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Este documento describe diferentes estrategias de pivoteo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. Explica que el pivoteo tiene como objetivo evitar divisiones entre cero y reducir errores de redondeo. Luego detalla tres tipos de pivoteo: pivoteo máximo por columna, pivoteo total y pivoteo escalado de fila. Finalmente, presenta ejemplos numéricos ilustrando la aplicación de estas técnicas.
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- 1. 3.3.7 Estrategias de pivoteo El pivoteo tiene dos finalidades: 1) superar la dificultad que presentan cuando un elemento pivote es cero, ya que origina una división entre cero; y 2) disminuir los errores de redondeo; debido a que si la magnitud del pivote es pequeña comparada con la de los otros elementos, entonces se pueden introducir errores de redondeo. La única condición para que un elemento pueda ser pivote es que sea distinto de 0 . Existen tres tipos de pivoteo: 1. Pivoteo máximo por columna o pivoteo parcial: Consiste en elegir un elemento no nulo (denominado “pivote”) para cada columna, a partir de la primera, que es el coeficiente de la columna cuyo valor absoluto es el mayor; para lograr esto, se intercambia en cada caso el renglón i por el renglón k cuyo elemento kia satisfaga la condición anterior; ya que se eligió el pivote se procede de modo habitual aplicando el método deseado. 2. Pivoteo total: Consiste en producir dominancia diagonal en la matriz de coeficientes, para ello se busca en toda la matriz el elemento de mayor valor absoluto, realizando intercambio de renglones y columnas; es decir consiste en sustituir el pivote iia , en cada caso, por aquel elemento kja , cuyo valor absoluto sea el mayor; para lograr esto, se intercambia el renglón i por el k y la columna i por la j , y se procede de modo habitual aplicando el método deseado; el proceso se repite ( 1)n − veces. Este tipo de pivoteo se usa en muy raras ocasiones debido que al intercambiar columnas se cambia el orden de las x y, en consecuencia, se agrega complejidad significativa al realizar el programa en la computadora. 3. Pivoteo escalado de fila o escalamiento: Sólo se usa para matrices con elementos muy diferentes en magnitud y cuando un pivote es mucho más “pequeño” que alguno de los coeficientes de la ecuación que él encabeza. Consiste en escalar una vez antes del proceso de eliminación; es decir se divide el renglón o renglones entre el elemento de mayor magnitud. Para escoger el pivote jja , para 1 2 1j … n= , , , − , se realizan los siguientes pasos: 1. Para 1i j j … n= , + , , , se calcula 1 max factordeescalai il l n s a ≤ ≤ = 2. Para 1i j j … n= , + , , , se calcula ij i a s | | 3. Se encuentra el menor entero k tal que: max ij kj i k j i n a a s s ≤ ≤ | | | | = Si tal k existe y k j≠ , entonces se cambia el renglón j por el renglón k , y se procede de modo habitual aplicando el método deseado.
- 2. 4. Se repite el paso )b y )c hasta que 1j n= − . Los factores de cambio de escala 1 2 ns s …s, , se calculan sólo una vez, al inicio del procedimiento y también deben intercambiarse al realizar intercambio de renglones. Ejemplo 3.3.16 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss, sin utilizar alguna estrategia de pivoteo, con 4 cifras significativas; (det 0 12457A = . , obtenido con Maple). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0002 0 00031 0 0017 0 00609 5 7 6 7 8 6 3 2 x x x x x x x x x . − . + . = . − + = + + = (3.45) Como det 0A ≠ se empieza a aplicar el método. Escribiendo el sistema de ecuaciones en notación matricial se tiene: 0 0002 0 00031 0 0017 0 00609 5 7 6 7 8 6 3 2 . − . . . = − = A b Combinando las matrices A y b para obtener su forma aumentada, se empiezan a realizar operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior. Finalmente, se aplica la sustitución hacia atrás, a fin de obtener el valor de las incógnitas. 1 2 3 1 2 3 2 3 3 0 0002 0 00031 0 0017 0 00609 3 999 0 750 36 50 145 2 1 067 830 3 3320 1 885 x x x x x x x x x . − . + . = . ≈ . ⇒ . − . = − . ≈ . . = ≈ − . Ejemplo 3.3.17 Resolver el sistema de ecuaciones lineales (3.45) por el método de Gauss, utilizando pivoteo parcial, con 4 cifras significativas. Escribiendo el sistema de ecuaciones en notación matricial se tiene: 0 0002 0 00031 0 0017 0 00609 5 7 6 7 8 6 3 2 . − . . . = − = A b
- 3. Se combinan las matrices A y b para obtener su forma aumentada. Empezando a aplicar pivoteo parcial; para escoger el pivote 11a , de la primera columna con elementos diferentes de cero (llamada columna pivote), se selecciona el elemento de mayor valor absoluto, en este caso es el elemento 13 8a = ; a este elemento se le llama pivote: Se intercambia el renglón 1 por el renglón 3, para llevar este elemento de la columna a la posición diagonal. Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. De la segunda columna, se selecciona el nuevo pivote 22a , que es el elemento de mayor valor absoluto de la diagonal principal para abajo, en este caso es el número 10 75− . ; por lo que no se necesita realizar intercambio de renglones, ya que este elemento se encuentra en la posición diagonal. Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. Finalmente, se aplica la sustitución hacia atrás, a fin de obtener el valor de las incógnitas.
- 4. 1 2 3 1 2 3 2 3 3 8 6 3 2 4 001 10 75 4 125 5 750 1 000 0 001448 0 005794 2 000 x x x x x x x x x + + = ≈ . ⇒ − . + . = . ≈ . . = . ≈ − . La solución exacta del sistema (3.45) es 1 4x = , 2 1x = y 3 2x = − . Comparando los resultados obtenidos de los ejemplos 3.16 y 3.17, se puede observar que si no se aplica pivoteo parcial los errores son significativos: 1r xε , = 4 3 999 4 100 0 025%− . × = . 2r xε , = 1 1 067 1 100 6 7%− . × = . 3r xε , = 2 ( 1 885) 4 100 5 75%− − − . × = . aplicando pivoteo parcial y un redondeo a 4 cifras significativas, 2x y 3x se obtienen de manera exacta y 1x se obtiene con un error relativo de ( 4 4 001 4) 100 0 025%| − . | / × = . . Ejemplo 3.3.18 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss, sin utilizar alguna estrategia de pivoteo, con 4 cifras significativas; (det 65 679715A = − . , obtenido con Maple). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 78 3 01 4 88 7 70 4 63 1 06 2 27 6 36 3 39 9 81 4 78 3 95 x x x x x x x x x . + . − . = − . . − . − . = − . − . + . − . = . (3.46) Como det 0A ≠ se empieza a aplicar el método. Escribiendo el sistema de ecuaciones en notación matricial se tiene: 1 78 3 01 4 88 7 70 4 63 1 06 2 27 6 36 3 39 9 81 4 78 3 95 . . − . − . = . − . − . = − . − . . − . . A b Combinando las matrices A y b para obtener su forma aumentada, se empiezan a realizar operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior. Finalmente, se aplica la sustitución hacia atrás, a fin de obtener el valor de las incógnitas.
- 5. 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 78 3 01 4 88 7 70 0 6966 8 889 10 42 13 67 2 197 4 14 13 19 3 186 x x x x x x x x x . + . − . = − . ≈ . ⇒ − . + . = . ≈ . . = . ≈ . Ejemplo 3.3.19 Resolver el sistema de ecuaciones lineales (3.46) por el método de Gauss utilizando pivoteo total, con 4 cifras significativas. Escribiendo el sistema de ecuaciones en notación matricial se tiene: 1 78 3 01 4 88 7 70 4 63 1 06 2 27 6 36 3 39 9 81 4 78 3 95 . . − . − . = . − . − . = − . − . . − . . A b Se combinan las matrices A y b para obtener su forma aumentada. Empezando a aplicar pivoteo completo; para escoger el pivote 11a se busca en toda la matriz A el elemento de mayor valor absoluto, en este caso es el elemento 3 2 9 81a , = . ; a este elemento se le llama pivote: Se intercambia el renglón 1 por el renglón 3: Después se intercambian la columna 1 por la columna 2 : Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. Para escoger el pivote 22a se busca en toda la matriz a excepción de la columna ya afectada, el elemento de mayor valor absoluto, en este caso es 22 4 264a = . ; por lo que no se necesita realizar intercambio de renglones y columnas, ya que este elemento se encuentra en la posición diagonal.
- 6. Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. Como se intercambiaron la primera columna por la segunda, se cambia 2x por 1x en el sistema obtenido. Finalmente, se aplica la sustitución hacia atrás, a fin de obtener el valor de las incógnitas. 2 1 3 1 1 3 2 3 3 9 81 3 39 4 78 3 95 0 6850 4 262 2 787 5 933 2 188 1 570 4 988 3 177 x x x x x x x x x . − . − . = . ≈ . ⇒ . − . = − . ≈ . − . = − . ≈ . Una buena aproximación al sistema (3.46) es 1 0 6842x = . , 2 2 187x = . y 3 3 176x = . . Comparando los resultados obtenidos de los ejemplos 3.3.18 y 3.3.19, se puede observar que si se aplica pivoteo total los errores relativos son menores. Errores sin aplicar pivoteo total: 1r xε , = 0 6842 0 6966 0 6842 100 1 81%. − . . × = . 2r xε , = 2 187 2 197 2 187 100 0 457%. − . . × = . 3r xε , = 3 176 3 186 3 176 100 0 315%. − . . × = . Errores aplicando pivoteo total: 1r xε , = 0 6842 0 6850 0 6842 100 0 117%. − . . × = . 2r xε , = 2 187 2 188 2 187 100 0 0457%. − . . × = . 3r xε , = 3 176 3 177 3 176 100 0 0315%. − . . × = . Al aplicar pivoteo total, se reducen los errores de redondeo y se obtiene una mejor aproximación de la solución. Nota: En la mayor parte de los problemas el pivoteo completo no es mucho más exacto que el pivoteo parcial; al menos no el suficiente para justificar el trabajo adicional que implica; por esta razón el pivoteo parcial se usa más. Ejemplo 3.3.20 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss, utilizando pivoteo escalado, con 4 cifras significativas; (det 28696 6707A = . , obtenido con Maple).
- 7. 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 19 2 11 100 1 12 14 2 0 122 12 2 3 44 100 99 9 2 15 15 3 0 110 13 1 4 16 x x x x x x x x x x x x x x x . + . − + = . . − . + . + = . − . + = . . + . − . − = . Como det 0A ≠ se empieza a aplicar el método. Escribiendo el sistema de ecuaciones en notación matricial se tiene: 1 19 2 11 100 1 1 12 14 2 0 122 12 2 1 3 44 0 100 99 9 1 2 15 15 3 0 110 13 1 1 4 16 . . − . . − . . − . = = − . . . . − . − . A b Se combinan las matrices A y b para obtener su forma aumentada: Empezando a aplicar pivoteo escalado, se calculan los factores de escala 1 2 3s s s, , y 4s : 1s = { } 1 4 max(3) 1 19 2 11 100 1 100 l≤ ≤ | . |,| . |,| − |,| | = 2s = { } 1 4 max(4) 14 2 0 122 12 2 1 14 2 l≤ ≤ | . |,| − . |,| . |,| − | = . 3s = { } 1 4 max(5) 0 100 99 9 1 100 l≤ ≤ | |,| |,| − . |,| | = 4s = { } 1 4 max(6) 15 3 0 110 13 1 1 15 3 l≤ ≤ | . |,| . |,| − . |,| − | = . Para escoger el pivote 11a ; se calculan los siguientes elementos: 11 1 a s | | = 1 19 100 0 01190| . | = − . 21 2 a s | | = 14 2 14 2 1 000| . | . = . 31 3 a s | | = 0 100 0| | = 41 4 a s | | = 15 3 15 3 1 000| . | . = .
- 8. Después se encuentra el máximo de los elementos anteriores: { } 21 41 1 4 max 0 01190 1 000 0 1 000 1 a a s s | | | | − . , . , , . = = = En este caso existen dos máximos, por lo que se puede tomar cualquiera de ellos, tomando a 21 1 a s | | , entonces se intercambia el renglón 1 por el renglón 2 . Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. Para escoger el pivote 22a ; se calculan los siguientes elementos: 22 1 a s | | = 2 120 100 0 02120| . | = . 32 3 a s | | = 100 100 1 000| | = . 42 4 a s | | = 0 2414 15 3 0 01578| . | . = . Después se encuentra el máximo de los elementos anteriores: { } 32 3 max 0 02120 1 000 0 01578 1 a s | | . , . , . = = Tomando a 32 3 a s | | , entonces se cambia el renglón 2 por el renglón 3. Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote.
- 9. Para escoger el pivote 33a ; se calculan los siguientes elementos: 33 1 a s | | = 98 88 100 0 9888|− . | = . 43 4 a s | | = 26 00 15 3 1 699|− . | . = . Después se encuentra el máximo de los elementos anteriores: { } 43 4 max 0 9888 1 699 1 699 a s | | . , . = = . Tomando a 43 4 a s | | , entonces se cambia el renglón 3 por el renglón 4 . Se empiezan a realizar operaciones elementales para hacer cero los elementos que se encuentran debajo del pivote. Finalmente, se aplica la sustitución hacia atrás, a fin de obtener el valor de las incógnitas.
- 10. 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 14 2 0 122 12 2 3 44 0 1765 100 99 9 2 15 0 01269 26 00 0 07459 2 15 0 02070 0 7793 0 9249 1 187 x x x x x x x x x x x x x x . − . + . − = . ≈ . − − . + = . ≈ . ⇒ − . + . = . ≈ − . + . = − . ≈ − .