Clase solver

El Solver es una herramienta de Microsoft Excel que, entre otras
funcionalidades, sirve para resolver problemas de programación
lineal utilizando el método Simplex.
Antes de utilizar el Solver se debe tener claro cuál es problema a
resolver. Es decir, cuál es la función objetivo y cuáles son las
restricciones. Luego, se deben ingresar los datos del problema en
el modelo del Solver. Cabe aclarar que llamamos “modelo” a la
planilla (u hoja de cálculo) de Excel que utilizamos para ingresar los
datos del problema.
Por otro lado, se debe recordar que los elementos de un Modelo de
Programación Lineal son: los Parámetros y las Variables. Las
variables son aquellas sobre las que se pueden tomar decisiones y
los parámetros son las constantes del modelo (coeficientes de la
función objetivo, coeficientes de las restricciones, lado derecho de
las restricciones). Entonces, al resolver el problema se busca hallar
los valores de las variables de manera que maximice (o minimice) la
función objetivo, sujeta a las restricciones dadas.

Con Solver, se puede buscar el valor óptimo para una celda, denominada
celda objetivo, en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f
(x1
, x2
, ..., xn
).
Solver cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas
cambiantes, y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la
fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores
de las variables controlables x1
, x2
, ..., xn
.
Puede agregar restricciones a Solver, escribiendo una fórmula gj
(x1
,
x2
, ..., xn
) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o
igual, igual, o menor o igual que otra celda que contiene la constante c.
Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes, para generar el
resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

En el menú Herramientas, fíjese si aparece el comando
Solver.

Si no aparece, deberá activar el complemento Solver.
* En el menú Herramientas, elija Complementos.
* En el cuadro de diálogo Complementos, seleccione
la casilla de verificación Solver.

PROBLEMA:
Función Objetivo:
Máx z = 5x1 + 2x2
Sujeto a:
2x1 + 5x2 <= 10
x1 + 2x2 <= 4
x1 , x2 >= 0;
(no negatividad)
MODELO:

VARIABLES DE DECISIÓN:
En las celdas señaladas, el Solver devolverá el valor de las variables
de decisión. Por ello, no es necesario ingresar ningún valor en estas
celdas.

FUNCIÓN OBJETIVO:
La idea es representar la
función objetivo en la celda
señalada. Para ello, se ingresa
los coeficientes de la función
objetivo (5 y 2) en la línea
señalada como coeficientes,
como se indica en la siguiente
figura:

Se ingresa la fórmula que representa a la función objetivo en la
celda correspondiente a z*. En el ejemplo, la función objetivo es:
z* = 5 x1
+ 2 x2
y la fórmula que la representa es:
(D9 * D5) + (E9 * E5)
La mejor manera de representar la función objetivo es utilizando
la función sumaproducto, ya que, cuando se modifican las
columnas y filas del modelo no se crean problemas con las
fórmulas del mismo. Aplicando esta función queda la siguiente
fórmula:

RESTRICCIONES:
Analizando la primer restricción.
Los pasos son:
* Ingresar los coeficientes de la
primer restricción en la línea que
corresponde a la misma (R1)
La idea es la misma que para la
función objetivo: representar las
restricciones en las celdas marcadas.

* Ingresar la fórmula que
representa el lado izquierdo
de la restricción en la celda
señalada a continuación:
En el ejemplo, el lado izquierdo
de la restricción 1 es:
2 x1
+ 5 x2
y la fórmula que la representa es:
(D6 * D5) + (E6 * E5)
Nuevamente se hace uso de la
función sumaproducto para
representar la restricción 1:

* Ingresar el signo de la restricción, es decir, (= , <= , >= ) y el
lado derecho de la restricción. En el ejemplo es <= y 10 en las
celdas G6 y H6 respectivamente como se muestra a continuación:
El círculo señala la representación de la primer restricción.

Siguiendo el mismo procedimiento se representa la restricción 2
en el modelo, quedando de la siguiente manera:

Una manera de que no lleve mucho tiempo es la
siguiente:
a) ingresar los coeficientes de todas las restricciones;
b) ingresar la fórmula que representa la restricción 1
en la celda correspondiente;
c) en la fórmula ingresada, fijar la columna y la fila
correspondientes a las celdas que representan las
variables de decisión (en el ejemplo D5 y E5);
d) pararse con el puntero del mouse en la esquina
inferior derecha en la donde se ingresó la fórmula que
representa la R1 (en el ejemplo F6) y arrastrar, así, se
representa en dichas celdas el lado izquierdo delas
demás restricciones;
e) ingresar el signo y el lado derecho de todas las
restricciones.

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN:
Representado el problema en un modelo en una hoja de
cálculo de Excel, lo siguiente es seleccionar Solver del
Menú Herramientas.

Aparecerá el cuadro de diálogo Parámetros de Solver, en la que
se ingresarán los datos del modelo; para resolver el problema se
deben completar:
* Celda Objetivo: es la celda que representa la función objetivo.
En el ejemplo es D11.
* Máximo o Mínimo: se debe seleccionar según sea el problema.
En el ejemplo es Máx.
* Cambiando las celdas: son las celdas que representan las
variables de decisión. En el ejemplo son D5:E5.
* Sujetas a las siguientes restricciones: aquí se ingresan las
restricciones del problema.

Para ingresar las restricciones:
- se hace clic en el botón Agregar, así, aparece el cuadro de diálogo
Agregar Restricción:
- en el espacio que dice Referencia de la celda se ingresa el
lado izquierdo de las restricciones (en el ejemplo es F6:F7 );
- luego, se ingresa el signo de las restricciones usando la lista
desplegable del centro (en el ejemplo <=);

- finalmente, en el espacio que dice Restricción se ingresa el lado
derecho de las restricciones (en el ejemplo H6:H7); se hace clic en
el botón Agregar para agregar más restricciones o, en el botón
Aceptar para finalizar.
- También se deben incluir la restricciones de no negatividad de las
variables de decisión, para lo cual se realizan los siguientes pasos:
(a) seleccionamos el botón Agregar;
(b) en el espacio que dice Referencia de la celda se ingresan las
celdas que representan las variables de decisión, en el ejemplo son
D5:E5;
(c) luego, se ingresa el signo de la restricción (en este caso >=),
(d) y por último, en el espacio que dice Restricción se ingresa el valor
0 (cero).

En la siguiente figura se podrá observar lo explicado con base en el
ejemplo:

El cuadro de diálogo
para ingresar los datos
Parámetros de Solver
con base en el ejemplo
queda así:
Muestra la restricción de No Negatividad
para las variables de decisión

Se hace clic en el botón Opciones, con lo que aparecerá
el cuadro de diálogo Opciones de Solver.
Como el modelo es lineal, se selecciona la casilla de
verificación Adoptar modelo lineal, y luego se hace
clic en el botón Aceptar.

1. El ingreso de las restricciones puede realizarse
individualmente, o en grupo. En el ejemplo, se
ingresaron las restricciones funcionales en un grupo
y las restricciones de no negatividad en otro. El
ingreso dependerá de los grupos que se puedan
armar de acuerdo a los signos de las restricciones.
2. No olviden que las restricciones de no negatividad
son tan importantes como las funcionales.
3. Luego de ingresadas las restricciones pueden
modificarlas o eliminarlas con los botones Cambiar
o Eliminar, según corresponda.
4. Con el botón Restablecer todo borran todos los
datos y selecciones realizadas en el cuadro del
Solver.

POSIBLES RESULTADOS DEL SOLVER:
Una vez introducidos los datos del modelo se hace clic en Resolver
y el Solver realiza las iteraciones para resolver el problema y
devulve un cuadro de Resultados. Dicho cuadro es diferente
dependiendo de cada problema.
Utilizar solución de Solver {cambia los valores de las variables en la
planilla}
Restaurar valores originales {deja los valores iniciales de las variables}
Guardar escenario {guarda los valores de las variables como
escenario}
Informes {hasta 3 tipos de informes, en hojas
separadas }

a) Solución Óptima Única:
Para el ejemplo Solver señala que ha encontrado una solución y
da la posibilidad de seleccionar alguno de los tres informes
(Respuestas, Sensibilidad y Límites).

A continuación, se selecciona el Informe Respuestas y la opción
Utilizar la solución de Solver, y se hace clic en Aceptar. Si se
mira el modelo, el Solver completó las celdas de las variables de
decisión con sus valores en el óptimo y la celda correspondiente a la
función objetivo con el valor de la misma también en el óptimo, esto
es: x1
= 4 ; x2
= 0 ; z*=20.

También, se puede ver el
Informe de Respuestas:

EXPLICACIÓN DE EL INFORME
DE RESULTADOS:
En Celda Objetivo aparece la celda de la función objetivo, el Nombre
(z*), el valor inicial antes de optimizar y el valor óptimo (valor final:
z*=20).

En Celdas Cambiantes aparecen las celdas de las variables
controlables, el nombre (x1,x2), la solución inicial o valores iniciales
de las variables y la solución óptima (valor final: x1=4, x2=0).

En Restricciones se tiene:

Valor de la celda: es el valor que toma el lado izquierdo de cada
restricción en la solución óptima. Así, por ejemplo, en la restricción 1
se tiene, al remplazar: (2*x1)+(5*X2) = (2*4) + (5*0) = 8.

Estado: indica si la restricción se cumple exactamente, con una
igualdad, y no hay un margen. En otras palabras, indica si la
restricción es activa (obligatorio).
Divergencia: es el margen que tiene cada restricción. Si la
desigualdad es ≤, entonces es el lado derecho de la restricción (la
constante) menos el lado izquierdo. Si la desigualdad es ≥ , es el
lado izquierdo menos el lado derecho (la constante). Si la
restricción es activa, desde luego el margen será cero. Así en el
ejemplo se que el margen de la restricción 1 es 10-8=2.
Fórmula: indica las restricciones que se han
introducido, incluyendo si es de ≤, = o ≥.

b) Soluciones Óptimas Alternativas:
En este caso la respuesta del Solver es exactamente la misma que
en el caso anterior. El Solver muestra que encontró una solución
óptima. Lo cual es verdad porque encontró la primer solución óptima,
pero se detuvo allí y no sigue buscando. El Solver no especifica que
existen otras soluciones óptimas.
c) Solución No Acotada:
En esta situación el cuadro de Resultados del Solver es el siguiente:
El Solver identifica que los
valores no convergen (no
están acotados), no
permitiendo seleccionar
ningún informe.

d) No Existe Solución Factible:
Para este caso se tiene el siguiente cuadro de Resultados del Solver:
Solver no ha encontrado solución válida (factible) y tampoco
permite seleccionar ningún informe.

La Protrac Inc., fabrica dos tipos de productos químicos, E y F,
cuya utilidad neta es de $5000 y $4000 por tonelada
respectivamente.
Ambos pasan por operaciones de 2 departamentos de
producción, que tienen una disponibilidad limitada.
El departamento A dispone de 150 horas mensuales; cada
tonelada de E utiliza 10 horas de este departamento, y cada
tonelada de F, 15 horas.
El departamento B tiene una disponibilidad de 160 horas
mensuales. Cada tonelada de E precisa de 20 horas, y cada
tonelada de F precisa de 10 horas para su producción.
El Modelo de la Protrac

Para la producción global de E y F, se deberán utilizar al menos
135 horas de verificación en el próximo mes; el producto E
precisa de 30 horas y F de 10 horas por tonelada de
verificación .
La alta gerencia ha decretado que es necesario producir al
menos una tonelada de F por cada 3 de E .
Un cliente ha solicitado al menos 5 toneladas, cualquiera sea su
tipo, de E o F.
Por otro lado, es evidente que no pueden producirse cantidades
negativas de E ni de F.

Se trata de decidir, para el mes próximo, las cantidades a
producir de cada uno de los productos para maximizar la
utilidad global.

Variables controlables

E : toneladas de tipo E a producir;
F: toneladas de tipo F a producir;

Modelo
Función objetivo: Max 5000 E + 4000 F
{maximizar la utilidad global}
Sujeto a:
10 E + 15 F ≤ 150 {horas del departamento A}
20 E + 10 F ≤ 160 {horas del departamento B}
30 E + 10 F ≥ 135 {horas de verificación}
E - 3 F ≤ 0 {al menos una de F cada 3 E
significa E ≤ 3 F}
E + F ≥ 5 {al menos 5 toneladas}
E ≥ 0, F ≥ 0 {no negatividad}
El Modelo

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