Cálculo proposicional
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Este documento describe los conceptos básicos del cálculo proposicional. Explica que una proposición puede ser verdadera o falsa, y que los conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción e implicación se usan para formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples. También define términos como tautología, contradicción, equivalencia lógica y reglas de inferencia lógica.
![ Doble negación
Conmutativas
Asociativas
Distributivas
Leyes de DeMorgan
De idempotencia
De identidad
De dominación
Inversas
De absorción
Reglas de Sustitución
Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q por cualquier
otra proposición Q entonces la proposición resultante es también una tautología.
Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q por una
proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición lógicamente equivalente a P.
Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene solamente los
conectivos lógicos -, v,and.
Dualidad
Llamaremos dual de una proposición que contiene sólo los conectivos lógicos not ,andor a la
proposición resultante de sustituir and por or, or por and y 1 por 0.
Principio de Dualidad: si P y Q son dos proposiciones lógicamente equivalentes que contienen sólo
los conectiv, y escribiremos Ps lógicos not, or, and entonces los duales de ambas proposiciones
también son equivalentes entre sí.
[editar]Implicación Lógica. Reglas de Inferencia
Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos
si es una tautología.
Si P es falso, entonces la proposición es verdadera independientemente del valor de Q.
Por tanto, si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen
verdadero a Q. De manera equivalente significa que P y Q no tienen nunca de manera
simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente.
Es importante no confundir con . Ésta última es una proposición que puede o
no ser verdadera, mientras que la primera, , es una relación que nos indica
que es una tautología.
[editar]Implicaciones Lógicas
Modus Ponens:
Modus Tollens:
Reducción al Absurdo:](https://image.slidesharecdn.com/clculoproposicional-121103181934-phpapp02/85/Calculo-proposicional-2-320.jpg)
Cálculo proposicional
- 1. Cálculo Proposicional Una proposición es una frase o sentencia declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. El cálculo proposicional se encarga del estudio de las relaciones lógicas entre proposiciones. Los conectivos lógicos se combinan con las proposiciones simples para formar nuevas proposiciones, que llamaremos proposiciones compuestas y representaremos con letras mayúsculas. Los conectivos lógicos básicos son: Negación: , no Disyunción: , ó Conjunción: , y Implicación Condicional: , implica Implicación Bicondicional: , si y sólo si La proposición es la recíproca de , mientras que la proposición es la contrarrecíproca de . Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso, que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera. El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de las proposiciones simples que la forman. Lastablas de verdad nos indican los valores de verdad de una proposición para cada posible combinación de los valores de las proposiciones simples (variables) que la la forman. TODO: ejemplo de tabla de verdad Una tautología es una proposición compuesta que toma valor 1 para cualquier combinación de los valores de sus variables. Lo contrario de una tautología es una contradicción, proposición compuesta que siempre es falsa. TODO: ejemplo de tautología. Equivalencia Lógica Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología, es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales. Hay equivalencias lógicas de uso tan frecuente que poseen nombre propio Leyes Lógicas
- 2. Doble negación Conmutativas Asociativas Distributivas Leyes de DeMorgan De idempotencia De identidad De dominación Inversas De absorción Reglas de Sustitución Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también una tautología. Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición lógicamente equivalente a P. Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene solamente los conectivos lógicos -, v,and. Dualidad Llamaremos dual de una proposición que contiene sólo los conectivos lógicos not ,andor a la proposición resultante de sustituir and por or, or por and y 1 por 0. Principio de Dualidad: si P y Q son dos proposiciones lógicamente equivalentes que contienen sólo los conectiv, y escribiremos Ps lógicos not, or, and entonces los duales de ambas proposiciones también son equivalentes entre sí. [editar]Implicación Lógica. Reglas de Inferencia Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos si es una tautología. Si P es falso, entonces la proposición es verdadera independientemente del valor de Q. Por tanto, si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen verdadero a Q. De manera equivalente significa que P y Q no tienen nunca de manera simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente. Es importante no confundir con . Ésta última es una proposición que puede o no ser verdadera, mientras que la primera, , es una relación que nos indica que es una tautología. [editar]Implicaciones Lógicas Modus Ponens: Modus Tollens: Reducción al Absurdo:
- 3. Silogismo Disyuntivo: Silogismo o Transitividad de: Ampliación disyuntiva: Simplificación Conjuntiva: