Método simplex
- 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES NARVÁEZ RANGEL ERWIN ARTURO SALDÍVAR CORONA ERIC ALÁN TOMAS CRUZ EDGAR OCTUBRE 2011
- 2. Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. Este método llega a la solución óptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utilizando los conceptos básicos del álgebra matricial, para determinar la intersección de dos o mas líneas. Comienza con alguna solución factible, y sucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones que ofrecen mejores funciones de la función objetivo. Finalmente, este método proporciona un indicador que determina el punto en el cual se logra la solución óptima.
- 3. Ejemplo 1: Maximizar “Z” = 3x1 + 2x2 Sujeto a: 1. Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estándar.
- 4. Se obtiene la siguiente forma estándar de ecuaciones: 2. Igualar la función objetivo a cero y después agregar la variables de holgura del sistema anterior: Z - 3 x1 - 2 x2 = 0 Para este caso en particular la función objetivo ocupa la última fila del tablero, pero de preferencia siempre se deberá de colocar como la primer fila. Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de la función objetivo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de la función objetivo para convertirlo en positivo.
- 5. 3. Escribir el tablero inicial simplex: En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las desigualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la ultima fila con los coeficientes de la función objetivo: TABLERO INICIAL VARIABLE VARIABLE DE BASE DE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 2 1 1 0 0 18 S2 2 3 0 1 0 42 S3 3 1 0 0 1 24 Z -3 -2 0 0 0 0
- 6. 4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, se determina el mayor valor del coeficiente negativo de la función objetivo. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
- 7. La columna de la variable que entra en la base se llama “columna pivote”. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, S3. Esta fila se llama “fila pivote”.
- 8. ITERACIÓN 1 VARIABLE DE BASE DECISIÓN VARIABLE DE HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 2 1 1 0 0 18 18/2=9 S2 2 3 0 1 0 42 42/2=21 S3 3 1 0 0 1 24 24/3=8 Z -3 -2 0 0 0 0 X1; Variable de decisión, columna pivote. S3; Variable de holgura que sale, fila pivote.
- 9. Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir directamente de la base. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura S3 sale. 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional, ya que este se debe convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
- 10. RESULTADO ITERACIÓN 1 VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 f(S1) – 2 f(X1) S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 f(S2) – 2 f(X1) S3 1 1/3 0 0 -1/3 8 (1/3) X1 Z 0 -1 0 0 1 24 f(Z) +3 f(X1) Como en los elementos de la última fila hay un numero negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso.
- 11. La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde al coeficiente -1. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la columna solución entre los términos de la nueva columna pivote: y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S1. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3, y se opera de forma análoga a la anterior iteración.
- 12. ITERACIÓN 2 VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 2/(1/3)=6 S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 26/(7/3)=78/7 S3 1 1/3 0 0 -1/3 8 8/(1/3)=24 Z 0 -1 0 0 1 24 X2; Variable de decisión, columna pivote. S1; Variable de holgura que sale, fila pivote.
- 13. RESULTADO ITERACIÓN 2 VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1 3 0 -2 6 3X2 S2 0 0 -7 0 4 12 f(S2) – (7/3) f(X2) S3 1 0 -1 0 1 6 f(X1) – (1/3) f(X2) Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2) Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso.
- 14. La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es S2. (6/(-2)) =-3 , (12/4) =3, y (6/1) =6 El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
- 15. ITERACIÓN 3 VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1 3 0 -2 6 No se toma (-) S2 0 0 -7 0 4 12 (12/4)=3 S3 1 0 -1 0 1 6 (6/1)=6 Z 0 0 3 0 -1 30 S3; Variable de decisión, columna pivote. S2; Variable de holgura que sale, fila pivote.
- 16. RESULTADO ITERACIÓN 3 VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN OPERACIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1 3 0 -2 6 3X2 S2 0 0 -7 0 4 12 f(S2) – (7/3) f(X2) S3 1 0 -1 0 1 6 f(X1) – (1/3) f(X2) Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2)
- 17. TABLERO FINAL VARIABLE DE VARIABLE DE BASE DECISIÓN HOLGURA SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 S3 S1 0 1 -1/2 0 0 12 S2 0 0 -7/4 0 0 3 S3 1 0 -3/4 0 1 3 Z 0 0 5/4 0 0 33 Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33.
- 18. Ejemplo 1: Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Utilizando el TORA solucione el siguiente problema mediante el Método Simplex, para determinar cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. Variables: A = Cantidad de paquetes “A” a vender. B = Cantidad de paquetes “B” a vender.
- 19. Función Objetivo : Z = 6A + 5B (utilidad a maximizar) Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema: Sujeto a: Restricción 1: 3A + 2B ≤ 120 (con cafeína) Restricción 2: 3A + 4B ≤ 180 (sin cafeína)
- 20. 1. Ingrese al programa TORA, luego Lineal Programing e ingrese la siguiente información: 2. Ingrese los valores del modelo modificado en la tabla de datos como sigue:
- 21. 3. Luego de guardar los datos, Hacemos clic en el botón SolveModify / Solve Problem / Algebraic / Iterations / Bounded simplex.
- 22. 4. Sin hacer algún cambio, hacer clic en el botón Go to Output Screen. El cual le mostrará el tablero inicial: 5. Haga luego clic en Next Iteration¸ en forma contínua hasta llegar a la solución óptima.
- 23. SCHRAGE, L., “Implicit Representation of Generalized Variable Upper Bounds in Linear Programming,” Mathematical Programming, 14 (1), pp 11-20. BAZARAA, Mokhtar S., “Lineal Programming and Network Flows”, 2ª Ed., Mexico, Limusa, 2004.