Cap6 elasticidad
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El documento describe conceptos relacionados con la elasticidad como esfuerzo, deformación y módulos elásticos. Explica cómo se definen y relacionan esfuerzo y deformación, y describe los diferentes módulos elásticos como el módulo de Young y de corte. También presenta ejemplos numéricos para calcular deformaciones basados en los módulos elásticos.
Cap6 elasticidad
- 1. Cuaderno de Actividades: Física I 6) ELASTICIDAD Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 156
- 2. Cuaderno de Actividades: Física I 6) ELASTICIDAD 6,1) Introducción Cuerpos ← Deformables {Descripción adecuada} → Esfuerzo → Deformación → Módulos elásticos Y S B → Régimen elástico 6.2) Esfuerzo y deformación Experimentalmente: Li ≡ L A: sección transversal Se observa: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo L A F - F F ∆L L - F F 157
- 3. Cuaderno de Actividades: Física I → los ∆L van a depender de las F y A {siempre en régimen elástico} → los ∆L dependen de L Se define: a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de área) F Esfuerzo s A = = b) Deformación, e: (Deformación unitaria) L Deformación e L ∆ = = Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las deformaciones. Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación E M D = 1 → s s Me M e →≡ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo D E Régimen elástico 158
- 4. Cuaderno de Actividades: Física I M ∼ 1010 2 N m ¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica, plástica y de ruptura. ¿? Podría describir curvas s-e especiales. 6.3) Módulos elásticos i) Modulo de Young, Y Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales. / / F A Y L L ≡ ∆ N/m2 ii) Modulo de corte, S Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte) Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo A F h f F ∆x h x tg ∆ =θ h θ f 159
- 5. Cuaderno de Actividades: Física I Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia ∆x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza. La resistencia al desplazamiento ∆x se describirá en base al modelo S, / / Esfuerzo de corte F A S Deformación de corte x h ≡ ≡ ∆ → Fh S A x ≡ ∆ iii) Modulo volumétrico, B Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas. Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo F A F F F 160
- 6. Cuaderno de Actividades: Física I Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico esta definido por, Si esta presión, F p A ≡ , se escribe como una variación de presión, p∆ , / p B V V ∆ ≡ − ∆ En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0. Compresión: ∆p > 0 ∧ ∆V < 0→ B > 0. Dilatación o expansión: ∆p < 0 ∧ ∆V > 0→ B > 0. ¿? Existirán otros módulos elásticos. Ejercicio 1: 1° Ideal Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 161 / / / / F A F A B V V V V ≡ − ≡ − ∆ ∆
- 7. Cuaderno de Actividades: Física I v2(0) ≡ 0 → MRUV Polea ideal Cuerda ideal, ∃ m m1,m2 , puntuales L = 2 m1 = 3, m2 = 5 φ = 4 x 10-3 ¿? t 2° Polea real → a afectada → I=I (m,r) , f ← polea ⇒ CR ⇒ MRUV 3° Cuerda real → Deformación → CR → MRUV 4°→1º) t ≡¿? 2,5 4 g a ≡ = → t(y2 ≡0) ≡? y(t) ≡y (0)+ v(0) t - 2 1 at2 2 2 5,2 010 t−+≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo y m2 h2 ≡1m m1 162
- 8. Cuaderno de Actividades: Física I 5,2 2 ≡t 5º→3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=? w2 – T = m2 a T = w2 – m2 a ≡ 50 – 5 x 2,5 T ≡ 37,5 / / F A FL Y L F T L L YA ≡ → ∆ = ¬ = ∆ Yacero ≡ 20 x 1010 ( ) m xx x L µ π 6,27 1021020 25,37 2310 =≡∆→ − t ≡ ¿? Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el sistema…veamos que es asi, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo Acero A -F F -L 0 x x 163
- 9. Cuaderno de Actividades: Física I Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica que puede expresarse de esta manera, ,1 2 p elEF AL u A L unidad de volumen ≡ × Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x, descrita por, / / AYF A x L x FY L ÷ ≡ ≡→ De tal forma que la fuerza del sistema será, elast AY F x L → ≡ − {En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario} Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza, { , , , , , , , , elF p el p el f p el i p el f p elW E E E E E≡ −∆ ≡ − + ≡ − ≡ − 2 0 , , 0 1 / 2 el L F L p el p el AY AY W x dx x E E L L ∆ ∆ ≡ − × ≡ − ≡ −∆ ≡ − ÷ ∫ 2 , 1 2 p el AY L E L → × ×∆ ≡ 2 , 1 2 p el AY L E L → ∆ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 164
- 10. Cuaderno de Actividades: Física I 1 2 A → × L ( /F A × ) ( L∆ / )L 2 L×∆ ,p elE≡ , 1 2 p elF L E→ ∆ ≡ ,1 2 p elEF L u AL AL ∆ → ≡ ≡ → 1 2 F L u A L ∆ ≡ ÷ ÷ 1 2 s e u≡ ¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura. S6P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza. SOLUCION: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo d/2 D/2 F F L 165
- 11. Cuaderno de Actividades: Física I De ( ) 2 , 2 2 D dFL Fdx d L dL y x YA Y y Lπ − ∆ ≡ → ≡ ≡ + ( ) ( ) 2 20 0 2 2 2 L I Fdx F dx FL dL L Y Y dDD d D dY d x d x L L π ππ ≡ ≡→ ∆ ≡ ≡ − − + + ∫ 144424443 ?I→ ≡ D d u d x L − ≡ + ÷ D d du dx L − ≡ ÷ ( ) 2 * D d I L du L I D d u dD → ≡ ≡ − ∫ * 1 1 1D d I u d D → ≡ − ≡ − ÷ ∫ 02FL L Y dDπ → ∆ ≡ → 2L F L Y dDπ ∆ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo b/2 d/2 L Y A(x) D/2 d/2 y F 0 x X Ax L 166
- 12. Cuaderno de Actividades: Física I S6P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo θ en el vértice. a) Calcule la deformación del alambre. b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa). SOLUCION: DCL (m): T θ m w Datos: m=1, l=2, d=φ=10-4 , Yacero = 21x 1010 . Del equilibrio en la vertical, ...cos secT mg T mgθ αθ≡ → ≡ Y de la dinámica circular, 2 ...' , 't cp cp v F Tsen ma m R l sen l l l R θ βθ≡ ≡ ≡ ¬ ≡ ≡ + ∆ De α y β, 2 ..t n .a ' tv mg m l senθ γθ ≡ a) Del modulo de Young, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo θ m 167
- 13. Cuaderno de Actividades: Física I 2 22 4 sec 2 FL Tl Tl Y Y l T mg LA Y dd l θ π π ≡ → ≡ → ∆ ≡ ¬ ≡ ∆ ∆ ÷ 2 2 4 seclmg l Y d θ π ∆ ≡ b) T (periodo)=?, con la condición 2 3 T mg π θ≡ → ≡ ( T: tensión) 2 ( )T periodo w π ≡ La frecuencia angular la obtenemos de β, 2cpF Tsen mθ≡ ≡ g senθ m≡ 'l senθ 2 w 2 2 ' ' g g w l l l w l l l → ≡ ¬ ≡ + ∆ → ≡ + ∆ Con lo que el T queda, 2 2 l l T g π + ∆ ≡ 0,0242usando l∆ ≡ → 0,6T π≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 168
- 14. Cuaderno de Actividades: Física I S6P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso = w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio. SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x, ( ) w w x x L ≡ ÷ Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo barra L 2w X dx w(x) x 0 w w(x) 169
- 15. Cuaderno de Actividades: Física I { } { }( ) ( ) w x dx w x dxFL Y A wL d L xdx AY AY LAYL ÷ ∆ ≡ ≡ ≡→≡ ∆ Para calcular la deformación total integramos para toda la barra, 0 1 2 L wL L L AY w L xdx LAY ∆ ≡ → ∆ ≡ ∆ ≡∫ Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w, 2 (2 ) 2w L wL L AY AY ∆ ≡ ≡ Con lo que la deformación total es, 1 2 2 2 wL wL L L L AY AY ∆ ≡ ∆ + ∆ ≡ + 5 2 wL L AY ∆ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 170
- 16. Cuaderno de Actividades: Física I S6P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2 se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2 . La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos. a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? c) ¿Qué deformación sufre cada varilla? Modulos de Young: Cobre: 11 x 1010 Pa Acero: 20 x 1010 Pa SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama, Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo F A1 L1 L A2 F 171
- 17. Cuaderno de Actividades: Física I a) Determinamos L de la condición 1 2L L L∆ ≡ ∆ ≡ ∆ . Mostramos DCL de cada varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición, 1 2 21 1 2 1 2 11 2 1 FL F L A Y L AY L L L L AY A Y ∆ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆ ≡ ≡→ Calculando, ( ) 4 1 2 2 1 1 1,40 1 10L A Y L AY − × ≡ ≡ ( ) 10 20 10×( ) 4 2 10− ×( ) 10 11 10×( ) 1,27≡ 1,27L ≡ b) Calculando los esfuerzos, 4 8 1 4 1 6,00 10 3 10 2,00 10A F s A F s − × ≡ ≡ ≡ × × →≡ ∧ 4 8 2 4 2 6,00 10 6,00 10 1,00 10 F s A − × ≡ ≡ ≡ × × 8 8 1 23 10 6 10s s≡ × ∧ ≡ × Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo F ∆L1 F F ∆L F 172
- 18. d Cuaderno de Actividades: Física I c) Calculando las deformaciones, s s L L L s sL Y L Y L e ≡ ≡ ∆ ∆ ∆ ≡→≡ ( )( )8 31 1 1 10 1 3 10 1,40 3,81 10 11 10 s L L Y − × ∆ ≡ ≡ ≡ × × ( )( )8 32 2 2 10 2 6 10 1,27 3,81 10 20 10 s L L Y − × ∆ ≡ ≡ ≡ × × 3 1 2 3,81 10L L − ∆ ≡∆ ≡ × S6P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108 , el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor. SOLUCION: a) Determinación de la fuerza de corte, F Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 173
- 19. Cuaderno de Actividades: Física I De la ecuación del esfuerzo de corte, 2 2 44 4 F s d s F A F F dπ π ≡ → →≡ ≡≡ ( ) ( ) 28 2 10 1 10 4 π − × × 31,4F kN≡ Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno. b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo, w d F ( ) F d w F s F s d w A π π≡ →≡ ≡ ( ) ( )( )8 2 2 4 10 1 10 0,5 10F π − − → ≡ × × × 62,8F kN≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 174
- 20. Cuaderno de Actividades: Física I S6P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos. Determine: a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo SOLUCION: Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo w 175
- 21. Cuaderno de Actividades: Física I a) { } 2 cpdF dF dm w r≡ ≡ M dm dr L ≡ ( ) 2 Mw dF r rdr L ≡ ( ) 2 2 : " " 2 cp Mw F r r dF L ≡ ≡∫ 2 2 2 2 ( ) 2 2 Mw r dr L Mw Y dL r dr AdL LAY FL Y A L → ≡ → ≡≡ ∆ 2 2 0 0 2 L L Mw L dL r dr LAY → ∆ ≡ ≡∫ ∫ → 2 2 6 Mw L L AY ∆ ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo M w L dm dFcp r dr O 176
- 22. Cuaderno de Actividades: Física I b) De 2 2 2 22( ) 2 Mw r F MwLs r r A A LA = ≡ ≡ , por lo tanto, en r=L, 2 ( ) 2 Mw L s L A ≡ Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 177