Clase v
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Este documento presenta factores matemáticos relacionados con series de pagos uniformes y gradientes aritméticos. Explica las fórmulas para calcular el factor de fondo de amortización, el factor de cantidad compuesta, y cómo interpolar valores en tablas de interés. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estos factores.
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- 1. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON Tema: Factores de Fondo de Amortización y Cantidad Compuesta en series uniformes. a) Fondo de Amortización en Series Uniformes En ocasiones, el pago (F) se obtiene al final del período, resultado de una inversión periódica constante, generada en pagos parciales (A), como se muestra en el siguiente flujo de caja: F = dado i = dado … 0 1 2 …. T-2 T-1 T (A) = ¿? Donde el valor de los pagos uniformes (A) esta dado por la siguiente fórmula: i A=F -------------- (1+i)T -1 Dentro de la cual, a la parte entre paréntesis se le conoce como Factor de Fondo de Amortización mismo que en notación estándar queda definida como A = F(A/F, i, T) b) Factor de Cantidad Compuesta. En el caso de que el valor incógnita corresponda al valor de (F) como se muestra en el siguiente flujo de caja: F = ¿? i = dado … 0 1 2 …. T-2 T-1 T (A) = Dado Se tendrá entonces la siguiente fórmula:
- 2. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON (1+i)T -1 F = A -------------- i Dentro de la cual, a la parte entre paréntesis se le conoce como Factor de Cantidad Compuesta Serie uniforme, que en notación estándar queda definida como F = A (F/A, i, T) La siguiente tabla resume la notación estándar y las ecuaciones para estos dos factores: Factor Encontrar Ecuación en Ecuación con Funciones de Notación Nombre / Dado notación fórmula de Excel estándar factor (A/F,i, T) Fondo de A/F A= F(A/F,i,T) ___i ___ PAGO(i%,n..F) Amortización (1+i)T-1 (f/A,i, T) Cantidad Compuesta F/A F= A(F/A,i,T) P = (1+i)T -1 VF(i%,n.. A) Serie Uniforme i Para mostrar el uso de estos factores, se muestran los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. La presidencia de la empresa Sem Materials Inc. desea saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de 1 millón de usd que se generaría anualmente durante un período de tiempo de 8 años, empezando en un año a partir de ahora, con una tasa del 14% anual. Solución: El diagrama de flujo de caja será como el que se muestra a continuación: i = 14% F = ¿? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A = 1´000,000 usd Se trata de determinar el valor de F, por lo que se utilizará la fórmula de Cantidad Compuesta Serie Uniforme; por lo que utilizará la fórmula: (1+i)T -1 F = A -------------- i (1+0.14)8 -1 F = 1´000,000 -------------- = $13´232,800 0.14
- 3. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON Ejemplo 2. ¿Cuanto dinero se necesita depositar en el banco anualmente empezando a hacerlo en un año a partir de ahora a 5.5 % anual, para que puedan acumularse $6,000 en siete años? Solución: El diagrama de flujo de caja será como el que se muestra a continuación: i = 5.5% F = $6,000 0 1 2 3 4 5 6 7 A = ¿? El esquema se ajusta al factor A = F (A/F, i, T), es decir al factor de Fondo de Amortización, por lo que utilizará la fórmula: i A=F -------------- (1+i)T -1 0.055 A = 6,000 -------------- = $ 725.79 (1+0.055)7-1 Ejercicios Propuestos: 1) La empresa SEMEX desea adquirir un equipo de señalización móvil cuyo valor se estima que en cuatro años será de $395,000 pesos iva incluido; si para lograrlo realiza una inversión en el banco cuya tasa de rendimiento es el 5.2% anual en cuatro años, ¿Cuál es el importe de los pagos anuales uniformes que deberá de hacer para lograr dicha adquisición? 2) ¿Cual será el valor equivalente en el futuro de una inversión que se empezará a generar a partir de un año a partir de ahora, cuyos pagos anuales programados son de $250,500 pesos en un período de 3 años cuya tasa mensual es del 0.8%? Tema: Tablas de interés (interpolación de valores)
- 4. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON Cuando es necesario localizar el valor de un factor que no se encuentra en las tablas de interés, el valor deseado puede obtenerse interpolando linealmente entre los valores tabulados. En general es mas rápido y fácil emplear las fórmulas de una calculadora u hoja de cálculo de Excel, además de que el valor obtenido de la interpolación lineal no es exactamente el valor correcto, ya que las ecuaciones no son del todo lineales; sin embargo la interpolación resulta suficiente siempre y cuando los valores de T e i no sean muy distantes entre si. El primer paso en la interpolación lineal es establecer los factores conocidos (valores 1 y 2) y desconocidos, y se genera una ecuación de razones en donde: A C = ---- D B Valor (i) o (T) Factor Tabulado Valor 1 Deseado Incógnita Tabulado Valor 2 Donde A, B, C y D representan las diferencias entre los números que se muestran en las tablas de interés. El valor C de la ecuación resultante se suma o resta del valor 1, dependiendo si el valor del factor está aumentando o disminuyendo. En el siguiente ejemplo se demuestra de manera práctica este mecanismo. Ejemplo: Determine el valor del factor A/P para una tasa de interés del 7.3% anual para un período de 10 años, es decir (A/P, 7.3%,10) Solución: Se localiza en las tablas de factores de interés la columna correspondiente a A/P para las tasas de 7% y 8% coincidiendo con el valor de T=10 años en donde se obtiene que: - Para 7%, 10 años = 0.14238 - Para 8%, 10 años = 0.14903 Valor (i) o (T) Factor 7% 0.14238 7.3% Incógnita 8% 0.14903 Que de acuerdo a la ecuación de razones:
- 5. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON A (7.3 – 7) C = ---- D = -------------- (0.14903-0.14238) = 0.00199 B ( 8- 7 ) Y puesto que el valor del factor está aumentando conforme a la tasa de interés, el factor de C debe agregarse al valor del 7% así que el factor incógnita debe ser: Factor Incógnita = 0.14238 + 0.00199 = 0.14437 Ejercicio propuesto: Determine el valor del factor (P/F, 4%, 48)
- 6. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON Tema: Factores de Gradiente Aritmético Un gradiente aritmético (G) es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante, en otras palabras el flujo de efectivo ya sea un ingreso o un egreso cambia por la misma cantidad aritmética cada período En el siguiente flujo de caja se ejemplifica ese fenómeno financiero: 0 1 2 …. T-2 T-1 T (A) + (G) Las fórmulas desarrolladas anteriormente para una serie de pagos (A) tienen cantidades al final de cada año o período de igual valor, es decir son constantes. Por el contrario, en el caso del gradiente aritmético (G), el flujo de efectivo cada final de periodo o año, crece o decrece en una determinada cantidad. Para fines prácticos, el final del año o período uno se considera únicamente como una cantidad base, por lo que no forma parte de la serie del gradiente Haciendo esta consideración, se puede construir un diagrama de flujo de caja generalizado de gradiente aritmético (creciente) como se muestra en la siguiente figura: 0 1 2 …. T-2 T-1 T G (T-3)G (T-2)G (T-1)G Observe que el gradiente empieza al final del año 2, A este tipo de fenómeno se le conoce como Gradiente Convencional, y se puede calcular con la forma: G = Importe Aumento / (T-1) .
- 7. Evaluación de Proyectos de Ingeniería Civil IC – 5005 MGP RUBEN SUAREZ LEON A continuación se muestra esta figura por medio del siguiente: Ejemplo: Una compañía ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos por $80,000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que dichos ingresos se incrementen de manera uniforme hasta alcanzar un nivel de $200,000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama del flujo respectivo. Solución: La cantidad base es de $80,000 y el aumento total de ingresos es: Aumento en 9 años = $200,000 - $80,000 = $120,000 Gradiente = Aumento /(n-1) = 120 000 / (9- 1) = 15,000 Y el diagrama de flujo de caja resultante será: $200m $185m $170m $155m $140m $125m $110m $95m $80m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9