Caso 1.doc
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El resumen trata sobre un caso de estudio en una clase de matemáticas sobre funciones. La profesora Patricia les pide a sus alumnos que determinen el dominio y recorrido de una función real. Dos grupos de alumnos llegan a conclusiones diferentes: uno usa un enfoque algebraico y el otro uno geométrico. Esto genera un debate sobre cuál es el enfoque correcto.
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- 1. Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas Pedagogía en Matemáticas y Computación OPP- Taller de estudio de casos. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN REAL Nombre: Natalia Sepúlveda Norambuena Profesora: Dra. María Aravena Díaz Talca, 24 de septiembre de 2013.
- 2. INTRODUCCIÓN Este estudio de casos, se centra en el conflicto que se crea al momento de determinar el dominio y recorrido de una función real. La profesora Patricia, se encuentra tratando la unidad de funciones, la cual para ella siempre le ha parecido un tema complicado de aprender por los alumnos, es por esto que luego de haber realizado la unidad, decide implementar un trabajo en grupos, para poder captar y saber el conocimiento que han obtenido los alumnos del curso de tercero medio. Este trabajo consiste en determinar el dominio y recorrido de una función real, utilizando las distintas herramientas entregadas y los conocimientos que poseen los alumnos, para luego debatir sus respuestas con todos los estudiantes. RESUMEN DEL CASO El caso en estudio trataba de la profesora Patricia, la cual lleva 20 años trabajando y siempre le ha costado la enseñanza de la unidad de funciones, por lo que se replantea poder explicarla de una forma más didáctica. Ella primero pasa la materia abordando el tema de dominio y recorrido de una forma algebraica y posteriormente, lo explica de una forma geométrica. Luego, les hace realizar un ejercicio a sus alumnos y al final de la clase hace que cada uno exponga sus ideas. Fernando, el primero en exponer, realiza el ejercicio de una forma netamente algebraica en donde plantea que el recorrido no tiene restricciones por lo que son todos los números reales. Por otro lado, Arturo, otro de sus alumnos, realiza el ejercicio enfocándose solo en la parte geométrica, rebatiendo la postura de Fernando. El plantea que el recorrido no son todos los reales, más bien este parte desde el 2 hacia el infinito positivo. Es aquí donde se forma la discusión y el estudio de caso.
- 3. OBJETIVOS DEL CASO · Determinar la forma correcta de enseñar funciones. · Discutir los errores que se pueden generar en el aula con respecto a estos temas. · Trabajar diferentes representaciones del tema. CONFLICTOS DEL CASO El conflicto matemático que se produce es en el cálculo y análisis del recorrido de una función real en donde se genera la contraposición que se da entre los distintos registros de representaciones, tanto la representación algebraica que da a conocer el grupo de Fernando como la representación gráfica que da a conocer el grupo de Arturo. El problema que la profesora les entrego para ser calculado y analizado es, encontrar el dominio y recorrido de la siguiente función: El conflicto del caso parte cuando la profesora decide que expongan sus respuestas, es ahí cuando Fernando y Arturo dan sus conclusiones las cuales son las siguientes: Fernando dice que lo primero que realizaron, fue calcular el dominio de la función, expresando que la raíz debe ser positivo, por lo cual les queda que . Luego para calcular el recorrido lo realizaron utilizando la representación algebraica, despejando la variable y obteniendo que no haya restricciones para , entonces el recorrido sería el conjunto de todos los reales. Arturo, y por parte de su grupo, por medio de los cálculos respectivos
- 4. obtuvieron el mismo dominio, pero distinto recorrido ya que este grupo analizó el recorrido por medio de la representación gráfica de la función obteniendo algo distinto a lo del grupo de Fernando. Según el trabajo empleado por este grupo, la gráfica muestra que el recorrido es el conjunto de todos los números mayores o iguales a 2. Es aquí donde se comienza a desarrollar el conflicto del caso y donde el debate de ambos grupo comienza. Si bien la profesora no dice cuál de los dos grupos esta en lo correcto, los invita a pensar y a decidir cuál de los dos grupos está correcto, debido a que el recorrido es uno sólo, y por ende, en alguna parte se cometió un error. ASPECTOS MATEMATICOS INVOLUCRADOS Los aspectos matemáticos que están involucrados en el caso son: · Funciones: f una función real f: IR IR, cuyo dominio y recorrido están contenidos en los IR. · Gráfica de una función: es un tipo de registro de representaciones, y que en este estudio de caso en particular, es usado por el grupo de Arturo para determinar el recorrido de la función. · Dominio de una función: que son los valores que puede alcanzar la función y que toma la variable “x” para que no se indefina. · Recorrido de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son valores que toma la variable “y” para que no se indefina. · Variables dependientes e independientes: las variables utilizadas son dependientes e independientes. En este caso la variable dependiente es “y” y la variable independiente es “x”.
- 5. · Valor mínimo de una función: es el menor valor que alcanza la función de acuerdo al dominio de ésta. En este estudio de caso en particular el mínimo valor que alcanza la variable “x” es -1, por lo que el menor valor que alcanza la función es 2. · Conjunto numérico: se ocupan valores pertencientes a los reales. En el caso del dominio la variable “x” comienza de [-1, ∞ [. En el caso del recorrido la variable “y” toma los valores [ . · Restricciones de una función: Para determinar el dominio y recorrido de una función cuando esta se encuentra escrita en su registro algebraico debemos restringir la función, es decir, sacar aquellos valores donde la función se indetermina. DISTINGUIR ERROR MATEMÁTICO Los errores que comete el grupo de Fernando, son los siguientes: Al calcular el recorrido de la función, el grupo de Fernando desarrolla un trabajo algebraico y sigue los pasos tal y como lo habían desarrollado en un ejercicio anterior, por lo que no se dan cuenta que debían aplicar restricciones. En su resolución al momento de despejar la variable x, la ecuación no tiene solución. La ecuación que no es consistente, es la siguiente: Cuando sacaron el dominio de la función, ya se habían dado cuenta que la debe ser mayor o igual que 0. Por lo tanto para que se cumpla la
- 6. igualdad de la ecuación anterior también debe ser mayor o igual que 0, de lo que se desprende que y debe ser mayor o igual que 2. Además el grupo de Fernando no tuvo la capacidad de relacionar el dominio de la función, con el recorrido, estableciendo el menor valor que puede tomar la variable . El grupo de Arturo por su parte, realiza un trabajo minucioso con el análisis de la gráfica y el menor valor que puede tomar la variable x. Ellos llegan a la siguiente expresión: Dándose cuenta que existe una irregularidad, pero aun así cometen el error de evaluar y argumentar con esta inconsistencia. Al momento de elevar al cuadrado, la raíz puede tomar valores negativos y valores positivos, es por esto que se comete otro error cuando solo se utiliza los terminos positivos. Se debe en este caso restringir (si es necesario), la ecuación para que tenga solución. Este error lo comente el grupo de Fernando en la representación algebraica. METODOLOGÍA ADECUADA La estrategia metodológica que se uso fue exponer los casos. Esta estrategia genera discusión, dialogo y permite encontrar errores y al mismo tiempo solucionarlos. Mediante la discusión permite al profesor detectar cuanto saben sus alumnos y los errores que estos poseen. Además la profesora al final de la clase pide que los alumnos entreguen un informe acerca de este ejercicio, lo que permite que estos desarrollen la parte cognitiva. PROPUESTA PARA RESOLVER EL PROBLEMA Al momento de desarrollar la unidad de funciones, a mi juicio se debería realizar de la siguiente manera: definir el concepto de función, cuales son la
- 7. variables que se utilizarán, tanto la variable dependiente como la independiente, luego tratar el contenido de funciones en sí, es decir, con todas su propiedades, para poder así implementar el concepto de dominio y recorrido. Si bien se comportan como conceptos diferentes, la idea es que se relacionen como un solo concepto, es decir, que de una puedo obtener el otro (como sucede en el estudio de caso en particular), realizando esto mediante diversas funciones que permitan comprender estos conceptos como tal. Luego implementar material tecnológico como software, para hacer de alguna u otra forma, más didáctico el contenido y poder asociarlos a la diversa tecnología que existe hoy en día. En particular, en este estudio de caso como propuesta se debería realizar lo siguiente: Lo primero a realizar, es determinar el dominio de la función dada, en este caso mediante la visualización de la raíz cuadrada y ver para que valores de la función existe, esto se ve reflejado de la siguiente manera: Luego en la ecuación, y al momento de despejar la variable , podemos determinar que el mínimo valor que puede alcanzar la variable, es -1. A continuación, deberían graficar la función para poder ver claramente el comportamiento de la ésta y relacionarla con el dominio. Como en el dominio encontramos que el menor valor que puede alcanzar la variable es -1, relacionamos este valor con el recorrido de la función, lo cual indica que el menor valor que alcanza la variable es 2, por lo cual el recorrido de la función comienza en este valor. Lo podemos ver analizando la gráfica de la función. Esto servirá para no realizar un trabajo estructurado y memorístico, y permitirá
- 8. que el alumno observe y desarrolle la representación gráfica una función y poder obtener el dominio y recorrido de esta forma. Según mi punto de vista, el error que comete el grupo de Fernando, es un error muy común en los estudiantes que hoy en día participan en la educación, debido a que se sigue manteniendo una educación (en el área de la matemática), basada en la mecanización y en el desarrollo algorítmico de los diversos problemas. Si bien la profesora que presenta el problema, en este estudio de caso, trata de que no sea así, los alumnos siguen manteniendo esta forma (algorítmica) para resolver los diversos problemas que la matemática le presenta. Este problema relacionado con el análisis del dominio y recorrido de una función real que se presenta, representa claramente lo dicho anteriormente, debido a que el grupo de Fernando emplea los distintos pasos algebraicos para desarrollar el problema. Sin embargo, no relaciona el dominio de la función, con el recorrido de ésta por medio del valor mínimo que alcanza la variable , los cual es necesario para el análisis de una función real. Otra de las cosas que permite que el otro grupo, liderado por Arturo tenga la razón, es el hecho de graficar la función, lo cual le permite analizar no sólo algebraicamente el recorrido, si no también gráficamente y poder apreciar el comportamiento de ésta. Al finalizar la tarea entregada por la profesora, y cuando los alumnos se dirigen a sus hogares, Fernando reflexiona y se comienza a dar cuenta de que no siempre se desarrollan los problemas matemáticos de la misma forma, que todos problemas debe ser analizado de tal manera que se pueda relacionar los conceptos anteriormente vistos y que están involucrados en dicha problemática. Quizás una de las reflexiones más significativas que obtiene Fernando, es que las notas no reflejan el conocimiento de cada estudiante, puesto que Arturo tenía peores calificaciones que Fernando.