Cálculo Matricial Y Sistemas Lineales

CAPÍTULO 2
CÁLCULO MATRICIAL Y
SISTEMAS LINEALES

OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es introducir al
estudiante a los conceptos básicos del
cálculo matricial. Al final del capítulo el
estudiante será capaz de hacer operaciones
básicas sobre las matrices (inversión,
determinante, descomposición LU) y de
resolver sistemas de ecuaciones lineales por
diferentes métodos. El estudiante será
igualmente capaz de diagnosticar la calidad
de la solución obtenida

MATRICES





















nm3n2n1n
m3333231
m2232221
m1131211
ij
a...aaa
.....
.....
a...aaa
a...aaa
a...aaa
}a{][AA

PROPIEDADES
• Matriz cuadrada: m = n.
• La suma de matrices es conmutativa:
A+B = B + A
• El producto de matrices NO es
conmutativo:
A·B  B·A
• El producto es distributivo con respecto a la
adición:
• C(A+B) = C·A + C·B

MATRIZ IDENTIDAD
o unitaria



















1...000
.....
.....
I

MATRIZ TRANSPUESTA





















nmmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..
......
.....
..
..
..
321
3332313
2322212
1312111
T
A

MATRIZ CUADRADA





















nnnnn
n
n
n
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
...
.....
.....
...
...
...
}{][
321
3333231
2232221
1131211
AA

VECTOR FILA
 mj aaaaa 11312111 ...}{][  AA

MATRIZ SIMÉTRICA





















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
.......
.......
...
...
...
321
3332313
2232212
1131211
S

MATRIZ TRIDIAGONAL
(matriz tipo banda)






























nn1nn
n1n1n1n2n1n
1n2n2n2n
3332
232221
1211
...000
.........
.........
000...
aa
aaa
aa
aa
aaa
aa
T

MATRIZ TRIANGULAR
SUPERIOR
































nn
n1n1n1n
n2-n1n2n2n2n
n31n32n333
n21n22n22322
n11n12n1131211
...000
.........
.........
...00
...0
...
u
uu
uuu
uuuu
uuuuu
uuuuuu
U

MATRIZ TRIANGULAR
INFERIOR






























nn1nn2nn3n2n1n
1n1n2n1n31n21n11n
2n2n32n22n12n
333231
2221
11
...
0...
00...
.........
.........
000...
llllll
lllll
llll
lll
ll
l
L

TRAZA Y RANGO
• Se llama traza de una matriz a la suma de
los valores pertenecientes a su diagonal.
• El rango de una matriz es la mínima
dimensión de la misma tal que sus filas y/o
columnas sean linealmente independientes.

INVERSO DE UNA MATRIZ
• Se llama inverso de una matriz a la matriz
denotada A-1 tal que su producto por la
matriz A sea igual a la matriz identidad.
I=AA 1-

SISTEMAS LINEALES













nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........
...........
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111

SISTEMAS LINEALES





























































nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.
.
.
.
.
...
.......
.......
...
...
...
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
A x = b, A-1A x = A-1 b, x = A-1 b

RESOLUCIÓN DE
SISTEMAS LINEALES
• Calculando el inverso de la matriz A. Poco
recomendable (x = A-1 b).
• Utilizando métodos directos. Los más
convenientes.
• En caso de que los métodos directos no
funcionen, se pueden utilizar los métodos
iterativos.

Métodos directos
Método de Gauss (triangularización)
• Método eficiente para resolución de
sistemas lineales.
• Se basa en un método de sustitución.
• El objetivo es reemplazar por elementos
nulos todas las posiciones por debajo de la
diagonal.

Sustitución Gaussiana
• El método se basa en obligar a que ciertos
valores de una línea o de una columna se
vuelvan nulos, combinando hábilmente las
filas(o las columnas) entre sí.





















nm3n2n1n
m3333231
m2232221
m1131211
ij
a...aaa
.....
.....
a...aaa
a...aaa
a...aaa
}a{][AA

Primera reducción
11
1i
j1ji
1
ji a
a
aaa 
con i1 y 1jn+1
11
1i
1i
1
i a
a
bbb  con i1 y 1jn+1






























































1
1
3
1
2
1
3
2
1
11
3
1
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa

Segunda reducción
1
22
1
2i1
j2
1
ji
2
ji
a
a
aaa 
1
22
1
2i1
2
12
a
a
bbb ii 





























































2
2
3
1
2
1
3
2
1
22
3
2
3
2
33
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...00
.......
.......
...00
...0
...
nnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aa
aa
aaa
aaaa

Fórmula general
1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji 



a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11




a
a
bbb k
k
k
i
k
i





























































 1
2
3
1
2
1
3
2
1
1
2
3
2
33
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...000
.......
.......
...00
...0
...
n
nn
n
nn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa

Resolviendo x
1n
nn
1



a
b
x
n
n
n 2-n
1)-1)(n-(n
n
2n
1)n-(n
2n
1n
1n
a
xab
x





1-i
ii
n
1ij
j
1i
ji
1i
i
i
a
xab
x





DETERMINANTE
1
det( )
n
ij ij
i
a S

  A A
1111 a=)det(a=)det(A
21122211
2221
1211
det)det( aaaa
aa
aa






A

DETERMINANTE
)()(
)(det)det(
31223221133123332112
3223332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaa
aaaaa
aaa
aaa
aaa












A
Resolver un determinante de orden superior con esta
técnica no es recomendable, pues se hace inoperante.

Sustitución Gaussiana:
Cálculo del determinante





















1n
nn
2
n3
2
33
1
n2
1
23
1
22
n1131211
a...000
.......
.......
a...a00
a...aa0
a...aaa
det)det(A



n
1i
)1i(
iia)det(A

Método de Gauss-Jordan
(diagonalización)
• Es una modificación del método de Gauss.
• Las sustituciones se hacen sobre todas las
líneas, excepto las del pivote.
• El objetivo es obtener una matriz diagonal.

11
1i
j1ji
1
ji a
a
aaa 
11
1i
1i
1
i a
a
bbb 





























































1
1
3
1
2
1
3
2
1
11
3
1
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa

1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji 



a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11




a
a
bbb k
k
k
i
k
i
2 2 2
111 13 1 1
1 1 1 1
222 23 2 2
2 2 2
333 3 3
2 2 2
3
0 ...
0 ...
0 0 ...
.
.. . . ... . .
.. . . ... . .
0 0 ...
n
n
n
nn nn n
xa a a b
xa a a b
xa a b
xa a b
    
    
    
    
    
    
    
        
    

1
11 1 1
1 1
22 2 2
2 1
33 3 3
1 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
. . . ... . . .
. . . ... . . .
0 0 0 ...
n
n
n
n n
nn n n
a x b
a x b
a x b
a x b



 
    
    
    
    
     
    
    
         
     
1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji 



a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11




a
a
bbb k
k
k
i
k
i

• El vector solución se obtiene directamente
desde la última transformación como:
xi=bi
n-1/aii
n-1

Problemas Gauss y Gauss-Jordan
• División entre 0, esto debido a la presencia
de un pivote nulo.
• Errores de redondeo, depende del número
de cifras significativas usadas.
• Sistemas mal condicionados
• Sistemas singulares, posee 2 ecuaciones
linealmente dependientes, determinante
nulo

Gauss y Gauss-Jordan con Pivote
• Se utiliza la técnica del pivoteo para evitar la
división entre 0 o entre números pequeños
• Pivoteo parcial: se intercambian filas de tal forma
que el pivote es el mayor, en valor absoluto,
elemento de la columna (equivale a cambiar el
orden de las ecuaciones)
• Pivoteo total: Se intercambian filas o columnas
para que el pivote sea el mayor posible. Al
intercambiar columnas se intercambia el orden de
las variables

Método de Gauss (Pivote Parcial)
11 12 13 14 1 1
1 1 1
22 23 24 2 2
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
42 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
      
     
     
    
11 12 13 14 1 1
1 1 1
42 43 44 2 4
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
22 23 24 4 2
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
      
     
     
    
Pivóte Máximo

11 12 13 14 1 1
1 1 1
22 23 24 2 2
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
42 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
      
     
     
    
Método de Gauss (Pivote Total)
11 13 12 14 1 1
1 1 1
23 22 24 3 2
1 1 1
33 32 34 2 3
1 1 1
43 42 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
     
     
      
     
     
    
Pivóte Máximo

Método de Gauss para
matrices simétricas
• Las matrices simétricas tienen datos
redundantes.
• Se puede almacenar la mitad de la matriz en
un arreglo monodimensional, ahorrando la
mitad de la memoria.

Método de Thomas para
matrices tridiagonales
• Este método de resolución de matrices
tridiagonales se basa en un método
tradicional de sustitución.
• Debido a la poca densidad de términos en
este tipo de matriz, la secuencia de cálculos
puede ser conducida de tal forma que se
reduzca considerablemente el número de
operaciones.

Método de Thomas






















































































n
1n
2n
3
2
1
n
1n
2n
3
2
1
nn1nn
n1n1n1n2n1n
1n2n2n2n
3332
232221
1211
b
b
b
.
.
b
b
b
x
x
x
.
.
x
x
x
aaguatda.com/cmx.p0...000
aaa...000
0aa...000
.........
.........
000...aa0
000...aaa
000...0aa

Método de Thomas
• Este sistema de ecuaciones es equivalente a:













nnnn1n1nn
i1i1iiiii1i1ii
1221111
bxaxa
.....................
bxaxaxa
.....................
bxaxa

Método de Thomas
• El proceso de sustitución que se aplica a
cada línea es equivalente al método de
Gauss con pivote, pero se simplifica debido
a la presencia de los numerosos ceros:
1i1-i
1-ii
i1-iii
'
ii
a
a
aaa


1i1i
1ii
1iii
a
a
bb'b




Método de Thomas
• Los ai i-1 transformados son siempre nulos
(posición por debajo del pivote) y los ai i+1
quedan inalterados por que el valor en la
posición superior a ellos es también siempre
nula. El sistema se transforma en:






















































































n
1n
2n
3
2
1
n
1n
2n
3
2
1
nn
n1n1n1n
1n2n2n2n
2n3n
33
2322
1211
'b
'b
'b
.
.
'b
'b
b
x
x
x
.
.
x
x
x
'aguatda.com/cmx.p00...000
a'aguatda.com/cmx.p0...000
0a'a...000
..a......
......0..
000...'a00
000...a'a0
000...0aa

Método de Thomas
• Una vez terminada la fase de sustitución en
todas las ecuaciones, se puede proceder al
cálculo del vector solución mediante las
ecuaciones:
nn
n
n
a'
b'
x 
ii
1i1iii
i
a'
xa'b
x 


Método de LU
• En el método de Gauss tradicional, el hecho
de que se pueda llegar a una forma
triangular simplifica sustancialmente los
cálculos al tener solamente una sustitución
inversa que realizar. La premisa del método
LU es justamente la descomposición en
matrices triangulares, razón por la cual esta
característica pueda ser aprovechada.

CÁLCULO MATRICIAL
MÉTODO LU (lower y upper)
• Técnica muy utilizada en la resolución de
sistemas de ecuaciones.
• El objetivo es descomponer una matriz en
dos triangulares equivalentes, tal que se
cumpla que:
A = L U

Método de LU
El problema a resolver es:
Ax=b
La introducción de la descomposición LU
conduce a:
LUx=b
Si ahora se introduce la variable
intermedia z igual al producto Ux, se llega
a:
Lz=b

Método de LU
• Esta última ecuación permite obtener por
simples sustituciones el vector z ya que
z1=b1/l11, z2=(b2-l21z1)/l22 y así
sucesivamente.





























































n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
333231
2221
11
b
.
.
b
b
b
z
.
.
z
z
z
l...lll
.......
.......
0...lll
0...0ll
0...00l

Método de LU
• Una vez conocido el vector z, es muy fácil
utilizar una técnica similar para obtener x ya
que





























































n
3
2
1
n
3
2
1
nn
n333
n22322
n1131211
z
.
.
z
z
z
x
.
.
x
x
x
u...000
.......
.......
u...u00
u...uu0
u...uuu

Método LU





























































nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n2n1n
3231
21
A = L U

Método LU
a11=1 . u11





























































nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n2n1n
3231
21






























































nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n2n1n
3231
21
Método LU
a12=1 . u12
a1j=1 . u1jEn general,

Método LU





























































nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n2n1n
3231
21
a21=l21 . u11 a31=l31 . u11
ai1=li1 . u11En general,

Método LU
• De esta forma:
1 1
1 1 11
1
1
1
1
Fila 1 de U: ( )
Col. 1 de L: ( )
Fila i de U: ( , 1, 1)
Col. j de L: ( , 1, 1)
j j
i i
i
ij ij ik kj
k
j
ij ij jj ik kj
k
a u j
a l u i
a u l u j i i j
a l u l u j i i j




 
 
    
    



MÉTODOS ITERATIVOS
• Los métodos iterativos se basan en hacer
una sustitución de una de las variables
(distinta para cada ecuación) y expresar esta
variable en función de las otras.
• El problema se transforma en un proceso
iterativo ya que se requiere tener un primer
estimado de lo que podría ser la solución.

MÉTODOS ITERATIVOS
• Con este primer vector solución se puede
calcular un nuevo vector modificado de la
solución.
• Al repetir estas operaciones numerosas
veces, se obtiene una aproximación cada
vez mejor de la solución.
• El proceso iterativo se detiene cuando la
solución es suficientemente estable entre
dos operaciones consecutivas.

MÉTODOS ITERATIVOS
• El primer estimado que suele usarse para
hallar el vector solución es el vector nulo.
• Entre los métodos iterativos se encuentran
el de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación.

Método iterativo de Jacobi
• De todos los métodos iterativos, el método
de Jacobi es el más sencillo de aplicar y
comprender.
• Sin embargo no es un proceso muy eficiente
en cuanto a la obtención del resultado.

• La ecuación matricial puede ser modificada
y reescrita de la forma:











0...xaxabxa
...................
xa...0xabxa
.....................
xa...xa0bxa
2n211nnnnn
nn21122222
nn12211111

• Este conjunto de ecuaciones puede ser
escrito en forma matricial si se descompone
la matriz A en la suma de tres matrices (una
triangular inferior con ceros en la diagonal,
una diagonal y una triangular superior con
ceros en la diagonal). A = L + D + U.
• De la igualdad original correspondiente al
sistema lineal A x = b se puede entonces
obtener:

• (L+D+U)x=b
• Dx=b-(L+U)x
• Esta última forma indica que el vector x
puede ser obtenido a partir de un estimado
inicial del mismo vector x.
• Esta forma, conocida como forma implícita,
permite obtener en forma iterativa una
aproximación cada vez mejor del vector x
solución del sistema lineal.

• Para diferenciar las etapas sucesivas de
cálculo del vector x, se le suele indicar el
orden de la iteración como superíndice. La
expresión anterior se transforma entonces
en:
• x(k+1) = D-1(b-(L+U)x(k))

• Siendo la matriz D una matriz diagonal, su
inverso se obtiene simplemente
reemplazando el termino de la diagonal por
su propio inverso (1/aii).
• En cuanto a la operación de cálculo
propiamente dicho, su expresión es:
ii
n
ij
1j
)k(
jiji
)1k(
i
a
xab
x







• Como se había mencionado anteriormente,
si bien este método es sumamente sencillo
para ponerlo en funcionamiento, su
rendimiento en cuanto a número de
iteraciones hace poco interesante su uso.

• En lo que se refiere a convergencia, una
condición suficiente (pero no necesaria) es
que la matriz A inicial sea diagonalmente
dominante.
• Esta condición se cumple si:


n
ij,1j
ijii aa

• En realidad, estos sistemas lineales pueden
llegar a converger aún si todas sus líneas no
cumplen con este requisito.
• En los nuevos programas usando
procesadores en paralelo, se está usando el
método de Jacobi por permitir separar la
información y procesarla en forma paralela
(Smith, 1992).

Método iterativo de Gauss-
Seidel
• El método de Gauss-Seidel es una simple
modificación del método original de Jacobi.
• Se diferencia solamente por el hecho de que
cuando se quiere calcular el elemento xi
k+1
del vector x se conoce a este nivel del
cálculo todas las estimaciones recientes de
xj
k+1 (con j<i).

Gauss-Seidel
• Si el proceso es convergente estos valores
de xj
k+1 son más cercanos a los anteriores
xj
k , razón por la cual el proceso de
convergencia debe ser mejor.
• La escritura matricial correspondiente al
método de Gauss-Seidel es:
• (D+L)x(k+1)=b-Ux(k)

Gauss-Seidel
ii
i
j
n
ij
k
jij
k
jiji
k
i a
xaxab
x
 


 


1
1 1
)()1(
)1(

Gauss-Seidel
• El método de Gauss-Seidel disminuye
sustancialmente el número de iteraciones.
• El criterio de convergencia es similar al
criterio fijado por el método de Jacobi.
• Sin embargo muchos problemas que
convergen con el método de Gauss-Seidel
no convergen con el método de Jacobi.

Gauss-Seidel
• De forma general si converge con Jacobi,
converge más rápidamente con Gauss-
Seidel.
• Esto se debe sin lugar a dudas al hecho que
el vector solución se ve forzado a acercarse
a la solución real y por ende entra más
rápidamente en el dominio de convergencia.

Método iterativo de relajación
• El método de relajación es un método
propuesto por Frankel en 1950 para reducir
el número de iteraciones en los cálculos de
soluciones de sistemas lineales por el
método de Gauss-Seidel.

Relajación
• Se basa en obtener en cada iteración un
promedio ponderado (solamente para los
elementos del vector anteriores a la posición
de cálculo) de la solución del método de
Jacobi y de la solución del método de
Gauss-Seidel.

ii
1i
1j
n
1ij
)k(
jij
)1k(
jiji
ii
n
1j
)k(
jiji
)1k(
i
a
xaxab
a
xab
)1(x
 

 






• La forma matricial correspondiente a esta
descomposición es:
  (k)1)+(k
)-(1-= xUDLbLx 
donde,  es el parámetro de relajación.
Relajación

Relajación
• El método de relajación puede ser calculado
cualquier sea el valor de >0.
• En el caso que  sea igual a 1, el método es
equivalente al método de Gauss-Seidel.
• Se denomina sub relajación al método
cuando <1 y super-relajación cuando >1.

Relajación
• Se podría decir que si 0 el método se
acerca al método de Jacobi, sin embargo la
expresión específica ha de ser usada en este
caso.
• Para reducir el número de iteraciones es
recomendable utilizar valores de  entre 1,1
y 1,3.

Relajación
• No tiene mucho sentido buscar para la
solución de un solo sistema lineal el
coeficiente de relajación óptimo que
minimice el número de iteraciones.

Relajación
• Pero en caso de necesitar resolver muchos
sistemas lineales parecidos (por ejemplo
para un estudio de sensibilidad de los
parámetros térmicos en problemas de
diferencias finitas o elementos finitos) esta
inversión en tiempo de cálculo puede ser
recuperada en la solución de todos los
sistemas que se resuelven en el desarrollo
del proyecto.

CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• Como se ha señalado anteriormente, es
claro que cualquiera de los métodos
numéricos ya expuestos permite obtener un
valor aproximado de la solución y no la
solución algebraica.
• Esto se debe fundamentalmente a que en el
cálculo, se ha utilizado una representación
finita de los números.

CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• Esto implica que se puede cometer errores
en las asignaciones mismas de los números
de la matriz a las variables binarias de la
computadora cuando los números no son
enteros.
• Por otra parte, en la secuencia de los
cálculos, se genera un segundo tipo de error
en las divisiones, sumas y restas con
número de magnitud distinta.

CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La condición de una matriz:
)(cond1
AAAIAA 1
 
• Si la condición de A es cercana a 1, la
matriz está bien condicionada, mientras que
se dice que la matriz está mal condicionada
cuando cond (A) >> 1 (> 100 para una
matriz pequeña).

CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La norma de una matriz se define como:
– Norma Euclidiana:
– Norma p=1:
– Norma p=∞:
‖𝐴‖
2
1 1
n n
ije
i j
A a
 
 
11
1
max
n
j n ij
i
A a 

 
  
 

1
1
max
n
i n ij
j
A a 

 
  
 


CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La condición de una matriz es un factor de
magnificación del error relativo.
• Si la matriz tiende a ser singular, los
elementos de la matriz inversa se tornan
muy grandes (ya que el determinante tiende
a cero) y por ende la norma de la matriz
inversa es un número muy grande.

• Calcular el inverso de una matriz cuadrada
corresponde a obtener la matriz solución de
la siguiente igualdad :
• AA-1= A-1A=I





























































.......
.......
x.xxx
.....
.....
x.xxx
x.xxx
x.xxx
a.aaa
.....
.....
a.aaa
a.aaa
a.aaa
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211

• Eliminación de Gauss.
• Método LU.
• Matriz triangular.
Métodos

Eliminación Gaussiana
• La técnica utilizada se basa, como en el
caso anterior, en realizar una serie de
combinaciones lineales sobre las diferentes
líneas de la matriz con el fin de hacer
aparecer en posiciones particulares valores
característicos del problema.

Matriz aumentada original




















.
1...00a...aa
............
............
0...00a...aa
0...10a...aa
0...01a...aa
nn2n1n
n33231
n22221
n11211



























































.......
.......
.
.....
.....
.
.x
.
.
.
.....
.....
.
.a
.
321
3333231
2232221
1131211
321
3333231
2232221
1131211
nnnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
Matriz
aumentada

Matriz aumentada final




















nn2n1n
n33231
n22221
n11211
a...aaguatda.com/cmx.p1...00
............
............

Matriz aumentada intermedia




















1...0aa...a0
............
............
....0aa...a0
0...1aa...a0
0...0aa...a1
)1(
1n
)1(
nn
)1(
2n
)1(
31
)1(
n3
)1(
32
)1(
21
)1(
n2
)1(
22
)1(
11
)1(
n1
)1(
12

• Por ende, la primera fila debe ser dividida
por el coeficiente a11, mientras que a cada
una de las demás, se le debe aplicar una
fórmula idéntica a la mencionada en el caso
de eliminación Gaussiana.

Matriz inversa en el lado
derecho




















)n(
nn
)n(
2n
)n(
1n
n(
n3
)n(
32
)n(
31
)n(
n2
)n(
22
)n(
21
)n(
n1
)n(
12
)n(
11
............
............

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