Area under curve 01

Area Under a Curve
G. Edgar Mata Ortiz
1

Área Bajo la
Curva
Cálculo del área limitada por líneas rectas y una curva.

Área bajo la curva – Ejemplo 1
Comencemos con un ejemplo sencillo:
Determina el área limitada por el eje equis, dos líneas verticales ubicadas en: x1 = 0 y x2 = 4
El primer paso consiste
en trazar la gráfica y
señalar los valores entre
los que se va a calcular
el área:
x1 = 0 y x2 = 4

Se señala con un sombreado el área que se va a calcular.
El primer paso
consiste en
trazar la gráfica
y señalar los
valores entre
los que se va a
calcular el
área:
x1 = 0 y x2 = 4

Tres de los lados están limitados con líneas rectas, pero el lado superior
es una curva.
El método que
emplearemos consiste en
aproximar al área buscada
mediante figuras rectilíneas
para las que disponemos
de fórmulas, en este caso,
rectángulos.

Los rectángulos se obtienen cortando el intervalo [0, 4] en partes iguales.
El método que
emplearemos consiste en
aproximar al área buscada
mediante figuras rectilíneas
para las que disponemos
de fórmulas, en este caso,
rectángulos.

Los rectángulos se obtienen cortando el intervalo [0, 4] en partes iguales.
El número de rectángulos
puede ser cualquiera, pero
debemos tomar en cuenta
que, cuantos más
rectángulos se utilicen,
más exacto será el
resultado.
En este ejemplo
utilizaremos cinco
rectángulos.

Si se corta en rectángulos de bases iguales se simplifican los cálculos.
La distancia entre x1 y x2
es igual a:
En este caso:
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
𝒅 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝑑 = 4 − 0 → 𝑑 = 4

Se calcula la magnitud de las bases de los rectángulos.
Al ser rectángulos de igual
base, sólo se divide la
distancia d, entre el
número de rectángulos n:
El resultado es:
𝑛 = 5
𝒅 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝑑 = 4
𝑏 =
𝑑
𝑛
→ 𝑏 =
4
5
𝑏 = 0.8 𝒃 = 𝟎. 𝟖

Ya conocemos las bases de los rectángulos, veamos sus alturas.
Se puede observar que las
alturas de los rectángulos
coinciden con la curva:
y = 0.5x2+2, por lo tanto, son
valores de ye, debemos evaluar
la función para el valor de equis
correspondiente a cada
rectángulo.
En el rectángulo señalado el
valor de equis esté entre tres y
cuatro, más cerca del tres.
Veamos cómo obtenerlo con
mayor precisión.
𝒅 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
𝒃 = 𝟎. 𝟖
𝒉 =?

Los rectángulos están cortando al eje equis en partes iguales
La coordenada equis del primer
rectángulo es muy fácil de
obtener, por observación es
𝑥1 = 0

Esas partes iguales se van acumulando
𝑥1 = 0
Para el segundo rectángulo es el
valor de equis uno, más la base
del rectángulo:
𝑥1 + 𝑏 = 0 + 0.8 = 0.8
𝒃 = 𝟎. 𝟖

El valor de equis va aumentando de 0.8 en 0.8
𝑥1 = 0
valor de equis uno, más la base
del rectángulo:
𝑥1 + 𝑏 = 0 + 0.8 = 0.8
Para el tercero:
𝑥1 + 2𝑏 = 0 + 2(0.8) = 1.6 𝒃 = 𝟎. 𝟖 𝒃 = 𝟎. 𝟖

Observa que el valor de equis cuatro no se va a utilizar
rectángulo es muy fácil de obtener,
por observación es 𝑥1 = 0
valor de equis uno, más la base del
rectángulo:
𝑥1 + 𝑏 = 0 + 0.8 = 0.8
Para el tercero:
𝑥1 + 2𝑏 = 0 + 2(0.8) = 1.6
Para el cuarto:
𝑥1 + 3𝑏 = 0 + 3(0.8) = 2.4 𝒃 = 𝟎. 𝟖 𝒃 = 𝟎. 𝟖

Solamente son necesarios los valores de equis de 0 a 3.2
rectángulo es muy fácil de obtener, por
observación es 𝑥1 = 0
Para el segundo rectángulo es el valor
de equis uno, más la base del
rectángulo:
𝑥1 + 𝑏 = 0 + 0.8 = 0.8
Para el tercero:
𝑥1 + 2𝑏 = 0 + 2(0.8) = 1.6
Para el cuarto:
𝑥1 + 3𝑏 = 0 + 3(0.8) = 2.4
Y para el quinto:
𝑥1 + 4𝑏 = 0 + 4(0.8) = 3.2
𝒃 = 𝟎. 𝟖 𝒃 = 𝟎. 𝟖

Organización y orden en el trabajo
La gráfica es una buena herramienta de análisis, es indispensable trazarla para una
mejor comprensión del procedimiento que estamos efectuando.
Otro elemento necesario para la realización de esta actividad es una tabla en la que se
sintetice el procedimiento, las operaciones y los resultados parciales que se van
consiguiendo al resolver el problema. La tabla deberá contener, como mínimo, los
siguiente elementos.
Rectángulo Base x y = Altura Área
1
2
3
4
5
Total =
Cálculo de áreas de los rectángulos La numeración de los rectángulos
y su identificación en la gráfica
ayudará a la realización de un
procedimiento ordenado y
comprensible en los cálculos a
realizar.

1 + 0.80 0.000
2 + 0.80 + 0.8000
3 + 0.80 + 1.6000
4 + 0.80 + 2.4000
5 + 0.80 + 3.2000
Total =
Cálculo de áreas de los rectángulos
Uso de la tabla de cálculos
El llenado de la tabla se realiza conforme se van obteniendo los resultados del
procedimiento. En primer lugar las bases de los rectángulos, y luego los valores de equis.
Se elabora una sola tabla, sólo se están
mostrando las primeras dos columnas
que se llenan.
1 + 0.80
2 + 0.80
3 + 0.80
4 + 0.80
5 + 0.80
Total =
Al efectuar los cálculos es necesario
emplear al menos 6 decimales para evitar
incrementar el error.

Cálculo de las alturas de los rectángulos
Observa la gráfica para entender mejor por qué las alturas de los rectángulos se calculan
mediante valores de ye.
Observa que los rectángulos tocan a la curva con la esquina, señalando así su altura.
1 + 0.80 0.000 + 2.000
2 + 0.80 + 0.8000 + 2.320
3 + 0.80 + 1.6000 + 3.280
4 + 0.80 + 2.4000 + 4.880
5 + 0.80 + 3.2000 + 7.120
Total =

Cálculo de las áreas de los rectángulos y el área total.
Observa la gráfica para entender mejor por qué las alturas de los rectángulos se calculan
mediante valores de ye.
La numeración de los rectángulos es necesaria para una mejor comprensión.
1 + 0.80 0.000 + 2.000 + 1.6000
2 + 0.80 + 0.8000 + 2.320 + 1.8560
3 + 0.80 + 1.6000 + 3.280 + 2.6240
4 + 0.80 + 2.4000 + 4.880 + 3.9040
5 + 0.80 + 3.2000 + 7.120 + 5.6960
Total = + 15.6800
1 2 3 4 5

Respuesta del problema
El área bajo la curva 𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟐, entre 𝒙 𝟏 = 𝟎 y 𝒙 𝟐 = 𝟒 es 𝐀 = 𝟏𝟓. 𝟔𝟖
El área que no se consideró es un error de aproximación, es importante hacer notar que
este error produce un resultado menor al real, por ello se llama ”aproximación del área
con defecto”, haciendo referencia a que “falta” área.
1 + 0.80 0.000 + 2.000 + 1.6000
2 + 0.80 + 0.8000 + 2.320 + 1.8560
3 + 0.80 + 1.6000 + 3.280 + 2.6240
4 + 0.80 + 2.4000 + 4.880 + 3.9040
5 + 0.80 + 3.2000 + 7.120 + 5.6960
Total = + 15.6800
Cálculo de áreas de los rectángulos Esta respuesta es,
desde luego, una
aproximación, ya
que no se tomó en
consideración una
parte del área.

Error en la estimación
El error en la estimación
es el área de los
“triángulos” que quedan
entre los rectángulos y
la curva.
Se colorean para
resaltar las áreas que
no fueron consideradas
al estimar el área.

Identificación de la fuente del error en la estimación
El error en la estimación
es el área de los
“triángulos” que quedan
entre los rectángulos y
la curva.
Se colorean para
resaltar las áreas que
no serán consideradas
al estimar el área.

El resultado se considera aceptable para ciertas aplicaciones
Las aproximaciones
obtenidas mediante
este método se
consideran aceptables
para la gran mayoría de
aplicaciones.
En caso necesario, se
dispone de
herramientas para
reducir el error.

Reducción del error en la estimación
Es evidente que si se
aumenta el número de
rectángulos el error
disminuirá
proporcionalmente con
el número de
rectángulos empleados;
a mayor cantidad de
ellos, el error será
menor.

Aumento en el número de rectángulos: 10.
Se reduce el error
porque una parte del
área que no estaba
considerada en los
cálculos anteriores,
ahora sí lo está.
Se percibe debajo de
los triángulos que
anteriormente no eran
considerados en el
cálculo del área.

Magnitud de la disminución del error en la estimación.
Las áreas de color azul
no estaban siendo
consideradas en el
cálculo del área, al
agregarlas, el error se
reduce exactamente en
la magnitud del área de
estos rectángulos.

Nuevos cálculos empleando diez rectángulos para aproximar el área
Al ser rectángulos de igual
base, sólo se divide la
distancia d, entre el
número de rectángulos n:
El resultado es:
𝑛 = 10
𝑑 = 4
𝑏 =
𝑑
𝑛
→ 𝑏 =
4
10
𝑏 = 0.4

La tabla de cálculo ahora tiene más valores
Con un número mayor
de rectángulos el área
aumentó (el error
disminuyó).
1 + 0.40 0.000 + 2.0000 + 0.8000
2 + 0.40 + 0.4000 + 2.0800 + 0.8320
3 + 0.40 + 0.8000 + 2.3200 + 0.9280
4 + 0.40 + 1.2000 + 2.7200 + 1.0880
5 + 0.40 + 1.6000 + 3.2800 + 1.3120
6 + 0.40 + 2.0000 + 4.0000 + 1.6000
7 + 0.40 + 2.4000 + 4.8800 + 1.9520
8 + 0.40 + 2.8000 + 5.9200 + 2.3680
9 + 0.40 + 3.2000 + 7.1200 + 2.8480
10 + 0.40 + 3.6000 + 8.4800 + 3.3920
Total = + 17.1200

Respuesta del problema
+ 𝟐, entre 𝒙 𝟏 = 𝟎 y 𝒙 𝟐 = 𝟒 es 𝐀 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟐
Esta es una nueva aproximación al área
que se desea calcular.
1 + 0.40 0.000 + 2.0000 + 0.8000
2 + 0.40 + 0.4000 + 2.0800 + 0.8320
3 + 0.40 + 0.8000 + 2.3200 + 0.9280
4 + 0.40 + 1.2000 + 2.7200 + 1.0880
5 + 0.40 + 1.6000 + 3.2800 + 1.3120
6 + 0.40 + 2.0000 + 4.0000 + 1.6000
7 + 0.40 + 2.4000 + 4.8800 + 1.9520
8 + 0.40 + 2.8000 + 5.9200 + 2.3680
9 + 0.40 + 3.2000 + 7.1200 + 2.8480
10 + 0.40 + 3.6000 + 8.4800 + 3.3920
Total = + 17.1200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El error de aproximación
+ 𝟐, entre 𝒙 𝟏 = 𝟎 y 𝒙 𝟐 = 𝟒 es 𝐀 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟐
La aproximación mejoró, pero sigue
existiendo un error
1 + 0.40 0.000 + 2.0000 + 0.8000
2 + 0.40 + 0.4000 + 2.0800 + 0.8320
3 + 0.40 + 0.8000 + 2.3200 + 0.9280
4 + 0.40 + 1.2000 + 2.7200 + 1.0880
5 + 0.40 + 1.6000 + 3.2800 + 1.3120
6 + 0.40 + 2.0000 + 4.0000 + 1.6000
7 + 0.40 + 2.4000 + 4.8800 + 1.9520
8 + 0.40 + 2.8000 + 5.9200 + 2.3680
9 + 0.40 + 3.2000 + 7.1200 + 2.8480
10 + 0.40 + 3.6000 + 8.4800 + 3.3920
Total = + 17.1200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Minimizar el error.
El área bajo la curva:
𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟐,
entre 𝒙 𝟏 = 𝟎 y 𝒙 𝟐 = 𝟒 es
𝐀 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟐
Es evidente que si continuamos
aumentando el número de rectángulos
con los que se aproxima el área, el error
seguirá disminuyendo.
EL número de rectángulos n primero fue
5, luego 10, podría ser 20, 100, 1000,
hasta que finalmente apliquemos teoría
de límites y digamos que el número de
rectángulos tiende a infinito.
Este tema se abordará en próximas
presentaciones.
El área bajo la curva:
𝒚 = 𝟎. 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟐, entre
𝒙 𝟏 = 𝟎 y 𝒙 𝟐 = 𝟒 es
𝐀 = 𝟏𝟓. 𝟔𝟖

GraciasPor su atención
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