Cálculo integral_introducción
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El cálculo integral es una rama de la matemática que se centra en el proceso de integración o antiderivación, utilizado principalmente para calcular áreas y volúmenes. Se considera que las contribuciones de Barrow y Newton dieron origen al teorema fundamental del cálculo integral, que establece que la derivación y la integración son procesos inversos. El concepto del área bajo la curva se desarrolla mediante la aproximación de la misma usando rectángulos, mejorando la precisión a medida que se utilizan rectángulos más delgados.
Cálculo integral_introducción
- 3. El Cálculo Integral (también conocido como cálculo infinitesimal ) es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación .
- 4. Es muy común en la ingeniería y en la matemática en general, y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución .
- 5. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes , Descartes , Newton y Barrow .
- 6. Barrow , junto con aportaciones de Newton , creó el teorema fundamental del cálculo integral , el cual propone que la derivación y la integración son procesos inversos .
- 7. Una de las nociones fundamentales del cálculo integral es la llamada “ area bajo la curva ”. Veamos cómo surge esta interesante noción: Si fueran estudiantes de secundaria y les pidieran que calcularan lo más exactamente posible el área bajo la curva de la siguiente figura, ¿cómo lo harían? Una propuesta de solución podría ser la siguiente: intentar cubrir toda el área deseada bajo la curva llenándola con círculos, de los cuales conociéramos su área: Sin embargo, como es evidente, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que tienen un área suficientemente importante como para dejar de tomarla en cuenta, además de que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos cada vez más pequeños…
- 8. Otra propuesta de solución sería intentar llenar el área bajo la curva con triángulos. Así: Sin embargo, al igual que el llenado con círculos, resulta impráctico en el sentido de que tendríamos que calcular el área de diferentes tipos de triángulos, rectángulos o cualquier otra figura, y calcular su área particular. Ciertamente, quizá el área que falta por cubrir es menor, aunque aun sigue resultando impráctico este método.
- 9. Pero, ¿qué sucedería si realizáramos una aproximación con otra figura regular, como lo es un rectángulo? Así: Como sabemos, resulta más fácil calcular el área de un rectángulo. Han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han sobrepasado el margen de la curva, pero este cálculo es menos impreciso que las propuestas anteriores.
- 11. Así, a medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren la misma área bajo la curva, es decir, al poner rectángulos cada vez más delgados, tendremos una mejor aproximación a la medida de la misma, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos cada vez más pequeños.
- 12. Recordemos del cálculo diferencial que los elementos diferenciales se generan a partir de incrementos pequeños, por lo que podríamos pensar que a medida que angostamos los rectángulos tendremos lo siguiente:
- 13. Esta fue la forma clásica en que surgió el concepto de integración. Posteriormente, de esta aproximación se fue modificando su notación hasta adquirir la simbología conocida por todos:
- 14. Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera:
- 15. Por lo anterior, una aproximación más acorde para el cálculo del área bajo la curva la podemos representar de la siguiente manera: