Clase 1. conjuntos numéricos
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Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos, números racionales e irracionales, reales, y propiedades de las operaciones matemáticas básicas. Explica que los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cuocientes de enteros, los irracionales tienen infinitas cifras decimales sin período, y los reales incluyen tanto a los racionales como a los irracionales. También define conceptos como el mínimo común múltiplo, máximo común divisor, números primos y propiedades como
Clase 1. conjuntos numéricos
- 1. Introducción a la aritmética Profesor José Luis Gajardo
- 2. Introducción: En la PSU, los distractores están construidos a partir de los errores comunes que cometen los estudiantes. Debemos, por lo tanto minimizar los errores en aritmética. Algunos de los errores más comunes se encuentran en prioridad de las operaciones matemáticas, operatoria en los racionales y en identificar el conjunto numérico al cual pertenece una solución o un valor dado. Profesor José Luis Gajardo
- 3. Conjuntos Numéricos Profesor José Luis Gajardo
- 4. Profesor José Luis Gajardo
- 5. Números Racionales (Q): Son aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros. También podemos referirnos a ellos como el conjunto de todos los números decimales finitos, periódicos y semiperiódicos y, por lo tanto, todo cuociente entre números enteros tiene su equivalente decimal. Este conjunto se simboliza con la letra ℚ El símbolo “/” significa “tal que…” y no representa división en este caso Profesor José Luis Gajardo
- 6. Números Racionales (Q): El conjunto de los números racionales incluye : - Números enteros - Decimales Finitos - Decimales infinitos periódicos - Decimales infinitos semiperiódicos Ejemplos: • 0, 6666…. es un número Racional • 0, 5646464… es un número Racional • 0, 6785497…. No es un número Racional Profesor José Luis Gajardo
- 7. Números Irracionales (I) ó (Q*): Son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros y se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con el símbolo I ó ℚ*. Ejemplos de números irracionales son: Profesor José Luis Gajardo
- 8. Profesor José Luis Gajardo
- 9. Números Reales (IR): Es el conjunto que incluye a los racionales e irracionales: IR : Q U Q* REALES RACIONALES IRRACIONALES ENTEROS NATURALES Profesor José Luis Gajardo
- 10. Profesor José Luis Gajardo
- 11. Anexo Símbolos matemáticos: En álgebra debemos familiarizarnos con la simbología utilizada en la expresiones matemáticas. Estas se usan frecuentemente en PSU. Algunos de los símbolos más usados son: Profesor José Luis Gajardo
- 12. Algunos de los símbolos más usados son: Profesor José Luis Gajardo
- 13. Profesor José Luis Gajardo
- 14. Alfabeto Griego: En matemáticas, particularmente en geometría, es común utilizar letras griegas para simbolizar variables, especialmente ángulos. Profesor José Luis Gajardo
- 15. Profesor José Luis Gajardo
- 16. Algunas propiedades de las operaciones básicas: Conmutatividad: Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera. Profesor José Luis Gajardo
- 17. Asociatividad: Para cualesquiera elementos de un conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Es decir: Profesor José Luis Gajardo
- 18. Ejemplos: Por lo tanto, la suma es asociativa Por lo tanto, la multiplicación es asociativa Por lo tanto, la resta NO es asociativa Por lo tanto, la División NO es asociativa Profesor José Luis Gajardo
- 19. Números primos: En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Nota: en muchos libros, se sigue considerando al N° 1 como Número primo, sin embargo, por definición, no lo es Profesor José Luis Gajardo
- 20. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos. Profesor José Luis Gajardo
- 21. Cálculo del Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de dichos factores, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia. Ejemplo: el mcm de 72 y 50 será Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que: Profesor José Luis Gajardo
- 22. Máximo común divisor En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado M.C.D.) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14 En efecto y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4) Profesor José Luis Gajardo
- 23. Cálculo del Máximo Común divisor (M.C.D.) Por descomposición en factores primos El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos: El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es: MCD entre 48 y 60 es 22 x 3 = 12 Profesor José Luis Gajardo