Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a resolver el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas : trigonon: triángulo metron: medida trigonometría: medida de los triángulos.
- 4. El ángulo trigonométrico es la figura formada por dos rayos geométricos, de origen común, que se genera por la rotación de uno de ellos, llamado rayo generador, alrededor de su origen, llamado vértice del ángulo trigonométrico, desde una posición inicial, llamada lado inicial, hasta una posición final, llamada lado final. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO O A B Ángulo Trigonométrico Positivo Ángulo Trigonométrico Negativo O P Q mRAOB = R + mRPOQ = R - Giro en sentido antihorario Giro en sentido horario
- 5. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS a) ÁNGULO DE UNA VUELTA Es el ángulo trigonométrico en el que, luego de la rotación, coinciden por primera vez el lado inicial (i) con el lado final (f). Se denota por: 1v. Es el ángulo trigonométrico en el que el rayo no ha experimentado rotación alguna. Se denota por: 0v. b) ÁNGULO NULO Es el ángulo trigonométrico cuya medida es la mitad del ángulo de una vuelta. Se denota por: 1/2v. c) ÁNGULO LLANO
- 6. Es el ángulo cuya medida es la cuarta parte del ángulo de una vuelta. Se denota por: 1/4v. d) ÁNGULO RECTO Según esta definición: 1v = 4 ángulos rectos. O La medida de un ángulo trigonométrico puede tener un valor ilimitado, es decir, no tiene límite numérico lo cual se explica por que el rayo que define la posición del lado final puede haber rotado tanto como se desee y en cualquiera de los dos sentidos. Observación: Si es la medida de un ángulo trigonométrico, entonces R O >+2 v <-1,5 v
- 7. Se define como el proceso mediante el cual un ángulo trigonométrico invierte el sentido de rotación del rayo generador, de modo que su lado final, se intercambia por el lado inicial y viceversa, cambiando de este modo el signo de su valor. CAMBIO DE SIGNO Ejemplo.- En cada uno de los siguientes casos se da un ángulo trigonométrico y de lo que se trata es cambiar su signo original. (a) (b)
- 8. SUMA DE ÁNGULOS La suma de dos o más ángulos trigonométricos de un mismo sentido se define como otro ángulo trigonométrico cuyo valor se obtiene mediante la suma algebraica de las medidas de dichos ángulos. Para realizar la suma de ángulos trigonométricos éstos deben tener el mismo sentido el cual puede ser horario o antihorario. Ejemplo.- Determinar la suma de los siguientes ángulos trigonométricos: Todos en sentido antihorario x = q- +w
- 9. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES Es el sistema cuya unidad de medida es el grado sexagesimal (1º), definida como la medida del ángulo central que subtiende un arco equivalente a 1/360 de una vuelta o circunferencia.. SISTEMA SEXAGESIMAL En (º) En (‘) En (‘‘) Una vuelta (v) 360 21 600 1 296 000 Un grado (º) 1 60 3 600 Un minuto (‘) 1 60 Un segundo (‘‘) 1 1 60 1 3600 1 60 1’’ < 1‘ < 1º < 1 v
- 10. Si la medida de un ángulo contiene a grados, b minutos y c segundos sexagesimales, estos se anotan así: aº + b' + c'' = aº b’c’’ donde: b y c son menores que 60. a) 32°= Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (‘’) equivalen 32°. Lo que haremos es calcular a cuántos (‘) equivalen los grados dados y luego establecer a cuántos (‘’) equivale el resultado obtenido. Veamos: b) 1 920’ 32(60‘) 1920’ = 115 200’’ 32° = = 1920(60’’)
- 11. Ejemplo 2.- Expresemos 12,26° en (°), (‘) y (’’). En primer lugar separaremos la parte entera de la parte decimal: 12,26° = 12° + 0,26° Ahora transformamos la parte decimal a (‘): Finalmente transformamos la parte decimal que queda en (‘’): 12°15,6’ = 12° 15’ + 0,6’· 60'' 1' = 12°15’ 36’’ 12,26° = 12° + 0,26°· 60' 1º = 12°15,6’
- 12. Es el sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal (1g), definida como la medida del ángulo central que subtiende un arco equivalente a 1/400 de una vuelta o circunferencia. SISTEMA CENTESIMAL En (g) En (m) En (s) Una vuelta (v) 400 40 000 4 000 000 Un grado (g) 1 100 10 000 Un minuto (m) 1 100 Un segundo (s) 1 1 100 1 10 000 1 100 1 s < 1m < 1g < 1 v
- 13. Si la medida de un ángulo contiene x grados, y minutos y z segundos centesimales, estos se anotan así: xg + ym + zs = xg ym zs donde y y z son menores que 100. a) 45g = Ejemplo.-Determinemos a cuántos (s) equivalen 45g. b) 4 500m 45(100m) 4500m = 450 000s Lo que haremos es calcular a cuántos (m) equivalen los grados dados, a continuación calcularemos a cuántos (s) equivale el resultado obtenido. Veamos: 45g = = 4500 (100s)
- 14. Es el sistema que tiene por unidad al radián, denotado por rad. Para efectos de comparación con los otros sistemas de medidas angulares diremos que el radián es la medida del ángulo central que subtiende un arco equivalente a una vuelta dividida por 2p. p 1 1 2 v rad 1v = 2p rad donde: p 3,1416 SISTEMA RADIAL En términos geométricos diremos que 1 rad, es la medida de un ángulo central que subtiende un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.
- 15. 2p rad = 360º Ejemplo 1.- Determinemos a cuántos (º) equivale 1 rad. Lo que haremos es comparar grados sexagesimales y radianes con aquello que les es común: la vuelta. Así tenemos que: 2p rad = 1 v, y 1 v = 360º Luego, por la ley transitiva de la igualdad, se tiene: p 360º 1 2 rad 1 57,296º rad Ejemplo 2.- Determinemos a cuántos (g) equivale 1 rad. Procediendo de manera análoga al ejemplo anterior, tenemos que: 2p rad = 1 v, y 1v = 400g 2p rad = 400g p 400 1 2 g rad g 1 63,662 rad
- 16. Conversión entre grados sexagesimales y grados centesimales Como: 1v = 360º = 400g CONVERSIÓN DE UNIDADES 9º = 10g g g 9º 10 1 9º 10 Factor de conversión: El primer factor , se emplea para convertir g 9º 10 El segundo factor , se emplea para convertir g 10 9º (g) a (º). (o) a (g). a) 80g a (°) Ejemplos.- Convertir: b) 54° a (g) 80g · = 72° g 9º 10 54°. = 60g g 10 9º
- 17. Cambiando el sentido del ángulo BOC, para luego sumarlo con el ángulo AOB, tendremos: x° + yg = 180° . . . (1) Pero por condición: 4x° = yg . . . (2) Reemplazando (2) en (1), tendremos: x° + 4x° = 180° 5x° = 180° x = 36 Finalmente : y = 160 Sustituyendo en (2): 4(36)º · = yg g 10 9º Prob. 10 (LIBRO) Determina , sabiendo que: 4xº = yg. Además se sabe que éstos son como se muestra en la figura: x+ y 36 160 14 x+ y +
- 18. Conversión entre grados sexagesimales y radianes Como: 1v = 360º = 2p rad 180º = p rad 180º rad 1 rad 180º p p Factor de conversión: El primer factor , se emplea para convertir p 180º rad El segundo factor , se emplea para convertir p 180º rad (rad) a (º). (o) a (rad). Ejemplos.- Convertir: b) 120° a (rad) = 45° 120°. = p 180º rad a) rad a (°) p 4 p p 180º rad 4 rad p 2 rad 3
- 19. Conversión entre grados centesimales y radianes Como: 1v = 400g = 2p rad 200g = p rad rad rad g g 200 1 200 p p Factor de conversión: El primer factor , se emplea para convertir p g 200 rad El segundo factor , se emplea para convertir p g 200 rad (rad) a (g). (g) a (rad). Ejemplos.- Convertir: b) 80g a (rad) = 50g a) rad a (g) p 4 p p g 200 rad rad 4 p 2 rad 5 p g g g 80 1 80 200 rad
- 20. Prob. 11 (LIBRO) La suma de dos ángulos es 56° y la diferencia de los mismos es 60g. Encontrar la medida del menor de dichos ángulos en radiantes. Sean y los ángulos mayor y menor respectivamente, luego de las condiciones dadas se debe cumplir que: + = 56° – = 60g Puesto que la medida del ángulo se pide en radianes, convertimos los segundos miembros a radianes, así: p p g 3 60 10 200 g rad rad Estas mismas condiciones quedan así: rad rad 56º 180º 15 p p 3 10 p - 14 45 p + Resolviendo: 180 p
- 21. Llamamos así a la relación matemática mediante la cual la medida de un ángulo, expresada en uno de los sistemas, puede expresarse en cualquier otro sistema. FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Si Sº; Cg y R rad representan la medida de un ángulo expresada en cada uno de los tres sistemas, entonces se debe cumplir que: Convirtiendo S y C a radianes tendremos: Sº = Cg = R rad p p g g Sº C R 180º 200 rad rad rad S C R 180 200 p S = Número de grados sexagesimales. C = Número de grados centesimales. R = Número de radianes. Donde:
- 22. Es un grupo importante de ejercicios en los que la medida de un ángulo en un sistema está relacionada, de un modo específico, con su medida en otro sistema. TRANSFORMACIONES CONDICIONADAS La clave de este proceso consiste en expresar la medida del ángulo trigonométrico en los tres sistemas mediante un mismo parámetro. p S C R = = 180 200 k S = 180 C = 200 R = S = 9 C = 10 R = 20 k k k r r r p p Y si hacemos = , setiene : 20 r k De la fórmula general despejamos y obtenemos:
- 23. Prob. 21 (LIBRO) Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo, calcular el número de radianes de dicho ángulo si se cumple que: S + C + R = 383,1416 Nos piden calcular «R»: Recordando que: S = 180 k ; C = 200 k ; R = pk 180 k + 200 k + pk = 383,1416 Reemplazamos en la relación dada: 380 k + pk = 380 + 3,1416 k(380 + p) = 380 + p k = 1 R = p R = pk = p(1)