Cap.1 elasticidad

1
CÁPITULO
ELASTICIDAD
Objetivo:
Comprender los cambios de forma de los solidos para demostrar y estudiar sus
propiedades mecanicas.
1. Introducción
La materia se clasifica en tres estados; solidos, líquidos y gases. Los líquidos y gases fluyen
con facilidad por esta razon se los denomina fluidos.
Los solidos son cuerpos que se caracterizan por tener forma y volumen definido, esto se
debe a que las partículas que lo forman estan unidas por fuerzas de atraccion grandes de
modo que ocupan posiciones casi fijas.
En el estado solido las partículas solamente pueden moverse vibrando u oscilando
alrededor de las posiciones fijas, pero no pueden moverse trasladandose libremente a lo
largo del solido, así mismo las partículas en el estado solido, se disponen de forma ordenada
con una regularidad espacial geometrica, que da lugar a diversas estructuras cristalinas. Al
aumentar la temperatura aumenta la vibracion de las partículas.
2. Clases de sólidos
Todos los materiales solidos pueden clasificarse de acuerdo a sus estructuras moleculares
en cristalinos y amorfos.
2.1. Sólidos cristalinos
En los solidos cristalinos sus partículas que lo constituyen se distribuyen en forma regular
y periodica; es decir tienen una simetría exterior y son anisotropicos porque sus
propiedades físicas son diferentes, en diferentes direcciones por ejemplo: el coeficiente de
dilatacion lineal y la conductividad termica tienen diversos valores en diferentes direcciones
2.2. Sólidos amorfos
Estos solidos carecen de formas definidas; es decir sus partículas estan distribuidas al azar
presentando una estructura irregular (no tiene simetría) y son isotropicos porque sus
propiedades físicas son las mismas en todas las direcciones, ejemplo el vidrio, resina, etc.
2.3. Propiedades mecánicas de los sólidos

Se refieren a la capacidad del material para soportar una fuerza o carga aplicada que se
refleja en la deformacion, estas propiedades son:
2.3.1. Elasticidad
Es la capacidad que tienen los cuerpos para recuperar su forma y dimensiones originales
cuando la fuerza aplicada deja de actuar.
2.3.2. Plasticidad
Es la capacidad de los cuerpos de permitir grandes deformaciones sin romperse, ejemplo:
el estirado, doblado, trifilado, etc.
2.3.3. Rigidez
Es la capacidad de los materiales a oponerse a las deformaciones
2.3.4. Resistencia
Es la capacidad de oponerse a la rotura del material.
2.3.5. Ductilidad
Es la capacidad de los solidos para transformarse en hilos finos o alambres.
2.3.6. Tenacidad
Es la energía que un material absorbe antes de romperse
2.3.7. Dureza
Es la capacidad de un material de oponerse a ser rayados, cortados, desgastados o
penetrados.
2.3.8. Fragilidad
Tendencia de los materiales a romperse cuando se los aplica una fuerza.
2.3.9. Maleabilidad
Capacidad de los solidos para convertirse en laminas delgadas bajo fuerzas de compresion.
3. Ley de Hooke
En la Figura 1 se muestra un resorte en equilibrio, se le aplica una fuerza de extension al
colgarlo un peso, el resorte se extendera una distancia ∆𝑥. Si la carga se duplica se duplicara

el estiramiento, si triplicamos el peso se triplicara tambien el estiramiento y así
sucesivamente hasta un intervalo limitado.
0
x
x
x
F
Figura 1 F
La relacion que existe entre la fuerza aplicada 𝐹 y el estiramiento ∆𝑥, es proporcional
𝐹 ≈ ∆𝑥 (1)
Igualando la ecuacion (1) a una constante de proporcional k
𝐹 = −𝑘∆𝑥 (2)
El signo menos nos indica que fuerza y estiramiento, tienen sentidos contrarios. (Ver Figura
2)
La constante de proporcionalidad k varía de acuerdo al tipo de material y recibe el nombre
de constante del resorte o coeficiente de rigidez.
𝑘 =
𝐹
𝛥𝑋
(3)
Sus unidades son: ( / , / , / , / lg
N m Dina cm Kp m lbf pu ).

La ecuacion (2) es la ley de Hooke, es una relación lineal de la región elástica del
material, ver la Figura 3.
F
x
Figura 3
La Ley de Hooke puede formularse de manera mas util en funcion del esfuerzo y
deformacion.
4. Esfuerzo
Los esfuerzos son las fuerzas internas que se generan dentro de los cuerpos sometidos a
cargas externas (fuerzas externas).
Si se tiene una barra de seccion transversal uniforme A y longitud 𝐿0, sometido en sus
extremos a fuerzas externas F de traccion y compresion iguales y opuestas, entonces la
barra esta sometida a tension (Figura 4), dicha tension es la medida de la fuerza que causa
una deformacion.
Tracción Tracción
Compresión Comprensión
F
F
F
F
A
A
Figura 4
Si realizamos un corte de manera perpendicular a la barra. (Figura 5)
A
Figura 5
F
F
F
F
A
i
F

Las fuerzas de la izquierda como de la derecha han de estirar la barra uniformemente sobre
la seccion transversal A como indican las flechas cortas en la barra. ( i
F Fuerzas internas).
Por tanto el esfuerzo σ en la seccion se define como la razon de la fuerza F al area A de
la barra.
F
σ
A
(4)
Sus unidades son: ( 2 2 2 2
/ , / , / , / lg
N m Dina cm Kp m lbf pu )
Ahora realicemos un corte en la barra de manera oblicua (Figura 6)
F F
Figura 6
F F
A A
i
F
A´
A´
La fuerza F esta distribuida sobre un area 𝑨′
y no es perpendicular a la seccion. Si
representamos por un solo vector de magnitud F , la resultante de esta fuerza se
descompone en una fuerza normal o perpendicular F y la otra fuerza tangente o paralelo
𝐹‖ ambos a la superficie 𝑨′
(Figura 7). Los esfuerzos normal y tangencial son:
'
F
σ
A
(5)
'
F
σ
A
(6)
Ahora si analizamos un bloque de seccion cuadrada sometido a dos pares de fuerzas iguales
y opuestas 𝑭𝒙 y 𝑭𝒚 distribuidas sobre su superficie que se encuentran en equilibrio en
todas partes del bloque (Ver Figura 8).
Figura 7
F丄
F
θ
A
A´ F
Figura 8
x
F
x
F
y
F y
F

Si realizamos un corte diagonal al bloque cuadrado las fuerzas distribuidas sobre la cara
diagonal del bloque han de tener una fuerza resultante F; cuyos componentes son 𝑭𝒙 y 𝑭𝒚
que son iguales en magnitud (Ver Figura 9).
F F
x
F x
F
y
F
y
F
x
F x
F
y
F
y
F
Figura 9a Figura 9b
Figura 9
El esfuerzo en la seccion de la cara de la (Figura 9a), es una compresion pura; aunque los
esfuerzos en la cara vertical y en la base son esfuerzos cortantes (tangenciales). Igualmente
en la (Figura 9b) se observa que el esfuerzo en la cara diagonal es una tension pura.
Finalmente consideramos un fluido sometido a presion. Si existe un esfuerzo cortante en
cualquier punto de un fluido, este desliza lateralmente mientras se mantiene el esfuerzo.
Por consiguiente en un fluido en reposo, el esfuerzo cortante es nulo en todas partes. La
Figura 10 representa un fluido en el interior de un cilindro provisto de un piston, sobre el
que se ejerce una fuerza hacia abajo. El triangulo representa una porcion del fluido en forma
de cuna. Si despreciamos de momento el peso del fluido, las unicas fuerzas que actuan sobre
esta porcion son las ejercidas por el resto del fluido y como estas fuerzas no pueden tener
componente cortante (tangencial), han de ser normales (perpendiculares) a la superficie
de la cuna.
X
F
Ax
Y
F y
A
X
F
F
Y
F
A
θ
θ
Figura 10
Si 𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 y 𝑭 son las fuerzas que actuan sobre las tres caras del triangulo y como el fluido se
encuentra en equilibrio, se tiene:
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝐹𝑥
𝐹
; 𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑒𝑛 𝜃 (7)
cos 𝜃 =
𝐹𝑦
𝐹
; 𝐹𝑦 = 𝐹 cos 𝜃 (8)
Tambien:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝐴𝑥
𝐴
; 𝐴𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜃 (9)
cos 𝜃 =
𝐴𝑦
𝐴
; 𝐴𝑦 = 𝐴 cos 𝜃 (10)
Operando con las ecuaciones (7), (8), (9) y (10), se obtiene:
𝐹𝑥
𝐴𝑥
=
𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃
=
𝐹
𝐴
(11)
𝐹𝑦
𝐴𝑦
=
𝐹 cos 𝜃
𝐴 cos 𝜃
=
𝐹
𝐴
(12)
𝐹𝑥
𝐴𝑥
=
𝐹𝑦
𝐴𝑦
=
𝐹
𝐴
(13)
La ecuación (13) indica que la fuerza por unidad de área es la misma, independientemente
de la dirección de la sección, y es siempre una compresión. Cualquiera de los cocientes
anteriores define la presión hidrostática del fluido.
𝑃 =
𝐹
𝐴
(14)
Sus unidades son: ( 2 2 2 2
/ , / , / , / lg
N m Dina cm Kp m lbf pu ). La presión es una magnitud
escalar y no tiene una dirección específica, es decir la presión en un fluido en reposo es la
misma en todas las direcciones.
5. Deformación
La deformación de un cuerpo es el cambio relativo en dimensiones o forma ante la presencia
de fuerzas externas sobre él.
5.1. Deformación unitaria
Consideremos una barra de longitud inicial 𝑳𝟎 y sección transversal A sometido a una fuerza
de tracción F, bajo la acción de esta fuerza aumenta una longitud ∆𝑳 = 𝑳 − 𝑳𝟎, (Ver Fig. 11),
pero esta barra también puede disminuir de longitud, si las fuerzas se aplican en sentido
contrario, en este caso la barra se ha comprimido y la dimensión de longitud es ∆𝑳 = 𝑳𝟎 − 𝑳
.
La deformación longitudinal o unitaria se define como el cociente entre el cambio de
longitud ∆𝑳 a la longitud inicial 𝑳𝟎 y es una cantidad sin unidades (adimensional).
𝜀 =
∆𝐿
𝐿𝑜
(15)
Figura 11
0
L
 L
L
F F

5.2. Deformación por cizalladura
Esta deformación se origina cuando se aplican fuerzas cortantes a dos aristas
diagonalmente opuestas en el cuerpo, ocasionando la variación de la forma del cuerpo y no
existe cambio de volumen (Ver Figura 12). Se define como la razón del desplazamiento 𝒙
del vértice b a b’ a la dimensión transversal 𝒉 = 𝒂𝒃

h
a d
c
b ı
b
F
F
c ı
Figura 12
x
tan
h


x
(16)
Si h
x , entonces tan 
  , la deformación por cizalladura, es:
h


x
( en radianes) (17)
5.3. Deformación volumétrica
La deformación volumétrica se produce por la acción de la presión hidrostática, se define
como el cociente de la variación de volumen ∆𝑽 al volumen inicial 𝑽𝟎 y no tiene unidades.
𝜀v =
∆𝑉
𝑉𝑜
(18)
6. Módulo de elasticidad
Teniendo en cuenta lo que es el esfuerzo y la deformación, la Ley de Hooke se aplica de
manera general indicando que en todo cuerpo elástico los esfuerzos resultan
proporcionales a las deformaciones
𝜎 ≈ 𝜀 (19)
Igualando la ecuación (19) a una constante de proporcionalidad E.
𝜎 = 𝐸𝜀 (20)
𝐸 =
𝜎
𝜀
=
𝐿0 𝐹
𝐴 ∆𝐿
(21)
Donde E es el módulo de Young o elástico del material y nos indica que tan rígido es un
material, si no excede el límite elástico el módulo de Young del material es constante que

depende solo de la naturaleza del material. Las unidades son:
( 2 2 2 2
/ , / , / , / lg
N m Dina cm Kp m lbf pu )
6.1. Diagrama esfuerza – deformación
La relación entre el esfuerzo y deformación es válida por debajo de un cierto límite de
proporcionalidad, que depende de las propiedades del material. Por encima de este limite
la relación entre esfuerzo y deformación es más complicado, mejor analicemos en un
diagrama 𝜎 = 𝑓(𝜀) (Ver Figura 13).
σ
ε
Zona
elastica
A B
C
D
Zona
plastica
Figura 13
Con base a la gráfica la curva puede dividirse en dos zonas:
 Zona Elástica
En la zona OA la deformación aumenta proporcionalmente con el esfuerzo,
cumpliendo con la ley de Hooke (relación lineal). El punto A es el límite de
proporcionalidad, a partir de este limite la deformación no varía linealmente con el
esfuerzo, ambos siguen aumentando hasta que se alcance el limite elástico punto B
que es el máximo esfuerzo que se le puede aplicar al material sin que ocurran
deformaciones permanentes. Si la fuerza se suprime en este límite o en un punto
anterior, el material recupera su tamaño original.
 Zona Plástica
Esta zona comienza donde termina la zona elástica. En la zona plástica empieza la
deformación permanente hasta llegar al punto C que es el esfuerzo máximo, a partir
de este punto si seguimos aumentando la tensión del cuerpo sufre un
endurecimiento por deformación hasta el punto D produciéndose la ruptura o
fractura.
El diagrama esfuerzo – deformación da una información completa de las propiedades
mecánicas de un material, conociendo el límite de proporcionalidad el punto de fluencia o
límite elástico y el punto de ruptura del material.
7. Módulo de torsión

El módulo de torsión de un material mide la resistencia a una fuerza aplicada
tangencialmente a una superficie, se define como la razón del esfuerzo cortante a la
deformación por cizalladora producida.
F
σ h F
A
G
φ A
h
| |
| | | |
x x
(22)
Sus unidades son: 2 2 2 2
( / , / , / , / )
N m ina cm Kp m lbf pulg
D
8. Módulo de compresibilidad
El módulo de compresibilidad relaciona la presión hidrostática con la deformación
volumétrica y mide la resistencia de los sólidos o fluidos a los cambios en el volumen. Se
define como la razón negativa de la variación de presión a la deformación volumétrica
producida por ella.
𝐵 = −
∆𝑃
∆𝑉
𝑉𝑜
= −𝑉
𝑜
∆𝑃
∆𝑉
(23)
El signo menos significa que un aumento de presión origina una disminución de volumen,
o sea ∆𝑃 es positivo ∆V es negativo. El módulo de compresibilidad en si es una cantidad
positiva. 2 2 2 2
( / , / , / , / )
N m ina cm Kp m lbf pulg
D
8.1. Coeficiente de compresibilidad
Se define como el inverso del módulo de compresibilidad
0
1 V
K
B V P
— (24)
Sus unidades son: 2 2 2 2
( / , / , / , / )
m N cm ina m Kp pulg lbf
D
9. Coeficiente de Poissón
Se define como el cociente de la contracción lateral por unidad de ancho ∆𝑤/𝑤o al
alargamiento longitudinal por unidad de longitud ∆𝐿/𝐿o. (Ver Figura 14)
Figura 14
0
L
 w
0
w
 L

𝜇 = −
∆𝑊
𝑊0
∆𝐿
𝐿0
= −
𝐿0 ∆𝑊
𝑊0 ∆𝐿
(25)
El coeficiente de Poissón no tiene unidades y varía entre 0,1 y 0,3. El signo menos indica un
acortamiento en las dimensiones transversales.
10. Esfuerzos térmicos
La mayoría de los sólidos se expanden cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían;
afectando todas las dimensiones de un cuerpo con un cambio en el volumen resultante.
Si los extremos de una barra se fijan rígidamente (Ver Figura.15) para impedir la dilatación
o contracción cuando varia la temperatura aparecen esfuerzos de tensión o de compresión
llamados esfuerzos térmicos. Estos esfuerzos pueden ser tan grandes, originando en la
barra esfuerzos que sobre pasen el límite de elasticidad e incluso el de ruptura, por esta
razón al diseñar cualquier estructura que este expuesto a cambios de temperatura se debe
tomar en cuenta el esfuerzo térmico. Por ejemplo en el diseño de un puente uno de sus
extremos esta rígidamente fijo y el otro extremo descansa sobre rodillos para dilatarse o
contraerse.
Figura 15
0
L
A
Calculemos el esfuerzo térmico de la barra de sección transversal A y longitud 𝐿0 sujeto en
ambos extremos (Figura 15). Al aumentar la temperatura ΔT, se produce una dilatación
originando un aumento de longitud ∆𝐿.
∆𝐿 = 𝛼𝐿0 ∆𝑇 (26)
pero como la barra no puede dilatarse por estar sujeto en sus extremos, la barra quedara
sometido a un esfuerzo al ser impedido el alargamiento por el empotramiento, entonces la
deformación de la barra es.
∆𝐿 =
𝐹 𝐿0
𝐴 𝐸
(27)
Igualando la ecuación (27) con (26) y operando se tiene el esfuerzo térmico.
𝐹 𝐿0
𝐴𝐸
= 𝛼𝐿0 ∆𝑇 (28)

𝜎 =
𝐹
𝐴
= 𝛼 𝐸 ∆𝑇 (29)
donde 𝛼 es el coeficiente de dilatación lineal del material 0 1
( )
C—
, E módulo Young del
material (N/m²) y T
 variación de temperatura ( )
C
° .
Si se encierra un material en un recipiente muy rígido de forma que su volumen no puede
variar, un aumento de temperatura T
 va acompañado de un aumento de presión P
 ,
realizando un análisis similar que las ecuaciones (26) y (27).
∆𝑉 = 𝛾𝑉0 ∆𝑇 (30)
∆𝑉 =
∆𝑃 𝑉0
𝐵
(31)
Igualando las ecuaciones (30) con (31) y operando.
𝛾 𝑉0∆𝑇 =
∆ 𝑃 𝑉0
𝐵
(32)
∆𝑃 = 𝛾 𝐵∆𝑇 (33)
donde 𝜸 coeficiente de dilatación volumétrica 1
( )
C —
° , B módulo de compresibilidad
(N/m²), T
 variación de temperatura ( )
C
° y P variación de presión (N/m²).
11. Constante de recuperación
Los distintos módulos de elasticidad son cantidades que describen las propiedades elásticas
de un material particular; pero no indican directamente cuanto se deforma una barra, cable
o resorte bajo la acción de una carga externa. Si operamos con la ecuación conocida.
𝐸 =
𝐹 𝐿0
𝐴 ∆𝐿
(34)
𝐹 =
𝐴 𝐸 ∆𝐿
𝐿0
(35)
Realizando un cambio de variable en la ecuación (35).
𝐸 𝐴
𝐿0
= 𝑘 , ∆𝐿 = ∆𝑥 (36)
Sustituyendo la ecuación (36) en (35)
𝐹 = 𝑘 ∆𝑥 (37)
la ecuación (37) es conocida como la Ley de Hooke, despejando 𝑘.
𝑘 =
𝐹
∆𝑋
=
𝐸 𝐴
𝐿0
(38)
La constante de recuperación o coeficiente de rigidez k es razón de la fuerza al
alargamiento, también es al producto del módulo de Young y área por la unidad de
longitud, sus unidades son: (N/m, Dina/cm, Kp /m).

PROBLEMAS RESUELTOS
Ejercicio 1 Hallar la carga que puede suspenderse de un alambre de acero de 1mm de
radio; sí el maximo alargamiento es del 0.30% de su longitud inicial.
Solución.
a
L L
N
E
m
R mm
3
0
11
2
0,30
3 x10
100
2x10
1
n
mm
1
x
1000
m
3
1 10
x
mm
0
L
m
0
σ E L
E σ E ε
ε L
0
11 3
2
(2x10 )(3x10
L
N
σ
m 0
L
)
8 2
6x10 /
σ N m
2
F
σ F σ A π R σ
A
3 2 8
(1 10 ) (6 x 10 )
F π x
3
1884,95 1.8x10
F N N 1.8 KN
Ejercicio 2 Una varilla de Laton de 1.40m de longitud y area transversal de
2
2cm se
sujeta por un extremo al extremo de una varilla de Níquel de longitud L y seccion de
2
1cm .
La varilla compuesta se somete a fuerzas iguales y opuestas de
4
4x10 N en los extremos.
a) Calcular la longitud L de la varilla de Níquel, si el alargamiento de ambas varillas es
el mismo.
b) Qué esfuerzo, se aplica a cada varilla.
c) Qué deformación sufre cada varilla.
Solución
Latón Níquel
4
4 10 N
x 4
4 10 N
x

laton laton
L m A cm m
2 4 2
1.40 , 2 2 10
x
niquel niquel
L A cm m
4 2 4 2
? , 1 10 10
· · · x x
4 10 2 10 2
4 10 , 21 10 / , 9 10 /
Ni La
F N E N m E N m
x x x
) Lant ón Niquel
a L L
La La Ni Ni
La La Ni Ni
F L F L
A E A E
Ni Ni La
Ni
La La
A E L
L
A E
4 2
(1 10 m
x 10 2
) (21 x10 /
N m
4 2
)(1.4 )
(2 10
m
m
x 10 2
)(9 x10 )( /
N m )
Ni
L 1.63 m
4
8 2
4 2
4 x10
) 4 x10 /
1x10
Ni
N
b σ N m
m
4
4 2
4x10
2x10
La
F N
σ
A m
8 2
2x10 N m
) /
c ε σ E
8
2
4 x10
Ni
N
m
ε
11
2
21 x10 N
m
3
1 90x10
.
La
ε 8 11
2x10 9x10
3
2 22x10
.
Ejercicio 3 Una masa de 5Kg cuelga de un alambre de acero vertical de 0.5 m de largo
y
2
0.004 cm de seccion transversal. Del extremo inferior de esta masa cuelga otro alambre
de acero similar que soporta una masa de 10Kg. Hallar a) La deformacion longitudinal, b)
El alargamiento de cada alambre.
Solución

1
2
1 2
5
0.5
0.004
m Kg
L m
A A cm
2
2 2
1
x
(100)
m
cm
7 2
2
4 x10
10
m
m Kg
acero
E N m
10 2
20x10
1
2
) ?
?
Hallar
)
?
a ε
L
b
L
· · ·
· · ·
· · ·
1
m
2
m
Diagrama de un cuerpo libre para la masa 2
m del extremo inferior.
2 2 2
2 2
2
2 7 10
2
10 9 81
0 00122
4 10 20 10
0 5 0 00122 0 00061
( )( , )
,
( )( )
( . )( , ) ,
T W m g
T m g
σ
ε
E A E A E
ε m
L
ε L L ε
L
L m
x x
T2
m g
2
Diagrama de un cuerpo libre para la masa 1
m del extremo superior.
1 1 2 1 2
1 2
1
1 7 10
1
1
1
( )
( ) 9,81(10 5)
( 4 10 )(20 10 )
0,00183
(0,5)(0,00183)
0,000915
T m g m g g m m
g m m
T
ε
AE AE
ε
L L ε
L m
x x
T1
m g
2
m g
1
Ejercicio 4 Una varilla de 4m de longitud y de
2
0.6cm de seccion, se alarga cm
0.6
cuando se suspende de su extremo un cuerpo de 500 K p estando fijo el otro, extremo.
Hallar las siguientes magnitudes:
a) Constante de Hooke.
b) Deformación unitaria.

c) Módulo de Young.
d) Contracción lateral y radio de la varilla (coeficiente de Poissón es 0,2).
e) Energía elástica.
Solución
2
4
0,6
L m
A c m
2
2
1
x
100
m
c m
5 2
6 10
0,6
m
L cm
x
1
x
100
m
cm
3
6 10
500
m
W K p
x
9,81
x
1
N
K p
4905 N
Datos
W T
T
a) F k L
3
4905
6 x10
F N
k
L m
5
8,175x10 N
m
3
6 x10
b)
L m
ε
L 4 m
3
1,5x10
5 2 3
4905
c)
(6 x 10 )(1,5x 10 )
σ F N
E
ε A ε m
3 2
1,5x10 /
N m
)
W W
W W
d μ
L ε
L
— —
3
(1,5x 10 ) (0,2)
W
ε μ
W
4
3x10
El area de una seccion circular es: 𝐴 = 𝜋 𝑅2
despejando R .
5 2
6 x10
A m
R
π π
3
4,37x10 m
2 5 3 2
1 1
) (8,175x 10 )(6 x 10 )
2 2
e E k L 14,7 J
Ejercicio 5 Una barra de acero 4cm de diametro se calienta de modo que su temperatura
aumenta en
0
70 C y despues se fija entre dos soportes rígidos. Se deja que la barra se enfrie
hasta su temperatura original. Suponiendo que el modulo de Young para el acero es
10 2
20,6x10 N m y su coeficiente de dilatacion lineal es
6 1
11 x 10 C
° —
. Calcule la
tension en la barra.
Solución

D cm
R cm
4
2
m
1
x
cm
100
m
T C
E N m
α C
2
10 2
6 1
2 10
70
20,6 10 /
11 10
x
x
x —
°
°
0
0
F
F L
σ A
E E
L
ε A L
L
0
L L α T
0
0
(
E A L
E A L
F
L 0
)
α T
L
2
F E A α T π R E α T
2
(2x10
F π m 2 10
2
) (20,6 x10 N
m
6 0 1 0
)(11x10 )(70 )
C C
199327,7707
F N
F
5
1,99x10 N
Ejercicio 6 Entre dos columnas fue tendido un alambre de longitud 2L . En el alambre
exactamente en el centro, fue colgado un farol de masa M . El area de la seccion transversal
del alambre es A el modulo de elasticidad es E . Determinar el angulo de pandeo del
alambre, considerandolo pequeno. (Ver Figura 1).
Solución
α
α
α
α
T
T
M
1
Y
T
2
Y
T
1
X
T
2
X
T
M g
X
T T c o s α
2
Y
T T s i n α
2
Figura 1
X
T T c o s α
1
Y
T T s i n α
1
M g
2L
s e nα s e nα
0
F
T cosα T cosα
x
—
y
F
T sen α T senα M g
T senα M g
Mg
F T
senα
0
2
( 1 )
2
Pero:
0
(2)
F L
E
A L
Reemplazando la ecuacion (1) en (2):
M g L M g L
E s e n α
s e n α A L A L E
0 0
2 2
Si el ángulo es muy pequeño, s en α α

α
M gL
A E L
2
Ejercicio 7 Un alambre cilíndrico de acero de 2m de largo con un diametro de seccion
transversal de 4 mm se coloca sobre una polea ligera sin friccion, con un extremo del
alambre conectado a un cuerpo de 5 Kg y el otro extremo conectado a un cuerpo de 3 .
Kg
¿Cuanto se estira el alambre cuando los cuerpos estan en movimiento?
Solución
1
m g
2
m g
a a
T T
m Kg
m Kg
D mm
R mm m
1
2
3
5
3
4
2 2 10
x
Datos
Y
F m a
T m g m a
1 1
—
T m g m a
2 2
—
1 2 1 2
( ) ( )
m m g a m m
—
2
m
1
m
2
L m
10 2
20 10 /
E N m
x
1 2
1 2
( ) (2
m m g Kg
a
m m
— 2
)( 9,81 / )
8
m s
Kg
a
2
2,45 /
m s
2
2 2 2( ) 3 (2,45 9,81) /
T m a m g m a g kg m s
T 36,78 N
F L
E
A L
3 2 10
(36,78)(2)
(2x10 ) (20x10 )
F L
L
AE π
5
2,92x10
L m
1000
x
1
mm
m
0,029 mm
Ejercicio 8 Una barra homogenea de masa 100kg esta suspendida de tres alambres
verticales de la misma longitud situados simetricamente. Determinar la tension de los
alambres si el alambre del medio es acero y los otros de cobre. El area de la seccion
transversal de todos los alambres es igual. El modulo de Young del acero es dos veces mayor
que el del cobre (Ver Figura).
Solución

Cu
Cu
T
Acero
a
T
Cu
Cu
T
W mg
100
2
a C u
a C u
a C u
m Kg
E E
L L
A A
T L
L
A E C u a
L L
Datos
F
σ F L T L
A
E
L
ε A L A L
L
C u C u
T L
C u
A
a a
C u
T L
E a
A a
E
C u
C u
T
E
a a
a C u
T T
E E
2 C u a
T T
1
(2)
2
y
C u a C u
F
T T T mg
0
C u a
T T m g
2 (1)
Reemplazando la ecuacion (2) en (1)
2 a
T
2
a a
T T m g
2
a
m g
T
2
Kg m s2
(100 )(9,81 / )
2
N
490,5
C u
T
490,5
2
N
245,25
Ejercicio 9 Una barra rígida horizontal de 1,20 m de longitud, de seccion constante y
que pesa 50 Kp esta sostenido por dos alambres verticales, uno de acero y el otro de cobre.
Cada alambre tiene 1,5m de longitud y
2
3m de seccion. El alambre de cobre esta sujeto a
un extremo de la barra y el alambre de acero a una distancia x , tal de este extremo que
ambos alambres se alarguen la misma cantidad. Calcular, a) tension de cada alambre, b) la
distancia .
x (Ver Figura)
Solución
L m W Kp
1.20 , 50
N
Kp
9.81
1
x N
490,5

11 2 11 2
1.1 10 / , 2.0 10 /
Cu Acero
E N m E N m
x x
0
Y
F
0
C u a
T T mg
(1)
C u a
T T mg
Los alargamientos
son iguales
C u a
L L
C u C u
T L
A
a a
C u
T L
E A a
E
;
C u a C u a
L L A A
( 2)
C u a
C u a
T T
E E
x
C u
T
Cobre Acero
a
T
L
2
L
mg
A B
11
11
2 10
1.81
1.1 10
a
a Cu Cu Cu
Cu
E
T T T T
E
x
x
(3)
Reemplazando (3) en (1)
1.81 490.5
C u C u
T T
490.5
2.81 490.5 174.5
2.81
C u C u
T T N (4)
Reemplazando (4) en (3)
a
T N N
1.81(174.5 ) 315.9
Para calcular x se toma 0
A
M
0
2 2
a a
L L
T m g T mg
x x
— — —
x
(490.5)(1.20)
0.93
2 2(315.9)
a
mg L
m
T
Ejercicio 10 La figura representa la seccion esquematica de un balcon. La carga total,
uniformemente repartida es de 600 KN y esta soportada por tres varillas de la misma
seccion y el mismo material. Determinar, las tensiones que soporta cada varilla. Se supone
al suelo colgante como perfectamente rígido y tengase en cuenta que no queda
necesariamente horizontal.
Solución
, , 5 , 6
A B C A B C A B C
E E E A A A L m L L m

3 m 3 m
5 m
6 m 6 m
4 m 2 m
A
B C
600
W KN
3 m 3 m
4 m 2 m
A
A
T B
T C
T
W
M
4 m
6 m
α
B
L
A
L
C
L
A C
L L
0
Y
F
(1)
A B C
T T T W
0
A
M
4 6 3 0
B C
T T W
4 6 3 (2)
B C
T T W
A
B
L
L
A C A B
L L L L
tg α tg α
6 4
— —
Igualando las expresiones anteriores se tiene que tgα tgα :
6 4
A C A B
L L L L
4 4 6 6
A C A B
L L L L
2 6 4
A B C
L L L
— —
3 2 (3)
A B C
L L L
— —
Si. (4)
T L T L
E L
A L A E
reemplazando la ecuacion (4) en (3)
A A
T L
A E
—
3 B B
T L
A E
—
2 C C
T L
A E
+
5 18 12 0 (5)
A B C
T T T
—

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (5), se obtienen las tensiones:
A B C
B C
A B C
T T T W
T T W
T T T
4 6 3
5 18 12 0
51 51(600)
166 166
B
W
T 184,33 KN
3(600) 4(184,33)
3 4
6
C B
T W T
—
— 177,11 KN
600 184,33 177,11
A B C
T P T T 238,56 KN
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) ¿Que diametro mínimo debe tener un cable de acero de esfuerzo de rotura igual
a 7,85x108 N/m2 para soportar una carga de peso 9,86x103 N?
2) Del extremo de un cable de acero de longitud 4 m y seccion transversal de diametro 2
mm se cuelga un hombre de peso 686 N. hallar la deformacion en la longitud del cable.
3) El coeficiente de compresibilidad del agua es 44x10-6 atm-1.Hallar la disminucion del
volumen de 100 cm3 de agua al someterla a una presion de 150 atm.
4) A dos caras opuestas de un cubo compacto de acero de lados 25 cm y modulo de rigidez
8,2x106 N/cm2 se aplican fuerzas de extension opuesta de 4900 N cada una. Hallar el
desplazamiento relativo.
5) Al elevar verticalmente un bloque de peso 1x104 N con un cable de longitud 2 m area de
seccion 0,1 cm2 y modulo de Young 2x1011 N/m2, este experimenta un alargamiento de 14
mm. Hallar la aceleracion con la que se elevo el bloque.
6) ¿En cuanto se comprime la columna de una catedral de altura 30 m, densidad 2,7 g/cm3
y modulo de Young1x1011 N/m2, debido a su propio peso?
7) Con una llave inglesa de 25 cm de longitud ejercemos una fuerza de 500 N alrededor de
una barra cilíndrica de acero de 2cm de radio, fija al suelo por uno de sus extremos. Calcular
el angulo de torsion producido si la barra mide 1m de longitud y si el modulo de torsion del
acero es 8x1010 Pa.
8) Un alambre de acero de longitud 5 m , area de seccion recta 0,04 cm2 y modulo de Young

2,5x106 N/cm2 esta suspendido verticalmente. En su extremo inferior se le cuelga un bloque
de peso 2 N efectuando oscilaciones verticales. Hallar el periodo de estas oscilaciones.
9) En una barra de acero de radio 100,125 cm fue ubicado un anillo de cobre de radio 100
cm y area de la seccion transversal iguales a 4 m, ¿con que fuerza sera ensanchado el anillo,
si el modulo de Young del cobre es 12x1010 N/m2?
10) Dos barras de hierro y cobre de longitudes 20 cm y 30 cm y areas de secciones
transversales a 4 cm2 se encuentran unidas entre dos paredes fijas. Isla barras se calientan
en 200 0C. Hallar la magnitud de la fuerza de compresion entre ellas. (Coeficientes de
dilatacion lineal de hierro y cobre: 1,2x10-5 0C-1 ; 1,6x10-5 0C-1. Modulos de Young del hierro
y cobre: 1,9x1011 N/m2 ; 1,1x1011 N/m2 respectivamente)
11) Una manguera de jebe de longitud 50 cm de radio, radio interior 5 mm y coeficiente de
Poisson 0,5 se estira una longitud 10cm, a) hallar el radio interior de la manguera deformada
y b) ¿en que porcentaje cambia el radio interior de la manguera?
12) Un bloque de peso “P” al suspenderse verticalmente de un alambre homogeneo lo
deforma, siendo la densidad de energía potencial elastica del alambre 2x105 J/m3 y la
deformacion unitaria en su longitud 2x10-3. Hallar el modulo de Young de este alambre.
13) A un alambre de masa 36 g , longitud 1 m y modulo de Young 11,8x1010 N/m2 se le aplica
una traccion de 500 N, estirandose una longitud de 1 mm . Hallar la densidad de masa del
alambre.
14) Del extremo de un alambre de radio 1 mm y esfuerzo de ruptura 7,85x108 N/m2 se
cuelga un bloque de peso igual a 981 N. ¿Que angulo maximo respecto de la vertical se puede
desviar el alambre con el bloque sin que al soltarlo se rompa al pasar por la posicion de
equilibrio?
15) Una esferita de peso 9,81 N esta unida al extremo de un alambre de hierro de longitud
50 cm, diametro de su seccion transversal 1mm y esfuerzo de rotura 2,94x108 N/m2 ¿ A que
maxima frecuencia puede girar el alambre con la esferita, en un plano vertical, sin romperse
el alambre?
16) Un alambre de acero de longitud 2 m y, area de seccion transversal 4 mm2 al ser
deformado almacena una energía de 0,216 J. Hallar la deformacion en la longitud del
alambre.
17) En la figura 1, se muestra un cuadro grande cuya masa es de 12 kg que cuelga de un
alambre. El alambre es de acero de 1,2m de longitud, tiene un diametro de 1,2mm. Si
11 2
2 x 10 /
ac
E N m , 6 2
500 x 10 / .
r ot u a
σ N m
a) ¿Cuál es la deformación del acero?.
b) Si se duplica la longitud del alambre, ¿cuál es la nueva deformación?
18) En la figura 2 mostrada. Determinar el diametro 2
d para el cual el desplazamiento axial
del punto C sea de 1,25 mm; las barras son: del mismo material.

7 2
2,6 x 10 /
E N m , 4
77 x 10
P N , 1 3
d c m , 1 1,50
L m y 2 1,00
L m.
19) Una esferita (Figura 3) de peso 50
W N cuelga de un alambre de acero como un
pendulo, al cual se le suelta a partir del reposo desde 90
θ °. La seccion transversal del
alambre es de 2
2mm . 11
2 x 10
E Pa. Esfuerzo de 8
7,5 x 10
rotura Pa. Determine:
a) ¿Se rompe o no el alambre?
b) La longitud del alambre si se estira 0,5 c m cuando el peso pasa por el punto más
bajo.
20) En la Figura 4, se muestra tres barras, de bronce, aluminio y acero, bajo la accion de las
fuerzas indicadas. Considerando:
2 2 2
1 2 3 1 2 3
10 2 10 2 10 2 4
1 2 3
4,5 , 6,0 , 3,0 , 0,6 , 1,0 y 0,8
8 x 10 / , 7 x 10 / , 20 x 10 / , 9 x 10
A c m A c m A c m L m L m L m
E N m E N m E N m P N
a) Realice un diagrama de cuerpo libre de cada porción de la barra.
b) Determinar la deformación de cada una de las barras y la deformación total.
21) En la Figura 5, se muestra un alambre de longitud inicial 0 10
L m sujeto al techo y
que se encuentra en equilibrio cuando sostiene una esfera Q de peso 3
10 N , si el modulo
de Young es 10 2
10 /
E N m la seccion 2
4
A mm y 37
θ °.
a) realice un diagrama de cuerpo libre de la esfera y del alambre.
b) Hallar la deformación del alambre.
c) Si el hilo se rompe, cual es la deformación que experimenta el alambre cuando la
esfera Q pasa por la posición más baja de su movimiento pendular.
22) Una lamina metalica uniforme es colgada mediante un alambre de acero de modulo
10 2
20 x 10 /
E N m de 1,2mde longitud de tal modo que se estira 2mm como indica en
la Figura 6. Si la seccion trasversal del alambre es 2
1mm . Hallar:
a) La tensión en el alambre.
b) El peso de la lámina.
c) Verifique si el esfuerzo aplicado de forma permanente o no el alambre cuyo límite
elástico es 8 2
5 x 10 /
N m .
23) Un alambre horizontal esta sujeto a dos paredes verticales. Al colgar un peso W del
centro del alambre, este se deforma como se indica en la figura 7. Si 4
L m, 7
θ °
11
2 x 10
E Pa y la seccion transversal es de 2
2mm . Hallar el peso W y la tension T del
cable.
24) La barra de longitud L y de peso despreciable, esta pivota en su extremo inferior y se
encuentra en equilibrio como se indica en la figura 8. Ambos alambres tienen igual seccion
transversal de 2
2,0mm y la longitud inicial del cobre es de 2,5m . Si 53
θ ° y
1000
W N . Halle:
a) Las tensiones en ambos alambres.
b) La longitud inicial del acero sí 1 0.5
L c m.
c) Calcule la deformación del cobre 2
L .
d) Explique la clase de esfuerzo que experimenta el pivote.

25) Una barra rígida AB , homogenea, horizontal de peso 900 N , de seccion transversal
constante y de longitud 2m, esta sostenida por dos alambres verticales de materiales
diferentes, de igual longitud inicial 0
( 1,5 )
L m y secciones transversales diferentes 1
A y
2
A . Si los modulos de Young son 10
1 20 x 10
E Pa y 10
2 210x 10
E Pa ;
respectivamente, (Ver Figura 9).
a) Realice el DCL de la barra horizontal AB .
b) Si 2
1 2
A mm , calcule el área 2
A (en 2
mm ) para que ambos alambres tengan igual
deformación unitaria.
c) Halle el esfuerzo y deformación de cada alambre.
26) En la figura 10, los alambres de hierro y cobre tienen la misma longitud y seccion
transversal. ¿A que distancia X del extremo B de la barra de longitud 80 cm y peso
despreciable se debe colgar un bloque de peso 20 N, para que la barra quede
horizontalmente?
27) En la figura 11 en el punto medio del cable horizontal de acero de longitud 2 m y
diametro de seccion transversal 1 cm se ubica un bloque de masa 100 kg. Hallar la distancia
“d” que desciende el punto medio del cable.
28) En la figura 12, de los cables de aluminio y acero de iguales secciones transversales
estan suspendidos los bloques de pesos WAl=2WCu. Despreciando los pesos de los cables,
hallar la razon de las deformaciones unitarias en los cables.
29) En la figura 13, sobre la barra de acero de longitud 2,25 m y area de seccion 5 cm2,
actuan fuerzas mostradas. Hallar la suma de las magnitudes de las fuerzas F1 y F2 si el trozo
BC experimenta una deformacion en su longitud de 0.0025 cm.
30) En la fig.14, el cilindro compacto de acero y el tubo de cobre de diametro d=10 cm y
D=20 cm, estan comprimidos mediante los platos de la prensa. Hallar el esfuerzo
longitudinal en el tubo de cobre sabiendo que P= 50000 N.
31) Se cuelga una esfera de aluminio de 10 kg de un alambre vertical de acero de 0,4 m de
largo y seccion 3x10-3 cm2. En la parte inferior de la esfera sujeta un alambre similar, del cual
cuelga un cubo de laton de 20 kg. Para cada alambre calcular la deformacion Unitaria y el
estiramiento.
32) Se tiene una prensa hidraulica, la cual contiene 0,30 m3 de aceite. Calculese la
disminucion de volumen del aceite cuando se le somete a un aumento de presion de
1.6x107 Pa. El modulo de volumetrico del aceite es B = 5,0x109 N/m2.
33) Una barra horizontal rígida esta sostenida por 2 barras circulares articuladas con la
anterior, segun la disposicion de la figura15. La barra A tiene una tension admisible de
1000Kg/cm2 y seccion 10cm2 mientras que la barra B tiene una tension admisible
1200Kg/cm2 y seccion 8cm2.Ambas barras tienen identico modulo de elasticidad. Hallar los
valores maximos de las cargas puntuales F y Q para que la barra permanezca horizontal.

34) En la Figura 16, se muestra 2 cables, AB y BC de acero, soportan una carga P=100N.El
cable AB tiene un angulo 44° con respecto a la horizontal, mientras que el cable BC mantiene
un angulo 52°. Los dos cables tienen un diametro 1 mm. Determinar los esfuerzos 𝜎 AB y 𝜎 BC
en ambos cables.
35) Se tiene una barra de acero de limite elastico 350MPa. y de modulo de elasticidad 200
GPa. La barra tiene una seccion uniforme de 12mm2 y una longitud de 50 cm.
a) Si se carga en uno de sus extremos con fuerza de 1800 N en la direccion del eje de la barra.
¿Recuperara la barra su longitud inicial cuando se elimine la fuerza?
b) Calcule la deformacion unitaria en las condiciones de carga planteadas en el inciso a).
c) ¿Cual sera el diametro mínimo de la barra si no se desea que se alargue permanentemente
tras ser sometida a una carga de 5000N?
36) Un alambre de cobre de 31 cm de largo y 0,5 mm de diametro esta unido a un alambre
de laton estirado de 108 cm de largo y 1 mm de diametro. Si una determinada fuerza
deformadora produce un alargamiento de 0,5 mm al conjunto total y un valor de E = 12x1010
Pa, ¿cual es el alargamiento de cada parte?
37) El ascensor de un edificio esta sostenido por 4 cables de acero E=20X1010N/m2, que
tiene 50m de longitud cada uno, su seccion tiene 10cm de radio. Se encuentra en reposo y
tiene una carga total de 2500 Kg. Hallar:
a) El esfuerzo de cada cable.
b) La deformacion de cada cable.
c) La deformacion cuando empieza a subir con una aceleracion de 1m/s2.
38) Determinar el maximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura
17. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder 100 MPa y 50MPa,
respectivamente. Las areas transversales de ambos son: 400 mm2 para el cable AB y 200
mm2 para el cable AC.
39) Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y otro de
bronce (Figura 18) Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el maximo
valor de P que no excede un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio; 150 MPa en el acero; o de
100 MPa en el bronce.
40) Una barra homogenea Ab (de 150 kg) soporta una fuerza de 2 KN (Figura 19) la barra
esta sostenida por un perno en B y un cable CD de 10 mm de diametro. Determine el esfuerzo
ejercido en el cable.
41) Calcule el peso del cilindro mas pesado que se puede colocar en la posicion que se indica
(figura 20), sin rebasar un esfuerzo de 50 MN/m2 en el cable BC. Desprecie el paso de la
barra AB. El area transversal del cable BC es 100 mm2.
42) Una barra homogenea AB (de 300Kg de masa) pende de dos cables AC y BD, cada uno
de los cuales tiene un area transversal de 400 mm2 (figura. 21) Determine la magnitud P, asi
como la ubicacion de la fuerza adicional maxima que se puede aplicar a la barra. Los
esfuerzos en los cables AC y BD tienen un límite de 100 MPA y 50MPa, respectivamente,

0,5m
Figura 1 Figura 2
1
L 2
L
1
d
2
d
c
P
B
A
Figura 3
W
L
θ
bronce
2 P
acero
1
A
P
aluminio
4 P
3 P
2
A 3
A
3
L
2
L
1
L
Figura 4
Alambre
hilo
θ
Figura 5
Figura. 7 Figura.8 Figura.9

Hierr
o
Cobre
B D
X
Figura 10
L
d
Figura 11
Figura12
WAl
Wace
Alumnio
Acero
5000N 4500 N
A B D
F1 F2
50cm 75cm 100cm
Figura 13
C
d
D
Figura.14
Figura 15 Figura 16

Figura 17 Figura 18
Figura 19 Figura 20
Figura 21

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