cap9.pdf

C A P Í T U L O
9
Álgebra matricial
O b j e t i v o s
Después de leer este capítulo,
el alumno será capaz de
realizar las operaciones
básicas del álgebra de
matrices.
resolver ecuaciones
simultáneas con el uso de
las operaciones matriciales
MATLAB.
usar algunas matrices
especiales de MATLAB.
INTRODUCCIÓN
Con frecuencia, los términos arreglo y matriz se usan de manera intercambiable en
ingeniería. Sin embargo, técnicamente, un arreglo es un agrupamiento ordenado de in-
formación, mientras que una matriz es un arreglo numérico bidimensional que se usa
en álgebra lineal. Los arreglos pueden contener información numérica, pero también
pueden contener datos carácter, datos simbólicos, etcétera. Por tanto, no todos los arre-
glos son matrices. Sólo aquéllos sobre los que se tenga intención de realizar transfor-
maciones lineales satisfacen la definición estricta de una matriz.
El álgebra matricial se usa de manera extensa en aplicaciones de ingeniería.
Las matemáticas del álgebra matricial se introducen por primera vez en los cursos de
álgebra universitaria y se extiende en cursos de álgebra lineal y cursos de ecuaciones
diferenciales. Los estudiantes comienzan a usar regularmente el álgebra matricial en
clases de estática y dinámica.
9.1 OPERACIONES Y FUNCIONES DE MATRICES
En este capítulo se introducen las funciones y operadores MATLAB que tienen in-
tención específica para usarse en álgebra matricial. Estas funciones y operadores se
contrastan con las funciones y operadores de arreglos de MATLAB, de los que difieren
significativamente.
9.1.1 Transpuesta
El operador transpose (transpuesta) cambia las filas de una matriz en columnas y las
columnas en filas. En los textos de matemáticas, con frecuencia verá el transpuesto
indicado con el superíndice T (como en AT
). No obstante, no confunda esta notación
con la sintaxis MATLAB: en MATLAB, el operador transpuesto es un solo apóstrofe
('), de modo que el transpuesto de la matriz A es A'.
Considere la siguiente matriz y su transpuesta:

302 Capítulo 9 Álgebra matricial
Las filas y columnas se cambiaron. Note que el valor en la posición (3,1) de A ahora se movió
a la posición (1,3) de AT
, y el valor en la posición (4,2) de A ahora se movió a la posición (2,4)
de AT
. En general, los subíndices de fila y columna (también llamados números índice) se
intercambian para formar la transpuesta.
En MATLAB, uno de los usos más comunes de la operación transponer es cambiar los
vectores fila en vectores columna. Por ejemplo:
regresa
Cuando se usa con números complejos, la operación transponer regresa la conjugada com-
pleja. Por ejemplo, se puede definir un vector de números negativos, sacar la raíz cuadrada y
luego transponer la matriz resultante de números complejos. Por ende, el código
regresa
Entonces, al sacar la raíz cuadrada con el código
y finalmente trasponer y
produce
Note que los resultados (y') son las conjugadas complejas de los elementos en y.
9.1.2 Producto punto
El producto punto (a veces llamado producto escalar) es la suma de los resultados que obtiene
cuando multiplica dos vectores, elemento por elemento. Considere los dos vectores siguientes:
El resultado de la multiplicación arreglo de estos dos vectores es
arreglo: agrupamiento
ordenado de información
matriz: arreglo
numérico bidimensional
que se usa en álgebra
lineal
Idea clave: los
términos arreglo y matriz
con frecuencia se usan de
manera intercambiable.
transpuesto: cambio
de las posiciones de filas
y columnas

Sección 9.1 Operaciones y funciones de matrices 303
Si suma los elementos obtiene el producto punto:
Un texto de matemáticas representaría el producto punto como
que se podría escribir en MATLAB como
MATLAB incluye una función llamada dot para calcular el producto punto:
No importa si A y B son vectores fila o columna, en tanto tengan el mismo número de ele-
mentos.
El producto punto encuentra amplio uso en aplicaciones de ingeniería, tal como se usa
al calcular el centro de gravedad en el ejemplo 9.1 y al realizar álgebra vectorial como en el
ejemplo 9.2.
producto punto:
suma de los resultados
de las multiplicaciones de
arreglo de dos vectores
S u g e r e n c i a
Con los productos punto, no importa si ambos vectores son filas, ambos son
columnas o uno es una fila y el otro una columna. Tampoco importa qué orden use
para realizar el proceso: el resultado de dot(A,B) es el mismo que el de dot(B,A).
Esto no ocurre con la mayoría de operaciones matriciales.
Cálculo del centro de gravedad
La masa de un vehículo espacial es una cantidad extremadamente importante. Grupos
enteros de personas en el proceso de diseño siguen la pista de la ubicación y masa de cada
tuerca y tornillo. No sólo es importante la masa total del vehículo, también la información
acerca de la masa se usa para determinar el centro de gravedad del vehículo. Una razón por
la que el centro de gravedad es importante es que los cohetes caen si el centro de presión
está adelante del centro de gravedad (figura 9.1). Puede demostrar este principio con un
avión de papel. Ponga un clip en la punta del avión de papel y observe cómo cambia el
patrón de vuelo.
Aunque encontrar el centro de gravedad es un cálculo bastante directo, se vuelve más
complicado cuando usted se da cuenta de que tanto la masa del vehículo como la distribución
de masa cambian conforme se quema el combustible.
EJEM P LO 9 . 1

La ubicación del centro de gravedad se puede calcular al dividir el vehículo en peque-
ños componentes. En un sistema coordenado rectangular,
donde
x
, y
 y z
 son las coordenadas del centro de gravedad,
W es la masa total del sistema,
x1
, x2
, x3
,..., son las coordenadas x de los componentes de sistema 1, 2, 3,..., respectivamente,
y1
, y2
, y3
,..., son las coordenadas y de los componentes de sistema 1, 2, 3,..., respectivamente,
z1
, z2
, z3
,..., son las coordenadas z de los componentes de sistema 1, 2, 3,..., respectivamente, y
W1
, W2
, W3
,..., son los pesos de los componentes de sistema 1, 2, 3,..., respectivamente.
En este ejemplo, se llenará el centro de gravedad de una pequeña colección de los componen-
tes que se usan en un complicado vehículo espacial. (Véase la tabla 9.1.) Este problema se
puede formular en términos del producto punto.
1. Establezca el problema.
Encontrar el centro de gravedad del vehículo espacial.
2. Describa las entradas y salidas.
Entrada Ubicación de cada componente en un sistema coordenado x-y-z
Masa de cada componente
Salida Ubicación del centro de gravedad del vehículo
Figura 9.1
El centro de presión
necesita estar detrás del
centro de gravedad para
un vuelo estable.

3. Desarrolle un ejemplo a mano.
La coordenada x del centro de gravedad es igual a
de este modo, a partir de la tabla 9.2,
Note que la suma de los productos de las coordenadas x y las correspondientes masas se
podrían expresar como un producto punto.
4. Desarrolle una solución MATLAB.
El código MATLAB
regresa el siguiente resultado:
5. Ponga a prueba la solución.
Compare la solución MATLAB con la solución a mano. La coordenada x parece ser
correcta, de modo que las coordenadas y y z probablemente también sean correctas.
Graficar los resultados también le ayudaría a evaluarlos:

Vectores fuerza
La estática es el estudio de las fuerzas en los sistemas que no se mueven (y, por tanto, están es-
táticos). Dichas fuerzas usualmente se describen como vectores. Si suma los vectores, puede
determinar la fuerza total sobre un objeto. Considere los dos vectores fuerza A y B que se
muestran en la figura 9.3. Cada uno tiene una magnitud y una dirección. Una notación típica
mostraría estos vectores como A
S
y B
S
, pero representaría la magnitud de cada uno (su longitud
física) como A y B. Los vectores también se podrían representar en términos de sus magnitu-
des a lo largo de los ejes x, y y z, multiplicada por un vector unitario . Entonces
y
El producto punto de A
S
y B
S
es igual a la magnitud de A
S
por la magnitud de B
S
, por el coseno
del ángulo entre ellos:
EJEM P LO 9 . 2
La gráfica resultante se muestra en la figura 9.2.
Ahora que se sabe que el programa funciona, se le puede usar para cualquier
número de objetos. El programa será el mismo para 3 componentes como para 3000
componentes.
Figura 9.2
Centro de gravedad de
algunos datos de muestra.
Esta gráfica se mejoró con
el uso de las herramientas de
graficación interactivas
de MATLAB.
Figura 9.3
Los vectores fuerza se usan
en el estudio de estática y
dinámica.
0
1
2
0
1
2
0
1
2
3
4
Eje x
Centro de gravedad
Eje y
Eje
z
Centro de gravedad

Encontrar la magnitud de un vector involucra el uso del teorema de Pitágoras. En el caso de
tres dimensiones,
Se puede usar MATLAB para resolver problemas como éste si se define el vector A
S
como
donde Ax, Ay y Az son las magnitudes componentes en las direcciones x, y y z, respectiva-
mente. Como problema MATLAB, use el producto punto para encontrar el ángulo entre los
siguientes dos vectores fuerza:
Encontrar el ángulo entre dos vectores fuerza.
Entrada
Salida u, el ángulo entre los dos vectores
El código MATLAB

genera la siguiente interacción en la ventana de comandos:
En este caso, sólo se reprodujo la solución a mano en MATLAB. Sin embargo, hacerlo
así da la confianza en el proceso de solución, de modo que se podría expandir el proble-
ma para permitir al usuario ingresar cualquier par de vectores. Considere este ejemplo.
da la siguiente interacción en la ventana de comandos:
E j e r c i c i o d e p r á c t i c a 9 . 1
1. Use la función dot para encontrar el producto punto de los siguientes vectores:

9.1.3 Multiplicación matricial
La multiplicación matricial es similar al producto punto. Si usted define
entonces
produce el mismo resultado que
La multiplicación matricial resulta en un arreglo en el que cada elemento es un producto
punto. El ejemplo anterior sólo es el caso más simple. En general, los resultados se encuentran
al tomar el producto punto de cada fila en la matriz A con cada columna en la matriz B. Por
ejemplo, si
y
entonces el primer elemento de la matriz resultante es el producto punto de la fila 1 de la
matriz A y la columna 1 de la matriz B, el segundo elemento es el producto punto de la fila 1
de la matriz A y la columna 2 de la matriz B, etcétera. Una vez que se encuentra el producto
punto para la primera fila de la matriz A con todas las columnas de la matriz B, se comienza
de nuevo con la fila 2 de la matriz A. Por ende,
regresa
2. Encuentre el producto punto de A
S
y B
S
al sumar los productos arreglo de A
S
y
B
S
(sum(A.*B)).
3. Un grupo de amigos fue a un establecimiento local de comida rápida.
Ordenaron cuatro hamburguesas a $0.99 cada una, tres refrescos a $1.49 cada
uno, una malteada a $2.50, dos órdenes de papas fritas a $0.99 cada una y dos
órdenes de anillos de cebolla a $1.29. Use el producto punto para determinar
la cuenta.
Idea clave: la
multiplicación matricial
resulta en un arreglo en el
que cada elemento es un
producto punto.

Considere el resultado en la fila 2, columna 2, de la matriz C. Se puede llamar a este resultado
C(2,2). Es el producto punto de la fila 2 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B:
Esta relación se podría expresar en notación matemática (en lugar de sintaxis MATLAB) como
Puesto que la multiplicación matricial es una serie de productos punto, el número de columnas
en la matriz A debe ser igual al número de filas en la matriz B. Si la matriz A es una matriz
m 3฀n, la matriz B debe ser n 3฀p, y los resultados serán una matriz m 3฀p. En este ejemplo,
A es una matriz 2 3฀3 y B es una matriz 3 3฀3. El resultado es una matriz 2 3฀3.
Una forma de visualizar este conjunto de reglas es escribir el tamaño de las dos matri-
ces uno junto al otro, en el orden de su operación. En este ejemplo, se tiene
Los dos números internos deben coincidir, y los dos números exteriores determinan el tamaño
de la matriz resultante.
En general, la multiplicación matricial no es conmutativa, lo que significa que, en
MATLAB,
Se puede ver esto en el ejemplo: cuando se invierte el orden de las matrices, se tiene
y ya no es posible obtener el producto punto de las filas en la primera matriz y las filas en la se-
gunda matriz. Si ambas matrices son cuadradas, de hecho se puede calcular una respuesta para
A*B y una respuesta para B*A, pero las respuestas no son iguales. Considere este ejemplo:
Idea clave: la
no es conmutativa.
conmutativa: el
orden de la operación no
importa

Uso de la multiplicación matricial para encontrar el centro
de gravedad
En el ejemplo 9.1 se usó el producto punto para encontrar el centro de gravedad de un ve-
hículo espacial. También se podría usar la multiplicación matricial para hacer el cálculo en un
paso, en lugar de calcular cada coordenada por separado. En este ejemplo se repite la tabla 9.1
por claridad.
Encontrar el centro de gravedad del vehículo espacial.
Entrada Ubicación de cada componente en un sistema coordenado x-y-z
Masa de cada componente
Salida Ubicación del centro de gravedad del vehículo
Se puede crear una matriz bidimensional que contenga toda la información acerca de
las coordenadas y una correspondiente matriz unidimensional que contenga informa-
ción acerca de la masa. Si hay n componentes, la información coordenada debe estar
en una matriz 3฀3฀n y las masas deben estar en una matriz n 3 1. El resultado entonces
estaría en una matriz 3 3 1 que representa las coordenadas xyz del centro de gravedad
por la masa total.
envía los siguientes resultados a la pantalla:
Los resultados son los mismos que los del ejemplo 9.1.
EJEM P LO 9 . 3

9.1.4 Potencias de matrices
Elevar una matriz a una potencia es equivalente a multiplicar la matriz por sí misma el número
de veces requerido. Por ejemplo, A2
es lo mismo que A• A, A3
es lo mismo que A• A• A. Al recor-
dar que el número de columnas en la primera matriz de una multiplicación debe ser igual al nú-
mero de filas en la segunda matriz se ve que, con la finalidad de elevar una matriz a una potencia,
la matriz debe ser cuadrada (tener el mismo número de filas y columnas). Considere la matriz
Si se intentara elevar al cuadrado esta matriz, se obtendría un enunciado de error porque las
filas y columnas no coinciden:
Sin embargo, considere otro ejemplo. El código
crea una matriz 3 3 3 de números aleatorios, tales como
Idea clave: una matriz
debe ser cuadrada para
elevarla a una potencia.
Idea clave: la
y la multiplicación de
matrices son operaciones
diferentes y producen
resultados diferentes.
¿Cuáles de los siguientes conjuntos de matrices se pueden multiplicar entre sí?
Demuestre que, para cada caso, A •฀B  B •฀A.

Si se eleva al cuadrado esta matriz, el resultado también es una matriz 3฀3฀3:
Elevar una matriz a una potencia no entera da un resultado complejo:
Note que elevar A a la potencia matricial de dos es diferente de elevar A a la potencia de
arreglo de dos:
Elevar A a la potencia de arreglo de dos produce los siguientes resultados:
9.1.5 Inverso de matriz
En matemáticas, ¿qué se entiende cuando se dice “tomar el inverso”? Para una función, el
inverso “deshace” la función o lo lleva de vuelta adonde se comenzó. Por ejemplo, sen1
(x) es
la función inversa de sen(x). Se puede demostrar la relación en MATLAB:
S u g e r e n c i a
Recuerde que randn produce números aleatorios, de modo que su computadora
puede producir números diferentes a los que se mencionan aquí.
S u g e r e n c i a
Recuerde que sen1
(x) no significa lo mismo que 1/sen(x). Los textos de matemáticas
más actuales usan la notación sen1
(x), pero en su calculadora y en los programas de
cómputo sen1
(x) se representa como asen(x).

Otro ejemplo de funciones que son inversas es ln(x) y ex
:
Pero, ¿qué significa tomar el inverso de un número? Una forma de considerarlo es que,
si usted operó sobre el número 1 al multiplicarlo por un número, ¿cómo podría deshacer esta
operación y obtener el número 1 de vuelta? Obviamente, necesitaría dividir por su número, o
multiplicar por 1 sobre el número. Esto conduce a la conclusión de que 1/x y x son inversos,
pues
Desde luego, éstos son inversos multiplicativos, en oposición a la función inversa que se dis-
cutió primero. (También hay inversos aditivos, como –a y a.) Finalmente, ¿cuál es el inverso
de una matriz? Es la matriz por la que se necesita multiplicar, en álgebra matricial, para obte-
ner la matriz identidad. La matriz identidad consta de unos en la diagonal principal y ceros en
todas las otras posiciones:
La operación inversa es una de las pocas multiplicaciones matriciales conmutativa; esto es,
Con la finalidad de que el enunciado anterior sea verdadero, la matriz A debe ser cuadrada,
lo que conduce a la conclusión de que, para que una matriz tenga un inverso, debe ser cua-
drada.
Estos conceptos se pueden demostrar en MATLAB primero al definir una matriz y
luego al experimentar con su comportamiento. La “matriz mágica”, en la que la suma de las
filas es igual a la suma de las columnas, así como la suma de cada diagonal, es fácil de crear,
de modo que se le elegirá para el experimento:
MATLAB ofrece dos enfoques para encontrar el inverso de una matriz. Se podría elevar A a
la potencia 1 con el código
Idea clave: una
función por su inverso
es igual a uno.

o se podría usar la función interna inv:
Al usar cualquier enfoque, se puede demostrar que multiplicar el inverso de A por A produce
la matriz identidad:
y
Determinar el inverso de una matriz a mano es difícil, por lo que se dejará dicho ejerci-
cio a un curso de matemáticas matriciales. Existen matrices para las que no existe un inverso;
estas matrices se llaman matrices singulares o matrices mal condicionadas. Cuando usted
intenta calcular el inverso de una matriz mal condicionada en MATLAB, se envía un mensaje
de error a la ventana de comandos.
La matriz inversa se usa ampliamente en álgebra matricial, aunque rara vez es la forma
más eficiente para resolver un problema desde un punto de vista computacional. Esta materia
se discute ampliamente en cursos de álgebra lineal.
9.1.6 Determinantes
Los determinantes se usan en álgebra lineal y se relacionan con la matriz inversa. Si el deter-
minante de una matriz es 0, la matriz no tiene inverso y se dice que es singular. Los determi-
nantes se calculan al multiplicar los elementos a lo largo de las diagonales izquierda a derecha
de la matriz y restar el producto de las diagonales derecha a izquierda. Por ejemplo, para una
matriz 2฀3฀2
el determinante es
Por tanto, para
matriz singular:
matriz que no tiene
inverso
Idea clave: si el
determinante es cero, la
matriz no tiene inverso.

MATLAB tiene una función determinante interna, det, que encontrará el determinante por
usted:
Imaginar las diagonales para una matriz 3฀3฀3
es un poco más difícil. Si copia las primeras dos columnas de la matriz en las columnas 4 y
5 se vuelve más fácil de ver. Multiplique cada diagonal izquierda a derecha y súmelas:
Luego multiplique cada diagonal derecha a izquierda y súmelas:
Finalmente, reste el segundo cálculo del primero. Por ejemplo, puede tener
Al usar MATLAB para el mismo cálculo se produce
Puesto que se sabe que las matrices con un determinante cero no tienen inversos, vea lo que
ocurre cuando se pide a MATLAB encontrar el inverso de A*:
* El mensaje de advertencia dice: la matriz está cerca de ser singular o está mal escalada. Los resultados
pueden ser imprecisos.

9.1.7 Productos cruz
Los productos cruz a veces se llaman productos vectoriales porque, a diferencia de los pro-
ductos punto, que regresan un escalar, el resultado de un producto cruz es un vector. El vector
resultante siempre está en ángulos rectos (normal) al plano definido por los dos vectores en-
trada, una propiedad que se llama ortogonalidad.
Considere dos vectores en el espacio que representen tanto una dirección como una
magnitud. (La fuerza usualmente se representa de esta forma.) Matemáticamente,
Los valores Ax
, Ay
, Az
y Bx
, By
, Bz
representan la magnitud del vector en las direcciones x, y
y z, respectivamente. Los símbolos representan vectores unitarios en las direcciones
x, y y z. El producto cruz de A
S
y B
S
, A
S฀฀
3
฀
B
S
, se define como
Puede ver esta operación al crear una tabla
y luego repetir las dos primeras columnas al final de la tabla:
Idea clave: el
resultado de un producto
cruz es un vector.
ortogonal: en ángulos
rectos
1. Encuentre el inverso de las siguientes matrices mágicas, tanto con la función
inv como al elevar la matriz a la potencia 1:
a. magic(3)
b. magic(4)
c. magic(5)
2. Encuentre el determinante de cada una de las matrices de la parte 1.
3. Considere la siguiente matriz:
¿Esperaría que fuera singular o no? (Recuerde que las matrices singulares
tienen un determinante 0 y no tienen inverso.)

El componente del producto cruz en la dirección i se encuentra al obtener el producto Ay
Bz
y
restarle el producto Az
By
:
Al moverse a través del diagrama, el componente del producto cruz en la dirección j se en-
cuentra al obtener el producto Az
Bx
y restarle el producto Ax
Bz
:
Por último, el componente del producto cruz en la dirección k se encuentra al obtener el pro-
ducto Ax
By
y restarle el producto Ay
Bx
:
S u g e r e n c i a
Es posible que haya notado que el producto cruz sólo es un caso especial de un
determinante cuya primera fila se compone de vectores unitarios.
En MATLAB, el producto cruz se encuentra al usar la función cross, que requiere dos
entradas: los vectores A y B. Cada uno de estos vectores MATLAB debe tener tres elementos,
pues representan los componentes vectoriales en el espacio. Por ejemplo, se puede tener
Considere dos vectores en el plano x-y (sin componente z):
La magnitud de estos vectores en la dirección z se necesita especificar como cero en MATLAB.

El resultado del producto cruz debe estar en ángulos rectos al plano que contiene los
vectores A y B, lo que dice que en este caso debe estar afuera del plano x-y, con sólo un
componente z.
Los productos cruz tienen amplio uso en estática, dinámica, mecánica de fluidos y problemas
de ingeniería eléctrica.
Momento de una fuerza en torno a un punto
El momento de una fuerza en relación con un punto se encuentra al calcular el producto cruz
de un vector que define la posición de la fuerza con respecto al punto, con el vector fuerza:
M0
= r฀3฀F
Considere la fuerza aplicada en el extremo de una palanca, como se muestra en la figura
9.4. Si se aplica una fuerza a la palanca cerca del punto pivote, el efecto es diferente que si se
aplica una fuerza más alejada sobre la palanca. Dicho efecto se llama momento.
Calcule el momento en torno al punto pivote de una palanca para una fuerza descrita
como el vector
Suponga que la palanca tiene 12 pulgadas de largo, a un ángulo de 45 grados desde la horizon-
tal. Esto significa que el vector posición se puede representar como
Encontrar el momento de un vector fuerza en torno al punto pivote de una palanca.
Figura 9.4
La fuerza aplicada a una palanca crea un momento en torno al punto pivote.
EJEM P LO 9 . 4

Entrada
vector posición
vector fuerza
Salida Momento en torno al punto pivote de la palanca
Visualice el problema como el determinante de un arreglo 3฀3฀3:
Obviamente, no puede haber componentes en la respuesta. El momento debe ser
El código MATLAB
regresa el siguiente resultado:
Esto corresponde a un vector momento
Note que el momento está en ángulos rectos al plano definido por los vectores posición
y fuerza.
Claramente, las soluciones a mano y MATLAB concuerdan, lo que significa que ahora
se puede expandir el programa a una solución más general. Por ejemplo, el siguiente
programa solicita al usuario los componentes x, y y z de los vectores posición y fuerza
y luego calcula el momento:

Un ejemplo de interacción en la ventana de comandos es
9.2 SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Este sistema de ecuaciones se puede rescribir con las siguientes matrices:
Sección 9.2 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 321

Al usar multiplicación matricial se puede escribir entonces el sistema de ecuaciones
AX = B.
9.2.1 Solución con el uso de la matriz inversa
Probablemente la forma más directa de resolver este sistema de ecuaciones es usar la matriz
inversa. Dado que se sabe que
A1
A = 1
se pueden multiplicar ambos lados de la ecuación matricial AX = B por A1
para obtener
A1
AX = A1
B
lo que produce
X = A1
B
Como en todas las matemáticas matriciales, el orden de multiplicación es importante. Dado que
A es una matriz 3 3฀3, su inverso A1
también es una matriz 3฀3฀3. La multiplicación A1
B
funciona porque las dimensiones coinciden. El resultado es la matriz 3 3 1 X. Si se cambia el
orden a BA1
, las dimensiones ya no coincidirían y la operación sería imposible.
Puesto que en MATLAB la matriz inversa se calcula con la función inv, se puede usar
el siguiente conjunto de comandos para resolver este problema:
Este código regresa
De manera alternativa, podría representar la matriz inversa como A^-1, de modo que
lo que regresa
Aunque esta técnica corresponde bien con el enfoque que se considera en las clases de álgebra
cuando se introducen las matrices, no es muy eficiente y puede resultar en excesivos errores de
redondeo. En general, se debe evitar usar la matriz inversa para resolver sistemas lineales
de ecuaciones.

Resolución de ecuaciones simultáneas: un circuito eléctrico*
Al resolver un problema de circuito eléctrico, uno se encuentra rápidamente empantanado en
una gran cantidad de ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, considere el circuito eléctrico que se
muestra en la figura 9.5. Contiene una sola fuente de voltaje y cinco reóstatos. Puede analizar este
circuito al dividirlo en partes más pequeñas y usar dos hechos básicos en torno a la electricidad:
voltaje alrededor de un circuito debe ser cero
Voltaje = corriente฀3฀resistencia (V = iR)
Seguir el lazo inferior izquierdo resulta en la primera ecuación:
Seguir el lazo superior resulta en la segunda ecuación:
Finalmente, seguir el lazo inferior derecho resulta en la última ecuación:
Dado que se conocen todas las resistencias (los valores R) y el voltaje, se tienen tres ecuacio-
nes y tres incógnitas. Ahora se necesita reordenar las ecuaciones de modo que estén en una
forma en la que se pueda aplicar una solución matricial. En otras palabras, se necesita aislar
las íes del modo siguiente:
Cree un programa MATLAB para resolver estas ecuaciones con el método de matriz inversa.
Permita al usuario ingresar cinco valores de R y el voltaje desde el teclado.
Encontrar las tres corrientes para el circuito que se muestra.
*Tomado de Introduction to MATLAB 7, de Etter, Kuncicky y Moore (Upper Saddle River, NJ: Pearson
Prentice Hall, 2005).
EJEM P LO 9 . 5
Figura 9.5
Un circuito eléctrico.

Entrada Cinco resistencias R1
, R2
, R3
, R4
, R5
y el voltaje V, proporcionados desde el
teclado
Salida Tres valores de corriente i1
, i2
, i3
3. Desarrolle una solución a mano.
Si no hay voltaje aplicado en el circuito, puede no haber corriente, de modo que si se
ingresa algún valor para las resistencias y se ingresa cero para el voltaje, la respuesta
debe ser cero.
El código MATLAB
genera la siguiente interacción en la ventana de comandos:
A propósito se eligió ingresar un voltaje de cero con la finalidad de comprobar la solu-
ción. Los circuitos sin fuerza impulsora (voltaje) no pueden tener un flujo de corriente
a través de ellos. Ahora intente el programa con otros valores:
En conjunto, estos valores producen

9.2.2 Solución con división izquierda de matriz
Una mejor forma de resolver un sistema de ecuaciones lineales es usar una técnica llamada
eliminación gaussiana. En realidad ésta es la forma en que usted probablemente aprendió a
resolver sistemas de ecuaciones en el álgebra de bachillerato. Considere el problema de tres
ecuaciones en x, y y z:
Para resolver este problema a mano, se considerarían primero las dos primeras ecuaciones
en el conjunto y se eliminaría una de las variables, por ejemplo, x. Para hacer esto necesitará
multiplicar la segunda ecuación por 3 y luego sumar la ecuación resultante a la primera:
Ahora se necesita repetir el proceso para la segunda y tercera ecuaciones:
En este punto, se eliminó una variable y el problema se redujo a dos ecuaciones y dos incóg-
nitas:
Ahora se puede repetir el proceso de eliminación al multiplicar la fila 3 por 11/2:
Finalmente, se puede resolver para z:
z = 6
Una vez que se conoce el valor de z, se puede sustituir de vuelta en cualquiera de las dos ecua-
ciones con sólo z y y, a saber,
para encontrar que
y = 5
Idea clave: la
eliminación gaussiana es
más eficiente y menos
susceptible a error de
redondeo que el método
de matriz inversa.

El último paso es sustituir de nuevo en una de las cuatro ecuaciones originales,
para encontrar que
x = 2
La técnica de eliminación gaussiana es un enfoque organizado para eliminar variables hasta
que sólo existe una incógnita y luego sustituir de nuevo hasta que se determinan todas las
incógnitas. En MATLAB se puede usar división izquierda para resolver el problema por eli-
minación gaussiana. En consecuencia,
regresa
Obviamente, éste es el mismo resultado que se obtuvo con la solución a mano y el enfoque de
matriz inversa. En un problema simple como éste, el error de redondeo y el tiempo de ejecu-
ción no son grandes factores para determinar cuál enfoque usar. Sin embargo, algunas técnicas
numéricas requieren la solución de matrices con miles o incluso millones de elementos. Los
tiempos de ejecución se miden en horas o días para estos problemas, y el error de redondeo y
el tiempo de ejecución se convierten en consideraciones cruciales.
No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen una solución única. Si existen
menos ecuaciones que variables, el problema está subespecificado. Si hay más ecuaciones que
variables, el problema está sobreespecificado. MATLAB incluye funciones que le permitirán
resolver cada uno de estos sistemas de ecuaciones al usar enfoques numéricos de mejor ajuste
o agregar restricciones. Consulte la función help de MATLAB para más información acerca
de estas técnicas.
eliminación
gaussiana: enfoque
organizado para eliminar
variables y resolver un
conjunto de ecuaciones
simultáneas
Balance de materia en una unidad de desalinización:
resolución de ecuaciones simultáneas
El agua fresca es un recurso escaso en muchas partes del mundo. Por ejemplo, Israel soporta
una moderna sociedad industrial en medio de un desierto. Para complementar los recursos
acuíferos locales, Israel depende de las plantas de desalinización de agua a lo largo de la
costa mediterránea. Estimaciones actuales predicen que la demanda por agua fresca en Israel
aumentará 60% hacia el año 2020, y la mayoría de esta nueva agua tendrá que venir de desali-
nización. Las modernas plantas desalinizadoras usan ósmosis inversa, ¡el proceso que se usa
en diálisis renal! Los ingenieros químicos usan ampliamente cálculos de balance de materias
para diseñar y analizar plantas como las desalinizadoras de agua en Israel.
Considere la hipotética unidad de desalinización que se muestra en la figura 9.6. El
agua salada que fluye en la unidad contiene 4 %w de sal y 96 %w de agua. Dentro de la uni-
EJEM P LO 9 . 6

dad, el agua se separa en dos corrientes mediante una serie de operaciones de ósmosis inversa.
La corriente que fluye por arriba casi es agua pura. La restante solución concentrada de agua
salada es 10 %w de sal y 90 %w de agua. Calcule las tasas de flujo de masa que vienen de
arriba y abajo de la unidad de desalinización.
Este problema requiere la realización de un balance de materias en el reactor tanto
para sal como para agua. La cantidad de cualquier componente que fluye en el reactor debe
ser el mismo que la cantidad de dicho componente que fluye en las dos corrientes de salida.
Esto es,
mentA
= marribaA
+ mabajoA
que se podría reescribir como
xA
ment total
= xAarriba
marriba
+ xAabajo
mabajo
Por ende, se puede formular este problema como un sistema de dos ecuaciones con dos in-
cógnitas:
0.96฀3฀100 = 1.00marriba
+ 0.90mabajo
(para agua)
0.04 3 100 = 0.00marriba
+ 0.10mabajo
(para sal)
Encontrar la masa de agua fresca que se produce y la masa de salmuera eliminada de la
unidad de desalinización.
Entrada Masa de 100 lb en el sistema
Concentraciones (fracciones de masa) de la corriente de entrada:
xH2O
= 0.96
xNaCl
= 0.04
Figura 9.6
La desalinización de agua
es una importante fuente
de agua fresca para
naciones desérticas como
Israel.
xH2O 0.96
xNaCl 0.04
xH2O 1.00
xNaCl 0.00
xH2O 0.90
xNaCl 0.10
Unidad de
desalinización
ment 100 lbm
marriba ? lbm
mabajo ? lbm

Concentraciones (fracciones de masa) en las corrientes de salida:
corriente rica en agua (arriba)
xH2O
= 1.00
salmuera (abajo)
xH2O
= 0.90
xNaCl
= 0.10
Salida Masa de salida de la corriente rica en agua (arriba)
Masa de salida de la salmuera (abajo)
Dado que la sal (NaCl) está presente sólo en una de las corrientes de salida, es fácil
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
(0.96)(100) = 1.00marriba
+ 0.90mabajo
(para agua)
(0.04)(100) = 0.00marriba
+ 0.10mabajo
(para sal)
Si comienza con el balance de materia sal, se encuentra que
4 = 0.1mabajo
mabajo
= 40 lbm
Una vez conocido el valor de mabajo
, se puede sustituir de nuevo en el balanceo de agua:
96 = 1marriba
+ (0.90)(40)
marriba
= 60 lb
Se puede usar matemáticas matriciales para resolver este problema una vez se dé cuenta
de que es de la forma
AX = B
donde A es la matriz coeficiente y, por tanto, las fracciones de masa del agua y la sal. La
matriz resultado, B, consiste en la tasa de flujo de masa en el sistema de agua y sal:
La matriz de incógnitas, X, consiste en las tasas de flujo de masa totales que salen de
arriba y abajo de la unidad de desalinización. El uso de MATLAB para resolver este
sistema de ecuaciones requiere sólo tres líneas de código:
Este código regresa

Note que en este ejemplo se eligió usar división izquierda matricial. Usar el enfoque de
matriz inversa produce el mismo resultado:
Los resultados de ambos enfoques coinciden con el del ejemplo a mano, pero se puede
hacer una comprobación adicional para verificar los resultados. El balance de materia
se realizó con base en agua y sal, pero se puede realizar un balanceo adicional sobre la
masa total que entra y sale del sistema:
ment
= marriba
+ mabajo
ment
= 40 + 60 = 100
Verificar que realmente salen del sistema 100 lbm sirve como una confirmación más de
que se realizaron los cálculos correctamente.
Aunque fue sencillo resolver a mano el sistema de ecuaciones de este problema,
la mayoría de los cálculos de balance de materias reales incluyen más corrientes de
proceso y más componentes. Las soluciones matriciales como la que se creó son una
importante herramienta para los ingenieros de procesos químicos.
9.3 MATRICES ESPECIALES
MATLAB contiene un grupo de funciones que generan matrices especiales, algunas de las
cuales se discuten en esta sección.
9.3.1 Unos y ceros
Las funciones ones y zeros crean matrices que consisten por completo en unos y ceros,
respectivamente. Cuando se usa una sola entrada, el resultado es una matriz cuadrada. Cuando
se usan dos entradas, especifican el número de filas y columnas. Por ejemplo,
regresa
y
regresa
Sección 9.3 Matrices especiales 329

Si en cualquier función se especifican más de dos entradas, MATLAB crea una matriz multi-
dimensional. Por ejemplo,
crea una matriz tridimensional con dos filas, tres columnas y dos páginas.
9.3.2 Matriz identidad
Una matriz identidad es una matriz con unos en la diagonal principal y ceros en todas las demás
ubicaciones. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz identidad con cuatro filas y cuatro
columnas:
Note que la diagonal principal es la diagonal que contiene los elementos en los que el número
de fila es el mismo que el número de columna. Los subíndices para los elementos en la diago-
nal principal son (1,1), (2,2), (3,3), etcétera.
En MATLAB, las matrices identidad se pueden generar con la función eye. Los argu-
mentos de la función eye son similares a los de las funciones zeros y ones. Si el argumento de
la función es un escalar, como en eye(6), la función generará una matriz cuadrada, usando el
argumento tanto como el número de filas como el de columnas. Si la función tiene dos argu-
mentos escalares, como en eye(m,n), la función generará una matriz con m filas y n columnas.
Para generar una matriz identidad que sea del mismo tamaño que otra matriz, use la función
size para determinar el número correcto de filas y columnas. Aunque la mayoría de las apli-
caciones usan una matriz identidad cuadrada, la definición se puede extender a matrices no
cuadradas. Los siguientes enunciados ilustran estos casos:

Recuerde que A * inv(A) es igual a la matriz identidad. Esto se puede ilustrar con los siguien-
tes enunciados:
Como se discutió anteriormente, la multiplicación matricial en general no es conmutativa;
esto es,
AB  BA
Sin embargo, para matrices identidad
AI = IA
que se puede demostrar con el siguiente código MATLAB:
S u g e r e n c i a
Se recomienda que no nombre una matriz identidad i, porque i ya no representará
en algún enunciado que siga.
Sección 9.3 Matrices especiales 331

9.3.3 Otras matrices
MATLAB incluyen algunas matrices que son útiles para atestiguar técnicas numéricas, que
sirven en algoritmos computacionales o que sólo son interesantes.
Una de las operaciones matriciales más comunes es la transposición, que cambia filas a colum-
nas y columnas a filas. En los textos de matemáticas, el transpuesto se indica con un superíndi-
ce T, como en AT
. En MATLAB, se usa el apóstrofe como el operador transponer. Por tanto,
es la transpuesta de A.
Otra operación matricial común es el producto punto, que es la suma de las multiplica-
ciones de arreglo de dos vectores de igual tamaño:
La función MATLAB para el producto punto es
Similar al producto punto es la multiplicación matricial. Cada elemento en el resultado de una
multiplicación matricial es un producto punto:
La multiplicación matricial usa el operador asterisco en MATLAB, de modo que
R ESU M EN

indica que la matriz A se multiplica por la matriz B en concordancia con las reglas del álgebra
matricial. La multiplicación matricial no es conmutativa; esto es,
AB  BA
Elevar una matriz a una potencia es similar a múltiples pasos de multiplicación:
A3
= AAA
Dado que una matriz debe elevarse al cuadrado para multiplicarse por ella misma, sólo las
matrices cuadradas se pueden elevar a una potencia. Cuando las matrices se elevan a poten-
cias no enteras, el resultado es una matriz de números complejos.
Una matriz por su inverso es la matriz identidad:
AA1
= I
MATLAB proporciona dos técnicas para determinar una matriz inversa: la función inv, con
lo cual
y elevar la matriz a la potencia 1, dada por
Si el determinante de una matriz es cero, la matriz es singular y no tiene inverso. La función
MATLAB que se usa para encontrar el determinante es
Además de calcular productos punto, MATLAB contiene una función que calcula el producto
cruz de dos vectores en el espacio. El producto cruz con frecuencia se llama producto vecto-
rial porque regresa un vector:
C = A 3 B
El producto cruz produce un vector que está en ángulos rectos (normal) a los dos vectores de
entrada, una propiedad llamada ortogonalidad. Los productos cruz se pueden considerar como
el determinante de una matriz compuesta de los vectores unitarios en las direcciones x, y y z y
los dos vectores de entrada:
La sintaxis MATLAB para calcular un producto cruz usa la función cross:
Un uso común de la matriz inversa es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo,
el sistema
Resumen 333

se puede expresar con matrices como
AX = B
Para resolver este sistema de ecuaciones con MATLAB, podría multiplicar B por el inverso
de A:
Sin embargo, esta técnica es menos eficiente que la eliminación gaussiana, que se logra en
MATLAB con el uso de la división izquierda:
MATLAB incluye algunas matrices especiales que se pueden usar para realizar cálculos más
fáciles o para probar técnicas numéricas. Por ejemplo, las funciones ones y zeros se pueden
usar para crear matrices de unos y ceros, respectivamente. Las funciones pascal y magic
se usan para crear matrices Pascal y matrices mágicas, respectivamente, ninguna de las
cuales tiene algún uso computacional particular, pero son matemáticamente interesantes.
La función gallery contiene más de 50 matrices especialmente formuladas para probar téc-
nicas numéricas.
RESUMEN MATLAB El siguiente resumen MATLAB menciona y describe brevemente todos los caracteres, coman-
dos y funciones especiales que se definieron en este capítulo:
TÉRMINOS CLAVE determinante
eliminación gaussiana
inverso
matriz identidad
normal
ortogonal
producto cruz
producto punto
singular
sistema de ecuaciones
transponer
vector unitario

Productos punto
9.1 Calcule el producto punto de los siguientes pares de vectores y luego demuestre que
A฀•฀B = B฀•฀A
(a) A = [1 3 5], B = [3 2 4]
(b) A = [0 1 4 8], B = [4 2 3 24]
9.2 Calcule la masa total de los componentes que se muestra en la tabla 9.3, con un pro-
ducto punto.
9.3 Use un producto punto y la lista de compras de la tabla 9.4 para determinar su cuenta
total en la tienda.
9.4 Los calorímetros de bomba se usan para determinar la energía liberada durante reac-
ciones químicas. La capacidad calorífica total de un calorímetro de bomba se define
como la suma de los productos de la masa de cada componente y la capacidad calorí-
fica específica de cada componente, o
donde
mi
= masa del componente i, g
Ci
= capacidad calorífica del componente, i, J/g, K
CP = capacidad calorífica total, J/K
Encuentre la capacidad calorífica total de un calorímetro de bomba con los datos tér-
micos que se muestran en la tabla 9.5.
P R O B LEM A S
Problemas 335

9.5 Los compuestos orgánicos están constituidos principalmente de carbono, hidrógeno y
oxígeno, y con frecuencia se llaman hidrocarburos por dicha razón. El peso molecu-
lar (MW) de cualquier compuesto es la suma de los productos del número de átomos
de cada elemento (Z) y el peso atómico (AW) de cada elemento presente en el com-
puesto.
Los pesos atómicos del carbono, hidrógeno y oxígeno son aproximadamente 12, 1 y
16, respectivamente. Use un producto punto para determinar el peso molecular del
etanol (C2
H5
OH), que tiene dos carbonos, un oxígeno y seis átomos de hidrógeno.
9.6 Con frecuencia es útil pensar que el aire es una sola sustancia con un peso molecular
(masa molar) determinada por un promedio ponderado de los pesos moleculares de
los diferentes gases presentes en el aire. Con poco error, se puede estimar el peso
molecular del aire sólo con el uso de nitrógeno, oxígeno y dióxido de carbono en los
cálculos. Use un producto punto y la tabla 9.6 para aproximar el peso molecular del
aire.
Multiplicación matricial
9.7 Calcule el producto matricial A*B de los siguientes pares de matrices:
Demuestre que A*B no es lo mismo que B*A.
9.8 Usted y un amigo van a una tienda. Sus listas son las que se muestran en la tabla 9.7.

Los artículos tienen los siguientes costos:
Encuentre la factura total para cada comprador.
9.9 Con un calorímetro de bomba se realizó una serie de experimentos. En cada experi-
mento se usó una cantidad diferente de agua. Calcule la capacidad calorífica total para
el calorímetro en cada uno de los experimentos, mediante multiplicación matricial, los
datos de la tabla 9.8 y la información acerca de la capacidad calorífica que sigue a la
tabla.
Problemas 337

9.10 El peso molecular (MW) de cualquier compuesto es la suma de los productos del
número de átomos de cada elemento (Z) y el peso atómico (AW) de cada elemento
presente en el compuesto, o
En la tabla 9.9 se mencionan las composiciones de los primeros cinco alcoholes de
cadena recta. Use los pesos atómicos del carbono, hidrógeno y oxígeno (12, 1 y 16,
respectivamente) y la multiplicación matricial para determinar el peso molecular (más
correctamente llamada masa molar) de cada alcohol.
Exponenciación matricial
9.11 Dado el arreglo
(a) Eleve A a la segunda potencia mediante exponenciación de arreglo. (Consulte
help si es necesario.)
(b) Eleve A a la segunda potencia mediante exponenciación matricial.
(c) Explique por qué las respuestas son diferentes.
9.12 Cree un arreglo 3฀3฀3 llamado A mediante la función pascal:
(a) Eleve A a la tercera potencia mediante exponenciación de arreglo. (Consulte help
si es necesario.)
(b) Eleve A a la tercera potencia mediante exponenciación matricial.
(c) Explique por qué las respuestas son diferentes.
Determinantes e inversos
9.13 Dado el arreglo A = [1 3; 4 2], calcule el determinante de A tanto a mano como con
MATLAB.
9.14 Recuerde que no todas las matrices tienen inverso. Una matriz es singular (es decir: no
tiene inverso) si su determinante es igual a 0 (es decir, |A| = 0). Use la función determi-
nante para probar si cada una de las siguientes matrices tiene inverso:
Si existe un inverso, calcúlelo.

Productos cruz
9.15 Calcule el momento de fuerza en torno al punto pivote para la palanca que se muestra
en la figura P9.15. Necesitará usar trigonometría para determinar los componentes x
y y tanto del vector posición como del vector fuerza. Recuerde que el momento de
fuerza se puede calcular como el producto cruz
M0
= r฀3฀F
Una fuerza de 200 lbf se aplica verticalmente en una posición a 20 pies sobre la palan-
ca. La palanca se ubica en un ángulo de 60° desde la horizontal.
9.16 Determine el momento de fuerza en torno al punto donde una ménsula se une a la pared.
La ménsula se muestra en la figura P9.16. Se extiende 10 pulgadas desde la pared y 5
pulgadas hacia arriba. Se aplica una fuerza de 35 lbf sobre la ménsula, a un ángulo de
55° desde la vertical. Su respuesta debe estar en ft-lbf, de modo que necesitará hacer
algunas conversiones de unidades.
9.17 Una repisa rectangular se une a una pared mediante dos ménsulas separadas 12 pulga-
das en los puntos A y B, como se muestra en la figura P9.17. Un alambre con un peso
de 10 lbf unido cuelga del borde de la repisa en el punto C. Determine el momento de
fuerza en torno al punto A y en torno al punto B causado por el peso en el punto C.
Puede formular este problema al resolverlo dos veces, una por cada ménsula,
o al crear una matriz 2 3 3 para el vector posición y otra matriz 2 3 3 para el vector
fuerza. Cada fila debe corresponder a una ménsula diferente. La función cross regresa-
rá un resultado 2 3 3, donde cada fila corresponda al momento en torno a una ménsula
separada.
Figura P9.15
Momento de fuerza que
actúa sobre una palanca
en torno al origen.
Figura P9.16
Ménsula unida a una
pared.
Figura P9.17
Cálculo del momento de
fuerza en tres dimensiones.
Problemas 339

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
9.18 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, tanto con división izquierda matricial
como con el método de matriz inversa:
9.19 En general, la división izquierda matricial es más rápida y más precisa que tomar la
matriz inversa. Con ambas técnicas, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y el
tiempo de ejecución con las funciones tic y toc:
Si tiene una computadora más nueva, puede encontrar que este problema se ejecuta tan
rápidamente que no podrá detectar una diferencia entre las dos técnicas. Si es así, vea
si puede formular un problema más grande para resolverlo.
9.20 En el ejemplo 9.5 se demostró que el circuito de la figura 9.5 se podría describir me-
diante el siguiente conjunto de ecuaciones lineales:
Este conjunto de ecuaciones se resolvió con el enfoque de matriz inversa. Vuelva a
hacer el problema, pero esta vez use el enfoque de división izquierda.
9.21 Considere un proceso de separación en el que una corriente de agua, etanol y metanol
ingresa a una unidad de proceso. Dos corrientes salen de la unidad, cada una con can-
tidades variables de los tres componentes. (Véase la figura 9.21.)

Determine las tasas de flujo de masa en y afuera del sistema por arriba y abajo de la
unidad de separación.
(a) Primero configure las ecuaciones de balance de materia para cada uno de los tres
componentes:
Agua
(0.5)(100) = 0.2marriba
+ 0.65mabajo
50 = 0.2marriba
+ 0.65mabajo
Etanol
100x = 0.35marriba
+ 0.25mabajo
0 = –100x + 0.35marriba
+ 0.25mabajo
Metanol
100(1 – 0.5 – x) = 0.45marriba
+ 0.1mabajo
50 = 100x + 0.45marriba
+ 0.1mabajo
(b) Ordene las ecuaciones que encontró en la parte (a) en una representación ma-
tricial:
(c) Use MATLAB para resolver el sistema lineal de tres ecuaciones.
Figura P9.21
Proceso de separación con
tres componentes.
xH2O 0.50
xEtanol x
xMetanol 1 0.5 x
xH2O 0.65
xEtanol 0.25
xMetanol 0.10
xH2O 0.20
xEtanol 0.35
xMetanol 0.45
ment 100
marriba ?
mabajo ?
Problemas 341

cap9.pdf

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (16)

Similar a cap9.pdf (20)

Más de Gonzalo Fano (6)

Último (20)

cap9.pdf