Método Simplex Caso de Maximización

PNF Informática
Material adaptado con fines didácticos
Fuente: Deizi de Jesús
Prof. Luis Guerrero
Unidad III.
Metodo Simplex

¿Que es el método Simplex?
Es un método analítico de solución de problemas de
programación lineal para resolver modelos más complejos que
los del método gráfico sin restricción en el número de variables.
Es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en
cada paso.
La razón matemática de esta mejora radica en que el método
consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino
de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la
función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número
de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se
hallará solución.

Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado
finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en
forma de filas y de columnas.
La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número
tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales
iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina
matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
Recordar: ¿QUÉ ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?

Variables de Holgura y Exceso
El método trabaja basándose en ecuaciones y como las restricciones iniciales que se
modelan no lo son, entonces se convierte de inecuaciones a ecuaciones utilizando
unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual
hace referencia la restricción. Estas variables adquieren un gran valor en el análisis de
sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del
Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la
restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M"
Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en
ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica
principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no
representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la
matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", y siempre se suman a las restricciones,
su coeficiente es M (por esto se define Método de la M grande, donde M significa un
número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la
función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de
Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+),
repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).

Ejemplo del Método Simplex
Vamos a resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = f(x1
,x2
) = 3x1
+ 2x2
Sujeto a: 2x1
+ x2
≤ 18
2x1
+ 3x2
≤ 42
3x1
+ x2
≤ 24
x1
≥ 0 , x2
≥ 0

Se consideran los siguientes pasos:
1.- Convertir las desigualdades en igualdades:
Se introduce una variable de holgura por cada
una de las restricciones, este caso s1
, s2
, s3
para
convertirlas en igualdades y formar el sistema de
ecuaciones estándar. Usando en simplex el siguiente
criterio:
Signo: Introducir
≤ sn

FORMA ESTÁNDAR:
2x1
+ x2
+ s1
= 18
2x1
+ 3x2
+ s2
= 42
3x1
+ x2
+ s3
= 24
NOTA: CON ESTA FORMA ESTÁNDAR SE
TRABAJARÁ EN LO SUCESIVO.

2. Igualar la función objetivo a cero y después
agregar las variables de holgura del sistema anterior:
Z - 3 x1
- 2 x2
= 0
Para este caso en particular la función objetivo ocupará
la última fila de la tabla, pero de preferencia siempre se
debe colocar como la primer fila
Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo
para convertirlo en negativo y cuando maximizamos
tomamos el valor (-) negativo de Fo para convertirlo en
positivo.
3. Elaborar la tabla inicial del simplex:
En las columnas aparecerán todas las variables del
problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades
obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con
los coeficientes de la función objetivo:

Tabla Inicial
Base Variable de
decisión
Variable de holgura Solución
X1
X2
S1
S2
S3
S1
2 1 1 0 0 18
S2
2 3 0 1 0 42
S3
3 1 0 0 1 24
Z -3 -2 0 0 0 0

4.Encontrar la variable de decisión que entra en la base
y la variable de holgura que sale de la base
4,1.Para escoger la variable de decisión que entra en la
base, (FLECHA VERDE VERTICAL), observamos la última
fila, la cual muestra los coeficientes de la función objetivo y
escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en
términos de valor absoluto).
En este caso, la variable x1
de coeficiente - 3.
1.-Si existen dos o más coeficientes iguales que cumplan la
condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.
2.-Si en la última fila no hay un coeficiente negativo,
significa que se ha alcanzado la solución óptima.
Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de
aplicación del método del simplex, es que en la última fila
no haya elementos negativos. La columna de la variable
que entra en la base se llama columna pivote (aparece de
color Verde).

4.Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la
variable de holgura que sale de la base
4.2. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de
la base, (FLECHA VERDE HORIZONTAL) se divide cada
término de la última columna (valores solución) por el término
correspondiente de la columna pivote, siempre que estos
últimos sean mayores que cero.
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se
hace la división. En el caso de que todos los elementos fuesen
menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no
acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé
lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la
fila de la variable de holgura que sale de la base, S3
. Esta fila se
llama fila pivote (aparece en color Verdel).

Iteración No. 1
Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación
X1
X2
S1
S2
S3
S1 2 1 1 0 0 18 18/2 = 9
S2 2 3 0 1 0 42 42/2 = 21
S3 3 1 0 0 1 24 24/3 = 8
Z -3 -2 0 0 0 0

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales,
indica que cualquiera de las variables correspondientes
pueden salir de la base.
C.En la intersección de la fila pivote y columna pivote
tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que
la variable de decisión X1
entra y la variable de holgura S3
sale.
5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero
de simplex.
Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen
dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote
operacional “3”, ya que este se debe convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana
hacemos ceros los restantes términos de la columna
pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de
las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

Resultado de Iteración No. 1
Base Variable de
decisión
Variable de holgura Solución Operación
X1
X2
S1
S2
S3
S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 f(S1
) – 2 f(X1
)
S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 f(S2
) – 2 f(X1
)
X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 (1/3) X1
Z 0 -1 0 0 1 24 f(Z) + 3 f(X1
)

Como en los elementos de la última fila hay un numero
negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la
solución óptima. Hay que repetir el proceso:
La variable que entra en la base es x2
, por ser la columna
pivote que corresponde al coeficiente -1
Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos
los términos de la columna solución entre los términos de la
nueva columna pivote:
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila
pivote y la variable de holgura que sale es S1
.
El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Y se
opera de forma análoga a la anterior iteración

Iteración No. 2
Base Variable de
decisión
X1
X2
S1
S2
S3
S1
0 1/3 1 0 -2/3 2 2/(1/3) = 6
S2
0 7/3 0 1 -2/3 26 26/(7/3) = 78/7
X1
1 1/3 0 0 -1/3 8 8/(1/3) = 24
Z 0 -1 0 0 1 24

Base Variable de
decisión
X1
X2
S1
S2
S3
X2
0 1 3 0 -2 6 3X2
S2
0 0 -7 0 4 12 f(S2
) – (7/3) f(X2
)
X1
1 0 -1 0 1 6 f(X1
) – (1/3) f(X2
)
Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2
)

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo,
-1, significa que no hemos llegado todavía a la solución
óptima. Hay que repetir el proceso:
La variable que entra en la base es S3
, por ser la variable
que corresponde al coeficiente -1
Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de
la última columna entre los términos correspondientes de la
nueva columna pivote:
6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la
variable de holgura que sale es S2
.
El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:

Iteración No. 3
Base Variable de
decisión
X1
X2
S1
S2
S3
X2
0 1 3 0 -2 6 No se toma por
ser negativo
S2
0 0 -7 0 4 12 12/4 = 3
X1
1 0 -1 0 1 6 6/1 = 6
Z 0 0 3 0 -1 30

Base Variable de
decisión
X1
X2
S1
S2
S3
X2
0 1 -1/2 0 0 12 f(X2
) + 2 f(S3
)
S3
0 0 -7/4 0 1 3 (1/4) S3
X1
1 0 -3/4 0 0 3 f(X1
) – f(S3
)
Z 0 0 5/4 0 0 33 f(Z) + f(S3
)

Tablero Final
Base Variable de
decisión
Variable de holgura Solución
X1
X2
S1
S2
S3
X2
0 1 -1/2 0 0 12
S3
0 0 -7/4 0 1 3
X1
1 0 -3/4 0 0 3
Z 0 0 5/4 0 0 33

Respuesta:
Como todos los coeficientes de la fila de la función
objetivo son positivos, hemos llegado a la solución
óptima.
Los solución óptima viene dada por el valor de Z en
la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33.
El valor de las variables de decisión para X1 es 3 y
para X2 es 12.
Ejercicio Propuesto.
Sea la función objetivo z= 50X1 + 80x2
s.a.
X1+2X2 <= 120
X1+ X2 <= 90
X1>=0 y X2>=0;
MaximIzar la función aplicando el método simplex

Castillo, Conejo, Pedregal, García y Alguacil (2002):Formulación y
resolución de Modelos de Programación Matemática en
ingeniería y Ciencias, España.
Francisco Chediak. Investigacion de Operaciones I.
Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman (1993). Introducción a la
Investigación de Operaciones. Editorial: Mc. Graw Hill
Taha, Hamdy A. Investigación de operaciones. Editorial: Pearson.
Referencias Bobliográficas

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