![26 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Observe que nuestro modelo da valores por encima de la mayoría de los niveles reales
de CO2
. Un mejor modelo lineal se obtiene por un procedimiento estadístico llamado
regresión lineal. Si utilizamos una calculadora graficadora, introducimos los datos
de la tabla 1 en el editor de datos y elegimos el comando de regresión lineal (con
Maple utilizamos el comando fit[leastsquare] en el paquete de estadística; con Mathematica
utilizamos el comando Fit). La máquina da la pendiente y la ordenada al origen de la
recta de regresión
m m 1.65429 b m 2938.07
Por lo que nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2
es
2 C m 1.65429t 2938.07
En la figura 6 graficamos la recta de regresión, así como los puntos de datos. Compa-
rando con la figura 5, vemos que da un mejor ajuste que nuestro anterior modelo lineal.
Una computadora o una calculadora graficadora
encuentran la recta de regresión por el método
de mínimos cuadrados, que consiste en
minimizar la suma de los cuadrados de las
distancias verticales entre los puntos de datos
y la recta. Los detalles se explican en la
sección 14.7.
FIGURA 6
Recta de regresión
C
340
350
360
370
380
1980 1985 t
1990 1995 2000 2005 2010
v EJEMPLO 3 Utilice el modelo lineal dado por la ecuación 2 para estimar el nivel
promedio de CO2
para 1987 y predecir el nivel para el año 2015. De acuerdo con
este modelo, ¿cuándo el nivel de CO2
superará 420 partes por millón?
SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t m 1987, estimamos que el nivel promedio de
CO2
en 1987 fue
C(1987) m (1.65429)(1987) 2938.07 349.00
Éste es un ejemplo de interpolación porque hemos estimado un valor entre los valores
observados. (De hecho, el Observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2
en 1987 fue de 348.93ppm, por lo que nuestra estimación es bastante precisa.)
Con t m 2015, obtenemos
C(2015) m (1.65429)(2015) 2938.07 395.32
Por lo que auguramos que el nivel promedio de CO2
en el año 2015 será 395.3 ppm.
Este es un ejemplo de extrapolación porque hemos predicho un valor fuera de la región
de observaciones. En consecuencia, estamos mucho menos seguros acerca de la precisión de
nuestra predicción. Utilizando la ecuación 2, vemos que el nivel de CO2
supera las
420ppm cuando
1.65429t 2938.07 420
Resolviendo esta desigualdad, obtenemos
t
3358.07
1.65429
2029.92](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-67-320.jpg)
![SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 29
i) a m n, donde n es un número entero positivo
Las gráficas de f(x) m xn
para x m 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en la figura 11. (Estas son
polinomiales con un sólo término.) Ya sabemos la forma de la gráfica de y m x (una recta
que pasa por el origen con pendiente 1) y y m x2
[una parábola, véase el ejemplo 2b) en
la sección 1.1].
Gráficas de
para](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-72-320.jpg)
![FIGURA 11
La forma general de la gráfica de f(x) m xn
depende de si n es par o impar. Si n es
par, entonces f(x) m xn
es una función par, y su gráfica es similar a la parábola y m x2
.
Si n es impar, entonces f(x) m xn
es una función impar, y su gráfica es similar a la
de y m x3
. Observe en la figura 12, sin embargo, que cuando n aumenta, la gráfica de
y m xn
se aplana más cerca de 0 y es más pronunciada cuando U x U 1. (Si x es peque-
ña, entonces x2
es más pequeña, x3
es aún más pequeña, x4
es todavía más pequeña aún,
y así sucesivamente.)
ii) a m 1Yn, donde n es un número entero positivo
La función f x x1 n
s
n
x es una función raíz. Para n m 2 es la función raíz
cuadrada ,
f x sx con dominio en [0, @) y cuya gráfica es la mitad superior de
la parábola x m y2
. [Véase la figura 13a)]. Para otros valores pares de n, la gráfica
de y s
n
x es similar a la de .
y sx Para n m 3 tenemos la función raíz cúbica
f x s
3
x con dominio en 2 (recuerde que todo número real tiene raíz cúbica) y cuya
gráfica se muestra en la figura 13b). La gráfica de y s
n
x para n impar (n 3) es
similar a la de .
y s
3
x
FIGURA 12
Familia de funciones potencia](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-73-320.jpg)
![SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 31
Observe que para las funciones seno y coseno el dominio es (@, @), y el rango es el
intervalo cerrado [1, 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos
Un ejemplo de una función algebraica se produce en la teoría de la relatividad. La masa
de una partícula con velocidad v
m f v
m0
s1 v2
c2
donde m0
es la masa en reposo de la partícula y c m 3.0 105
kmYs es la velocidad de la
luz en el vacío.
Funciones trigonométricas
La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencia 2
y también en el apéndice D. En Cálculo, por convención, siempre se utilizan medidas en
radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la fun-
ción f(x) m sen x, se sobreentiende que sen x significa el seno de un ángulo cuya medida
en radianes es x. Así, las gráficas de las funciones seno y coseno son como se muestra en
la figura 18.
FIGURA 17
x
2
y
1
a) ƒ=xœ„„„„
x+3
x
1
y
5
0
b) ©=$
œ„„„„„„
≈-25
x
1
y
1
0
c) h(x)=x@?#(x-2)@
_3
a) sen
b)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-76-320.jpg)
![1, por lo que reflejamos esa parte de la
gráfica sobre el eje x para obtener la gráfica de y m U x2
1 U en la figura 10b).
Combinación de funciones
Dos funciones f y J pueden combinarse para formar nuevas funciones fJ, f J, fJ y fYJ
en forma similar a la suma, resta, multiplicación y división de números reales. La suma y
diferencia de funciones se definen mediante:
(f J)(x) m f(x) J(x) (f J)(x) m f(x) J(x)
FIGURA 9
*UiILFDGHODGXUDFLyQGHOX]
GHGtDGHOGHPDU]RDOGH
GLFLHPEUHHQGLYHUVDVODWLWXGHV
Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time
(Nueva York, 1935), pág. 40.
0DU $EU 0D -XQ -XO $JR 6HS 2FW 1RY 'LF
+RUDV
60° 1
50° 1
40° 1
30° 1
20° 1
FIGURA 10
0 x
y
_1 1
D](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-101-320.jpg)
![SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 45
menudo una imagen incompleta o engañosa, por lo que es importante elegir el rectángu-
lo de vista con cuidado. Si optamos por los valores de x que van desde un valor mínimo
de Xmín m a hasta un valor máximo de Xmáx m b y que los valores de y varíen desde un
mínimo de Ymín m c hasta un máximo de Ymáx m d, entonces la parte visible de la gráfi-
ca se encuentra en el rectángulo
a, b c, d x, y a x b, c y d
que se muestra en la figura 1. Nos referimos a este rectángulo como el rectángulo de vista
de Fa, bG por Fc, dG.
FIGURA 1
5HFWiQJXORGHYLVWDa, bSRUc, d
y=d
x=a x=b
y=c
(a, d ) (b, d)
(a, c )
(b, c
)
La máquina dibuja la gráfica de una función f como usted lo haría. Traza puntos de
la forma (x, f(x)) para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si
un valor de x no está en el dominio de f, o si f(x) se encuentra fuera del rectángulo de vista,
se mueve al siguiente valor de x. La máquina conecta cada punto con el anterior punto
dibujado, para formar una representación de la gráfica de f.
EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función f(x) m x2
3 en cada uno de los siguientes
rectángulos de vista
a) [2, 2] por [2, 2] b) [4, 4] por [4, 4]
c) [10, 10] por [5, 30] d) [50, 50] por [100, 1000]
SOLUCIÓN Para el inciso a) seleccionamos el rango ajustando Xmín m 2, Xmáx m 2,
Ymín m 2, y Ymáx m 2. El gráfico resultante se muestra en la figura 2a). ¡La pantalla
está en blanco! Un momento de reflexión da una explicación: observe que x2
w 0 para
toda x, de modo que x2
3 w 3 para todo x. Así, el rango de la función f(x) m x2
3 es
F3, @). Esto significa que la gráfica de f se encuentra totalmente fuera del rectángulo de
vista F2, 2G por F2, 2G.
Las gráficas para los rectángulos de vista en los incisos b), c) y d) también se muestran
en la figura 2. Observe que obtenemos una imagen más completa de los incisos c) y
d), pero en el inciso d) no está claro que la intersección en y es de 3.
FIGURA 2 *UiILFDVGH
E](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-114-320.jpg)
![46 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de vista apropiado para la función f x s8 2x2
y utilícelo para graficar f.
SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando
? x 2 ? 2 x 2
8 2x2
0 ? 2x2
8 ? x2
4
Por tanto, el dominio de f es el intervalo F2, 2G. También,
0 s8 2x2
s8 2s2 2.83
por lo que el rango de f es el intervalo .
[0, 2s2 ]
Elegimos el rectángulo de vista de manera que el intervalo para x sea algo mayor que
el dominio, y el intervalo para y sea algo mayor que el rango. Tomando el rectángulo de
vista como F3, 3G por F1, 4G, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 3.
EJEMPLO 3 Grafique la función y m x3
150x.
SOLUCIÓN Aquí, el dominio es 2, el conjunto de todos los números reales. Eso no nos
ayuda a elegir un rectángulo de vista. Vamos a experimentar: si partimos de la pantalla
F5, 5G por F5, 5G, obtenemos la gráfica de la figura 4, que aparece en blanco, aunque
en realidad la gráfica es tan vertical que se funde con el eje y.
Si cambiamos el rectángulo de vista a F20, 20G por F20, 20G, se obtiene la imagen
que se muestra en la figura 5a). La gráfica parece consistir en líneas verticales, pero
sabemos que no puede ser correcta. Si miramos con atención, mientras que el gráfico
se está dibujando, vemos que la gráfica deja la pantalla y vuelve a aparecer durante el
proceso de representación. Esto indica que tenemos que ver más en la dirección vertical,
por lo que hay que cambiar el rectángulo de vista a F20, 20G por F500, 500G. La gráfica
resultante se muestra en la figura 5b), donde se ve que todavía no acaba de revelar todas
las características principales de la función, así que tratamos con F20, 20G por F1000,
1000G en la figura 5c). Ahora estamos más seguros de que hemos llegado a un rectángulo
de vista más adecuado. En el capítulo 4 veremos que la gráfica en la figura 5c) en efecto,
revela todas las principales características de la función.
FIGURA 3
4
_1
_3 3
8-2≈
ƒ=œ„„„„„„
5
_5
_5 5
FIGURA 4
FIGURA 5 *UiILFDVGH y=˛-150x
D](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-121-320.jpg)
![0.8
0.7
0.8
y=x
1
0
1
y=x
1.5
_1.5
_5 5
y=x
y=FRV x
FIGURA 14
/RFDOL]DFLyQGHODV
UDtFHVGHFRV x=x
y=FRV x
y=FRV x
EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x m x con una aproximación de
dos decimales.
SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x m x son las coordenadas x de los puntos
de intersección de las curvas y m cos x, y m x. De la figura 14a) vemos que sólo hay una
solución y se encuentra que entre 0 y 1. Acercando el rectángulo de vista a F0, 1G
por F0, 1G, podemos ver en la figura 14b) que la raíz se encuentra entre 0.7 y 0.8.
Así que nos acercamos más con el rectángulo de vista F0.7, 0.8G por F0.7, 0.8G en la
figura 14c). Al mover el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o mediante
la inspección y el hecho de que la escala en el eje x es de 0.01, vemos que la solución
de la ecuación es de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una característica intersección
incorporada.)
TEC en Visual 1.4 puede usted ver una
animación de la figura 13.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-136-320.jpg)
![SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 51
La función f(x) m 2x
se llama una función exponencial porque la variable, x, es el expo-
nente. No debe confundirse con la J(x) de la función potencia J(x) m x2
, en la que la varia-
ble está en la base.
En general, una función exponencial es una de la forma
f x ax
donde a es una constante positiva. Recordemos el significado de esto.
Si x m n, donde n es un entero positivo, entonces
n factores
an
a a a
Si x m 0, entonces a0
m 1, y si x m n, donde n es un entero positivo, entonces
a n
1
an
Si x es un número racional, x m pYq, donde p y q son números enteros y q 0, entonces
ax
ap q q
sap
(q
sa )p
Pero, ¿cuál es el significado de ax
si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué signi-
fica 2s3
o 5P
?
Para ayudarnos a responder esta pregunta, examinemos la gráfica de la función y m 2x
,
donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la figura 1. Quere-
mos ampliar el dominio de y m 2x
para incluir tanto los números racionales como los
irracionales.
33. Grafique la función y m xn
2x
, x w 0, para n m 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
¿Cómo cambia la gráfica cuando n aumenta?
34. Las curvas con ecuaciones
y
x
sc x2
se llaman curvas nariz de bala. Grafique algunas de estas
curvas para saber por qué. ¿Qué pasa cuando c aumenta?
35. ¿Qué pasa con la gráfica de la ecuación y2
cx3
x2
cuando
c varía?
36. Este ejercicio explora el efecto de la función J en el interior de
una función compuesta .
y f t x
a) Grafique la función y sen(sx ) utilizando el rectángulo
de vista [0, 400] por [1.5, 1.5]. ¿De qué manera esta
gráfica difiere de la gráfica de la función seno?
b) Grafique la función y m sen(x2
), utilizando el rectángulo de
vista [5, 5] por [1.5, 1.5] ¿De qué manera esta gráfica
difiere de la gráfica de la función seno?
37. La figura muestra las gráficas de y m sen 96x y y m sen 2x
como se muestra en la calculadora graficadora TI-83. La
primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas
parecen idénticas.
[Sugerencia: la ventana de graficación de la TI-83 es de 95
pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos grafica la
calculadora?]
y=VHQ 96x
0 2π
y=VHQ 2x
0 2π
38. La primera gráfica que aparece en la figura es la de
y m sen 45x como la muestra una TI-83. Es inexacta y, por eso,
para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica, se traza
la curva de nuevo con el modo de puntos. ¿Cuál de las dos
curvas senoidales parece estar graficando? Muestre que cada
punto sobre la gráfica de y m sen 45x que eligió graficar la
TI-83 está, de hecho, sobre una de estas curvas. (La TI-83
grafica en ventanas de 95 píxeles de ancho.)
1.5 Funciones exponenciales
En el apéndice G hay un enfoque alternativo a
las funciones exponenciales y logarítmicas
mediante cálculo Integral.
FIGURA 1
5HSUHVHQWDFLyQGHy=2®FRQ[
UDFLRQDO
x
0
y
1
1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-141-320.jpg)
![y=a®, a1
1
(0, 1)
(0, 1)
x
0
y y
x
0
x
0
y
FIGURA 5
0
1
a) y=2®
x
y
0
_1
b) y=_2®
x
y
y=3
0
2
c) y=3-2®
x
y
Una de las razones de la importancia de la función exponencial se encuentra en las
siguientes propiedades. Si x y y son números racionales, entonces estas leyes son bien
conocidas del álgebra elemental. Puede demostrarse que seguirá siendo así para números
reales x y y arbitrarios.
v EJEMPLO 2 Utilice un dispositivo de graficación para comparar la función
exponencial f(x) m 2x
con la de la función potencia J(x) m x2
. ¿Cuál función crece
más rápidamente cuando x es muy grande?
Leyes de los exponentes Si a y b son números positivos, y los números x y y son reales
cualesquiera, entonces
1. 2. 3. 4.
ax y
ax
ay
ax y
ax
ay
ax y
axy
ab x
ax
bx
www.stewartcalculus.com
Para un repaso de las leyes de exponentes, haga
clic en Review of Algebra.
Para un repaso de la reflexión y desplazamiento
de gráficas, consulte la sección 1.3.
EJEMPLO 1 Grafique la función y m 3 2x
y determine su dominio y rango.
SOLUCIÓN Primero reflejamos la gráfica de y m 2x
[se muestran en las figuras 2 y 5a)]
sobre el eje x para obtener la gráfica de y m 2x
en la figura 5b). Después desplazamos 3
unidades hacia arriba la gráfica de y m 2x
para obtener la gráfica de y m 3 2x
en la
figura 5c). El dominio es 2, y el rango es (@, 3).](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-150-320.jpg)
![54 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones representadas gráficamente en el
rectángulo de vista [2, 6] por [0, 40]. Vemos que las gráficas se intersectan tres veces,
pero para x 4 la gráfica de f(x) m 2x
permanece por encima de la gráfica de J(x) m x2
.
La figura 7 da una visión más global y muestra que para grandes valores de x, la función
exponencial y m 2x
crece mucho más rápidamente que la función potencia y m x2
.
En el ejemplo 2 se muestra que
y m 2x
aumenta más rápidamente que y m x2
.
Para demostrar lo rápido que f(x) m 2x
aumenta,
vamos a realizar el siguiente experimento
mental. Supongamos que empezamos con un
trozo de papel de una milésima de pulgada de
espesor y lo doblamos por la mitad 50 veces.
Cada vez que dobla el papel por la mitad, el
grosor del papel se duplica, por lo que el grosor
del papel resultante sería 250
Y1000 pulgadas.
¿De qué grosor cree usted que es? ¡Más de
17 millones de millas!
FIGURA 6 FIGURA 7
Aplicaciones de las funciones exponenciales
La función exponencial ocurre con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de las
ciencias naturales y sociales. Aquí le indicamos brevemente cómo surge en la descripción
del crecimiento de una población. En capítulos posteriores seguiremos estas y otras apli-
caciones en mayor detalle.
En primer lugar, consideramos una población de bacterias en un medio nutritivo homo-
géneo. Supongamos que por muestreo de la población a ciertos intervalos se determina
que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t),
donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) m 1000, entonces tenemos
p 3 2p 2 23
1000
p 2 2p 1 22
1000
p 1 2p 0 2 1000
De este patrón, parece ser que, en general:
p t 2
t
2
t
1000 (1000)
Esta función de la población es un múltiplo constante de la función exponencial y m 2t
,
por lo que muestra el rápido crecimiento que hemos observado en las figuras 2 y 7. En
condiciones ideales (espacio ilimitado, nutrición y la ausencia de enfermedad), este creci-
miento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza.
¿Qué pasa con la población humana? La tabla 1 muestra los datos de la población del
mundo en el siglo xx, y en la figura 8 se muestra la gráfica de dispersión correspondiente.
Población
(millones)
0 1650
10 1750
20 1860
30 2070
40 2300
50 2560
60 3040
70 3710
80 4450
90 5280
100 6080
110 6870
t
FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población mundial
5x10'
P
t
20 40 60 80 100 120
0
TABLA 1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-151-320.jpg)
![60 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
SOLUCIÓN 2 De la figura 4 se observa que existen rectas horizontales que cruzan la
gráfica de J más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, J no es
uno a uno.
Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente aquellas que poseen
funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición.
FIGURA 4
no es uno a uno
x
y
A
B
f –!
f
FIGURA 5
2 Definición Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces, la
función inversa f1
tiene dominio B y rango A y está definida por
f x y
?
f 1
y x
para cualquier y en B.
rango de f 1
dominio de f
dominio de f 1
rango de f
La definición dice que si f hace corresponder x con y, entonces f 1
hace corresponder
de regreso y con x. (Si f no es uno a uno, entonces f1
no está definida de manera única).
El diagrama de flechas en la figura 5 indica que f1
invierte el efecto de f. Note que
Por ejemplo, la función inversa de es f 1
x x1 3
f x x3
ya que si y m x3
,
entonces
f 1
y f 1
x3
x3 1 3
x
R CUIDADO No cometa el error de pensar en 1 en f 1
como un exponente. Es decir,
1
f x
no significa
f 1
x
En todo caso, 1Yf(x) es el recíproco y debería escribirse como [ f(x)]1
.
v EJEMPLO 3 Si f(1) m 5, f(3) m 7 y f(8) m 10, encuentre f1
(7), f1
(5) y f1
(10).
SOLUCIÓN De la definición de f1
, tenemos
f 8 10
ya que
f 1
10 8
f 1 5
ya que
f 1
5 1
f 3 7
ya que
f 1
7 3
El diagrama en la figura 6 aclara cómo f 1
invierte el efecto de f en este caso.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-159-320.jpg)
![68 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
La función inversa del seno, sen1
, tiene dominio [1, 1] y rango [)Y2, )Y2], y su
gráfica, que se muestra en la figura 20, se obtiene a partir de la función seno restringido
(figura 18), mediante la reflexión sobre la recta y m x.
La función coseno inverso se maneja en forma similar. La función coseno restringida
f(x) m cos x, para 0 v x v ), es uno a uno (figura 21) y, por tanto, tiene una función
inversa denotada por cos1
o arccos.
0
y
x
1
_1
π
2
_π
2
FIGURA 20
y=sen–! x=arcsen x
0
y
x
1
π
π
2
FIGURA 21
y=cos x, 0¯x¯π
0
y
x
1
π
_1
π
2
FIGURA 22
y=cos–! x=arccos x
FIGURA 23
tan
cos 1
x y ? cos y x y 0 y
Las ecuaciones de cancelación son
cos cos 1
x x para 1 x 1
cos 1
cos x x para 0 x
La función coseno inverso, cos1
, tiene dominio [1, 1] y rango [0, )]. Su gráfica se
muestra en la figura 22.
La función tangente puede hacerse uno a uno mediante la restricción de que el intervalo
sea ()Y2, )Y2). Así, la función tangente inversa se define como la inversa de la función
f(x) m tan x, )Y2](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-167-320.jpg)
![SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 69
SOLUCIÓN 2 En lugar de utilizar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es
quizá más fácil usar un diagrama. Si y m tan1
x, entonces tan y m x, y podemos leer en
la figura 24 (que ilustra el caso y 0) que
cos tan 1
x cos y
1
s1 x2
La función tangente inversa, tan1
m arctan, tiene dominio 2 y rango ()Y2, )Y2). Su
gráfica se muestra en la figura 25.
FIGURA 24
FIGURA 25
tanarctan
FIGURA 26
y=sec x
0
y
x
_1
2π
π
Sabemos que las rectas x m )Y2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan. Dado
que la gráfica de tan1
se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida,
sobre la recta y m x, se deduce que las rectas y m )Y2 y y m )Y2 son asíntotas horizon-
tales de la gráfica de tan1
.
El resto de las funciones trigonométricas inversas no se utilizan con tanta frecuencia y
se resumen aquí.
11
y cot 1
x x ? cot y x y y 0,
y sec 1
x ( x 1) ? sec y x y y 0, 2 , 3 2
y csc 1
x ( x 1) ? csc y x y y 0, 2 , 3 2
La elección de los intervalos para y en las definiciones de csc1
y sec1
no es aceptada
universalmente. Por ejemplo, algunos autores utilizan y [ [0, )Y2) ()Y2, )] en la defi-
nición de sec1
. (Puede verse en la gráfica de la función secante en la figura 26 que tanto
esta opción como la que se encuentra en 11 funcionan.)
1.6 Ejercicios
1. a) ¿Qué es una función uno a uno?
b) ¿Cómo puede decirse, a partir de la gráfica de una función,
que es uno a uno?
2. a) Supongamos que f es una función uno a uno con dominio A
y rango B. ¿Cómo se define la función inversa f1
? ¿Cuál es
el dominio de f1
? ¿Cuál es el rango de f1
?
b) Si se le da una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula
para f1
?
c) Si se le da la gráfica para f, ¿cómo encuentra la gráfica de f1
?
3-14 Una función viene dada por una tabla de valores, una gráfica,
una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno.
3. x 1 2 3 4 5 6
1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
f x
4. x 1 2 3 4 5 6
1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9
f x
Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-172-320.jpg)
![82 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
En esta sección se verá cómo surgen los límites cuando tratamos de encontrar la recta
tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
El problema de la tangente
La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tan-
gente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe
tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede preci-
sarse esta idea?
Para una circunferencia podemos simplemente seguir la idea de Euclides y decir
que la tangente es una recta que interseca la circunferencia una y sólo una vez, como
se ve en la figura 1a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La
figura 1b) muestra dos rectas l y t que pasan por un punto P en una curva C. La recta
l cruza C sólo una vez, pero ciertamente no es la idea que tenemos de lo que es una tan-
gente. La recta t, por otro lado, se parece más a una tangente, pero interseca a C dos
veces.
Para ser más específicos, intentaremos resolver el problema de encontrar una recta t
tangente a la parábola y m x2
en el siguiente ejemplo.
v EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2
en el
punto (1, 1).
SOLUCIÓN Podremos encontrar la ecuación de la recta tangente t tan pronto como
conozcamos su pendiente m. La dificultad es que sólo conocemos un punto P sobre t,
y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, observamos que
podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x2
) sobre la
parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ.
[Una recta secante, de la palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que
interseca (corta) una curva más de una vez.]
Elegimos x o 1 de manera que Q o P. Entonces
mPQ
x2
1
x 1
Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25), tenemos
mPQ
2.25 1
1.5 1
1.25
0.5
2.5
Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1.
Cuanto más cerca está Q de P, la x es más cercana a 1 y, de las tablas, mPQ está más cerca
de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m m 2.
Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas
secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo
y lím
x l1
x2
1
x 1
2
lím
Q lP
mPQ m
Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación
de la recta en la forma punto-pendiente (véase apéndice B) para escribir la ecuación de la
recta tangente en (1, 1) como
y 1 m 2(x 1) o bien y m 2x 1
2.1 Problemas de la tangente y la velocidad
a)
b)
t
FIGURA 1
P
C
t
l
FIGURA 2
x
y
0
y=≈
t
Q{x, ≈}
P(1, 1)
x
2 3
1.5 2.5
1.1 2.1
1.01 2.01
1.001 2.001
mPQ
x
0 1
0.5 1.5
0.9 1.9
0.99 1.99
0.999 1.999
mPQ](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-197-320.jpg)
![SECCIÓN 2.1 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 83
La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando Q se
aproxima a P a lo largo de la parábola, las correspondientes rectas secantes giran alrededor
de P y se aproximan a la recta tangente t.
FIGURA 4
t
Q
A
B C
P
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
90
100
60
70
80
50
(segundos)
(microcoulombs)
Q se aproxima a P por la derecha
Q se aproxima a P por la izquierda
P
y
x
0
Q
t
P
y
x
0
Q
t
P
y
x
0
Q
t
P
y
x
0
Q
t
P
y
x
0
Q
t
FIGURA 3
x
0
P
y
Q
t
Muchas de las funciones que se producen en la ciencia no están descritas por ecuaciones
explícitas, sino que están definidas por datos experimentales. El siguiente ejemplo muestra
cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de este tipo de funciones.
v EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el
almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se
activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en
microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que el flash se dispara).
Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta
tangente en el punto donde t m 0.04. [Nota: la pendiente de la recta tangente repre-
senta la corriente eléctrica (medida en microamperios) que fluye desde el condensador
a la lámpara del flash.]
SOLUCIÓN En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que
se aproxima a la gráfica de la función.
TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona
el proceso en la figura 3 para funciones adicio-
nales.
t Q
0.00 100.00
0.02 81.87
0.04 67.03
0.06 54.88
0.08 44.93
0.10 36.76](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-198-320.jpg)
![SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 91
Las líneas punteadas, cerca del eje y indican que los valores del sen()Yx) oscilan
infinitamente entre 1 y 1 cuando x tiende a 0. (Véase el ejercicio 45.)
Ya que los valores de f(x) no se acercan a un número fijo cuando x tiende a 0,
lím
x l 0
sen
x
no existe
EJEMPLO 5 Encuentre el lím
x l 0
x3
cos 5x
10000
.
SOLUCIÓN Como antes, elaboramos una tabla de valores. De la primera tabla en el
margen parece que
lím
xl0
x3
cos 5x
10000
0
Pero si perseveramos con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que
lím
x l 0
x3
cos 5x
10000
0.000100
1
10000
Más adelante veremos que límx l 0 cos 5x m 1; entonces deduciremos que el límite
es 0.0001.
R Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos al intentar conjeturar el valor de un
límite. Es fácil caer en el valor incorrecto si utilizamos valores inadecuados de x, pero es
difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la discusión después del
ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores incorrectos. En la
siguiente sección, sin embargo, vamos a desarrollar métodos infalibles para el cálculo de
límites.
v EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por
H t
0
1
si t 0
si t 0
[Esta función lleva el nombre del ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se
utiliza para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo t m 0.] Su gráfica
se muestra en la figura 8.
Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H(t) se aproxima a 0. Conforme t se
aproxima a 0 por la derecha, H(t) se aproxima a 1. No hay un único número al que
se aproxime H(t) cuando t se aproxima a 0. Por tanto, límt l 0 H(t) no existe.
Límites laterales
Hemos notado en el ejemplo 6 que H(t) tiende a 0 cuando t se aproxima a 0 por la izquierda
y H(t) tiende a 1 a medida t se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica sim-
bólicamente escribiendo
y lím
tl0
H t 1
lím
tl0
H t 0
El símbolo “t l 0
” indica que se consideran sólo los valores de t que son menores
que 0. De igual modo, “t l 0
” indica que se consideran sólo los valores de t que son
mayores que 0.
x
0.005 0.00010009
0.001 0.00010000
x3
cos 5x
10000
x
1 1.000028
0.5 0.124920
0.1 0.001088
0.05 0.000222
0.01 0.000101
x3 cos 5x
10000
t
y
1
0
FIGURA 8
La función de Heaviside](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-206-320.jpg)
![92 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Observe que la definición 2 difiere de la definición 1 sólo en el hecho de que x sea
necesariamente menor que a. Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a,
se obtiene “el límite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L” y
escribimos
lím
x la
f x L
Así, el símbolo “x l a
” significa que se consideran sólo x a. Estas definiciones se
ilustran en la figura 9.
2 Definición Cuando escribimos
lím
x la
f x L
estamos diciendo que el límite izquierdo de f(x) cuando x se aproxima a a [o el
límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si podemos hacer
que los valores de f(x) se acerquen arbitrariamente a L, tanto como queramos, toman-
do x suficientemente cercanos a a, pero menores que a.
0 x
y
L
x
a
0 x
y
ƒ
L
x a
ƒ
x a+
x a_
a) lím ƒ=L b) lím ƒ=L
FIGURA 9
FIGURA 10
y
0 x
y=©
1 2 3 4 5
1
3
4
3 si y sólo si y
lím
x la
f x L lím
x la
f x L lím
x la
f x L
Al comparar la definición 1 con las de los límites laterales, vemos que se cumple con
lo siguiente.
v EJEMPLO 7 La gráfica de una función J se muestra en la figura 10. Utilícela para
establecer los valores (si existen) de lo siguiente:
a) b) c)
d) e) f)
lím
xl5
t x lím
x l5
t x lím
x l5
t x
lím
xl2
t x lím
x l2
t x lím
x l2
t x
SOLUCIÓN En la gráfica vemos que los valores de J(x) tienden a 3 conforme x tiende a 2
por la izquierda, pero se acercan a 1 a medida x tiende a 2 por la derecha. Por tanto,
a) y b)
lím
x l2
t x 3 lím
x l2
t x 1
c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, llegamos a la
conclusión de 3 que límx l2 t x no existe.
La gráfica también muestra que
d) e)
y
lím
x l5
t x 2 lím
x l5
t x 2](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-207-320.jpg)
![100 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Por tanto, tenemos
(por la ley 1)
(por la ley 3)
1 5 1 4
lím
x l 2
f x 5 lím
x l 2
t x
lím
x l 2
f x 5t x lím
x l 2
f x lím
x l 2
5t x
b) Vemos que .
límx l1 f x 2 Pero límx l1 t x no existe porque los límites por la
izquierda y por la derecha son diferentes:
lím
x l1
t x 1
lím
x l1
t x 2
Así que no podemos utilizar la ley 4 para el límite deseado, pero podemos utilizarla para
los límites laterales:
lím
x l1
f x t x 2 1 2
lím
xl 1
f x t x 2 2 4
Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, así que límx l1 f x t x no
existe.
c) La gráfica muestra que
lím
x l2
t x 0
y
lím
x l2
f x 1.4
Ya que el límite del denominador es 0, no podemos utilizar la ley 5. El límite dado no
existe porque el denominador tiende a 0, mientras que el numerador se acerca a un
número no cero.
Si utilizamos repetidamente la ley del producto con J(x) m f (x), obtenemos la
siguiente ley.
Ley de la potencia 6. lím
xla
f x n
[lím
x la
f x ]n
donde n es un número entero positivo
.
8
.
7 lím
x la
x a
lím
xla
c c
9. lím
x l a
xn
an
donde n es un número entero positivo
10. lím
xla
s
n
x s
n
a donde n es un número entero positivo
(Si n es par, suponemos que a 0.)
Para la aplicación de estas seis leyes, necesitamos utilizar dos límites especiales:
Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo (establézcalos en palabras o
dibuje las gráficas de y m c y y m x), pero en los ejercicios de la sección 2.4 se requieren
las demostraciones basadas en la definición precisa.
Si hacemos f(x) m x en la ley 6 y utilizamos la ley 8, obtenemos otra forma especial de
límite.
Un límite similar con el que se cumple para las raíces es el siguiente. (Para la raíz cua-
drada, la demostración se resume en el ejercicio 37 de la sección 2.4.)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-215-320.jpg)
![SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 101
Más generalmente, tenemos la siguiente ley que hemos de demostrar en la sección 2.5
como una consecuencia de la ley 10.
11. lím
xla
s
n
f x) s
n
lím
x la
f x) donde n es un número entero positivo
[Si n es par, suponemos que lím
x la
f x 0.]
EJEMPLO 2 Evalúe los siguientes límites y justifique cada paso
)
b
)
a lím
x l 2
x3
2x2
1
5 3x
lím
x l5
2x2
3x 4
SOLUCIÓN
a) (por las leyes 2 y 1)
(por la ley 3)
(por las leyes 9, 8 y 7)
39
2 52
3 5 4
2 lím
x l5
x2
3 lím
x l5
x lím
x l5
4
lím
x l5
2x2
3x 4 lím
x l5
2x2
lím
x l5
3x lím
x l5
4
b) Empezamos utilizando la ley 5, pero su uso está completamente justificado sólo en la
etapa final cuando vemos que los límites del numerador y el denominador existen y el
límite del denominador no es cero.
(por la ley 5)
(por las leyes 1, 2 y 3)
(por las leyes 9, 8 y 7)
1
11
2 3
2 2 2
1
5 3 2
lím
x l 2
x3
2 lím
x l 2
x2
lím
x l 2
1
lím
x l 2
5 3 lím
x l 2
x
lím
xl 2
x3
2x2
1
5 3x
lím
x l 2
x3
2x2
1
lím
x l 2
5 3x
NOTA Si hacemos f(x) m 2x2
3x 4, entonces f(5) m 39. En otras palabras, ha-
bríamos obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2a) sustituyendo 5 por x. Del mismo
modo, la sustitución directa aporta la respuesta correcta en el inciso b). Las funciones en
el ejemplo 2 son una función polinomial y una función racional, respectivamente, y el
mismo uso de las leyes de los límites demuestra que la sustitución directa siempre sirve
para este tipo de funciones (Véanse los ejercicios 55 y 56). Este hecho se expresa de la
siguiente manera:
Propiedad de sustitución directa Si f es una función polinomial o una función racional
y a está en el dominio de f, entonces
lím
x la
f x f a
Ley de la raíz
Newton y los límites
Isaac Newton nació el día de Navidad en 1642,
año de la muerte de Galileo. Cuando entró en la
Universidad de Cambridge en 1661, Newton no
sabía muchas matemáticas, pero aprendió
rápidamente mediante la lectura de Euclides y
Descartes, y asistiendo a las conferencias de
Isaac Barrow. Cambridge fue cerrada a causa
de la peste en 1665 y 1666, y Newton regresó a
su casa a reflexionar sobre lo que había apren-
dido. Esos dos años fueron extraordinariamente
productivos porque hizo cuatro de sus descubri-
mientos más importantes: 1) su representación
de funciones como sumas de series infinitas,
incluyendo el teorema del binomio; 2) su
trabajo sobre el cálculo diferencial e integral;
3) sus leyes del movimiento y la ley de la
gravitación universal y 4) sus experimentos
con el prisma relacionados con la naturaleza
de la luz y el color. Debido a un temor a la
controversia y la crítica, se mostró reacio a
publicar sus descubrimientos y no fue sino
hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley,
que Newton publicó sus Principia Mathematica.
En este trabajo, el tratado científico más grande
jamás escrito, Newton expone su versión del
Cálculo y su utilización en la investigación de la
mecánica, la dinámica de fluidos, y el
movimiento ondulatorio, así como en la
explicación del movimiento de los planetas
y los cometas.
Los inicios del Cálculo se encuentran en los
procedimientos para obtener áreas y volúmenes
ideados por los antiguos sabios griegos Eudoxo
y Arquímedes. A pesar de que los aspectos de
la idea de límite están implícitos en su “método
de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca
formularon explícitamente el concepto de límite.
Tampoco matemáticos como Cavalieri, Fermat
ni Barrow, antecesores inmediatos de Newton
en el desarrollo del Cálculo, utilizaron los
límites. Isaac Newton fue el primero en hablar
explícitamente de límites. Explicó que la
idea principal detrás de los límites es que las
cantidades “se acercan más que cualquier
diferencia dada”. Newton dijo que el límite
era el concepto básico en el Cálculo, pero fue
el posterior trabajo de matemáticos como
Cauchy y otros más el que finalmente clarificó
las ideas relacionadas con los límites.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-216-320.jpg)
![3, tenemos
lím
x l3
x lím
x l3
2 2
Ya que estos límites laterales no son iguales, límx l3 x no existe por el teorema 1.
Los dos teoremas siguientes dan dos propiedades adicionales para los límites. Sus
demostraciones se encuentran en el apéndice F.
Otras notaciones para VxB son FxG y «xº. En
ocasiones, la función entero mayor se llama
función piso.
El teorema de la compresión, llamado a veces teorema del sándwich o del apretón, se
ilustra en la figura 7. Se dice que si J(x) se comprime entre f(x) y h(x) cerca de a, y si f y
h tienen el mismo límite L en a, entonces J es forzada a tener el mismo límite L en a.
v EJEMPLO 11 Demuestre que lím
x l0
x2
sen
1
x
0.
SOLUCIÓN Primero note que no podemos utilizar
R lím
x l0
x2
sen
1
x
lím
x l0
x2
lím
x l0
sen
1
x
ya que límx l 0 sen 1 x no existe (véase el ejemplo 4 en la sección 2.2).
En su lugar aplicamos el teorema de la compresión, así que tenemos que encontrar
una función f menor que J(x) m x2
sen(1Yx) y una función h mayor que J tal que f(x) y
h(x) tiendan a 0.
2 Teorema Si f(x) v J(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en x m a) y
los límites de f y J existen cuando x tiende a a, entonces
lím
x l a
f x lím
x l a
t x
3 El teorema de la compresión Si f(x) v J(x) v h(x) cuando x tiende a a (excepto
posiblemente en a) y
lím
x l a
f x lím
x l a
h x L
entonces
lím
x l a
t x L
y=[x]
1 2 3
1
2
3
4
4 5 x
y
0
FIGURA 6
Función entero mayor
0 x
y
a
L
f
g
h
FIGURA 7](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-224-320.jpg)
![118 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
En la sección 2.3, hemos visto que el límite de una función cuando x tiende a a, con fre-
cuencia se obtiene simplemente calculando el valor de la función en a. Las funciones con
esta propiedad son llamadas continuas en x m a. Veremos que la definición matemática de
continuidad coincide notoriamente con el sentido de continuidad que la palabra tiene en el
lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo es uno que se lleva a cabo gradualmente, sin
interrupción o cambio brusco.)
31. 32.
lím
xl 2
x2
1 3 lím
xl2
x3
8
33. Verifique que otra posible elección de para mostrar que
límx l3 x2
9 en el ejemplo 4 es m mín{2, Y8}.
34. Verifique con argumentos geométricos que la mayor
posible elección de para demostrar que límx l3 x2
9 es
s9 3
d e .
SAC 35. a) Para el límite límxl1 x3
x 1 3, utilice una gráfica
para encontrar un valor de que corresponda a m 0.4.
b) Utilizando un sistema algebraico computarizado para
resolver la ecuación cúbica x3
x 1 m 3 , encuentre
el mayor valor posible de que funciona para cualquier
0 dado.
c) Ponga m 0.4 en su repuesta del inciso b) y compárelo con
su respuesta del inciso a).
36. Demuestre que lím
x l2
1
x
1
2
37. Demuestre que si a 0
lím
x l a
sx sa .
Sugerencia: utilice |sx sa | x a
sx sa
.
38. Si H es la función de Heaviside definida en el ejemplo 6 en la
sección 2.2, demuestre, utilizando la definición 2, que límt l 0 H t
no existe. [Sugerencia: utilice una demostración indirecta como
sigue. Suponga que el límite es L. Tome
1
2
e en la definición
de límite y trate de llegar a una contradicción.]
39. Si la función f está definida por
f x
0
1
si x es racional
si x es irracional
Demuestre que f x
límx l 0 no existe.
40. Comparando las definiciones 2, 3 y 4, demuestre el teorema 1
de la sección 2.3.
41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que tomar x de manera que
1
x 3 4
10000?
42. Demuestre, utilizando la definición 6, que lím
x l 3
1
x 3 4
.
43. Demuestre que lím
xl0
ln x .
44. Suponga que y límx la t x c
límx l a f x , donde c es un
número real. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.
a)
b) si
si
)
c c 0
lím
xla
f x t x
c 0
lím
xla
f x t x
lím
x la
f x t x
2.5 Continuidad
Como se ilustra en la figura 1, si f es continua,
entonces los puntos (x, f(x)) en la gráfica
de f tienden al punto (a, f(a)) sobre la gráfica.
Así que no existe ninguna brecha en la curva.
1 Definición Una función f es continua en un número x m a si
lím
x la
f x f a
Note que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas. Si f es continua en a,
entonces:
1. f(a) está definida (esto es, a está en el dominio de f )
2. lím
xla
f x existe
3. lím
xla
f x f a
La definición indica que f es continua en a si f(x) tiende a f(a) cuando x tiende a a. Así,
una función continua f tiene la propiedad de que un pequeño cambio en x produce sólo un
f(a)
x
0
y
a
y=ƒ
ƒ
tiende a
f(a).
Cuando x tiende a a,
FIGURA 1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-270-320.jpg)
![SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 119
pequeño cambio en f(x). De hecho, el cambio en f(x) puede mantenerse tan pequeño como
se quiera manteniendo el cambio en x suficientemente pequeño.
Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida sobre un intervalo abierto
que contiene a a, excepto quizás en a), decimos que f es discontinua en a (o f tiene una
discontinuidad en a) si f no es continua en a.
Los fenómenos físicos son generalmente continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o
la velocidad de un vehículo varían continuamente con el tiempo, como lo hace la estatura
de una persona. Pero hay otras situaciones, como la corriente eléctrica, donde ocurren
discontinuidades. [Véase el ejemplo 6 en el punto 2.2, donde la función de Heaviside
es discontinua en 0 porque límt l 0 H t no existe.]
Geométricamente, una función continua en cada número de un intervalo puede pensar-
se como una función cuya gráfica no tiene interrupciones. La gráfica puede dibujarse sin
levantar la pluma del papel.
EJEMPLO 1 La figura 2 muestra la gráfica de una función f. ¿Para qué valores de x m a,
f es discontinua? ¿Por qué?
SOLUCIÓN Pareciera que hay una discontinuidad cuando a m 1 porque la gráfica tiene
una ruptura allí. La razón formal de que f es discontinua en 1 es que f (1) no está
definida.
La gráfica también tiene una ruptura cuando a m 3, pero la razón para la discontinuidad
es diferente. Aquí, f(3) está definida, pero límx l3 f x no existe (porque los límites por
la izquierda y por la derecha son diferentes), así que f es discontinua en x m 3.
¿Qué hay en relación con a m 5? Aquí, f(5) está definida y el límx l5 f x existe
(porque los límites por la izquierda y por la derecha son iguales). Pero
lím
x l5
f x f 5
Así que f es discontinua en 5.
Ahora veremos cómo detectar discontinuidades cuando una función está definida por
una fórmula.
v EJEMPLO 2 ¿Dónde es discontinua cada una de las siguientes funciones?
)
b
)
a
)
d
)
c f x x
f x
x2
x 2
x 2
si x 2
1 si x 2
f x
1
x2
si x 0
1 si x 0
f x
x2
x 2
x 2
SOLUCIÓN
a) Note que f(2) no está definida, así que f es discontinua en x m 2. Más tarde veremos
por qué f es continua en todos los otros números.
b) Aquí f(0) m 1 está definida, pero
lím
x l 0
f x lím
x l 0
1
x2
no existe. (Véase el ejemplo 8 de la sección 2.2.) Así que f es discontinua en x m 0.
c) Aquí f(2) m 1 está definida y
lím
x l2
f x lím
x l2
x2
x 2
x 2
lím
x l2
x 2 x 1
x 2
lím
x l2
x 1 3
FIGURA 2
y
0 x
1 2 3 4 5](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-271-320.jpg)
![120 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
existe. Pero
lím
x l2
f x f 2
así que f no es continua en x m 2.
d) La función entero mayor f(x) m VxBtiene discontinuidades en todos los enteros
porque límx ln x no existe si n es un entero. (Véanse el ejemplo 10 y el ejercicio 51 en
la sección 2.3).
La figura 3 muestra las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso la gráfica
no puede ser dibujada sin levantar el lápiz del papel porque hay un agujero o ruptura o salto
en la gráfica. El tipo de discontinuidad ilustrada en los incisos a) y c) se llama removible
porque podemos remover la discontinuidad redefiniendo f sólo en x m 2. [La función
J(x) m x 1 es continua.] La discontinuidad en el inciso b) se llama discontinuidad
infinita. Las discontinuidades en el inciso d) se llaman discontinuidades de salto porque
la función “salta” de un valor a otro.
1 2 3
1
x
y
0
d) ƒ=[x]
1 2
1
x
y
0
c) ƒ=
si x≠2
1 si x=
2
≈-x-2
x-2
b) ƒ=
si x≠0
1 si
1
x=0
1
x
y
0
1 2 x
y
0
1
a) ƒ=
≈-x-2
x-2
FIGURA 3
Gráficas de las funciones del ejemplo 2
≈
2 Definición Una función f es continua por la derecha de un número x m a si
lím
x la
f x f a
y f es continua por la izquierda de x m a si
lím
x la
f x f a
3 Definición Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en cada
número en el intervalo. (Si f está definida sólo en un lado de un punto extremo del
intervalo, entendemos por continua en el punto extremo, como continua por la dere-
cha o continua por la izquierda.)
EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f(x) m VxB[Véase la figura 3d)] es continua por
la derecha, pero discontinua por la izquierda porque
pero lím
x ln
f x lím
x ln
x n 1 f n
lím
x ln
f x lím
x ln
x n f n](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-272-320.jpg)
![126 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
El teorema del valor intermedio establece que una función continua toma todos los
valores intermedios entre los valores de la función f(a) y f(b). Este hecho se ilustra en la
figura 8. Observe que el valor N puede tomarse una vez [como en la parte a)] o más de una
vez [como en la parte b)].
b)
0 x
y
f(b)
N
f(a)
£ b
y=ƒ
c™
c¡
a)
0 x
y
f(b)
N
f(a)
b
y=ƒ
FIGURA 8
a a
c c
b
0 x
y
f(a)
N
f(b)
a
y=ƒ
y=N
FIGURA 9
Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene huecos
o rupturas, es fácil creer que el teorema del valor intermedio es verdadero. En térmi-
nos geométricos, señala que si se da cualquier recta horizontal y m N entre y m f (a) y
y m f(b), como en la figura 9, entonces la gráfica de f no puede saltar la recta: debe inter-
secar y m N en alguna parte.
Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del
valor intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 48).
Un uso del teorema del valor intermedio es en la búsqueda de las raíces de ecuaciones,
como en el ejemplo siguiente.
v EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación
4x3
6x2
3x 2 0
entre 1 y 2.
SOLUCIÓN Sea .
f x 4x3
6x2
3x 2 Buscamos una solución de la ecuación
dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f(c) m 0. Por tanto, tomando a m 1,
b m 2 y N m 0 en el teorema 10, tenemos
f 1 4 6 3 2 1 0
y f 2 32 24 6 2 12 0
Así, f(1)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-283-320.jpg)
![SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 141
11. Conjeture el valor del límite
lím
xl
x2
2x
evaluando la función f(x) m x2
Y2x
para x m 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. Después, utilice una gráfica de f para
respaldar su conjetura.
12. a) Utilice la gráfica de
f x 1
2
x
x
para estimar el valor de límx l @ f(x) con una aproximación
de dos cifras decimales.
b) Utilice una tabla de valores de f(x) para estimar el límite
con una aproximación de cuatro cifras decimales.
13-14 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las
propiedades adecuadas de los límites.
.
4
1
.
3
1 lím
x l
12x3
5x 2
1 4x2
3x3
lím
xl
3x2
x 4
2x2
5x 8
15-38 Encuentre el límite o demuestre que no existe.
.
6
1
.
5
1
.
8
1
.
7
1
19. 20.
.
2
2
.
1
2
.
4
2
.
3
2
25. 26.
.
8
2
.
7
2
.
0
3
.
9
2
.
2
3
.
1
3
33. 34.
.
6
3
.
5
3
.
8
3
.
7
3 lím
xl0
tan 1
ln x
lím
xl
e 2x
cos x
lím
xl
1 ex
1 2ex
lím
xl
sen2
x
x2
1
lím
xl
e3x
e 3x
e3x
e 3x
lím
x l
arctan ex
lím
xl
1 x6
x4
1
lím
xl
x4
x5
lím
xl
e x
2 cos 3x
lím
xl
x4
3x2
x
x3
x 2
lím
xl
sx2
1
lím
xl
(sx2
ax sx2 bx )
lím
x l
(x sx2 2x )
lím
xl
(s9x2 x 3x)
lím
xl
s9x6 x
x3
1
lím
xl
s9x6 x
x3
1
lím
xl
x2
sx4 1
lím
xl
2x2
1 2
x 1 2
x2
x
lím
tl
t tst
2t3 2
3t 5
lím
tl
st t2
2t t2
lím
xl
4x3
6x2
2
2x3
4x 5
lím
xl
x 2
x2
1
lím
xl
1 x2
x3
x 1
lím
xl
3x 2
2x 1
39. a) Estime el valor de
lím
xl
(sx2 x 1 x)
dibujando la gráfica de la función
f x sx2
x 1 x.
b) Utilice una tabla de valores de f(x) para conjeturar el valor
del límite.
c) Pruebe que su conjetura es correcta.
40. a) Utilice la gráfica de
f x s3x2 8x 6 s3x2 3x 1
para estimar el valor de límx l @ f(x) con una aproximación
de una cifra decimal.
b) Utilice una tabla de valores de f(x) para estimar el límite
con una aproximación de cuatro cifras decimales.
c) Halle el valor exacto del límite.
41-46 Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si
tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la
curva y estimando las asíntotas.
.
2
4
.
1
4
43. 44.
.
6
4
.
5
4 y
2ex
ex
5
y
x3
x
x2
6x 5
y
1 x4
x2
x4
y
2x2
x 1
x2
x 2
y
x2
1
2x2
3x 2
y
2x 1
x 2
47. Estime la asíntota horizontal de la función
f x
3x3
500x2
x3
500x2
100x 2000
mediante la gráfica de f para 10 v x v 10. Después obtenga
la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la
discrepancia?
48. a) Grafique la función
f x
s2x2
1
3x 5
¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa?
Utilice la gráfica para estimar el valor de los límites
y lím
xl
s2x2
1
3x 5
lím
xl
s2x2
1
3x 5
b) Calcule algunos valores de f(x) y proporcione estimaciones
numéricas de los límites del inciso a).
c) Calcule los valores exactos de los límites en el inciso a).
¿Obtiene el mismo valor o valores diferentes de esos dos
límites? [En relación con su respuesta al inciso a), tendrá
que verificar su cálculo para el segundo límite.]](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-314-320.jpg)
![SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 149
b) El enunciado de que f(1000) m 9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de
tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresYyarda.
(Cuando x m 1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.)
Dado que $x m 1 es pequeño si se le compara con x m 1000, podría usarse la aproximación
f 1000
C
x
C
1
C
y decimos que el costo de fabricación de las 1000 yardas (o de la 1001) es de casi 9 dólares.
c) La razón a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda)
probablemente es inferior cuando x m 500 que cuando x m 50 (el costo de fabricación
de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la escala económica. (El
fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que
f(50) f(500)
Pero, conforme se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala
será ineficiente y con eso los costos de horas extra de trabajo. En estos términos, es
posible que la razón de incremento de costos empezarán con el tiempo a subir. De este
modo, es posible que suceda que
f(5000) f(500)
En el ejemplo siguiente estimaremos la razón de cambio de la deuda nacional respecto
al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino mediante una
tabla de valores.
v EJEMPLO 7 Sea D(t) la deuda nacional de EU en el tiempo t. La tabla en el margen
proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin de año,
en miles de millones de dólares, desde 1980 hasta 2005. Interprete y estime el valor
de D(1990).
SOLUCIÓN La derivada D(1990) significa la razón de cambio de D respecto a t cuando
t m 1990, es decir, la razón de incremento de la deuda nacional en 1990.
De acuerdo con la ecuación 5,
D 1990 lím
t l1990
D t D 1990
t 1990
Así que calculamos y tabulamos los valores del cociente de diferencias (la razón de
cambio promedio) como sigue.
t
1980 230.31
1985 257.48
1995 348.14
2000 244.09
2005 313.29
D t D 1990
t 1990
A partir de esta tabla vemos que D(1990) se localiza en alguna parte entre 257.48 y
348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la
suposición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y el
2000.] Se estima que la razón de incremento de la deuda nacional de EU en 1990 fue
el promedio de estos números, específicamente
D(1990) y 303 miles de millones de dólares por cada año.
Otro método sería una gráfica de la función deuda y estimar la pendiente de la recta
tangente cuando t m 1990.
En este caso suponga que la función costo se
comporta bien; en otras palabras, C(x) no oscila
rápidamente cerca de x m 1000.
t
1980 930.2
1985 1945.9
1990 3233.3
1995 4974.0
2000 5674.2
2005 7932.7
D t
Una nota sobre unidades
Las unidades de la razón de cambio promedio
$D/$t son las unidades para $D divididas
entre las unidades de $t, o sea, miles de
millones de dólares por cada año. La razón
de cambio instantánea es el límite de la
razón de cambio promedio, de este modo, se
mide en las mismas unidades: miles de millones
de dólares por cada año.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-330-320.jpg)
![158 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Para x m 0 debemos investigar
lím
h l 0
0 h 0
h
si existe
f 0 lím
h l 0
f 0 h f 0
h
.
Calcule por separado los límites por la izquierda y por la derecha:
y lím
hl0
0 h 0
h
lím
hl0
h
h
lím
hl0
h
h
lím
hl0
1 1
lím
h l0
0 h 0
h
lím
h l0
h
h
lím
h l0
h
h
lím
hl0
1 1
Puesto que estos límites son diferentes, f(0) no existe. Así, f es derivable en toda x,
excepto en x m 0.
La fórmula para f está dada por
f x
1
1
si x 0
si x 0
y su gráfica aparece en la figura 5b). La inexistencia de f(0) se refleja geométricamente
en el hecho de que la curva y m U x U no tiene una recta tangente en (0, 0). [Véase la
figura 5a).]
Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función.
El teorema siguiente muestra cómo se relacionan estas propiedades.
4 Teorema Si f es derivable en x m a, entonces f es continua en x m a.
DEMOSTRACIÓN Para demostrar que f es continua en x m a, debemos demostrar que
f x f a
límx l a . Para esto empezamos por probar que la diferencia f (x) f (a) tien-
de a 0.
La información dada es que f es derivable en x m a; es decir,
f a lím
x l a
f x f a
x a
existe (véase la ecuación 2.7.5). Para relacionar lo dado con lo desconocido, divida y
multiplique f(x) f(a) por x a (lo cual es posible cuando x o a):
f x f a
f x f a
x a
x a
De este modo, si usamos la ley del producto y la ecuación (2.7.5), podemos escribir
f a 0 0
lím
x l a
f x f a
x a
lím
x l a
x a
lím
x l a
f x f a lím
x l a
f x f a
x a
x a
RP Un aspecto importante de la solución de
problemas es intentar encontrar una conexión
entre lo dado y lo desconocido. Consulte el
paso 2 (Piense en un plan) en Principios para
la resolución de problemas, en la página 75.
x
1
y
?
x
y
FIGURA 5
a) Y X
b) YF{X](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-344-320.jpg)
![SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 159
Para utilizar lo que acabamos de demostrar, comenzamos con f (x) y sumamos y res-
tamos f (a):
f a 0 f a
lím
x l a
f a lím
x l a
f x f a
lím
x l a
f x lím
x l a
f a f x f a
En consecuencia, f es continua en x m a.
R NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas, pero
que no son derivables. Por ejemplo, la función f(x) m U x U es continua en x m 0 porque
lím
x l0
f x lím
x l0
x 0 f 0
(Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero en el ejemplo 5 demostramos que f no es
derivable en x m 0.
¿Cómo deja de ser derivable una función?
En el ejemplo 5 vimos que la función y m U x U no es derivable en x m 0 y en la figura 5a)
se muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x m 0. En general,
si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “picos”, la gráfica de f no tiene recta tan-
gente en esos puntos y f no es derivable allí. [Al intentar calcular f(a), encontramos que
los limites por la izquierda y por la derecha son diferentes.]
El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma
que si f no es continua en a, entonces f no es derivable en x m a. Por ende, en cualquier
discontinuidad (p. ej., una discontinuidad de salto), f no es derivable.
Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando
x m a; es decir, f es continua en x m a y
lím
x l a
f x
Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En
la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7c) ilustra otra. Las
tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7.
FIGURA 6
recta tangente
vertical
x
y
a
0
FIGURA 7
Tres maneras para que ƒ no
sea derivable en x a a) Una esquina o pico c) Una tangente vertical
b) Una discontinuidad
x
y
a
0 x
y
a
0
x
y
a
0
Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabili-
dad. Si f es derivable en x m a, entonces, con un acercamiento al punto (a, f(a)), la gráfica](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-346-320.jpg)
![176 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
¿Qué puede decirse acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negati-
vos? En el ejercicio 61 se pide al lector que verifique, a partir de la definición de
derivada, que
d
dx
1
x
1
x2
Por lo que podemos escribir de nuevo esta ecuación como
d
dx
x 1
1 x 2
y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n m 1. De hecho, en la
sección siguiente [ejercicio 62c)] se demuestra que se cumple para todos los enteros nega-
tivos.
¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 encon-
tramos que
d
dx
sx
1
2sx
lo cual puede escribirse como
d
dx
x1 2 1
2 x 1 2
Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n 1
2. De hecho, en
la sección 3.6 se demuestra que es verdadera para todos los números reales n.
Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces
d
dx
xn
nxn 1
EJEMPLO 2 Derive:
)
b
)
a f x
1
x2
y s
3
x2
SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x.
a) Dado que f(x) m x2
, utilizamos la regla de la potencia con n m 2:
b)
dy
dx
d
dx
(s
3
x2
)
d
dx
x2 3 2
3 x 2 3 1 2
3 x 1 3
f x
d
dx
x 2
2x 2 1
2x 3
2
x3
La regla de la potencia permite hallar las rectas tangentes sin hacer uso de la definición
de derivada. Además, permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C
en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En
el estudio de la óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal
a un lente.)
v EJEMPLO 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva
y xsx en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas.
En la figura 3 se muestra la función y el ejemplo
2b) y su derivada y. Advierta que y no es
derivable en 0 (y no está definida allí). Observe
que y es positiva cuando y crece, y negativa
cuando y decrece.
FIGURA 3](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-370-320.jpg)
![SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 179
Así, dyYdx m 0 si x m 0 o x2
3 m 0, es decir, x s3. Por tanto, la curva dada tiene
rectas tangentes horizontales cuando s3 y s3. Los puntos correspondientes son (0, 4),
y
(s3, 5) ( s3, 5). (Véase la figura 5.)
EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s m 2t3
5t2
3t 4,
donde s se mide en centímetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función
del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos?
SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son
a t
dv
dt
12t 10
v t
ds
dt
6t2
10t 3
La aceleración después de 2s es a(2) m 14cmYs2
.
Funciones exponenciales
Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) m ax
, aplicando la definición de
derivada:
lím
hl 0
ax
ah
ax
h
lím
hl 0
ax
ah
1
h
f x lím
hl 0
f x h f x
h
lím
hl 0
ax h
ax
h
El factor ax
no depende de h, de modo que puede llevarlo delante del límite:
f x ax
lím
h l 0
ah
1
h
Observe que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es,
lím
h l 0
ah
1
h
f 0
En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f (x) m ax
es derivable
en 0, entonces es derivable para cualquier x; así que
4 f x f 0 ax
En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es
proporcional a la función misma. (La pendiente es proporcional a la altura.)
En la tabla que aparece a la izquierda, se da una evidencia numérica de la existencia de
f(0) en los casos a m 2 y a m 3. (Los valores tienen una aproximación correcta a cuatro
posiciones decimales.) Parece que los límites existen y
para a 3, f 0 lím
h l 0
3h
1
h
1.10
para a 2, f 0 lím
h l 0
2h
1
h
0.69
FIGURA 5
/DFXUYD y=x$-6x@+4VXV
UHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV
0 x
y
(0, 4)
{œ„
3, _5}
{_œ„
3, _5}
h
0.1 0.7177 1.1612
0.01 0.6956 1.1047
0.001 0.6934 1.0992
0.0001 0.6932 1.0987
3h
1
h
2h
1
h](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-373-320.jpg)
![182 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
.
0
3
.
9
2
31. 32.
z
A
y10
Bey
y ex 1
1
u s
5
t 4st5 v sx
1
s
3
x
2
33-34 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las
siguientes curvas en el punto dado.
33. , 34. ,
y s
4
x 1, 1 y x4
2x2
x 1, 2
35-36 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a
cada una de las siguientes curvas en el punto dado.
35. , 36. ,
y x4
2ex
0, 2 y x2
x4
1, 0
37-38 Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto dado,
a cada una de las siguientes curvas. Ilustre graficando la curva y la
recta tangente, en la misma pantalla.
37. , 38. ,
y 3x2
x3
1, 2 y x sx 1, 0
39-40 Encuentre f(x). Compare las gráficas de f y f y utilícelas
para explicar por qué su respuesta es razonable.
.
0
4
.
9
3 f x x4
2x3
x2
f x x5
2x3
x 1
41. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora
para graficar la función f(x) m x4
3x3
6x2
7x 30
y J(x) m xe
en el rectángulo de vista [3, 5] por [10, 50].
b) Con la misma gráfica del inciso a) estime las pendientes
y elabore un esbozo a mano de la gráfica de f. (Véase el
ejemplo 1 de la sección 2.8.)
c) Calcule f(x) y utilice esta expresión para graficar f con
una calculadora graficadora. Compare con su esbozo del
inciso b).
42. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para
graficar la función J(x) m ex
3x2
en el rectángulo de vista
[1, 4] por [8, 8].
b) Utilizando la gráfica del inciso a) para estimar pendientes,
haga a mano un boceto aproximado de la grafica de J.
(Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.)
c) Calcule J(x) y utilice esta expresión, con un dispositivo
graficador, para dibujar J. Compare con su boceto del
inciso b).
43-44 Encuentre la primera y segunda derivada de cada una de las
siguientes funciones.
43. 44.
f x 10x10
5x5
x G r sr s
3
r
45-46 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de
las siguientes funciones. Verifique para ver si sus respuestas son
razonables, comparando la gráficas de f, f y f .
.
6
4
.
5
4 f x 2x 5x3 4
f x ex
x3
47. La ecuación de movimiento de una partícula es s m t3
3t,
donde s está en metros y t en segundos. Encuentre
a) la velocidad y la aceleración como funciones de t,
b) la aceleración después de 2s y
c) la aceleración cuando la velocidad es cero.
48. La ecuación de movimiento de una partícula es
s m t4
2t3
t2
t, donde s está en metros y t en
segundos.
a) Encuentre la velocidad y la aceleración como funciones
de t.
b) Encuentre la aceleración después de 1s.
c) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración, en
la misma pantalla.
49. La ley de Boyle establece que cuando una muestra de
gas se comprime a temperatura constante, la presión P
del gas es inversamente proporcional al volumen del gas.
a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa
0.106m3
a 25 C es 50kPa. Exprese V como una función
de P.
b) Calcule dVYdP cuando P m 50kPa. ¿Cuál es el significado
de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades?
50. Los neumáticos de automóvil deban ser inflados correctamente
porque un alto inflado o un bajo inflado puede causar desgaste
prematuro. Los datos de la tabla muestran la vida L (en miles
de millas) para un determinado tipo de neumático a diversas
presiones P (en lbYpulg2
).
P 26 28 31 35 38 42 45
L 50 66 78 81 74 70 59
a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para
modelar la vida del neumático con una función cuadrática
de la presión.
b) Utilice el modelo para estimar dLYdP cuando P m 30 y
cuando P m 40. ¿Cuál es el significado de la derivada?
¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuál es el significado de los
signos de las derivadas?
51. Encuentre los puntos sobre la curva y m 2x3
3x2
12x 1
donde la recta tangente es horizontal.
52. ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x) m ex
2x tiene una
recta tangente horizontal?
53. Demuestre que la curva y m 2ex
3x 5x3
no tiene una recta
tangente cuya pendiente es 2.
54. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y xsx
que es paralela a la recta y m 1 3x.
55. Encuentre las ecuaciones de ambas rectas tangentes a la curva
y m 1 x3
y paralela a la recta 12x y m 1.
56. ¿En qué punto sobre la curva y m 1 2ex
3x es la recta
tangente paralela a la recta 3x y m 5? Ilustre graficando la
curva de ambas rectas.
57. Encuentre la ecuación de la recta normal a la parábola
y m x2
5x 4 que es paralela a la recta x 3y m 5.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-377-320.jpg)
![0, f (x) para
0 v x v 100; y L2(x) para x 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente,
usted decide mejorar su diseño utilizando una función cuadrática q(x) m ax2
bx c única-
mente en el intervalo 10 v x v 90 y conectarlo con las funciones lineales por medio de dos
funciones cúbicas:
h x px3
qx2
rx s 90 x 100
t x kx3
lx2
mx n 0 x 10
a) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus
dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.
SAC b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) con un sistema algebraico computarizado para en-
contrar las fórmulas para q(x), J(x) y h(x).
c) Dibuje L1, J, q, h y L2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso c).
©
Flashon
Studio
/
Shutterstock
L™
L¡ P
f
Q
Se requiere calculadora graficadora o computadora
SAC Se requiere un sistema algebraico computarizado](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-380-320.jpg)
![SECCIÓN 3.2 REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 187
EJEMPLO 3 Si , donde y , encuentre f 4 .
t 4 3
t 4 2
f x sx t x
SOLUCIÓN Aplicando la regla del producto, tenemos que
Así que f 4 s4 t 4
t 4
2s4
2 3
2
2 2
6.5
sx t x
t x
2sx
sx t x t x
1
2 x 1 2
f x
d
dx
[sx t x ] sx
d
dx
t x t x
d
dx
[sx ]
Regla del cociente
Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u m f (x) y
v m J(x) en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del producto.
Si x, u y v se incrementan por cantidades $x, $u y $v, entonces el cambio correspondien-
te en el cociente uYv es
por tanto,
d
dx
u
v
lím
x l0
u v
x
lím
x l0
v
u
x
u
v
x
v v v
v u u v
v v v
u
v
u u
v v
u
v
u u v u v v
v v v
Cuando $x l 0, también $v l 0, porque v m J(x) es derivable y, por consiguiente, con-
tinua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene
d
dx
u
v
v lím
x l0
u
x
u lím
x l0
v
x
v lím
x l0
v v
v
du
dx
u
dv
dx
v2
En notación con apóstrofos:
f
t
tf ft
t2
En palabras: en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es
el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador
multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del
denominador.
La regla del cociente y las otras formulas de derivación permiten calcular la derivada
de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Regla del cociente Si f y J son derivables, entonces
d
dx
f x
t x
t x
d
dx
f x f x
d
dx
t x
t x 2](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-383-320.jpg)
![188 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
v EJEMPLO 4 Sea y
x2
x 2
x3
6
. Entonces
x4
2x3
6x2
12x 6
x3
6 2
2x4
x3
12x 6 3x4
3x3
6x2
x3
6 2
x3
6 2x 1 x2
x 2 3x2
x3
6 2
y
x3
6
d
dx
x2
x 2 x2
x 2
d
dx
x3
6
x3
6 2
v EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m ex
Y(1 x2
) en
el punto (1,
1
2e).
SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente
ex
1 x 2
1 x2 2
dy
dx
1 x2
d
dx
ex
ex
d
dx
1 x2
1 x2 2
1 x2
ex
ex
2x
1 x2 2
De modo que la pendiente de la recta tangente en (1,
1
2e) es
dy
dx x 1
0
Esto significa que la recta tangente en (1,
1
2e) es horizontal, y su ecuación es y 1
2e. [Véase
la figura 4. Advierta que la función es creciente y cruza su recta tangente en (1,
1
2e).]
NOTA No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más fácil
reescribir un cociente en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por
ejemplo, aun cuando es posible derivar la función
F x
3x2
2sx
x
aplicando la regla del cociente, es más fácil dividir primero y escribir la función como
F x 3x 2x 1 2
antes de derivar.
A continuación se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el
momento.
1.5
_1.5
_4 4
yª
y
FIGURA 3](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-384-320.jpg)
![SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 195
EJEMPLO 2 Derive f x
sec x
1 tan x
. ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene
una recta tangente horizontal?
SOLUCIÓN Por la regla del cociente se tiene que
sec x tan x 1
1 tan x 2
sec x tan x tan2
x sec2
x
1 tan x 2
1 tan x sec x tan x sec x sec2
x
1 tan x 2
f x
1 tan x
d
dx
sec x sec x
d
dx
1 tan x
1 tan x 2
En la simplificación de la respuesta hemos utilizado la identidad tan2
x 1 m sec2
x.
Ya que sec x nunca es 0, f (x) m 0 cuando tan x m 1, y esto sucede cuando
x m n) )Y4, donde n es un entero (véase la figura 4).
Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del
mundo real. En particular, las vibraciones, ondas, movimientos elásticos y otras cantidades
que varían de manera periódica, pueden describirse por medio de las funciones trigonomé-
tricas. En el ejemplo siguiente se analiza un caso de movimiento armónico simple.
v EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se
desplaza hacia abajo 4cm mas allá de su posición en reposo, para estirar el resorte,
y se deja en libertad en el instante t m 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección
hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es
s f t 4 cos t
Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el
movimiento del objeto.
SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son
a
dv
dt
d
dt
4 sen t 4
d
dt
sen t 4 cos t
v
ds
dt
d
dt
4 cos t 4
d
dt
cos t 4 sen t
El objeto oscila desde el punto más bajo (s m 4cm) hasta el punto más alto (s m 4cm).
El periodo de la oscilación es 2), el periodo de cos t.
La rapidez es U v U m 4 U sen t U, la cual es máxima cuando U sen t U m 1; es decir,
cuando cos t m 0. De modo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa
por su posición de equilibrio (s m 0). Su rapidez es 0 cuando sen t m 0; esto es, en los
puntos alto y bajo.
La aceleración a m 4 cos t m 0 cuando s m 0. Alcanza la magnitud máxima en los
puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6.
3
_3
_3 5
FIGURA 4
/DVUHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV
GHOHMHPSOR
s
0
4
FIGURA 5
FIGURA 6
t](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-395-320.jpg)
![200 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
El único defecto de este razonamiento es que en 1 podría suceder que $u m 0 (aun cuan-
do $x 0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, este razonamiento
sugiere por lo menos que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se
da una demostración completa de la regla de la cadena.
La regla de la cadena puede escribirse con apóstrofos
f t x f t x t x
2
o bien, si y m f(u) y u m J(x), en la notación de Leibniz:
dy
dx
dy
du
du
dx
3
La ecuación 3 es fácil de recordar porque si dyYdu y duYdx fueran cocientes, entonces
podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir
duYdx realmente como un cociente.
EJEMPLO 1 Encuentre F(x) si F x sx2
1.
SOLUCIÓN 1 (Utilizando la ecuación 2): Al principio de esta sección, expresamos F
como F(x) m ( f J)(x) m f (J(x)) donde f u su y J(x) m x2
1. Dado que
y t x 2x
f u
1
2 u 1 2
1
2su
tenemos
1
2sx2
1
2x
x
sx2
1
F x f t x t x
SOLUCIÓN 2 (Utilizando la ecuación 3): Si hacemos u m x2
1 y y su, entonces
1
2sx2
1
2x
x
sx2
1
F x
dy
du
du
dx
1
2su
2x
Al utilizar la fórmula 3, debemos tener presente que dyYdx se refiere a la derivada de y
cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y respecto a x), en tanto
que dyYdu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la deriva-
da de y respecto a u). Por tanto, en el ejemplo 1, y puede considerarse como función de
(y sx2
1)
x y también como una función de (y su )
u . Observe que
mientras que
dy
du
f u
1
2su
dy
dx
F x
x
sx2
1
NOTA En la aplicación de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hacia el inte-
rior. La fórmula 2 expresa que derivamos la función exterior f [en la función interior J(x)]
y, a continuación, multiplicamos por la derivada de la función interior.
función
exterior
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
exterior
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
interior
d
dx
f t x f t x t x](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-401-320.jpg)
![SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 205
así que
y
x
f b 2 t a 1
e e
A medida que $x l 0, la ecuación 8 muestra que $u l 0. De modo que tanto 1 l 0 y
2 l 0 conforme $x l 0. Debido a eso
f b t a f t a t a
dy
dx
lím
x l0
y
x
lím
x l0
f b 2 t a 1
e e
Esto demuestra la regla de la cadena.
3.4 Ejercicios
1-6 Escriba la función compuesta en la forma f(J(x)). [Identifique la
función interior u m J(x) y la exterior y m f(u)]. Luego, encuentre
la derivada dyYdx de cada una de las siguientes funciones.
.
2
.
1
.
4
.
3
5. 6. y s2 ex
y esx
y sen cot x
y tan x
y 2x3
5 4
y s
3
1 4x
7-46 Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones.
.
8
.
7
.
0
1
.
9
.
2
1
.
1
1
.
4
1
.
3
1
.
6
1
.
5
1
17.
18.
19.
20.
.
2
2
.
1
2
.
4
2
.
3
2
.
6
2
.
5
2
.
8
2
.
7
2
29. 30.
.
2
3
.
1
3 y sec2
m
y sen tan 2x
F t et sen 2t
F v
v
v3
1
6
y
eu
e u
eu
e u
y
r
sr2 1
f s
s2
1
s2
4
G y
y 1 4
y2
2y 5
y 5 1 x
y 101 x 2
y s1 2e3x
y
x2
1
x2
1
3
F t 3t 1 4
2t 1 3
h t t 1 2 3
2t2
1 3
t x x2
1 3
x2
2 6
y e 2t
cos 4t
f x 2x 3 4
x2
x 1 5
y xe kx
y a3
cos3
x
y cos a3
x3
f t sen et
esen t
f z
1
z2
1
f x
1
1 sec x 2
F x s1 2x
F x 4x x2 100
F x x4
3x2
2 5
u
.
4
3
.
3
3
.
6
3
.
5
3
37. 38.
.
0
4
.
9
3
.
2
4
.
1
4
.
4
4
.
3
4
.
6
4
.
5
4 y x x sen2
x 3 4
y cosssen tan px
y 23x2
t x 2rarx
n p
y sx sx sx
f t sen2
esen2
t
y sensensen x
f t tan et
etan t
y ek tan sx
y cot2
sen u
y s1 xe 2x
y cos
1 e2x
1 e2x
y x2
e 1 x
y 2sen px
47-50 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las
siguientes funciones:
.
8
4
.
7
4
.
0
5
.
9
4 y ee x
y e x
sen bx
y cos2
x
y cos x2
51-54 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el
punto dado.
51. , 52. ,
53. 54. 0, 0
y sen x sen2
x,
, 0
y sensen x,
2, 3
y s1 x3
0, 1
y 1 2x 10
55. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
y m 2Y(1 ex
) en el punto (0, 1).
b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente,
en la misma pantalla.
56. a) La curva y x s2 x2
se llama curva nariz de bala.
Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el
punto (1, 1).
b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente,
en la misma pantalla.
57. a) Si f x xs2 x2 , encuentre f(x).
b) Verifique que su respuesta al inciso a) es razonable
comparando las gráficas de f y f.
Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-406-320.jpg)
![SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 207
Cephei en el tiempo t, medido en días, se ha modelado
mediante la función
B t 4.0 0.35 sen
2 t
5.4
a) Halle la razón de cambio de la brillantez después de t días.
b) Encuentre, con una aproximación de dos cifras decimales, la
razón de aumento después de un día.
82. En el ejemplo 4 de la sección 1.3, obtuvimos un modelo para la
duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo
día del año
L t 12 2.8 sen
2
365
t 80
Utilice este modelo para comparar cómo aumentan las horas de
luz diurna en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo.
83. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza
de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un
amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante
el producto de una función exponencial y una función seno o
coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto
sobre tal resorte es
s(t) m 2e1.5t
sen 2)t
donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre
la velocidad después que transcurren t segundos y grafique las
funciones de posición y de velocidad para 0 v t v 2.
84. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la
ecuación
p t
1
1 ae k t
donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en
el tiempo t, y a y k son constantes positivas. [En la sección 9.4
veremos que ésta es una ecuación razonable para p(t).]
a) Encuentre límt l @ p(t).
b) Halle la rapidez de esparcimiento del rumor.
c) Grafique p para el caso en que a m 10, k m 0.5, con t
medido en horas. Utilice la gráfica para estimar cuánto
tiempo transcurrirá para que 80% de la población
escuche el rumor.
85. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con
desplazamiento s(t), velocidad v(t) y aceleración a(t).
Demuestre que
a t v t
dv
ds
Explique la diferencia entre los significados de las derivadas
dvYdt y dvYds.
86. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima.
En cualquier tiempo t, el volumen del globo es V(t), y su radio
es r(t).
a) ¿Qué representan las derivadas dVYdr y dVYdt?
b) Exprese dVYdt en términos de drYdt.
87. El flash (unidad de destello) de una cámara funciona mediante
el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación
repentina cuando se activa el obturador. Los datos
siguientes describen la carga que queda en el capacitor
(en microcoulombs, C) en el instante t (en segundos).
t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76
a) Halle, usando una calculadora graficadora o una computadora,
un modelo exponencial para la carga.
b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (en
microamperes, A) que fluye del capacitor hacia el bulbo
de la lámpara de destello. Con el resultado del inciso a),
estime la corriente cuando t m 0.04s. Compare la respuesta
con el resultado del ejemplo 2 de la sección 2.1.
88. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790
hasta 1860.
Año Año Población
Población
1790 12861000
1830
3929000
1800 17063000
1840
5308000
23192000
1850
7240000
1810
31443000
1860
9639000
1820
a) Use una calculadora graficadora o una computadora para
ubicar los datos con una función exponencial. Dibuje los
puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial.
¿Qué tan bien ajustan?
b) Estime las tasas de crecimiento de la población en 1800 y
1850 promediando las pendientes de las rectas secantes.
c) Use el modelo exponencial del inciso a) para estimar las
tasas de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas
estimaciones con las del inciso b).
d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población en
1870. Compare con la población real de 38558000. ¿Puede
explicar la discrepancia?
SAC 89. Los sistemas algebraicos computarizados (SAC) tienen
comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta
quizá no convenga; en consecuencia, pueden ser necesarios
otros comandos para simplificarla.
a) Use un SAC para hallar la derivada del ejemplo 5 y
compárela con la respuesta en ese ejemplo. Después,
use el comando de simplificación y vuelva a comparar.
b) Utilice un SAC para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué
sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre
si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la
respuesta sería la mejor para localizar las rectas tangentes
horizontales?
SAC 90. a) Use un SAC para derivar la función
f x
x4
x 1
x4
x 1
y simplificar el resultado.
b) ¿En dónde tiene la gráfica de f rectas tangentes horizontales?
c) Trace las gráficas de f y f en la misma pantalla. ¿Son
coherentes las gráficas con su respuesta al inciso b)?](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-408-320.jpg)
![208 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
91. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente.
a) La derivada de una función par es una función impar.
b) La derivada de una función impar es una función par.
92. Utilice la regla de la cadena y la regla del producto para
obtener una demostración alternativa de la regla del cociente.
[Sugerencia: escriba f(x)YJ(x) m f(x)FJ(x)G1
.]
93. a) Si n es un entero positivo, demuestre que
d
dx
senn
x cos nx n senn1
x cosn 1x
b) Plantee una fórmula para la derivada de y m cosn
x cos nx
que es similar a la del inciso a).
94. Suponga que y m f(x) es una curva que siempre queda arriba
del eje x y nunca tiene una recta tangente horizontal, donde f
es derivable para toda x. ¿Para qué valor de y la razón de
cambio de y5
respecto a x es 80 veces la razón de cambio
de y respecto a x?
95. Use la regla de la cadena para demostrar que si . se mide en
grados, entonces
d
du
sen u
180
cos u
p
(Esto da un argumento para justificar la convención de que
siempre se use el radián cuando se manejen funciones
trigonométricas en Cálculo: las fórmulas de derivación no
serían tan sencillas si usara el grado como medida.)
96. a) Escriba x sx2
y utilice la regla de la cadena para
demostrar que
d
dx
x
x
x
b) Si f(x) m U sen x U, encuentre f(x) y trace las gráficas de f
y f. ¿En dónde f no es derivable?
c) Si J(x) m sen U x U, halle J(x) y dibuje las gráficas de J y J.
¿En dónde J no es derivable?
97. Si y m f(u) y u m J(x), donde f y J son funciones dos veces
derivables, demuestre que
d2
y
dx2
d2
y
du2
du
dx
2
dy
du
d2
u
dx2
98. Si y m f(u) y u m J(x), donde f y J tienen tercera derivada,
obtenga una fórmula para d3
yYdx3
parecida a la que se
proporciona en el ejercicio 97.
PROYECTO DE APLICACIÓN ¿DÓNDE DEBERÍA UN PILOTO INICIAR EL ATERRIZAJE?
En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión, que satisface
las condiciones siguientes:
i) La altura de crucero es h cuando se inicia el descenso a una distancia](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-409-320.jpg)
![212 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
NOTA 2 Existe una fórmula para obtener las tres raíces de una ecuación cúbica, que
es semejante a la fórmula cuadrática, pero mucho más complicada. Si utilizamos esta
fórmula (o un sistema algebraico computarizado) para resolver la ecuación x3
y3
m 6xy
para y en términos de x, obtenemos tres funciones determinadas por la ecuación:
y
y 1
2 [ f x s 3(s
3 1
2 x3
s1
4 x6
8x3 s
3 1
2 x3
s1
4 x6
8x3 )]
y f x s
3 1
2 x3
s1
4 x6
8x3 s
3 1
2 x3
s1
4 x6
8x3
(Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver
que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo en casos
como éste. Más aún, la derivación implícita funciona con igual facilidad para funcio-
nes como
y5
3x2
y2
5x4
m 12
en las cuales es imposible resolver para y en términos de x.
EJEMPLO 3 Encuentre y si sen(x y) m y2
cos x.
SOLUCIÓN Si derivamos implícitamente respecto a x y consideramos que y es una función
de x, obtenemos
cos x y 1 y y2
sen x cos x 2yy
(Note que en el lado izquierdo hemos aplicado la regla de la cadena y, en el derecho, la
regla de la cadena y la regla del producto). Si agrupamos los términos que contienen
a y, obtenemos
Por lo que y
y2
sen x cos x y
2y cos x cos x y
cos x y y2
sen x 2y cos x y cos x y y
En la figura 6, trazada con el comando de construcción de gráficas en forma
implícita de un sistema algebraico computarizado, se muestra parte de la curva
sen(x y) m y2
cos x. Como comprobación de nuestro cálculo, observe que y m 1,
cuando x m y m 0 y, al parecer de la gráfica, la pendiente es aproximadamente 1 en
el origen.
Las figuras 7, 8 y 9 muestran tres curvas más, producidas por computadora. En los ejerci-
cios 41-42 tendrá usted oportunidad de crear y analizar curvas atípicas de esta naturaleza.
Abel y Galois
En 1824, el matemático noruego Niels Abel
demostró que no puede darse una fórmula
general para la obtención de las raíces de una
ecuación de quinto grado. Tiempo después, el
matemático francés Evariste Galois demostró
que es imposible hallar una fórmula general
para las raíces de una ecuación de n-ésimo
grado (en términos de operaciones algebraicas
sobre los coeficientes), si n es cualquier entero
mayor que 4.
FIGURA 8
sen
FIGURA 7](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-417-320.jpg)
![SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 213
En el siguiente ejemplo se muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función
que está definida implícitamente.
EJEMPLO 4 Hallar y si x4
y4
m 16.
SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implícita respecto a x, obtenemos
4x3
4y3
y 0
Resolviendo para y
3 y
x3
y3
Para hallar y derivamos esta expresión para y aplicando la regla del cociente, considerando
que y es una función de x:
y3
3x2
x3
3y2
y
y6
y
d
dx
x3
y3
y3
d dx x3
x3
d dx y3
y3 2
Si ahora sustituimos la ecuación 3 en esta expresión, obtenemos
3 x2
y4
x6
y7
3x2
y4
x4
y7
y
3x2
y3
3x3
y2
x3
y3
y6
Pero los valores de x y y deben satisfacer la ecuación original x4
y4
m 16, por lo que
la respuesta se simplifica a
y
3x2
16
y7
48
x2
y7
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5
analizamos su continuidad, y en la sección 2.6, sus asíntotas. Aquí usamos la derivación
implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, suponiendo
que estas funciones son derivables. [En efecto, si f es una función uno a uno derivable,
puede demostrarse que su función inversa f también es derivable, excepto donde sus rectas
tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no
tiene vértices ni bucles y, por esta razón, si la reflejamos respecto a y m x, la gráfica de su
función inversa tampoco tiene vértices ni bucles.]
Recuerde la definición de la función arco seno:
y sen 1
x significa sen y x y
2
y
2
Al derivar implícitamente sen y m x respecto a x, obtenemos
cos y
dy
dx
1 o bien
dy
dx
1
cos y
FIGURA 10
x
2
y
2
0
x$+y$=16
La figura 10 muestra la gráfica de la curva
x4
y4
m 16 del ejemplo 4. Observe que
es una versión extendida y achatada de la
circunferencia x2
y2
m 4, por esta razón
algunas veces se le llama circunferencia gruesa.
Empieza muy escarpada a la izquierda, pero
rápidamente se hace muy plana. Esto puede
verse en la expresión
y
x3
y3
x
y
3](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-422-320.jpg)
![218 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
En esta sección utilizaremos la derivación implícita para hallar las derivadas de las funcio-
nes logarítmicas y m loga x y, en particular, de la función logaritmo natural y m ln x. [A
partir de sus gráficas, es posible probar que las funciones logarítmicas son derivables
(véase la figura 12 de la sección 1.6).]
d
dx
loga x
1
x ln a
1
DEMOSTRACIÓN Sea y m loga x. Entonces
ay
m x
Si mediante la fórmula (3.4.5) derivamos esta ecuación de manera implícita respecto a x,
obtenemos
ay
ln a
dy
dx
1
y, por consiguiente,
dy
dx
1
ay
ln a
1
x ln a
Si en la fórmula 1 ponemos a m e, entonces el factor ln a en el lado derecho se convier-
te en ln e m 1 y se obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural
loge x m ln x:
d
dx
ln x
1
x
2
Si se comparan las fórmulas 1 y 2, se evidencia una de las razones principales por la
que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el Cálculo. La fórmula de
derivación es más sencilla cuando a m e, porque ln e m 1.
v EJEMPLO 1 Derive y m ln(x3
1).
SOLUCIÓN Para utilizar la regla de la cadena, hacemos u m x3
1. Entonces y m ln u,
de modo que
1
x3
1
3x2
3x2
x3
1
dy
dx
dy
du
du
dx
1
u
du
dx
En general, si combinamos la fórmula 2 con la regla de la cadena como en el ejem-
plo 1, obtenemos
o bien
d
dx
ln t x
t x
t x
d
dx
ln u
1
u
du
dx
3
3.6 Derivadas de funciones logarítmicas
La fórmula 3.4.5 establece que
d
dx
ax
ax
ln a](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-431-320.jpg)
![SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 219
EJEMPLO 2 Encuentre
d
dx
lnsen x.
SOLUCIÓN Utilizando 3 , se tiene que
d
dx
lnsen x
1
sen x
d
dx
sen x
1
sen x
cos x cot x
EJEMPLO 3 Derive f x sln x.
SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, de modo que la regla de la
cadena da
f x
1
2 ln x 1 2
d
dx
ln x
1
2sln x
1
x
1
2xsln x
EJEMPLO 4 Derive f(x) m log10(2 sen x).
SOLUCIÓN Si usamos la fórmula 1 con a m 10, obtenemos
cos x
2 sen x ln 10
1
2 sen x ln 10
d
dx
2 sen x
f x
d
dx
log102 sen x
EJEMPLO 5 Encuentre
d
dx
ln
x 1
sx 2
.
SOLUCIÓN 1
x 5
2 x 1 x 2
x 2 1
2 x 1
x 1 x 2
sx 2
x 1
sx 2 1 x 1 (1
2 ) x 2 1 2
x 2
d
dx
ln
x 1
sx 2
1
x 1
sx 2
d
dx
x 1
sx 2
SOLUCIÓN 2 Si primero simplificamos la función dada aplicando las leyes de los logarit-
mos, entonces la derivación se vuelve más fácil:
1
x 1
1
2
1
x 2
d
dx
ln
x 1
sx 2
d
dx
[ln x 1
1
2 ln x 2 ]
(Esta respuesta puede dejarse como está, pero si usara un denominador común, vería que
da la misma respuesta en la solución 1).
x
0
y
1
f
fª
FIGURA 1
En la figura 1 se muestra la gráfica de la
función f del ejemplo 5, junto con la gráfica de
su derivada. Proporciona una comprobación
visual de nuestro cálculo. Note que f(x) es
grande negativa cuando f está decreciendo
con rapidez.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-432-320.jpg)
![232 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
El límite de esta cantidad conforme $x l 0, es decir, la razón de cambio instantánea del
costo los economistas le llaman costo marginal respecto al número de artículos producidos:
costo marginal lím
x l0
C
x
dC
dx
[Dado que x suele tomar solo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que $x tienda
a 0, pero siempre podrá remplazar C(x) con una función suave de aproximación uniforme,
como en el ejemplo 6.]
Si tomamos $x m 1 y n grande (de modo que $x sea pequeño en comparación con n),
tenemos que
C(n) y C(n 1) C(n)
Así, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de
elaborar una unidad más [la (n 1)-ésima unidad].
A menudo resulta apropiado representar con un polinomio una función de costo total
C(x) m a bx cx2
dx3
donde a representa el costo de los gastos generales (alquiler, calefacción, mantenimiento)
y los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y
demás. (El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de
la mano de obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los
costos del tiempo extra y a las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a
gran escala.)
Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de
producir x artículos es
C(x) m 10000 5x 0.01x2
Entonces, la función de costo marginal es
C(x) m 5 0.02x
El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es
C(500) m 5 0.02(500) m $15Yartículo
Esto da la cantidad a la cual se incrementan los costos respecto al nivel de producción
cuando x m 500 y predice el costo del artículo 501.
El costo real de producir el artículo 501 es
$15.01
10000 5 500 0.01 500 2
C 501 C 500 10000 5 501 0.01 501 2
Note que C(500) y C(501) C(500).
Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que
son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Éstas se consideran en
el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para hallar los valores máximos y míni-
mos de funciones.
Otras ciencias
Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en cono-
cer la razón a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del
calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual el](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-456-320.jpg)
![234 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
7. La altura (en metros) de un proyectil disparado verticalmente
hacia arriba, desde un punto 2m por encima del nivel del suelo
con una velocidad inicial de 24.5mYs es h m 2 24.5t 4.9t2
después de t segundos.
a) Encuentre la velocidad después de 2 segundos y después
de 4 segundos.
b) ¿Cuándo alcanza el proyectil su altura máxima?
c) ¿Cuál es su altura máxima?
d) ¿En qué momento cae al suelo?
e) ¿Con qué velocidad cae al suelo?
8. Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 80 piesYs, entonces su altura después de t segundos
es s m 80t 16t2
.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el balón?
b) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando está 96 pies por
encima del suelo en su camino ascendente? ¿En su camino
en descenso?
9. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba desde la
superficie de Marte, con una velocidad de 15mYs, su altura
después de t segundos es h m 15t 1.86t2
.
a) ¿Cuál es la velocidad de la roca después de que transcurren 2s?
b) ¿Cual es la velocidad de la roca una vez que ha alcanzado
25m durante el ascenso? ¿Y en su descenso?
10. Una partícula se mueve de acuerdo con la función posición
S m t4
4t3
20t2
20t t w 0
a) ¿En qué momento la partícula tiene una velocidad de 20mYs?
b) ¿En qué momento su aceleración es 0? ¿Cuál es el
significado de este valor de t?
11. a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de
placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud
del lado de esas placas muy próxima a 15mm y, asimismo,
saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando varía la
longitud x del lado. Encuentre A(15) y explique su
significado en esta situación.
b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los
cuadrados respecto a la longitud de su lado es la mitad de
su perímetro. Trate de explicar geométricamente por qué
esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x del
lado se incrementa en una cantidad $x. ¿Cómo puede
obtener una aproximación del cambio resultante en el área,
$A, si $x es pequeño?
12. a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma
de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se
evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos
cubos, con longitud x por lado, calcule dVYdx cuando
x m 3 mm y explique su significado.
b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo
respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del
área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por
qué este resultado es cierto; básese en el ejercicio 11b)
para establecer una analogía.
13. a) Encuentre la razón de cambio promedio del área de un
círculo respecto a su radio r cuando éste cambia de
i) 2 a 3 ii) 2 a 2.5 iii) 2 a 2.1
b) Encuentre la razón de cambio instantánea cuando r m 2.
c) Demuestre que la razón de cambio del área de un círculo
respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la
circunferencia del círculo. Intente explicar
geométricamente por qué esto es cierto dibujando un
círculo cuyo radio se incrementa en una cantidad $r.
¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio
resultante en el área $A si $r es pequeño?
14. Se deja caer una piedra en un lago, lo que crea una onda circular
que viaja hacia afuera con una rapidez de 60cmYs. Encuentre la
razón a la cual aumenta el área dentro del círculo después de
a) 1s, b) 3s y c) 5s. ¿Qué puede concluir?
15. Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de
aumento del área superficial (S m 4)r2
) respecto al radio r,
cuando éste es de a) 1 pie, b) 2 pies y c) 3 pies. ¿A qué
conclusiones llega?
16. a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es
V
4
3 r3
, donde el radio r se mide en micrómetros
(1 m m 106
m). Encuentre la razón de cambio promedio
de V respecto a r, cuando éste cambia de
i) 5 a 8m ii) 5 a 6m iii) 5 a 5.1m
b) Halle la razón de cambio instantánea de V respecto a r,
cuando r m 5m.
c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una
esfera respecto a su radio es igual a su área superficial.
Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente
por analogía con el ejercicio 13c).
17. La masa de parte de una varilla metálica que se encuentra entre
su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x2
kg.
Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2) cuando x es
a) 1m, b) 2m y c) 3m. ¿En dónde es más alta la densidad
y dónde es más baja?
18. Si un tanque contiene 5000 galones de agua, la cual se
drena desde el fondo del tanque en 40min, entonces la ley
de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el
tanque después de t minutos como
V 5000(1
1
40 t)2
0 t 40
Encuentre la rapidez de drenado de agua después de a) 5min,
b) 10min, c) 20min y d) 40min. ¿En qué momento fluye el
agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma
sus hallazgos.
19. La cantidad de carga, Q, en coulombs c) que ha pasado por un
punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos)
se expresa con Q(t) m t3
2t2
6t 2. Encuentre la corriente
cuando a) t m 0.5s y b) t m 1s. [Véase el ejemplo 3. La unidad
de corriente es el ampere (1A m 1CYs).] ¿En qué momento la
corriente es la más baja?
20. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F
de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de
masa M es
F
GmM
r2
donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre
los cuerpos.
a) Encuentre dFYdr y explique su significado. ¿Qué indica el
signo menos?
b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con
una fuerza que disminuye a razón de 2NYkm, cuando
r m 20000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza
cuando r m 10000 km?](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-458-320.jpg)
![SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 235
21. La fuerza F que actúa sobre un cuerpo con masa m y velocidad
v es igual a la razón de cambio del momentum o cantidad
de movimiento: F m (dYdt)(mv). Si m es constante, esto se
convierte en F m ma, donde a m dvYdt es la aceleración. Pero
en la teoría de la relatividad, la masa de una partícula varía con
v como sigue: m m0 s1 v2 c2 , donde m0 es la masa de la
partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. Demuestre que
F
m0a
1 v2
c2 3 2
22. Algunas de las mareas más altas en el mundo se producen en
la Bahía de Fundy en la costa atlántica de Canadá. En el cabo
de Hopewell, la profundidad del agua durante la marea baja es
aproximadamente dos metros y durante la marea alta es cerca
de doce metros. El periodo natural de oscilación es un poco
más de doce horas, y el 30 de junio de 2009, la marea alta se
produjo a las 6:45. Esto ayuda a explicar el siguiente modelo
para la profundidad del agua D (en metros) en función del
tiempo t (en horas después de la medianoche) ese día:
D(t) m 7 m cos[0.503(t 6.75)]
¿Con qué rapidez fue subiendo la marea (o cayendo) en los
siguientes momentos?
a) 15:00 b) 6:00
c) 9:00 d) mediodía
23. La ley de Boyle establece que, cuando se comprime una
muestra de gas a una temperatura constante, el producto de
la presión y el volumen se mantiene constante: PV m C.
a) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la
presión.
b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y
se le comprime paulatinamente a temperatura constante
durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor
rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique.
c) Demuestre que la compresibilidad isotérmica (véase el
ejemplo 5) se expresa mediante m 1YP.
24. Si en el ejemplo 4 una molécula del producto C está formada
por una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo B
y la concentración inicial de A y B tienen un valor común
FAG m FBG m a molesYL, entonces
FCG m a2
ktY(akt 1)
donde k es una constante.
a) Encuentre la rapidez de reacción en el tiempo t.
b) Demuestre que si x m FCG, entonces
dx
dt
k a x 2
c) ¿Qué pasa con la concentración conforme t l @?
d) ¿Qué sucede con la velocidad de reacción conforme t l @?
e) ¿Qué significan los resultados de los incisos c) y d) en
términos prácticos?
25. En el ejemplo 6 consideramos una población de bacterias
que se duplica cada hora. Supongamos que otra población de
bacterias se triplica cada hora y comienza con 400 bacterias.
Encuentre una expresión para el número n de bacterias después
de t horas y utilícela para estimar la tasa de crecimiento de la
población de bacterias después de 2.5 horas.
26. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio
aumenta rápidamente al principio, pero finalmente se nivela. La
población es modelada por la función
n f t
a
1 be 0.7t
donde t es medido en horas. En el tiempo t m 0 la población es
de 20 celdas y está aumentando a un ritmo de 12 célulasYhora.
Encuentre los valores de a y b. De acuerdo con este modelo,
¿qué sucede con la población de levadura a largo plazo?
27. La tabla da la población del mundo en el siglo xx.
Población
(en millones)
Población
(en millones)
Año Año
1900 1650 1960 3040
1910 1750 1970 3710
1920 1860 1980 4450
1930 2070 1990 5280
1940 2300 2000 6080
1950 2560
a) Estime la tasa de crecimiento poblacional en 1920 y en
1980 mediante el promedio de las pendientes de dos rectas
secantes.
b) Utilice una calculadora graficadora o computadora para
encontrar una función cúbica (una polinomial de tercer
grado) que modele los datos.
c) Utilice el modelo del inciso b) para encontrar un modelo
para la tasa de crecimiento de la población en el siglo xx.
d) Utilice el inciso c) para estimar las tasas de crecimiento en
1920 y 1980. Compare con sus estimaciones del inciso a).
e) Estime la tasa de crecimiento en 1985.
28. La tabla muestra cómo varía la edad promedio del primer
matrimonio de la mujer japonesa en la última mitad del siglo xx.
t t
1950 23.0 1980 25.2
1955 23.8 1985 25.5
1960 24.4 1990 25.9
1965 24.5 1995 26.3
1970 24.2 2000 27.0
1975 24.7
A t
A t
a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para
modelar estos datos con una función polinomial de cuarto
grado.
b) Utilice el inciso a) para encontrar un modelo para A(t).
c) Estime la tasa de cambio de la edad de matrimonio de la
mujer en 1990.
d) Grafique los puntos de datos y los modelos para A y A.
29. Considere la ley de flujo laminar del ejemplo 7. Considere
también un vaso sanguíneo con radio 0.01cm, longitud 3cm,
diferencia de presión de 3000 DinasYcm2
y una viscosidad de
! m 0.027.
a) Encuentre la velocidad de la sangre a lo largo de la línea
central r m 0, en un radio r m 0.005cm y en la pared
r m R m 0.01cm.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-459-320.jpg)
![236 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
b) Encuentre el gradiente de velocidad en r m 0, r m 0.005 y
r m 0.01.
c) ¿Donde es más mayor la velocidad? ¿Dónde está el mayor
cambio de velocidad?
30. La frecuencia de vibración de una cuerda de violín está dada
por
f
1
2L
T
donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y + es su
densidad lineal. [Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical
Acoustic, 3a. ed. (Pacific Grove, California, 2002).]
a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia respecto a
i) la longitud (cuando T y + son constantes),
ii) la tensión (cuando L y + son constantes) y
iii) la densidad lineal (cuando L y T son constantes).
b) El tono de una nota (qué tan altas o bajas son las notas)
está determinado por la frecuencia f. (Cuanto mayor sea la
frecuencia, mayor será el tono.) Utilice los signos de los
derivadas en el inciso a) para determinar lo que sucede con
el tono de una nota
i) cuando se reduce la longitud efectiva colocando un
dedo sobre la cuerda, haciendo que vibre sólo
una porción menor que la cuerda,
ii) cuando se incrementa la tensión girando la llave de
ajuste,
iii) cuando aumenta la densidad lineal por cambiar la
cuerda.
31. El costo en dólares de producir x yardas de un determinado
tejido es
C(x) m 1200 12x 0.1x2
0.0005x3
a) Encuentre la función de costo marginal.
b) Obtenga C(200) y explique su significado. ¿Qué predice?
c) Compare C(200) con el costo de fabricar la yarda 201
de tela.
32. La función de costo de producción de una mercancía es
C(x) m 339 25x 0.09x2
0.0004x3
a) Obtenga e interprete C(100).
b) Compare C(100) con el costo de producir el artículo 101.
33. Si p(x) es el valor total de la producción cuando hay x trabaja-
dores en una planta, entonces la productividad promedio de la
fuerza de trabajo en la planta es
A x
p x
x
a) Obtenga A(x). ¿Por qué quiere la empresa contratar
a más trabajadores si A(x) 0?
b) Demuestre que A(x) 0 si p(x) es mayor que la
productividad promedio.
34. Si R denota la reacción del cuerpo a cierto estímulo de esfuerzo
x, la sensibilidad S se define como la rapidez de cambio de la
reacción respecto a x. Un ejemplo concreto es que cuando el
brillo x de una fuente de luz aumenta, el ojo reacciona
disminuyendo la zona R de la pupila. La fórmula experimental
R
40 24x0.4
1 4x0.4
ha sido utilizada para modelar la dependencia de R sobre x
cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en
unidades apropiadas de brillo.
a) Encuentre la sensibilidad.
b) Ilustre el inciso a) graficando R y S como funciones de x.
Haga comentarios relacionados con los valores de R y S en
bajos niveles de brillo. ¿Esto es lo que esperaría?
35. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta
T (en kelvin), la presión P (en atmósferas) y el volumen V
(en litros) es PV m nRT, donde n es el número de moles del
gas y R m 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en
cierto instante, P m 8.0atm y está aumentando a razón de
0.10 atmYmin y V m 10 L y está disminuyendo
a razón de 0.15LYmin. Encuentre la razón de cambio
de T respecto al tiempo en ese instante si n m 10 mol.
36. En una granja piscícola se introduce una población de peces en
un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la
razón de cambio de la población se expresa con la ecuación
dP
dt
r0 1
P t
Pc
P t P t
donde r0 es la tasa de nacimientos de peces, Pc es la población
máxima que el estanque puede contener (llamada capacidad
de contención) y es el porcentaje de la población que se
cosecha.
a) ¿Cuál valor de dPYdt correspondiente a una población
estable?
b) Si el estanque puede sostener 10000 peces, la tasa de
nacimiento es del 5% y la cantidad de cosecha es de 4%,
encuentre el nivel estable de la población.
c) Si se eleva hasta 5%, ¿qué sucede?
37. En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los
modelos depredador-presa para estudiar la interacción entre las
especies. Considere una población de lobos de la tundra, dada
por W(t), y de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá.
La interacción se ha modelado mediante las ecuaciones
dW
dt
cW dCW
dC
dt
aC y
bCW
a) ¿Cuáles valores de dCYdt y dWYdt corresponden a
poblaciones estables?
b) ¿Cómo se representaría matemáticamente la afirmación
“Los caribúes van hacia la extinción”?
c) Suponga que a m 0.05, b m 0.001, c m 0.05 y d m 0.0001.
Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W) que
conducen a poblaciones estables. De acuerdo con este
modelo, ¿es posible que las especies vivan en armonía
o una de ellas, o ambas, se extinguirán?](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-460-320.jpg)
![SECCIÓN 3.9 RAZONES RELACIONADAS 249
2cm2
Ymin. ¿Con qué rapidez cambia la base del triángulo
cuando la altura es de 10cm y el área es de 100cm2
?
20. Un bote se jala hacia un muelle mediante una soga unida a la
proa y que pasa por una polea que se encuentra instalada en el
muelle a 1m más arriba que la proa del bote. Si la soga se jala
a una rapidez de 1mYs, ¿qué tan rápido se aproxima el bote al
muelle cuando éste se encuentra a 8m de éste?
21. A mediodía, el barco A está a 100km al oeste del barco B. El
barco A se dirige hacia el sur a 35kmYh, y el barco B va hacia
el norte a 25kmYh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre
los barcos a las 16:00?
22. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva y m 2
sen()xY2). Cuando la partícula pasa por el punto (1
3, 1), su
coordenada x se incrementa a razón de s10 cm s. ¿Qué tan
rápido cambia la distancia desde la partícula al origen en este
instante?
23. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a razón
de 10000cm3
Ymin al mismo tiempo que se bombea agua
al depósito a razón constante. El depósito mide 6m de altura, y
el diámetro en la parte superior es de 4m. Si el nivel del agua
se eleva a razón de 20cmYmin cuando la altura del agua es de
2m, calcule la razón a la cual el agua está siendo bombeada
hacia el tanque.
24. Se tiene un canal de 10 pies de largo con extremos en forma
de triángulos isósceles con 3 pies de ancho en la parte superior
y con una altura de 1 pie. Si el canal se está llenando de agua
a razón de 12pies3
Ymin, ¿qué tan rápido está aumentando el
nivel del agua cuando ésta se encuentra a 6 pulgadas de
profundidad?
25. Un canal de agua tiene 10 m de longitud y una sección
transversal en forma de un trapecio isósceles con 30 cm
de ancho en la parte inferior, 80 cm de ancho en la parte
superior, y una altura de 50 cm. Si el canal se llena con
agua a razón de 0.2 m3
Ymin, ¿qué tan rápido está aumentando
el nivel del agua cuando ésta se encuentra a 30 cm de
profundidad?
26. Una piscina mide 20 pies de ancho, 40 pies de largo, 3 pies
de profundidad en el extremo de poco fondo y 9 pies de
profundidad en la parte más honda. En la figura se muestra
una sección transversal de la piscina. Si ésta se está llenando a
razón de 0.8 pies3
Ymin, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua
cuando tiene 5 pies en el punto más hondo?
3
6
12 6
16
6
27. Se descarga grava por medio de una banda transportadora a
razón de 30 pies3
Ymin, y el grosor de granos es tal que forma
una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura son siempre
iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila
cuando ésta mide 10 pies de alto?
28. Un papalote que está a 100 pies por arriba de la superficie de la
tierra se desplaza en forma horizontal a una rapidez de
8 piesYs. ¿Con qué rapidez disminuye el ángulo entre la cuerda
y la horizontal cuando se han soltado 200 pies de cuerda?
29. Dos lados de un triángulo miden 4m y 5m, y el ángulo entre
ellos se incrementa a razón de 0.06radYs. Calcule la razón a la
cual el área del triángulo se incrementa cuando el ángulo entre
los lados de longitud constante es )Y3.
30. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo entre el muro y la escalera
en el ejemplo 2, cuando la parte inferior de la escalera está a
6 pies del muro?
31. La parte superior de una escalera se desliza por una pared a
una rapidez vertical de 0.15mYs. En el momento en que la
parte inferior de la escalera está a 3m de la pared, se desliza
alejándose de ésta con una rapidez de 0.2mYs. ¿Cuál es la
longitud de la escalera?
32. Un grifo está llenando un recipiente hemisférico de 60cm de
diámetro, con agua a razón de 2LYmin. Encuentre la rapidez
a la que está aumentando el agua en el recipiente cuando está
medio lleno. [Utilice los siguientes hechos: 1L m 1000cm3
.
El volumen de la parte de una esfera con radio r desde la
parte inferior a una altura h es V (rh2 1
3 h3
), como lo
demostraremos en el capítulo 6].
33. La ley de Boyle establece que, cuando una muestra de gas se
comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V
satisfacen la ecuación PV m C, donde C es una constante.
Suponga que en un cierto instante el volumen es de 600cm3
, la
presión es de 150kPa y que la presión se incrementa a razón
de 20kPaYmin ¿Con qué rapidez disminuye el volumen en ese
instante?
34. Cuando el aire se expande en forma adiabática, (no gana
ni pierde calor), su presión P y su volumen V se relacionan
mediante la ecuación PV1.4
m C, donde C es una constante.
Suponga que en un cierto instante el volumen es 400cm3
y que la presión es 80kPa y está disminuyendo a razón de
10kPaYmin. ¿Con qué rapidez se incrementa el volumen en
este instante?
35. Si se conectan dos resistencias R1 y R2 en paralelo, como se
muestra en la figura, entonces la resistencia total R, medida en
ohms (6) está dada por
1
R
1
R1
1
R2
Si R1 y R2 se incrementan a razón de 0.36Ys y 0.26Ys,](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-474-320.jpg)
![3.9.
Aplicaciones en la física
Las aproximaciones lineales se usan con frecuencia en la física. Al analizar las consecuen-
cias de una ecuación, a veces un físico necesita simplificar una función sustituyéndola con
una aproximación lineal. Por ejemplo, al derivar una fórmula para el periodo de un péndu-
lo, los libros de texto de física obtienen la expresión aT m J sen . para la aceleración
tangencial, y luego sustituyen sen . por . haciendo la observación de que sen . está muy
cerca de . si éste no es demasiado grande. [Véase, por ejemplo, Physics: Calculus, 2a.
edición, por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: BrooksYCole, 2000), p. 431.] Podemos
comprobar que la linealización de la función f(x) m sen x en a m 0 es L(x) m x, de mane-
ra que la aproximación lineal en 0 es
sen x y x
(véase el ejercicio 42). Así que, en efecto, la derivación de la fórmula para el periodo de
un péndulo utiliza la aproximación a la recta tangente para la función seno.
Otro ejemplo se presenta en la teoría de la óptica, donde los rayos de luz que llegan con
ángulos bajos en relación con el eje óptico se llaman rayos paraxiales. En la óptica
paraxial (o gaussiana) tanto sen . como cos . se sustituyen con sus linealizaciones. En
otras palabras, las aproximaciones lineales
sen . y . y cos . y 1
4.3
_1
_4 10
y= x+3-0.5
œ„„„„
Q
P
L(x)
FIGURA 3
y= x+3+0.5
œ„„„„
3
1
_2
y= x+3-0.1
œ„„„„
Q
P
5
y= x+3+0.1
œ„„„„
FIGURA 4](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-481-320.jpg)
![SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES 253
se utilizan porque . está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con
estas aproximaciones se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para
diseñar lentes. [Véase Optics, 4a. edición, por Eugene Hecht (San Francisco: Addison
Wesley, 2002), p. 154.]
En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de aproximación lineal a la
física.
Diferenciales
Las ideas detrás de las aproximaciones lineales se formulan en ocasiones en la terminolo-
gía y la notación de diferenciales. Si y m f(x), donde f es una función derivable, entonces
la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La
diferencial dy es entonces definida en términos de dx mediante la ecuación
3 dy m f(x)dx
Así que dy es una variable dependiente: depende de los valores de x y dx. Si a dx se le da
un valor específico, y x se considera como algún número específico en el dominio de f,
entonces se determina el valor numérico de dy.
En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean P(x, f(x))
y Q(x $x, f(x $x)) puntos sobre la gráfica de f, y sea dx m $x. El cambio correspon-
diente en y es
$y m f(x $x) f(x)
La pendiente de la recta tangente PR es la derivada f(x). Por consiguiente, la distancia
dirigida de S a R es f(x)dx m dy. Por tanto, dy representa la cantidad que la recta tangen-
te se levanta o cae (el cambio en la linealización), mientras que $y representa la cantidad
que la curva y m f(x) se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx.
EJEMPLO 3 Compare los valores de $y y dy si y m f(x) m x3
x2
2x 1 y x
cambia a) de 2 a 2.05 y b) de 2 a 2.01.
SOLUCIÓN
a) Tenemos que
y f 2.05 f 2 0.717625
f 2.05 2.05
3
2.05
2
2 2.05 1 9.717625
f 2 23
22
2 2 1 9
En general, dy m f(x) dx m (3x2
2x 2) dx
Cuando x m 2 y dx m $x m 0.05, esto se transforma en
b)
y f 2.01 f 2 0.140701
f 2.01 2.01 3
2.01 2
2 2.01 1 9.140701
dy 3 2 2
2 2 2 0.05 0.7
Cuando dx m $x m 0.01,
dy m [3(2)2
2(2) 2] 0.01 m 0.14
Si dx o0, podemos dividir ambos lados de la
ecuación 3 entre dx para obtener
dy
dx
f x
Antes hemos visto ecuaciones similares, pero
ahora el lado izquierdo puede interpretarse en
forma genuina como una razón de diferenciales.
La figura 6 muestra la función del ejemplo 3 y
una comparación de dy y $y cuando a m 2. El
rectángulo de vista es F1.8, 2.5G por F6, 18G.
R
0 x
y
Îy
x
P
Q
dx=Îx
x+Îx
y=ƒ
S
dy
FIGURA 5
FIGURA 6](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-482-320.jpg)
![256 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
39. Si una corriente I pasa a través de un resistor con resistencia R,
la ley de Ohm establece que la caída de voltaje es V m RI. Si V
es constante y R se mide con un cierto error, utilice diferenciales
para demostrar que el cálculo de I es aproximadamente el
mismo (en magnitud) que el error relativo en R.
40. Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F (el
volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por un
punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio R de
ese vaso:
F m kR4
(Ésta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4 se
muestra el porqué es verdadera.) Una arteria parcialmente
obstruida puede expandirse por medio de una operación
llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un
globo en la punta se infla dentro del vaso a fin de ensancharlo
y restituir el flujo sanguíneo normal.
Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cuatro
veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento de
5% en el radio al flujo de sangre?
41. Establezca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales
(donde c es una constante y u y v son funciones de x).
)
b
)
a
)
d
)
c
)
f
)
e d xn
nxn 1
dx
d
u
v
v du u dv
v2
d uv u dv v du
d u v du dv
d cu c du
dc 0
42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. edición, por Eugene
Hecht (Pacific Grove, CA: BrooksYCole, 2000), al derivar
la fórmula T 2 sL t para el periodo de un péndulo de
longitud L, el autor obtiene la ecuación aT m J sen . para
la aceleración tangencial del breve movimiento del péndulo.
Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de . en radianes
está muy cerca del valor de sen .; difieren menos que 2% hasta
alrededor de 20”.
a) Compruebe la aproximación lineal en . para la función
seno:
sen x y x
b) Utilice un dispositivo graficador para determinar los valores
de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%.
Enseguida compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo
de radianes a grados.
43. Suponga que la única información acerca de una función f es
que f(1) m 5 y la gráfica de su derivada es como se muestra.
a) Use una aproximación lineal para estimar f(0.9) y f(1.1).
b) ¿Sus estimaciones para el inciso a) son demasiado grandes
o demasiado pequeñas? Explique.
y
x
0 1
y=fª(x)
1
44. Suponga que no tiene una fórmula para J(x), pero sabe que
J(2) m 4 y t x sx2 5 para toda x.
a) Use una aproximación lineal para estimar J(1.95) y J(2.05).
b) ¿Sus estimaciones para el inciso a) son demasiado grandes o
demasiado pequeñas? Explique.
PROYECTO DE LABORATORIO POLINOMIOS DE TAYLOR
La aproximación por medio de una recta tangente de L(x) es la mejor aproximación de primer grado
(lineal) a f(x) cerca de x m a porque f(x) y L(x) tienen la misma razón de cambio (derivada) en x m a.
Para tener una mejor aproximación que una lineal, intentemos una aproximación de segundo grado
(cuadrática) P(x). En otras palabras, aproximemos una curva mediante una parábola, en lugar de
utilizar una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, establecemos lo siguiente:
i) P(a) m f(a) (P y f deben tener el mismo valor en x m a.)
ii) P(a) m f(a) (P y f deben tener la misma razón de cambio en x m a.)
iii) P(a) m f (a) (Las pendientes de P y f deben tener la misma razón de cambio en
x m a.)
1. Encuentre la aproximación cuadrática P(x) m A Bx Cx 2
para la función f (x) m cos x,
que satisfaga las condiciones i), ii) y iii), con a m 0. Grafique P, f y la aproximación
lineal L(x) m 1 en una pantalla común. Comente qué tan bien las funciones P y L se
aproximan a f.
2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática f(x) y P(x) del
problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: grafique y m P(x),
y m cos x 0.1 y y m cos x 0.1 en una pantalla común.]
Se requiere calculadora graficadora o computadora](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-485-320.jpg)
![264 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
53. Un cable con densidad lineal + m 2kgYm se sujeta desde la
parte alta de dos postes que están separados 200m.
a) Utilice el ejercicio 52 para calcular la tensión T que hay en
el cable cuando está en su punto más bajo a 60m del suelo
¿Qué tan alto son los postes?
b) Si se duplica la tensión, ¿cuál es el nuevo punto bajo del
cable? ¿Qué tan altos son ahora los polos?
54. Evalúe lím
x l
senh x
ex
.
55. a) Demuestre que cualquier función de la forma
y m A senh mx B cosh mx
satisface la ecuación diferencial y m m2
y.
b) Determine y m y(x) tal que y m 9y, y(0) m 4 y y(0) m 6.
56. Si x m ln(sec . tan .), demuestre que sec . m cosh x.
57. ¿En qué punto de la curva y m cosh x la tangente tiene
pendiente 1?
58. Investigue la familia de funciones
fn (x) m tanh(n sen x)
donde n es un entero positivo. Describa qué pasa con la gráfica
de fn cuando n es muy grande.
59. Demuestre que si a o 0 y b o 0, entonces existen números
y tales que ae x
bex
es igual a senh(x ) o a
cosh(x ). En otras palabras, casi toda función de la
forma f(x) m aex
bex
es una función seno hiperbólico o
coseno hiperbólico desplazada o estirada.
3 Repaso
Verificación de conceptos
1. Exprese cada una de las siguientes reglas de derivación, tanto
en símbolos como en palabras.
a) Regla de la potencia b) Regla del múltiplo constante
c) Regla de la suma d) Regla de la diferencia
e) Regla del producto f) Regla del cociente
g) Regla de la cadena
2. Obtenga las derivadas de cada una de las siguientes funciones.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
p) q) r)
s) t) y tanh 1
x
y cosh 1
x
y senh1
x
y tanh x
y cosh x
y senh x
y tan 1
x
y cos 1
x
y sen1
x
y cot x
y sec x
y csc x
y tan x
y cos x
y sen x
y loga x
y ln x
y ax
y ex
y xn
3. a) ¿Cómo se define el número e?
b) Exprese e como un límite.
c) ¿Por qué en Cálculo se usa la función exponencial natural,
y m ex
, con más frecuencia que las demás funciones
exponenciales, y m ax
?
d) ¿Por qué en Cálculo se usa la función logarítmica
natural, y m ln x, más que las demás funciones
logarítmicas, y m loga x?
4. a) Explique cómo funciona la derivación implícita.
b) Explique cómo funciona la derivación logarítmica.
5. Proporcione varios ejemplos de cómo la derivada puede
ser interpretada como una razón de cambio en física, química,
biología, economía y otras ciencias.
6. a) Escriba una ecuación diferencial que exprese la ley de
crecimiento natural.
b) ¿En qué circunstancias es éste un modelo adecuado para el
crecimiento de la población?
c) ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?
7. a) Escriba una expresión para la linealización de f en
x m a.
b) Si y m f(x), escriba una expresión para la diferencial dy.
c) Si dx m $x, dibuje un esquema para mostrar el significado
geométrico de $y y dy.
Exámen rápido Verdadero-Falso
Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué.
Si es falsa, explique por qué o mencione un ejemplo que refute la proposición.
1. Si f y J son derivables, entonces
d
dx
f x t x f x t x
2. Si f y J son derivables, entonces
d
dx
f x t x f x t x
3. Si f y J son derivables, entonces
d
dx
[f (t x )] f (t x )t x
4. Si f es derivable, entonces
d
dx
sf x
f x
2sf x
.
5. Si f es derivable, entonces
d
dx
f (sx )
f x
2sx
.
6. Si y m e2
, entonces y m 2e.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-494-320.jpg)
![17. Sean T y N las rectas tangente y normal a la elipse x2
Y9 y2
Y4 m 1 en cualquier punto P de
ésta en el primer cuadrante. Sean xT y yT las intersecciones de T con los ejes x y y, y xN y yN las
intersecciones de N. Conforme P se mueve a lo largo de la elipse en el primer cuadrante (pero
no sobre los ejes), ¿qué valores pueden adoptar xT, yT, xN y yN? En primer lugar, intente intuir
las respuestas con sólo mirar la figura. A continuación, utilice el Cálculo para resolver el pro-
blema y vea qué tan buena es su intuición.
xN xT
yT
yN
3
2
T
N
P
x
y
0
18. Evalúe lím
x l 0
sen 3 x 2
sen 9
x
19. a) Use la identidad para tan(x y) [véase la ecuación 14b) del apéndice D] para demostrar
que si dos rectas L1 y L2 se intersecan en un ángulo , entonces
tan
m2 m1
1 m1m2
donde m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2, respectivamente.
b) El ángulo entre las curvas C1 y C2 en un punto de intersección se define como
el ángulo entre las rectas tangentes a Cl y C2 en P (si estas rectas tangentes existen).
Use el inciso a) para hallar, correcto hasta el grado más cercano, el ángulo entre cada
par de curvas en cada punto de intersección.
i) y m x2
y y m (x 2)2
ii) x2
y2
m 3 y x2
4x y2
3 m 0
20. Sea P(x1, y1) un punto sobre la parábola y2
m 4px con foco F(p, 0). Sea el ángulo entre
la parábola y el segmento rectilíneo FP, y sea el ángulo entre la recta horizontal y m yl
y la parábola, como en la figura. Demuestre que m . (De modo que, por un principio de
óptica geométrica, la luz proveniente de una fuente colocada en F se reflejará a lo largo
de una recta paralela al eje x. Esto explica por qué los paraboloides, las superficies que se
obtienen al hacer girar las parábolas sobre sus ejes, se emplean como la forma de algunos
faros delanteros de automóviles y espejos para telescopios).](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-504-320.jpg)
![21. Suponga que remplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 20 con un espejo
esférico. Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado.
En la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo
paralelo al eje a lo largo de la recta PQ se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo
que PQO m OQR (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede
con el punto R a medida que P se lleva cada vez más cerca al eje?
22. Si f y J son funciones derivables con f(0) m J(0) m 0 y J(0)o 0, demuestre que
lím
xl0
f x
t x
f 0
t 0
23. Evalúe lím
x l 0
sena 2x 2 sena x sen a
x2
SAC 24. a) La función cúbica f(x) m x(x 2)(x 6) tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Grafique
f y sus rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué observa?
b) Suponga que la función cúbica f(x) m (x a)(x b)(x c) tiene tres ceros diferentes:
a, b y c. Pruebe, con ayuda de un sistema algebraico computarizado, que una recta
tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el
tercer cero.
25. ¿Para qué valor de k la ecuación e2x
ksx tiene exactamente una solución?
26. ¿Para qué números positivos a se cumple que ax
w 1 x para toda x?
27. Si
y
x
sa2 1
2
sa2 1
arctan
sen x
a sa2 1 cos x
demuestre que y
1
a cos x
.
28. Dada una elipse x2
Ya2
y2
Yb2
m 1, donde a o b, encuentre la ecuación de todo el conjunto
de puntos a partir de los cuales hay dos rectas tangentes a la curva cuyas pendientes son
a) recíprocos y b) recíprocos negativos.
29. Encuentre los dos puntos sobre la curva y m x4
2x2
x que tienen una recta tangente en
común.
30. Suponga que tres puntos sobre la parábola y m x2
tienen la propiedad de que sus rectas
normales se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es cero.
31. Un punto de reticulado sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga que se
dibujan circunferencias con radio r usando todos los puntos reticulados como centros.
Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente 2
5
cruce alguna
de estas circunferencias.
32. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una
rapidez de 1cmYs en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de agua.
¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente sumergido?
33. Un recipiente en forma de cono invertido tiene una altura de 16cm y su radio mide 5cm en
la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados con una rapidez
proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido. FEl área superficial de
un cono es )rl, donde r es el radio y l es la altura inclinada.] Si vierte líquido en el recipiente
a razón de 2cm3
Ymin, entonces la altura del líquido disminuye a razón de 0.3cmYmin cuando
la altura es de 10cm. Si el objetivo es mantener el líquido a una altura constante de 10cm,
¿a qué rapidez debe verter líquido al recipiente?
O
R
P
Q
¨
¨
C
A
FIGURA PARA EL PROBLEMA 21
272](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-506-320.jpg)
![274 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de
optimización, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima (la mejor) para hacer
algo. Algunos ejemplos de los problemas que resolveremos en este capítulo son.
N ¿Cuál debe ser la forma de una lata que minimice los costos de fabricación?
N ¿Cuá1 es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? (Ésta es una
importante pregunta para los astronautas que tienen que soportar los efectos de
la aceleración.)
N ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido
al toser?
N ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse, de modo que se
minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre?
Estos problemas pueden reducirse a encontrar los valores máximo o mínimo de una fun-
ción. Para empezar, primero explicaremos exactamente lo que son estos valores.
En la figura 1, se muestra la gráfica de una función en la que el punto más alto es
(3, 5). En otras palabras, el valor más grande de f es f(3) m 5. Por otro lado, el valor más
pequeño es f(6) m 2. Decimos que f(3) m 5 es el máximo absoluto de f y f(6) m 2 es el
mínimo absoluto. En general, usamos la siguiente definición:
4.1 Valores máximos y mínimos
y
0 x
2
4
2 6
4
FIGURA 1
f(a)
f(d)
b x
y
0 d e
a c
FIGURA 2
Mínimo absoluto f(a), máximo absoluto
f(d), mínimos locales f(c), f(e), máxi-
mos locales f(b), f(d)
mín
loc
máx
loc
máx
mín
loc
y
abs
I J K
y
x
0
2
4
6
4 8 12
FIGURA 3
Un máximo o mínimo absolutos se les llama a veces máximo o mínimo global. Los
valores máximo y mínimo de f se llaman valores extremos de f.
La figura 2 muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en x m d y mínimo
absoluto en x m a. Observe que (d, f(d)) es el punto más alto sobre la gráfica y (a, f(a))
es el punto más bajo. En la figura 2, si consideramos sólo valores de x cercanos a b [p. ej.,
si restringimos nuestra atención al intervalo (a, c)], entonces f(b) es el más grande de estos
valores de f(x) y se llama valor máximo local de f. Por otro lado, f(c) se llama valor míni-
mo local de f porque f (c) v f (x) para x cercana a c [en el intervalo (b, d), por ejemplo].
La función f también tiene un mínimo local en x m e. En general, tenemos la siguiente
definición.
1 Definición Sea c un número en el dominio D de una función f. Entonces f(c) es el
N valor máximo absoluto de f sobre D si f(c) w f(x) para toda x en D.
N valor mínimo absoluto de f sobre D si f(c) v f(x) para toda x en D.
2 Definición El número f(c) es un
N valor máximo local de f si f(c) w f(x) cuando x está cerca de c.
N valor mínimo local de f si f(c) v f(x) cuando x está cerca de c.
En la definición 2 (y en otros lugares), si decimos que algo es cierto cerca de c, quere-
mos decir que es cierto en algún intervalo abierto que contiene a c. Por ejemplo, en la
figura 3 vemos que f(4) m 5 es un mínimo local porque es el menor valor de f en el inter-
valo I. No es el mínimo absoluto porque f(x) tiene valores menores cuando x está cerca de
12 (en el intervalo de K, por ejemplo). De hecho f(12) m 3 es un mínimo local y el mínimo
absoluto. De modo similar, f(8) m 7 es un máximo local, pero no el máximo absoluto
porque f toma valores más grandes cerca de 1.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-508-320.jpg)
![276 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
En las figuras 8 y 9 se muestra que una función no tiene que poseer valores extremos si
no se satisface cualquiera de las dos hipótesis (continuidad o intervalo cerrado) del teore-
ma del valor extremo.
1
x
y
0
FIGURA 9
(VWDIXQFLyQFRQWLQXDg
QRWLHQHPi[LPRQLPtQLPR
2
1
x
y
0
FIGURA 8
(VWDIXQFLyQWLHQHXQYDORUPtQLPR
f(2)=0SHURQRWLHQHYDORUPi[LPR
2
3
La función f, cuya gráfica se muestra en la figura 8, está definida sobre el intervalo
cerrado F0, 2G, pero no tiene valor máximo. (Observe que el rango de f es F0, 3). La función
toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.) Esto no contra-
dice el teorema del valor extremo porque f no es continua. [Sin embargo, una función
discontinua pudiera tener valores máximo y mínimo. Véase el ejercicio 13b.]
La función J que se muestra en la figura 9 es continua sobre el intervalo abierto (0, 2),
pero no tiene valor máximo ni mínimo. [El rango de J es (1, @). La función toma valores
arbitrariamente grandes.] Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el inter-
valo (0, 2) no es cerrado.
El teorema del valor extremo señala que una función continua sobre un intervalo cerra-
do tiene un valor máximo y uno mínimo, pero no indica cómo hallarlos. Empecemos por
buscar valores extremos locales.
En la figura 10 se muestra la gráfica de una función f con un máximo local en x m c y
un mínimo local en x m d. Parece que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente
es horizontal y, por consiguiente, tiene pendiente 0. Sabemos que la derivada es la pendien-
te de la recta tangente, de modo que parece que f(c) m 0 y f(d) m 0. En el teorema
siguiente se afirma que esto siempre se cumple para las funciones derivables.
DEMOSTRACIÓN Para la consideración de la conclusión, suponga que f tiene un máximo
local en x m c. Entonces, según la definición 2, f(c) w f(x) si x es suficientemente cercana
a c. Esto implica que, si h está lo suficiente cerca de 0 y es positiva o negativa, entonces
f(c) f(c h)
y, por consiguiente,
5 f c h f c 0
Podemos dividir ambos lados de la desigualdad entre un número positivo. Así, si h 0 y
h es suficientemente pequeña, tenemos
f c h f c
h
0
4 Teorema de Fermat Si f tiene un máximo o un mínimo local en x m c, y si f(c)
existe, entonces f(c) m 0
Fermat
El teorema de Fermat lleva ese nombre en
honor de Pierre Fermat (1601-1665), un abogado
francés que tomó a las matemáticas como un
pasatiempo. A pesar de su condición de aficio-
nado, Fermat fue uno de los dos inventores de
la geometría analítica (Descartes fue el otro).
Sus métodos para hallar rectas tangentes a las
curvas y valores máximos y mínimos (antes de
la invención del límite y de las derivadas) lo
hicieron un precursor de Newton en la creación
del Cálculo Diferencial.
0 x
c d
y
{c, f(c)}
{d, f(d)}
FIGURA 10](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-510-320.jpg)
![278 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
v EJEMPLO 7 Encuentre los números críticos de f(x) m x3Y5
(4 x).
SOLUCIÓN La regla del producto nos da
5x 3 4 x
5x2 5
12 8x
5x2 5
f x x3 5
1 4 x (3
5 x 2 5
) x3 5
3 4 x
5x2 5
[Se obtienen los mismos valores escribiendo primero f(x) m 4x3Y5
x8Y5
.] Así que f(x) m 0
si 12 8x m 0; es decir x 3
2 y f(x) no existe cuando x m 0. Por tanto, los números
críticos son 3
2 y 0.
En términos de números críticos, el teorema de Fermat puede replantearse como sigue
(compare la definición 6 con el teorema 4):
FIGURA 13
3.5
_2
_0.5 5
En la figura 13 hay una gráfica de la función f del
ejemplo 7, que apoya nuestra respuesta, porque
hay una recta tangente horizontal cuando x m 1.5
y una recta tangente vertical cuando x m 0.
7 Si f tiene un máximo o un mínimo local en x m c, entonces c es un número
crítico de f.
Método del intervalo cerrado Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de
una función continua f sobre un intervalo cerrado Fa, bG:
1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a, b).
2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más
pequeño, el valor mínimo absoluto.
Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un
intervalo cerrado, observe que o es un extremo local [en cuyo caso, por 7 , se presenta en
un número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este
modo, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona.
v EJEMPLO 8 Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función
1
2 x 4
f x x3
3x2
1
SOLUCIÓN Dado que f es continua sobre [ 1
2, 4], podemos utilizar el teorema del
intervalo cerrado:
f x 3x2
6x 3x x 2
f x x3
3x2
1
Puesto que f(x) existe para toda x, los únicos valores críticos de f ocurren cuando
f(x) m 0; esto es, en x m 0 o x m 2. Observe que cada uno de estos números críticos
está en el intervalo ( 1
2, 4). Los valores de f en estos números críticos son
f(0) m 1 f(2) m 3
Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son
f 4 17
f ( 1
2 ) 1
8
Comparando estos cuatro números, vemos que el valor máximo absoluto es f(4) m 17 y
el valor mínimo absoluto es f(2) m 3.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-515-320.jpg)
![SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 281
15-28 Trace a mano la gráfica de f y utilícela para encontrar los
valores máximos y mínimos, absolutos y locales de f. (Utilice las
graficas y transformaciones de las secciones 1.2 y 1.3.)
15. ,
16. ,
17. ,
18. ,
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28. f x
4 x2
2x 1
si 2 x 0
si 0 x 2
f x
1 x
2x 4
si 0 x 2
si 2 x 3
f x e x
f x 1 sx
f x x
0 x 2
f x ln x,
3 2 t 3 2
f t cos t,
2 x 2
f x sen x,
0 x 2
f x sen x,
0 x 2
f x sen x,
1 x 3
f x 1 x
x 1
f x 1 x
x 2
f x 2 1
3 x
x 3
f x
1
2 3x 1
p
p
p
p p
p
29-44 Encuentre los números críticos de la función.
.
0
3
.
9
2
.
2
3
.
1
3
.
4
3
.
3
3
.
6
3
.
5
3
.
8
3
.
7
3
39. 40.
41. 42.
.
4
4
.
3
4 f x x 2
ln x
f x x2
e 3x
h t 3t arcsen t
f 2 cos sen2
t 4 tan
F x x4 5
x 4 2
t x x1 3
x 2 3
h t t3 4
2t1 4
h p
p 1
p2
4
t y
y 1
y2
y 1
t t 3t 4
t t t4
t3
t2
1
f x 2x3
x2
2x
f x 2x3
3x2
36x
f x x3
6x2
15x
f x 4
1
3 x
1
2 x2
u
u u
u u u
45-46 Se da la fórmula para la derivada de una función f. ¿Cuántos
números críticos tiene f ?
.
6
4
.
5
4 f x
100 cos2
x
10 x2 1
f x 5e 0.1 x
sen x 1
47-62 Encuentre los valores máximo absoluto y mínimo absoluto
de f sobre el intervalo dado.
47. ,
48. ,
49. , 2, 3
f x 2x3
3x2
12x 1
0, 4
f x 5 54x 2x3
0, 5
f x 12 4x x2
50. ,
51. ,
52. ,
53. ,
54. ,
55. ,
56. ,
57. ,
58. ,
59. ,
60. ,
61.
62. , 0, 4
f x x 2 tan 1
x
f x ln x2
x 1 , 1, 1
[1
2, 2]
f x x ln x
1, 4
f x xe x2
8
4, 7 4
f t t cot t 2
0, 2
f t 2cos t sen 2t
0, 8
f t s
3
t 8 t
1, 2
f t ts4 t2
0, 3
f x
x
x2
x 1
0.2, 4
f x x
1
x
1, 2
f x x2
1 3
2, 3
f x 3x4
4x3
12x2
1
3, 5
f x x3
6x2
5
p
p p
63. Si a y b son números positivos, encuentre el valor máximo de
f(x) m xa
(1 x)b
, 0 x 1.
64. Utilice una gráfica para estimar los números críticos de
f(x) m U x3
3x2
2 U con una aproximación de un decimal.
65-68
a) Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo
absolutos de la función con una aproximación de dos decimales.
b) Por medio del cálculo encuentre los valores máximo y mínimo
exactos.
65.
66.
67.
68. f x x 2 cos x, 2 x 0
f x xsx x2
f x ex
e 2x
, 0 x 1
f x x5
x3
2, 1 x 1
69. Entre 0C y 30C, el volumen V (en centímetros cúbicos) de
1kg de agua a una temperatura T, está dado aproximadamente
por la fórmula
V m 999.87 0.06426T 0.0085043T2
0.0000679T3
Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad
máxima.
70. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano
horizontal por una fuerza que actúa a través de una cuerda
atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo . con el plano,
entonces la magnitud de la fuerza es
F
W
sen cos
u u
m
m
donde es una constante positiva llamada el coeficiente de
fricción y donde 0 . )Y2. Demuestre que F es minimizada
cuando tan . m .](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-519-320.jpg)
![282 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
71. Un modelo para el precio promedio en EU de una libra de
azúcar blanca desde 1993 a 2003 está dado por la función
0.03629t2
0.04458t 0.4074
A t 0.00003237t5
0.0009037t4
0.008956t3
donde t es medido en años desde agosto de 1993. Estime los
tiempos cuando el azúcar era más barata y más cara durante el
periodo 1993-2003.
72. El 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour
fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar
un nuevo motor de impulso en el perigeo de un satélite Intelsat
de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de
la velocidad del transbordador entre el despegue y el
desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido.
Velocidad (piess)
Tiempo (s)
Suceso
0
0
Lanzamiento
Inicio de maniobra de giro 10 185
Fin de maniobra de giro 15 319
Válvula de estrangulación a 89% 20 447
Válvula de estrangulación a 67% 32 742
Válvula de estrangulación a 104% 59 1325
Presión dinámica máxima 62 1445
Separación de los cohetes
auxiliares de combustible sólido 125 4 151
a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora
para hallar el polinomio cúbico que modele de la mejor
manera la velocidad del transbordador para el intervalo
de tiempo t [ F0, 125G. A continuación, dibuje esta función
polinomial.
b) Encuentre un modelo para la aceleración del transbordador
y utilícelo para estimar los valores máximo y mínimo de la
aceleración durante los primeros 125 segundos.
73. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una
persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un
aumento en la presión de los pulmones. Esto viene acompañado
por una contracción de la tráquea, con lo que se produce un
canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido. Para
que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo, éste
debe moverse con mayor rapidez por el canal más
angosto que por el más ancho. Entre mayor sea la velocidad
de la corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el
objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo
circular de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios
de su radio normal durante un espasmo de tos. De acuerdo
con un modelo matemático de la tos, la velocidad v de
la corriente de aire se relaciona con el radio r de la tráquea
mediante la ecuación
v r k r0 r r2 1
2 r0 r r0
donde k es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea.
La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la
tráquea se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción
mayor que 1
2 r0 (de lo contrario, la persona se sofocaría).
a) Determine el valor de r en el intervalo [1
2 r0, r0] en el cual v
tiene un máximo absoluto. ¿Cómo se compara esto con la
evidencia experimental?
b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de v sobre el intervalo?
c) Esboce la gráfica de v sobre el intervalo F0, r0G.
74. Demuestre que 5 es un número crítico de la función
J(x) m 2 (x 5)3
pero J no tiene un valor extremo local en 5.
75. Demuestre que la función
f(x) m x101
x51
x 1
no tiene ni máximo local ni mínimo local.
76. Si f tiene un valor mínimo local en c, demuestre que la función
J(x) m f(x) tiene un valor mínimo local en c.
77. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en el que f tiene
un mínimo local en c.
78. Una función cúbica es una función polinomial de grado 3; esto
es, tiene la forma f(x) m ax3
bx2
cx d, donde a o 0.
a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos, uno o
no tener números críticos. Proporcione ejemplos y dibuje
para ilustrar las tres posibilidades.
b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función
cúbica?
PROYECTO DE APLICACIÓN CÁLCULO DE ARCOÍRIS
Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la
Humanidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde
la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para
explicar la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris.
1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que atraviesa una gota esférica de lluvia en
A. Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra
a la gota. Observe que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell
afirma que sen m k sen , donde es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción y
k 4
3 es el índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta
hacia el aire, pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual
al de reflexión.) Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja; pero, por el momento, hay más
GHO
6RO
)RUPDFLyQGHODUFRtULVSULPDULR
DO
REVHUYDGRU](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-520-320.jpg)
![284 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Vamos a ver que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central,
llamado teorema del valor medio. Pero, para llegar a este teorema, veremos primero el
siguiente resultado.
4.2 Teorema del valor medio
FIGURA 1
b)
a c b x
y
0
c)
b
a c¡ c™ x
y
0
d)
b
a c
y
x
0
a)
b
a c¡ c™ x
y
0
Teorema de Rolle Si f es una función que satisface las siguientes tres hipótesis:
1. f es continua sobre el intervalo cerrado Fa, bG
2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b)
3. f(a) m f(b)
entonces hay un número c en (a, b) tal que f(c) m 0.
Antes de dar la demostración, vamos a echar un vistazo a las gráficas de algunas fun-
ciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. La figura 1 muestra las gráficas de cuatro
de estas funciones. En cada caso parece que hay al menos un punto (c, f(c)) en la gráfica
donde la recta tangente es horizontal y, por tanto, f(c) m 0. Por consiguiente, el teorema de
Rolle es verosímil.
DEMOSTRACIÓN Hay tres casos:
CASO I f(x) m k, una constante
Entonces f(x) m 0, por lo que el número c puede tomar cualquier número en (a, b).
CASO II f(x) f(a) para alguna x en (a, b) [como en la figura 1b) o c)]
Por el teorema del valor extremo (que podemos aplicar por la hipótesis 1), f tiene un valor
máximo en algún lugar de Fa, bG. Ya que f(a) m f(b), debe alcanzar este valor máximo
en un número c en el intervalo abierto (a, b), entonces f tiene un máximo local en c y,
por la hipótesis 2, f es derivable en c. Por tanto, f(c) m 0 por el teorema de Fermat.
CASO III f(x)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-522-320.jpg)
![f(a) para algún x en (a, b) [como en la figura 1c) o d)]
Por el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en Fa, bG y, como f(a) m f(b),
alcanza este valor mínimo en un número x m c en (a, b). Otra vez, f(c) m 0 por el
teorema de Fermat.
EJEMPLO 1 Vamos a aplicar el teorema de Rolle a la función posición s m f(t) de un
objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes
t m a y t m b, entonces f(a) m f(b). El teorema de Rolle señala que hay algún instante
de tiempo t m c entre a y b cuando f(c) m 0; es decir, la velocidad es 0. (En particular,
puede verse que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.)
EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación x3
x 1 m 0 tiene exactamente una raíz real.
SOLUCIÓN Primero utilizamos el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar
que existe una raíz. Sea f(x) m x3
x 1. Entonces f(0) m 1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-523-320.jpg)
![286 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
DEMOSTRACIÓN Aplicamos el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la
diferencia entre f y la función cuya gráfica es la recta secante AB. Mediante la ecuación 3,
vemos que la ecuación de la recta AB puede escribirse como
y f a
f b f a
b a
x a
y f a
f b f a
b a
x a
o como
Así, como se muestra en la figura 5,
4 h x f x f a
f b f a
b a
x a
Primero, debemos verificar que h satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle.
1. La función h es continua sobre Fa, bG porque es la suma de f y una función polino-
mial de primer grado, ambas continuas.
2. La función h es derivable sobre (a, b) porque f y la función polinomial de primer
grado son derivables. De hecho, podemos calcular h directamente de la ecuación 4:
h x f x
f b f a
b a
(Note que f(a) y [ f(b) f(a)]Y(b a) son constantes.)
3.
f b f a f b f a 0
h b f b f a
f b f a
b a
b a
h a f a f a
f b f a
b a
a a 0
Por tanto, h(a) m h(b).
Dado que h satisface las hipótesis del teorema de Rolle, que señala que existe un núme-
ro x m c en (a, b) tal que h(c) m 0, entonces se tiene
0 h c f c
f b f a
b a
así que f c
f b f a
b a
v EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica,
consideremos f (x) m x3
x, a m 0, b m 2. Puesto que f es una función polinomial,
es continua y derivable para toda x, así que es ciertamente continua sobre F0, 2G y
derivable sobre (0, 2). Por tanto, por el teorema del valor medio, existe un número
x m c en (0, 2) tal que
f(2) f(0) m f(c)(2 0)
Ahora, f(2) m 6, f(0) m 0 y f(x) m 3x2
1, así que la ecuación resulta
6 m (3c2
1)2 m 6c2
2
FIGURA 5
0 x
y
x
h(x)
y=ƒ
ƒ
A
B
f(a)+ (x-a)
f(b)-f(a)
b-a
a b
Lagrange y el teorema del valor
medio
El teorema del valor medio fue formulado pri-
mero por Joseph Louis Lagrange (1736-1813),
nacido en Italia de padre francés y madre ita-
liana. Fue un niño prodigio y se convirtió en pro-
fesor en Turín a la tierna edad de 19 años.
Lagrange hizo grandes contribuciones a la teoría
de números, teoría de las funciones, teoría de
las ecuaciones y a la mecánica celeste y
analítica. En particular, aplicó el cálculo en el
análisis de la estabilidad del sistema solar. Por
invitación de Federico el Grande, sucedió a
Euler en la Academia de Berlín y, cuando
Federico murió, Lagrange aceptó la invitación a
París del rey Luis XVI, donde recibió apartamentos
en el Louvre y un cargo de profesor en la
Escuela Politécnica. A pesar de todos los lujos y
la fama, era un hombre tranquilo, viviendo sólo
para la ciencia.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-526-320.jpg)
![288 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Puesto que f(x) m 0 para toda x, tenemos f(c) m 0, así que la ecuación 6 resulta
f x2 f x1
o
f x2 f x1 0
Por tanto, f tiene el mismo valor que cualesquiera dos números x1 y x2 en (a, b). Esto
significa que f es constante sobre (a, b).
7 Corolario Si f(x) m J(x) para toda x en un intervalo (a, b), entonces f J es
constante sobre (a, b); esto es, f(x) m J(x) c donde c es una constante.
DEMOSTRACIÓN Sea F(x) m f(x) J(x). Entonces
F x f x t x 0
para toda x en (a, b). Así, por el teorema 5, f es constante; esto es, f J es constante.
NOTA Cuidado al utilizar el teorema 5. Sea
f x
x
x
1
1
si x 0
si x 0
El dominio de f es D m Hx U x 0J y f(x) m 0 para toda x en D. Pero f, evidentemente, no
es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo.
Observe que f es constante sobre el intervalo (0, @) y también sobre el intervalo (@, 0).
EJEMPLO 6 Demuestre la identidad tan1
x cot1
x m )Y2.
SOLUCIÓN Aunque no es necesario utilizar el cálculo para demostrar esta identidad, la
demostración mediante él es muy sencilla. Si f(x) m tan1
x cot1
x, entonces
f x
1
1 x2
1
1 x2
0
para todos los valores de x. Por tanto, f(x) m C, una constante. Para determinar el valor
de C, ponemos x m 1 [porque podemos evaluar f(1) exactamente]. Entonces
C f 1 tan 1
1 cot 1
1
4 4 2
p p p
Así, tan1
x cot1
x m )Y2.
4.2 ; Ejercicios
1-4 Verifique que la función satisface las tres hipótesis del teorema
de Rolle en el intervalo dado. Después encuentre todos los números
c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle.
1.
2.
3. f x sx
1
3 x, 0, 9
0, 3
f x x3
x2
6x 2,
1, 3
f x 5 12x 3x2
,
4. f x cos 2x, 8, 7 8
p p
5. Sea f(x) m 1 x2Y3
. Demuestre que f(1) m f(1), pero no hay
ningún número x m c en (1, 1) tal que f(c) m 0. ¿Por qué no
contradice esto el teorema de Rolle?
6. Sea f(x) m tan x. Demuestre que f(0) m f()), pero no hay
ningún número x m c en (0, )) tal que f(c) m 0. ¿Por qué
esto no contradice el teorema de Rolle?
Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-531-320.jpg)
![J(b). [Sugerencia: utilice el
teorema del valor medio para la función h m f J.]
27. Demuestre que s1 x 1
1
2 x si x 0.
28. Suponga que f es una función impar y es derivable sobre todo
su dominio. Demuestre que para todo número positivo b, existe
un número x m c en (b, b) tal que f(c) m f(b)Yb.
29. Utilice el teorema del valor medio para demostrar la
desigualdad
U sen a sen b U U a b U para toda a y b
30. Si f (x) m c (c es una constante) para toda x, utilice el
corolario 7 para demostrar que f(x) m cx d para alguna
constante d.
31. Sea f(x) m 1Yx y
t x
1
x
1
1
x
si x 0
si x 0
Demuestre que f(x) m J(x) para toda x en su dominio.
¿Podemos concluir del corolario 7 que f J es constante?
32. Utilice el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad
x 0
2 sen 1
x cos 1
1 2x2
33. Demuestre la identidad
arcsen
x 1
x 1
2 arctan sx
2
34. A las 14:00 el velocímetro de un automóvil marca 30miYh. A las
14:10 marca 50miYh. Demuestre que en algún momento entre
las 14:00 y 14:10 la aceleración es exactamente 120miYh2
.
35. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan
en un empate. Demuestre que en algún momento durante la
carrera tienen la misma velocidad. [Sugerencia: considere
f(t) m J(t) h(t), donde J y h son las funciones posición de
los dos corredores.]
36. Un número a se llama punto fijo de una función f si
f(a) m a. Demuestre que si f(x) o 1 para todos los números
reales x, entonces f tiene a lo sumo un punto fijo.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-536-320.jpg)
![3, la prueba de la primera
derivada nos dice que f no tiene un máximo o mínimo local en 0. [De hecho, la expresión
para f(x) muestra que f decrece a la izquierda de 3 y crece a la derecha de 3.]
Puesto que f (x) m 0 cuando x m 0 o x m 2, dividimos la recta real en intervalos con
estos números como extremos y completamos la siguiente tabla.
Concavidad
Intervalo
( , 0)
hacia arriba
(0, 2) hacia abajo
(2, ) hacia arriba
f x 12x x 2
El punto (0, 0) es un punto de inflexión, ya que la curva cambia ahí de cóncava hacia
arriba a cóncava hacia abajo. También (2, 16) es un punto de inflexión, ya que allí la
curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.
Utilizando el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión,
esbozamos la curva de la figura 11.
NOTA La prueba de la segunda derivada es incierta cuando f (c) m 0. En otras pala-
bras, en tal punto puede haber un máximo, puede haber un mínimo, o podría no haber
máximo o mínimo (como en el ejemplo 6). Esta prueba también falla cuando f (c) no
existe. En tales casos, debe utilizarse la prueba de la primera derivada. De hecho, aun
cuando se aplican ambas pruebas, la prueba de la primera derivada es a menudo más fácil
de utilizar.
FIGURA 11
x
y
2 3
(2, _16)
(3, _27)
y=x$-4˛
SXQWRVGH
LQÁH[LyQ
(0, 0)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-566-320.jpg)
![0 cuando
x
1
2. Así que la curva es cóncava hacia abajo sobre ( ,
1
2 )
y cóncava hacia arriba
sobre ( 1
2, 0) y sobre (0, @). El punto de inflexión es ( 1
2, e 2
).
Para esbozar la gráfica de f trazamos primero la asíntota horizontal y m 1 (como una
recta discontinua), junto con las partes de la curva cerca de la asíntota en un esbozo preli-
minar [figura 13a]. Estas partes reflejan la información relativa a los límites y el hecho de
que f es decreciente sobre (@, 0) y (0, @). Observe que hemos indicado que f(x) l 0
conforme x l 0
, a pesar de que f(0) no existe. En la Figura 13b terminamos el esbozo
incorporando la información relativa a la concavidad y el punto de inflexión. En la figura
13c) revisamos nuestro trabajo con un dispositivo de graficación.
FIGURA 13
a) Esquema preliminar b) Dibujo terminado c) Configuración por computadora
4
0
_3 3
x
0
y
y=1
y=‰
punto de
inflexión
x
0
y
y=1
4.3 Ejercicios
1-2 Utilice la gráfica de f para encontrar lo siguiente.
a) Los intervalos abiertos sobre los que f es creciente.
b) Los intervalos abiertos sobre los que f es decreciente.
c) Los intervalos abiertos sobre los que f es cóncava hacia
arriba.
d) Los intervalos abiertos sobre los que f es cóncava hacia
abajo.
e) Las coordenadas de los puntos de inflexión.
1. y
0 x
1
1
2. y
0 x
1
1
3. Supongamos que se le da una fórmula para una función f.
a) ¿cómo determinaría dónde f aumenta o disminuye?
b) ¿Cómo determinaría dónde la gráfica de f es cóncava hacia
arriba o cóncava hacia abajo?
c) ¿Dónde se localizan los puntos de inflexión?
4. a) Establezca la prueba de la primera derivada
b) Establezca la prueba de la segunda derivada. ¿Bajo qué
circunstancias no son concluyentes? ¿Qué haría si no es
válida?
5-6 En los ejercicios 5 y 6, se muestran las gráficas de la derivada
f de una función f.
a) ¿Sobre qué intervalos f crece o decrece?
b) ¿En qué valores de x, f tiene un máximo o mínimo local?
5. 6.
2 4 6 x
y
0
2 4 6 x
y
0
y=fª(x) y=fª(x)
Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-574-320.jpg)
![)Y2. [Sugerencia:
demuestre que f(x) m tan x x es creciente sobre (0, )Y2).]
78. a) Demuestre que ex
w 1 x para x w 0.
b) Pruebe que ex
1 x
1
2 x2
para x w 0.
c) Use inducción matemática para demostrar que para x w 0 y
cualquier número entero positivo n,
ex
1 x
x2
2!
xn
n!
79. Demuestre que una función cúbica (una polinomial de tercer
grado) siempre tiene exactamente un punto de inflexión. Si
la gráfica tiene tres intersecciones en x: x1, x2 y x3, demuestre
que la coordenada x del punto de inflexión es (x1 x2 x3)Y3.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-611-320.jpg)
![SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 301
80. ¿Para qué valores de c el polinomio P(x) m x4
cx3
x2
tienen dos puntos de inflexión? ¿Un punto de inflexión?
¿Ninguno? Ilustre graficando P para varios valores de c.
¿Cómo cambia la gráfica cuando c decrece?
81. Demuestre que si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica
de f y f existe en un intervalo abierto que contiene a c, entonces
f (c) m 0. [Sugerencia: aplique la prueba de la primera
derivada y el teorema de Fermat a la función J m f.]
82. Demuestre que si f(x) m x4
, entonces f (0) m 0, pero (0, 0) no
es un punto de inflexión de la gráfica de f.
83. Demuestre que la función J(x) m x U x U tiene un punto de
inflexión en (0, 0), pero J(0) no existe.
84. Suponga que f
es continua y f(c) m f (c) m 0, pero
f
(c) 0. ¿f tiene un máximo o mínimo local en c? ¿f tiene
un punto de inflexión en c?
85. Suponga que f es derivable sobre un intervalo I y f(x) 0
para todos los números x en I, excepto por un único número c.
Demuestre que f es creciente sobre todo el intervalo I.
86. ¿Para qué valores de c la función
f x cx
1
x2
3
es creciente sobre (@, @)?
87. Los tres casos en la prueba de la primera derivada cubren las
situaciones que uno se encuentra con frecuencia, pero no
agotan todas las posibilidades. Considere las funciones f, J y h
cuyos valores en 0 son todas cero y, para x o 0,
h x x4
2 sen
1
x
t x x4
2 sen
1
x
f x x4
sen
1
x
a) Demuestre que 0 es un número crítico de las tres funciones,
pero sus derivadas cambian de signo infinitamente por
ambos lados de 0.
b) Demuestre que f no tiene un máximo local ni un mínimo
local en 0, J tiene un mínimo local y h tiene un máximo local.
4.4 Formas indeterminadas y regla de l´Hospital
Supongamos que estamos tratando de analizar el comportamiento de la función
F x
ln x
x 1
Aunque F no está definida cuando x m 1, necesitamos saber cómo se comporta cerca de 1.
En particular, nos gustaría saber el valor del límite
lím
x l1
ln x
x 1
1
Para el cálculo de este límite no podemos aplicar la ley 5 de los límites (el límite de un
cociente es el cociente de los límites, consulte la sección 2.3) porque el límite del denomi-
nador es 0. De hecho, aunque en la expresión 1 existe el límite, su valor no es evidente
porque el numerador y denominador tienden a 0 y 0
0
no está definido.
En general, si tenemos un límite de la forma
lím
x l a
f x
t x
donde ambos f(x) l 0 y J(x) l 0 conforme x l a, entonces este límite puede o no puede
existir y se llama forma indeterminada del tipo 0
0
. Nos encontramos algunos límites de este
tipo en el capítulo 2. Para funciones racionales, podemos cancelar factores comunes:
lím
x l1
x2
x
x2
1
lím
x l1
x x 1
x 1 x 1
lím
x l1
x
x 1
1
2
Utilizamos un argumento geométrico para demostrar que
lím
x l 0
sen x
x
1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-612-320.jpg)
![SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 309
b) Para t fijo, utilice la regla de l’Hospital para calcular
lím .
c l 0 v ¿Qué puede concluir acerca de la velocidad de un
objeto que cae en el vacío?
77. Si una cantidad inicial A0 de dinero es invertida a una tasa de
interés r compuesto n veces al año, el valor de la inversión
después de t años es
A A0 1
r
n
nt
Si hacemos que x l @, nos referimos a la capitalización
continua de interés. Utilice la regla de l’Hospital para
demostrar que si el interés es compuesto continuamente,
entonces la cantidad después de t años es
A m A0ert
78. Si una bola de metal con masa m se arroja al agua y la fuerza
de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, la
distancia que la bola viaja en el tiempo t es
s t
m
c
ln cosh
tc
mt
donde c es una constante positiva. Encuentre .
límcl 0 s t
79. Si un campo electrostático E actúa sobre un líquido o un
dieléctrico polar gaseoso, el momento dipolar neto P por
unidad de volumen es
P E
eE
e E
eE
e E
1
E
Demuestre que límE l 0 P E 0.
80. Un cable metálico tiene radio r y está cubierto por un aislante,
por lo que la distancia desde el centro del cable hasta el exterior
del aislante es R. La velocidad v de un impulso eléctrico en el
cable es
v c
r
R
2
ln
r
R
donde c es una constante positiva. Encuentre los siguientes
límites e interprete sus respuestas.
)
b
)
a lím
Rlr
v lím
rl0
v
81. La primera aparición impresa de la regla de l’Hospital fue
en el libro Analyse des Infiniment Petits publicado en 1696
por el marqués de l’Hospital. Este texto fue el primer libro de
cálculo publicado, y el ejemplo que utiliza el marqués en ese
libro, para ilustrar esta regla, fue el de encontrar el límite de la
función
y
s2a3
x x4
as
3
aax
a s
4
ax3
cuando x tiende a a, donde a 0. (En aquel tiempo era común
escribir aa en vez de a2
). Resuelva este problema.
82. La figura muestra un sector de un círculo con ángulo
central .. Sea A(.) el área del segmento entre la cuerda PR
y el arco PR. Sea B(.) el área del triángulo PQR. Encuentre
el lím l 0 A(u) B(u).
u
P
Q R
A(¨)
B(¨)
O
¨
83. Evalúe lím
x l
x x2
ln
1 x
x
.
84. Suponga que f es una función positiva. Si límxla f x 0 y
límxla t x , demuestre que
lím
xla
f x t x
0
Esto demuestra que 0@
no es una forma indeterminada.
85. Si f es continua, f(2) m 0 y f(2) m 7, evalúe
lím
xl0
f 2 3x f 2 5x
x
86. ¿Para qué valores de a y b es verdadera la siguiente ecuación?
lím
xl0
sen 2x
x3 a
b
x2 0
87. Si f es continua, utilice la regla de l’Hospital para demostrar
que
lím
hl 0
f x h f x h
2h
f x
Explique el significado de esta ecuación con la ayuda de un
diagrama.
88. Si f es continua, demuestre que
lím
h l 0
f x h 2f x f x h
h2 f x
89. Sea
f x
e 1 x 2
0
si x 0
si x 0
a) Utilice la definición de derivada para obtener f(0).
b) Demuestre que f tiene derivadas de todos los órdenes que
están definidas sobre 2. [Sugerencia: primero demuestre
por inducción que existe una función polinomial pn(x) y un
entero no negativo kn tal que f n
x pn x f x xkn
para
x 0.]
90. Sea
f x
x x
1
si x 0
si x 0
a) Demuestre que f es continua en x m 0.
b) Investigue gráficamente si f es derivable en x m 0 activando
varias veces el zoom sobre el punto (0, 1) de la gráfica de f.
c) Demuestre que f no es derivable en x m 0. ¿Cómo puede usted
conciliar este hecho con la apariencia de la gráfica del inciso b)?](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-620-320.jpg)
![310 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Hasta este momento sólo nos hemos interesado en algunos aspectos particulares del trazo
de curvas: dominio, rango y simetría en el capítulo 1; límites, continuidad y asíntotas en
el capítulo 2; derivadas y rectas tangentes en los capítulos 2 y 3, y valores extremos, inter-
valos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión y regla de l’Hospital
en este capítulo. Pero ya es tiempo de reunir toda esta información relacionada con la
elaboración de gráficas, que revela las características importantes de las funciones.
Usted podría preguntar: ¿por qué no usar sólo una calculadora o computadora para
dibujar una curva? ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo?
Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas.
Pero aun el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligente.
Como se establece en la sección 1.4 es muy importante elegir un rectángulo de vista
adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. Vea en particular los ejemplos 1, 3, 4
y 5 de dicha sección. La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más intere-
santes de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y míni-
mos y los puntos de inflexión, y no sólo en forma aproximada.
Por ejemplo, en la figura 1 se presenta la gráfica de f (x) m 8x3
21x2
18x 2.
A primera vista parece razonable esperar que la gráfica tenga la misma forma que las
curvas cúbicas como y m x3
, y parece no tener máximo ni mínimo. Pero si calcula la deri-
vada, se dará cuenta de que hay un máximo cuando x m 0.75 y un mínimo cuando x m 1.
En efecto, si hacemos un acercamiento a esta parte de la gráfica, vemos el comportamien-
to que se ilustra en la figura 2. Sin la herramienta del cálculo, podría fácilmente pasar-
las por alto.
En la sección siguiente se elabora la gráfica de funciones recurriendo a la interacción
del cálculo y los instrumentos para graficar. En esta sección dibujará gráficas consideran-
REDACCIÓN DE PROYECTO LOS ORÍGENES DE LA REGLA DE L’HOSPITAL
La regla de l’Hospital se publicó por primera vez en 1696, en el libro de texto del marqués de
l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits, pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático
suizo Johann Bernoulli. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de
negocios por medio del cual el marqués de l’Hospital compró los derechos de los descubrimientos
matemáticos de Bernoulli. Los detalles, incluso una traducción de la carta de l’Hospital a Bernoulli
en la que propone el arreglo, pueden hallarse en el libro escrito por Eves [1].
Escriba un informe sobre los orígenes históricos y matemáticos de la regla de l’Hospital.
Empiece por dar breves detalles biográficos de los dos hombres (el diccionario editado por
Gillispie [2] es una buena fuente) y describa el trato negociado entre ellos. A continuación,
mencione el enunciado de l’Hospital de su regla, el cual se encuentra en el libro fuente de Struik
[4] y, más sintéticamente, en el libro de Katz [3]. Observe que l’Hospital y Bernoulli formularon la
regla geométricamente y dieron la respuesta en términos de diferenciales. Compare el enunciado
de ellos con la versión de la regla de l’Hospital que se dio en la sección 4.4 y demuestre que, en
esencia, los dos enunciados son los mismos.
1. Howard Eves, In Mathematical Circles (Volumen 2: Cuadrantes III y IV) (Boston: Prindle,
Weber and Schmidt, 1969), pp. 20-22.
2. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase
el artículo sobre Johann Bernoulli, por E. A. Fellman y J. 0. Fleckenstein, en el volumen II
y el artículo sobre el marqués de l’Hospital, por Abraham Robinson, en el volumen VIII.
3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Nueva York: Harper Collins, 1993),
pp. 484.
4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 (Princeton, NJ: Princeton University
Press, 1969), pp. 315-316.
Biblioteca
Thomas
Fisher
de
libros
excepcionales
www.stewartcalculus.com
La Internet es otra fuente de información
para este proyecto. Haga clic en History of
Mathematics para obtener una lista confiable
de sitios web.
4.5 Resumen de trazado de curvas
FIGURA 1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-621-320.jpg)
![SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZADO DE CURVAS 311
do la información siguiente. Se supone que no tiene instrumentos para graficar, pero si
usted cuenta con uno, sólo utilícelo para verificar su trabajo.
Guía para el trazado de curvas
En la siguiente lista se intenta proponer directrices que sirvan de guía para dibujar una
curva y m f(x) a mano. No todos los elementos de la lista son relevantes para cada función.
(Por ejemplo, una curva dada puede no tener una asíntota o poseer simetría.) Pero las
directrices proporcionan toda la información que usted necesita para hacer un trazo que
muestre los aspectos más importantes de la función.
A. Dominio A menudo resulta útil comenzar por determinar el dominio D de f; es decir,
el conjunto de valores de x para los cuales f(x) está definida.
B. Intersección La intersección en y es f(0) y esto nos indica dónde la curva cruza con el
eje y. Para encontrar las intersecciones con el eje x, hacemos y m 0 y resolvemos
para x. (Puede omitirse este paso si la ecuación es difícil de resolver.)
C. Simetría
i) Si f(x) m f(x) para toda x en D, es decir, la ecuación de la curva no se modi-
fica cuando x se sustituye por x, entonces f es una función par y la curva es simétrica
respecto al eje y. Esto significa que nuestro trabajo se reduce a la mitad. Si conocemos
la parte de la curva donde x w 0, entonces sólo necesitamos reflejar respecto al eje y,
para obtener la curva completa [véase la figura 3a)]. Algunos ejemplo son y m x2
, y m x4
,
y m U x U y y m cos x.
ii) Si f(x) m f(x) para todo x en D, entonces f es una función impar y la curva
es simétrica respecto al origen. Una vez más, podemos obtener la curva completa si
conocemos la parte de la curva donde x w 0. [Gire 180° alrededor del origen; véase la
figura 3b)]. Algunos ejemplos simples de funciones impares son y m x, y m x3
,
y m x5
y y m sen x.
iii) Si f(x p) m f(x) para toda x en D, donde p es una constante positiva, entonces
f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo. Por ejem-
plo, y m sen x tiene periodo 2) y y m tan x tiene periodo ). Si sabemos cómo es la
gráfica en un intervalo de longitud p, entonces podemos utilizar una traslación para
esbozar toda la gráfica (véase la figura 4).
FIGURA 3
D](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-623-320.jpg)
![312 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
(Para funciones racionales puede usted localizar las asíntotas verticales igualando el
denominador a 0 después de cancelar los factores comunes. Pero para otras funciones
no se aplica este método.) Además, en el trazado de la curva es muy útil saber exacta-
mente cuál de las afirmaciones en 1 es verdadera. Si f(a) no está definida, pero a es
un extremo del dominio de f, entonces debe calcular o ,
límx l a f x
límx l a f x sea
este límite infinito o no.
iii) Asíntotas inclinadas. Éstas se discuten al final de esta sección.
E. Intervalos donde la función es creciente o decreciente Utilice la prueba C y D. Obtenga f(x)
y encuentre los intervalos en los que f(x) es positiva ( f es creciente) y los intervalos
en los que f(x) es negativa ( f es decreciente).
F. Valores mínimo y máximo locales Encuentre los números críticos de f [los números c
donde f(c) m 0 o f(c) no existen]. Después utilice la prueba de la primera derivada.
Si f cambia de positiva a negativa en un número crítico c, entonces f(c) es un máximo
local. Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f(c) es un mínimo local. Aunque
es generalmente preferible utilizar la prueba de la primera derivada, puede utilizar la
prueba de la segunda derivada si f (c) m 0 y f (c) 0. Entonces f (c) 0 implica
que f(c) es un mínimo local, mientras que f (c)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-626-320.jpg)
![0.
Los puntos de inflexión se localizan donde cambia de dirección la concavidad.
H. Trace la curva Utilizando la información de los apartados A-G, trace la gráfica. Dibuje
las asíntotas como rectas discontinuas. Ubique las intersecciones, puntos máximos y
mínimos y puntos de inflexión. Después, haga que la curva pase por estos puntos, crecien-
do y decreciendo de acuerdo con E, con concavidades de acuerdo con G y acercándose
a las asíntotas. Si se desea precisión adicional cerca de cualquier punto, puede calcular
el valor de la derivada allí. La recta tangente indica la dirección en que avanza la
curva.
v EJEMPLO 1 Utilice la guía para trazar la gráfica de y
2x2
x2
1
.
A. El dominio es
Hx U x2
1 0J m Hx U x 1J m (@, 1) (1, 1) (1, @)
B. Las intersecciones en x y en y son, ambas, 0.
C. Ya que f(x) m f(x), la función f es par. La curva es simétrica respecto al eje y.
D. lím
x l
2x2
x2
1
lím
x l
2
1 1 x2
2
Por tanto, la recta y m 2 es una asíntota horizontal.
Puesto que el denominador es 0 cuando x m 1, obtenemos los siguientes límites:
lím
x l 1
2x2
x2
1
lím
x l 1
2x2
x2
1
lím
x l1
2x2
x2
1
lím
x l1
2x2
x2
1
Por ende, las rectas x m 1 y x m 1 son asíntotas verticales. Esta información
relacionada con los límites y asíntotas nos permite dibujar la curva preliminar de la
figura 5, que muestra la curva cerca de las asíntotas.
FIGURA 5
7UD]RSUHOLPLQDU
x=1
x=_1
y=2
x
y
Se muestra la curva que se aproxima a su
asíntota horizontal desde arriba en la figura 5.
Esto se confirma por los intervalos donde crece
y decrece.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-628-320.jpg)
![0 y f(x) 0
cuando x 0, f es decreciente sobre (1, 0) y decreciente sobre (0, @).
F. Puesto que f(0) m 0 y fcambia de negativa a positiva en x m 0, f(0) m 0 es un
mínimo local (y absoluto) por la prueba de la primera derivada.
G. f x
2 x 1 3 2
6x 4 3x2
4x 3 x 1 1 2
4 x 1 3
3x2
8x 8
4 x 1 5 2
Note que el denominador siempre es positivo. El numerador es la cuadrática
3x2
8x 8, que siempre es positiva porque su discriminante es b2
4ac m 32,
que es negativo, y el coeficiente de x2
es positivo. Así f (x) 0 para toda x en el
dominio de f, lo que significa que f es cóncava hacia arriba sobre (1, @) y no hay
punto de inflexión.
H. El trazo de la curva aparece en la figura 7.
FIGURA 6
7UD]RILQDOGH
x
y
FIGURA 7
x=_1
x
y
0
œ„„„„
y=
≈
x+1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-634-320.jpg)
![326 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
3. Introduzca la notación Asigne un símbolo a la cantidad que va a ser maximizada
o minimizada [vamos a llamarla Q (del inglés quantity) por ahora]. También
seleccione símbolos (a, b, c,…, x, y) para otras cantidades desconocidas y etiquete
el diagrama con estos símbolos. Puede ser provechoso utilizar iniciales como
símbolos sugerentes —p. ej., A para el área, h para la altura, t para el tiempo.
4. Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso 3.
5. Si Q se ha expresado como una función de más de una variable en el paso 4,
utilice la información dada para encontrar relaciones (en forma de ecuaciones)
entre estas variables. Utilice estas ecuaciones para eliminar todas, excepto una de
las variables en la expresión para Q. Así Q se expresará en función de una variable
x, digamos, Q m f(x). Escriba el dominio de esta función.
6. Utilice los métodos de las secciones 4.1 y 4.3 para encontrar los valores máximo
o mínimo absolutos de f. En particular, si el dominio de f es un intervalo cerrado,
entonces puede utilizarse el método del intervalo cerrado de la sección 4.1.
EJEMPLO 1 Un agricultor tiene 2400 pies de material y quiere construir una barda para
cercar un campo rectangular que bordea un río recto, de modo que no necesita barda a
lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener el campo para encerrar el
área más grande?
SOLUCIÓN Para hacerse una idea de lo que está sucediendo en este problema, vamos a
experimentar con algunos casos especiales. La figura 1 (no a escala) muestra tres formas
de posibles arreglos de los 2400 metros de material.
RP Comprenda el problema
RP Analogía: intente casos especiales
RP Dibuje diagramas
FIGURA 1
100
2200
100
Área=100 ì2200=220000 pies@
700
1000
700
Área=700 ì1000=700000 pies@
1000
400
1000
Área=1000 ì400=400000 pies@
x
y
A x
FIGURA 2
Vemos que cuando intentamos campos muy anchos y poco largos, o campos angostos
y muy largos, obtenemos áreas relativamente pequeñas. Parece verosímil que exista
alguna configuración intermedia que produzca el área más grande.
La figura 2 ilustra el caso general. Queremos maximizar el área A del rectángulo. Sea
x y y el largo y el ancho, respectivamente, del rectángulo (en pies). Entonces, queremos
expresar A en términos de x y y:
A m xy
Queremos expresar A en función de una sola variable, por lo que eliminamos y
expresándola en términos de x. Para ello utilizamos la información dada de que la
longitud total de la barda es 2400 pies. Así
2x y m 2400
De esta ecuación tenemos y m 2400 2x, lo cual da
A m x(2400 2x) m 2400x 2x2
RP Introduzca notación](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-669-320.jpg)
![0 para toda x, por
lo que A es siempre cóncava hacia abajo y el máximo local en x m 600 debe ser un
máximo absoluto.]
Así, el campo rectangular debe tener 600 pies de largo y 1200 pies de ancho.
v EJEMPLO 2 Se va un fabricar una lata que ha de contener 1L de aceite. Encuentre
las dimensiones que debe tener la lata de manera que minimicen el costo del metal para
fabricarla.
SOLUCIÓN Dibuje el diagrama como el de la figura 3, donde r es el radio y h la altura
(ambos en cm). Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el área superficial
total del cilindro (tapa, fondo y lados). A partir de la figura 4, observamos que los lados
se fabrican de una lámina rectangular con dimensiones 2)r y h. De esta manera, el área
superficial es
A m 2)r2
2)rh
Para eliminar h recurrimos al hecho de que el volumen está dado como 1L, que
tomamos como 1000cm3
. Así
)r2
h m 1000
lo cual da h m 1000Y()r2
). Sustituyendo esto en la expresión para A, da
A 2 r2
2 r
1000
r2
2 r2
2000
r
p p p
p
Por tanto, la función que queremos minimizar es
r 0
A r 2 r2
2000
r
p
Para encontrar los números críticos, derivamos:
A r 4 r
2000
r2
4 r3
500
r2
p
p
Entonces A(r) m 0 cuando )r3
m 500, así que el único número crítico es r s
3
500 p .
Puesto que el dominio de A es (0, @), no podemos aplicar el argumento del ejemplo 1
concerniente a los puntos extremos. Pero podemos observar que A(r)](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-672-320.jpg)
![0 para
r s
3
500 p y A(r) 0 para r s
3
500 p , por lo que A es decreciente para toda r a
la izquierda del número crítico y creciente para toda r a la derecha. De este modo,
r s
3
500 p debe dar lugar a un mínimo absoluto.
[Como otra posibilidad, podríamos argumentar que A(r) l @ conforme r l 0
y
A(r) l @ a medida que r l @, de manera que debe haber un valor mínimo de A(r), el
cual tiene que ocurrir en el número crítico. Véase la figura 5.]
FIGURA 3
r
h
ÉUHD
FIGURA 4
ÉUHD
r
y
0 10
1000 y=A(r)
FIGURA 5](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-673-320.jpg)
![SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 335
65. Un punto P debe estar ubicado en algún lugar sobre la recta
AD, de manera que la longitud total L de cables ligados de P
a los puntos A, B y C se minimice (véase la figura). Exprese
L como una función de x m U AP U y utilice las gráficas de L y
dLYdx se para estimar el valor mínimo de L.
B C
P
A
2 m 3 m
D
5 m
66. La gráfica muestra el consumo de combustible c de un automóvil
(medido en galones por hora) en función de la velocidad v
del automóvil. A muy bajas velocidades el motor funciona de
manera ineficiente, así que inicialmente c disminuye a medida
que aumenta la velocidad. Pero a alta velocidad el consumo
de combustible se incrementa. Puede verse que c(v) está
minimizada para este automóvil cuando v 30 miYh. Sin
embargo, para la eficiencia de combustible, lo que debe
reducirse al mínimo no es el consumo en galones por hora,
sino más bien el consumo de combustible en galones por milla.
Vamos a llamar G a este consumo. Utilizando la gráfica, estime
la velocidad a la que G tiene su valor mínimo.
67. Sea v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la
luz en el agua. De acuerdo con el principio de Fermat, un rayo
de luz viajará desde un punto A en el aire a un punto B en el
agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo de
recorrido. Demuestre que
sen 1
sen 2
v1
v2
u
u
donde .1 (el ángulo de incidencia) y .2 (el ángulo de
refracción) son como se muestra. Esta ecuación es conocida
como la ley de Snell.
C
A
B
¨¡
¨™
68. Dos postes verticales PQ y ST están asegurados por una
cuerda PRS que van desde la parte superior del primer poste
a la parte superior del segundo poste como en la figura.
Demuestre que la longitud más corta de esa cuerda se
produce cuando .1 m .2.
4 5 7
3
6
¨¡ ¨™
69. Se pliega la esquina superior derecha de un pedazo de papel
de 12 pulg por 8 pulg, como en la figura, sobre la orilla
inferior. ¿Cómo debería usted plegarla para minimizar la
longitud del pliegue? En otras palabras, ¿cómo se elige x para
minimizar y?
x
8
12
70. Se lleva cargando un tubo de acero por un pasillo de 9 metros
de ancho. Al final de la sala hay un giro recto en un estrecho
pasillo de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más
largo que puede dar la vuelta horizontalmente alrededor de la
esquina?
6
¨
9
71. Un observador se encuentra en un punto P a una unidad de
una pista. Dos corredores comienzan en el punto S en la figura
y corren a lo largo de la pista. Un atleta corre tres veces más
rápido que el otro. Encuentre el valor máximo del ángulo de
vista del observador . entre los corredores. [Sugerencia:
maximice ..]
S
1
P
¨](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-688-320.jpg)
![336 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
72. Se desea construir una caída de agua de lluvia utilizando una
hoja de metal de 30 cm de ancho, plegando hasta un tercio
a cada lado de la hoja con un ángulo .. ¿Cómo debe elegirse .
de manera que el canal conduzca la cantidad máxima de agua?
FP FP FP
¨ ¨
73. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento de recta AB
a fin de maximizar el ángulo .?
5
2
A
B
P ¨
3
74. Una pintura en una galería de arte tiene altura h y está
colgada de manera que su borde inferior esté a una distancia
d sobre el ojo de un observador (como en la figura). ¿Hasta
qué punto de la pared debe estar el observador para tener la
mejor vista? (En otras palabras, dónde debe pararse el
observador para maximizar el ángulo . subtendido a su
ojo por la pintura?)
¨
h
d
75. Encuentre el rectángulo de área máxima que puede ser
circunscrito por un rectángulo dado con longitud L y ancho W.
[Sugerencia: exprese el área en función de un ángulo ..]
76. El sistema vascular de sangre consiste en vasos sanguíneos
(arterias, arteriolas, capilares y venas) que trasladan la
sangre desde el corazón hasta los órganos y de éstos al corazón.
Este sistema debe trabajar de manera que minimice la energía
gastada por el corazón al bombear la sangre. En particular,
esta energía se reduce cuando disminuye la resistencia de la
sangre. Una de las leyes de Poiseuille da la resistencia R de
la sangre como
R C
L
r4
donde L es la longitud de los vasos sanguíneos, r es el radio y
C es una constante positiva, determinada por la viscosidad de
la sangre. (Poiseuille estableció esta ley experimentalmente,
pero también de la ecuación 8.4.2.) La figura muestra un vaso
principal con radio r1 bifurcado en un ángulo . en un vaso
más pequeño con radio r2.
b
A
B
r¡
r™
¨
C
a
UDPLILFDFLyQ
YDVFXODU
a) Utilice la ley de Poiseuille para demostrar que la resistencia
total de la sangre a lo largo de la ruta ABC es
R C
a b cot
r1
4
b csc
r2
4
u u
donde a y b son las distancias que se muestran en la figura.
b) Demuestre que esta resistencia está minimizada cuando
cos
r4
2
r4
1
u
c) Encuentre el ángulo de bifurcación óptimo (aproximado
al grado más cercano) cuando el radio de los vasos
sanguíneos más pequeños es dos tercios el radio del
vaso más grande.
©
Manfred
Kage
/
Peter
Arnold
Images
/
Photolibrary
77. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves
tienden a evitar vuelos sobre grandes masas de agua durante el
día. Se cree que requieren más energía para volar sobre el agua
que sobre tierra porque el aire generalmente se eleva sobre la
tierra y cae sobre el agua durante el día. Un pájaro con estas
tendencias es lanzado desde una isla que está a 5 km del punto
B más cercano a una costa recta, vuela a un punto C sobre la
costa y luego vuela a lo largo de la costa hasta su lugar de
anidación D. Suponga que el ave elige instintivamente un
camino que minimiza su gasto de energía. Los puntos B y D
están a 13 km de distancia uno del otro.
a) En general, si requiere 1.4 veces más energía para volar
sobre el agua que sobre la tierra, ¿a qué punto C debe el ave](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-689-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 REPASO 351
4 Repaso
Verificación de conceptos
1. Explique la diferencia entre máximo absoluto y máximo local.
Ilustre por medio de un dibujo.
2. a) ¿Qué dice el teorema del valor extremo?
b) Explique cómo funciona el método del intervalo cerrado.
3. a) Enuncie el teorema de Fermat.
b) Defina un número crítico de f.
4. a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Enuncie el teorema del valor medio y dé una interpretación
geométrica.
5. a) Enuncie la prueba de crecienteYdecreciente.
b) ¿Qué significa decir que f es cóncava hacia arriba sobre un
intervalo I?
c) Enuncie la prueba de la concavidad.
d) ¿Qué son los puntos de inflexión? ¿Cómo puede hallarlos?
6. a) Enuncie la prueba de la primera derivada.
b) Enuncie la prueba de la segunda derivada.
c) ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas relativas de estas
pruebas?
7. a) ¿Qué afirma la regla de l’Hospital?
b) ¿Cómo puede usar la Regla de l’Hospital si tiene un producto
f(x)J(x) donde f(x) l 0 y J(x) l @ conforme x l a?
c) ¿Cómo puede usar la regla de l’Hospital si tiene una
diferencia f(x) J(x) donde f(x) l @ y J(x) l @ a medida
que x l a?
d) ¿Cómo puede usar la regla de l’Hospital si tiene una
potencia [f(x)]J(x)
donde f(x) l 0 y J(x) l 0 conforme
x l a?
8. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, ¿por
qué necesita el cálculo para dibujar una función?
9. a) Dada una aproximación inicial x1 para una raíz de la
ecuación f(x) m 0, explique geométricamente, mediante
un dibujo, ¿cómo se obtiene la segunda aproximación x2 en
el método de Newton?
b) Escriba una expresión para x2 en términos de x1, f(x1)
y f(x1).
c) Escriba una expresión para xn1 en términos de xn, f(xn)
y f(xn).
d) ¿Bajo qué circunstancias es probable que el método de
Newton falle o funcione muy lentamente?
10. a) ¿Qué es una antiderivada de una función f ?
b) Suponga que F1 y F2 son antiderivadas de f sobre un
intervalo I. ¿Cómo se relacionan F1 y F2?
Examen rápido Verdadero-Falso
Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera,
explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute
la proposición.
1. Si f(c) m 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo locales
en c.
2. Si f tiene un valor mínimo absoluto en c, entonces f(c) m 0.
3. Si f es continua sobre (a, b), entonces f alcanza un valor
máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en
algunos números c y k en (a, b).
4. Si f es derivable y f(1) m f(1), entonces existe un número c
tal que U c U](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-712-320.jpg)
![360 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
En esta sección se descubre que, al intentar calcular el área bajo una curva o la distancia
recorrida por un automóvil, se llega al mismo tipo especial de límite.
El problema del área
Empezaremos por intentar resolver el problema del área: encuentre el área de la región S
que está debajo de la curva y m f(x), desde a hasta b. Esto significa que S (figura 1) está
limitada por la grafica de una función continua f [donde f (x) w0], las rectas verticales
x m a y x m b y el eje x.
Al intentar resolver el problema del área, debemos preguntarnos: ¿cuál es el significado
de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para
un rectángulo, se define como el producto del largo y el ancho. El área de un triángulo es
la mitad de la base multiplicada por la altura. El área de un polígono se encuentra al divi-
dirlo en triángulos (figura 2) y sumar las áreas de esos triángulos.
5.1 Áreas y distancias
FIGURA 1
S=s(x, y) | a¯x¯b, 0¯y¯ƒd
0
y
a b x
y=ƒ
S
x=a
x=b
FIGURA 2
h
b
A= bh A=A¡+A™+A£+A¢
A=lw
l
w
1
2
A¡
A™ A£
A¢
FIGURA 4 E](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-738-320.jpg)
![SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 361
Podemos obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya
base sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho
de la propia franja [véase la figura 4b)]. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos
son los valores de la función f (x) m x2
en los puntos extremos de la derecha
de los subintervalos , , y [3
4, 1]
[1
2,
3
4 ]
[1
4,
1
2 ]
[0,
1
4 ] .
Cada rectángulo tiene un ancho de 1
4, y las alturas son , , y 12
(3
4 )2
(1
2 )2
(1
4 )2
. Si denota-
mos con R4 la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtenemos
R4
1
4 (1
4 )2 1
4 (1
2 )2 1
4 (3
4 )2 1
4 12 15
32 0.46875
A partir de la figura 4b) vemos que el área A de S es menor que R4, de modo que
A](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-741-320.jpg)
![SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 363
Con base en las figuras 8 y 9 parece que, conforme n crece, tanto Ln como Rn son cada vez
mejores aproximaciones para el área de S. Por tanto, definimos el área A como el límite de
las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación; esto es,
A lím
n l
Rn lím
n l
Ln
1
3
FIGURA 8
1
0
y
n=50 R∞¸=0.3434
1
0
y
n=30 R£¸Å0.3502
1
0 x x x
y
n=10 R¡¸=0.385
/RVSXQWRVH[WUHPRVGHUHFKRVSURGXFHQVXPDVSRUDUULEDSRUTXHƒ=x@HVFUHFLHQWH
1
0
y
n=10 L¡¸=0.285
FIGURA 9 /RVSXQWRVH[WUHPRVL]TXLHUGRVSURGXFHQVXPDVSRUDEDMRSRUTXHHVFUHFLHQWH
FIGURA 10
b
a
0
y
x
. . .
. . .
y=ƒ
S¡ S™ S£ Si Sn
xi
xi-1 xn-1
⁄ ‹
Apliquemos la idea de los ejemplos 1 y 2 a la región más general S de la figura 1.
Empecemos por subdividir S en n franjas S1, S2, . . . , Sn de anchos iguales, como en la
figura 10.
TEC En Visual 5.1 puede crear figuras como la
8 y 9 para otros valores de n.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-748-320.jpg)
![364 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
El ancho del intervalo [a, b] es b a, de modo que el ancho de cada una de las n
franjas es
x
b a
n
Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos
x0, x1 , x1, x2 , x2, x3 , . . . , xn 1, xn
donde x0 m a y xn m b. Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son
x3 a 3 x,
x2 a 2 x,
x1 a x,
Aproximamos la i-ésima franja, Si, con un rectángulo de ancho $x y altura f(xi), que es
el valor de f en el punto extremo de la derecha (véase la figura 11). Entonces, el área del
i-ésimo rectángulo es f(xi) $x. Lo que concebimos de manera intuitiva como el área de S
se aproxima con la suma de las áreas de estos rectángulos:
Rn f x1 x f x2 x f xn x
FIGURA 11
0
y
x
Îx
f(xi)
xi
xi-1
a b
⁄ ‹
FIGURA 12
0
y
x
a ⁄
D](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-749-320.jpg)
![SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 365
Puede demostrarse que el límite de la definición 2 siempre existe, porque se supone
que f es continua. También es posible demostrar que se obtiene el mismo valor con los
puntos extremos de la izquierda:
A lím
n l
Ln lím
n l
f x0 x f x1 x f xn 1 x
3
De hecho, en lugar de usar los puntos extremos de la izquierda o los de la derecha, podría-
mos tomar la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número xi
*, en
el i-ésimo subintervalo [xi1, xi]. A estos números x1
*, x2
*,..., xn
* se les llama puntos muestra.
En la figura 13 se presentan los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos
muestra diferentes de los puntos extremos. Así, una expresión más general para el área
de S es
A lím
n l
f x1
* x f x2
* x f xn
* x
4
FIGURA 13
xi
xi-1
0
y
x
a b
⁄ ‹ xn-1
x¡
x™
x£
xn
xi
Îx
f(xi
)
FIGURA 14
0
y
x
a b
6XPDVLQIHULRUHVUHFWiQJXORVFRUWRV](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-754-320.jpg)
![2 Definición El área A de la región S que se encuentra bajo la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
A lím
n l
Rn lím
n l
f x1 x f x2 x f xn x
NOTA Puede demostrarse que una definición equivalente de área es la siguiente: A
es el único número más grande que todas las sumas inferiores y menor que todas las
sumas superiores. Vimos en los ejemplos 1 y 2, por ejemplo, que el área (A
1
3) está
atrapada entre todas las sumas de aproximación izquierda Ln y todas las sumas de aproxi-
mación derecha Rn. La función de esos ejemplos, f (x) m x2
, pasa a ser creciente sobre
[0, 1] y así las sumas inferiores surgen de los extremos izquierdos y las sumas superiores
de los extremos de la derecha. (Véanse las figuras 8 y 9). En general, formamos sumas
inferiores (y superiores) mediante la selección de los puntos muestra x1
* de manera que
f(x1
*) es el valor mínimo (y máximo) de f sobre el i-ésimo subintervalo. (Véase la figura 14
y los ejercicios 7-8).](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-756-320.jpg)
![SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 367
b) Con n m 4, los subintervalos de igual ancho, $x m 0.5, son [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5]
y [1.5, 2]. Los puntos medios de estos subintervalos son x1
* 0.25, x2
* m 0.75, x3
* m 1.25 y
x4
* m 1.75, y la suma de las áreas de los cuatro rectángulos de aproximación (véase la
figura 15) es
1
2 e 0.25
e 0.75
e 1.25
e 1.75
0.8557
e 0.25
0.5 e 0.75
0.5 e 1.25
0.5 e 1.75
0.5
f 0.25 x f 0.75 x f 1.25 x f 1.75 x
M4
4
i 1
f xi
* x
De este modo, una estimación para el área es
A 0.8557
Con n m 10, los subintervalos son [0, 0.2], [0.2, 0.4],..., [1.8, 2], y los puntos medios
son x1
* m 0.1, x2
* m 0.3, x3
* m 0.5,..., x10
* m 1.9. Por consiguiente,
0.2 e 0.1
e 0.3
e 0.5
e 1.9
0.8632
A M10 f 0.1 x f 0.3 x f 0.5 x f 1.9 x
Con base en la figura 16, parece que esta estimación es mejor que la que se hizo con
n m 4.
El problema de la distancia
Consideremos ahora el problema de la distancia: halle la distancia recorrida por un objeto
durante cierto periodo de tiempo, si se conoce la velocidad del objeto en todo momento.
(En cierto sentido, este es el problema inverso del problema de la velocidad que se analizó
en la sección 2.1.) Si la velocidad permanece constante, entonces el problema de la distan-
cia es fácil de resolver por medio de la formula:
distancia m velocidad tiempo
Pero si la velocidad varía, no es fácil hallar la distancia recorrida. Investigamos el proble-
ma en el ejemplo siguiente.
v EJEMPLO 4 Supongamos que el odómetro de nuestro automóvil esta averiado y que
deseamos estimar la distancia que ha recorrido en un intervalo de tiempo de 30 segundos.
Tomamos las lecturas del velocímetro cada cinco segundos y las registramos en la tabla
siguiente:
0
Tiempo (s) 20
5 10 15 25 30
Velocidad (mih) 28
31
17 21 24 29 32
Para tener el tiempo y la velocidad en unidades coherentes, convertimos las lecturas
de velocidad a pies por segundo (1miYh m 5280Y3600piesYs):
Tiempo (s) 30
25
20
15
10
5
0
41
46
47
43
35
31
25
Velocidad (piess)
Durante los primeros cinco segundos, la velocidad no cambia mucho, de modo que
podemos estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponer que la velocidad es
y=e–®
1
1
0
y
x
FIGURA 16
FIGURA 15
1
2
2
1 y=e–®
0
y
x](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-758-320.jpg)
![368 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
constante. Si tomamos la velocidad durante este intervalo de tiempo, con velocidad inicial
(25 piesYs), entonces obtenemos la distancia aproximada recorrida durante los primeros
cinco segundos:
25piesYs 5s m 125pies
De manera análoga, durante el segundo intervalo de tiempo la velocidad es aproximadamente
constante, y tomamos la velocidad correspondiente a t m 5s. De modo que nuestra
estimación para la distancia recorrida desde t m 5s hasta t m 10s es
31piesYs 5s m 155pies
Si sumamos estimaciones similares para los otros intervalos de tiempo, obtenemos una
estimación para la distancia total recorrida:
(25 5) (31 5) (35 5) (43 5) (47 5) (46 5) m 1135pies
Podríamos así haber utilizado la velocidad al final de cada periodo de tiempo en lugar
de la velocidad al principio como nuestra supuesta velocidad constante. Entonces nuestra
estimación se convierte en
(31 5) (35 5) (43 5) (47 5) (46 5) (41 5) m 1215pies
Si buscáramos una estimación más exacta, habríamos tomado las lecturas de la
velocidad cada dos segundos o cada segundo.
Tal vez los cálculos del ejemplo 4 le recuerden las sumas usadas al principio para
estimar las áreas. La semejanza se explica cuando dibujamos la gráfica de la función
velocidad del automóvil de la figura 17 y dibujamos rectángulos cuyas alturas son las velo-
cidades iniciales en cada intervalo. El área del primer rectángulo es 25 5 m 125, lo que
también es su estimación de la distancia recorrida en los primeros cinco segundos. De
hecho, el área de cada rectángulo puede interpretarse como una distancia porque la
altura representa la velocidad, y el ancho, al tiempo. La suma de las áreas de los rec-
tángulos de la figura 17 es L6 m 1135, lo cual es nuestra estimación inicial de la distancia
total recorrida.
En general, supongamos que un objeto se mueve con velocidad v m f (t), donde
a v t v b y f(t) w 0 (de modo que el objeto siempre se mueve en la dirección positiva).
Tomemos las lecturas de la velocidad en los instantes t0 (m a), t1, t2, . . . , tn (m b)
de modo que la velocidad sea aproximadamente constante sobre cada subintervalo.
Si estos instantes están igualmente espaciados, entonces el tiempo entre lecturas consecuti-
vas es $t m (b a)Yn. Durante el primer intervalo de tiempo, la velocidad es aproxima-
damente f (t0) y, por consiguiente, la distancia recorrida es aproximadamente f (t0) $t.
De manera análoga, la distancia recorrida durante el segundo intervalo de tiempo es
alrededor de f (t1) $t y la distancia total recorrida durante el intervalo [a, b] es aproxi-
madamente
f t0 t f t1 t f tn 1 t
n
i 1
f ti 1 t
Si usamos la velocidad en los puntos extremos de la derecha, en lugar de los puntos extre-
mos de la izquierda, nuestra estimación para la distancia total resulta
f t1 t f t2 t f tn t
n
i 1
f ti t
FIGURA 17
10 20
20
40
30
0
√
t](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-759-320.jpg)
![0.0001.
SAC 27. a) Exprese el área bajo la curva y m x5
desde 0 hasta 2 como
un límite.
b) Utilice un sistema algebraico computarizado a fin de encon-
trar la suma de su expresión del inciso a).
c) Evalúe el límite del inciso a).
SAC 28. Halle el área exacta de la región bajo la gráfica de y m ex
desde 0 hasta 2 utilizando un sistema algebraico
computarizado, con objeto de evaluar la suma y después el
límite del ejemplo 3a). Compare su respuesta con la
estimación obtenida en el ejemplo 3b).
SAC 29. Encuentre el área exacta bajo la curva y m cos x, desde x m 0
hasta x m b, donde 0 v b v )Y2. (Use un sistema algebraico
computarizado para evaluar la suma y calcular el límite.) En
particular, ¿cuál es el área si b m )Y2?
30. a) Sea An el área de un polígono con n lados iguales,
inscrito en un círculo con radio r. Al dividir el polígono
en n triángulos congruentes con ángulo central 2)Yn,
demuestre que
An
1
2 nr2
sen
2
n
p
b) Demuestre que límnl An r2
` p . [Sugerencia: use la ecua-
ción 3.3.2 de la página 192.]](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-767-320.jpg)
![372 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
El significado preciso del límite que define a la integral es como sigue:
Para cualquier número 0, existe un entero N tal que
y
b
a
f x dx
n
i 1
f xi
* x
para cualquier entero n N y para cualquier elección de xi
* en [xi1, xi].
NOTA 1 Leibniz introdujo el símbolo ∫ y se llama signo de integral. Es una S alargada
y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación f x
xb
a
f x dx,
se llama integrando, y a y b se conocen como límites de integración; a es el límite
inferior y b es el límite superior. Por ahora, el símbolo dx no tiene significado por sí
mismo; la expresión xb
a
f x dx, vista como un todo, es un símbolo único. La dx indica
simplemente que la variable independiente es x. El procedimiento para calcular una inte-
gral se llama integración.
NOTA 2 La integral definida xb
a
f x dx es un número que no depende de x. De hecho,
podría utilizarse cualquier letra en lugar de x sin cambiar el valor de la integral:
y
b
a
f x dx y
b
a
f t dt y
b
a
f r dr
NOTA 3 La suma
n
i 1
f xi
* x
que aparece en la definición 2 se llama suma de Riemann, en honor del matemático ale-
mán Bernhard Riemann (1826-1866). De tal manera que la definición 2 indica que la
integral definida de una función integrable puede aproximarse dentro de cualquier grado
de exactitud mediante la suma de Riemann.
Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann puede interpretarse como
una suma de áreas de los rectángulos de aproximación (véase la figura 1). Al comparar la
definición 2 con la definición de área de la sección 5.1, vemos que la integral definida
xb
a
f x dx puede interpretarse como el área bajo la curva y m f(x), desde a hasta b (véase
la figura 2).
2 Definición de la integral definida Si f es una función continua definida
para a v x v b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho
$x m (b a)Yn. Sean x0 (m a), x1, x2,..., xn (m b) los puntos extremos de estos
subintervalos y sean x1
*, x2
*,..., xn
* los puntos muestra en estos subintervalos, de
modo que xi
* se encuentre en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi]. Entonces la integral
definida de f, desde a hasta b, es
y
b
a
f x dx lím
nl
n
i 1
f xi
* x
`
siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones
de los puntos muestra. Si existe, decimos que f es integrable sobre [a, b].
RIEMANN
Bernhard Riemann recibió su doctorado en
filosofía bajo la dirección del legendario Gauss,
en la Universidad de Göttingen, y permaneció
allí para enseñar. Gauss, que no tenía el hábito
de elogiar a otros matemáticos, habló de “la
mente creativa, activa, en verdad matemática
y la gloriosamente fértil originalidad” de Riemann.
La definición 2 de integral que utilizamos se
debe a Riemann. También hizo colaboraciones
importantes a la teoría de funciones de una
variable compleja, a la fisicomatemática, a la
teoría de números y a los fundamentos de
la geometría. El profundo concepto de Riemann
del espacio y de la geometría resultó ser,
50 años más tarde, el apoyo idóneo para la
teoría general de la relatividad de Einstein.
La salud de Riemann fue mala durante toda
su vida, y murió de tuberculosis a los 39 años.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-768-320.jpg)
![SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 373
Si f toma valores tanto positivos como negativos, como en la figura 3, entonces la
suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del
eje x y los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x (las áreas
de los rectángulos en azul menos las áreas de los rectángulos en oro). Cuando tomamos
el límite de esas sumas de Riemann, obtenemos la situación que se ilustra en la figura 4.
Una integral definida puede interpretarse como un área neta; es decir, una diferencia de
áreas:
y
b
a
f x dx A1 A2
donde A1 es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, y A2 correspon-
de al área de la región debajo del eje x y arriba de la gráfica de f.
NOTA 4 Aunque hemos definido xb
a
f x dx dividiendo [a, b] en subintervalos del
mismo ancho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de dife-
rente ancho. Por ejemplo, en el ejercicio 16 de la sección 5.1, la nasa proporcionó datos
de velocidad en tiempos que no estaban igualmente espaciados, pero aun así fuimos capa-
ces de estimar la distancia recorrida. Existen métodos para la integración numérica que
aprovechan los subintervalos desiguales.
Si los anchos de los intervalos son $x1, $x2,..., $xn, debemos asegurarnos de que todos
estos anchos tiendan a 0 en el proceso de determinación de límites. Esto sucede si el ancho
más grande, máx $xi, tiende a 0. De manera que en este caso la definición de la integral
definida se convierte en
y
b
a
f x dx lím
máx xi l0
n
i 1
f xi
* xi
NOTA 5 Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas
las funciones son integrables (véanse los ejercicios 69-70). El teorema siguiente muestra
que la mayor parte de las funciones que usualmente se presentan en realidad son integra-
bles. Esto se demuestra en cursos más avanzados.
xi
0
y
x
a
Îx
FIGURA 1
6Lƒ˘0ODVXPDGH5LHPDQQμ f(xi
) Îx
HVODVXPDGHODViUHDVGHORVUHFWiQJXORV
y=ƒ
0
y
x
a
b b
FIGURA 2
6Lƒ˘0ODLQWHJUDOj ƒ dxHVHOiUHD
EDMRODFXUYDy=ƒGHVGHDKDVWDE
D
E
FIGURA 3
μ f(xi
) ÎxHVXQDDSUR[LPDFLyQ
DOiUHDQHWD
0
y=ƒ
y
a b x
y=ƒ
y
x
a b
0
FIGURA 4
j ƒ dxHVHOiUHDQHWD
D
E
3 Teorema Si f es continua sobre [a, b], o si f tiene sólo un número finito de
discontinuidades de salto, entonces f es integrable sobre [a, b]; es decir, la integral
definida xb
a
f x dx existe.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-769-320.jpg)
![374 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
Si f es integrable sobre [a, b], entonces el límite en la definición 2 existe y proporciona
el mismo valor, sin importar cómo seleccione los puntos muestra xi
*. Para simplificar los
cálculos de la integral, con frecuencia tomamos los puntos muestra en los extremos de la
derecha. Por tanto, xi
* m xi y la definición de la integral se simplifica como sigue.
4 Teorema Si f es integrable sobre [a, b], entonces
y
donde x
b a
n
xi a i x
y
b
a
f x dx lím
nl
n
i 1
f xi x
`
EJEMPLO 1 Exprese
lím
nl
n
i 1
xi
3
xi sen xi x
`
como una integral sobre el intervalo [0, )].
SOLUCIÓN Al comparar el límite dado con el límite en el teorema 4, vemos que es
idéntico si elegimos f(x) m x3
x sen x. Puesto que a m 0 y b m ), tenemos, por el
teorema 4,
lím
n l
n
i 1
xi
3
xi sen xi x y0
x3
x sen x dx
`
p
Más adelante, cuando apliquemos la integral definida a situaciones físicas, será
importante reconocer los límites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando
Leibniz eligió la notación para la integral, escogió los ingredientes para recordar el
proceso de tomar el límite. En general, cuando escribimos
lím
n l
n
i 1
f xi
* x y
b
a
f x dx
`
reemplazamos lím O por ∫, xi
* por x, y $x por dx.
Evaluación de integrales
Cuando utilizamos la definición para evaluar una integral definida, necesitamos saber
cómo trabajar con sumas. Las tres ecuaciones siguientes dan fórmulas para las sumas
de potencias de enteros positivos. Es posible que conozca la ecuación 5 a partir un
curso de álgebra. Las ecuaciones 6 y 7 se analizaron en la sección 5.1 y se demuestran
en el apéndice E.
7
n
i 1
i3
n n 1
2
2
6
n
i 1
i2
n n 1 2n 1
6
5
n
i 1
i
n n 1
2](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-770-320.jpg)
![b,
puede verse la propiedad 5 a partir de la interpretación geométrica de la figura 15: el área
bajo y m f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b es igual al área total desde
a hasta b.
y
0 x
a b
f
g
f+g
FIGURA 14
j [ƒ+©] dx=
j ƒ dx+j © dx
D
E
D
E
D
E
FIGURA 15
0
y
x
a b
c
y=ƒ
La propiedad 3 parece intuitivamente razonable
porque si se multiplica una función por un
número positivo c, su gráfica se alarga o contrae
en el sentido vertical un factor de c. De modo
que alarga o contrae cada rectángulo de
aproximación un factor de c y, por consecuencia,
tiene el efecto de multiplicar el área por c.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-780-320.jpg)
![b, a m b o a b. Las propiedades
que se enuncian a continuación, en las que se comparan tamaños de funciones y tamaños
de integrales, son verdaderas sólo si a v b.
Propiedades de comparación de la integral
6. Si para , entonces .
Si para , entonces
Si para , entonces .
7.
8.
m b a y
b
a
f x dx M b a
a x b
m f x M
y
b
a
f x dx y
b
a
t x dx
a x b
f x t x
y
b
a
f x dx 0
a x b
f x 0
Si f(x) w 0, entonces xb
a
f x dx representa el área bajo la gráfica de f, de manera que la
interpretación geométrica de la propiedad 6 es simplemente que las áreas son positivas
(esto también se sigue directamente de la definición porque todas las cantidades involucra-
das son positivas). La propiedad 7 expresa que una función más grande tiene una integral
más grande, lo cual se infiere de las propiedades 6 y 4 porque f J w 0.
La propiedad 8 se ilustra mediante la figura 16 para el caso en que f(x) w 0. Si f es
continua podríamos tomar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre
el intervalo [a, b]. En este caso, la propiedad 8 expresa que el área bajo la gráfica de f es
mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que el área del rectángulo con
altura M.
DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 8 Puesto que m v f(x) v M, la propiedad 7 plantea que
y
b
a
m dx y
b
a
f x dx y
b
a
M dx
Si aplicamos la propiedad 1 para evaluar las integrales en el primero y el segundo
miembros, obtenemos
m b a y
b
a
f x dx M b a
La propiedad 8 es útil si lo que quiere se reduce es una estimación general del tamaño
de una integral sin las dificultades que representa el uso de la regla del punto medio.
EJEMPLO 8 Use la propiedad 8 para estimar y
1
0
e x 2
dx.
SOLUCIÓN Debido a que f x e x 2
es una función decreciente sobre [0, 1], su valor
máximo absoluto es M m f(0) m 1 y su valor mínimo absoluto es m m f(1) m e1
. De
0
y
m
M
x
a b
y=ƒ
FIGURA 16](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-782-320.jpg)
![SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 383
9-12 Use la regla del punto medio, con el valor dado de n, para
hallar una aproximación de cada una de las siguientes integrales.
Redondee cada respuesta hasta cuatro cifras decimales.
9. 10. ,
.
2
1
.
1
1 y
5
1
x2
e x
dx, n 4
y
2
0
x
x 1
dx, n 5
n 4
y
2
0
cos4
x dx
y
8
0
sensx dx, n 4
SAC 13. Si tiene un SAC que evalúe las aproximaciones con los puntos
medios y trace los rectángulos correspondientes (en Maple, use
los comandos de RiemannSum o middlebox y middlebox),
compruebe la respuesta del ejercicio 11 e ilustre con una
gráfica. Después, repita con n m 10 y n m 20.
14. Con una calculadora programable o una computadora (vea las
instrucciones para el ejercicio 9 de la sección 5.1), calcule
las sumas de Riemann izquierda y derecha para la función
f(x) m x Y(x 1) sobre el intervalo [0, 2], con n m 100.
Explique por qué estas estimaciones demuestran que
0.8946 y
2
0
x
x 1
dx 0.9081
15. Use una calculadora o una computadora para hacer una tabla
de valores de sumas de la derecha de Riemann Rn para la
integral x0
sen x dx con n m 5, 10, 50 y 100. ¿A qué valor
parecen aproximarse estos números?
16. Use calculadora o computadora para hacer una tabla
de valores de las sumas de la izquierda y de la derecha de
Riemann Ln y Rn para la integral x2
0
e x 2
dx con n m 5, 10, 50
y 100. ¿Entre que números tiene que encontrarse el valor de la
integral? ¿Puede formular un enunciado similar para la integral
x2
1
e x 2
dx? Explique su respuesta.
17-20 Exprese cada uno de los siguientes límites como una integral
definida sobre el intervalo dado.
17.
18.
19. ,
20. , 1, 3
lím
nl
n
i 1
xi
*
xi
* 2
4
x
2, 7]
lím
nl
n
i 1
5 xi
* 3
4xi
* x
lím
nl
n
i 1
cos xi
xi
x, , 2
lím
nl
n
i 1
xi ln 1 xi
2
x, 2, 6
p p
21-25 Use la forma de la definición de integral que se dio en el
teorema 4 para evaluar la integral.
.
2
2
.
1
2
23. 24.
25. y
1
0
x3
3x2
dx
y
0
2
x2
x dx y
2
0
2x x3
dx
y
4
1
x2
4x 2 dx
y
5
2
4 2x dx
26. a) Halle una aproximación a la integral x4
0
x2
3x dx usando
una suma de Riemann con puntos extremos de la derecha y
n m 8.
b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustrar la
aproximación del inciso a).
c) Aplique el teorema 4 para evaluar x4
0
x2
3x dx.
d) Interprete la integral del inciso c) como una diferencia de
áreas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4.
27. Demuestre que y
b
a
x dx
b2
a2
2
.
28. Demuestre que y
b
a
x2
dx
b3
a3
3
.
29-30 Exprese la integral como un límite de sumas de Riemann.
No evalúe el límite.
.
0
3
.
9
2 y
10
1
x 4 ln x dx
y
6
2
x
1 x5 dx
SAC 31-32 Exprese cada una de las siguientes integrales como
un límite de sumas. Después, evalúe utilizando un sistema
algebraico computarizado para encontrar tanto la
suma como el límite.
.
2
3
.
1
3 y
10
2
x6
dx
y0
sen 5 x dx
33. Se muestra la gráfica de f. Evalúe cada una de las siguientes
integrales interpretándola en términos de áreas.
)
b
)
a
)
d
)
c y
9
0
f x dx
y
7
5
f x dx
y
5
0
f x dx
y
2
0
f x dx
x
y
0
2
4 6 8
2
y=ƒ
34. La gráfica J consiste en dos rectas y una semicircunferencia.
Úsela para evaluar cada una de las siguientes integrales.
a) b) c) y
7
0
t x dx
y
6
2
t x dx
y
2
0
t x dx
x
y
0
2
4 7
4
y=©](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-784-320.jpg)
![PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO FUNCIONES ÁREA 385
65-66 Mediante las propiedades de las integrales, junto con los
ejercicios 27 y 28, demuestre cada una de las siguientes
desigualdades.
65.
66. y
2
0
x sen x dx
2
8
y
3
1
sx4 1 dx
26
3
p p
67. Demuestre la propiedad 3 de las integrales.
68. a) Si f es continua sobre [a, b], demuestre que
y
b
a
f x dx y
b
a
f x dx
[Sugerencia: .]
f x f x f x
b) Utilice el resultado del inciso a) para demostrar que
y
2
0
f x sen 2x dx y
2
0
f x dx
p
p
69. Sea f(x) m 0 si x es cualquier número racional y f(x) m 1
si x es cualquier número irracional. Demuestre que f no es
integrable sobre [0, 1].
70. Sea f(0) m 0 y f(x) m 1Yx si 0](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-786-320.jpg)
![x v 1. Demuestre que f no
es integrable sobre [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el
primer término en la suma de Riemann, f(xi
*) $x, puede
hacerse de manera arbitraria muy grande].
71-72 Exprese cada uno de los siguientes límites como una integral
definida.
71. [Sugerencia: considere .]
72.
lím
n l
n
i 1
i 4
n5
f x x4
lím
n l
1
n
n
i 1
1
1 i n 2
73. Determine x2
1
x 2
dx. Sugerencia: elija xi
* como la media
geométrica xi1 y xi (es decir, )
xi
* sxi 1 xi y use la identidad
1
m m 1
1
m
1
m 1
PROYECTO PARA
UN DESCUBRIMIENTO FUNCIONES ÁREA
1. a) Trace la recta y m 2t 1 y utilice la geometría para hallar el área bajo esta recta, arriba
del eje t y entre las rectas verticales t m 1 y t m 3.
b) Si x 1, sea A(x) el área de la región que se encuentra bajo la recta y m 2t 1, entre
t m 1 y t m x. Dibuje un esquema de esta región y use la geometría a fin de hallar una
expresión para A(x).
c) Derive la función área A(x). ¿Qué observa?
2. a) Si x w 1, sea
A x y
x
1
1 t2
dt
A(x) representa el área de una región. Grafique la región.
b) A partir de los resultados del ejercicio 28 de la sección 5.2 encuentre una expresión
para A(x).
c) Determine A(x). ¿Qué observa?
d) Si x w 1 y h es un número positivo pequeño, entonces A(x h) A(x) representa el
área de una región. Describa y grafique la región.
e) Dibuje un rectángulo que aproxime la región del inciso d). Mediante la comparación
de áreas de estas dos regiones demuestre que
A x h A x
h
1 x2
f) Mediante el inciso e) proporcione una explicación intuitiva del resultado del inciso c).
3. a) Grafique la función f(x) m cos(x2
) en el rectángulo de vista [0, 2] por [1.25, 1.25].
b) Si definimos una nueva función J por medio de
t x y
x
0
cos t2
dt
entonces J(x) es el área bajo la gráfica de f de 0 a x [hasta que f(x) sea negativa, en cuyo
punto J(x) es una diferencia de áreas]. Use el resultado del inciso a) para determinar el
Se requiere calculadora graficadora o computadora](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-787-320.jpg)
![386 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque
establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el cálculo diferencial y el cálcu-
lo integral. El Cálculo diferencial surgió del problema de la recta tangente, mientras que
el Cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado, el problema del
área. El profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descubrió que en
realidad estos dos problemas estaban íntimamente relacionados. De hecho, se dio cuenta
de que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del
cálculo precisa la relación inversa entre la derivada y la integral. Newton y Leibniz explo-
taron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo como un método matemático
sistemático. En particular, observaron que el teorema fundamental les permitía calcular
con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas como
en las secciones 5.1 y 5.2.
La primera parte del teorema fundamental trata con funciones definidas por una ecua-
ción en la forma
t x y
x
a
f t dt
1
donde f es una función continua sobre [a, b] y x varía entre a y b. Observe que J depende
sólo de x, que aparece como el límite variable superior en la integral. Si x es un número
fijo, entonces la integral xx
a
f t dt es un número definido. Si después hacemos variar x, el
número xx
a
f t dt también varía y define una función de x que se denota mediante J(x).
Si f es una función positiva, entonces J(x) puede interpretarse como el área bajo la grá-
fica de f de a a x, donde x puede variar de a a b. (Piense en J como la función “el área hasta”;
véase la figura 1.)
valor de x en el cual J(x) empieza a decrecer. [A diferencia de la integral del problema 2,
es imposible evaluar la integral que define J para obtener una expresión explícita
para J(x).]
c) Utilice el comando de integración de su calculadora o computadora para estimar J(0.2),
J(0.4), J(0.6),..., J(1.8), J(2). Después, con estos valores dibuje una gráfica de J.
d) Use su gráfica de J del inciso c) para dibujar la gráfica de J utilizando la interpretación
de J(x) como la pendiente de una recta tangente. ¿Qué relación existe entre la gráfica de
J y la de f?
4. Supongamos que f es una función continua sobre el intervalo [a, b] y definimos una nueva
función J por la ecuación
t x y
x
a
f t dt
Tomando como base sus resultados en los problemas 1 a 3, deduzca una expresión para J(x).
5.3 Teorema fundamental del cálculo
0
y
t
a b
x
iUHD=©
y=f(t)
FIGURA 1](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-788-320.jpg)
![388 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
Con objeto de ver por qué en general esto puede ser verdadero, considere cualquier
función continua f con f(x) w 0. Entonces t x xx
a
f t t
d puede interpretarse como el
área bajo la gráfica de f de a a x, como en la figura 1.
A fin de calcular J(x) a partir de la definición de derivada, en primer lugar observe
que, para h 0, J(x h) J(x) se obtiene restando áreas; por tanto, es el área bajo la
gráfica de f de x a x h (el área azul de la figura 5). Para h pequeñas, a partir de
la figura puede ver que esta área es aproximadamente igual al área del rectángulo con
altura f(x) y ancho h:
por eso
t x h t x
h
f x
t x h t x hf x
En consecuencia, por intuición, esperamos que
t x lím
hl 0
t x h t x
h
f x
El hecho de que esto sea verdadero, aun cuando f no sea necesariamente positiva, es la
primera parte del teorema fundamental del cálculo.
y
0 t
a b
x x+h
h
ƒ
FIGURA 5
Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si f es continua sobre [a, b], entonces la
función J definida por
t x y
x
a
f t dt a x b
es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y J(x) m f(x).
El nombre de este teorema se abrevia como
TFC1: expresa que la derivada de una integral
definida respecto a su límite superior es el
integrando evaluado tal límite.
DEMOSTRACIÓN Si x y x h están en (a, b), entonces
(por la propiedad 5)
y
x h
x
f t dt
y
x
a
f t dt y
x h
x
f t dt y
x
a
f t dt
t x h t x y
x h
a
f t dt y
x
a
f t dt
y de este modo, para h 0,
2
t x h t x
h
1
h
y
x h
x
f t dt
Por ahora supongamos que h 0. Puesto que f es continua sobre [x, x h], el teorema
del valor extremo establece que hay números u y v en [x, x h] tales que f (u) m m y
f (v) m M, donde m y M son los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre [x, x h]
(Véase la figura 6.)
De acuerdo con la propiedad 8 de las integrales, tenemos
mh y
x h
x
f t dt Mh
FIGURA 6](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-792-320.jpg)
![0.
(Véase el ejercicio 71.)
Ahora sea h l 0. Entonces u l x y v l x, ya que u y v quedan entre x y x h. Por
tanto,
y lím
hl 0
f v lím
v lx
f v f x
lím
hl 0
f u lím
ul x
f u f x
porque f es continua en x. De acuerdo con 3 y el teorema de la compresión concluimos
que
t x lím
hl 0
t x h t x
h
f x
4
Si x m a o b, entonces la ecuación 4 puede interpretarse como un límite unilateral.
Entonces el teorema 2.8.4 (modificado para límites unilaterales) demuestra que J es
continua sobre [a, b].
De acuerdo con la notación de Leibniz para derivadas, podemos expresar al tfc1
como
5
d
dx
y
x
a
f t dt f x
cuando f es continua. En términos generales, la ecuación 5 establece que si primero inte-
gramos f y luego derivamos el resultado, regresamos a la función original f.
v EJEMPLO 2 Encuentre la derivada de la función t x y
x
0
s1 t2
dt.
SOLUCIÓN Puesto que f t s1 t2 es continua, la parte 1 del teorema fundamental
del cálculo da
t x s1 x2
EJEMPLO 3 Si bien una fórmula en la forma t x xx
a
f t dt puede parecer una forma
extraña de definir una función, los libros de física, química y estadística están llenos de
funciones semejantes. Por ejemplo, la función de Fresnel
S x y
x
0
sen t2
2 dt
p
recibe ese nombre en honor del físico francés Augustin Fresnel (1788-1827), que es famoso
por sus trabajos en óptica. Esta función apareció por primera vez en la teoría de Fresnel de
la difracción de la luz, pero a últimas fechas se ha aplicado al diseño de autopistas.
TEC En Module 5.3 se proporciona evidencia
visual para el TFC1.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-794-320.jpg)
![390 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
La parte 1 del teorema fundamental indica cómo derivar la función de Fresnel:
S x sen x2
2
p
Esto significa que podemos aplicar todos los métodos del cálculo diferencial para analizar
S (véase el ejercicio 65).
En la figura 7 se muestran las gráficas de f(x) m sen ()x2
Y2) y de la función de Fresnel
S x xx
0
f t t
d . Puede utilizarse una computadora para graficar S calculando el valor de
esta integral para muchos valores de x. Evidentemente, parece que S(x) es el área bajo la
gráfica de f de 0 hasta x [hasta que x 1.4 cuando S(x) sea una diferencia de áreas].
La figura 8 muestra una gran parte de la gráfica de S.
FIGURA 7
VHQ](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-795-320.jpg)
![0]. De modo que esto da una confirmación
visual de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.
EJEMPLO 4 Encuentre
d
dx
y
x4
1
sec t dt.
SOLUCIÓN En este caso debe ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con el
tfc1. Sea u m x4
. Por tanto,
(Por la regla de la cadena)
(por TFC1)
sec x4
4x3
sec u
du
dx
d
du
y
u
1
sec t dt
du
dx
d
dx
y
x4
1
sec t dt
d
dx
y
u
1
sec t dt
En la sección 5.2 calculamos integrales a partir de la definición como un límite de las
sumas de Riemann, y vimos que ese procedimiento es a veces largo y difícil. La segunda
parte del teorema fundamental del cálculo, que se infiere con facilidad de la prime-
ra parte, representa un método mucho más simple para evaluar integrales.](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-799-320.jpg)
![SECCIÓN 5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 391
DEMOSTRACIÓN Sea t x xx
a
f t dt. De acuerdo con la parte 1, sabemos que J(x) m
f(x); es decir, J es una antiderivada de f. Si F es cualquier otra antiderivada de f sobre
[a, b], entonces, por el corolario 4.2.7, la diferencia entre F y J es una constante:
6 F x t x C
para a](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-800-320.jpg)
![b. Pero tanto F como J son continuas sobre [a, b] y de este modo, al obtener
los límites de ambos miembros de la ecuación 6, (cuando x l a
y x l b
), vemos que
también se cumple cuando x m a y x m b.
Si hacemos x m a en la fórmula para J(x), obtenemos
t a y
a
a
f t dt 0
Entonces, al aplicar la ecuación 6 con x m b y x m a, tenemos
t b t a t b y
b
a
f t dt
F b F a t b C t a C
La parte 2 del teorema fundamental establece que si conocemos una antiderivada F
de f, entonces podemos evaluar xb
a
f x x
d simplemente calculando la diferencia de los
valores de F en los extremos del intervalo [a, b]. Sorprende mucho que xb
a
f x dx, que fue
definida mediante un procedimiento complicado que requiere todos los valores de f(x) para
a v x v b, pueda determinarse conociendo los valores de F(x) en sólo dos puntos, a y b.
Aunque el teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta en
términos físicos. Si v(t) es la velocidad de un objeto y s(t) es su posición en el tiempo t,
entonces v(t) m s(t), así que s es una antiderivada de v. En la sección 5.1 se estudia un
objeto que siempre se mueve en la dirección positiva y plantea una conjetura de que el área
bajo la curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida. Si lo expresamos mediante
símbolos:
y
b
a
v t dt s b s a
Eso es exactamente lo que el tfc2 establece en este contexto.
v EJEMPLO 5 Evalúe la integral y
3
1
ex
dx.
SOLUCIÓN La función f(x) m ex
es continua en todo su dominio, y sabemos que una
antiderivada es F(x) m ex
, de modo que la parte 2 del teorema fundamental da
y
3
1
ex
dx F 3 F 1 e3
e
Observe que el tfc2 establece que podemos utilizar cualquier antiderivada F de f.
De este modo podríamos usar la más sencilla, a saber F(x) m ex
, en lugar de ex
7 o
de ex
C.
Teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua sobre [a, b], entonces
y
b
a
f x dx F b F a
donde F es una antiderivada de f; es decir, una función tal que F m f.
Este teorema se abrevia mediante las siglas
TFC2.
Compare el cálculo en el ejemplo 5 con el
mucho más difícil del ejemplo 3 de la
sección 5.2](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-802-320.jpg)
![392 CAPÍTULO 5 INTEGRALES
A menudo se recurre a la notación
F x ]a
b
F b F a
Así que la ecuació](https://image.slidesharecdn.com/clculodeunavariabletrascendente-220421033935/85/Calculo_de_una_variable_trascendente-pdf-803-320.jpg)
Cálculo_de_una_variable_trascendente.pdf
- 1. Trascendentes tempranas 7E 7E Cálculo de una variable Trascendentes tempranas CÁLCULO de una variable, Trascendentes tempranas es ampliamente reconocido por su precisión matemática, claridad de la exposición y notables ejemplos y conjuntos de pro- blemas. Millones de estudiantes en todo el mundo han estudiado el cálculo a través del estilo registrado de Stewart, mientras que los instructores han adoptado su planteamiento una y otra vez. En la séptima edición, Stewart continúa estableciendo el estándar para el curso al tiempo que añade contenido cuidadosamente revisado. Las pacientes expli- caciones, los excelentes ejercicios centrados en la resolución de problemas y las series de ejercicios cuidadosamente graduadas que han hecho de los textos de Stewart best sellers, continúan proporcionando una base sólida para esta edición. Desde los estudiantes con menos preparación hasta los más talentosos matemáticos, la redacción y la presentación de Stewart les sirven para mejorar el entendimiento y fomentar la confianza. Características t Cuatro pruebas de diagnóstico cuidadosamente diseñadas en el álgebra, geome- tría analítica, funciones y trigonometría aparecen al principio del texto. Éstas proporcionan a los estudiantes una manera conveniente de poner a prueba su conocimiento previo y poner al día las técnicas y habilidades que necesitan para comenzar con éxito el curso. Las respuestas están incluidas y los estudiantes que necesiten mejorar se remiten a los puntos en el texto o en la página web del libro donde pueden buscar ayuda. t Cada concepto se apoya en ejemplos resueltos con precisión, muchos de ellos con explicaciones paso a paso y ejercicios cuidadosamente seleccionados. La calidad de este sistema pedagógico es lo que distingue a los textos de Stewart de otros. t Los ejemplos no son sólo modelos para resolver problemas o un medio para demos- trar las técnicas, sino que los estudiantes también desarrollan una visión analítica del tema. Para proporcionar una mayor comprensión de los conceptos matemá- ticos, muchos de estos ejemplos detallados muestran soluciones que se presentan gráfica, analítica y/o de forma numérica. Las notas al margen amplían y aclaran los pasos de la solución. t El tema de las ecuaciones diferenciales es unificado con el tema del modelaje. A los enfoques cualitativos, numéricos y analíticos se les da la misma consideración. t Se han incrementado el número de problemas a la serie de ejercicios más difíciles de la sección “Problemas adicionales” al final de cada capítulo. Estas secciones refuerzan los conceptos que requieren los estudiantes para aplicar las técnicas de más de un capítulo del texto y la paciencia mostrada en la forma de abordar un problema difícil. Cálculo de una variable
- 2. C Á L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T E S T E M P R A N A S S É P T I M A E D I C I Ó N 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página i
- 4. C Á L C U L O D E U N A V A R I A B L E T R A S C E N D E N T E S T E M P R A N A S S É P T I M A E D I C I Ó N JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traducción María del Carmen Rodríguez Pedroza Revisión técnica Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías Aplicadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Cálculo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Página iii
- 5. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas Séptima edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona GerentedeManufacturaparaLatinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel GerenteEditorialdeContenidosenEspañol Pilar Hernández Santamarina Coordinador de Manufactura Rafael Pérez González Editores Sergio Cervantes González Gloria Luz Olguín Sarmiento Diseño de portada Irene Morris Imagen de portada Irene Morris Composición tipográfica 6Ns © D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage LearningR es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información, a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Single variable. Early trascendentals. Seventh Edition. James Stewart Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012 ISBN: 978-0-538-49867-8 Datos para catalogación bibliográfica Stewart James Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Séptima edición ISBN: 978-607-481-881-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Página iv
- 6. A Bill Ralph y Bruce Thompson 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página v
- 8. vii Prefacio xiii Al estudiante xxv Exámenes de diagnóstico xxvii UN PREVIO DE CÁLCULO 1 1.1 Cuatro maneras de representar una función 10 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales 23 1.3 Nuevas funciones a partir de funciones viejas 36 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 44 1.5 Funciones exponenciales 51 1.6 Funciones inversas y logaritmos 58 Repaso 72 Principios para la resolución de problemas 75 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad 82 2.2 Límite de una función 87 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 99 2.4 La definición precisa de límite 108 2.5 Continuidad 118 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redacción de proyecto Primeros métodos para encontrar tangentes 153 2.8 La derivada como una función 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 1 Funciones y modelos 9 2 Límites y derivadas 81 Contenido 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página vii
- 9. viii CONTENIDO 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales 174 Proyecto de aplicación Construcción de una montaña rusa 184 3.2 Reglas del producto y el cociente 184 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas 191 3.4 Regla de la cadena 198 Proyecto de aplicación ¿Dónde debería un piloto iniciar el aterrizaje? 208 3.5 Derivación implícita 209 Proyecto de laboratorio Familias de curvas implícitas 217 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 3.9 Razones relacionadas 244 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 250 Proyecto de laboratorio Polinomios de Taylor 256 3.11 Funciones hiperbólicas 257 Repaso 264 Problemas adicionales 268 4.1 Valores máximos y mínimos 274 Proyecto de aplicación Cálculo de arcoíris 282 4.2 Teorema del valor medio 284 4.3 Cómo afecta la derivada la forma de una gráfica 290 4.4 Formas indeterminadas y regla de l’Hospital 301 Redacción de proyecto Los orígenes de la regla de l’Hospital 310 4.5 Resumen de trazado de curvas 310 4.6 Graficación con cálculo y calculadoras 318 4.7 Problemas de optimización 325 Proyecto de aplicación La forma de una lata 337 4.8 El método de Newton 338 4.9 Antiderivadas 344 Repaso 351 Problemas adicionales 355 3 Reglas de derivación 173 4 Aplicaciones de la derivada 273 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página viii
- 10. CONTENIDO ix 5.1 Áreas y distancias 360 5.2 La integral definida 371 Proyecto para un descubrimiento Funciones área 385 5.3 Teorema fundamental del cálculo 386 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 397 Redacción de proyecto Newton, Leibniz y la invención del cálculo 406 5.5 Regla de sustitución 407 Repaso 415 Problemas adicionales 419 6.1 Áreas entre curvas 422 Proyecto de aplicación El índice Gini 429 6.2 Volúmenes 430 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 441 6.4 Trabajo 446 6.5 Valor promedio de una función 451 Proyecto de aplicación El cálculo y el beisbol 455 Proyecto de aplicación Dónde sentarse en el cine 456 Repaso 457 Problemas adicinales 459 7.1 Integración por partes 464 7.2 Integrales trigonométricas 471 7.3 Sustitución trigonométrica 478 7.4 Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 484 7.5 Estrategias para la integración 494 7.6 Integración utilizando tablas y sistemas algebraicos computarizados 500 Proyecto para un descubrimiento Patrones en integrales 505 5 Integrales 359 6 Aplicaciones de la integración 421 7 Técnicas de integración 463 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página ix
- 11. x CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 506 7.8 Integrales impropias 519 Repaso 529 Problemas adicionales 533 8.1 Longitud de arco 538 Proyecto para un descubrimiento Concurso de la longitud de arco 545 8.2 Área de una superficie de revolución 545 Proyecto para un descubrimiento Rotación sobre una pendiente 551 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 552 Proyecto para un descubrimiento Tazas de café complementarias 562 8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 563 8.5 Probabilidad 568 Repaso 575 Problemas adicionales 577 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 580 9.2 Campos direccionales y método de Euler 585 9.3 Ecuaciones separables 594 Proyecto de aplicación ¿Qué tan rápido drena un tanque? 603 Proyecto de aplicación ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 604 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 605 9.5 Ecuaciones lineales 616 9.6 Sistemas depredador-presa 622 Repaso 629 Problemas adicionales 633 8 Aplicaciones adicionales de la integración 537 9 Ecuaciones diferenciales 579 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página x
- 12. CONTENIDO xi 10.1 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas 636 Proyecto de laboratorio Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 644 10.2 Cálculo con curvas paramétricas 645 Proyecto de laboratorio Curvas de Bézier 653 10.3 Coordenadas polares 654 Proyecto de laboratorio Familias de curvas polares 664 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 665 10.5 Secciones cónicas 670 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 678 Repaso 685 Problemas adicionales 688 11.1 Sucesiones 690 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas 703 11.2 Series 703 11.3 La prueba de la integral y estimación de sumas 714 11.4 Pruebas por comparación 722 11.5 Series alternantes 727 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 732 11.7 Estrategia para probar series 739 11.8 Series de potencias 741 11.9 Representación de las funciones como series de potencias 746 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 753 Proyecto de laboratorio Un límite escurridizo 767 Redacción de proyecto Cómo descubrió Newton la serie binomial 767 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 768 Proyecto de aplicación Radiación proveniente de las estrellas 777 Repaso 778 Problemas adicionales 781 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 635 11 Sucesiones y series infinitas 689 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xi
- 13. xii CONTENIDO A Números, desigualdades y valores absolutos A2 B Geometría de coordenadas y rectas A10 C Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 D Trigonometría A24 E Notación sigma A34 F Demostración de teoremas A39 G El logaritmo definido como una integral A48 H Números complejos A55 I Respuestas a ejercicios de número impar A63 Apéndices A1 Índice A115 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xii
- 14. xiii Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero siempre hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la emoción y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O L Y A El arte de la enseñanza, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar a descubrir. He inten- tado escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el Cálculo, tanto por su uti- lidad práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las seis primeras ediciones, mi objetivo es mostrar a los estudiantes un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar en ellos una competencia técnica, pero también intento ilustrar la belleza intrínseca de la materia. Sin duda, Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos; es mi deseo que los estudiantes compartan un poco de esa sensación. El énfasis está en la comprensión de los conceptos. Creo que casi todo el mundo está de acuerdo en que esta comprensión debe ser el objetivo principal de la enseñanza del Cálculo. De hecho, el impulso para la actual reforma en la enseñanza del Cálculo vino desde la Conferencia de Tulane en 1986, donde se formuló su primera recomendación: Concentrarse en la comprensión de los conceptos He intentado implementar este objetivo mediante la regla de los tres: “Los temas deben presentarse con enfoques geométricos, numéricos y algebraicos”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han modificado la manera en que se enseña el razonamiento conceptual. La regla de los tres se ha ampliado para convertirse en la regla de los cuatro al hacer hincapié en la verbalización y lo descriptivo. En la redacción de la séptima edición me he propuesto lograr una comprensión con- ceptual y conservar aún lo mejor del Cálculo tradicional. El libro contiene elementos de la reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. He escrito otros libros de cálculo que podrían ser preferidos por algunos maestros. La mayoría de ellos también vienen en versiones de una variable y de varias variables. ■ Cálculo: Transcendentes tempranas, séptima edición, versión híbrida, es similar al presente libro en contenido y cobertura salvo que todos los ejercicios de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final de capítulo. ■ Cálculo, séptima edición, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones trigonométricas inversas, logarítmicas y exponenciales se tratan en un segundo semestre. Versiones alternativas Prefacio 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xiii
- 15. xiv PREFACIO ■ Cálculo, séptima edición, versión híbrida, es similar a Cálculo, séptima edición, en contenido y cobertura, salvo que todos los ejercicios al final de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final del capítulo. ■ Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aunque contiene casi todos los temas de Cálculo, séptima edición. La relativa brevedad se logra a través de una exposición más concreta de algunos temas y poniendo algunas características en el sitio web. ■ Cálculo esencial: transcendentes tempranas se asemeja a Cálculo esencial, sólo que las funciones trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas se tratan en el capítulo 3. ■ Cálculo: conceptos y contextos, cuarta edición, destaca la comprensión conceptual aún más fuertemente que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y ecuaciones paramétricas es tejido a lo largo del libro en lugar de ser tratadas en capítulos separados. ■ Cálculo: primeros vectores introduce los vectores y las funciones vectoriales en un primer semestre y las integra en todo el libro. Es adecuado para los estudiantes que toman cursos de ingeniería y física simultáneamente con el de Cálculo. ■ Cálculo aplicado abreviado está destinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. Los cambios han sido resultado de los comentarios de mis colegas y estudiantes de la Universidad de Toronto y de la lectura de diarios, así como de las sugerencias de los usuarios y los revisores. Éstas son algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edición. ■ Parte del material ha sido reescrito para mayor claridad o mejor motivación. Véase, por ejemplo, la introducción al tema de valores máximos y mínimos en la página 274 y la introducción a las series en la página 703. ■ Se han agregado nuevos ejemplos, y las soluciones a algunos de los ejemplos existentes han sido ampliadas. Un caso puntual: he añadido detalles para la solución del ejemplo 2.3.11 porque cuando enseño la sección 2.3 de la sexta edición me he dado cuenta de que los estudiantes necesitan más orientación cuando se configuran las desigualdades para el teorema de la compresión. ■ El programa de arte ha sido renovado: se han incorporado nuevas figuras y un porcentaje importante de las actuales figuras han sido redibujadas. ■ Se han actualizado los datos de ejemplos y ejercicios para ser más pertinentes. ■ Se han agregado tres nuevos proyectos: El índice Gini (página 429) explora cómo medir la distribución del ingreso entre los habitantes de un país y es una atractiva aplicación del tema de área entre curvas. (Agradezco a Klaus Volpert por sugerir este proyecto.) En Familias de curvas implícitas (página 217) se investigan variadas formas cambiantes de curvas definidas implícitamente como parámetros en una familia. Las familias de curvas polares (página 664) exhiben las fascinantes formas de curvas polares y cómo evolucionan en el contexto de una familia. ¿Qué hay de nuevo en la séptima edición? 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xiv
- 16. PREFACIO xv ■ Más de 25% de los ejercicios de cada capítulo son nuevos. Éstos son algunos de mis favoritos: 1.6.58, 2.6.51, 2.8.13-14, 3.3.56, 3.4.67, 3.5.69-72, 3.7.22, 4.3.86, 5.2.51-53, 6.4.30, 11.2.49-50 y 11.10.71-72. ■ Los medios de comunicación y tecnología para apoyar el texto se han mejorado para dar a los profesores mayor control sobre su curso, proporcionar ayuda adicional para hacer frente a los diversos niveles de preparación de los estudiantes del curso de Cálculo y fortalecer el apoyo para la comprensión conceptual. Las características del nuevo Enhanced WebAssign incluyen un Cengage YouBook personalizado, un repaso Just in Time, un Show your Work, un Evaluador de respuestas, un Plan de estudio personalizado, Master Its, solución en videos, videoclips de conferencias (con preguntas asociadas) y un Visualizing Calculus (animaciones TEC con preguntas asociadas) que se han desarrollado para facilitar el mejor aprendizaje de los estudiantes y hacer flexible el trabajo docente en el aula. ■ El TEC (Herramientas para Enriquecer el Cálculo) ha sido completamente rediseñado y está disponible en Enhanced WebAssign, CourseMate y PowerLecture. Selected Visuals y Modules están disponibles en www.stewartcalculus.com. EJERCICIOS CONCEPTUALES La manera más importante de fomentar la comprensión conceptual es a través de los pro- blemas que proponemos. Para ello he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjun- tos de ejercicios comienzan solicitando la explicación del significado de los conceptos básicos de la sección. (Véase, por ejemplo, los primeros ejercicios en 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso comienzan con una verificación de conceptos y un Examen rápido Verdadero-Falso. Los ejercicios de verificación de comprensión conceptual a través de gráficos o tablas se ven en los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-40, 2.8.43-46, 9.1.11-13, 10.1.24-27 y 11.10.2. Otro tipo de ejercicio donde se utiliza la descripción verbal para verificar la compren- sión conceptual está en los ejercicios 2.5.10, 2.8.58, 4.3.63-64 y 7.8.67. Considero de valor especial los problemas que combinan y comparan los enfoques numéricos, gráficos y alge- braicos (ver ejercicios 2.6.39-40, 3.7.27 y 9.4.2). CONJUNTOS DE EJERCICIOS Cada conjunto de ejercicios es cuidadosamente calificado, progresando desde ejercicios CALIFICADOS conceptuales básicos y problemas para el desarrollo de habilidades hasta problemas más desafiantes de aplicaciones y demostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo buscando en bibliotecas, poniéndonos en contacto con empresas y organismos gubernamentales, y buscando información en inter- net con el fin de presentar, motivar e ilustrar los conceptos del Cálculo a partir de datos del mundo real. Como resultado, muchos de los ejemplos y ejercicios se tratan con funcio- nes definidas por estos datos numéricos o gráficos. Véase, por ejemplo, la figura 1 en la sección 1.1 (sismogramas del terremoto de Northridge), ejercicio 2.8.36 (porcentaje de la población menor de 18 años), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espa- cial Endeavour) y la figura 4 en la sección 5.4 (consumo de energía de San Francisco). PROYECTOS Una manera de interesar y activar a los estudiantes es hacerlos trabajar (quizás en grupos) en proyectos extendidos que den la sensación de triunfo al obtener un logro sustancial una vez finalizados. He incluido cuatro tipos de proyectos: proyectos de aplicación que invo- lucran aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de los estudiantes. El proyecto posterior a la sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada verticalmente hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su altura original. (La respuesta Mejoras tecnológicas Características 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 06:48 a.m. Página xv
- 17. xvi PREFACIO podría sorprenderle.) En la siguiente sección, 10.2, se muestra cómo utilizar las curvas de Bézier en el diseño de formas que representan letras para una impresora láser. La redac- ción de proyectos pide a los estudiantes comparar métodos actuales con los de los funda- dores del Cálculo, por ejemplo, el método de Fermat para encontrar rectas tangentes; para esto se sugieren referencias. Los proyectos para un descubrimiento anticipan resultados que se analizan más adelante o fomentan el descubrimiento a través del reconocimiento de patrones (véase la posterior a la sección 7.6). Otros proyectos se encuentran en la Guía del instructor (véase, por ejemplo, el grupo ejercicio 5.1: Posición a partir de muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los estudiantes suelen tener dificultades con problemas para los que no existe algún pro- cedimiento bien definido para obtener la respuesta. Creo que nadie ha mejorado mucho la estrategia de George Polya con sus cuatro etapas para resolver un problema, por lo que, en consecuencia, he incluido una versión de sus principios para resolver problemas después del capítulo 1. Estos principios, tanto explícita como implícitamente, se aplican en todo el libro. Después de los otros capítulos he colocado secciones llamadas Problemas adicio- nales, que incluyen ejemplos de cómo afrontar problemas difíciles de Cálculo. En la selec- ción de los variados problemas para estas secciones tomé en cuenta el consejo de David Hilbert: “un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrar nuestros esfuerzos”. Cuando propongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes, los califico de manera diferente. Aquí premio significativamente a un estudiante por sus ideas y aportaciones orientadas hacia una solución y por reconocer cuá- les principios de solución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de la tecnología no hace menos, sino más importante comprender clara- mente los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla. Cuando se utilizan correctamente, las calculadoras y dispositivos de graficación son poderosas herramientas para analizar y comprender los conceptos. Este libro de texto puede utilizarse con o sin tecnología y empleo dos símbolos especiales para indicar claramente cuándo se requiere un tipo especial de máquina. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente necesita de esta tecnología, pero no indica que no sea posible usarla en otros ejemplos. El símbolo se utiliza para problemas que requieren todos los recursos de un sistema algebraico compu- tarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). A pesar de todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y el papel. Con frecuencia son preferibles los cálculos y trazos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudian- tes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiado trabajar a mano o con máquina. TEC es un acompañante de este libro de texto y está pensado para enriquecer y comple- mentar su contenido (disponible desde internet en www.stewartcalculus.com y en Enhan- ced WebAssign y CourseMate). Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, TEC utiliza un enfoque exploratorio y de descubrimiento. En las seccio- nes del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos al margen diri- gen a estudiantes hacia módulos TEC que proporcionan un entorno de laboratorio en el que puede explorar el tema de diferentes maneras y en distintos niveles. Visual son ani- maciones de figuras en el texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejer- cicios. Los profesores pueden optar por participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente alentar a los estudiantes a usar Visual y Module para la exploración indepen- diente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en Module, o a la creación de ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. TAREAS SUGERIDAS Aquí se presentan tareas sugeridas en forma de preguntas y tratan de emular un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como un discreto tutor. En cada sección del texto se incluyen sugerencias para los ejercicios representativos (normalmente impares), indicando en rojo el número del ejercicio. Los ejercicios están construidos de manera que no revelan más de la solución real de lo que es mínimo necesario para avanzar más y están disponibles a los estudiantes en stewartcalculus.com, CourseMate y Enhanced WebAssign. HERRAMIENTAS PARA ENRIQUECER EL CÁLCULO SAC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xvi
- 18. PREFACIO xvii ENHANCED WEBASSIGN La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tereas a estudiantes, par- ticularmente en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, calidad de calificación y confiabilidad. Con la séptima edición hemos estado trabajando con la comunidad de Cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema más sólido de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables como tareas en línea, incluyendo respuestas libres, opción múltiple y otros varios formatos. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados paso a paso en tutoriales a través de ejemplos textuales, con enlaces al libro de texto y a las soluciones en video. Las nuevas mejoras al sistema incluyen un eBook personalizable, una muestra de las características de su trabajo (Show Your Work), un repaso de prerrequisitos de precálculo (Just in Time), un editor de tareas mejorado (Assignment Editor) y un eva- luador de respuestas (Answer Evaluator) que acepta respuestas matemáticamente equiva- lentes y permite la calificación de las tareas del mismo modo en que lo hace el profesor. www.stewartcalculus.com Este sitio incluye lo siguiente: ■ Tareas sugeridas ■ Repaso de álgebra ■ Mi calculadora miente y la computadora me dijo ■ Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios históricos ■ Tópicos adicionales (complementados con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el término del residuo en la serie de Taylor, rotación de ejes ■ Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en las ediciones anteriores, junto con sus soluciones) ■ Problemas de desafío (algunos de los problemas especiales que aparecieron en secciones de ediciones anteriores) ■ Vínculos para tópicos particulares a recursos externos de la web ■ Tools for Enriching Calculus (TEC), Module y Visual Exámenes de diagnóstico El libro comienza con cuatro exámenes de diagnóstico relacionados con álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Un previo de Cálculo Se presenta una visión general del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio, se hace hincapié en varias representaciones de las funciones: verbal, numérica, visual y algebraica. Una discusión de los modelos matemáticos conduce a una revisión de las funciones estándar, incluyendo las funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un debate previo sobre los problemas de la recta tangente y la velocidad. Los límites son tratados desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La sección 2.4, sobre la definición precisa e-d de un límite, es una sección opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan de derivadas (especialmente con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de estudiar las reglas de derivación en el capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en diversos contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en sección 2.8. 3 Reglas de derivación Aquí se derivan todas las funciones básicas, incluyendo las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas. Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes explicar su significado. En este capítulo se estudian el crecimiento y decaimiento exponencial. Contenido 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xvii
- 19. xviii PREFACIO 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos básicos relativos a los valores extremos y a las formas de las curvas se dedu- cen del teorema del valor medio. Las gráficas con tecnología hacen hincapié en la interacción entre el Cálculo y las calculadoras y el análisis de las familias de curvas. Se proporcio- nan algunos problemas importantes, incluyendo una explicación del porqué necesita levantar su cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. 5 Integrales Los problemas del área y la distancia sirven para motivar el estudio de la integral definida, recurriendo a la notación sigma cada vez que sea necesario. (En el apéndice E se proporciona un tratamiento completo de la notación sigma.) Se enfatiza la explicación del significado de la integral en diversos contextos y en la estimación de sus valores en gráficas y tablas. 6 Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de la integración —área, volumen, trabajo, valor promedio— que razonablemente pueden hacerse sin técnicas especializadas de integración. Se hace hincapié en métodos generales. El objetivo es que los estudiantes puedan dividir una can- tidad en trozos pequeños, estimarla con sumas de Riemann, y reconocer su límite como una integral. 7 Técnicas de integración Aquí se cubren los métodos estándar pero, por supuesto, el verdadero desafío es recono- cer qué técnica se utiliza mejor en una situación dada. En consecuencia, en la sección 7.5 presento una estrategia para la integración. El uso de sistemas algebraicos computarizados se explica en la sección 7.6. Aquí aparecen las aplicaciones de integración: área de una superficie y longitud de un arco, para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicacio- nes a la biología, la economía y la física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección de probabilidad. Aquí hay más aplicaciones de las que en realidad se pueden cubrir en un curso determinado, así que los profesores deben seleccionar las aplicaciones adecuadas para interesar a los estudiantes y a ellos mismos. 9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unifica este tratamiento preliminar de las ecuaciones diferen- ciales. Los campos direccionales y el método de Euler se estudian antes de resolver las ecuaciones lineales y separables de forma explícita, por lo que los enfoques cualitativos, numéricos y analíticos reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los mode- los exponenciales, logísticos y otros para el estudio del crecimiento de la población. Las primeras cuatro o cinco secciones de este capítulo son una buena introducción a las ecua- ciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza el modelo depre- dador-presa para ilustrar los sistemas de ecuaciones diferenciales. Este capítulo introduce las curvas paramétricas y polares y las aplicaciones del Cálculo en ellas. Las curvas paramétricas están bien adaptadas a los proyectos de laboratorio; los tres presentados involucran a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13. 11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (véase la página 714) así como demostraciones formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de dispositivos de graficación. Cálculo. Trascendentes tempranas, séptima edición, se apoya en un conjunto completo de materiales auxiliares desarrollados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Con esta edición, 8 Aplicaciones adicionales de la integración 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Material auxiliar 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xviii
- 20. PREFACIO xix se han desarrollado nuevos medios y tecnologías que ayudan al estudiante a visualizar el cálculo y a los instructores a personalizar el contenido para mejorar la forma en que enseñan su curso. Las tablas en las páginas xxiii–xxiv describen cada uno de estos auxiliares. Para la preparación de ésta y las anteriores ediciones he invertido mucho tiempo leyendo las opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran número de astutos revisores. Agradezco enormemente a todos ellos por el tiempo dedicado a la cuidadosa lectura y a la comprensión del enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. REVISORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN Agradecimientos Amy Austin, Texas AM University Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Le Baron O. Ferguson, University of California—Riverside Shari Harris, John Wood Community College Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang, Wayne State University Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado at Denver and Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas at Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama in Huntsville Karin Reinhold, State University of New York at Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University REVISORES DE LA TECNOLOGÍA 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xix
- 21. xx PREFACIO REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald Janusz, University of Illinois at Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois at Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas AI University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York at Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University of Pittsburgh Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xx
- 22. PREFACIO xxi Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Además, me gustaría dar las gracias a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh y Simon Smith por sus sugerencias; Al Shenk y Dennis Zill por su permiso para utilizar ejercicios de sus textos de cálculo; COMAP por su permiso para utilizar el material de los proyectos; George Bergman, David Bleecker. Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para los ejercicios; Dan Drucker por el proyecto del derby de rodillos; Tho- mas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para los proyectos; Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los nuevos ejercicios y sugerir formas para mejo- rarlos; Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la corrección; y Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y corrección del manuscrito de respuesta. Asimismo, doy las gracias a quienes han contribuido a pasadas ediciones: Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. También agradezco a Kathi Townes, Stephanie Kuhns y Rebekah Million of TECHarts por sus servicios de producción y al siguiente personal de Brooks/Cole: Cheryll Linthi- cum, gerente de proyecto de contenido; Liza Neustaetter, editor asistente; Maureen Ross, editor de medios; Sam Subity, gerente de medios de edición; Jennifer Jones, director de marketing; y Vernon Boes, director de arte. Todos han hecho un trabajo excepcional. He sido muy afortunado de haber trabajado con algunos de los mejores en el negocio de la edición en Matemáticas durante las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Camp- bell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz Covello. Todos ellos han contribuido en gran medida al éxito de este libro. JAMES STEWART 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxi
- 23. xxii PREFACIO Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores Dr. Ernesto Filio López de UPITA (IPN), M. en C. Manuel Robles Bernal, L.F.M. Luis Ángel Filio Rivera, de ESIME Zacatenco (IPN), M. en C. Lilia Quintos Vázquez, de ESIME Ticomán (IPN), Dr. Abel Flores Amado, del ITESM Campus Puebla y al Mtro. Gustavo Zamorano Montiel, de la UPAEP (Puebla), en la revisión de esta séptima edición en español. Además agradecemos al Dr. Hugo Gustavo González Hernández, Director del Departamento de Ciencias y al Dr. Abel Flores Amado, Coordinador de la materia de Cálculo así como a los siguientes profesores del ITESM Campus Puebla por la con- fianza depositada en la obra Cálculo Trascendentes tempranas de Stewart y adoptarlo para sus cursos. Dr. Juan José Gómez Diaz Master Aida Ignacia Salazar C. Master Álvaro Andrade Andrade Master Jorge Luis Figueroa Ramírez Dr. Juan Manuel Merlo Dr. Julio César Ramírez San Juan Master Luis Daniel Bravo Atentamente, Los Editores. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxii
- 24. Auxiliares para instructores Power Lecture ISBN 0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en formatos de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto completo predefinidas de conferencias en PowerPoint, una versión electrónica de la guía del instructor, un generador de soluciones, un software de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el cálculo (TEC), un video de instrucciones y un comando JoinIn sobre el contenido de TurningPoint. Instructor’s Guide Por Douglas Show ISBN 0-8400-5418-1 Cada sección del texto se analiza desde varios puntos de vista. La guía del instructor (Instructor’s Guide) contiene tiempo sugerido de asignación, puntos a destacar, temas de debate del texto, materiales básicos para la clase, sugerencias para trabajo en taller y ejercicios de trabajo de grupo en una forma adecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una versión electrónica de la guía del instructor está disponible en el DVD de PowerLecture. Complete Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4936-6 Contiene las soluciones detalladas de todos los ejercicios del texto. Solution Builder www.cengage.com/solutionbuilder Esta base de datos en línea para el instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los ejercicios en el texto. El generador de soluciones (Solution Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas asignados en clase. Printed Test Bank Por William Steven Harmon ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos específicos de opción múltiple y exámenes de respuesta libre. ExamView Testing Crear, entregar y personalizar los exámenes en formatos impresos en línea con ExamView, permite una evaluación de fácil uso a través de un software tutorial. ExamView contiene cientos de elementos para exámenes de respuesta múltiple y libre. ExamView está disponible en el DVD de PowerLecture. Auxiliares para instructores y estudiantes Stewart Website www.stewartcalculus.com Contenido: Tareas sugeridas ■ Repaso de álgebra ■ Temas adicionales ■ Ejercicios de simulación ■ Problemas de desafío ■ Enlaces web ■ Historia de las matemáticas ■ Herramientas para enriquecer el cálculo (TEC) Tools for Enriching™ Calculus Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hu Hohn Herramientas para enriquecer el cálculo (TEC) funciona como una poderosa herramienta para instructores, así como un entorno tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y revisar temas seleccionados. Los módulos de simulación en Flash en TEC incluyen instrucciones escritas y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está accesible en CourseMate, WebAssign y PowerLecture. Los elementos seleccionados en Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign www.webassign.net El sistema de distribución de tareas de WebAssign permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar listas a través de la web. Enhanced WebAssign para el Cálculo de Stewart involucra ahora a los estudiantes en la revisión del con- tenido al comienzo del curso y al principio de cada sección así como en los conocimientos previos. Además, para los problemas seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayuda adicional en forma de “mayor retroalimentación” (las respuestas) y solu- ciones en video. Otras características clave incluyen: miles de problemas del Cálculo de Stewart. Un personalizable Cengage YouBook, un plan de estudio personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el momento, un evaluador de respuestas, módulos de animaciones y visualización del Cálculo, concursos, videos de conferencias (con preguntas asociadas) y mucho más. Cengage Customizable YouBook YouBook es un eBook en Flash interactivo y personalizable, que tiene todo el contenido del Cálculo de Stewart. Las características de YouBook son una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narrativa del libro de texto según sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente capítulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no enseñan, para crear un libro electrónico que coincida perfectamente con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar aún más el texto añadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas, videoclips, destacando notas y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign. TEC ■ Electrónicos ■ Impresos xxiii 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxiii
- 25. CourseMate www.cengagebrain.com CourseMate es una perfecta herramienta de autoaprendizaje para estudiantes y no requiere ningún apoyo de los profesores. CourseMate trae conceptos con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas interactivas para la preparación de exámenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye: un libro electrónico interactivo, herramientas para enriquecer el cálculo, videos, cuestionarios, tarjetas en flash y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta de primera en su tipo que supervisa el trabajo estudiantil. Maple CD-ROM Maple proporciona un dispositivo avanzado de cálculo matemático de alto rendimiento plenamente integrado con símbolos numéricos, todos accesibles desde un entorno técnico desde WYSIWYG. CengageBrain.com Para accesos de materiales adicionales del curso y recursos de apoyo, por favor visite www.cengagebrain.com. En esta página busque por ISBN o por título (desde la cubierta posterior de su libro) usando el comando de búsqueda en la parte superior de la página. Esto le llevará a la página del producto donde se pueden encontrar gratuitamente recursos de apoyo. Auxiliares para estudiantes Student Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4934-X Proporciona soluciones completamente detalladas para todos los ejercicios impares en el texto, dando a los estudiantes una oportunidad de verificar sus respuestas y asegurar que hicieron los pasos correctos para llegar a una respuesta. Study Guide Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5420-3 Para cada sección del texto, la guía de estudio proporciona a los estudiantes una breve introducción, una breve lista de conceptos al profesor así como resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La guía de estudio también contiene preguntas “Tecnología Plus” y preguntas tipo examen de opción múltiple y de estilo “su propia respuesta”. CalcLabs with Maple Single Variable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez ISBN 0-8400-5811-X CalcLabs with Mathematica Single Variable Por Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 Cada uno de estos comprensibles manuales de laboratorio ayudará a los estudiantes a aprender a usar las herramientas de tecnología a su disposición. CalcLabs contienen ejercicios claramente explicados y una variedad de proyectos para acompañar el texto y laboratorios. A Companion to Calculus Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 0-495-01124-X Escrito para mejorar el álgebra y las habilidades para resolver problemas de los estudiantes que están tomando un curso de Cálculo. Cada capítulo de este acompañante tiene una clave referente a un tema de Cálculo, que proporciona antecedentes conceptuales y técnicas de álgebra específicos necesarios para comprender y resolver problemas de Cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de Cálculo que incluyen la revisión de los conceptos de precálculo o para uso individual. Linear Algebra for Calculus Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 0-534-25248-6 Este comprensible libro está diseñado para complementar el curso de Cálculo. Proporciona una introducción y un repaso de las ideas básicas del Álgebra lineal. ■ Electrónicos ■ Impresos xxiv 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxiv
- 26. xxv Al estudiante Leer un libro de texto de Cálculo es diferente a la lectura de un periódico, una novela o incluso un libro de física. No se desaliente si tiene que leer un párrafo más de una vez para entenderlo. Debe tener lápiz, papel y calculadora disponibles para esbozar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una sección del texto antes de enfrentar los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las definiciones para ver el significado exacto de cada término. Antes de leer cada ejemplo, le sugiero que lle- gue a la solución tratando de resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho más que mirando la solución si es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es inducir el pensamiento lógico. Es muy importante apren- der a escribir las soluciones de los ejercicios de una manera articulada, paso a paso, con comen- tarios explicativos, no sólo una cadena de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación verbal, interpretación o descripción. En tales casos no hay una única forma correcta de expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha encon- trado la respuesta definitiva. Además, a menudo hay varias formas diferentes para expresar una respuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta aparenta ser diferente a la mía, no asuma inmediatamente que se equivocó. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es y usted obtuvo , entonces está usted en lo correcto y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos (en la sección 1.4 se analiza el uso de estos disposi- tivos de graficación y algunas de las dificultades que puedan surgir). Sin embargo, esto no sig- nifica que los dispositivos de gráficos no puedan utilizarse para comprobar el trabajo de otros ejercicios. El símbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos 1兾(1 s2) s2 1 SAC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxv
- 27. xxvi de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). También se usará el símbolo | para cuidar que no se cometa un error. He puesto este símbolo en los márgenes en situaciones donde he advertido que gran parte de mis estudiantes tienden a come- ter el mismo error. Las Herramientas para enriquecer el cálculo, acompañantes de este texto, están indicadas por medio del símbolo y están disponible en Enhanced WebAssign y en CourseMate (los recursos Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com). Aquí se dirige al estudiante a los módulos en los que puede explorar los aspectos del Cálculo para los que la computadora es particularmente útil. En TEC también se encuentra Tareas sugeridas para ejercicios representativos que están indicados con número en rojo: 5. Estas sugerencias pueden encontrarse en stewartcalculus.com así como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Estas sugerencias de tareas hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar realmente la respuesta. Es nece- sario que el estudiante siga activamente cada pista con lápiz y papel a la mano para destacar los detalles. Si una sugerencia particular no permite resolver el problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Le recomiendo que conserve este libro para fines de consulta después de terminar el curso. Es probable que olvide algunos de los detalles específicos del Cálculo, por lo que el libro servirá como una referencia útil cuando sea necesario utilizar el Cálculo en cursos posteriores. Puesto que este libro contiene más material del que es posible cubrir en todo un curso, también puede servir como un valioso recurso para un trabajo científico o de ingeniería. El Cálculo es un tema apasionante, justamente considerado uno de los mayores logros del intelecto humano. Espero que el estudiante descubra que no sólo es útil, sino también intrín- secamente hermoso. JAMES STEWART TEC 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxvi
- 28. Exámenes de diagnóstico El éxito en Cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que le preceden: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los siguientes exámenes están destinados a diagnosticar las debilidades que el estudiante pueda tener en estas áreas. Después de cada examen puede verificar sus respuestas comparándolas con las respuestas determinadas y, si es necesario, actualizar sus habilidades haciendo referencia a los materiales de repaso que se proporcionan. Examen de diagnóstico: álgebra A 1. Evalúe las siguientes expresiones sin utilizar calculadora: a) b) c) d) e) f) 2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos: a) b) c) 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) 4. Factorice las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f) 5. Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) b) c) d) 34 34 共3兲4 163兾4 冉2 3 冊2 523 521 s200 s32 共3a3 b3 兲共4ab2 兲2 冉3x3兾2 y3 x2 y1兾2 冊2 共x 3兲共4x 5兲 3共x 6兲 4共2x 5兲 共2x 3兲2 (sa sb )(sa sb ) 共x 2兲3 2x2 5x 12 4x2 25 x4 27x x3 3x2 4x 12 x3 y 4xy 3x3兾2 9x1兾2 6x1兾2 2x2 x 1 x2 9 ⴢ x 3 2x 1 x2 3x 2 x2 x 2 y x x y 1 y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 xxvii Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxvii
- 29. xxviii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO 6. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones. a) b) 7. Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto. a) b) 8. Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre sólo las soluciones reales). a) b) c) x2 x 12 0 d) e) f) g) 9. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solución en intervalos: a) b) c) d) e) 10. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) b) c) d) e) f) s10 s5 2 s4 h 2 h x2 x 1 2x2 12x 11 x 5 14 1 2 x 2x x 1 2x 1 x 2x2 4x 1 0 x4 3x2 2 0 3ⱍx 4 ⱍ 10 2x共4 x兲1兾2 3s4 x 0 4 5 3x 17 x2 2x 8 x共x 1兲共x 2兲 0 ⱍx 4 ⱍ 3 2x 3 x 1 1 共p q兲2 p2 q2 sab sa sb sa2 b2 a b 1 TC C 1 T 1 x y 1 x 1 y 1兾x a兾x b兾x 1 a b 1. a) b) c) d) e) f) 2. a) b) c) 3. a) b) c) d) e) 4. a) b) c) d) e) f) 5. a) b) c) d) 81 81 1 81 25 9 4 1 8 6s2 48a5 b7 x 9y7 11x 2 4x2 7x 15 a b 4x2 12x 9 x3 6x2 12x 8 共2x 5兲共2x 5兲 共2x 3兲共x 4兲 共x 3兲共x 2兲共x 2兲 x共x 3兲共x2 3x 9兲 3x1兾2 共x 1兲共x 2兲 xy共x 2兲共x 2兲 x 2 x 2 x 1 x 3 1 x 2 共x y兲 6. a) b) 7. a) b) 8. a) b) c) d) e) f) g) 9. a) b) c) d) e) 10. a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Falsa e) Falsa f) Verdadera 6 1 3, 4 1 1 2s2 1, s2 2 3, 22 3 12 5 关4, 3兲 共2, 4兲 共2, 0兲 傼 共1, 兲 共1, 7兲 共1, 4兴 5s2 2s10 1 s4 h 2 (x 1 2)2 3 4 2共x 3兲2 7 Respuestas al examen de diagnóstico A: álgebra Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxviii
- 30. EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO xxix 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por y a) tiene pendiente b) es paralela al eje x c) es paralela al eje y d) es paralela a la recta 2. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en y que pasa por el punto . 3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es . 4. Sean y puntos en el plano. a) Encuentre la pendiente de la recta determinada por y . b) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por y . ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento . d) Encuentre la longitud del segmento . e) Encuentre la ecuación de la perpendicular que biseca a . f) Encuentre la ecuación de la circunferencia para la que es diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. a) b) c) d) e) f) 3 x2 y2 6x 10y 9 0 A共7, 4兲 B共5, 12兲 A B A B AB AB AB AB 1 y 3 y 1 1 2 x y x2 1 x2 y2 4 9x2 16y2 144 共2, 5兲 2x 4y 3 共1, 4兲 共3, 2兲 x 4 y y 2 Examen de diagnóstico: geometría analítica B 1. a) b) c) d) 2. 3. Centro , radio 5 4. a) b) ; intersección en x 4, intersección en y c) d) e) f) y 3x 1 y 5 x 2 y 1 2 x 6 共x 1兲2 共y 4兲2 52 共3, 5兲 4 3 4x 3y 16 0 16 3 共1, 4兲 20 3x 4y 13 共x 1兲2 共y 4兲2 100 5. y x 1 2 0 y x 0 y x 0 4 3 _1 2 y x 0 y x 0 4 _4 y x 0 2 1 a) b) c) d) e) f) _1 3 2 _2 y=≈-1 ≈+¥=4 y=1- x 1 2 Respuestas al examen de diagnóstico B: geometría analítica Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar el repaso de geometría analítica en los apéndices B y C. Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxix
- 31. xxx EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO 1. La gráfica de una función f está dada a la izquierda. a) Determine el valor de . b) Estime el valor de . c) ¿Para qué valores de x es ? d) Estime los valores de x tales que . e) Establezca el dominio y el rango de . 2. Si , evalúe el cociente de diferencias y simplifique su respuesta. 3. Encuentre el dominio de la función a) b) c) 4. ¿Qué aspecto tiene cada una de las gráficas siguientes a partir de la gráfica de f? a) b) c) 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo de cada una de las gráficas siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) 6. a) Evalúe y . b) Trace la gráfica de f 7. Si y , encuentre cada una de las siguientes funciones: a) b) c) f 共1兲 f 共2兲 f 共x兲 2 f 共x兲 0 f f 共x兲 x3 f 共2 h兲 f 共2兲 h f 共x兲 2x 1 x2 x 2 t共x兲 s 3 x x2 1 h共x兲 s4 x sx2 1 y f 共x兲 y 2 f 共x兲 1 y f 共x 3兲 2 y x3 y 共x 1兲3 y 共x 2兲3 3 y 4 x2 y sx y 2sx y 2x y 1 x1 f 共2兲 f 共1兲 f 共x兲 x2 2x 1 t共x兲 2x 3 f ⴰ t t ⴰ f t ⴰ t ⴰ t Sea f x 1 x2 2x 1 si x 0 si x 0 Examen de diagnóstico: funciones C y 0 x 1 1 FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 1. a) b) 2.8 c) d) e) 2. 3. a) b) c) 4. a) Reflexión respecto al eje x b) Alargamiento vertical en un factor de 2 y después un desplazamiento de 1 unidad hacia abajo c) Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 5. 2 3, 1 2.5, 0.3 关3, 3兴, 关2, 3兴 12 6h h2 共, 2兲 傼 共2, 1兲 傼 共1, 兲 共, 兲 共, 1兴 傼 关1, 4兴 6. a) 7. a) b) b) c) 3, 3 共 f ⴰ t兲共x兲 4x2 8x 2 y x 0 _1 1 共t ⴰ f 兲共x兲 2x2 4x 5 共t ⴰ t ⴰ t兲共x兲 8x 21 Respuestas al examen de diagnóstico C: funciones Si tiene usted dificultades con este examen, vea las secciones 1.1-1.3 de este libro y x 0 a) 1 1 y b) x 0 1 _1 c) y x 0 (2, 3) y d) x 0 4 2 e) y x 0 1 f) y x 0 1 g) y x 0 1 _1 y h) x 0 1 1 Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxx
- 32. EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO xxxi 1. Convierta de grados a radianes. a) b) 2. Convierta de radianes a grados. a) b) 3. Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos de: a) tan(p兾3) b) sen(7p兾6) c) sec(5p兾3) 5. Exprese las longitudes de a y b de la figura en términos de u. 6. Si y , donde x y y están entre 0 y p兾2, evalúe sen (x y). 7. Demuestre las identidades: a) tan u sen u cos u sec u b) 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y . 9. Trace la gráfica de la función y 1 sen 2x sin usar calculadora. 300 18 5兾6 2 tan共兾3兲 sec y 5 4 0 x 2 sen x 1 3 2 tan x 1 tan2 x sen 2x Examen de diagnóstico: trigonometría D a ¨ b 24 FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 Si tiene usted dificultades con este examen de diagnóstico, vea el apéndice D de este libro. 1. a) b) 2. a) b) 3. 4. a) b) c) 5. a) 24 sen u b) 兾10 5兾3 360 兾 ⬇ 114.6 150 2 cm 2 1 2 s3 24 cos
- 33. 6. 8. 9. 1 15 (4 6s2 ) 0, 兾3, , 5兾3, 2 _π π x 0 2 y Respuestas al examen de diagnóstico D: trigonometría Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxxi
- 34. Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxxii
- 35. Un previo de Cálculo El Cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que ha estudiado anteriormente: el Cálculo es menos estático y más dinámico. Se ocupa de los cambios y el movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por eso puede ser útil tener una visión general del tema antes de comenzar su estudio intensivo. Aquí damos un vistazo de algunas de las ideas principales del Cálculo, mostrando cómo surge el concepto de límite cuando intentamos resolver diversos problemas. 1 © Ziga Camernik / Shutterstock © Pichugin Dmitry / Shutterstock © Brett Mulcahy / Shutterstock © iofoto / Shutterstock Cuando termine este curso, podrá usted estimar el número de trabajadores necesarios para construir una pirámide, explicar la formación y ubicación del arcoíris, diseñar una montaña rusa para un viaje suave y calcular la fuerza sobre una presa. 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 1
- 36. 2 UN PREVIO DE CÁLCULO El problema del área Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2500 años a los antiguos griegos, quienes calcularon áreas usando el “método de agotamiento”. Los griegos sabían cómo encontrar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como se ve en la figura 1 y sumar las áreas de estos triángulos. Un problema mucho más difícil es encontrar el área encerrada por una figura curvada. El método griego de agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en la figu- ra y a continuación aumentar el número de lados de los polígonos. La figura 2 ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. Sea el área del polígono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el área se parece cada vez más y más al área del círculo. Así, decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos, y escribimos Los griegos no utilizaron explícitamente el concepto de límite. Sin embargo, por razona- miento indirecto, Eudoxo (siglo V a.C.) utilizó la técnica de agotamiento para obtener la conocida fórmula para el área de un círculo: En el capítulo 5 utilizaremos una idea similar para encontrar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Nos aproximaremos al área deseada por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), disminuyendo el ancho de los rectángulos y luego calculando el área A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. El problema del área es el problema central en la rama del Cálculo llamado cálculo integral. Las técnicas que vamos a desarrollar en el capítulo 5 para encontrar áreas tam- bién nos permitirán calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque. El problema de la tangente Considere el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente t a una curva con ecuación en un punto dado P. (En el capítulo 2 daremos una definición precisa FIGURA 3 1 n 1 0 x y (1, 1) 1 0 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA 4 1 0 x y y=≈ A (1, 1) A¡™ A¶ Aß A∞ A¢ A£ FIGURA 2 A r2 . An y f共x兲 A lím n l An An FIGURA 1 A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ A¡ A™ A£ A¢ A∞ En Preview Visual, puede ver cómo las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos se aproximan al área del círculo. TEC 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 2
- 37. UN PREVIO DE CÁLCULO 3 de una recta tangente. Por ahora podemos considerarla como una recta que toca la curva en P como en la figura 5.) Como sabemos que el punto P se encuentra en la recta tangen- te, podemos encontrar la ecuación de t si sabemos su pendiente m. El problema es que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente y tenemos sólo un punto P de t. Para sortear el problema encontramos en primer lugar una aproximación a m tomando un punto cercano Q de la curva y calculamos la pendiente de la recta secante PQ. De la figura 6 vemos que Ahora imaginemos que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P como en la figura 7. Puede ver que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su posición limi- te. Esto significa que la pendiente de la recta secante se acerca más y más a la pen- diente m de la recta tangente. Escribimos y decimos que m es el límite de cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se aproxima a P, también podríamos utilizar la ecuación 1 para escribir En el capítulo 2 veremos ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo dife- rencial, inventada más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las principales ideas detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre de Fermat (1601–1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616–1703), Isaac Barrow (1630–1677) e Isaac Newton (1642–1727) y el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646–1716). Las dos ramas de cálculo y sus principales problemas, el problema del área y el pro- blema de la tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una conexión muy estrecha entre ellos. El problema de la tangente y el área son problemas inversos en un sentido que se describe en el capítulo 5. Velocidad Cuando miramos el velocímetro de un automóvil y leemos que se está desplazando a 48 mi/h, ¿qué información estamos obteniendo? Si la velocidad se mantiene constante, después de una hora nos habremos desplazado 48 mi. Pero, si varía la velocidad del coche, ¿qué signi- fica decir que la velocidad en un instante dado es 48 mi/h? A fin de analizar esta situación, examinemos el caso de un automóvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que suponemos que es posible medir la distancia recorrida por el vehículo (en pies) a intervalos de un segundo como se registra en la siguiente tabla: mPQ f 共x兲 f 共a兲 x a 1 2 mPQ mPQ mPQ m lím Q lP mPQ m lím x l a f x f a x a 0 y x P y=ƒ t P Q t 0 x y y 0 x a x ƒ-f(a) P{a, f(a)} x-a t Q{x, ƒ} FIGURA 5 La recta tangente enP FIGURA 6 La recta secante PQ FIGURA 7 Recta secante aproximándose a la recta tangente t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 3
- 38. 4 UN PREVIO DE CÁLCULO Un primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la velocidad promedio durante el intervalo : Del mismo modo, la velocidad promedio en el intervalo es Tenemos la sensación de que la velocidad en el instante 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde . Así que ima- ginemos que se ha medido la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la siguiente tabla: Entonces podemos calcular, por ejemplo, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo : Los resultados de estos cálculos se muestran en la siguiente tabla: Las velocidades promedio durante intervalos sucesivamente más pequeños parecen estar aproximándose cada vez más a un número cercano a 10 y, por tanto, esperaríamos que la velocidad en exactamente sea de 10 pies/s. En el capítulo 2 definiremos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, como el valor límite de las velocidades promedio durante intervalos de tiempo cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al ubicar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribimos , entonces es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de tiempo es que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. La velocidad cuan- do es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir, y de la ecuación 2 reconocemos que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangen- te a la curva en P. 2 t 4 2 t 3 t t 2 关2, 2.5兴 t 2 f 共t兲 d f共t兲 关2, t兴 t 2 v v lím t l 2 f t f 2 t 2 16.5 pies兾s 42 9 4 2 velocidad promedio cambio en la posición tiempo transcurrido velocidad promedio 24 9 3 2 15 pies兾s velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6 pies兾s velocidad promedio cambio en la posición tiempo transcurrido f t f 2 t 2 FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2, f(2)} Q{t, f(t)} t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo de tiempo Velocidad promedio (pies兾s) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 关2, 2.5兴 关2, 2.1兴 关2, 2.2兴 关2, 2.3兴 关2, 2.4兴 关2, 3兴 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 4
- 39. UN PREVIO DE CÁLCULO 5 Así, cuando resolvemos el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también estamos resolviendo problemas relativos a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales. El límite de una sucesión En el siglo V a.C. el filósofo griego Zenón de Elea planteó cuatro problemas, ahora cono- cidos como Paradojas de Zenón, que estaban diseñados para cuestionar algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenían en esos días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado cier- ta ventaja al inicio. Zenón argumentaba, como se hace ver enseguida, que Aquiles nunca podría rebasar a la tortuga. Supongamos que Aquiles empieza en la posición y la tortu- ga comienza en posición (véase la figura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto , la tortuga está más adelante en la posición . Cuando Aquiles llega a , la tortuga está en . Este proceso continúa indefinidamente y así parece que ¡la tortuga siempre estará por delante! Pero esto desafía el sentido común. Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión puede describirse dando la siguiente fórmula para el -ésimo término: Podemos visualizar esta sucesión ubicando sus términos en una recta numérica como en la figura 10a) o dibujando su gráfica como en la figura 10b). En cualquiera de las dos representaciones observamos que los términos de la sucesión se aproximan cada vez más y más a 0 al aumentar . De hecho, podemos encontrar términos tan pequeños como queramos haciendo suficientemente grande. En estas condiciones, decimos que el límite de la sucesión es 0, y lo indicamos escribiendo En general, la notación se utiliza si los términos de se aproximan al número L cuando n es suficientemente gran- de. Esto significa que los números pueden acercarse al número L tanto como se quiera si se toma una n suficientemente grande. an 1 n {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} FIGURA 9 Aquiles Tortuga a¡ a™ a£ a¢ a∞ t¡ t™ t£ t¢ . . . . . . a1 t1 a2 t1 t2 a3 t2 t3 共a1, a2, a3, . . .兲 共t1, t2, t3, . . .兲 兵an其 n an 1兾n n n an lím n l 1 n 0 lím n l an L an 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 1 0 a¡ a™ a£ a¢ a) b) 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 5
- 40. 6 UN PREVIO DE CÁLCULO El concepto de límite de una sucesión ocurre cada vez que utilizamos la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si entonces Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales de . Regresemos a la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones y , donde para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones tienen el mismo límite Es precisamente en este punto p que Aquiles alcanza a la tortuga. La suma de una serie Otra de las paradojas de Zenón, según Aristóteles, es la siguiente: “un hombre parado en una sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendría que recorrer la mitad de la distancia, después recorrer la mitad de la distancia restante y, a continuación, recorrer la mitad de lo que falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede ser terminado”. (Véase la figura 11.) Por supuesto, sabemos que el hombre realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la distancia total puede expresarse como la suma de una infinidad de distancias cada vez más pequeñas como sigue: a1 3.1 a2 3.14 a3 3.141 a4 3.1415 a5 3.14159 a6 3.141592 a7 3.1415926 FIGURA 11 1 2 1 4 1 8 1 16 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 3 兵an其 兵tn其 an tn lím nl an lím n l an p lím n l tn 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 6
- 41. UN PREVIO DE CÁLCULO 7 Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero hay otras situaciones en que utilizamos implícitamente sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo 0.3 – 0.3333... significa y así, en cierto sentido, debe ser cierto que Más generalmente, si denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces Por tanto, algunas sumas infinitas o series infinitas, como se les llama, tienen un significa- do. Pero debemos definir cuidadosamente lo que es la suma de una serie infinita. Regresando a la serie en la ecuación 3, denotamos por la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, Observe que como le añadimos cada vez más términos, las sumas parciales parecen ser más cercanas a 1. De hecho, se puede demostrar que si es suficientemente grande (es decir, si se suman suficientes términos de la serie), podemos aproximar la suma parcial tanto como queramos al número 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma de la serie infinita es 1 y escribir 3 10 3 100 3 1000 3 10000 3 10 3 100 3 1000 3 10000 1 3 dn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 102 d3 103 dn 10n n sn 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1 216 0.99998474 s10 1 2 1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 0.9921875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s2 1 2 1 4 0.75 s1 1 2 0.5 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 7
- 42. 8 UN PREVIO DE CÁLCULO En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que En el capítulo 11 analizaremos con más detalle estas ideas y utilizaremos la propuesta de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. Resumen Hemos visto que el concepto de límite surge al intentar encontrar el área de una región, la pendiente de la recta tangente a una curva, la velocidad de un móvil o la suma de una serie infinita. En cada caso el problema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades fáciles de calcular. Esta idea básica de límite separa al Cálculo de otras áreas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que estudia límites. Después de que Sir Isaac Newton inventó su versión del Cálculo, la usó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hoy el Cálculo se utiliza para determinar las órbitas de los satélites y naves espaciales, en la predicción de tamaños de población, en la estimación de la rapidez con la que los precios del petróleo suben o bajan, en la predicción meteorológica, en medir el ritmo cardiaco del corazón, en el cálculo de las primas de segu- ros de vida y en una gran variedad de otras áreas. En este libro exploraremos algunos de estos usos del Cálculo. Con el fin de dar una idea del poder del Cálculo, terminamos este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que usted podrá responder mediante el Cálculo: 1. ¿Cómo podemos explicar el hecho, ilustrado en la figura 12, de que el ángulo de elevación desde un observador hasta el punto más alto en un arcoíris es 42°? (Consulte la página 282.) 2. ¿Cómo podemos explicar las formas de las latas en supermercados? (Consulte la página 337.) 3. ¿Dónde está el mejor lugar para sentarse en una sala de cine? (Consulte la página 456.) 4. ¿Cómo podemos diseñar una montaña rusa para un viaje suave? (Consulte la página 184.) 5. ¿A qué distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el descenso? (Consulte la página 208.) 6. ¿Cómo podemos utilizar las curvas y el diseño de las formas para representar letras en una impresora láser? (Consulte la página 653.) 7. ¿Cómo podemos estimar el número de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran pirámide de Keops en Egipto? (Consulte la página 451.) 8. ¿Dónde debe colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de beisbol lanzada por un jardinero y lanzarla al plato (home)? (Consulte la página 456.) 9. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, ¿tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su posición original de lanzamiento? (Consulte la página 604.) lím n l sn 1 Rayos del Sol Observador Rayos del Sol 42° FIGURA 12 138° 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 8
- 43. Funciones y modelos 1 A menudo una gráfica es la mejor manera de representar una función porque transmite mucha información en un vistazo. En la fotografía se muestra la gráfica de la aceleración del suelo, creada por el terremoto de 2008 en la provincia de Sichuan, en China. La ciudad más golpeada fue Beichuan, como muestra la imagen. © Mark Ralston / AFP / Getty Images Cortesía de the IRIS Consortium. www.iris.edu 9 Los objetos fundamentales con los que trata el Cálculo son las funciones. Este capítulo prepara el camino para el Cálculo discutiendo las ideas básicas sobre las gráficas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas. Destacamos que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o en palabras. Veremos los principales tipos de funciones que aparecen en el Cálculo y describiremos cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente fenómenos del mundo real. También analizaremos el uso de calculadoras graficadoras y programas de graficación por computadora.
- 44. 10 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro situaciones siguientes: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r está dada por la ecuación A m )r2 . Con cada número positivo r hay asociado un valor de A, por lo que decimos que A es una función de r. B. La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estima- ciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo, P(1950)2560000000 Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que decimos que P es una función de t. C. El costo C de envío de un paquete por correo depende de su peso w. Aunque no hay alguna fórmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a de suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspon- diente de a. 1.1 Cuatro maneras de representar una función Población (millones) Año 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 2010 6870 FIGURA 1 Aceleración vertical de suelo durante el terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos) Departamento de Minas y Geología de California 5 50 10 15 20 25 a t 100 30 _50 Cada uno de estos ejemplos describe una regla según la cual, a un número dado (r, t, w o t), se le asigna otro número (A, P, C, o a). En cada caso decimos que el segundo núme- ro es una función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta- mente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. Usualmente consideramos funciones para los cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la función. El número f(x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x varía a través de todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se conoce como variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente, y A es la variable dependiente.
- 45. EJEMPLO 1 La gráfica de una función f se muestra en la figura 6. a) Encuentre los valores de f(1) y f(5). b) ¿Cuál es el dominio y el rango de f ? SOLUCIÓN a) De la figura 6 vemos que el punto (1, 3) está en la gráfica de f, por lo que el valor de f en 1 es f(1) m 3. (En otras palabras, el punto en la gráfica que se encuentra por encima de x m 1 está 3 unidades por encima del eje x.) Cuando x m 5, la gráfica se encuentra aproximadamente a 0.7 unidades por debajo del eje x, así que estimamos que f(5) 0.7. b) Vemos que f(x) está definida cuando 0 x 7, por lo que el dominio de f es el intervalo cerrado F0, 7G. Observe que f toma todos los valores de 2 a 4, así que el rango de f es y 2 y 4 2, 4 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 11 Es útil pensar en una función como una máquina (véase la figura 2). Si x está en el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, que se acepta como una entrada, la máquina produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. Así, podemos pen- sar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas, y en el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. Las funciones preprogramadas en una calculadora son buenos ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, el comando raíz cuadrada en su calculadora computa esa función. Oprima la tecla etiquetada (o ) s sx e introduzca la entrada x; si x
- 46. 0, entonces x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable, y la calcu- ladora indicará un error. Si x 0, entonces aparecerá una aproximación a sx en la pan- talla. Así, el comando sx en la calculadora no es exactamente el mismo que la función matemática f definida por . f x sx Otra forma de imaginar una función es con un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha conecta un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que f(x) está asociada con x, f(a) está asociada con a, y así sucesivamente. El método más común para la visualización de una función es con su gráfica. Si f es una función con dominio D, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados x, f x x D (Observe que estos son pares de entrada-salida). En otras palabras, la gráfica de f cons- ta de todos los puntos (x, y) en el plano coordenado tales que y m f (x) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f nos da una imagen visual útil del comportamiento o “historia de vida” de una función. Dado que la coordenada y de cualquier punto (x, y) en el gráfico es y m f(x), podemos leer el valor de f(x) de la gráfica como la altura de la gráfica por encima del punto x (véase la figura 4). La gráfica de f permite también tener una imagen visual del dominio de f en el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5. FIGURA 6 x y 0 1 1 FIGURA 2 Diagrama de una función ƒ como una máquina x (entrada) ƒ (salida) f f D E ƒ f(a) a x FIGURA 3 Diagrama de flechas para ƒ La notación por intervalos está dada en el apéndice A. 0 y ƒ(x) dominio rango FIGURA 4 {x, ƒ} ƒ f(1) f(2) 0 1 2 x FIGURA 5 x x y y
- 47. 12 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 2 Trace la gráfica y encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) m 2x 1 b) J(x) m x2 SOLUCIÓN a) La ecuación de la gráfica es y m 2x 1 y representa la ecuación de una recta con pendiente 2 e intersección con el eje y en y m 1 (recuerde que la forma pendiente-inter- sección de la ecuación de la recta es y m mx b. Véase el apéndice B). Esto nos permite dibujar la porción de la gráfica de f en la figura 7. La expresión 2x 1 está definida para todos los números reales, así que el dominio de f es el conjunto 2 de todos los números reales. La gráfica muestra que el rango también es 2. b) Dado que J(2) m 22 m 4 y J(1) m (1)2 m 1, podemos ubicar los puntos (2, 4) y (1, 1) junto con algunos otros puntos de la gráfica, y después unirlos para obtener la gráfica (figura 8). La ecuación de la gráfica es y m x2 y representa una parábola (véase apéndice C). El dominio de J es 2, y el rango consiste en todos los valores de J(x), esto es, todos los números de la forma x2 . Pero x2 0 para todos los números x, y todo número y en estas condiciones es positivo, así que el rango de J es . y y 0 0, Esto puede verse en la figura 8. EJEMPLO 3 Si f(x) m 2x2 5x 1 y h 0, evalúe f a h f a h . SOLUCIÓN Primero evaluamos f (a h) reemplazando x por a h en la expresión para f (x): 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2 a2 2ah h2 5 a h 1 f a h 2 a h 2 5 a h 1 Después sustituimos en la expresión dada y simplificamos: 4ah 2h2 5h h 4a 2h 5 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h f a h f a h 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h Representaciones de funciones Hay cuatro posibles maneras de representar una función: ■ Verbalmente (por una descripción en palabras) ■ Numéricamente (por una tabla de valores) ■ Visualmente (por una gráfica) ■ Algebraicamente (por una fórmula explícita) Si una función puede representarse de las cuatro maneras, con frecuencia es muy útil pasar de una representación a otra a fin de disponer de información adicional de la función. (En el ejemplo 2, empezamos con formas algebraicas y de ellas obtuvimos gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más naturalmente por una forma que por otra. Con esto en mente, reexaminaremos las cuatro situaciones que consideramos al inicio de esta sección. FIGURA 7 x y=2x-1 0 -1 y 1 2 (_1, 1) (2, 4) 0 y 1 x 1 y=≈ FIGURA 8 La expresión f a h f a h en el ejemplo 3 se llama cociente de diferencias y se presenta frecuentemente en cálculo. Como veremos en el capítulo 2, representa la razón de cambio de f(x) entre x m a y x m a h.
- 48. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 13 La función P es típica de aquellas que surgen cuando se intenta aplicar el Cálculo en el mundo real. Comenzamos con una descripción verbal de una función. A continuación, debemos ser capaces de elaborar una tabla de valores de la función; tal vez de lecturas del instrumento en un experimento científico. A pesar de que no tenemos un conocimiento completo de los valores de la función, veremos a lo largo del libro que todavía es posible realizar las operaciones del Cálculo con dicha función. C. Nuevamente la función se describe con palabras: sea C(w) el costo de envío por correo de un paquete con peso w. La regla que el Servicio Postal de EU utiliza desde 2010 es la siguiente: el costo es de 88 centavos de dólar para paquetes hasta de 1 onza, más 17 centavos por cada onza adicional (o menos) hasta 13 onzas. La tabla de valores que se muestran en el margen es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible esbozar una gráfica (véase el ejemplo 10). D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical a(t). Es cierto que podría elaborarse una tabla de valores, y que incluso es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo —las amplitudes y patrones— puede verse fácilmente en la gráfica. (Lo mismo es cierto para los patrones que se observan en los electrocardiogramas de pacientes que sufren del corazón y en polígrafos para la detección de mentiras). A. La representación probablemente más útil del área de un círculo como una función de su radio es la fórmula algebraica A(r) m )r2 , aunque es posible compilar una tabla de valores para esbozar una gráfica (la mitad de una parábola). Debido a que un círculo tiene un radio positivo, el dominio es r r 0 0, , y el rango (0, @). B. Se nos da una descripción de la función en palabras: P(t) es la población humana del mundo en el tiempo t. Vamos a medir t, así que t m 0 se corresponde con el año 1900. La tabla de valores de la población mundial proporciona una representación adecuada de esta función. Si se grafican estos valores, obtenemos la gráfica (llamada gráfica de dispersión) en la figura 9. También es una representación útil porque la gráfica nos permite disponer de todos los datos a la vez. ¿Qué pasa con una fórmula? Por supuesto, es imposible concebir una fórmula explícita que proporcione la población humana exacta P(t) en cualquier tiempo t. Pero es posible encontrar una expresión para una función que se aproxime a P(t). De hecho, utilizando los métodos que se explican en la sección 1.2, conseguimos la aproximación P t f t 1.43653 109 1.01395 t La figura 10 muestra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que aproxima el comportamiento de nuestra función dada. Sin embargo, veremos que las ideas del Cálculo también pueden aplicarse a una tabla de valores; una fórmula explícita no es necesaria. Población (millones) 0 1650 10 1750 20 1860 30 2070 40 2300 50 2560 60 3040 70 3710 80 4450 90 5280 100 6080 110 6870 t (onzas) (dólares) 0.88 1.05 1.22 1.39 1.56 4 w 5 3 w 4 2 w 3 1 w 2 0 w 1 C w w FIGURA 10 FIGURA 9 5x10' 5x10' P t 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 P t 0 0 Una función definida por una tabla de valores se llama función tabular.
- 49. 14 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS En el ejemplo siguiente, esboce la gráfica de una función definida verbalmente. EJEMPLO 4 Al abrir un grifo de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado saliendo el agua. Dibuje un esbozo de gráfica de T como una función del tiempo t que ha transcurrido desde que fue abierto el grifo. SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente es cercana a la temperatura ambiente porque el agua ha permanecido en las tuberías. Cuando empieza a salir el agua desde el tanque de agua caliente, T aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es constante a la temperatura del agua caliente en el tanque. Cuando el tanque se drena, T disminuye hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto nos permite hacer el esbozo de T en función de t en la figura 11. El siguiente ejemplo inicia con una descripción verbal de una función en una situación física, y hay que obtener una fórmula algebraica explícita. La capacidad para hacer esto es una habilidad útil para resolver problemas de Cálculo en los que se piden los valores máxi- mo o mínimo de cantidades. v EJEMPLO 5 Un contenedor rectangular sin tapa tiene un volumen de 10m3 . La longitud de su base es dos veces su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado, y el material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado. Exprese el costo de los materiales como una función del ancho de la base. SOLUCIÓN Dibujamos un diagrama como el de la figura 12 e introducimos la notación w y 2w para el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h para la altura. El área de la base es w(2w) m 2w2 , por lo que el costo en dólares de los materiales para la base es 10(2w2 ). Dos de los lados tienen área wh, y los otros dos tienen área 2wh, por lo que el costo de los materiales para los lados es 6F2(wh) 2(2wh)G. El costo total es, por tanto, C 10 2w2 6 2 wh 2 2wh 20w2 36wh Para expresar C sólo como una función de w, necesitamos eliminar h y para hacerlo utilizamos el hecho de que el volumen es de 10m3 . Por tanto, w(2w)h m 10 esto da h 10 2w2 5 w2 Sustituyendo en la expresión para C, tenemos C 20w2 36w 5 w2 20w2 180 w Por tanto, la ecuación w 0 C w 20w2 180 w expresa C como una función de w. EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones: ) a f x sx 2 SOLUCIÓN a) Debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como un número real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x 2 0. Esto es equivalente a x 2, por lo que el dominio es el intervalo F2, @). t T 0 FIGURA 11 w 2w h FIGURA 12 RP Para establecer funciones aplicadas como en el ejemplo 5, puede ser útil revisar los principios de la resolución de problemas como se explica en la página 75, particularmente el paso 1: comprender el problema. Convención para el dominio Si una función viene dada por una fórmula y el dominio no se expresa explícitamente, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula tiene sentido y define un número real.
- 50. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 15 La razón de la validez de la prueba de la vertical puede verse en la figura 13. Si cada recta vertical x m a intercepta una curva sólo una vez, en (a, b), entonces se define exac- tamente un valor funcional para f(a) m b. Pero si una recta x m a intercepta la curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar una función debido a que una función no puede asignar dos valores diferentes de a. b) Como t x 1 x2 x 1 x x 1 y no se permite la división entre 0, vemos que J(x) no está definida cuando x m 0 o x m 1. Por tanto, el dominio de J es x x 0, x 1 que también puede escribirse en notación de intervalos como , 0 0, 1 1, La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿qué curvas en el plano xy son gráficas de funciones? Esta pregunta se contesta con la siguiente prueba. La prueba de la vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si no hay recta vertical que intercepte la curva más de una vez. a x=a (a, b) 0 a (a, c) (a, b) x=a 0 x y x y FIGURA 13 Por ejemplo, la parábola x m y2 2 que se muestra en la figura 14 a) no es la gráfica de una función de x porque, como puede ver, hay rectas verticales que intersectan a la parábola dos veces. La parábola, sin embargo, contiene las gráficas de dos funciones de x. Note que la ecuación x m y2 2 implica que y2 m x 2, así que y sx 2 . Por tanto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones f x sx 2 Fdel ejemplo 6 a)G y . t x sx 2 FVéanse las figuras 14 b) y c).G Observamos que si invertimos los roles de x y y, entonces la ecuación x m h(y) m y2 2 define a x como una función de y (con y como la variable independiente y x como la varia- ble dependiente), y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. FIGURA 14 b) y=œ„„„„ x+2 _2 0 x y (_2, 0) a) x=¥-2 0 x y c) y=_œ„„„„ x+2 _2 0 y x
- 51. 16 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Funciones definidas por secciones Las funciones en los siguientes cuatro ejemplos se definen mediante diferentes fórmulas en distintos tramos de sus dominios. Estas funciones se denominan funciones definidas por secciones. v EJEMPLO 7 Una función f está definida por f x 1 x x2 si x 1 si x 1 Evalúe f(2), f(1) y f(0) y grafique la función. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular la regla es la siguiente: primero ver el valor de la entrada x. Si sucede que x 1, entonces el valor de f(x) se encuentra con 1 x. Por otro lado, si x 1, entonces el valor de f(x) se obtiene con x2 . Puesto que 2 1, tenemos f(2) m 1 (2) m 3 Puesto que 1 1, tenemos f(1) m 1 (1) m 2 Puesto que 0 1, tenemos f(0) m 02 m 0. ¿Cómo obtenemos la gráfica de f? Observamos que si x 1, entonces f(x) m 1 x, por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la recta vertical x m 1 debe coincidir con la recta y m 1 x, que tiene pendiente 1 e intersección en (0, 1). Si x 1, entonces f(x) m x2 , por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la derecha de la recta x m 1 debe coincidir con la gráfica de y m x2 , que es una parábola. Esto nos permite esbozar la gráfica en la figura 15. El punto relleno indica que (1, 2) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que (1, 1) está excluido de la gráfica. El siguiente ejemplo de una función definida por secciones es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado por UaU, es la distancia desde a hasta 0 en la recta de números reales. Las distancias son siempre positivas o cero, así tenemos que U a U 0 para todo número a Por ejemplo, 3 3 s2 1 s2 1 0 0 3 3 3 3 En general, tenemos si a 0 a a si a 0 a a (Recuerde que si a es negativa, entonces a es positiva.) EJEMPLO 8 Grafique la función valor absoluto f x x . SOLUCIÓN De la discusión precedente sabemos que x x x si x 0 si x 0 Utilizando el mismo método que en el ejemplo 7, vemos que la gráfica de f coincide con la recta y m x a la derecha del eje y, y coincide con la recta y m x a la izquierda del eje y (véase la figura 16). 1 x y 1 _1 FIGURA 15 0 x y=|x| 0 y FIGURA 16 Para un repaso más amplio de valores absolutos, véase el apéndice A.
- 52. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 17 SOLUCIÓN La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente m m 1 e intersección con el eje y en b m 0, por lo que su ecuación es y m x. Así, por la parte de la gráfica de f que une a (0, 0) con (1, 1), tenemos si 0 x 1 f x x La recta que une a (1, 1) y (2, 0) tiene pendiente m m 1, por lo que su forma punto- pendiente es y 0 m (1)(x 2) o bien y m 2 x Así tenemos si 1 x 2 f x 2 x También vemos que la gráfica de f coincide con el eje x para x 2. Reuniendo esta información, tenemos la siguiente fórmula en tres secciones para f: f x x 2 x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si x 2 EJEMPLO 10 En el ejemplo C al principio de esta sección hemos considerado el costo C(w) de enviar por correo paquetes con peso w. En efecto, esto define una función por secciones porque, por la tabla de valores en la página 13, tenemos 0.88 1.05 1.22 1.39 si 0 w 1 si 1 w 2 si 2 w 3 si 3 w 4 C w La gráfica se muestra en la figura 18. Puede verse por qué funciones similares a ésta se denominan funciones escalón: saltan de un valor al siguiente. Estas funciones se estudiarán en el capítulo 2. Simetría Si una función f satisface f(x) m f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una fun- ción par. Por ejemplo, la función f(x) m x2 es par porque f x x 2 x2 f x El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica respecto al eje EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f graficada en la figura 17. FIGURA 17 x y 0 1 1 Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: y y1 m m(x x1 ) Véase el apéndice B. FIGURA 18 C 0.50 1.00 1.50 0 1 2 3 5 4 w
- 53. 18 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Si f satisface f(x) m f(x) para cada x en su dominio, entonces f es una función impar. Por ejemplo, la función f(x) m x3 es impar porque f x x 3 x3 f x La gráfica de una función impar es simétrica en relación con el origen (véase la figura 20). Si ya tenemos la gráfica de f para x 0, podemos obtener toda la gráfica rotando 180º esta porción en relación con el origen. v EJEMPLO 11 Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o nin- guna de las dos. a) f x x5 x b) t x 1 x4 c) h x 2x x2 SOLUCIÓN a) f x x5 x x5 x f x x 5 x 1 5 x5 x Por tanto, f es una función impar. b) t x 1 x 4 1 x4 t x Así que J es par. c) h x 2 x x 2 2x x2 Como h(x) h(x) y h(x) h(x), concluimos que h no es par ni impar. Las gráficas de las funciones del ejemplo 11 se muestran en la figura 21. Observe que la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni en relación con el origen. y (véase la figura 19). Esto significa que si hemos dibujado la gráfica para x 0, obtene- mos toda la gráfica simplemente reflejándola respecto al eje y. 0 x _x f(_x) ƒ Una función par x FIGURA 19 y 0 x _x ƒ FIGURA 20 Una función impar x y FIGURA 21 1 1 x y h 1 1 y x g 1 _1 1 y x f _1 a) b) c)
- 54. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 19 Funciones crecientes y decrecientes La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende de B a C y sube otra vez de C a D. Se dice que la función f es creciente sobre el intervalo Fa, bG, decreciente sobre Fb, cG y creciente nuevamente sobre Fc, dG. Observe que si x1 y x2 son dos números entre a y b con x1
- 56. f(x2 ). Utilizamos esta propiedad para definir una función creciente. # $ % Y FX|
- 57. A y X X| Xl B C D FIGURA 22 FXl
- 58. FIGURA 23 Y X Y€ Una función f se llama creciente sobre un intervalo I si siempre que x1 x2 en I f x1 f x2 Se llama decreciente sobre I si siempre que x1 x2 en I f x1 f x2 En la definición de una función creciente, es importante darse cuenta de que la desigual- dad f(x1 )
- 59. f(x2 ) debe cumplirse para todo par de números x1 y x2 en I con xl
- 60. x2 . Puede observarse en la figura 23 que la función f(x) m x2 es decreciente sobre el inter- valo (@, 0G y creciente sobre el intervalo F0, @). 1.1 Ejercicios 1. Si f x x s2 x y , t u u s2 u ¿es verdad que f m J? 2. Si y t x x f x x2 x x 1 ¿es verdad que f m J? 3. La gráfica de una función f está dada. a) Establezca el valor de f(1). b) Estime el valor de f(1). c) ¿Para qué valores de x es f(x) m 1? d) Estime el valor de x tal que f(x) m 0. e) Establezca el dominio y el rango de f. f) ¿Sobre qué intervalo es creciente f? Y X 4. Las gráficas de f y J están dadas. a) Establezca los valores de f(4) y J(3). b) ¿Para qué valores de x es f(x) m J(x)? c) Estime la solución de la ecuación f(x) m 1. d) ¿Sobre qué intervalo es decreciente f? e) Establezca el dominio y el rango de f f) Establezca el dominio y el rango de J. G X Y F 5. La gráfica de la figura 1 fue registrada por un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geología de California en el Hospital Universitario de la Universidad de California del Sur (USC, por sus siglas en inglés) en Los Ángeles. Utilice esta gráfica para estimar el rango de la función aceleración vertical de suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. 6. En esta sección discutimos ejemplos de funciones cotidianas: la población es una función del tiempo, el costo de envío postal es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dar otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describen verbalmente. ¿Qué puede decir sobre el dominio y el rango de cada una de sus funciones? Si es posible, esboce una gráfica de cada función. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 61. 20 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 7-10 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, establezca el dominio y el rango de la función. 7. Y X 8. Y X 9. Y X 10. Y X 11. La gráfica que se muestra da el peso de una determinada persona en función de la edad. Describa con palabras cómo el peso de esta persona varía con el tiempo. ¿Qué cree que ocurrió cuando esta persona tenía 30 años? Edad (años) Peso (libras) 0 150 100 50 10 200 20 30 40 50 60 70 12. La gráfica muestra la altura del agua en una bañera en función del tiempo. Proporcione una descripción verbal de lo que cree que sucedió. 0 Altura (pulgadas) 15 10 5 Tiempo (minutos) 5 10 15 13. Se ponen unos cubitos de hielo en un vaso, se llena el vaso con agua fría y luego se coloca sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua conforme transcurre el tiempo. Luego esboce una gráfica de la temperatura del agua como una función del tiempo transcurrido. 14. Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros. La gráfica muestra la distancia recorrida como una función del tiempo de cada corredor. Describa en palabras lo que la gráfica indica acerca de esta carrera. ¿Quién ganó la carrera? ¿Cada corredor terminó la carrera? y (m) t (s) A B C 15. La gráfica muestra el consumo de potencia para un día en septiembre en San Francisco. (P se mide en megavatios; t se registra en horas a partir de la medianoche). a) ¿Cuál fue el consumo de potencia a las 6:00? ¿A las 18:00? b) ¿Cuándo fue el consumo de potencia más bajo? ¿Cuándo fue el más alto? ¿Estos tiempos parecen razonables? 1 T Pacific Gas Electric 16. Esboce una gráfica aproximada del número de horas de luz en función de la época del año. 17. Esboce una gráfica de la temperatura exterior en función del tiempo, durante un día típico de primavera. 18. Esboce una gráfica aproximada del valor de mercado de un nuevo automóvil en función del tiempo, durante un periodo de 20 años. Suponga que el automóvil se mantiene en buen estado. 19. Esboce la gráfica de la cantidad de una determinada marca de café vendido por una tienda, en función del precio del café. 20. Coloque una tarta congelada en un horno y caliéntela durante una hora. Luego sáquela y déjela enfriar antes de comerla. Describa cómo cambia la temperatura de la tarta conforme pasa el tiempo. Luego esboce una gráfica de la temperatura de la tarta en función del tiempo. 21. El propietario de una casa poda el césped cada miércoles por la tarde. Esboce una gráfica de la altura del césped como una función del tiempo, en el transcurso de un periodo de cuatro semanas. 22. Un avión despega desde un aeropuerto y aterriza una hora más tarde en otro aeropuerto a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado la
- 62. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 21 terminal, x(t) es la distancia horizontal recorrida y y(t) la altitud del avión, esboce a) una posible gráfica de x(t). b) una posible gráfica de y(t). c) una posible gráfica de la rapidez respecto al suelo. d) una posible gráfica de la velocidad vertical. 23. En la tabla se muestra el número N (en millones) de usuarios de telefonía celular en EU. (Se dan estimaciones semestrales.) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 a) Utilice los datos para esbozar una gráfica de N en función de t. b) Utilice su gráfica para estimar el número de usuarios de teléfono celular a mediados de año en 2001 y en 2005. 24. Las siguientes lecturas de temperatura T (en F) se registraron cada dos horas desde la medianoche a las 14:00 en Phoenix, el 10 de septiembre de 2008. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 82 75 74 75 84 90 93 94 a) Utilice las lecturas para esbozar una gráfica de T como una función de t. b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 9:00. 25. Si f(x) m 3x2 x 2, encuentre f(2), f(2), f(a), f(a), f(a 1), 2f(a), f(2a), f(a2 ), Ff (a)G2 y f(a h). 26. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene volumen V r 4 3 r3 . Encuentre una función que represente la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de r pulgadas a un radio r 1 pulgadas. 27-30 Evalúe el cociente de diferencias de cada una de las siguientes funciones. Simplifique su respuesta. 27. , f 3 h f 3 h f x 4 3x x2 28. , f a h f a h f x x3 29. , f x f a x a f x 1 x 30. , f x f 1 x 1 f x x 3 x 1 31-37 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones. 31. f x x 4 x2 9 32. f x 2x3 5 x2 x 6 33. f t s 3 2t 1 34. t t s3 t s2 t 35. h x 1 s 4 x2 5x 36. f u u 1 1 1 u 1 37. F p s2 sp 38. Encuentre el dominio y el rango, y dibuje la gráfica de la función . h x s4 x2 39-50 Encuentre el dominio y grafique cada una de las siguientes funciones: 39. f(x) m 2 0.4x 40. F(x) m x2 2x 1 41. f(t) m 2t t2 42. H t 4 t2 2 t 43. t x sx 5 44. F x 2x 1 45. G x 3x x x 46. t x x x 47. f x x 2 1 x si x 0 si x 0 48. f x 3 1 2 x 2x 5 si x 2 si x 2 49. f x x 2 x2 si x 1 si x 1 50. f x x 9 2x 6 si x 3 si x 3 si x 3 51-56 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 51. El segmento de recta que une los puntos (1, 3) y (5, 7). 52. El segmento de recta que une los puntos (5, 10) y (7, 10). 53. La mitad inferior de la parábola x (y 1)2 m 0. 54. La mitad superior de la circunferencia x2 (y 2)2 m 4. 55. y X 56. y X 57-61 Encuentre una fórmula y su dominio para cada una de las siguientes funciones descritas. 57. Un rectángulo tiene 20m de perímetro. Exprese el área del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados.
- 63. 22 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 58. Un rectángulo tiene 16m2 de área. Exprese el perímetro del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. 59. Exprese el área de un triángulo equilátero, como función de la longitud de un lado. 60. Exprese el área superficial de un cubo en función de su volumen. 61. Una caja rectangular abierta con 2m3 de volumen tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja en función de la longitud de uno de los lados de la base. 62. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de la ventana. X 63. Debe construirse una caja sin tapa, a partir de una hoja rectangular de cartón que tiene dimensiones de 12 por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y plegando los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V de la caja en función de x. 20 12 x x x x x x x x 64. Un plan de telefonía celular tiene una carga básica de 35 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cargos de 10 centavos de dólar por cada minuto adicional de uso. Escriba el costo mensual C, como una función del número x de minutos utilizados, y grafique C como una función para 0 x 600. 65. En cierto estado del país, la velocidad máxima permitida en autopistas es 65miYh y la velocidad mínima es de 40miYh. La multa para los conductores que violan estos límites es $15 por cada milla por hora por encima de la velocidad máxima o por debajo de la velocidad mínima. Exprese el monto de la multa F como una función de la velocidad de conducción x y grafique F(x) para 0 x 100. 66. Una compañía de electricidad cobra a sus clientes una tasa base de 10 dólares al mes, más 6 centavos de dólar por kilovatio-hora (kWh) por los primeros 1200kWh y 7 centavos de dólar por kWh para todo uso sobre 1200kWh. Exprese el costo mensual E en función de la cantidad x de electricidad utilizada. Después, grafique la función E para 0 x 2000. 67. En un determinado país, el impuesto sobre la renta se calcula como sigue. No hay impuesto sobre la renta para ingresos de hasta $10000. Los ingresos de más de $10000 se gravan con una tasa del 10%, hasta un ingreso de $20000. Los ingresos superiores a $20000 se gravan en 15%. a) Esboce la gráfica de la tasa impositiva R en función de los ingresos. b) ¿Qué impuesto corresponde a un ingreso de $14000? ¿Y de $26000? c) Esboce la gráfica del impuesto total T en función del ingreso I. 68. Las funciones del ejemplo 10 y el ejercicio 67 se denominan funciones escalón porque sus gráficas parecen escaleras. Sugiera dos ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida cotidiana. 69-70 Se muestran las gráficas de f y J. Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 69. Y X F G 70. Y X F G 71. a) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica? b) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica? 72. Una función f tiene dominio F5, 5G y se muestra una porción de su gráfica. a) Complete la gráfica de f si se sabe que f es par. b) Complete la gráfica de f si se conoce que f es impar. X Y ? 73-78 Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. Si tiene una calculadora graficadora, utilícela para verificar visualmente su respuesta. 73. f x x x2 1 74. f x x2 x4 1 75. f x x x 1 76. f x x x 77. f(x) m 1 3x2 x4 78. f(x) m 1 3x3 x5
- 64. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 23 Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real, como el tamaño de una población, la deman- da de un producto, la velocidad de un objeto que cae, la concentración de un producto en una reacción química, la esperanza de vida de una persona al nacer, o el costo de la reduc- ción de las emisiones. El propósito del modelo es comprender el fenómeno y tal vez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso de modelado matemático. Dado un problema del mundo real, nuestra primera tarea es formular un modelo matemático mediante la identificación y etiquetado de las variables dependientes e independientes, y haciendo supuestos que sim- plifiquen lo suficiente el fenómeno para que sea matemáticamente manejable. Utilizamos nuestro conocimiento de la situación física y nuestras habilidades matemáticas para obte- ner ecuaciones que relacionen las variables. En situaciones donde no hay ninguna ley física para que nos guíe, podemos necesitar recopilar datos (ya sea en una biblioteca, en internet o mediante la realización de nuestros propios experimentos) y examinar los datos en forma de una tabla para poder identificar patrones. A partir de la representación numé- rica de una función, podemos obtener una representación gráfica. En algunos casos, la gráfica podría hasta sugerir una forma algebraica adecuada. 79. Si f y J son funciones pares, ¿es f J par? Si f y J son funciones impares, ¿es f J impar? ¿Qué sucede si f es par y J es impar? Justifique sus respuestas. 80. Si f y J son dos funciones pares, ¿es el producto fJ par? Si f y J son dos funciones impares, ¿es fJ impar? ¿Qué sucede si f es par y J es impar? Justifique sus respuestas. 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales La segunda etapa consiste en aplicar las matemáticas que conocemos (p. ej., el Cálculo que se desarrollará a lo largo de este libro) al modelo matemático que hemos formulado a fin de obtener conclusiones matemáticas. A continuación, en la tercera etapa, tomamos esas conclusiones matemáticas y las interpretamos como información sobre el fenómeno original del mundo real con el propósito de dar explicaciones o hacer predicciones. El último paso es poner a prueba nuestras predicciones comparando contra nuevos datos reales. Si las predicciones no coinciden con una buena aproximación con la realidad, necesitamos afinar nuestro modelo o formular uno nuevo y empezar otra vez el ciclo. Un modelo matemático nunca es una representación completamente precisa de una situación física: es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente para permitir hacer cálculos matemáticos, pero es razonablemente preciso para proporcio- nar valiosas conclusiones. Es importante percatarse de las limitaciones del modelo porque, finalmente, la Madre Naturaleza tiene la última palabra. Hay muchos tipos diferentes de funciones que pueden utilizarse para modelar relacio- nes observadas en el mundo real. En lo que sigue, analizaremos el comportamiento y gráfica de estas funciones y daremos ejemplos de situaciones adecuadamente modeladas por ellas. Modelos lineales Cuando decimos que y es una función lineal de x, queremos decir que la gráfica de la función es una recta, de manera que podemos utilizar la forma pendiente-intersección de FIGURA 1 El proceso de modelado Problema en el mundo real Modelo matemático Predicción en el mundo real Conclusiones matemáticas Prueba Formular Resolver Interpretar En el apéndice B se repasa la geometría analítica de las rectas.
- 65. 24 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS la ecuación de la recta para escribir una fórmula para la función como y m f(x) m mx b donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y. Un rasgo característico de las funciones lineales es que crecen a una razón constante. Por ejemplo, la figura 2 muestra una gráfica de la función lineal f(x) m 3x 2 y una tabla con algunos de sus valores. Observe que cuando x aumenta por 0.1, el valor de f(x) aumenta por 0.3. Así que f(x) aumenta tres veces más rápido que x. De este modo, la pendiente de la gráfica y m 3x 2, es decir 3, lo que puede interpretarse como la razón de cambio de y respecto a x. x y 0 y=3x-2 _2 FIGURA 2 x 1.0 1.0 1.1 1.3 1.2 1.6 1.3 1.9 1.4 2.2 1.5 2.5 f x 3x 2 v EJEMPLO 1 a) Cuando el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 C, y la temperatura a 1km de altura es de 10 C, exprese la temperatura T (en C) en función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es adecuado. b) Dibuje la gráfica de la función del inciso a). ¿Qué representa la pendiente? c) ¿Cuál es la temperatura a 2.5km de altura? SOLUCIÓN a) Ya que suponemos que T es una función lineal de h, podemos escribir T m mh b Estamos teniendo en cuenta que T m 20 cuando h m 0, por lo que 20 m m ? 0 b m b En otras palabras, la intersección con el eje y es b m 20. Dado que T m 10 cuando h m 1, tenemos que 10 m m ? 1 20 La pendiente de la recta es, por tanto, m m 10 20 m 10, y la función lineal requerida es T m 10h 20 b) La gráfica se muestra en la figura 3. La pendiente es m m 10 CYkm y representa la razón de cambio de temperatura respecto a la altura. c) A una altura de h m 2.5km, la temperatura es T m 10(2.5) 20 m 5C FIGURA 3 T=_10h+20 T h 0 10 20 1 3
- 66. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 25 Si no hay ley física o principio que nos ayude a formular un modelo, construimos un modelo empírico que se base completamente en los datos recopilados. Buscamos una curva que “encaje” en los datos, en el sentido que sugiera la tendencia básica de los puntos que representan los datos. v EJEMPLO 2 La tabla 1 muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el Observatorio Mauna Loa, desde 1980 a 2008. Utilice los datos de la tabla 1 para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Utilizamos los datos de la tabla 1 para hacer la gráfica de dispersión en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C, el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm). C FIGURA 4 La gráfica de dispersión para el nivel promedio de CO™ 340 350 360 370 380 1980 1985 t 1990 1995 2000 2005 2010 TABLA 1 Año Año 1980 338.7 1996 362.4 1982 341.2 1998 366.5 1984 344.4 2000 369.4 1986 347.2 2002 373.2 1988 351.5 2004 377.5 1990 354.2 2006 381.9 1992 356.3 2008 385.6 1994 358.6 Nivel de CO2 (en ppm) Nivel de CO2 (en ppm) Observe que los puntos de datos parecen estar cercanos a una recta, por lo que es natural que se elija un modelo lineal en este caso. Pero hay muchas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de datos, así que, ¿cuál debemos usar? Una posibilidad es la recta que pasa por el primero y el último puntos de datos. La pendiente de esta recta es 385.6 338.7 2008 1980 46.9 28 1.675 y su ecuación es C 338.7 m 1.675(t 1980) o bien 1 C m 1.675t 2977.8 La ecuación 1 da un posible modelo lineal para el nivel de dióxido de carbono y se representa gráficamente en la figura 5. FIGURA 5 Modelo lineal a través del primero y el último puntos de información C 340 350 360 370 380 1980 1985 t 1990 1995 2000 2005 2010
- 67. 26 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Observe que nuestro modelo da valores por encima de la mayoría de los niveles reales de CO2 . Un mejor modelo lineal se obtiene por un procedimiento estadístico llamado regresión lineal. Si utilizamos una calculadora graficadora, introducimos los datos de la tabla 1 en el editor de datos y elegimos el comando de regresión lineal (con Maple utilizamos el comando fit[leastsquare] en el paquete de estadística; con Mathematica utilizamos el comando Fit). La máquina da la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión m m 1.65429 b m 2938.07 Por lo que nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es 2 C m 1.65429t 2938.07 En la figura 6 graficamos la recta de regresión, así como los puntos de datos. Compa- rando con la figura 5, vemos que da un mejor ajuste que nuestro anterior modelo lineal. Una computadora o una calculadora graficadora encuentran la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados, que consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos de datos y la recta. Los detalles se explican en la sección 14.7. FIGURA 6 Recta de regresión C 340 350 360 370 380 1980 1985 t 1990 1995 2000 2005 2010 v EJEMPLO 3 Utilice el modelo lineal dado por la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 para 1987 y predecir el nivel para el año 2015. De acuerdo con este modelo, ¿cuándo el nivel de CO2 superará 420 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t m 1987, estimamos que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue C(1987) m (1.65429)(1987) 2938.07 349.00 Éste es un ejemplo de interpolación porque hemos estimado un valor entre los valores observados. (De hecho, el Observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue de 348.93ppm, por lo que nuestra estimación es bastante precisa.) Con t m 2015, obtenemos C(2015) m (1.65429)(2015) 2938.07 395.32 Por lo que auguramos que el nivel promedio de CO2 en el año 2015 será 395.3 ppm. Este es un ejemplo de extrapolación porque hemos predicho un valor fuera de la región de observaciones. En consecuencia, estamos mucho menos seguros acerca de la precisión de nuestra predicción. Utilizando la ecuación 2, vemos que el nivel de CO2 supera las 420ppm cuando 1.65429t 2938.07 420 Resolviendo esta desigualdad, obtenemos t 3358.07 1.65429 2029.92
- 68. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 27 Una polinomial de grado 3 es de la forma P(x) m ax3 bx2 cx d a 0 y se llama función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cúbica en el inciso a) y las gráficas de polinomiales de grados 4 y 5 en los incisos b) y c). Veremos más adelante por qué las gráficas tienen esas formas. Por tanto, predecimos que el nivel de CO2 superará 420ppm para el año 2030. Esta predicción es riesgosa porque se trata de un tiempo bastante alejado de nuestras observaciones. De hecho, podemos ver en la figura 6 que la tendencia ha sido de un rápido aumento para los niveles de CO2 en los últimos años, por lo que el nivel podría superar los 420ppm antes de 2030. Polinomiales Una función P se llama polinomial si P x an xn an 1 xn 1 a2 x2 a1 x a0 donde n es un número entero no negativo y a0 , a1 , a2 ,..., an son constantes llamadas los coeficientes de la polinomial. El dominio de cualquier polinomial es 2 m (@, @). Si el coeficiente principal an 0, entonces el grado de la polinomial es n. Por ejemplo, la función P x 2x6 x4 2 5 x3 s2 es una polinomial de grado 6. Una polinomial de grado 1 es de la forma P(x) m mxb, por lo que es una función lineal. Una polinomial de grado 2 es de la forma P(x) m ax2 bxc y se llama fun- ción cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola obtenida por desplazamientos de la parábola y m ax2 , como se verá en la siguiente sección. La parábola abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a
- 69. 0. (Véase la figura 7.) Las gráficas de una función cuadrática son parábolas FIGURA 7 0 y 2 x 1 a) y=≈+x+1 y 2 x 1 b) y=_2≈+3x+1 FIGURA 8 a) b)
- 70. c)
- 71. 28 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las polinomiales se utilizan comúnmente para modelar diversas cantidades que se pre- sentan en las ciencias naturales y sociales. Por ejemplo, en la sección 3.7 explicaremos por qué los economistas usan a menudo una polinomial P(x) para representar el costo de pro- ducir x unidades de una mercancía. En el siguiente ejemplo, utilizamos una función cuadrá- tica para modelar la caída de una pelota. EJEMPLO 4 Se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN, a 450m por encima del suelo. Las sucesivas alturas h de la pelota por encima del suelo están registradas a intervalos de 1 segundo, en la tabla 2. Encuentre un modelo para ajustar los datos y utilice ese modelo para predecir el momento en que la pelota golpeará el suelo. SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión con la información disponible y se observa que un modelo ideal no es adecuado. Pero parece ser que los puntos de datos podrían acomodarse a una parábola, por lo que intentamos un modelo cuadrático. Utilizando una calculadora graficadora o computadora (que utiliza el método de los mínimos cuadrados), obtenemos el siguiente modelo cuadrático: 3 h m 449.36 0.96t 4.90t2 TABLA 2 Tiempo (segundos) Altura (metros) 0 450 1 445 2 431 3 408 4 375 5 332 6 279 7 216 8 143 9 61 FIGURA 10 Modelo cuadrático para la caída de una pelota 2 200 400 4 6 8 t 0 FIGURA 9 Gráfica de dispersión para la caída de una pelota 200 400 t (segundos) 0 2 4 6 8 h h (metros) En la figura 10 dibujamos la gráfica de la ecuación 3 junto con los puntos de datos y vemos que el modelo cuadrático es muy buen ajuste. La pelota golpea el suelo cuando h m 0, por lo que resolvemos la ecuación cuadrática 4.90t2 0.96t 449.36 m 0 La ecuación cuadrática da t 0.96 s 0.96 2 4 4.90 449.36 2 4.90 La raíz positiva es t 9.67, por lo que pronosticamos que la pelota golpeará el suelo después de aproximadamente 9.7 segundos. Funciones potencia Una función de la forma f(x) m xa , donde a es una constante, se llama función potencia. Consideramos varios casos.
- 72. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 29 i) a m n, donde n es un número entero positivo Las gráficas de f(x) m xn para x m 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en la figura 11. (Estas son polinomiales con un sólo término.) Ya sabemos la forma de la gráfica de y m x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1) y y m x2 [una parábola, véase el ejemplo 2b) en la sección 1.1]. Gráficas de para
- 73. FIGURA 11 La forma general de la gráfica de f(x) m xn depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f(x) m xn es una función par, y su gráfica es similar a la parábola y m x2 . Si n es impar, entonces f(x) m xn es una función impar, y su gráfica es similar a la de y m x3 . Observe en la figura 12, sin embargo, que cuando n aumenta, la gráfica de y m xn se aplana más cerca de 0 y es más pronunciada cuando U x U 1. (Si x es peque- ña, entonces x2 es más pequeña, x3 es aún más pequeña, x4 es todavía más pequeña aún, y así sucesivamente.) ii) a m 1Yn, donde n es un número entero positivo La función f x x1 n s n x es una función raíz. Para n m 2 es la función raíz cuadrada , f x sx con dominio en [0, @) y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola x m y2 . [Véase la figura 13a)]. Para otros valores pares de n, la gráfica de y s n x es similar a la de . y sx Para n m 3 tenemos la función raíz cúbica f x s 3 x con dominio en 2 (recuerde que todo número real tiene raíz cúbica) y cuya gráfica se muestra en la figura 13b). La gráfica de y s n x para n impar (n 3) es similar a la de . y s 3 x FIGURA 12 Familia de funciones potencia
- 74. b) ƒ=Œ„ x y 0 (1, 1) a) ƒ=œ„ x x y 0 (1, 1) FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz
- 75. 30 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS iii) a m 1 La gráfica de la función recíproca f(x) m x1 m 1Yx se muestra en la figura 14. Su gráfica tiene la ecuación y m 1Yx o xy m 1, y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como sus asíntotas. Esta función surge en física y química en relación con la ley de Boyle, que dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P: V C P donde C es una constante. Así, la gráfica de V en función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. FIGURA 14 La función recíproca x 1 y 1 0 y=Δ P V 0 FIGURA 15 El volumen como una función de la presión a temperatura constante Las funciones potencia también se utilizan para modelar relaciones especie-área (ejercicios 26-27), la iluminación como una función de la distancia a una fuente de luz (ejercicio 25) y el periodo de revolución de un planeta en función de su distancia al Sol (ejercicio 28). Funciones racionales Una función racional f es un cociente de dos funciones polinomiales: f x P x Q x donde P y Q son polinomiales. El dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x) 0. Un ejemplo simple de una función racional es f (x) m 1Yx, cuyo dominio es Hx U x 0J; esta es la función recíproca graficada en la figura 14. La función f x 2x4 x2 1 x2 4 es una función racional con dominio Hx U x 2J. La gráfica se muestra en la figura 16. Funciones algebraicas Una función f se llama función algebraica si puede construirse utilizando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación, división y tomando raíces) comenzando con las polinomiales. Cualquier función racional es automáticamente una función algebraica. Aquí hay dos ejemplos más: t x x4 16x2 x sx x 2 s 3 x 1 f x sx2 1 Cuando esbocemos funciones algebraicas en el capítulo 4, veremos que sus gráficas pue- den tener una variedad de formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. FIGURA 16
- 76. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 31 Observe que para las funciones seno y coseno el dominio es (@, @), y el rango es el intervalo cerrado [1, 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos Un ejemplo de una función algebraica se produce en la teoría de la relatividad. La masa de una partícula con velocidad v m f v m0 s1 v2 c2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c m 3.0 105 kmYs es la velocidad de la luz en el vacío. Funciones trigonométricas La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencia 2 y también en el apéndice D. En Cálculo, por convención, siempre se utilizan medidas en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la fun- ción f(x) m sen x, se sobreentiende que sen x significa el seno de un ángulo cuya medida en radianes es x. Así, las gráficas de las funciones seno y coseno son como se muestra en la figura 18. FIGURA 17 x 2 y 1 a) ƒ=xœ„„„„ x+3 x 1 y 5 0 b) ©=$ œ„„„„„„ ≈-25 x 1 y 1 0 c) h(x)=x@?#(x-2)@ _3 a) sen b)
- 77. cos FIGURA 18 Las páginas de referencia se encuentran en la parte final del libro. 1 v sen x v 1 1 v cos x v 1 sen (x 2)) m sen x cos (x 2)) m cos x o bien, en términos de valor absoluto, U sen x U v 1 U cos x U v 1 También, los ceros de la función seno se producen en los múltiplos enteros de ); es decir, sen x m 0 cuando x m n) donde n es un entero Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perió- dicas con periodo 2). Esto significa que, para todos los valores de x,
- 78. 32 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El carácter periódico de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repe- titivos, como las olas del mar, resortes en vibración y las ondas de sonido. Por ejemplo, en el ejemplo 4 en la sección 1.3 veremos que un modelo razonable para el número de horas de luz solar en Filadelfia t días de después del 1 de enero viene dado por la función L t 12 2.8 sen 2 365 t 80 La función tangente está relacionada con las funciones seno y coseno por la ecuación tan x sen x cos x y su gráfica se muestra en la figura 19. Está indefinida siempre que cos x m 0, es decir, cuando x m )Y2, 3)Y2, ... Su rango es (@, @). Observe que la función tangente tiene periodo ): tan(x)) m tan x para toda x Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son los recíprocos de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas aparecen en el apéndice D. Funciones exponenciales Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x) m ax , donde la base a es una constante positiva. Las gráficas de y m 2x y y m (0, 5)x se muestran en la figura 20. En ambos casos el dominio es (@, @), y el rango es (0, @). Las funciones exponenciales serán estudiadas en detalle en la sección 1.5, y veremos que son útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como el crecimiento de una población (si a 1) y la desintegración radiactiva (si a
- 79. 1). Funciones logarítmicas Las funciones logarítmicas f(x) m loga x, donde la base a es una constante positiva, son las funciones inversas de las funciones exponenciales, que estudiaremos en la sección 1.6. La figura 21 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada caso el dominio es (0, @), el rango es (@, @), y la función crece lentamente cuando x 1. EJEMPLO 5 Clasifique las siguientes funciones como uno de los tipos de funciones que hemos discutido. a) f(x) m 5x b) J(x) m x5 c) h x 1 x 1 sx d) u(t) m 1 t 5t4 SOLUCIÓN a) f(x) m 5x es una función exponencial. (La x es el exponente.) b) J(x) m x5 es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerarse como una función polinomial de grado 5. c) h x 1 x 1 sx es una función algebraica. d) u(t) m 1 t 5t4 es una función polinomial de grado 4. FIGURA 19 y=tan x x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 _ 3π 2 _ FIGURA 20 y x 1 1 0 y x 1 1 0 a) y=2® b) y=(0.5)® FIGURA 21 0 y 1 x 1 y=log£ x y=log™ x y=log∞ x y=log¡¸ x
- 80. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 33 1-2 Clasifique cada función como una función potencia, función raíz, polinomial (establezca su grado), función racional, función algebraica, función trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. 1. ) b ) a ) d ) c ) f ) e 2. ) b ) a ) d ) c ) f ) e y sx3 1 1 s 3 x y s 1 s y tan t cos t y x2 2 x3 y x y x w sen cos2 v t 5t u t 1 1.1t 2.54t2 h x 2x3 1 x2 t x s 4 x f x log2 x u u u p 3-4 Relacione cada una de las siguientes ecuaciones con su gráfica. Explique el porqué de su elección. (No utilice computadora o calculadora graficadora.) 3. a) y m x2 b) y m x5 c) y m x8 F G H Y X 4. ) b ) a ) d ) c y s 3 x y x3 y 3x y 3x ( F G ' Y X 5. a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales con pendiente 2 y esboce varios miembros de la familia. b) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales tal que f(2) m 1 y esboce varios miembros de la familia. c) ¿Qué función pertenece a ambas familias? 6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f(x) m 1m(x 3)? Esboce varios miembros de la familia. 7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f(x) m c x? Esboce varios miembros de la familia. 8. Encuentre expresiones para las funciones cuadráticas cuyas gráficas se muestran. Y ƒ
- 81. ƒ?
- 82. ?ƒ
- 83. Y X ƒ
- 84. F G X 9. Encuentre una expresión para una función cúbica f si f(1) m 6 y f(1) m f(0) m f(2) m 0. 10. Estudios recientes indican que la temperatura promedio de la superficie de la Tierra ha estado aumentando. Algunos científicos han modelado la temperatura con la función lineal T m 0.02t8.50, donde T es la temperatura en C y t representa años desde 1900. a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje T? b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura promedio de la superficie global en 2100. 11. Si D (en mg) es la dosis de un medicamento recomendada para adultos, entonces, para determinar la dosis apropiada c para un niño de edad a, el farmacéutico utiliza la ecuación c m 0.0417D(a1). Supongamos que la dosis para un adulto es de 200mg. a) Encuentre la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido? 12. El administrador de un bazar de fin de semana sabe por experiencia que si cobra x dólares por el alquiler de un espacio en el bazar, entonces el número y de espacios que puede alquilar viene dado por la ecuación y m 200 4x. a) Trace la gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta por el espacio y el número de espacios alquilados no pueden ser cantidades negativas.) b) ¿Qué representan la pendiente, la intersección con el eje y la intersección con el eje x de la gráfica? 13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por la función lineal . F 9 5 C 32 a) Trace la gráfica de esta función. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección con el eje F y qué representa? 14. Jason sale de Detroit a las 14:00 y conduce a rapidez constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por Ann Arbor, a 40mi de Detroit, a las 14:50. a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. 1.2 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 85. 34 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso a). c) ¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Qué representa? 15. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos que emiten los grillos de una determinada especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por minuto a 80F. a) Encuentre una ecuación lineal que modele la temperatura T, en función del número N de chirridos por minuto. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta $2200 fabricar 100 sillas en un día y $4800 producir 300 sillas en un solo día. a) Exprese el costo en función del número de sillas producidas, suponiendo que es lineal. A continuación trace la gráfica. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? c) ¿Cuál es la intersección en y de la gráfica y qué representa? 17. En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la presión del aire por encima del agua, 15lbYpulg2 . Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta 4.34lbYpulg2 por cada 10 pies de descenso. a) Exprese la presión del agua en función de la profundidad bajo la superficie del océano. b) ¿A qué profundidad la presión es de 100lbYpulg2 ? 18. El costo mensual de conducir un coche depende del número de millas recorridas. Lynn encontró que en mayo le costó $380 conducir 480 millas y en junio le costó $460 conducir 800 millas. a) Exprese el costo mensual C como una función de la distancia recorrida d, suponiendo que una relación lineal da un modelo adecuado. b) Utilice el inciso a) para predecir el costo de conducir 1 500 millas por mes. c) Dibuje la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? d) ¿Qué representa la intersección en C? e) ¿Por qué una función lineal es un modelo adecuado en esta situación? 19-20 Para cada una de las siguientes gráficas de dispersión, ¿qué tipo de función elegiría como un modelo para los datos? Explique sus elecciones. 19. a) b) X Y X Y 20. a) X Y b) X Y 21. La tabla muestra la tasa de úlcera péptica (de por vida) (por cada 100 habitantes) en relación con el ingreso de varias familiares según lo informado por la Encuesta Nacional de Entrevista de Salud. Tasa de úlcera (por cada 100 habitantes) Ingreso $4000 14.1 $6000 13.0 $8000 13.4 $12000 12.5 $16000 12.0 $20000 12.4 $30000 10.5 $45000 9.4 $60000 8.2 a) Elabore una gráfica de dispersión con estos datos y decida si es apropiado un modelo lineal. b) Encuentre y grafique un modelo lineal utilizando el primero y el último puntos de datos. c) Encuentre y grafique la recta de regresión por mínimos cuadrados. d) Utilice el modelo lineal del inciso c) para estimar la tasa de úlcera para un ingreso de $25000. e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que percibe un ingreso de $80000 sufra de úlcera péptica? f) ¿Cree que sería razonable aplicar el modelo a alguien con un ingreso de $200000? 22. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos de grillos de una determinada especie, parece estar relacionada con la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para distintas temperaturas. Temperatura (°F) Tasa de chirridos (chirridos/min) Temperatura (°F) Tasa de chirridos (chirridos/min) 50 20 75 140 55 46 80 173 60 79 85 198 65 91 90 211 70 113 a) Elabore una gráfica de dispersión de los datos. b) Encuentre y grafique la recta de regresión. c) Utilice el modelo lineal del inciso b) para estimar la tasa chirridos a 100F.
- 86. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 35 23. La tabla da las alturas ganadoras en las competencias olímpicas de salto con pértiga masculinas hasta el año 2004. Año Altura (m) Año Altura (m) 1896 3.30 1960 4.70 1900 3.30 1964 5.10 1904 3.50 1968 5.40 1908 3.71 1972 5.64 1912 3.95 1976 5.64 1920 4.09 1980 5.78 1924 3.95 1984 5.75 1928 4.20 1988 5.90 1932 4.31 1992 5.87 1936 4.35 1996 5.92 1948 4.30 2000 5.90 1952 4.55 2004 5.95 1956 4.56 a) Elabore una gráfica de dispersión y decida si es apropiado un modelo lineal. b) Encuentre y grafique la recta de regresión. c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto ganador con pértiga en los Juegos Olímpicos de 2008 y compárelo con el salto ganador real de 5.96 metros. d) ¿Es razonable utilizar el modelo para predecir la altura ganadora en los Juegos Olímpicos de 2100? 24. La tabla muestra el porcentaje de la población de Argentina que ha vivido en las zonas rurales de 1955 al 2000. Encuentre un modelo para los datos y utilícelo para estimar el porcentaje rural en 1988 y 2002. Porcentaje rural Año Porcentaje rural Año 1955 30.4 1980 17.1 1960 26.4 1985 15.0 1965 23.6 1990 13.0 1970 21.1 1995 11.7 1975 19.0 2000 10.5 25. Muchas de las cantidades físicas están relacionadas mediante leyes de los cuadrados inversos, es decir, por las funciones potencia de la forma f(x) m kx2 . En particular, la iluminación de un objeto por una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Suponga que al anochecer está en una habitación con una lámpara y que está intentando leer un libro. La luz es demasiado tenue, por lo que mueve la lámpara a la mitad de la distancia. ¿Cuánto más ilumina la luz al libro? 26. Tiene sentido afirmar que cuanto mayor sea el área de una región, es mayor el número de especies que habitan la región. Muchos ecólogos han modelado la relación de especies de la zona con una función potencia y, en particular, el número de especies S de murciélagos que habitan en cuevas en México ha estado relacionado con el área superficial A de las cuevas por la ecuación S m 0.7A0.3 . a) La cueva llamada Misión imposible, situada cerca de Puebla, México, tiene una superficie de A m 60m2 . ¿Cuántas especies de murciélagos esperaría encontrar en esa cueva? b) Si descubre que cuatro especies de murciélagos viven en una cueva, estime el área de la cueva. 27. La tabla muestra el número N de especies de reptiles y anfibios que habitan en las islas del Caribe y el área A de la isla en millas cuadradas. Isla Saba 4 5 Monserrat 40 9 Puerto Rico 3459 40 Jamaica 4411 39 29418 84 Cuba 44218 76 N A Española a) Utilice una función potencia para modelar N como una función de A. b) La isla caribeña de Dominica tiene un área 291m2 . ¿Cuántas especies de reptiles y anfibios esperaría encontrar en Dominica? 28. La tabla muestra las distancias d (promedio) del Sol (tomando la unidad de medida como la distancia entre la Tierra y el Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución en años). Planeta d T 0.387 0.241 Venus 0.723 0.615 1.000 1.000 1.523 1.881 Júpiter 5.203 11.861 9.541 29.457 19.190 84.008 30.086 164.784 Mercurio Neptuno Urano Saturno Marte Tierra a) Ajuste un modelo potencia para los datos. b) La tercera ley de movimiento planetario de Kepler afirma que “el cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol”. ¿Su modelo corrobora la tercera ley de Kepler?
- 87. 36 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS En esta sección empezamos con las funciones básicas que discutimos en la sección 1.2 para obtener nuevas funciones por medio del desplazamiento, estiramiento y reflexión de sus gráficas. También mostramos cómo combinar pares de funciones utilizando operacio- nes aritméticas estándar y composición. Transformaciones de funciones Mediante la aplicación de ciertas transformaciones de la gráfica de una función dada, podemos obtener las gráficas de algunas funciones relacionadas. Esto nos dará la posibi- lidad de esbozar rápidamente a mano las gráficas de muchas funciones. También nos permitirá expresar ecuaciones para las gráficas dadas. Consideremos primero las trasla- ciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y m f(x)c es la gráfica de y m f(x) desplazada verticalmente hacia arriba una distancia de c unidades (ya que cada coordenada y se incrementa por el mismo número c). Por otro lado, si J(x) m f(x c), donde c 0, entonces el valor de J en x es el mismo que el valor de f en x c (c unida- des a la izquierda de x). Así, la gráfica de y m f(x c) es la gráfica de y m f(x), despla- zada c unidades a la derecha (véase la figura 1). FIGURA 2 (VWLUDPLHQWRUHIOH[LyQGHODJUiILFDGH¦ y= ƒ F x y 0 y=f(_x) y=ƒ y=_ƒ y=cƒ (c1) FIGURA 1 7UDVODFLyQGHODJUiILFDGH¦ x y 0 y=f(x-c) y=f(x+c) y =ƒ y=ƒ-c y=ƒ+c c c c c 1.3 Nuevas funciones a partir de funciones viejas Ahora consideremos las transformaciones por estiramiento y reflexión. Si c 1, entonces la gráfica de y m cf (x) es la gráfica de y m f (x) alargada verticalmente por un factor de c (porque cada coordenada y, se multiplica por el número c). La gráfica de y m f(x) es la gráfica de y m f(x) reflejada en relación con el eje x porque el punto (x, y) Desplazamientos vertical y horizontal Suponga que c 0. Para obtener la gráfica de y m f(x) c, desplace verticalmente c unidades hacia arriba la gráfica de y m f(x) y m f(x) c, desplace verticalmente c unidades hacia abajo la gráfica de y m f(x) y m f(x c), desplace horizontalmente c unidades a la derecha la gráfica de y m f(x) y m f(x c), desplace horizontalmente c unidades a la izquierda la gráfica de y m f(x)
- 88. SECCIÓN 1.3 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 37 se reemplaza por el punto (x, y). (Véase la figura 2 y el siguiente cuadro, donde también se dan los resultados de otras transformaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la función coseno con c m 2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y m 2 cos x multiplicamos la coordenada y de cada punto en la gráfica de y m cos x por 2. Esto significa que la grá- fica de y m cos x se alarga verticalmente por un factor de 2. Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal Supongamos que c 1. Para obtener la gráfica de y m cf(x), alargar verticalmente la gráfica de y m f(x) por un factor de c. y m (1Yc) f(x), comprimir verticalmente la gráfica de y m f(x) por un factor de c. y m f(cx), comprimir horizontalmente la gráfica de y m f(x) por un factor de c. y m f(xYc), alargar horizontalmente la gráfica de y m f(x) por un factor de c. y m f(x), reflejar la gráfica de y m f(x) sobre el eje x y m f(x), reflejar la gráfica de y m f(x) sobre el eje y FIGURA 3 x 1 2 y 0 y=FRV x y=FRV 2x y=FRV x 1 2 x 1 2 y 0 y=2 FRV x y=FRV x y= FRV x 1 2 1 v EJEMPLO 1 Dada la gráfica de , y sx use transformaciones para graficar , y sx 2 , , y sx 2 y sx y 2sx y . y s x SOLUCIÓN La gráfica de la función raíz cuadrada , y sx obtenida de la figura 13a) en la sección 1.2, se muestra en la figura 4a). En otras partes de la figura se ha trazado y sx 2 desplazándola 2 unidades hacia abajo, y sx 2 por desplazamiento de 2 unidades a la derecha, y sx reflejando sobre el eje x, y 2sx estirando verticalmente por un factor de 2 y y s x reflejando sobre el eje y. D
- 89. y=œ„ x E
- 90. y=œ„-2 x F
- 91. y=œ„„„„ x-2 G
- 92. y=_œ„ x H
- 93. y=2œ„ x I
- 94. y=œ„„ _x 0 x y 0 x y 0 x y 2 0 x y _2 0 x y 1 1 0 x y FIGURA 4
- 95. 38 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 2 Trace la gráfica de la función f(x) m x2 6x 10. SOLUCIÓN Completando el cuadrado, escribimos la ecuación de la gráfica como y m x2 6x10 m (x3)2 1 Esto significa que obtenemos la gráfica deseada iniciando con la parábola y m x2 y desplazándola 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). FIGURA 6 VHQ FIGURA 7 VHQ FIGURA 5 D
- 96. E
- 97. EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las siguientes funciones. a) y m sen 2x b) y m 1 sen x SOLUCIÓN a) Obtenemos la gráfica de y m sen 2x comprimiendo horizontalmente a y m sen x por un factor de 2. (Véanse las figuras 6 y 7). Por tanto, considerando que el periodo de y m sen x es 2), el periodo de y m sen 2x es 2)Y2 m ). b) Para obtener la gráfica de y m 1 sen x, empezamos de nuevo con y m sen x. Reflejamos sobre el eje x para obtener la gráfica de y m sen x y, a continuación, desplazamos 1 unidad hacia arriba para obtener y m 1 sen x (véase la figura 8). EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz natural como funciones de la época del año en varias latitudes. Dado que Filadelfia está situada a unos 40N de latitud, encuentre una función que modele la duración de la luz de día en Filadelfia. FIGURA 8 x 1 2 y π 0 2π y=1-VHQ x π 2 3π 2
- 98. SECCIÓN 1.3 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 39 SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Mirando la curva azul vemos que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura unas 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, por lo que la amplitud de la curva (el factor por el cual tenemos que alargar verticalmente la curva seno) es 1 2 14.8 9.2 2.8. ¿Por qué factor necesitamos alargar horizontalmente la curva seno si medimos el tiempo t en días? Como hay aproximadamente 365 días en un año, el periodo de nuestro modelo debe ser 365. Pero el periodo de y m sen t es 2), por lo que el factor de alargamiento horizontal es c m 2)Y365. También notamos que la curva comienza su ciclo el 21 de marzo, el día 80 del año, así que tenemos que desplazar la curva 80 unidades a la derecha. Además, debemos desplazarla 12 unidades hacia arriba. Por tanto, modelamos la duración del día en Filadelfia el t-ésimo día del año por la función L t 12 2.8 sen 2 365 t 80 Otra transformación de cierto interés se obtiene tomando el valor absoluto de una función. Si y m U f(x) U entonces, de acuerdo con la definición de valor absoluto, y m f(x) cuando f(x) w 0 y y m f(x) cuando f(x)
- 99. 0. Esto nos dice cómo obtener la gráfica de y m U f(x) U a partir de la gráfica de y m f(x): la parte de la gráfica que se encuentra por encima del eje x sigue siendo la misma; la parte que se encuentra debajo del eje x se refleja sobre este eje. v EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función y m U x2 1 U. SOLUCIÓN En primer lugar, graficamos la parábola y m x2 1 en la figura 10a), despla- zando verticalmente 1 unidad hacia abajo la parábola y m x2 . Vemos que la gráfica se encuentra por debajo del eje x cuando: 1
- 100. x
- 101. 1, por lo que reflejamos esa parte de la gráfica sobre el eje x para obtener la gráfica de y m U x2 1 U en la figura 10b). Combinación de funciones Dos funciones f y J pueden combinarse para formar nuevas funciones fJ, f J, fJ y fYJ en forma similar a la suma, resta, multiplicación y división de números reales. La suma y diferencia de funciones se definen mediante: (f J)(x) m f(x) J(x) (f J)(x) m f(x) J(x) FIGURA 9 *UiILFDGHODGXUDFLyQGHOX] GHGtDGHOGHPDU]RDOGH GLFLHPEUHHQGLYHUVDVODWLWXGHV Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time (Nueva York, 1935), pág. 40. 0DU $EU 0D -XQ -XO $JR 6HS 2FW 1RY 'LF +RUDV 60° 1 50° 1 40° 1 30° 1 20° 1 FIGURA 10 0 x y _1 1 D
- 102. y=≈-1 E
- 103. y=| ≈-1 | 0 x y _1 1
- 104. 40 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Si el dominio de f es A y el dominio de J es B, el dominio de f J es la intersección A B porque f(x) y J(x) tienen que estar definidas. Por ejemplo, el dominio de f x sx es A m F0, @), y el dominio de t x s2 x es B m (@, 2G, por lo que el dominio de f t x sx s2 x es A B m F0, 2G. Del mismo modo, se definen el producto y cociente de funciones por f t x f x t x ft x f x t x El dominio de fJ es A B, pero no podemos dividir por 0, así que el dominio de fYJ es Hx [ A B U J(x) 0J. Por ejemplo, si f(x) m x2 y J(x) m x 1, entonces el dominio de la función racional ( fYJ)(x) m x2 Y(x 1) es Hx U x 1J, o bien (@, 1) (1, @). Hay otra forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Por ejem- plo, supongamos que y f u su y u m J(x) m x2 1. Como y es una función de u y u es, a su vez, una función de x, se concluye que, finalmente, y es una función de x. Pode- mos calcular esto por sustitución: y f u f t x f x2 1 sx2 1 Este procedimiento se denomina composición porque la nueva función se compone de las dos funciones dadas f y J. En general, dadas dos funciones cualesquiera f y J, empezamos con un número x en el dominio de J y encontramos su imagen J(x). Si este número J(x) está en el dominio de f, entonces podemos calcular el valor de f(J(x)). Observe que la salida de una función se usa como entrada para la próxima función. El resultado es una nueva función h(x) m f(J(x)) obtenida mediante la sustitución de J en f y se llama la composición (o compuesta) de f y J, y se denota por f J (“f círculo J”). El dominio de f J es el conjunto de todas las x en el dominio de J tales que J(x) está en el dominio de f. En otras palabras, ( f J)(x) está definida siempre que J(x) y f(J(x)) estén definidas. La figura 11 muestra f J en términos de máquinas. EJEMPLO 6 Si f (x) m x2 y J(x) m x 3, encuentre la composición de las funciones f J y J f. SOLUCIÓN Tenemos t f x t f x t x2 x2 3 f t x f t x f x 3 x 3 2 R NOTA En el ejemplo 6 puede verse que, en general, f J J f. Recuerde, la notación f J significa que la función J se aplica primero y, a continuación, se aplica f. En el ejem- plo 6, f J es la función que primero resta 3 y, después, eleva al cuadrado; J f es la función que primero eleva al cuadrado y, después, resta 3. f g FIGURA 11 f{©} g /DPiTXLQDgVHFRPSRQH GHODPiTXLQDgSULPHUR
- 105. ODPiTXLQDfGHVSXpV
- 106. x © HQWUDGD
- 107. VDOLGD
- 108. Definición Dadas dos funciones f y J, la función compuesta f J (también llamada la composición de f y J) se define como ( f J)(x) m f(J(x))
- 109. SECCIÓN 1.3 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 41 v EJEMPLO 7 Si y , t x s2 x f x sx encuentre cada una de las siguientes funciones y su dominio. a) f J b) J f c) f f d) J J SOLUCIÓN a) f t x f t x f (s2 x ) ss2 x s 4 2 x El dominio de . es x x 2 , 2 x 2 x 0 f t b) t f x t f x t(sx ) s2 sx Para que sx esté definida debe cumplirse con que x w 0. Para que s2 sx esté definida debe cumplirse con que 2 sx 0, esto es, sx 2 o x v 4. Así que 0 v x v 4, por lo que el dominio de J f es el intervalo cerrado F0, 4G. c) f f x f f x f (sx ) ssx s 4 x El dominio de f f es F0, @). d) t t x t t x t(s2 x ) s2 s2 x Esta expresión está definida cuando 2 x w 0 y 2 s2 x 0. La primera desigualdad significa x v 2, y la segunda es equivalente a , s2 x 2 o 2 x v 4 o x w 2. Así, 2 v x v 2, por lo que el dominio de J J es el intervalo cerrado F2, 2G. Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la composición f J h se encuentra aplicado primero h, después J y, por último, f como sigue: f t h x f t h x EJEMPLO 8 Encuentre f J h si f(x) m xY(x 1), J(x) m x10 y h(x) m x 3. SOLUCIÓN f x 3 10 x 3 10 x 3 10 1 f t h x f t h x f t x 3 Hasta ahora ha utilizado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en Cálculo es útil a menudo ser capaz de descomponer una función compleja en otras más simples, como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 9 Dada F(x) m cos2 (x 9), encuentre las funciones f, J y h tales que F m f J h. SOLUCIÓN Como F(x) m Fcos (x 9)G2 , la fórmula para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, finalmente, eleve al cuadrado. Así, tenemos h(x) m x 9 J(x) m cos x f(x) m x2 Entonces cos x 9 2 F x f t h x f t h x f t x 9 f cos x 9 Si 0 v a v b, entonces a2 v b2 .
- 110. 42 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica f como sigue: a) Desplazada 3 unidades hacia arriba. b) Desplazada 3 unidades hacia abajo. c) Desplazada 3 unidades hacia la derecha. d) Desplazada 3 unidades hacia la izquierda. e) Reflejada respecto al eje x. f) Reflejada respecto a y. g) Alargada verticalmente por un factor de 3. h) Contraída verticalmente por un factor de 3. 2. Explique cómo se obtiene cada gráfica a partir de la gráfica de y m f(x). ) b ) a ) d ) c ) f ) e y 8f (1 8 x) y f x 1 y f 8x y 8f x y f x 8 y f x 8 3. La gráfica de y m f(x) está dada. Relacione cada ecuación con su gráfica y argumente sus elecciones. ) b ) a ) d ) c e) y 2f x 6 y f x 4 y 1 3 f x y f x 3 y f x 4 ! @ $ % # f y 3 _3 6 0 x 3 _3 _6 6 4. La gráfica de f está dada. Dibuje las gráficas de las siguientes funciones. ) b ) a ) d ) c y f (1 3 x) 1 y 2f x y f x 2 y f x 2 x y 0 1 2 5. La gráfica de f está dada. Utilícela para graficar las siguientes funciones. ) b ) a ) d ) c y f x y f x y f (1 2 x) y f 2x x y 0 1 1 6-7 La gráfica de y s3x x2 está dada. Utilice transforma- ciones para crear una función cuya gráfica es como se muestra.
- 111. 6. X Y 7. _4 _1 _2.5 x y _1 0 8. a) ¿Cómo es la gráfica de y m 2 sen x en relación con la gráfica de y m sen x? Utilice su respuesta y la figura 6 para graficar y m 2 sen x. b) ¿Cómo es la gráfica de y 1 sx en relación con la gráfica de y sx? Utilice su respuesta y la figura 4a) para graficar . y 1 sx 9-24 Grafique la función a mano, sin trazar puntos, sino empezando con la gráfica de una de las funciones esenciales de la sección 1.2 y después aplicando las transformaciones apropiadas. . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 15. 16. . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 y x 2 y cos x y sx 1 y 1 4 tan x 4 y x 2 y 1 2x x2 y 1 2sx 3 y 1 2 1 cos x y 2 x 2 y sen (1 2 x) y 4 sen 3x y sx 2 1 y x2 6x 4 y s 3 x y x 1 3 y 1 x 2 25. La ciudad de Nueva Orleáns se encuentra en la latitud 30N. Utilice la figura 9 para encontrar una función que modele el número de horas de luz diurna en Nueva Orleáns como una función de la época del año. Para comprobar la exactitud de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo el Sol sale a las 5:51 y se pone a las 18:18 en esta ciudad. 1.3 Ejercicios 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 112. SECCIÓN 1.3 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 43 26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminuye alternativamente. Para la estrella variable más visible, Delta Cephei, el tiempo transcurrido entre periodos de brillo máximo es de 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0, y su brillo varía en una magnitud de 0.35. Encuentre una función que modele el brillo de Delta Cephei, en términos del tiempo. 27. a) ¿Cómo es la gráfica de y m f ?U x U en relación con la gráfica de f? b) Trace la gráfica de y m senU x U. c) Trace la gráfica de . y s x 28. Utilice la gráfica de f para trazar la de y m 1Yf(x). ¿Qué características de f son las más importantes en el trazado de y m 1Yf(x)? Explique cómo se utilizan. 1 1 0 x y 29-30 Encuentre a) fJ, b) f J, c) fJ y d) fYJ y establezca sus dominios. 29. , 30. , t x sx2 1 f x s3 x t x 3x2 1 f x x3 2x2 31-36 Encuentre las funciones a) f J, b) J f, c) f f, y d) J J y sus dominios. 31. , 32. , 33. , 34. , 35. , 36. , t x sen 2x f x x 1 x t x x 1 x 2 f x x 1 x t x s 3 1 x f x sx t x cos x f x 1 3x t x x2 3x 4 f x x 2 t x 2x 1 f x x2 1 37-40 Encuentre f J h. 37. 38. , , 39. , , 40. , , h x s 3 x t x x x 1 f x tan x h x x3 2 t x x2 f x sx 3 h x sx t x 2x f x x 4 h x x2 t x sen x, f x 3x 2, 41-46 Exprese la función en la forma f J . 2 4 . 1 4 . 4 4 . 3 4 45. 46. v t sec t2 tan t2 u t tan t 1 tan t G x x 1 x 3 F x s 3 x 1 s 3 x F x cos2 x F x 2x x2 4 47-49 Exprese la función en la forma f J h. . 8 4 . 7 4 49. H x sec4 (sx ) H x s 8 2 x R x ssx 1 50. Utilice la tabla para evaluar cada una de las siguientes expresiones: x 1 2 3 4 5 6 3 1 4 2 2 5 6 3 2 1 2 3 t x f x a) b) c) d) e) f) f t 6 t f 3 t t 1 f f 1 t f 1 f t 1 51. Utilice las gráficas dadas de f y J para evaluar cada una de las siguientes expresiones, o explique por qué no están definidas: a) b) c) d) e) f) f f 4 t t 2 t f 6 f t 0 t f 0 f t 2 x y 0 f g 2 2 52. Utilice las gráficas dadas de f y J para estimar el valor de f(J(x)) para x m 5, 4, 3,..., 5. Utilice estas estimaciones para hacer un esbozo de f J. g f x y 0 1 1
- 113. 44 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS En esta sección se supone que tiene acceso a una calculadora graficadora o una computa- dora con software de gráficos. Veremos que el uso de un dispositivo de cómputo nos permite graficar funciones más complicadas y resolver problemas más complejos de lo que sería posible de otra manera. También señalamos algunos de los problemas que pueden presentarse con estas máquinas. Las calculadoras graficadoras y las computadoras pueden dar gráficas muy precisas de las funciones. Pero veremos en el capítulo 4 que sólo a través del uso del Cálculo podemos estar seguros de que hemos descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. Una calculadora graficadora o una computadora muestran una parte de la gráfica de una función en una ventana rectangular de visualización o pantalla de visualización, a la que nos referimos como un rectángulo de vista. La pantalla predeterminada ofrece a 53. Una piedra se deja caer en un lago, creando una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cmYs. a) Exprese el radio r del círculo en función del tiempo t (en segundos). b) Si A es el área de este círculo como una función del radio, encuentre A r e interprétela. 54. Un globo esférico está siendo inflado de manera que su radio aumenta a razón de 2cmYs. a) Exprese el radio r del balón en función del tiempo t (en segundos). b) Si V es el volumen del globo en función del radio, encuentre V r e interprétela. 55. Un barco se está moviendo con una velocidad de 30kmYh paralelamente a una costa recta. El barco está a 6 km de la costa y pasa por un faro al mediodía. a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco en función de la distancia d, que el barco ha recorrido desde el mediodía; es decir, encuentre f de modo que s m f(d). b) Exprese d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el mediodía; es decir, encuentre J de modo que d m J(t). c) Encuentre f J. ¿Qué representa esta función? 56. Un avión está volando con una velocidad de 350kmYh, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el tiempo t m 0. a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado, en función de t. b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar en función de d. c) Utilice la composición para expresar s como una función de t. 57. La función de Heaviside H está definida por H t 0 1 si t 0 si t 0 y se utiliza en el estudio de circuitos eléctricos para represen- tar aumentos repentinos de la corriente eléctrica, o de voltaje, cuando el interruptor se activa de manera instantánea. a) Trace la gráfica de la función de Heaviside. b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 0 y se aplican instantáneamente 120 voltios al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 5 segundos y se aplican instantáneamente 240 voltios al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (Tenga en cuenta que a partir de t m 5 corresponde a una traslación.) 58. La función de Heaviside que se define en el ejercicio 57 también puede utilizarse para definir la función rampa y m ctH(t), que representa un aumento gradual del voltaje o de corriente en un circuito. a) Trace la gráfica de la función rampa y m tH(t). b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 0, y el voltaje se aumenta gradualmente a 120 voltios durante un intervalo de tiempo de 60 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t v 60. c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente a 100 voltios durante un periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t v 32. 59. Sean f y J funciones lineales con ecuaciones f(x) m m1 x b1 y J(x) m m2 x b2 . ¿Es f J también una función lineal? Si es así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 60. Si usted invierte en dólares a 4% de interés compuesto anualmente, entonces la cantidad A(x) de la inversión después de un año es A(x) m 1.04x. Encuentre A A, A A A, y A A A A. ¿Qué representan estas composiciones? Encuentre una fórmula para la composición de n copias de A. 61. a) Si J(x) m 2x 1 y h(x) m 4x2 4x 7, encuentre una función f tal que f Jm h. (Piense qué operaciones tendrá que realizar en la fórmula para J a fin de determinar la fórmula para h.) b) Si f(x) m 3x 5 y h(x) m 3x2 3x 2, encuentre una función J tal que f Jm h. 62. Si f(x) m x 4 y h(x) m 4x 1, encuentre una función Jtal que J f m h. 63. Supongamos que J es una función par y sea h m f J. ¿Es h siempre una función par? 64. Supongamos que J es una función impar y sea h m f J. ¿Es h siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué pasa si f es par? 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras
- 114. SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 45 menudo una imagen incompleta o engañosa, por lo que es importante elegir el rectángu- lo de vista con cuidado. Si optamos por los valores de x que van desde un valor mínimo de Xmín m a hasta un valor máximo de Xmáx m b y que los valores de y varíen desde un mínimo de Ymín m c hasta un máximo de Ymáx m d, entonces la parte visible de la gráfi- ca se encuentra en el rectángulo a, b c, d x, y a x b, c y d que se muestra en la figura 1. Nos referimos a este rectángulo como el rectángulo de vista de Fa, bG por Fc, dG. FIGURA 1 5HFWiQJXORGHYLVWDa, bSRUc, d y=d x=a x=b y=c (a, d ) (b, d) (a, c ) (b, c ) La máquina dibuja la gráfica de una función f como usted lo haría. Traza puntos de la forma (x, f(x)) para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si un valor de x no está en el dominio de f, o si f(x) se encuentra fuera del rectángulo de vista, se mueve al siguiente valor de x. La máquina conecta cada punto con el anterior punto dibujado, para formar una representación de la gráfica de f. EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función f(x) m x2 3 en cada uno de los siguientes rectángulos de vista a) [2, 2] por [2, 2] b) [4, 4] por [4, 4] c) [10, 10] por [5, 30] d) [50, 50] por [100, 1000] SOLUCIÓN Para el inciso a) seleccionamos el rango ajustando Xmín m 2, Xmáx m 2, Ymín m 2, y Ymáx m 2. El gráfico resultante se muestra en la figura 2a). ¡La pantalla está en blanco! Un momento de reflexión da una explicación: observe que x2 w 0 para toda x, de modo que x2 3 w 3 para todo x. Así, el rango de la función f(x) m x2 3 es F3, @). Esto significa que la gráfica de f se encuentra totalmente fuera del rectángulo de vista F2, 2G por F2, 2G. Las gráficas para los rectángulos de vista en los incisos b), c) y d) también se muestran en la figura 2. Observe que obtenemos una imagen más completa de los incisos c) y d), pero en el inciso d) no está claro que la intersección en y es de 3. FIGURA 2 *UiILFDVGH E
- 115. SRU D
- 116. SRU En el ejemplo 1 vemos que la elección de un rectángulo de vista puede hacer una gran diferencia en la apariencia de una gráfica. A menudo es necesario cambiar a un rectángu- lo de vista más amplio para obtener una imagen más completa, una visión más global, de la gráfica. En el siguiente ejemplo podemos ver que el conocimiento del dominio y el rango de una función a veces nos da suficiente información para seleccionar un buen rectángulo de vista. F
- 117. SRU
- 119. G
- 120. SRU
- 121. 46 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de vista apropiado para la función f x s8 2x2 y utilícelo para graficar f. SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando ? x 2 ? 2 x 2 8 2x2 0 ? 2x2 8 ? x2 4 Por tanto, el dominio de f es el intervalo F2, 2G. También, 0 s8 2x2 s8 2s2 2.83 por lo que el rango de f es el intervalo . [0, 2s2 ] Elegimos el rectángulo de vista de manera que el intervalo para x sea algo mayor que el dominio, y el intervalo para y sea algo mayor que el rango. Tomando el rectángulo de vista como F3, 3G por F1, 4G, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 3. EJEMPLO 3 Grafique la función y m x3 150x. SOLUCIÓN Aquí, el dominio es 2, el conjunto de todos los números reales. Eso no nos ayuda a elegir un rectángulo de vista. Vamos a experimentar: si partimos de la pantalla F5, 5G por F5, 5G, obtenemos la gráfica de la figura 4, que aparece en blanco, aunque en realidad la gráfica es tan vertical que se funde con el eje y. Si cambiamos el rectángulo de vista a F20, 20G por F20, 20G, se obtiene la imagen que se muestra en la figura 5a). La gráfica parece consistir en líneas verticales, pero sabemos que no puede ser correcta. Si miramos con atención, mientras que el gráfico se está dibujando, vemos que la gráfica deja la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso de representación. Esto indica que tenemos que ver más en la dirección vertical, por lo que hay que cambiar el rectángulo de vista a F20, 20G por F500, 500G. La gráfica resultante se muestra en la figura 5b), donde se ve que todavía no acaba de revelar todas las características principales de la función, así que tratamos con F20, 20G por F1000, 1000G en la figura 5c). Ahora estamos más seguros de que hemos llegado a un rectángulo de vista más adecuado. En el capítulo 4 veremos que la gráfica en la figura 5c) en efecto, revela todas las principales características de la función. FIGURA 3 4 _1 _3 3 8-2≈ ƒ=œ„„„„„„ 5 _5 _5 5 FIGURA 4 FIGURA 5 *UiILFDVGH y=˛-150x D
- 122. F
- 123. E
- 124. 1 000 _1 000 _20 20 500 _500 _20 20 20 _20 _20 20 v EJEMPLO 4 Grafique la función f(x) m sen 50x en un rectángulo de vista apropiado. SOLUCIÓN La figura 6a) muestra la gráfica producida por una calculadora graficadora sobre una pantalla de F12, 12G por F1.5, 1.5G. A primera vista, la gráfica parece ser
- 125. SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 47 razonable. Pero si cambiamos el rectángulo de vista a los que se muestran en los siguien- tes incisos de la figura 6, las gráficas son muy diferentes. Algo extraño está sucediendo. FIGURA 6 *UiILFDVGHƒ=VHQ 50x HQFXDWURUHFWiQJXORVGHYLVWD D
- 126. E
- 127. F
- 128. G
- 129. 1.5 _1.5 _10 10 1.5 _1.5 _12 12 1.5 _1.5 _9 9 1.5 _1.5 _6 6 A fin de explicar las grandes diferencias en la apariencia de estas gráficas y de encontrar un rectángulo de vista adecuado, tenemos que encontrar el periodo de la función y m sen 50x. Sabemos que la función y m sen x tiene periodo 2) y que la gráfica de y m sen 50x está comprimida horizontalmente por un factor de 50, por lo que el periodo de y m sen 50x debe ser 2 50 25 0.126 Esto sugiere que sólo debemos ocuparnos de los pequeños valores de x a fin de mostrar sólo algunas oscilaciones de la gráfica. Si optamos por el rectángulo de vista F0.25, 0.25G por F1.5, 1.5G, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 7. Ahora vemos lo que salió mal en la figura 6. Las oscilaciones de y m sen 50x son tan rápidas que cuando la calculadora representa los puntos y los une, se pierde la mayoría de los puntos máximos y mínimos y, por tanto, da una impresión engañosa de la gráfica. Hemos visto que el uso de un rectángulo de vista inadecuado puede dar una falsa impresión de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3 se resolvió el problema cambiando a un rectángulo de vista más amplio. En el ejemplo 4 tuvimos que hacer el rectángulo de vista más pequeño. En el siguiente ejemplo vemos una función para la que no existe un rectángulo de vista sencillo que revele la verdadera forma de la gráfica. v EJEMPLO 5 Grafique la función . f x sen x 1 100 cos 100x SOLUCIÓN La figura 8 muestra la gráfica f producida por una calculadora graficadora con rectángulo de vista de F6.5, 6.5G por F1.5, 1.5G. Se parece mucho a la gráfica de y m sen x, pero con algunas protuberancias. Si nos acercamos al rectángulo de vista El aspecto de las gráficas en la figura 6 depende de la máquina utilizada. Las gráficas que se obtienen con su dispositivo de graficación podrían no parecerse a estas figuras, pero también son muy inexactas. FIGURA 7 ƒ=VHQ 50x 1.5 _1.5 _.25 .25 FIGURA 8 1.5 _1.5 _6.5 6.5
- 130. 48 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS F0.1, 0.1G por F0.1, 0.1G, podemos ver mucho más claramente la forma de estas protuberancia en la figura 9. La razón de este comportamiento es que el segundo término, 1 100 cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primer término, sen x. Así que en realidad necesitamos dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función y 1 1 x . SOLUCIÓN La figura 10a) muestra la gráfica generada por una calculadora graficadora con un rectángulo de vista de F9, 9G por F9, 9G. En la conexión de puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produce un segmento de recta con inclinación de la parte superior a la parte inferior de la pantalla. Este segmento de recta no es realmente parte de la gráfica. Observe que el dominio de la función y m 1Y(1 x) es Hx U x o 1J. Podemos eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambiamos al rectángulo de vista más pequeño F4.7, 4.7G por F4.7, 4.7G, para esta calculadora en particular, obtenemos la mucho mejor gráfica de la figura 10b). FIGURA 9 0.1 _0.1 _0.1 0.1 D
- 131. E
- 132. 9 _9 _9 9 4.7 _4.7 _4.7 4.7 FIGURA 10 FIGURA 11 2 _2 _3 3 FIGURA 12 2 _2 _3 3 EJEMPLO 7 Grafique la función y s 3 x. SOLUCIÓN Algunos dispositivos de graficación muestran la gráfica que se muestra en la figura 11, mientras que otras producen una gráfica como la de la figura 12. Sabemos de la sección 1.2 (figura 13) que la gráfica de la figura 12 es correcta, así que, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que algunas máquinas calculan la raíz cúbica de x mediante un logaritmo, que no está definido si x es negativo, por lo que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica. Usted debe experimentar con su propia máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produce. Si se obtiene la gráfica de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función f x x x x 1 3 Note que esta función es igual a s 3 x (excepto cuando x m 0). Otra forma de evitar la extraña recta es cambiar el modo de representación gráfica de la calculadora, para que los puntos no estén conectados. Puede obtener la gráfica correcta con Maple si primero escribe with(RealDomain);
- 133. SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 49 Para entender cómo la expresión de una función se relaciona con su gráfica, es útil graficar una familia de funciones, es decir, un conjunto de funciones cuyas ecuaciones están relacionadas. En el siguiente ejemplo graficamos miembros de una familia de poli- nomios cúbicos. v EJEMPLO 8 Grafique la función y m x3 cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c varía? SOLUCIÓN La figura 13 muestra las gráficas de y m x3 cx para c m 2, 1, 0, 1 y 2. Vemos que, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha, sin puntos máximos o mínimos (picos o valles). Cuando c m 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es negativa, la curva tiene un punto máximo y un punto mínimo. Cuando c disminuye, el punto máximo se hace más alto, y el mínimo, más bajo. a) Y¡X b) Y¡X c) Y¡ d) Y¡X e) Y¡X FIGURA 13 Varios miembros de la familia de funciones Y¡CX, graficadas en el rectángulo de vista F?G por F?G 0.7, 0.8SRU0.7, 0.8 HVFDOD[=0.01 F
- 136. 0.8 0.7 0.8 y=x 1 0 1 y=x 1.5 _1.5 _5 5 y=x y=FRV x FIGURA 14 /RFDOL]DFLyQGHODV UDtFHVGHFRV x=x y=FRV x y=FRV x EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x m x con una aproximación de dos decimales. SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x m x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y m cos x, y m x. De la figura 14a) vemos que sólo hay una solución y se encuentra que entre 0 y 1. Acercando el rectángulo de vista a F0, 1G por F0, 1G, podemos ver en la figura 14b) que la raíz se encuentra entre 0.7 y 0.8. Así que nos acercamos más con el rectángulo de vista F0.7, 0.8G por F0.7, 0.8G en la figura 14c). Al mover el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o mediante la inspección y el hecho de que la escala en el eje x es de 0.01, vemos que la solución de la ecuación es de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una característica intersección incorporada.) TEC en Visual 1.4 puede usted ver una animación de la figura 13.
- 137. 50 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1.4 Ejercicios 1. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f x sx3 5x2 . a) F5, 5G por F5, 5G b) F0, 10G por F0, 2G c) F0, 10G por F0, 10G 2. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f(x) m x4 16x2 20. a) F3, 3G por F3, 3G b) F10, 10G por F10, 10G c) F50, 50G por F50, 50G d) F5, 5G por F50, 50G 3-14 Determine un rectángulo de vista apropiado para las funciones dadas y utilícelo para trazar la gráfica: . 4 . 3 . 6 . 5 7. 8. 9. 10. . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 y x2 0.02 sen 50x y 10 sen x sen 100x f x sec 20 x f x sen sx f x cos 0.001x f x sen2 1000x f x x x2 100 f x x3 225x f x s15x x2 f x s50 0.2x f x x3 15x2 65x f x x2 36x 32 15. a) Ensaye para encontrar un rectángulo de vista apropiado para f(x) m (x 10)3 2x . b) ¿Necesita más de un rectángulo de vista? ¿Por qué? 16. Grafique la función f x x2 s30 x en un rectángulo de vista apropiado. ¿Qué parte de la gráfica parece perderse? 17. Grafique la elipse 4x2 2y2 m 1 graficando las funciones cuyos gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. 18. Grafique la hipérbola y2 9x2 m 1 graficando las funciones cuyos gráficos son las ramas superior e inferior de la hipérbola. 19-20 ¿Las gráficas se intersectan en el rectángulo de vista dado? Si lo hacen, ¿cuántos puntos de intersección hay? 19. , ; 20. , ; 6, 2 por 5, 20 y 3x 18 y 6 4x x2 1, 3 por 2.5, 1.5 y 0.23x 2.25 y 3x2 6x 1 21-23 Encuentre todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones con una aproximación de dos decimales. . 2 2 . 1 2 23. tan x s1 x2 sx x3 1 x4 x 1 24. Vimos en el ejemplo 9 que la ecuación cos x m x tiene exactamente una solución. a) Utilice una gráfica para mostrar que la ecuación cos x m 0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus valores con una aproximación de dos decimales. b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación cos x m mx tenga exactamente dos soluciones. 25. Utilice gráficas para determinar cuál de las funciones f(x) m 10x2 y J(x) m x3 Y10 es finalmente más grande (es decir, cuando x es muy grande). 26. Utilice gráficas para determinar cuál de la funciones f(x) m x4 100x3 y J(x) m x3 es finalmente más grande. 27. ¿Para qué valores de x es cierto que U tan x x U
- 138. 0.01 y )Y2
- 139. x
- 140. )Y2? 28. Grafique los polinomios P(x) m 3x5 5x3 2x y Q(x) m 3x5 en la misma pantalla, utilizando primero el rectángulo de vista de F2, 2G por F2, 2G y, a continuación, cambiándolo a F10, 10G por F10000, 10000G. ¿Qué observa en estas gráficas? 29. En este ejercicio consideramos la familia de funciones raíz f x s n x, donde n es un entero positivo. a) Grafique las funciones y sx y s 4 x , y y s 6 x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 4G por F1, 3G. b) Grafique las funciones y x y s 3 x , y y s 5 x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F3, 3G por F2, 2G. (Véase el ejemplo 7.) c) Grafique las funciones y sx y s 3 x y s 4 x , , y y s 5 x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 3G por F1, 2G. d) ¿Qué conclusiones puede usted obtener de estas gráficas? 30. En este ejercicio consideramos la familia de funciones f (x) m 1Yx n , donde n es un entero positivo. a) Grafique las funciones y m 1Yx, y m 1Yx3 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de vista F3, 3G por F3, 3G. b) Grafique las funciones y m 1Yx2 y y m 1Yx4 en la misma pantalla utilizando el mismo rectángulo de vista que en el inciso a). c) Grafique todas las funciones de los incisos a) y b) en la misma pantalla utilizando el rectángulo de vista F1, 3G por F1, 3G. d) ¿Qué conclusiones puede obtener de estas gráficas? 31. Grafique la función f(x) m x4 cx2 x para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando cambia c? 32. Grafique la función f x s1 cx2 para varios valores de c. Describa cómo afectan la gráfica los cambios en c. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 141. SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 51 La función f(x) m 2x se llama una función exponencial porque la variable, x, es el expo- nente. No debe confundirse con la J(x) de la función potencia J(x) m x2 , en la que la varia- ble está en la base. En general, una función exponencial es una de la forma f x ax donde a es una constante positiva. Recordemos el significado de esto. Si x m n, donde n es un entero positivo, entonces n factores an a a a Si x m 0, entonces a0 m 1, y si x m n, donde n es un entero positivo, entonces a n 1 an Si x es un número racional, x m pYq, donde p y q son números enteros y q 0, entonces ax ap q q sap (q sa )p Pero, ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué signi- fica 2s3 o 5P ? Para ayudarnos a responder esta pregunta, examinemos la gráfica de la función y m 2x , donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la figura 1. Quere- mos ampliar el dominio de y m 2x para incluir tanto los números racionales como los irracionales. 33. Grafique la función y m xn 2x , x w 0, para n m 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cómo cambia la gráfica cuando n aumenta? 34. Las curvas con ecuaciones y x sc x2 se llaman curvas nariz de bala. Grafique algunas de estas curvas para saber por qué. ¿Qué pasa cuando c aumenta? 35. ¿Qué pasa con la gráfica de la ecuación y2 cx3 x2 cuando c varía? 36. Este ejercicio explora el efecto de la función J en el interior de una función compuesta . y f t x a) Grafique la función y sen(sx ) utilizando el rectángulo de vista [0, 400] por [1.5, 1.5]. ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno? b) Grafique la función y m sen(x2 ), utilizando el rectángulo de vista [5, 5] por [1.5, 1.5] ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno? 37. La figura muestra las gráficas de y m sen 96x y y m sen 2x como se muestra en la calculadora graficadora TI-83. La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas parecen idénticas. [Sugerencia: la ventana de graficación de la TI-83 es de 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos grafica la calculadora?] y=VHQ 96x 0 2π y=VHQ 2x 0 2π 38. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y m sen 45x como la muestra una TI-83. Es inexacta y, por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica, se traza la curva de nuevo con el modo de puntos. ¿Cuál de las dos curvas senoidales parece estar graficando? Muestre que cada punto sobre la gráfica de y m sen 45x que eligió graficar la TI-83 está, de hecho, sobre una de estas curvas. (La TI-83 grafica en ventanas de 95 píxeles de ancho.) 1.5 Funciones exponenciales En el apéndice G hay un enfoque alternativo a las funciones exponenciales y logarítmicas mediante cálculo Integral. FIGURA 1 5HSUHVHQWDFLyQGHy=2®FRQ[ UDFLRQDO x 0 y 1 1
- 142. 52 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Hay huecos en la gráfica de la figura 1 correspondientes a valores irracionales de x. Queremos llenarlos mediante la definición de f(x) m 2x , donde x [ 2, por lo que f es una función creciente. En particular, puesto que el número irracional s3 satisface 1.7 s3 1.8 debemos tener 21.7 2s3 21.8 y sabemos qué significan 21.7 y 21.8 , ya que 1.7 y 1.8 son números racionales. Del mismo modo, si usamos mejores aproximaciones para , s3 obtenemos mejores aproximaciones para : 2s3 . . . . . . . . . . . . 1.73205 s3 1.73206 ? 21.73205 2s3 21.73206 1.7320 s3 1.7321 ? 21.7320 2s3 21.7321 1.732 s3 1.733 ? 21.732 2s3 21.733 1.73 s3 1.74 ? 21.73 2s3 21.74 Puede demostrarse que hay exactamente un número que es mayor que todos los números . . . 21.7 , 21.73 , 21.732 , 21.7320 , 21.73205 , y menor que todos los números . . . 21.8 , 21.74 , 21.733 , 21.7321 , 21.73206 , A este número lo definimos como 2s3 y, utilizando este procedimiento de aproximación, podemos obtenerlo con una aproximación de seis decimales: 2s3 3.321997 De la misma manera, podemos definir 2x (o ax , si a 0) donde x es cualquier número irracional. En la figura 2 se muestra cómo todos los huecos en la figura 1 han sido llenados para completar la gráfica de la función . f x 2x , x Las gráficas de los miembros de la familia de funciones y m ax se muestran en la figu- ra 3 para varios valores de la base a. Tenga en cuenta que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) porque a0 m 1 para a 0. Note también que cuando la base a se hace más grande, la función exponencial crece más rápidamente (para x 0). FIGURA 3 0 1® 1.5® 2® 4® 10® ” ’® 1 4 ” ’® 1 2 x y 1 Si 0
- 143. a
- 144. 1, entonces ax se aproxima a 0 cuando x es muy grande. Si a 1, entonces ax se aproxima a 0 cuando x disminuye al tomar valores negativos. En ambos casos el eje x es una asíntota horizontal. Estas cuestiones se tratan en la sección 2.6. Una demostración de este hecho se da en J. Marsden y A. Weinstein, Cálculo Ilimitado (Menlo Park, California, 1981). Para una versión en línea, consulte caltechbook.library.caltech.eduY197Y x 1 0 y 1 FIGURA 2 y=2®SDUD[UHDO
- 145. SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 53 Puede verse en la figura 3 que existen básicamente tres tipos de funciones exponen- ciales y m ax . Si 0
- 146. a
- 147. 1, la función exponencial decrece; si a m 1, es una constante, y si a 1, crece. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a 1, entonces la función exponencial y m ax tiene dominio 2 y rango (0, @). Note también que, dado que (1Ya)x m 1Yax m ax es justamente la reflexión de la gráfica de y m ax sobre el eje y. FIGURA 4 D
- 148. y=a®, 0a1 E
- 149. y=1® F
- 150. y=a®, a1 1 (0, 1) (0, 1) x 0 y y x 0 x 0 y FIGURA 5 0 1 a) y=2® x y 0 _1 b) y=_2® x y y=3 0 2 c) y=3-2® x y Una de las razones de la importancia de la función exponencial se encuentra en las siguientes propiedades. Si x y y son números racionales, entonces estas leyes son bien conocidas del álgebra elemental. Puede demostrarse que seguirá siendo así para números reales x y y arbitrarios. v EJEMPLO 2 Utilice un dispositivo de graficación para comparar la función exponencial f(x) m 2x con la de la función potencia J(x) m x2 . ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande? Leyes de los exponentes Si a y b son números positivos, y los números x y y son reales cualesquiera, entonces 1. 2. 3. 4. ax y ax ay ax y ax ay ax y axy ab x ax bx www.stewartcalculus.com Para un repaso de las leyes de exponentes, haga clic en Review of Algebra. Para un repaso de la reflexión y desplazamiento de gráficas, consulte la sección 1.3. EJEMPLO 1 Grafique la función y m 3 2x y determine su dominio y rango. SOLUCIÓN Primero reflejamos la gráfica de y m 2x [se muestran en las figuras 2 y 5a)] sobre el eje x para obtener la gráfica de y m 2x en la figura 5b). Después desplazamos 3 unidades hacia arriba la gráfica de y m 2x para obtener la gráfica de y m 3 2x en la figura 5c). El dominio es 2, y el rango es (@, 3).
- 151. 54 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones representadas gráficamente en el rectángulo de vista [2, 6] por [0, 40]. Vemos que las gráficas se intersectan tres veces, pero para x 4 la gráfica de f(x) m 2x permanece por encima de la gráfica de J(x) m x2 . La figura 7 da una visión más global y muestra que para grandes valores de x, la función exponencial y m 2x crece mucho más rápidamente que la función potencia y m x2 . En el ejemplo 2 se muestra que y m 2x aumenta más rápidamente que y m x2 . Para demostrar lo rápido que f(x) m 2x aumenta, vamos a realizar el siguiente experimento mental. Supongamos que empezamos con un trozo de papel de una milésima de pulgada de espesor y lo doblamos por la mitad 50 veces. Cada vez que dobla el papel por la mitad, el grosor del papel se duplica, por lo que el grosor del papel resultante sería 250 Y1000 pulgadas. ¿De qué grosor cree usted que es? ¡Más de 17 millones de millas! FIGURA 6 FIGURA 7 Aplicaciones de las funciones exponenciales La función exponencial ocurre con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de las ciencias naturales y sociales. Aquí le indicamos brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de una población. En capítulos posteriores seguiremos estas y otras apli- caciones en mayor detalle. En primer lugar, consideramos una población de bacterias en un medio nutritivo homo- géneo. Supongamos que por muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) m 1000, entonces tenemos p 3 2p 2 23 1000 p 2 2p 1 22 1000 p 1 2p 0 2 1000 De este patrón, parece ser que, en general: p t 2 t 2 t 1000 (1000) Esta función de la población es un múltiplo constante de la función exponencial y m 2t , por lo que muestra el rápido crecimiento que hemos observado en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (espacio ilimitado, nutrición y la ausencia de enfermedad), este creci- miento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza. ¿Qué pasa con la población humana? La tabla 1 muestra los datos de la población del mundo en el siglo xx, y en la figura 8 se muestra la gráfica de dispersión correspondiente. Población (millones) 0 1650 10 1750 20 1860 30 2070 40 2300 50 2560 60 3040 70 3710 80 4450 90 5280 100 6080 110 6870 t FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población mundial 5x10' P t 20 40 60 80 100 120 0 TABLA 1
- 152. SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 55 El patrón de los puntos de datos en la figura 8 sugiere un crecimiento exponencial, por eso usamos una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para apli- car el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial P (1436.53) ? (1.01395)t donde t m 0 corresponde a 1900. La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial junto con los puntos de datos originales. Vemos que la curva exponencial ajusta razonable- mente bien en el conjunto de datos. El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica por las dos Guerras Mundiales y la Gran Depresión de la década de 1930. FIGURA 9 Modelo exponencial para el crecimiento de población 5x10' 20 40 60 80 100 120 P t 0 FIGURA 11 0 1 mÅ1.1 FIGURA 10 0 y=2® 1 mÅ0.7 x y y=3® x y FIGURA 12 La función exponencial natural interseca al eje y con una pendiente igual a 1 0 y=´ 1 m=1 x y El número e De todas las posibles bases para una función exponencial, hay una que es más convenien- te para los fines del Cálculo. La elección de una base a está influida por la forma en que la gráfica de y m ax cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las rectas tangentes a las gráficas de y m 2x y y m 3x en el punto (0, 1). (Se definirán las rectas tangentes de manera precisa en la sección 2.7. Para los presentes fines, puede considerarse que la recta tangen- te a una gráfica exponencial en un punto es la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si medimos las pendientes de estas rectas tangentes en (0, 1), encontramos que m 0.7 para y m 2x y m 1.1 para y m 3x . Resulta que, como veremos en el capítulo 3, algunas de las fórmulas del Cálculo queda- rán muy simplificadas si elegimos la base a para la que la pendiente de la tangente de recta a y m ax en (0, 1) es exactamente 1. (Véase la figura 12.) De hecho, existe tal número y se denota con la letra e. (Esta notación fue elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 10 y 11, no causa ninguna sorpresa que el número e se encuentre entre 2 y 3 y que la gráfica de y m ex se halle entre las gráficas de y m 2x y y m 3x . (Véase la figura 13.) En el capítulo 3 veremos que el valor de e, con una aproximación de cinco decimales, es e 2.71828
- 153. 56 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS A la función f(x) m ex la llamamos función exponencial natural. FIGURA 13 0 1 y=2® y=e® y=3® y x v EJEMPLO 3 Grafique la función y 1 2 e x 1 y establezca el dominio y el rango. SOLUCIÓN Empezamos con la gráfica de y m ex de las figuras 12 y 14a) y la reflejamos sobre el eje y para obtener la gráfica de y m ex en la figura 14b). (Observe que la gráfica interseca el eje y con una pendiente de 1.) A continuación, se comprime la gráfica verticalmente por un factor de dos para obtener la gráfica de y 1 2 e x en la figura 14c). Por último, se desplazará la gráfica hacia abajo una unidad para obtener la gráfica deseada en la figura 14d). El dominio es 2, y el rango es (1, @). FIGURA 14 1 2 d) y= e–®-1 y=_1 0 1 1 2 c) y= e–® 0 1 0 b) y=e–® 1 x 0 y a) y=´ 1 y x y x y x FIGURA 15 1.5x10^ 0 15 y=´ y=10^ ¿Hasta qué valor de x a la derecha cree usted que tendríamos que ir para que la altura de la gráfica de y m ex sea superior a un millón? En el ejemplo siguiente se muestra el rápido crecimiento de esta función proporcionando una respuesta que podría sorprenderle. EJEMPLO 4 Utilice un dispositivo de graficación para encontrar los valores de x para los cuales ex 1000000. SOLUCIÓN En la figura 15 vemos la gráfica de la función y m ex y la recta horizontal y m 1000000. Vemos que estas curvas se intersectan cuando x 13.8. Por tanto, ex 106 cuando x 13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya han superado un millón cuando x es sólo 14. TEC Module 1.5 le permite graficar funciones exponenciales con diversas bases y sus rectas tangentes para calcular más de cerca el valor de a para la cual la recta tangente tiene pendiente 1.
- 154. SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 57 1-4 Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones: 1. ) a 4 3 2 8 ) b 1 s 3 x4 2. a) 84Y3 b) x(3x2 )3 3. a) b8 (2b)4 ) b 6y3 4 2y5 4. ) a x2n x3n 1 xn 2 ) b sasb s 3 ab 5. a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base a 0. a) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) Si a 1, ¿cuál es el rango de esta función? d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada uno de los siguientes casos. i) a 1 ii) a m 1 iii) 0
- 155. a
- 156. 1 6. a) ¿Cómo se define el número e? b) ¿Cuál es un valor aproximado de e? c) ¿Cuál es la función exponencial natural? 7-10 Grafique cada una de las siguientes funciones en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 7. y m 2x , y m ex , y m 5x , y m 20x 8. y m ex , y m ex , y m 8x , y m 8x 9. , , , y (1 10)x y (1 3 )x y 10x y 3x 10. y m 0.9x , y m 0.6x , y m 0.3x , y m 0.1x 11-16 Haga un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No utilice calculadora. Sólo utilice las gráficas en las figuras 3 y 13 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 11. y m 10x2 12. y m (0.5)x 2 13. y m 2x 14. y m eUxU 15. y 1 1 2 e x 16. y m 2(1 ex ) 17. A partir de la gráfica de y m ex , escriba la ecuación de la gráfica que resulta de a) desplazarla 2 unidades hacia abajo b) desplazarla 2 unidades a la derecha c) reflejarla sobre el eje x d) reflejarla sobre el eje y e) reflejarla sobre el eje x y luego sobre el eje y 18. Comenzando con la gráfica de y m ex , encuentre la ecuación de la gráfica resultante al a) reflejarla sobre la recta y m 4 b) reflejarla sobre la recta x m 2 19-20 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones 19. ) a f x 1 ex 2 1 e1 x 2 ) b f x 1 x ecos x 20. a) J(t) m sen (et ) ) b t t s1 2t 21-22 Encuentre la función exponencial f(x) m Cax correspondiente a cada una de las siguientes gráficas: 21. 0 (1, 6) (3, 24) y x 22. (_1, 3) ”1, ’ 4 3 0 y x 23. Si f(x) m 5x , demuestre que f(x h) f(x) h 5x 5h 1 h 24. Supongamos que se le ofrece trabajo por un mes. ¿Cuál de los siguientes métodos de pago prefiere? I. Un millón de dólares al final del mes. II. Un centavo en el primer día del mes, dos centavos en el segundo día, cuatro centavos en el tercer día y, en general, 2n1 centavos al n-ésimo día. 25. Supongamos que las gráficas de f(x) m x2 y J(x) m 2x se dibujan en una cuadrícula de coordenadas con 1 pulgada como unidad de medida. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es de 48 pies, pero la altura de la gráfica de J es aproximadamente 265 millas. 26. Compare las funciones f(x) m x5 y J(x) m 5x graficando ambas funciones en varios rectángulos de vista. Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas con aproximación a un decimal. ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande? 27. Compare las funciones f(x) m x10 y J(x) m ex graficando f y J en varios rectángulos de vista. ¿Cuándo la gráfica de J finalmente supera a la gráfica de f ? 1.5 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 157. 58 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS La tabla 1 muestra los datos de un experimento en el que un cultivo de bacterias inició con 100 de ellas en un medio limitado de nutrientes; el tamaño de población de bacterias se registró a intervalos de una hora. El número N de bacterias es una función del tiempo t: N m f(t). Supongamos, sin embargo, que el biólogo cambia su punto de vista y se interesa en el tiempo requerido para que la población alcance distintos niveles. En otras palabras, piensa en t como una función de N. Esta función se llama función inversa de f, denotada por f1 y se lee “f inversa”. Así, t m f1 (N) es el tiempo requerido para que el nivel de la pobla- ción llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse mediante la lectura de la tabla 1 de derecha a izquierda o consultando la tabla 2. Por ejemplo, f1 (550) m 6 ya que f(6) m 550. 28. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que ex 1000000000. 29. Bajo condiciones ideales se sabe con certeza que una población de bacterias se duplica cada tres horas. Supongamos que inicialmente hay 100 bacterias. a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas. d) Grafique la función de la población y estime el tiempo para que la población llegue a 50000. 30. Un cultivo bacteriano se inicia con 500 bacterias y duplica su tamaño cada media hora. a) ¿Cuántas bacterias hay después de 3 horas? b) ¿Cuántas hay después de t horas? c) ¿Cuántas hay después de 40 minutos? d) Grafique la función de la población y estime el tiempo para que la población llegue a 100000. 31. Utilice una calculadora graficadora con comando para regresión exponencial para modelar la población del mundo con los datos, desde 1950 hasta 2010, dados en la tabla 1 en la página 54. Utilice el modelo para estimar la población en 1993 y para predecir la población en el año 2020. 32. La tabla muestra la población de EU, en millones, en los años 1900-2010. Utilice una calculadora graficadora con comando de regresión exponencial para modelar la población de EU desde 1900. Utilice el modelo para estimar la población en 1925 y predecir la población en el año 2020. Año Población Año Población 1900 76 1960 179 1910 92 1970 203 1920 106 1980 227 1930 123 1990 250 1940 131 2000 281 1950 150 2010 310 33. Si graficamos la función f x 1 e1 x 1 e1 x veremos que f parece ser una función impar; demuéstrelo. 34. Grafique varios miembros de la familia de funciones f x 1 1 aebx donde a 0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b varía? ¿Cómo cambia cuando a varía? 1.6 Funciones inversas y logaritmos t (horas) población en el tiempo t 0 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586 N f t TABLA 1 N como función de t TABLA 2 t como función de N N tiempo para llegar a N bacterias 100 0 168 1 259 2 358 3 445 4 509 5 550 6 573 7 586 8 t f 1 N
- 158. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 59 No todas las funciones poseen inversa. Vamos a comparar las funciones f y J cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca tiene el mismo valor dos veces (cualquier par de entradas en A tienen diferentes salidas), mientras que J toma el mismo valor dos veces (2 y 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, J(2) m J(3), pero siempre que x1 x2 f x1 f x2 . Las funciones que comparten esta propiedad con f se denominan funciones uno a uno. FIGURA 1 4 3 2 1 10 4 2 A B g 4 3 2 1 10 7 4 2 A B f f es uno a uno; g no lo es 0 ‡ fl y=ƒ FIGURA 2 Esta función no es uno a uno, ya que f(⁄)=f(x2) y x ⁄ Si una recta horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, entonces vemos en la figura 2 que hay números x1 y x2 tales que f(x1 ) m f(x2 ). Esto significa que f no es uno a uno, por tanto, con el siguiente método geométrico podemos determinar si una función es uno a uno. En el lenguaje de entradas y salidas, esta definición señala que f es uno a uno si a cada salida le corresponde sólo una entrada. 1 Definición Una función f se llama uno a uno si nunca toma el mismo valor dos veces; esto es, siempre que x1 x2 f x1 f x2 . Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si no existe una recta horizontal que interseque su gráfica más de una vez. v EJEMPLO 1 ¿Es la función f(x) m x3 uno a uno? SOLUCIÓN 1 Si x1 x2 , entonces x1 3 x2 3 (dos números diferentes no pueden tener el mismo cubo). Por tanto, por la definición 1, f(x) m x3 es uno a uno. SOLUCIÓN 2 De la figura 3 se observa que no existe recta horizontal que interseque a la gráfica de f(x) m x3 más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. v EJEMPLO 2 ¿Es uno a uno la función J(x) m x2 ? SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno, ya que, por ejemplo, t 1 1 t 1 , por lo que 1 y 1 tienen la misma salida. FIGURA 3 ƒ=˛ es uno a uno 0 y=˛ y x
- 159. 60 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS SOLUCIÓN 2 De la figura 4 se observa que existen rectas horizontales que cruzan la gráfica de J más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, J no es uno a uno. Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente aquellas que poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición. FIGURA 4 no es uno a uno x y A B f –! f FIGURA 5 2 Definición Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces, la función inversa f1 tiene dominio B y rango A y está definida por f x y ? f 1 y x para cualquier y en B. rango de f 1 dominio de f dominio de f 1 rango de f La definición dice que si f hace corresponder x con y, entonces f 1 hace corresponder de regreso y con x. (Si f no es uno a uno, entonces f1 no está definida de manera única). El diagrama de flechas en la figura 5 indica que f1 invierte el efecto de f. Note que Por ejemplo, la función inversa de es f 1 x x1 3 f x x3 ya que si y m x3 , entonces f 1 y f 1 x3 x3 1 3 x R CUIDADO No cometa el error de pensar en 1 en f 1 como un exponente. Es decir, 1 f x no significa f 1 x En todo caso, 1Yf(x) es el recíproco y debería escribirse como [ f(x)]1 . v EJEMPLO 3 Si f(1) m 5, f(3) m 7 y f(8) m 10, encuentre f1 (7), f1 (5) y f1 (10). SOLUCIÓN De la definición de f1 , tenemos f 8 10 ya que f 1 10 8 f 1 5 ya que f 1 5 1 f 3 7 ya que f 1 7 3 El diagrama en la figura 6 aclara cómo f 1 invierte el efecto de f en este caso.
- 160. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 61 La letra x es tradicionalmente utilizada como la variable independiente, así que cuando nos concentramos en f1 en vez de f, usualmente cambiamos los roles de x y y en la defi- nición 2, y escribimos 3 f y x ? f 1 x y Al sustituir por y en la definición 2 y sustituyendo por x en 3 , obtenemos las siguientes ecuaciones de cancelación 4 f (f 1 x ) x para toda x en B f 1 (f x ) x para toda x en A La primera ecuación cancelada indica que si comenzamos con x, aplicando f y, a continua- ción, aplicamos f1 , llegamos de regreso a x, donde empezamos (consulte el diagrama de máquinas en la figura 7). Así, f1 deshace a f. La segunda ecuación señala que f deshace lo que hace f1 . FIGURA 6 La función inversa invierte las salidas y las entradas B 5 7 _10 f A 1 3 8 A 1 3 8 f –! B 5 7 _10 FIGURA 7 x x f ƒ f –! Por ejemplo, si f (x) m x3 , entonces f 1 (x) m x1Y3 y, por tanto, las ecuaciones de cancelación son f (f 1 x ) x1 3 3 x f 1 (f x ) x3 1 3 x Estas ecuaciones dicen simplemente que la función elevar al cubo y la función raíz cúbica se anulan mutuamente cuando se aplican una después de la otra. Ahora veamos cómo calcular funciones inversas. Si tenemos una función y m f(x) y somos capaces de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces, de acuerdo con la definición 2, debemos obtener x m f1 (y). Si queremos llamar a la variable independien- te x, intercambiamos x por y y llegamos a la ecuación y m f1 (x). 5 Cómo encontrar la función inversa de una función f uno a uno Paso 1 Escribir y m f(x). Paso 2 Resolver esta ecuación para x en términos de y (si es posible). Paso 3 Para expresar f1 en función de x, intercambiamos x por y. La ecuación resultante es y m f1 (x).
- 161. 62 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS v EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de f(x) m x3 2. SOLUCIÓN De acuerdo con 5 empezamos escribiendo y m x3 2 Después, despejamos x x s 3 y 2 x3 y 2 Finalmente, intercambiamos x y y: y s 3 x 2 Ahora, la función inversa es . f 1 x s 3 x 2 El principio de intercambio de x e y para encontrar la función inversa también nos da el método para obtener la gráfica de f1 a partir de la gráfica de f. Ya que f(a) m b si y sólo si f1 (b) m a, el punto (a, b) está en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está en la gráfica de f1 . Así, el punto (b, a) a partir del punto (a, b) se obtiene reflejando el segundo sobre la recta y m x. (Véase la figura 8.) FIGURA 8 FIGURA 9 0 y x (b, a) (a, b) y=x 0 y x f –! y=x f 0 y=x y=ƒ (0, _1) y=f –!(x) (_1, 0) FIGURA 10 y x EJEMPLO 5 Dibuje las gráficas de f x s 1 x y su función inversa utilizando el mismo eje de coordenadas. SOLUCIÓN Primero trazamos la curva y s 1 x (la mitad superior de la parábola y2 m 1 x o x m y2 1) y, a continuación, reflejamos sobre la recta y m x para obtener la gráfica de f1 . (Véase la figura 10.) Para comprobar nuestra gráfica, observe que la expresión para f1 es f1 (x) m x2 1, x w 0. Por lo que la gráfica de f1 es la mitad derecha de la parábola y m x2 1, y esto parece razonable a partir de la figura 10. Funciones logarítmicas Si a 0 y a 1, la función exponencial f(x) m ax siempre es creciente o decreciente, así que es uno a uno por la prueba de la recta horizontal. Por tanto, tiene una función inver- sa f1 que se llama la función logarítmica con base a y se denota por loga . Si utilizamos La gráfica de f1 se obtiene reflejando la gráfica de f sobre la recta y m x. En el ejemplo 4, note cómo f1 invierte el efecto de f. La función f es la regla “elevar al cubo y después sumar 2”; f 1 es la regla “restar dos y después tomar la raíz cúbica”. Así, como se ejemplifica en la figura 9:
- 162. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 63 la formulación de una función inversa dada por 3 , f 1 x y ? f y x, entonces tenemos 6 loga x y ? ay x Así, si x 0, entonces loga x es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x. Por ejemplo, el log10 0.001 m 3, ya que 103 m 0.001. Las ecuaciones de cancelación 4 , cuando se aplican a la funciones f (x) m ax y f 1 (x) m loga x, se convierten en 7 aloga x x para toda x 0 loga ax x para toda x La función logarítmica loga tiene dominio (0, @) y rango 2. Su gráfica es la reflexión de la gráfica de y m ax sobre la recta y m x. La figura 11 muestra el caso en que a 1. (Las funciones logarítmicas más importan- tes tienen una base a 1.) El hecho de que y m ax sea una función de rápido crecimiento para x 0 se refleja en el hecho de que y m loga x es una función de lento crecimiento para x 1. La figura 12 muestra las gráficas de y m loga x con varios valores de la base a 1. Puesto que loga 1 m 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). 0 y=x y=a®, a1 y=loga x, a1 FIGURA 11 y x FIGURA 12 0 y 1 x 1 y=log£ x y=log™ x y=log∞ x y=log¡¸ x Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las correspon- dientes propiedades de las funciones exponenciales dadas en la sección 1.5. Leyes de los logaritmos Si x e y son números positivos, entonces 1. 2. 3. (donde r es cualquier número real) loga xr r loga x loga x y loga x loga y loga xy loga x loga y
- 163. 64 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log2 80 log2 5. SOLUCIÓN Con la ley 2, tenemos log2 80 log2 5 log2 80 5 log2 16 4 porque 24 m 16. Logaritmos naturales De todas las posibles bases a de los logaritmos, veremos en el capítulo 3 que la más con- veniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial: La notación de los logaritmos En la mayoría de los libros de texto de cálculo y las ciencias, así como en las calculadoras, se usa la notación ln x para el logaritmo natural de x, y log x para el “logaritmo común”, log10 x. Sin embargo, en la literatura matemática y científica más avanzada, así como en los lenguajes de programación de computadoras, la notación log x denota por lo general el logaritmo natural. Si ponemos a m e y sustituimos loge con “ln” en 6 y 7 , entonces las propiedades que definen la función logaritmo natural se convierten en 8 ln x y ? ey x 9 eln x x x 0 ln ex x x En particular, si ponemos x m 1, obtenemos ln e m 1 EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x m 5. SOLUCIÓN 1 De 8 vemos que ln x m 5 significa e5 m x Por tanto, x m e5 . (Si tiene problemas para trabajar con la notación “ln”, simplemente reemplácela por loge . Entonces la ecuación se convierte en loge x m 5; así que, por la definición de logaritmo, e5 m x.) SOLUCIÓN 2 Comience con la ecuación ln x m 5 y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación: eln x m e5 Sin embargo, la segunda ecuación de cancelación 9 indica que eln x m x. Por tanto, x m e5 . loge x m ln x
- 164. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 65 EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación e5 3x m 10. SOLUCIÓN Tomamos logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y usamos 9 : x 1 3 5 ln 10 3x 5 ln 10 5 3x ln 10 ln e5 3x ln 10 Ya que el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, podemos aproximar la solución; para cuatro decimales tenemos: x 0.8991. v EJEMPLO 9 Exprese ln a 1 2 ln b con un solo logaritmo. SOLUCIÓN Con las leyes 3 y 1 de los logaritmos, tenemos ln(asb ) ln a ln sb ln a 1 2 ln b ln a ln b1 2 La siguiente fórmula muestra que los logaritmos de cualquier base pueden expresarse en términos de los logaritmos naturales. 10 Fórmula para el cambio de base Para cualquier número positivo a (a 1), tenemos loga x ln x ln a DEMOSTRACIÓN Sea y m loga x. Entonces, a partir de 6 , tenemos ay m x. Tomando loga- ritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, obtenemos y ln a m ln x. Por tanto, y ln x ln a Las calculadoras científicas tienen un comando para los logaritmos naturales, por lo que la fórmula 10 nos permite utilizar una calculadora para calcular un logaritmo de cualquier base (como se muestra en el siguiente ejemplo). Del mismo modo, la fórmula 10 nos permite graficar cualquier función logarítmica en una calculadora graficadora o computa- dora (véanse los ejercicios 43 y 44). EJEMPLO 10 Evalúe log8 5 con una precisión de seis decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 da log8 5 ln 5 ln 8 0.773976
- 165. 66 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Gráfica y crecimiento del logaritmo natural Las gráficas de la función exponencial y m e x y su función inversa, la función logaritmo natural, se muestran en la figura 13. Debido a que la curva y m e x cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y m ln x cruza el eje x con una pendiente de 1. Al igual que todas las demás funciones logarítmicas con base mayor que 1, el loga- ritmo natural es una función creciente definida en (0, @), y el eje y es un asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x son números negativos muy grandes cuando x tiende a 0.) EJEMPLO 11 Dibuje la gráfica de la función y m ln (x 2) 1. SOLUCIÓN Empezamos con la gráfica de y m ln x como se indica en la figura 13. Usando las transformaciones de la sección 1.3, la corremos 2 unidades a la derecha para obtener la gráfica de y m ln (x 2) y luego la desplazamos una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de y m ln (x 2) 1. (Véase la figura 14.) y 1 0 x 1 y=x y=´ y=ln x FIGURA 13 La gráfica de y=ln x es la reflexión de la gráfica y=´ sobre la recta y=x FIGURA 14 0 y 2 x (3, 0) x=2 y=ln(x-2) 0 y x y=ln x (1, 0) 0 y 2 x x=2 (3, _1) y=ln(x-2)-1 x 0 y 1000 20 y=œ„ x y=ln x x 0 y 1 1 y=œ„ x y=ln x FIGURA 16 FIGURA 15 x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10000 100000 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316 0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04 ln x sx sx ln x A pesar de que ln x es una función creciente, su crecimiento es muy lento cuando x 1. De hecho, ln x crece más lentamente que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, se comparan los valores aproximados de las funciones y m ln x y y x1 2 sx en la siguiente tabla y las gráficas en las figuras 15 y 16. Usted puede ver que en un principio las gráficas de y sx y y m ln x crecen a un ritmo comparable, pero finalmente la función raíz supera con creces al logaritmo.
- 166. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 67 Funciones trigonométricas inversas Cuando tratamos de encontrar las funciones trigonométricas inversas, tenemos una peque- ña dificultad: debido a que las funciones trigonométricas no son uno a uno, no tienen funciones inversas. La dificultad se supera mediante la restricción de los dominios de estas fun- ciones para que sean uno a uno. Puede verse en la figura 17 que la función seno, y m sen x, no es uno a uno (utilice la prueba de la recta horizontal). Pero la función , f x sen x, 2 x 2 es uno a uno (figura 18). La función inversa de la función seno restringida f existe y se denota por sen1 o arcsen. Se llama función seno inverso o función arco seno. sen FIGURA 17 FIGURA 18 sen Dado que la definición de una función inversa indica que f 1 x y ? f y x tenemos sen 1 x y ? sen y x y 2 y 2 Por tanto, 1 x 1 es el número entre )Y2 y )Y2 cuyo seno es x. EJEMPLO 12 Evalúe a) sen 1 (1 2) y b) . tan (arcsen 1 3 ) SOLUCIÓN a) Tenemos que sen 1 (1 2) 6 porque el y sen 6 1 2 6 se encuentra entre )Y2 y )Y2. b) Sea arcsen , 1 3 u por lo que el sen . 1 3 u Entonces, podemos dibujar un triángulo rectángulo con un ángulo . como en la figura 19 y deducir por el teorema de Pitágoras que el tercer lado del triángulo tiene una longitud de . s9 1 2s2 Esto nos permite leer que tan (arcsen 1 3 ) tan 1 2s2 u Las ecuaciones de cancelación para las funciones inversas resultan ser, en este caso, R sen 1 x 1 senx sen sen 1 x x para 1 x 1 sen 1 senx x para 2 x 2 2 œ„ 2 3 ¨ 1 FIGURA 19
- 167. 68 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS La función inversa del seno, sen1 , tiene dominio [1, 1] y rango [)Y2, )Y2], y su gráfica, que se muestra en la figura 20, se obtiene a partir de la función seno restringido (figura 18), mediante la reflexión sobre la recta y m x. La función coseno inverso se maneja en forma similar. La función coseno restringida f(x) m cos x, para 0 v x v ), es uno a uno (figura 21) y, por tanto, tiene una función inversa denotada por cos1 o arccos. 0 y x 1 _1 π 2 _π 2 FIGURA 20 y=sen–! x=arcsen x 0 y x 1 π π 2 FIGURA 21 y=cos x, 0¯x¯π 0 y x 1 π _1 π 2 FIGURA 22 y=cos–! x=arccos x FIGURA 23 tan cos 1 x y ? cos y x y 0 y Las ecuaciones de cancelación son cos cos 1 x x para 1 x 1 cos 1 cos x x para 0 x La función coseno inverso, cos1 , tiene dominio [1, 1] y rango [0, )]. Su gráfica se muestra en la figura 22. La función tangente puede hacerse uno a uno mediante la restricción de que el intervalo sea ()Y2, )Y2). Así, la función tangente inversa se define como la inversa de la función f(x) m tan x, )Y2
- 168. x
- 169. )Y2. (Véase la figura 23), y se denota por tan1 o arctan. tan 1 x y ? tan y x y 2 y 2 EJEMPLO 13 Simplifique la expresión cos (tan1 x). SOLUCIÓN 1 Sea y m tan1 x. Tenemos que, tan y m x y )Y2
- 170. y
- 171. )Y2. Queremos encontrar cos y, pero, ya que tan y es conocida, es más fácil encontrar primero sec y: sec y s1 x2 ya que sec y 0 para 2 y 2 sec2 y 1 tan2 y 1 x2 Así cos tan 1 x cos y 1 sec y 1 s1 x2
- 172. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 69 SOLUCIÓN 2 En lugar de utilizar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es quizá más fácil usar un diagrama. Si y m tan1 x, entonces tan y m x, y podemos leer en la figura 24 (que ilustra el caso y 0) que cos tan 1 x cos y 1 s1 x2 La función tangente inversa, tan1 m arctan, tiene dominio 2 y rango ()Y2, )Y2). Su gráfica se muestra en la figura 25. FIGURA 24 FIGURA 25 tanarctan FIGURA 26 y=sec x 0 y x _1 2π π Sabemos que las rectas x m )Y2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan. Dado que la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida, sobre la recta y m x, se deduce que las rectas y m )Y2 y y m )Y2 son asíntotas horizon- tales de la gráfica de tan1 . El resto de las funciones trigonométricas inversas no se utilizan con tanta frecuencia y se resumen aquí. 11 y cot 1 x x ? cot y x y y 0, y sec 1 x ( x 1) ? sec y x y y 0, 2 , 3 2 y csc 1 x ( x 1) ? csc y x y y 0, 2 , 3 2 La elección de los intervalos para y en las definiciones de csc1 y sec1 no es aceptada universalmente. Por ejemplo, algunos autores utilizan y [ [0, )Y2) ()Y2, )] en la defi- nición de sec1 . (Puede verse en la gráfica de la función secante en la figura 26 que tanto esta opción como la que se encuentra en 11 funcionan.) 1.6 Ejercicios 1. a) ¿Qué es una función uno a uno? b) ¿Cómo puede decirse, a partir de la gráfica de una función, que es uno a uno? 2. a) Supongamos que f es una función uno a uno con dominio A y rango B. ¿Cómo se define la función inversa f1 ? ¿Cuál es el dominio de f1 ? ¿Cuál es el rango de f1 ? b) Si se le da una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f1 ? c) Si se le da la gráfica para f, ¿cómo encuentra la gráfica de f1 ? 3-14 Una función viene dada por una tabla de valores, una gráfica, una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 3. x 1 2 3 4 5 6 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0 f x 4. x 1 2 3 4 5 6 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9 f x Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 173. 70 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 5. 6. 7. 8. 9. f(x) m x2 2x 10. f(x) m 10 3x 11. J(x) m 1Yx 12. J(x) m cosx 13. f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la patada inicial. 14. f(t) es su estatura a la edad t. 15. Suponga que f es una función uno a uno. a) Si f(6) m 17, ¿qué es f1 (17)? b) Si f1 (3) m 2, ¿qué es f(2)? 16. Si f(x) m x5 x3 x, encuentre f1 (3) y f(f1 (2)). 17. Si J(x) m 3xex , encuentre J1 (4). 18. La gráfica de f está dada. a) ¿Por qué es f uno a uno? b) ¿Cuáles son el dominio y el rango de f1 ? c) ¿Cuál es el valor de f1 (2)? d) Estime el valor de f1 (0). y x 0 1 1 19. La fórmula C m 5Y9 (F 32), donde F 459.67, expresa la temperatura Celsius C, en función de la temperatura Fahrenheit F. Halle una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m f v m0 s1 v2 c2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y explique su significado. 21-26 Halle una fórmula para la inversa de la función. 21. f x 1 s2 3x 22. f x 4x 1 2x 3 23. f(x) m e2x1 24. , x 1 2 y x2 x 25. y m ln(x3) 26. y ex 1 2ex 27-28 Encuentre una fórmula explícita para f1 y utilícela para graficar f1 , f y la recta y m x en la misma pantalla. Para compro-bar su trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflexiones sobre la recta. 27. f(x) m x4 1, x 0 28. f(x) m 2 ex 29-30 Use la gráfica dada de f, para trazar la gráfica de f1 . 29. y x 0 1 1 30. y x 0 2 1 31. Sea , . 0 x 1 f x s1 x2 a) Encuentre f1 . ¿Cómo se relaciona con f? b) Identifique la gráfica de f y explique su respuesta al inciso a). 32. Sea . t x s 3 1 x3 a) Encuentre J1 . ¿Cómo se relaciona con la J? b) Grafique J. ¿Cómo explica usted su respuesta al inciso a)? 33. a) ¿Cómo se define la función logarítmica y m loga x? b) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) ¿Cuál es el rango de esta función? d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función y m loga x si a 1. 34. a) ¿Cuál es el logaritmo natural? b) ¿Cuál es el logaritmo común? c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la función exponencial natural en un mismo conjunto de ejes. 35-38 Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. 35. a) log5 125 b) log3 ( 1 27) 36. a) ln (1Ye) b) log10 s10 37. a) log2 6 log2 15 log2 20 b) log3 100 log3 18 log3 50 38. a) e2 ln 5 b) ln?ln ee10 39-41 Exprese cada una de las siguientes cantidades dadas como un solo logaritmo. 39. ln55ln3 40. ln (a b) ln(a b) 2 ln c 41. 1 3 ln x 2 3 1 2 ln x ln x2 3x 2 2 42. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo con precisión de 6 decimales. a) log12 10 b) log2 8.4 y x x y y x x y
- 174. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 71 43-44 Use la fórmula 10 para graficar cada una de las siguientes funciones dadas, en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 43. y m log1.5 x, y m ln x, y m log10 x, y m log50 x 44. y m ln x, y m log10 x, y m ex , y m 10x 45. Suponga que la gráfica de y m log2 x se dibuja sobre una cuadrícula de coordenadas, donde la unidad de medida es de una pulgada. ¿Cuántas millas a la derecha del origen tenemos que movernos antes de que la altura de la curva alcance 3 pies? 46. Compare las funciones f(x) m x0.1 y J(x) m ln x graficando ambas, f y J, en varios rectángulos de vista. ¿Cuándo la gráfica de f supera finalmente a la gráfica de J? 47-48 Haga un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No utilice calculadora. Sólo tiene que usar las gráficas de las figuras 12 y 13 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 47. a) y m log10 (x5) b) y m ln x 48. a) y m ln(x) b) y m ln U x U 49-50 a) ¿Cuáles son el dominio y el rango de f? b) ¿Cuál es la intersección en x de la gráfica? c) Trace la gráfica de f. 49. f(x) m ln x2 50. f(x) m ln(x 1) 1 51-54 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x. 51. a) e74x m 6 b) ln(3x 10) m 2 52. a) ln(x2 1) m 3 b) e2x 3ex 2 m 0 53. a) 2x5 m 3 b) ln xln(x 1) m 1 54. a) ln(ln x) m 1 b) eax m Cebx , a b 55-56 Resuelva cada una de las siguientes desigualdades para x. 55. a) ln x
- 175. 0 b) ex 5 56. a) 1
- 176. e3x1
- 177. 2 b) 1 2 ln x
- 178. 3 57. a) Encuentre el dominio de f(x) m ln(ex 3). b) Halle f1 y su dominio. 58. a) ¿Cuáles son los valores de eln 300 y ln(e300 )? b) Use su calculadora para evaluar eln 300 y ln(e300 ). ¿Qué observa? ¿Puede explicar por qué la calculadora tiene problemas? SAC 59. Grafique la función f x sx3 x2 x 1 y explique por qué es uno a uno. A continuación, utilice un sistema de álgebra computarizado para encontrar una expresión explícita para f 1 (x). (El SAC produce tres posibles expresiones. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.) SAC 60. a) Si J(x) m x6 x4 , x w 0, utilice un sistema de álgebra computarizado para encontrar una expresión para J1 (x). b) Utilice la expresión del inciso a) para graficar y m J(x), y m x y y m J1 (x), en la misma pantalla. 61. Si una población de bacterias comienza con 100 bacterias y se duplica cada tres horas, entonces el número de bacterias después de t horas es n m f(t) m 100 ? 2tY3 . (Véase el ejercicio 29 en la sección 1.5.) a) Halle la inversa de esta función y explique su significado. b) ¿Cuándo la población alcanzará 50000 bacterias? 62. Cuando el flash de una cámara se apaga, las baterías comienzan a recargar de inmediato el condensador del flash, que almacena una carga eléctrica dada por Q(t) m Q0 (1 etYa ) (La capacidad de carga máxima es Q0 , y t se mide en segundos.) a) Halle la inversa de esta función y explique su significado. b) ¿Cuánto tiempo se tarda en recargar el condensador a 90% de la capacidad si a m 2? 63-68 Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. 63. ) b ) a 64. ) b ) a 65. ) b ) a 66. ) b ) a 67. ) b ) a 68. ) b ) a sen (2 sen 1 (3 5)) tan sec 1 4 sen 1 sen 7 3 tan arctan 10 arccos ( 1 2) cot 1 ( s3 ) sen 1 (1 s2 ) arctan 1 sec 1 2 tan 1 (1 s3 ) cos 1 1 sen 1 (s3 2) 69. Pruebe que cos sen 1 x s1 x2 70-72 Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 70. tan (sen1 x) 71. sen (tan1 x) 72. cos (2 tan1 x) 73-74 Grafique las funciones dadas, en la misma pantalla. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 73. , ; ; 74. , ; ; y x y tan 1 x 2 x 2 y tan x y x y sen 1 x 2 x 2 y senx 75. Encuentre el dominio y el rango de la función J(x) m sen1 (3x 1) 76. a) Grafique la función f(x) m sen (sen1 x) y explique la apariencia de la gráfica. b) Grafique la función J(x) m sen1 (sen x). ¿Cómo se explica la apariencia de esta gráfica? 77. a) Si desplazamos la curva a la izquierda, ¿qué sucede con su reflexión sobre la recta y m x? En vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de J(x) m f(xc), donde f es una función uno a uno. b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) m f(cx), donde c 0.
- 179. 72 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1. a) ¿Qué es una función? ¿Cuáles son su dominio y su rango? b) ¿Qué es la gráfica de una función? c) ¿Cómo se puede saber si una curva dada es la gráfica de una función? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre la discusión con ejemplos. 3. a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede saber si una función es par observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función par. b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede saber si una función es impar observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función impar. 4. ¿Qué es una función creciente? 5. ¿Qué es un modelo matemático? 6. Dé un ejemplo de cada tipo de función a) lineal b) potencia c) exponencial d) cuadrática e) polinomial de grado 5 f) racional 7. Trace a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las siguientes funciones. a) f(x) m x b) J(x) m x2 c) h(x) m x3 d) j(x) m x4 8. Trace a mano un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. a) y m sen x b) y m tan x c) y m ex d) y m ln x e) y m 1Yx f) y m U x U g) y sx h) y m tan1 x 9. Suponga que f tiene dominio A y J tiene dominio B. a) ¿Cuál es el dominio de f J? b) ¿Cuál es el dominio de fJ? c) ¿Cuál es el dominio de fYJ? 10. ¿Cómo se define la función compuesta f J? ¿Cuál es su dominio? 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación para cada una de las gráficas que se obtienen de aquella de f de la siguiente manera. a) Desplazamiento de 2 unidades hacia arriba. b) Desplazamiento de 2 unidades hacia abajo. c) Desplazamiento de 2 unidades a la derecha. d) Desplazamiento de 2 unidades a la izquierda. e) Reflexión sobre el eje x. f) Reflexión sobre el eje y. g) Alargamiento vertical por un factor de 2. h) Contraer verticalmente por un factor de 2. i) Alargar horizontalmente por un factor de 2. j) Contraer horizontalmente por un factor de 2. 12. a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede saber si una función es uno a uno observando su gráfica? b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función inversa f1 ? ¿Cómo se obtiene la gráfica de f1 a partir de la gráfica de f? 13. a) ¿Cómo se define la función seno inverso f(x) m sen1 x? ¿Cuáles son su dominio y su rango? b) ¿Cómo se define la función coseno inverso f(x) m cos1 x? ¿Cuáles son su dominio y rango? c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f(x) m tan1 x? ¿Cuáles son su dominio y rango? 1 Repaso Verificación de conceptos Examen rápido Verdadero-Falso Determine si la afirmación es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la afirmación. 1. Si f es una función, entonces f(s t) m f(s) f(t). 2. Si f(s) m f(t), entonces s m t. 3. Si f es una función, entonces f(3x) m 3f(x). 4. Si x1
- 180. x2 y f es una función decreciente, entonces f(x1 ) f(x2 ). 5. Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más una vez. 6. Si f y J son funciones, entonces f J m J f. 7. Si f es uno a uno, entonces . f 1 x 1 f x 8. Siempre puede dividirse por ex . 9. Si 0
- 181. a
- 182. b, entonces ln a
- 183. ln b. 10. Si x 0, entonces (ln x)6 m 6 ln x. 11. Si x 0 y a 1, entonces . ln x ln a ln x a 12. tan1 (1) m 3)Y4. 13. tan 1 x sen 1 x cos 1 x . 14. Si x es cualquier número real, entonces . sx2 x
- 184. CAPÍTULO 1 REPASO 73 1. Sea f la función cuya gráfica está dada. a) Estime el valor de f(2). b) Estime los valores de x tales que f(x) m 3. c) Establezca el dominio de f. d) Establezca el rango de f. e) ¿Sobre qué intervalo es creciente f? f) ¿Es f uno a uno? Explique. g) ¿Es f par, impar, o ninguno de los dos? Explique. y x 1 1 f 2. La gráfica de J está dada. a) Obtenga el valor de J(2). b) ¿Por qué J es uno a uno? c) Estime el valor de J1 (2). d) Estime el dominio de J1 . e) Dibuje la gráfica de J1 . g y x 0 1 1 3. Si f(x) m x2 2x3, evalúe el cociente de diferencias f a h f a h 4. Dibuje una gráfica aproximada de la producción de un cultivo en función de la cantidad de fertilizante utilizado. 5-8 Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones. Escriba su respuesta en notación de intervalos. 5. f(x) m 2Y(3x 1) 6. t x s16 x4 7. h(x) m ln(x6) 8. F(t) m 3cos 2t 9. Suponga que la gráfica de f está dada. Describa cómo las gráficas de las funciones siguientes pueden obtenerse a partir de la gráfica de f. a) y m f(x) 8 b) y m f(x 8) c) y m 1 2f(x) d) y m f(x 2) 2 e) y m f(x) f) y m f1 (x) 10. La gráfica de f está dada. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes. a) y m f(x 8) b) y m f(x) c) y m 2 f(x) d) y 1 2 f x 1 e) y m f1 (x) f) y m f1 (x 3) y x 0 1 1 11-16 Utilice transformaciones para dibujar la gráfica de la función. 11. y m sen 2x 12. y m 3 ln (x 2) 13. y 1 2 1 ex 14. y 2 sx 15. f x 1 x 2 16. f x x ex 1 si x 0 si x 0 17. Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. a) f(x) m 2x5 3x2 2 b) f(x) m x3 x7 c) f x e x 2 d) f(x) m 1 sen x 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consiste en el segmento de recta desde el punto (2, 2) hasta el punto (1, 0), junto con la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 1. 19. Si f(x) m ln x y J(x) m x2 9, encuentre las funciones a) f J, b) J f, c) f f, d) J J, y sus dominios. 20. Exprese la función F x 1 sx sx como una composición de tres funciones. Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 185. 74 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 21. La esperanza de vida mejoró notablemente en el siglo xx. La tabla muestra la esperanza de vida al nacer (en años) de los varones nacidos en EU. Use un diagrama de dispersión para elegir un tipo adecuado de modelo. Use su modelo para predecir el tiempo de vida de un varón nacido en el año 2010. Año de nacimiento Esperanza de vida Año de nacimiento Esperanza de vida 1900 48.3 1960 66.6 1910 51.1 1970 67.1 1920 55.2 1980 70.0 1930 57.4 1990 71.8 1940 62.5 2000 73.0 1950 65.6 22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos descubre que cuesta 9 000 dólares producir 1 000 tostadoras a la semana y 12 000 dólares producir 1 500 tostadoras a la semana. a) Exprese el costo en función del número de tostadoras producidas, suponiendo que es lineal. Después, trace la gráfica. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? c) ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje y y qué representa? 23. Si f(x) m 2xln x, encuentre f1 (2). 24. Encuentre la función inversa de . f x x 1 2x 1 25. Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. ) b ) a ) d ) c sen (cos 1 (4 5)) tan (arcsen 1 2 ) log10 25 log10 4 e2 ln 3 26. Resuelva cada cada una de las siguientes ecuaciones para x. ) b ) a ) d ) c tan 1 x 1 ee x 2 ln x 2 ex 5 27. La población de ciertas especies en un ambiente limitado con una población inicial de 100 y capacidad para 1000 es P t 100000 100 900e t donde t se mide en años. a) Grafique esta función y estime cuánto tiempo le toma a la población llegar a 900. b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. c) Utilice la función inversa para encontrar el tiempo necesario para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso a). 28. Grafique las tres funciones y m xa , y m ax y y m loga x en la misma pantalla para dos o tres valores de a 1. Para valores grandes de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes y cuál los valores más pequeños?
- 186. No hay reglas sólidas o inmediatas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y de dar algunos principios que pueden ser útiles en la resolución de algunos de ellos. Estos pasos y principios no hacen otra cosa que explicitar el sentido común y se han adaptado del libro de George Polya How To Solve It. 1 COMPRENDA EL PROBLEMA El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo comprende claramente. Plantéese las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades que se conocen? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas, es útil dibujar un diagrama y ubicar en el diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo general, es necesario introducir una notación adecuada En la elección de los símbolos para las incógnitas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x o y, aunque en algunos casos es mejor usar las iniciales de las cantidades involucradas como símbolos sugerentes; por ejemplo, V para el volumen o t para tiempo. 2 PIENSE EN UN PLAN Es importante encontrar una conexión entre la información dada y la desconocida, lo que le permitirá calcular las incógnitas. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de manera explícita: “¿Cómo relaciono lo conocido con lo desconocido?” Si usted no ve una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden serle útiles en la concepción de un plan. Intente reconocer algo conocido Relacione la situación dada con los conocimientos pre- vios. Observe lo desconocido y trate de recordar un problema más conocido que cuente con una incógnita similar. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrica, numérica o algebraica. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, podría ser capaz de conjeturar el patrón y probarlo. Utilice analogías Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar, un problema relacionado, pero que sea más fácil de resolver que el problema original. Si usted puede resolver el problema similar, pero más sencillo, entonces podría dar con las claves que necesita para resolver el problema original, que es más difícil. Por ejemplo, si un problema involucra cantidades muy grandes, podría intentar primero resolver un problema similar con cifras más pequeñas. O si el problema está inmerso en la geometría en tres dimensiones, puede buscarse un problema geométrico similar en dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, puede empezar con un caso particular. Introduzca algo extra A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, un apoyo auxi- liar para ayudar a hacer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en el diagrama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. Principios para la resolución de problemas 75
- 187. 76 Establezca casos A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno de los casos. Por ejemplo, a menudo tenemos que utili- zar esta estrategia al tratar con valores absolutos. Trabaje hacia atrás En algunas ocasiones es útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted puede revertir sus pasos y construir una solución al problema original. Este procedimiento es comúnmente utilizado en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la resolución de la ecuación 3x 5 m 7, suponga que x es un número que satisface 3x 5 m 7 y trabaje hacia atrás. Sumamos 5 a cada lado de la ecuación y luego dividimos ambos lados entre 3 para obtener x m 4. Como cada uno de estos pasos puede revertirse, hemos resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo a menudo es útil establecer objeti- vos parciales (en los que la situación deseada se cumple con sólo en algunas partes del problema). Si primero puede llegar a estos objetivos parciales, entonces podemos construir conclusiones sobre ellos para llegar a nuestra meta final. Razonamiento indirecto Con frecuencia es apropiado atacar en forma indirecta un problema. En el uso de la demostración por contradicción para demostrar que P implica Q, suponemos que P es cierta y Q es falsa y tratamos de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera, tenemos que utilizar esta información y llegar a una contradicción de lo que sabe- mos que es verdadero. Inducción matemática En la demostración de proposiciones que involucran un entero positivo n, es frecuentemente útil usar el siguiente principio. Principio de inducción matemática Sea Sn una proposición acerca del entero positivo n. Supongamos que 1. S1 es verdadera. 2. Sk 1 es verdadera cuando Sk es verdadera. Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, dado que S1 es verdadera, se deduce de la condición 2 (con k m 1) que la S2 es verdadera. Luego, utilizando la condición 2 con k m 2, vemos que S3 es verdadera. Una vez más, con la condición 2, esta vez con k m 3, tenemos que S4 es verda- dera. Este procedimiento puede seguirse indefinidamente. 3 EJECUTE EL PLAN En el paso 2 se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan tenemos que verificar cada etapa de éste y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es correcta. 4 MIRE EN RETROSPECTIVA Después de haber completado nuestra solución, es conveniente revisarla, en parte para ver si no se han cometido errores en la solución y en parte para ver si podemos pensar una manera más fácil de resolver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es familiarizar- nos con el método de solución, lo que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.” Estos principios de la resolución de problemas se ilustran en los siguientes ejemplos. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de resolución de problemas si se queda atascado. Usted puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios en los restantes capítulos de este libro.
- 188. EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25m2 en función de su perímetro P. SOLUCIÓN Primero clasifique la información mediante la identificación de la incógnita y los datos: Incógnita: hipotenusa h Datos: perímetro P, área de 25m2 Dibujar un diagrama como el de la figura 1 puede ser de gran ayuda. a h b FIGURA 1 Para establecer la relación entre las incógnitas y los datos, introduzca dos variables adicionales a y b, que representan las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto nos permite expresar la condición dada, y es que, dado que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2 m a2 b2 El resto de relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 25 1 2 ab P a b h Ya que P está dado, ahora tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y h: 3 P a b h 2 25 1 2 ab 1 h2 a2 b2 A pesar de que tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver en una forma sencilla. Pero si usamos la estrategia de resolución de problemas tratando de reconocer algo conocido, entonces podemos resolver estas ecuaciones por un método más fácil. Observe el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Estas expresiones le recuerdan algo familiar? Tenga en cuenta que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: (a b)2 m a2 2ab b2 Con esta idea, expresamos (a b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 tenemos (a b)2 m (a2 b2 ) 2ab m h2 4(25) De la ecuación 3 tenemos (a b)2 m (P h)2 m P2 2Ph h2 Así h P2 100 2P 2Ph P2 100 h2 100 P2 2Ph h2 Esta es la expresión requerida para h en función de P. 77 RP Comprenda el problema RP Relacione los datos con las incógnitas RP Introduzca algo extra RP Relacione con algo conocido RP Dibuje un diagrama
- 189. Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario utilizar el principio de la resolución de problemas, de separar en casos cuando se trata de valores absolutos. EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad . x 3 x 2 11 SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto: x x x si x 0 si x 0 De esta definición, se sigue que: x 3 x 3 si x 3 si x 3 x 3 x 3 x 3 si x 3 0 si x 3 0 Del mismo modo x 2 x 2 si x 2 si x 2 x 2 x 2 x 2 si x 2 0 si x 2 0 Estas expresiones muestran que es necesario considerar tres casos: x 3 2 x 3 x 2 CASO I Si x
- 190. 2, tenemos x 5 2x 10 x 3 x 2 11 x 3 x 2 11 CASO II Si 2 x
- 191. 3, la desigualdad dada se convierte en (siempre verdadera) 5 11 x 3 x 2 11 CASO III Si x 3, la desigualdad se convierte en x 6 2x 12 x 3 x 2 11 De la combinación de los casos I, II y III, vemos que se cumple con la desigualdad cuando 5
- 192. x
- 193. 6. Así que la solución es el intervalo (5, 6). RP Establezca casos 78
- 194. SECCIÓN 1.1 F 79 En el ejemplo siguiente, suponga primero una respuesta revisando los casos particulares y buscando una pauta. A continuación, demuestre su conjetura por inducción matemática. Usando el principio de inducción matemática, seguimos tres pasos: Paso 1 Demuestre que Sn es verdadera cuando n m 1. Paso 2 Suponga que Sn es verdadera cuando n m k y deduzca que Sn es verdadera cuando n m k 1. Paso 3 Concluya que Sn es verdadera para toda n por el principio de inducción matemática. EJEMPLO 3 Si y para n 0, 1, 2, . . . , fn 1 f0 fn f0 x x x 1 encuentre una fórmula para fn (x). SOLUCIÓN Empezamos por encontrar fórmulas para fn (x) para los casos particulares n m 1, 2 y 3. x 3x 1 x 3x 1 1 x 3x 1 4x 1 3x 1 x 4x 1 f3 x f0 f2 x f0(f2 x ) f0 x 3x 1 x 2x 1 x 2x 1 1 x 2x 1 3x 1 2x 1 x 3x 1 f2 x f0 f1 x f0(f1 x ) f0 x 2x 1 x x 1 x x 1 1 x x 1 2x 1 x 1 x 2x 1 f1 x f0 f0 x f0(f0 x ) f0 x x 1 Nos damos cuenta de un patrón: el coeficiente de x en el denominador de fn (x) es n 1 en los tres casos que hemos calculado. Así que hacemos la suposición de que, en general, 4 fn x x n 1 x 1 Para probar esto, utilizamos el principio de inducción matemática. Ya hemos comprobado que 4 es verdadera para n m 1. Supongamos que es verdadera para n m k, es decir, fk x x k 1 x 1 79 RP Analogía: intente un problema semejante más sencillo RP Busque un patrón
- 195. Entonces fk 1 x f0 fk x f0(fk x ) f0 x k 1 x 1 x k 1 x 1 x k 1 x 1 1 x k 1 x 1 k 2 x 1 k 1 x 1 x k 2 x 1 Esta expresión demuestra que 4 es verdadera para n m k 1. Por tanto, por inducción matemática, es verdadera para todo entero positivo n. 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4cm. Exprese la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa en función de la longitud de esta última. 2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 12cm. Exprese la longi- tud de la hipotenusa en función del perímetro. 3. Resuelva la ecuación . x 5 3 2x 1 4. Resuelva la desigualdad x 1 x 3 5. 5. Trace la gráfica de la función . x2 4 x 3 f x 6. Trace la gráfica de la función . t x x2 1 x2 4 7. Dibuje la gráfica de la ecuación x x y y . 8. Dibuje la región en el plano formado por todos los puntos (x, y) tales que x y x y 2 9. La notación máxHa, b,...J significa el mayor de los números a, b,... Dibuje la gráfica de cada función. a) f x máx x, 1 x b) f x máx sen x, cos x c) f x máx x2 , 2 x, 2 x 10. Dibuje la región en el plano definido por cada una de las siguientes ecuaciones o desigual- dades. a) máx x, 2y 1 b) 1 máx x, 2y 1 c) máx x, y2 1 11. Evalúe (log2 3) (log3 4)(log4 5)(log31 32). 12. a) Demuestre que la función f x ln(x sx2 1) es una función impar. b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad ln x2 2x 2 0 14. Use un razonamiento indirecto para probar que log2 5 es un número irracional. 15. Un conductor emprende un viaje. Durante la primera mitad del trayecto conduce a un ritmo lento de 30 miYh; en la segunda mitad conduce a 60miYh. ¿Cuál es su rapidez promedio durante este viaje? 16. ¿Es verdad que ? f t h f t f h 17. Demuestre que si n es un entero positivo, entonces 7n 1 es divisible entre 6. 18. Demuestre que 1 3 5 (2n 1) m n2 . 19. Si f0 (x) m x2 y fn1 (x) m f0 ( fn (x)) para n m 0, 1, 2,..., encuentre una fórmula para fn (x). 20. a) Si y para n 0, 1, 2, . . . , fn 1 f0 fn f0 x 1 2 x encuentre una expresión para fn (x) y utilice inducción matemática para demostrarla. b) Grafique f0 , f1 , f2 , f3 , en la misma pantalla y describa los efectos de la composición de repetida. 80 Problemas Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 196. Límites y derivadas 2 81 En Un previo de Cálculo (página 1) hemos visto cómo la idea de límite sustenta las distintas ramas del Cálculo. Por tanto, es apropiado comenzar nuestro estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límite que se usa para encontrar rectas tangentes y velocidades da lugar a la idea central del Cálculo Diferencial, la Derivada. Una pelota cae más y más rápido al transcurrir el tiempo. Galileo descubrió que la distancia de caída es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. El Cálculo posibilita calcular la rapidez de la pelota en cualquier instante. © 1986 Peticolas / Megna, Fundamental Photographs, NYC
- 197. 82 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En esta sección se verá cómo surgen los límites cuando tratamos de encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto. El problema de la tangente La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tan- gente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede preci- sarse esta idea? Para una circunferencia podemos simplemente seguir la idea de Euclides y decir que la tangente es una recta que interseca la circunferencia una y sólo una vez, como se ve en la figura 1a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La figura 1b) muestra dos rectas l y t que pasan por un punto P en una curva C. La recta l cruza C sólo una vez, pero ciertamente no es la idea que tenemos de lo que es una tan- gente. La recta t, por otro lado, se parece más a una tangente, pero interseca a C dos veces. Para ser más específicos, intentaremos resolver el problema de encontrar una recta t tangente a la parábola y m x2 en el siguiente ejemplo. v EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2 en el punto (1, 1). SOLUCIÓN Podremos encontrar la ecuación de la recta tangente t tan pronto como conozcamos su pendiente m. La dificultad es que sólo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, observamos que podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x2 ) sobre la parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ. [Una recta secante, de la palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que interseca (corta) una curva más de una vez.] Elegimos x o 1 de manera que Q o P. Entonces mPQ x2 1 x 1 Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25), tenemos mPQ 2.25 1 1.5 1 1.25 0.5 2.5 Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Cuanto más cerca está Q de P, la x es más cercana a 1 y, de las tablas, mPQ está más cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m m 2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo y lím x l1 x2 1 x 1 2 lím Q lP mPQ m Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente (véase apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente en (1, 1) como y 1 m 2(x 1) o bien y m 2x 1 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad a) b) t FIGURA 1 P C t l FIGURA 2 x y 0 y=≈ t Q{x, ≈} P(1, 1) x 2 3 1.5 2.5 1.1 2.1 1.01 2.01 1.001 2.001 mPQ x 0 1 0.5 1.5 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 mPQ
- 198. SECCIÓN 2.1 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 83 La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las correspondientes rectas secantes giran alrededor de P y se aproximan a la recta tangente t. FIGURA 4 t Q A B C P 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 90 100 60 70 80 50 (segundos) (microcoulombs) Q se aproxima a P por la derecha Q se aproxima a P por la izquierda P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t FIGURA 3 x 0 P y Q t Muchas de las funciones que se producen en la ciencia no están descritas por ecuaciones explícitas, sino que están definidas por datos experimentales. El siguiente ejemplo muestra cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de este tipo de funciones. v EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que el flash se dispara). Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde t m 0.04. [Nota: la pendiente de la recta tangente repre- senta la corriente eléctrica (medida en microamperios) que fluye desde el condensador a la lámpara del flash.] SOLUCIÓN En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que se aproxima a la gráfica de la función. TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para funciones adicio- nales. t Q 0.00 100.00 0.02 81.87 0.04 67.03 0.06 54.88 0.08 44.93 0.10 36.76
- 199. 84 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Dados los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) en la gráfica, nos encontramos con que la pendiente de la recta secante PR es mPR 100.00 67.03 0.00 0.04 824.25 La tabla de la izquierda muestra los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. De esta tabla se esperaría que la pendiente de la recta tangente en t m 0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 1 2 742 607.5 674.75 Así, por este método, estimamos la pendiente de la recta tangente como 675. Otro método consiste en elaborar una aproximación a la tangente en P y medir los lados del triángulo ABC, como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como AB BC 80.4 53.6 0.06 0.02 670 El problema de la velocidad Si usted mira el velocímetro de un automóvil mientras viaja en el tráfico de la ciudad, se ve que la aguja no se queda quieta por mucho tiempo, es decir, la velocidad del automóvil no es constante. Suponemos, al ver el velocímetro, que el coche tiene una velocidad deter- minada en cada instante, pero, ¿cómo se define la velocidad “instantánea”? Vamos a inves- tigar el ejemplo de la caída de una pelota. v EJEMPLO 3 Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observación de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos. SOLUCIÓN Por medio de experimentos llevados a cabo hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa por la ecuación s(t) m 4.9t2 La dificultad para encontrar la velocidad después de 5s es que se trata de un solo instante de tiempo (t m 5), por lo que no contamos con un intervalo de tiempo. Sin embargo, podemos aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde t m 5 hasta t m 5.1: 4.9 5.1 2 4.9 5 2 0.1 49.49m s s 5.1 s 5 0.1 velocidad promedio cambio en la posición tiempo transcurrido R (0.00, 100.00) 824.25 (0.02, 81.87) 742.00 (0.06, 54.88) 607.50 (0.08, 44.93) 552.50 (0.10, 36.76) 504.50 mPR El significado físico de la respuesta en el ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que fluye desde el condensador a la lámpara de flash, después de 0.04 segundos, es de unos 670 microamperios. © 2003 Brand X Pictures/Jupiter Images/Fotosearch La Torre CN en Toronto fue el edificio autoestable más alto en el mundo durante 32 años.
- 200. SECCIÓN 2.1 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 85 La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez más pequeños. Intervalo de tiempo Velocidad promedio (m s) 53.9 49.49 49.245 49.049 49.0049 5 t 5.001 5 t 5.01 5 t 5.05 5 t 5.1 5 t 6 Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez más cercana a 49mYs. La velocidad instantánea cuando t m 5 se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que comienzan en t m 5. Así, la velocidad (instantánea) después de 5s es v m 49mYs Usted puede sospechar (y no está equivocado) que los cálculos utilizados en la solución de este problema son muy similares a los utilizados anteriormente en esta sección para encontrar tangentes. De hecho, hay una estrecha conexión entre el problema de obtener la tangente y aquel de encontrar la velocidad. Si dibujamos la gráfica de la función de la distancia recorrida por la pelota (como en la figura 5) y consideramos los puntos P(a, 4.9a2 ) y Q(a h, 4.9(a h)2 ) sobre la gráfica, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ 4.9 a h 2 4.9a2 a h a que es la misma que la velocidad promedio en el intervalo de tiempo Fa, a hG. Por tanto, la velocidad en el instante t m a (el límite de las velocidades promedio cuando h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). Los ejemplos 1 y 3 muestran que, para resolver los problemas de la tangente y la velo- cidad, debe ser capaz de calcular límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites en las siguientes cinco secciones, regresaremos a estos problemas de encontrar tangentes y velocidades en la sección 2.7. FIGURA 5 t s Q a a+h 0 pendiente de la recta secante velocidad promedio P s=4.9t@ t s 0 a pendiente de la recta tangente velocidad instantánea P s=4.9t@
- 201. 86 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.1 Ejercicios 1. Un tanque contiene 1000 galones de agua que se drenan por la parte inferior del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua que queda en el tanque (en galones) después de t minutos. t (min) 5 10 15 20 25 30 V (gal) 694 444 250 111 28 0 a) Si P es el punto (15, 250) sobre la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto sobre la gráfica con t m 5, 10, 20, 25 y 30. b) Estime la pendiente de la recta tangente en P por medio del promedio de las pendientes de dos rectas secantes. c) Utilice una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la rapidez a la que fluye el agua del tanque después de 15 minutos.) 2. Un monitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se representan gráfica- mente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuen- cia cardiaca en latidos por minuto. t 36 38 40 42 44 (min) Latidos del corazón 2530 2661 2806 2948 3080 El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Utilice los datos para estimar el ritmo cardiaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre los puntos con los valores dados de t. a) t m 36 y t m 42 b) t m 38 y t m 42 c) t m 40 y t m 42 d) t m 42 y t m 44 ¿Cuáles son sus conclusiones? 3. El punto P(2, 1) se encuentra en la curva y m 1Y(1 x) a) Si Q es el punto (x, 1Y(1 x)), utilice la calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los siguientes valores de x: i) 1.5 ii) 1.9 iii) 1.99 iv) 1.999 v) 2.5 vi) 2.1 vii) 2.01 viii) 2.001 b) Utilice los resultados del inciso a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(2, 1). c) Utilizando la pendiente del inciso b), obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en P(2, 1). 4. El punto P(0.5, 0) se encuentra sobre la curva y m cos )x. a) Si Q es el punto (x, cos )x), utilice la calculadora para hallar la pendiente de la secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los siguientes valores de x: i) 0 ii) 0.4 iii) 0.49 iv) 0.499 v) 1 vi) 0.6 vii) 0.51 viii) 0.501 b) Utilice los resultados del inciso a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). c) Utilice la pendiente del inciso b), para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). d) Dibuje la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. 5. Si se lanza una pelota al aire con una velocidad de 40piesYs, su altura en pies después de t segundos está dada por y m 40t 16t2 . a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que comienza cuando t m 2 y permanece i) 0.5 segundos ii) 0.1 segundos iii) 0.05 segundos iv) 0.01 segundos b) Estime la velocidad instantánea cuando t m 2. 6. Si una piedra se lanza hacia arriba en el planeta Marte a una velocidad de 10mYs, su altura en metros t segundos después está dada por y m 10t 1.86t2 . a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: i) F1, 2G ii) F1, 1.5G iii) F1, 1.1G iv) F1, 1.01G v) F1, 1.001G b) Estime la velocidad instantánea cuando t m 1. 7. La tabla muestra la posición de un ciclista. t (segundos) 0 1 2 3 4 5 s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8 a) Encuentre la velocidad promedio para cada periodo: i) F1, 3G ii) F2, 3G iii) F3, 5G iv) F3, 4G b) Utilice la gráfica de s en función de t para estimar la velocidad instantánea cuando t m 3. 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula que se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta está dado por la ecuación de movimiento s m 2 sen )t 3 cos )t, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo: i) F1, 2G ii) F1, 1.1G iii) F1, 1.01G iv) F1, 1.001G b) Estime la velocidad instantánea de la partícula cuando t m 1. 9. El punto P(1, 0) se encuentra sobre la curva y m sen(10)Yx). a) Si Q es el punto (x, sen(10)Yx)), halle la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de cuatro decimales) para x m 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Las pendientes parecen estar acercándose a un límite? b) Utilice la gráfica de la curva para explicar por qué las pendientes de las rectas secantes en el inciso a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. c) Eligiendo rectas secantes apropiadas, estime la pendiente de la recta tangente en P. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 202. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 87 En la sección anterior vimos cómo surgen los límites cuando queremos encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto; ahora dirigimos nuestra atención a los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Vamos a investigar el comportamiento de la función f definida por f(x) m x2 x 2 para valores de x cercanos a 2. La siguiente tabla muestra los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. x 3.0 8.000000 2.5 5.750000 2.2 4.640000 2.1 4.310000 2.05 4.152500 2.01 4.030100 2.005 4.015025 2.001 4.003001 f x x 1.0 2.000000 1.5 2.750000 1.8 3.440000 1.9 3.710000 1.95 3.852500 1.99 3.970100 1.995 3.985025 1.999 3.997001 f x De la tabla y la gráfica de f (una parábola) que se muestra en la figura 1, vemos que cuando x se aproxima a 2 (por ambos lados de 2), f(x) se aproxima a 4. De hecho, parece que podemos hacer que los valores de f(x) estén tan cerca de 4 como queramos, tomando x suficientemente cercano a 2. Esto lo expresamos diciendo que “el límite de la función f(x) m x2 x 2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”. La notación para esto es lím x l2 x2 x 2 4 En general, usamos la siguiente notación. 2.2 Límite de una función se aproxima a 4. Cuandose aproxima a 2, FIGURA 1 1 Definición Supongamos que f(x) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a misma.) Entonces escribimos lím xla f x L y decimos que “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L” si podemos hacer que los valores de f(x) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cer- canos a L como queramos), tomando valores de x suficientemente cerca de a (por ambos lados de a), pero no iguales a a. En términos generales, esto quiere decir que los valores de f(x) se aproximan a L cuando x tiende a a. En otras palabras, los valores de f(x) tienden a estar más y más cerca del número L cuando x se acerca cada vez más al número a (de ambos lados de a), pero x o a. (En la sección 2.4 se dará una definición más precisa.) Una notación alternativa para lím x la f x L es f(x) l L cuando x l a que suele leerse “f(x) tiende a L cuando x tiende a a”.
- 203. 88 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Note la frase “pero x o a” en la definición de límite. Esto significa que al encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a a, no se considera x m a. De hecho, f(x) no necesita estar definida cuando x m a. Lo único que importa es cómo se define f cerca de a. La figura 2 muestra las gráficas de tres funciones. Observe que en el inciso c), f(a) no está definida y, en el inciso b), f(a) o L. Sin embargo, en cada caso, independientemente de lo que sucede en a, es cierto que límx l a f(x) m L. c) x y 0 L a b) x y 0 L a a) x y 0 L a FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos x a 0 1 0.5 x-1 ≈-1 y= FIGURA 3 FIGURA 4 0 1 0.5 y=© 2 y x y x EJEMPLO 1 Conjeture el valor de lím x l1 x 1 x2 1 . SOLUCIÓN Observe que la función f(x) m (x 1)Y(x2 1) no está definida cuando x m 1, pero eso no importa, porque la definición de límx l a f(x) dice que se consideran los valores de x que están cerca de a, pero no iguales a a. Las tablas de la izquierda dan valores de f(x) (con una precisión de seis decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no iguales a 1). Sobre la base de los valores en las tablas, hacemos la suposición de que lím x l1 x 1 x2 1 0.5 El ejemplo 1 se ilustra en la gráfica de f, en la figura 3. Ahora vamos a cambiar un poco f, dándole el valor de 2 cuando x m 1 y llamando J a la función obtenida: t(x) x 1 x2 1 si x 1 2 si x 1 Esta nueva función J conserva el mismo límite cuando x tiende a 1. (Véase la figura 4.) 0.5 0.666667 0.9 0.526316 0.99 0.502513 0.999 0.500250 0.9999 0.500025 x 1 f x 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 x 1 f x
- 204. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 89 EJEMPLO 2 Estime el valor de lím tl 0 st2 9 3 t2 . SOLUCIÓN La tabla enlista los valores de la función para varios valores de t cercanos a 0. t 1.0 0.16228 0.5 0.16553 0.1 0.16662 0.05 0.16666 0.01 0.16667 st2 9 3 t2 A medida que t se acerca a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666..., así que suponemos que lím tl 0 st2 9 3 t2 1 6 En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiéramos tomado valores aún más pequeños de t? La tabla en el margen muestra los resultados de una calculadora; sin duda, ¡algo extraño parece estar sucediendo! Si trata de obtener estos cálculos en su propia calculadora podría obtener valores diferen- tes, pero al final obtendrá el valor 0 si hace t suficientemente pequeña. ¿Significa esto que la respuesta es realmente 0, en lugar de 1 6? No, el valor del límite es 1 6 como se demuestra R en la siguiente sección. El problema es que la calculadora dio valores falsos porque st2 9 está muy cerca de 3 cuando t es pequeña. (De hecho, cuando t es suficientemen- te pequeña, una calculadora da el valor de 3.000 para st2 9... para tantos dígitos como la calculadora sea capaz de aceptar.) Algo similar sucede cuando tratamos de graficar la función f t st2 9 3 t2 del ejemplo 2, en una calculadora graficadora o computadora. Los incisos a) y b) de la figura 5 muestran gráficas bastante precisas de f, y cuando se utiliza el modo trace (si está disponible) puede estimarse fácilmente que el límite es cercano a 1 6. Pero si nos acercamos demasiado, como en los incisos c) y d), entonces obtenemos gráficas incorrectas, de nuevo debido a problemas con la sustracción. www.stewartcalculus.com Para una mayor explicación de por qué las calculadoras, a veces, dan valores falsos, haga clic en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, véase la sección llamada The Perils of Subtraction. FIGURA 5 0.1 0.2 a) _5, 5 por _0.1, 0.3 0.1 0.2 b) _0.1, 0.1 por _0.1, 0.3 c) _10–^, 10–^ por _0.1, 0.3 d) _10–, 10– por _0.1, 0.3 t 0.0005 0.16800 0.0001 0.20000 0.00005 0.00000 0.00001 0.00000 st2 9 3 t2
- 205. 90 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS v EJEMPLO 3 Obtenga el valor de lím x l 0 senx x . SOLUCIÓN La función f(x) m (sen x)Yx no está definida cuando x m 0. Usando una calculadora (y recordando que, si x [ 2, sen x significa el seno del ángulo x medido en radianes) podemos elaborar una tabla de valores con una precisión de hasta ocho decimales. De la tabla a la izquierda y la gráfica en la figura 6 suponemos que lím x l 0 senx x 1 De hecho, esta conjetura es correcta como se demostrará en el capítulo 3 utilizando un argumento geométrico. FIGURA 7 sen 0 x _1 1 y sen x x y= 1 FIGURA 6 v EJEMPLO 4 Investigue lím x l 0 sen x . SOLUCIÓN Una vez más la función f(x) m sen()Yx) no está definida en 0. Evaluando la función para algunos valores pequeños de x, obtenemos f 0.01 sen 100 0 f 0.1 sen 10 0 f (1 4 ) sen 4 0 f (1 3) sen 3 0 f (1 2 ) sen 2 0 f 1 sen 0 Del mismo modo, f(0.001) m f(0.0001) m 0. Sobre la base de esta información podríamos estar tentados a suponer que lím x l 0 sen x 0 R pero esta vez nuestra suposición es errónea. Tenga en cuenta que, aunque f(1Yn) m sen n) m 0 para cualquier entero n, también es cierto que f(x) m 1 para muchos valores de x cercanos a 0. Esto puede verse en la gráfica de f que se muestra en la figura 7. Informática de sistemas algebraicos Los sistemas algebraicos computarizados (SAC) tienen comandos que calculan límites. A fin de evitar los tipos de trampas como las de los ejemplos 2, 4 y 5, no calculan límites a partir de la experimentación numérica. En su lugar, utilizan técnicas más sofisticadas, como el cálculo de series infinitas. Si usted tiene acceso a un SAC, utilice los comandos para límites a fin de estimar los límites de los ejemplos de esta sección y revisar sus respuestas en los ejercicios de este capítulo. x 1.0 0.84147098 0.5 0.95885108 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 0.2 0.99334665 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 0.005 0.99999583 0.001 0.99999983 sen x x
- 206. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 91 Las líneas punteadas, cerca del eje y indican que los valores del sen()Yx) oscilan infinitamente entre 1 y 1 cuando x tiende a 0. (Véase el ejercicio 45.) Ya que los valores de f(x) no se acercan a un número fijo cuando x tiende a 0, lím x l 0 sen x no existe EJEMPLO 5 Encuentre el lím x l 0 x3 cos 5x 10000 . SOLUCIÓN Como antes, elaboramos una tabla de valores. De la primera tabla en el margen parece que lím xl0 x3 cos 5x 10000 0 Pero si perseveramos con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que lím x l 0 x3 cos 5x 10000 0.000100 1 10000 Más adelante veremos que límx l 0 cos 5x m 1; entonces deduciremos que el límite es 0.0001. R Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos al intentar conjeturar el valor de un límite. Es fácil caer en el valor incorrecto si utilizamos valores inadecuados de x, pero es difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la discusión después del ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores incorrectos. En la siguiente sección, sin embargo, vamos a desarrollar métodos infalibles para el cálculo de límites. v EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por H t 0 1 si t 0 si t 0 [Esta función lleva el nombre del ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se utiliza para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo t m 0.] Su gráfica se muestra en la figura 8. Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H(t) se aproxima a 0. Conforme t se aproxima a 0 por la derecha, H(t) se aproxima a 1. No hay un único número al que se aproxime H(t) cuando t se aproxima a 0. Por tanto, límt l 0 H(t) no existe. Límites laterales Hemos notado en el ejemplo 6 que H(t) tiende a 0 cuando t se aproxima a 0 por la izquierda y H(t) tiende a 1 a medida t se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica sim- bólicamente escribiendo y lím tl0 H t 1 lím tl0 H t 0 El símbolo “t l 0 ” indica que se consideran sólo los valores de t que son menores que 0. De igual modo, “t l 0 ” indica que se consideran sólo los valores de t que son mayores que 0. x 0.005 0.00010009 0.001 0.00010000 x3 cos 5x 10000 x 1 1.000028 0.5 0.124920 0.1 0.001088 0.05 0.000222 0.01 0.000101 x3 cos 5x 10000 t y 1 0 FIGURA 8 La función de Heaviside
- 207. 92 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Observe que la definición 2 difiere de la definición 1 sólo en el hecho de que x sea necesariamente menor que a. Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene “el límite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L” y escribimos lím x la f x L Así, el símbolo “x l a ” significa que se consideran sólo x a. Estas definiciones se ilustran en la figura 9. 2 Definición Cuando escribimos lím x la f x L estamos diciendo que el límite izquierdo de f(x) cuando x se aproxima a a [o el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si podemos hacer que los valores de f(x) se acerquen arbitrariamente a L, tanto como queramos, toman- do x suficientemente cercanos a a, pero menores que a. 0 x y L x a 0 x y ƒ L x a ƒ x a+ x a_ a) lím ƒ=L b) lím ƒ=L FIGURA 9 FIGURA 10 y 0 x y=© 1 2 3 4 5 1 3 4 3 si y sólo si y lím x la f x L lím x la f x L lím x la f x L Al comparar la definición 1 con las de los límites laterales, vemos que se cumple con lo siguiente. v EJEMPLO 7 La gráfica de una función J se muestra en la figura 10. Utilícela para establecer los valores (si existen) de lo siguiente: a) b) c) d) e) f) lím xl5 t x lím x l5 t x lím x l5 t x lím xl2 t x lím x l2 t x lím x l2 t x SOLUCIÓN En la gráfica vemos que los valores de J(x) tienden a 3 conforme x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 a medida x tiende a 2 por la derecha. Por tanto, a) y b) lím x l2 t x 3 lím x l2 t x 1 c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, llegamos a la conclusión de 3 que límx l2 t x no existe. La gráfica también muestra que d) e) y lím x l5 t x 2 lím x l5 t x 2
- 208. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 93 f) Esta vez los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos, así que, por 3 , tenemos lím x l5 t x 2 A pesar de esto, observe que J(5) o 2 Límites infinitos EJEMPLO 8 Encuentre lím x l0 1 x2 si existe. SOLUCIÓN Conforme x se acerca a 0, x2 también se acerca a 0, y 1Yx2 se hace muy grande. (Véase la tabla en el margen.) De hecho, se desprende de la gráfica de la función f(x) m 1Yx2 en la figura 11, que los valores de f(x) pueden ser arbitrariamente grandes, tomando x lo suficientemente cercano a 0. Así, los valores de f(x) no se aproximan a un número, por lo que límx l0 1 x2 no existe. Para indicar el tipo de comportamiento exhibido en el ejemplo 8, se usa la notación lím x l 0 1 x2 R Esto no quiere decir que estemos considerando a @ como un número. Tampoco significa que el límite existe. Simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe: 1Yx2 puede hacerse tan grande como queramos, tomando a x suficientemente cerca de 0. En general, podemos escribir simbólicamente lím x l a f x para indicar que los valores de f (x) tienden a ser más y más grandes (o “crecen sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a. x 1 1 0.5 4 0.2 25 0.1 100 0.05 400 0.01 10000 0.001 1000000 1 x2 FIGURA 11 x a FIGURA 12 lím ƒ=` x y x=a y=ƒ a 0 4 Definición Sea f una función definida por ambos lados de a, excepto posiblemen- te en la misma a. Entonces lím x l a f x significa que los valores de f(x) pueden ser arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos), tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. Otra notación para límx la f x es cuando f x l x l a Una vez más, el símbolo @ no es un número, pero la expresión límx l a f x se lee a menudo como “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es infinito” o bien “f(x) tiende al infinito cuando x se aproxima a a” o bien “f(x) crece sin cota cuando x se aproxima a a”. Esta definición se ilustra gráficamente en la figura 12.
- 209. 94 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Un tipo similar de límite, para las funciones que se convierten en negativos muy gran- des conforme x se aproxima a a, se precisa en la definición 5 y se ilustra en la figura 13. Cuando decimos que un número es “negativo muy grande”, lo que queremos decir que es negativo, pero su magnitud (valor absoluto) es grande. 0 x y x=a y=ƒ a FIGURA 13 lím ƒ=_` x a d) lím ƒ=_` a y 0 x x a+ x a_ c) lím ƒ=_` y 0 a x a) lím ƒ=` y 0 a x x a_ b) lím ƒ=` a y x x a+ 0 FIGURA 14 5 Definición Sea f definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím x l a f x significa que los valores de f(x) pueden ser negativos arbitrariamente grandes, toman- do x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. El símbolo límx la f x puede leerse como “el límite de f(x), cuando x se aproxi- ma a a, es infinito negativo” o “f(x) decrece sin límite conforme x tiende a a”. Como ejemplo tenemos lím x l0 1 x2 Definiciones similares pueden darse a los límites laterales infinitos lím x la f x lím x la f x lím x la f x lím x la f x recordando que “x « a– ” significa que se consideran sólo los valores de x que son menores que a, y del mismo modo “x « a+ ” significa que se consideran sólo x a. En la figura 14, se ilustran cuatro de estos casos. 6 Definición La recta x m a se llama asíntota vertical de la curva y m f(x) si al menos una de las siguientes afirmaciones son verdaderas: lím x la f x lím x la f x lím x la f x lím x la f x lím x la f x lím x la f x
- 210. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 95 Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y m 1Yx2 debido a que límxl 0 1 x2 . En la figura 14 la recta x m a es una asíntota vertical en cada uno de los cuatro casos que se muestran. En general, el conocimiento de asíntotas verticales es muy útil para dibujar gráficas. EJEMPLO 9 Encuentre y . lím x l3 2x x 3 lím x l3 2x x 3 SOLUCIÓN Si x tiende a 3 con valores mayores que 3, entonces el denominador x 3 es un número positivo muy pequeño y 2x está muy cerca de 6, así que el cociente 2xY(x 3) es un número positivo muy grande. Por tanto, intuitivamente, podemos ver que lím x l3 2x x 3 Asimismo, si x es cercano a 3, pero con valores menores que 3, entonces x 3 es un número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo (cercano a 6). Así, 2xY(x 3) es un número negativo muy grande. Por tanto, lím xl3 2x x 3 La gráfica de la curva y m 2xY(x 3) se ilustra en la figura 15. La recta x m 3 es una asíntota vertical. EJEMPLO 10 Encuentre las asíntotas verticales de f(x) m tan x. SOLUCIÓN Ya que tan x sen x cos x hay posibles asíntotas verticales donde cos x m 0. De hecho, puesto que cos x « a+ cuando y a medida que , x l 2 cos x l 0 x l 2 mientras sen x es positivo cuando x está cerca de )Y2, tenemos y lím x l 2 tan x lím xl 2 tan x Esto muestra que la recta x m )Y2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar, muestra que las rectas x m (2n 1))Y2, donde n es un número entero, son todas asíntotas verticales de f(x) m tan x. La gráfica en la figura 16 confirma esto. Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo natural y m ln x. En la figura 17 vemos que lím x l0 ln x y así, la recta x m 0 (el eje y) es una asíntota vertical. De hecho, lo mismo es cierto para y m loga x siempre que a 1. (Véanse las figuras 11 y 12 en la sección 1.6.) FIGURA 15 5 2x x-3 y= 0 x y x=3 _ _ x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 3π 2 FIGURA 16 y=tan x FIGURA 17 x 0 y 1 y=ln x El eje y es una asíntota vertical de la función logaritmo natural.
- 211. 96 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.2 Ejercicios 1. Explique con sus propias palabras cuál es el significado de la ecuación lím xl2 f x 5 ¿Es posible que se cumpla con esta proposición y que aún f(2) m 3 sea verdadero? Explique. 2. Explique qué significa decir que y lím xl1 f x 7 lím xl1 f x 3 En esta situación, ¿es posible que límxl1 f x exista? Explique. 3. Explique el significado de cada una de las siguientes proposiciones. ) b ) a lím xl4 f x lím xl 3 f x 4. Utilice la gráfica de f para establecer el valor de cada cantidad si ésta existe. Si no existe, explique por qué. a) b) c) d) e) f) lím xl4 f x f 2 lím xl2 f x lím xl2 f x lím xl2 f x f 4 y 0 x 2 4 4 2 5. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué. a) b) c) d) e) lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl1 f x f 3 lím xl3 f x y 0 x 2 4 4 2 6. Para la función h cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué. a) b) c) lím xl 3 h x lím xl 3 h x lím xl 3 h x d) e) f) g) h) i) j) k) l) lím xl5 h x lím xl5 h x h 2 lím xl2 h x h 0 lím xl0 h x lím xl0 h x lím xl0 h x h 3 y 0 x 2 _2 _4 4 6 7. Para la función J cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades si existe. Si no, explique por qué. a) b) c) d) e) f) g) h) lím tl 4 t t t 2 lím tl 2 t t lím tl 2 t t lím tl 2 t t lím tl 0 t t lím tl 0 t t lím tl 0 t t y t 2 4 4 2 8. Para la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. ) b ) a ) d ) c lím xl 3 R x lím xl 3 R x lím xl5 R x lím x l2 R x e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. x y 0 2 5 _3 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 212. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 97 9. Para la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. a) b) c) d) e) lím xl6 f x lím xl6 f x lím xl0 f x lím x l 3 f x lím x l 7 f x f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. x y 0 6 _3 _7 10. Un paciente recibe una inyección de 150mg de un medicamento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f(t) del medicamento en el torrente sanguíneo después de t horas. Encuentre y lím tl12 f t lím tl12 f t y explique el significado de estos límites laterales. 4 8 12 16 t f(t) 150 0 300 11-12 Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones y utilícela para determinar los valores de a para los cuales límxla f x existe. 11. 12. f x 1 sen x cos x sen x si x 0 si 0 x si x f x 1 x x2 2 x si x 1 si 1 x 1 si x 1 13-14 Utilice la gráfica de la función f para establecer el valor de cada uno de los siguientes límites, si es que existen. Si no, explique por qué. a) b) c) 13. 14. f x 1 1 e1 x f x x2 x sx3 x2 lím xl0 f x lím xl0 f x lím xl0 f x 15-18 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas. 15. , , 16. , , , , 17. , , , , 18. , , , , , f 4 1 f 0 2 lím xl4 f x 0 lím xl4 f x 3 lím xl0 f x 0 lím xl0 f x 2 f 2 1 f 3 3 lím xl 2 f x 2 lím xl3 f x 2 lím xl3 f x 4 f 3 1 f 0 1 lím xl3 f x 2 lím xl3 f x 2 lím xl0 f x 1 f 0 1 lím xl0 f x 2 lím xl0 f x 1 19-22 Conjeture el valor de cada uno de los siguientes límites (si existen) evaluando la función dada en los números propuestos (con una precisión de seis decimales). 19. , 20. , 21. , , , , , 22. , , , , , 0.0001 0.001 0.01 0.1 h 0.5 lím hl0 2 h 5 32 h 0.0001 0.001 0.01 0.1 t 0.5 lím tl 0 e5t 1 t 2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 x 0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 0.999, lím xl 1 x2 2x x2 x 2 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 x 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, lím xl2 x2 2x x2 x 2 23-26 Utilice una tabla de valores para estimar el valor de cada uno de los siguientes límites. Si dispone usted de una calculadora o computadora, utilícela para confirmar gráficamente su resultado. . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 lím xl0 9x 5x x lím xl1 x6 1 x10 1 lím xl0 tan 3x tan 5x lím xl0 sx 4 2 x 27. a) Por medio de la grafica de la función f x cos 2x cos x x2 y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y, estime el valor de . límx l 0 f x b) Verifique su respuesta del inciso a) mediante la evaluación de f(x) para valores de x que tiendan a 0.
- 213. 98 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 28. a) Estime el valor de lím xl0 sen x sen x graficando la función . f x sen x sen x Exprese su respuesta con una precisión de dos decimales. b) Verifique su respuesta del inciso a) evaluando f(x) para valores de x que tiendan a 0. 29-37 Determine cada uno de los siguientes límites infinitos. . 0 3 . 9 2 31. 32. . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 37. lím xl2 x2 2x 8 x2 5x 6 lím xl 2 x2 2x x2 4x 4 lím xl 2 x csc x lím xl cot x lím xl3 ln x2 9 lím xl5 ex x 5 3 lím xl1 2 x x 1 2 lím xl 3 x 2 x 3 lím xl 3 x 2 x 3 38. a) Encuentre las asíntotas verticales de la función y x2 1 3x 2x2 b) Verifique su respuesta al inciso a) graficando la función. 39. Determine y lím xl1 1 x3 1 lím xl1 1 x3 1 a) evaluando f x 1 x3 1 para valores de x que tiendan a 1, por el lado izquierdo y por el lado derecho. b) razonando como en el ejemplo 9, y c) a partir de la gráfica de f. 40. a) Por medio de la gráfica de la función f x tan 4x x y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y estime el valor de . límx l 0 f x b) Verifique su respuesta del inciso a) para evaluar f(x) para valores de x que tiendan a 0. 41. a) Estime el valor de límx l 0 1 x 1 x con una precisión de cinco decimales. ¿Le parece conocido este número? b) Ilustre el inciso a) graficando la función . y 1 x 1 x 42. a) Grafique la función f x ex ln x 4 para 0 v x v 5. ¿Piensa que la gráfica es una buena representación de f? b) ¿Cómo conseguiría una gráfica que represente mejor a f ? 43. a) Evalúe la función f(x) m x2 (2x Y1000) para x m 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 e intuya el valor de lím x l 0 x2 2x 1000 b) Evalúe f(x) para x m 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Intuya otra vez. 44. a) Evalúe h x tan x x x3 para x m 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 y 0.005. b) Intuya el valor de . lím x l 0 tan x x x3 c) Evalúe h(x) para sucesivos valores pequeños de x hasta que finalmente alcance un valor de 0 para h(x). ¿Aún confía usted en que su conjetura en el inciso b) es correcta? Explique por qué finalmente obtuvo valores 0. (En la sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) d) Grafique la función h en un rectángulo de vista F1, 1G por F0, 1G. Después haga un acercamiento hacia el punto donde la gráfica interseca el eje y, para estimar el límite de h(x) cuando x tienda a 0. Continúe el acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados del inciso c). 45. Grafique la función f x sen x del ejemplo 4 en el rectángulo de vista F1, 1G por F1, 1G. Después haga acercamientos al origen varias veces. Haga comentarios relacionados con el comportamiento de esta función. 46. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m m0 s1 v2 c2 donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez de la luz. ¿Qué pasa cuando v l c ? 47. Utilice una gráfica para estimar la ecuación de todas las asíntotas verticales de la curva y tan 2 sen x x Después, encuentre las ecuaciones exactas de estas asíntotas. 48. a) Utilice evidencias numéricas y gráficas para intuir el valor del límite lím x l 1 x3 1 sx 1 b) ¿Qué tan cerca a 1 debe estar x para asegurar que la función del inciso a) está dentro de una distancia de 0.5 de este límite?
- 214. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 99 En la sección 2.2 utilizamos calculadoras y gráficas para intuir los valores de un límite, pero observamos que tales métodos no siempre nos llevan a la respuesta correcta. En esta sección utilizaremos las siguientes propiedades de los límites, llamadas leyes de los lími- tes, para calcularlos. 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites Leyes de los límites Suponga que c es una constante y que los límites lím x la t x y lím x la f x existen. Entonces 1. 2. 3. 4. 5. lím xl a f x t x lím x la f x lím x la t x si lím x la t x 0 lím xl a f x t x lím x la f x lím x la t x lím xl a cf x c lím x la f x lím xl a f x t x lím x la f x lím x la t x lím xl a f x t x lím x la f x lím x la t x Estas cinco leyes pueden expresarse verbalmente como sigue: 1. El límite de una suma es la suma de los límites. 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. 3. El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. 4. El límite de un producto es el producto de los límites. 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea cero). Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si f(x) está cerca de L y J(x) está cerca de M, es razonable concluir que f(x) J(x) está muy cerca de L M. Esto nos da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 dare- mos una definición precisa de la idea de límite y la utilizaremos para demostrar esta ley. Las demostraciones del resto de las leyes están dadas en el apéndice F. EJEMPLO 1 Utilice las leyes de los límites y las gráficas de f y J en la figura 1 para evaluar los siguientes límites, si es que existen. ) c ) b ) a lím x l2 f x t x lím x l1 f x t x lím xl 2 f x 5t x SOLUCIÓN a) De las gráficas de f y J vemos que lím x l 2 t x 1 y lím x l 2 f x 1 Ley de la suma Ley de la diferencia Ley del múltiplo constante Ley del producto Ley del cociente FIGURA 1 x y 0 f g 1 1
- 215. 100 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Por tanto, tenemos (por la ley 1) (por la ley 3) 1 5 1 4 lím x l 2 f x 5 lím x l 2 t x lím x l 2 f x 5t x lím x l 2 f x lím x l 2 5t x b) Vemos que . límx l1 f x 2 Pero límx l1 t x no existe porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes: lím x l1 t x 1 lím x l1 t x 2 Así que no podemos utilizar la ley 4 para el límite deseado, pero podemos utilizarla para los límites laterales: lím x l1 f x t x 2 1 2 lím xl 1 f x t x 2 2 4 Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, así que límx l1 f x t x no existe. c) La gráfica muestra que lím x l2 t x 0 y lím x l2 f x 1.4 Ya que el límite del denominador es 0, no podemos utilizar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador tiende a 0, mientras que el numerador se acerca a un número no cero. Si utilizamos repetidamente la ley del producto con J(x) m f (x), obtenemos la siguiente ley. Ley de la potencia 6. lím xla f x n [lím x la f x ]n donde n es un número entero positivo . 8 . 7 lím x la x a lím xla c c 9. lím x l a xn an donde n es un número entero positivo 10. lím xla s n x s n a donde n es un número entero positivo (Si n es par, suponemos que a 0.) Para la aplicación de estas seis leyes, necesitamos utilizar dos límites especiales: Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo (establézcalos en palabras o dibuje las gráficas de y m c y y m x), pero en los ejercicios de la sección 2.4 se requieren las demostraciones basadas en la definición precisa. Si hacemos f(x) m x en la ley 6 y utilizamos la ley 8, obtenemos otra forma especial de límite. Un límite similar con el que se cumple para las raíces es el siguiente. (Para la raíz cua- drada, la demostración se resume en el ejercicio 37 de la sección 2.4.)
- 216. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 101 Más generalmente, tenemos la siguiente ley que hemos de demostrar en la sección 2.5 como una consecuencia de la ley 10. 11. lím xla s n f x) s n lím x la f x) donde n es un número entero positivo [Si n es par, suponemos que lím x la f x 0.] EJEMPLO 2 Evalúe los siguientes límites y justifique cada paso ) b ) a lím x l 2 x3 2x2 1 5 3x lím x l5 2x2 3x 4 SOLUCIÓN a) (por las leyes 2 y 1) (por la ley 3) (por las leyes 9, 8 y 7) 39 2 52 3 5 4 2 lím x l5 x2 3 lím x l5 x lím x l5 4 lím x l5 2x2 3x 4 lím x l5 2x2 lím x l5 3x lím x l5 4 b) Empezamos utilizando la ley 5, pero su uso está completamente justificado sólo en la etapa final cuando vemos que los límites del numerador y el denominador existen y el límite del denominador no es cero. (por la ley 5) (por las leyes 1, 2 y 3) (por las leyes 9, 8 y 7) 1 11 2 3 2 2 2 1 5 3 2 lím x l 2 x3 2 lím x l 2 x2 lím x l 2 1 lím x l 2 5 3 lím x l 2 x lím xl 2 x3 2x2 1 5 3x lím x l 2 x3 2x2 1 lím x l 2 5 3x NOTA Si hacemos f(x) m 2x2 3x 4, entonces f(5) m 39. En otras palabras, ha- bríamos obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2a) sustituyendo 5 por x. Del mismo modo, la sustitución directa aporta la respuesta correcta en el inciso b). Las funciones en el ejemplo 2 son una función polinomial y una función racional, respectivamente, y el mismo uso de las leyes de los límites demuestra que la sustitución directa siempre sirve para este tipo de funciones (Véanse los ejercicios 55 y 56). Este hecho se expresa de la siguiente manera: Propiedad de sustitución directa Si f es una función polinomial o una función racional y a está en el dominio de f, entonces lím x la f x f a Ley de la raíz Newton y los límites Isaac Newton nació el día de Navidad en 1642, año de la muerte de Galileo. Cuando entró en la Universidad de Cambridge en 1661, Newton no sabía muchas matemáticas, pero aprendió rápidamente mediante la lectura de Euclides y Descartes, y asistiendo a las conferencias de Isaac Barrow. Cambridge fue cerrada a causa de la peste en 1665 y 1666, y Newton regresó a su casa a reflexionar sobre lo que había apren- dido. Esos dos años fueron extraordinariamente productivos porque hizo cuatro de sus descubri- mientos más importantes: 1) su representación de funciones como sumas de series infinitas, incluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal y 4) sus experimentos con el prisma relacionados con la naturaleza de la luz y el color. Debido a un temor a la controversia y la crítica, se mostró reacio a publicar sus descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley, que Newton publicó sus Principia Mathematica. En este trabajo, el tratado científico más grande jamás escrito, Newton expone su versión del Cálculo y su utilización en la investigación de la mecánica, la dinámica de fluidos, y el movimiento ondulatorio, así como en la explicación del movimiento de los planetas y los cometas. Los inicios del Cálculo se encuentran en los procedimientos para obtener áreas y volúmenes ideados por los antiguos sabios griegos Eudoxo y Arquímedes. A pesar de que los aspectos de la idea de límite están implícitos en su “método de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explícitamente el concepto de límite. Tampoco matemáticos como Cavalieri, Fermat ni Barrow, antecesores inmediatos de Newton en el desarrollo del Cálculo, utilizaron los límites. Isaac Newton fue el primero en hablar explícitamente de límites. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las cantidades “se acercan más que cualquier diferencia dada”. Newton dijo que el límite era el concepto básico en el Cálculo, pero fue el posterior trabajo de matemáticos como Cauchy y otros más el que finalmente clarificó las ideas relacionadas con los límites.
- 217. 102 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Las funciones con la propiedad de sustitución directa se llaman continuas en x m a y las estudiaremos en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites pueden ser evaluados por sustitución directa, como se muestra en los siguientes ejemplos. EJEMPLO 3 Encuentre lím x l1 x2 1 x 1 . SOLUCIÓN Sea f(x) m (x2 1)Y(x 1). No podemos encontrar el límite por sustitución directa de x m 1 porque f(1) no está definida. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es 0. Ahora, necesitamos de un proceso algebraico preliminar. Factorizando el numerador como una diferencia de cuadrados: x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando tomamos el límite cuando x tiende a 1, tenemos que x o 1 y, por tanto, x 1 o 0. Así, podemos cancelar el factor común y calcular el límite como sigue: 1 1 2 lím x l1 x 1 lím x l1 x2 1 x 1 lím x l1 x 1 x 1 x 1 El límite en este ejemplo surgió en la sección 2.1 cuando intentamos hallar la recta tangente a la parábola y m x2 en el punto (1, 1). NOTA En el ejemplo 3 pudimos calcular el límite sustituyendo la función dada, f(x) m (x2 1)Y(x 1), por la función más sencilla, J(x) m x 1, que posee el mismo límite. Esto es válido porque f(x) m J(x), excepto cuando x m 1, y al calcular el límite cuando x tiende 1, no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. En general, se tiene el siguiente hecho. Si f x t x cuando x a, entonces lím x la f x lím x la t x siempre que el límite exista. EJEMPLO 4 Encuentre lím x l1 t x donde t x x 1 si x 1 si x 1 SOLUCIÓN Aquí J está definida en x m 1 y J(1) m ), pero el valor del límite cuando x tiende a 1, no depende del valor de la función en 1. Ya que J(x) m x 1 para x o 1, tenemos lím x l1 t x lím x l1 x 1 2 Note que los valores de las funciones en los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x m 1 (véase la figura 2) y tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. y=© 1 2 3 1 x y 0 2 3 y=ƒ 1 2 3 1 x y 0 2 3 FIGURA 2 Las gráficas de las funciones f (del ejemplo 3) y g (del ejemplo 4)
- 218. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 103 v EJEMPLO 5 Evalúe lím hl 0 3 h 2 9 h . SOLUCIÓN Si definimos F h 3 h 2 9 h , entonces, como en el ejemplo 3, no podemos calcular límh l 0 F h poniendo h m 0, ya que F(0) es indefinida. Pero si simplificamos algebraicamente a F(h), encontramos que F h 9 6h h2 9 h 6h h2 h 6 h (Recuerde que consideramos sólo h o 0 cuando hacemos que h tienda a 0.) Así lím h l 0 3 h 2 9 h lím h l 0 6 h 6 EJEMPLO 6 Encuentre lím tl 0 st2 9 3 t2 . SOLUCIÓN No podemos aplicar inmediatamente la ley del cociente, ya que el límite del denominador es 0. Aquí, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador: 1 slím tl0 t2 9 3 lím tl0 t2 t2 (st2 9 3) 1 3 3 1 6 lím tl0 1 st2 9 3 lím tl0 t2 9 9 t2 (st2 9 3) lím tl0 st2 9 3 t2 lím tl0 st2 9 3 t2 st2 9 3 st2 9 3 Este cálculo confirma la conjetura que hicimos en el ejemplo 2 de la sección 2.2. Algunos límites se calculan mejor encontrando primero los límites por la izquierda y por la derecha. El siguiente teorema es un recordatorio de lo que se descubrió en la sec- ción 2.2. Decimos que los límites por los dos lados existen si y sólo si ambos límites existen y son iguales. 1 Teorema si y sólo si lím x la f x L lím xla f x lím x la f x L Cuando calculamos límites laterales, utilizamos el hecho de que las leyes de los límites también se cumplen para límites de este tipo.
- 219. 104 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJEMPLO 7 Demuestre que lím x l0 x 0. SOLUCIÓN Recuerde que x x x si x 0 si x 0 Dado que U x U m x para x 0, tenemos lím x l0 x lím x l0 x 0 Para x
- 220. 0 tenemos U x U m x así que lím x l0 x lím x l0 x 0 Por tanto, por el teorema 1 lím x l0 x 0 v EJEMPLO 8 Demuestre que lím x l0 x x no existe. SOLUCIÓN lím x l0 x x lím x l0 x x lím x l0 1 1 lím x l0 x x lím x l0 x x lím x l0 1 1 Puesto que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se sigue, del teorema 1, que límx l 0 x x no existe. La gráfica de la función f (x) m U x UYx se muestra en la figura 4 y exhibe la coincidencia con los límites laterales que encontró. EJEMPLO 9 Si f x sx 4 8 2x si x 4 si x 4 determine si límx l 4 f x existe. SOLUCIÓN Ya que para x 4 f x sx 4 , tenemos lím x l4 f x lím x l4 sx 4 s4 4 0 Dado que f(x) m 8 2x para x
- 221. 4, tenemos lím x l4 f x lím x l4 8 2x 8 2 4 0 Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales. Así que el límite existe y lím x l 4 f x 0 La gráfica de f se muestra en la figura 5. El resultado del ejemplo 7 parece verosímil viendo la figura 3. FIGURA 3 y x 0 y=|x| 1 _1 x y 0 y= |x| x FIGURA 4 4 x y 0 FIGURA 5 Se muestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4 que el límx l 0 sx 0.
- 222. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 105 EJEMPLO 10 La función entero mayor está definida por VxB m el mayor entero que es menor que o igual a x. (Por ejemplo, , , , , s2 1 3 4.8 4 4 4 1 2 1.) Demuestre que límx l3 x no existe. SOLUCIÓN La gráfica de la función entero mayor se ilustra en la figura 6. Dado que VxB m 3 para 3 v x
- 223. 4, tenemos lím x l3 x lím x l3 3 3 Así que VxB m 2 para 2 v x
- 224. 3, tenemos lím x l3 x lím x l3 2 2 Ya que estos límites laterales no son iguales, límx l3 x no existe por el teorema 1. Los dos teoremas siguientes dan dos propiedades adicionales para los límites. Sus demostraciones se encuentran en el apéndice F. Otras notaciones para VxB son FxG y «xº. En ocasiones, la función entero mayor se llama función piso. El teorema de la compresión, llamado a veces teorema del sándwich o del apretón, se ilustra en la figura 7. Se dice que si J(x) se comprime entre f(x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces J es forzada a tener el mismo límite L en a. v EJEMPLO 11 Demuestre que lím x l0 x2 sen 1 x 0. SOLUCIÓN Primero note que no podemos utilizar R lím x l0 x2 sen 1 x lím x l0 x2 lím x l0 sen 1 x ya que límx l 0 sen 1 x no existe (véase el ejemplo 4 en la sección 2.2). En su lugar aplicamos el teorema de la compresión, así que tenemos que encontrar una función f menor que J(x) m x2 sen(1Yx) y una función h mayor que J tal que f(x) y h(x) tiendan a 0. 2 Teorema Si f(x) v J(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en x m a) y los límites de f y J existen cuando x tiende a a, entonces lím x l a f x lím x l a t x 3 El teorema de la compresión Si f(x) v J(x) v h(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en a) y lím x l a f x lím x l a h x L entonces lím x l a t x L y=[x] 1 2 3 1 2 3 4 4 5 x y 0 FIGURA 6 Función entero mayor 0 x y a L f g h FIGURA 7
- 225. 106 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para hacer esto, utilizamos lo que sabemos de la función seno. Ya que el seno de cualquier número está entre 1 y 1, podemos afirmar que 4 1 sen 1 x 1 Cualquier desigualdad permanece válida cuando la multiplicamos por un número positivo. Sabemos que x2 w 0 para toda x, así que multiplicando cada lado de la desigualdad en 4 por x2 , obtenemos x2 x2 sen 1 x x2 como se ilustra en la figura 8. Sabemos que lím x l 0 x2 0 y lím x l 0 x2 0 Tomando , y h x x2 t x x2 sen 1 x f x x2 del teorema de la compresión, ob- tenemos lím x l0 x2 sen 1 x 0 FIGURA 8 sen 2.3 Ejercicios 1. Dado que lím xl 2 h x 0 lím xl 2 t x 2 lím xl 2 f x 4 encuentre los límites que existen. Si el límite no existe, explique por qué. ) b ) a ) d ) c ) f ) e lím xl 2 t x h x f x lím xl2 t x h x lím xl 2 3f x t x lím xl2 sf x lím xl 2 t x 3 lím xl 2 f x 5t x 2. Las gráficas de f y J están dadas. Utilícelas para evaluar cada límite si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué. x 1 y y=ƒ 1 0 x y 1 y=© 1 ) b ) a ) d ) c ) f ) e lím xl2 x3 f x lím xl1 s3 f x lím xl 1 f x t x lím xl0 f x t x lím xl1 f x t x lím xl2 f x t x 3-9 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las leyes de los límites apropiadas. 3. 4. 5. 6. . 8 . 7 9. lím xl2 2x2 1 3x 2 lím tl 2 t2 2 t3 3t 5 2 lím xl8 (1 s 3 x ) 2 6x2 x3 lím tl 2 t4 2 2t2 3t 2 lím xl3 5x3 3x2 x 6 lím ul 2 su4 3u 6 lím xl 1 x4 3x x2 5x 3 10. a) ¿Cuál es el error en la siguiente ecuación? x2 x 6 x 2 x 3 b) Considerando el inciso a), explique por qué la ecuación lím xl2 x2 x 6 x 2 lím xl2 x 3 es correcta. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 226. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 107 11-32 Evalúe cada uno de los siguientes límites si éstos existen. . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 15. 16. 17. 18. 19. 20. . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 lím xl 4 x2 4x x2 3x 4 lím xl5 x2 6x 5 x 5 lím hl0 1 x h 2 1 x2 h lím hl0 x h 3 x3 h lím xl 4 sx2 9 5 x 4 lím tl0 1 ts1 t 1 t lím hl 0 3 h 1 3 1 h lím xl16 4 sx 16x x2 lím tl 0 1 t 1 t2 t lím tl0 s1 t s1 t t lím xl 1 x2 2x 1 x4 1 lím xl 4 1 4 1 x 4 x lím ul2 s4u 1 3 u 2 lím hl0 s9 h 3 h lím tl1 t4 1 t3 1 lím xl 2 x 2 x3 8 lím hl0 2 h 3 8 h lím hl0 5 h 2 25 h lím xl 1 2x2 3x 1 x2 2x 3 lím tl 3 t2 9 2t2 7t 3 lím xl 1 x2 4x x2 3x 4 lím xl5 x2 5x 6 x 5 33. a) Estime el valor de lím x l0 x s1 3x 1 graficando la función f x x (s1 3x 1). b) Haga una tabla de valores de f(x) para x cercana a 0 e intuya el valor del límite. c) Utilice las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta. 34. a) Utilice la gráfica de f x s3 x s3 x para estimar el valor de límx l 0 f x con dos decimales. b) Utilice una tabla de valores de f(x) para estimar el límite con cuatro decimales. c) Utilice las leyes de los límites para encontrar el valor exacto del límite. 35. Utilice el teorema de la compresión para demostrar que límxl0 x2 cos 20 x 0. Ilustre las funciones y h x x2 f x x2 , t x x2 cos 20 x graficando en la misma pantalla. 36. Utilice el teorema de la compresión para demostrar que lím xl0 sx3 x2 sen x 0 evidenciándolo con las gráficas de las funciones f, J y h (en la notación del teorema de la compresión), en la misma pantalla. 37. Si 4x 9 v f(x) v x2 4x 7 para x w 0, encuentre lím xl4 f x . 38. Si 2x v J(x) v x4 x2 2 para toda x, evalúe lím xl 1 t x . 39. Demuestre que lím xl0 x4 cos 2 x 0. 40. Demuestre que lím x l0 sx esen x 0. 41-46 Encuentre cada uno de los siguientes límites si éstos existen. Si el límite no existe, explique por qué. 41. 42. . 4 4 . 3 4 . 6 4 . 5 4 lím xl0 1 x 1 x lím xl0 1 x 1 x lím xl0.5 2x 1 2x3 x2 lím xl 2 2 x 2 x lím xl3 (2x x 3 ) lím xl 6 2x 12 x 6 47. La función signo, denotada por sgn, está definida por sgn x 1 0 1 si x 0 si x 0 si x 0 a) Trace la gráfica de esta función b) Encuentre cada uno de los siguientes límites o explique por qué no existen. i) ii) iii) iv) lím xl0 sgn x lím xl0 sgn x lím xl0 sgn x lím xl0 sgn x 48. Sea f x x2 1 x 2 2 si x 1 si x 1 a) Encuentre y límx l1 f x límx l1 f x . b) ¿Existe lím x l1 f x ? c) Trace la gráfica de f. 49. Sea t x x2 x 6 x 2 . a) Encuentre i) ii) lím xl2 t x lím xl2 t x b) ¿Existe límxl2 t x ? c) Trace la gráfica de J.
- 227. 108 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS La definición intuitiva de límite dada en la sección 2.2 es inadecuada para algunos propó- sitos porque frases como “x es muy cercano a 2” y “f(x) se acerca más y más a L” son muy vagas. A fin de demostrar convincentemente que lím x l 0 senx x 1 o lím x l 0 x3 cos 5x 10000 0.0001 debemos precisar la definición de límite. 50. Sea t x x 3 2 x2 x 3 si x 1 si x 1 si 1 x 2 si x 2 a) Evalúe cada una de los siguientes límites si es que existen. i) ii) iii) iv) v) vi) lím xl2 t x lím xl2 t x lím xl2 t x lím xl1 t x lím xl1 t x t 1 b) Trace la gráfica de J. 51. a) Si el símbolo V B denota la función entero mayor definida en el ejemplo 10, evalúe: i) ii) iii) lím xl 2 x lím xl 2 x lím xl 2.4 x b) Si n es un entero, evalúe i) ii) lím xln x lím xln x c) ¿Para qué valores de a límxla x existe? 52. Sea , . f x cos x x a) Trace la gráfica de f. b) Evalúe cada uno de los siguientes límites si existen. i) ii) iii) iv) lím xl 2 f x lím xl 2 f x lím xl0 f x lím xl 2 f x c) ¿Para qué valores de a límxla f x existe? 53. Si f x x x , muestre que límx l 2 f x existe, pero no es igual a f(2). 54. En la teoría de la relatividad, la fórmula de Contracción de Lorentz L L0 s1 v2 c2 expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre límv lc L e interprete el resultado. ¿Por qué es necesario el límite lateral por la izquierda? 55. Si p es una función polinomial, demuestre que límxl a p x p a . 56. Si r es una función racional, utilice el ejercicio 55 para demostrar que límx l a r x r a para todo número a en el dominio de r. 57. Si lím xl1 f x 8 x 1 10, encuentre lím x l1 f x . 58. Si lím xl0 f x x2 5, encuentre cada uno de los siguientes límites. a) b) lím xl0 f x x lím xl0 f x 59. Si f x x2 0 si x es racional si x es irracional demuestre que límx l 0 f x 0 60. Demuestre por medio de un ejemplo que límxla f x t x puede existir, aunque no existan límxla f x ni límxl a t x . 61. Demuestre por medio de un ejemplo que límxla f x t x puede existir, aunque no existan límxla f x ni límxl a t x . 62. Evalúe lím x l2 s6 x 2 s3 x 1 63. ¿Existe un número a tal que lím xl 2 3x2 ax a 3 x2 x 2 exista? Si es así, encuentre el valor de a y el valor del límite. 64. La figura muestra una circunferencia C1 con ecuación (x 1)2 y2 m 1 y una circunferencia C2 que se contrae con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el punto superior de intersección de las dos circunferencias, y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje de las x. ¿Qué pasa con R cuando C2 se contrae, esto es, cuando r l 0+ ? x y 0 P Q C™ C¡ R 2.4 La definición precisa de límite
- 228. SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 109 Para motivar la definición precisa de límite, consideremos la siguiente función f x 2x 1 6 si x 3 si x 3 Intuitivamente, es claro que cuando x está cerca de 3, pero x o 3, entonces f(x) está cerca de 5, así que límx l3 f x 5 Para obtener una información más detallada de cómo varía f(x) cuando x está cerca de 3, nos preguntamos: ¿Qué tan cerca tiene que estar x de 3 para que f(x) difiera de 5 en menos de 0.1? La distancia de x a 3 es U x 3 U, y la distancia de f(x) a 5 es U f(x) 5 U, así que nuestro problema es encontrar un número tal que con d x 3 x 3 si f x 5 0.1 Si U x 3 U 0, entonces x o 3, así que una formulación equivalente de nuestro problema es encontrar un número tal que 0 x 3 si f x 5 0.1 d Note que si 0 x 3 0.1 2 0.05, entonces f x 5 2x 1 5 2x 6 2 x 3 2 0.05 0.1 esto es, 0 x 3 0.05 si f x 5 0.1 Así, una respuesta al problema está dada por m 0.05; esto es, si x está dentro de una distancia de 0.05 de 3, entonces f(x) deberá estar dentro de una distancia de 0.1 de 5. Si cambiamos el número 0.1 en nuestro problema por el número menor 0.01, entonces, utilizando el mismo método, encontramos que f(x) diferirá de 5 por menos de 0.01 siempre que x difiera de 3 por menos de (0.01)Y2 m 0.005: 0 x 3 0.005 si f x 5 0.01 Del mismo modo, 0 x 3 0.0005 si f x 5 0.001 Los números 0.1, 0.01 y 0.001 que hemos considerado son las tolerancias de error que nos podemos permitir. Para que 5 sea el límite exacto de f(x) cuando x tiende a 3, debemos no sólo poder hacer la diferencia entre f(x) y 5 por debajo de cada uno de estos tres números; también debemos ser capaces de estar por debajo de cualquier número positivo. Así, por el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si escribimos (la letra griega épsilon) para un número positivo arbitrario, entonces encontramos al igual que antes 1 0 x 3 2 si f x 5 d e e Esta es una forma precisa de decir que f (x) está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 por- que 1 establece que podemos hacer que los valores de f(x) queden dentro de una dis- tancia arbitraria a partir de 5, tomando los valores de x dentro de una distancia Y2 de 3 (con x o 3). En esta situación es tradicional utilizar la letra griega (delta).
- 229. 110 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Note que 1 puede reescribirse como sigue: entonces 5 f x 5 x 3 3 x 3 si d d e e y se ilustra en la figura 1. Tomando los valores de x ( o 3) en el intervalo (3 , 3 ), podemos lograr que los valores de f(x) estén en el intervalo (5 , 5 ). Utilizando 1 como un modelo, damos una definición precisa de límite. FIGURA 1 está aquí Cuando está aquí
- 230. x a f(a) ƒ f FIGURA 2 La definición de límite señala que si cualquier intervalo pequeño (L , L ) está dado alrededor de L, entonces podemos encontrar un intervalo (a , a ) alrededor de a tal que f hace corresponder todos los puntos de (a , a ) (excepto posiblemente en a) con los puntos del intervalo (L , L ). (Véase la figura 3.) 2 Definición Sea f la función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces, decimos que el límite de f(x) cuando x tiene a a es L, y lo expresamos como lím x l a f x L si para cada número 0 existe un número 0 tal que entonces f x L 0 x a si e d Puesto que U x a U es la distancia de x a a y U f(x) L U es la distancia de f(x) a L, y como puede ser arbitrariamente pequeña, la definición de límite puede expresarse en palabras como sigue: límx l a f x L significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña, tomando la distancia de x a a suficientemente pequeña (pero no 0). Alternamente, límx l a f x L significa que los valores de f(x) pueden hacerse tan cercanos a L como quera- mos, tomando x lo suficientemente cerca de a (pero no igual a a). También podemos reformular la definición 2 en términos de intervalos, observando que la desigualdad U x a U
- 231. es equivalente a
- 232. x a
- 233. , que puede escribirse como a
- 234. x
- 235. a . Además, 0
- 236. U x a U es verdadera si y sólo si x a o 0; esto es, x o a. Del mismo modo, la desigualdad U f(x) L U
- 237. es equivalente al par de desi- gualdades L
- 238. f(x)
- 239. L . Por tanto, en términos de intervalos, la definición 2 puede establecerse como sigue: límx l a f x L significa que para toda 0 (sin importar que tan pequeña sea ), podemos encontrar una 0 tal que si x está dentro del intervalo abierto (a , a ) y x o a, entonces f(x) está dentro del intervalo abierto (L , L ). Geométricamente, esta afirmación se interpreta representando una función por un diagra- ma de flechas, como en la figura 2, donde f hace corresponder un subconjunto de 2 con otro subconjunto de 2.
- 240. SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 111 Geométricamente, puede darse otra interpretación de límite en términos de la gráfica de una función. Si 0 está dada, entonces dibujamos las recta horizontales y m L , y m L y la gráfica de f (véase la figura 4). Si límx l a f x L, entonces podemos encontrar un número 0 tal que si restringimos a x en el intervalo (a , a ) y tomamos x o a, entonces la curva y m f (x) está entre las rectas y m L y y m L (véase la figura 5). Puede usted ver que si se encuentra tal , entonces cualquier más pequeña también funcionará. Es importante percatarse de que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo , sin importar qué tan pequeño se elija. En la figura 6 se ilustra que si se elige un más pequeño, entonces podría requerirse una más pequeña. FIGURA 3 FIGURA 5 cuando esta aquí
- 241. está aquí FIGURA 4 FIGURA 6 FIGURA 7 FIGURA 8 ? ? Y¡X Y Y
- 242. EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número tal que si entonces ( ) x3 5x 6 2 0.2 x 1 d En otras palabras, encuentre un número que corresponda a m 0.2 en la definición de límite para la función f(x) m x3 5x 6 con a m 1 y L m 2. SOLUCIÓN La gráfica de f se muestra en la figura 7; estamos interesados en la región cerca del punto (1, 2). Note que podemos reescribir la desigualdad como 1.8 x3 5x 6 2.2 x3 5x 6 2 0.2 Así que necesitamos determinar los valores de x para los cuales la curva y m x3 5x 6 está entre las rectas horizontales y m 1.8 y y m 2.2. Por eso, graficamos las curvas y m x3 5x 6, y m 1.8 y y m 2.2 cerca del punto (1, 2) en la figura 8. Después utilizamos el cursor para estimar que la coordenada x del punto de intersección de la recta y m 2.2 y la curva y m x3 5x 6 está cerca de 0.911. Del mismo modo, y m x3 5x 6 interseca la recta y m 1.8 cuando x y 1.124. Así, al redondear para estar seguro, podemos decir que 8 . 1 si x3 5x 6 2.2 entonces 0.92 x 1.12,
- 243. 112 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Este intervalo (0.92, 1.12) no es simétrico respecto a x m 1. La distancia de x m 1 al punto extremo izquierdo es 1 0.92 m 0.08, y la distancia al punto extremo derecho es 0.12. Es posible elegir más pequeña que estos números, esto es, m 0.08. Entonces, podemos reescribir nuestras desigualdades en términos de distancias como sigue: si x3 5x 6 2 0.2 entonces, x 1 0.08 Esto dice justamente que manteniendo a x dentro del 0.08 de 1, mantendremos f(x) dentro del 0.2 de 2. Aunque seleccionamos m 0.08, cualquier valor positivo más pequeño de habría funcionado. El procedimiento gráfico en el ejemplo 1 proporciona una ilustración de la definición para m 0.2, pero no demuestra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una para toda . Para pulir los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número . Después, debe usted ser capaz de produ- cir una adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda 0, no sólo para una en particular. Imagine una contienda entre dos personas A y B, en la que usted es B. La persona A estipula que debe aproximarse al número fijo L por medio de valores de f(x) dentro de un grado de exactitud , (digamos 0.01). Por tanto, la persona B (usted) responde determinan- do un número tal que si 0
- 244. U x a U
- 245. , entonces U f(x) L U
- 246. . Después, A podría exigir aún más y desafiarlo con un valor más pequeño de , (digamos 0.0001). Una vez más, usted tiene que responder encontrando una correspondiente . Usualmente, a medida que el valor de es más pequeño, es menor el correspondiente valor de . Si usted siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a , entonces límx l a f x L. v EJEMPLO 2 Pruebe que lím x l3 4x 5 7. SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (intuir un valor para ). Sea un número posi- tivo dado. Queremos encontrar un número tal que si 4x 5 7 entonces d, 0 x 3 e Pero 4x 5 7 4x 12 4 x 3 4 x 3 . Por tanto, queremos una tal que si si esto es, entonces , x 3 4 0 x 3 4 x 3 entonces , 0 x 3 d d e e Esto sugiere que debe elegir m Y4. 2. Demostración (demostrar que esta funciona). Dado 0, elegir m Y4. Si 0
- 247. U x 3 U
- 248. , entonces 4x 5 7 4x 12 4 x 3 4 4 4 d e e Así si 4x 5 7 entonces , 0 x 3 d e Por tanto, por la definición de límite, lím x l3 4x 5 7 Este ejemplo se ilustra en la figura 9. FIGURA 9 Y X w w v v YX TEC En Module 2.4Y2.6 puede explorar la definición precisa de límite, gráfica y numéricamente.
- 249. SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 113 Note que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: intuir y verificar. Efectuamos un análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de . Pero luego, en la segunda etapa, tuvimos que regresar y verificar en forma cuidadosa y lógica que dimos una opinión correcta. Este procedimiento es característico de gran parte de las matemáticas. Algunas veces necesita hacerse primero una conjetura inteligente respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites laterales que se presentan en la sección 2.2 pueden reformularse como se señala a continuación. Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2, excepto que x está restrin- gida a quedar en la mitad izquierda (a , a) del intervalo (a , a ). En la definición 4, x está restringida a estar en la mitad derecha (a, a ) del intervalo (a , a ). v EJEMPLO 3 Utilice la definición 4 para demostrar que lím x l 0 sx 0. SOLUCIÓN 1. Intuya un valor para . Sea un número positivo dado. Aquí a m 0 y L m 0, así que queremos encontrar un número tal que si es decir, si sx entonces , 0 x sx 0 entonces , 0 x d d e e o, elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx e, obtenemos , si x 2 entonces 0 x d e Esto sugiere que debemos elegir m 2 . 2. Demuestre que este funciona. Dado 0, sea m 2 . Si 0
- 250. x
- 251. , entonces Así que, sx 0 sx s s 2 d e e e De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que límx l 0 sx 0. 3 Definición de límite por la izquierda lím x la f x L si para todo 0 existe un número 0 tal que , si f x L entonces a x a d e 4 Definición de límite por la derecha lím x la f x L si para todo número 0 existe un número 0 tal que si f x L entonces , a x a d e Cauchy y los límites Después de la invención del Cálculo en el siglo XVII, siguió un periodo de fecundo desarrollo de la materia en el siglo XVIII. Matemáticos como las familias Bernoulli y Euler estaban ansiosos por aprovechar el potencial del Cálculo, por lo que exploraron audazmente las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática, sin preocuparse demasiado por si sus demostraciones eran completamente correctas. El siglo XIX, por el contrario, fue la Edad del Rigor en matemáticas. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos del tema, para proporcionar cuidadosas definiciones y rigurosas demostraciones. A la vanguardia de este movimiento estaba el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857), que comenzó como ingeniero militar antes de convertirse en profesor de matemáticas en París. Cauchy tomo la idea de Newton de límite, que mantuvo viva el matemático francés Jean d’Alembert, en el siglo XVIII, haciéndola más precisa. Su definición de un límite reza así: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para terminar diferendo por tan poco como uno quiera, esto se llama el límite de los otros”. Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en ejemplos y demostraciones, utilizaba a menudo desigualdades delta-epsilon similares a las de esta sección. Una demostración típica de Cauchy comienza con: “designar por y dos números muy pequeños;...” Utilizaba debido a la correspondencia entre épsilon y la palabra francesa erreur. Posteriormente, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) estableció la definición de límite exactamente como en nuestra definición 2.
- 252. 114 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJEMPLO 4 Demuestre que lím x l3 x2 9. SOLUCIÓN 1. Intuya un valor para . Sea 0 un valor dado. Tenemos que encontrar un número 0 tal que si x2 9 entonces , 0 x 3 d e Para relacionar U x2 9 U con U x 3 U escribimos U x2 9 U m U (x 3) (x 3) U. Entonces queremos que si x 3 x 3 entonces , 0 x 3 d e Note que si podemos encontrar un número constante positivo C tal que U x 3 U
- 253. C, entonces x 3 x 3 C x 3 y podemos hacer CU x 3 U
- 254. tomando U x 3 U
- 255. YC m . Podemos encontrar tal número C si restringimos x a algún intervalo centrado en 3. De hecho, estamos interesados sólo en valores de x cercanos a 3, así que es razonable suponer que x está dentro de una distancia de 1 de 3, esto es, U x 3 U
- 256. 1. Entonces 2
- 257. x
- 258. 4, así que 5
- 259. x 3
- 260. 7. Así, tenemos que U x 3 U
- 261. 7, y, por tanto, C m 7 es una elección adecuada para la constante. Pero ahora hay dos restricciones sobre U x 3 U, haciendo x 3 C 7 y x 3 1 e e Para asegurarnos de que ambas desigualdades se satisfacen, tomamos como el menor de los dos números 1 y Y7. La notación para esto es m mín{1, Y7}. 2. Demuestre que esta funciona. Dado 0, sea m mín{1, Y7}. Si 0
- 262. U x 3 U
- 263. , entonces x 3 1 ? 2 x 4 ? x 3 7 (como en el inciso 1). También tenemos U x 3 U
- 264. Y7, así que x2 9 x 3 x 3 7 7 e e Esto demuestra que límx l3 x2 9. Como se ilustra en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que los enunciados de límite son verdaderos utilizando la definición -. De hecho, si tenemos una función más complicada como f(x) m (6x2 8x 9)Y(2x2 1), una demostración requeriría una gran cantidad de ingenio. Afortunadamente, esto es innecesario porque las leyes de los límites establecidas en la sección 2.3 pueden demostrarse utilizando la definición 2, y luego los lí- mites de funciones complicadas pueden determinarse en forma rigurosa a partir de estas leyes, sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo, para demostrar la ley de la suma: si y límx l a t x M límx l a f x L ambas existen, entonces lím x l a f x t x L M Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Sea 0. Debemos encontrar 0 tal que entonces , si 0 x a f x t x L M e d
- 265. SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 115 Utilizando la desigualdad del triángulo podemos escribir 5 f x L t x M f x t x L M f x L t x M Llevamos a cabo U f (x) J(x) (L M) U menor que haciendo cada uno de los términos U f (x) L U y U J(x) M U menores que Y2. Dado que Y2 0 y límx l a f x L, existe un número 1 0 tal que si f x L 2 entonces , 0 x a 1 e d Del mismo modo, puesto que límx l a t x M, existe un número 2 0 tal que , si t x M 2 entonces 0 x a 2 e d Sea m mínH1, 2J, los más pequeños de los números 1 y 2. Note que 0 x a 2 y 0 x a 1 entonces , 0 x a si d d d Así que t x M 2 y f x L 2 e e Por tanto, por 5 , 2 2 f x t x L M f x L t x M e e e Para resumir, entonces , f x t x L M 0 x a si e d Así, por la definición de límite, lím x l a f x t x L M Límites infinitos Los límites infinitos también pueden definirse de manera precisa. La siguiente es una ver- sión exacta de la definición 4 de la sección 2.2. Desigualdad del triángulo: a b a b (Véase el apéndice A.) 6 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím x l a f x significa que para todo número positivo M existe un número positivo tal que si 0 x a entonces , f x M d
- 266. 116 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Esto dice que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número M dado), tomando x suficientemente cercano a a (dentro de una distancia , donde depende de M, pero con x o a). Una ilustración geométrica se mues- tra en la figura 10. Dada cualquier recta horizontal y m M, podemos encontrar un número 0 tal que si restringimos x al intervalo (a , a ), pero x o a, entonces la curva y m f(x) está por debajo de la recta y m M. Usted puede ver que si se elige un valor muy grande de M, entonces se puede requerir un muy pequeño. v EJEMPLO 5 Utilice la definición 6, para demostrar que lím x l 0 1 x2 SOLUCIÓN Sea M un número positivo dado. Queremos encontrar un número tal que si 1 x2 M entonces , 0 x Pero x 1 sM ? x2 1 M ? 1 x2 M Así que si elegimos y , entonces 1 x2 M 0 x 1 sM 1 sM d d . Esto muestra que conforme x l 0 1 x2 l . Del mismo modo, la siguiente es una versión precisa de la definición 5 de la sección 2.2. Esto se ilustra en la figura 11. FIGURA 10 X Y Y. . A Av Av FIGURA 11 Y Y/ X / A Av Av 7 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím x l a f x significa que para todo número negativo N existe un número positivo tal que si f x N entonces , 0 x a d 1. Utilice la gráfica de f para encontrar un número tal que si entonces , f x 1 0.2 x 1 d x y 0 1.2 1 0.8 1 1.1 0.7 2. Utilice la gráfica de f para encontrar un número tal que , si entonces f x 2 0.5 0 x 3 d x y 0 2.5 2 1.5 3 3.8 2.6 2.4 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 267. SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 117 3. Utilice la gráfica dada de f x sx para encontrar un número tal que si entonces , sx 2 0.4 x 4 d ? ? y=œ„ x x y 4 0 2 2.4 1.6 4. Utilice la gráfica dada de f(x) m x2 para encontrar un número tal que si entonces , x2 1 1 2 x 1 d x y ? 1 ? 0 1.5 1 0.5 y=≈ 5. Utilice una gráfica para encontrar un número tal que si entonces , tan x 1 0.2 x 4 d 6. Utilice una gráfica para encontrar un número tal que si entonces x 1 2x x2 4 0.4 0.1 d 7. Para el límite lím xl2 x3 3x 4 6 ilustre la definición 2 para encontrar valores de que corres- pondan a m 0 y m 0.1. 8. Para el límite lím x l0 e2x 1 x 2 ilustre la definición 2 para encontrar valores de que corres- pondan a m 0.5 y m 0.1. 9. Dado que límxl 2 tan2 x , ilustre la definición 6 para encontrar valores de que correspondan a a) M m 1000 y b) M m 10000. 10. Utilice una gráfica para encontrar un número tal que si entonces , 5 x 5 x2 sx 5 100 d 11. Se requiere un tornero para fabricar un disco metálico circular con 1000 cm2 de área. a) ¿Qué radio produce tal disco? b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio ideal del inciso a) debe el tornero mantener el radio? c) En términos de la definición - de límxla f x L, ¿Qué es x? ¿Qué es f(x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de ? 12. Un horno de confección de cristales, se utiliza en la investigación para determinar la mejor manera de fabricar cristales que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el idóneo, la temperatura se tiene que controlar exactamente ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se representa con T w 0.1w2 2.155w 20 donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la potencia de entrada en watts. a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura a 200C? b) Si se permite una variación de temperatura de 200C 1C, ¿qué intervalo se potencia en watts se permite para la potencia de entrada? c) De acuerdo con la definición - de límxla f x L, ¿qué es x? ¿Qué es f(x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de ? 13. a) Encuentre un número tal que si U x 2 U
- 268. , entonces U 4x 8 U
- 269. , donde m 0.1. b) Repita el inciso a) con m 0.01. 14. Dado que límxl2 5x 7 3, ilustre la definición 2 encontrando valores de que corresponden a m 0.1, m 0.05 y m 0.01. 15-18 Demuestre cada una de las siguientes proposiciones utilizando la definición - de límite e ilústrelo con un diagrama como el de la figura 9. . 6 1 . 5 1 17. 18. lím xl 2 3x 5 1 lím xl 3 1 4x 13 lím xl3 (1 1 3 x) 2 lím x l 4 2x 5 3 19-32 Demuestre cada una de las siguientes proposiciones utilizando la definición - de límite. . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 25. 26. . 8 2 . 7 2 29. 30. lím xl2 x2 4x 5 1 lím x l 2 x2 2x 7 1 lím x l 0 x m i l 0 x l 6 s 8 6 x 0 lím x l 0 x2 m i l 0 x l 0 x3 0 lím x l a x a lím x l a c c lím x l2 x2 x 6 x 2 5 lím x l 1.5 9 4x2 3 2x 6 lím xl1 2 4x 3 2 lím x l 10 (3 4 5 x) 5
- 270. 118 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En la sección 2.3, hemos visto que el límite de una función cuando x tiende a a, con fre- cuencia se obtiene simplemente calculando el valor de la función en a. Las funciones con esta propiedad son llamadas continuas en x m a. Veremos que la definición matemática de continuidad coincide notoriamente con el sentido de continuidad que la palabra tiene en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo es uno que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción o cambio brusco.) 31. 32. lím xl 2 x2 1 3 lím xl2 x3 8 33. Verifique que otra posible elección de para mostrar que límx l3 x2 9 en el ejemplo 4 es m mín{2, Y8}. 34. Verifique con argumentos geométricos que la mayor posible elección de para demostrar que límx l3 x2 9 es s9 3 d e . SAC 35. a) Para el límite límxl1 x3 x 1 3, utilice una gráfica para encontrar un valor de que corresponda a m 0.4. b) Utilizando un sistema algebraico computarizado para resolver la ecuación cúbica x3 x 1 m 3 , encuentre el mayor valor posible de que funciona para cualquier 0 dado. c) Ponga m 0.4 en su repuesta del inciso b) y compárelo con su respuesta del inciso a). 36. Demuestre que lím x l2 1 x 1 2 37. Demuestre que si a 0 lím x l a sx sa . Sugerencia: utilice |sx sa | x a sx sa . 38. Si H es la función de Heaviside definida en el ejemplo 6 en la sección 2.2, demuestre, utilizando la definición 2, que límt l 0 H t no existe. [Sugerencia: utilice una demostración indirecta como sigue. Suponga que el límite es L. Tome 1 2 e en la definición de límite y trate de llegar a una contradicción.] 39. Si la función f está definida por f x 0 1 si x es racional si x es irracional Demuestre que f x límx l 0 no existe. 40. Comparando las definiciones 2, 3 y 4, demuestre el teorema 1 de la sección 2.3. 41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que tomar x de manera que 1 x 3 4 10000? 42. Demuestre, utilizando la definición 6, que lím x l 3 1 x 3 4 . 43. Demuestre que lím xl0 ln x . 44. Suponga que y límx la t x c límx l a f x , donde c es un número real. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones. a) b) si si ) c c 0 lím xla f x t x c 0 lím xla f x t x lím x la f x t x 2.5 Continuidad Como se ilustra en la figura 1, si f es continua, entonces los puntos (x, f(x)) en la gráfica de f tienden al punto (a, f(a)) sobre la gráfica. Así que no existe ninguna brecha en la curva. 1 Definición Una función f es continua en un número x m a si lím x la f x f a Note que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas. Si f es continua en a, entonces: 1. f(a) está definida (esto es, a está en el dominio de f ) 2. lím xla f x existe 3. lím xla f x f a La definición indica que f es continua en a si f(x) tiende a f(a) cuando x tiende a a. Así, una función continua f tiene la propiedad de que un pequeño cambio en x produce sólo un f(a) x 0 y a y=ƒ ƒ tiende a f(a). Cuando x tiende a a, FIGURA 1
- 271. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 119 pequeño cambio en f(x). De hecho, el cambio en f(x) puede mantenerse tan pequeño como se quiera manteniendo el cambio en x suficientemente pequeño. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida sobre un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás en a), decimos que f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos son generalmente continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían continuamente con el tiempo, como lo hace la estatura de una persona. Pero hay otras situaciones, como la corriente eléctrica, donde ocurren discontinuidades. [Véase el ejemplo 6 en el punto 2.2, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque límt l 0 H t no existe.] Geométricamente, una función continua en cada número de un intervalo puede pensar- se como una función cuya gráfica no tiene interrupciones. La gráfica puede dibujarse sin levantar la pluma del papel. EJEMPLO 1 La figura 2 muestra la gráfica de una función f. ¿Para qué valores de x m a, f es discontinua? ¿Por qué? SOLUCIÓN Pareciera que hay una discontinuidad cuando a m 1 porque la gráfica tiene una ruptura allí. La razón formal de que f es discontinua en 1 es que f (1) no está definida. La gráfica también tiene una ruptura cuando a m 3, pero la razón para la discontinuidad es diferente. Aquí, f(3) está definida, pero límx l3 f x no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes), así que f es discontinua en x m 3. ¿Qué hay en relación con a m 5? Aquí, f(5) está definida y el límx l5 f x existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son iguales). Pero lím x l5 f x f 5 Así que f es discontinua en 5. Ahora veremos cómo detectar discontinuidades cuando una función está definida por una fórmula. v EJEMPLO 2 ¿Dónde es discontinua cada una de las siguientes funciones? ) b ) a ) d ) c f x x f x x2 x 2 x 2 si x 2 1 si x 2 f x 1 x2 si x 0 1 si x 0 f x x2 x 2 x 2 SOLUCIÓN a) Note que f(2) no está definida, así que f es discontinua en x m 2. Más tarde veremos por qué f es continua en todos los otros números. b) Aquí f(0) m 1 está definida, pero lím x l 0 f x lím x l 0 1 x2 no existe. (Véase el ejemplo 8 de la sección 2.2.) Así que f es discontinua en x m 0. c) Aquí f(2) m 1 está definida y lím x l2 f x lím x l2 x2 x 2 x 2 lím x l2 x 2 x 1 x 2 lím x l2 x 1 3 FIGURA 2 y 0 x 1 2 3 4 5
- 272. 120 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS existe. Pero lím x l2 f x f 2 así que f no es continua en x m 2. d) La función entero mayor f(x) m VxBtiene discontinuidades en todos los enteros porque límx ln x no existe si n es un entero. (Véanse el ejemplo 10 y el ejercicio 51 en la sección 2.3). La figura 3 muestra las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso la gráfica no puede ser dibujada sin levantar el lápiz del papel porque hay un agujero o ruptura o salto en la gráfica. El tipo de discontinuidad ilustrada en los incisos a) y c) se llama removible porque podemos remover la discontinuidad redefiniendo f sólo en x m 2. [La función J(x) m x 1 es continua.] La discontinuidad en el inciso b) se llama discontinuidad infinita. Las discontinuidades en el inciso d) se llaman discontinuidades de salto porque la función “salta” de un valor a otro. 1 2 3 1 x y 0 d) ƒ=[x] 1 2 1 x y 0 c) ƒ= si x≠2 1 si x= 2 ≈-x-2 x-2 b) ƒ= si x≠0 1 si 1 x=0 1 x y 0 1 2 x y 0 1 a) ƒ= ≈-x-2 x-2 FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2 ≈ 2 Definición Una función f es continua por la derecha de un número x m a si lím x la f x f a y f es continua por la izquierda de x m a si lím x la f x f a 3 Definición Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en cada número en el intervalo. (Si f está definida sólo en un lado de un punto extremo del intervalo, entendemos por continua en el punto extremo, como continua por la dere- cha o continua por la izquierda.) EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f(x) m VxB[Véase la figura 3d)] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda porque pero lím x ln f x lím x ln x n 1 f n lím x ln f x lím x ln x n f n
- 273. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 121 EJEMPLO 4 Demuestre que la función f x 1 s1 x2 es continua sobre el intervalo F1, 1G. SOLUCIÓN Si 1
- 274. a
- 275. 1, entonces utilizando las leyes de los límites, tenemos (por las leyes 2 y 7) (por la ley 11) (por las leyes 2, 7 y 9) f a 1 s1 a2 1 slím x l a 1 x2 1 lím x l a s1 x2 lím x l a f x lím x l a (1 s1 x2 ) Así, por la definición 1, f es continua en x m a si 1
- 276. a
- 277. 1. Cálculos similares muestran que y lím x l1 f x 1 f 1 lím x l 1 f x 1 f 1 de manera que f es continua por la derecha en x m 1 y continua por la izquierda en x m 1. Por eso, de acuerdo con la definición 3, f es continua en F1, 1G. La gráfica de f está trazada en la figura 4 y es la mitad inferior de la circunferencia x2 y 1 2 1 En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para verificar la continuidad de una función como lo hicimos en el ejemplo 4, a menudo es conveniente utilizar el siguiente teorema, que muestra cómo construir funciones continuas complicadas a partir de otras simples. 4 Teorema Si f y J son continuas en x m a y x m c es una constante, entonces las siguientes funciones son también continuas en x m a: . 3 . 2 . 1 4. 5. si t a 0 f t ft cf f t f t DEMOSTRACIÓN Cada uno de los cinco incisos de este teorema se sigue de las correspondientes leyes de los límites de la sección 2.3 Por ejemplo, damos la demostración del inciso 1. Ya que f y J son continuas en x m a, tenemos lím x la t x t a y lím x la f x f a Por tanto, (por la ley 1) f t a f a t a lím x la f x lím x la t x lím x la f t x lím x la f x t x Esto demuestra que f J es continua en x m a. 1 -1 1 x y 0 ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈ FIGURA 4
- 278. 122 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y J son continuas sobre un intervalo, entonces también lo son las funciones f J, f J, cf, fJ y fYJ (si J no es cero). El siguiente teorema se estableció en la sección 2.3 como la propiedad de sustitución directa. 5 Teorema a) Cualquier función polinomial es continua en todo su dominio; es decir, es continua sobre . , b) Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, es con- tinua en su dominio. DEMOSTRACIÓN a) Una función polinomial es de la forma P x cn xn cn 1xn 1 c1x c0 donde c0, c1,..., cn son constantes. Sabemos que (por la ley 7) lím xla c0 c0 y (por la ley 9) m 1, 2, . . . , n lím x la xm am Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función f x xm es una función continua. Así, por el inciso 3 del teorema 4, la función t x cxm es continua. Como P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, se sigue del inciso 1 del teorema 4 que P es continua. b) Una función racional es una de la forma f x P x Q x donde P y Q son funciones polinomiales. El dominio de f es . D x Q x 0 Sabemos del inciso a) que P y Q son continuas en todo su dominio. Así, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todo número en D. Como una ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía conti- nuamente con su radio porque la fórmula V r 4 3 r3 muestra que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50piesYs, entonces la altura de la pelota en pies, t segundos después, está dada por la fórmula . h 50t 16t2 Otra vez, ésta es una función polinomial, así que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. Saber qué funciones son continuas nos permite evaluar muy rápidamente algunos límites como se ve en el siguiente ejemplo. Compárelo con el ejemplo 2b) de la sec- ción 2.3. EJEMPLO 5 Encuentre el . lím x l 2 x3 2x2 1 5 3x SOLUCIÓN La función f x x3 2x2 1 5 3x es racional, así que por el teorema 5 es continua en su dominio, que es . {x x 5 3}
- 279. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 123 Por tanto, lím x l 2 x3 2x2 1 5 3x lím x l 2 f x f 2 2 3 2 2 2 1 5 3 2 1 11 Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número de su dominio. Por ejemplo, la ley 10 de los límites (página 100) es exactamente la propo- sición de que las funciones raíz son continuas. Del aspecto de las gráficas de las funciones seno y el coseno (figura 18 de la sección 1.2), podríamos suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la defini- ción de sen . y cos ., las coordenadas del punto P de la figura 5 son (cos ., sen .). Cuando . l 0, vemos que P tiende al punto (1, 0), así que . l 1 y sen . l 0. Así, 6 lím l 0 cos 1 lím l 0 sen 0 u u u u Dado que cos 0 m 1 y sen 0 m 0, las ecuaciones en 6 afirman que las funciones coseno y seno son continuas en 0. Las fórmulas de adición para senos y cosenos pueden ser utilizadas entonces para deducir que estas funciones son continuas para toda x (ejercicios 60 y 61). Del inciso 5 del teorema 4, se deduce que tan x sen x cos x es continua, excepto donde cos x m 0. Esto sucede cuando x es un número entero impar múltiplo de PY2, así que y m tan x tiene infinitas discontinuidades cuando x 2, 3 2, 5 2, y así sucesivamente (figura 6). La función inversa de cualquier función continua uno a uno también es continua. (Este hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razonable: la gráfica de f1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y m x. Tam- bién, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f1 .) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.5 definimos la función exponencial y m ax de modo que se llenaran los huecos en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple defini- ción de y m ax la hace una función continua en 2. Por tanto, su función inversa y m loga x es continua sobre (0, @). ¨ 1 x 0 y (1, 0) P(cos ¨, sen ¨) FIGURA 5 _ _ x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 3π 2 FIGURA 6 y=tan x 7 Teorema Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo número de sus dominios: funciones polinomiales funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f x ln x tan 1 x x2 1 ? SOLUCIÓN Por el teorema 7 sabemos que la función y m ln x es continua para x 0 y y m tan1 x es continua sobre 2. Así, por el inciso 1 del teorema 4, y m 1n x tan1 x es continua sobre (0, @). El denominador, y m x2 1, es una función polinomial, de modo que Otra manera de establecer los límites en 6 es utilizar el teorema de la compresión con la desigualdad sen .
- 280. . (para . 0), que se demostró en la sección 3.3 En la sección 1.6 se hace un repaso de las funciones trigonométricas inversas.
- 281. 124 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS es continua para toda x. Por tanto, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2 1 m 0. Por ende, f es continua sobre los intervalos (0, 1) y (1, @). EJEMPLO 7 Evalúe . lím x l sen x 2 cos x SOLUCIÓN El teorema 7 nos dice que y m sen x es continua. La función en el denomina- dor, y m 2 cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es conti- nua. Note que esta función jamás es cero porque cos x w 1 para toda x y también 2 cos x 0 para toda x. Así, el cociente f x sen x 2 cos x es continuo para toda x. Por tanto, mediante la definición de función continua, lím xl sen x 2 cos x lím x l f x f sen 2 cos 0 2 1 0 Otra manera de combinar las funciones continuas f y J para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f J. Este hecho es una consecuencia del siguien- te teorema. 8 Teorema Si f es continua en b, y lím x la t x b, entonces lím x la f (t x ) f b . En otras palabras, lím x la f (t x ) f (lím x la t x ) Intuitivamente, el teorema 8 es razonable porque si x está cerca de a, entonces J(x) está cerca de b, y como f es continua en b, si J(x) está cerca de b, entonces f(J(x)) está cerca de f(b). En el apéndice F se proporciona una demostración del teorema 8. EJEMPLO 8 Evalúe . lím x l1 arcsen 1 sx 1 x SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplicamos el teorema 8: arcsen 1 2 6 arcsen lím x l1 1 1 sx arcsen lím x l1 1 sx (1 sx )(1 sx ) lím xl1 arcsen 1 sx 1 x arcsen lím x l1 1 sx 1 x Aplicamos el teorema 8 en el caso especial donde , f x s n x donde n es un entero positivo. Entonces f (t x ) s n t x Este teorema expresa que puede moverse un símbolo de límite a través de un símbolo de función si la función es continua y el límite existe. En otras palabras, puede invertirse el orden de estos dos símbolos.
- 282. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 125 y f (lím x l a t x ) s n lím x l a t x Si sustituimos estas expresiones en el teorema 8 obtenemos lím x l a s n t x s n lím x l a t x con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Suponiendo que las raíces existen.) 9 Teorema Si J es continua en x m a y f es continua en J(a), entonces la fun- ción compuesta f J dada por f t x f (t x ) es continua en x m a. A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función conti- nua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como J es continua en x m a, tenemos lím x l a t x t a Puesto que f es continua en b m J(a), podemos aplicar el teorema 8 para obtener lím x la f (t x ) f (t a ) que es precisamente la proposición de que la función h x f (t x ) es continua en x m a; es decir, f J es continua en x m a. v EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las siguientes funciones? ) b ) a F x ln 1 cos x h x sen x2 SOLUCIÓN a) Tenemos , h x f (t x ) donde f x senx y t x x2 Ahora J es continua sobre 2 puesto que es una función polinomial, y f también es conti- nua para toda x. Por consiguiente, h m f J es continua sobre 2 por el teorema 9. b) Con base en el teorema 7, sabemos que f(x) m ln x es continua y J(x) m 1 cos x es continua (porque tanto y m 1 como y m cos x son continuas). Por tanto, del teorema 9, F(x) m f(J(x)) es continua siempre que esté definida. Ahora bien, ln(1 cos x) está definida cuando 1 cos x 0. De este modo, no está definido cuando cos x m 1, y esto sucede cuando x , 3 , . . . Así, F tiene discontinuidades cuando x es un múltiplo impar de ) y es continua sobre los intervalos entre estos valores (véase la figura 7). Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. 10 Teorema del valor intermedio Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado Fa, bG y sea N cualquier número entre f(a) y f(b), donde f(a) o f(b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que f(c) m N. FIGURA 7 y=ln(1+cos x) 2 _6 _10 10
- 283. 126 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS El teorema del valor intermedio establece que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función f(a) y f(b). Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N puede tomarse una vez [como en la parte a)] o más de una vez [como en la parte b)]. b) 0 x y f(b) N f(a) £ b y=ƒ c™ c¡ a) 0 x y f(b) N f(a) b y=ƒ FIGURA 8 a a c c b 0 x y f(a) N f(b) a y=ƒ y=N FIGURA 9 Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene huecos o rupturas, es fácil creer que el teorema del valor intermedio es verdadero. En térmi- nos geométricos, señala que si se da cualquier recta horizontal y m N entre y m f (a) y y m f(b), como en la figura 9, entonces la gráfica de f no puede saltar la recta: debe inter- secar y m N en alguna parte. Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 48). Un uso del teorema del valor intermedio es en la búsqueda de las raíces de ecuaciones, como en el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x3 6x2 3x 2 0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea . f x 4x3 6x2 3x 2 Buscamos una solución de la ecuación dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f(c) m 0. Por tanto, tomando a m 1, b m 2 y N m 0 en el teorema 10, tenemos f 1 4 6 3 2 1 0 y f 2 32 24 6 2 12 0 Así, f(1)
- 284. 0
- 285. f(2); es decir, N m 0 es un número entre f(1) y f(2). Ahora bien, f es continua porque es polinomial, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que existe un número c entre 1 y 2 tal que f(c) m 0. En otras palabras, la ecuación 4x3 6x2 3x 2 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo (1, 2). De hecho, podemos localizar con mayor precisión una raíz aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Puesto que f 1.3 0.548 0 y f 1.2 0.128 0
- 286. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 127 una raíz debe estar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por ensayo y error, f 1.23 0.056068 0 y f 1.22 0.007008 0 así que la raíz está en el intervalo (1.22, 1.23) Podemos utilizar una calculadora graficadora o computadora para ilustrar el uso del teorema del valor intermedio en el ejemplo 10. La figura 10 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista F1, 3G por F3, 3G, y puede usted ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. La figura 11 muestra el resultado de un acercamiento en un rectángulo de vista F1.2, 1.3G por F0.2, 0.2G. 0.2 _0.2 1.2 1.3 FIGURA 11 FIGURA 10 3 _3 _1 3 De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un importante papel en el modo en que funcionan estos dispositivos de graficación. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y activa los píxeles que contienen estos puntos calculados. Se supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. La computadora une los píxeles activando aquellos intermedios. 2.5 Ejercicios 1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función f es continua en el número 4. 2. Si f es continua sobre (@, @), ¿qué puede decir acerca de su grafica? 3. a) A partir de la grafica de f, establezca el número en el cual f es discontinua y explique por qué. b) Para cada uno de los números que se obtuvieron en el inciso a), determine si f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los dos lados. y x _4 2 4 6 _2 0 4. A partir de la grafica de J, establezca los intervalos sobre los que J es continua. y x _4 2 4 6 _2 8 5-8 Dibuje la gráfica de una función f que es continua, a excepción de la discontinuidad señalada. 5. Discontinua, pero continua por la derecha, en x m 2. 6. Discontinuidades en x m 1 y x m 4, pero continuas por la izquierda en x m 1 y por la derecha en x m 4. 7. Discontinuidad removible en x m 3, discontinuidad de salto en x m 5. 8. Ni por la izquierda ni por la derecha es continua en x m 2, continua sólo por la izquierda en x m 2. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 287. 128 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 9. El peaje T que se cobra por conducir en un determinado tramo de una carretera es de $5, excepto durante las horas pico (entre las 7 y las 10 y entre las 16 y 19 horas) cuando el peaje es de $7. a) Esboce una gráfica de T como una función del tiempo t, medido en horas pasada la medianoche. b) Analice las discontinuidades de esta función y su signifi- cado para alguien que utiliza la carretera. 10. Explique por qué cada una de las siguientes funciones es conti- nua o discontinua. a) La temperatura en una localidad específica como una función del tiempo b) La temperatura en un momento determinado como una función de la distancia al oeste de la ciudad de Nueva York c) La altitud sobre el nivel del mar como una función de la distancia al oeste de la ciudad de Nueva York d) El costo de transportarse en taxi como una función de la distancia de traslado e) La corriente en un circuito de iluminación en una habitación como una función del tiempo 11. Si f y J son funciones continuas tales que J(2) m 6 y límx l2 3f x f x t x 36, encuentre f(2). 12-14 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los limites para demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua en el número dado x m a. 12. , 13. , 14. , a 1 h t 2t 3t2 1 t3 a 1 f x x 2x3 4 a 2 f x 3x4 5x s 3 x2 4 15-16 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua sobre el intervalo dado. 15. , 16. , , 3 t x 2 s3 x 2, f x 2x 3 x 2 17-22 Explique por qué cada una de las siguientes funciones es dis- continua en el número dado x m a. Dibuje la gráfica de la función. 17. 18. 19. 20. 21. a 0 f x cos x 0 1 x2 si x 0 si x 0 si x 0 a 2 a 2 f x 1 x 2 f x 1 x 2 1 si x 2 si x 2 a 1 f x x2 x x2 1 1 si x 1 si x 1 a 0 f x ex x2 si x 0 si x 0 22. a 3 f x 2x2 5x 3 x 3 6 si x 3 si x 3 23-24 ¿Cómo podría “remover la discontinuidad” en cada una de las siguientes funciones? En otras palabras, ¿cómo redefiniría f(2) a fin de que sean continuas en x m 2? . 4 2 . 3 2 f x x3 8 x2 4 f x x2 x 2 x 2 25-32 Utilizando los teoremas 4, 5, 7 y 9, explique por qué cada una de las siguientes funciones es continua en todo número de su dominio. Determine el dominio. . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 N r tan 1 1 e r 2 M x 1 1 x B x tan x s4 x2 A t arcsen 1 2t R t esent 2 cos t Q x s 3 x 2 x3 2 G x x2 1 2x2 x 1 F x 2x2 x 1 x2 1 33-34 Identifique las discontinuidades de cada una de las siguientes funciones e ilústrelas con una gráfica. 33. 34. y ln tan2 x y 1 1 e1 x 35-38 Utilice la continuidad para evaluar cada uno de los siguientes límites. 35. 36. . 8 3 . 7 3 lím xl2 arctan x2 4 3x2 6x lím xl1 ex2 x lím xl sen x sen x lím xl4 5 sx s5 x 39-40 Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua sobre (@, @). 39. 40. f x sen x si x 4 cos x si x 4 f x x2 si x 1 sx si x 1 41-43 Encuentre los números en los que f es discontinua. ¿En cuá- les de estos números f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguna de las dos? Trace la gráfica de f. 41. f x 1 x2 2 x x 2 2 si x 0 si 0 x 2 si x 2
- 288. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 129 42. 43. f x x 2 ex 2 x si x 0 si 0 x 1 si x 1 f x x 1 1 x sx 3 si x 1 si 1 x 3 si x 3 44. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es si r R GM r2 F r GMr R3 si r R donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G la constante gravitacional. ¿Es F una función continua de r? 45. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre (@, @)? f x cx2 2x x3 cx si x 2 si x 2 46. Encuentre los valores de a y b que hacen a f continua para toda x. f x x2 4 x 2 ax2 bx 3 2x a b si x 2 si 2 x 3 si x 3 47. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad remo- vible en x m a? Si la discontinuidad es removible, determine una función J que concuerde con f para x o a y sea continua en x m a. a) , b) , c) , a f x sen x a 2 f x x3 x2 2x x 2 a 1 f x x4 1 x 1 48. Suponga que una función f es continua sobre F0, 1G, excepto en 0.25 y que f(0) m 1 y f(1) m 3. Sea N m 2. Trace dos posibles graficas de f, una en que se muestre que f podría no satisfa- cer la conclusión del teorema del valor intermedio y la otra que muestre que f todavía podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 49. Si f(x) m x2 10 sen x, demuestre que existe un número c tal que f(c) m 1000. 50. Suponga que f es continua sobre F1, 5G y las únicas soluciones de la ecuación f(x) m 6 son x m 1 y x m 4. Si f(2) m 8, expli- que por qué f(3) 6. 51-54 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz en cada una de las ecuaciones dadas en el intervalo especificado. 51. , 52. , 53. , 54. , 1, 2 sen x x2 x 0, 1 ex 3 2x 0, 1 s 3 x 1 x 1, 2 x4 x 3 0 55-56 a) Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene cuando menos una raíz real. b) Utilice su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. . 6 5 . 5 5 ln x 3 2x cos x x3 57-58 a) Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene cuando menos una raíz real. b) Utilice un dispositivo de graficación para encontrar la raíz correcta hasta tres cifras decimales. 57. 58. arctan x 1 x 100e x 100 0.01x2 59. Demuestre que f es continua en a si y sólo si lím h l 0 f a h f a 60. Para demostrar que la función seno es continua necesita demos- trar que límx la senx sena para todo número real x m a. Según el ejercicio 59, una proposición equivalente es que lím h l 0 sen a h sen a Aplique 6 para demostrar que esto es cierto. 61. Demuestre que la función coseno es continua. 62. a) Demuestre el teorema 4, inciso 3. b) Demuestre el teorema 4, inciso 5. 63. ¿Para qué valores de x es f continua? f x 0 1 si x es racional si x es irracional 64. ¿Para qué valores de x es J continua? t x 0 x si x es racional si x es irracional 65. ¿Existe un número que es exactamente 1 más que su cubo? 66. Si a y b son números positivos, demuestre que la ecuación a x3 2x2 1 b x3 x 2 0 tiene por lo menos una solución en el intervalo (1, 1).
- 289. 130 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí aproximamos x a un número y vimos que los valores de y se vuelven arbitrariamente gran- des (ya sean positivos o negativos). En esta sección haremos x arbitrariamente grande en magnitud y observaremos qué ocurre con y. Empecemos por investigar el comportamiento de la función f definida por f x x2 1 x2 1 a medida que x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función con una aproximación de seis decimales, y en la figura 1 se ha trazado la gráfica de f por medio de la computadora. 67. Demuestre que la función f x x4 sen 1 x 0 si x 0 si x 0 es continua sobre (@, @) 68. a) Demuestre que la función valor absoluto F(x) m U x U es con- tinua para toda x. b) Demuestre que si f es una función continua sobre un intervalo, entonces también lo es U f U. c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso b) también es verdadero? En otras palabras, si U f U es continua, ¿se deduce que f es continua? De ser así, demuéstrelo. En caso de no ser así, halle un contraejemplo. 69. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 y emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, adonde llega a las 19:00. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 y llega al monasterio a las 19:00. Mediante el teorema del valor intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días. 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales x 0 1 0 0.600000 0.800000 0.882353 0.923077 0.980198 0.999200 0.999800 0.999998 1000 100 50 10 5 4 3 2 1 f x X Y Y Y € € FIGURA 1 Conforme x crece más y más, puede verse que los valores de f(x) se aproximan cada vez más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de f(x) a 1 eligiendo una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo lím x l x2 1 x2 1 1 En general, utilizamos la notación lím x l f x L para indicar que los valores de f(x) tienden a L conforme x se hace más y más grande. 1 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces lím x l f x L significa que los valores de f(x) pueden aproximarse arbitrariamente a L tanto como desee, eligiendo a x suficientemente grande.
- 290. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 131 Otra notación para límx l @ f(x) m L es f(x) l L conforme x l @ El símbolo @ no representa un número. No obstante, la expresión lím x l f x L a menudo se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende al infinito, es L” o “el límite de f(x), cuando x se va al infinito, es L” o bien “el límite de f(x), cuando x crece sin cota, es L”. El significado de estas frases está dado por la definición 1. Al final de esta sección, se encuentra una definición más precisa, utilizando la definición - de la sección 2.4. En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y m L (la cual se llama asíntota horizontal) a medida que usted ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. x y 0 y=ƒ y=L 0 x y y=ƒ y=L x y 0 y=ƒ y=L FIGURA 2 x ` Ejemplos que ilustran lím ƒ=L FIGURA 3 x _` Ejemplos que ilustran lím ƒ=L 0 y x y=ƒ y=L x 0 y y=ƒ y=L Si regresa a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de f(x) están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota, puede acercar cuando quiera f(x) a 1. Esto se expresa escribiendo lím x l x2 1 x2 1 1 La definición general es como sigue. 2 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (@, a). Entonces lím x l f x L significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud. Es necesario subrayar que el símbolo @ no representa un número, pero la expresión lím xl f x L se lee a menudo como “el límite de f(x), cuando x tiende al infinito negativo o a menos infinito, es L”. La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y m L a medida que vemos hacia el extremo izquierdo de cada gráfica. 3 Definición La recta y m L se llama asíntota horizontal de la curva y m f(x) si lím x l f x L o lím x l f x L
- 291. 132 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene a la recta y m 1 como asíntota horizontal porque lím x l x2 1 x2 1 1 Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y m tan1 x. (Véase la figura 4.) En efecto, 4 lím x l tan 1 x 2 lím x l tan 1 x 2 de modo que las rectas y m )Y2 y y m )Y2 son asíntotas horizontales. (Esto se sigue del hecho de que las rectas x m )Y2 son asíntotas verticales de la gráfica de y m tan x.) EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5. SOLUCIÓN Vemos que los valores de f(x) se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados, así que lím x l 1 f x Advierta que f(x) se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la izquier- da, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo, lím x l2 f x y lím x l2 f x Del comportamiento de estos límites, las dos rectas x m 1 y x m 2 son asíntotas verticales. Cuando x es muy grande, parece que f(x) tiende a 4. Pero, a medida que x decrece a través de valores negativos, f(x) tiende a 2. Por tanto, lím x l f x 2 y lím x l f x 4 Esto significa que tanto y m 4 como y m 2 son asíntotas horizontales. EJEMPLO 2 Encuentre y lím x l 1 x lím x l 1 x . SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1Yx es pequeño. Por ejemplo, 1 1000000 0.000001 1 10000 0.0001 1 100 0.01 De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1Yx a 0 cuanto quiera. Por tanto, según la definición 1, tenemos lím x l 1 x 0 Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1Yx es pequeño negativo; de este modo, también se tiene que lím x l 1 x 0 FIGURA 4 Ytan†X Y X y ?y FIGURA 5 X Y
- 292. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 133 Se infiere que la recta y m 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y m 1Yx (que es una hipérbola equilátera; véase figura 6). La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Puede demostrarse que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x l a” se reemplaza con “x l @” o con “x l @”. En particular, si combinamos las leyes 6 y 11 con los resultados del ejemplo 2, obtenemos la siguiente importante regla para el cálculo de límites. FIGURA 6 lím lím 5 Teorema Si r 0 es un número racional, entonces lím x l 1 xr 0 Si r 0 es un número racional tal que xr está definida para toda x, entonces lím x l 1 xr 0 v EJEMPLO 3 Evalúe lím x l 3x2 x 2 5x2 4x 1 e indique cuáles propiedades de los límites se utilizaron en cada paso. SOLUCIÓN Cuando x es muy grande, tanto numerador como denominador son muy grandes, así que no es obvio qué pasa con su cociente. Necesitamos hacer algo de álgebra preliminar. Para evaluar el límite en el infinito de cualquier función racional, primero dividimos el numerador y el denominador por la potencia mayor de x que hay en el denominador. (Suponemos que x o 0, ya que estamos interesados sólo en valores muy grandes de x). En este caso, la potencia mayor del denominador es x2 , así que tenemos (por la ley de los límites 5) (por las leyes 1, 2 y 3) (por la ley 7 y el teorema 5) lím x l 3x2 x 2 5x2 4x 1 lím x l 3x2 x 2 x2 5x2 4x 1 x2 lím x l 3 1 x 2 x2 5 4 x 1 x2 3 5 3 0 0 5 0 0 lím x l 3 lím x l 1 x 2 lím x l 1 x2 lím x l 5 4 lím x l 1 x lím x l 1 x2 lím x l 3 1 x 2 x2 lím x l 5 4 x 1 x2
- 293. 134 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Un cálculo semejante muestra que el límite cuando x l @ también es 3 5. En la figura 7 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función racional dada se aproxima a la asíntota horizontal y 3 5. EJEMPLO 4 Encuentre la asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función f x s2x2 1 3x 5 SOLUCIÓN Al dividir entre x tanto el numerador como el denominador y aplicar las pro- piedades de los límites, tenemos (ya que para ) s2 0 3 5 0 s2 3 lím x l 2 1 x2 lím x l 3 5 x lím x l 2 lím x l 1 x2 lím x l 3 5 lím x l 1 x x 0 sx2 x lím x l s2x2 1 3x 5 lím x l 2 1 x2 3 5 x Por tanto, la recta y s2 3 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. En el cálculo del límite conforme x l @, debemos recordar que para x
- 294. 0, tene- mos sx2 x x. Así que cuando dividimos el numerador entre x, para x
- 295. 0 obtenemos 1 x s2x2 1 1 sx2 s2x2 1 2 1 x2 Por tanto, 2 lím x l 1 x2 3 5 lím x l 1 x s2 3 lím x l s2x2 1 3x 5 lím x l 2 1 x2 3 5 x Así que la recta y s2 3 también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 5, es 0; esto es, cuando x 5 3. Si x esta cerca de 5 3 y x 5 3, entonces el denominador está cerca de 0 y 3x 5 es positivo. El numerador s2x2 1 es siempre positivo, así que f(x) es positivo. Por tanto, lím x l 5 3 s2x2 1 3x 5 Si x está cerca de 5 3, pero x 5 3, entonces 3x 5
- 296. 0, así que f(x) es negativo grande. Así, lím x l 5 3 s2x2 1 3x 5 La asíntota vertical es x 5 3. Las tres asíntotas se muestran en la figura 8. Y x y FIGURA 7 Y €X €X FIGURA 8 Y …”””””” X € x y Y …” Y? …” X
- 297. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 135 EJEMPLO 5 Calcule lím x l (sx2 1 x) . SOLUCIÓN Ya que tanto sx2 1 como x son muy grandes cuando x es grande, es difícil ver qué pasa con su diferencia, así que utilizamos el álgebra para reescribir la función. Primero multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado: lím x l x2 1 x2 sx2 1 x lím x l 1 sx2 1 x lím x l (sx2 1 x) lím x l (sx2 1 x) sx2 1 x sx2 1 x Observe que el denominador de esta última expresión (sx2 1 x) resulta muy grande cuando x l @ (más grande que x). Así que lím x l (sx2 1 x) lím x l 1 sx2 1 x 0 La figura 9 ilustra este resultado. EJEMPLO 6 Evalúe el lím x l2 arctan 1 x 2 . SOLUCIÓN Si hacemos t m 1Y(x 2), sabemos que t l @ cuando x l 2 . Por tanto, por la segunda ecuación en 4 , tenemos lím xl2 arctan 1 x 2 lím tl arctan t 2 La gráfica de la función exponencial natural y m ex tiene a la recta y m 0 (el eje x) como una asíntota horizontal. (Lo mismo es verdadero para cualquier función exponen- cial con base a 1). De hecho, de la gráfica en la figura 10 y la correspondiente tabla de valores, vemos que lím x l ex 0 6 Note que los valores de ex se aproximan a 0 muy rápidamente. FIGURA 9 Y€ …”””””X x y 0 Puede considerar que la función dada tiene un denominador igual a 1. Ym X Y FIGURA 10 x 0 1.00000 1 0.36788 2 0.13534 3 0.04979 5 0.00674 8 0.00034 10 0.00005 ex
- 298. 136 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS v EJEMPLO 7 Evalúe lím x l0 e1 x . SOLUCIÓN Si hacemos t m 1Yx, sabemos que t l @ cuando x l 0 . Por tanto, por 6 , lím x l0 e1 x lím tl et 0 (Véase el ejercicio 75.) EJEMPLO 8 Evalúe lím x l sen x . SOLUCIÓN Conforme x crece, los valores de sen x oscilan infinitamente entre 1 y 1, así que no se aproximan a ningún número definido, por lo que límx l @ sen x no existe. Límites infinitos en el infinito La notación lím x l f x se utiliza para indicar que los valores de f(x) se hacen más grandes cuando x se hace muy grande. Un significado similar está asociado con los siguientes símbolos: lím x l f x lím x l f x lím x l f x EJEMPLO 9 Encuentre y lím x l x3 lím x l x3 . SOLUCIÓN Cuando x se hace más grande, x3 también se hace grande. Por ejemplo, 103 m 1000 1003 m 1000000 10003 m 1000000000 De hecho, podemos hacer x3 tan grande como queramos tomando x suficientemente grande. Por esta razón, podemos escribir lím x l x3 Del mismo modo, cuando x es muy grande negativo, también lo es x3 . Así que lím x l x3 Estos límites establecidos también pueden verse en la gráfica de y m x3 en la figura 11. En la figura 10 vemos que lím x l ex pero, como se observa en la figura 12, y m ex se hace más grande cuando x l @, con mucha mayor rapidez que y m x3 . EJEMPLO 10 Encuentre lím x l x2 x . R SOLUCIÓN Sería un error escribir lím x l x2 x lím x l x2 lím x l x Las leyes de los límites no pueden aplicarse a límites infinitos porque @ no es un número (@ @ no puede definirse). Sin embargo, podemos escribir lím x l x2 x lím x l x x 1 debido a que tanto x como x 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por tanto, también su producto. FIGURA 11 lím x#=`, lím x#=_` x ` x _` x y 0 y=˛ x 0 100 y 1 y=˛ y=´ FIGURA 12 ´ es mucho más grande que ˛ cuando x es muy grande. RP La estrategia para resolver los problemas 6 y 7 es introducir algo extra (véase la página 75). Aquí, el algo extra, el elemento auxiliar, es la nueva variable t.
- 299. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 137 EJEMPLO 11 Encuentre lím x l x2 x 3 x . SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, dividimos el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador, que es justamente x: lím x l x2 x 3 x lím x l x 1 3 x 1 ya que x 1 l @ y 3Yx 1 l 1 conforme x l @. El siguiente ejemplo muestra que utilizando límites infinitos al infinito, además de las intersecciones, podemos tener una idea general de la gráfica de una función polinomial sin tener que disponer de un gran número de puntos. v EJEMPLO 12 Trace la gráfica de y m (x 2)4 (x 1)3 (x 1) encontrando las inter- secciones y sus límites cuando x l @ y cuando x l @. SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f(0) m (2)4 (1)3 (1) m 16 y las intersecciones con el eje x, x m 2, 1, 1 se encuentran haciendo y m 0. Note que puesto que (x 2)4 es positivo, la función no cambia de signo en 2; así que la gráfica no cruza el eje x en 2. La gráfica interseca el eje x en 1 y 1. Cuando x es un número positivo muy grande, todos los factores son muy grandes, así que lím x l x 2 4 x 1 3 x 1 Cuando x es un número negativo muy grande, el primero de los factores es un número positivo muy grande y los factores segundo y tercero son negativos muy grandes, así que lím x l x 2 4 x 1 3 x 1 Combinando esta información, obtenemos el esbozo de la gráfica de la figura 13. Definición precisa La definición 1 puede establecerse de manera precisa como sigue. Y YX
- 300. X
- 301. X
- 302. FIGURA 13 X ? ? 7 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces lím x l f x L significa que para toda 0 existe un correspondiente número N tal que si x N, entonces U f(x) L U
- 303. En palabras, esto indica que los valores de f(x) pueden acercarse arbitrariamente a L (dentro de una distancia , donde es cualquier número positivo) tomando x suficiente- mente grande (más grande que N, donde N depende de ). Gráficamente, esto nos dice que eligiendo x suficientemente grande (más grande que algún número N) podemos hacer que la gráfica de f esté atrapada entre las rectas horizontales dadas y m L y
- 304. 138 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y m L como se ve en la figura 14. Esto debe ser verdadero sin importar qué tan pequeño elijamos . La figura 15 muestra que si elegimos un valor de muy pequeño, entonces puede necesitarse un valor de N muy grande. FIGURA 14 lím cuando está aquí está aquí
- 307. FIGURA 15 lím 0 FIGURA 16 lím x
- 308. Del mismo modo, una versión precisa de la definición 2 está dada por la definición 8, que se ilustra en la figura 16. 8 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (@, a). Entonces lím x l f x L significa que para todo 0 existe un correspondiente número N tal que si x
- 309. N, entonces U f(x) L U
- 310. En el ejemplo 3 obtuvimos que lím x l 3x2 x 2 5x2 4x 1 3 5 En el siguiente ejemplo utilizamos una calculadora o computadora para relacionar esta proposición con la definición 7, con L 3 5 y m 0.1.
- 311. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 139 EJEMPLO 13 Utilice una gráfica para encontrar un número N tal que entonces 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.6 0.1 x N, si SOLUCIÓN Reescribimos la desigualdad dada como 0.5 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.7 Necesitamos determinar las valores de x para los cuales la curva dada está entre las rectas horizontales y m 0.5 y y m 0.7. Las gráficas de la curva y de estas rectas se muestran en la figura 17. Entonces utilizamos el cursor para estimar que la curva cruza la recta y m 0.5 cuando x y 6.7. A la derecha de este número parece que la curva está entre las rectas y m 0.5 y y m 0.7. Redondeando, podemos decir que entonces 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.6 0.1 x 7, si En otras palabras, para m 0.1 podemos elegir N m 7 (o cualquier otro número mayor) en la definición 7. EJEMPLO 14 Utilice la definición 7 para demostrar que lím x l 1 x 0 . SOLUCIÓN Dado 0, queremos encontrar N tal que si entonces 1 x 0 x N, Al calcular el límite podemos suponer que x 0. Entonces 1Yx
- 312. ? x 1Y. Elegimos N m 1Y. Así que si entonces , 1 x 0 1 x x N 1 Por tanto, de la definición 7 lím x l 1 x 0 La figura 18 ilustra la demostración mostrando algunos valores de y los correspondien- tes valores de N. FIGURA 17 Y Y Y €X €X TEC En Module 2.4/2.6 puede explorar la definición precisa de límite de manera gráfica o numérica. x y 0 / w FIGURA 18 x y 0 / w x y 0 / w
- 313. 140 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Finalmente notamos que un límite infinito al infinito puede definirse como sigue. En la figura 19 se muestra una ilustración geométrica. 9 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces lím x l f x significa que para todo número positivo M existe un correspondiente número positivo N tal que si x N, entonces f(x) M Definiciones similares se aplican cuando el símbolo @ se reemplaza por @. (Véase el ejercicio 74.) FIGURA 19 lím ƒ=` x ` 0 x y N M y=M 2.6 Ejercicios 1. Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de los siguientes límites a) b) lím xl f x 3 lím xl f x 5 2. a) ¿Puede la gráfica de y m f(x) intersecar una asíntota vertical? ¿Puede intersecar una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de y m f(x)? Trace gráficas que muestren las posibilidades. 3. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca lo siguiente: a) b) c) d) e) Las ecuaciones de las asíntotas lím xl1 f x lím xl f x lím xl f x lím xl3 f x 1 x y 1 4. Para la función J cuya gráfica está dada, establezca lo siguiente. a) b) c) d) lím xl2 t x lím xl 0 t x lím xl t x lím xl t x e) f) Las ecuaciones de las asíntotas lím xl2 t x 1 x y 1 5-10 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas 5. , , 6. , , , , , 7. 8. , , , es impar 9. 10. es par f f 0 0, lím xl f x 2, lím xl3 f x , lím xl f x 3 lím xl 4 f x , lím xl 4 f x , lím xl f x , lím xl0 f x 2, lím xl0 f x 4, f 0 3, f lím xl2 f x lím xl2 f x lím xl f x 3 lím xl0 f x lím xl0 f x , lím xl f x 0, lím xl f x , lím xl2 f x , f 0 0 lím xl f x 0 lím xl f x 0 lím xl 2 f x lím xl 2 f x lím xl 2 f x lím xl f x 5 lím xl f x 5 lím xl0 f x Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 314. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 141 11. Conjeture el valor del límite lím xl x2 2x evaluando la función f(x) m x2 Y2x para x m 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. Después, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. 12. a) Utilice la gráfica de f x 1 2 x x para estimar el valor de límx l @ f(x) con una aproximación de dos cifras decimales. b) Utilice una tabla de valores de f(x) para estimar el límite con una aproximación de cuatro cifras decimales. 13-14 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las propiedades adecuadas de los límites. . 4 1 . 3 1 lím x l 12x3 5x 2 1 4x2 3x3 lím xl 3x2 x 4 2x2 5x 8 15-38 Encuentre el límite o demuestre que no existe. . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 19. 20. . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 25. 26. . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 33. 34. . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 lím xl0 tan 1 ln x lím xl e 2x cos x lím xl 1 ex 1 2ex lím xl sen2 x x2 1 lím xl e3x e 3x e3x e 3x lím x l arctan ex lím xl 1 x6 x4 1 lím xl x4 x5 lím xl e x 2 cos 3x lím xl x4 3x2 x x3 x 2 lím xl sx2 1 lím xl (sx2 ax sx2 bx ) lím x l (x sx2 2x ) lím xl (s9x2 x 3x) lím xl s9x6 x x3 1 lím xl s9x6 x x3 1 lím xl x2 sx4 1 lím xl 2x2 1 2 x 1 2 x2 x lím tl t tst 2t3 2 3t 5 lím tl st t2 2t t2 lím xl 4x3 6x2 2 2x3 4x 5 lím xl x 2 x2 1 lím xl 1 x2 x3 x 1 lím xl 3x 2 2x 1 39. a) Estime el valor de lím xl (sx2 x 1 x) dibujando la gráfica de la función f x sx2 x 1 x. b) Utilice una tabla de valores de f(x) para conjeturar el valor del límite. c) Pruebe que su conjetura es correcta. 40. a) Utilice la gráfica de f x s3x2 8x 6 s3x2 3x 1 para estimar el valor de límx l @ f(x) con una aproximación de una cifra decimal. b) Utilice una tabla de valores de f(x) para estimar el límite con una aproximación de cuatro cifras decimales. c) Halle el valor exacto del límite. 41-46 Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas. . 2 4 . 1 4 43. 44. . 6 4 . 5 4 y 2ex ex 5 y x3 x x2 6x 5 y 1 x4 x2 x4 y 2x2 x 1 x2 x 2 y x2 1 2x2 3x 2 y 2x 1 x 2 47. Estime la asíntota horizontal de la función f x 3x3 500x2 x3 500x2 100x 2000 mediante la gráfica de f para 10 v x v 10. Después obtenga la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia? 48. a) Grafique la función f x s2x2 1 3x 5 ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Utilice la gráfica para estimar el valor de los límites y lím xl s2x2 1 3x 5 lím xl s2x2 1 3x 5 b) Calcule algunos valores de f(x) y proporcione estimaciones numéricas de los límites del inciso a). c) Calcule los valores exactos de los límites en el inciso a). ¿Obtiene el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites? [En relación con su respuesta al inciso a), tendrá que verificar su cálculo para el segundo límite.]
- 315. 142 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 49. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las condiciones siguientes: , , , , f 2 0 lím xl0 f x lím xl f x 0 lím xl3 f x lím xl3 f x 50. Proponga una fórmula para una función que tiene asíntotas verticales x m 1 y x m 3 y asíntota horizontal y m 1. 51. Una función f es un cociente de funciones cuadráticas y tiene una asíntota vertical x m 4 y una intersección de x en x m 1. Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en x m 1 y límx l 1 f(x) m 2. Evalúe ) b ) a lím xl f x f 0 52-56 Determine los límites cuando x l @ y cuando x l @. Utilice esta información junto con las intersecciones para esbozar la gráfica como en el ejemplo 12. . 3 5 . 2 5 54. 55. 56. y x2 x2 1 2 x 2 y 3 x 1 x 2 1 x 4 y x3 x 2 2 x 1 y x4 x6 y 2x3 x4 57. a) Utilice el teorema de la compresión para evaluar lím xl sen x x . b) Grafique f(x) m (sen x)Yx. ¿Cuántas veces cruza la gráfica la asíntota? 58. Por el comportamiento al final de una función entenderemos una descripción de lo que sucede con sus valores cuando y a medida que x l x l a) Describa y compare el comportamiento al final de las funciones Q x 3x5 P x 3x5 5x3 2x graficando las dos funciones en los rectángulos de vista F2, 2G por F2, 2G y F10, 10G por F10000, 10000G. b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento al final si su cociente tiende a 1 cuando x l @. Demuestre que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. 59. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre lím x l P x Q x si el grado de P es a) menor que el grado de Q y b) mayor que el grado de Q. 60. Haga un esbozo aproximado de la gráfica de la curva y m xn (n un entero) para los cinco casos siguientes: i) n m 0 ii) n 0, n impar iii) n 0, n par iv) n
- 316. 0, n impar v) n
- 317. 0, n par Después utilice estos esbozos para encontrar los límites siguientes: ) b ) a ) d ) c lím xl xn lím xl xn lím xl0 xn lím xl0 xn 61. Determine límxl f x si, para toda x 1, 10ex 21 2ex f x 5sx sx 1 62. a) Un depósito contiene 5000 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30g de sal por litro de agua al depósito con una proporción de 25LYmin. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es C t 30t 200 t b) ¿Qué sucede con la concentración cuando x l @? 63. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis, la velocidad v(t) de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es v t v* 1 e tt v* donde J es la aceleración debida a la gravedad y v* es la velocidad final de la gota de lluvia. a) Encuentre límtl v t . b) Trace la grafica de v(t) si v* m 1mYs y J m 9.8mYs2 . ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance 99% de su velocidad final? 64. a) Mediante el trazo de y m exY10 y y m 0.1 en una pantalla común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que exY10
- 318. 0.1. b) ¿Puede resolver el inciso a) sin un dispositivo de graficación? 65. Mediante una gráfica determine un número N tal que si x N, entonces 3x2 1 2x2 x 1 1.5 0.05 66. En el caso del límite lím x l s4x2 1 x 1 2 ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que correspondan a m 0.5 y m 0.1. 67. Ilustre la definición 8 para el límite lím x l s4x2 1 x 1 2 determinando valores de N que correspondan a m 0.5 y m 0.1. 68. Ilustre la definición 9 para el límite lím xl 2x 1 sx 1 calculando valores de N que correspondan a M m 100.
- 319. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 143 El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite, como vimos en la sec- ción 2.1. Este tipo especial de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada como una razón de cambio. Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y m f(x) y quiere usted hallar la recta tangente a C en el punto P(a, f(a)), entonces considere un punto cercano Q(x, f(x)), donde x o a, y calcule la pendiente de la recta secante PQ: mPQ f x f a x a Después, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P con pendien- te m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q tiene a P. (Véase la figura 1.) FIGURA 1 0 x y P t Q Q Q 0 x y a x P{a, f(a)} ƒ-f(a) x-a Q{x, ƒ} 69. a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 1Yx2
- 320. 0.0001? b) Al hacer r m 2 en el teorema 5, tenemos la proposición lím x l 1 x2 0 Demuéstrela directamente aplicando la definición 7. 70. a) ¿Qué tan grande debemos tomar a x de manera que 1 sx 0.0001? b) Tomando r 1 2 en el teorema 5, tenemos la proposición lím xl 1 sx 0 Demuéstrela directamente aplicando la definición 7. 71. Demuestre, mediante la definición 8, que lím x l 1 x 0 . 72. Demuestre, mediante la definición 9, que lím xl x3 . 73. Utilice la definición 9 para demostrar que lím x l ex . 74. Formule una definición precisa de lím x l f x Después utilice su definición para demostrar que lím x l 1 x3 75. Demuestre que y lím xl f x lím tl0 f 1 t lím xl f x lím tl0 f 1 t si estos límites existen. 2.7 Derivadas y razones de cambio 1 Definición La recta tangente a la curva y m f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente m lím x l a f x f a x a siempre que este límite exista. En nuestro primer ejemplo, se confirma la suposición que hicimos en el ejemplo 1 de la sección 2.1.
- 321. 144 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS v EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2 , en el punto P(1,1). SOLUCIÓN En este caso, a m 1 y f(x) m x2 , de modo que la pendiente es lím x l1 x 1 1 1 2 lím x l1 x 1 x 1 x 1 m lím x l1 f x f 1 x 1 lím x l1 x2 1 x 1 Con la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se encuentra que la ecuación de la recta tangente en (1, 1) es y 1 m 2(x 1) o bien y m 2x 1 A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la curva y m x2 del ejemplo 1. Cuanto más se acerque, tanto más la parábola se parece a una recta. En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente. FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto sobre la parábola
- 323. FIGURA 3 0 x y a a+h P{a, f(a)} h Q{a+h, f(a+h)} t f(a+h)-f(a) Forma punto-pendiente para una recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m: y y1 m m(x x1) Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h m x a, en este caso x m a h, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ f a h f a h (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si h
- 324. 0, Q estaría a la izquierda de P.) Note que conforme x se aproxima a a, h se acerca a 0 (puesto que h m x a) y, por ende, la expresión de la pendiente de la recta tangente, en la definición 1 se convierte en 2 m lím h l 0 f a h f a h EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y m 3Yx, en el punto (3, 1). TEC Visual 2.7 muestra una animación de la figura 2.
- 325. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 145 SOLUCIÓN Sea f(x) m 3Yx. Entonces, la pendiente de la tangente en (3, 1) es lím hl 0 h h 3 h lím hl 0 1 3 h 1 3 m lím hl 0 f 3 h f 3 h lím hl 0 3 3 h 1 h lím hl 0 3 3 h 3 h h En consecuencia, la ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es y 1 1 3 x 3 la cual se simplifica a x 3y 6 m 0 En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente. Velocidades En la sección 2.1 investigamos el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la Torre CN, y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre periodos de tiempo cada vez más cortos. En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s m f(t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigi- da) del objeto respecto al origen, en el tiempo t. La función f que describe el movimiento se conoce como función posición del objeto. En el intervalo de tiempo t m a hasta t m a h, el cambio en la posición es f(a h) f(a). (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es velocidad promedio desplazamiento tiempo f a h f a h que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre intervalos de tiempo Fa, a hG más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) v(a) en el instante t m a como el límite de estas velocidades promedio: 3 v a lím h l 0 f a h f a h Esto significa que la velocidad en el instante t m a es igual a la pendiente de la recta tan- gente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.) Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae. v EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, a 450m sobre el nivel del suelo. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? b) ¿Con qué rapidez cae cuando choca contra el suelo? SOLUCIÓN Necesita usted hallar la velocidad cuando t m 5 y cuando la pelota golpea el suelo, de tal manera que es conveniente iniciar la búsqueda de la velocidad en FIGURA 4 y= (3, 1) x+3y-6=0 x y 0 3 x FIGURA 5 0 s f(a+h)-f(a) posición en el instante t=a posición en el instante t=a+h f(a) f(a+h) 0 P{a, f(a)} Q{a+h, f(a+h)} h a+h a s t mPQ= velocidad promedio FIGURA 6 f(a+h)-f(a) h Recuerde que en la sección 2.1 vimos que la distancia (en metros) que recorre la pelota que cae una vez que transcurre t segundos es 4.9t2 .
- 326. 146 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS un tiempo general t m a. Empleando la ecuación de movimiento s m f (t) m 4.9t 2 , se tiene lím hl 0 4.9 2a h 9.8a lím hl 0 4.9 a2 2ah h2 a2 h lím hl 0 4.9 2ah h2 h v a lím hl 0 f a h f a h lím hl 0 4.9 a h 2 4.9a2 h a) La velocidad después de 5s es v(5) m (9.8)(5) m 49mYs. b) Puesto que la plataforma de observación está a 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t1, cuando s(t1) m 450; es decir, 4.9t1 2 450 Esto da t1 2 450 4.9 y t1 450 4.9 9.6 s Por tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es v t1 9.8t1 9.8 450 4.9 94 m s Derivadas Hemos visto que en la búsqueda de la pendiente de una recta tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3) surge la misma clase de límite. De hecho, límites en la forma lím hl0 f a h f a h surgen cuando calculamos una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingenie- ría, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía.Ya que esta clase de límite aparece muy a menudo, se da un nombre y notación especial. 4 Definición La derivada de una función f en un número x m a, denotada por f(a), es f a lím hl0 f a h f a h si este límite existe. Si se escribe x m a h, entonces h m x a y h tiende a 0 si y sólo si x tiende a a. En consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada, como vimos en la búsqueda de rectas tangentes, es 5 f a lím x l a f x f a x a v EJEMPLO 4 Encuentre la derivada de la función f(x) m x2 8x 9 en el número x m a. f(a) se lee “f prima de a”.
- 327. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 147 SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene 2a 8 lím hl0 2ah h2 8h h lím hl0 2a h 8 lím hl0 a2 2ah h2 8a 8h 9 a2 8a 9 h lím hl0 a h 2 8 a h 9 a2 8a 9 h f a lím hl0 f a h f a h Definimos la recta tangente a la curva y m f(x) en el punto P(a, f(a)) como la recta que pasa por P y tiene pendiente m, dada por la ecuación 1 o 2.Ya que, por la definición 4, ésta es la misma que la derivada f(a), podemos decir lo siguiente. La recta tangente a y m f(x) en (a, f(a)) es la recta que pasa por (a, f(a)) cuya pen- diente es igual a f(a), la derivada de f en x m a. Si utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, podemos escribir la ecuación de la recta tangente a la curva y m f(x) en el punto (a, f(a)): y f(a) m f(a)(x a) v EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2 8x 9 en el punto (3, 6). SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabemos que la derivada de f(x) m x2 8x 9 en el número x m a es f(a) m 2a 8. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en (3, 6) es f(3) m 2(3) 8 m 2. En estos términos, la ecuación de la recta tangente que se muestra en la figura 7, es y (6) m (2)(x 3) o bien y m 2x Razones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo expresamos como y m f(x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es x x2 x1 y el cambio correspondiente en y es y f x2 f x1 El cociente de diferencias y x f x2 f x1 x2 x1
- 328. FIGURA 7 0 x y
- 329. 148 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS se llama razón de cambio promedio de y respecto a x sobre el intervalo Fx1, x2G, y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. Por analogía con la velocidad, considere la razón de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por tanto, hacer que $x tienda a 0. El límite de estas razones de cambio promedio se llama razón de cambio (instantánea) de y respecto a x en x m x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la recta tan- gente a la curva y m f(x) en P(xl, f(x1)): 6 Razón de cambio instantánea lím x l 0 y x lím x2 l x1 f x2 f x1 x2 x1 Reconocemos este límite como la derivada f(x1). Sabemos que una interpretación de la derivada f(a) es como la pendiente de la recta tangente a la curva y m f(x) cuando x m a. Ahora tenemos una segunda interpretación: La derivada f(a) es la razón de cambio instantánea de y m f(x) respecto a x cuando x m a. El vínculo con la primera interpretación es que si dibuja la curva y m f(x), entonces la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto donde x m a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y, en consecuencia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana (como en el punto Q), y el valor de y cambia lentamente. En particular, si s m f(t) es la función posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f(a) es la razón de cambio del desplazamiento s respecto al tiempo t. En otras palabras, f (a) es la velocidad de la partícula en el tiempo t m a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, U f(a) U. En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que está definida verbalmente. v EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con ancho fijo. El costo de producir x yardas de este tejido es de C m f(x) dólares. a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(x)? ¿Cuáles son sus unidades? b) En términos prácticos, ¿qué significa decir que f(1000) m 9? c) ¿Cuál piensa que es más grande f(50) o f(500)? ¿Qué hay respecto a f(5000)? SOLUCIÓN a) La derivada f(x) es la razón de cambio instantánea de C respecto a x, es decir, f(x) significa la razón de cambio del costo de producción respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esta rapidez de cambio costo marginal. Esta idea se analiza en más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) Ya que f x lím x l 0 C x las unidades para f(x) son las mismas que las unidades para el cociente de diferencias $CY$x. Puesto que $C se mide en dólares y $x en yardas, las unidades para f(x) son dólares por cada yarda. FIGURA 9 Los valores de y cambian rápidamente en P y lentamente en Q. P Q x y razón de cambio promedio mPQ razón de cambio instantánea pendiente de la recta tangente en P FIGURA 8 0 x y ⁄ ¤ Q{¤, ‡} Îx Îy P{⁄, fl}
- 330. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 149 b) El enunciado de que f(1000) m 9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresYyarda. (Cuando x m 1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.) Dado que $x m 1 es pequeño si se le compara con x m 1000, podría usarse la aproximación f 1000 C x C 1 C y decimos que el costo de fabricación de las 1000 yardas (o de la 1001) es de casi 9 dólares. c) La razón a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) probablemente es inferior cuando x m 500 que cuando x m 50 (el costo de fabricación de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la escala económica. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f(50) f(500) Pero, conforme se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será ineficiente y con eso los costos de horas extra de trabajo. En estos términos, es posible que la razón de incremento de costos empezarán con el tiempo a subir. De este modo, es posible que suceda que f(5000) f(500) En el ejemplo siguiente estimaremos la razón de cambio de la deuda nacional respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino mediante una tabla de valores. v EJEMPLO 7 Sea D(t) la deuda nacional de EU en el tiempo t. La tabla en el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin de año, en miles de millones de dólares, desde 1980 hasta 2005. Interprete y estime el valor de D(1990). SOLUCIÓN La derivada D(1990) significa la razón de cambio de D respecto a t cuando t m 1990, es decir, la razón de incremento de la deuda nacional en 1990. De acuerdo con la ecuación 5, D 1990 lím t l1990 D t D 1990 t 1990 Así que calculamos y tabulamos los valores del cociente de diferencias (la razón de cambio promedio) como sigue. t 1980 230.31 1985 257.48 1995 348.14 2000 244.09 2005 313.29 D t D 1990 t 1990 A partir de esta tabla vemos que D(1990) se localiza en alguna parte entre 257.48 y 348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la suposición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y el 2000.] Se estima que la razón de incremento de la deuda nacional de EU en 1990 fue el promedio de estos números, específicamente D(1990) y 303 miles de millones de dólares por cada año. Otro método sería una gráfica de la función deuda y estimar la pendiente de la recta tangente cuando t m 1990. En este caso suponga que la función costo se comporta bien; en otras palabras, C(x) no oscila rápidamente cerca de x m 1000. t 1980 930.2 1985 1945.9 1990 3233.3 1995 4974.0 2000 5674.2 2005 7932.7 D t Una nota sobre unidades Las unidades de la razón de cambio promedio $D/$t son las unidades para $D divididas entre las unidades de $t, o sea, miles de millones de dólares por cada año. La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio promedio, de este modo, se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año.
- 331. 150 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la velocidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda respecto al tiempo es de interés en economía. Existen otras razones de cambio: en física, la razón de cambio de trabajo respecto al tiem- po se le denomina potencia. Los químicos que estudian una reacción química están inte- resados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo respecto al tiempo (denominada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colonia de bacterias respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razo- nes de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias sociales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio son derivadas y pueden interpretarse como pendientes de rectas tangentes. Esto le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resuelve usted problemas en que intervienen rectas tangentes, no sólo resuelve un problema de geometría, también resuelve implícitamente gran variedad de problemas de las ciencias y la ingeniería, en que intervienen razones de cambio. 1. Una curva tiene la ecuación y m f(x). a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(3, f(3)) y Q(x, f(x)). b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P. 2. Dibuje la curva y m ex en los rectángulos de vista F1, 1G por F0, 2G, F0.5, 0.5G por F0.5, 1.5G y F0.1, 0.1G por F0.9, 1.1G. ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un acercamiento hacia el punto (0, 1)? 3. a) Halle la pendiente de la recta tangente a la parábola y m 4x x2 en el punto (1, 3) i) usando la definición 1 ii) usando la ecuación 2 b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso a). c) Dibuje la parábola y la recta tangente. Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento hacia el punto (1, 3) hasta que la parábola y la recta tangente sean indistinguibles. 4. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y m x x3 en el punto (1, 0) i) usando la definición 1 ii) usando la ecuación 2 b) Halle la ecuación de la recta tangente del inciso a). c) Dibuje la curva y la recta tangente en rectángulos de vista cada vez más pequeños centrados en (1, 0) hasta que parezcan coincidir la curva y la recta. 5-8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 5. , 6. , 7. 8. , 1, 1 y 2x 1 x 2 (1, 1 y sx , 2, 3 y x3 3x 1 2, 4 y 4x 3x2 9. a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y m 3 4x2 2x3 en el punto donde x m a. b) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 5) y (2, 3). c) Grafique la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla. 10. a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y 1 sx en el punto donde x m a. b) Plantee las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 1) y (4, 1 2 ). c) Grafique la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla. 11. a) Una partícula empieza moviéndose a la derecha a lo largo de una recta horizontal; la gráfica de su función posición se muestra enseguida. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? b) Dibuje una gráfica de la función velocidad. s (metros) 0 2 4 6 4 2 t (segundos) 12. Se muestran las gráficas de las funciones posición de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y terminan en empate. s (metros) 0 4 8 12 80 40 t (segundos) A B 2.7 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 332. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 151 a) Describa y compare cómo desarrollaron la carrera las competidoras. b) ¿En qué momento hay la mayor distancia entre las competidoras? c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? 13. Si una pelota se lanza al aire verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 40piesYs, su altura (en pies) una vez que transcurren t segundos, está dada por y m 40t 16t2 . Encuentre la velocidad cuando t m 2. 14. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10mYs, su altura (en metros) después de t segundos está dada por H m 10t 1.86t2 . a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. b) Halle la velocidad de la roca cuando t m a. c) ¿Cuándo caerá la roca a la superficie? d) ¿Con qué velocidad la roca chocará contra la superficie? 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por la ecuación de movimiento s m 1Yt2 , donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes t m a, t m 1, t m 2 y t m 3. 16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta esta dado por s m t2 8t 18, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo: i) F3, 4G ii) F3.5, 4G iii) F4, 5G iv) F4, 4.5G b) Halle la velocidad instantánea cuando t m 4. c) Dibuje la grafica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio en el inciso a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea en el inciso b). 17. Para la función J cuya gráfica está dada, reordene los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. 0 J(2) J(0) J(2) J(4) y=© 1 3 4 _1 0 x 2 y 18. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y m J(x) en x m 5 si J(5) m 3 y J(5) m 4. 19. Si la ecuación de la recta tangente a la curva y m f(x) en el punto donde a m 2 es y m 4x 5, encuentre f(2) y f(2). 20. Si la recta tangente a y m f(x) en (4, 3) pasa a través del punto (0, 2), halle f(4) y f(4). 21. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f(0) m 0, f(0) m 3, f(1) m 0 y f(2) m 1. 22. Dibuje la grafica de una función J para la cual , , , , y . límxl t x límxl t x t 2 1 t 0 t 4 1 t 1 t 3 0 t 0 t 2 t 4 0 23. Si f(x) m 3x2 x3 , encuentre f(1) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y m 3x2 x3 en el punto (1, 2). 24. Si J(x) m x4 2 encuentre J(1) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y m x4 2 en el punto (1, 1). 25. a) Si F(x) m 5xY(1 x2 ), encuentre F(2) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y m 5xY(1 x2 ) en el punto (2, 2). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. a) Si G(x) m 4x2 x3 , encuentre G(a) y utilícela para encontrar las rectas tangentes a la curva y m 4x2 x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y las rectas tangentes en la misma pantalla. 27-32 Encuentre fa) en cada una de las siguientes funciones. . 8 2 . 7 2 29. 30. . 2 3 . 1 3 f x 4 s1 x f x s1 2x f x x 2 f t 2t 1 t 3 f t 2t3 t f x 3x2 4x 1 33-38 Cada uno de los siguientes límites representa la derivada de alguna función f en algún número x m a. Establezca una f y una a en cada caso. . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 37. 38. lím tl1 t4 t 2 t 1 lím hl0 cos h 1 h lím xl 4 tan x 1 x 4 lím xl5 2x 32 x 5 lím hl0 s 4 16 h 2 h lím hl0 1 h 10 1 h p 39-40 Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta con ecuación de movimiento s m f(t), donde s se mide en metros y t en segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t m 5. 39. 40. f t t 1 t f t 100 50t 4.9t2 41. Una lata de gaseosa tibia se pone a enfriar en un refrigerador. Grafique la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura es mayor o menor que la relación de cambio después de una hora? 42. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde
- 333. 152 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la recta tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora. P T (F) 0 30 60 90 120 150 100 200 t (min) 43. La tabla muestra el número N de usuarios de telefonía celular en EU. (Se proporcionan estimaciones semestrales.) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares i) de 2002 a 2006 ii) de 2002 a 2004 iii) de 2000 a 2002 En cada caso, incluya las unidades. b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 tomando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 midiendo la pendiente de una recta tangente. 44. En la tabla se proporciona el numero N de establecimientos de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 1 de octubre.) Año 2004 2005 2006 2007 2008 N 8569 10241 12440 15011 16680 a) Determine la tasa promedio de crecimiento i) desde 2006 hasta 2008 ii) desde 2006 hasta 2007 iii) de 2005 hasta 2006 En cada caso incluya las unidades. b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 considerando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 midiendo la pendiente de una recta tangente. d) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2007 y compárela con la razón de crecimiento en 2006. ¿Qué concluye? 45. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x) m 5000 10x 0.05x2 . a) Encuentre la razón de cambio promedio de C respecto a x, cuando cambia el nivel de producción: i) de x m 100 a x m 105 ii) de x m 100 a x m 101 b) Halle la razón de cambio instantáneo de C respecto a x, cuando x m 100. (Esto se conoce como costo marginal. En la sección 3.7 se explica su significado.) 46. Si un tanque cilíndrico contiene 100000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1h, entonces la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como 0 t 60 V t 100000 (1 1 60 t)2 Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantáneo de V respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t m 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una frase o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? 47. El costo de producir x onzas de oro a partir de una reciente mina de oro es C m f(x) dólares. a) ¿Cual es el significado de la derivada f(x)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Que significa establecer f(800) m 17? c) Qué piensa usted: ¿los valores de f(x) se incrementarán o disminuirán en corto plazo? ¿Y a largo plazo? Explique. 48. El número de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es n m f(t). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(5)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrientes para la bacteria. Qué cree usted: ¿Es mayor f(5) o f(10)? Si se limita el suministro de nutrientes, ¿afectaría su conclusión? Explique. 49. Sea T(t) la temperatura (en F) en Phoenix t horas después de la medianoche del 10 de septiembre de 2008. La tabla muestra los valores de esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T(8)? Estime su valor. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 82 75 74 75 84 90 93 94 50. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una compañía en un precio de p dólares por cada libra es Q m f(p). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(8)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿f(8) es positiva o negativa? Explique. 51. La cantidad de oxígeno que puede disolverse en agua depende de la temperatura de ésta. (De esa manera la polución térmica induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra
- 334. REDACCIÓN DE PROYECTO PRIMEROS MÉTODOS PARA ENCONTRAR TANGENTES 153 cómo varia la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T. a) ¿Cuál es el significado de la derivada S(T)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Estime e interprete el valor de S(16). (mg/L) 4 8 12 16 S 0 T (C) Adaptada de Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2a. ed.; por Charles E. Kupchella, © 1989. Reimpreso con autorizacion de Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, N.J. 8 16 24 32 40 52. La grafica muestra la influencia de la temperatura T en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón Coho. a) ¿Cuál es el significado de la derivada S(T)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Estime los valores de S(15) y S(25) e interprételos. 20 0 T (C) 10 S (cm/s) 20 53-54 Determine si f(0) existe en cada una de las siguientes fun- ciones. 53. f x x sen 1 x si x 0 0 si x 0 54. f x x2 sen 1 x si x 0 0 si x 0 REDACCIÓN DE PROYECTO PRIMEROS MÉTODOS PARA ENCONTRAR TANGENTES La primera persona en formular explícitamente las ideas de límites y derivadas fue Isaac Newton en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes”. Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para hallar rectas tangentes, y los métodos de ambos tuvieron que ver con la formulación final del cálculo a la que llegó Newton. Las siguientes referencias contienen explicaciones de estos métodos. Lea una o varias de estas referencias y escriba un informe en que compare los métodos de Fermat o de Barrow con los méto- dos modernos. En particular, aplique el método de la sección 2.7 para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y m x3 2x en el punto (1, 3) y muestre cómo habrían resuelto Fermat o Barrow el mismo problema. Aunque usted usó derivadas y ellos no, señale las semejanzas entre los dos métodos. 1. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History of Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989), pp. 389, 432. 2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), pp. 124, 132. 3. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders, 1990), pp. 391, 395. 4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford Uni- versity Press, 1972), pp. 344, 346.
- 335. 154 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En la sección anterior consideramos la derivada de una función f en un número fijo x m a: .f a lím h l 0 f a h f a h 1 Ahora cambiaremos el punto de vista y haremos que el número x m a varíe. Si en la ecua- ción 1 reemplaza a con una variable x, obtenemos f x lím h l 0 f x h f x h 2 Dado cualquier numero x para el cual este límite exista, asignamos a x el número f(x). De modo que consideramos a f como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Sabemos que el valor de f en x, f(x) puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)). La función f se conoce como derivada de f porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite en la ecuación 2. El dominio de f es el conjunto Hx U f(x) existeJ y puede ser menor que el dominio de f. v EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Utilícela para dibujar la gráfica de la derivada f. 2.8 La derivada como una función FIGURA 1 1 0 1 y=ƒ x y SOLUCIÓN Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto (x, f(x)) y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x m 5, trace la recta tangente en P de la figura 2a) y estime su pendiente alrededor de 3 2, por tanto, f(5) y 1.5. Esto nos permite situar el punto P(5, 1.5) en la gráfica de f directamente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos, se obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2b). Advierta que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí, y la gráfica de f cruza el eje x en los puntos A, B y C, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f (x) es positiva allí. Pero entre B y C las tangentes tienen pendiente negativa, de modo que f(x) allí es negativa.
- 336. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 155 v EJEMPLO 2 a) Si f(x) m x3 x, encuentre una fórmula para f(x). b) Ilústrela comparando las gráficas de f y f. SOLUCIÓN a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite. lím hl 0 3x2 3xh h2 1 3x2 1 lím hl 0 3x2 h 3xh2 h3 h h lím h l 0 x3 3x2 h 3xh2 h3 x h x3 x h f x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 x h 3 x h x3 x h FIGURA 2 m=0 m=0 m=0 Pª(5, 1.5) y B A mÅ C P a) x 1 1 0 5 y=ƒ y Aª Bª Cª b) x 1 1 0 5 y=fª(x) 3 2 TEC Visual 2.8 muestra una animación de la figura 2 para diferentes funciones.
- 337. 156 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS b) Use un dispositivo de graficación para trazar las graficas de f y f de la figura 3. Note que f(x) m 0 cuando f tiene tangentes horizontales y que f(x) es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. De modo que estas graficas sirven como comprobación de nuestra solución del inciso a). FIGURA 3 ? ? ? ? F F{ EJEMPLO 3 Si f x sx, encuentre la derivada de f. Establezca el dominio de f. SOLUCIÓN 1 sx sx 1 2sx lím hl0 1 sx h sx lím hl0 x h x h(sx h sx ) lím hl0 sx h sx h sx h sx sx h sx lím hl0 sx h sx h f x lím hl0 f x h f x h Observe que f(x) existe si x 0, de modo que el dominio de f es (0, @) y es menor que el dominio de f, F0, @). Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las graficas de f y f en la figura 4. Cuando x esta cerca de 0, sx está cerca de 0, por tanto, f x 1 (2sx ) es muy grande, y esto corresponde a rectas tangentes muy empinadas cerca de (0, 0) de la figura 4a), y a valores grandes de f(x) justo a la derecha de 0 en la figura 4b). Cuando x es grande, f(x) es muy pequeña, y esto corresponde a rectas tangentes más aplanadas en la extrema derecha de la gráfica de f y a la asíntota horizontal de la gráfica de f. EJEMPLO 4 Encuentre f si f x 1 x 2 x . SOLUCIÓN lím h l 0 3 2 x h 2 x 3 2 x 2 lím h l 0 3h h 2 x h 2 x lím h l 0 2 x 2h x2 xh 2 x h x2 xh h 2 x h 2 x lím h l 0 1 x h 2 x 1 x 2 x h h 2 x h 2 x lím h l 0 1 x h 2 x h 1 x 2 x h f x lím h l 0 f x h f x h a b c d e ad bc bd 1 e Aquí, racionalice el numerador FIGURA 4 a) …” X 1 2…” X b) F{X
- 338. x 1 y x 1 y
- 339. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 157 Otras notaciones Si usamos la notación tradicional y m f(x) para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, entonces algunas otras notaciones comunes para la derivada son: f x y dy dx df dx d dx f x Df x Dx f x Los símbolos D y dYdx se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo dyYdx, introducido por Leibniz, no debe considerarse como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de f(x). No obstante, es una notación útil y sugeren- te, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación 2.7.6, puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma dy dx lím x l0 y x Si desea indicar el valor de una derivada dyYdx en la notación de Leibniz en un número específico x m a, use la notación o bien dy dx x a dy dx x a que es un sinónimo para f(a). Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, en 1646, y estudio leyes, teología, filosofía y matemáticas en la universidad de allí. Obtuvo el grado de bachiller a los 17 años. Después de lograr su doctorado en leyes a la edad de 20, ingresó al servicio diplomático y pasó la mayor parte de su vida viajando por las capitales de Europa, en misiones diplomáticas. En particular, trabajó para conjurar una amenaza militar francesa contra Alemania e intentó reconciliar las Iglesias católica y protestante. Su estudio formal de las matemáticas no se inició sino hasta 1672, cuando se encontraba en una misión diplomática en París. Allí construyó una máquina para realizar cálculos y se encon- tró con científicos, como Huygens, quienes diri- gieron su atención hacia los desarrollos más recientes en las matemáticas y las ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar una lógica simbólica y un sistema de notación que simplificara el razonamiento lógico. En su versión del Cálculo, que publicó en 1684, estableció la notación y las reglas para hallar derivadas que aún se usan en la actualidad. Por desgracia, en la década de 1690 surgía una terrible disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibniz acerca de quién había inventado el Cálculo. Leibniz incluso fue acusado de plagio por los miembros de la Real Academia de Inglaterra. La verdad es que cada uno lo inventó por separado. Newton llegó primero a su versión del Cálculo; pero, debido a su temor a la controversia, no la publicó de inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz del Cálculo en 1684 fue el primero en publicarse. 3 Definición Una función f es derivable en x m a si f(a) existe. Es derivable sobre un intervalo abierto (a, b) Fo (a, @) o (@, a) o (@, @)G si es derivable en todo número del intervalo. v EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función f(x) m U x U? SOLUCIÓN Si x 0, entonces U x U m x y podemos elegir h lo suficientemente pequeño de modo que x h 0, de aquí que U x h U m x h. Por tanto, para x 0 tenemos lím hl 0 h h lím hl 0 1 1 f x lím hl 0 x h x h lím hl 0 x h x h y, por consiguiente, f es derivable para cualquier x 0. De manera análoga, para x
- 340. 0 se tiene que U x U m x y se puede elegir h lo suficientemente pequeña para que x h
- 341. 0 y, así, U x h U m (x h). Por tanto, para x
- 342. 0, lím hl 0 h h lím hl 0 1 1 f x lím hl 0 x h x h lím hl 0 x h x h así que f es derivable para cualquier x
- 343. 0.
- 344. 158 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para x m 0 debemos investigar lím h l 0 0 h 0 h si existe f 0 lím h l 0 f 0 h f 0 h . Calcule por separado los límites por la izquierda y por la derecha: y lím hl0 0 h 0 h lím hl0 h h lím hl0 h h lím hl0 1 1 lím h l0 0 h 0 h lím h l0 h h lím h l0 h h lím hl0 1 1 Puesto que estos límites son diferentes, f(0) no existe. Así, f es derivable en toda x, excepto en x m 0. La fórmula para f está dada por f x 1 1 si x 0 si x 0 y su gráfica aparece en la figura 5b). La inexistencia de f(0) se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y m U x U no tiene una recta tangente en (0, 0). [Véase la figura 5a).] Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función. El teorema siguiente muestra cómo se relacionan estas propiedades. 4 Teorema Si f es derivable en x m a, entonces f es continua en x m a. DEMOSTRACIÓN Para demostrar que f es continua en x m a, debemos demostrar que f x f a límx l a . Para esto empezamos por probar que la diferencia f (x) f (a) tien- de a 0. La información dada es que f es derivable en x m a; es decir, f a lím x l a f x f a x a existe (véase la ecuación 2.7.5). Para relacionar lo dado con lo desconocido, divida y multiplique f(x) f(a) por x a (lo cual es posible cuando x o a): f x f a f x f a x a x a De este modo, si usamos la ley del producto y la ecuación (2.7.5), podemos escribir f a 0 0 lím x l a f x f a x a lím x l a x a lím x l a f x f a lím x l a f x f a x a x a RP Un aspecto importante de la solución de problemas es intentar encontrar una conexión entre lo dado y lo desconocido. Consulte el paso 2 (Piense en un plan) en Principios para la resolución de problemas, en la página 75. x 1 y ? x y FIGURA 5 a) Y X b) YF{X
- 346. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 159 Para utilizar lo que acabamos de demostrar, comenzamos con f (x) y sumamos y res- tamos f (a): f a 0 f a lím x l a f a lím x l a f x f a lím x l a f x lím x l a f a f x f a En consecuencia, f es continua en x m a. R NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas, pero que no son derivables. Por ejemplo, la función f(x) m U x U es continua en x m 0 porque lím x l0 f x lím x l0 x 0 f 0 (Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero en el ejemplo 5 demostramos que f no es derivable en x m 0. ¿Cómo deja de ser derivable una función? En el ejemplo 5 vimos que la función y m U x U no es derivable en x m 0 y en la figura 5a) se muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x m 0. En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “picos”, la gráfica de f no tiene recta tan- gente en esos puntos y f no es derivable allí. [Al intentar calcular f(a), encontramos que los limites por la izquierda y por la derecha son diferentes.] El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que si f no es continua en a, entonces f no es derivable en x m a. Por ende, en cualquier discontinuidad (p. ej., una discontinuidad de salto), f no es derivable. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x m a; es decir, f es continua en x m a y lím x l a f x Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7c) ilustra otra. Las tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7. FIGURA 6 recta tangente vertical x y a 0 FIGURA 7 Tres maneras para que ƒ no sea derivable en x a a) Una esquina o pico c) Una tangente vertical b) Una discontinuidad x y a 0 x y a 0 x y a 0 Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabili- dad. Si f es derivable en x m a, entonces, con un acercamiento al punto (a, f(a)), la gráfica
- 347. 160 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS se alinea y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo específico es la figura 2 de la sección 2.7.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos como los de las figuras 6 y 7a): no puede eliminar el punto agudo o esquina. (Véase la figura 9.) FIGURA 8 ƒ es derivable en x a. FIGURA 9 ƒ no es derivable en x a. x y a 0 x y a 0 FIGURA 10 F “ F{ F ? ? Derivadas superiores Si f es una función derivable, entonces su derivada f también es una función, así que f puede tener una derivada de sí misma, señalada por (f) m f . Esta nueva función f se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, la segunda derivada de y m f(x) se escribe como d dx dy dx d2 y dx2 EJEMPLO 6 Si f(x) m x3 x, halle e interprete f (x). SOLUCIÓN En el ejemplo 2 encontramos que la primera derivada es f(x) m 3x2 1. Así que la segunda derivada es lím hl0 6x 3h 6x lím hl0 3x2 6xh 3h2 1 3x2 1 h lím hl0 3 x h 2 1 3x2 1 h f x f x lím hl0 f x h f x h Las gráficas de f, f y f se exhiben en la figura 10. Puede interpretarse f (x) como la pendiente de la curva y m f(x) en el punto (x, f(x)). En otras palabras, es la razón de cambio de la pendiente de la curva original y m f(x). Observe de la figura 10 que f (x) es negativa cuando y m f(x) tiene pendiente negativa y es positiva cuando y m f(x) tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven como una comprobación de sus cálculos. En general, puede interpretarse una segunda derivada como una razón de cambio de una razón de cambio. El ejemplo más conocido es la aceleración, que se define como sigue. TEC En Module 2.8 puede usted ver cómo cambian los coeficientes de un polinomio f y cómo afectan el aspecto de la gráfica de f, f y f .
- 348. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 161 Si s m s(t) es la función posición de un objeto que se desplaza en línea recta, su prime- ra derivada representa la velocidad v(t) del objeto como una función del tiempo: v t s t ds dt A la razón de cambio de la velocidad instantánea respecto al tiempo se le llama acelera- ción a(t) del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y, en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición: a t v t s t o en la notación de Leibniz a dv dt d2 s dt2 La tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada: f m (f ). De este modo, f (x) puede interpretarse como la pendiente de la curva y m f (x) o como la razón de cambio de f (x). Si y m f(x), entonces, las notaciones alternativas para la tercera deri- vada son y f x d dx d2 y dx2 d3 y dx3 El proceso puede continuar. La cuarta derivada f usualmente se denota mediante f(4) . En general, la n-ésima derivada de f se denota mediante f(n) y se obtiene derivando n veces a f. Si y m f(x), escribimos y n f n x dn y dxn EJEMPLO 7 Si f(x) m x3 x, halle f (x) y f(4) (x). SOLUCIÓN En el ejemplo 6 encontramos que f (x) m 6x. La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y m 6x y, de este modo, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada f (x) es la pendiente de f (x), se tiene f x 6 para todos los valores de x. Así, f es una función constante y su gráfica es una recta horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x, f 4 x 0 Puede interpretarse físicamente la tercera derivada en el caso donde la función es la función posición s m s(t) de un objeto que se desplaza a lo largo de una línea recta. Como s m (s) m a, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le denomina jerk (tirón): j da dt d3 s dt3 Así, el jerk, j, es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento repentino en un vehículo. Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f proporciona información acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 veremos cómo la segunda derivada y las derivadas superiores nos permiten representar funciones como sumas de series infinitas.
- 349. 162 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2.8 Ejercicios 1-2 Utilice la gráfica que se proporciona para estimar el valor de cada derivada. Luego dibuje f. 1. a) b) c) d) e) f) g) f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 y x 1 1 2. a) b) c) d) e) f) g) h) f 7 f 6 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 y 0 x 1 1 3. Relacione la gráfica de cada función dada en las figuras a)-d) con las gráficas de sus derivadas en las figuras I a IV. Dé las razones para sus selecciones. y 0 y 0 y 0 y 0 x x x x b) a) c) d) II I III IV y 0 y 0 y 0 x x y 0 x x 4-11 Trace o copie la gráfica de la función dada f. (Suponga que los ejes tienen escalas iguales.) Luego aplique el método del ejemplo 1 para trazar la gráfica de f debajo de ella. 4. 0 x y 5. x y 0 6. 0 x y 7. x y 0 8. 0 x y 9. 0 x y 10. x y 0 11. 0 x y 12. Se muestra la gráfica de la función población P(t) para células de levadura en un cultivo de laboratorio. Utilice el método (células de levadura) t (horas) P 0 5 10 15 500 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 350. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 163 del ejemplo 1 para dibujar la derivada P(t). ¿Qué indica la gráfica de P acerca de la población de levadura? 13. Una batería recargable se conecta con un cargador. La gráfica muestra C(t), el porcentaje de capacidad que la batería alcanza como una función del tiempo t transcurrido (en horas). a) ¿Cuál es el significado de la derivada C(t)? b) Trace la gráfica de C(t). ¿Qué le indica la gráfica? t (horas) 2 4 6 8 10 12 20 40 60 80 100 porcentaje de carga C 14. La gráfica (proporcionada por el Departamento de Energía de EU) muestra cómo afecta la rapidez de manejo el consumo de combustible. La economía F se mide en millas por galón, y la rapidez v se mide en millas por hora. a) ¿Cuál es el significado de la derivada F(v)? b) Trace la gráfica de la derivada de F(v). c) ¿A qué rapidez debería manejar si quiere ahorrar combustible? (mih) F (migal) 15. La gráfica ilustra cómo ha variado la edad promedio en que contraían matrimonio por primera vez los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo xx. Trace la gráfica de la función derivada M(t). ¿Durante cuáles años fue negativa la derivada? 1990 2000 25 M 1960 1970 1980 27 t 16-18 Trace una gráfica cuidadosa de f y debajo de ella la grafica de f de la misma manera que en los ejercicios 4-11. ¿Puede intuir una fórmula para f(x) a partir de su gráfica? 16. f(x) m sen x 17. f(x) m ex 18. f(x) m ln x 19. Sea f(x) m x2 . a) Estime los valores de , , , y f 2 f 1 f (1 2 ) f 0 usando un dispositivo graficador para hacer un acercamiento sobre la grafica de f. b) Utilice la simetría para deducir los valores de f 1 f ( 1 2 ) y f(2). c) Con los resultados de los incisos a) y b), proponga una fórmula para f(x). d) Aplique la definición de derivada para probar que su pro- puesta del inciso c) es correcta. 20. Sea f(x) m x3 . a) Estime los valores de , , , y f 3 f 2 f 1 f (1 2 ) f 0 usando un dispositivo graficador para hacer un acercamiento sobre la grafica de f. b) Aplique la simetría para deducir los valores de , , f 1 f ( 1 2 ) y f(2) y f(3). c) Utilice los valores de los incisos a) y b) para trazar la gráfica de f. d) Proponga una fórmula para f(x). e) Aplique la definición de derivada para probar que su propuesta del inciso d) es correcta. 21-31 Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada. Establezca los dominios de la función y de su derivada. . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 29. 30. 31. f x x4 f x x3 2 G t 1 2t 3 t f x x2 1 2x 3 t x s9 x t t 1 st f x x2 2x3 f x 1.5x2 x 3.7 f t 5t 9t2 f x mx b f x 1 2 x 1 3 32. a) Dibuje la gráfica de f x s6 x a partir de la gráfica y sx y aplicando las transformaciones de la sección 1.3. b) Use la gráfica del inciso a) para trazar la gráfica de f. c) Aplique la definición de derivada para hallar f(x). ¿Cuáles son los dominios de f y de f? d) Utilice un dispositivo graficador para trazar la grafica de f y compárela con su trazo del inciso b). 33. a) Si f(x) m x4 2x, encuentre f(x). b) Vea si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y de f. 34. a) Si f(x) m x 1Yx, encuentre f(x). b) Vea si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y de f.
- 351. 164 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 35. La tasa de desempleo U(t) varía con el tiempo. La tabla del Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadísticas de Empleo) proporciona el porcentaje de desempleados en la fuerza laboral de EU de 1999 a 2008. t t 1999 4.2 2004 5.5 2000 4.0 2005 5.1 2001 4.7 2006 4.6 2002 5.8 2007 4.6 2003 6.0 2008 5.8 U t U t a) ¿Cuál es el significado de U(t)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Elabore una tabla de valores estimados para U(t). 36. Sea P(t) el porcentaje de estadounidenses por debajo de 18 años de edad en el instante t. La tabla proporciona valores de esta función en los años en que se levantó un censo de 1950 a 2000. t t 1950 31.1 1980 28.0 1960 35.7 1990 25.7 1970 34.0 2000 25.7 P t P t a) ¿Cuál es el significado de P(t)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Elabore una tabla de valores para P(t). c) Dibuje P y P. d) ¿Cómo sería posible obtener valores más precisos para P(t)? 37-40 Se proporciona la gráfica de f. Establezca con argumentos, los números en los cuales f no es derivable. 37. _2 2 x y 0 38. 2 4 x y 0 39. _2 4 x y 0 40. _2 2 x y 0 41. Grafique la función . f x x s x Haga acercamientos sucesivos primero hacia el punto (1, 0) y luego en dirección al origen. ¿Qué diferencia existe en cuanto al comportamiento de f en las cercanías de estos dos puntos? ¿Qué conclusiones infiere acerca de la derivabilidad de f? 42. Haga un acercamiento hacia los puntos (1, 0), (0, 1) y (1, 0) sobre la gráfica de la función J(x) m (x2 1)2Y3 . ¿Que observa? Registre lo que observa en términos de la derivabilidad de J. 43. La figura muestra las graficas de f, f y f . Indique cada curva y explique el porqué de su elección. x y a b c 44. La figura muestra gráficas de f, f, f y f . Identifique cada curva y explique las razones de su elección. x y a b c d 45. La figura exhibe las gráficas de tres funciones. Una es la función posición de un automóvil, otra es la velocidad del mismo, y la de su aceleración. Identifique cada curva y explique las razones de su elección. t y a b c 0 46. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones relacionadas con el movimiento de un automóvil: la de posición, la de velocidad, la de aceleración y la del jerk. Identifique cada curva y explique los motivos de su elección. 0 t y a b c d
- 352. CAPÍTULO 2 REPASO 165 47-48 Utilice la definición de derivada para hallar f(x) y f (x). Después, grafique f, f y f en una misma pantalla y verifique para ver si sus respuestas son razonables. 47. 48. f x 3x2 2x 1 f x x3 3x 49. Si f(x) m 2x2 x3 , encuentre f(x), f(x) y f (x) y f(4) (x). Grafique f, f f y f en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpretación geométrica de estas derivadas? 50. a) Se muestra la gráfica de una función posición de un automóvil, donde s se mide en pies y t en segundos. Utilice la gráfica de la velocidad y la aceleración del automóvil. ¿Cuá1 es la aceleración en t m 10 segundos? 10 0 t s 100 20 b) Utilice la curva de aceleración del inciso a) para estimar el jerk en t m 10 segundos. ¿Cuáles son las unidades del jerk? 51. Sea . f x s 3 x a) Si a o 0, utilice la ecuación 2.7.5 para hallar f(a). b) Demuestre que f(0) no existe. c) Demuestre que y s 3 x tiene una recta tangente vertical en (0, 0). (Recuerde: la forma de la función de f. Véase la figura 13 de la sección 1.2.) 52. a) Si J(x) m x2Y3 , demuestre que J(0) no existe. b) Si a o 0, encuentre J(a). c) Demuestre que y m x2Y3 tiene una recta tangente vertical en (0, 0). d) Ilustre el inciso c) graficando y m x2Y3 . 53. ¿Demuestre que la función f(x) m Ux 6 U no es derivable en x m 6. Encuentre una fórmula para f y trace su gráfica. 54. ¿Dónde no es derivable la función entero mayor f(x) m Vx B? Encuentre una fórmula para f y trace su gráfica. 55. a) Dibuje la gráfica de la función f(x) m x U x U. b) ¿Para qué valores de x es f derivable? c) Encuentre una fórmula para f. 56. Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en x m a están definidas por f a lím hl0 f a h f a h y f a lím hl0 f a h f a h si estos límites existen. En tal caso, f(a) existe si y sólo si estas derivadas laterales existen y son iguales. a) Halle f (4) y f (4) para la función 1 5 x si x 4 f x 0 5 x si x 0 si 0 x 4 b) Dibuje la grafica de f c) ¿Dónde es discontinua f? d) ¿Dónde f no es derivable? 57. Recuerde que a una función f se le denomina par si f(x) m f(x) para toda x en su dominio, e impar si f(x) m f(x) para toda x. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados a) La derivada de una función par es una función impar. b) La derivada de una función impar es una función par. 58. Cuando abre el grifo del agua caliente, la temperatura T del agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo. a) Trace una posible gráfica de T como función del tiempo transcurrido desde que abrió el grifo. b) Describa cómo varía la razón de cambio de T respecto a t, conforme ésta aumenta. c) Dibuje la derivada de T. 59. Sea e la recta tangente a la parábola y m x2 en el punto (1, 1). El ángulo de inclinación de e es el ángulo que e forma con la dirección positiva del eje x. Calcule con una aproximación al grado más cercano. 2 Repaso Verificación de conceptos 1. Explique qué significa cada una de las siguientes afirmaciones e ilustre mediante un esbozo. ) b ) a ) d ) c e) lím xl f x L lím xla f x lím xla f x L lím xla f x L lím xla f x L 2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilustre con gráficas. 3. Enuncie las siguientes leyes de los límites. a) Ley de la suma b) Ley de la diferencia c) Ley del múltiplo constante d) Ley del producto e) Ley del cociente f) Ley de la potencia g) Ley de la raíz
- 353. 166 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4. ¿Qué establece el teorema de la compresión? 5. a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x m a es una asíntota vertical de la curva y m f(x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. b) ¿Qué significa decir que la recta y m L es una asíntota horizontal de la curva y m f(x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. 6. ¿Cuál de las curvas siguientes tiene asíntotas verticales? ¿Cuál tiene asíntotas horizontales? ) b ( ) a ( ) d ( ) c ( ) f ( ) e ( ) h ( ) g ( y sx y 1 x y ln x y ex y tan 1 x y tan x y sen x y x4 7. a) ¿Qué significa que f sea continua en x m a? b) ¿Qué significa que f sea continua sobre el intervalo (@, @)? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de tal función? 8. ¿Qué establece el teorema del valor intermedio? 9. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a la curva y m f(x) en el punto (a, f(a)). 10. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posición f(t) en el instante t. Escriba una expresión para la velocidad instantánea de un objeto en el instante t m a. ¿Cómo puede interpretar esta velocidad en términos de la grafica de f? 11. Si y m f(x) y x cambia de x1 a x2, escriba expresiones para lo siguiente. a) La razón promedio de cambio de y respecto a x a lo largo del intervalo Fx1, x2G. b) La razón de cambio instantáneo de y respecto a x en x m x1. 12. Defina la derivada f(a). Analice dos maneras de interpretar este número. 13. Defina la segunda derivada de f. Si f(t) es la función de posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la segunda derivada? 14. a) ¿Qué significa que f sea derivable en x m a? b) ¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función? c) Trace la gráfica de una función que sea continua, pero no derivable en a m 2. 15. Describa varias maneras en que una función puede no ser derivable. Ilustre con gráficas. Examen rápido Verdadero-Falso Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. 2. 3. 4. Si y , entonces no existe. 5. Si y , entonces no existe. 6. Si y no existen, entonces no existe. 7. Si existe, pero no existe, entonces no existe. 8. Si existe, entonces el límite debe ser 9. Si p es un polinomio, entonces 10. Si y , entonces . límxl0 f x t x 0 límxl0 f x límxl0 t x límxlb p x p b . f 6 t 6 . límxl6 f x t x límxla f x t x límxla t x límxla f x límxla f x t x límxla t x límxla f x límxl5 f x t x límxl5 t x 0 límx l5 f x 0 límxl5 f x t x límxl5 t x 0 límxl5 f x 2 lím xl1 x 3 x2 2x 4 lím xl1 x 3 lím xl1 x2 2x 4 lím xl1 x2 6x 7 x2 5x 6 lím xl1 x2 6x 7 lím xl1 x2 5x 6 lím xl4 2x x 4 8 x 4 lím xl4 2x x 4 lím xl4 8 x 4 11. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas. 12. Si f tiene dominio F0, @) y no tiene asíntota horizontal entonces o . límxl f x límxl f x 13. Si la recta x m 1 es una asíntota vertical de y m f(x), entonces f no está definida en 1. 14. Si f(1) 0 y f(3)
- 354. 0, entonces existe un número c entre 1 y 3 tal que f(c) m 0. 15. Si f es continua en 5 y f(5) m 2 y f(4) m 3, entonces límxl2 f 4x2 11 2. 16. Si f es continua en F1, 1G y f(1) m 4 y f(1) m 3, entonces existe un número r tal que U r U
- 355. 1 y f(r) m ). 17. Sea f una función tal que límx l 0 f x 6. Entonces existe un número tal que si 0
- 356. U x U
- 357. , entonces U f(x) 6 U
- 358. 1. 18. Si f(x) 1 para toda x y límx l 0 f x existe, entonces . límx l 0 f x 1 19. Si f es continua en x m a, entonces f es derivable en x m a. 20. Si f(r) existe, entonces límxlr f x f r . 21. d2 y dx2 dy dx 2 22. La ecuación x10 10x2 5 m 0 tiene una raíz en el intervalo (0, 2). 23. Si f es continua en x m a, también lo es U f U. 24. Si U f U es continua en x m a, también lo es U f U.
- 359. CAPÍTULO 2 REPASO 167 Ejercicios 1. Se da la gráfica de f. a) Encuentre cada uno de los siguientes límites o explique por qué no existen. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) lím xl f x lím xl f x lím xl2 f x lím xl0 f x lím xl4 f x lím xl 3 f x lím xl 3 f x lím xl2 f x b) Establezca las ecuaciones de las asíntotas horizontales. c) Establezca las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) ¿En qué números f es discontinua? Explique. 0 x y 1 1 2. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes , , , , , lím xl3 f x 2 lím xl3 f x lím xl 3 f x lím xl f x 0 lím xl f x 2 f es continua por la derecha en x m 3 3-20 Encuentre cada uno de los siguientes límites . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 lím xl ln sen x lím xl 1 2x2 x4 5 x 3x4 lím x l sx2 9 2x 6 lím xl sx2 9 2x 6 lím xl3 sx 6 x x3 3x2 lím ul1 u4 1 u3 5u2 6u lím v l 4 4 v 4 v lím rl9 sr r 9 4 lím tl2 t2 4 t3 8 lím hl0 h 1 3 1 h lím xl1 x2 9 x2 2x 3 lím xl 3 x2 9 x2 2x 3 lím xl3 x2 9 x2 2x 3 lím xl1 ex3 x . 8 1 . 7 1 19. 20. lím xl0 tan 1 1 x lím xl (sx2 4x 1 x) lím xl ex x2 lím xl1 1 x 1 1 x2 3x 2 21-22 Utilice las gráficas para evidenciar las asíntotas de la curva. Después, pruebe que realmente son evidencias. 21. 22. y sx2 x 1 sx2 x y cos2 x x2 23. Si 2x 1 f(x) x2 para 0
- 360. x
- 361. 3, encuentre límxl1 f x . 24. Demuestre que límxl0 x2 cos 1 x2 0. 25-28 Demuestre cada uno de los siguientes resultados, utilizando la definición precisa de límite. . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 lím xl 4 2 sx 4 lím xl2 x2 3x 2 lím x l 0 s 3 x 0 lím xl2 14 5x 4 29. Sea f x s x 3 x x 3 2 si x 0 si 0 x 3 si x 3 a) Evalúe cada límite, si éste existe i) ii) iii) iv) v) vi) lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl0 f x lím xl0 f x lím xl0 f x b) ¿Dónde es discontinua f? c) Trace la gráfica de f 30. Sea t x 2x x2 2 x x 4 si 0 x 2 si 2 x 3 si 3 x 4 si x 4 a) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si J es continua por la izquierda, por la derecha o continua en el número. b) Bosqueje la gráfica de J. Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 362. 168 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 31-32 Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua en su dominio. Establézcalo. 31. 32. h x xesen x t x sx2 9 x2 2 33-34 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado. 33. 34. , cossx ex 2 0, 1 1, 2 x5 x3 3x 5 0, 35. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y m 9 2x2 en el punto (2, 1). b) Determine la ecuación de esta tangente. 36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y 2 1 3x y los puntos de abscisas 0 y 1. 37. El desplazamiento en metros de un objeto que se mueve en línea recta está dado por s 1 2t 1 4t2 , donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio en los siguientes periodos de tiempo: i) ii) iii) iv) 1, 1.1 1, 1.5 1, 2 1, 3 b) Halle la velocidad instantánea cuando t m 1. 38. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para cierto gas, PV m 800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas. a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se incrementa de 200 a 250pulg3 . b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio instantáneo de V respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de ésta. 39. a) Utilice la definición de derivada para hallar f(2), donde f(x) m x3 2x. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m x3 2x en el punto (2, 4). c) Ilustre el inciso b) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 40. Encuentre una función f y un número x m a tales que lím hl0 2 h 6 64 h f a 41. El costo total de pagar un préstamo para estudiante a una tasa de interés de r% por año es C m f(r). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(r)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Que significa la afirmación f(10) m 1200? c) ¿f(r) siempre es positiva o cambia de signo? 42-44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego dibuje directamente debajo su derivada. 42. 0 x y 43. 0 x y 44. x y 45. a) Si , f x s3 5x utilice la definición de derivada para hallar f(x). b) Encuentre los dominios de f y f. c) Grafique f y f en una pantalla común. Compare las gráficas para ver si su respuesta al inciso a) es razonable. 46. a) Encuentre las asíntotas de la grafica de f x 4 x 3 x y utilícelas para dibujar la gráfica. b) Utilice la grafica del inciso a) para graficar f. c) Aplique la definición de derivada para hallar f(x). d) Utilice un dispositivo graficador para trazar la gráfica de f y compárela con su dibujo del inciso b). 47. Se muestra la grafica de f. Enuncie, con razones, los números x en que f no es derivable. x y 2 0 4 6 _1 48. La figura muestra la grafica de f, f y f . Identifique cada curva y explique su elección. x y a b c 0
- 363. CAPÍTULO 2 REPASO 169 49. Sea C(t) el valor total de certificados bancarios en circulación en el instante t. La tabla de valores de esta función de 1980 a 2000, en miles de millones de dólares. Estime e interprete el valor de C(1990). t 1980 1985 1990 1995 2000 129.9 187.3 271.9 409.3 568.6 C t 50. La tasa de fertilidad total, en el tiempo t, denotada con F(t), es una estimación del número promedio de niños nacidos de cada mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales permanezcan constantes). En la gráfica de la tasa de fertilidad total en EU, se muestran las fluctuaciones desde 1940 hasta 1990. a) Estime los valores de F(1950), F(1965) y F(1987). b) ¿Cuáles son los significados de estas derivadas? c) ¿Puede sugerir razones para los valores de estas derivadas? t y 1940 1960 1970 1980 1990 1950 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 y=F(t) explosión de la natalidad caída de la natalidad moderado de la natalidad 51. Suponga que f x t x donde . límx l a t x 0 Encuentre lím . x l a f x 52. Sea . f x x x a) ¿Para qué valores de a existe límx l a f x ? b) ¿En qué números es discontinua la función f ?
- 364. En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia para resolver problemas llamada Introduzca algo extra (véase la página 75). En el ejemplo siguiente se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La idea es cambiar la variable —introducir una nueva variable relacionada con la original— de tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, utilizará más esta idea general. EJEMPLO 1 Evalúe , lím x l0 s 3 1 cx 1 x donde c o 0 es una constante. SOLUCIÓN Según se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 evaluamos varios límites en los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Allí, la estrategia fue realizar cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una cancelación simplificadora, pero en este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita. Por tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuación t s 3 1 cx También necesitamos expresar x en términos de t, de modo que resuelva esta ecuación si c 0 x t3 1 c t3 1 cx Observe que x l 0 equivalente a t l 1. Esto permite convertir el límite dado en uno que involucra la variable t: lím t l1 c t 1 t3 1 lím x l 0 s 3 1 cx 1 x lím t l1 t 1 t3 1 c El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno más sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un diferencia de cubos, obtiene lím t l1 c t2 t 1 c 3 lím t l1 c t 1 t3 1 lím t l1 c t 1 t 1 t2 t 1 Mediante el cambio de variable tuvimos que excluir el caso en que c m 0: pero si c m 5, la función es 0 para toda x o 0, así, el límite es 0. En consecuencia, en todos los casos, el límite es cY3. Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar, de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna difi- cultad, quizá le sirva consultar en la página 75 el análisis de los principios para la resolución de problemas. 1. Evalúe . lím xl1 s 3 x 1 sx 1 2. Encuentre números a y b tales que lím xl0 sax b 2 x 1. Problemas adicionales Problemas 170
- 365. SECCIÓN 2.1 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 171 3. Evalúe lím xl0 2x 1 2x 1 x . 4. En la figura se muestra un punto P sobre la parábola y m x2 y el punto Q donde la bisectriz de OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. 5. Evalúe los siguientes límites, si éstos existen, donde VxB denota la función entero mayor. a) b) lím xl0 x 1 x lím xl0 x x 6. Dibuje la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes: a) b) c) d) x y 1 x y 2 1 x 2 y 2 3 x 2 y 2 1 7. Encuentre todos los valores de a tales que f sea continua en 2. f x x 1 x2 si x a si x a 8. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c) m c. (La función no mueve a c; éste permanece fijo.) a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio F0, 1G cuyo rango también se encuentre en F0, 1G. Localice un punto fijo de f. b) Intente graficar una función continua con dominio F0, 1G y rango en F0, 1G que no tenga un punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo? c) Utilice el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio F0, 1G y rango en F0, 1G debe tener un punto fijo. 9. Si . encuentre , y límx l a f x t x límxla f x t x 1 límxla f x t x 2 10. a) En la figura se muestra un triángulo isósceles ABC con B m C. La bisectriz del ángulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, pero que la altura U AM U del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M de BC. ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación, halle la ecuación de esta curva y úsela para dibujarla. 11. a) Si parte de 0 de latitud y avanza en dirección Oeste, puede denotar con T(x) la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. b) ¿E1 resultado del inciso a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier circunferencia sobre la superficie de la Tierra? c) ¿El resultado del inciso a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba del nivel del mar? 12. Si f es una función derivable y J(x) m xf(x), utilice la definición de derivada para demostrar que J(x) m xf(x) f(x). 13. Suponga que f es una función que satisface f x y f x f y x2 y xy2 para todos los números reales x y y. Suponga también que lím xl0 f x x 1 a) Encuentre f(0). b) Encuentre f(0). c) Encuentre f(x). 14. Suponga que f es una función con la propiedad de que U f(x)Uv x2 para toda x. Muestre que f(0) m 0. Enseguida, muestre que f(0) m 0. 171 FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 0 P Q y=≈ x y A C B M P FIGURA PARA EL PROBLEMA 10
- 367. Reglas de derivación 3 173 Hasta aquí hemos visto cómo interpretar las derivadas en términos de pendientes y razones de cambio, y hemos estudiado cómo estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores. También hemos aprendido la manera de graficar las derivadas de funciones que se definen gráficamente y utilizado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas mediante fórmulas. Pero sería tedioso si siempre tuviera que aplicar la definición, de modo que en este capítulo se desarrollan reglas para hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definición. Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad derivadas de funciones polinomiales, racionales, algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. A continuación usaremos estas reglas para resolver problemas en que intervienen razones de cambio y la aproximación de funciones. Para que un paseo en montaña rusa sea suave, los tramos rectos de la pista deben estar conectados a los segmentos curvos de manera que no se produzcan cambios bruscos de dirección. En el proyecto de la página 184, veremos la forma de diseñar el primer ascenso y caída de una nueva montaña rusa para lograr esta suavidad en el paseo. © Brett Mulcahy / Shutterstock
- 368. 174 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, potencia, polinomia- les y exponenciales. Empezamos por la más sencilla de todas las funciones: la función constante f(x) m c. La gráfica de esta función es la recta horizontal y m c, la cual tiene pendiente 0, de modo que debe tener f(x) m 0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la defi- nición de derivada, también es fácil: lím hl 0 0 0 f x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 c c h En la notación de Leibniz, esta regla se expresa como sigue. 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales FIGURA 1 /DJUiILFDGHƒ=cHVOD UHFWDy=cSRUWDQWRfª(x)=0 y c 0 x y=c SHQGLHQWH=0 Derivada de una función constante d dx c 0 Función potencia Enseguida, se consideran las funciones f(x) m xn , donde n es un entero positivo. Si n m 1, la gráfica de f(x) m x es la recta y m x, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura 2). De modo que d dx x 1 1 (También puede demostrar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya hemos investigado los casos n m 2 y n m 3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 19 y 20) encontramos que d dx x3 3x2 d dx x2 2x 2 Para n m 4, encontramos la derivada de f(x) m x4 como sigue: lím h l 0 4x3 6x2 h 4xh2 h3 4x3 lím h l 0 4x3 h 6x2 h2 4xh3 h4 h lím h l 0 x4 4x3 h 6x2 h2 4xh3 h4 x4 h f x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 x h 4 x4 h Así, 3 d dx x4 4x3 y 0 x y=x SHQGLHQWH=1 FIGURA 2 /DJUDILFDGHƒ=xHVODUHFWD y=xSRUWDQWRfª(x)=1
- 369. Si compara las ecuaciones 1 , 2 y 3 , se observa un patrón. Parece razonable presuponer que, cuando n es un entero positivo, (dYdx)(xn ) m nxn1 . Esto resulta cierto. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 175 Regla de la potencia Si n es un entero positivo, entonces d dx xn nxn 1 PRIMERA DEMOSTRACIÓN La fórmula xn an x a xn 1 xn 2 a xan 2 an 1 puede verificarse simplemente multiplicando el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una serie geométrica). Si f(x) m xn , podemos utilizar la ecuación 2.7.5 para f(a) y la ecuación anterior para escribir nan 1 an 1 an 2 a aan 2 an 1 lím x l a xn 1 xn 2 a xan 2 an 1 f a lím x l a f x f a x a lím x l a xn an x a SEGUNDA DEMOSTRACIÓN f x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 x h n xn h Al hallar la derivada de x4 , tuvimos que desarrollar (x h)4 . En este caso, necesitamos desarrollar (x h)n y, para hacerlo, utilizamos el teorema del binomio: nxn 1 lím h l 0 nxn 1 n n 1 2 xn 2 h nxhn 2 hn 1 lím h l 0 nxn 1 h n n 1 2 xn 2 h2 nxhn 1 hn h f x lím h l 0 xn nxn 1 h n n 1 2 xn 2 h2 nxhn 1 hn xn h porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por tanto, tien- den a 0. En el ejemplo 1 se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones. EJEMPLO 1 a) Si . c) Si d) Si b) Si y t4 dy dt 4t3 d dr r3 3r2 f x x6 f x 6x5 y x1000 y 1000x999 , entonces . , entonces . , entonces El teorema del binomio se da en la página de referencia 1.
- 370. 176 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ¿Qué puede decirse acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negati- vos? En el ejercicio 61 se pide al lector que verifique, a partir de la definición de derivada, que d dx 1 x 1 x2 Por lo que podemos escribir de nuevo esta ecuación como d dx x 1 1 x 2 y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n m 1. De hecho, en la sección siguiente [ejercicio 62c)] se demuestra que se cumple para todos los enteros nega- tivos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 encon- tramos que d dx sx 1 2sx lo cual puede escribirse como d dx x1 2 1 2 x 1 2 Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n 1 2. De hecho, en la sección 3.6 se demuestra que es verdadera para todos los números reales n. Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces d dx xn nxn 1 EJEMPLO 2 Derive: ) b ) a f x 1 x2 y s 3 x2 SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x. a) Dado que f(x) m x2 , utilizamos la regla de la potencia con n m 2: b) dy dx d dx (s 3 x2 ) d dx x2 3 2 3 x 2 3 1 2 3 x 1 3 f x d dx x 2 2x 2 1 2x 3 2 x3 La regla de la potencia permite hallar las rectas tangentes sin hacer uso de la definición de derivada. Además, permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En el estudio de la óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal a un lente.) v EJEMPLO 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y xsx en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas. En la figura 3 se muestra la función y el ejemplo 2b) y su derivada y. Advierta que y no es derivable en 0 (y no está definida allí). Observe que y es positiva cuando y crece, y negativa cuando y decrece. FIGURA 3
- 371. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 177 SOLUCIÓN La derivada de f x xsx xx1 2 x3 2 es f x 3 2 x 3 2 1 3 2 x1 2 3 2 sx De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f 1 3 2. Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente es y 1 3 2 x 1 o bien y 3 2 x 1 2 La recta normal es perpendicular a la recta tangente de tal manera que su pendiente es el recíproco negativo de 3 2, es decir, 2 3. En estos términos, una ecuación de la recta normal es y 1 2 3 x 1 o bien y 2 3 x 5 3 En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal. Nuevas derivadas a partir de anteriores Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustrac- ción o multiplicación por una constante, sus derivadas pueden calcularse en términos de la derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la formula siguiente se afirma que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplica- da por la derivada de la función. 3 _1 _1 3 WDQJHQWH QRUPDO FIGURA 4 y=xœx „ Regla del múltiplo constante Si c es una constante y f es una función derivable, entonces d dx cf x c d dx f x DEMOSTRACIÓN Sea J(x) m cf(x). Entonces (por la ley 3 de los límites) cf x c lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 c f x h f x h t x lím h l 0 t x h t x h lím h l 0 cf x h cf x h EJEMPLO 4 a) b) d dx x d dx 1 x 1 d dx x 1 1 1 d dx 3x4 3 d dx x4 3 4x3 12x3 La siguiente regla señala que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. x y 0 y=2ƒ y=ƒ INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE La multiplicación por c m 2 estira la gráfica verticalmente en un factor de 2. Todas las elevaciones se han duplicado, pero los avances permanecen iguales. Las pendientes también se duplican. Regla de la suma Si f y J son derivables, entonces d dx f x t x d dx f x d dx t x Si se utiliza la notación con apóstrofos, puede escribir la regla de la suma como (f J) m f J
- 372. 178 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN DEMOSTRACIÓN Sea F(x) m f(x) J(x). Entonces (por la ley 1) f x t x lím h l 0 f x h f x h lím h l 0 t x h t x h lím h l 0 f x h f x h t x h t x h lím h l 0 f x h t x h f x t x h F x lím h l 0 F x h F x h La regla de la suma puede extenderse a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema dos veces, se obtiene f t h f t h f t h f t h Al escribir f J como f (1)J y aplicando la regla de la suma y la del múltiplo constante, se obtiene la siguiente fórmula. Regla de la diferencia Si tanto f como J son derivables, entonces d dx f x t x d dx f x d dx t x Las reglas de múltiplo constante, la suma y la diferencia pueden combinarse con la regla de la potencia para derivar cualquier función polinomial, como se muestra en los ejemplos que siguen. EJEMPLO 5 8x7 60x4 16x3 30x2 6 8x7 12 5x4 4 4x3 10 3x2 6 1 0 d dx x8 12 d dx x5 4 d dx x4 10 d dx x3 6 d dx x d dx 5 d dx x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 v EJEMPLO 6 Encuentre los puntos sobre la curva y m x4 6x2 4 donde la recta tangente es horizontal. SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que, 4x3 12x 0 4x x2 3 dy dx d dx x4 6 d dx x2 d dx 4
- 373. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 179 Así, dyYdx m 0 si x m 0 o x2 3 m 0, es decir, x s3. Por tanto, la curva dada tiene rectas tangentes horizontales cuando s3 y s3. Los puntos correspondientes son (0, 4), y (s3, 5) ( s3, 5). (Véase la figura 5.) EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s m 2t3 5t2 3t 4, donde s se mide en centímetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son a t dv dt 12t 10 v t ds dt 6t2 10t 3 La aceleración después de 2s es a(2) m 14cmYs2 . Funciones exponenciales Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) m ax , aplicando la definición de derivada: lím hl 0 ax ah ax h lím hl 0 ax ah 1 h f x lím hl 0 f x h f x h lím hl 0 ax h ax h El factor ax no depende de h, de modo que puede llevarlo delante del límite: f x ax lím h l 0 ah 1 h Observe que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es, lím h l 0 ah 1 h f 0 En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f (x) m ax es derivable en 0, entonces es derivable para cualquier x; así que 4 f x f 0 ax En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la función misma. (La pendiente es proporcional a la altura.) En la tabla que aparece a la izquierda, se da una evidencia numérica de la existencia de f(0) en los casos a m 2 y a m 3. (Los valores tienen una aproximación correcta a cuatro posiciones decimales.) Parece que los límites existen y para a 3, f 0 lím h l 0 3h 1 h 1.10 para a 2, f 0 lím h l 0 2h 1 h 0.69 FIGURA 5 /DFXUYD y=x$-6x@+4VXV UHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV 0 x y (0, 4) {œ„ 3, _5} {_œ„ 3, _5} h 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 3h 1 h 2h 1 h
- 374. 180 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN De hecho, puede demostrarse que estos límites existen y que son correctos hasta seis cifras decimales, los valores son d dx 2x x 0 0.693147 d dx 3x x 0 1.098612 Por esto, de la ecuación 4 5 d dx 2x 0.69 2x d dx 3x 1.10 3x De todas las elecciones posibles para la base a de la ecuación 4, se tiene la formula más sencilla de derivación cuando f(0) m 1. En vista de las estimaciones de f(0) para a m 2 y a m 3, parece razonable que exista un número a entre 2 y 3 para el que f(0) m 1. Es costumbre denotar este valor con la letra e. (De hecho, así se presento e en la sección 1.5.) Apoyado en esto, se tiene la siguiente definición FIGURA 7 0 y 1 x SHQGLHQWH=1 SHQGLHQWH=e® y=e® {x, e®} 0 y 1 x y=2® y=e® y=3® FIGURA 6 Geométricamente, esto significa que, de todas las funciones exponenciales posibles y m ax , la función f(x) m ex es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene pendiente f(0) que es exactamente 1. (Véanse las figuras 6 y 7.) Definición del número e e es el número tal que lím h l 0 eh 1 h 1 En el ejercicio 1 verá que e se encuentra entre 2.7 y 2.8. Más adelante podremos demostrar que e con cinco dígitos (o posiciones) decimales es e ≈ 2.71828 Si hacemos a m e y, por tanto, f(0) m 1 en la ecuación 4, se convierte en la importan- te fórmula de derivación que se proporciona a continuación. De aquí se ve que la función exponencial f(x) m ex tiene la propiedad de que es su propia derivada. El significado geométrico de esto es que la pendiente de una recta tangen- te a la curva y m ex es igual a la coordenada y del punto (véase la figura 7). Derivada de la función exponencial natural d dx ex ex TEC Visual 3.1 utiliza el comportamiento de una pendiente para ilustrar esta fórmula.
- 375. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 181 v EJEMPLO 8 Si f(x) m ex x, encuentre f y f. Compare las gráficas de f y f. SOLUCIÓN Si se aplica la regla de la diferencia, se tiene f x d dx ex x d dx ex d dx x ex 1 En la sección 2.8 se define la segunda derivada como la derivada de f, así que f x d dx ex 1 d dx ex d dx 1 ex La función f y su derivada f se grafican en la figura 8. Observe que f tiene una recta tangente horizontal cuando x m 0; esto corresponde al hecho de que f(0) m 0. Asimismo, observe que para x 0, f(x) es positiva y f es creciente. Cuando x
- 376. 0, f(x) es negativa y f es decreciente. EJEMPLO 9 ¿En qué punto de la curva y m e x la recta tangente es paralela a la recta y m 2x? SOLUCIÓN Puesto que y m ex , tenemos y m ex . Sea a la coordenada x del punto en cuestión. Entonces, la pendiente de la recta tangente en ese punto es ea . Esta recta tangente será paralela a la recta y m 2x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualan las pendientes, se tiene a ln 2 ea 2 Por tanto, el punto requerido es (a, ea ) m (ln 2, 2). (Véase la figura 9.) FIGURA 8 3 _1 1.5 _1.5 f fª FIGURA 9 1 1 0 x 2 3 y y=´ y=2x (ln 2, 2) 3.1 Ejercicios 1. a) ¿Cómo se define el número e? b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites y lím hl0 2.8h 1 h lím hl0 2.7h 1 h correctos hasta dos dígitos decimales. ¿Qué puede concluir acerca del valor de e? 2. a) Dibuje a mano la función f(x) m ex , poniendo particular atención a la forma en que la gráfica cruza el eje y. ¿Qué hecho le permite hacer esto? b) ¿Qué tipos de funciones son f(x) m ex y J(x) m xe ? Compare las fórmulas de derivación para f y J. c) ¿Cuál de las dos funciones en el inciso b) crece más rápidamente cuando x es muy grande? 3-32 Derive cada una de las siguientes funciones. . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 f t 1.4t5 2.5t2 6.7 f x x3 4x 6 F x 3 4 x8 f t 2 2 3 t f x e5 f x 240 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 23. 24. . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 t x x2 1 2x h x x 2 2x 3 t t 2t 3 4 B y cy 6 y aev b v c v2 H x x x 1 3 k r er re j x x2.4 e2.4 t u s2 u s3u y x2 4x 3 sx y sx x x2 h u Au3 Bu2 Cu S R 4 R2 y 3ex 4 s 3 x y sx x 1 S p sp p h t s 4 t 4et R a 3a 1 2 y x5 3 x2 3 A s 12 s5 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 377. 182 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN . 0 3 . 9 2 31. 32. z A y10 Bey y ex 1 1 u s 5 t 4st5 v sx 1 s 3 x 2 33-34 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 33. , 34. , y s 4 x 1, 1 y x4 2x2 x 1, 2 35-36 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 35. , 36. , y x4 2ex 0, 2 y x2 x4 1, 0 37-38 Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto dado, a cada una de las siguientes curvas. Ilustre graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 37. , 38. , y 3x2 x3 1, 2 y x sx 1, 0 39-40 Encuentre f(x). Compare las gráficas de f y f y utilícelas para explicar por qué su respuesta es razonable. . 0 4 . 9 3 f x x4 2x3 x2 f x x5 2x3 x 1 41. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para graficar la función f(x) m x4 3x3 6x2 7x 30 y J(x) m xe en el rectángulo de vista [3, 5] por [10, 50]. b) Con la misma gráfica del inciso a) estime las pendientes y elabore un esbozo a mano de la gráfica de f. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) c) Calcule f(x) y utilice esta expresión para graficar f con una calculadora graficadora. Compare con su esbozo del inciso b). 42. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para graficar la función J(x) m ex 3x2 en el rectángulo de vista [1, 4] por [8, 8]. b) Utilizando la gráfica del inciso a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la grafica de J. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) c) Calcule J(x) y utilice esta expresión, con un dispositivo graficador, para dibujar J. Compare con su boceto del inciso b). 43-44 Encuentre la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones. 43. 44. f x 10x10 5x5 x G r sr s 3 r 45-46 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones. Verifique para ver si sus respuestas son razonables, comparando la gráficas de f, f y f . . 6 4 . 5 4 f x 2x 5x3 4 f x ex x3 47. La ecuación de movimiento de una partícula es s m t3 3t, donde s está en metros y t en segundos. Encuentre a) la velocidad y la aceleración como funciones de t, b) la aceleración después de 2s y c) la aceleración cuando la velocidad es cero. 48. La ecuación de movimiento de una partícula es s m t4 2t3 t2 t, donde s está en metros y t en segundos. a) Encuentre la velocidad y la aceleración como funciones de t. b) Encuentre la aceleración después de 1s. c) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración, en la misma pantalla. 49. La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P del gas es inversamente proporcional al volumen del gas. a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106m3 a 25 C es 50kPa. Exprese V como una función de P. b) Calcule dVYdP cuando P m 50kPa. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades? 50. Los neumáticos de automóvil deban ser inflados correctamente porque un alto inflado o un bajo inflado puede causar desgaste prematuro. Los datos de la tabla muestran la vida L (en miles de millas) para un determinado tipo de neumático a diversas presiones P (en lbYpulg2 ). P 26 28 31 35 38 42 45 L 50 66 78 81 74 70 59 a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar la vida del neumático con una función cuadrática de la presión. b) Utilice el modelo para estimar dLYdP cuando P m 30 y cuando P m 40. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuál es el significado de los signos de las derivadas? 51. Encuentre los puntos sobre la curva y m 2x3 3x2 12x 1 donde la recta tangente es horizontal. 52. ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x) m ex 2x tiene una recta tangente horizontal? 53. Demuestre que la curva y m 2ex 3x 5x3 no tiene una recta tangente cuya pendiente es 2. 54. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y xsx que es paralela a la recta y m 1 3x. 55. Encuentre las ecuaciones de ambas rectas tangentes a la curva y m 1 x3 y paralela a la recta 12x y m 1. 56. ¿En qué punto sobre la curva y m 1 2ex 3x es la recta tangente paralela a la recta 3x y m 5? Ilustre graficando la curva de ambas rectas. 57. Encuentre la ecuación de la recta normal a la parábola y m x2 5x 4 que es paralela a la recta x 3y m 5.
- 378. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 183 58. ¿Dónde la recta normal a la parábola y m x x2 en el punto (1, 0) interseca la parábola por segunda vez? Ilustre con un esbozo la gráfica. 59. Dibuje un diagrama que muestre que hay dos rectas tangentes a la parábola y m x2 que pasan por el punto (0, 4). Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersectan la parábola. 60. a) Encuentre ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 3) que son tangentes a la parábola y m x2 x. b) Demuestre que no hay una recta que pasa por el punto (2, 7) que es tangente a la parábola. A continuación, dibuje un diagrama para ver por qué. 61. Utilice la definición de derivada para demostrar que si f(x) m 1Yx, entonces f(x) m 1Yx2 . (Esto demuestra la regla de la potencia para el caso n m 1.) 62. Encuentre la n-ésima derivada de cada una de las siguientes funciones calculando algunas derivadas y observando el patrón de recurrencia. ) b ) a f x xn f x 1 x 63. Encuentre una polinomial P de segundo grado tal que P(2) m 5, P(2) m 3 y P(2) m 2. 64. La ecuación y y 2y m x2 es una ecuación diferencial porque involucra una función desconocida y y sus derivadas representadas por y y y. Encuentre constantes A, B y C tales que la función y m Ax2 Bx C satisface esta ecuación diferencial. (Las ecuaciones diferenciales serán estudiadas en detalle en el capítulo 9.) 65. Encuentre una ecuación cúbica y m ax3 bx2 cx d cuya gráfica tiene rectas tangentes horizontales en los puntos (2, 6) y (2, 0). 66. Encuentre una parábola con ecuación y m ax2 bx c que tiene pendiente 4 en x m 1, pendiente 8 en x m 1 y que pasa por el punto (2, 15). 67. Sea f x x2 1 x 1 si x 1 si x 1 ¿Es f derivable en x m 1? Trace las gráficas de f y f. 68. ¿En qué números es derivable la siguiente función J? t x 2x 2x x2 2 x si x 0 si 0 x 2 si x 2 Proporcione una fórmula para J y trace las gráficas de J y J. 69. a) ¿Para qué valores de x la función f(x) m U x2 9 U es derivable? Encuentre una fórmula para f. b) Esboce las gráficas de f y f. 70. ¿Dónde es derivable la función h(x) m U x 1 U U x 2 U? Proporcione la función para h y trace las gráficas de h y h. 71. Encuentre la parábola con ecuación y m ax2 bx cuya recta tangente en (1, 1) tiene por ecuación y m 3x 2. 72. Supongamos que la curva y m x4 ax3 bx2 cx d tiene una recta tangente cuando x m 0 con ecuación y m 2x 1 y una recta tangente cuando x m 1 con ecuación y m 2 3x. Encuentre los valores de a, b, c y d. 73. ¿Para qué valores de a y b la recta 2x y m b es tangente a la parábola y m ax2 cuando x m 2? 74. Encuentre el valor de c tal que la recta y 3 2 x 6 es tangente a la curva y csx 75. Sea f x x2 mx b si x 2 si x 2 Encuentre los valores de m y b que hacen que f sea derivable para toda x. 76. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy m c en un punto p. a) Demuestre que el punto medio del segmento de recta cortado de esta recta tangente por los ejes de coordenadas es P. b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y los ejes de coordenadas siempre tiene la misma área, no importa dónde se encuentre P sobre la hipérbola. 77. Evalúe lím xl1 x1000 1 x 1 . 78. Dibuje un diagrama que muestre dos rectas perpendiculares que se intersecan en el eje y y que son ambas tangentes a la parábola y m x2 . ¿Donde se intersecan estas rectas? 79. Si c 1 2, ¿cuántas rectas que pasan por el punto (0, c) son rectas normales a la parábola y m x2 ? ¿Qué pasa si c 1 2? 80. Trace las parábolas y m x2 y y m x2 2x 2. ¿Piensa que existe una recta que es tangente a ambas curvas? Si es así, encuentre su ecuación. Si no es así, ¿por qué no?
- 379. 184 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de ante- riores, por multiplicación o división. Regla del producto R Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría tener la tentación de suponer —como Leibniz lo hizo hace tres siglos— que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al considerar un ejemplo particular. Sea f(x) m x y J(x) m x2 . Por tanto, la regla de la poten- cia da f (x) m 1 y J(x) m 2x. Pero ( fJ)(x) m x3 , de modo que ( fJ)(x) m 3x2 . Así que, ( fJ) f J. La formula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo después de su falso inicio) y se llama regla del producto. 3.2 Reglas del producto y el cociente PROYECTO DE APLICACIÓN CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una nueva montaña rusa. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente de ascenso 0.8 y la de descenso 1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y m L1(x) y y m L2(x) mediante parte de una parábola y m f(x) m ax2 bx c, donde x y f(x) se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme, no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo que desea que los segmentos de recta L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la figura.) Para simplificar las ecuaciones, decide situar el origen en P. 1. a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b y c que aseguren que el trayecto sea suave en los puntos de transición. b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) para a, b y c para hallar una fórmula para f(x). c) Dibuje Ll, f y L2 para verificar gráficamente que las transiciones sean suaves. d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. 2. La solución del problema 1 puede parecer suave, pero es posible que no sienta lo suave debido a que la pieza definida como función [consistente en L1(x) para x
- 380. 0, f (x) para 0 v x v 100; y L2(x) para x 100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente, usted decide mejorar su diseño utilizando una función cuadrática q(x) m ax2 bx c única- mente en el intervalo 10 v x v 90 y conectarlo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: h x px3 qx2 rx s 90 x 100 t x kx3 lx2 mx n 0 x 10 a) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición. SAC b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) con un sistema algebraico computarizado para en- contrar las fórmulas para q(x), J(x) y h(x). c) Dibuje L1, J, q, h y L2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso c). © Flashon Studio / Shutterstock L™ L¡ P f Q Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere un sistema algebraico computarizado
- 381. SECCIÓN 3.2 REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 185 Antes de enunciar la regla del producto, vea como podría descubrirla. Empezamos suponiendo que u m f(x) y v m J(x) son funciones positivas derivables. Entonces puede interpretarse el producto uv como el área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad $x, entonces los cambios correspondientes en u y v son u f x x f x v t x x t x y el nuevo valor del producto, (u $u)(v $v), puede interpretarse como el área del rectángulo grande en la figura 1 (siempre que $u y $v sean positivos). El cambio en el área del rectángulo es la suma de las tres áreas sombreadas 1 uv u u v v uv u v v u u v Si dividimos entre $x, se obtiene uv x u v x v u x u v x Si ahora hacemos que $x l 0, obtenemos la derivada de uv: d dx uv u dv dx v du dx 2 u dv dx v du dx 0 dv dx u lím x l0 v x v lím x l0 u x lím x l0 u lím x l0 v x d dx uv lím x l0 uv x lím x l0 u v x v u x u v x (Observe que $u l 0 cuando $x l 0 puesto que f es derivable y, por tanto, continua.) Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra es válida si u, v, $u y $v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2, conocida como regla del producto, para todas las funciones derivables u y v. u Î√ Î√ √ u√ u Îu Î√ √ Îu Îu FIGURA 1 Geometría de la regla del producto Recuerde que en la notación de Leibniz la definición de derivada puede escribirse como dy dx lím xl0 y x En notación con apóstrofos: ft ft tf Regla del producto Si f y J son derivables, entonces d dx f x t x f x d dx t x t x d dx f x En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos fun- ciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
- 382. 186 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 1 a) Si f(x) m xex , encuentre f(x). b) Halle la n-ésima derivada, f(n) (x). SOLUCIÓN a) Por la regla del producto se tiene que f x d dx xex xex ex 1 x 1 ex x d dx ex ex d dx x b) Aplicando a regla del producto una segunda vez, se obtiene x 1 ex ex 1 x 2 ex x 1 d dx ex ex d dx x 1 f x d dx x 1 ex Las siguientes aplicaciones de la regla del producto dan f x x 3 ex f 4 x x 4 ex De hecho, cada derivada sucesiva agrega otro término ex , así que f n x x n ex EJEMPLO 2 Derive la función f t st a bt SOLUCIÓN 1 Utilizando la regla del producto, tenemos que bst a bt 2st a 3bt 2st st b a bt 1 2 t 1 2 f t st d dt a bt a bt d dt (st ) SOLUCIÓN 2 Si primero utilizamos las leyes de los exponentes para reescribir f(t), entonces podemos proceder directamente sin utilizar la regla del producto. f t 1 2at 1 2 3 2 bt1 2 f t ast btst at1 2 bt3 2 lo cual es equivalente a la respuesta dada en la solución 1. El ejemplo 2 muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funciones antes de derivar que utilizar directamente la regla del producto. En el ejemplo 1, sin embargo, la regla del producto es sólo un posible método. 3 _1 _3 1.5 f fª FIGURA 2 En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 1 y su derivada f. Advierta que f(x) es positiva cuando f es creciente y negativa cuando f es decreciente. En el ejemplo 2, a y b son constantes. Es habitual en matemáticas el uso de las primeras letras del alfabeto, para representar las constantes y las últimas para representar variables.
- 383. SECCIÓN 3.2 REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 187 EJEMPLO 3 Si , donde y , encuentre f 4 . t 4 3 t 4 2 f x sx t x SOLUCIÓN Aplicando la regla del producto, tenemos que Así que f 4 s4 t 4 t 4 2s4 2 3 2 2 2 6.5 sx t x t x 2sx sx t x t x 1 2 x 1 2 f x d dx [sx t x ] sx d dx t x t x d dx [sx ] Regla del cociente Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u m f (x) y v m J(x) en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del producto. Si x, u y v se incrementan por cantidades $x, $u y $v, entonces el cambio correspondien- te en el cociente uYv es por tanto, d dx u v lím x l0 u v x lím x l0 v u x u v x v v v v u u v v v v u v u u v v u v u u v u v v v v v Cuando $x l 0, también $v l 0, porque v m J(x) es derivable y, por consiguiente, con- tinua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene d dx u v v lím x l0 u x u lím x l0 v x v lím x l0 v v v du dx u dv dx v2 En notación con apóstrofos: f t tf ft t2 En palabras: en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. La regla del cociente y las otras formulas de derivación permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Regla del cociente Si f y J son derivables, entonces d dx f x t x t x d dx f x f x d dx t x t x 2
- 384. 188 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN v EJEMPLO 4 Sea y x2 x 2 x3 6 . Entonces x4 2x3 6x2 12x 6 x3 6 2 2x4 x3 12x 6 3x4 3x3 6x2 x3 6 2 x3 6 2x 1 x2 x 2 3x2 x3 6 2 y x3 6 d dx x2 x 2 x2 x 2 d dx x3 6 x3 6 2 v EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m ex Y(1 x2 ) en el punto (1, 1 2e). SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente ex 1 x 2 1 x2 2 dy dx 1 x2 d dx ex ex d dx 1 x2 1 x2 2 1 x2 ex ex 2x 1 x2 2 De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, 1 2e) es dy dx x 1 0 Esto significa que la recta tangente en (1, 1 2e) es horizontal, y su ecuación es y 1 2e. [Véase la figura 4. Advierta que la función es creciente y cruza su recta tangente en (1, 1 2e).] NOTA No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más fácil reescribir un cociente en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función F x 3x2 2sx x aplicando la regla del cociente, es más fácil dividir primero y escribir la función como F x 3x 2x 1 2 antes de derivar. A continuación se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el momento. 1.5 _1.5 _4 4 yª y FIGURA 3
- 385. FIGURA 4 Podemos utilizar un dispositivo de graficación para verificar que la respuesta al ejemplo 4 es verosímil. En la figura 3 se muestran las gráficas de la función del ejemplo 4 y su derivada. Note que cuando y crece con rapidez (cerca de 2), y es grande. Y cuando y crece con lentitud, y está cercana a 0.
- 386. SECCIÓN 3.2 REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 189 d dx c 0 d dx xn nxn 1 d dx ex ex f t tf ft t2 ft ft tf f t f t f t f t cf cf Tabla de fórmulas de derivación 3.2 Ejercicios 1. Encuentre la derivada de f (x) m (1 2x2 )(x x2 ) de dos maneras: aplicando la regla del producto y efectuando primero la multiplicación. ¿Sus respuestas son equivalentes? 2. Encuentre la derivada de la función F x x4 5x3 sx x2 en dos maneras diferentes: utilizando la regla del cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere? 3-26 Derive cada una de las siguientes funciones. . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 9. 10. 11. 12. . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 t t t st t1 3 f x A B Cex f x 1 xex x ex f t 2t 2 st z w3 2 w cew y v3 2vsv v y 1 s kes y ep (p psp ) y t t 1 2 y t2 2 t4 3t2 1 y x 1 x3 x 2 y x3 1 x2 f z 1 ez z ez F y 1 y2 3 y4 y 5y3 J v v3 2v v 4 v 2 H u (u su )(u su ) G x x2 2 2x 1 t x 1 2x 3 4x y ex 1 ex y x ex t x sx ex f x x3 2x ex 25. 26. f x ax b cx d f x x x c x 27-30 Halle f(x) y f(x) de cada una de las siguientes funciones. . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 f x x x2 1 f x x2 1 2x f x x5 2 ex f x x4 ex 31-32 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado. 31. , 32. , y x2 1 x2 x 1 1, e y ex x 1, 0 33-34 Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a cada una de las curvas dadas en el punto que se especifica. 33. , 34. , y 2x x2 1 1, 1 0, 0 y 2xex 35. a) La curva y m 1Y(1 x2 ) se llama bruja de María Agnesi. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto ( 1, 1 2 ). b) Ilustre el inciso a) trazando las gráficas de la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 36. a) La curva y m xY(1 x2 ) se llama serpentina. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 37. a) Si f(x) m (x3 x)ex , encuentre f(x). b) Compruebe que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f y f. 38. a) Si f(x) m ex Y(2x2 x 1), halle f(x). b) Compruebe que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y f. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 387. 190 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 39. a) Si f(x) m (x2 1)Y(x2 1), halle f(x) y f(x). b) Verifique si sus respuestas en el inciso a) son razonables al comparar las gráficas de f, f y f. 40. a) Si f(x) m (x2 1)ex , halle f(x) y f(x). b) Verifique para comprobar que sus respuestas en el inciso a) son admisibles al comparar las gráficas de f, f y f. 41. Si f(x) m x2 Y(1 x), halle f(1). 42. Si J(x) m xYex , halle J(n) (x). 43. Suponga que f(5) m 1, f(5) m 6, J(5) m 3 y J(5) m 2. Encuentre los valores siguientes a) (fJ)(5) b) (fYJ)(5) c) (JYf)(5) 44. Suponga que f(2) m 3, J(2) m 4, f(2) m 2 y J(2) m 7, encuentre h(2). ) b ) a ) d ) c h x t x 1 f x h x f x t x h x f x t x h x 5f x 4t x 45. Si f (x) m ex J(x), donde J(0) m 2 y J(0) m 5, halle f(0). 46. Si h(2) m 4 y h(2) m 3, encuentre d dx h x x x 2 47. Si g(x) m xf(x), donde f(3) m 4 y f(3) m 2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de J(x) en el punto donde x m 3. 48. Si f(2) m 10 y f(x) m x2 f(x) para toda x, encuentre f(2). 49. Si f y J son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sean u(x) m f(x)J(x) y v(x) m f(x)YJ(x). a) Encuentre u(1). b) Encuentre v(5). f g x y 0 1 1 50. Sea P(x) m F(x)G(x) y Q(x) m F(x)YG(x), donde F y G son las funciones cuyas gráficas se muestran a) Encuentre P(2). b) Encuentre Q(7). F G x y 0 1 1 51. Si J es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. a) b) c) y t x x y x t x y xt x 52. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. ) b ) a ) d ) c y 1 x f x sx y x2 f x y f x x2 y x2 f x 53. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva y m xY(x 1) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas tangentes? 54. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y x 1 x 1 que sean paralelas a la recta x 2y m 2. 55. Encuentre R(0), donde R x x 3x3 5x5 1 3x3 6x6 9x9 Sugerencia: en vez de encontrar primero R(x), sea f(x) el numerador y J(x) el denominador de R(x) y calcule R(0) de f(0), f(0), J(0) y J(0). 56. Utilice el método del ejercicio 55 para calcular Q(0), donde Q x 1 x x2 xex 1 x x2 xex 57. En este ejercicio, estime la proporción a la que se está creciendo el ingreso personal total en el área metropolitana de Richmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de 9 200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30 593 per cápita, y este promedio se incrementaba en cerca de $1400 al año (ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de $1225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para estimar la proporción en la que estaba aumentando el ingreso personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término en la regla del producto. 58. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. La cantidad q de esta tela (medida en yardas) que se vende es función del precio de venta p (en dólares por yarda), de modo que q m f(p). Entonces, el ingreso total que se percibe con el precio de venta p es R(p) m pf(p). a) ¿Qué significa afirmar que f(20) m 10000 y f(20) m 350? b) Suponiendo los valores del inciso a), encuentre R(20) e interprete su respuesta.
- 388. SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 191 Antes de iniciar esta sección, quizá necesite repasar las funciones trigonométricas. En particular, es importante que recuerde que cuando habla de la función f definida para todos los números reales x, mediante f(x) m sen x se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y cot se cumple con una convención similar. Recuerde de la sección 2.5 que todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios. Si traza la gráfica de la función f (x) m sen x y utiliza la interpretación de f (x) como la pendiente de la recta tangente a la curva seno para trazar la grafica de f (véase el ejer- cicio 14 de la sección 2.8), parece que la gráfica de esta última es la misma que la curva coseno (véase la figura 1). 59. a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que si f, J y h son derivables, entonces ( fJh) m fJh fJh fJh. b) Tomando f m J m h en el inciso a), demuestre que d dx f x 3 3 f x 2 f x c) Utilice el resultado del inciso b) para derivar y m e3x . 60. a) Si F(x) m f(x)J(x), donde f y J son derivables en todos los órdenes, demuestre que F m f J 2fJ fJ. b) Halle fórmulas similares para F y F(4) . c) Intente una fórmula para F(n) . 61. Halle expresiones para las primeras cinco derivadas de f(x) m x2 ex . ¿Observa algún patrón en estas expresiones? Intente una fórmula para f(n) (x) y demuéstrela por medio de inducción matemática. 62. a) Si J es derivable la regla del recíproco indica que d dx 1 t x t x t x 2 Utilice la regla del cociente para demostrar la regla del recíproco. b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del ejercicio 18. c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la potencia es válida para números enteros negativos; es decir, d dx x n nx n 1 para todos los números enteros positivos n. 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas En el apéndice D se da un repaso de las funciones trigonométricas. FIGURA 1 x 0 2π x 0 π 2 π π 2 π ƒ= y= sen x y y fª(x y= ) TEC Visual 3.3 muestra una animación de la figura 1.
- 389. 192 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Intente confirmar la conjetura de que si f(x) m sen x, entonces f(x) m cos x. A partir de la definición de derivada, tenemos lím h l 0 sen x lím h l 0 cos h 1 h lím h l 0 cos x lím h l 0 sen h h 1 lím h l 0 sen x cos h 1 h cos x sen h h lím h l 0 sen x cos h sen x h cos x sen h h lím h l 0 sen x cos h cos x sen h sen x h lím hl 0 sen x h sen x h f x lím hl 0 f x h f x h Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como constante al calcular un límite cuando h l 0, se tiene lím h l 0 cos x cos x y lím h l 0 sen x sen x El límite de (sen h)Yh no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el ejemplo 3 de la sección 2.2 se infiere que lím l 0 sen u 1 2 u u Ahora utilizaremos un argumento geométrico para demostrar la ecuación 2. Suponga pri- mero que . se encuentra entre 0 y )Y2. En la figura 2a) se muestra un sector de circun- ferencia con centro en 0, ángulo central . y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián, tenemos que arco AB m .. Asimismo, U BC U m U OB U sen . m sen .. Con base en el diagrama, se observa que de manera que En consecuencia sen u 1 sen u u BC AB arc AB u Suponga que las tangentes en A y B se intersecan en E. Puede verse, con base en la figura 2b), que la circunferencia es menor que la longitud del polígono circunscrito, de modo que arc AB
- 390. U AE U U EB U. Así, tan u AD OA tan u AE ED arc AB AE EB u (En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad . tan . a partir de la definición de la longitud de arco, sin recurrir a la intuición geométrica, como se hizo aquí.) Hemos utilizado la fórmula de adición para el seno. Véase el apéndice D. FIGURA 2 E
- 391. D
- 393. SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 193 Por tanto, tenemos que de modo que cos u sen u 1 sen u cos u u u Sabemos que y lím l 0 cos u 1 lím l 0 1 1 u u , así que, por el teorema de la com- presión lím l0 sen u 1 u Pero la función (sen .)Y. es una función par, de modo que sus límites por la derecha y por la izquierda deben ser iguales y, por tanto, lím l 0 sen u 1 u así que se ha demostrado la ecuación 2. Podemos deducir el valor del límite restante en 1 como sigue: (por la ecuación 2) 1 0 1 1 0 lím l0 sen u lím l0 sen u cos u 1 lím l0 sen2 cos u 1 lím l0 sen u sen u cos u 1 lím l0 cos u 1 lím l0 cos u 1 cos u 1 cos u 1 lím l0 cos2 1 cos u 1 u u u u u u u u u u u u u u u lím l 0 cos u 1 0 3 u u Si ahora ponemos los límites 2 y 3 en 1 , obtenemos sen x 0 cos x 1 cos x f x lím h l 0 sen x lím h l 0 cos h 1 h lím h l 0 cos x lím h l 0 sen h h Así que hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno: 4 d dx sen x cos x Multiplique el numerador y el denominador por cos . 1 para poner la función de manera que pueda usar los límites que conoce.
- 394. 194 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN v EJEMPLO 1 Derive y m x2 sen x. SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, tenemos x2 cos x 2x sen x dy dx x2 d dx sen x sen x d dx x2 Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, puede demostrarse (véase el ejercicio 20) que d dx cos x sen x 5 También puede derivar la función tangente utilizando la definición de derivada, pero es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5: d dx tan x sec2 x 6 1 cos2 x sec2 x cos2 x sen2 x cos2 x cos x cos x sen x sen x cos2 x cos x d dx sen x sen x d dx cos x cos2 x d dx tan x d dx sen x cos x También es fácil hallar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, aplicando la regla del cociente (véanse los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente aparecen todas las formulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son válidas sólo cuando x se mide en radianes. La figura 3 muestra las gráficas de la función del ejemplo 1 y su derivada. Advierta que y m 0 siempre que y tenga una recta tangente horizontal. 5 _5 _4 4 y yª FIGURA 3 Derivadas de las funciones trigonométricas d dx tan x sec2 x d dx cot x csc2 x d dx cos x sen x d dx sec x sec x tan x d dx csc x csc x cot x d dx sen x cos x Cuando memorice esta tabla, resulta útil notar que los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”; es decir, coseno, cosecante y cotangente.
- 395. SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 195 EJEMPLO 2 Derive f x sec x 1 tan x . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene una recta tangente horizontal? SOLUCIÓN Por la regla del cociente se tiene que sec x tan x 1 1 tan x 2 sec x tan x tan2 x sec2 x 1 tan x 2 1 tan x sec x tan x sec x sec2 x 1 tan x 2 f x 1 tan x d dx sec x sec x d dx 1 tan x 1 tan x 2 En la simplificación de la respuesta hemos utilizado la identidad tan2 x 1 m sec2 x. Ya que sec x nunca es 0, f (x) m 0 cuando tan x m 1, y esto sucede cuando x m n) )Y4, donde n es un entero (véase la figura 4). Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, ondas, movimientos elásticos y otras cantidades que varían de manera periódica, pueden describirse por medio de las funciones trigonomé- tricas. En el ejemplo siguiente se analiza un caso de movimiento armónico simple. v EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza hacia abajo 4cm mas allá de su posición en reposo, para estirar el resorte, y se deja en libertad en el instante t m 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es s f t 4 cos t Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el movimiento del objeto. SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son a dv dt d dt 4 sen t 4 d dt sen t 4 cos t v ds dt d dt 4 cos t 4 d dt cos t 4 sen t El objeto oscila desde el punto más bajo (s m 4cm) hasta el punto más alto (s m 4cm). El periodo de la oscilación es 2), el periodo de cos t. La rapidez es U v U m 4 U sen t U, la cual es máxima cuando U sen t U m 1; es decir, cuando cos t m 0. De modo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio (s m 0). Su rapidez es 0 cuando sen t m 0; esto es, en los puntos alto y bajo. La aceleración a m 4 cos t m 0 cuando s m 0. Alcanza la magnitud máxima en los puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6. 3 _3 _3 5 FIGURA 4 /DVUHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV GHOHMHPSOR s 0 4 FIGURA 5 FIGURA 6 t
- 396. 196 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 4 Hallar la vigésima séptima derivada de cos x. SOLUCIÓN Las primeras derivadas de f(x) m cos x son como sigue: f x cos x f x sen x f 5 x sen x f 4 x cos x f x sen x Observamos que las derivadas sucesivas ocurren en un ciclo de longitud 4 y, en particular, f(n) (x) m cos x cada vez que n es un múltiplo de 4. En consecuencia, f(24) m cos x y, derivando tres veces más, se tiene f(27) m sen x La principal aplicación del límite en la ecuación 2 ha sido comprobar la fórmula de derivación de la función seno. Pero este límite también se aplica en la búsqueda de otros límites trigonométricos, como en los dos ejemplos siguientes. EJEMPLO 5 Determine lím x l 0 sen 7x 4x . SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la ecuación 2, primero vuelva a escribir la función para multiplicarla por 7 y dividirla entre 7: sen 7x 4x 7 4 sen 7x 7x Si considera . m 7x, entonces . l 0, conforme x l 0, de este modo, mediante la ecuación 2 7 4 lím l0 sen u 7 4 1 7 4 lím x l0 sen 7x 4x 7 4 lím x l0 sen 7x 7x u u v EJEMPLO 6 Calcule lím x l 0 x cot x. SOLUCIÓN En este caso se divide tanto el numerador como el denominador entre x: (según la continuidad del coseno y la ecuación 2) 1 cos 0 1 lím x l 0 cos x sen x x lím x l 0 cos x lím x l 0 sen x x lím x l 0 x cot x lím x l 0 x cos x sen x RP Busque un patrón Observe que sen 7x 7 sen x
- 397. SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 197 3.3 Ejercicios 1-16 Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: . 2 . 1 . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 9. 10. . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 y x2 sen x tan x f x xex csc x y 1 sec x tan x y t sen t 1 t y cos x 1 sen x f sec u 1 sec u y sen u cos u y x 2 tan x f t cot t et y c cos t t2 sen t t e tan u y sec u tan u y 2 sec x csc x f x sen x 1 2 cot x f x sx sen x f x 3x2 2 cos x u u u 17. Demuestre que d dx csc x csc x cot x 18. Demuestre que d dx sec x sec x tan x 19. Demuestre que d dx cot x csc2 x. 20. Aplique la definición de derivada y demuestre que si f(x) m cos x, entonces f(x) m sen x. 21-24 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas, en el punto especificado. 21. 22. 23. , 24. , , 1 , y x tan x y cos x sen x 0, 1 y ex cos x, 3, 2 y sec x, 25. a) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y m 2x sen x en el punto ()Y2, )). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m 3x 6 cos x en el punto ()Y3, ) 3). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 27. a) Si f(x) m sec x x, encuentre f(x). b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso a) es razonable trazando las graficas de f y f para UxU
- 398. )Y2. 28. a) Si f(x) m ex cos x, obtenga f(x) y f (x). b) Verifique que su respuesta del inciso a) sea razonable graficando f, f y f . 29. Si H(.) m . sen ., halle H(.)y H(.). 30. Si f(t) m csc t, halle f ()Y6). 31. a) Utilice la regla del cociente para derivar la función f x tan x 1 sec x b) Simplifique la expresión para f(x) expresándola en términos de sen x y cos x, y enseguida halle f(x). c) Demuestre que sus respuestas a los incisos a) y b) son equivalentes. 32. Suponga f()Y3) m 4 y f()Y3) m 2 , y sea J(x) m f(x) sen x y h(x) m (cos x)Yf(x). Halle a) J()Y3) b) h()Y3) 33-34 ¿Para qué valores de x la gráfica de cada una de las siguientes funciones tiene una recta tangente horizontal? 33. 34. f x ex cos x f x x 2 senx 35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada, en un movimiento armónico simple. (Véase la figura.) Su ecuación de movimiento es x(t) m 8 sen t, donde t está en segundos y x en centímetros. a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. b) Encuentre la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante t m 2)Y3. ¿En qué dirección se desplaza en ese instante? x x 0 posición de equilibrio 36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente en un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento es s m 2 cos t 3 sen t, t 0, donde s se mide en centímetros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente hacia abajo.) a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración. c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por primera vez? d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa? e) ¿Cuándo es máxima la magnitud de la velocidad? 37. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea . el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x respecto a . cuando . m )Y3? Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 399. 198 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Suponga que se le pide derivar la función F x sx2 1 Las fórmulas de derivación que usted aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no le permiten calcular F(x). 38. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal, por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda sujeta al objeto. Si la cuerda forma un ángulo . con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es F mW m sen u cos u donde es una constante llamada coeficiente de fricción. a) Encuentre la razón de cambio de F respecto a .. b) ¿Cuándo es igual a 0 esta razón de cambio? c) Si W m 50lb y m 0.6, dibuje la gráfica de F como función de . y úsela para localizar el valor de . para el cual dFYd. m 0. ¿Resulta coherente el valor con su respuesta al inciso b)? 39-48 Determine cada uno de los siguientes límites. . 0 4 . 9 3 41. 42. . 4 4 . 3 4 45. 46. . 8 4 . 7 4 lím xl1 sen x 1 x2 x 2 lím x l 4 1 tan x sen x cos x lím xl0 sen x2 x lím l0 sen u tan u lím xl0 sen 3x sen 5x x2 lím xl0 sen 3x 5x3 4x lím l0 cos u 1 sen u lím tl0 tan 6t sen 2t lím xl0 sen 4x sen 6x lím xl0 sen 3x x u u u 49-50 Encuentre la derivada que se muestra, mediante la búsqueda de las primeras derivadas y observando el patrón que aparece. 49. 50. d 35 dx35 x sen x d 99 dx99 sen x 51. Encuentre constantes A y B tales que la función y m A sen x B cos x satisface la ecuación diferencial y y 2y m sen x. 52. a) Evalúe lím xl x sen 1 x . b) Evalúe lím xl0 x sen 1 x . c) Ilustre los incisos a) y b) graficando y m x sen(1Yx). 53. Derive cada una de las siguientes identidades trigonométricas para obtener una identidad nueva (o conocida) . ) b ) a c) sec x 1 cos x tan x sen x cos x senx cos x 1 cot x csc x 54. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo isósceles PQR para configurar una región en forma de cono para helados como el que se ilustra en la figura. Si A(.) es el área del semicírculo y B(.) es el área del triangulo, halle lím l 0 A B u u u P Q R B(¨) A(¨) ¨ FP FP 55. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos están subtendidos por un ángulo central .. Encuentre lím l 0 s d u d ¨ s 56. Sea f x x s1 cos 2x . a) Grafique f. ¿Qué tipo de discontinuidad parece tener en x m 0? b) Calcule los límites por la izquierda y por la derecha en x m 0. ¿Confirman estos valores su respuesta al inciso a)? 3.4 Regla de la cadena
- 400. SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 199 Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hacemos y f u su y u m J(x) m x2 1, entonces podemos escribir y m F(x) m f(J(x)); es decir, F m f J. Sabemos cómo derivar tanto f como J, de modo que sería útil contar con una regla que nos indi- que cómo hallar la derivada de F m f J en términos de las derivadas de f y J. Resulta que la derivada de la función compuesta f J es el producto de las derivadas de f y J. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se llama regla de la cadena. Esto parece verosímil si interpretamos las derivadas como razones de cam- bio. Consideremos duYdx como la razón de cambio de u respecto a x, dyYdu como la razón de cambio de y respecto a u, y dyYdx como la razón de cambio de y respecto a x. Si u cambia al doble de rapidez de x y y varía tres veces más rápido que u, entonces parece razonable que y se modifique seis veces más rápido que x, y, por tanto, esperamos que dy dx dy du du dx Véase la sección 1.3 para un repaso de funciones compuestas. Regla de la cadena Si J es derivable en x y f es derivable en J(x), entonces la función compuesta F m f J definida mediante F(x) m f(J(x)) es derivable en x, y F está dada por el producto F x f t x t x En la notación de Leibniz, si y m f(u) y u m J(x) son funciones derivables, entonces dy dx dy du du dx COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea $u el cambio en u correspondiente a un cambio de $x en x; es decir, u t x x t x Entonces el cambio correspondiente en y es y f u u f u Resulta tentador escribir dy du du dx lím u l 0 y u lím x l 0 u x lím x l 0 y u lím x l 0 u x lím x l 0 y u u x 1 dy dx lím xl 0 y x (Advierta que conforme porque es continua.) t x l 0 u l 0 James Gregory El primero en formular la regla de la cadena fue el matemático escocés James Gregory (1638-1675), quien también diseñó el primer telescopio práctico. Gregory descubrió las ideas básicas del Cálculo en la misma época que Newton. Se convirtió en el primer profesor de Matemáticas en la Universidad de St. Andrews y más tarde realizó la misma actividad en la Universidad de Edimburgo. Pero un año después de aceptar ese cargo, falleció a la edad de 36 años.
- 401. 200 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El único defecto de este razonamiento es que en 1 podría suceder que $u m 0 (aun cuan- do $x 0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, este razonamiento sugiere por lo menos que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da una demostración completa de la regla de la cadena. La regla de la cadena puede escribirse con apóstrofos f t x f t x t x 2 o bien, si y m f(u) y u m J(x), en la notación de Leibniz: dy dx dy du du dx 3 La ecuación 3 es fácil de recordar porque si dyYdu y duYdx fueran cocientes, entonces podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir duYdx realmente como un cociente. EJEMPLO 1 Encuentre F(x) si F x sx2 1. SOLUCIÓN 1 (Utilizando la ecuación 2): Al principio de esta sección, expresamos F como F(x) m ( f J)(x) m f (J(x)) donde f u su y J(x) m x2 1. Dado que y t x 2x f u 1 2 u 1 2 1 2su tenemos 1 2sx2 1 2x x sx2 1 F x f t x t x SOLUCIÓN 2 (Utilizando la ecuación 3): Si hacemos u m x2 1 y y su, entonces 1 2sx2 1 2x x sx2 1 F x dy du du dx 1 2su 2x Al utilizar la fórmula 3, debemos tener presente que dyYdx se refiere a la derivada de y cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y respecto a x), en tanto que dyYdu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la deriva- da de y respecto a u). Por tanto, en el ejemplo 1, y puede considerarse como función de (y sx2 1) x y también como una función de (y su ) u . Observe que mientras que dy du f u 1 2su dy dx F x x sx2 1 NOTA En la aplicación de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hacia el inte- rior. La fórmula 2 expresa que derivamos la función exterior f [en la función interior J(x)] y, a continuación, multiplicamos por la derivada de la función interior. función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior d dx f t x f t x t x
- 402. SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 201 v EJEMPLO 2 Derive a) y m sen(x2 ) y b) y m sen2 x. SOLUCIÓN a) Si y m sen(x2 ), entonces la función exterior es la función seno, y la interior es la función elevar al cuadrado, de modo que la regla de la cadena da función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior 2x cos x2 dy dx d dx sen x2 cos x2 2x b) Observe que sen2 x m (sen x)2 . En este caso, la función exterior es la de elevar al cuadrado, y la interior es la función seno. Por tanto, derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior función interior dy dx d dx sen x 2 2 sen x cos x La respuesta puede dejarse como 2 sen x cos x, o bien, escribirse como sen 2x (por una identidad trigonométrica conocida como fórmula del ángulo doble). En el ejemplo 2a), combinamos la regla de la cadena con la regla para derivar la función seno. En general, si y m sen u, donde u es una función derivable de x, entonces, por la regla de la cadena, dy dx dy du du dx cos u du dx Así que d dx sen u cos u du dx De modo semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas pueden combinarse con la regla de la cadena. Hagamos explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior f es una función potencia. Si y m FJ(x)Gn , entonces podemos escribir y m f(u) m un , donde u m J(x). Si aplicamos la regla de la cadena y, a continuación, la regla de la potencia, entonces dy dx dy du du dx nun 1 du dx n t x n 1 t x Véase la página de referencia 2 o el apéndice D. 4 Regla de la potencia combinada con la regla de la cadena Si n es cualquier número real y u m J(x) es derivable, entonces d dx un nun 1 du dx De modo alternativo, d dx t x n n t x n 1 t x Observe que la derivada en el ejemplo 1 pudimos calcularla tomando n 1 2 en la regla 4.
- 403. 202 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 3 Derive y m (x3 1)100 . SOLUCIÓN Si, en 4 , se toman u m J(x) m x3 1 y n m 100, tenemos que 100 x3 1 99 3x2 300x2 x3 1 99 dy dx d dx x3 1 100 100 x3 1 99 d dx x3 1 v EJEMPLO 4 Encuentre f(x) si f x 1 s 3 x2 x 1 . SOLUCIÓN En primer lugar, reescribimos f como: f(x) m (x2 x 1)1Y3 De este modo 1 3 x2 x 1 4 3 2x 1 f x 1 3 x2 x 1 4 3 d dx x2 x 1 EJEMPLO 5 Encuentre la derivada de la función t t t 2 2t 1 9 SOLUCIÓN Si se combinan la regla de la potencia, la regla de la cadena y la regla del cociente, obtenemos 9 t 2 2t 1 8 2t 1 1 2 t 2 2t 1 2 45 t 2 8 2t 1 10 t t 9 t 2 2t 1 8 d dt t 2 2t 1 EJEMPLO 6 Derive y m (2x 1)5 (x3 x 1)4 . SOLUCIÓN En este ejemplo debemos aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de la cadena: 4 2x 1 5 x3 x 1 3 3x2 1 5 x3 x 1 4 2x 1 4 2 x3 x 1 4 5 2x 1 4 d dx 2x 1 2x 1 5 4 x3 x 1 3 d dx x3 x 1 dy dx 2x 1 5 d dx x3 x 1 4 x3 x 1 4 d dx 2x 1 5 Observe que cada término tiene el factor común 2(2x 1)4 (x3 x 1)3 , así que podemos factorizarlo y escribir la respuesta como dy dx 2 2x 1 4 x3 x 1 3 17x3 6x2 9x 3 10 _10 _2 1 y yª FIGURA 1 En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones y y y del ejemplo 6. Observe que y es grande cuando y crece con rapidez, y y m 0 cuando y tiene una recta tangente horizontal. De modo que la respuesta parece ser razonable.
- 404. SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 203 EJEMPLO 7 Derive y m esen x . SOLUCIÓN En este caso la función interior es J(x) m sen x, y la exterior es la función exponencial f(x) m ex . Por tanto, por la regla de la cadena, dy dx d dx esen x esen x d dx sen x esen x cos x Podemos aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cual- quier base a 0. Recuerde, por lo visto en la sección 1.6, que a m eln a . De este modo, ax m (eln a )x m e(ln a)x y la regla de la cadena da e ln a x ln a ax ln a d dx ax d dx e ln a x e ln a x d dx ln a x porque ln a es una constante. En consecuencia, tenemos la fórmula d dx ax ax ln a 5 En particular, si a m 2, obtenemos d dx 2x 2x ln 2 6 En la sección 3.1, dimos la estimación d dx 2x 0.69 2x Esto resulta coherente con la fórmula exacta 6 porque ln 2 y 0.693147. La razón para el nombre “regla de la cadena” queda clara cuando se ve como analogía de agregar eslabones para alargar una cadena. Supongamos que y m f (u), u m J(x) y x m h(t), donde f, J y h son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y respecto a t, utilizamos dos veces la regla de la cadena: dy dt dy dx dx dt dy du du dx dx dt v EJEMPLO 8 Si f(x) m sen(cos(tan x)), entonces cos cos tan x sen tan x sec2 x cos cos tan x sen tan x d dx tan x f x cos cos tan x d dx cos tan x Observe que se ha aplicado dos veces la regla de la cadena. Más generalmente, la regla de la cadena da: d dx eu eu du dx No confunda la fórmula 5 (donde x es el exponente) con la regla de la potencia (donde x es la base): d dx xn nxn 1
- 405. 204 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 9 Derive y m esec 3. . SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función media es la función secante y la función interna es el triple de la función. De modo que 3esec 3u sec 3u tan 3u esec 3u sec 3u tan 3u d du 3u dy du esec 3u d du sec 3u Cómo demostrar la regla de la cadena Recuerde que si y m f(x) y x cambia de a a a $x, se define el incremento de y como $y m f(a $x) f(a) Según la definición de derivada, tenemos que lím x l 0 y x f a Por consiguiente, si denotamos por medio de el cociente de diferencias y la derivada, obtenemos lím x l 0 lím x l 0 y x f a f a f a 0 e pero y x f a ? y f a x x e e Si definimos como 0 cuando $x m 0, entonces se convierte en función continua de $x. De esta manera, para una función f derivable, podemos escribir 7 $y m fSaD $x $x donde l 0 cuando $x l 0 y es una función continua de $x. Esta propiedad de las funciones derivables es lo que permite demostrar la regla de la cadena. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que u m J(x) es derivable en x m a y y m f(u) es derivable en b m J(a). Si $x es un incremento en x, y $u y $y son los incre- mentos correspondientes en u y y, entonces podemos aplicar la ecuación 7 para escribir 8 $u m J(a) $x 1 $x m FJ(a) 1G $x donde 1 l 0 conforme $x l 0. De manera análoga, 9 $y m f(b) $u 2 $u m F f(b) 2G $u donde 2 l 0 conforme $u l 0. Si ahora sustituimos la expresión para $u de la ecuación 8 en la ecuación 9, obtenemos $y m F f(b) 2GFJ(a) 1G $x
- 406. SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 205 así que y x f b 2 t a 1 e e A medida que $x l 0, la ecuación 8 muestra que $u l 0. De modo que tanto 1 l 0 y 2 l 0 conforme $x l 0. Debido a eso f b t a f t a t a dy dx lím x l0 y x lím x l0 f b 2 t a 1 e e Esto demuestra la regla de la cadena. 3.4 Ejercicios 1-6 Escriba la función compuesta en la forma f(J(x)). [Identifique la función interior u m J(x) y la exterior y m f(u)]. Luego, encuentre la derivada dyYdx de cada una de las siguientes funciones. . 2 . 1 . 4 . 3 5. 6. y s2 ex y esx y sen cot x y tan x y 2x3 5 4 y s 3 1 4x 7-46 Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones. . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 17. 18. 19. 20. . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 29. 30. . 2 3 . 1 3 y sec2 m y sen tan 2x F t et sen 2t F v v v3 1 6 y eu e u eu e u y r sr2 1 f s s2 1 s2 4 G y y 1 4 y2 2y 5 y 5 1 x y 101 x 2 y s1 2e3x y x2 1 x2 1 3 F t 3t 1 4 2t 1 3 h t t 1 2 3 2t2 1 3 t x x2 1 3 x2 2 6 y e 2t cos 4t f x 2x 3 4 x2 x 1 5 y xe kx y a3 cos3 x y cos a3 x3 f t sen et esen t f z 1 z2 1 f x 1 1 sec x 2 F x s1 2x F x 4x x2 100 F x x4 3x2 2 5 u . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 37. 38. . 0 4 . 9 3 . 2 4 . 1 4 . 4 4 . 3 4 . 6 4 . 5 4 y x x sen2 x 3 4 y cosssen tan px y 23x2 t x 2rarx n p y sx sx sx f t sen2 esen2 t y sensensen x f t tan et etan t y ek tan sx y cot2 sen u y s1 xe 2x y cos 1 e2x 1 e2x y x2 e 1 x y 2sen px 47-50 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones: . 8 4 . 7 4 . 0 5 . 9 4 y ee x y e x sen bx y cos2 x y cos x2 51-54 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 51. , 52. , 53. 54. 0, 0 y sen x sen2 x, , 0 y sensen x, 2, 3 y s1 x3 0, 1 y 1 2x 10 55. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m 2Y(1 ex ) en el punto (0, 1). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 56. a) La curva y x s2 x2 se llama curva nariz de bala. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 57. a) Si f x xs2 x2 , encuentre f(x). b) Verifique que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f y f. Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 407. 206 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 58. La función f(x) m sen(x sen 2x), 0 v x v ), surge en aplicaciones a la sintonía de frecuencia modulada (FM). a) Utilice una gráfica de f producida por un dispositivo de graficación para trazar un boceto aproximado de la gráfica de f. b) Calcule f(x) y utilice esta expresión, junto con un dispositivo graficador, para graficar f. Compare con su boceto del inciso a). 59. Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de la función f(x) m 2 sen x sen2 x en los cuales la recta tangente es horizontal. 60. Determine las coordenadas x de todos los puntos de la curva y m sen 2x 2 sen x en los cuales la recta tangente es horizontal. 61. Si F(x) m f(J(x)), donde f(2) m 8, f(2) m 4, f(5) m 3, J(5) m 2, y J(5) m 6, halle F(5). 62. Si h x s4 3f x , donde f(1) m 7 y f(1) m 4, halle h(1). 63. Se da una tabla de valores de f, J, f y J x 1 3 2 4 6 2 1 8 5 7 3 7 2 7 9 t x f x t x f x a) Si h(x) m f(J(x)), encuentre h(1). b) Si H(x) m J( f(x)), halle H(1). 64. Sean f y J las funciones del ejercicio 63. a) Si F(x) m f( f(x)), encuentre F(2). b) Si G(x) m J(J(x)), encuentre G(3). 65. Sean f y J las funciones cuyas gráficas se muestran; sea u(x) m f(J(x)), v(x) m J( f(x)) y w(x) m J(J(x)). Encuentre, si existe, cada derivada. Si no existe, explique por qué. a) u(1) b) v(1) c) w(1) x y 0 f g 1 66. Si f es la función cuya gráfica se muestra, sea h(x) m f(f(x)) y J(x) m f(x2 ). Utilice la gráfica de f para estimar el valor de cada derivada. a) h(2) b) J(2) x y 0 1 y=ƒ 67. Si t x sf x , donde f es la gráfica que se muestra, evalúe J(3). x y 0 1 f 68. Suponga que f es derivable sobre 2 y es un número real. Sea F(x) m f(x ) y G(x) m F f(x)G . Encuentre expresiones para a) F(x) y b) G(x). 69. Suponga que f es derivable sobre 2. Sea F(x) m f (e x ) y G(x) m e f (x) . Encuentre expresiones para a) F(x) y b) G(x). 70. Sea J(x) m ecx f(x) y h(x) m ekx f(x), donde f(0) m 3, f(0) m 5, y f (0) m 2. a) Encuentre J(0)y J(0) en términos de c. b) En términos de k, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h en el punto donde x m 0. 71. Si r(x) m f(J(h(x))), donde h(1) m 2, J(2) m 3, h(1) m 4, J(2) m 5 y f(3) m 6, encuentre r(1). 72. Si J es una función dos veces derivable y f(x) m xJ(x2 ), halle f en términos de J, J y J. 73. Si F(x) m f(3f(4f(x))), donde f(0) m 0 y f(0) m 2, encuentre F(0). 74. Si F(x) m f(xf(xf(x))), donde f(1) m 2, f(2) m 3, f(1) m 4, f(2) m 5 y f(3) m 6, halle F(1). 75. Demuestre que la función y m e2x (A cos 3x B sen 3x) satisface la ecuación diferencial y 4y 13y m 0. 76. ¿Para qué valores de r la función y m erx satisface la ecuación diferencial y 4y y m 0? 77. Encuentre la 50a. derivada de y m cos 2x. 78. Encuentre la 1000a. derivada de f(x) m xex . 79. El desplazamiento de una partícula sobre una cuerda vibrante está dada por la ecuación s t 10 1 4 sen 10 t , donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula después de t segundos. 80. Si la ecuación del movimiento de una partícula está dada por s m A cos(/t ), se dice que la partícula describe un movimiento armónico simple. a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t. b) ¿Cuándo es 0 la velocidad? 81. Cefeida, una estrella variable, tiene una brillantez que aumenta y disminuye de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0, y cambia en 0.35. En vista de estos datos, la brillantez de Delta
- 408. SECCIÓN 3.4 REGLA DE LA CADENA 207 Cephei en el tiempo t, medido en días, se ha modelado mediante la función B t 4.0 0.35 sen 2 t 5.4 a) Halle la razón de cambio de la brillantez después de t días. b) Encuentre, con una aproximación de dos cifras decimales, la razón de aumento después de un día. 82. En el ejemplo 4 de la sección 1.3, obtuvimos un modelo para la duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo día del año L t 12 2.8 sen 2 365 t 80 Utilice este modelo para comparar cómo aumentan las horas de luz diurna en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo. 83. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es s(t) m 2e1.5t sen 2)t donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad después que transcurren t segundos y grafique las funciones de posición y de velocidad para 0 v t v 2. 84. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación p t 1 1 ae k t donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. [En la sección 9.4 veremos que ésta es una ecuación razonable para p(t).] a) Encuentre límt l @ p(t). b) Halle la rapidez de esparcimiento del rumor. c) Grafique p para el caso en que a m 10, k m 0.5, con t medido en horas. Utilice la gráfica para estimar cuánto tiempo transcurrirá para que 80% de la población escuche el rumor. 85. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con desplazamiento s(t), velocidad v(t) y aceleración a(t). Demuestre que a t v t dv ds Explique la diferencia entre los significados de las derivadas dvYdt y dvYds. 86. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima. En cualquier tiempo t, el volumen del globo es V(t), y su radio es r(t). a) ¿Qué representan las derivadas dVYdr y dVYdt? b) Exprese dVYdt en términos de drYdt. 87. El flash (unidad de destello) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación repentina cuando se activa el obturador. Los datos siguientes describen la carga que queda en el capacitor (en microcoulombs, C) en el instante t (en segundos). t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 a) Halle, usando una calculadora graficadora o una computadora, un modelo exponencial para la carga. b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (en microamperes, A) que fluye del capacitor hacia el bulbo de la lámpara de destello. Con el resultado del inciso a), estime la corriente cuando t m 0.04s. Compare la respuesta con el resultado del ejemplo 2 de la sección 2.1. 88. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790 hasta 1860. Año Año Población Población 1790 12861000 1830 3929000 1800 17063000 1840 5308000 23192000 1850 7240000 1810 31443000 1860 9639000 1820 a) Use una calculadora graficadora o una computadora para ubicar los datos con una función exponencial. Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bien ajustan? b) Estime las tasas de crecimiento de la población en 1800 y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes. c) Use el modelo exponencial del inciso a) para estimar las tasas de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estimaciones con las del inciso b). d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población en 1870. Compare con la población real de 38558000. ¿Puede explicar la discrepancia? SAC 89. Los sistemas algebraicos computarizados (SAC) tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta quizá no convenga; en consecuencia, pueden ser necesarios otros comandos para simplificarla. a) Use un SAC para hallar la derivada del ejemplo 5 y compárela con la respuesta en ese ejemplo. Después, use el comando de simplificación y vuelva a comparar. b) Utilice un SAC para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la respuesta sería la mejor para localizar las rectas tangentes horizontales? SAC 90. a) Use un SAC para derivar la función f x x4 x 1 x4 x 1 y simplificar el resultado. b) ¿En dónde tiene la gráfica de f rectas tangentes horizontales? c) Trace las gráficas de f y f en la misma pantalla. ¿Son coherentes las gráficas con su respuesta al inciso b)?
- 409. 208 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 91. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente. a) La derivada de una función par es una función impar. b) La derivada de una función impar es una función par. 92. Utilice la regla de la cadena y la regla del producto para obtener una demostración alternativa de la regla del cociente. [Sugerencia: escriba f(x)YJ(x) m f(x)FJ(x)G1 .] 93. a) Si n es un entero positivo, demuestre que d dx senn x cos nx n senn1 x cosn 1x b) Plantee una fórmula para la derivada de y m cosn x cos nx que es similar a la del inciso a). 94. Suponga que y m f(x) es una curva que siempre queda arriba del eje x y nunca tiene una recta tangente horizontal, donde f es derivable para toda x. ¿Para qué valor de y la razón de cambio de y5 respecto a x es 80 veces la razón de cambio de y respecto a x? 95. Use la regla de la cadena para demostrar que si . se mide en grados, entonces d du sen u 180 cos u p (Esto da un argumento para justificar la convención de que siempre se use el radián cuando se manejen funciones trigonométricas en Cálculo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usara el grado como medida.) 96. a) Escriba x sx2 y utilice la regla de la cadena para demostrar que d dx x x x b) Si f(x) m U sen x U, encuentre f(x) y trace las gráficas de f y f. ¿En dónde f no es derivable? c) Si J(x) m sen U x U, halle J(x) y dibuje las gráficas de J y J. ¿En dónde J no es derivable? 97. Si y m f(u) y u m J(x), donde f y J son funciones dos veces derivables, demuestre que d2 y dx2 d2 y du2 du dx 2 dy du d2 u dx2 98. Si y m f(u) y u m J(x), donde f y J tienen tercera derivada, obtenga una fórmula para d3 yYdx3 parecida a la que se proporciona en el ejercicio 97. PROYECTO DE APLICACIÓN ¿DÓNDE DEBERÍA UN PILOTO INICIAR EL ATERRIZAJE? En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión, que satisface las condiciones siguientes: i) La altura de crucero es h cuando se inicia el descenso a una distancia
- 410. del punto de contacto con la pista en el origen. ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo lo largo del descenso. iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mucho menor que la aceleración debida a la gravedad). 1. Encuentre un polinomio cúbico P(x) m ax3 bx2 cx d que satisfaga la condición i), imponiendo condiciones adecuadas sobre P(x) y P(x) en el inicio del descenso y el contacto con la pista. 2. Use las condiciones ii) y iii) para demostrar que 6hv2 2 k 3. Suponga que una aerolínea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un avión sea mayor que k m 860miYh2 . Si la altitud de crucero de un avión es de 35000 pies y la rapidez de 300miYh, ¿a qué distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso? 4. Trace la grafica de la trayectoria de aproximación si se satisfacen las condiciones que se enuncian en el problema 3. y x 0 y=P(x) h Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 411. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 209 La mayor parte de las funciones que hemos visto hasta ahora pueden describirse expresan- do una variable explícitamente en términos de otra variable; por ejemplo, y sx3 1 o bien y m x sen x o, en general, y m f(x). Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x y y como 1 x2 y2 m 25 o bien 2 x3 y3 m 6xy En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si resolvemos la ecuación 1 para y, obtenemos y s25 x2 , de modo que dos de las funciones determinadas por la ecuación implí- cita 1 son f x s25 x2 y t x s25 x2 . Las gráficas de f y J son las semicir- cunferencias superior e inferior de la circunferencia x2 y2 m 25. (Véase la figura 1.) FIGURA 1 0 x y 0 x y 0 x y F
- 412. ©=_œ„„„„„„ 25-≈ E
- 413. ƒ=œ„„„„„„ 25-≈ D
- 414. ≈+¥=25 x y 0 ˛+Á=6xy FIGURA 2 Folium de Descartes x y 0 FIGURA 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folium de Descartes x y 0 x y 0 No es fácil resolver explícitamente la ecuación 2 para y como función x. (Con un siste- ma algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que se obtienen son muy complicadas). Sin embargo, 2 es la ecuación de una curva llamada folium de Descartes, ilustrada en la figura 2 y, que de manera implícita define a y como varias fun- ciones de x. En la figura 3 se muestran las gráficas de esas tres funciones. Cuando se dice que f es una función definida implícitamente por la ecuación 2, se da a entender que la ecuación x3 F f(x)G3 m 6xf(x) es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f. 3.5 Derivación implícita
- 415. 210 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x a fin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, aplicaremos el método de derivación implícita. Este método consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a x y después resolver la ecuación resultante para y. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación dada determina y implícitamente como una función derivable de x, de modo que puede aplicarse el método de derivación implícita. v EJEMPLO 1 a) Si x2 y2 m 25, encuentre dy dx . b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 y2 m 25, en el punto (3, 4). SOLUCIÓN 1 a) Derive ambos miembros de la ecuación x2 y2 m 25: d dx x2 d dx y2 0 d dx x2 y2 d dx 25 Recuerde que y es una función de x, así que hay que utilizar la regla de la cadena para obtener d dx y2 d dy y2 dy dx 2y dy dx Por tanto, 2x 2y dy dx 0 Ahora resolvemos esta ecuación para dyYdx: dy dx x y b) En el punto (3, 4) se tiene que x m 3 y y m 4, de modo que dy dx 3 4 Por tanto, la ecuación de la tangente a la circunferencia, en (3, 4), es y 4 3 4 x 3 o bien 3x 4y m 25 SOLUCIÓN 2 b) Al resolver x2 y2 m 25, obtenemos y s25 x2 . El punto (3, 4) se encuentra en la semicircunferencia superior y s25 x2 y, por consiguiente, considere la función f x s25 x2 . Al aplicar la regla de la cadena a la función f, se tiene 1 2 25 x2 1 2 2x x s25 x2 f x 1 2 25 x2 1 2 d dx 25 x2
- 416. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 211 De modo que f 3 3 s25 32 3 4 y, como en la solución 1, la ecuación de la recta tangente es 3x 4y m 25. NOTA 1 La expresión dyYdx m xYy en la solución 1 da la derivada en términos tanto de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para y f x s25 x2 tenemos dy dx x y x s25 x2 en tanto que para y t x s25 x2 tenemos dy dx x y x s25 x2 x s25 x2 v EJEMPLO 2 a) Encuentre y si x3 y3 m 6xy. b) Halle la recta tangente al folium de Descartes x3 y3 m 6xy, en el punto (3, 3). c) ¿En cuál punto en el primer cuadrante es horizontal la recta tangente? SOLUCIÓN a) Si se derivan ambos miembros de x3 y3 m 6xy respecto a x, considerando a y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y3 , y la regla del producto en el término 6xy, obtenemos o bien Ahora resolvemos para : y 2y x2 y2 2x y2 2x y 2y x2 y2 y 2xy 2y x2 y x2 y2 y 2xy 2y 3x2 3y2 y 6xy 6y b) Cuando x m y m 3, y 2 3 32 32 2 3 1 un vistazo a la figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). De este modo, la ecuación de la recta tangente al folium en (3, 3) es y 3 m 1(x 3) o bien x y m 6 c) La recta tangente es horizontal si y m 0. Si utilizamos la expresión para y del inciso a), vemos que y m 0 cuando 2y x2 m 0 (siempre que y2 2x o 0). Al sustituir y 1 2 x2 en la ecuación de la curva, obtenemos x3 (1 2 x2 )3 6x(1 2 x2 ) lo cual se simplifica para quedar x6 m 16x3 . Ya que x o 0 en el primer cuadrante, tenemos x3 m 16. Si x m 161Y3 m 24Y3 , entonces y 1 2 28 3 25 3 . Por tanto, la recta tangente es horizontal en (24Y3 , 25Y3 ) lo cual es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estudiar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable. En el ejemplo 1 se ilustra que aun cuando es posible resolver una ecuación explícita para y en términos de x puede ser más fácil aplicar la derivación implícita. FIGURA 4 0 y x (3, 3) 4 0 4 FIGURA 5
- 417. 212 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN NOTA 2 Existe una fórmula para obtener las tres raíces de una ecuación cúbica, que es semejante a la fórmula cuadrática, pero mucho más complicada. Si utilizamos esta fórmula (o un sistema algebraico computarizado) para resolver la ecuación x3 y3 m 6xy para y en términos de x, obtenemos tres funciones determinadas por la ecuación: y y 1 2 [ f x s 3(s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 )] y f x s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 (Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo en casos como éste. Más aún, la derivación implícita funciona con igual facilidad para funcio- nes como y5 3x2 y2 5x4 m 12 en las cuales es imposible resolver para y en términos de x. EJEMPLO 3 Encuentre y si sen(x y) m y2 cos x. SOLUCIÓN Si derivamos implícitamente respecto a x y consideramos que y es una función de x, obtenemos cos x y 1 y y2 sen x cos x 2yy (Note que en el lado izquierdo hemos aplicado la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cadena y la regla del producto). Si agrupamos los términos que contienen a y, obtenemos Por lo que y y2 sen x cos x y 2y cos x cos x y cos x y y2 sen x 2y cos x y cos x y y En la figura 6, trazada con el comando de construcción de gráficas en forma implícita de un sistema algebraico computarizado, se muestra parte de la curva sen(x y) m y2 cos x. Como comprobación de nuestro cálculo, observe que y m 1, cuando x m y m 0 y, al parecer de la gráfica, la pendiente es aproximadamente 1 en el origen. Las figuras 7, 8 y 9 muestran tres curvas más, producidas por computadora. En los ejerci- cios 41-42 tendrá usted oportunidad de crear y analizar curvas atípicas de esta naturaleza. Abel y Galois En 1824, el matemático noruego Niels Abel demostró que no puede darse una fórmula general para la obtención de las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático francés Evariste Galois demostró que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una ecuación de n-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si n es cualquier entero mayor que 4. FIGURA 8 sen FIGURA 7
- 419. FIGURA 9 sen
- 420. cos
- 421. FIGURA 6 2 _2 _2 2
- 422. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 213 En el siguiente ejemplo se muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función que está definida implícitamente. EJEMPLO 4 Hallar y si x4 y4 m 16. SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implícita respecto a x, obtenemos 4x3 4y3 y 0 Resolviendo para y 3 y x3 y3 Para hallar y derivamos esta expresión para y aplicando la regla del cociente, considerando que y es una función de x: y3 3x2 x3 3y2 y y6 y d dx x3 y3 y3 d dx x3 x3 d dx y3 y3 2 Si ahora sustituimos la ecuación 3 en esta expresión, obtenemos 3 x2 y4 x6 y7 3x2 y4 x4 y7 y 3x2 y3 3x3 y2 x3 y3 y6 Pero los valores de x y y deben satisfacer la ecuación original x4 y4 m 16, por lo que la respuesta se simplifica a y 3x2 16 y7 48 x2 y7 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5 analizamos su continuidad, y en la sección 2.6, sus asíntotas. Aquí usamos la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, suponiendo que estas funciones son derivables. [En efecto, si f es una función uno a uno derivable, puede demostrarse que su función inversa f también es derivable, excepto donde sus rectas tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni bucles y, por esta razón, si la reflejamos respecto a y m x, la gráfica de su función inversa tampoco tiene vértices ni bucles.] Recuerde la definición de la función arco seno: y sen 1 x significa sen y x y 2 y 2 Al derivar implícitamente sen y m x respecto a x, obtenemos cos y dy dx 1 o bien dy dx 1 cos y FIGURA 10 x 2 y 2 0 x$+y$=16 La figura 10 muestra la gráfica de la curva x4 y4 m 16 del ejemplo 4. Observe que es una versión extendida y achatada de la circunferencia x2 y2 m 4, por esta razón algunas veces se le llama circunferencia gruesa. Empieza muy escarpada a la izquierda, pero rápidamente se hace muy plana. Esto puede verse en la expresión y x3 y3 x y 3
- 423. 214 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Ahora cos y w 0, debido a que )Y2 v y v )Y2, de modo que De manera que dy dx 1 cos y 1 s1 x2 cos y s1 sen2 y s1 x2 d dx sen 1 x 1 s1 x2 La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejan- te. Si y m tan1 x, entonces tan y m x. Si derivamos esta última ecuación implícitamente respecto a x, tenemos d dx tan 1 x 1 1 x2 dy dx 1 sec2 y 1 1 tan2 y 1 1 x2 sec2 y dy dx 1 v EJEMPLO 5 Derive a) y b) . f x x arctansx y 1 sen 1 x SOLUCIÓN a) b) sx 2 1 x arctansx f x x 1 1 (sx )2 (1 2 x 1 2 ) arctansx 1 sen 1 x 2 s1 x2 dy dx d dx sen 1 x 1 sen 1 x 2 d dx sen 1 x Las funciones trigonométricas inversas que se presentan con mayor frecuencia son las que acabamos de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguiente. Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios. El mismo método puede utilizarse para hallar una fórmula para la derivada de cualquier función inversa. Véase el ejercicio 77. En la figura 11 se muestra la gráfica de f(x) m tan1 x y su derivada f(x) m 1Y(1 x2 ). Observe que f es creciente y f(x) es siempre positiva. El hecho de que tan1 x l )Y2 conforme x l @ se refleja en el hecho de que f(x) l 0 a medida que x l @. Recuerde que arctan x es una notación alternativa para tan1 x. Las fórmulas para las derivadas de csc1 x y sec1 x dependen de las definiciones que se apliquen para estas funciones. Véase el ejercicio 64. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas d dx tan 1 x 1 1 x2 d dx cot 1 x 1 1 x2 d dx cos 1 x 1 s1 x2 d dx sec 1 x 1 xsx2 1 d dx sen 1 x 1 s1 x2 d dx csc 1 x 1 xsx2 1 tan
- 424. FIGURA 11
- 425. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 215 3.5 Ejercicios 1-4 a) Encuentre y por derivación implícita. b) Resuelva la ecuación explícita para y y derive para obtener y en términos de x. c) Compruebe la coherencia de sus soluciones en los incisos a) y b) sustituyendo la expresión para y en su solución del inciso a). . 2 . 1 . 4 . 3 cos x sy 5 1 x 1 y 1 2x2 x xy 1 9x2 y2 1 5-20 Encuentre dyYdx por derivación implícita. . 6 . 5 . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 15. 16. . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 tan x y y 1 x2 ey cos x 1 sen xy x sen y y sen x 1 tan 1 x2 y x xy2 sx y 1 x2 y2 ex y x y ey sen x x xy 4 cos x sen y 1 cos xy 1 sen y y cos x x2 y2 xey x y x4 x y y2 3x y 2x3 x2 y xy3 2 x2 xy y2 4 2sx sy 3 x3 y3 1 21. Si f(x) x2 F f(x)G3 m 10 y f(1) m 2, encuentre f(1). 22. Si J(x) x sen J(x) m x2 , determine J(0). 23-24 Considere a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente y utilice la derivación implícita para calcular dxYdy. 23. x4 y2 x3 y 2xy3 m 0 24. y sec x m x tan y 25-32 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 25. 26. 27. , (elipse) 28. , (hipérbola) 29. 30. (cardioide) (astroide) ( 3s3, 1) (0, 1 2) x2 3 y2 3 4 x2 y2 2x2 2y2 x 2 1, 2 x2 2xy y2 x 2 1, 1 x2 xy y2 3 , senx y 2x 2y, 2, 4 y sen 2x x cos 2y, x y x y 0 8 . 2 3 . 1 3 , 0 ( ) 1 , 3 ( 2) (lemniscata) (curva del diablo) y2 y2 4 x2 x2 5 2 x2 y2 2 25 x2 y2 x y 0 x y 33. a) La curva con ecuación y2 m 5x4 x2 se llama kampila de Eudoxo. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en una pantalla común. (Si su dispositivo graficador puede trazar gráficas de curvas definidas implícitamente, entonces utilice esa capacidad. Si no es así, puede dibujar esta curva trazando sus mitades superior e inferior por separado.) 34. a) La curva con ecuación y2 m x3 3x2 se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, 2). b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? c) Ilustre los incisos a) y b) graficando la curva y las rectas tangentes, en una pantalla común. 35-38 Halle y por derivación implícita. . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 x4 y4 a4 x3 y3 1 sx sy 1 9x2 y2 9 39. Si xy ey m e, encuentre el valor de y en el punto donde x m 0. 40. Si x2 xy y3 m 1, encuentre el valor de y en el punto donde x m 1. SAC 41. Es posible crear formas caprichosas con las capacidades de los sistemas algebraicos computarizados, a fin de construir gráficas en forma implícita. a) Trace la gráfica de la curva con ecuación y(y2 1)(y 2) m x(x 1)(x 2) ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionados en el inciso a). d) Diseñe curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación del inciso a). Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 426. 216 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN SAC 42. a) La curva con ecuación 2y3 y2 y5 m x4 2x3 x2 se ha relacionado a un carretón que rebota. Utilice un sistema algebraico computarizado para la curva y descubra por qué. b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. 43. Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 31 donde la recta tangente sea horizontal. 44. Demuestre por derivación implícita que la recta tangente a la elipse x2 a2 y2 b2 1 en el punto (x0, y0) es x0 x a2 y0 y b2 1 45. Formule una ecuación para la recta tangente a la hipérbola x2 a2 y2 b2 1 en el punto (x0, y0). 46. Demuestre que la suma de las intersecciones en x y y de cualquier recta tangente a la curva sx sy sc es igual a c. 47. Mediante la derivación implícita demuestre que cualquier recta tangente en un punto P a una circunferencia con centro O es perpendicular al radio OP. 48. La regla de la potencia puede demostrarse por medio de la derivación implícita para el caso donde n es un número racional, n m pYq, y y m f(x) m xn es una función derivable. Si y m xpYq , entonces yq m xp . Mediante la derivación implícita demuestre que y p q x p q 1 49-60 Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones. Simplifique donde sea posible. . 0 5 . 9 4 51. 52. 53. 54. . 6 5 . 5 5 . 8 5 . 7 5 59. 60. y arctan 1 x 1 x y arccos b a cos x a b cos x , 0 x , a b 0 y cos 1 sen1 t y x sen 1 x s1 x2 F arcsen ssen u h t cot 1 t cot 1 1 t y tan 1 (x s1 x2 ) G x s1 x2 arccos x t x sx2 1 sec 1 x y sen1 2x 1 y tan 1 x2 y tan 1 x 2 61-62 Encuentre f(x). Compruebe si su respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f. . 2 6 . 1 6 f x arctan x2 x f x s1 x2 arcsen x 63. Demuestre la fórmula para (dYdx) (cosl x) por el mismo método utilizado para demostrar (dYdx)(senl x). 64. a) Una manera de definir secl x es decir que y m sec1 x ? sec y m x y 0 y
- 427. )Y2, o bien, ) y
- 428. 3)Y2. Demuestre que, con esta definición d dx sec 1 x 1 xsx2 1 b) Otro modo de definir sec1 x que se utiliza a veces es decir que y m sec1 x ? sec y m x y 0 y ), y o 0. Demuestre que, con esta definición d dx sec 1 x 1 x sx2 1 65-68 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias dadas de curvas son trayectorias ortogonales entre sí; es decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas usando los mismos ejes de coordenadas. 65. 66. 67. 68. y ax3 , x2 3y2 b y cx2 , x2 2y2 k x2 y2 ax, x2 y2 by x2 y2 r2 , ax by 0 69. Demuestre que la elipse x2 Ya2 y2 Yb2 m 1 y la hipérbola x2 YA2 y2 YB2 m 1 son trayectorias ortogonales si A2
- 429. a2 y a2 b2 m A2 B2 (la elipse y la hipérbola tienen los mismos focos). 70. Encuentre el valor del número a tal que las familias de curvas y m (x c)1 y y m a(x k)1Y3 son trayectorias ortogonales. 71. a) La ecuación de van der Waals para n moles de un gas es P n2 a V 2 V nb nRT donde P es la presión, V es el volumen y T es la temperatura del gas. La constante R es la constante universal de los gases, y a y b son constantes positivas que son características de un gas particular. Si T permanece constante, utilice derivación implícita para obtener dVYdP. b) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión de 1 mol de dióxido de carbono a un volumen
- 430. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 217 de V m 10L y una presión de P m 2.5atm. Utilice a m 3.592 L2 -atmYmol2 y b m 0.04267LYmol. 72. a) Utilice derivación implícita para encontrar y si x2 xy y2 1 m 0. SAC b) Grafique la curva del inciso a). ¿Qué observa? Demuestre que lo que ve es correcto. c) Tomando en cuenta el inciso b), ¿qué puede decir acerca de la expresión para y que encontró en el inciso a)? 73. La ecuación x2 xy y2 m 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 74. a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x2 xy y2 m 3, en el punto (1, 1), interseca la elipse por segunda vez? b) Ilustre el inciso a) graficando la elipse y la recta normal. 75. Encuentre todos los puntos de la curva x2 y2 xy m 2 donde la pendiente de la recta tangente es 1. 76. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x2 4y2 m 36 que pasan por el punto (12, 3). 77. a) Suponga que f es una función uno a uno derivable y que su función inversa f también es derivable. Utilice la derivación implícita para demostrar que f 1 x 1 f f 1 x siempre que el denominador no sea 0. b) Si f(4) m 5 y f 4 2 3, encuentre (f 1 )(5). 78. a) Demuestre que f(x) m x ex es uno a uno. b) ¿Cuál es el valor de f 1 (1)? c) Utilice la fórmula del ejercicio 77a) para hallar (f 1 )(1). 79. La función de Bessel de orden 0, y m J(x), satisface la ecuación diferencial xy y xy m 0 para todos los valores de x, y su valor en 0 es J(0) m 1. a) Encuentre J(0). b) Utilice la derivación implícita para encontrar J(0). 80. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica x2 4y2 v 5. Si el punto (5, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara? ? x y PROYECTO DE LABORATORIO SAC FAMILIA DE CURVAS IMPLÍCITAS En este proyecto exploraremos las formas cambiantes de curvas implícitamente definidas cuando varían las constantes en una familia y determinaremos las funciones comunes a todos los miembros de la familia. 1. Consideremos la familia de curvas y2 2x2 (x 8) m cF(y 1)2 (y 9) x2 G a) Graficando las curvas con c m 0 y c m 2, determine cuántos puntos de intersección hay. (Puede usted hacer acercamientos con el zoom para encontrarlos.) b) Ahora agregue las curvas con c m 5 y c m 10 a sus gráficas del inciso a). ¿Qué observa? ¿Qué pasa con otros valores de c? 2. a) Grafique varios miembros de la familia de curvas x2 y2 cx2 y2 m 1 Describa cómo cambia la gráfica cuando cambia el valor de c. b) ¿Qué sucede con la curva cuando c m 1? Describa lo que aparece en la pantalla. ¿Puede probarlo algebraicamente? c) Encuentre y por derivación implícita. Para el caso c m 1, ¿es coherente la expresión y con lo que descubrió en el inciso b)? SAC Se requiere sistema algebraico computarizado
- 431. 218 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En esta sección utilizaremos la derivación implícita para hallar las derivadas de las funcio- nes logarítmicas y m loga x y, en particular, de la función logaritmo natural y m ln x. [A partir de sus gráficas, es posible probar que las funciones logarítmicas son derivables (véase la figura 12 de la sección 1.6).] d dx loga x 1 x ln a 1 DEMOSTRACIÓN Sea y m loga x. Entonces ay m x Si mediante la fórmula (3.4.5) derivamos esta ecuación de manera implícita respecto a x, obtenemos ay ln a dy dx 1 y, por consiguiente, dy dx 1 ay ln a 1 x ln a Si en la fórmula 1 ponemos a m e, entonces el factor ln a en el lado derecho se convier- te en ln e m 1 y se obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural loge x m ln x: d dx ln x 1 x 2 Si se comparan las fórmulas 1 y 2, se evidencia una de las razones principales por la que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el Cálculo. La fórmula de derivación es más sencilla cuando a m e, porque ln e m 1. v EJEMPLO 1 Derive y m ln(x3 1). SOLUCIÓN Para utilizar la regla de la cadena, hacemos u m x3 1. Entonces y m ln u, de modo que 1 x3 1 3x2 3x2 x3 1 dy dx dy du du dx 1 u du dx En general, si combinamos la fórmula 2 con la regla de la cadena como en el ejem- plo 1, obtenemos o bien d dx ln t x t x t x d dx ln u 1 u du dx 3 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas La fórmula 3.4.5 establece que d dx ax ax ln a
- 432. SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 219 EJEMPLO 2 Encuentre d dx lnsen x. SOLUCIÓN Utilizando 3 , se tiene que d dx lnsen x 1 sen x d dx sen x 1 sen x cos x cot x EJEMPLO 3 Derive f x sln x. SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, de modo que la regla de la cadena da f x 1 2 ln x 1 2 d dx ln x 1 2sln x 1 x 1 2xsln x EJEMPLO 4 Derive f(x) m log10(2 sen x). SOLUCIÓN Si usamos la fórmula 1 con a m 10, obtenemos cos x 2 sen x ln 10 1 2 sen x ln 10 d dx 2 sen x f x d dx log102 sen x EJEMPLO 5 Encuentre d dx ln x 1 sx 2 . SOLUCIÓN 1 x 5 2 x 1 x 2 x 2 1 2 x 1 x 1 x 2 sx 2 x 1 sx 2 1 x 1 (1 2 ) x 2 1 2 x 2 d dx ln x 1 sx 2 1 x 1 sx 2 d dx x 1 sx 2 SOLUCIÓN 2 Si primero simplificamos la función dada aplicando las leyes de los logarit- mos, entonces la derivación se vuelve más fácil: 1 x 1 1 2 1 x 2 d dx ln x 1 sx 2 d dx [ln x 1 1 2 ln x 2 ] (Esta respuesta puede dejarse como está, pero si usara un denominador común, vería que da la misma respuesta en la solución 1). x 0 y 1 f fª FIGURA 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de la función f del ejemplo 5, junto con la gráfica de su derivada. Proporciona una comprobación visual de nuestro cálculo. Note que f(x) es grande negativa cuando f está decreciendo con rapidez.
- 433. 220 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN v EJEMPLO 6 Encuentre f(x) si f(x) m ln U x U: SOLUCIÓN Puesto que f x ln x ln x si x 0 si x 0 se sigue que f x 1 x si x 0 1 x 1 1 x si x 0 Así, f(x) m 1Yx para todo x o 0. Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6: 4 d dx ln x 1 x Derivación logarítmica Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden pro- ductos, cocientes o potencias puede simplificarse tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica. EJEMPLO 7 Derive y x3 4 sx2 1 3x 2 5 . SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los logaritmos, para simplificar: ln y 3 4 ln x 1 2 ln x2 1 5 ln 3x 2 Al derivar implícitamente respecto a x, resulta que 1 y dy dx 3 4 1 x 1 2 2x x2 1 5 3 3x 2 Al resolver para dyYdx, obtenemos dy dx y 3 4x x x2 1 15 3x 2 Puesto que tenemos una expresión explícita para y, podemos sustituir y escribir dy dx x3 4 sx2 1 3x 2 5 3 4x x x2 1 15 3x 2 En la figura 2 se muestra la gráfica de la función f(x) m ln UxU del ejemplo 6 y la de su derivada f(x) m 1Yx. Note que cuando x es pequeño, la gráfica de y m ln UxU está inclinada y, por consiguiente, f(x) es grande (positiva o negativa). 3 _3 _3 3 f fª FIGURA 2 Si no hubiéramos utilizado la derivación logarítmica en el ejemplo 7, habríamos tenido que aplicar tanto la regla del cociente como la regla del producto. El proceso de cálculo habría sido horrendo.
- 434. SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 221 Si f(x)
- 435. 0 para algunos valores de x, entonces ln f(x) no está definida, pero podemos escribir U y U m U f(x) U y utilizar la ecuación 4. Este procedimiento se ilustra demostrando la versión general de la regla de la potencia, como se prometió en la sección 3.1. Pasos en la derivación logarítmica 1. Tomar logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y m f(x) y utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar. 2. Derivar implícitamente respecto a x. 3. Resolver la ecuación resultante para y. Regla de la potencia Si n es cualquier número real y f(x) m xn , entonces f(x) m nxn1 DEMOSTRACIÓN Sea y m xn . Utilizando la derivación logarítmica: ln U y U m ln U x Un m n ln U x U x 0 Por tanto, y y n x así que, y n y x n xn x nxn 1 R Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia F(xn ) m nxn1 G, donde la base es variable y el exponente constante, de la regla para derivar funciones exponenciales F(ax ) m ax ln aG, donde la base es constante y el exponente es variable. En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases: 1. ( y son constantes) 2. 3. d dx at x at x ln a t x d dx f x b b f x b 1 f x b a d dx ab 0 4. Para hallar (dYdx)F f(x)GJ(x) , podemos aplicar la derivación logarítmica, como en el ejemplo que sigue. v EJEMPLO 8 Derive y xsx . SOLUCIÓN 1 Dado que la base y el exponente son variables, utilizamos la derivación logarítmica: y y 1 sx ln x 2sx xsx 2 ln x 2sx y y sx 1 x ln x 1 2sx ln y ln xsx sx ln x Si x m 0, podemos demostrar directamente que f(0) m 0 para n 1 a partir de la definición de derivada. Base constante, exponente constante 1 Base variable, exponente constante 2 Base constante, exponente variable 3 Base variable, exponente variable 4
- 436. 222 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir xsx eln x sx : (como en la solución 1) xsx 2 ln x 2sx d dx (xsx ) d dx (esx ln x ) esx ln x d dx (sx ln x) El número e como un límite Hemos demostrado que si f(x) m ln x, entonces f(x) m 1Yx. Debido a esto, f(1) m 1. Utilizaremos este hecho para expresar el número e como un límite. A partir de la definición de derivada como un límite, tenemos que lím x l 0 ln 1 x 1 x lím x l 0 ln 1 x ln 1 x lím x l 0 1 x ln 1 x f 1 lím h l 0 f 1 h f 1 h lím x l 0 f 1 x f 1 x Ya que f(1) m 1, tenemos lím x l0 ln 1 x 1 x 1 Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, tenemos que e e1 elímxl0 ln 1 x 1 x lím x l0 eln 1 x 1 x lím x l0 1 x 1 x e lím x l 0 1 x 1 x 5 En la figura 4 se ilustra la fórmula 5 mediante la gráfica de la función y m (1 x)lYx y una tabla para valores pequeños de x. Con esto se ilustra una aproximación correcta hasta siete dígitos decimales e y 2.7182818 Si hacemos n m 1Yx en la fórmula 5, entonces n l @ cuando x l 0 y, por consi- guiente, una expresión alternativa para e es e lím n l 1 1 n n 6 La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando las gráficas de f x xsx y su derivada. FIGURA 3 1 1 f fª x 0 y FIGURA 4 2 3 y=(1+x)!?® 1 0 y x x 0.1 2.59374246 0.01 2.70481383 0.001 2.71692393 0.0001 2.71814593 0.00001 2.71826824 0.000001 2.71828047 0.0000001 2.71828169 0.00000001 2.71828181 (1 x)1/x
- 437. SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 223 1. Explique por qué en Cálculo se usa con mucha más frecuencia la función logarítmica natural y m ln x, que las otras funciones logarítmicas, y m loga x. 2-22 Derive cada una de las siguientes funciones. 2. . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 19. 20. . 2 2 . 1 2 y log2 e x cos x y 2x log10sx H z ln a2 z2 a2 z2 y ln e x xe x y ln cos ln x y tan ln ax b y ln 1 t t3 F s ln ln s t r r2 ln 2r 1 G y ln 2y 1 5 sy2 1 h x ln(x sx2 1) t x ln(xsx2 1) f u u 1 ln u f x sen x ln5x f x log5 xex f x log10 x3 1 y 1 ln x f x ln 1 x f x lnsen2 x f x senln x f x x ln x x 23-26 Encuentre y y y en cada una de las siguientes funciones. . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 y ln sec x tan x y ln(x s1 x2 ) y ln x x2 y x2 ln 2x 27-30 Derive f y encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones. 27. 28. . 0 3 . 9 2 f x ln ln ln x f x ln x2 2x f x s2 ln x f x x 1 ln x 1 31. Si , determine f 1. 32. Si , determine f0. f x ln 1 e2x f x ln x x2 33-34 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 33. y m ln(x2 3x 1), (3, 0) 34. y m x2 ln x, (1, 0) 35. Si f(x) m sen x ln x, encuentre f(x). Compruebe si su respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f. 36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y m (ln x)Yx, en los puntos (1, 0) y (e, 1Ye). Ilustre lo anterior dibujando la curva y sus rectas tangentes. 37. Sea f(x) m cx ln(cos x). ¿Para qué valores de c se cumple que f()Y4) m 6? 38. Sea f(x) m loga (3x2 2). ¿Para qué valor de a se cumple que f(1) m 3? 39-50 Utilice la derivación logarítmica para hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones. . 0 4 . 9 3 . 2 4 . 1 4 43. 44. 45. 46. . 8 4 . 7 4 . 0 5 . 9 4 y ln x cos x y tan x 1 x y sen xln x y cos x x y sx x y xsen x y xcos x y x x y sxex2 x x 1 2 3 y x 1 x4 1 y e x cos2 x x2 x 1 y x2 2 2 x4 4 4 51. Encuentre y si y m ln(x2 y2 ). 52. Halle y si xy m yx . 53. Encuentre una fórmula para f (n) (x) si f(x) m ln(x 1). 54. Encuentre d 9 dx9 x8 ln x . 55. Use la definición de derivada para demostrar que lím xl0 ln 1 x x 1 56. Demuestre que lím n l 1 x n n ex para cualquier x 0. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 3.6 Ejercicios
- 438. 224 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Sabemos que si y m f(x), entonces la derivada dyYdx puede interpretarse como la razón de cambio de y respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias. Con base en la sección 2.7, recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razo- nes de cambio. Si x varía de x1 a x2, entonces el cambio en x es $x m x2 x1 y el cambio correspondiente en y es $y m f(x2) f(x1) El cociente de diferencias y x f x2 f x1 x2 x1 es la razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo Fx1, x2G y puede inter- pretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 1. Su límite, cuando $x l 0 es la derivada f(x1), la cual puede interpretarse como la razón de cambio instan- tánea de y respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en P(x1, f(x1)). Si se usa la notación de Leibniz, escribimos el proceso en la forma dy dx lím x l0 y x Siempre que la función y m f(x) tenga una interpretación específica en una de las cien- cias, su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se analizó en la sección 2.7, las unidades de dyYdx son las unidades correspondientes a y divididas por las de x.) Veamos ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias naturales y en las sociales. Física Si s m (t) es la función posición de una partícula que se mueve en una línea recta, enton- ces $sY$t representa el promedio de la velocidad en un periodo $t, y v = dsYdt repre- senta la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo). La razón de cambio instantáneo de la velocidad respecto al tiempo es la acelera- ción: a(t) m v(t) m s(t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que conocemos las formulas de derivación, podemos resolver con más facilidad problemas que involucran el movimiento de objetos. v EJEMPLO 1 La posición de una partícula está dada por la siguiente función s m f(t) m t3 6t2 9t donde t se mide en segundos y s en metros. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4s? c) ¿Cuándo está en reposo la partícula? d) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia adelante (es decir, en dirección positiva)? e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. f) Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos. g) Halle la aceleración en el tiempo t y después de 4s. FIGURA 1 0 x y Îy ⁄ P{⁄, fl} Q{¤, ‡} Îx ¤ mPQ razón de cambio promedio m=fª(⁄)=razón de cambio instantánea 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales
- 439. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 225 h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 v t v 5. i) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿Cuándo la disminuye? SOLUCIÓN a) La función velocidad es la derivada de la función posición. v t ds dt 3t2 12t 9 s f t t3 6t2 9t b) La velocidad después de 2s significa la velocidad instantánea cuando t m 2; es decir, v 2 ds dt t 2 3 2 2 12 2 9 3 m s La velocidad después de 4s es v 4 3 4 2 12 4 9 9 m s c) La partícula está en reposo cuando v(t) m 0; esto es, 3t2 12t 9 3 t2 4t 3 3 t 1 t 3 0 y esto se cumple cuando t m 1 o t m 3. Por tanto, la partícula está en reposo después de 1s y después de 3s. d) La partícula se mueve en dirección positiva cuando v(t) 0; es decir, 3t2 12t 9 m 3(t 1)(t 3) 0 Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos (t 3) o cuando los dos son negativos (t
- 440. 1). Así, la partícula se mueve en dirección positiva en los intervalos de tiempo t
- 441. 1 y t 3. Se mueve hacia atrás (en la dirección negativa) cuando 1
- 442. t
- 443. 3. e) En la figura 2 se esquematiza el movimiento de la partícula hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una recta (el eje s), aplicando la información del inciso d). f) A partir de los incisos d) y e), necesitamos calcular las distancias recorridas durante los intervalos de tiempo F0, 1G, F1, 3G y F3, 5G, por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es f 1 f 0 4 0 4m De t m 1 a t m 3, la distancia recorrida es f 3 f 1 0 4 4m De t m 3 a t m 5, la distancia recorrida es f 5 f 3 20 0 20m La distancia total es 4 4 20 m 28m. g) La aceleración es la derivada de la función velocidad: a 4 6 4 12 12m s2 a t d2 s dt2 dv dt 6t 12 h) La figura 3 muestra las gráficas de s, v y a. t=0 s=0 t=1 s=4 s t=3 s=0 FIGURA 2 25 -12 0 5 √ s a FIGURA 3
- 444. 226 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN i) La rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad es positiva y creciente (v y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente (v y a son negativas). En otras palabras, la rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. (La partícula es empujada en la misma dirección en que se está moviendo.) De la figura 3 se ve que esto sucede cuando 1
- 445. t
- 446. 2 y cuando t 3. La partícula disminuye su rapidez cuando v y a tienen signos opuestos; es decir, cuando 0 v t
- 447. 1 y cuando 2
- 448. t
- 449. 3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula. EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud (+ m mYl) y se mide en kilogramos por metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea, sino que su masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m m f(x), como se muestra en la figura 5. FIGURA 4 1 5 _5 √ s a adelante disminuye la rapidez disminuye la rapidez atrás aumenta la rapidez aumenta la rapidez adelante t 0 FIGURA 5 x¡ x™ Esta parte de la varilla tiene masa ƒ. x TEC En Module 3.7 puede ver una animación de la figura 4 con una expresión para s que puede elegir usted mismo. La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x m x1 y x m x2 está dada por $m m f(x2) f(x1), de modo que la densidad promedio de esa sección de la varilla es densidad promedio m x f x2 f x1 x2 x1 Si ahora hacemos que $x l 0 (es decir, x2 l x1), calculamos la densidad promedio sobre un intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal + en x1 es el límite de estas densidades promedio cuando $x l 0; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de masa respecto a la longitud. En forma simbólica, lím x l0 m x dm dx De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa respecto a la longitud.
- 450. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 227 Por ejemplo, si m f x sx, donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la densidad promedio de la parte de la varilla dada por 1 v x v 1.2 es m x f 1.2 f 1 1.2 1 s1.2 1 0.2 0.48kg m en tanto que la densidad en x m 1 es dm dx x 1 1 2sx x 1 0.50kg m v EJEMPLO 3 Siempre que las cargas eléctricas se mueven, hay corriente. En la figura 6 se muestra parte de un alambre con electrones que se mueven a través de una superficie plana, sombreada en rojo. Si $Q es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo $t, entonces la corriente promedio durante este intervalo de tiempo se define como corriente promedio Q t Q2 Q1 t2 t1 Si tomamos el límite de esta corriente promedio sobre lapsos de tiempo más y más pequeños, obtenemos lo que se llama corriente I en un instante dado t1: I lím t l 0 Q t dQ dt Así, la corriente es la rapidez con que la carga fluye por una superficie; se mide en unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por segundo, llamados amperes). La velocidad, la densidad y la corriente no son las únicas razones de cambio de impor- tancia para la física. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la cual se realiza trabajo), la relación de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la razón de cambio de la tempera- tura respecto a la posición) y la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva en la física nuclear. Química EJEMPLO 4 El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustan- cias (11amadas productos) a partir de uno o más materiales (reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” 2H2 O2 l 2H2O indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Consideremos la reacción A B l C donde A y B son los reactivos y C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles (1 mol m 6.022 1023 moléculas) por litro y se denota con FAG. La concentración varía durante una reacción, de modo que FAG, FBG y FCG son funciones del FIGURA 6
- 451. 228 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN tiempo (t). La rapidez promedio de reacción del producto C en un intervalo de tiempo t1 v t v t2 es C t C t2 C t1 t2 t1 Pero los químicos tienen más interés en la rapidez de reacción instantánea, la cual se obtiene tomando el límite de la rapidez promedio de reacción cuando el intervalo $t tiende a 0: rapidez de reacción lím tl0 C t d C dt Dado que la concentración del producto aumenta a medida que la reacción avanza, la derivada dFCGYdt será positiva, y así la rapidez de reacción de C es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reacción; por eso, para que la rapidez de reacción de A y B sean números positivos, ponemos signos negativos delante de las derivadas dFAGYdt y dFBGYdt. Dado que FAG y FBG disminuyen con la misma rapidez que FCG crece, tenemos que rapidez de reacción d C dt d A dt d B dt De modo más general, resulta que para una reacción de la forma aA bB l cC dD tenemos que 1 a d A dt 1 b d B dt 1 c d C dt 1 d d D dt La rapidez de reacción puede determinarse a partir de datos y con métodos gráficos. En algunos casos existen fórmulas explícitas para las concentraciones como funciones del tiempo, que permiten calcular la rapidez de reacción (véase el ejercicio 22). EJEMPLO 5 Una de las cantidades de interés en termodinámica es la compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces su volumen V depende de su presión P. Podemos considerar la razón de cambio del volumen respecto a la presión: a saber, la derivada dVYdP. Conforme P crece, V decrece, de modo que dVYdP
- 452. 0. La compresibilidad se define al introducir un signo menos y dividir esta derivada entre el volumen V: compresibilidad isotérmica 1 V dV dP En estos términos, mide qué tan rápido, por unidad de volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una muestra de aire a 25 C está relacionado con la presión P (en kilopascales) mediante la ecuación V 5.3 P
- 453. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 229 La razón de cambio de V respecto a P cuando P m 50kPa, es 5.3 2500 0.00212m3 kPa dV dP P 50 5.3 P2 P 50 La compresibilidad a esa presión es 1 V dV dP P 50 0.00212 5.3 50 0.02 m3 kPa m3 b Biología EJEMPLO 6 Sea n m f(t) el número de individuos de una población de animales o plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t m t1 y t m t2 es $n m f (t2) f (t1), así que la razón de crecimiento promedio durante el periodo t1 v t v t2 es razón de crecimiento promedio n t f t2 f t1 t2 t1 La razón de crecimiento instantánea se obtiene a partir de esta razón de crecimiento promedio al hacer que el periodo $t tienda a 0: razón de crecimiento promedio lím tl0 n t dn dt En términos estrictos, esto no es muy exacto porque la gráfica real de una función de población n m f(t) sería una función escalón que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, es posible reemplazar la gráfica con una curva de aproximación uniforme como en la figura 7. FIGURA 7 Una curva suave que se aproxima a una función de crecimiento t n 0
- 454. 230 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Para ser más específicos, considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que, por medio de la toma de muestras de la población a ciertos interva- los, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es n0 y el tiem- po t se mide en horas, entonces f 3 2f 2 23 n0 f 2 2f 1 22 n0 f 1 2f 0 2n0 y, en general, f(t) m 2t n0 La función de población es n m n02t . En la sección 3.4 se demostró que d dx ax ax ln a Así que la razón de crecimiento de la población de bacterias en el tiempo t, es dn dt d dt n02t n02t ln 2 Por ejemplo, suponga que inicia con una población inicial de n0 m 100 bacterias. Enton- ces, la razón de crecimiento después de 4 horas es dn dt t 4 100 24 ln 2 1600 ln 2 1109 Esto significa que, después de 4 horas, la población de bacterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora. EJEMPLO 7 Cuando consideramos el flujo de sangre por un vaso sanguíneo, como una vena o una arteria, este vaso puede tomar la forma de un tubo cilíndrico con radio R y longitud l como se ilustra en la figura 8. © Eye of Science / Photo Researchers, Inc. Las bacterias E.coli tienen aproximadamente dos micrómetros (m) de longitud y 0.75 m de ancho. La imagen fue obtenida con un microscopio electrónico de barrido. FIGURA 8 Flujo de sangre dentro de una arteria R r l Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es máxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta que v se vuelve 0 en la pared. La relación entre v y r está dada por la ley del flujo laminar descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En ésta se afirma que v P 4 l R2 r2 1 h donde ! es la viscosidad de la sangre y P es la diferencia en la presión entre los extre- mos del tubo. Si P y l son constantes, entonces v es función de r, con dominio F0, RG. Para información más detallada, véase W. Nichols y M. ORourke (eds.), McDonald’s Blood Flow in Arteries: Theoretic, Experimental, and Clinical Principles, 5a. ed. (Nueva York, 2005).
- 455. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 231 La razón de cambio promedio de la velocidad, al moverse desde r m r1 hacia afuera hasta r m r2, está dada por v r v r2 v r1 r2 r1 y si hacemos que $r l 0, obtenemos el gradiente de velocidad; es decir, la razón de cambio instantánea de la velocidad respecto a r: gradiente de velocidad lím r l 0 v r dv dr Utilizando la ecuación 1, obtenemos dv dr P 4 l 0 2r Pr 2 l h h Para una de las arterias humanas más pequeñas, puede tomar ! m 0.027, R m 0.008cm, l m 2cm y P m 4000dinasYcm2 , lo cual da 1.85 104 6.4 10 5 r2 v 4000 4 0.027 2 0.000064 r2 En r m 0.002cm la sangre fluye a una rapidez de 1.11cm s v 0.002 1.85 104 64 10 6 4 10 6 y el gradiente de velocidad en ese punto es dv dr r 0.002 4000 0.002 2 0.027 2 74 cm s cm Para tener una idea de lo que esto significa, cambie las unidades de centímetros a micrómetros (1 cm m 10 000 m). Entonces el radio de la arteria es de 80 m. La velocidad en el eje central es de 11850 mYs, la cual disminuye hasta 11110mYs a una distancia de r m 20 m. El hecho de que dvYdr m 74 (mYs)Ym significa que cuando r m 20 m, la velocidad disminuye en una cantidad de casi 74 mYs por cada micrómetro que se aleja del centro. Economía v EJEMPLO 8 Suponga que C(x) es el costo total en que una compañía incurre al producir x unidades de cierto artículo. La función C se llama función de costo. Si el número de artículos producidos se incrementa desde x1 hasta x2, entonces el costo adicional es $C m C(x2) C(x1), y la razón de cambio promedio del costo es C x C x2 C x1 x2 x1 C x1 x C x1 x
- 456. 232 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El límite de esta cantidad conforme $x l 0, es decir, la razón de cambio instantánea del costo los economistas le llaman costo marginal respecto al número de artículos producidos: costo marginal lím x l0 C x dC dx [Dado que x suele tomar solo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que $x tienda a 0, pero siempre podrá remplazar C(x) con una función suave de aproximación uniforme, como en el ejemplo 6.] Si tomamos $x m 1 y n grande (de modo que $x sea pequeño en comparación con n), tenemos que C(n) y C(n 1) C(n) Así, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de elaborar una unidad más [la (n 1)-ésima unidad]. A menudo resulta apropiado representar con un polinomio una función de costo total C(x) m a bx cx2 dx3 donde a representa el costo de los gastos generales (alquiler, calefacción, mantenimiento) y los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y demás. (El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los costos del tiempo extra y a las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a gran escala.) Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir x artículos es C(x) m 10000 5x 0.01x2 Entonces, la función de costo marginal es C(x) m 5 0.02x El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es C(500) m 5 0.02(500) m $15Yartículo Esto da la cantidad a la cual se incrementan los costos respecto al nivel de producción cuando x m 500 y predice el costo del artículo 501. El costo real de producir el artículo 501 es $15.01 10000 5 500 0.01 500 2 C 501 C 500 10000 5 501 0.01 501 2 Note que C(500) y C(501) C(500). Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Éstas se consideran en el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para hallar los valores máximos y míni- mos de funciones. Otras ciencias Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en cono- cer la razón a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual el
- 457. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 233 agua fluye hacia dentro o hacia fuera de una represa. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población en una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo tiene interés por la razón de cambio de la presión atmosférica respecto a la altura. (Véase el ejercicio 17 de la sección 3.8.) En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica el rendimiento P(t) de alguien que apren- de una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. Tiene un interés particular la razón a la cual mejora el rendimiento a medida que pasa el tiempo; es decir, dPYdt. En sociología, el cálculo diferencial se aplica al análisis de la divulgación de rumores (o de innovaciones, novedades o moda). Si p(t) denota la proporción de una población que conoce un rumor en el momento t, entonces la derivada dpYdt denota la razón de divulga- ción de ese rumor. (Véase el ejercicio 84 de la sección 3.4.) Una sola idea, varias interpretaciones La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en física; la velocidad de reacción y la compresibilidad, en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente de velocidad de la sangre, en biología; el costo marginal y la utilidad mar- ginal, en economía; la rapidez de flujo del calor, en geología; la rapidez de mejora del rendimiento, en psicología, y la rapidez de divulgación de un rumor, en sociología, son casos especiales de un concepto matemático: la derivada. Esta es una ilustración del hecho de que parte del poder de las matemáticas descansa en su abstracción. Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrollemos las propiedades del concepto matemático, de una vez y por todas, podrá dar la vuelta y aplicar estos resultados a todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos especiales en cada una por separado. El matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) lo expresó de manera sucinta: “Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los vinculan”. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 3.7 Ejercicios 1-4 Una partícula se mueve según una ley del movimiento s m f(t), t w 0, donde t se mide en segundos y s en pies. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuál es la velocidad después de 3s? c) ¿Cuándo está la partícula en reposo? d) ¿Cuándo se mueve hacia la dirección positiva? e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8s. f) Dibuje un diagrama, como el de la figura 2, a fin de ilustrar el movimiento de la partícula. g) Halle la aceleración en el tiempo t y después de 3s. h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 v t v 8. i) ¿Cuándo la partícula aumenta su rapidez? ¿Cuándo dismi- nuye? 1. 2. 3. , 4. f t te t 2 t 10 f t cos t 4 f t 0.01t4 0.04t3 f t t3 12t2 36t 5. Se muestran las graficas de los funciones velocidad de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada partícula? ¿Cuándo disminuyen su rapidez? Explique: a) b) t √ 0 1 t √ 0 1 6. Se muestran las funciones posición de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada una de las partículas? ¿Cuándo la disminuyen? Explique. a) b) t s 0 1 t s 0 1
- 458. 234 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 7. La altura (en metros) de un proyectil disparado verticalmente hacia arriba, desde un punto 2m por encima del nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5mYs es h m 2 24.5t 4.9t2 después de t segundos. a) Encuentre la velocidad después de 2 segundos y después de 4 segundos. b) ¿Cuándo alcanza el proyectil su altura máxima? c) ¿Cuál es su altura máxima? d) ¿En qué momento cae al suelo? e) ¿Con qué velocidad cae al suelo? 8. Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 piesYs, entonces su altura después de t segundos es s m 80t 16t2 . a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el balón? b) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando está 96 pies por encima del suelo en su camino ascendente? ¿En su camino en descenso? 9. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba desde la superficie de Marte, con una velocidad de 15mYs, su altura después de t segundos es h m 15t 1.86t2 . a) ¿Cuál es la velocidad de la roca después de que transcurren 2s? b) ¿Cual es la velocidad de la roca una vez que ha alcanzado 25m durante el ascenso? ¿Y en su descenso? 10. Una partícula se mueve de acuerdo con la función posición S m t4 4t3 20t2 20t t w 0 a) ¿En qué momento la partícula tiene una velocidad de 20mYs? b) ¿En qué momento su aceleración es 0? ¿Cuál es el significado de este valor de t? 11. a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas placas muy próxima a 15mm y, asimismo, saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando varía la longitud x del lado. Encuentre A(15) y explique su significado en esta situación. b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los cuadrados respecto a la longitud de su lado es la mitad de su perímetro. Trate de explicar geométricamente por qué esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x del lado se incrementa en una cantidad $x. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área, $A, si $x es pequeño? 12. a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos cubos, con longitud x por lado, calcule dVYdx cuando x m 3 mm y explique su significado. b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por qué este resultado es cierto; básese en el ejercicio 11b) para establecer una analogía. 13. a) Encuentre la razón de cambio promedio del área de un círculo respecto a su radio r cuando éste cambia de i) 2 a 3 ii) 2 a 2.5 iii) 2 a 2.1 b) Encuentre la razón de cambio instantánea cuando r m 2. c) Demuestre que la razón de cambio del área de un círculo respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la circunferencia del círculo. Intente explicar geométricamente por qué esto es cierto dibujando un círculo cuyo radio se incrementa en una cantidad $r. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área $A si $r es pequeño? 14. Se deja caer una piedra en un lago, lo que crea una onda circular que viaja hacia afuera con una rapidez de 60cmYs. Encuentre la razón a la cual aumenta el área dentro del círculo después de a) 1s, b) 3s y c) 5s. ¿Qué puede concluir? 15. Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área superficial (S m 4)r2 ) respecto al radio r, cuando éste es de a) 1 pie, b) 2 pies y c) 3 pies. ¿A qué conclusiones llega? 16. a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es V 4 3 r3 , donde el radio r se mide en micrómetros (1 m m 106 m). Encuentre la razón de cambio promedio de V respecto a r, cuando éste cambia de i) 5 a 8m ii) 5 a 6m iii) 5 a 5.1m b) Halle la razón de cambio instantánea de V respecto a r, cuando r m 5m. c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una esfera respecto a su radio es igual a su área superficial. Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente por analogía con el ejercicio 13c). 17. La masa de parte de una varilla metálica que se encuentra entre su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x2 kg. Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2) cuando x es a) 1m, b) 2m y c) 3m. ¿En dónde es más alta la densidad y dónde es más baja? 18. Si un tanque contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40min, entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como V 5000(1 1 40 t)2 0 t 40 Encuentre la rapidez de drenado de agua después de a) 5min, b) 10min, c) 20min y d) 40min. ¿En qué momento fluye el agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma sus hallazgos. 19. La cantidad de carga, Q, en coulombs c) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa con Q(t) m t3 2t2 6t 2. Encuentre la corriente cuando a) t m 0.5s y b) t m 1s. [Véase el ejemplo 3. La unidad de corriente es el ampere (1A m 1CYs).] ¿En qué momento la corriente es la más baja? 20. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es F GmM r2 donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. a) Encuentre dFYdr y explique su significado. ¿Qué indica el signo menos? b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye a razón de 2NYkm, cuando r m 20000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza cuando r m 10000 km?
- 459. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 235 21. La fuerza F que actúa sobre un cuerpo con masa m y velocidad v es igual a la razón de cambio del momentum o cantidad de movimiento: F m (dYdt)(mv). Si m es constante, esto se convierte en F m ma, donde a m dvYdt es la aceleración. Pero en la teoría de la relatividad, la masa de una partícula varía con v como sigue: m m0 s1 v2 c2 , donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. Demuestre que F m0a 1 v2 c2 3 2 22. Algunas de las mareas más altas en el mundo se producen en la Bahía de Fundy en la costa atlántica de Canadá. En el cabo de Hopewell, la profundidad del agua durante la marea baja es aproximadamente dos metros y durante la marea alta es cerca de doce metros. El periodo natural de oscilación es un poco más de doce horas, y el 30 de junio de 2009, la marea alta se produjo a las 6:45. Esto ayuda a explicar el siguiente modelo para la profundidad del agua D (en metros) en función del tiempo t (en horas después de la medianoche) ese día: D(t) m 7 m cos[0.503(t 6.75)] ¿Con qué rapidez fue subiendo la marea (o cayendo) en los siguientes momentos? a) 15:00 b) 6:00 c) 9:00 d) mediodía 23. La ley de Boyle establece que, cuando se comprime una muestra de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y el volumen se mantiene constante: PV m C. a) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión. b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y se le comprime paulatinamente a temperatura constante durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique. c) Demuestre que la compresibilidad isotérmica (véase el ejemplo 5) se expresa mediante m 1YP. 24. Si en el ejemplo 4 una molécula del producto C está formada por una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo B y la concentración inicial de A y B tienen un valor común FAG m FBG m a molesYL, entonces FCG m a2 ktY(akt 1) donde k es una constante. a) Encuentre la rapidez de reacción en el tiempo t. b) Demuestre que si x m FCG, entonces dx dt k a x 2 c) ¿Qué pasa con la concentración conforme t l @? d) ¿Qué sucede con la velocidad de reacción conforme t l @? e) ¿Qué significan los resultados de los incisos c) y d) en términos prácticos? 25. En el ejemplo 6 consideramos una población de bacterias que se duplica cada hora. Supongamos que otra población de bacterias se triplica cada hora y comienza con 400 bacterias. Encuentre una expresión para el número n de bacterias después de t horas y utilícela para estimar la tasa de crecimiento de la población de bacterias después de 2.5 horas. 26. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio aumenta rápidamente al principio, pero finalmente se nivela. La población es modelada por la función n f t a 1 be 0.7t donde t es medido en horas. En el tiempo t m 0 la población es de 20 celdas y está aumentando a un ritmo de 12 célulasYhora. Encuentre los valores de a y b. De acuerdo con este modelo, ¿qué sucede con la población de levadura a largo plazo? 27. La tabla da la población del mundo en el siglo xx. Población (en millones) Población (en millones) Año Año 1900 1650 1960 3040 1910 1750 1970 3710 1920 1860 1980 4450 1930 2070 1990 5280 1940 2300 2000 6080 1950 2560 a) Estime la tasa de crecimiento poblacional en 1920 y en 1980 mediante el promedio de las pendientes de dos rectas secantes. b) Utilice una calculadora graficadora o computadora para encontrar una función cúbica (una polinomial de tercer grado) que modele los datos. c) Utilice el modelo del inciso b) para encontrar un modelo para la tasa de crecimiento de la población en el siglo xx. d) Utilice el inciso c) para estimar las tasas de crecimiento en 1920 y 1980. Compare con sus estimaciones del inciso a). e) Estime la tasa de crecimiento en 1985. 28. La tabla muestra cómo varía la edad promedio del primer matrimonio de la mujer japonesa en la última mitad del siglo xx. t t 1950 23.0 1980 25.2 1955 23.8 1985 25.5 1960 24.4 1990 25.9 1965 24.5 1995 26.3 1970 24.2 2000 27.0 1975 24.7 A t A t a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar estos datos con una función polinomial de cuarto grado. b) Utilice el inciso a) para encontrar un modelo para A(t). c) Estime la tasa de cambio de la edad de matrimonio de la mujer en 1990. d) Grafique los puntos de datos y los modelos para A y A. 29. Considere la ley de flujo laminar del ejemplo 7. Considere también un vaso sanguíneo con radio 0.01cm, longitud 3cm, diferencia de presión de 3000 DinasYcm2 y una viscosidad de ! m 0.027. a) Encuentre la velocidad de la sangre a lo largo de la línea central r m 0, en un radio r m 0.005cm y en la pared r m R m 0.01cm.
- 460. 236 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN b) Encuentre el gradiente de velocidad en r m 0, r m 0.005 y r m 0.01. c) ¿Donde es más mayor la velocidad? ¿Dónde está el mayor cambio de velocidad? 30. La frecuencia de vibración de una cuerda de violín está dada por f 1 2L T donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y + es su densidad lineal. [Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical Acoustic, 3a. ed. (Pacific Grove, California, 2002).] a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia respecto a i) la longitud (cuando T y + son constantes), ii) la tensión (cuando L y + son constantes) y iii) la densidad lineal (cuando L y T son constantes). b) El tono de una nota (qué tan altas o bajas son las notas) está determinado por la frecuencia f. (Cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será el tono.) Utilice los signos de los derivadas en el inciso a) para determinar lo que sucede con el tono de una nota i) cuando se reduce la longitud efectiva colocando un dedo sobre la cuerda, haciendo que vibre sólo una porción menor que la cuerda, ii) cuando se incrementa la tensión girando la llave de ajuste, iii) cuando aumenta la densidad lineal por cambiar la cuerda. 31. El costo en dólares de producir x yardas de un determinado tejido es C(x) m 1200 12x 0.1x2 0.0005x3 a) Encuentre la función de costo marginal. b) Obtenga C(200) y explique su significado. ¿Qué predice? c) Compare C(200) con el costo de fabricar la yarda 201 de tela. 32. La función de costo de producción de una mercancía es C(x) m 339 25x 0.09x2 0.0004x3 a) Obtenga e interprete C(100). b) Compare C(100) con el costo de producir el artículo 101. 33. Si p(x) es el valor total de la producción cuando hay x trabaja- dores en una planta, entonces la productividad promedio de la fuerza de trabajo en la planta es A x p x x a) Obtenga A(x). ¿Por qué quiere la empresa contratar a más trabajadores si A(x) 0? b) Demuestre que A(x) 0 si p(x) es mayor que la productividad promedio. 34. Si R denota la reacción del cuerpo a cierto estímulo de esfuerzo x, la sensibilidad S se define como la rapidez de cambio de la reacción respecto a x. Un ejemplo concreto es que cuando el brillo x de una fuente de luz aumenta, el ojo reacciona disminuyendo la zona R de la pupila. La fórmula experimental R 40 24x0.4 1 4x0.4 ha sido utilizada para modelar la dependencia de R sobre x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en unidades apropiadas de brillo. a) Encuentre la sensibilidad. b) Ilustre el inciso a) graficando R y S como funciones de x. Haga comentarios relacionados con los valores de R y S en bajos niveles de brillo. ¿Esto es lo que esperaría? 35. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (en kelvin), la presión P (en atmósferas) y el volumen V (en litros) es PV m nRT, donde n es el número de moles del gas y R m 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en cierto instante, P m 8.0atm y está aumentando a razón de 0.10 atmYmin y V m 10 L y está disminuyendo a razón de 0.15LYmin. Encuentre la razón de cambio de T respecto al tiempo en ese instante si n m 10 mol. 36. En una granja piscícola se introduce una población de peces en un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la razón de cambio de la población se expresa con la ecuación dP dt r0 1 P t Pc P t P t donde r0 es la tasa de nacimientos de peces, Pc es la población máxima que el estanque puede contener (llamada capacidad de contención) y es el porcentaje de la población que se cosecha. a) ¿Cuál valor de dPYdt correspondiente a una población estable? b) Si el estanque puede sostener 10000 peces, la tasa de nacimiento es del 5% y la cantidad de cosecha es de 4%, encuentre el nivel estable de la población. c) Si se eleva hasta 5%, ¿qué sucede? 37. En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los modelos depredador-presa para estudiar la interacción entre las especies. Considere una población de lobos de la tundra, dada por W(t), y de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá. La interacción se ha modelado mediante las ecuaciones dW dt cW dCW dC dt aC y bCW a) ¿Cuáles valores de dCYdt y dWYdt corresponden a poblaciones estables? b) ¿Cómo se representaría matemáticamente la afirmación “Los caribúes van hacia la extinción”? c) Suponga que a m 0.05, b m 0.001, c m 0.05 y d m 0.0001. Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W) que conducen a poblaciones estables. De acuerdo con este modelo, ¿es posible que las especies vivan en armonía o una de ellas, o ambas, se extinguirán?
- 461. SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 237 En muchos fenómenos naturales, las cantidades crecen o decrecen en una cantidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, si y m f (t) es el número de individuos en una población de animales o bacterias en el tiempo t, entonces parece razonable esperar que la razón de crecimiento f(t) sea proporcional a la población f(t); es decir, f(t) m kf(t) para alguna constante k. A propósito, bajo condiciones ideales (ambientes sin límites, nutrición adecuada, inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático conocido por la ecua- ción f(t) m kf(t) predice, sin duda, con precisión lo que realmente sucede. Otro ejemplo sucede en física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae en una cantidad proporcional a su masa. En química la velocidad de una reacción de primer orden unimo- lecular es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta de ahorros con interés compuesto se incrementa de manera continua en una canti- dad proporcional a ese valor. En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier tiempo, entonces dy dt ky 1 donde k es una constante. Algunas veces la ecuación 1 se llama ley de crecimiento natu- ral (si k 0) o ley de decaimiento natural (si k
- 462. 0). También, a la expresión 1 se le denomina ecuación diferencial porque involucra una función desconocida, y y su deriva- da dyYdt. No es difícil intuir una solución de la ecuación 1. Esta ecuación pide hallar una función cuya derivada es un múltiplo constante de sí misma. En este capítulo encontraremos tales funciones. Cualquier función exponencial en la forma y(t) m Cekt , donde C es una constan- te, satisface y(t) m C(kekt ) m k(Cekt ) m ky(t) Veremos en la sección 9.4 que cualquier función que satisface dyYdt m ky debe ser en la forma y m Cekt . Para ver el significado de la constante C, observe que y(0) m Cek?0 m C En consecuencia, C es el valor inicial de la función: 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 2 Teorema Las únicas soluciones de la ecuación diferencial dyYdt m ky son las funciones exponenciales y(t) m y(0)ekt Crecimiento de población ¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimiento de la población, cuando P(t) es el tamaño de una población en el tiempo t, escribimos 1 P dP dt k o dP dt kP 3 La cantidad 1 P dP dt es la rapidez de crecimiento dividida entre el tamaño de la población; a aquélla se le deno- mina la rapidez o tasa de crecimiento relativa. De acuerdo con 3 , en lugar de decir “la
- 463. 238 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN rapidez o tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” podríamos decir “la razón o tasa de crecimiento relativo es constante”. Por tanto, 2 indica que una pobla- ción con crecimiento relativo constante debe crecer en forma exponencial. Note que la tasa de crecimiento relativa k aparece como el coeficiente de t en la función exponencial Cekt . Por ejemplo, si dP dt 0.02P donde t se mide en años, entonces la rapidez de crecimiento relativo es k m 0.02 y el cre- cimiento de población a una rapidez relativa es de 2% por cada año. Si la población en el tiempo 0 es P0, entonces la expresión para la población es P(t) m P0e0.02t v EJEMPLO 1 Utilice el hecho de que la población mundial fue 2560 millones en 1950 y 3040 millones en 1960, para modelar la población del mundo en la segunda mitad del siglo xx. (Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población). ¿Cuál es la rapidez de crecimiento relativa? Utilice el modelo para estimar la población mundial en 1993 y, del mismo modo, predecir la población en el año 2020. SOLUCIÓN Mida el tiempo t en años y haga t m 0 en el año 1950. Medimos la población P(t) en millones de personas. Entonces, P(0) m 2560 y P(10) m 3040. Ya que estamos suponiendo que dPYdt m kP, el teorema 2 proporciona k 1 10 ln 3040 2560 0.017185 P 10 2560e10k 3040 P t P 0 ekt 2560ekt La rapidez de crecimiento relativo es casi 1.7% por cada año, y el modelo es P(t) m 2560e0.017185t Se estima que en 1993 la población mundial fue P(43) m 2560e0.017185(43) 5360 millones El modelo predice que en 2020 la población será P(70) m 2560e0.017185(70) 8524 millones La gráfica en la figura 1 muestra que el modelo ya es bastante exacto para finales del siglo xx (los puntos representan la población actual); de esta manera, la estimación para 1993 es completamente confiable, pero la predicción para el 2020 es aventurada. FIGURA 1 Un modelo para el crecimiento de la población mundial en la segunda mitad del siglo XX 6000 P t 20 0 40 Años desde 1950 Población en millones P=2560e0.017185t
- 464. SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 239 Decaimiento radiactivo Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontanea. Si m(t) es la masa que queda a partir de una masa inicial m0 de la sustancia después del tiempo t, enton- ces la rapidez de decaimiento relativo 1 m dm dt es constante. (Ya que dmYdt es negativa, la rapidez de desintegración relativa es positiva.) Se sigue que dm dt km donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen en una cantidad proporcional a la masa restante. Esto significa que podemos utilizar 4 para demostrar que la masa decae de manera exponencial: m(t) m m0etk Los físicos expresan la rapidez de decaimiento en términos del tiempo de vida media: el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre. v EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1590 años. a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100mg. Halle una fórmula para la masa de la muestra que permanece después de t años. b) Halle la masa exacta en miligramos, después de 1000años. c) ¿Cuándo se reducirá la masa a 30mg? SOLUCIÓN a) Sea m(t) la masa de radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años. Entonces dmYdt m km y y(0) m 100, así que 2 da m(t) m m(0)ekt m 100ekt A fin de determinar el valor de k, utilizamos el hecho de que y 1590 1 2 100 . Así, e1590k 1 2 100e1590k 50 y 1590k ln 1 2 ln 2 k ln 2 1590 En consecuencia m(t) m 100e(ln 2)tY1590 Podemos utilizar el hecho de que eln 2 m 2 para escribir la expresión para m(t) en la forma alternativa m(t) m 100 2tY1590 b) La masa después de 1000 años es m(1000) m 100e(ln 2)1000Y1590 y 65mg c) Queremos encontrar el valor de t tal que m(t) m 30, es decir, 100e(ln 2)tY1590 m 30 o bien e(ln 2)tY1590 m 0.3
- 465. 240 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Resolviendo esta ecuación para t tomando el logaritmo natural de ambos lados: ln 2 1590 t ln 0.3 Por tanto, t 1590 ln 0.3 ln 2 2762 años Para una verificación del ejemplo 2, utilice un dispositivo de graficación para dibujar la gráfica de m(t) de la figura 2 junto con la recta horizontal m m 30. Estas curvas se inter- secan cuando t y 2800, y ello está de acuerdo con la respuesta del inciso c). Ley de enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su ambiente, siempre que esta diferencia no sea muy grande. (Esta ley también se aplica al calentamiento.) Si se hace T(t) la temperatura del objeto en el tiempo t y Ts la temperatura del ambiente, entonces podemos formular la ley de enfriamiento de Newton como una ecuación diferencial: dT dt k T Ts donde k es una constante. Esta ecuación no es completamente la misma que la ecuación 1, así que hacemos el cambio de variable y(t) m T(t) Ts. Ya que Ts es constante, tenemos que y(t) m T(t), así que la ecuación se convierte en dy dt ky Por tanto, podemos utilizar 2 para hallar una expresión para y en la que podemos encon- trar T. EJEMPLO 3 Una botella con una bebida gasificada a temperatura ambiente (72 F) se coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 44 F. Después de media hora la bebida se ha enfriado hasta 61 F. a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora? b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 50 F? SOLUCIÓN a) Sea T(t) la temperatura de la bebida después de t minutos. La temperatura ambiente es Ts m 44 F, por consiguiente, la ley de enfriamiento de Newton establece que dT dt k T 44) Si hacemos y m T 44, entonces y(0) m T(0) 44 m 72 44 m 28, así que y satisface y 0 28 dy dt ky y mediante 2 tenemos que y(t) m y(0)ekt m 28ekt Tenemos que T(30) m 61, así que y(30) m 61 44 m 17 y e30k 17 28 28e30k 17 m=30 0 4000 150 m=100e_(ln 2)t/1590 FIGURA 2
- 466. SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 241 Tomando logaritmos, tenemos que k ln(17 28) 30 0.01663 Así que T 60 44 28e 0.01663 60 54.3 T t 44 28e 0.01663t y t 28e 0.01663t Por tanto, después de la otra mitad de la hora, la bebida se ha enfriado a casi 54 F. b) Tenemos T(t) m 50 cuando t ln(6 28) 0.01663 92.6 e 0.01663t 6 28 44 28e 0.01663t 50 La bebida se enfría a 50 F después de casi 1 hora 33 minutos. Observe que en el ejemplo 3, tenemos que lím tl T t lím tl 44 28e 0.01663t 44 28 0 44 lo cual se esperaba. La gráfica de la función temperatura se muestra en la figura 3. Interés compuesto continuamente EJEMPLO 4 Si se invierten 1000 dólares a 6% de interés compuesto anualmente, entonces, después de 1 año la inversión es valorada en 1000(1.06) m 1060 dólares, después de 2 años su valor es F1000(1.06)G1.06 m 1123.60 dólares y después de t años su valor es 1000(1.06)t dólares. En general, si se invierte una cantidad A0 a una tasa de interés r(r m 0.06, en este ejemplo), entonces, después de t años su valor es de A0(1 r)t . No obstante, por lo general el interés es compuesto con más frecuencia; es decir, n veces al año. Por tanto, en cada periodo de capitalización, la tasa de interés es rYn y hay nt periodos en t años, así que el valor de la inversión es A0 1 r n nt Por ejemplo, una inversión de 1000 dólares después de 3 años a 6% de interés estarán valorados en compuesto diario $1000 1 0.06 365 365 3 $1197.20 compuesto cada mes $1000 1.005 36 $1196.68 compuesto cada tres meses $1000 1.015 12 $1195.62 compuesto cada seis meses $1000 1.03 6 $1194.05 compuesto al año $1000 1.06 3 $1191.02 FIGURA 3 72 T t 60 0 30 90 44
- 467. 242 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Podemos ver que el pago del interés se incrementa cuando el número de periodos compuesto (n) se incrementa. Si hacemos que n l @, entonces estará componiendo el interés continuamente, y el valor de la inversión será (donde m nr) A0 lím ml 1 1 m m rt A0 lím nl 1 r n n r rt lím nl A0 1 r n n r rt A t lím nl A0 1 r n nt Pero el límite en esta expresión es igual al número e (véase la ecuación 3.6.6). Así que, componiendo en forma continua con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es A(t) m A0ert Si derivamos esta función, obtenemos dA dt rA0ert rA t la cual dice que, componiendo continuamente el interés, la tasa de incremento de una inversión es proporcional a su tamaño. Regresando al ejemplo de 1000 dólares invertidos por 3 años a 6% de interés anual, el valor de la inversión será A(3) m $1000e(0.06)3 m $1197.22 Observe cómo se acerca esto a la cantidad calculada por componer diariamente 1197.20 dólares, pero es más fácil calcular la cantidad si aplicamos la composición continua. 3.8 Ejercicios 1. Una población de protozoarios se desarrolla con una tasa de crecimiento relativo constante de 0.7944 por miembro por cada día. En el día cero la población consiste de dos miembros. Encuentre el tamaño de la población después de 6 días. 2. Un habitante común del intestino humano es la bacteria Escherichia coli. Una célula de esta bacteria en un caldo nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La población inicial de un cultivo es de 60 células a) Halle la tasa de crecimiento relativo. b) Encuentre una expresión para el número de células después de t horas. c) Calcule el número de células después de 8 horas. d) Establezca la tasa de crecimiento después de 8 horas. e) ¿Cuándo alcanzará la población 20000 células? 3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la población se ha incrementado a 420. a) Establezca una expresión para el número de bacterias des- pués de t horas. b) Calcule el número de bacterias después de 3 horas. c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas. d) ¿Cuándo alcanza la población 10000? Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 468. SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 243 4. Un cultivo de bacterias crece con una tasa de crecimiento relativo constante. Después de 2 horas existen 400 bacterias y después de 6 horas la cuenta es de 25600. a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo? Exprese su respuesta en porcentaje. b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo? c) Encuentre una expresión para el número de bacterias después de t horas. d) Encuentre el número de células después de 4.5 horas. e) Encuentre la tasa de crecimiento después de 4.5 horas. f) ¿Cuándo alcanzará la población 50000? 5. La tabla proporciona estimados de la población mundial, en millones, desde 1750 hasta el 2000. a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales. b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población actual. c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población en 1900 y 1950 para predecir la población mundial en el 2000. Compare con la población actual e intente explicar la discrepancia. Año Año Población Población 1750 790 1900 1650 1800 980 1950 2560 1850 1260 2000 6080 6. La tabla proporciona la población de India, en millones, para la segunda mitad del siglo xx. Año Población 1951 361 1961 439 1971 548 1981 683 1991 846 2001 1029 a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de censo para 1951 y 1961 para predecir la población en el 2001. Compare con las cifras actuales. b) Utilice el modelo exponencial y las cifras del censo para 1961 y 1981 para predecir la población en el 2001. Compare con la población actual. Después utilice este modelo para predecir la población en los años 2010 y 2020. c) Grafique ambas funciones exponenciales de los incisos a) y b) junto con una gráfica de la población actual. ¿Alguno de estos modelos es razonable? 7. Los experimentos muestran que si la reacción química N2O5 l 2NO2 1 2 O2 se realiza a 45 C, la velocidad de reacción del pentóxido de dinitrógeno es proporcional a su concentración como sigue: d N2O5 dt 0.0005 N2O5 (Véase el ejemplo 4 en la sección 3.7.) a) Halle una expresión para la concentración FN2O5G después de t segundos si la concentración inicial es C. b) ¿Cuánto tiempo le toma a la reacción para reducir la concentración de N2O5 a 90% de su valor original? 8. El estroncio-90 tiene un tiempo de vida media de 28 días. a) Una muestra tiene originalmente una masa de 50mg. Establezca una fórmula para la masa que queda después de t días. b) Calcule la masa restante después de 40 días. c) ¿Cuánto tiempo le toma a la muestra reducir su masa a 2mg? d) Bosqueje la gráfica de la función masa. 9. El tiempo de vida media del cesio-137 es de 30 años. Suponga que tenemos una muestra de 100mg. a) Establezca la masa que permanece después de t años. b) ¿Cuánto de la muestra permanece después de 100 años? c) ¿Después de cuánto tiempo permanece únicamente 1mg? 10. Una muestra de tritio-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad original después de 1 año. a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritio-3? b) ¿Cuánto tardaría en decaer a 20% de su cantidad original? 11. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el método de datación por radiocarbono. El bombardeo de la atmósfera superior por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un isótopo radioactivo de carbono, 14 C, con un tiempo de vida media aproximado de 5730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera, y la vida animal asimila 14 C a través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un animal mueren, se detiene la sustitución de su carbono, y la cantidad de 14 C inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. En consecuencia el nivel de radiactividad también decae de manera exponencial. En un fragmento de pergamino se descubrió que había aproximadamente setenta y cuatro por ciento tanta radioacti- vidad 14 C como en el material con el que se hace el pergamino que hay sobre la Tierra hoy en día. Estime la edad del pergamino. 12. Una curva pasa a través del punto (0, 5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la curva en cualquier punto P es dos veces la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva? 13. De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 185 F y se coloca sobre una mesa en un espacio donde la temperatura es 75 F. a) Si la temperatura del pavo es 150 F después de media hora, ¿cuál es la temperatura 45 minutos después? b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100 F? 14. En una investigación de asesinato, la temperatura del cadáver fue de 32.5 C a las 13:30 y de 30.3 C una hora más tarde. La temperatura corporal normal es 37.0 C y la temperatura del ambiente era de 20.0 C. ¿Cuándo tuvo lugar el asesinato?
- 469. 244 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si estamos inflando un globo, tanto su volumen como su radio se incrementan, y sus razo- nes de incremento están relacionadas entre sí. Pero es mucho más fácil medir de modo directo la rapidez de aumento de volumen que la rapidez de crecimiento del radio. En un problema de razones de cambio relacionadas, la idea es calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la cual podría medirse con más facilidad). El procedimiento es determinar una ecuación que relacione las dos cantidades y aplicar la regla de la cadena para derivar ambos miembros respecto al tiempo. v EJEMPLO 1 Se infla un globo esférico y su volumen crece a razón de 100cm3 Ys. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50cm? SOLUCIÓN Empezamos por identificar dos aspectos: la información dada: la razón de incremento del volumen del globo es 100cm3 Ys y lo que se desconoce: la rapidez de incremento del radio cuando el diámetro es 50cm Con objeto de expresar estas cantidades en forma matemática, introduzca una notación sugerente: sea V el volumen del globo y r su radio. La clave que se debe tener presente es que las razones de cambio son derivadas. En este problema, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo t. La rapidez de incremento del volumen respecto al tiempo es la derivada dVYdt, y la rapidez del incremento del radio es drYdt. Por tanto, replantee lo que conoce y lo que desconoce de la manera siguiente: Conocido: Desconocido: dr dt cuando r 25cm dV dt 100cm3 s 15. Cuando se saca una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5 C. Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20 C su temperatura se incrementa a 10 C. a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después? b) ¿Cuándo estará su temperatura a 15 C? 16. Una taza de café recién preparado tiene 95C de temperatura en una habitación a 20 C. Cuando la temperatura es de 70 C, se enfría con una rapidez de 1 C por cada minuto. ¿Cuándo sucede esto? 17. La rapidez de cambio de la presión atmosférica P respecto a la altitud h es proporcional a P, siempre que la temperatura sea constante. A 15 C la presión es 101.3kPa al nivel del mar y 87.14kPa en h m 1000m. a) ¿Cuál es la presión a una altitud de 3000m? b) ¿Cuál es la presión en la cima del monte McKinly, a una altitud de 6187m? 18. a) Si se prestan 1000 dólares a 8% de interés, calcule la cantidad que se debe al final de 3 años si el interés es compuesto: i) anual, ii) trimestral, iii) mensual, iv) semanal, v) diario, vi) por hora y vii) de manera continua. b) Suponga que se prestan 1000 dólares y el interés es compuesto de manera continua. Si A(t) es la cantidad que se debe después de t años, donde 0 v t v 3, grafique A(t) en una pantalla común, para cada una de las tasas de interés 6, 8 y 10 por ciento. 19. a) Si invierten 3000 dólares a 5% de interés, calcule el valor de la inversión al final de 5 años si el interés es compuesto i) anual, ii) semestral, iii) mensual, iv) semanal, v) por día y vi) de manera continua. b) Si A(t) es la cantidad de la inversión al tiempo t para el caso de composición continua, establezca una ecuación diferencial y una condición inicial que satisfaga A(t). 20. a) ¿Cuánto transcurrirá para que una inversión se duplique en valor si la tasa de interés anual es de 6% compuesto de manera continua? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente? 3.9 Razones relacionadas RP De acuerdo con los principios de la resolución de problemas estudiados en la página 75, el primer paso es entender el problema. Ahí está incluida la lectura cuidadosa del problema, la identificación de los datos con que se conoce y lo que se desconoce y la introducción de una notación conveniente.
- 470. SECCIÓN 3.9 RAZONES RELACIONADAS 245 Con objeto de relacionar dVYdt y drYdt, primero relacionamos V y r mediante la fórmula del volumen de una esfera: V 4 3 r3 A fin de utilizar la información dada, derive respecto a t a ambos miembros de la ecuación. Para derivar el lado derecho necesita aplicar la regla de la cadena: dV dt dV dr dr dt 4 r2 dr dt Ahora resuelva para la cantidad desconocida: dr dt 1 4 r2 dV dt Si sustituimos r m 25 y dVYdt m 100 en esta ecuación, obtenemos dr dt 1 4 25 2 100 1 25 El radio del globo se incrementa a razón de 1Y(25)) y 0.0127cmYs. EJEMPLO 2 Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 1 pieYs, ¿qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro? SOLUCIÓN Primero dibuje un esquema y ponga los datos como se muestra en la figura 1. Sea x pies la distancia desde la parte inferior de la escalera al muro y y pies la distancia desde la parte superior de la escalera al piso. Observe que x y y son funciones del tiempo t (medido en segundos). Sabemos que dxYdt m 1 pieYs, y se pide determinar dyYdt cuando x m 6 pies (véase figura 2). En este problema, la relación entre x y y la define el teorema de pitágoras: x2 y2 m 100 Al derivar con respecto a t ambos miembros aplicando la regla de la cadena tenemos 2x dx dt 2y dy dt 0 y al resolver esta ecuación para determinar la rapidez deseada, obtenemos dy dt x y dx dt Cuando x m 6, el teorema de Pitágoras da y m 8 y al sustituir estos valores y dxYdt m 1, llegamos a dy dt 6 8 1 3 4 piess El hecho de que dyYdt sea negativa quiere decir que la distancia desde la parte superior de la escalera al suelo está decreciendo a razón de 3 4 piess. En otras palabras, la parte superior de la escalera se resbala hacia abajo de la pared a razón de 3 4 piess. EJEMPLO 3 Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2 m, y la altura es de 4 m. Si el agua se bombea hacia el depósito a razón de 2m3 Ymin, determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3m de profundidad. RP La segunda etapa de la resolución de problemas es concebir un plan para relacionar la información conocida con la desconocida. Observe que, aunque dVYdt es constante, drYdt no lo es. piso muro 10 y x FIGURA 1 y x dy dt =? dx dt =1 FIGURA 2
- 471. 246 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN SOLUCIÓN Primero elabore un diagrama del cono y denote la información como en la figura 3. Sean V, r y h el volumen del agua, el radio de la superficie circular y la altura en el tiempo t, respectivamente, donde t se mide en minutos. Sabemos que dVYdt m 2m3 Ymin, y se nos pide determinar dhYdt cuando h es 3m. Las cantidades V y h se relacionan mediante la ecuación V 1 3 r2 h pero es muy útil expresar V sólo en función de h. Con objeto de eliminar r, recurra a los triángulos semejantes en la figura 3 para escribir r h 2 r h 2 4 y la expresión para V se vuelve V 1 3 h 2 2 h 12 h3 Ahora podemos derivar cada miembro respecto a t: dV dt 4 h2 dh dt de modo que dh dt 4 h2 dV dt Al sustituir h m 3m y dVYdt m 2m3 Ymin tenemos que dh dt 4 3 2 2 8 9 El nivel del agua está subiendo a razón de 8Y(9)) y 0.28mYmin. Estrategia de resolución de problemas Es útil recordar algunos de los principios para resolver problemas que se encuentran en la página 75 y adaptarlos a las razones de cambio relacionadas, luego de lo que aprendió en los ejemplos 1 a 3: 1. Lea con cuidado el problema. 2. Si es posible, dibuje un diagrama. 3. Introduzca la notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que están en función del tiempo. 4. Exprese la información dada y la razón requerida en términos de derivadas. 5. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del problema. Si es necesario, utilice las propiedades geométricas de la situación para eliminar una de las variables por sustitución, como en el ejemplo 3. 6. Utilice la regla de la cadena para derivar respecto a t ambos miembros de la ecuación. 7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón de cambio desconocida. Los ejemplos siguientes son ilustraciones adicionales de la estrategia. FIGURA 3 2 r h 4 RP Reflexione: ¿qué ha aprendido de los ejemplos 1 a 3 que lo ayude a resolver problemas futuros? R ADVERTENCIA: un error común es la sustitución de la información numérica conocida (por cantidades que varían con el tiempo) muy pronto. La sustitución se efectúa sólo después de la derivación. (El paso 7 va después del paso 6.) Es decir, en el ejemplo 3 se tratan valores generales de h hasta que finalmente sustituye h o 3 en la última etapa. (Si hubiera sustituido h o 3 desde antes, habría obtenido dVYdt m 0, lo cual es evidentemente erróneo.)
- 472. SECCIÓN 3.9 RAZONES RELACIONADAS 247 v EJEMPLO 4 El automóvil A se dirige hacia el oeste a 50millasYh y el automóvil B viaja hacia el norte a 60millasYh. Ambos se dirigen hacia la intersección de los dos caminos. ¿Con qué rapidez se aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a 0.3millas y el automóvil B está a 0.4millas de la intersección? SOLUCIÓN Dibuje la figura 4, donde C es la intersección de los caminos. En un tiempo dado t, sea x la distancia entre el automóvil A y C, sea y la distancia del automóvil B a C y sea z la distancia entre los vehículos, donde x, y y z se miden en millas. Sabemos que dxYdt m 50millasYh y dyYdt m 60millasYh. Las derivadas son negativas porque x y y son decrecientes. Se pide calcular dzYdt. La ecuación que relaciona x, y y z la proporciona el teorema de Pitágoras: z2 m x2 y2 Al derivar ambos lados respecto a t obtenemos dz dt 1 z x dx dt y dy dt 2z dz dt 2x dx dt 2y dy dt Cuando x m 0.3millas y y m 0.4millas, el teorema de Pitágoras da z m 0.5millas, de modo que 78mi h dz dt 1 0.5 0.3 50 0.4 60 Los vehículos se aproximan entre sí a razón de 78millasYh. v EJEMPLO 5 Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de 4 piesYs. Un faro está situado sobre el nivel de la tierra a 20 pies de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con qué rapidez el faro gira cuando el hombre está a 15 pies del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz? SOLUCIÓN Trace la figura 5 y haga que x sea la distancia desde el hombre hasta el punto sobre la trayectoria que esté más cercana al faro. Sea . el ángulo entre el rayo desde el faro y la perpendicular a la trayectoria. Sabemos que dxYdt m 4 piesYs, y se pide calcular d.Ydt cuando x m 15. La ecuación que relaciona x y . puede escribirse a partir de la figura 5: x 20 tan u x 20 tan u Al derivar respecto a t ambos miembros, obtenemos dx dt 20 sec2 d dt u u , por lo que 1 20 cos2 4 1 5 cos2 d dt 1 20 cos2 dx dt u u u u FIGURA 4 C z y x B A FIGURA 5 x 20 ¨
- 473. 248 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Cuando x m 15, la longitud del rayo es 25, así que cos u 4 5 y d dt 1 5 4 5 2 16 125 0.128 u El faro gira con una rapidez de 0.128radYs. 1. Si V es el volumen de un cubo con arista x, y el cubo se expande a medida que transcurre el tiempo, exprese dVYdt en términos de dxYdt. 2. a) Si A es el área de un círculo cuyo radio es r, y el círculo se expande a medida que pasa el tiempo, exprese dAYdt en términos de drYdt. b) Suponga que se derrama aceite de un depósito agrietado y que se extiende siguiendo una circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa con una rapidez constante de 1mYs, ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuando el radio es de 30m? 3. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6cmYs. ¿Con qué rapidez se incrementa el área del cuadrado cuando su área es de 16cm2 ? 4. El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8cmYs y el ancho a razón de 3 cmYs. Cuando el largo es 20cm y el ancho es 10cm, ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo? 5. Un tanque cilíndrico con 5m de radio se está llenando con agua a razón de 3cm3 Ymin. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de agua? 6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4mmYs. ¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el diámetro es de 80mm? 7. Suponga que y s2x 1, donde x y y son funciones de t. a) Si dxYdt m 3, encuentre dyYdt cuando x m 4. b) Si dyYdt m 5, encuentre dxYdt cuando x m 12. 8. Suponga que 4x2 9y2 m 36, donde x y y son funciones de t. a) Si dy dt 1 3, encuentre dxYdt cuando x m 2 y y 2 3 s5. b) Si dxYdt m 3, encuentre dyYdt cuando x m 2 y y 2 3 s5. 9. Si x2 y2 z2 m 9, dxYdt m 5 y dyYdt m 4, encuentre dzYdt cuando (x, y, z) m (2, 2, 1). 10. Una partícula se desplaza a lo largo de la hipérbola xy m 8. Cuando alcanza el punto (4, 2), la coordenada y se incrementa con una rapidez de 3cmYs. ¿Qué tan rápido cambia la coordenada x del punto en movimiento en ese instante? 11-14 a) ¿Qué cantidades se conocen en el problema? b) ¿Qué cantidades se desconocen? c) Trace un diagrama de la situación para cualquier tiempo t. d) Plantee una ecuación que relacione las cantidades. e) Termine de resolver el problema. 11. Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una rapidez de 500 millasYh pasa directamente sobre una estación de radar. Calcule la rapidez con la que se incrementa la distancia desde el avión a la estación cuando éste se encuentra a 2 millas de la estación. 12. Si una bola de nieve se derrite de tal modo que el área superficial disminuye a razón de 1cm2 Ymin, calcule la rapidez con la que disminuye el diámetro cuando éste es 10cm. 13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 piesYs a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 pies del poste? 14. A mediodía, un barco A está a 150km al oeste del barco B. El barco A navega hacia el este a 35kmYh y el barco B navega hacia el norte a 25kmYh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 16:00? 15. Dos automóviles parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el sur a 60 millasYh y el otro hacia el oeste a 25 millasYh. ¿Con qué rapidez se incrementa la distancia entre los automóviles dos horas después? 16. Una foco sobre el piso ilumina una pared a 12m de distancia. Si un hombre de 2m de estatura camina desde el foco hacia el edificio a una rapidez de 1.6mYs, ¿qué tan rápido disminuye la longitud de su sombra sobre la pared cuando está a 4m del edificio? 17. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 piesYs desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 piesYs desde un punto a 500 pies directo al este de P. ¿Con qué rapidez se están separando las personas 15min después de que la mujer empezó a caminar? 18. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base con una rapidez de 24 piesYs. a) ¿Con qué rapidez decrece su distancia desde la segunda base cuando está a medio camino de la primera base? b) ¿Con qué rapidez se incrementa su distancia desde la tercera base en el mismo momento? 90 pies 19. La altura de un triángulo se incrementa a razón de 1cmYmin, mientras que el área del triángulo aumenta a razón de 3.9 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 474. SECCIÓN 3.9 RAZONES RELACIONADAS 249 2cm2 Ymin. ¿Con qué rapidez cambia la base del triángulo cuando la altura es de 10cm y el área es de 100cm2 ? 20. Un bote se jala hacia un muelle mediante una soga unida a la proa y que pasa por una polea que se encuentra instalada en el muelle a 1m más arriba que la proa del bote. Si la soga se jala a una rapidez de 1mYs, ¿qué tan rápido se aproxima el bote al muelle cuando éste se encuentra a 8m de éste? 21. A mediodía, el barco A está a 100km al oeste del barco B. El barco A se dirige hacia el sur a 35kmYh, y el barco B va hacia el norte a 25kmYh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 16:00? 22. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva y m 2 sen()xY2). Cuando la partícula pasa por el punto (1 3, 1), su coordenada x se incrementa a razón de s10 cm s. ¿Qué tan rápido cambia la distancia desde la partícula al origen en este instante? 23. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a razón de 10000cm3 Ymin al mismo tiempo que se bombea agua al depósito a razón constante. El depósito mide 6m de altura, y el diámetro en la parte superior es de 4m. Si el nivel del agua se eleva a razón de 20cmYmin cuando la altura del agua es de 2m, calcule la razón a la cual el agua está siendo bombeada hacia el tanque. 24. Se tiene un canal de 10 pies de largo con extremos en forma de triángulos isósceles con 3 pies de ancho en la parte superior y con una altura de 1 pie. Si el canal se está llenando de agua a razón de 12pies3 Ymin, ¿qué tan rápido está aumentando el nivel del agua cuando ésta se encuentra a 6 pulgadas de profundidad? 25. Un canal de agua tiene 10 m de longitud y una sección transversal en forma de un trapecio isósceles con 30 cm de ancho en la parte inferior, 80 cm de ancho en la parte superior, y una altura de 50 cm. Si el canal se llena con agua a razón de 0.2 m3 Ymin, ¿qué tan rápido está aumentando el nivel del agua cuando ésta se encuentra a 30 cm de profundidad? 26. Una piscina mide 20 pies de ancho, 40 pies de largo, 3 pies de profundidad en el extremo de poco fondo y 9 pies de profundidad en la parte más honda. En la figura se muestra una sección transversal de la piscina. Si ésta se está llenando a razón de 0.8 pies3 Ymin, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando tiene 5 pies en el punto más hondo? 3 6 12 6 16 6 27. Se descarga grava por medio de una banda transportadora a razón de 30 pies3 Ymin, y el grosor de granos es tal que forma una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura son siempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila cuando ésta mide 10 pies de alto? 28. Un papalote que está a 100 pies por arriba de la superficie de la tierra se desplaza en forma horizontal a una rapidez de 8 piesYs. ¿Con qué rapidez disminuye el ángulo entre la cuerda y la horizontal cuando se han soltado 200 pies de cuerda? 29. Dos lados de un triángulo miden 4m y 5m, y el ángulo entre ellos se incrementa a razón de 0.06radYs. Calcule la razón a la cual el área del triángulo se incrementa cuando el ángulo entre los lados de longitud constante es )Y3. 30. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo entre el muro y la escalera en el ejemplo 2, cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro? 31. La parte superior de una escalera se desliza por una pared a una rapidez vertical de 0.15mYs. En el momento en que la parte inferior de la escalera está a 3m de la pared, se desliza alejándose de ésta con una rapidez de 0.2mYs. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 32. Un grifo está llenando un recipiente hemisférico de 60cm de diámetro, con agua a razón de 2LYmin. Encuentre la rapidez a la que está aumentando el agua en el recipiente cuando está medio lleno. [Utilice los siguientes hechos: 1L m 1000cm3 . El volumen de la parte de una esfera con radio r desde la parte inferior a una altura h es V (rh2 1 3 h3 ), como lo demostraremos en el capítulo 6]. 33. La ley de Boyle establece que, cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV m C, donde C es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es de 600cm3 , la presión es de 150kPa y que la presión se incrementa a razón de 20kPaYmin ¿Con qué rapidez disminuye el volumen en ese instante? 34. Cuando el aire se expande en forma adiabática, (no gana ni pierde calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación PV1.4 m C, donde C es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es 400cm3 y que la presión es 80kPa y está disminuyendo a razón de 10kPaYmin. ¿Con qué rapidez se incrementa el volumen en este instante? 35. Si se conectan dos resistencias R1 y R2 en paralelo, como se muestra en la figura, entonces la resistencia total R, medida en ohms (6) está dada por 1 R 1 R1 1 R2 Si R1 y R2 se incrementan a razón de 0.36Ys y 0.26Ys,
- 475. 250 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Hemos visto que una curva se encuentra muy cerca de su recta tangente cerca del punto de tangencia. De hecho, al realizar un acercamiento hacia el punto en la gráfica de una fun- ción derivable, observamos que la gráfica se parece cada vez más a su recta tangente. (Véase la figura 2 en la sección 2.7.) Esta observación es la base de un método para hallar valores aproximados de funciones. La idea es que puede resultar fácil calcular un valor f(a) de una función, pero difícil (si no es que imposible) calcular valores cercanos de f. Por tanto, recurrimos a los valores calculados fácilmente de la función lineal L cuya gráfica es la recta tangente de f en (a, f(a)). (Véase la figura 1.) En otras palabras, utilizamos la recta tangente en (a, f(a)) como una aproximación a la curva y m f(x) cuando x está cerca de a. Una ecuación para la recta tangente es y m f(a) f(a)(x a) respectivamente, ¿qué tan rápido cambia R cuando R1 m 806 y R2 m 1006? R¡ R™ 36. El peso B del cerebro en función del peso del cuerpo W en los peces ha sido modelado mediante la función potencia B m 0.007W2Y3 , donde B y W se dan en gramos. Un modelo para el peso corporal en función de la longitud del cuerpo L (medido en centímetros), es W m 0.12L2.53 . Si en 10 millones de años la longitud promedio de ciertas especies de peces evolucionaron de 15 a 20cm a rapidez constante, ¿qué tan rápido creció el cerebro de estas especies cuando la longitud promedio era de 18cm? 37. Los lados de un triángulo tienen longitudes de 12 y 15m. El ángulo entre ellos se incrementa a razón de 2Ymin. ¿Qué tan rápido se incrementa la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es de 60? 38. Dos carros A y B están conectados por medio de una soga de 39 pies de longitud que pasa por una polea P (véase la figura). El punto Q está en el suelo a 12 pies directamente abajo de P y entre los carros. El carro A es jalado a partir de Q a una rapidez de 2 piesYs. ¿Qué tan rápido se mueve el carro B hacia Q en el instante en que el carro A está a 5 pies de Q? A B Q P 12pies 39. Una cámara de televisión se instala a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la rapidez correcta con el objeto de tener siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva. Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 piesYs cuando se ha elevado 3000 pies. a) ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? b) Si la cámara de televisión se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿qué tan rápido cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento? 40. Un faro se localiza en una pequeña isla a 3km de distancia del punto P más cercano que se encuentra en una playa recta, y su luz da cuatro revoluciones por minuto. ¿Qué tan rápido se mueve el haz de luz a lo largo de la playa cuando está a 1km de P? 41. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 5km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la superficie de la Tierra. Cuando el ángulo de elevación es )Y3, este ángulo está disminuyendo a razón de )Y6radYmin. ¿Con qué rapidez está viajando el avión en ese instante? 42. Una rueda de la fortuna de 10m de radio está girando a razón de una revolución cada 2min. ¿Qué tan rápido se está elevando un pasajero cuando su silla está a 16m del nivel del suelo? 43. Un avión que vuela con rapidez constante de 300kmYh pasa sobre una estación terrestre de radar a una altitud de 1km y se eleva con un ángulo de 30. ¿Con qué rapidez se incrementa la distancia del avión a la estación de radar un minuto más tarde? 44. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3miYh, y la otra camina hacia el noreste a 2miYh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personas después de 15 minutos? 45. Un individuo corre por una pista circular de 100m de radio a una rapidez constante de 7mYs. Un amigo del corredor está parado a una distancia de 200m del centro de la pista. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200m? 46. La manecilla de los minutos de un reloj mide 8mm de largo y la manecilla de las horas mide 4mm de largo. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las puntas de las manecillas cuando es 13:00? 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales x 0 y {a, f(a)} y=ƒ y=L(x) FIGURA 1
- 476. SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES 251 y la aproximación 1 f(x) y f(a) f(a)(x a) se conoce con el nombre de aproximación lineal o aproximación de la recta tangente de f en a. A la función lineal cuya gráfica es esta recta tangente, es decir, 2 L(x) m f(a) f(a)(x a) se le llama linealización de f en a. v EJEMPLO 1 Encuentre la linealización de la función f x sx 3 en a m 1 y úsela para obtener una aproximación de los números y s4.05 s3.98 . ¿Estas aproximaciones son sobreestimaciones o subestimaciones? SOLUCIÓN La derivada de f(x) m (x 3)1Y2 es f x 1 2 x 3 1 2 1 2sx 3 y tenemos que f(1) m 2 y f 1 1 4. Si ponemos estos valores en la ecuación 2, la linealización es L x f 1 f 1 x 1 2 1 4 x 1 7 4 x 4 La aproximación lineal correspondiente 1 es (cuando x está cerca de 1) sx 3 7 4 x 4 En particular, tenemos que s4.05 7 4 1.05 4 2.0125 y s3.98 7 4 0.98 4 1.995 En la figura 2 se ilustra la aproximación lineal. En efecto, la recta tangente es una buena aproximación a la función dada cuando x esta cerca de 1. También vemos que las aproximaciones son sobreestimaciones porque la recta tangente se encuentra por arriba de la curva. Por supuesto, una calculadora podría dar aproximaciones para y s4.05 s3.98 , pero la aproximación lineal da una aproximación sobre todo un intervalo. En la tabla siguiente se comparan las estimaciones de la aproximación lineal del ejemplo 1 con los valores reales. Observe en esta tabla, y también en la figura 2, que la aproxima- ción con la recta tangente da buenas estimaciones cuando x está cerca de 1, pero la precisión de la aproximación disminuye cuando x está más lejos de 1. x De Lx Valor real 0.9 1.975 1.97484176 . . . 0.98 1.995 1.99499373 . . . 1 2 2.00000000 . . . 1.05 2.0125 2.01246117 . . . 1.1 2.025 2.02484567 . . . 2 2.25 2.23606797 . . . 3 2.5 2.44948974 . . . s6 s5 s4.1 s4.05 s4 s3.98 s3.9 y= x+3 _3 0 x y 1 (1, 2) y= + x 4 7 4 œ„„„„ FIGURA 2
- 477. 252 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ¿Qué tan buena es la aproximación obtenida en el ejemplo 1? El ejemplo siguiente muestra que usando una calculadora graficadora o una computadora es posible determinar un intervalo a lo largo del cual una aproximación lineal proporciona una precisión específica. EJEMPLO 2 ¿Para cuáles valores de x la aproximación lineal sx 3 7 4 x 4 es exacta con una diferencia menor que 0.5? ¿Qué puede decir de una exactitud con una diferencia menor que 0.1? SOLUCIÓN Una exactitud con una diferencia menor que 0.5 significa que las funciones deben diferir en menos de 0.5: sx 3 7 4 x 4 0.5 De modo equivalente, podríamos escribir sx 3 0.5 7 4 x 4 sx 3 0.5 Esto expresa que la aproximación lineal debe encontrarse entre las curvas que se obtienen al desplazar la curva y sx 3 hacia arriba y hacia abajo en una cantidad de 0.5. En la figura 3 se muestra la recta tangente y m (7 x)Y4 que interseca la curva superior y sx 3 0.5 en P y en Q. Al hacer un acercamiento y usar el cursor, en la computadora estimamos que la coordenada x de P se aproxima a 2.66, y la coordenada x de Q es más o menos 8.66. Así, con base en la gráfica, la aproximación sx 3 7 4 x 4 es exacta con una diferencia menor que 0.5 cuando 2.6
- 478. x
- 479. 8.6. (Se ha redondeado para quedar dentro del margen de seguridad). De manera análoga, en la figura 4 vemos que la aproximación es exacta con una diferencia menor que 0.1 cuando 1.1
- 480. x
- 481. 3.9. Aplicaciones en la física Las aproximaciones lineales se usan con frecuencia en la física. Al analizar las consecuen- cias de una ecuación, a veces un físico necesita simplificar una función sustituyéndola con una aproximación lineal. Por ejemplo, al derivar una fórmula para el periodo de un péndu- lo, los libros de texto de física obtienen la expresión aT m J sen . para la aceleración tangencial, y luego sustituyen sen . por . haciendo la observación de que sen . está muy cerca de . si éste no es demasiado grande. [Véase, por ejemplo, Physics: Calculus, 2a. edición, por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: BrooksYCole, 2000), p. 431.] Podemos comprobar que la linealización de la función f(x) m sen x en a m 0 es L(x) m x, de mane- ra que la aproximación lineal en 0 es sen x y x (véase el ejercicio 42). Así que, en efecto, la derivación de la fórmula para el periodo de un péndulo utiliza la aproximación a la recta tangente para la función seno. Otro ejemplo se presenta en la teoría de la óptica, donde los rayos de luz que llegan con ángulos bajos en relación con el eje óptico se llaman rayos paraxiales. En la óptica paraxial (o gaussiana) tanto sen . como cos . se sustituyen con sus linealizaciones. En otras palabras, las aproximaciones lineales sen . y . y cos . y 1 4.3 _1 _4 10 y= x+3-0.5 œ„„„„ Q P L(x) FIGURA 3 y= x+3+0.5 œ„„„„ 3 1 _2 y= x+3-0.1 œ„„„„ Q P 5 y= x+3+0.1 œ„„„„ FIGURA 4
- 482. SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES 253 se utilizan porque . está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con estas aproximaciones se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para diseñar lentes. [Véase Optics, 4a. edición, por Eugene Hecht (San Francisco: Addison Wesley, 2002), p. 154.] En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de aproximación lineal a la física. Diferenciales Las ideas detrás de las aproximaciones lineales se formulan en ocasiones en la terminolo- gía y la notación de diferenciales. Si y m f(x), donde f es una función derivable, entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La diferencial dy es entonces definida en términos de dx mediante la ecuación 3 dy m f(x)dx Así que dy es una variable dependiente: depende de los valores de x y dx. Si a dx se le da un valor específico, y x se considera como algún número específico en el dominio de f, entonces se determina el valor numérico de dy. En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean P(x, f(x)) y Q(x $x, f(x $x)) puntos sobre la gráfica de f, y sea dx m $x. El cambio correspon- diente en y es $y m f(x $x) f(x) La pendiente de la recta tangente PR es la derivada f(x). Por consiguiente, la distancia dirigida de S a R es f(x)dx m dy. Por tanto, dy representa la cantidad que la recta tangen- te se levanta o cae (el cambio en la linealización), mientras que $y representa la cantidad que la curva y m f(x) se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx. EJEMPLO 3 Compare los valores de $y y dy si y m f(x) m x3 x2 2x 1 y x cambia a) de 2 a 2.05 y b) de 2 a 2.01. SOLUCIÓN a) Tenemos que y f 2.05 f 2 0.717625 f 2.05 2.05 3 2.05 2 2 2.05 1 9.717625 f 2 23 22 2 2 1 9 En general, dy m f(x) dx m (3x2 2x 2) dx Cuando x m 2 y dx m $x m 0.05, esto se transforma en b) y f 2.01 f 2 0.140701 f 2.01 2.01 3 2.01 2 2 2.01 1 9.140701 dy 3 2 2 2 2 2 0.05 0.7 Cuando dx m $x m 0.01, dy m [3(2)2 2(2) 2] 0.01 m 0.14 Si dx o0, podemos dividir ambos lados de la ecuación 3 entre dx para obtener dy dx f x Antes hemos visto ecuaciones similares, pero ahora el lado izquierdo puede interpretarse en forma genuina como una razón de diferenciales. La figura 6 muestra la función del ejemplo 3 y una comparación de dy y $y cuando a m 2. El rectángulo de vista es F1.8, 2.5G por F6, 18G. R 0 x y Îy x P Q dx=Îx x+Îx y=ƒ S dy FIGURA 5 FIGURA 6
- 483. 254 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Observe que, en el ejemplo 3, la aproximación $y y dy mejora a medida que $x se hace más pequeña. Observe también que es más fácil calcular dy que $y. En el caso de funcio- nes más complicadas, sería imposible calcular exactamente $y. En estos casos, la aproxi- mación mediante diferenciales es especialmente útil. En la notación de diferenciales, la aproximación lineal 1 puede escribirse como f(a dx) f(a) dy Por ejemplo, para la función f x sx 3 del ejemplo 1, tenemos que dy f x dx dx 2sx 3 Si a m 1 y dx m $x m 0.05, entonces dy 0.05 2s1 3 0.0125 y s4.05 f 1.05 f 1 dy 2.0125 igual a lo que halló en el ejemplo 1. Nuestro ejemplo final ilustra el uso de diferenciales al estimar los errores que ocurren debido a mediciones aproximadas. v EJEMPLO 4 Se midió el radio de una esfera y se encontró que es 21cm con un posible error en la medición de cuanto mucho 0.05cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera? SOLUCIÓN Si el radio de la esfera es r, entonces el volumen es V 4 3 r3 . Si el error en el valor medido de r se denota por medio de dr m $r, entonces el error correspondiente en el valor calculado de V es $V, el cual puede aproximarse mediante el diferencial dV m 4)r2 dr Cuando r m 21 y dr m 0.05, esto se convierte en dV m 4)(21)2 0.05 277 El error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 277cm3 . NOTA Si bien el posible error en el ejemplo 4 puede parecer bastante grande, el error relativo ofrece un mejor panorama del error; se calcula dividiendo el error entre el volu- men total: V V dV V 4 r2 dr 4 3 r3 3 dr r Por esto, el error relativo en el volumen es aproximadamente tres veces el error relativo en el radio. En el ejemplo 4, el error relativo en el radio es drYr m 0.05Y21 y 0.0024 y pro- duce un error relativo de alrededor de 0.007 en el volumen. Los errores pueden expresarse asimismo como errores de porcentaje de 0.24% en el radio y 0.7% en el volumen.
- 484. SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES 255 3.10 Ejercicios 1-4 Encuentre la linealización L(x) de cada una de las siguientes funciones en x m a. 1. , 2. 3. , 4. , a 6 a 16 f x x3 4 a 4 f x sx f x sen x, a 1 f x x4 3x2 5. Encuentre la aproximación lineal a la función f x s1 x en a m 0 y úsela para hacer una aproximación a los números s0.9 y s0.99 . Ilustre graficando f y la recta tangente. 6. Encuentre la aproximación lineal de la función t x s 3 1 x en a m 0 y utilícela para hacer una aproximación a los números s 3 0.95 y s 3 1.1 . Ilustre graficando J y la recta tangente. 7-10 Compruebe la aproximación lineal dada en a m 0. A continua- ción determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal es exacta hasta un valor menor que 0.1. 7. 8. . 0 1 . 9 1 1 2 x ex cos x 1 x s 4 1 2x 1 x 3 1 3x ln 1 x x 11-14 Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones. 11. ) b ) a 12. ) b ) a 13. ) b ) a 14. ) b ) a y s1 ln z y etan t y 1 v2 1 v2 y tan st y e u cos u y s 1 2s y lns1 t2 y x2 sen 2x 15-18 a) Encuentre la diferencial dy y b) evalúe dy para los valores dados de x y dx en cada una de las siguientes funciones. 15. , , 16. , , 17. , , 18. , , dx 0.05 x 2 y x 1 x 1 dx 0.1 x 1 y s3 x2 dx 0.02 x 1 3 y cos x dx 0.1 x 0 y ex 10 19-22 Calcule $y y dy para los valores dados de x y dx m $x. Luego elabore un diagrama como el de la figura 5 en el que se muestren los segmentos de recta con longitudes dx, dy y $y. 19. , , 20. , , 21. , , 22. , , x 0.5 x 0 y ex x 1 x 4 y 2 x x 1 x 1 y sx x 0.4 x 2 y 2x x2 23-28 Utilice la aproximación lineal (o diferenciales) para estimar cada uno de los siguientes números dados. 23. (1.999)4 24. e0.015 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 s 3 1001 1 4.002 s99.8 tan 44 29-31 Explique, en términos de aproximaciones lineales o diferenciales, por qué es razonable la aproximación de cada uno de los siguientes números. 29. 30. 31. ln 1.05 0.05 1.01 6 1.06 sec 0.08 1 32. Sean f(x) m (x 1)2 J(x) m e2x y h(x) m 1 ln(1 2x) a) Encuentre la linealización de f, J y h en a m 0. ¿Qué observa? ¿Cómo explica lo que sucedió? b) Grafique f, J y h y su aproximación lineal. ¿Para cuál función es mejor la aproximación lineal? ¿Para cuál es peor? Explique. 33. Se encontró que la arista de un cubo es 30cm, con un posible error en la medición de 0.1cm. Utilice diferenciales para estimar el error máximo posible, el error relativo y el porcentaje de error al calcular a) el volumen del cubo y b) el área superficial del cubo. 34. Se da el radio de un disco circular como de 24 cm, con un error máximo en la medición de 0.2cm. a) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del disco. b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el porcentaje de error? 35. La circunferencia de una esfera se midió como 84 cm, con un posible error de 0.5cm. a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo? b) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo? 36. Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un diámetro de 50m. 37. a) Utilice diferenciales para determinar una fórmula para el volumen aproximado de un cascarón cilíndrico de altura h, radio interno r y espesor $r. b) ¿Cuál es el error que hay al utilizar la fórmula del inciso a)? 38. Se sabe que un lado de un triángulo rectángulo es de 20cm de longitud, y se mide el ángulo opuesto como 30, con un posible error de 1. a) Utilice diferenciales para estimar el error al calcular la longitud de la hipotenusa. b) ¿Cuál es el porcentaje de error? Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 485. 256 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 39. Si una corriente I pasa a través de un resistor con resistencia R, la ley de Ohm establece que la caída de voltaje es V m RI. Si V es constante y R se mide con un cierto error, utilice diferenciales para demostrar que el cálculo de I es aproximadamente el mismo (en magnitud) que el error relativo en R. 40. Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F (el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio R de ese vaso: F m kR4 (Ésta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4 se muestra el porqué es verdadera.) Una arteria parcialmente obstruida puede expandirse por medio de una operación llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un globo en la punta se infla dentro del vaso a fin de ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal. Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cuatro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento de 5% en el radio al flujo de sangre? 41. Establezca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales (donde c es una constante y u y v son funciones de x). ) b ) a ) d ) c ) f ) e d xn nxn 1 dx d u v v du u dv v2 d uv u dv v du d u v du dv d cu c du dc 0 42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. edición, por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: BrooksYCole, 2000), al derivar la fórmula T 2 sL t para el periodo de un péndulo de longitud L, el autor obtiene la ecuación aT m J sen . para la aceleración tangencial del breve movimiento del péndulo. Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de . en radianes está muy cerca del valor de sen .; difieren menos que 2% hasta alrededor de 20”. a) Compruebe la aproximación lineal en . para la función seno: sen x y x b) Utilice un dispositivo graficador para determinar los valores de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%. Enseguida compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo de radianes a grados. 43. Suponga que la única información acerca de una función f es que f(1) m 5 y la gráfica de su derivada es como se muestra. a) Use una aproximación lineal para estimar f(0.9) y f(1.1). b) ¿Sus estimaciones para el inciso a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique. y x 0 1 y=fª(x) 1 44. Suponga que no tiene una fórmula para J(x), pero sabe que J(2) m 4 y t x sx2 5 para toda x. a) Use una aproximación lineal para estimar J(1.95) y J(2.05). b) ¿Sus estimaciones para el inciso a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique. PROYECTO DE LABORATORIO POLINOMIOS DE TAYLOR La aproximación por medio de una recta tangente de L(x) es la mejor aproximación de primer grado (lineal) a f(x) cerca de x m a porque f(x) y L(x) tienen la misma razón de cambio (derivada) en x m a. Para tener una mejor aproximación que una lineal, intentemos una aproximación de segundo grado (cuadrática) P(x). En otras palabras, aproximemos una curva mediante una parábola, en lugar de utilizar una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, establecemos lo siguiente: i) P(a) m f(a) (P y f deben tener el mismo valor en x m a.) ii) P(a) m f(a) (P y f deben tener la misma razón de cambio en x m a.) iii) P(a) m f (a) (Las pendientes de P y f deben tener la misma razón de cambio en x m a.) 1. Encuentre la aproximación cuadrática P(x) m A Bx Cx 2 para la función f (x) m cos x, que satisfaga las condiciones i), ii) y iii), con a m 0. Grafique P, f y la aproximación lineal L(x) m 1 en una pantalla común. Comente qué tan bien las funciones P y L se aproximan a f. 2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática f(x) y P(x) del problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: grafique y m P(x), y m cos x 0.1 y y m cos x 0.1 en una pantalla común.] Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 486. SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 257 3. Para obtener una aproximación de una función f mediante una función cuadrática P cerca de un número x m a, lo mejor es escribir P en la forma P(x) m A B(x a) C(x a)2 Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones i), ii) y iii) es P x f a f a x a 1 2 f a x a 2 4. Encuentre la aproximación para f x sx 3 cerca de a m 1. Trace las gráficas de f, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo 2 de la sección 3.10 en una pantalla común. ¿Qué podría concluir? 5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o con una cuadrática para f(x), cerca de x m a, intente hallar mejores aproximaciones con polinomios de grado más alto. Busque un polinomio de n-ésimo grado Tn x c0 c1 x a c2 x a 2 c3 x a 3 cn x a n tal que Tn y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x m a como f y sus n primeras derivadas. Derive repetidas veces y haga x m a para demostrar que estas condiciones se satisfacen si c0 f a , c1 f a , c2 1 2 f a y, en general, ck f k a k! donde k! m 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? k. El polinomio resultante Tn x f a f a x a f a 2! x a 2 f n a n! x a n Se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f centrado en x m a. 6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, centrado en a m 0, para la función f(x) m cos x. Grafique f junto con los polinomios de Taylor T2, T4, T6 y T8, en rectángulos de vista F5, 5G por F1.4, 1.4G y comente qué tan bien se aproximan a f. 3.11 Funciones hiperbólicas Ciertas combinaciones pares e impares de las funciones exponenciales ex y ex surgen tan a menudo en las matemáticas y sus aplicaciones que merecen recibir un nombre especial. En muchos aspectos son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma rela- ción con la hipérbola que las funciones trigonométricas tienen con la circunferencia. Por esta razón, se les llama en forma colectiva funciones hiperbólicas, y de manera individual se les conoce como seno hiperbólico, coseno hiperbólico, y así sucesivamente Definición de las funciones hiperbólicas coth x cosh x senh x tanh x senh x cosh x sech x 1 cosh x cosh x ex e x 2 csch x 1 senh x senh x ex e x 2
- 487. 258 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico pueden trazarse mediante la suma gráfica como en las figuras 1 y 2. FIGURA 3 y=tanh x y 0 x y=_1 y=1 FIGURA 1 y=senh x= ´- e–® 1 2 1 2 1 2 y= ´ y=_ e–® 1 2 y=senh x 0 y x FIGURA 2 y=cosh x= ´+ e–® 1 2 1 2 y= e–® 1 2 1 2 y= ´ y=cosh x 1 0 y x Observe que el dominio de senh es 2, y el rango es 2, pero que cosh tiene por dominio 2 y rango F1, @). En la figura 3 se muestra la gráfica de tanh, con sus asíntotas horizonta- les y m 1. (Véase el ejercicio 23.) Algunos de los usos matemáticos de las funciones hiperbólicas se tratan en el capítulo 7. Las aplicaciones en la ciencia y la ingeniería se tienen siempre que una entidad física como la luz, velocidad, electricidad o la radiactividad, se absorbe o se extingue en forma gradual, puesto que el decaimiento puede representarse mediante funciones hiperbólicas. La aplicación más famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante. Puede demostrarse que si un cable pesado y flexible (como los que se usan para las líneas telefónicas o eléctricas) se tiende entre dos puntos a la misma altura, enton- ces el cable toma la forma de una curva con ecuación y m c a cosh(xYa) que se deno- mina catenaria (véase la figura 4). (Esta palabra proviene de la palabra latina catena que significa “cadena”.) Otras aplicaciones de las funciones hiperbólicas aparecen en la descripción de las olas del mar: la velocidad de una ola con longitud L que se mueve a través de un cuerpo de agua con profundidad d se modela por la función v tL 2 tanh 2 d L donde J es la aceleración debida a la gravedad (véanse la figura 5 y el ejercicio 49). Las funciones hiperbólicas satisfacen un número de identidades que son similares a las muy bien conocidas identidades trigonométricas. A continuación se enlistan algunas de ellas, y la mayoría de las demostraciones se deja para los ejercicios. Identidades hiperbólicas coshx y cosh x cosh y senh x senh y senhx y senh x cosh y cosh x senh y 1 tanh2 x sech2 x cosh2 x senh2 x 1 cosh x cosh x senhx senh x L d FIGURA 5 Ola oceánica idealizada FIGURA 4 Catenaria y=c+a cosh(x/a) y 0 x
- 488. SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 259 v EJEMPLO 1 Demuestre que a) cosh2 x senh2 x m 1 y b) 1 tanh2 x m sech2 x. SOLUCIÓN a) 4 4 1 e2x 2 e 2x 4 e2x 2 e 2x 4 cosh2 x senh2 x ex e x 2 2 ex e x 2 2 b) Empecemos con la identidad demostrada en el inciso (a): cosh2 x senh2 x m 1 Si dividimos los dos lados por cosh2 x, obtenemos senh2 x o bien 1 tanh2 x sech2 x 1 cosh2 x 1 cosh2 x La identidad demostrada en el ejemplo 1a) proporciona una pista sobre el nombre de funciones “hiperbólicas”. Si t es cualquier número real, entonces el punto P(cos t, sen t) queda sobre la circunfe- rencia unitaria x2 y2 m 1 porque cos2 t sen2 t m 1. De hecho, t puede interpretarse como la medida en radianes de POQ de la figura 6. Ésta es la razón por la que las funciones trigonométricas se denominan algunas veces funciones circulares. De manera similar, si t es cualquier número real, entonces el punto P(cosh t, senh t) queda en la rama derecha de la hipérbola x 2 y2 m 1 porque cosh2 t senh2 t m 1 y cosh t w 1. Pero ahora t no representa la medida de un ángulo. Resulta que t representa el doble del área del sector hiperbólico sombreado de la figura 7, de la misma manera que en el caso trigonométrico t representa el doble del área del sector circular sombreado en la figura 6. Las derivadas de las funciones hiperbólicas son fáciles de calcular. Por ejemplo, d dx senh x d dx ex e x 2 ex e x 2 cosh x En la tabla 1 siguiente se da una lista de las fórmulas de derivación de las funciones hiper- bólicas. El resto de las demostraciones se dejan como ejercicios. Observe la similitud con las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas, pero advierta que los signos son diferentes en algunos casos. © 2006 Getty Images FIGURA 7 0 y x ≈-¥=1 P(cosh t, senh t) FIGURA 6 O y x P(cos t, sen t) ≈+¥=1 Q Derivadas de las funciones hiperbólicas 1 d dx tanh x sech2 x d dx coth x csch2 x d dx cosh x senh x d dx sech x sech x tanh x d dx senh x cosh x d dx csch x csch x coth x El arco Gateway en St. Louis se diseñó utilizando una función coseno hiperbólico (ejercicio 48).
- 489. 260 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 2 Cualquiera de estas reglas de derivación puede combinarse con la regla de la cadena. Por ejemplo, d dx (cosh sx ) senh sx d dx sx senh sx 2sx Funciones hiperbólicas inversas De acuerdo con las figuras 1 y 3, senh x y tanh x son funciones uno a uno por lo que tienen funciones inversas denotadas por senh1 x y tanh1 x. En la figura 2 se observa que cosh x no es uno a uno, pero que cuando queda restringida al dominio F0, @) se transfor- ma en uno a uno. La función coseno hiperbólico inversa se define como la inversa de esta función restringida. 2 y tanh 1 x ? tanh y x y cosh 1 x ? cosh y x y y 0 y senh1 x ? senh y x Las funciones hiperbólicas inversas que faltan se definen de manera similar (véase el ejercicio 28). Las funciones senh1 x, cosh1 x y tanh1 x se grafican en las figuras 8, 9 y 10 con ayuda de las figuras 1, 2 y 3. FIGURA 8 y=senh–! x dominio=R rango=R 0 y x FIGURA 9 y=cosh–! x dominio=[1, `} rango=[0, `} 0 y x 1 FIGURA 10 y=tanh–! x dominio=(_1, 1) rango=R 0 y x 1 _1 Puesto que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones exponen- ciales, no sorprende que las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en términos de logaritmos. En particular, se tiene que: 5 4 3 tanh 1 x 1 2 ln 1 x 1 x 1 x 1 cosh 1 x ln(x sx2 1) x 1 senh1 x ln(x sx2 1) x EJEMPLO 3 Demuestre que senh1 x ln(x sx2 1). SOLUCIÓN Sea y m senh1 x. En tal caso x senh y ey e y 2 La fórmula 3 se demuestra en el ejemplo 3. En los ejercicios 26 y 27 se piden las demostraciones de las fórmulas 4 y 5.
- 490. SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 261 por lo que ey 2x ey m 0 o bien, si multiplicamos por ey , e2y 2xey 1 m 0 Esto es ni más ni menos que una ecuación cuadrática en ey : (ey )2 2x(ey ) 1 m 0 Al resolver la ecuación cuadrática, obtenemos ey 2x s4x2 4 2 x sx2 1 Observe que ey 0, pero x sx2 1 0 (porque x sx2 1). Así que el signo menos es inadmisible, por lo que tenemos que ey x sx2 1 Por tanto, y ln ey ln(x sx2 1) (Véase el ejercicio 25, donde se ilustra otro método.) Observe que, al parecer, las fórmulas para las derivadas de tanhl x y cothl x son idénticas, pero los dominios de estas funciones no tienen números comunes: tanhl x se define para U x U
- 491. 1, mientras que cothl x se define para U x U 1. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas 6 d dx tanh 1 x 1 1 x2 d dx coth 1 x 1 1 x2 d dx cosh 1 x 1 sx2 1 d dx sech 1 x 1 xs1 x2 d dx senh1 x 1 s1 x2 d dx csch 1 x 1 x sx2 1 Las funciones hiperbólicas inversas son derivables porque las funciones hiperbólicas también lo son. Las fórmulas de la tabla 6 pueden demostrarse por el método de las funciones inversas o mediante la derivación de las fórmulas 3, 4 y 5. v EJEMPLO 4 Demuestre que d dx senh1 x 1 s1 x2 . SOLUCIÓN 1 Sea y m senh1 x. Entonces senh y m x. Si se deriva esta ecuación en forma implícita respecto a x, obtenemos cosh y dy dx 1 Puesto que cosh2 y senh2 y m 1 y cosh y w 0, se tiene cosh y s1 senh2 y, de modo que dy dx 1 cosh y 1 s1 senh2 y 1 s1 x2
- 492. 262 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN SOLUCIÓN 2 De acuerdo con la ecuación 3 (demostrada en el ejemplo 3) se obtiene 1 sx2 1 sx2 1 x (x sx2 1)sx2 1 1 x sx2 1 1 x sx2 1 1 x sx2 1 d dx (x sx2 1) d dx senh1 x d dx ln(x sx2 1) v EJEMPLO 5 Determine d dx tanh1 sen x . SOLUCIÓN Con la ayuda de la tabla 6 y de la regla de la cadena, obtenemos 1 1 sen2 x cos x cos x cos2 x sec x d dx 1 1 sen x2 d dx sen x tanh1 sen x 3.11 Ejercicios 1-6 Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones. 1. a) senh 0 b) cosh 0 2. a) tanh 0 b) tanh 1 3. a) senh(ln 2) b) senh 2 4. a) cosh 3 b) cosh(ln 3) 5. a) sech 0 b) cosh1 1 6. a) senh 1 b) senh1 1 7-19 Demuestre las siguientes identidades. 7. senh(x) m senh x (Esto demuestra que senh x es una función impar.) 8. cosh(x) m cosh x (Esto demuestra que cosh x es una función par.) 9. cosh x senh x m ex 10. cosh x senh x m ex 11. senh(x y) m senh x cosh y cosh x senh y 12. cosh(x y) m cosh x cosh y senh x senh y 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. real n). cosh x senh xn cosh nx senh nx (para cualquier número 1 tanh x 1 tanh x e2x tanh ln x x2 1 x2 1 cosh 2x cosh2 x senh2 x senh 2x 2 senh x cosh x tanh x y tanh x tanh y 1 tanh x tanh y coth2 x 1 csch2 x 20. Si tanh x 12 13, calcule los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 21. Si cosh x 5 3 y x 0, calcule los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 22. a) Utilice las gráficas de senh x, cosh x y tanh x de las figuras 1 a 3 para dibujar las gráficas de csch x, sech x y coth x. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 493. SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 263 b) Verifique las gráficas que trazó en el inciso a) mediante una calculadora graficadora o una computadora. 23. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para determinar cada uno de los límites siguientes. ) b ) a ) d ) c ) f ) e ) h ) g i) lím x l csch x lím xl0 coth x lím xl0 coth x lím x l coth x lím x l sech x lím x l senh x lím x l senh x lím x l tanh x lím x l tanh x 24. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 1 para las derivadas de las funciones a) cosh x, b) tanh x, c) csch x, d) sech x e) coth x. 25. Encuentre una solución alternativa para el ejemplo 3 haciendo y m senhl x y luego usando el ejercicio 9 y el ejemplo 1a) en donde y reemplaza a x. 26. Demuestre la ecuación 4. 27. Demuestre la ecuación 5 utilizando a) el método del ejemplo 3 y b) el ejercicio 18 en donde y reemplaza a x. 28. Para cada una de las funciones siguientes i) proporcione una definición como la de 2 , ii) trace la gráfica y encuentre una fórmula similar a la ecuación 3. a) csch1 x b) sech1 x c) coth1 x 29. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 6 para las derivadas de las funciones siguientes. a) cosh1 x b) tanh1 x c) csch1 x d) sech1 x e) coth1 x 30-45 Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones y simplifique tanto como sea posible. . 1 3 . 0 3 . 3 3 . 2 3 34. 35. . 7 3 . 6 3 . 9 3 . 8 3 . 1 4 . 0 4 42. 43. 44. 45. y coth 1 sec x y sech 1 e x y x senh1 x3 s9 x2 y x tanh 1 x ln s1 x2 y cosh 1 sx y senh1 tan x G x 1 cosh x 1 cosh x y senhcosh x f t sech2 et f t csch t 1 ln csch t y ecosh 3x y x coth 1 x2 h x ln cosh x t x cosh ln x f x x senh x cosh x f x tanh 1 e2x 46. Demuestre que 1 2 ex 2 d dx 1 tanh x 1 tanh x 4 47. Demuestre que d dx arctan tanh x sech 2x. 48. El arco Gateway en St. Louis fue diseñado por Eero Saarinen y construido empleando la ecuación y m 211.49 20.96 cosh 0.03291765x para la curva central del arco, donde x y y se miden en metros y U x U v 91.20. a) Grafique la curva central. b) ¿Cuál es la altura del arco en su centro? c) ¿En qué punto la altura es de 100m? d) ¿Cuál es la pendiente del arco en el punto del inciso c)? 49. Si las olas del mar con longitud L se mueven con velocidad v en un cuerpo de agua con profundidad d, entonces v tL 2 tanh 2 d L donde J es la aceleración debida a la gravedad (véase la figura 5). Explique por qué la aproximación. v tL 2 es apropiada en aguas profundas. 50. Un cable flexible colgante siempre forma una catenaria y m c a cosh(xYa), donde c y a son constantes y a 0 (véase la figura 4 y el ejercicio 52). Grafique varios miembros de la familia de las funciones y m a cosh(xYa). ¿Cómo cambia la gráfica cuando a varía? 51. Un cable de teléfono cuelga entre dos postes que están separados entre sí 14m y forma la catenaria y m 20 cosh(xY20) 15, donde x y y se miden en metros. a) Encuentre la pendiente de esta curva donde se encuentra con el poste derecho. b) Calcule el ángulo . entre el cable y el poste. y 0 x _7 7 5 ¨ 52. Mediante los principios de la física puede demostrarse que cuando un cable cuelga entre dos postes toma la forma de una curva y m f(x) que satisface la ecuación diferencial d2 y dx2 t T 1 dy dx 2 r donde + es la densidad lineal del cable, J es la aceleración de la gravedad y T es la tensión del cable en su punto más bajo. El sistema coordenado se elige en forma adecuada. Compruebe que la función y f x T t cosh tx T r r es una solución de esta ecuación diferencial.
- 494. 264 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 53. Un cable con densidad lineal + m 2kgYm se sujeta desde la parte alta de dos postes que están separados 200m. a) Utilice el ejercicio 52 para calcular la tensión T que hay en el cable cuando está en su punto más bajo a 60m del suelo ¿Qué tan alto son los postes? b) Si se duplica la tensión, ¿cuál es el nuevo punto bajo del cable? ¿Qué tan altos son ahora los polos? 54. Evalúe lím x l senh x ex . 55. a) Demuestre que cualquier función de la forma y m A senh mx B cosh mx satisface la ecuación diferencial y m m2 y. b) Determine y m y(x) tal que y m 9y, y(0) m 4 y y(0) m 6. 56. Si x m ln(sec . tan .), demuestre que sec . m cosh x. 57. ¿En qué punto de la curva y m cosh x la tangente tiene pendiente 1? 58. Investigue la familia de funciones fn (x) m tanh(n sen x) donde n es un entero positivo. Describa qué pasa con la gráfica de fn cuando n es muy grande. 59. Demuestre que si a o 0 y b o 0, entonces existen números y tales que ae x bex es igual a senh(x ) o a cosh(x ). En otras palabras, casi toda función de la forma f(x) m aex bex es una función seno hiperbólico o coseno hiperbólico desplazada o estirada. 3 Repaso Verificación de conceptos 1. Exprese cada una de las siguientes reglas de derivación, tanto en símbolos como en palabras. a) Regla de la potencia b) Regla del múltiplo constante c) Regla de la suma d) Regla de la diferencia e) Regla del producto f) Regla del cociente g) Regla de la cadena 2. Obtenga las derivadas de cada una de las siguientes funciones. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) y tanh 1 x y cosh 1 x y senh1 x y tanh x y cosh x y senh x y tan 1 x y cos 1 x y sen1 x y cot x y sec x y csc x y tan x y cos x y sen x y loga x y ln x y ax y ex y xn 3. a) ¿Cómo se define el número e? b) Exprese e como un límite. c) ¿Por qué en Cálculo se usa la función exponencial natural, y m ex , con más frecuencia que las demás funciones exponenciales, y m ax ? d) ¿Por qué en Cálculo se usa la función logarítmica natural, y m ln x, más que las demás funciones logarítmicas, y m loga x? 4. a) Explique cómo funciona la derivación implícita. b) Explique cómo funciona la derivación logarítmica. 5. Proporcione varios ejemplos de cómo la derivada puede ser interpretada como una razón de cambio en física, química, biología, economía y otras ciencias. 6. a) Escriba una ecuación diferencial que exprese la ley de crecimiento natural. b) ¿En qué circunstancias es éste un modelo adecuado para el crecimiento de la población? c) ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? 7. a) Escriba una expresión para la linealización de f en x m a. b) Si y m f(x), escriba una expresión para la diferencial dy. c) Si dx m $x, dibuje un esquema para mostrar el significado geométrico de $y y dy. Exámen rápido Verdadero-Falso Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o mencione un ejemplo que refute la proposición. 1. Si f y J son derivables, entonces d dx f x t x f x t x 2. Si f y J son derivables, entonces d dx f x t x f x t x 3. Si f y J son derivables, entonces d dx [f (t x )] f (t x )t x 4. Si f es derivable, entonces d dx sf x f x 2sf x . 5. Si f es derivable, entonces d dx f (sx ) f x 2sx . 6. Si y m e2 , entonces y m 2e.
- 495. CAPÍTULO 3 REPASO 265 . 8 . 7 . 0 1 . 9 d dx x2 x 2x 1 d dx tan2 x d dx sec2 x d dx ln 10 1 10 d dx 10x x10x 1 11. La derivada de una función polinomial es una función polinomial. 12. Si f(x) m (x6 x4 )5 , entonces f (31) (x) m 0. 13. La derivada de una función racional es una función racional. 14. La ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2 en (2, 4) es y 4 m 2x(x 2). 15. Si J(x) m x5 , entonces lím xl2 t x t 2 x 2 80. Ejercicios 1-50 Calcule y en cada una de las siguientes funciones. . 2 . 1 . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 . 0 4 . 9 3 . 2 4 . 1 4 . 4 4 . 3 4 y sen mx x y x senhx2 y x 4 x4 4 y sx 1 2 x 5 x 3 7 xey y 1 y tan2 sen u y arctan(arcsen sx ) y sen(tan s1 x3 ) y st ln t4 y cot 3x2 5 y 10tan y ln sec 5x tan 5x y ecos x cos ex y x tan 1 4x y x2 1 4 2x 1 3 3x 1 5 y ln sen x 1 2 sen2 x y cos x x y log5 1 2x y ssen sx senxy x2 y y 1 s 3 x sx y 1 x 1 1 y sec 1 x2 y 3x ln x y ex sec x y tan t 1 t2 y cot csc x y sarctan x y u 1 u2 u 1 4 y x cos y x2 y y ln sec x y e1 x x2 y arcsen 2x2 y sx cos sx y emx cos nx y ln x ln x xey y sen x y t4 1 t4 1 y x cos 1 x y x2 sen px y tan x 1 cos x y x2 x 2 sx y 1 sx 1 s 5 x3 y x2 x3 4 . 6 4 . 5 4 . 8 4 . 7 4 . 0 5 . 9 4 y sen2 (cosssen x ) y cos(estan 3x ) y x tanh 1 sx y cosh 1 senh x y ln x2 4 2x 5 y ln cosh 3x 51. Si f t s4t 1, encuentre f (2). 52. Si J(.) m . sen ., halle J()Y6). 53. Encuentre y si x6 y6 m 1. 54. Determine f (n) (x) si f(x) m 1Y(2 x). 55. Utilice inducción matemática (página 76) para demostrar que si f(x) m xex , entonces f (n) (x) m (x n)ex . 56. Evalúe lím t l 0 t3 tan3 2t . 57-59 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 57. 58. , 59. , 0, 1 y s1 4 sen x 0, 1 y x2 1 x2 1 6, 1 y 4 sen2 x, 60-61 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las siguientes curvas en el punto que se especifica. 60. , 61. , 0, 2 y 2 x e x 2, 1 x2 4xy y2 13 62. Si f(x) m xesen x , halle f(x). Grafique f y f en la misma pantalla y haga comentarios. 63. a) Si f x xs5 x, halle f(x). b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y xs5 x en los puntos (1, 2) y (4, 4). c) Ilustre el inciso b) graficando la curva y las rectas tangentes, en la misma pantalla. d) Verifique si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f y f. Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 496. 266 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 64. a) Si f(x) m 4x tan x, )Y2
- 497. x
- 498. )Y2, encuentre f y f . b) Verifique si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f, f y f . 65. ¿En qué puntos de la curva y m sen x cos x, 0 v x v 2), la tangente es una recta horizontal? 66. Encuentre los puntos sobre la elipse x2 2y2 m 1 donde la recta tangente tiene pendiente 1. 67. Si f(x) m (x a) (x b) (x c), demuestre que f x f x 1 x a 1 x b 1 x c 68. a) Al derivar la fórmula del coseno dos veces ángulo cos 2x m cos2 x sen2 x obtenga la fórmula del ángulo doble para la función seno. b) Al derivar la fórmula de la adición sen(x a) m sen x cos a cos x sen a obtenga la fórmula de la adición para la función coseno. 69. Suponga que h(x) m f(x)J(x) y F(x) m f(J(x)), donde f(2) m 3, J(2) m 5, J(2) m 4, f(2) m 2 y f(5) m 11. Encuentre a) h (2) y b) F(2). 70. Si f y J son las funciones cuyas gráficas se muestran, sea P(x) m f(x)J(x), Q(x) m f(x)YJ(x) y C(x) m f(J(x)). Encuentre a) P(2), b) Q(2) y c) C(2). 0 g f y x 1 1 71-78 Encuentre f en términos de J. . 2 7 . 1 7 . 4 7 . 3 7 . 6 7 . 5 7 . 8 7 . 7 7 f x t ln x f x ln t x f x et x f x t ex f x t t x f x t x 2 f x t x2 f x x2 t x 79-81 Halle h en términos de f y J. . 0 8 . 9 7 81. h x ftsen 4x h x f x t x h x f x t x f x t x 82. a) Grafique la función f(x) m x 2 sen x en el rectángulo de vista F0, 8G por F2, 8G. b) ¿Sobre qué intervalo es más grande la razón promedio de cambio: F1, 2G o F2, 3G? c) ¿En qué valor de x es más grande la razón de cambio instantánea: x m 2 o x m 5? d) Compruebe sus estimaciones visuales del inciso c) calculando f(x) y comparando los valores numéricos de f(2) y f(5). 83. ¿En qué punto sobre la curva y m Fln(x 4)G2 es horizontal la recta tangente? 84. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m ex , que es paralela a la recta x 4y m 1. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m ex que pase por el origen. 85. Halle la parábola y m ax2 bx c que pasa por el punto (1, 4) y cuyas rectas tangentes en x m 1 y x m 5 tienen pendientes 6 y 2, respectivamente. 86. La función C(t) m K(eat ebt ), donde a, b y K son constantes positivas y b a, se usa para modelar la concentración en el instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente sanguíneo. a) Demuestre que lím t l @ C(t) m 0. b) Encuentre C(t), la rapidez con que el medicamento se disipa durante la circulación. c) ¿Cuándo esta rapidez es igual a 0? 87. Una ecuación de movimiento en la forma s m Aect cos(/t ) representa la oscilación amortiguada de un objeto. Encuentre la velocidad y la aceleración del objeto. 88. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de modo que su coordenada en el instante t es , x sb2 c2t2 t 0, donde b y c son constantes positivas. a) Encuentre las funciones velocidad y aceleración. b) Demuestre que la partícula siempre se desplaza en dirección positiva. 89. Una partícula se desplaza sobre una recta vertical de manera que su ordenada en el instante t es y m t3 12t 3, t w 0. a) Encuentre las funciones velocidad y aceleración. b) ¿Cuándo se mueve hacia arriba la partícula y cuándo se mueve hacia abajo? c) Halle la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo 0v t v 3. d) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0v t v 3. e) ¿Cuándo la partícula aumenta su rapidez? ¿Cuándo disminuye su rapidez? 90. El volumen de un cono recto circular es V 1 3 r2 h, en donde r es el radio de la base y h es la altura. a) Halle la razón de cambio del volumen respecto a la altura si el radio es constante.
- 499. CAPÍTULO 3 REPASO 267 b) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto al radio si la altura es constante. 91. La masa de una parte de un alambre es x(1 sx ) kilogramos, donde x se mide en metros desde uno de los extremos del alambre. Encuentre la densidad lineal del alambre cuando x m 4m. 92. El costo, en dólares, de producir x unidades de un cierto artículo es C(x) m 920 2x 0.02x2 0.00007x3 a) Encuentre la función de costo marginal. b) Halle C(100) y explique su significado. c) Compare C(100) con el costo de producir el artículo 101. 93. Inicialmente, un cultivo de bacterias contiene 200 células y crecen con una razón proporcional a su tamaño. Después de media hora la población se ha incrementado a 360 células. a) Encuentre el número de bacterias después de t horas. b) Calcule el número de bacterias después de 4 horas. c) Encuentre la rapidez de crecimiento después de 4 horas. d) ¿Cuándo la población alcanza 10000? 94. El cobalto-60 tiene una vida media de 5.24 años. a) Halle la masa que queda de una muestra de 100mg después de 20 años. b) ¿Cuánto tardaría la masa en decaer a 1mg? 95. Sea C(t) la concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo. Cuando el cuerpo elimina el medicamento, C(t) disminuye con una rapidez que es proporcional a la cantidad de medicamento que está presente en el tiempo t. En estos términos C(t) m kC(t), donde k es un número positivo denominado constante de eliminación del medicamento. a) Si C0 es la concentración en el tiempo t m 0, halle la concentración en el tiempo t. b) Si el cuerpo elimina la mitad del medicamento en 30 horas, ¿cuánto tiempo le toma eliminar 90% del medicamento? 96. Una taza con chocolate caliente tiene una temperatura de 80C en una habitación que se mantiene en 20C. Después de media hora, el chocolate caliente se enfría a 60C. a) ¿Cuál es la temperatura del chocolate después de otra media hora. b) ¿Cuando se enfriara el chocolate a 40C? 97. El volumen de un cubo se incrementa a razón de 10cm3 Ymin. ¿Qué tan rápido se incrementa el área superficial cuando la longitud de un lado es de 30cm? 98. Un vaso de papel tiene la forma de un cono de altura igual a 10cm y radio de 3cm (en la parte superior). Si el agua se vierte en el vaso a razón de 2cm3 Ys, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene 5cm de profundidad? 99. Un globo asciende con rapidez constante de 5 piesYs. Un niño va en bicicleta por un camino recto a una rapidez de 15 piesYs. Cuando pasa bajo el globo, éste se halla a 45 pies arriba de él. ¿Qué tan rápido se incrementa la distancia entre el niño y el globo 3s más tarde? 100. Una esquiadora pasa por rampa, como la que se ilustra en la figura, con una rapidez de 30 piesYs. ¿Qué tan rápido se eleva cuando abandona la rampa? 4 pies 15 pies 101. El ángulo de elevación del Sol decrece a razón de 0.25radYh. ¿Qué tan rápido se incrementa la sombra de un edificio de 400 pies de altura cuando el ángulo de elevación del Sol es )Y6? 102. a) Encuentre la aproximación lineal de f x s25 x2 cerca de 3. b) Ilustre el inciso a) graficando f y la aproximación lineal. c) ¿Para qué valores de x es exacta la aproximación lineal den- tro de 0.1? 103. a) Halle la linealización de f x s 3 1 3x en a m 0. Establezca la aproximación lineal correspondiente y utilícela para proporcionar un valor aproximado para s 3 1.03 . b) Determine los valores de x para los que la aproximación lineal dada en el inciso a) sea exacta con una diferencia menor que 0.1. 104. Evalúe dy si y m x3 2x2 1, x m 2 y dx m 0.2. 105. Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 60cm, con un posible error de 0.1cm. Utilice diferenciales para estimar el máximo error posible al calcular el área de la ventana. 106-108 Exprese el límite como una derivada en cada una de las siguientes funciones y evalúelo. . 7 0 1 . 6 0 1 108. lím l 3 cos 0.5 3 lím hl 0 s 4 16 h 2 h lím x l1 x17 1 x 1 u u u 109. Evalúe lím xl0 s1 tan x s1 sen x x3 110. Suponga que f es una función derivable tal que f(J(x)) m x y f(x) m 1 F f(x)G2 . Demuestre que J(x) m 1Y(1 x2 ). 111. Encuentre f (x) si se sabe que d dx f 2x x2 112. Demuestre que la longitud de la porción de cualquier recta tangente al astroide x2Y3 y2Y3 m a2Y3 limitada por los ejes de coordenadas es constante.
- 500. Problemas adicionales Antes de trabajar en el ejemplo, cubra la solución e intente resolverlo primero. EJEMPLO 1 ¿Cuántas rectas son tangentes a las dos parábolas y m 1 x2 y y m 1 x2 ? Calcule las coordenadas de los puntos en los cuales estas rectas tangentes tocan a las parábolas. SOLUCIÓN Para entender este problema es esencial elaborar un esquema donde estén las parábolas y m 1 x2 (que es la parábola estándar y m x2 desplazada una unidad hacia arriba) y y m 1 x2 (la cual se obtiene al reflejar la primera parábola respecto al eje x). Si trata de dibujar una recta tangente para ambas parábolas, pronto descubrirá que sólo hay dos posibilidades, que se ilustran en la figura 1. Sea P un punto en el cual una de estas rectas tangentes toca la parábola superior y sea a su coordenada x. (Es muy importante elegir la notación para la incógnita. Muy bien podía haber escogido b o c o x0 o x1, en lugar de a. Sin embargo, no se recomienda utilizar x en lugar de a porque se podría confundir con la variable x de la ecuación de la parábola). Entonces, puesto que P está en la parábola y m 1 x2 , su coordenada y debe ser 1 a2 . Debido a la simetría mostrada en la figura 1, las coordenadas del punto Q donde la recta tangente toca a la parábola inferior deben ser (a, (1 a2 )). Para usar la información de que la recta es una tangente, iguale la pendiente de la recta PQ con la pendiente de la recta tangente en P. Así, tiene que mPQ 1 a2 1 a2 a a 1 a2 a Si f(x) m 1 x2 , entonces la pendiente de la recta tangente en P es f(a) m 2a. Por consiguiente, la condición que necesita aplicar es 1 a2 a 2a Al resolver esta ecuación, tenemos 1 a2 m 2a2 , por lo que a2 m 1 y a m 1. Por tanto, los puntos son (1, 2) y (1, 2). Por simetría, los dos puntos restantes son (1, 2) y (1, 2). EJEMPLO 2 ¿Para cuáles valores de c la ecuación ln x m cx2 tiene exactamente una solución? SOLUCIÓN Uno de los principios más importantes de la solución de problemas es dibujar un diagrama, incluso si el problema, según se enuncia, no menciona en forma explícita una situación geométrica. Este problema puede formularse de nuevo en términos geométricos como sigue: ¿para cuáles valores de c la curva y m ln x intersecta la curva y m cx2 exac- tamente en un punto? Empiece por trazar las gráficas de y m ln x y y m cx2 para diversos valores de c. Se sabe que, para c o 0, y m cx2 es una parábola que se abre hacia arriba si c 0 y, hacia abajo, si c
- 501. 0. En la figura 2 se muestran las parábolas y m cx2 para varios valores positivos de c. La mayor parte no se cruzan con y m ln x y una la corta dos veces. Se tiene la sensación de que debe haber un valor de c (en alguna parte entre 0.1 y 0.3) para el cual las curvas se cruzan exactamente una vez, como en la figura 3. Para hallar ese valor de c en particular, denote con a la coordenada x del punto único de intersección. En otras palabras, ln a m ca2 , de modo que a sea la solución única de la ecuación dada. En la figura 2 las curvas sólo se tocan, de modo que tienen una recta tangente común cuando x m a. Esto significa que las curvas y m ln x y y m cx2 tienen la misma pendiente cuando x m a. Por tanto, 1 a 2ca 0 3≈ ≈ 0.3≈ 0.1≈ ≈ 1 2 x y y=ln x FIGURA 2 ? ln FIGURA 3 x y P Q 1 _1 FIGURA 1 268
- 502. Resolviendo las ecuaciones ln a m ca2 y 1Ya m 2ca, se obtiene ln a ca2 c 1 2c 1 2 De donde, a m e1Y2 y c ln a a2 ln e1 2 e 1 2e Para los valores negativos de c, tenemos la situación que se ilustra en la figura 4: todas las parábolas y m cx2 con valores negativos de c cruzan y m ln x exactamente una vez. Y no olvide lo referente a c m 0. La curva y m Ox2 m 0 es el eje x, el cual cruza y m ln x exactamente una vez. Para resumir, los valores requeridos de c son c m 1Y(2e) y c v 0. 1. Determine los puntos P y Q sobre la parábola y m 1 x2 de modo que el triángulo ABC for- mado por el eje x y las rectas tangentes en P y Q sea un triángulo equilátero. (Véase la figura.) x y P Q A 0 B C FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 2. Determine el punto donde las curvas y m x3 3x 4 y y m 3(x2 x) son tangentes entre sí; es decir, tienen una recta tangente común. Ilustre mediante la representación gráfica de ambas curvas y la recta tangente. 3. Demuestre que las rectas tangentes a la parábola y m ax3 bx c en cualesquier dos puntos con coordenadas x iguales a p y q se cruzan en un punto cuya coordenada x está a la mitad entre p y q. 4. Demuestre que d dx sen2 x 1 cot x cos2 x 1 tan x cos 2x 5. Si f x lím tl x sec t sec x t x , encuentre el valor de f()Y4). 6. Encuentre los valores de las constantes a y b tales que lím xl0 s 3 ax b 2 x 5 12 7. Demuestre que sen1 (tanh x) m tan1 (senh x). 269 y x O FIGURA 4 y=ln x Problemas Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado
- 503. 8. Un automóvil viaja por la noche por una carretera que tiene forma de parábola con vértice en el origen (véase la figura). El automóvil parte del punto 100m al oeste y 100m al norte del origen, y se desplaza en una dirección hacia el este. Hay una estatua localizada 100m al este y 50m al norte del origen. ¿En qué punto de la carretera los faros del vehículo iluminarán a la estatua? 9. Demuestre que dn dxn sen4 x cos4 x 4n 1 cos 4x n 2 . 10. Determine la n-ésima derivada de la función f(x) m xn Y(1 x). 11. En la figura se muestra una circunferencia con radio 1 inscrita en la parábola y m x2 . Encuentre el centro de la circunferencia. x 0 y 1 1 y=≈ 12. Si f es derivable en a, donde a 0, evalúe el siguiente límite en términos de f(a): lím x la f x f a sx sa 13. En la figura se muestra una rueda giratoria con radio de 40cm y una leva AP de longitud 1.2m. El pasador P se desliza hacia atrás y hacia adelante, a lo largo del eje x, conforme la rueda gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, con una rapidez de 360 revoluciones por minuto. a) Encuentre la velocidad angular de la leva, dYdt, en radianes por segundo, cuando . m )Y3. b) Exprese la distancia x m U OP U, en términos de .. c) Halle una expresión para la velocidad del pasador P, en términos de .. 14. Se trazan las rectas tangentes Tl y T2 en los dos puntos P1 y P2 sobre la parábola y m x2 y se cruzan en un punto P. Se traza otra recta tangente T en un punto entre P1 y P2; ésta cruza T1 en Q1 y T2 en Q2. Demuestre que PQ1 PP1 PQ2 PP2 1 15. Demuestre que dn dxn eax sen bx rn eax sen u bx n donde a y b son números positivos, r2 m a2 b2 , y . m tan1 (bYa). 16. Evalúe lím xl esen x 1 x . 270 x y FIGURA PARA EL PROBLEMA 8 A P(x, 0) ¨ å FIGURA PARA EL PROBLEMA 13 x y O
- 504. 17. Sean T y N las rectas tangente y normal a la elipse x2 Y9 y2 Y4 m 1 en cualquier punto P de ésta en el primer cuadrante. Sean xT y yT las intersecciones de T con los ejes x y y, y xN y yN las intersecciones de N. Conforme P se mueve a lo largo de la elipse en el primer cuadrante (pero no sobre los ejes), ¿qué valores pueden adoptar xT, yT, xN y yN? En primer lugar, intente intuir las respuestas con sólo mirar la figura. A continuación, utilice el Cálculo para resolver el pro- blema y vea qué tan buena es su intuición. xN xT yT yN 3 2 T N P x y 0 18. Evalúe lím x l 0 sen 3 x 2 sen 9 x 19. a) Use la identidad para tan(x y) [véase la ecuación 14b) del apéndice D] para demostrar que si dos rectas L1 y L2 se intersecan en un ángulo , entonces tan m2 m1 1 m1m2 donde m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2, respectivamente. b) El ángulo entre las curvas C1 y C2 en un punto de intersección se define como el ángulo entre las rectas tangentes a Cl y C2 en P (si estas rectas tangentes existen). Use el inciso a) para hallar, correcto hasta el grado más cercano, el ángulo entre cada par de curvas en cada punto de intersección. i) y m x2 y y m (x 2)2 ii) x2 y2 m 3 y x2 4x y2 3 m 0 20. Sea P(x1, y1) un punto sobre la parábola y2 m 4px con foco F(p, 0). Sea el ángulo entre la parábola y el segmento rectilíneo FP, y sea el ángulo entre la recta horizontal y m yl y la parábola, como en la figura. Demuestre que m . (De modo que, por un principio de óptica geométrica, la luz proveniente de una fuente colocada en F se reflejará a lo largo de una recta paralela al eje x. Esto explica por qué los paraboloides, las superficies que se obtienen al hacer girar las parábolas sobre sus ejes, se emplean como la forma de algunos faros delanteros de automóviles y espejos para telescopios).
- 505. 271
- 506. 21. Suponga que remplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 20 con un espejo esférico. Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado. En la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo paralelo al eje a lo largo de la recta PQ se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo que PQO m OQR (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede con el punto R a medida que P se lleva cada vez más cerca al eje? 22. Si f y J son funciones derivables con f(0) m J(0) m 0 y J(0)o 0, demuestre que lím xl0 f x t x f 0 t 0 23. Evalúe lím x l 0 sena 2x 2 sena x sen a x2 SAC 24. a) La función cúbica f(x) m x(x 2)(x 6) tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Grafique f y sus rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué observa? b) Suponga que la función cúbica f(x) m (x a)(x b)(x c) tiene tres ceros diferentes: a, b y c. Pruebe, con ayuda de un sistema algebraico computarizado, que una recta tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el tercer cero. 25. ¿Para qué valor de k la ecuación e2x ksx tiene exactamente una solución? 26. ¿Para qué números positivos a se cumple que ax w 1 x para toda x? 27. Si y x sa2 1 2 sa2 1 arctan sen x a sa2 1 cos x demuestre que y 1 a cos x . 28. Dada una elipse x2 Ya2 y2 Yb2 m 1, donde a o b, encuentre la ecuación de todo el conjunto de puntos a partir de los cuales hay dos rectas tangentes a la curva cuyas pendientes son a) recíprocos y b) recíprocos negativos. 29. Encuentre los dos puntos sobre la curva y m x4 2x2 x que tienen una recta tangente en común. 30. Suponga que tres puntos sobre la parábola y m x2 tienen la propiedad de que sus rectas normales se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es cero. 31. Un punto de reticulado sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga que se dibujan circunferencias con radio r usando todos los puntos reticulados como centros. Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente 2 5 cruce alguna de estas circunferencias. 32. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una rapidez de 1cmYs en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de agua. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente sumergido? 33. Un recipiente en forma de cono invertido tiene una altura de 16cm y su radio mide 5cm en la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados con una rapidez proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido. FEl área superficial de un cono es )rl, donde r es el radio y l es la altura inclinada.] Si vierte líquido en el recipiente a razón de 2cm3 Ymin, entonces la altura del líquido disminuye a razón de 0.3cmYmin cuando la altura es de 10cm. Si el objetivo es mantener el líquido a una altura constante de 10cm, ¿a qué rapidez debe verter líquido al recipiente? O R P Q ¨ ¨ C A FIGURA PARA EL PROBLEMA 21 272
- 507. Aplicaciones de la derivada 4 273 Ya hemos investigado algunas de las aplicaciones de la derivada, pero ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con mayor profundidad con las aplicaciones de la derivada. Aquí aprenderemos cómo la derivada afecta la forma de una gráfica de una función y, particularmente, cómo ayuda a localizar valores máximos y mínimos de funciones. En la práctica muchos problemas exigen minimizar un costo o maximizar un área, o bien, encontrar el mejor resultado posible para una situación. En particular, seremos capaces de investigar la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los arcoíris en el cielo. El cálculo que usted aprenderá en este capítulo le permitirá explicar la posición del arcoíris en el cielo y por qué los colores del arcoíris secundario aparecen en el orden invertido a las del arcoíris primario. (Véase el proyecto de las páginas 282-283.) © Pichugin Dmitry / Shutterstock
- 508. 274 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima (la mejor) para hacer algo. Algunos ejemplos de los problemas que resolveremos en este capítulo son. N ¿Cuál debe ser la forma de una lata que minimice los costos de fabricación? N ¿Cuá1 es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? (Ésta es una importante pregunta para los astronautas que tienen que soportar los efectos de la aceleración.) N ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido al toser? N ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse, de modo que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre? Estos problemas pueden reducirse a encontrar los valores máximo o mínimo de una fun- ción. Para empezar, primero explicaremos exactamente lo que son estos valores. En la figura 1, se muestra la gráfica de una función en la que el punto más alto es (3, 5). En otras palabras, el valor más grande de f es f(3) m 5. Por otro lado, el valor más pequeño es f(6) m 2. Decimos que f(3) m 5 es el máximo absoluto de f y f(6) m 2 es el mínimo absoluto. En general, usamos la siguiente definición: 4.1 Valores máximos y mínimos y 0 x 2 4 2 6 4 FIGURA 1 f(a) f(d) b x y 0 d e a c FIGURA 2 Mínimo absoluto f(a), máximo absoluto f(d), mínimos locales f(c), f(e), máxi- mos locales f(b), f(d) mín loc máx loc máx mín loc y abs I J K y x 0 2 4 6 4 8 12 FIGURA 3 Un máximo o mínimo absolutos se les llama a veces máximo o mínimo global. Los valores máximo y mínimo de f se llaman valores extremos de f. La figura 2 muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en x m d y mínimo absoluto en x m a. Observe que (d, f(d)) es el punto más alto sobre la gráfica y (a, f(a)) es el punto más bajo. En la figura 2, si consideramos sólo valores de x cercanos a b [p. ej., si restringimos nuestra atención al intervalo (a, c)], entonces f(b) es el más grande de estos valores de f(x) y se llama valor máximo local de f. Por otro lado, f(c) se llama valor míni- mo local de f porque f (c) v f (x) para x cercana a c [en el intervalo (b, d), por ejemplo]. La función f también tiene un mínimo local en x m e. En general, tenemos la siguiente definición. 1 Definición Sea c un número en el dominio D de una función f. Entonces f(c) es el N valor máximo absoluto de f sobre D si f(c) w f(x) para toda x en D. N valor mínimo absoluto de f sobre D si f(c) v f(x) para toda x en D. 2 Definición El número f(c) es un N valor máximo local de f si f(c) w f(x) cuando x está cerca de c. N valor mínimo local de f si f(c) v f(x) cuando x está cerca de c. En la definición 2 (y en otros lugares), si decimos que algo es cierto cerca de c, quere- mos decir que es cierto en algún intervalo abierto que contiene a c. Por ejemplo, en la figura 3 vemos que f(4) m 5 es un mínimo local porque es el menor valor de f en el inter- valo I. No es el mínimo absoluto porque f(x) tiene valores menores cuando x está cerca de 12 (en el intervalo de K, por ejemplo). De hecho f(12) m 3 es un mínimo local y el mínimo absoluto. De modo similar, f(8) m 7 es un máximo local, pero no el máximo absoluto porque f toma valores más grandes cerca de 1.
- 509. SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 275 EJEMPLO 1 La función f(x) m cos x toma su valor máximo (local y absoluto) igual a 1, infinitas veces, ya que cos 2n) m 1 para cualquier entero n y 1 v cos x v 1 para todo x. Del mismo modo, cos(2n 1)) m 1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero. EJEMPLO 2 Si f(x) m x2 , entonces f(x) w f(0) porque x2 w 0 para toda x. Por tanto, f(0) m 0 es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola y m x 2 . (Véase la figura 4.) Sin embargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo. EJEMPLO 3 En la gráfica de la función f(x) m x3 , que se muestra en la figura 5, se ve que no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales. FIGURA 4 Valor mínimo =0. No hay máximo x y 0 y=≈ FIGURA 6 (_1, 37) _1 1 2 3 4 5 (3, _27) (1, 5) y x y=3x$-16˛+18≈ FIGURA 7 [ 0 b a c d [ 0 b a c¡ d c™ [ 0 d=b a c v EJEMPLO 4 La gráfica de la función f(x) m 3x4 16x3 18x2 1 v x v 4 se muestra en la figura 6. Podemos observar que f(1) m 5 es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es f(1) m 37. (Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un punto extremo.) Asimismo, f(0) m 0 es un mínimo local y f(3) m 27 es un mínimo tanto local como absoluto. Observe que f no tiene valor local ni máximo absoluto en x m 4. Hemos visto que algunas funciones tienen valores extremos, mientras que otras no. En el teorema siguiente se dan las condiciones con que se garantiza que una función posea valores extremos. FIGURA 5 1RKDPtQLPRQLPi[LPR x y 0 y=˛ 3 Teorema del valor extremo Si f es continua sobre un intervalo cerrado Fa, bG, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d en Fa, bG. En la figura 7 se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy aceptable a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por consiguiente, se omite.
- 510. 276 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA En las figuras 8 y 9 se muestra que una función no tiene que poseer valores extremos si no se satisface cualquiera de las dos hipótesis (continuidad o intervalo cerrado) del teore- ma del valor extremo. 1 x y 0 FIGURA 9 (VWDIXQFLyQFRQWLQXDg QRWLHQHPi[LPRQLPtQLPR 2 1 x y 0 FIGURA 8 (VWDIXQFLyQWLHQHXQYDORUPtQLPR f(2)=0SHURQRWLHQHYDORUPi[LPR 2 3 La función f, cuya gráfica se muestra en la figura 8, está definida sobre el intervalo cerrado F0, 2G, pero no tiene valor máximo. (Observe que el rango de f es F0, 3). La función toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.) Esto no contra- dice el teorema del valor extremo porque f no es continua. [Sin embargo, una función discontinua pudiera tener valores máximo y mínimo. Véase el ejercicio 13b.] La función J que se muestra en la figura 9 es continua sobre el intervalo abierto (0, 2), pero no tiene valor máximo ni mínimo. [El rango de J es (1, @). La función toma valores arbitrariamente grandes.] Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el inter- valo (0, 2) no es cerrado. El teorema del valor extremo señala que una función continua sobre un intervalo cerra- do tiene un valor máximo y uno mínimo, pero no indica cómo hallarlos. Empecemos por buscar valores extremos locales. En la figura 10 se muestra la gráfica de una función f con un máximo local en x m c y un mínimo local en x m d. Parece que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente es horizontal y, por consiguiente, tiene pendiente 0. Sabemos que la derivada es la pendien- te de la recta tangente, de modo que parece que f(c) m 0 y f(d) m 0. En el teorema siguiente se afirma que esto siempre se cumple para las funciones derivables. DEMOSTRACIÓN Para la consideración de la conclusión, suponga que f tiene un máximo local en x m c. Entonces, según la definición 2, f(c) w f(x) si x es suficientemente cercana a c. Esto implica que, si h está lo suficiente cerca de 0 y es positiva o negativa, entonces f(c) f(c h) y, por consiguiente, 5 f c h f c 0 Podemos dividir ambos lados de la desigualdad entre un número positivo. Así, si h 0 y h es suficientemente pequeña, tenemos f c h f c h 0 4 Teorema de Fermat Si f tiene un máximo o un mínimo local en x m c, y si f(c) existe, entonces f(c) m 0 Fermat El teorema de Fermat lleva ese nombre en honor de Pierre Fermat (1601-1665), un abogado francés que tomó a las matemáticas como un pasatiempo. A pesar de su condición de aficio- nado, Fermat fue uno de los dos inventores de la geometría analítica (Descartes fue el otro). Sus métodos para hallar rectas tangentes a las curvas y valores máximos y mínimos (antes de la invención del límite y de las derivadas) lo hicieron un precursor de Newton en la creación del Cálculo Diferencial. 0 x c d y {c, f(c)} {d, f(d)} FIGURA 10
- 511. SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 277 Tomando el límite por la derecha de ambos lados de la desigualdad (utilizando el teorema 2.3.2), obtenemos lím hl0 f c h f c h lím hl0 0 0 Pero, dado que f(c) existe, tenemos f c lím hl 0 f c h f c h lím hl0 f c h f c h y con esto se demuestra que f(c) v 0. Si h
- 512. 0, entonces la dirección de la desigualdad 5 se invierte cuando dividimos por h: f c h f c h 0 h 0 Así que tomando el límite por la izquierda, tenemos f c lím hl 0 f c h f c h lím hl0 f c h f c h 0 Ya hemos mostrado que f(c) w 0 y también que f(c) v 0. Puesto que ambas desigualdades deben ser verdaderas, la única posibilidad es que f(c) m 0. Ya hemos demostrado el teorema de Fermat para el caso de un máximo local. El caso de un mínimo local puede demostrarse de modo similar, o bien, puede usar el ejercicio 76 para deducirlo del caso que ya ha demostrado (véase el ejercicio 77). Los ejemplos siguientes advierten contra la interpretación excesiva del teorema de Fermat. No podemos esperar localizar valores extremos haciendo simplemente f(x) m 0 y resolviendo para x. EJEMPLO 5 Si f(x) m x3 , entonces f(x) m 3x2 , de modo que f(0) m 0. Pero f no tiene máximo o mínimo en x m 0, como puede ver en la gráfica de la figura 11. (0 bien, observe que x3 0 para x 0, pero x3
- 513. 0 para x
- 514. 0. El hecho de que f(0) m 0 sólo significa que la curva y m x3 tiene una recta tangente horizontal en (0, 0). En lugar de tener un máximo o un mínimo en (0, 0), allí cruza la curva su recta tangente horizontal. EJEMPLO 6 La función f(x) m U x U muestra un valor mínimo (local y absoluto) en x m 0, pero ese valor no puede determinarse haciendo f(x) m 0 porque, como ya se demostró en el ejemplo 5 de la sección 2.8, f(0) no existe (véase la figura 12). R PRECAUCIÓN Los ejemplos 5 y 6 demuestran que debe ser cuidadoso al aplicar el teorema de Fermat. El ejemplo 5 demuestra que aun cuando f(c) m 0, no necesariamente hay un máximo o un mínimo en x m c. (En otras palabras, el inverso del teorema de Fermat es en general falso.) Además, podría haber un valor extremo aun cuando f(c) no exista, (como en el ejemplo 6). El teorema de Fermat sugiere en realidad que, por lo menos, debe empezar a buscar los valores extremos de f en los números x m c, donde f(c) m 0 o donde f(c) no existe. Estos números reciben un nombre especial. FIGURA 11 Si ƒ=˛, entonces fª(0)=0, pero ƒ no tiene máximo ni mínimo. y=˛ x y 0 FIGURA 12 Si ƒ=| x |, entonces f(0)=0 es un valor mínimo, pero fª(0) no existe. x 0 y=|x| y 6 Definición Un número crítico de una función f es un número x m c en el domi- nio de f tal que f(c) m 0 o f(c) no existe.
- 515. 278 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA v EJEMPLO 7 Encuentre los números críticos de f(x) m x3Y5 (4 x). SOLUCIÓN La regla del producto nos da 5x 3 4 x 5x2 5 12 8x 5x2 5 f x x3 5 1 4 x (3 5 x 2 5 ) x3 5 3 4 x 5x2 5 [Se obtienen los mismos valores escribiendo primero f(x) m 4x3Y5 x8Y5 .] Así que f(x) m 0 si 12 8x m 0; es decir x 3 2 y f(x) no existe cuando x m 0. Por tanto, los números críticos son 3 2 y 0. En términos de números críticos, el teorema de Fermat puede replantearse como sigue (compare la definición 6 con el teorema 4): FIGURA 13 3.5 _2 _0.5 5 En la figura 13 hay una gráfica de la función f del ejemplo 7, que apoya nuestra respuesta, porque hay una recta tangente horizontal cuando x m 1.5 y una recta tangente vertical cuando x m 0. 7 Si f tiene un máximo o un mínimo local en x m c, entonces c es un número crítico de f. Método del intervalo cerrado Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado Fa, bG: 1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a, b). 2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo. 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto. Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado, observe que o es un extremo local [en cuyo caso, por 7 , se presenta en un número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este modo, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona. v EJEMPLO 8 Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función 1 2 x 4 f x x3 3x2 1 SOLUCIÓN Dado que f es continua sobre [ 1 2, 4], podemos utilizar el teorema del intervalo cerrado: f x 3x2 6x 3x x 2 f x x3 3x2 1 Puesto que f(x) existe para toda x, los únicos valores críticos de f ocurren cuando f(x) m 0; esto es, en x m 0 o x m 2. Observe que cada uno de estos números críticos está en el intervalo ( 1 2, 4). Los valores de f en estos números críticos son f(0) m 1 f(2) m 3 Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son f 4 17 f ( 1 2 ) 1 8 Comparando estos cuatro números, vemos que el valor máximo absoluto es f(4) m 17 y el valor mínimo absoluto es f(2) m 3.
- 516. SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 279 Tenga en cuenta que, en este ejemplo, el máximo absoluto ocurre en un extremo del intervalo, mientras que el mínimo absoluto ocurre en un número crítico. La gráfica de f se esboza en la figura 14. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos, es posible estimar los valores máximos y mínimos muy fácilmente. Pero, como se muestra en el ejemplo siguiente, es necesario el cálculo para encontrar los valores exactos. EJEMPLO 9 a) Utilice un dispositivo de gráficos para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) m x 2 sen x, para 0 v x v 2). b) Utilice el cálculo para encontrar los valores máximo y mínimo exactos. SOLUCIÓN a) La figura 15 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista de F0, 2)G por F1, 8G. Moviendo el cursor cerca del punto máximo, vemos que las coordenadas y no cambian mucho en las proximidades del máximo. El valor máximo absoluto es aproximadamente 6.97 y ocurre cuando x 5.2. Del mismo modo, moviendo el cursor cerca al punto mínimo, vemos que el valor mínimo absoluto es alrededor de 0.68 y se produce cuando x 1.0. Es posible obtener estimaciones más precisas al hacer acercamientos hacia los puntos máximos y mínimos; pero, en vez de esto, utilizaremos el cálculo. b) La función f(x) m x 2 sen x es continua en F0, 2)G. Debido a que f(x) m 1 2 cos x, tenemos que f(x) m 0 cuando cos x 1 2 y esto ocurre cuando x m )Y3 o bien 5)Y3. Los valores de f en estos números críticos son y f 5 3 5 3 2 sen 5 3 5 3 s3 6.968039 f 3 3 2 sen 3 3 s3 0.684853 p p p p p p p p Los valores de f en los puntos extremos son f(0) m 0 y f(2)) m 2) 6.28 Comparando estos cuatro números y utilizando el método del intervalo cerrado, vemos que el valor mínimo absoluto es f 3 3 s3 p p y el máximo valor absoluto es f 5 3 5 3 s3 p p . Los valores del inciso a) sirven para verificar nuestro resultado. EJEMPLO 10 El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990, por el transbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el lanzamiento en t m 0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en t m 126s, está dado por v(t) m 0.001302t3 0.09029t2 23.61t 3.083 (en pies por segundo). Con este modelo, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares. SOLUCIÓN No de la función velocidad dada, se nos pide hallar los valores extremos, sino de la función aceleración. Así que primero tenemos que derivar para encontrar la aceleración: 0.003906t2 0.18058t 23.61 a t v t d dt 0.001302t3 0.09029t2 23.61t 3.083 FIGURA 14
- 518. 280 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Ahora aplicamos el método del intervalo cerrado a la función continua a en el intervalo 0 v t v 126. Su derivada es a(t) m 0.007812t 0.18058 El único número crítico ocurre cuando a(t) m 0: t1 0.18058 0.007812 23.12 Evaluando a(t) en el número crítico y en los puntos extremos del intervalo, tenemos a(0) m 23.61 a(t1) 21.52 a(126) 62.87 Así que la aceleración máxima es aproximadamente 62.87piesYs2 , y la aceleración mínima es aproximadamente 21.52piesYs2 . 4.1 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 1. Explique la diferencia entre un mínimo absoluto y un mínimo local. 2. Supongamos que f es una función continua definida sobre un intervalo cerrado Fa, bG. a) ¿Qué teorema garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto de f ? b) ¿Qué pasos daría para encontrar los valores máximo y mínimo? 3-4 Para cada uno de los números a, b, c, d, r y s, indique si la función cuya gráfica se muestra, tiene un máximo o mínimo absolutos, un máximo o mínimo locales, o ni un máximo ni un mínimo. 3. 4. x y 0 a b c d r s x y 0 a b c d r s 5-6 Utilice la gráfica para establecer los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función. 5. 6. y 0 x y=ƒ 1 1 y 0 x y=© 1 1 7-10 Esboce la gráfica de una función f que es continua sobre F1, 5G y tiene las propiedades dadas. 7. Mínimo absoluto en 2, máximo absoluto en 3, mínimo local en 4. 8. Mínimo absoluto en 1, máximo absoluto en 5, máximo local en 2, mínimo local en 4. 9. Máximo absoluto en 5, mínimo absoluto en 2, máximo local en 3, mínimos locales en 2 y 4. 10. f no tiene mínimo ni máximo locales, pero 2 y 4 son números críticos. 11. a) Esboce la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es derivable en 2. b) Esboce la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es continua, pero no derivable, en 2. c) Esboce la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y no es continua en 2. 12. a) Esboce la gráfica de una función sobre F1, 2G que tiene un máximo absoluto, pero no máximo local. b) Esboce la gráfica de una función sobre F1, 2G que tiene un máximo local, pero no máximo absoluto. 13. a) Esboce la gráfica de una función sobre F1, 2G que tiene un máximo absoluto, pero no mínimo absoluto. b) Esboce la gráfica de una función sobre F1, 2G que es discontinua, pero que no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto. 14. a) Esboce la gráfica de una función que tiene dos máximos locales, un mínimo local y no tiene mínimo absoluto. b) Esboce la gráfica de una función que tiene tres mínimos locales, dos máximos locales y siete números críticos.
- 519. SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 281 15-28 Trace a mano la gráfica de f y utilícela para encontrar los valores máximos y mínimos, absolutos y locales de f. (Utilice las graficas y transformaciones de las secciones 1.2 y 1.3.) 15. , 16. , 17. , 18. , 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. f x 4 x2 2x 1 si 2 x 0 si 0 x 2 f x 1 x 2x 4 si 0 x 2 si 2 x 3 f x e x f x 1 sx f x x 0 x 2 f x ln x, 3 2 t 3 2 f t cos t, 2 x 2 f x sen x, 0 x 2 f x sen x, 0 x 2 f x sen x, 1 x 3 f x 1 x x 1 f x 1 x x 2 f x 2 1 3 x x 3 f x 1 2 3x 1 p p p p p p 29-44 Encuentre los números críticos de la función. . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 39. 40. 41. 42. . 4 4 . 3 4 f x x 2 ln x f x x2 e 3x h t 3t arcsen t f 2 cos sen2 t 4 tan F x x4 5 x 4 2 t x x1 3 x 2 3 h t t3 4 2t1 4 h p p 1 p2 4 t y y 1 y2 y 1 t t 3t 4 t t t4 t3 t2 1 f x 2x3 x2 2x f x 2x3 3x2 36x f x x3 6x2 15x f x 4 1 3 x 1 2 x2 u u u u u u 45-46 Se da la fórmula para la derivada de una función f. ¿Cuántos números críticos tiene f ? . 6 4 . 5 4 f x 100 cos2 x 10 x2 1 f x 5e 0.1 x sen x 1 47-62 Encuentre los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de f sobre el intervalo dado. 47. , 48. , 49. , 2, 3 f x 2x3 3x2 12x 1 0, 4 f x 5 54x 2x3 0, 5 f x 12 4x x2 50. , 51. , 52. , 53. , 54. , 55. , 56. , 57. , 58. , 59. , 60. , 61. 62. , 0, 4 f x x 2 tan 1 x f x ln x2 x 1 , 1, 1 [1 2, 2] f x x ln x 1, 4 f x xe x2 8 4, 7 4 f t t cot t 2 0, 2 f t 2cos t sen 2t 0, 8 f t s 3 t 8 t 1, 2 f t ts4 t2 0, 3 f x x x2 x 1 0.2, 4 f x x 1 x 1, 2 f x x2 1 3 2, 3 f x 3x4 4x3 12x2 1 3, 5 f x x3 6x2 5 p p p 63. Si a y b son números positivos, encuentre el valor máximo de f(x) m xa (1 x)b , 0 x 1. 64. Utilice una gráfica para estimar los números críticos de f(x) m U x3 3x2 2 U con una aproximación de un decimal. 65-68 a) Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo absolutos de la función con una aproximación de dos decimales. b) Por medio del cálculo encuentre los valores máximo y mínimo exactos. 65. 66. 67. 68. f x x 2 cos x, 2 x 0 f x xsx x2 f x ex e 2x , 0 x 1 f x x5 x3 2, 1 x 1 69. Entre 0C y 30C, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1kg de agua a una temperatura T, está dado aproximadamente por la fórmula V m 999.87 0.06426T 0.0085043T2 0.0000679T3 Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima. 70. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a través de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo . con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es F W sen cos u u m m donde es una constante positiva llamada el coeficiente de fricción y donde 0 . )Y2. Demuestre que F es minimizada cuando tan . m .
- 520. 282 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 71. Un modelo para el precio promedio en EU de una libra de azúcar blanca desde 1993 a 2003 está dado por la función 0.03629t2 0.04458t 0.4074 A t 0.00003237t5 0.0009037t4 0.008956t3 donde t es medido en años desde agosto de 1993. Estime los tiempos cuando el azúcar era más barata y más cara durante el periodo 1993-2003. 72. El 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo de un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de la velocidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. Velocidad (piess) Tiempo (s) Suceso 0 0 Lanzamiento Inicio de maniobra de giro 10 185 Fin de maniobra de giro 15 319 Válvula de estrangulación a 89% 20 447 Válvula de estrangulación a 67% 32 742 Válvula de estrangulación a 104% 59 1325 Presión dinámica máxima 62 1445 Separación de los cohetes auxiliares de combustible sólido 125 4 151 a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para hallar el polinomio cúbico que modele de la mejor manera la velocidad del transbordador para el intervalo de tiempo t [ F0, 125G. A continuación, dibuje esta función polinomial. b) Encuentre un modelo para la aceleración del transbordador y utilícelo para estimar los valores máximo y mínimo de la aceleración durante los primeros 125 segundos. 73. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un aumento en la presión de los pulmones. Esto viene acompañado por una contracción de la tráquea, con lo que se produce un canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido. Para que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo, éste debe moverse con mayor rapidez por el canal más angosto que por el más ancho. Entre mayor sea la velocidad de la corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo circular de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios de su radio normal durante un espasmo de tos. De acuerdo con un modelo matemático de la tos, la velocidad v de la corriente de aire se relaciona con el radio r de la tráquea mediante la ecuación v r k r0 r r2 1 2 r0 r r0 donde k es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción mayor que 1 2 r0 (de lo contrario, la persona se sofocaría). a) Determine el valor de r en el intervalo [1 2 r0, r0] en el cual v tiene un máximo absoluto. ¿Cómo se compara esto con la evidencia experimental? b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de v sobre el intervalo? c) Esboce la gráfica de v sobre el intervalo F0, r0G. 74. Demuestre que 5 es un número crítico de la función J(x) m 2 (x 5)3 pero J no tiene un valor extremo local en 5. 75. Demuestre que la función f(x) m x101 x51 x 1 no tiene ni máximo local ni mínimo local. 76. Si f tiene un valor mínimo local en c, demuestre que la función J(x) m f(x) tiene un valor mínimo local en c. 77. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en el que f tiene un mínimo local en c. 78. Una función cúbica es una función polinomial de grado 3; esto es, tiene la forma f(x) m ax3 bx2 cx d, donde a o 0. a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos, uno o no tener números críticos. Proporcione ejemplos y dibuje para ilustrar las tres posibilidades. b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función cúbica? PROYECTO DE APLICACIÓN CÁLCULO DE ARCOÍRIS Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la Humanidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para explicar la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris. 1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que atraviesa una gota esférica de lluvia en A. Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra a la gota. Observe que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell afirma que sen m k sen , donde es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción y k 4 3 es el índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta hacia el aire, pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.) Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja; pero, por el momento, hay más GHO 6RO )RUPDFLyQGHODUFRtULVSULPDULR DO REVHUYDGRU
- 521. PROYECTO DE APLICACIÓN CÁLCULO DE ARCOÍRIS 283 interés en la parte que sale de la gota de lluvia en C. (Observe que se refracta alejándose de la recta normal.) El ángulo de desviación D() es la magnitud de la rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj que ha descrito el rayo durante este proceso de tres etapas. Por tanto, D 2b 2a 4b b b a a a p p Demuestre que el valor mínimo de la desviación es D() 138 y ocurre cuando 59.4. El significado de la desviación mínima es que cuando 59.4 tenemos D() 0, de modo que $DY$ 0. Esto significa que muchos rayos con 59.4 resultan desviados en más o menos la misma cantidad. La concentración de los rayos que vienen de las cercanías de la desviación mínima crea el brillo del arcoíris primario. En la figura a la izquierda se muestra que el ángulo de elevación desde el observador hacia arriba hasta el punto más alto del arcoíris es 180 138 m 42 (A este ángulo se le llama ángulo de arcoíris). 2. En el problema 1 se explica la ubicación del arcoíris primario, pero, ¿cómo explica los colores? La luz solar comprende una gama de longitudes de onda, desde el rojo hasta el naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Como Newton descubrió en sus experimentos con un prisma en 1666, el índice de refracción es diferente para cada color. (El efecto se llama dispersión.) Para la luz roja, el índice de refracción es k 1.3318, en tanto que para la luz violeta es k 1.3435. Al repetir el cálculo del problema 1 para estos valores de k, se demuestra que el ángulo del arcoíris es alrededor de 42.3 para el arco rojo y de 40.6 para el arco violeta. Así pues, el arcoíris consta en realidad de siete arcos separados que corresponden a los siete colores. 3. Quizás haya visto un arcoíris secundario más tenue, arriba del arco primario. Se produce por la parte de un rayo que entra en una gota de lluvia y se refracta en A, se refleja dos veces (en B y C) y se refracta al salir de la gota en D (véase la figura que aparece a la izquierda). En esta ocasión, el ángulo de desviación D() es la magnitud total de rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que describe el rayo en este proceso de cuatro etapas. Demuestre que D 2a a 6b 2p y D() tiene un valor mínimo cuando cos k2 1 8 a Tomando k 4 3, demuestre que la desviación mínima es aproximadamente 129 y que el ángulo de arcoíris para el arcoíris secundario es de cerca de 51, como se muestra en la figura a la izquierda. 4. Demuestre que los colores del arcoíris secundario aparecen en orden invertido al del primario. UDRVGHO6RO UDRVGHO6RO 42° 138° REVHUYDGRU )RUPDFLyQGHODUFRtULVVHFXQGDULR DO REVHUYDGRU GHO 6RO 42° 51° © Pichugin Dmitry / Shutterstock
- 522. 284 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Vamos a ver que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central, llamado teorema del valor medio. Pero, para llegar a este teorema, veremos primero el siguiente resultado. 4.2 Teorema del valor medio FIGURA 1 b) a c b x y 0 c) b a c¡ c™ x y 0 d) b a c y x 0 a) b a c¡ c™ x y 0 Teorema de Rolle Si f es una función que satisface las siguientes tres hipótesis: 1. f es continua sobre el intervalo cerrado Fa, bG 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b) 3. f(a) m f(b) entonces hay un número c en (a, b) tal que f(c) m 0. Antes de dar la demostración, vamos a echar un vistazo a las gráficas de algunas fun- ciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. La figura 1 muestra las gráficas de cuatro de estas funciones. En cada caso parece que hay al menos un punto (c, f(c)) en la gráfica donde la recta tangente es horizontal y, por tanto, f(c) m 0. Por consiguiente, el teorema de Rolle es verosímil. DEMOSTRACIÓN Hay tres casos: CASO I f(x) m k, una constante Entonces f(x) m 0, por lo que el número c puede tomar cualquier número en (a, b). CASO II f(x) f(a) para alguna x en (a, b) [como en la figura 1b) o c)] Por el teorema del valor extremo (que podemos aplicar por la hipótesis 1), f tiene un valor máximo en algún lugar de Fa, bG. Ya que f(a) m f(b), debe alcanzar este valor máximo en un número c en el intervalo abierto (a, b), entonces f tiene un máximo local en c y, por la hipótesis 2, f es derivable en c. Por tanto, f(c) m 0 por el teorema de Fermat. CASO III f(x)
- 523. f(a) para algún x en (a, b) [como en la figura 1c) o d)] Por el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en Fa, bG y, como f(a) m f(b), alcanza este valor mínimo en un número x m c en (a, b). Otra vez, f(c) m 0 por el teorema de Fermat. EJEMPLO 1 Vamos a aplicar el teorema de Rolle a la función posición s m f(t) de un objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes t m a y t m b, entonces f(a) m f(b). El teorema de Rolle señala que hay algún instante de tiempo t m c entre a y b cuando f(c) m 0; es decir, la velocidad es 0. (En particular, puede verse que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.) EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación x3 x 1 m 0 tiene exactamente una raíz real. SOLUCIÓN Primero utilizamos el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar que existe una raíz. Sea f(x) m x3 x 1. Entonces f(0) m 1
- 524. 0 y f(1) m 1 0. Rolle El teorema de Rolle fue publicado en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719), en un libro titulado Méthode pour resoudre les Egalitez. Fue un crítico de los métodos de su tiempo y calificó al cálculo como una “colección de falacias ingeniosas”. Más tarde, sin embargo, se convenció de la esencial exactitud de los métodos del cálculo. RP Presentación de casos
- 525. SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 285 Dado que f es una función polinomial, es continua, por lo que el teorema del valor intermedio establece que existe un número x m c entre 0 y 1 tal que f(c) m 0, de lo que se deduce que la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que la ecuación no tiene otras raíces reales, utilizamos el teorema de Rolle y argumentamos por contradicción. Supongamos que tenemos dos raíces a y b. Entonces f(a) m 0 m f(b) y, dado que f es una función polinomial, es derivable en (a, b) y continua sobre Fa, bG. Por tanto, por el teorema de Rolle, existe un número x m c entre a y b tal que f(c) m 0. Pero para toda x f x 3x2 1 1 (ya que x2 w 0), por lo que f(x) nunca puede ser 0. Esto conduce a una contradicción, por tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales. El principal uso del teorema de Rolle es demostrar el importante teorema siguiente, establecido por primera vez por el matemático francés Joseph Louis Lagrange. FIGURA 2 _2 3 _3 2 La figura 2 muestra la gráfica de la función f(x) m x3 x 1 discutida en el ejemplo 2. El teorema de Rolle muestra que no importa cuánto ampliemos el rectángulo de vista, nunca podremos encontrar una segunda intersección con el eje x. El teorema del valor medio es un ejemplo de lo que se llama un teorema de existencia. Como el teorema del valor intermedio, el teorema del valor extremo y el teorema de Rolle aseguran que existe un número con una determinada propiedad, pero no nos dicen cómo encontrar el número. FIGURA 3 FIGURA 4 0 x y a c b B{b, f(b)} P{c, f(c)} A{a, f(a)} 0 x y c¡ c™ B P¡ A P™ b a Teorema del valor medio Si f es una función que satisface las siguientes hipótesis 1. f es continua sobre el intervalo cerrado Fa, bG 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b) entonces existe un número x m c en (a, b) tal que f c f b f a b a 1 o, equivalentemente, f b f a f c b a 2 Antes de demostrar este teorema, podemos ver que es razonable desde la interpretación geométrica. Las figuras 3 y 4 muestran los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) sobre las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la recta secante AB es 3 mAB f b f a b a que es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación 1. Dado que f(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto (c, f(c)), el teorema del valor medio, en la forma dada por la ecuación 1, indica que hay al menos un punto P(c, f(c)) sobre la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante AB. En otras palabras, hay un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB (imagine una recta paralela a AB, moviéndose desde lejos manteniendo el paralelismo hasta que toque la gráfica por primera vez).
- 526. 286 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA DEMOSTRACIÓN Aplicamos el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la recta secante AB. Mediante la ecuación 3, vemos que la ecuación de la recta AB puede escribirse como y f a f b f a b a x a y f a f b f a b a x a o como Así, como se muestra en la figura 5, 4 h x f x f a f b f a b a x a Primero, debemos verificar que h satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle. 1. La función h es continua sobre Fa, bG porque es la suma de f y una función polino- mial de primer grado, ambas continuas. 2. La función h es derivable sobre (a, b) porque f y la función polinomial de primer grado son derivables. De hecho, podemos calcular h directamente de la ecuación 4: h x f x f b f a b a (Note que f(a) y [ f(b) f(a)]Y(b a) son constantes.) 3. f b f a f b f a 0 h b f b f a f b f a b a b a h a f a f a f b f a b a a a 0 Por tanto, h(a) m h(b). Dado que h satisface las hipótesis del teorema de Rolle, que señala que existe un núme- ro x m c en (a, b) tal que h(c) m 0, entonces se tiene 0 h c f c f b f a b a así que f c f b f a b a v EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica, consideremos f (x) m x3 x, a m 0, b m 2. Puesto que f es una función polinomial, es continua y derivable para toda x, así que es ciertamente continua sobre F0, 2G y derivable sobre (0, 2). Por tanto, por el teorema del valor medio, existe un número x m c en (0, 2) tal que f(2) f(0) m f(c)(2 0) Ahora, f(2) m 6, f(0) m 0 y f(x) m 3x2 1, así que la ecuación resulta 6 m (3c2 1)2 m 6c2 2 FIGURA 5 0 x y x h(x) y=ƒ ƒ A B f(a)+ (x-a) f(b)-f(a) b-a a b Lagrange y el teorema del valor medio El teorema del valor medio fue formulado pri- mero por Joseph Louis Lagrange (1736-1813), nacido en Italia de padre francés y madre ita- liana. Fue un niño prodigio y se convirtió en pro- fesor en Turín a la tierna edad de 19 años. Lagrange hizo grandes contribuciones a la teoría de números, teoría de las funciones, teoría de las ecuaciones y a la mecánica celeste y analítica. En particular, aplicó el cálculo en el análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico el Grande, sucedió a Euler en la Academia de Berlín y, cuando Federico murió, Lagrange aceptó la invitación a París del rey Luis XVI, donde recibió apartamentos en el Louvre y un cargo de profesor en la Escuela Politécnica. A pesar de todos los lujos y la fama, era un hombre tranquilo, viviendo sólo para la ciencia.
- 527. SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 287 que da c2 4 3, esto es, c 2 s3. Pero x m c debe estar en (0, 2), así que c 2 s3 . La figura 6 ilustra este cálculo: la recta tangente en este valor de x m c es paralela a la recta secante OB. v EJEMPLO 4 Si un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la función posición s m f(t), entonces la velocidad promedio entre t m a y t m b es f b f a b a y la velocidad en t m c es f(c). Así, el teorema del valor medio (en la forma de la ecuación 1) nos indica que en algún momento t m c entre a y b la velocidad instantánea f(c) es igual a la velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil viajaba 180km en 2 horas, entonces el velocímetro debe tener una lectura de 90kmYh por lo menos una vez. En general, el teorema del valor medio puede interpretarse diciendo que existe un número en el cual la razón de cambio instantáneo es igual a la razón de cambio promedio a lo largo de un intervalo. El principal significado del teorema del valor medio es que nos permite obtener infor- mación acerca de una función a partir de aquella acerca de su derivada. En el caso siguiente se proporciona un ejemplo de este principio. v EJEMPLO 5 Suponga que f(0) 3 y f(x) 5 para todos los valores de x. ¿Qué tan grande puede ser f(2)? SOLUCIÓN Partimos del hecho de que f es derivable (y, por tanto, continua) en todo su dominio. En particular, podemos aplicar el teorema del valor medio en el intervalo F0, 2G. Existe un número x m c tal que f(2) f(0) f(c)(2 0) así que f(2) f(0) 2 f(c) m 3 2 f(c) Tenemos que f(x) v 5 para toda x, así que, en particular, sabemos que f(c) v 5. Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por 2, tenemos 2f(c) v 10, así que f(2) 3 2 f(c) 3 10 7 El mayor valor posible para f(2) es 7. El teorema del valor medio puede utilizarse para establecer algunos de los hechos bási- cos del Cálculo Diferencial. Uno de estos hechos básicos es el siguiente teorema. Otros se encontrarán en las secciones siguientes. FIGURA 6 y=˛- x B x y c 2 O DEMOSTRACIÓN Sean x1 y x2 dos números cualesquier en (a, b), con x1
- 528. x2. Dado que f es derivable sobre (a, b), debe ser derivable sobre (x1, x2) y continua sobre Fx1, x2G. Aplicando el teorema del valor medio a f sobre el intervalo Fx1, x2G, obtenemos un número x m c tal que x1
- 529. c
- 530. x2 y 6 f x2 f x1 f c x2 x1 5 Teorema Si f(x) 0 para toda x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b).
- 531. 288 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Puesto que f(x) m 0 para toda x, tenemos f(c) m 0, así que la ecuación 6 resulta f x2 f x1 o f x2 f x1 0 Por tanto, f tiene el mismo valor que cualesquiera dos números x1 y x2 en (a, b). Esto significa que f es constante sobre (a, b). 7 Corolario Si f(x) m J(x) para toda x en un intervalo (a, b), entonces f J es constante sobre (a, b); esto es, f(x) m J(x) c donde c es una constante. DEMOSTRACIÓN Sea F(x) m f(x) J(x). Entonces F x f x t x 0 para toda x en (a, b). Así, por el teorema 5, f es constante; esto es, f J es constante. NOTA Cuidado al utilizar el teorema 5. Sea f x x x 1 1 si x 0 si x 0 El dominio de f es D m Hx U x 0J y f(x) m 0 para toda x en D. Pero f, evidentemente, no es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Observe que f es constante sobre el intervalo (0, @) y también sobre el intervalo (@, 0). EJEMPLO 6 Demuestre la identidad tan1 x cot1 x m )Y2. SOLUCIÓN Aunque no es necesario utilizar el cálculo para demostrar esta identidad, la demostración mediante él es muy sencilla. Si f(x) m tan1 x cot1 x, entonces f x 1 1 x2 1 1 x2 0 para todos los valores de x. Por tanto, f(x) m C, una constante. Para determinar el valor de C, ponemos x m 1 [porque podemos evaluar f(1) exactamente]. Entonces C f 1 tan 1 1 cot 1 1 4 4 2 p p p Así, tan1 x cot1 x m )Y2. 4.2 ; Ejercicios 1-4 Verifique que la función satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo dado. Después encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle. 1. 2. 3. f x sx 1 3 x, 0, 9 0, 3 f x x3 x2 6x 2, 1, 3 f x 5 12x 3x2 , 4. f x cos 2x, 8, 7 8 p p 5. Sea f(x) m 1 x2Y3 . Demuestre que f(1) m f(1), pero no hay ningún número x m c en (1, 1) tal que f(c) m 0. ¿Por qué no contradice esto el teorema de Rolle? 6. Sea f(x) m tan x. Demuestre que f(0) m f()), pero no hay ningún número x m c en (0, )) tal que f(c) m 0. ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle? Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 532. SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO 289 7. Utilice la gráfica de f para estimar el valor de x m c que satisface la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo F0, 8G. y y =ƒ 1 x 0 1 8. Utilice la gráfica de f dada en el ejercicio 7 para estimar los valores de x m c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo F1, 7G. 9-12 Verifique que la función satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo dado. Después encuentre todos los números x m c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio. 9. , 10. , 11. , 12. , 1, 3 f x 1 x 1, 4 f x ln x 2, 2 f x x3 3x 2 0, 2 f x 2x2 3x 1 13-14 Encuentre el número x m c que satisface la conclusión del teorema del valor medio sobre el intervalo dado. Grafique la función, la recta secante a través de los extremos y la recta tangente en (c, f(c)). ¿Son paralelas la recta secante y la tangente? 13. , 14. , 0, 2 f x e x 0, 4 f x sx 15. Sea f(x) m (x 3)2 . Demuestre que no hay ningún valor de x m c en (1, 4) tal que f(4) f(1) m f(c)(4 1). ¿Por qué no contradice esto el teorema del valor medio? 16. Sea f(x) m 2 U2x 1U. Demuestre que no hay valor x m c tal que f(3) f(0) m f(c)(3 0). ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio? 17-18 Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene sólo una raíz real. . 8 1 . 7 1 x3 ex 0 2x cos x 0 19. Demuestre que la ecuación x3 15x c m 0 tiene como máximo una raíz en el intervalo F2, 2G. 20. Pruebe que la ecuación x4 4x c m 0 tiene como máximo dos raíces reales. 21. a) Demuestre que una polinomial de grado 3 tiene a lo sumo tres raíces reales. b) Demuestre que una polinomial de grado n tiene como máximo n raíces reales. 22. a) Suponga que f es derivable sobre 2 y tiene dos raíces. Demuestre que f tiene al menos una raíz. b) Suponga que f es dos veces derivable en 2 y tiene tres raíces. Demuestre que f tiene al menos una raíz real. c) ¿Puede usted generalizar los incisos a) y b)? 23. Si f(1) m 10 y f(x)w 2 para 1 v x v 4, ¿qué tan pequeño puede posiblemente ser f(4)? 24. Suponga que 3 v f(x) v 5 para todos los valores de x. Demuestre que 18 v f(8) f(2) v 30. 25. ¿Existe una función f tal que f(0) m 1, f(2) m 4 y f(x) v 2 para toda x? 26. Suponga que f y J son continuas sobre Fa, bG y derivables sobre (a, b). Suponga también que f(a) m J(a) y f(x)
- 533. J(x) para a
- 534. x
- 535. b. Demuestre que f(b)
- 536. J(b). [Sugerencia: utilice el teorema del valor medio para la función h m f J.] 27. Demuestre que s1 x 1 1 2 x si x 0. 28. Suponga que f es una función impar y es derivable sobre todo su dominio. Demuestre que para todo número positivo b, existe un número x m c en (b, b) tal que f(c) m f(b)Yb. 29. Utilice el teorema del valor medio para demostrar la desigualdad U sen a sen b U U a b U para toda a y b 30. Si f (x) m c (c es una constante) para toda x, utilice el corolario 7 para demostrar que f(x) m cx d para alguna constante d. 31. Sea f(x) m 1Yx y t x 1 x 1 1 x si x 0 si x 0 Demuestre que f(x) m J(x) para toda x en su dominio. ¿Podemos concluir del corolario 7 que f J es constante? 32. Utilice el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad x 0 2 sen 1 x cos 1 1 2x2 33. Demuestre la identidad arcsen x 1 x 1 2 arctan sx 2 34. A las 14:00 el velocímetro de un automóvil marca 30miYh. A las 14:10 marca 50miYh. Demuestre que en algún momento entre las 14:00 y 14:10 la aceleración es exactamente 120miYh2 . 35. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan en un empate. Demuestre que en algún momento durante la carrera tienen la misma velocidad. [Sugerencia: considere f(t) m J(t) h(t), donde J y h son las funciones posición de los dos corredores.] 36. Un número a se llama punto fijo de una función f si f(a) m a. Demuestre que si f(x) o 1 para todos los números reales x, entonces f tiene a lo sumo un punto fijo.
- 537. 290 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de nuestra capacidad para deducir hechos acerca de una función f a partir de la información que se obtiene de sus derivadas. Ya que f(x) representa la pendiente de la curva y m f(x) en el punto (x, f(x)), nos indica la direc- ción de la curva en cada punto. Así, es razonable esperar que la información relacionada con f(x) nos proporcione información asociada con f(x). ¿Qué indica f respecto a f ? Para ver cómo la derivada de f puede decirnos dónde una función es creciente o decre- ciente, miremos la figura 1. (Las funciones crecientes y las decrecientes fueron definidas en la sección 1.1). Entre A y B y entre C y D, las rectas tangentes tienen pendiente posi- tiva, por lo que f(x) 0. Entre B y C, las rectas tangentes tienen pendiente negativa, así que f (x)
- 538. 0. Así, parece que f crece cuando f (x) es positiva y decrece cuando f (x) es negativa. Para demostrar que esto siempre es el caso, usamos el teorema del valor medio. D A B C y 0 x FIGURA 1 4.3 Cómo afecta la derivada la forma de una gráfica Prueba creciente/decreciente a) Si f(x) 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente sobre ese intervalo. b) Si f(x)
- 539. 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente sobre ese intervalo. DEMOSTRACIÓN a) Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en el intervalo con x1
- 540. x2. Según la definición de una función creciente (página 19), tenemos que demostrar que f(x1)
- 541. f(x2). Sabemos que f(x) 0 y que f es derivable sobre (x1, x2), así que, por el teorema del valor medio, existe un número c entre x1 y x2 tal que 1 f(x2) f(x1) m f(c)(x2 x1) Ahora f(c) 0 por el supuesto de que x2 x1 0 ya que x1
- 542. x2. Así, el lado derecho de la ecuación 1 es positivo, por lo que f(x2) f(x1) 0 o f(x1)
- 543. f(x1) lo que demuestra que f es creciente. El inciso b) se demuestra de manera similar. v EJEMPLO 1 Encuentre dónde la función f(x) m 3x4 4x3 12x2 5 es creciente y dónde es decreciente. SOLUCIÓN f(x) m 12x3 12x2 24x m 12x(x 2)(x 1) Para utilizar la prueba C/D tenemos que investigar dónde f(x) 0 y dónde f(x)
- 544. 0. Esto depende de los signos de los tres factores de f(x), es decir, 12x, (x 2) y (x 1). Para esto, dividimos la recta real en intervalos cuyos extremos son los números críticos: 1, 0 y 2, y organizamos nuestro trabajo en una gráfica. Un signo más indica que la expresión dada es positiva, y un signo menos indica que es negativa. La última columna de la tabla da la conclusión basada en la prueba C/D. Por ejemplo, f(x)
- 545. 0 para 0
- 546. x
- 547. 2, por lo que f es decreciente sobre (0, 2). (También sería correcto decir que f es decreciente sobre el intervalo cerrado F0, 2G.) Abreviaremos el nombre de esta prueba como Prueba C/D
- 548. SECCIÓN 4.3 CÓMO AFECTA LA DERIVADA LA FORMA DE UNA GRÁFICA 291 Intervalo x 2 x 1 f Decreciente sobre (, 1) Creciente sobre (1, 0) Decreciente sobre (0, 2) Creciente sobre (2, ) f x 12x x 2 0 x 2 1 x 0 x 1 La gráfica de f que se muestra en la figura 2 confirma la información de la tabla. Recuerde de la sección 4.1 que si f tiene un máximo o mínimo locales en c, entonces c debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), pero no todo número crítico da lugar a un máximo o mínimo. Por tanto, necesitamos una prueba que nos diga si f tiene o no máximos o mínimos locales en un número crítico. Puede observarse en la figura 2 que f(0) m 5 es un valor máximo local de f porque crece sobre (1, 0) y disminuye sobre (0, 2). O bien, en términos de derivadas, f(x) 0 para 1
- 549. x
- 550. 0 y f(x)
- 551. 0 para 0
- 552. x
- 553. 2. En otras palabras, el signo de f(x) cambia de positivo a negativo en x m 0. Esta observación es la base de la siguiente prueba. FIGURA 3 0 x y c fª(x)0 fª(x)0 a) Máximo local c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 d) Sin máximos ni mínimos c) Sin máximos ni mínimos c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 b) Mínimo local 20 _30 _2 3 FIGURA 2 La prueba de la primera derivada es una consecuencia de la prueba C/D. En el inciso a), por ejemplo, puesto que el signo de f(x) cambia de positivo a negativo en c, f es crecien- te por la izquierda de c y decreciente por la derecha de c. Se deduce entonces que f tiene un máximo local en c. Es fácil recordar la prueba de la primera derivada al ver el comportamiento de gráficas como las de la figura 3. Prueba de la primera derivada Supongamos que x m c es un número crítico de una función continua f. a) Si f cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c. b) Si f cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local en c. c) Si f no cambia de signo en c (p. ej., si f es positiva por ambos lados de c o negativa por ambos lados), entonces f no tiene ningún máximo o mínimo local en c. v EJEMPLO 2 Encuentre los valores mínimos y máximos locales de la función f en el ejemplo 1. SOLUCIÓN De la tabla en la solución del ejemplo 1 vemos que f(x) cambia de negativa a positiva en x m 1, así que f(1) m 0 es un valor mínimo local por la prueba de la primera derivada. Del mismo modo, f cambia de negativa a positiva en x m 2, por
- 554. 292 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA lo que f(2) m 27 también es un valor mínimo local. Como se ha señalado anteriormente, f(0) m 5 es un valor máximo local porque f(x) cambia de positiva a negativa en x m 0. EJEMPLO 3 Encuentre los valores máximo y mínimo locales de la función J(x) m x 2 sen x 0 x 2) SOLUCIÓN Para encontrar los números críticos de J, derivamos: J(x) m 1 2 cos x Así que J(x) m 0 cuando cos x 1 2. Las soluciones de esta ecuación son 2)Y3 y 4)Y3. Debido a que J es derivable para toda x, los únicos números críticos son 2)Y3 y 4)Y3, así que podemos analizar a J en la siguiente tabla. Intervalo creciente sobre (0, 2p3) decreciente sobre (2p3, 4p3) creciente sobre (4p3, 2p) t t x 1 2 cos x 4 3 x 2 2 3 x 4 3 0 x 2 3 p p p p p Ya que J(x) cambia de positivo a negativo en 2)Y3, la prueba de la primera derivada nos indica que existe un máximo local en x m 2)Y3 y el máximo valor local es t 2 3 2 3 2 sen 2 3 2 3 2 s3 2 2 3 s3 3.83 p p p p p Por otro lado, J(x) cambia de negativa a positiva en x m 4)Y3 y, por tanto, t 4 3 4 3 2 sen 4 3 4 3 2 s3 2 4 3 s3 2.46 p p p p p es un valor mínimo local. La gráfica de J en la figura 4 apoya nuestra conclusión. Los signos en la tabla vienen del hecho de que J(x) 0 cuando cos x 1 2. A partir de la gráfica de y m cos x, esto es cierto en los intervalos indicados. ¿Qué dice f respecto a f ? La figura 5 muestra las gráficas de dos funciones crecientes sobre (a, b). Ambas gráficas unen el punto A al punto B, pero parecen diferentes porque se doblan en diferentes direc- ciones. ¿Cómo podemos distinguir entre estos dos tipos de comportamiento? En la figura 6, las rectas tangentes a estas curvas se han dibujado en varios puntos. En a) sobre la curva queda por arriba de las rectas tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba sobre (a, b). En b), la curva se encuentra por debajo de las rectas tangentes y J se llama cóncava hacia abajo sobre (a, b). FIGURA 4 sen
- 555. SECCIÓN 4.3 CÓMO AFECTA LA DERIVADA LA FORMA DE UNA GRÁFICA 293 La figura 7 muestra la gráfica de una función que es cóncava hacia arriba (abreviado CA) sobre los intervalos (b, c), (d, e) y (e, p), y cóncava hacia abajo (CB) sobre los inter- valos (a, b), (c, d), y ( p, q). FIGURA 5 FIGURA 6 a b f A B x y 0 a g A B x y 0 g A B x y 0 f A B x y 0 a) b) a) Cóncava hacia arriba b) Cóncava hacia abajo b FIGURA 7 a b c d e p q B C D P x y 0 CB CA CB CA CB CA Definición Si la gráfica de f queda por arriba de todas sus rectas tangentes sobre un intervalo I, entonces se dice que es cóncava hacia arriba sobre I. Si la gráfica de f queda por abajo de todas sus rectas tangentes, se dice que es cóncava hacia abajo sobre I. Veamos cómo la segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad. Al observar la figura 6a, puede verse que, de izquierda a derecha, la pendiente de la recta tangente es creciente. Esto significa que la derivada f es una función creciente y, por tanto, su derivada f es positiva. Asimismo, en la figura 6b) la pendiente de la recta tangente decrece de izquierda a derecha, así que f decrece y, por ende, f es negativa. Este razona- miento puede invertirse y sugiere que el siguiente teorema es verdadero. En el apéndice F se da una demostración con la ayuda del teorema del valor medio. Prueba de concavidad a) Si f(x) 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre I. b) Si f(x)
- 556. 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre I.
- 557. 294 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA EJEMPLO 4 La figura 8 muestra una gráfica de la población de abejas de Chipre criadas en un colmenar. ¿Cómo cambia la tasa de crecimiento poblacional con el tiempo? ¿Cuándo esta tasa es más alta? ¿Sobre qué intervalos es P cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? FIGURA 8 t P 3 20 0 7LHPSRVHPDQDV
- 558. 6 9 12 15 40 60 80 1~PHURGHDEHMDV HQPLOHV
- 559. 18 SOLUCIÓN Observando la pendiente de la curva cuando t aumenta, vemos que la tasa de crecimiento de la población es inicialmente muy pequeña, después aumenta hasta que llega un máximo aproximadamente a t m 12 semanas y disminuye a medida que la población comienza a nivelarse. A medida que la población se acerca a su valor máximo de aproximadamente 75000 (llamado la capacidad de acarreo), la tasa de crecimiento, P(t), se aproxima a 0. La curva parece ser cóncava hacia arriba en (0, 12) y cóncava hacia abajo en (12, 18). En el ejemplo 4, la curva de la población ha cambiado de cóncava hacia arriba a cón- cava hacia abajo en aproximadamente el punto (12, 38000). Este punto se denomina punto de inflexión de la curva. La importancia de este punto es que la tasa de crecimiento de la población tiene allí su valor máximo. En general, un punto de inflexión es aquel donde una curva cambia de dirección la concavidad. Definición Un punto P sobre una curva y m f(x) se llama punto de inflexión si f es allí continua y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P. Por ejemplo, en la figura 7, B, C, D y P son los puntos de inflexión. Observe que si una curva tiene una recta tangente en un punto de inflexión, entonces la curva corta a la recta tangente en ese punto. De acuerdo con la prueba de concavidad, existe un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada cambia de signo. v EJEMPLO 5 Esboce una posible gráfica de una función f que cumpla con las condiciones siguientes: iii lím xl f x 2, lím x l f x 0 ii f x 0 sobre , 2 y 2, , f x 0 sobre 2, 2 i f x 0 sobre , 1 , f x 0 sobre 1, SOLUCIÓN La condición i) nos señala que f es creciente sobre (@, 1) y decreciente sobre (1, @). La condición ii) dice que f es cóncava hacia arriba sobre (@, 2) y (2, @) y cóncava hacia abajo sobre (2, 2). De la condición iii) sabemos que la gráfica de f tiene dos asíntotas horizontales: y m 2 e y m 0. Primero dibujamos la asíntota horizontal y m 2 como una recta discontinua (véase la figura 9). Después dibujamos la gráfica de f aproximándose a esta asíntota hacia el extremo izquierdo, creciendo a su punto máximo en x m 1 y decreciendo hacia el eje x hacia el FIGURA 9 x y=_2 0 1 2 -2 y
- 560. SECCIÓN 4.3 CÓMO AFECTA LA DERIVADA LA FORMA DE UNA GRÁFICA 295 extremo derecho. También nos aseguramos de que la gráfica tiene puntos de inflexión cuando x m 2 y x m 2. Observe que hicimos que la curva se doble hacia arriba para x
- 561. 2 y x 2, y se doble hacia abajo cuando x está entre 2 y 2. Otra aplicación de la segunda derivada es la siguiente prueba para los valores máximos y mínimos, que no es más que una consecuencia de la prueba de concavidad. fª(c)=0 f(c) ƒ c P x x y 0 FIGURA 10 f·(c)0fHVFyQFDYDKDFLDDUULED f Prueba de la segunda derivada Supongamos que f es continua cerca de x m c. a) Si f(c) m 0 y f (c) 0, entonces f tiene un mínimo local en x m c. b) Si f(c) m 0 y f (c)
- 562. 0, entonces f tiene un máximo local en x m c. Por ejemplo, el inciso a) es cierto porque f (x) 0 cerca de x m c y, por tanto, f es cóncava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica está sobre su recta tangente horizontal en c y, por tanto, f tiene un mínimo local en x m c. (Véase la figura 10.) v EJEMPLO 6 Discuta la curva y m x4 4x3 respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Utilice esta información para esbozar la curva. SOLUCIÓN Si f(x) m x4 4x3 , entonces f x 12x2 24x 12x x 2 f x 4x3 12x2 4x2 x 3 Para encontrar los números críticos establecemos f(x) m 0 para obtener x m 0 y x m 3. Para utilizar la prueba de la segunda derivada evaluamos f en estos números críticos: f (0) m 0 f (3) m 36 0 Ya que f(3) m 0 y f (3) 0, f(3) m 27 es un mínimo local. Como f (0) m 0, la prueba de la segunda derivada no aporta información sobre el número crítico x m 0. Pero ya que f(x)
- 563. 0 para x
- 564. 0 y también para 0
- 565. x
- 566. 3, la prueba de la primera derivada nos dice que f no tiene un máximo o mínimo local en 0. [De hecho, la expresión para f(x) muestra que f decrece a la izquierda de 3 y crece a la derecha de 3.] Puesto que f (x) m 0 cuando x m 0 o x m 2, dividimos la recta real en intervalos con estos números como extremos y completamos la siguiente tabla. Concavidad Intervalo ( , 0) hacia arriba (0, 2) hacia abajo (2, ) hacia arriba f x 12x x 2 El punto (0, 0) es un punto de inflexión, ya que la curva cambia ahí de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. También (2, 16) es un punto de inflexión, ya que allí la curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Utilizando el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, esbozamos la curva de la figura 11. NOTA La prueba de la segunda derivada es incierta cuando f (c) m 0. En otras pala- bras, en tal punto puede haber un máximo, puede haber un mínimo, o podría no haber máximo o mínimo (como en el ejemplo 6). Esta prueba también falla cuando f (c) no existe. En tales casos, debe utilizarse la prueba de la primera derivada. De hecho, aun cuando se aplican ambas pruebas, la prueba de la primera derivada es a menudo más fácil de utilizar. FIGURA 11 x y 2 3 (2, _16) (3, _27) y=x$-4˛ SXQWRVGH LQÁH[LyQ (0, 0)
- 567. 296 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA EJEMPLO 7 Esboce la gráfica de la función f(x) m x 2Y3 (6 x)1Y3 . SOLUCIÓN Con las primeras dos derivadas obtenemos f x 4 x x1 3 6 x 2 3 f x 8 x4 3 6 x 5 3 Dado que f(x) m 0 cuando x m 4 y f(x) no existe cuando x m 0 o x m 6, los números críticos son 0, 4 y 6. Intervalo f decreciente sobre (, 0) creciente sobre (0, 4) decreciente sobre (4, 6) decreciente sobre (6, ) 4 f x x 6 x 2 3 x1 3 x 6 4 x 6 0 x 4 x 0 Para encontrar los valores extremos locales utilizamos la prueba de la primera derivada. Puesto que f cambia de negativa a positiva en x m 0, f(0) m 0 es un mínimo local. Ya que f cambia de positiva a negativa en x m 4, f(4) m 25Y3 es un máximo local. El signo de f no cambia en x m 6, por lo que no hay mínimo o máximo. (La prueba de la segunda derivada podría utilizarse en x m 4, pero no en x m 0 o x m 6 porque f no existe en ninguno de estos números.) Observando la expresión para f(x) y tomando nota de que x4Y3 w 0 para toda x, tenemos f (x)
- 568. 0 para x
- 569. 0 y para 0
- 570. x
- 571. 6, y f (x) 0 para x 6. Así que f es cóncava hacia abajo sobre (@, 0) y (0, 6) y cóncava hacia arriba sobre (6, @), y el único punto de inflexión es (6, 0). La gráfica se esboza en la figura 12. Tenga en cuenta que la curva tiene una recta tangente vertical en (0, 0) y (6, 0) debido a que U f(x) U l @ conforme x l 0 y a medida que x l 6. EJEMPLO 8 Utilice la primera y segunda derivadas de f(x) m e1Yx , junto con las asíntotas, para esbozar su gráfica. SOLUCIÓN Note que el dominio de f es Hx U x o 0J, por lo que comprobamos para asíntotas verticales calculando los límites por la izquierda y por la derecha cuando x l 0. Conforme x l 0 , sabemos que t m 1Yx l @, así que lím x l0 e1 x lím tl et y esto demuestra que x m 0 es una asíntota vertical. A medida que x l 0 , tenemos t m 1Yx l @, por lo que lím xl0 e1 x lím tl et 0 Conforme x l ±@, tenemos 1Yx l 0 así que lím x l e1 x e0 1 Esto demuestra que y m 1 es una asíntota horizontal. Ahora vamos a calcular la derivada. La regla de la cadena da f x e1 x x2 Como e1Yx 0 y x2 0 para toda x o 0, tenemos f(x)
- 572. 0 para toda x o 0. Así f es decreciente sobre (@, 0) y sobre (0, @). No hay un número crítico, por lo que la función Utilice las reglas de derivación para verificar estos cálculos. Intente reproducir la gráfica de la figura 12 con una calculadora graficadora o una computadora. Algunas máquinas producen la gráfica com- pleta, algunas generan únicamente la parte a la derecha del eje y, y algunas otras producen únicamente la parte entre x m 0 y y m 6. Para una explicación y resolución de esto, vea el ejemplo 7 en la sección 1.4. Una expresión equivalente que da la gráfica correcta es y x2 1 3 6 x 6 x 6 x 1 3 TEC En Module 4.3 puede usted practicar usando la información relacionada con f, f y las asíntotas para determinar la forma de la gráfica de f. FIGURA 12 y x 0 2 3 4 1 2 3 4 5 7 (4, 2%?#) y=x@?#(6-x)!?#
- 573. SECCIÓN 4.3 CÓMO AFECTA LA DERIVADA LA FORMA DE UNA GRÁFICA 297 no tiene máximos ni mínimos locales. La segunda derivada es f x x2 e1 x 1 x2 e1 x 2x x4 e1 x 2x 1 x4 Puesto que e1Yx 0 y x 4 0, tenemos f (x) 0 cuando x 0 x 1 2 y f (x)
- 574. 0 cuando x 1 2. Así que la curva es cóncava hacia abajo sobre ( , 1 2 ) y cóncava hacia arriba sobre ( 1 2, 0) y sobre (0, @). El punto de inflexión es ( 1 2, e 2 ). Para esbozar la gráfica de f trazamos primero la asíntota horizontal y m 1 (como una recta discontinua), junto con las partes de la curva cerca de la asíntota en un esbozo preli- minar [figura 13a]. Estas partes reflejan la información relativa a los límites y el hecho de que f es decreciente sobre (@, 0) y (0, @). Observe que hemos indicado que f(x) l 0 conforme x l 0 , a pesar de que f(0) no existe. En la Figura 13b terminamos el esbozo incorporando la información relativa a la concavidad y el punto de inflexión. En la figura 13c) revisamos nuestro trabajo con un dispositivo de graficación. FIGURA 13 a) Esquema preliminar b) Dibujo terminado c) Configuración por computadora 4 0 _3 3 x 0 y y=1 y=‰ punto de inflexión x 0 y y=1 4.3 Ejercicios 1-2 Utilice la gráfica de f para encontrar lo siguiente. a) Los intervalos abiertos sobre los que f es creciente. b) Los intervalos abiertos sobre los que f es decreciente. c) Los intervalos abiertos sobre los que f es cóncava hacia arriba. d) Los intervalos abiertos sobre los que f es cóncava hacia abajo. e) Las coordenadas de los puntos de inflexión. 1. y 0 x 1 1 2. y 0 x 1 1 3. Supongamos que se le da una fórmula para una función f. a) ¿cómo determinaría dónde f aumenta o disminuye? b) ¿Cómo determinaría dónde la gráfica de f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? c) ¿Dónde se localizan los puntos de inflexión? 4. a) Establezca la prueba de la primera derivada b) Establezca la prueba de la segunda derivada. ¿Bajo qué circunstancias no son concluyentes? ¿Qué haría si no es válida? 5-6 En los ejercicios 5 y 6, se muestran las gráficas de la derivada f de una función f. a) ¿Sobre qué intervalos f crece o decrece? b) ¿En qué valores de x, f tiene un máximo o mínimo local? 5. 6. 2 4 6 x y 0 2 4 6 x y 0 y=fª(x) y=fª(x) Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 575. 298 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 7. En cada inciso establezca las coordenadas x de los puntos de inflexión de f. Dé las razones de sus respuestas. a) Si la curva dada es la gráfica de f. b) Si la curva dada es la gráfica de f. c) Si la curva dada es la gráfica de f . 2 y 0 x 4 6 8 8. Se muestra la gráfica de la primera derivada f de una función f. a) ¿Sobre qué intervalos f es creciente? Explique. b) ¿En qué valores de x tiene f un máximo o mínimo local? Explique. c) ¿Sobre qué intervalos es f cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? Explique. d) ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos de inflexión de f? ¿Por qué? 3 y 0 x 5 7 1 9 y=fª(x) 9-18 a) Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente o decre- ciente. b) Encuentre los valores máximos y mínimos locales de f. c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. 9. 10. 11. 12. 13. 14. , . 6 1 . 5 1 17. 18. f x x2 x ln x f x x4 e x f x e2x e x f x x2 ln x f x cos2 x 2 sen x 0 x 2 f x sen x cos x, 0 x 2 f x x4 2x2 3 f x x x2 1 f x 4x3 3x2 6x 1 f x 2x3 3x2 36x p p 19-21 Encuentre los valores máximos y mínimos locales de f utilizando las pruebas de la primera y la segunda derivada. ¿Qué método prefiere? . 0 2 . 9 1 21. f x sx s 4 x f x 1 3x2 2x3 f x x2 x 1 22. a) Encuentre los números críticos de f(x) m x4 (x 1)3 . b) ¿Qué nos dice la prueba de la segunda derivada sobre el comportamiento de f en estos números críticos? c) ¿Qué nos indica la prueba de la primera derivada? 23. Supongamos que f es continua sobre (@, @). a) Si f(2) m 0 y f (2) m 5, ¿qué puede decir acerca de f? b) Si f(6) m 0 y f (6) m 0, ¿qué puede decir acerca de f? 24-29 Esboce la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones determinadas. 24. Asíntota vertical x m 0, f(x) 0 si x
- 576. 2, f(x)
- 577. 0 si x 2 (x o 0), f (x)
- 578. 0 si x
- 579. 0, f (x) 0 si x 0 25. f(0) m f(2) m f(4) m 0, f(x) 0 si x
- 580. 0 o 2
- 581. x
- 582. 4, f(x)
- 583. 0 si 0
- 584. x
- 585. 2 o x 4, f (x) 0 si 1
- 586. x
- 587. 3, f (x)
- 588. 0 si x
- 589. 1 o x 3 26. f(1) m f(1) m 0, f(x)
- 590. 0 si U x U
- 591. 1, f(x) 0 si 1
- 592. U x U
- 593. 2, f(x) m 1 si U x U 2, f (x)
- 594. 0 si 2
- 595. x
- 596. 0, punto de inflexión (0, 1) 27. f(x) 0 si U x U
- 597. 2, f(x)
- 598. 0 si U x U 2, f(2) m 0, lím xl2 f x , f (x) 0 si x o 2 28. f(x) 0 si U x U
- 599. 2, f(x)
- 600. 0 si U x U 2, f(2) m 0, lím xl f x 1 , f(x) m f(x), f (x)
- 601. 0 si 0
- 602. x
- 603. 3, f (x) 0 si x 3 29. f(x)
- 604. 0 y f (x)
- 605. 0 para toda x 30. Supongamos que f(3) m 2, f 3 1 2 y f(x) 0 y f (x)
- 606. 0 para toda x. a) Esboce una posible gráfica para f. b) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f(x) m 0? ¿Por qué? c) ¿Es posible que f 2 1 3. ¿Por qué? 31-32 Se muestra la gráfica de la derivada f de una función continua f. a) ¿Sobre qué intervalos es f creciente? ¿Decreciente? b) ¿En qué valores de x tiene f un máximo local? ¿Mínimo local? c) ¿Sobre qué intervalos es f cóncava hacia arriba? ¿Cóncava hacia abajo? d) Establezca las coordenadas x de los puntos de inflexión. e) Suponiendo que f(0) m 0, esboce una gráfica de f. 31. 2 4 6 8 y 0 x _2 y=fª(x) 2
- 607. SECCIÓN 4.3 CÓMO AFECTA LA DERIVADA LA FORMA DE UNA GRÁFICA 299 32. y 0 x 2 4 6 8 _2 y=fª(x) 2 33-34 a) Encuentre los intervalos donde crece o decrece. b) Halle los valores máximos y mínimos locales. c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. d) Utilice la información de los incisos a)-c) para esbozar la gráfica. Verifique su trabajo con un dispositivo de graficación. . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 39. 40. 41. 42. 43. , 44. , 0 x 4 S x x sen u u u u p p x 0 2 f 2 cos cos2 f x ln x4 27 C x x1 3 x 4 G x 5x2 3 2x5 3 F x xs6 x h x 5x3 3x5 h x x 1 5 5x 2 t x 200 8x3 x4 f x 2 2x2 x4 f x 36x 3x2 3 2x f x x3 12x 2 45-52 a) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales. b) Halle los intervalos donde crece o decrece. c) Busque los valores máximos y mínimos locales. d) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. e) Utilice la información de los incisos a)-d) para esbozar la gráfica de f. . 6 4 . 5 4 . 8 4 . 7 4 . 0 5 . 9 4 51. 52. f x earctan x f x ln 1 ln x f x x 1 6 x2 2 3 ln x f x e x2 f x ex 1 ex f x sx2 1 x f x x2 4 x2 4 f x 1 1 x 1 x2 53. Suponga que la derivada de una función f es f(x) m (x 1)2 (x 3)5 (x 6)4 . ¿Sobre qué intervalo es f creciente? 54. Utilice los métodos de esta sección para trazar la curva y m x3 3a2 x 2a3 , donde a es una constante positiva. ¿Qué tienen en común los miembros de esta familia de curvas? ¿Cómo se diferencian entre sí? 55-56 a) Utilice la gráfica de f para estimar los valores máximos y mínimos. Después, encuentre los valores exactos. b) Estime el valor de x en el cual f crece más rápidamente. A continuación, encuentre el valor exacto. 55. 56. f x x2 e x f x x 1 sx2 1 57-58 a) Utilice la gráfica de f para dar una estimación aproximada de los intervalos de concavidad y de las coordenadas de los puntos de inflexión. b) Utilice la gráfica de f para dar estimaciones mejores. 57. , 58. f x x3 x 2 4 0 p x 2 f x cos x 1 2 cos 2x SAC 59-60 Estime los intervalos de concavidad con una aproximación de un decimal mediante un sistema algebraico computarizado y grafique f . . 0 6 . 9 5 f x x 2 tan 1 x 1 x3 f x x4 x3 1 sx 2 x 1 61. Se muestra la gráfica de una población de células de leva- dura en un cultivo reciente de laboratorio como una función del tiempo. a) Describa cómo varía la tasa de crecimiento de la población. b) ¿Cuándo la tasa es más alta? c) ¿Sobre qué intervalos es la función de población cóncava hacia arriba o hacia abajo? d) Estime las coordenadas del punto de inflexión. 2 6 10 14 18 4 8 12 16 0 7LHPSRKRUDV
- 608. 1~PHUR GH FpOXODV GHOHYDGXUD 100 200 300 400 500 600 700 62. Sea f(t) la temperatura en el tiempo t donde usted vive y suponga que en el tiempo t m 3 se siente incómodamente acalorado. ¿Cómo se siente en relación con los datos dados en cada caso? a) f(3) m 2, f (3) m 4 b) f(3) m 2, f (3) m 4 c) f(3) m 2, f (3) m 4 d) f(3) m 2, f (3) m 4 63. Sea C(t) una medida de los conocimientos que obtiene usted estudiando durante t horas para un examen. ¿Cuál cree que es más grande, C(8) C(7) o C(3) C(2)? ¿Es la gráfica de C cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? ¿Por qué?
- 609. 300 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 64. Se vierte café en una jarrita como la que se ilustra en la figura, con una rapidez constante (medida en unidades de volumen por unidad de tiempo). Trace una gráfica aproximada de la altura ocupada por el café como función del tiempo. Explique la forma de la gráfica en términos de la concavidad. ¿Cuál es el significado del punto de inflexión? 65. Una curva de respuesta a un medicamento describe el nivel de medicación en el torrente sanguíneo después de que un medicamento es administrado. Con frecuencia se aplica una función de onda de impulso (surge, en inglés) S(t) m Atp ekt para modelar la curva de respuesta, lo que refleja un aumento inicial en el nivel de medicamento y luego un descenso más gradual. Si, para un determinado medicamento, A m 0.01, p m 4, k m 0.07 y t se mide en minutos, calcule los tiempos correspondientes a los puntos de inflexión y explique su significado. Si usted dispone de un dispositivo de graficación, utilícelo para graficar la curva de respuesta. 66. La familia de curvas de campana y 1 s2 s e x 2 2 2 m s p se utiliza en probabilidad y estadística y se le denomina función de densidad normal. La constante se conoce como media, y la constante positiva , es la desviación estándar. Por simplicidad, cambiamos la escala de la función de modo que se elimine el factor 1 ( s2 ) s p y analizamos el caso especial donde m 0. Por tanto, estudiamos la función f x e x 2 2 2 s a) Encuentre la asíntota, el valor máximo y los puntos de inflexión de f. b) ¿Qué rol tiene , en la forma de la curva? c) Ilustre graficando cuatro miembros de esta familia en la misma pantalla del dispositivo de graficación. 67. Encuentre una función cúbica f(x) m ax3 bx2 cx d que tenga un valor máximo local de 3 en x m 2 y un valor mínimo local de 0 en x m 1. 68. ¿Para qué valores de los números a y b la función f x axebx2 tiene el valor máximo f(2) m 1? 69. a) Si la función f(x) m x3 ax2 bx tiene el valor mínimo local 2 9 s3 en x 1 s3, ¿cuáles son los valores de a y b? b) ¿Cuál de las rectas tangentes a la curva en el inciso a) tiene la menor pendiente? 70. ¿Para qué valores de a y b es (2, 2.5) un punto de inflexión de la curva x2 y ax by m 0? ¿Qué puntos de inflexión adicionales tiene la curva? 71. Demuestre que la curva y m (1 x)Y(1 x2 ) tiene tres puntos de inflexión y todos ellos se encuentran sobre una recta. 72. Demuestre que las curvas y m ex e y m ex tocan la curva y m ex sen x en sus puntos de inflexión. 73. Demuestre que los puntos de inflexión de la curva y m x sen x están sobre la curva y2 (x2 4) m 4x2 . 74-76 Suponga que todas las funciones son dos veces derivables y las segundas derivadas nunca son 0. 74. a) Si f y J son cóncavas hacia arriba sobre I, demuestre que f J es cóncava hacia arriba sobre I. b) Si f es positiva y cóncava hacia arriba sobre I, demuestre que la función J(x) m F f(x)G2 es cóncava hacia arriba sobre I. 75. a) Si f y J son positivas, crecientes y funciones cóncavas hacia arriba sobre I, demuestre que la función producto fJ es cóncava hacia arriba sobre I. b) Demuestre que el inciso a) es verdadero si f y J son decrecientes. c) Suponga que f es creciente y J es decreciente. Muestre, dando tres ejemplos, que fg puede ser cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo o lineal. ¿Por qué no funciona en este caso el argumento de los incisos a) y b)? 76. Suponga que f y J son cóncavas hacia arriba sobre (@, @). ¿Bajo qué condiciones sobre f será la función compuesta h(x) m f(J(x)) cóncava hacia arriba? 77. Demuestre que tan x x para 0
- 610. x
- 611. )Y2. [Sugerencia: demuestre que f(x) m tan x x es creciente sobre (0, )Y2).] 78. a) Demuestre que ex w 1 x para x w 0. b) Pruebe que ex 1 x 1 2 x2 para x w 0. c) Use inducción matemática para demostrar que para x w 0 y cualquier número entero positivo n, ex 1 x x2 2! xn n! 79. Demuestre que una función cúbica (una polinomial de tercer grado) siempre tiene exactamente un punto de inflexión. Si la gráfica tiene tres intersecciones en x: x1, x2 y x3, demuestre que la coordenada x del punto de inflexión es (x1 x2 x3)Y3.
- 612. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 301 80. ¿Para qué valores de c el polinomio P(x) m x4 cx3 x2 tienen dos puntos de inflexión? ¿Un punto de inflexión? ¿Ninguno? Ilustre graficando P para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c decrece? 81. Demuestre que si (c, f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f y f existe en un intervalo abierto que contiene a c, entonces f (c) m 0. [Sugerencia: aplique la prueba de la primera derivada y el teorema de Fermat a la función J m f.] 82. Demuestre que si f(x) m x4 , entonces f (0) m 0, pero (0, 0) no es un punto de inflexión de la gráfica de f. 83. Demuestre que la función J(x) m x U x U tiene un punto de inflexión en (0, 0), pero J(0) no existe. 84. Suponga que f es continua y f(c) m f (c) m 0, pero f (c) 0. ¿f tiene un máximo o mínimo local en c? ¿f tiene un punto de inflexión en c? 85. Suponga que f es derivable sobre un intervalo I y f(x) 0 para todos los números x en I, excepto por un único número c. Demuestre que f es creciente sobre todo el intervalo I. 86. ¿Para qué valores de c la función f x cx 1 x2 3 es creciente sobre (@, @)? 87. Los tres casos en la prueba de la primera derivada cubren las situaciones que uno se encuentra con frecuencia, pero no agotan todas las posibilidades. Considere las funciones f, J y h cuyos valores en 0 son todas cero y, para x o 0, h x x4 2 sen 1 x t x x4 2 sen 1 x f x x4 sen 1 x a) Demuestre que 0 es un número crítico de las tres funciones, pero sus derivadas cambian de signo infinitamente por ambos lados de 0. b) Demuestre que f no tiene un máximo local ni un mínimo local en 0, J tiene un mínimo local y h tiene un máximo local. 4.4 Formas indeterminadas y regla de l´Hospital Supongamos que estamos tratando de analizar el comportamiento de la función F x ln x x 1 Aunque F no está definida cuando x m 1, necesitamos saber cómo se comporta cerca de 1. En particular, nos gustaría saber el valor del límite lím x l1 ln x x 1 1 Para el cálculo de este límite no podemos aplicar la ley 5 de los límites (el límite de un cociente es el cociente de los límites, consulte la sección 2.3) porque el límite del denomi- nador es 0. De hecho, aunque en la expresión 1 existe el límite, su valor no es evidente porque el numerador y denominador tienden a 0 y 0 0 no está definido. En general, si tenemos un límite de la forma lím x l a f x t x donde ambos f(x) l 0 y J(x) l 0 conforme x l a, entonces este límite puede o no puede existir y se llama forma indeterminada del tipo 0 0 . Nos encontramos algunos límites de este tipo en el capítulo 2. Para funciones racionales, podemos cancelar factores comunes: lím x l1 x2 x x2 1 lím x l1 x x 1 x 1 x 1 lím x l1 x x 1 1 2 Utilizamos un argumento geométrico para demostrar que lím x l 0 sen x x 1
- 613. 302 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Pero estos métodos no funcionan para límites como los de 1 , por lo que en esta sección presentamos un método sistemático, conocido como regla de l’Hospital, para la evalua- ción de formas indeterminadas. Otra situación en la que no es evidente un límite ocurre cuando buscamos una asíntota horizontal de F y necesitamos evaluar el límite lím x l ln x x 1 2 No es obvio cómo evaluar este límite porque tanto el numerador como el denominador son muy grandes conforme x l @. Hay una lucha entre numerador y denominador. Si gana el numerador, el límite será @; si gana el denominador, la respuesta será 0. O puede haber algún comportamiento intermedio, en cuyo caso la respuesta será algún número finito positivo. En general, si tenemos un límite de la forma lím x l a f x t x donde ambos f(x) l @ (o @) y J(x) l @ (o @), entonces el límite puede o no puede existir y se llama forma indeterminada de tipo `/`. Vimos en la sección 2.6 que este tipo de límite puede ser evaluado para ciertas funciones, incluyendo funciones racionales, dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x en el denominador. Por ejemplo, lím x l x2 1 2x2 1 lím x l 1 1 x2 2 1 x2 1 0 2 0 1 2 Este método no funciona para límites como 2 , pero la regla de l’Hospital también se aplica a este tipo de forma indeterminada. Regla de l’Hospital Suponga que f y J son derivables y J(x) o 0 sobre un intervalo abierto I que contiene a (excepto posiblemente en a). Suponga que y lím x la t x 0 lím x la f x 0 o que y lím x la t x lím x la f x (En otras palabras, tenemos una forma indeterminada de tipo 0 0 o @Y@.) Entonces lím x l a f x t x lím x l a f x t x si existe el límite del lado derecho (o es @ o @). NOTA 1 La regla de l’Hospital señala que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan con las condiciones dadas. Es especialmente importante verificar las condiciones impuestas a los límites de f y J antes de utilizar la regla de l’Hospital. La figura 1 sugiere visualmente por qué regla de l’Hospital puede ser cierta. La primera gráfica muestra dos funciones derivables f y J, donde ambas se acercan a 0 conforme x l a. Si pudiéramos acercarnos hacia el punto (a, 0), las gráficas empezarían a parecerse a una recta. Pero si realmente las funciones fueran lineales, como en la segunda gráfica, entonces su razón sería m1 x a m2 x a m1 m2 que es la razón de sus derivadas. Esto sugiere que lím x l a f x t x lím x l a f x t x 0 y x a y=m¡(x-a) y=m™(x-a) 0 y x a f g FIGURA 1
- 614. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 303 NOTA 2 La regla de l’Hospital también es válida para límites unilaterales y límites al infinito o al infinito negativo; es decir, “x l a” puede ser sustituido por cualquiera de los símbolos x l a , x l a , x l @ o x l @. NOTA 3 Para el caso especial en que f(a) m J(a) m 0, f y J son continuas y J(a) o 0, es fácil ver por qué la regla de l’Hospital es cierta. De hecho, utilizando la forma alter- nativa de la definición de una derivada, tenemos lím xla f x f a t x t a lím xla f x t x lím xla f x t x f a t a lím xla f x f a x a lím xla t x t a x a lím xla f x f a x a t x t a x a Es más difícil demostrar la versión general de la regla de l’Hospital. Véase el apéndice F. v EJEMPLO 1 Encuentre lím xl1 ln x x 1 . SOLUCIÓN Dado que lím x l1 x 1 0 y lím x l1 ln x ln 1 0 podemos aplicar la regla de l’Hospital: lím x l1 1 x 1 lím x l1 ln x x 1 lím x l1 d dx ln x d dx x 1 lím x l1 1 x 1 v EJEMPLO 2 Obtenga lím x l ex x2 . SOLUCIÓN Tenemos y límx l x2 límx l ex , así que la regla de l’Hospital da lím x l ex x2 lím x l d dx ex d dx x2 lím x l ex 2x Ya que ex l @ y 2x l @ conforme x l @, el límite del lado derecho también está indeterminado, pero aplicando nuevamente la regla de l’Hospital obtenemos lím x l ex x2 lím x l ex 2x lím x l ex 2 L´Hospital La Regla de l’Hospital proviene de un noble francés, el marqués de l’Hospital (1661-1704), pero fue descubierto por un matemático suizo, John Bernoulli (1667-1748). A veces se puede ver l’Hospital escrito como l’HÔpital, pero él mismo escribe su nombre así, l’Hospital, como era común en el siglo XVII. Vea en el ejercicio 81 el ejemplo que el marqués utiliza para ilustrar su regla. Consulte el proyecto en la página 310 para más detalles históricos. R Observe que cuando se utiliza la regla de l’Hospital derivamos el numerador y el denominador por separado. No utilizamos la regla del cociente. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función del ejemplo 2. Hemos discutido previamente que las funciones exponenciales crecen más rápido que las funciones potencia, por lo que el resultado del ejemplo 2 no es inesperado. Véase el ejercicio 71. FIGURA 2
- 615. 304 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA v EJEMPLO 3 Obtenga lím x l ln x s 3 x . SOLUCIÓN Dado que x l @ y 3 x l conforme x l @, utilizamos la regla de l’Hospital: lím x l ln x 3 x lím x l 1 x 1 3 x 2 3 Note que ahora el límite del lado derecho es una indeterminación del tipo 0 0 . Pero en lugar de aplicar la regla de l’Hospital una segunda vez, como lo hicimos en el ejemplo 2, primero simplificamos la expresión y vemos que la segunda aplicación no es necesaria: lím x l ln x s 3 x lím x l 1 x 1 3 x 2 3 lím x l 3 s 3 x 0 EJEMPLO 4 Encuentre lím x l0 tan x x x3 . (Véase el ejercicio 44 de la sección 2.2.) SOLUCIÓN Observamos que x x l 0 y x3 l 0 a medida que x l 0, así que aplicamos la regla de l’Hospital: lím x l 0 tan x x x3 lím x l 0 sec2 x 1 3x2 Ya que el límite del lado derecho es aún una indeterminación del tipo 0 0, volvemos a aplicar la regla de l’Hospital: lím x l0 sec2 x 1 3x2 lím x l0 2 sec2 x tan x 6x Puesto que límx l0 sec2 x 1, simplificamos el cálculo escribiendo lím x l0 2 sec2 x tan x 6x 1 3 lím x l0 sec2 x lím x l0 tan x x 1 3 lím x l0 tan x x Podemos evaluar este último límite utilizando la regla de l’Hospital por tercera vez o expresando la tan x como (sen x)Y(cos x) y recurriendo a nuestro conocimiento de límites trigonométricos. Haciendo todos estos pasos, obtenemos 1 3 lím x l0 tan x x 1 3 lím x l0 sec2 x 1 1 3 lím x l0 tan x x x3 lím x l0 sec2 x 1 3x2 lím x l0 2 sec2 x tan x 6x v EJEMPLO 5 Encuentre lím x l sen x 1 cos x p . SOLUCIÓN Si intentamos ciegamente utilizar la regla de l’Hospital, obtendríamos R lím xl sen x 1 cos x lím x l cos x sen x p p ¡Esto es erróneo! Aunque el numerador x l 0 conforme x l ) , note que el denominador (1 cos x) no tiende a 0, así que aquí no es posible aplicar la regla de l’Hospital. 0 _1 2 10000 y= ln x Œ„ x FIGURA 3 FIGURA 4 y= tan x-x ˛ 0 _1 1 1 En la figura 3, se muestra la gráfica de la función del ejemplo 3. Ya hemos discutido previamente que las funciones logarítmicas crecen muy lentamente, así que no es sorpren- dente que la razón se aproxime a 0 conforme x l @. Véase el ejercicio 72. La gráfica en la figura 4 da una confirmación visual del resultado de ejemplo 4. Sin embargo, si tuviéramos que extendernos demasiado, obtendríamos una gráfica muy inexacta porque tan x está cerca de x cuando ésta es pequeña. Véase el ejercicio 44d) de la sección 2.2.
- 616. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 305 El límite requerido es, de hecho, fácil de encontrar porque la función es continua en ) y el denominador es distinto de cero: lím x l sen x 1 cos x sen p p p 1 cos 0 1 1 0 El ejemplo 5 muestra lo que puede salir mal si se utiliza la regla de l’Hospital sin pensar. Hay otros límites que pueden encontrarse mediante la regla de l’Hospital, pero se encuentran más fácilmente por otros métodos (Véanse los ejemplos de 3 y 5 en la sec- ción 2.3, ejemplo 3 en la sección 2.6 y la discusión al principio de esta sección), por lo que al evaluar cualquier límite debe tener en cuenta otros métodos antes de utilizar la regla de l’Hospital. Productos indeterminados Si y (o ), límx l a t x límx l a f x 0 entonces no es claro cuál es el valor de , límx l a f x t x si existe. Hay una lucha entre f y J. Si gana f, la respuesta será 0; si gana J, la respuesta será @ (o @). O puede haber un comportamiento intermedio donde la respuesta es un número finito distinto de cero. Este tipo de límite se llama forma inde- terminada de tipo 0 ? `, y lo podemos abordar expresando el producto fJ como un cociente: o ft t 1 f ft f 1 t Esto convierte el límite dado en una forma indeterminada de tipo 0 0 o @Y@, por lo que podemos utilizar la regla de l’Hospital. v EJEMPLO 6 Evalúe lím x l0 x ln x. SOLUCIÓN El límite dado está indeterminado porque, conforme x l 0 , el primer factor (x) tiende a 0, mientras que el segundo factor (ln x) tiende a @. Escribiendo x m 1Y(1Yx), tenemos 1Yx l @ a medida que x l 0 , por lo que la regla de l’Hospital da lím x l0 x 0 lím x l0 x ln x lím x l0 ln x 1 x lím x l0 1 x 1 x2 NOTA Tenga en cuenta que al resolver el ejemplo 6 otra opción posible habría sido escribir lím x l 0 x ln x lím x l 0 x 1 ln x Esto da una forma indeterminada del tipo 0Y0, pero si aplicamos la regla de l’Hospital, obtenemos una expresión más complicada que con la que empezamos. En general, cuando rescribimos un producto indeterminado, intentamos elegir la opción que conduce hasta el límite más simple. Diferencias indeterminadas Si y , límx l a t x límx l a f x entonces el límite lím x l a f x t x se llama forma indeterminada de tipo ` 2 `. Una vez más hay un contienda entre f y J. ¿La respuesta será @ (gana f ) o será @ (gana J) o habrá un término intermedio en un 0 y x 1 y=x ln x FIGURA 5 La figura 5 muestra la gráfica de la función del ejemplo 6. Observe que la función está indefinida en x m 0; la gráfica se aproxima al origen, pero nunca lo alcanza.
- 617. 306 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA número finito? Para encontrarlo, intentamos convertir la diferencia en un cociente (p. ej., utilizando un común denominador, racionalizando o factorizando un factor común), de manera que tenemos una forma indeterminada del tipo 0 0 o @Y@. EJEMPLO 7 Obtenga lím x l 2 sec x tan x p SOLUCIÓN Primero observe que x l @ y x l @ conforme x l ()Y2) , por lo que el límite está indeterminado. Aquí usamos un común denominador: lím x l 2 1 sen x cos x lím x l 2 cos x sen x 0 lím x l 2 sec x tan x lím x l 2 1 cos x sen x cos x p p p p Observe que el uso de la regla de l’Hospital está justificada porque 1 sen x l 0 y cos x l 0 a medida que x l ()Y2) . Potencias indeterminadas Hay varias formas indeterminadas que surgen del límite 1. tipo 00 y 2. tipo 0 y 3. tipo 1 y lím x l a t x lím x l a f x 1 lím x l a t x 0 lím x l a f x lím x l a t x 0 lím x l a f x 0 lím x la f x t x Cada uno de estos tres casos puede ser tratado ya sea tomando el logaritmo natural: , ln y t x ln f x entonces y f x t x sea o expresando la función como una exponencial: f x t x et x ln f x (Recuerde que ambos métodos fueron utilizados en la derivada de estas funciones.) Cualquie- ra de los métodos nos lleva al producto indeterminado J(x) ln f(x), que es del tipo 0 ? @. EJEMPLO 8 Obtenga lím x l 0 (1 sen 4x)cot x . SOLUCIÓN Primero observe que cuando x l 0 , tenemos 1 sen 4x l 1 y cot x l @, por lo que el límite dado está indeterminado. Sea y 1 sen 4x cot x Entonces ln y ln 1 sen 4x cot x cot x ln 1 sen 4x Así que la regla de l’Hospital da lím x l0 4 cos 4x 1 sen 4x sec2 x 4 lím x l0 ln y lím x l0 ln(1 sen 4x) tan x Aunque las formas de los tipos 00 , @0 y 1@ están indeterminadas, la forma 0@ no está indeterminada. (Véase el ejercicio 84.)
- 618. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 307 Hasta ahora hemos calculado el límite de ln y, pero lo que queremos es el límite de y. Para encontrar este límite, utilizamos el hecho de que y m e1n y : lím x l 0 (1 sen 4x)cot x lím x l 0 y lím x l 0 eln y e4 v EJEMPLO 9 Encuentre lím x l 0 xx . SOLUCIÓN Note que este límite está indeterminado ya que 0x m 0 para cualquier x 0, pero x0 m 1 para cualquier x 0. Podríamos proceder como en el ejemplo 8 o expresando la función como una exponencial: x x eln x x ex ln x En el ejemplo 6 usamos la regla de l’Hospital para demostrar que lím x l 0 x ln x 0 Por tanto, lím x l 0 xx lím x l 0 ex ln x e0 1 2 0 2 _1 FIGURA 6 En la figura 6 se muestra la gráfica de la función y m xx , x 0. Observe que, aunque 00 no está definido, los valores de la función tienden a 1 conforme x l 0 . Esto confirma el resultado del ejemplo 9. 4.4 Ejercicios 1-4 Dado que lím xla p x lím xla q x lím xla f x 0 lím xla t x 0 lím xla h x 1 ¿Cuáles de los siguientes límites son formas indeterminadas? Para aquellos que no tienen forma indeterminada, evalúe el límite donde sea posible. 1. a) b) c) d) e) 2. ) b ) a c) 3. ) b ) a c) 4. a) b) c) d) e) f) lím xla p x f x lím xla p x q x lím xla q x sp x lím xla f x t x lím xla f x p x lím xla h x p x lím xla p x q x lím xla f x p x lím xla p x q x lím xla p x q x lím xla f x p x lím xla h x p x lím xla p x f x lím xla p x q x lím xla f x t x lím xla f x p x lím xla h x p x 5-6 Utilice las gráficas de f y J y sus rectas tangentes en (2, 0) para encontrar lím xl2 f x t x . 5. 6. y y=1.8(x-2) x 0 y= (x-2) 4 5 2 f g y=1.5(x-2) x 0 2 y=2-x f g 7-66 Encuentre el límite. Utilice la regla de l’Hospital donde sea apropiado. Si existe un método más elemental, considere la posibilidad de usarlo. Si no aplica la regla de l’Hospital, explique por qué. . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 lím tl 0 e2t 1 sen t lím xl0 x2 1 cos x lím xl 2 cos x 1 sen x lím xl0 sen 4x tan 5x lím xl1 x3 2x2 1 x3 1 lím xl1 2 6x2 5x 4 4x2 16x 9 lím xl1 x2 1 x2 x lím xl2 x2 x 6 x 2 p Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 619. 308 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 25. 26. . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 . 4 3 . 3 3 . 6 3 . 5 3 . 8 3 . 7 3 . 0 4 . 9 3 . 2 4 . 1 4 . 4 4 . 3 4 45. 46. . 8 4 . 7 4 49. 50. . 2 5 . 1 5 53. 54. . 6 5 . 5 5 57. 58. lím xl0 1 2x 1 x lím xl 1 a x bx lím l 2 1 sen csc lím l 2 1 sen 1 cos 2 lím xl0 tan 2x x lím xl0 xsx lím xl1 ln x7 1 ln x5 1 lím xl x ln x lím xl0 cot x 1 x lím xl0 1 x 1 ex 1 lím xl0 csc x cot x lím xl1 x x 1 1 ln x lím xl 2 cos x sec 5x lím xl1 ln x tan x 2 lím xl x tan 1 x lím xl x3 e x 2 lím xl0 sen x ln x lím xl0 cot 2x sen 6x lím xl sx e x 2 lím xl x sen(px) lím xla cos x ln x a ln ex ea lím xl0 cos x 1 1 2 x2 x4 lím xl0 ex e x 2x x sen x lím xl1 xa ax a 1 x 1 2 lím xl0 xx 1 ln x x 1 lím xl1 1 x ln x 1 cos x lím xl0 x tan 1 4x lím xl0 x sen x x cos x lím xl0 cos mx cos nx x2 lím xl0 x3x 3x 1 lím xl ln x 2 x lím xl0 sen1 x x lím xl0 x sen x x tan x lím xl0 tanh x tan x lím xl0 senh x x x3 lím xl0 ex 1 x x2 lím ul eu 10 u3 lím xl0 s1 2x s1 4x x lím tl0 8t 5t t lím tl1 t8 1 t5 1 lím xl lnsx x2 lím xl0 ln x x lím xl x x2 1 2x2 lím xl ln x sx u u u u u u p p p p p . 0 6 . 9 5 . 2 6 . 1 6 . 4 6 . 3 6 . 6 6 . 5 6 lím xl0 cos x 1 x2 lím x l 2x 3 2x 5 2x 1 lím xl0 4x 1 cot x lím xl1 2 x tan x p 2 lím x l x1 x lím x l ex x 1 x lím xl1 x1 1 x lím xl x ln 2 1 ln x 67-68 Utilice una gráfica para estimar el valor del límite. Después utilice la regla de l’Hospital para encontrar el valor exacto. . 8 6 . 7 6 lím x l 1 2 x x lím xl0 5x 4x 3x 2x 69-70 Ilustre la regla de l’Hospital graficando f(x)YJ(x) y f(x)YJ(x) cerca de x m 0 para ver que estas razones tienen el mismo límite conforme x l 0. También, calcule el valor exacto del límite. 69. , 70. , f x 2x sen x t x sec x 1 f x ex 1 t x x3 4x 71. Demuestre que lím xl ex xn para cualquier entero positivo n. Esto demuestra que la función exponencial tiende al infinito más rápido que cualquier potencia de x. 72. Pruebe que lím xl ln x x p 0 para cualquier número p 0. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a @ más lentamente que cualquier potencia de x. 73-74 ¿Qué sucede si intenta usted utilizar la regla del 1’Hospital para obtener el límite? Evalúe el límite utilizando cualquier otro método. . 4 7 . 3 7 lím xl x sx2 1 lím xl 2 sec x tan x p 75. Investigue la familia de curvas f(x) m ex cx. En particular, encuentre los límites conforme x l @ y determine los valores de c para los cuales f tiene un mínimo absoluto. ¿Qué pasa con los puntos mínimos a medida que c crece? 76. Si un objeto con masa m se deja caer a partir del reposo, un modelo para su rapidez v después de t segundos, teniendo en cuenta la resistencia del aire, es v mt c 1 e ct m donde J es la aceleración debida a la gravedad y c es una constante positiva. (En el capítulo 9 podremos deducir esta ecuación a partir del supuesto de que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, c es la constante de proporcionalidad). a) calcule . límt l v ¿Cuál es el significado de este límite?
- 620. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L´HOSPITAL 309 b) Para t fijo, utilice la regla de l’Hospital para calcular lím . c l 0 v ¿Qué puede concluir acerca de la velocidad de un objeto que cae en el vacío? 77. Si una cantidad inicial A0 de dinero es invertida a una tasa de interés r compuesto n veces al año, el valor de la inversión después de t años es A A0 1 r n nt Si hacemos que x l @, nos referimos a la capitalización continua de interés. Utilice la regla de l’Hospital para demostrar que si el interés es compuesto continuamente, entonces la cantidad después de t años es A m A0ert 78. Si una bola de metal con masa m se arroja al agua y la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, la distancia que la bola viaja en el tiempo t es s t m c ln cosh tc mt donde c es una constante positiva. Encuentre . límcl 0 s t 79. Si un campo electrostático E actúa sobre un líquido o un dieléctrico polar gaseoso, el momento dipolar neto P por unidad de volumen es P E eE e E eE e E 1 E Demuestre que límE l 0 P E 0. 80. Un cable metálico tiene radio r y está cubierto por un aislante, por lo que la distancia desde el centro del cable hasta el exterior del aislante es R. La velocidad v de un impulso eléctrico en el cable es v c r R 2 ln r R donde c es una constante positiva. Encuentre los siguientes límites e interprete sus respuestas. ) b ) a lím Rlr v lím rl0 v 81. La primera aparición impresa de la regla de l’Hospital fue en el libro Analyse des Infiniment Petits publicado en 1696 por el marqués de l’Hospital. Este texto fue el primer libro de cálculo publicado, y el ejemplo que utiliza el marqués en ese libro, para ilustrar esta regla, fue el de encontrar el límite de la función y s2a3 x x4 as 3 aax a s 4 ax3 cuando x tiende a a, donde a 0. (En aquel tiempo era común escribir aa en vez de a2 ). Resuelva este problema. 82. La figura muestra un sector de un círculo con ángulo central .. Sea A(.) el área del segmento entre la cuerda PR y el arco PR. Sea B(.) el área del triángulo PQR. Encuentre el lím l 0 A(u) B(u). u P Q R A(¨) B(¨) O ¨ 83. Evalúe lím x l x x2 ln 1 x x . 84. Suponga que f es una función positiva. Si límxla f x 0 y límxla t x , demuestre que lím xla f x t x 0 Esto demuestra que 0@ no es una forma indeterminada. 85. Si f es continua, f(2) m 0 y f(2) m 7, evalúe lím xl0 f 2 3x f 2 5x x 86. ¿Para qué valores de a y b es verdadera la siguiente ecuación? lím xl0 sen 2x x3 a b x2 0 87. Si f es continua, utilice la regla de l’Hospital para demostrar que lím hl 0 f x h f x h 2h f x Explique el significado de esta ecuación con la ayuda de un diagrama. 88. Si f es continua, demuestre que lím h l 0 f x h 2f x f x h h2 f x 89. Sea f x e 1 x 2 0 si x 0 si x 0 a) Utilice la definición de derivada para obtener f(0). b) Demuestre que f tiene derivadas de todos los órdenes que están definidas sobre 2. [Sugerencia: primero demuestre por inducción que existe una función polinomial pn(x) y un entero no negativo kn tal que f n x pn x f x xkn para x 0.] 90. Sea f x x x 1 si x 0 si x 0 a) Demuestre que f es continua en x m 0. b) Investigue gráficamente si f es derivable en x m 0 activando varias veces el zoom sobre el punto (0, 1) de la gráfica de f. c) Demuestre que f no es derivable en x m 0. ¿Cómo puede usted conciliar este hecho con la apariencia de la gráfica del inciso b)?
- 621. 310 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Hasta este momento sólo nos hemos interesado en algunos aspectos particulares del trazo de curvas: dominio, rango y simetría en el capítulo 1; límites, continuidad y asíntotas en el capítulo 2; derivadas y rectas tangentes en los capítulos 2 y 3, y valores extremos, inter- valos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión y regla de l’Hospital en este capítulo. Pero ya es tiempo de reunir toda esta información relacionada con la elaboración de gráficas, que revela las características importantes de las funciones. Usted podría preguntar: ¿por qué no usar sólo una calculadora o computadora para dibujar una curva? ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo? Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas. Pero aun el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligente. Como se establece en la sección 1.4 es muy importante elegir un rectángulo de vista adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. Vea en particular los ejemplos 1, 3, 4 y 5 de dicha sección. La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más intere- santes de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y míni- mos y los puntos de inflexión, y no sólo en forma aproximada. Por ejemplo, en la figura 1 se presenta la gráfica de f (x) m 8x3 21x2 18x 2. A primera vista parece razonable esperar que la gráfica tenga la misma forma que las curvas cúbicas como y m x3 , y parece no tener máximo ni mínimo. Pero si calcula la deri- vada, se dará cuenta de que hay un máximo cuando x m 0.75 y un mínimo cuando x m 1. En efecto, si hacemos un acercamiento a esta parte de la gráfica, vemos el comportamien- to que se ilustra en la figura 2. Sin la herramienta del cálculo, podría fácilmente pasar- las por alto. En la sección siguiente se elabora la gráfica de funciones recurriendo a la interacción del cálculo y los instrumentos para graficar. En esta sección dibujará gráficas consideran- REDACCIÓN DE PROYECTO LOS ORÍGENES DE LA REGLA DE L’HOSPITAL La regla de l’Hospital se publicó por primera vez en 1696, en el libro de texto del marqués de l’Hospital, Analyse des Infiniment Petits, pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de l’Hospital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli. Los detalles, incluso una traducción de la carta de l’Hospital a Bernoulli en la que propone el arreglo, pueden hallarse en el libro escrito por Eves [1]. Escriba un informe sobre los orígenes históricos y matemáticos de la regla de l’Hospital. Empiece por dar breves detalles biográficos de los dos hombres (el diccionario editado por Gillispie [2] es una buena fuente) y describa el trato negociado entre ellos. A continuación, mencione el enunciado de l’Hospital de su regla, el cual se encuentra en el libro fuente de Struik [4] y, más sintéticamente, en el libro de Katz [3]. Observe que l’Hospital y Bernoulli formularon la regla geométricamente y dieron la respuesta en términos de diferenciales. Compare el enunciado de ellos con la versión de la regla de l’Hospital que se dio en la sección 4.4 y demuestre que, en esencia, los dos enunciados son los mismos. 1. Howard Eves, In Mathematical Circles (Volumen 2: Cuadrantes III y IV) (Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1969), pp. 20-22. 2. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase el artículo sobre Johann Bernoulli, por E. A. Fellman y J. 0. Fleckenstein, en el volumen II y el artículo sobre el marqués de l’Hospital, por Abraham Robinson, en el volumen VIII. 3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Nueva York: Harper Collins, 1993), pp. 484. 4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1969), pp. 315-316. Biblioteca Thomas Fisher de libros excepcionales www.stewartcalculus.com La Internet es otra fuente de información para este proyecto. Haga clic en History of Mathematics para obtener una lista confiable de sitios web. 4.5 Resumen de trazado de curvas FIGURA 1
- 622. FIGURA 2
- 623. SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZADO DE CURVAS 311 do la información siguiente. Se supone que no tiene instrumentos para graficar, pero si usted cuenta con uno, sólo utilícelo para verificar su trabajo. Guía para el trazado de curvas En la siguiente lista se intenta proponer directrices que sirvan de guía para dibujar una curva y m f(x) a mano. No todos los elementos de la lista son relevantes para cada función. (Por ejemplo, una curva dada puede no tener una asíntota o poseer simetría.) Pero las directrices proporcionan toda la información que usted necesita para hacer un trazo que muestre los aspectos más importantes de la función. A. Dominio A menudo resulta útil comenzar por determinar el dominio D de f; es decir, el conjunto de valores de x para los cuales f(x) está definida. B. Intersección La intersección en y es f(0) y esto nos indica dónde la curva cruza con el eje y. Para encontrar las intersecciones con el eje x, hacemos y m 0 y resolvemos para x. (Puede omitirse este paso si la ecuación es difícil de resolver.) C. Simetría i) Si f(x) m f(x) para toda x en D, es decir, la ecuación de la curva no se modi- fica cuando x se sustituye por x, entonces f es una función par y la curva es simétrica respecto al eje y. Esto significa que nuestro trabajo se reduce a la mitad. Si conocemos la parte de la curva donde x w 0, entonces sólo necesitamos reflejar respecto al eje y, para obtener la curva completa [véase la figura 3a)]. Algunos ejemplo son y m x2 , y m x4 , y m U x U y y m cos x. ii) Si f(x) m f(x) para todo x en D, entonces f es una función impar y la curva es simétrica respecto al origen. Una vez más, podemos obtener la curva completa si conocemos la parte de la curva donde x w 0. [Gire 180° alrededor del origen; véase la figura 3b)]. Algunos ejemplos simples de funciones impares son y m x, y m x3 , y m x5 y y m sen x. iii) Si f(x p) m f(x) para toda x en D, donde p es una constante positiva, entonces f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo. Por ejem- plo, y m sen x tiene periodo 2) y y m tan x tiene periodo ). Si sabemos cómo es la gráfica en un intervalo de longitud p, entonces podemos utilizar una traslación para esbozar toda la gráfica (véase la figura 4). FIGURA 3 D
- 625. )XQFLyQLPSDUVLPHWUtDSRUURWDFLyQ x y x y FIGURA 4 )XQFLyQSHULyGLFD VLPHWUtDWUDVODFLRQDO a-p a a+p a+2p [ D. Asíntotas i) Asíntotas horizontales. Recuerde de la sección 2.6 que si límx l f x L o , límx l f x L entonces la recta y m L es una asíntota horizontal de la curva y m f (x). Si resulta que (o ), límx l f x entonces no tenemos una asín- tota a la derecha, pero sigue siendo información útil para trazar la curva. ii) Asíntotas verticales. Recuerde de la sección 2.2 que la recta x m a es una asín- tota vertical si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: lím x la f x lím x la f x 1 lím x la f x lím x la f x
- 626. 312 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA (Para funciones racionales puede usted localizar las asíntotas verticales igualando el denominador a 0 después de cancelar los factores comunes. Pero para otras funciones no se aplica este método.) Además, en el trazado de la curva es muy útil saber exacta- mente cuál de las afirmaciones en 1 es verdadera. Si f(a) no está definida, pero a es un extremo del dominio de f, entonces debe calcular o , límx l a f x límx l a f x sea este límite infinito o no. iii) Asíntotas inclinadas. Éstas se discuten al final de esta sección. E. Intervalos donde la función es creciente o decreciente Utilice la prueba C y D. Obtenga f(x) y encuentre los intervalos en los que f(x) es positiva ( f es creciente) y los intervalos en los que f(x) es negativa ( f es decreciente). F. Valores mínimo y máximo locales Encuentre los números críticos de f [los números c donde f(c) m 0 o f(c) no existen]. Después utilice la prueba de la primera derivada. Si f cambia de positiva a negativa en un número crítico c, entonces f(c) es un máximo local. Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f(c) es un mínimo local. Aunque es generalmente preferible utilizar la prueba de la primera derivada, puede utilizar la prueba de la segunda derivada si f (c) m 0 y f (c) 0. Entonces f (c) 0 implica que f(c) es un mínimo local, mientras que f (c)
- 627. 0 implica que f(c) es un máximo local. G. Concavidad y puntos de inflexión Obtenga f (x) y utilice la prueba de la concavidad. La curva es cóncava hacia arriba donde f (x) 0 y cóncava hacia abajo donde f (x)
- 628. 0. Los puntos de inflexión se localizan donde cambia de dirección la concavidad. H. Trace la curva Utilizando la información de los apartados A-G, trace la gráfica. Dibuje las asíntotas como rectas discontinuas. Ubique las intersecciones, puntos máximos y mínimos y puntos de inflexión. Después, haga que la curva pase por estos puntos, crecien- do y decreciendo de acuerdo con E, con concavidades de acuerdo con G y acercándose a las asíntotas. Si se desea precisión adicional cerca de cualquier punto, puede calcular el valor de la derivada allí. La recta tangente indica la dirección en que avanza la curva. v EJEMPLO 1 Utilice la guía para trazar la gráfica de y 2x2 x2 1 . A. El dominio es Hx U x2 1 0J m Hx U x 1J m (@, 1) (1, 1) (1, @) B. Las intersecciones en x y en y son, ambas, 0. C. Ya que f(x) m f(x), la función f es par. La curva es simétrica respecto al eje y. D. lím x l 2x2 x2 1 lím x l 2 1 1 x2 2 Por tanto, la recta y m 2 es una asíntota horizontal. Puesto que el denominador es 0 cuando x m 1, obtenemos los siguientes límites: lím x l 1 2x2 x2 1 lím x l 1 2x2 x2 1 lím x l1 2x2 x2 1 lím x l1 2x2 x2 1 Por ende, las rectas x m 1 y x m 1 son asíntotas verticales. Esta información relacionada con los límites y asíntotas nos permite dibujar la curva preliminar de la figura 5, que muestra la curva cerca de las asíntotas. FIGURA 5 7UD]RSUHOLPLQDU x=1 x=_1 y=2 x y Se muestra la curva que se aproxima a su asíntota horizontal desde arriba en la figura 5. Esto se confirma por los intervalos donde crece y decrece.
- 629. SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZADO DE CURVAS 313 E. f x 4x x2 1 2x2 2x x2 1 2 4x x2 1 2 Ya que f(x) 0 cuando x
- 630. 0 (x 1) y f(x)
- 631. 0 cuando x 0 (x 1), f es creciente sobre (@, 1) y (1, 0) y decreciente sobre (0, 1) y (1, @). F. El único número crítico es x m 0. Dado que f cambia de positiva a negativa en x m 0, f(0) m 0 es un máximo local por la prueba de la primera derivada. G. f x 4 x2 1 2 4x 2 x2 1 2x x2 1 4 12x2 4 x2 1 3 Puesto que 12x2 4 0 para toda x, tenemos x 1 ? x2 1 0 ? f x 0 y f x 0 ? x 1. Así, la curva es cóncava hacia arriba sobre los intervalos (@, 1) y (1, @) y cóncava hacia abajo sobre (1, 1). No hay puntos de inflexión ya que x m 1 y x m 1 no están en el dominio de f. H. Utilizando la información de E-G, terminamos el trazo de la figura 6. EJEMPLO 2 Trace la gráfica de f x x2 x 1 . A. Dominio: Hx U x 1 0J m Hx U x 1J m (1, @) B. Las intersecciones en x y en y son ambas 0. C. Simetría: ninguna D. Dado que lím x l x2 x 1 no hay asíntotas horizontales.Ya que x 1 l 0 conforme x l 1 y f(x) es siempre positiva, tenemos lím x l 1 x2 x 1 y, por tanto, la recta x m 1 es una asíntota vertical. E. f x 2xsx 1 x2 1 (2sx 1) x 1 x 3x 4 2 x 1 3 2 Vemos que f(x) m 0 cuando x m 0 (note que 4 3 no está en el dominio de f ), así que el único número crítico es x m 0. Ya que f(x)
- 632. 0 cuando 1
- 633. x
- 634. 0 y f(x) 0 cuando x 0, f es decreciente sobre (1, 0) y decreciente sobre (0, @). F. Puesto que f(0) m 0 y fcambia de negativa a positiva en x m 0, f(0) m 0 es un mínimo local (y absoluto) por la prueba de la primera derivada. G. f x 2 x 1 3 2 6x 4 3x2 4x 3 x 1 1 2 4 x 1 3 3x2 8x 8 4 x 1 5 2 Note que el denominador siempre es positivo. El numerador es la cuadrática 3x2 8x 8, que siempre es positiva porque su discriminante es b2 4ac m 32, que es negativo, y el coeficiente de x2 es positivo. Así f (x) 0 para toda x en el dominio de f, lo que significa que f es cóncava hacia arriba sobre (1, @) y no hay punto de inflexión. H. El trazo de la curva aparece en la figura 7. FIGURA 6 7UD]RILQDOGH x y FIGURA 7 x=_1 x y 0 œ„„„„ y= ≈ x+1
- 635. 314 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA v EJEMPLO 3 Trace la gráfica de f(x) m xex . A. El dominio es 2. B. Las intersecciones en x y en y son ambas 0. C. Simetría: ninguna D. Ya que tanto x como ex son muy grandes conforme x l @, tenemos que límx l xex . Sin embargo, a medida que x l @, ex l 0, así que tenemos un producto indetermi- nado que requiere la regla de l’Hospital: lím x l xex lím x l x e x lím x l 1 e x lím x l ex 0 Así, el eje x es una asíntota horizontal. E. f(x) m xex ex m (x 7)ex Ya que ex siempre es positiva, vemos que f(x) 0 cuando x 1 0, y f(x)
- 636. 0 cuando x 1
- 637. 0. Así que f es creciente sobre (1, @) y decreciente sobre (@, 1). F. Ya que f(1) m 0 y f cambia de negativa a positiva en x m 1, f(1) m e1 es un mínimo local (y absoluto). G. f x x 1 ex ex x 2 ex Ya que f (x) 0 si x 2 y f (x)
- 638. 0 si x
- 639. 2, f es cóncava hacia arriba sobre (2, @) y cóncava hacia abajo sobre (@, 2). El punto de inflexión es (2, 2e2 ). H. Con toda esta información trazamos la curva de la figura 8. EJEMPLO 4 Trace la gráfica de f x cos x 2 sen x . A. El dominio es 2. B. La intersección en y es f 0 1 2. Las intersecciones en x se localizan donde cos x m 0, esto es, x m (2n 1))Y2, donde n es un entero. C. f no es par ni impar, pero f(x 2)) m f(x) para toda x, por lo que f es periódica con periodo 2). Así, en lo siguiente, necesitamos considerar sólo 0 v x v 2x y después extender la curva por traslación en la parte H. D. Asíntotas: ninguna E. f x 2 sen x sen x cos x cos x 2 sen x 2 2 sen x 1 2 sen x 2 Así, f(x) 0 cuando 2 sen x 1 0 ? sen x 1 2 ? 7)Y6
- 640. x
- 641. 11)Y6. Por tanto, f es creciente sobre (7)Y6, 11)Y6) y decreciente sobre (0, 7)Y6) y (11)Y6, 2)). F. Del apartado E y la prueba de la primera derivada, vemos que el valor mínimo local es f 7 6 1 s3 p y el valor máximo local es f 11 6 1 s3 p . G. Si utilizamos la regla del cociente otra vez y simplificamos; obtenemos f x 2 cos x 1 sen x) 2 sen x)3 Debido a que (2 sen x)3 0 y 1 sen x w 0 para toda x, sabemos que f (x) 0 cuando cos x
- 642. 0, esto es, )Y2
- 643. x
- 644. 3)Y2. Así que f es cóncava hacia arriba sobre ()Y2, 3)Y2) y cóncava hacia abajo sobre (0, )Y2) y (3)Y2, 2)). Los puntos de inflexión son ()Y2, 0) y (3)Y2, 0). FIGURA 8 x y 1 _1 _2 y=x´ (_1, _1/e)
- 645. SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZADO DE CURVAS 315 H. La gráfica de la función restringida a 0 v x v 2) se muestra en la figura 9. Después, la extendemos utilizando la periodicidad, para completar la gráfica de la figura 10. FIGURA 9
- 646. FIGURA 10 EJEMPLO 5 Trace la gráfica de y m ln(4 x2 ). A. El dominio es x 4 x2 0 x x2 4 x x 2 2, 2 B. La intersección en y es f(0) m ln 4. Para encontrar la intersección con x, hacemos y ln 4 x2 0 Sabemos que ln 1 m 0, así que tenemos 4 x2 1 ? x2 3 y, por tanto, las intersecciones en x son s3. C. Ya que f(x) m f(x), f es par y la curva es simétrica respecto al eje y. D. Buscamos asíntotas verticales en los extremos del dominio. Como 4 x2 l 0 conforme x l 2 y también a medida que x l 2 , tenemos lím x l 2 ln 4 x2 lím x l2 ln 4 x2 Así, las rectas x m 2 y x m 2 son asíntotas verticales. E. f x 2x 4 x2 Dado que f(x) 0 cuando 2
- 647. x
- 648. 0 y f(x)
- 649. 0 cuando 0
- 650. x
- 651. 2, f es creciente sobre (2, 0) y decreciente sobre (0, 2). F. El único número crítico es x m 0. Como f cambia de positiva a negativa en x m 0, f(0) m ln 4 es un máximo local por la prueba de la primera derivada. G. f x 4 x2 2 2x 2x 4 x2 2 8 2x2 4 x2 2 Ya que f (x)
- 652. 0 para toda x, la curva es cóncava hacia abajo sobre (2, 2) y no tiene punto de inflexión. H. Con toda esta información, trazamos la curva en la figura 11. Asíntotas inclinadas Algunas curvas tienen asíntotas que son oblicuas; esto es, no son horizontales ni verticales. Si lím x l f x mx b 0 entonces la recta y m mx b se llama asíntota inclinada (oblicua) porque la distancia 0 y x {œ„ 3, 0} {_œ„ 3, 0} x=2 x=_2 (0, ln 4) y=ln (4 -≈) FIGURA 11
- 653. 316 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA vertical entre la curva y m f(x) y la recta y m mx b tiende a cero, como en la figura 12. (Existe una situación similar si hacemos x l @.) Para funciones racionales, las asíntotas inclinadas se producen cuando el grado del numerador es uno más que el grado del deno- minador. En tal caso la ecuación de la asíntota oblicua puede encontrarse por división larga como en el siguiente ejemplo. v EJEMPLO 6 Trace la gráfica de f x x3 x2 1 . A. El dominio es 2 m (@, @). B. Las intersecciones en x y en y son ambas 0. C. Puesto que f(x) m f(x), f es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. D. Ya que x2 1 nunca es 0, no hay asíntotas verticales. Ya que f (x) l @ conforme x l @ y f (x) l @ a medida que x l @ no hay asíntotas horizontales. Pero la división larga da conforme x l f x x x x2 1 1 x 1 1 x2 l 0 f x x3 x2 1 x x x2 1 Así que la recta y m x es una asíntota oblicua. E. f x 3x2 x2 1 x3 2x x2 1 2 x2 x2 3 x2 1 2 Dado que f(x) 0 para toda x (excepto 0), f es creciente sobre (@, @). F. Aunque f(0) m 0, f no cambia de signo en x m 0, así que no hay máximo ni mínimo local. G. f x 4x3 6x x2 1 2 x4 3x2 2 x2 1 2x x2 1 4 2x 3 x2 x2 1 3 Ya que f (x) m 0 cuando x m 0 o x s3, podemos elaborar la siguiente tabla: Intervalo Concavidad de f x Hacia arriba sobre Hacia abajo sobre Hacia arriba sobre Hacia abajo sobre x s3 x s3 ( , s3 ) s3 x 0 ( s3, 0) 0 x s3 (0, s3 ) f x x2 1 3 3 x2 (s3, ) Los puntos de inflexión son y (s3, 3 4 s3 ) ( s3, 3 4 s3 ), 0, 0 . H. La gráfica de f se muestra en la figura 13. FIGURA 12 y=ƒ x y 0 y=mx+b ƒ-(mx+b) FIGURA 13
- 655. SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZADO DE CURVAS 317 1-54 Utilice la guía de esta sección para trazar cada una de las siguientes curvas: . 2 . 1 . 4 . 3 5. 6. . 8 . 7 9. 10. . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 . 6 1 . 5 1 . 8 1 . 7 1 19. 20. . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 . 0 3 . 9 2 . 2 3 . 1 3 . 4 3 . 3 3 35. , 36. , 37. 38. , . 0 4 . 9 3 . 2 4 . 1 4 43. 44. . 6 4 . 5 4 . 8 4 . 7 4 . 0 5 . 9 4 . 2 5 . 1 5 y xe 1 x y ln x x2 y ln x2 3x 2 y ln(sen x) y ex x2 y 1 ex 2 y e2 x ex y x ln x 0 x 2 y e x sen x, y 1 1 e x y 1 x ex y arctan ex y sen x 2 cos x y sen x 1 cos x 0 x 2 y sec x tan x 0 x 3 y 1 2 x sen x, 2 x 2 y 2x tan x 2 x 2 y x tan x y x cos x y sen3 x y s 3 x3 1 y s 3 x2 1 y x5 3 5x2 3 y x 3x1 3 y x sx2 1 y s1 x2 x y xs2 x2 y x sx2 1 y sx2 x x y sx2 x 2 y 2sx x y x 3 sx y x3 x 2 y x2 x2 3 y x x3 1 y x 1 x2 y 1 1 x 1 x2 y x x2 9 y x2 x2 9 y 1 x2 9 y x x2 9 y x x2 2 3x x2 y x2 4 x2 2x y x x 1 y 4 x2 5 y 1 5 x5 8 3 x3 16x y x5 5x y x x 4 3 y x4 8x2 8 y x4 4x y 2 3x2 x3 y x3 12x2 36x p p p p p p p . 4 5 . 3 5 y tan 1 x 1 x 1 y e3x e 2x 55. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula es m m0 s1 v2 c2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula, m es la masa cuando la partícula se mueve con rapidez v relativa al observador y c es la rapidez de la luz. Trace la gráfica de m como una función de v. 56. En la teoría de la relatividad, la energía de una partícula es E sm0 2 c4 h2 c2 2 l donde m0 es la masa en reposo de la partícula, % es la longitud de onda y h es la constante de Planck. Trace la gráfica de E como una función de %. ¿Qué indica la gráfica en relación con la energía? 57. Un modelo para la divulgación de un rumor está dado por la ecuación p t 1 1 ae kt donde p(t) es la proporción de la población que sabe del rumor en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. a) ¿Cuándo habrá oído el rumor la mitad de la población? b) ¿Cuándo es mayor la rapidez de divulgación del rumor? c) Trace la gráfica de p. 58. Un modelo para la concentración de un medicamento inyectado en la corriente sanguínea es C(t) m K(eat ebt ) donde a, b y K son constantes positivas y b a. Trace la gráfica de la función de concentración. ¿Qué nos indica la gráfica en relación con la variación de la concentración al transcurrir el tiempo? 59. La figura muestra una viga de longitud L incrustada en muros de hormigón. Si una carga constante W se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud, la viga toma la forma de la curva de deflexión y W 24EI x4 WL 12EI x3 WL2 24EI x2 donde E e I son constantes positivas. (E es el módulo de Young de elasticidad e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga). Trace la gráfica de la curva de deflexión. W y 0 L 4.5 Ejercicios 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 656. 318 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 60. La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción entre dos partículas cargadas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La figura muestra partículas con carga 1 ubicadas en las posiciones 0 y 2 sobre una recta de coordenadas y una partícula con carga 1 en una posición x entre ellas. De la ley del Coulomb se deduce que la fuerza neta que actúa sobre la partícula ubicada a la mitad es F x k x2 k x 2 2 0 x 2 donde k es una constante positiva. Trace la gráfica de la función fuerza neta. ¿Qué indica la gráfica acerca de la fuerza? _1 x x +1 2 +1 0 61-64 Encuentre la ecuación de la asíntota inclinada en cada una de la funciones dadas. No trace la gráfica de la curva. 61. 62. . 4 6 . 3 6 y 4x3 2x2 5 2x2 x 3 y 5x4 x2 x x3 x2 2 y x2 1 x 1 y 2x3 x2 x 3 x2 2x 65-70 Utilice la guía de esta sección para trazar cada una de las siguientes curvas. En el apartado D encuentre la ecuación de la asíntota inclinada. . 6 6 . 5 6 y x2 x 1 y 1 5x 2x2 x 2 . 8 6 . 7 6 . 0 7 . 9 6 y 1 x e1 x 3 y 1 1 2 x e x y x3 x 1 2 y x3 4 x2 71. Demuestre que la curva y m x tan1 x tiene dos asíntotas inclinadas: y m x )Y2 y y m x )Y2. Utilice este hecho para trazar la curva. 72. Demuestre que la curva y sx2 4x tiene dos asíntotas inclinadas: y m x 2 y y m x 2. Utilice este hecho para trazar la curva. 73. Demuestre que las rectas y m (bYa)x y y m (bYa)x son asíntotas inclinadas de la hipérbola (x2 Ya2 ) (y2 Yb2 ) m 1. 74. Sea f(x) m (x3 1)Yx. Demuestre que lím x l f x x2 0 Esto demuestra que la gráfica de f se aproxima a la gráfica de y m x2 y decimos que la curva y m f(x) es asintótica a la parábola y m x2 . Utilice este hecho para trazar la gráfica de f. 75. Analice la conducta asintótica de f(x) m (x4 1)Yx de la misma manera que en el ejercicio 74. Después utilice su resultado para ayudarse en el trazo de la gráfica de f. 76. Utilice la conducta asintótica de f(x) m cos x 1Yx2 para trazar su gráfica sin usar el procedimiento de trazo de curvas de esta sección. El método que utilizamos para trazar curvas en la sección anterior fue una culminación de gran parte de nuestro estudio del cálculo diferencial. La gráfica fue el objeto final que hemos producido. En esta sección nuestro punto de vista es completamente diferente. Aquí comenzamos con una gráfica producida por una calculadora graficadora o un equipo de cómputo y luego la refinamos. Utilizamos el cálculo para asegurarnos de que nos reve- lan todos los aspectos importantes de la curva. Y con el uso de dispositivos de graficación podemos abordar curvas que serían demasiado complicadas sin considerar la tecnología. El tema es la interacción entre el cálculo y las calculadoras. EJEMPLO 1 Grafique la función polinomial f(x) m 2x6 3x5 3x3 2x2 . Utilice las gráficas de f y f para estimar todos los puntos máximos y mínimos e intervalos de concavidad. SOLUCIÓN Si especificamos un dominio, pero no un rango, muchos dispositivos de graficación utilizan un rango adecuado de los valores calculados. La figura 1 muestra el trazo que hace un dispositivo si especificamos que 5 v x v 5. Aunque este rectángulo de vista es útil para mostrar que el comportamiento asintótico (o comportamiento extremo) es el mismo que para y m 2x6 , obviamente está ocultando algún detalle más fino. Así que cambiamos el rectángulo de vista a F3, 2G por F50, 100G que se muestra en la figura 2. 4.6 Graficación con cálculo y calculadoras Si no ha leído la sección 1.4, debería hacerlo ahora. En particular, se explica cómo evitar algunos de los escollos de los dispositivos de graficación, eligiendo rectángulos de vista adecuados.
- 657. SECCIÓN 4.6 GRAFICACIÓN CON CÁLCULO Y CALCULADORAS 319 De esta gráfica se deduce que hay un valor mínimo absoluto de alrededor 15.33 cuando x 1.62 (utilizando el cursor) y f es decreciente sobre (@, 1.62) y es creciente sobre (1.62, @). También parece haber una recta tangente horizontal en el origen y puntos de inflexión cuando x m 0 y cuando x se encuentra en algún lugar entre 2 y 1. Ahora vamos a tratar de confirmar estas impresiones mediante el cálculo. Derivamos y obtenemos f x 60x4 60x3 18x 4 f x 12x5 15x4 9x2 4x Cuando graficamos f en la figura 3 vemos que f(x) cambia de negativa a positiva cuando x 1.62; esto confirma (por la prueba de la primera derivada) el valor mínimo que hemos encontrado antes. Pero, quizá para nuestra sorpresa, también notamos que f(x) cambia de positiva a negativa cuando x m 0 y de negativa a positiva cuando x 0.35. Esto significa que f tiene un máximo local en 0 y un mínimo local cuando x 0.35, pero éstos fueron escondidos en la figura 2. De hecho, si hacemos ahora acercamientos hacia el origen en la figura 4, vemos lo que nos faltó antes: un valor máximo local de 0 cuan-do x m 0 y un valor mínimo local de 0.1 cuando x y 0.35. 41000 _1000 _5 5 y=ƒ FIGURA 1 100 _50 _3 2 y=ƒ FIGURA 2 20 _5 _3 2 y=fª(x) FIGURA 3 1 _1 _1 1 y=ƒ FIGURA 4 10 _30 _3 2 y=f·(x) FIGURA 5 ¿Qué pasa con la concavidad y los puntos de inflexión? En las figuras 2 y 4 parece haber puntos de inflexión cuando x está un poco a la izquierda de 1 y cuando x está un poco a la derecha del 0. Pero es difícil determinar puntos de inflexión de la gráfica de f, por lo que la graficamos la segunda derivada f en la figura 5. Vemos que f cambia de positiva a negativa cuando x 1.23 y de negativa a positiva cuando x 0.19. Así, corregimos con dos decimales, f es cóncava hacia arriba sobre (@, 1.23) y (0.19, @) y cóncava hacia abajo sobre (1.23, 0.19). Los puntos de inflexión son (1.23, 10.18) y (0.19, 0.05). Hemos descubierto que una simple gráfica no revela todas las características importantes de esta función polinomial. Pero las figuras 2 y 4, tomadas en conjunto, proporcionan una imagen más precisa.
- 658. 320 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA v EJEMPLO 2 Dibuje la gráfica de la función f x x2 7x 3 x2 en un rectángulo de vista que contenga todas las características importantes de la función. Estime los valores máximos y mínimos y los intervalos de concavidad. Después utilice el cálculo para encontrar exactamente estas cantidades. SOLUCIÓN La figura 6, producida por un equipo de cómputo con escala automática, es un desastre. Algunas calculadoras graficadoras utilizan F10, 10G por F10, 10G como el rectángulo de vista predeterminada, así que vamos a probarlo. Obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 7; es una mejora importante. 3 3 10!* _5 5 y=ƒ FIGURA 6 10 _10 _10 10 y=ƒ FIGURA 7 10 _5 _20 20 y=ƒ y=1 FIGURA 8 2 _4 _3 0 y=ƒ FIGURA 9 El eje y parece ser una asíntota vertical y, de hecho, lo es porque lím x l 0 x2 7x 3 x2 La figura 7 también nos permite estimar las intersecciones con el eje x: cerca de 0.5 y 6.5. Los valores exactos se obtienen mediante la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x2 7x 3 m 0; obtenemos x ( 7 s37 ) 2. Para obtener un mejor vistazo de las asíntotas horizontales, cambiamos el rectángulo de vista F20, 20G por F5, 10G en la figura 8. Parece que y m 1 es la asíntota horizontal y esto es fácilmente confirmado: lím x l x2 7x 3 x2 lím x l 1 7 x 3 x2 1 Para estimar el valor mínimo acercamos el rectángulo de vista F3, 0G por F4, 2G en la figura 9. El cursor indica que el valor mínimo absoluto es aproximadamente 3.1 cuando x 0.9, y vemos que la función decrece sobre (@, 0.9) y (0, @) y crece sobre (0.9, 0). Los valores exactos se obtienen derivando: f x 7 x2 6 x3 7x 6 x3 Esto demuestra que f(x) 0 cuando 6 7 x 0 y f(x)
- 659. 0 cuando x 6 7 y cuando x 0. El valor mínimo exacto es f ( 6 7 ) 37 12 3.08. La figura 9 también muestra que un punto de inflexión se localiza en algún lugar entre x m 1 y x m 2. Podríamos estimar con mucho más exactitud utilizando la gráfica de la segunda derivada, pero en este caso es fácil encontrar valores exactos. Ya que f x 14 x3 18 x4 2(7x 9 x4
- 660. SECCIÓN 4.6 GRAFICACIÓN CON CÁLCULO Y CALCULADORAS 321 vemos que f (x) 0 cuando x 0 x 9 7 . Así, f es cóncava hacia arriba sobre ( 9 7, 0) y (0, @) y cóncava hacia abajo sobre ( , 9 7 ) . El punto de inflexión es ( 9 7, 71 27 ). El análisis mediante las dos primeras derivadas muestra en la figura 8 todos los aspectos importantes de la curva. v EJEMPLO 3 Grafique la función f x x2 x 1 3 x 2 2 x 4 4 . SOLUCIÓN De nuestra experiencia con una función racional en el ejemplo 2, comencemos por graficar f en el rectángulo de vista F10, 10G por F10, 10G. De la figura 10 tenemos la sensación de que vamos a tener que acercarnos para ver algún detalle más fino y también para ver la imagen más grande. Pero, como una guía para hacer un acercamiento inteligente, primero veamos con más cuidado la expresión para f(x). Debido a los factores (x 2)2 y (x 4)4 en el denominador, esperamos que x m 2 y x m 4 sean las asíntotas verticales. De hecho, lo son, ya que lím x l 4 x2 x 1 3 x 2 2 x 4 4 y lím x l2 x2 x 1 3 x 2 2 x 4 4 Para encontrar las asíntotas horizontales, dividimos el numerador y el denominador por x6 : x2 x 1 3 x 2 2 x 4 4 x2 x3 x 1 3 x3 x 2 2 x2 x 4 4 x4 1 x 1 1 x 3 1 2 x 2 1 4 x 4 Esto demuestra que f(x) l 0 conforme x l @, así que el eje x es una asíntota horizontal. También es muy útil examinar el comportamiento de la gráfica cerca de la intersección con el eje x, usando un análisis como en el ejemplo 12 en la sección 2.6. Ya que x2 es positiva, f(x) no cambia de signo en 0 y, por tanto, su gráfica no cruza el eje x en 0. Pero, debido al factor (x 1)3 , la gráfica cruza el eje x en 1 y tiene allí una recta tangente horizontal. Poniendo toda esta información junta, pero sin utilizar derivadas, vemos que la curva tiene que ser algo como la de la figura 11. Ahora que sabemos qué buscar, nos acercamos con el zoom (varias veces) para producir las gráficas de las figuras 12 y 13 y alejamos (varias veces) para obtener la figura 14. 10 _10 _10 10 y=ƒ FIGURA 10 FIGURA 11 x y 1 2 3 _1 4 0.05 _0.05 _100 1 y=ƒ FIGURA 12 0.0001 _0.0001 _1.5 0.5 y=ƒ FIGURA 13 500 _10 _1 10 y=ƒ FIGURA 14 De estas gráficas, podemos leer que el mínimo absoluto es aproximadamente 0.02 y se produce cuando x 20. También hay un máximo local 0.00002 cuando x 0.3 y un mínimo local 211 cuando x 2.5. Estas gráficas también muestran tres puntos de inflexión cerca de 35, 5 y 1 y dos entre 1 y 0. Para estimar los puntos de inflexión más cercanamente necesitaríamos la gráfica de f , pero graficar f a mano es una tarea poco razonable. Si tiene un sistema algebraico computarizado, es más fácil (véase el ejercicio 15).
- 661. 322 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Hemos visto que, para esta función en particular, son necesarias tres gráficas (figuras 12, 13 y 14) para transmitir toda la información útil. La única manera de mostrar todas estas características de la función en una gráfica única es dibujar a mano. A pesar de las exageraciones y distorsiones, la figura 11 logra resumir la naturaleza esencial de la función. EJEMPLO 4 Grafique la función f(x) m sen(x sen 2x). Para 0 v x v ), estime todos los valores máximos y mínimos, intervalos donde la función crece y decrece y los puntos de inflexión. SOLUCIÓN Primero observamos que f es periódica con periodo 2). Asimismo, f es impar y U f(x) U v 1 para toda x. Así, la elección de un rectángulo de vista no es un problema para esta función: empezamos con F0, )G por F1.1, 1.1G (Véase la Figura 15.) Parece que hay tres valores máximos locales y dos valores mínimos locales en esa ventana. Para confirmar esto y localizarlos con mayor precisión, obtenemos f(x) m cos(x sen 2x) ? (1 2 cos 2x) y graficamos f y f en la figura 16. Utilizando el zoom y la prueba de la primera derivada, nos encontramos con los siguientes valores aproximados: Intervalos sobre los que crece: (0, 0.6), (1.0, 1.6), (2.1, 2.5) Intervalos sobre los que decrece: (0.6, 1.0), (1.6, 2.1), (2.5, )) Valores máximos locales: f(0.6) 1, f(1.6) 1, f(2.5) 1 Valores mínimos locales: f(1.0) 0.94, f(2.1) 0.94 La segunda derivada es f (x) m (1 2 cos 2x)2 sen(x sen 2x) 4 sen 2x cos(x sen 2x) Graficando f y f en la figura 17, obtenemos los siguientes valores aproximados: Cóncava hacia arriba sobre: (0.8, 1.3), (1.8, 2.3) Cóncava hacia abajo sobre: (0, 0.8), (1.3, 1.8), (2.3, )) Puntos de inflexión: (0, 0), (0.8, 0.97), (1.3, 0.97), (1.8, 0.97), (2.3, 0.97) 1.1 _1.1 0 FIGURA 15 π FIGURA 17 FIGURA 18 La familia de funciones f(x) m sen(x sen cx) donde c es una constante, aparece en aplicacio- nes a la sintonía de frecuencia modulada (FM). Una onda sinusoidal es modulada por una onda con una frecuencia diferente (sen cx). El caso donde c m 2 se estudia en el ejemplo 4. El ejercicio 27 explora otro caso especial. 1.2 _1.2 0 π y=ƒ y=fª(x) FIGURA 16 Hemos comprobado que la figura 15 representa f con precisión para 0 v x v ), por lo que podemos afirmar que la gráfica ampliada en la figura 18 representa f con precisión para 2) v x v 2).
- 662. SECCIÓN 4.6 GRAFICACIÓN CON CÁLCULO Y CALCULADORAS 323 Nuestro último ejemplo se refiere a las familias de funciones. Como se explica en la sección 1.4, esto significa que las funciones de la familia están relacionadas con otras mediante una fórmula que contiene una o más constantes arbitrarias. Cada valor de la constante da lugar a un miembro de la familia, y la idea es ver cómo varía la gráfica de la función con los constantes cambios. v EJEMPLO 5 ¿Cómo varía la gráfica de f(x) m 1Y(x2 2x c) cuando c cambia? SOLUCIÓN Las gráficas de las figuras 19 y 20 (casos especiales para c m 2 y c m 2) muestran dos maneras muy diferentes de ver las curvas. Antes de dibujar más gráficas, veamos qué tienen en común los miembros de esta familia. Ya que lím x l 1 x2 2x c 0 para cualquier valor de c, todas tienen al eje x como asíntota horizontal. Una asíntota vertical ocurre cuando x2 2x c m 0. Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos x 1 1 c . Cuando c 1, no hay asíntotas verticales (como en la figura 19). Cuando c m 1, la gráfica tiene una sola asíntota vertical x m 1 porque lím x l 1 1 x2 2x 1 lím x l 1 1 x 1 2 Cuando c
- 663. 1, hay dos asíntotas verticales x c 1 1 (como en la figura 20). Ahora obtenemos la derivada: f x 2x 2 x2 2x c 2 Esto demuestra que f(x) m 0 cuando x m 1 (si c o 1), f(x) 0 cuando x
- 664. 1 y f(x)
- 665. 0 cuando x 1. Para c w 1, esto significa que f es creciente sobre (@, 1) y decreciente sobre (1, @). Para c 1, hay un valor máximo absoluto f(1) m 1Y(c 1). Para c
- 666. 1, f(1) m 1Y(c 1) es un valor máximo local, y los intervalos donde es creciente y decreciente se interrumpen debido a las asíntotas verticales. La figura 21 es una “serie de diapositivas” que muestran cinco miembros de la familia, todas representadas en el rectángulo de vista F5, 4G por F2, 2G. Como previmos, c m 1 es el valor desde donde tiene lugar una transición de dos asíntotas verticales a una y luego a ninguna. Cuando c aumenta desde 1, vemos que el punto máximo resulta menor; esto se explica por el hecho de que 1Y(c 1) l 0 conforme c l @. Cuando c disminuye de 1, las asíntotas verticales se separan más ampliamente porque la distancia entre ellas es c 1 2 , lo cual resulta muy grande a medida que c l @. Nuevamente, el punto máximo se aproxima al eje x porque 1Y(c 1) l 0 conforme c l @. FIGURA 19 c=2 y= 1 ≈+2x+2 2 _2 _5 4 FIGURA 20 c=_2 2 _2 _5 4 y= 1 ≈+2x-2 c=3 c=2 c=1 c=0 c=_1 FIGURA 21 /DIDPLOLDGHIXQFLRQHVƒ=1/(≈+2x+c) TEC Vea una animación de la figura 21 en Visual 4.6
- 667. 324 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Claramente, no hay ningún punto de inflexión cuando c v 1. Para c 1 obtenemos f x 2 3x2 6x 4 c x2 2x c 3 y deducimos que los puntos de inflexión ocurren cuando x 1 s3 c 1 3. Así, los puntos de inflexión se extienden al aumentar c, y esto parece verosímil, por lo que se ve en las dos últimas partes de la figura 21. 4.6 ; Ejercicios 1-8 Elabore gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de cada una de las siguientes curvas. En particular, debe utilizar gráficas de f y f para estimar los intervalos donde f es creciente y decreciente, valores extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. 1. 2. 3. . 5 . 4 6. , 7. , 8. f x ex 0.186x4 x f x 6 sen x cot x 5 x 3 f x 6 sen x x2 f x x x3 x2 1 f x x2 1 40x3 x 1 f x x6 10x5 400x4 2500x3 f x x6 15x5 75x4 125x3 x f x 4x4 32x3 89x2 95x 29 p p 9-10 Elabore gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de cada una de las siguientes curvas. Determine los intervalos donde f es creciente y decreciente e intervalos de concavidad y utilice el cálculo para encontrar exactamente estos intervalos. . 0 1 . 9 f x 1 x8 2 108 x4 f x 1 1 x 8 x2 1 x3 11-12 a) Grafique la función. b) Utilice la regla de l’Hospital para explicar el comportamiento conforme x l 0. c) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavidad. Después, utilice el cálculo para encontrar los valores exactos. 11. 12. f x xe1 x f x x2 ln x 13-14 Esboce a mano la gráfica utilizando asíntotas e intersecciones pero no derivadas. Después utilice su esbozo como una guía para elaborar gráficas (con un dispositivo de graficación) que muestran las principales características de la curva. Utilice estas gráficas para estimar los valores máximos y mínimos. 13. 14. f x 2x 3 2 x 2 5 x3 x 5 2 f x x 4 x 3 2 x4 x 1 SAC 15. Si f es la función considerada en el ejemplo 3, utilice un sistema algebraico computarizado para calcular f y luego grafíquela para confirmar que todos los valores máximos y mínimos son como en el ejemplo. Calcule f y utilícela para estimar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. SAC 16. Si f es la función del ejercicio 14, encuentre f y f y utilice sus gráficas para estimar los intervalos donde f es creciente, decreciente y de concavidad. SAC 17-22 Utilice un sistema algebraico computarizado para graficar f y para encontrar f y f . Use las gráficas de estas derivadas para estimar los intervalos donde f es creciente y decreciente, los valores extremos, intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión. . 8 1 . 7 1 19. , 20. . 2 2 . 1 2 f x 1 1 etan x f x 1 e1 x 1 e1 x f x x2 1 earctan x x 20 f x sx 5 sen x f x x2 3 1 x x4 f x x3 5x2 1 x4 x3 x2 2 SAC 23-24 Grafique la función utilizando tantos rectángulos de vista como necesite para representar la verdadera naturaleza de la función. . 4 2 . 3 2 f x ex ln x 4 f x 1 cos x4 x8 SAC 25-26 a) Grafique la función. b) Explique la forma de la gráfica obteniendo el límite conforme x l 0 o a medida que x l @. c) Estime los valores máximo y mínimo y, a continuación, utilice el cálculo para encontrar los valores exactos. d) Utilice la gráfica de f para estimar las coordenadas x de los puntos de inflexión. 25. 26. f x x1 x f x sen x sen x 27. En el ejemplo 4 hemos considerado un miembro de la familia de funciones f(x) m sen(x sen cx) que se presenta en la sintonía FM. Aquí investigamos la función con c m 3. Empiece Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 668. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 325 por graficar f en el rectángulo de vista F0, )G por F1.2, 1.2G. ¿Cuántos puntos máximos locales ve usted? La gráfica tiene más de lo que se puede notar a simple vista. Para descubrir los puntos máximos y mínimos ocultos tendrá que examinar la gráfica de f muy cuidadosamente. De hecho, ayuda mirar la gráfica de f al mismo tiempo. Encuentre todos los valores máximos y mínimos y puntos de inflexión. Luego grafique f en el rectángulo de vista F2), 2)G por F1.2, 1.2G y comente lo relacionado con la simetría. 28-35 Describa cómo varía la gráfica de f conforme c varía. Grafique varios miembros de la familia para ilustrar las tendencias que descubre usted. En particular, debe investigar cómo se mueven los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión cuando c cambia. También debe identificar cualquier valor de transición de c, en el que cambia la forma básica de la curva. 28. . 0 3 . 9 2 31. 32. 33. 34. 35. f x cx sen x f x cx 1 c2 x2 f x x2 ce x f x ex ce x f x ln x2 c f x sx4 cx2 f x xsc2 x2 f x x3 cx 36. La familia de funciones f(t) m C(eat ebt ), donde a, b y C son números positivos y b a, ha sido utilizada para modelar la concentración de un fármaco que se inyecta en el torrente sanguíneo en el tiempo t m 0. Grafique varios miembros de esta familia. ¿Qué tienen en común? Para valores fijos de C y a, descubra gráficamente lo que ocurre a medida que aumenta b. Después utilice el cálculo para demostrar lo que ha descubierto. 37. Investigue la familia de curvas dada por f(x) m xecx , donde c es un número real. Empiece por obtener los límites conforme x l @. Identifique los valores de transición de c donde cambia la forma básica. ¿Qué sucede con los puntos máximos o mínimos y los puntos de inflexión a medida que c cambia? Ilustre graficando varios miembros de la familia. 38. Investigue la familia de curvas dada por la ecuación f(x) m x4 cx2 x. Comience por determinar el valor de transición de c, en el que el número de puntos de inflexión cambia. A continuación, grafique varios miembros de la familia para ver qué formas son posibles. Hay otro valor de transición de c en el que cambia el número de números críticos. Intente descubrirlo gráficamente. Después demuestre lo que usted ha descubierto. 39. a) Investigue la familia de funciones polinomiales dada por f(x) m cx4 2x2 1. ¿Para qué valores de c la curva tiene puntos mínimos? b) Demuestre que los puntos máximos y mínimos de cada curva en la familia se encuentran sobre la parábola y m 1 x2 . Ilustre graficando esta parábola y varios miembros de la familia. 40. a) Investigue la familia de funciones polinomiales dada por f(x) m 2x3 cx2 2x. ¿Para qué valores de c la curva tiene puntos máximos y mínimos? b) Demuestre que los puntos máximos y mínimos de cada curva en la familia se encuentran sobre la curva y m x x3 . Ilustre graficando esta curva y varios miembros de la familia. 4.7 Problemas de optimización Los métodos que hemos aprendido en este capítulo para encontrar los valores extremos tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida. Un empresario quiere minimizar los costos y maximizar las ganancias. Un viajero quiere minimizar el tiempo de transporte. El principio de Fermat en óptica establece que la luz sigue el camino que toma el menor tiempo. En esta sección resolvemos problemas como la maximización de áreas, volúmenes y beneficios y la minimización de distancias, tiempos y costos. En la resolución de tales problemas prácticos, el mayor desafío suele ser convertir el problema expresado en palabras en un problema de optimización matemática, estable- ciendo la función que va a maximizar o minimizar. Para esto, vamos a recordar los principios para resolver problemas que se discutieron en la página 75 y adaptarlos a esta situación: Pasos para la resolución de problemas de optimización 1. Comprenda el problema El primer paso consiste en leer detenidamente el problema hasta que se entienda claramente. Pregúntese: ¿qué es lo desconocido? ¿Cuáles son las cantidades conocidas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? 2. Dibuje un diagrama En la mayoría de los problemas resulta útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades dadas y las cantidades requeridas en el diagrama. RP
- 669. 326 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 3. Introduzca la notación Asigne un símbolo a la cantidad que va a ser maximizada o minimizada [vamos a llamarla Q (del inglés quantity) por ahora]. También seleccione símbolos (a, b, c,…, x, y) para otras cantidades desconocidas y etiquete el diagrama con estos símbolos. Puede ser provechoso utilizar iniciales como símbolos sugerentes —p. ej., A para el área, h para la altura, t para el tiempo. 4. Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso 3. 5. Si Q se ha expresado como una función de más de una variable en el paso 4, utilice la información dada para encontrar relaciones (en forma de ecuaciones) entre estas variables. Utilice estas ecuaciones para eliminar todas, excepto una de las variables en la expresión para Q. Así Q se expresará en función de una variable x, digamos, Q m f(x). Escriba el dominio de esta función. 6. Utilice los métodos de las secciones 4.1 y 4.3 para encontrar los valores máximo o mínimo absolutos de f. En particular, si el dominio de f es un intervalo cerrado, entonces puede utilizarse el método del intervalo cerrado de la sección 4.1. EJEMPLO 1 Un agricultor tiene 2400 pies de material y quiere construir una barda para cercar un campo rectangular que bordea un río recto, de modo que no necesita barda a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener el campo para encerrar el área más grande? SOLUCIÓN Para hacerse una idea de lo que está sucediendo en este problema, vamos a experimentar con algunos casos especiales. La figura 1 (no a escala) muestra tres formas de posibles arreglos de los 2400 metros de material. RP Comprenda el problema RP Analogía: intente casos especiales RP Dibuje diagramas FIGURA 1 100 2200 100 Área=100 ì2200=220000 pies@ 700 1000 700 Área=700 ì1000=700000 pies@ 1000 400 1000 Área=1000 ì400=400000 pies@ x y A x FIGURA 2 Vemos que cuando intentamos campos muy anchos y poco largos, o campos angostos y muy largos, obtenemos áreas relativamente pequeñas. Parece verosímil que exista alguna configuración intermedia que produzca el área más grande. La figura 2 ilustra el caso general. Queremos maximizar el área A del rectángulo. Sea x y y el largo y el ancho, respectivamente, del rectángulo (en pies). Entonces, queremos expresar A en términos de x y y: A m xy Queremos expresar A en función de una sola variable, por lo que eliminamos y expresándola en términos de x. Para ello utilizamos la información dada de que la longitud total de la barda es 2400 pies. Así 2x y m 2400 De esta ecuación tenemos y m 2400 2x, lo cual da A m x(2400 2x) m 2400x 2x2 RP Introduzca notación
- 670. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 327 Tenga en cuenta que x 0 y x 1200 (de lo contrario A
- 671. 0), así que la función que deseamos maximizar es A(x) m 2400x 2x2 0 v x v 1200 La derivada es A(x) m 2400 4x, así que para encontrar los números críticos resolvemos 2400 4x m 0 que da x m 600. El valor máximo de A debe producirse en este número crítico o en un extremo del intervalo. Ya que A(0) m 0, A(600) m 720000 y A(1200) m 0, el método del intervalo cerrado da el valor máximo cuando A(600) m 720000. [Alternativamente, podríamos haber observado que A(x) m 4
- 672. 0 para toda x, por lo que A es siempre cóncava hacia abajo y el máximo local en x m 600 debe ser un máximo absoluto.] Así, el campo rectangular debe tener 600 pies de largo y 1200 pies de ancho. v EJEMPLO 2 Se va un fabricar una lata que ha de contener 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que debe tener la lata de manera que minimicen el costo del metal para fabricarla. SOLUCIÓN Dibuje el diagrama como el de la figura 3, donde r es el radio y h la altura (ambos en cm). Para minimizar el costo del metal, minimizaremos el área superficial total del cilindro (tapa, fondo y lados). A partir de la figura 4, observamos que los lados se fabrican de una lámina rectangular con dimensiones 2)r y h. De esta manera, el área superficial es A m 2)r2 2)rh Para eliminar h recurrimos al hecho de que el volumen está dado como 1L, que tomamos como 1000cm3 . Así )r2 h m 1000 lo cual da h m 1000Y()r2 ). Sustituyendo esto en la expresión para A, da A 2 r2 2 r 1000 r2 2 r2 2000 r p p p p Por tanto, la función que queremos minimizar es r 0 A r 2 r2 2000 r p Para encontrar los números críticos, derivamos: A r 4 r 2000 r2 4 r3 500 r2 p p Entonces A(r) m 0 cuando )r3 m 500, así que el único número crítico es r s 3 500 p . Puesto que el dominio de A es (0, @), no podemos aplicar el argumento del ejemplo 1 concerniente a los puntos extremos. Pero podemos observar que A(r)
- 673. 0 para r s 3 500 p y A(r) 0 para r s 3 500 p , por lo que A es decreciente para toda r a la izquierda del número crítico y creciente para toda r a la derecha. De este modo, r s 3 500 p debe dar lugar a un mínimo absoluto. [Como otra posibilidad, podríamos argumentar que A(r) l @ conforme r l 0 y A(r) l @ a medida que r l @, de manera que debe haber un valor mínimo de A(r), el cual tiene que ocurrir en el número crítico. Véase la figura 5.] FIGURA 3 r h ÉUHD FIGURA 4 ÉUHD r y 0 10 1000 y=A(r) FIGURA 5
- 674. 328 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA El valor de h correspondiente a r s 3 500 p es h 1000 r2 1000 500 2 3 2 3 500 2r p p p p Así, para minimizar el costo de la lata, el radio debe ser s 3 500 p cm y la altura debe ser igual al doble del radio, es decir, el diámetro. NOTA 1 El argumento utilizado en el ejemplo 2 para justificar el mínimo absoluto es una variante de la prueba de la primera derivada (que sólo se aplica a valores máximos o mínimos locales) y se establece aquí para referencia futura. En el Proyecto de aplicación en página 337 investigamos la forma más económica para la fabricación de una lata teniendo en cuenta los costos de producción. TEC Module 4.7 lo lleva a través de seis problemas adicionales de optimización, incluyen- do animaciones de las situaciones físicas. Prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos Suponga que c es un número crítico de una función continua f definida sobre un intervalo. a) Si f(x) 0 para toda x
- 675. c y f(x)
- 676. 0 para toda x c, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f. b) Si f(x)
- 677. 0 para toda x
- 678. c y f(x) 0 para toda x c, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f. NOTA 2 Un método alternativo para resolver problemas de optimización es utilizar derivación implícita. Veamos el ejemplo 2 nuevamente para ilustrar el método. Trabajamos con las mismas ecuaciones A m 2)r2 2)rh )r2 h m 1000 pero en lugar de eliminar h, derivamos ambas ecuaciones implícitamente, respecto a r: A m 4)r 2)h 2)rh 2)rh )r2 h m 0 El mínimo se produce en un número crítico, por lo que establecemos A m 0; simplifica- mos para llegar a las ecuaciones 2r h rh m 0 2h rh m 0 y la sustracción da 2r h m 0, o h m 2r. v EJEMPLO 3 Encuentre el punto sobre la parábola y2 m 2x que está más cerca del punto (1, 4). SOLUCIÓN La distancia entre el punto (1, 4) y el punto (x, y) es d s x 1 2 y 4 2 (Véase la figura 6). Pero si (x, y) se encuentra sobre la parábola, entonces x 1 2 y2 , por lo que la expresión para d se convierte en d s(1 2 y2 1)2 y 4 2 (Como alternativa, podríamos haber sustituido y s2x para obtener d solamente en términos de x.) En lugar de minimizar d, minimizamos su cuadrado: d2 f y (1 2 y2 1)2 y 4 2 (Debe usted convencerse de que el mínimo de d ocurre en el mismo punto donde ocurre el x y 0 1 1 2 3 4 ¥=2x (1, 4) (x, y) FIGURA 6
- 679. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 329 mínimo de d2 , pero es más fácil trabajar con d2 .) Derivando, obtenemos f y 2(1 2 y2 1)y 2 y 4 y3 8 de manera que f(y) m 0 cuando y m 2. Observe que f(y)
- 680. 0 cuando y
- 681. 2 y f(y) 0 cuando y 2, así que, por la prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos, el mínimo absoluto se obtiene cuando y m 2. (O simplemente podríamos decir que, debido a la naturaleza geométrica del problema, es evidente que hay un punto más cercano, pero no un punto más lejano). El correspondiente valor de x es x 1 2 y2 2. Por tanto, el punto sobre y2 m 2x más cercano a (1, 4) es (2, 2). EJEMPLO 4 Un hombre lanza su lancha desde un punto A a la orilla de un río recto de 3km de ancho y quiere alcanzar el punto B, 8km abajo en la orilla opuesta, en el menor tiempo posible (véase la figura 7). Podría enfilar su lancha directamente a través del río al punto C y después correr a B, podría enfilarse directamente a B, o podía ir a algún punto D entre C y B para después avanzar corriendo hacia B. Si el hombre puede remar a 6kmYh y correr a 8kmYh, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? (Suponemos que la rapidez del agua es insignificante en comparación con la rapidez a la que el hombre rema.) SOLUCIÓN Sea x la distancia entre C y D; entonces la distancia que ha de correr es UDBU m 8 x y el teorema de Pitágoras da la distancia que ha de remar AD sx2 9. Utilizamos la ecuación tiempo distancia rapidez Entonces el tiempo de remo es sx2 9 6, y el tiempo de carrera es (8 x)Y8, por lo que el tiempo total T como una función de x es T x sx2 9 6 8 x 8 El dominio de esta función T es F0, 8G. Observe que si x m 0, él rema hacia C y si x m 8, rema directamente a B. La derivada de T es T x x 6sx2 9 1 8 Así, utilizando el hecho de que x 0, tenemos x 9 s7 ? 7x2 81 ? 16x2 9 x2 9 ? 4x 3sx2 9 ? x 6sx2 9 1 8 ? T x 0 El único número crítico es x 9 s7. Para ver si el mínimo ocurre en este número crítico o en un extremo del dominio F0, 8G, evaluamos T en los tres puntos: T 8 s73 6 1.42 T 9 s7 1 s7 8 1.33 T 0 1.5 8km ' % $ 3km FIGURA 7 [
- 682. 330 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Como el más pequeño de estos valores de T se produce cuando x 9 s7, el valor mínimo absoluto de T debe ocurrir allí. La figura 8 ilustra este cálculo mostrando la gráfica de T. Así, el hombre debe desembarcar en un punto a km ( km) 3.4 9 s7 río abajo de su punto de partida. v EJEMPLO 5 Encuentre el rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en un semicírculo de radio r. SOLUCIÓN 1 Tomemos la semicircunferencia como la mitad superior de la circunferencia x2 y2 m r2 con centro en el origen. Entonces la palabra inscrita significa que el rectángulo tiene dos vértices sobre la semicircunferencia y dos vértices sobre el eje x, como se muestra en la figura 9. Sea (x, y) el vértice que se encuentra en el primer cuadrante. Entonces, el rectángulo tiene lados de longitud 2x e y, por lo que su área es A m 2xy Para eliminar y recurrimos al hecho de que (x, y) se encuentra sobre la circunferencia x2 y2 m r2 , así que y sr2 x2 . Por tanto, A 2xsr2 x2 El dominio de esta función es 0 x r. Su derivada es A 2sr2 x2 2x2 sr2 x2 2 r2 2x2 sr2 x2 que es 0 cuando 2x2 m r2 , es decir, x r s2 (ya que x 0). Este valor de x da un valor máximo de A porque A(0) m 0 y A(r) m 0. Por tanto, el rectángulo inscrito de mayor área es A r s2 2 r s2 r2 r2 2 r2 SOLUCIÓN 2 Es posible una solución más sencilla si consideramos utilizar un ángulo como una variable. Sea . el ángulo mostrado en la figura 10. Entonces el área del rectángulo es A 2r cos r sen r2 2 sen cos r2 sen 2 u u u u u u Sabemos que sen 2. tiene un valor máximo de 1 y se produce cuando 2. m )Y2. Así, A(.) tiene un valor máximo de r2 y se produce cuando . m )Y4. Observe que esta solución trigonométrica no implica derivación. De hecho, no tene- mos que utilizar cálculo en absoluto. Aplicaciones en negocios y economía En la sección 3.7 hemos introducido la idea de costo marginal. Recuerde que si C(x), la función costo, es el costo de producir x unidades de un determinado producto, entonces el costo marginal es la tasa de cambio de C respecto a x. En otras palabras, la función costo marginal es la derivada, C(x), de la función costo. Ahora consideremos la comercialización. Sea p(x) el precio por unidad que la empresa puede cobrar si vende x unidades. Entonces p se llama función demanda (o función de precio) y esperaríamos que sea una función de x decreciente. Si x unidades son vendidas y el precio por unidad es de p(x), entonces el ingreso (revenue, en inglés) total es R(x) m xp(x) FIGURA 8 x T 0 1 2 4 6 y=T(x) x y 0 2x (x, y) y _r r FIGURA 9 r ¨ r cos ¨ r sen ¨ FIGURA 10
- 683. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 331 y R se llama función ingreso. La derivada R de la función ingreso se llama función ingreso marginal y es la tasa de cambio de ingreso respecto al número de unidades ven- didas. Si se venden x unidades, entonces la utilidad (profit, en inglés) total es P(x) m R(x) C(x) y P se llama función utilidad. La función utilidad marginal es P, la derivada de la función utilidad. En los ejercicios 57-62, se le pide que utilice las funciones costo margi- nal, ingreso y utilidad para minimizar los costos y maximizar los ingresos y utilidades. v EJEMPLO 6 Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de discos Blu-ray por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de des- cuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementará en 20 a la semana. Encuentre la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos? SOLUCIÓN Si x es el número de reproductores Blu-ray vendidos por semana, entonces el aumento semanal de ventas es x 200. Por cada aumento de 20 unidades vendidas, el precio se reduce por $10. Por tanto, por cada unidad adicional vendida, la disminución del precio será 1 20 10, y la función demanda es p x 350 10 20 x 200 450 1 2 x La función ingreso es R x xp x 450x 1 2 x2 Dado que R(x) m 450 x, vemos que R(x) m 0 cuando x m 450. Este valor de x da un máximo absoluto por la prueba de la primera derivada (o simplemente al observar que la gráfica de R es una parábola que abre hacia abajo). El precio correspondiente es p 450 450 1 2 450 225 y el descuento es 350 225 m 125. Por tanto, para maximizar el ingreso, la tienda debe ofrecer un descuento de $125. 4.7 Ejercicios 1. Considere el siguiente problema: encuentre dos números cuya suma es 23 y cuyo producto es un máximo. a) Haga una tabla de valores como la siguiente, para la que la suma de los números en las dos primeras columnas siempre es 23. Sobre la base de las evidencias de la tabla, estime la respuesta al problema. Primer número Segundo número Producto 1 22 22 2 21 42 3 20 60 . . . . . . . . . b) Utilice el cálculo para resolver el problema y compare con su respuesta al inciso a). 2. Encuentre dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto es un mínimo. 3. Encuentre dos números positivos cuyo producto es 100 y cuya suma es un mínimo. 4. La suma de dos números positivos es 16. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de sus cuadrados? 5. ¿Cuál es la distancia vertical máxima entre la recta y m x 2 y la parábola y m x2 para 1 x 2? 6. ¿Cuál es la distancia vertical mínima entre la parábolas y m x2 1 y y m x x2 ? Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 684. 332 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 7. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 metros, cuya área sea tan grande como sea posible. 8. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con área de 1000 m2 cuyo perímetro sea tan pequeño como sea posible. 9. Un modelo utilizado para el rendimiento (yield) Y de una producción agrícola como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (medido en unidades adecuadas) es Y kN 1 N2 donde k es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeno ofrece el mejor rendimiento? 10. La rapidez (en mg carbonoYm3 Yh) en que la fotosíntesis tiene lugar para una especie de fitoplancton es modelada por la función P 100I I2 I 4 donde I es la intensidad de luz (medida en miles de pie-candela) ¿Para qué intensidad de luz P es máxima? 11. Considere el siguiente problema: un agricultor que dispone de 750 pies de material para construir una barda quiere delimitar un área rectangular y luego dividirla en cuatro corrales con bardas paralelas a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área total más grande posible de los cuatro corrales? a) Dibuje varios diagramas que ilustren la situación, algunos con corrales anchos y largos cortos, y otros con corrales angostos y grandes largos. Encuentre las áreas totales de estas configuraciones. ¿Parece que hay un área máxima? Si es así, estímela. b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación general. Introduzca la notación y etiquete el diagrama con sus símbolos. c) Escriba una expresión para el área total. d) Utilice la información proporcionada para plantear una ecuación que relacione las variables. e) Utilice el inciso d) para expresar el área total como una función de una variable. f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con su estimación en el inciso a). 12. Considere el siguiente problema: se desea construir una caja con tapa abierta, utilizando una pieza cuadrada de cartón de 3 pies de ancho, recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas y doblando los costados. Encuentre el volumen más grande que esa caja puede tener. a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación, algu- nas cajas de poca altura con bases grandes y algunas cajas de mucha altura con bases pequeñas. Encuentre los volúmenes de varias de esas cajas. ¿Parece que existe un volumen máximo? Si es así, estímelo. b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación general. Introduzca la notación y etiquete el diagrama con sus símbolos. c) Escriba una expresión para el volumen. d) Utilice la información proporcionada para plantear una ecuación que relacione las variables. e) Utilice el inciso d) para expresar el volumen como función de una variable. f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con su estimación en el inciso a). 13. Un agricultor quiere cercar un área de 1.5 millones de pies cuadrados en un terreno rectangular y luego dividirlo por la mitad, con una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿Cómo puede el agricultor hacer esto para minimizar el costo de la barda? 14. Una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior, debe tener un volumen de 32000 cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que ha de utilizarse. 15. Si se dispone de 1200 cm2 de material para hacer una caja con una base cuadrada y sin tapa; encuentre el mayor volumen posible de la caja. 16. Un contenedor rectangular de almacenamiento sin tapa ha de tener un volumen de 10 m3 . La longitud de su base es dos veces el ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado y el material para los costados cuesta $6 por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales que hagan más barato el contenedor. 17. Resuelva el ejercicio 16 suponiendo que el contenedor tiene una tapa fabricada con el mismo material que los lados. 18. a) Demuestre que de todos los rectángulos con un área determinada, el de perímetro más pequeño es un cuadrado. b) Pruebe que de todos los rectángulos con un perímetro determinado, el de mayor área es un cuadrado. 19. Encuentre el punto sobre la recta y m 2x 3 que está más cerca del origen. 20. Halle el punto sobre la curva y sx que está más cerca del punto (3, 0). 21. Busque los puntos sobre la elipse 4x2 y2 m 4 que están más lejos del punto (1, 0). 22. Encuentre, con una aproximación de dos decimales, las coordenadas del punto sobre la curva y m sen x que está más cerca del punto (4, 2). 23. Halle las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en un círculo de radio r. 24. Busque el rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en la elipse x2 Ya2 y2 Yb2 m 1. 25. Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede ser inscrito en un triángulo equilátero de lado L si uno de los lados del rectángulo se encuentra sobre la base del triángulo. 26. Halle el área del trapecio más grande que puede ser inscrito en un círculo de radio 1 y cuya base es un diámetro del círculo. 27. Busque las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que puede ser inscrito en un círculo de radio r. 28. Encuentre el área del rectángulo más grande que puede ser inscrito en un triángulo rectángulo con catetos de longitudes de 3 cm y 4 cm si dos lados del rectángulo se encuentran a lo largo de los catetos. 29. Halle el cilindro de mayor volumen posible que puede inscribirse en una esfera de radio r. 30. Busque el cilindro de mayor volumen posible que puede inscribirse en un cono de altura h y radio base r. 31. Encuentre el cilindro circular recto de mayor superficie que puede inscribirse en una esfera de radio r.
- 685. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 333 32. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo rematado por un semicírculo. (Así, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo. Véase el ejercicio 62 en la página 22). Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones de la ventana para que sea admitida la mayor cantidad posible de luz. 33. Los márgenes superior e inferior de un cartel son de 6 cm y los márgenes de los lados de 4 cm. Si el área de impresión sobre el cartel se fija en 384 cm2 , encuentre las dimensiones del cartel con la menor área. 34. Un cartel debe tener un área de 180 pulg2 con márgenes de 1 pulg en la parte inferior y laterales, y un margen de 2 pulg en la parte superior. ¿Qué dimensiones darán la mayor área de impresión? 35. Un pedazo de alambre de 10 m de largo está cortado en dos piezas. Una pieza está doblada en forma de cuadrado y la otra de un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que el área total encerrada sea a) un máximo?, ¿b) un mínimo? 36. Conteste el ejercicio 35 si una pieza está doblada en forma de un cuadrado y la otra de un círculo. 37. Se hace una lata cilíndrica sin tapa para contener V cm3 de líquido. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo del metal para hacer la lata. 38. Una barda de 8 pies de altura corre paralela a una distancia de 4 pies de un edificio alto. ¿Cuál es la escalera de menor longitud que, colocada en el suelo, pasando sobre la barda, alcanzará la pared del edificio? 39. Un recipiente cónico para beber se hace de una pieza circular de papel de radio R, recortando un sector y uniendo los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima de dicho recipiente. A B R C 40. Un recipiente para beber, en forma de cono, se diseña para contener 27 cm3 de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que utilizará la menor cantidad de papel. 41. Un cono de altura h está inscrito en un cono de mayor tamaño con altura H, de manera que su vértice está en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interior tiene volumen máximo cuando h 1 3 H. 42. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo . con un plano, entonces la magnitud de la fuerza es F W sen cos u u m m donde es una constante denominada coeficiente de fricción. ¿Para qué valor de . es F más pequeña? 43. Si se conecta una resistencia de R ohms a través de una batería de E volts con resistencia interna de r ohms, entonces la potencia (en vatios) en la resistencia externa es P E2 R R r 2 Si E y r son fijos, pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia? 44. Para un pez nadando a una rapidez v relativa al agua, el gasto de energía por unidad de tiempo es proporcional a v3 . Se cree que durante la migración, los peces intentan minimizar la energía total requerida para nadar una distancia fija. Si los peces están nadando contra una corriente u (u
- 686. v), entonces el tiempo necesario para nadar una distancia L es LY(v u), y la energía total E necesaria para nadar la distancia viene dada por E v av3 L v u donde a es la constante de proporcionalidad. a) Determine el valor de v que minimiza E. b) Trace la gráfica de E. Nota: este resultado ha sido verificado experimentalmente; en la migración, los peces nadan contra la corriente a una velocidad de 50% mayor que la rapidez de la corriente. 45. En un panal, cada celda es un prisma hexagonal regular, abierto en un extremo en un ángulo triedro en el otro extremo como en la figura. Se cree que las abejas forman sus celdas de modo que se minimice la superficie para un volumen determinado, utilizando así la menor cantidad de cera en la construcción de la celda. El examen de estas celdas ha demostrado que la medida del ángulo . del vértice es sorprendentemente consistente. Basado en la geometría de la celda, puede demostrarse que la superficie S está dada por S 6sh 3 2 s2 cot (3s2 s3 2) csc u u donde s, la longitud de los lados del hexágono y h, la altura, son constantes. a) Calcule dSYd.. b) ¿Qué ángulo deberían preferir las abejas? c) Determine la superficie mínima de la celda (en términos de s y h). Nota: se han realizado las mediciones reales del ángulo . en panales, y las medidas de estos ángulos difieren raramente del valor calculado por más de 2. V ángulo ¨ en el triedro parte trasera de la celda parte del frente de la celda K E
- 687. 334 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 46. Un barco sale de un muelle a las 14:00 y viaja hacia el sur a una velocidad de 20 kmYh. Otro barco ha estado dirigiéndose al este a 15 kmYh y llega al mismo muelle a las 15:00. ¿A qué hora estuvieron los dos barcos más cerca uno del otro? 47. Resuelva el problema en el ejemplo 4 si el río es de 5 km de ancho y el punto B está a sólo 5 km río abajo de A. 48. Una mujer, en un punto A en la orilla de un lago circular con radio de 2 mi, quiere llegar al punto C diametralmente opuesto a A al otro lado del lago en el menor tiempo posible (véase la figura). Ella puede caminar a una rapidez de 4 miYh y remar a 2 miYh. ¿Cómo debe proceder? ¨ B A C 2 2 49. Una refinería de petróleo se encuentra en la orilla norte de un río recto que tiene 2 km de ancho. Se debe construir una tubería desde la refinería a tanques de almacenamiento situados en la orilla sur del río, 6 km al este de la refinería. El costo de colocación de tubería es $400000Ykm sobre la tierra a un punto P a la orilla norte y $800000Ykm bajo el río a los tanques. Para minimizar el costo de la tubería, ¿dónde debe ubicarse P? 50. Supongamos que la refinería en el ejercicio 49 está situada a 1 km al norte del río. ¿Dónde debe estar ubicado P? 51. La iluminación de un objeto por una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad de la fuente, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Si dos fuentes luminosas, una tres veces más intensa que la otra, se colocan a 10 pies de distancia, ¿dónde se debe colocar un objeto en la recta entre las fuentes a fin de recibir la menor iluminación? 52. Encuentre la ecuación de la recta a que pasa por el punto (3, 5) que corta el primer cuadrante con la menor área. 53. Sean a y b números positivos. Encuentre la longitud del menor segmento de recta que corta el primer cuadrante y pasa por el punto (a, b). 54. ¿En cuáles puntos sobre la curva y m 1 40x3 3x5 la recta tangente tiene la mayor pendiente? 55. ¿Cuál es la longitud más corta posible del segmento de recta que corta el primer cuadrante y es tangente a la curva y m 3Yx en algún punto? 56. ¿Cuál es el triángulo de menor área posible que corta el primer cuadrante y cuya hipotenusa es tangente a la parábola y m 4 x2 en algún punto? 57. a) Si C(x) es el costo de producir x unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad es de c(x) m C(x)Yx. Demuestre que si el costo promedio es un mínimo, entonces el costo marginal es igual al costo promedio. b) Si C(x) m 16000 200x 4x3Y2 , en dólares, encuentre i) el costo, el costo promedio y el costo marginal a un nivel de producción de 1000 unidades; ii) el nivel de producción que minimizará el costo promedio y iii) el costo promedio mínimo. 58. a) Demuestre que si la utilidad P(x) es un máximo, entonces el ingreso marginal es igual al costo marginal. b) Si C(x) m 16000 500x 1.6x2 0.004x3 es la función costo y p(x) m 1700 7x es la función demanda, encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad. 59. Un equipo de beisbol juega en un estadio con capacidad para 55000 espectadores. Con el precio de las entradas a $10, la asistencia promedio había sido de 27000. Cuando los precios se redujeron a $8, la asistencia promedio subió a 33000. a) Encuentre la función demanda, suponiendo que es lineal. b) ¿Cómo se deben establecer los precios de las entradas para maximizar los ingresos? 60. Durante los meses de verano, Tomás hace y vende collares en la playa. El verano pasado vendió los collares a $10 y sus ventas promedio fueron de 20 por día. Cuando aumentó el precio por $1, encontró que el promedio disminuyó dos ventas por día. a) Encuentre la función demanda, suponiendo que es lineal. b) Si el material para cada collar le cuesta a Tomás $6, ¿qué precio de venta debe maximizar su utilidad? 61. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 televisores de pantalla plana a la semana a $450. Un estudio de mercado indica que, por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el número de televisores vendidos se incrementará en 100 por semana. a) Encuentre la función demanda. b) ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía al comprador a fin de maximizar sus utilidades? c) Si la función costo semanal es C(x) m 68000 150x, ¿cómo debería el fabricante establecer el tamaño de la rebaja, a fin de maximizar sus ganancias? 62. El administrador de un complejo habitacional de 100 apartamentos sabe por experiencia que todas las unidades serán ocupadas si el alquiler es de $800 al mes. Un estudio de mercado sugiere que, en promedio, una unidad adicional permanecerá vacante por cada incremento de $10 en el alquiler. ¿Qué renta debe cobrar el administrador para maximizar los ingresos? 63. Demuestre que, de todos los triángulos isósceles con un determinado perímetro, el de mayor área es equilátero. SAC 64. El marco de una cometa está hecho de seis piezas de madera. Las cuatro piezas exteriores se han recortado con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener las piezas diagonales? a a b b
- 688. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 335 65. Un punto P debe estar ubicado en algún lugar sobre la recta AD, de manera que la longitud total L de cables ligados de P a los puntos A, B y C se minimice (véase la figura). Exprese L como una función de x m U AP U y utilice las gráficas de L y dLYdx se para estimar el valor mínimo de L. B C P A 2 m 3 m D 5 m 66. La gráfica muestra el consumo de combustible c de un automóvil (medido en galones por hora) en función de la velocidad v del automóvil. A muy bajas velocidades el motor funciona de manera ineficiente, así que inicialmente c disminuye a medida que aumenta la velocidad. Pero a alta velocidad el consumo de combustible se incrementa. Puede verse que c(v) está minimizada para este automóvil cuando v 30 miYh. Sin embargo, para la eficiencia de combustible, lo que debe reducirse al mínimo no es el consumo en galones por hora, sino más bien el consumo de combustible en galones por milla. Vamos a llamar G a este consumo. Utilizando la gráfica, estime la velocidad a la que G tiene su valor mínimo. 67. Sea v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la luz en el agua. De acuerdo con el principio de Fermat, un rayo de luz viajará desde un punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo de recorrido. Demuestre que sen 1 sen 2 v1 v2 u u donde .1 (el ángulo de incidencia) y .2 (el ángulo de refracción) son como se muestra. Esta ecuación es conocida como la ley de Snell. C A B ¨¡ ¨™ 68. Dos postes verticales PQ y ST están asegurados por una cuerda PRS que van desde la parte superior del primer poste a la parte superior del segundo poste como en la figura. Demuestre que la longitud más corta de esa cuerda se produce cuando .1 m .2. 4 5 7 3 6 ¨¡ ¨™ 69. Se pliega la esquina superior derecha de un pedazo de papel de 12 pulg por 8 pulg, como en la figura, sobre la orilla inferior. ¿Cómo debería usted plegarla para minimizar la longitud del pliegue? En otras palabras, ¿cómo se elige x para minimizar y? x 8 12 70. Se lleva cargando un tubo de acero por un pasillo de 9 metros de ancho. Al final de la sala hay un giro recto en un estrecho pasillo de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que puede dar la vuelta horizontalmente alrededor de la esquina? 6 ¨ 9 71. Un observador se encuentra en un punto P a una unidad de una pista. Dos corredores comienzan en el punto S en la figura y corren a lo largo de la pista. Un atleta corre tres veces más rápido que el otro. Encuentre el valor máximo del ángulo de vista del observador . entre los corredores. [Sugerencia: maximice ..] S 1 P ¨
- 689. 336 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 72. Se desea construir una caída de agua de lluvia utilizando una hoja de metal de 30 cm de ancho, plegando hasta un tercio a cada lado de la hoja con un ángulo .. ¿Cómo debe elegirse . de manera que el canal conduzca la cantidad máxima de agua? FP FP FP ¨ ¨ 73. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento de recta AB a fin de maximizar el ángulo .? 5 2 A B P ¨ 3 74. Una pintura en una galería de arte tiene altura h y está colgada de manera que su borde inferior esté a una distancia d sobre el ojo de un observador (como en la figura). ¿Hasta qué punto de la pared debe estar el observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, dónde debe pararse el observador para maximizar el ángulo . subtendido a su ojo por la pintura?) ¨ h d 75. Encuentre el rectángulo de área máxima que puede ser circunscrito por un rectángulo dado con longitud L y ancho W. [Sugerencia: exprese el área en función de un ángulo ..] 76. El sistema vascular de sangre consiste en vasos sanguíneos (arterias, arteriolas, capilares y venas) que trasladan la sangre desde el corazón hasta los órganos y de éstos al corazón. Este sistema debe trabajar de manera que minimice la energía gastada por el corazón al bombear la sangre. En particular, esta energía se reduce cuando disminuye la resistencia de la sangre. Una de las leyes de Poiseuille da la resistencia R de la sangre como R C L r4 donde L es la longitud de los vasos sanguíneos, r es el radio y C es una constante positiva, determinada por la viscosidad de la sangre. (Poiseuille estableció esta ley experimentalmente, pero también de la ecuación 8.4.2.) La figura muestra un vaso principal con radio r1 bifurcado en un ángulo . en un vaso más pequeño con radio r2. b A B r¡ r™ ¨ C a UDPLILFDFLyQ YDVFXODU a) Utilice la ley de Poiseuille para demostrar que la resistencia total de la sangre a lo largo de la ruta ABC es R C a b cot r1 4 b csc r2 4 u u donde a y b son las distancias que se muestran en la figura. b) Demuestre que esta resistencia está minimizada cuando cos r4 2 r4 1 u c) Encuentre el ángulo de bifurcación óptimo (aproximado al grado más cercano) cuando el radio de los vasos sanguíneos más pequeños es dos tercios el radio del vaso más grande. © Manfred Kage / Peter Arnold Images / Photolibrary 77. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de aves tienden a evitar vuelos sobre grandes masas de agua durante el día. Se cree que requieren más energía para volar sobre el agua que sobre tierra porque el aire generalmente se eleva sobre la tierra y cae sobre el agua durante el día. Un pájaro con estas tendencias es lanzado desde una isla que está a 5 km del punto B más cercano a una costa recta, vuela a un punto C sobre la costa y luego vuela a lo largo de la costa hasta su lugar de anidación D. Suponga que el ave elige instintivamente un camino que minimiza su gasto de energía. Los puntos B y D están a 13 km de distancia uno del otro. a) En general, si requiere 1.4 veces más energía para volar sobre el agua que sobre la tierra, ¿a qué punto C debe el ave
- 690. PROYECTO DE APLICACIÓN LA FORMA DE UNA LATA 337 volar a fin de minimizar la energía total gastada en regresar a su zona de anidación? b) Sean W y L la energía (en joules) por kilómetro volado sobre agua y tierra, respectivamente. ¿Qué significaría un valor muy grande de la relación WYL en términos del vuelo de las aves? ¿Qué significaría un valor pequeño? Determine la relación WYL correspondiente al gasto mínimo de energía. c) ¿Cuál debería ser el valor de WYL para que el ave vuele directamente a su zona de anidación D? ¿Cuál debe ser el valor de WYL para que el ave vuele a B y luego a lo largo de la orilla a D? d) Si los ornitólogos observan que las aves de cierta especie llegan a la orilla en un punto a 4 km de B, ¿cuántas veces más energía necesita un ave para volar sobre el agua que sobre la tierra? 13 km B C D isla 5 km nido 78. Dos fuentes luminosas de idéntica intensidad se colocan separadas 10 m. Un objeto se ha de colocar en un punto P sobre una recta
- 691. paralela a la recta que une las fuentes de luz y a una distancia d metros de ella (véase la figura). Queremos localizar P sobre
- 692. de manera que se minimice la intensidad de iluminación. Tenemos que utilizar el hecho de que la intensidad de iluminación de una fuente única es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen. a) Encuentre una expresión para la intensidad I(x) en el punto P. b) Si d m 5 m, utilice las gráficas de I(x) y de I(x) para demostrar que la intensidad es minimizada cuando x m 5 m, es decir, cuando P está en el punto medio de
- 693. . c) Si d m 10 m, demuestre que la intensidad (quizá sorprendentemente) no se minimiza en el punto medio. d) En algún punto entre d m 5 m y d m 10 m hay un valor de transición de d en el que el punto de mínima iluminación cambia abruptamente. Calcule este valor de d por métodos gráficos. A continuación, encuentre el valor exacto de d. , P d P [ PROYECTO DE APLICACIÓN LA FORMA DE UNA LATA En este proyecto investigamos la forma más económica para una lata. Primero interpretamos que esto significa que el volumen V de una lata cilíndrica está dado y que tenemos que encontrar la altura h y radio r que minimizan el costo del metal para fabricar la lata (véase la figura). Si estamos haciendo caso omiso de cualquier residuo de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar la superficie del cilindro. Resolvimos este problema en el ejemplo 2, en la sección 4.7 y encontramos que h m 2r; es decir, la altura debe ser la misma que el diámetro. Pero si va a su alacena o a un supermercado con una regla, descubrirá que la altura es generalmente mayor que el diámetro, y la relación hYr varía desde 2 hasta aproximadamente 3.8. Vamos a ver si podemos explicar este fenómeno. 1. El material para las latas se corta de hojas de metal. Las partes cilíndricas se forman doblando rectángulos; estos rectángulos son cortados de la hoja buscando poco o ningún desperdicio. Pero si se cortan los discos superior e inferior de cuadrados de lado 2r (como en la figura), esto deja un desperdicio considerable de metal, que puede ser reciclado, pero tiene poco o ningún valor para los fabricantes de la lata. Si este es el caso, demuestre que la cantidad de metal utilizada es minimizada cuando h r 8 2.55 p r h 'LVFRVFRUWDGRVGHFXDGUDGRV Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 694. 338 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Supongamos que un concesionario de automóviles le ofrece venderle un auto al contado en $18000 o en pagos de $375 mensuales durante cinco años. A usted le gustaría saber qué tasa de interés mensual le cobrará el vendedor. Para encontrar la respuesta, tiene que resol- ver la ecuación 48x 1 x 60 1 x 60 1 0 1 (Los detalles se explican en el ejercicio 41). ¿Cómo resolvería tal ecuación? Para una ecuación cuadrática ax2 bc c m 0 hay una fórmula conocida para las raíces. Para las ecuaciones de tercer y cuarto grado también hay fórmulas para las raíces, pero son muy complicadas. Si f es un polinomio de grado 5 o superior, no hay ninguna fórmula de este tipo (véase la nota en la página 212). Asimismo, no hay ninguna fórmu- la que nos permita encontrar las raíces exactas de una ecuación trascendente como cos x m x. Podemos encontrar una solución aproximada para la ecuación 1 graficando el lado izquierdo de la ecuación. Mediante un dispositivo de graficación y tras experimentar con rectángulos de vista, obtenemos la gráfica de la figura 1. Vemos que, además de la solución x m 0 que no nos interesa, hay una solución entre 0.007 y 0.008. Al hacer acercamientos se ve que la raíz es aproximadamente 0.0076. 4.8 El método de Newton 2. Un embalaje más eficiente de los discos se obtiene dividiendo la hoja de metal en hexágonos y cortando las tapas circulares y bases de los hexágonos (véase la figura). Demuestre que si se adopta esta estrategia, entonces h r 4s3 2.21 p 3. Los valores de hYr que encontramos en los problemas 1 y 2 son un poco más parecidos a los que realmente se ven en los estantes de los supermercados, pero todavía no se explica todo. Si miramos más de cerca algunas latas reales, vemos que la base y la tapa están formados por discos con radio mayor que r y están dobladas sobre los extremos de la lata. Si tomamos en cuenta esto aumentaríamos hYr. También es importante considerar que, además de los costos del metal, necesitamos incorporar la fabricación de la lata en el costo. Vamos a suponer que la mayoría de los gastos se incurren al unir a los lados de los bordes de las latas. Si cortamos los discos de hexágonos como en el problema 2, entonces el costo total es proporcional a 4s3 r2 2 rh k 4 r h p p donde k es el recíproco de la longitud que puede unirse para el costo de una unidad de área de metal. Demuestre que esta expresión se minimiza cuando s 3 V k h r 2 h r h r 4s3 3 p p p 4. Grafique s 3 V k como una función de x m hYr y utilice su gráfica para argumentar que cuando una lata es grande o la unión de las piezas es barata, deberíamos hacer hYr aproximadamente 2.21 (como en el problema 2). Pero cuando la lata es pequeña o la unión es costosa, hYr debería ser mucho mayor. 5. Nuestro análisis muestra que grandes latas deben ser casi cuadradas, pero pequeñas latas deben ser altas y delgadas. Observe las formas relativas de las latas en un supermercado. ¿Nuestra conclusión suele ser cierta en la práctica? ¿Existen excepciones? ¿Puede sugerir razones de por qué las pequeñas latas no son siempre altas y delgadas? 'LVFRVFRUWDGRVGHKH[iJRQRV 0.15 _0.05 0 0.012 FIGURA 1
- 695. SECCIÓN 4.8 EL MÉTODO DE NEWTON 339 Si se requiere más precisión pueden hacerse acercamientos repetidas veces, pero esto es algo tedioso. Una alternativa más rápida es utilizar un rastreador numérico de raíces con una calculadora o en un sistema algebraico computarizado. Con esto encontramos la raíz, con una aproximación de nueve decimales: 0.007628603. ¿Cómo funcionan esos buscadores numéricos de raíces? Utilizan una variedad de méto- dos, pero la mayoría de ellos utilizan algún método de Newton, también llamado método de Newton-Raphson. Explicaremos cómo funciona este método, en parte para mostrar lo que sucede dentro de una calculadora o computadora y en parte como una aplicación de la idea de aproximación lineal. La geometría del método de Newton se muestra en la figura 2, donde la raíz que estamos tratando de encontrar está etiquetada con r. Comenzamos con una primera aproxi- mación x1, que se obtiene por suposición, o de un esbozo de la gráfica de f, o de una gráfica de f generada por el equipo de graficación. Considere la recta tangente L a la curva y m f(x) en el punto (x1, f(x1)) y miramos la intersección de L con el eje x, etiquetado con x2. La idea del método de Newton es que la recta tangente es cercana a la curva y su inter- sección en x, x2, cercana a la intersección de la curva con x (es decir, la raíz r que estamos buscando). Dado que la tangente es una recta, podemos encontrar fácilmente su intersección con el eje x. Para encontrar una fórmula para x2 en términos de x1, recurrimos al hecho de que la pendiente de L es f(x1); así que su ecuación es y f(x1) m f(x1)(x x1) Dado que la intersección de L con el eje x es x2, hacemos y m 0, y obtenemos 0 f(x1) m f(x1)(x2 x1) Si f(x1) 0, podemos resolver esta ecuación para x2: x2 x1 f x1 f x1 Utilizamos x2 como una segunda aproximación a r. Enseguida repetimos este procedimiento con x1 remplazándola por la segunda aproxi- mación x2, utilizando la recta tangente en (x2, f(x2)). Esto da una tercera aproximación: x3 x2 f x2 f x2 Si mantenemos este proceso, obtenemos una sucesión de aproximaciones x1, x2, x3, x4,... como se muestra en la figura 3. En general, si la n-ésima aproximación es xn y f(xn) 0, entonces la siguiente aproximación está dada por xn 1 xn f xn f xn 2 Si los números xn resultan más y más cercanos a r cuando n es muy grande, entonces decimos que la sucesión converge a r y escribimos lím n l xn r R Aunque la sucesión de aproximaciones converge a la raíz deseada para funciones del tipo ilustrado en la figura 3, en ciertas circunstancias la sucesión puede no converger. FIGURA 2 y 0 x {x¡, f(x¡)} x™ x¡ L r y=ƒ y 0 x x™ x¡ x£ x¢ r FIGURA 3 {x™, f(x™)} {x¡, f(x¡)} Intente resolver la ecuación 1 utilizando el bus- cador numérico de raíces en su equipo de graficación o calculadora. Algunos equipos no son capaces de solucionarlo. Otros lo logran, pero requieren que especifique un punto de partida para la búsqueda. El tema de sucesiones fue brevemente presentado en A preview of Calculus en la página 5. Una dis- cusión en mayor detalle inicia en la sección 11.1.
- 696. 340 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Por ejemplo, considere la situación que se muestra en la figura 4. Puede ver que x2 es una peor aproximación que x1. Esto suele ser el caso cuando f(x1) está cerca de 0. Incluso puede ocurrir que una aproximación (como x3 en la figura 4) caiga fuera del dominio de f. Entonces, el método de Newton falla y debe elegirse una mejor aproximación inicial x1. Véase los ejercicios 31-34 para ejemplos concretos en que el método de Newton funciona muy lentamente o no funciona en absoluto. v EJEMPLO 1 Empiece con x1 m 2 para encontrar la tercera aproximación x3 a la raíz de la ecuación x3 2x 5 m 0. SOLUCIÓN Aplicamos el método de Newton con f(x1) m x3 2x 5 y f(x) m 3x2 2 Newton mismo utilizó esta ecuación para ilustrar su método y eligió x1 m 2 después de algunas experimentaciones porque f(1) m 6, f(2) m 1 y f(3) m 16. La ecuación 2 resulta xn 1 xn xn 3 2xn 5 3xn 2 2 Con n m 1 tenemos 2 23 2 2 5 3 2 2 2 2.1 x2 x1 x1 3 2x1 5 3x1 2 2 Entonces, con n m 2 obtenemos 2.1 2.1 3 2 2.1 5 3 2.1 2 2 2.0946 x3 x2 x2 3 2x2 5 3x2 2 2 Resulta que esta tercera aproximación x3 2.0946 es precisa a cuatro decimales. Supongamos que queremos lograr una precisión dada, digamos con ocho decimales, usando el método de Newton. ¿Cómo sabemos cuándo parar? La regla que generalmente se utiliza es que podemos detener cuando aproximaciones sucesivas xn y xn1 se ajustan a ocho decimales. (Se dará una declaración precisa sobre la exactitud en el método de Newton en el ejercicio 39 en la sección 11.11.) Observe que el procedimiento que va de n a n 1 es el mismo para todos los valo- res de n (se llama proceso iterativo). Esto significa que el método de Newton es espe- cialmente conveniente para el uso con una calculadora programable o un equipo de computación. v EJEMPLO 2 Utilice el método de Newton para encontrar s 6 2 con una aproximación de ocho decimales. SOLUCIÓN Primero observamos que encontrar s 6 2 es equivalente a encontrar la raíz positiva de la ecuación x6 2 m 0 por lo que tomamos f(x) m x6 2. Luego f(x) m 6x5 y la fórmula 2 (método de Newton) se convierte en xn 1 xn xn 6 2 6xn 5 x y 0 r x™ x£ x¡ FIGURA 4 FIGURA 5 1 1.8 2.2 _2 y=10x-21 x™ y=˛-2x-5 TEC En Module 4.8 usted puede investigar cómo funciona el método de Newton para varias funciones y qué pasa cuando se cambia x1. La figura 5 muestra la geometría detrás del primer paso en el método de Newton en el ejemplo 1. Ya que f(2) m 10, la recta tangente a y m x3 2x 5 en (2, 1) tiene la ecuación y m 10x 21 así que su intersección con el eje x es x2 m 2.1.
- 697. SECCIÓN 4.8 EL MÉTODO DE NEWTON 341 Si elegimos x1 m 1 como una aproximación inicial, obtenemos x6 1.12246205 x5 1.12246205 x4 1.12249707 x3 1.12644368 x2 1.16666667 Puesto que x5 y x6 coinciden en ocho decimales, concluimos que 6 2 1.12246205 a ocho lugares decimales. v EJEMPLO 3 Encuentre, con una aproximación a seis lugares decimales, la raíz de la ecuación cos x m x. SOLUCIÓN Primero rescribimos la ecuación en su forma estándar: cos x x m 0 Hacemos f(x) m cos x x. Entonces f(x) m sen x 1, así que la fórmula 2 resulta xn 1 xn cos xn xn sen xn 1 xn cos xn xn sen xn 1 A fin de proponer un valor adecuado para x1 esbozamos las gráficas de y m cos x e y m x en la figura 6. Parece que se intersecan en un punto cuya coordenada x es algo menor que 1, así que vamos a tomar x1 m 1 como una conveniente primera aproximación. Entonces, recordando poner en nuestra calculadora en modo radianes, obtenemos x5 0.73908513 x4 0.73908513 x3 0.73911289 x2 0.75036387 Como x4 y x5 concuerdan con seis decimales (ocho, de hecho), concluimos que la raíz de la ecuación, correcta a seis cifras decimales, es 0.739085. En lugar de utilizar el esbozo de la figura 6 para obtener una aproximación inicial para el método de Newton en el ejemplo 3, podríamos haber utilizado la gráfica más precisa que proporciona una calculadora o una computadora. La figura 7 sugiere que utilicemos x1 m 0.75 como la aproximación inicial. Entonces el método de Newton da x4 0.73908513 x3 0.73908513 x2 0.73911114 y así obtenemos la misma respuesta que antes, pero con un paso menos. Cabría preguntarse por qué nos molestamos por completo con el método de Newton si está disponible un dispositivo de gráficos. ¿No es más fácil acercarnos en repetidas oca- siones y buscar las raíces, como hicimos en la sección 1.4? Si sólo se requiere uno o dos decimales de aproximación, entonces el método de Newton es inadecuado, y un dispositi- vo de gráficos es suficiente. Pero si se requiere seis u ocho decimales, entonces hacer acercamientos en repetidas ocasiones se hace tedioso. En general, es normalmente más rápido y más eficaz utilizar un equipo de cómputo y el método de Newton juntos: el dis- positivo de gráficos para empezar y el método de Newton para terminar. FIGURA 6 cos FIGURA 7 1 0 1 y=x y=cos x
- 698. 342 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. La figura muestra la gráfica de una función f. Supongamos que se utiliza el método de Newton para aproximar la raíz r de la ecuación f(x) m 0 con aproximación inicial x1 m 1. a) Dibuje las rectas tangentes que se utilizan para encontrar x2 y x3 y estime los valores numéricos de x2 y x3. b) ¿Sería x1 m 5 una mejor primera aproximación? Explique. x y 0 r 1 1 s 2. Siga las instrucciones para el ejercicio 1a), pero utilice x1 m 9 como la aproximación inicial para encontrar la raíz s. 3. Suponga que la recta tangente a la curva y m f(x) en el punto (2, 5) tiene la ecuación y m 9 2x. Si se utiliza el método de Newton para localizar una raíz de la ecuación f(x) m 0 y la aproximación inicial es x1 m 2, encuentre la segunda aproximación x2. 4. Para cada aproximación inicial, determine gráficamente lo que ocurre si se utiliza el método de Newton para la función cuya gráfica se muestra. x1 5 x1 4 x1 3 x1 1 x a) d) e) b) 1 0 3 y 0 5 1 x 5. ¿Para cuál de las aproximaciones iniciales x1 m a, b, c y d cree usted que el método de Newton funcionará y conducirá a la raíz de la ecuación f(x) m 0? 0 b c d a x 6-8 Utilice el método de Newton con la aproximación inicial especificada x1 para encontrar x3, la tercera aproximación a la raíz de la ecuación dada. (Dé su respuesta con cuatro decimales.) 6. , 1 3 x3 1 2 x2 3 0 x1 3 7. , 8. , x1 1 x7 4 0 x1 1 x5 x 1 0 9. Utilice el método de Newton con aproximación inicial de x1 m 1 para encontrar x2, la segunda aproximación a la raíz de la ecuación x3 x 3 m 0. Explique cómo funciona el método graficando primero la función y su recta tangente en (1, 1). 10. Utilice el método de Newton con aproximación inicial x1 m 1 para encontrar x2, la segunda aproximación a la raíz de la ecuación x4 x 1 m 0. Explique cómo funciona el método graficando primero la función y su recta tangente en (1, 1). 11-12 Utilice el método de Newton para aproximar el número dado, correcto a ocho decimales. . 2 1 . 1 1 100 100 5 20 13-16 Utilice el método de Newton para aproximar la raíz indicada de la ecuación, con una aproximación a seis decimales. 13. La raíz de x4 2x3 5x2 6 m 0 en el intervalo F1, 2G 14. La raíz de 2.2x5 4.4x3 1.3x2 0.9x 4.0 m 0 en el intervalo F2, 1G 15. La raíz negativa de ex m 4 x2 16. La raíz positiva de 3 sen x m x 17-22 Utilice el método de Newton para encontrar todas las raíces de la ecuación con una aproximación a seis decimales. 17. 18. . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 sen x x2 2 x3 tan 1 x 1 x 1 x3 x 2 2 ln x sx 1 x2 x 3 cos x x 1 23-28 Utilice el método de Newton para encontrar todas las raíces de la ecuación, correcta a ocho decimales. Comience por dibujar una gráfica para encontrar aproximaciones iniciales. 23. 24. . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 earctan x sx3 1 4e x2 sen x x2 x 1 cos x2 x x4 x x2 1 s1 x x5 3x4 x3 x2 x 6 0 x6 x5 6x4 x2 x 10 0 29. a) Aplique el método de Newton a la ecuación x2 a m 0 para obtener el siguiente algoritmo para la raíz cuadrada, utilizado por los antiguos babilonios para calcular a: xn 1 1 2 xn a xn 4.8 Ejercicios Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 699. SECCIÓN 4.8 EL MÉTODO DE NEWTON 343 b) utilice el inciso a) para calcular 1000 correcta con seis decimales. 30. a) Aplique el método de Newton a la ecuación 1Yx a m 0 para obtener el siguiente algoritmo recíproco: xn 1 2xn axn 2 (este algoritmo permite que una computadora encuentre recíprocos sin dividir realmente). b) Utilice el inciso a) para calcular 1Y1.6984 correcto a seis cifras decimales. 31. Explique por qué no funciona el método de Newton para encontrar la raíz de la ecuación x3 3x 6 m 0 si la aproximación inicial es elegida como x1 m 1. 32. a) Utilice el método de Newton con x1 m 1 para encontrar la raíz de la ecuación x3 x m 1 correcta a seis decimales. b) Resuelva la ecuación en el inciso a) utilizando x1 m 0.6 como la aproximación inicial. c) Resuelva la ecuación en el inciso a) utilizando x1 m 0.57. (Definitivamente, usted necesita una calculadora programable para esta parte.) d) Grafique f(x) m x3 x 1 y sus rectas tangentes en x1 m 1, 0.6 y 0.57 para explicar por qué el método de Newton es tan sensible al valor de la aproximación inicial. 33. Explique por qué el método de Newton falla cuando se aplica a la ecuación 3 x 0 con cualquier aproximación inicial x1 0. Ilustre su explicación con una gráfica. 34. Si f x sx x si x 0 si x 0 entonces la raíz de la ecuación f(x) m 0 es x m 0. Explique por qué el método de Newton no puede encontrar la raíz sin importar qué aproximación inicial x1 0 se utilice. Ilustre su explicación con un dibujo. 35. a) Utilice el método de Newton para encontrar los números críticos de la función f(x) m x6 x4 3x3 2x correctos a seis lugares decimales. b) Encuentre el valor mínimo absoluto de f correcto a cuatro decimales. 36. Utilice el método de Newton para encontrar el valor máximo absoluto de la función f(x) m x cos x, 0 x ), correcto a seis decimales. 37. Utilice el método de Newton para encontrar las coordenadas del punto de inflexión de la curva y m x2 sen x, 0 x ), correcto a seis decimales. 38. De las infinitas rectas que son tangentes a la curva y m sen x y pasan por el origen, hay una que tiene la mayor pendiente. Utilice el método de Newton para encontrar la pendiente de la recta, correcta a seis decimales. 39. Utilice el método de Newton para encontrar las coordenadas correctas a seis decimales, del punto sobre la parábola y m (x 1)2 que está más cerca del origen. 40. En la figura, la longitud de la cuerda AB es de 4 cm y la longitud del arco AB es 5 cm. Encuentre el ángulo central ., en radianes, a cuatro decimales. Luego, dé la respuesta al grado más próximo. FP FP ¨ B A 41. Un concesionario de coches vende un automóvil nuevo en $18000. También ofrece vender el mismo auto por pagos de $375 al mes durante cinco años. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando este distribuidor? Para resolver este problema, tendrá usted que utilizar la fórmula para el valor presente A de una anualidad formada por pagos iguales de magnitud R con una tasa de interés i por periodo A R i 1 1 i n Sustituyendo i por x, demuestre que 48x(1 x)60 (1 x)60 1 m 0 Utilice el método de Newton para resolver esta ecuación. 42. La figura muestra el Sol situado en el origen y la Tierra en el punto (1, 0). (Aquí, la unidad es la distancia entre los centros de la Tierra y el Sol, llamada unidad astronómica: 1 AU 1.496 108 km.) Hay cinco ubicaciones L1, L2, L3, L4 y L5 en este plano de rotación de la Tierra alrededor del Sol, donde un satélite permanece inmóvil respecto a la Tierra porque las fuerzas que actúan sobre el satélite (incluyendo las atracciones gravitacionales de la Tierra y el Sol) se equilibran entre sí. Estas ubicaciones se denominan puntos de libración. (Un satélite de investigación solar se ha colocado en uno de estos puntos de libración.) Si m1 es la masa del Sol, m2 es la masa de la Tierra y r m m2Y(m1 m2), resulta que la coordenada x de L1 es la única raíz de la ecuación de quinto grado 2 1 r x r 1 0 p x x5 2 r x4 1 2r x3 1 r x2 y la coordenada x de L2 es la raíz de la ecuación p(x) 2rx2 m 0 Utilizando el valor r 3.04042 106 , encuentre las ubicaciones de los puntos de libración a) L1 y b) L2. Sol Tierra
- 700. 344 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es encontrar una función F cuya derivada es la función conocida f. Si tal función F existe, se llama antiderivada de f. x y 0 y= ˛ 3 y= -2 ˛ 3 y= -1 ˛ 3 y= +1 ˛ 3 y= +2 ˛ 3 y= +3 ˛ 3 FIGURA 1 Miembros de la familia de antiderivadas de ƒ=≈ 4.9 Antiderivadas Definición Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo I si F(x) m f(x) para toda x en I. Por ejemplo, sea f(x) m x2 . No es difícil descubrir una antiderivada de f si utiliza la regla de la potencia. En efecto, si F x 1 3 x3 , entonces F(x) m x2 m f(x). Pero la función G x 1 3 x3 100 también satisface G(x) m x2 . Por tanto, F y G son antiderivadas de f. De hecho, cualquier función de la forma H x 1 3 x3 C, donde C es una constante, es una antiderivada de f. Surge la pregunta: ¿hay otras? Para contestar la pregunta, recordemos que en la sección 4.2 utilizamos el teorema del valor medio para demostrar que si dos funciones tienen derivadas idénticas sobre un intervalo, entonces éstas deben diferir en una constante (corolario 4.2.7). Por tanto, si F y G son dos antiderivadas cualesquiera de f, entonces F(x) m f(x) m G(x), así que G(x) F(x) m C, donde C es una constante. Esto lo podemos escribir como G(x) m F(x) C, de modo que se tiene el siguiente resultado. 1 Teorema Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f sobre I es F(x) C donde C es una constante arbitraria. De nuevo, para la función f (x) m x2 , vemos que la antiderivada general de f es 1 3 x3 C. Al asignar valores específicos a la constante C, obtenemos una familia de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra (véase la figura 1). Esto tiene sentido porque cada curva debe tener la misma pendiente en cualquier valor conocido de x. EJEMPLO 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones siguientes. a) b) c) n 1 f x x , n f x 1 x f x sen x SOLUCIÓN a) Si F(x) m cos x, entonces F(x) m sen x, de manera que una antiderivada de sen x es cos x. Por el teorema 1, la antiderivada mas general es G(x) m cos x C. b) Con base en lo que se vio en la sección 3.6, recuerde que d dx ln x 1 x Por consiguiente, en el intervalo (0, @) la antiderivada general de 1Yx es ln x C. También aprendimos que d dx ln x 1 x
- 701. SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS 345 para todo x 0. Entonces, el teorema 1 afirma que la antiderivada general de f (x) m 1Yx es ln U x U C sobre cualquier intervalo que no contenga x m 0. En particular, esto es verdadero sobre cada uno de los intervalos (@, 0) y (0, @). Por consiguiente, la antiderivada general de f es F x ln x C1 ln x C2 si x 0 si x 0 c) Utilice la regla de la potencia para descubrir una antiderivada de xn . De hecho, si n 1, entonces d dx xn 1 n 1 n 1 xn n 1 xn Así, la antiderivada general de f(x) m xn es F x xn 1 n 1 C Esto es válido para n 0, ya que f(x) m xn está definida sobre el intervalo. Si n es negativo (pero n 1), sólo es válida sobre cualquier intervalo que no contenga a x m 0. Como en el ejemplo 1, toda fórmula de derivación leída de derecha a izquierda da lugar a una fórmula de antiderivación. En la tabla 2 se enlistan algunas antiderivadas. Cada fórmula de la tabla es verdadera, puesto que la derivada de la función de la columna de la derecha aparece en la columna izquierda. En particular, en la primera fórmula se afirma que la antiderivada de una constante multiplicada por una función es una constante multi- plicada por la antiderivada de la función. En la segunda fórmula se afirma que la antideri- vada de una suma es la suma de las antiderivadas. (Se usa la notación F m f, G m J.) Antiderivada particular Antiderivada particular Función Función cos x sen x sen x cos x F x G x ex ex ln x 1 x xn n 1 f x t x cF x cf x xn 1 n 1 tan x sec x tan x sec x cosh x senh x senh x cosh x tan 1 x 1 1 x2 sen1 x 1 s1 x2 sec2 x EJEMPLO 2 Encuentre todas las funciones J tales que t x 4 sen x 2x5 sx x SOLUCIÓN Primero, escriba de nuevo la función dada en la forma siguiente: t x 4 sen x 2x5 x sx x 4 sen x 2x4 1 sx De esta manera, deseamos hallar una antiderivada de t x 4 sen x 2x4 x 1 2 2 Tabla de fórmulas de antiderivación Para obtener la antiderivada más general, a partir de las particulares de la tabla 2, tenemos que sumar una constante (o constantes), como en el ejemplo 1.
- 702. 346 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Utilizando las fórmulas de la tabla 2 con el teorema 1, obtenemos 4 cos x 2 5 x5 2 x C t x 4 cos x 2 x5 5 x1 2 1 2 C En las aplicaciones del cálculo es muy común tener una situación como la del ejemplo 2, donde se requiere hallar una función, dado el conocimiento acerca de sus derivadas. Una ecuación que involucra las derivadas de una función se llama ecuación diferencial. Estas ecuaciones se estudian en cierto detalle en el capítulo 9; pero, por el momento, es posible resolver algunas ecuaciones diferenciales elementales. La solución general de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria (o varias constantes arbitrarias), como en el ejemplo 2. Sin embargo, puede haber algunas condiciones adicionales que determinen las constantes y, por tanto, especifican de manera única la solución. EJEMPLO 3 Encuentre f si f(x) m ex 20(1 x2 )1 y f(0) m 2. SOLUCIÓN La antiderivada general de es f x ex 20 tan 1 x C f x ex 20 1 x2 Para determinar C, utilizamos el hecho de que f(0) m 2: f(0) m e0 20 tan1 0 C m 2 En estos términos, tenemos C m 2 1 m 3, de modo que la solución particular es f(x) m ex 20 tan1 x 3 v EJEMPLO 4 Encuentre f si f(x) m 12x2 6x 4, f(0) m 4 y f(1) m 1. SOLUCIÓN La antiderivada general de f(x) m 12x2 6x 4 es f x 12 x3 3 6 x2 2 4x C 4x3 3x2 4x C Si usamos una vez más las reglas de antiderivación, encontramos que f x 4 x4 4 3 x3 3 4 x2 2 Cx D x4 x3 2x2 Cx D Para determinar C y D, utilizamos las condiciones dadas: f(0) m 4 y f(1) m 1. Ya que f(0) m 0 D m 4, entonces D m 4. Puesto que f(1) m 1 1 2 C 4 m 1 tenemos que C m 3. Por tanto, la función requerida es f(x) m x4 x3 2x2 3x 4 Si conocemos la gráfica de una función f, razonablemente debemos ser capaces de dibujar la gráfica de una antiderivada F. Por ejemplo, suponga que sabe que F(0) m 1. Entonces, hay un punto de donde partir, el punto (0, 1), y la dirección en la cual tiene que desplazar su lápiz la proporciona, en cada etapa, la derivada F(x) m f(x). En el ejemplo siguiente aplicamos los principios de este capítulo para mostrar cómo graficar F aun cuando no tenemos una fórmula para f. Este sería el caso, por ejemplo, cuando f(x) está determi- nado por datos experimentales. 40 _2 3 f fª _25 FIGURA 2 En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 3 y de su antiderivada f. Note que f(x) 0, de manera que f siempre es creciente. Observe también que, cuando f tiene un máximo o un mínimo, f parece que tiene un punto de inflexión. De modo que la gráfica sirve como una comprobación de nuestro cálculo.
- 703. SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS 347 v EJEMPLO 5 La gráfica de una función f se muestra en la figura 3. Trace un esbozo de una antiderivada F, dado que F(0) m 2. SOLUCIÓN Nos guía el hecho de que la pendiente de y m F(x) es f(x). Partimos del punto (0, 2) y dibujamos F como una función inicialmente decreciente, ya que f(x) es negativa cuando 0
- 704. x
- 705. 1. Observe que f(1) m f(3) m 0, de modo que F tiene rectas tangentes horizontales cuando x m 1 y x m 3. En el caso de 1
- 706. x
- 707. 3, f(x) es positiva, y de este modo F es creciente. Observe que F tiene un mínimo local cuando x m 1 y un máximo local cuando x m 3. Para x 3, f(x) es negativa y F es decreciente en (3, @). Ya que f(x) l 0 conforme x l @, la gráfica de F se vuelve más plana a medida que x l @. Note también que F(x) m f(x) cambia de positiva a negativa en x m 2, y de negativa a positiva en x m 4; así F tiene puntos de inflexión cuando x m 2 y x m 4. Utilizamos esta información para trazar la gráfica de la antiderivada en la figura 4. Movimiento rectilíneo La antiderivación es en particular útil al analizar el movimiento de un objeto que se mueve en línea recta. Recuerde que si el objeto tiene la función posición s m f(t), entonces la función velocidad es v(t) m s(t). Esto significa que la función posición es una antiderivada de la función velocidad. Del mismo modo, la función aceleración es a(t) m v(t), de manera que la función velocidad es una antiderivada de la aceleración. Si se conocen la acele- ración y los valores iniciales s(0) y v(0), entonces puede hallarse la función posición aplican- do dos veces la antiderivada. v EJEMPLO 6 Una partícula se mueve en línea recta y con una aceleración dada por a(t) m 6t 4. Su velocidad inicial es v(0) m 6 cmYs y su desplazamiento inicial es s(0) m 9 cm. Encuentre su función posición s(t). SOLUCIÓN Dado que v(t) m a(t) m 6t 4, la antiderivada da v t 6 t2 2 4t C 3t2 4t C Observe que v(0) m C. Pero v(0) m 6, así que C m 6 y v(t) m 3t2 4t 6 Puesto que v(t) m s(t), s es la antiderivada de v: s t 3 t3 3 4 t2 2 6t D t3 2t2 6t D Esto da s(0) m D. Dado que s(0) m 9, tenemos que D m 9, y la función posición requeri- da es s(t) m t3 t2 6t 9 Un objeto cerca de la superficie de la Tierra está sujeto a una fuerza gravitacional que produce una aceleración hacia abajo denotada por J. Para un movimiento cercano a la Tierra, suponemos que J es constante y su valor es de unos 9.8 mYs2 (o 32 piesYs2 ). EJEMPLO 7 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez de 48 piesYs desde el borde de un acantilado a 432 pies por encima del nivel del suelo. Encuentre su altura sobre el nivel del suelo t segundos más tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca contra el suelo? SOLUCIÓN El movimiento es vertical y se elige la dirección positiva como la correspondiente hacia arriba. En un instante t, la distancia arriba del nivel del suelo s(t) y la velocidad 1 2 3 0 4 x y y=ƒ FIGURA 3 FIGURA 4 x y 1 2 0 y=F(x) 1
- 708. 348 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA v(t) es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe ser negativa y a t dv dt 32 Tomando antiderivadas, tenemos v(t) m 32t C Para determinar C, usamos la información dada v(0) m 48. Esto da 48 m 0 C, de manera que v(t) m 32t 48 La altura máxima se alcanza cuando v(t) m 0; es decir, después de 1.5 s. Como s(t) m v(t), la nueva antiderivada da s(t) m 16t2 48t D Utilizamos el hecho de que s(0) m 432, tenemos 432 m 0 D; por consiguiente, s(t) m 16t2 48t 432 La expresión para s(t) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando s(t) m 0; o sea, cuando 16t2 48t 432 m 0 o, equivalentemente, t2 3t 27 m 0 Con la fórmula cuadrática, resolvemos esta ecuación para obtener t 3 3s13 2 No consideramos la solución con el signo menos, ya que da un valor negativo para t. En consecuencia, la pelota choca contra el nivel del suelo después de 3(1 13 ) 2 6.9 s. 500 0 8 FIGURA 5 4.9 Ejercicios 1-22 Encuentre la antiderivada más general de la función. (Compruebe su respuesta mediante la derivación.) . 2 . 1 . 4 . 3 . 6 . 5 . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 15. 16. . 8 1 . 7 1 f t sen t 2 senh t h 2 sen u sec2 u r u sec tan 2e t t 1 t t2 st f t 3t4 t3 6t2 t4 f x 1 5 2 x f x s 3 x2 xsx f x 3sx 2s 3 x f x e2 f x s2 f x x3.4 2xs2 1 f x 7x2 5 8x 4 5 f x x 2 x 2 f x x 1 2x 1 f x 8x9 3x6 12x3 f x 1 2 3 4 x2 4 5 x3 f x 1 2 x2 2x 6 f x x 3 u u u u . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 f x 2 x2 1 x2 f x x5 x3 2x x4 f x 2sx 6 cos x f x 5ex 3 cosh x 23-24 Encuentre la antiderivada F de f que satisfaga la condición dada. Compruebe su respuesta comparando las gráficas de f y F. 23. 24. f x 4 3 1 x2 1 , F 1 0 f x 5x4 2x5 , F 0 4 25-48 Halle f. 25. 26. . 8 2 . 7 2 f x 6x sen x f x 2 3 x2 3 f x x6 4x4 x 1 f x 20x3 12x2 6x En la figura 5 se muestra la función posición de la pelota del ejemplo 7. La gráfica corrobora la conclusión obtenida: la pelota alcanza su altura máxima después de 1.5 s y choca contra el suelo después de 6.9 s. Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 709. SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS 349 . 0 3 . 9 2 31. , 32. , 33. , 34. , , 35. , , 36. , , 37. , , 38. 39. 40. 41. 42. , , 43. , , 44. 45. , , 46. 47. , , , 48. , , , f 0 3 f 0 2 f 0 1 f x cos x f 2 0 f 1 0 x 0 f x x 2 f 0 f 0 0, f t 2et 3 sen t, f 2 0 f 0 1 f x 2 cos x f 2 2.6 f 0 1, f x x3 senh x, f 1 10 f 0 3 f x 4 6x 24x2 f 4 7 f 4 20 f t 3 st f 0 4 f 0 3, f sen u cos u, f x 8x3 5, f 1 0, f 1 8 f x 2 12x 12x2 , f 0 4, f 0 12 f x 4 s1 x2 , f (1 2 ) 1 f 1 1 f 1 1 f x x 1 3 f 1 0 f 1 1 2 f x x2 1 x f 3 4 2 t 2 f t 2 cos t sec2 t f 1 6 t 0 f t t 1 t3 f 1 0 f t 4 1 t2 f 1 2 f x 5x4 3x2 4 f 4 25 f x 1 3sx f t et t 4 f t cos t u p p p p p 49. Dado que la gráfica de f pasa por el punto (1, 6) y que la pendiente de su recta tangente en (x, f (x)) es 2x 1, encuentre f (2). 50. Encuentre una función f tal que f(x) m x3 y la recta x y m 0 sea tangente a la grafica de f. 51-52 Se proporciona la gráfica de una función f. ¿Qué gráfica es una antiderivada de f y por qué? 51. 52. y x f b c a x y f b c a 53. Se muestra la gráfica de una función en la figura. Trace un esbozo de una antiderivada F, dado que F(0) m 1. y=ƒ 0 x 1 54. En la figura se muestra la gráfica de la función velocidad de una partícula. Trace la gráfica de una función posición. √ 0 t 55. En la figura se muestra la gráfica de f. Dibuje la gráfica de f si ésta es continua y f(0) m 1. _1 x y 0 1 2 1 2 y=fª(x) 56. a) Utilice un dispositivo de graficación para dibujar f x 2x 3 x. b) A partir de la gráfica del inciso a), dibuje una gráfica aproximada de la antiderivada F que satisfaga F(0) m 1. c) Aplique las reglas de esta sección a fin de hallar una expresión para F(x). d) Dibuje F usando la expresión del inciso c). Compare con su esbozo del inciso b). 57-58 Dibuje una gráfica de f y utilícela para esbozar la antiderivada que pasa por el origen 57. , 58. , f x sx4 2x2 2 2 3 x 3 f x sen x 1 x2 2 x 2 p p 59-64 Una partícula se mueve de acuerdo con la información dada. Determine la posición de la partícula. 59. 60. 61. , , 62. 63. 64. , , a t t2 4t 6 s 0 0 s 1 20 a t 10 sen t 3 cos t, s 0 0, s 2 12 a t 3 cos t 2 sen t, s 0 0, v 0 4 a t 2t 1 s 0 3 v 0 2 v t 1.5st , s 4 10 v t sen t cos t, s 0 0 p 65. Una piedra se deja caer desde la plataforma superior de observación (la plataforma espacial) de la Torre CN, 450 m por encima del nivel del suelo. a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel del suelo en el instante t. b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel del suelo? c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel del suelo? d) Si la piedra se lanza hacia arriba a una rapidez de 5 mYs, ¿cuánto tarda en llegar al nivel del suelo?
- 710. 350 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 66. Demuestre que para el movimiento en línea recta con aceleración constante a, velocidad inicial v0 y desplazamiento inicial s0, el desplazamiento después del tiempo t es s 1 2 at2 v0 t s0 67. Se lanza un objeto hacia arriba con velocidad inicial v0 metros por segundo, desde un punto a s0 metros por encima del nivel del suelo. Demuestre que v t 2 v0 2 19.6 s t s0 68. Se lanzan dos pelotas hacia arriba desde el borde del acantilado del ejemplo 7. La primera se lanza con una rapidez de 48 piesYs y la otra se arroja 1 s más tarde con una rapidez de 24 piesYs. ¿En algún momento rebasa una a la otra? 69. Se deja caer una piedra desde un desfiladero y choca contra el suelo con una rapidez de 120 piesYs. ¿Cuál es la altura del desfiladero? 70. Si un clavadista con masa m está en el borde de una plataforma de clavados con longitud L y densidad lineal +, entonces la plataforma adopta la forma de una curva y m f(x), donde EIy mt L x 1 2 t L x 2 r E e I son constantes positivas que dependen del material con que está hecha la plataforma y J (
- 711. 0) es la aceleración debida a la gravedad. a) Halle una expresión para la forma de la curva. b) Use f(L) para estimar la distancia debajo de la horizontal al borde de la plataforma. y x 0 71. Una compañía estima que el costo marginal (en dólares por artículo) de producir x artículos es de 1.92 0.002x. Si el costo de producción de un artículo es de $562, encuentre el costo de producir 100 artículos. 72. La densidad lineal de una varilla con una longitud de 1 m se expresa por medio de x 1 sx r en gramos por centímetro, donde x se mide en centímetros desde uno de los extremos de la varilla. Encuentre la masa de esta última. 73. Dado que las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su área superficial aumenta y, por tanto, se incrementa la resistencia a su caída. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial hacia abajo de 10 mYs, y su aceleración hacia abajo es a 9 0.9t 0 si 0 t 10 si t 10 Si al inicio la gota de lluvia está a 500 m arriba de la superficie de la tierra, ¿cuánto tarda en caer? 74. Un vehículo se desplaza a 50 miYh cuando aplica los frenos, lo que produce una desaceleración constante de 22 piesYs2 . ¿Cuál es la distancia que recorre el automóvil antes de detenerse? 75. ¿Qué aceleración constante se requiere para incrementar la rapidez de un vehículo desde 30 miYh hasta 50 miYh en 5 s? 76. Un automóvil frenó con una desaceleración constante de 16 piesYs2 , lo que genera antes de detenerse unas marcas de deslizamiento que miden 200 pies. ¿Qué tan rápido se desplazaba el vehículo cuando se aplicaron los frenos? 77. Un automóvil se desplaza a 100 kmYh cuando el conductor ve un accidente 80 m más adelante y aplica los frenos apresuradamente. ¿Qué desaceleración constante se requiere para detener el vehículo a tiempo de evitar chocar con los vehículos accidentados? 78. Un modelo de cohete se dispara verticalmente hacia arriba a partir del reposo. Su aceleración durante los primeros tres segundos es a(t) m 60t, momento en que se agota el combustible y se convierte en un cuerpo en “caída libre”. Después de 14 s, se abre el paracaídas del cohete y la velocidad (hacia abajo) disminuye linealmente hasta 18 piesYs en 5 s. Entonces el cohete “flota” hasta el piso a esa velocidad. a) Determine la función posición s y la función velocidad v (para todos los tiempos t). Dibuje s y v. b) ¿En qué momento el cohete alcanza su altura máxima y cuál es esa altura? c) ¿En qué momento aterriza? 79. Un tren “bala” de alta velocidad acelera y desacelera a una razón de 4 piesYs2 . Su rapidez de crucero máxima es de 90 miYh. a) ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer el tren si se acelera desde el reposo hasta que alcanza su rapidez de crucero y, a continuación, corre a esa rapidez durante 15 minutos? b) Suponga que el tren parte del reposo y debe detenerse por completo en 15 minutos. ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer en estas condiciones? c) Encuentre el tiempo mínimo que tarda el tren en viajar entre dos estaciones consecutivas que se encuentran a 45 millas de distancia. d) El viaje de una estación a la siguiente dura 37.5 minutos. ¿Cuál es la distancia entre las estaciones?
- 712. CAPÍTULO 4 REPASO 351 4 Repaso Verificación de conceptos 1. Explique la diferencia entre máximo absoluto y máximo local. Ilustre por medio de un dibujo. 2. a) ¿Qué dice el teorema del valor extremo? b) Explique cómo funciona el método del intervalo cerrado. 3. a) Enuncie el teorema de Fermat. b) Defina un número crítico de f. 4. a) Enuncie el teorema de Rolle. b) Enuncie el teorema del valor medio y dé una interpretación geométrica. 5. a) Enuncie la prueba de crecienteYdecreciente. b) ¿Qué significa decir que f es cóncava hacia arriba sobre un intervalo I? c) Enuncie la prueba de la concavidad. d) ¿Qué son los puntos de inflexión? ¿Cómo puede hallarlos? 6. a) Enuncie la prueba de la primera derivada. b) Enuncie la prueba de la segunda derivada. c) ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas relativas de estas pruebas? 7. a) ¿Qué afirma la regla de l’Hospital? b) ¿Cómo puede usar la Regla de l’Hospital si tiene un producto f(x)J(x) donde f(x) l 0 y J(x) l @ conforme x l a? c) ¿Cómo puede usar la regla de l’Hospital si tiene una diferencia f(x) J(x) donde f(x) l @ y J(x) l @ a medida que x l a? d) ¿Cómo puede usar la regla de l’Hospital si tiene una potencia [f(x)]J(x) donde f(x) l 0 y J(x) l 0 conforme x l a? 8. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, ¿por qué necesita el cálculo para dibujar una función? 9. a) Dada una aproximación inicial x1 para una raíz de la ecuación f(x) m 0, explique geométricamente, mediante un dibujo, ¿cómo se obtiene la segunda aproximación x2 en el método de Newton? b) Escriba una expresión para x2 en términos de x1, f(x1) y f(x1). c) Escriba una expresión para xn1 en términos de xn, f(xn) y f(xn). d) ¿Bajo qué circunstancias es probable que el método de Newton falle o funcione muy lentamente? 10. a) ¿Qué es una antiderivada de una función f ? b) Suponga que F1 y F2 son antiderivadas de f sobre un intervalo I. ¿Cómo se relacionan F1 y F2? Examen rápido Verdadero-Falso Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. Si f(c) m 0, entonces f tiene un máximo o un mínimo locales en c. 2. Si f tiene un valor mínimo absoluto en c, entonces f(c) m 0. 3. Si f es continua sobre (a, b), entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y k en (a, b). 4. Si f es derivable y f(1) m f(1), entonces existe un número c tal que U c U
- 713. 1 y f(c) m 0. 5. Si f(x)
- 714. 0 para 1
- 715. x
- 716. 6, entonces f es decreciente sobre (1, 6). 6. Si f (2) m 0, entonces (2, f(2)) es un punto de inflexión de la curva y m f (x). 7. Si f(x) m J(x) para 0
- 717. x
- 718. 1, entonces f(x) m J(x) para 0
- 719. x
- 720. 1. 8. Existe una función f tal que f(1) m 2, f(3) m 0 y f(x) 1 para toda x. 9. Existe una función f tal que f(x) 0, f(x)
- 721. 0 y f (x) 0 para toda x. 10. Existe una función f tal que f(x)
- 722. 0, f(x)
- 723. 0 y f (x) 0 para toda x. 11. Si f y J son crecientes sobre un intervalo I, entonces f J es creciente sobre I. 12. Si f y J son crecientes sobre un intervalo I, entonces f J es creciente sobre I. 13. Si f y J son crecientes sobre un intervalo I, entonces fJ es creciente sobre I. 14. Si f y J son funciones crecientes positivas sobre un intervalo I, entonces fJ es creciente sobre I. 15. Si f es creciente y f(x) 0 en I, entonces J(x) m 1Yf(x) es decreciente sobre I. 16. Si f es par, entonces f es par. 17. Si f es periódica, entonces f es periódica. 18. La antiderivada más general de f(x) m x2 es F x 1 x C 19. Si f(x) existe y es diferente de cero para toda x, entonces f(1) f(0). 20. lím xl0 x ex 1
- 724. 352 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicios 1-6 Encuentre los valores extremos locales y absolutos de la función sobre el intervalo dado. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 1, 3 f x x2 e x , f x x 2 cos x p p 2, 1 f x sx2 x 1 2, 2 f x 3x 4 x2 1 1, 1 f x xs1 x 2, 4 f x x3 6x2 9x 1 7-14 Obtenga el límite. . 8 . 7 . 0 1 . 9 . 2 1 . 1 1 . 4 1 . 3 1 lím x l 2 tan x cos x lím xl 1 x x 1 1 ln x lím xl x csc x lím xl x2 x3 e2x lím xl e4x 1 4x x2 lím xl0 e4x 1 4x x2 lím xl0 tan 4x x sen 2x lím xl0 ex 1 tan x p p p 15-17 Trace la gráfica de una función que satisface las condiciones dadas. 15. , sobre y sobre y sobre y sobre y 16. , es continua y par, , si si si 17. es impar, para , para , para , para , lím xl f x 2 x 3 f x 0 0 x 3 f x 0 x 2 f x 0 0 x 2 f x 0 f x 3 f x 1 1 x 3 0 x 1, f x 1 f x 2x f f 0 0 6, 12 0, 6 f x 0 12, , , 0 f x 0 6, 9 , 2, 1 f x 0 9, , , 2 , 1, 6 f x 0 lím xl f x 0, lím xl6 f x , f 0 0, f 2 f 1 f 9 0 18. En la figura se ilustra la gráfica de la derivada f de una función f. a) ¿Sobre qué intervalos f es creciente o decreciente? b) ¿Para qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mínimo local? c) Trace la gráfica de f . d) Trace la posible gráfica de f. 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 _1 _2 y=fª(x) 19-34 Trace la curva mediante los criterios de la sección 4.5. . 0 2 . 9 1 . 2 2 . 1 2 . 4 2 . 3 2 . 6 2 . 5 2 . 8 2 . 7 2 29. , 30. . 2 3 . 1 3 . 4 3 . 3 3 y x 2 e x y x ln x2 1 y sen 1 1 x y e2x x 2 y 4x tan x, 2 x 2 y ex sen x x y xs2 x y s 3 x2 1 y x2 x 8 y s1 x s1 x y 1 x x 3 2 y 1 x2 1 x 2 2 y x4 3x3 3x2 x y x 1 x2 y 2 2x x3 y x3 6x2 15x 4 p p p p 35-38 Elabore gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de la curva. Use las gráficas de f y f para estimar los intervalos de incremento y decremento, los valores extremos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. En el ejercicio 35 aplique el cálculo para determinar estas cantidades con exactitud. . 6 3 . 5 3 37. 38. f x x2 6.5 sen x, 5 x 5 f x 3x6 5x5 x4 5x3 2x2 2 f x x2 1 x3 f x x3 x x2 x 3 39. Trace la gráfica f x e 1 x 2 en un rectángulo de vista en que aparezcan todos los aspectos principales de la función. Estime los puntos de inflexión. Enseguida, aplique el cálculo para determinarlos con exactitud. SAC 40. a) Grafique la función f(x) m 1Y(1 e1Yx ). b) Explique la forma de la gráfica calculando los límites de f(x) conforme x tiende a @, @, 0 y 0 . c) Use la gráfica de f para estimar las coordenadas de los puntos de inflexión. d) Utilice su SAC para calcular y trazar la gráfica de f . e) Con la gráfica del inciso d) estime el punto de inflexión con más exactitud. Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado
- 725. CAPÍTULO 4 REPASO 353 SAC 41-42 Utilice las gráficas de f, f y f para estimar la coordenada x de los puntos máximo y mínimo y los puntos de inflexión de f. 41. , 42. f x e 0.1x ln x2 1 x f x cos2 x sx2 x 1 p p 43. Investigue la familia de funciones de f(x) m ln (sen x C) ¿Cuáles características en común tienen los miembros de esta familia? ¿En qué difieren? ¿Para cuáles valores de C es f continua en (@, @)? ¿Para cuáles valores de C f no tiene gráfica? ¿Qué sucede conforme C l @? 44. Investigue la familia de funciones f x cxe cx 2 . ¿Qué le ocurre a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inflexión al cambiar c? Ilustre sus conclusiones dibujando varios miembros de la familia. 45. Demuestre que la ecuación 3x 2 cos x 5 m 0 tiene exactamente una raíz real. 46. Suponga que f es continua sobre F0, 4G, f (0) m 1, y 2 f(x) 5 para toda x en (0, 4). Demuestre que 9 f(4) 21. 47. Aplicando el teorema del valor medio a la función f(x) m x1Y5 sobre el intervalo F32, 33G, demuestre que 2 s 5 33 2.0125 48. ¿Para cuáles valores de las constantes a y b se tiene que (1, 3) es un punto de inflexión de la curva y m ax3 bx2 ? 49. Sea J(x) m f(x2 ), donde f es dos veces derivable para toda x, f(x) 0 para toda x 0 y f es cóncava hacia abajo sobre (@, 0), y cóncava hacia arriba sobre (0, @). a) ¿En cuáles números tiene J un valor extremo? b) Discuta la concavidad de J. 50. Halle dos números enteros positivos tales que la suma del primer número y cuatro veces el segundo sea 1000 y el producto de los números sea lo más grande posible. 51. Demuestre que la distancia más corta desde el punto (x1, y1) a la recta Ax By C m 0 es Ax1 By1 C sA2 B2 52. Encuentre el punto sobre la hipérbola xy m 8 que está más cercano al punto (3, 0). 53. Halle el área más pequeña posible de un triángulo isósceles que está circunscrito a una circunferencia de radio r. 54. Encuentre el volumen del cono circular más grande que puede inscribirse en una esfera de radio r. 55. En $ABC, D queda sobre AB, CD AB, U AD U m U BD U m 4 cm y U CD U m 5 cm. ¿Dónde se debe situar un punto P sobre CD de tal modo que la suma U PA U U PB U U PC U sea mínima? 56. Resuelva el ejercicio 55 cuando U CD U m 2 cm. 57. La velocidad de una ola de longitud L en agua profunda es v K L C C L donde K y C son constantes positivas conocidas. ¿Cuál es la longitud de la ola que da la velocidad mínima? 58. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen V, en forma de un cilindro circular recto rematado por un hemisferio. ¿Cuáles dimensiones requerirán la cantidad mínima de metal? 59. Un equipo de hockey juega en una arena con capacidad de 15000 espectadores. Con el precio del boleto fijado en $12, la asistencia promedio en un juego es de 11000 espectadores. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que disminuya el precio del boleto, la asistencia promedio aumentará 1000. ¿Cómo deben fijar los propietarios del equipo el precio de la entrada para maximizar sus ingresos provenientes de la venta de boletos? 60. Un fabricante determina que el costo de fabricar x unidades de un artículo es C(x) m 1800 25x 0.2x2 0.001x3 y la función de demanda es p(x) m 48.2 0.03x. a) Grafique las funciones costo e ingreso y úselas para estimar el nivel de producción para obtener la utilidad máxima. b) Aplique el cálculo a fin de hallar el nivel de producción para obtener la utilidad máxima. c) Estime el nivel de producción que minimice el costo promedio. 61. Aplique el método de Newton para calcular la raíz de la ecuación x5 x4 3x2 3x 2 m 0 en el intervalo F1, 2G con una aproximación de seis decimales. 62. Aplique el método de Newton para hallar todas las raíces de la ecuación sen x m x2 3x 1 a una exactitud de seis decimales. 63. Aplique el método de Newton para hallar el valor máximo absoluto de la función f(t) m cos t t t2 , a una exactitud de ocho decimales. 64. Utilice la guía de la sección 4.5 para trazar la curva y m x sen x, 0 x 2). Recurra al método de Newton si es necesario. 65-72 Determine f. 65. 66. 67. 68. , 69. , 70. , 71. , , 72. , , f 1 0 f 0 2 f x 2x3 3x2 4x 5 f 0 2 f 0 1 f x 1 6x 48x2 f 1 3 f u u2 su u f 0 5 f t 2t 3 sen t f 0 2 f x senh x 2 cosh x f x sx3 s 3 x2 f x 2ex sec x tan x f x cos x 1 x2 1 2
- 726. 354 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA 73-74 Una partícula se mueve de acuerdo con lo siguiente. Encuentre la posición de la partícula. 73. , 74. , , v 0 2 s 0 0 a t sen t 3 cos t s 0 1 v t 2t 1 1 t2 75. a) Si f(x) m 0.1ex sen x, 4 x 4, use la gráfica de f para dibujar una gráfica aproximada de la antiderivada F de f que satisfaga F(0) m 0. b) Encuentre una expresión para F(x). c) Dibuje F con la expresión del inciso b). Compare con su esquema del inciso a). 76. Investigue la familia de curvas dada por f(x) m x4 x3 cx2 En particular, determine el valor de transición de c en que cambia la cantidad de números críticos y el valor de transición en que varia el número de puntos de inflexión. Ilustre con gráficas las formas posibles. 77. Se deja caer un recipiente metálico desde un helicóptero a 500 m arriba de la superficie de la Tierra. Su paracaídas no se abre, pero el recipiente ha sido diseñado para soportar una velocidad de impacto de 100 mYs. ¿Se reventará o no? 78. En una carrera de automóviles a lo largo de una pista recta, el auto A deja atrás dos veces al vehículo B. Demuestre que en algún momento en la carrera las aceleraciones de los automóviles fueron iguales. Plantee los supuestos que haga. 79. Se va a cortar una viga rectangular a partir de un tronco cilíndrico que tiene un radio de 10 pulgadas. a) Demuestre que la viga de área máxima de sección transversal es cuadrada. b) Se van a cortar cuatro tablones rectangulares de las cuatro secciones del tronco que quedan después de cortar la viga cuadrada. Determine las dimensiones de los tablones que tendrán el área máxima de la sección transversal. c) Suponga que la resistencia de la viga rectangular es proporcional al producto de su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las dimensiones de la viga más fuerte que se puede cortar a partir del tronco cilíndrico. grosor ancho 10 80. Si se dispara un proyectil a una velocidad inicial v a un ángulo de inclinación . a partir de la horizontal, por tanto, su trayectoria, despreciando la resistencia del aire, es la parábola 0 2 y tan x t 2v2 cos2 x2 u u u p a) Suponga que el proyectil se dispara desde la base de un plano inclinado que forman un ángulo , 0, respecto a la horizontal, como se muestra en la figura. Demuestre que el alcance del proyectil, medido por encima de la pendiente, se expresa mediante R 2v2 cos sen t cos2 u u u a a b) Determine . de modo que R sea un máximo. c) Suponga que el plano forma un ángulo abajo de la horizontal. Determine el alcance R en este caso y el ángulo en el cual debe dispararse el proyectil para maximizar R. ¨ å x y 0 R 81. Demuestre que, para x 0, x 1 x2 tan 1 x x 82. Trace la gráfica de una función f tal que f(x)
- 727. 0 para toda x, f (x) 0 para U x U 1, f (x)
- 728. 0 para U x U
- 729. 1 y límx l f x x 0 . 83. Una luz se coloca encima de un poste de altura h pies, con el fin de iluminar un círculo, que tiene radio de 40 pies, ocupado por el tráfico. La intensidad de iluminación I en cualquier punto P en el círculo es directamente proporcional al coseno del ángulo . (véase la figura) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d de la fuente de luz. a) ¿Qué tan alto debe estar la luz sobre el poste de manera que se maximice I? b) Supongamos que la luz sobre el poste está a h pies de altura y que una mujer está caminando hacia afuera de la base del poste a una rapidez de 4 piesYs. ¿Con qué rapidez disminuye la intensidad de la luz en el punto a su espalda a 4 pies sobre el suelo, cuando ella alcanza el borde exterior del círculo de tráfico? h ¨ d 40 P 84. Está fluyendo agua a un ritmo constante dentro de un tanque esférico. Sea V(t) el volumen de agua en el tanque y H(t) la altura del agua en el tanque en el tiempo t. a) ¿Cuáles son los significados de V(t) y H(t)? ¿Son estas derivadas positivas, negativas o cero? b) ¿Es V(t) positiva, negativa o cero? Explique. c) Sean t1, t2 y t3 los tiempos cuando el tanque está lleno a un cuarto, la mitad y a tres cuartas partes del total, respectivamente. ¿Son los valores H(t1), H(t2) y H(t3) positivos, negativos o cero? ¿Por qué?
- 730. Uno de los principios más importantes en la resolución de problemas es la analogía (véase la pagina 75). Si tiene dificultades para comenzar un problema, conviene resolver un pro- blema semejante más sencillo. En el ejemplo siguiente se ilustra el principio. Cubra la solución e intente resolverlo primero. EJEMPLO 1 Si x, y y z son números positivos, demuestre que x2 1 y2 1 z2 1 xyz 8 SOLUCIÓN Puede resultar difícil empezar con este problema. (Algunos estudiantes lo han atacado multiplicando el numerador, pero eso sólo genera dificultades.) Intente pensar en un problema similar más sencillo. Cuando intervienen varias variables, a menudo resulta útil pensar en un problema análogo con menos variables. En este caso, puede reducir el número de variables de tres a una y probar la desigualdad análoga x2 1 x 2 para x 0 1 De hecho, si puede probar 1 , entonces se deduce la desigualdad deseada porque x2 1 y2 1 z2 1 xyz x2 1 x y2 1 y z2 1 z 2 2 2 8 La clave para demostrar 1 es reconocer que es una versión disfrazada de problema de mínimo. Si hace x 0 f x x2 1 x x 1 x entonces f(x) m 1 (1Yx2 ), de tal suerte que f(x) m 0 cuando x m 1. También, f(x)
- 731. 0 para 0
- 732. x
- 733. 1, y f(x) 0 para x 1. Por consiguiente, el valor mínimo absoluto de f es f(1) m 2. Esto significa que para todos los valores positivos de x x2 1 x 2 y, como se mencionó, por multiplicación se infiere la desigualdad dada. La desigualdad 1 pudo probarse sin cálculo. De hecho, si x 0, tenemos ? x 1 2 0 x2 1 x 2 ? x2 1 2x ? x2 2x 1 0 Debido a que la última desigualdad es obviamente verdadera, la primera también lo es. Problemas adicionales RP RETOME EL CONCEPTO ¿Qué ha aprendido a partir de la solución de este ejemplo? ■ Para resolver un problema que involoucra varias variables, podría ayudar resolver un problema semejante con una variable. ■ Cuando intente probar una desigualdad, podría ayudar si piensa en ella como en un problema de máximos y mínimos. 355
- 734. 1. Si un rectángulo tiene su base sobre el eje x y dos vértices sobre la curva y e x 2 , demuestre que el rectángulo tiene el área más grande posible cuando los dos vértices están en los puntos de inflexión de la curva. 2. Demuestre que sen x cos x s2 para toda x. 3. ¿La función f x e10 x 2 x2 tiene un máximo absoluto? Si es así, encuéntrelo. ¿Qué hay del máximo absoluto? 4. Demuestre que x2 y2 (4 x2 )(4 y2 ) 16 para todos los números x y y tales que U x U 2 y U y U 2. 5. Demuestre que los puntos de inflexión de la curva y m (sen x)Yx está sobre la curva y2 (x4 4) m 4. 6. Encuentre el punto sobre la parábola y m 1 x2 en el cual la recta tangente corta el primer cuadrante en un triángulo con área mínima. 7. Si a, b, c y d son constantes tales que lím xl0 ax2 sen bx sen cx sen dx 3x2 5x4 7x6 8 halle el valor de la suma a b c d. 8. Esquematice el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que U x y Uex . 9. Encuentre los puntos más altos y más bajos sobre la curva x2 xy y2 m 12. 10. ¿Para qué valores de c la curva y m cx3 ex tiene puntos de inflexión? 11. Si P(a, a2 ) es cualquier punto sobre la parábola y m x2 , excepto en el origen, sea Q el punto donde la recta normal cruza la parábola una vez más (véase la figura). Demuestre que el segmento de recta PQ tiene la longitud más corta posible cuando a 1 s2 . 12. Trace la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que 2xy x y x2 y2 13. La recta y m mx b corta a la parábola y m x2 en los puntos A y B (véase la figura). Determine el punto P sobre el arco AOB de la parábola que maximiza el área del triángulo PAB. O y x y=≈ y=mx+b P B A 14. ABCD es un trozo cuadrado de papel con lados de longitud 1 m. Se dibuja un cuarto de circunferencia desde B hasta D, con centro en A. El trozo de papel se dobla a lo largo de EF con E sobre AB y F sobre AD, de manera que A cae sobre el cuarto de circunferencia. Determine las áreas máxima y mínima que podría tener el triángulo AEF. 15. ¿Para qué números positivos a la curva y m ax corta a la recta y m x? 16. ¿Para qué valores de a es verdadera la siguiente ecuación? lím xl x a x a x e 356 Problemas FIGURA PARA EL PROBLEMA 11 0 x y P Q
- 735. 17. Sea f x a1 sen x a2 sen 2x an sen nx, donde a1, a2, . . . , an son números reales y n es un entero positivo. Si se sabe que f x sen x para toda x, demuestre que a1 2a2 nan 1 18. Un arco PQ de un círculo subtiende un ángulo central ., como en la figura. Sea A(.) el área entre la cuerda PQ y el arco PQ. Sea B(.) el área entre las rectas tangentes PR, QR y el arco. Encuentre lím l0 A B u u u P Q B(¨) A(¨) ¨ R 19. La velocidad del sonido c1 en una capa superior y c2 en una capa inferior de roca y el espesor h de la capa superior pueden calcularse mediante la exploración sísmica, si la velocidad del sonido en la capa inferior es mayor que la velocidad en la capa superior. Se hace detonar una carga de dinamita en el punto P y las señales transmitidas se registran en el punto Q, el cual está a una distancia D de P. La primera señal que llega a Q viaja por la superficie y tarda T1 segundos. La siguiente señal viaja desde el punto P al punto R, desde R a S en la capa inferior y luego a Q, lo cual le lleva T2 segundos. La tercera señal es reflejada por la capa inferior en el punto medio O de RS y tarda T3 segundos en llegar a Q. a) Exprese T1, T2 y T3 en función de D, h, c1, c2 y .. b) Demuestre que T2 es un mínimo cuando sen . m c1Yc2. c) Suponga que D m 1 km, T1 m 0.26 s, T2 m 0.32 s y T3 m 0.34 s. Calcule c1, c2 y h. D h R ¨ velocidad del sonido =c™ Q O S ¨ velocidad del sonido=c¡ P Nota: los geofísicos usan esta técnica cuando estudian la estructura de la corteza terrestre, ya sea con fines de exploración petrolera o para la detección de enormes fallas en las rocas. 20. ¿Para qué valores de c existe una recta que cruce la curva y m x4 cx3 12x2 5x 2 en cuatro puntos diferentes? 357
- 736. 21. Uno de los problemas que planteó el marqués de l’Hospital en su libro de texto Analyse des Infiniment Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto C mediante una cuerda de longitud r. En otro punto B sobre el techo, a una distancia d de C (donde d r), una cuerda de longitud se conecta a la polea y pasa por ésta en F y se ata a un peso W. El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio D. Tal y como argumentó l’Hospital, esto sucede cuando la distancia U ED U se maximiza. Demuestre que cuando el sistema alcanza el punto de equilibrio, el valor de x es r 4d (r sr2 8d2 ) Observe que esta expresión es independiente tanto de W como de . 22. Dada una esfera con radio r, encuentre la altura de una pirámide de volumen mínimo cuya base es un cuadrado y cuyas caras base y triangular son tangentes a la esfera. ¿Qué sucede si la base de la pirámide es un n-ágono regular? (Un n-ágono regular es un polígono con n lados y ángulos iguales.) (Use el hecho de que el volumen de una pirámide es 1 3 Ah, donde A es el área de la base.) 23. Suponga que una bola de nieve se derrite de tal modo que su volumen disminuye en propor- ción directa a su área superficial. Si tarda tres horas en que la bola disminuya a la mitad de su volumen original, ¿cuánto tardará la bola en fundirse totalmente? 24. Una burbuja hemisférica se coloca sobre una burbuja esférica de radio 1. Después, una burbuja hemisférica más pequeña se coloca sobre la primera. Este proceso prosigue hasta que se forman n cámaras, incluso la esfera. (La figura muestra el caso n m 4). Utilice la inducción matemática para demostrar que la altura máxima de cualquier torre de burbujas con n cámaras es 1 sn. r C F D d x FIGURA PARA EL PROBLEMA 21 B E 358
- 737. Integrales 5 359 En el capítulo 2 utilizamos los problemas de la recta tangente y la velocidad para introducir el concepto de derivada, que es la idea central en el cálculo diferencial. De la misma manera, este capítulo comienza con los problemas de área y distancia y los utiliza para formular la idea de integral definida, que es el concepto básico del cálculo integral. Veremos en los capítulos 6 y 8 cómo utilizar la integral para resolver problemas relacionados con volúmenes, longitud de curvas, predicciones de una población, registro cardiaco, fuerzas sobre una presa, trabajo, excedente de consumo y el beisbol, entre muchas otras situaciones. Existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. El teorema fundamental del cálculo relaciona la integral con la derivada; veremos en este capítulo que este teorema simplifica en gran medida la resolución de muchos problemas. En el ejemplo 7 de la sección 5.4 veremos cómo utilizar los datos de consumo de energía y una integral para calcular la cantidad de energía utilizada en un día en la ciudad de San Francisco. © Nathan Jaskowiak / Shutterstock
- 738. 360 CAPÍTULO 5 INTEGRALES En esta sección se descubre que, al intentar calcular el área bajo una curva o la distancia recorrida por un automóvil, se llega al mismo tipo especial de límite. El problema del área Empezaremos por intentar resolver el problema del área: encuentre el área de la región S que está debajo de la curva y m f(x), desde a hasta b. Esto significa que S (figura 1) está limitada por la grafica de una función continua f [donde f (x) w0], las rectas verticales x m a y x m b y el eje x. Al intentar resolver el problema del área, debemos preguntarnos: ¿cuál es el significado de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para un rectángulo, se define como el producto del largo y el ancho. El área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura. El área de un polígono se encuentra al divi- dirlo en triángulos (figura 2) y sumar las áreas de esos triángulos. 5.1 Áreas y distancias FIGURA 1 S=s(x, y) | a¯x¯b, 0¯y¯ƒd 0 y a b x y=ƒ S x=a x=b FIGURA 2 h b A= bh A=A¡+A™+A£+A¢ A=lw l w 1 2 A¡ A™ A£ A¢ FIGURA 4 E
- 740. 0 y x 1 (1, 1) y=≈ 3 4 1 2 1 4 S¢ S£ S™ S¡ y x Sin embargo, no es fácil hallar el área de una región con lados curvos. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región, pero parte del problema del área es hacer que esta idea intuitiva se precise dando una definición exacta. Recuerde que al definir una recta tangente, primero obtuvimos una aproximación de la pendiente de la recta tangente para las pendientes de rectas secantes y, a continuación, tomamos el límite de estas aproximaciones. Sigamos una idea similar para las áreas. En primer lugar obtenemos una aproximación de la región S representándola por medio de rectángulos, y después tomamos el límite de las áreas de los rectángulos cuando se incre- menta el número de éstos. En el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento. v EJEMPLO 1 Utilice rectángulos para estimar el área bajo la parábola y m x2 , desde 0 hasta 1 (la región parabólica S se ilustra en la figura 3). SOLUCIÓN En primer lugar, el área S debe encontrarse en alguna parte entre 0 y 1 porque S está contenida en un cuadrado de lado 1, pero, en verdad, podemos lograr algo mejor que eso. Suponga que dividimos S en cuatro franjas, S1, S2, S3 y S4, al trazar las rectas verticales x 1 4, x 1 2 y x 3 4 como en la figura 4a). FIGURA 3 Ahora es un buen momento para leer (o volver a leer) Presentación preliminar del cálculo (véase la página 1), que analiza las ideas unificadoras del cálculo y lo ayuda a situarse en la perspectiva de donde está y hacia dónde va.
- 741. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 361 Podemos obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la propia franja [véase la figura 4b)]. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función f (x) m x2 en los puntos extremos de la derecha de los subintervalos , , y [3 4, 1] [1 2, 3 4 ] [1 4, 1 2 ] [0, 1 4 ] . Cada rectángulo tiene un ancho de 1 4, y las alturas son , , y 12 (3 4 )2 (1 2 )2 (1 4 )2 . Si denota- mos con R4 la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtenemos R4 1 4 (1 4 )2 1 4 (1 2 )2 1 4 (3 4 )2 1 4 12 15 32 0.46875 A partir de la figura 4b) vemos que el área A de S es menor que R4, de modo que A
- 742. 0.46875 En lugar de usar los rectángulos de la figura 4b), podríamos utilizar los rectángulos más pequeños de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierda de los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se ha aplastado debido a que su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es L4 1 4 02 1 4 (1 4 )2 1 4 (1 2 )2 1 4 (3 4 )2 7 32 0.21875 Vemos ahora que el área de S es mayor que L4, de modo que se tienen estimaciones superior e inferior para A: 0.21875
- 743. A
- 744. 0.46875 Es posible repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figura 6 se muestra lo que sucede cuando dividimos la región S en ocho franjas de anchos iguales. 0 y x 1 (1, 1) 3 4 1 2 1 4 y=≈ FIGURA 5 FIGURA 6 Aproximación a S con ocho rectángulos a) Usando los puntos extremos a la izquierda b) Usando los puntos extremos a la derecha 0 1 (1, 1) 1 8 0 1 1 8 y=≈ (1, 1) y x y x Al calcular la suma de las áreas de los rectángulos más pequeños (L8) y la suma de las áreas de los rectángulos más grandes (R8), obtenemos mejores estimaciones inferior y superior para A: 0.2734375
- 745. A
- 746. 0.3984375 De modo que una posible respuesta para la pregunta es decir que el área verdadera de S se encuentra entre 0.2734375 y 0.3984375. Podríamos obtener mejores estimaciones al incrementar el número de franjas. En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos semejantes (por computadora), usando n rectángulos cuyas alturas se encontraron con los puntos extremos de la izquierda (Ln) o con los puntos extremos de la derecha (Rn). En particular, al usar 50 franjas, el área se encuentra entre 0.3234 y 0.3434. Con 1000 franjas, lo estrecha incluso más: A se halla entre 0.3328335 y 0.3338335. Una buena estimación se obtiene promediando estos números: A 0.3333335. n 10 0.2850000 0.3850000 20 0.3087500 0.3587500 30 0.3168519 0.3501852 50 0.3234000 0.3434000 100 0.3283500 0.3383500 1000 0.3328335 0.3338335 Rn Ln
- 747. 362 CAPÍTULO 5 INTEGRALES Con base en los valores de la tabla en el ejemplo 1, parece que Rn tiende a 1 3 conforme n crece. Esto se confirma en el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 2 Para la región S del ejemplo 1, demuestre que la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación superiores tiende a 1 3; es decir, lím n l Rn 1 3 SOLUCIÓN Rn es la suma de las áreas de los n rectángulos de la figura 7. Cada rectángulo tiene un ancho de 1Yn, y las alturas son los valores de la función f(x) m x2 en los puntos 1Yn, 2Yn, 3Yn,..., nYn; es decir, las alturas son (1Yn)2 , (2Yn)2 , (3Yn)2 ,..., (nYn)2 . De este modo, 1 n3 12 22 32 n2 1 n 1 n2 12 22 32 n2 Rn 1 n 1 n 2 1 n 2 n 2 1 n 3 n 2 1 n n n 2 Aquí necesitamos la fórmula para la suma de los cuadrados de los n primeros enteros positivos: 12 22 32 n2 n n 1 2n 1 6 1 Es posible que ya antes haya visto esta fórmula. Se demuestra en el ejemplo 5 del apéndice E. Poniendo la fórmula 1 en nuestra expresión para Rn, obtenemos Rn 1 n3 n n 1 2n 1 6 n 1 2n 1 6n2 De modo que 1 6 1 2 1 3 lím nl 1 6 1 1 n 2 1 n lím nl 1 6 n 1 n 2n 1 n lím nl Rn lím nl n 1 2n 1 6n2 Puede demostrarse que las sumas de aproximación inferiores también tienden a 1 3; es decir, lím n l Ln 1 3 FIGURA 7 1 n 0 y x 1 (1, 1) y=≈ Aquí estamos calculando el límite de la sucesión HRnJ. Las sucesiones y sus límites fueron discutidos en la Presentación preliminar del cálculo y serán estudiados en detalle en la sección 11.1. La idea es muy similar a un límite en el infinito (sección 2.6), salvo que en la expresión límnl , restringimos n a un número entero positivo. En particular, sabemos que lím nl 1 n 0 Cuando escribimos límnl Rn 1 3 queremos decir que podemos hacer Rn tan cercano a 1 3 como queramos, tomando n suficientemente grande.
- 748. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 363 Con base en las figuras 8 y 9 parece que, conforme n crece, tanto Ln como Rn son cada vez mejores aproximaciones para el área de S. Por tanto, definimos el área A como el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación; esto es, A lím n l Rn lím n l Ln 1 3 FIGURA 8 1 0 y n=50 R∞¸=0.3434 1 0 y n=30 R£¸Å0.3502 1 0 x x x y n=10 R¡¸=0.385 /RVSXQWRVH[WUHPRVGHUHFKRVSURGXFHQVXPDVSRUDUULEDSRUTXHƒ=x@HVFUHFLHQWH 1 0 y n=10 L¡¸=0.285 FIGURA 9 /RVSXQWRVH[WUHPRVL]TXLHUGRVSURGXFHQVXPDVSRUDEDMRSRUTXHHVFUHFLHQWH FIGURA 10 b a 0 y x . . . . . . y=ƒ S¡ S™ S£ Si Sn xi xi-1 xn-1 ⁄ ‹ Apliquemos la idea de los ejemplos 1 y 2 a la región más general S de la figura 1. Empecemos por subdividir S en n franjas S1, S2, . . . , Sn de anchos iguales, como en la figura 10. TEC En Visual 5.1 puede crear figuras como la 8 y 9 para otros valores de n.
- 749. 364 CAPÍTULO 5 INTEGRALES El ancho del intervalo [a, b] es b a, de modo que el ancho de cada una de las n franjas es x b a n Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos x0, x1 , x1, x2 , x2, x3 , . . . , xn 1, xn donde x0 m a y xn m b. Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son x3 a 3 x, x2 a 2 x, x1 a x, Aproximamos la i-ésima franja, Si, con un rectángulo de ancho $x y altura f(xi), que es el valor de f en el punto extremo de la derecha (véase la figura 11). Entonces, el área del i-ésimo rectángulo es f(xi) $x. Lo que concebimos de manera intuitiva como el área de S se aproxima con la suma de las áreas de estos rectángulos: Rn f x1 x f x2 x f xn x FIGURA 11 0 y x Îx f(xi) xi xi-1 a b ⁄ ‹ FIGURA 12 0 y x a ⁄ D
- 750. n=2 0 y x a ⁄ ‹ E
- 751. n=4 0 y x a F
- 752. n=8 0 y x a b b b b G
- 753. n=12 En la figura 12 se muestra esta aproximación para n m 2, 4, 8 y 12. Note que esta aproximación parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidad de franjas; es decir, cuando n l @. Por consiguiente, definimos el área A de la región S de la manera siguiente:
- 754. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 365 Puede demostrarse que el límite de la definición 2 siempre existe, porque se supone que f es continua. También es posible demostrar que se obtiene el mismo valor con los puntos extremos de la izquierda: A lím n l Ln lím n l f x0 x f x1 x f xn 1 x 3 De hecho, en lugar de usar los puntos extremos de la izquierda o los de la derecha, podría- mos tomar la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número xi *, en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi]. A estos números x1 *, x2 *,..., xn * se les llama puntos muestra. En la figura 13 se presentan los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes de los puntos extremos. Así, una expresión más general para el área de S es A lím n l f x1 * x f x2 * x f xn * x 4 FIGURA 13 xi xi-1 0 y x a b ⁄ ‹ xn-1 x¡ x™ x£ xn xi Îx f(xi ) FIGURA 14 0 y x a b 6XPDVLQIHULRUHVUHFWiQJXORVFRUWRV
- 756. 2 Definición El área A de la región S que se encuentra bajo la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: A lím n l Rn lím n l f x1 x f x2 x f xn x NOTA Puede demostrarse que una definición equivalente de área es la siguiente: A es el único número más grande que todas las sumas inferiores y menor que todas las sumas superiores. Vimos en los ejemplos 1 y 2, por ejemplo, que el área (A 1 3) está atrapada entre todas las sumas de aproximación izquierda Ln y todas las sumas de aproxi- mación derecha Rn. La función de esos ejemplos, f (x) m x2 , pasa a ser creciente sobre [0, 1] y así las sumas inferiores surgen de los extremos izquierdos y las sumas superiores de los extremos de la derecha. (Véanse las figuras 8 y 9). En general, formamos sumas inferiores (y superiores) mediante la selección de los puntos muestra x1 * de manera que f(x1 *) es el valor mínimo (y máximo) de f sobre el i-ésimo subintervalo. (Véase la figura 14 y los ejercicios 7-8).
- 757. 366 CAPÍTULO 5 INTEGRALES A menudo se usa la notación sigma para escribir de manera más compacta las sumas de muchos términos. Por ejemplo, n i 1 f xi x f x1 x f x2 x f xn x Con esto, las expresiones para el área que se dan en las ecuaciones 2, 3 y 4, pueden escri- birse como: A lím n l n i 1 f xi * x A lím n l n i 1 f xi 1 x A lím n l n i 1 f xi x También podríamos rescribir la fórmula 1 de esta manera: n i 1 i2 n n 1 2n 1 6 EJEMPLO 3 Sea A el área de la región que está bajo la gráfica de f(x) m ex , entre x m 0 y x m 2. a) Con los puntos extremos de la derecha, encuentre una expresión para A como un límite. No evalúe ese límite. b) Estime el área tomando los puntos muestra como los puntos medios y utilizando cuatro subintervalos y luego con 10 subintervalos. SOLUCIÓN a) Dado que a m 0 y b m 2, el ancho de un subintervalo es x 2 0 n 2 n Por tanto, x1 m 2Yn, x2 m 4Yn, x3 m 6Yn, xi m 2iYn y xn m 2nYn. La suma de las áreas de los rectángulos de aproximación es e 2 n 2 n e 4 n 2 n e 2n n 2 n e x1 x e x2 x e xn x Rn f x1 x f x2 x f xn x De acuerdo con la definición 2, el área es A lím n l Rn lím n l 2 n e 2 n e 4 n e 6 n e 2n n ` ` Si se usa la notación sigma, se podría escribir A lím n l 2 n n i 1 e 2i n ` Es difícil evaluar directamente a mano este límite, pero se facilita con la ayuda de un sistema algebraico computarizado (véase el ejercicio 28). En la sección 5.3 hallaremos A con más facilidad aplicando un método diferente. Esto indica que hay que terminar con i=n. Esto indica que hay que sumar. Esto indica que hay que empezar con i=m. μf(xi n i=m Si necesita practicar la notación sigma, vea los ejemplos e intente resolver algunos de los del apéndice E.
- 758. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 367 b) Con n m 4, los subintervalos de igual ancho, $x m 0.5, son [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5] y [1.5, 2]. Los puntos medios de estos subintervalos son x1 * 0.25, x2 * m 0.75, x3 * m 1.25 y x4 * m 1.75, y la suma de las áreas de los cuatro rectángulos de aproximación (véase la figura 15) es 1 2 e 0.25 e 0.75 e 1.25 e 1.75 0.8557 e 0.25 0.5 e 0.75 0.5 e 1.25 0.5 e 1.75 0.5 f 0.25 x f 0.75 x f 1.25 x f 1.75 x M4 4 i 1 f xi * x De este modo, una estimación para el área es A 0.8557 Con n m 10, los subintervalos son [0, 0.2], [0.2, 0.4],..., [1.8, 2], y los puntos medios son x1 * m 0.1, x2 * m 0.3, x3 * m 0.5,..., x10 * m 1.9. Por consiguiente, 0.2 e 0.1 e 0.3 e 0.5 e 1.9 0.8632 A M10 f 0.1 x f 0.3 x f 0.5 x f 1.9 x Con base en la figura 16, parece que esta estimación es mejor que la que se hizo con n m 4. El problema de la distancia Consideremos ahora el problema de la distancia: halle la distancia recorrida por un objeto durante cierto periodo de tiempo, si se conoce la velocidad del objeto en todo momento. (En cierto sentido, este es el problema inverso del problema de la velocidad que se analizó en la sección 2.1.) Si la velocidad permanece constante, entonces el problema de la distan- cia es fácil de resolver por medio de la formula: distancia m velocidad tiempo Pero si la velocidad varía, no es fácil hallar la distancia recorrida. Investigamos el proble- ma en el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 4 Supongamos que el odómetro de nuestro automóvil esta averiado y que deseamos estimar la distancia que ha recorrido en un intervalo de tiempo de 30 segundos. Tomamos las lecturas del velocímetro cada cinco segundos y las registramos en la tabla siguiente: 0 Tiempo (s) 20 5 10 15 25 30 Velocidad (mih) 28 31 17 21 24 29 32 Para tener el tiempo y la velocidad en unidades coherentes, convertimos las lecturas de velocidad a pies por segundo (1miYh m 5280Y3600piesYs): Tiempo (s) 30 25 20 15 10 5 0 41 46 47 43 35 31 25 Velocidad (piess) Durante los primeros cinco segundos, la velocidad no cambia mucho, de modo que podemos estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponer que la velocidad es y=e–® 1 1 0 y x FIGURA 16 FIGURA 15 1 2 2 1 y=e–® 0 y x
- 759. 368 CAPÍTULO 5 INTEGRALES constante. Si tomamos la velocidad durante este intervalo de tiempo, con velocidad inicial (25 piesYs), entonces obtenemos la distancia aproximada recorrida durante los primeros cinco segundos: 25piesYs 5s m 125pies De manera análoga, durante el segundo intervalo de tiempo la velocidad es aproximadamente constante, y tomamos la velocidad correspondiente a t m 5s. De modo que nuestra estimación para la distancia recorrida desde t m 5s hasta t m 10s es 31piesYs 5s m 155pies Si sumamos estimaciones similares para los otros intervalos de tiempo, obtenemos una estimación para la distancia total recorrida: (25 5) (31 5) (35 5) (43 5) (47 5) (46 5) m 1135pies Podríamos así haber utilizado la velocidad al final de cada periodo de tiempo en lugar de la velocidad al principio como nuestra supuesta velocidad constante. Entonces nuestra estimación se convierte en (31 5) (35 5) (43 5) (47 5) (46 5) (41 5) m 1215pies Si buscáramos una estimación más exacta, habríamos tomado las lecturas de la velocidad cada dos segundos o cada segundo. Tal vez los cálculos del ejemplo 4 le recuerden las sumas usadas al principio para estimar las áreas. La semejanza se explica cuando dibujamos la gráfica de la función velocidad del automóvil de la figura 17 y dibujamos rectángulos cuyas alturas son las velo- cidades iniciales en cada intervalo. El área del primer rectángulo es 25 5 m 125, lo que también es su estimación de la distancia recorrida en los primeros cinco segundos. De hecho, el área de cada rectángulo puede interpretarse como una distancia porque la altura representa la velocidad, y el ancho, al tiempo. La suma de las áreas de los rec- tángulos de la figura 17 es L6 m 1135, lo cual es nuestra estimación inicial de la distancia total recorrida. En general, supongamos que un objeto se mueve con velocidad v m f (t), donde a v t v b y f(t) w 0 (de modo que el objeto siempre se mueve en la dirección positiva). Tomemos las lecturas de la velocidad en los instantes t0 (m a), t1, t2, . . . , tn (m b) de modo que la velocidad sea aproximadamente constante sobre cada subintervalo. Si estos instantes están igualmente espaciados, entonces el tiempo entre lecturas consecuti- vas es $t m (b a)Yn. Durante el primer intervalo de tiempo, la velocidad es aproxima- damente f (t0) y, por consiguiente, la distancia recorrida es aproximadamente f (t0) $t. De manera análoga, la distancia recorrida durante el segundo intervalo de tiempo es alrededor de f (t1) $t y la distancia total recorrida durante el intervalo [a, b] es aproxi- madamente f t0 t f t1 t f tn 1 t n i 1 f ti 1 t Si usamos la velocidad en los puntos extremos de la derecha, en lugar de los puntos extre- mos de la izquierda, nuestra estimación para la distancia total resulta f t1 t f t2 t f tn t n i 1 f ti t FIGURA 17 10 20 20 40 30 0 √ t
- 760. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS 369 Cuanto mayor sea la frecuencia con que se mide la velocidad, más exactas son las estimaciones, así que parece plausible que la distancia exacta d recorrida sea el límite de esas expresiones: 5 d lím nl n i 1 f ti 1 t lím nl n i 1 f ti t ` ` En la sección 5.4 veremos que, en efecto, esto es verdadero. Puesto que la ecuación 5 tiene la misma forma que las expresiones para el área, dadas en las ecuaciones 2 y 3, se concluye que la distancia recorrida es igual al área bajo la gráfica de la función velocidad. En el capítulo 6 veremos que otras cantidades de interés en las ciencias naturales y sociales, como el trabajo realizado por una fuerza variable o el gasto cardiaco, también pueden interpretarse como el área bajo una curva. De modo que cuando calcule áreas en este capítulo, tenga presente que pueden interpretarse de diversas maneras prácticas. 5.1 Ejercicios 1. a) A partir de la lectura de los valores de la gráfica dada de f, use cinco rectángulos para hallar una estimación inferior y una superior para el área bajo esa gráfica dada de f, desde x m 0 hasta x m 8. En cada caso, dibuje los rectángulos que use. b) Encuentre nuevas estimaciones usando ocho rectángulos en cada caso. y 0 x 2 4 8 4 2. a) Use seis rectángulos para encontrar estimaciones de cada tipo para el área bajo la gráfica de f desde x m 0 hasta x m 12. i) L6 (los puntos muestra son los puntos extremos de la izquierda) ii) R6 (los puntos muestra son los puntos extremos de la derecha) iii) M6 (los puntos muestra son los puntos medios) b) ¿L6 sobrestima o subestima el área verdadera? c) ¿R6 sobrestima o subestima el área verdadera? d) ¿Cuál de los números L6, R6 o M6 da la mejor estimación? Explique. y x 0 4 4 8 y=ƒ 8 12 3. a) Estime el área bajo la gráfica de f(x) m cos x desde x m 0 hasta x m )Y2, usando cuatro rectángulos de aproximación y los puntos extremos de la derecha. Dibuje la curva y los rectángulos de aproximación. ¿Su estimación es una subestimación o una sobrestimación? b) Repita el inciso a), con los puntos extremos de la izquierda. 4. a) Estime el área bajo la gráfica de f x sx desde x m 0 hasta x m 4 usando cuatro rectángulos de aproximación y puntos extremos de la derecha. Trace la gráfica y los rectángulos. ¿Su estimación es una sobrestimación o una subestimación? b) Repita el inciso a, con los puntos extremos de la izquierda. 5. a) Estime el área bajo la gráfica de f(x) m 1 x2 de x m 1 hasta x m 2 con tres rectángulos de aproximación y pun- tos extremos de la derecha. Después mejore su estimación usando seis rectángulos. Dibuje la curva y los rectángulos de aproximación. b) Repita el inciso a) usando los puntos extremos de la izquierda. c) Repita el inciso a) usando los puntos medios. d) Con base en sus dibujos de los incisos a) a c), ¿cuál parece ser la mejor estimación? 6. a) Trace la gráfica de la función f(x) m x 2 ln x, 1 v x v 5 b) Estime el área bajo la gráfica de f con cuatro rectángulos de aproximación y considerando que los puntos muestra son i) los puntos extremos de la derecha y ii) los puntos medios. En cada caso, trace la curva y los rectángulos. c) Mejore sus estimaciones del inciso b) utilizando ocho rectángulos. 7. Evalúe las sumas superior e inferior para f(x) m2 sen x, 0 v x v ), con n m 2, 4 y 8. Ilustre con diagramas como los de la figura 14. 8. Evalúe las sumas superior e inferior para f(x) m 1 x2 , 1 v x v 1, con n m3 y 4. Ilustre con diagramas como los de la figura 14. Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
- 761. 370 CAPÍTULO 5 INTEGRALES 9-10 Con una calculadora programable (o una computadora) es posible evaluar las expresiones para las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación, incluso para grandes valores de n, con el uso de iteraciones. (En una calculadora TI, use el comando (Is) o una iteración For-EndFor; en una Casio, use Isz y en una HP o en BASIC, use una iteración FOR-NEXT.) Calcule la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación; use subintervalos iguales y los puntos extremos de la derecha, para n m 10, 30, 50 y 100. Luego, infiera el valor del área exacta. 9. La región bajo y m x4 desde 0 hasta 1. 10. La región bajo y m cos x desde 0 hasta )Y2. SAC 11. Algunos sistemas algebraicos computarizados tienen comandos que dibujan los rectángulos de aproximación y evalúan las sumas de sus áreas, por lo menos si xi * es un punto extremo de la izquierda o de la derecha. (Por ejemplo, en Maple, use leftbox, rightbox, leftsum, y rightsum.) a) Si f(x) m 1Y(x2 1), 0 v x v 1, encuentre las sumas izquierda y derecha para n m 10, 30 y 50. b) Ilustre mediante el dibujo de las gráficas de los rectángulos del inciso a). c) Demuestre que el área exacta bajo f se encuentra entre 0.780 y 0.791 SAC 12. a) Si f(x) m ln x, 1 v x v 4, use los comandos que se analizaron en el ejercicio 11 a fin de hallar las sumas izquierda y derecha, para n m 10, 30 y 50. b) Ilustre dibujando las gráficas de los rectángulos del inciso a). c) Demuestre que el área exacta bajo f se encuentra entre 2.50 y 2.59. 13. La rapidez de una competidora aumentó de manera constante durante los tres primeros segundos de una carrera. En la tabla se da su rapidez a intervalos de medio segundo. Encuentre las estimaciones inferior y superior para la distancia que recorrió durante estos tres segundos. t (s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (piess) 0 6.2 10.8 14.9 18.1 19.4 20.2 v 14. En la tabla se proporcionan las lecturas del velocímetro de una motocicleta a intervalos de 12 segundos. a) Estime la distancia recorrida por la motocicleta durante este periodo usando las velocidades al principio de los intervalos. b) Dé otra estimación usando las velocidades al final de los periodos de tiempo. c) ¿Sus estimaciones de los incisos a) y b) son estimaciones superiores e inferiores? Explique su respuesta. t (s) 0 12 24 36 48 60 (pies s) 30 28 25 22 24 27 v 15. Se fugó aceite de un tanque con una rapidez de r(t) litros por hora. La rapidez disminuyó conforme transcurrió el tiempo y los valores de esta rapidez se muestran en la tabla en intervalos de dos horas. Halle estimaciones inferiores y superiores para la cantidad total de aceite que se fugó. 0 2 4 6 8 10 (L h) 8.7 7.6 6.8 6.2 5.7 5.3 t h r t 16. Cuando estimamos distancias a partir de datos de la velocidad, a veces es necesario usar instantes t0, t1, t2, t3,..., que no están igualmente espaciados. Aun así, podemos estimar las distancias usando los periodos de tiempo $ti m ti ti1. Por ejemplo, el 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad era instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo en un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla, proporcionada por la nasa, se dan los datos de la velocidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. Utilice estos datos para estimar la altura por arriba de la superficie de la Tierra a la que se encontró el Endeavour, 62 segundos después del lanzamiento. Velocidad (piess) Tiempo (s) Suceso 0 0 Lanzamiento Inicio de la maniobra de giro alrededor del eje 10 185 Fin de la maniobra de giro alrededor del eje 15 319 Válvula de estrangulación a 89% 20 447 Válvula de estrangulación a 67% 32 742 Válvula de estrangulación a 104% 59 1325 Presión dinámica máxima 62 1445 Separación del cohete auxiliar de combustible sólido 125 4151 17. Se muestra la gráfica de la velocidad de un automóvil al frenar. Úsela para estimar la distancia que recorre mientras se aplican los frenos. VHJXQGRV
- 762. SLHVV
- 763. 18. Se muestra la grafica de aceleración de un automóvil que parte del estado de reposo hasta una velocidad de 120 kmYh durante un periodo de 30 segundos. Estime la distancia recorrida durante este periodo. 40 80 √ NPK
- 764. t VHJXQGRV
- 765. 0 10 20 30
- 766. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 371 En la sección 5.1 vimos que, cuando se calcula un área, surge un límite de la forma lím n l n i 1 f xi * x lím n l f x1 * x f x2 * x f xn * x 1 ` ` También vimos que aparece cuando intentamos hallar la distancia recorrida por un objeto. Resulta que este tipo de límite se presenta en una amplia variedad de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. En los capítulos 6 y 8 veremos que también surgen límites de la forma 1 al calcular longitudes de curvas, volúmenes de sólidos, centros de masa, la fuerza debida a la presión del agua y el trabajo, así como otras cantidades. Por esta razón, a este límite le damos un nombre y una notación especiales. 5.2 La integral definida 19-21 Utilice la definición 2 para hallar una expresión para el área bajo la grafica de f como un límite. No evalúe el límite. 19. , 20. , 21. , f x ssen x 0 x 1 x 3 f x 2x x2 1 4 x 7 f x x2 s1 2x p 22-23 Determine una región cuya área sea igual al límite dado. No evalúe el límite. 22. 23. lím n l n i 1 2 n 5 2i n 10 lím n l n i 1 4n tan i 4n ` ` 24. a) Utilice la definición 2 para encontrar una expresión para el área bajo la curva y m x3 desde 0 hasta 1 como un límite. b) La fórmula siguiente para la suma de los cubos de los primeros n enteros se demuestra en el apéndice E. Úsela para evaluar el límite del inciso a). 13 23 33 n3 n n 1 2 2 25. Sea A el área bajo la gráfica de una función f creciente conti- nua desde a hasta b, y sea Ln y Rn las aproximaciones a A con n subintervalos utilizando los extremos izquierdo y derecho, respectivamente. a) ¿Cómo se relacionan A, Ln y Rn? b) Demuestre que Rn Ln b a n f b f a A continuación, dibuje un diagrama para ilustrar esta ecuación, mostrando que los n rectángulos que representan Rn Ln puede ensamblarse para formar un único rectángulo cuya área es la parte derecha de la ecuación. c) Deduzca que Rn A b a n f b f a 26. Si A es el área bajo la curva y m ex de 1 a 3, utilice el ejercicio 25 para encontrar un valor de n tal que Rn A
- 767. 0.0001. SAC 27. a) Exprese el área bajo la curva y m x5 desde 0 hasta 2 como un límite. b) Utilice un sistema algebraico computarizado a fin de encon- trar la suma de su expresión del inciso a). c) Evalúe el límite del inciso a). SAC 28. Halle el área exacta de la región bajo la gráfica de y m ex desde 0 hasta 2 utilizando un sistema algebraico computarizado, con objeto de evaluar la suma y después el límite del ejemplo 3a). Compare su respuesta con la estimación obtenida en el ejemplo 3b). SAC 29. Encuentre el área exacta bajo la curva y m cos x, desde x m 0 hasta x m b, donde 0 v b v )Y2. (Use un sistema algebraico computarizado para evaluar la suma y calcular el límite.) En particular, ¿cuál es el área si b m )Y2? 30. a) Sea An el área de un polígono con n lados iguales, inscrito en un círculo con radio r. Al dividir el polígono en n triángulos congruentes con ángulo central 2)Yn, demuestre que An 1 2 nr2 sen 2 n p b) Demuestre que límnl An r2 ` p . [Sugerencia: use la ecua- ción 3.3.2 de la página 192.]
- 768. 372 CAPÍTULO 5 INTEGRALES El significado preciso del límite que define a la integral es como sigue: Para cualquier número 0, existe un entero N tal que y b a f x dx n i 1 f xi * x para cualquier entero n N y para cualquier elección de xi * en [xi1, xi]. NOTA 1 Leibniz introdujo el símbolo ∫ y se llama signo de integral. Es una S alargada y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación f x xb a f x dx, se llama integrando, y a y b se conocen como límites de integración; a es el límite inferior y b es el límite superior. Por ahora, el símbolo dx no tiene significado por sí mismo; la expresión xb a f x dx, vista como un todo, es un símbolo único. La dx indica simplemente que la variable independiente es x. El procedimiento para calcular una inte- gral se llama integración. NOTA 2 La integral definida xb a f x dx es un número que no depende de x. De hecho, podría utilizarse cualquier letra en lugar de x sin cambiar el valor de la integral: y b a f x dx y b a f t dt y b a f r dr NOTA 3 La suma n i 1 f xi * x que aparece en la definición 2 se llama suma de Riemann, en honor del matemático ale- mán Bernhard Riemann (1826-1866). De tal manera que la definición 2 indica que la integral definida de una función integrable puede aproximarse dentro de cualquier grado de exactitud mediante la suma de Riemann. Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación (véase la figura 1). Al comparar la definición 2 con la definición de área de la sección 5.1, vemos que la integral definida xb a f x dx puede interpretarse como el área bajo la curva y m f(x), desde a hasta b (véase la figura 2). 2 Definición de la integral definida Si f es una función continua definida para a v x v b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho $x m (b a)Yn. Sean x0 (m a), x1, x2,..., xn (m b) los puntos extremos de estos subintervalos y sean x1 *, x2 *,..., xn * los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que xi * se encuentre en el i-ésimo subintervalo [xi1, xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es y b a f x dx lím nl n i 1 f xi * x ` siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones de los puntos muestra. Si existe, decimos que f es integrable sobre [a, b]. RIEMANN Bernhard Riemann recibió su doctorado en filosofía bajo la dirección del legendario Gauss, en la Universidad de Göttingen, y permaneció allí para enseñar. Gauss, que no tenía el hábito de elogiar a otros matemáticos, habló de “la mente creativa, activa, en verdad matemática y la gloriosamente fértil originalidad” de Riemann. La definición 2 de integral que utilizamos se debe a Riemann. También hizo colaboraciones importantes a la teoría de funciones de una variable compleja, a la fisicomatemática, a la teoría de números y a los fundamentos de la geometría. El profundo concepto de Riemann del espacio y de la geometría resultó ser, 50 años más tarde, el apoyo idóneo para la teoría general de la relatividad de Einstein. La salud de Riemann fue mala durante toda su vida, y murió de tuberculosis a los 39 años.
- 769. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 373 Si f toma valores tanto positivos como negativos, como en la figura 3, entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje x y los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x (las áreas de los rectángulos en azul menos las áreas de los rectángulos en oro). Cuando tomamos el límite de esas sumas de Riemann, obtenemos la situación que se ilustra en la figura 4. Una integral definida puede interpretarse como un área neta; es decir, una diferencia de áreas: y b a f x dx A1 A2 donde A1 es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f, y A2 correspon- de al área de la región debajo del eje x y arriba de la gráfica de f. NOTA 4 Aunque hemos definido xb a f x dx dividiendo [a, b] en subintervalos del mismo ancho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de dife- rente ancho. Por ejemplo, en el ejercicio 16 de la sección 5.1, la nasa proporcionó datos de velocidad en tiempos que no estaban igualmente espaciados, pero aun así fuimos capa- ces de estimar la distancia recorrida. Existen métodos para la integración numérica que aprovechan los subintervalos desiguales. Si los anchos de los intervalos son $x1, $x2,..., $xn, debemos asegurarnos de que todos estos anchos tiendan a 0 en el proceso de determinación de límites. Esto sucede si el ancho más grande, máx $xi, tiende a 0. De manera que en este caso la definición de la integral definida se convierte en y b a f x dx lím máx xi l0 n i 1 f xi * xi NOTA 5 Hemos definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son integrables (véanse los ejercicios 69-70). El teorema siguiente muestra que la mayor parte de las funciones que usualmente se presentan en realidad son integra- bles. Esto se demuestra en cursos más avanzados. xi 0 y x a Îx FIGURA 1 6Lƒ˘0ODVXPDGH5LHPDQQμ f(xi ) Îx HVODVXPDGHODViUHDVGHORVUHFWiQJXORV y=ƒ 0 y x a b b FIGURA 2 6Lƒ˘0ODLQWHJUDOj ƒ dxHVHOiUHD EDMRODFXUYDy=ƒGHVGHDKDVWDE D E FIGURA 3 μ f(xi ) ÎxHVXQDDSUR[LPDFLyQ DOiUHDQHWD 0 y=ƒ y a b x y=ƒ y x a b 0 FIGURA 4 j ƒ dxHVHOiUHDQHWD D E 3 Teorema Si f es continua sobre [a, b], o si f tiene sólo un número finito de discontinuidades de salto, entonces f es integrable sobre [a, b]; es decir, la integral definida xb a f x dx existe.
- 770. 374 CAPÍTULO 5 INTEGRALES Si f es integrable sobre [a, b], entonces el límite en la definición 2 existe y proporciona el mismo valor, sin importar cómo seleccione los puntos muestra xi *. Para simplificar los cálculos de la integral, con frecuencia tomamos los puntos muestra en los extremos de la derecha. Por tanto, xi * m xi y la definición de la integral se simplifica como sigue. 4 Teorema Si f es integrable sobre [a, b], entonces y donde x b a n xi a i x y b a f x dx lím nl n i 1 f xi x ` EJEMPLO 1 Exprese lím nl n i 1 xi 3 xi sen xi x ` como una integral sobre el intervalo [0, )]. SOLUCIÓN Al comparar el límite dado con el límite en el teorema 4, vemos que es idéntico si elegimos f(x) m x3 x sen x. Puesto que a m 0 y b m ), tenemos, por el teorema 4, lím n l n i 1 xi 3 xi sen xi x y0 x3 x sen x dx ` p Más adelante, cuando apliquemos la integral definida a situaciones físicas, será importante reconocer los límites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibniz eligió la notación para la integral, escogió los ingredientes para recordar el proceso de tomar el límite. En general, cuando escribimos lím n l n i 1 f xi * x y b a f x dx ` reemplazamos lím O por ∫, xi * por x, y $x por dx. Evaluación de integrales Cuando utilizamos la definición para evaluar una integral definida, necesitamos saber cómo trabajar con sumas. Las tres ecuaciones siguientes dan fórmulas para las sumas de potencias de enteros positivos. Es posible que conozca la ecuación 5 a partir un curso de álgebra. Las ecuaciones 6 y 7 se analizaron en la sección 5.1 y se demuestran en el apéndice E. 7 n i 1 i3 n n 1 2 2 6 n i 1 i2 n n 1 2n 1 6 5 n i 1 i n n 1 2
- 771. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 375 Las fórmulas restantes son simples reglas para trabajar con la notación sigma: 11 n i 1 ai bi n i 1 ai n i 1 bi 10 n i 1 ai bi n i 1 ai n i 1 bi 9 n i 1 cai c n i 1 ai 8 n i 1 c nc EJEMPLO 2 a) Evalúe la suma de Riemann para f(x) m x3 6x, tomando los puntos muestra de los puntos extremos de la derecha y a m 0, b m 3 y n m 6. b) Evalúe y 3 0 x3 6x dx. SOLUCIÓN a) Con n m 6 el ancho del intervalo es x b a n 3 0 6 1 2 y los puntos extremos de la derecha son x1 m 0.5, x2 m 1.0, x3 m 1.5, x4 m 2.0, x5 m 2.5 y x6 m 3.0. De modo que la suma de Riemann es 3.9375 1 2 2.875 5 5.625 4 0.625 9 f 0.5 x f 1.0 x f 1.5 x f 2.0 x f 2.5 x f 3.0 x R6 6 i 1 f xi x Note que f no es una función positiva, por lo que la suma de Riemann no representa una suma de áreas de rectángulos. Pero sí representa la suma de las áreas de los rectángulos azules (que están arriba del eje x) menos la suma de las áreas de los rectángulos de color oro (que están abajo del eje x) de la figura 5. FIGURA 5 0 y 3 x 5 y=˛-6x Las fórmulas 8 a 11 se demuestran escribiendo cada uno de los miembros en forma desarrollada. El lado izquierdo de la ecuación 9 es ca1 ca2 can El lado derecho es c a1 a2 an Por la propiedad distributiva, éstas son iguales. Las otras fórmulas se analizan en el apéndice E.
- 772. 376 CAPÍTULO 5 INTEGRALES b) Con n subintervalos, tenemos x b a n 3 n Así, x0 m 0, x1 m 3Yn, x2 m 6Yn, x3 m 9Yn y, en general, xi m 3iYn. Dado que estamos utilizando los puntos extremos derechos, podemos utilizar el teorema 4: (ecuación 9 con ) (ecuaciones 11 y 9) (ecuaciones 7 y 5) 81 4 27 27 4 6.75 lím n l 81 4 1 1 n 2 27 1 1 n lím n l 81 n4 n n 1 2 2 54 n2 n n 1 2 lím n l 81 n4 n i 1 i3 54 n2 n i 1 i lím n l 3 n n i 1 27 n3 i3 18 n i lím n l 3 n n i 1 3i n 3 6 3i n c 3 n y 3 0 x3 6x dx lím nl n i 1 f xi x lím nl n i 1 f 3i n 3 n ` ` ` ` ` ` ` Esta integral no puede interpretarse como un área porque f toma tanto valores positivos como negativos; pero puede interpretarse como la diferencia de áreas A1 A2, donde A1 y A2 se muestran en la figura 6. En la figura 7 se ilustran los cálculos al mostrar los términos positivos y negativos en la suma de Riemann Rn de la derecha, para n m 40. Los valores que aparecen en la tabla hacen ver que las sumas de Riemann tienden al valor exacto de la integral, 6.75, cuando n l @. FIGURA 6 j (˛-6x) dx=A¡-A™=_6.75 A™ A¡ 0 y 3 x 5 y=˛-6x En la suma, n es una constante (diferente de i), por eso podemos mover 3Yn hacia afuera del signo O. 0 y 3 x 5 y=˛-6x FIGURA 7 R¢¸Å_6.3998 n 40 6.3998 100 6.6130 500 6.7229 1000 6.7365 5000 6.7473 Rn En la sección 5.4 veremos un método mucho más sencillo para evaluar la integral del ejemplo 2.
- 773. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 377 EJEMPLO 3 a) Plantee una expresión para x3 1 ex dx como un límite de sumas. b) Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar la expresión. SOLUCIÓN a) Aquí tenemos f(x) m ex , a m 1, b m 3 y x b a n 2 n De modo que x0 m 1, x1 m 1 2Yn, x2 m 1 4Yn, x3 m 1 6Yn y xi 1 2i n A partir del teorema 4, obtenemos lím nl 2 n n i 1 e1 2i n lím nl n i 1 f 1 2i n 2 n y 3 1 ex dx lím nl n i 1 f xi x b) Si le pedimos a un sistema algebraico computarizado que evalúe la suma y simplifique, obtenemos n i 1 e1 2i n e 3n 2 n e n 2 n e2 n 1 Ahora le pedimos al sistema algebraico computarizado que evalúe el límite: y 3 1 ex dx lím nl 2 n e 3n 2 n e n 2 n e2 n 1 e3 e En la siguiente sección aprenderemos un método más sencillo para la evaluación de integrales. v EJEMPLO 4 Evalúe las siguientes integrales interpretando cada una en términos de áreas: ) b ) a y 1 0 s1 x2 dx y 3 0 x 1 dx SOLUCIÓN a) Dado que f x s1 x2 0, podemos interpretar esta integral como el área bajo la curva y s1 x2 desde 0 hasta 1. Pero, ya que y2 m 1 x2 , obtenemos x2 y2 m 1, lo cual muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia con radio 1, que aparece en la figura 9. Por tanto, y 1 0 s1 x2 dx 1 4 1 2 4 p p (En la sección 7.3 usted será capaz de demostrar que el área de un círculo con radio r es )r2 .) x y 0 1 3 10 y=´ FIGURA 8 x y 1 0 1 y= 1-≈ R ≈+¥=1 œ„„„„„ FIGURA 9 Puesto que f(x) m ex es positiva, la integral del ejemplo 3 representa el área que se muestra en la figura 8. Un sistema algebraico computarizado es capaz de hallar una expresión explícita para esta suma porque es una serie geométrica. El límite podría encontrarse usando la regla de lHospital.
- 774. 378 CAPÍTULO 5 INTEGRALES b) La gráfica de y m x 1 es la recta con pendiente 1 que se muestra en la figura 10. Calcularemos la integral como la diferencia de las áreas de los dos triángulos: y 3 0 x 1 dx A1 A2 1 2 2 2 1 2 1 1 1.5 x y 1 0 _1 3 y=x-1 A¡ (3, 2) A™ FIGURA 10 La regla del punto medio A menudo se elige el punto muestra xi * como el extremo de la derecha del i-ésimo inter- valo porque resulta conveniente para calcular el límite. Pero si la finalidad es hallar una aproximación para una integral, es mejor elegir xi * como el punto medio del intervalo, el cual se denota con xi. Cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, pero si usamos los puntos medios, obtenemos la siguiente aproximación: Regla del punto medio donde y xi 1 2 xi 1 xi punto medio de xi 1, xi x b a n y b a f x dx n i 1 f xi x x f x1 f xn v EJEMPLO 5 Use la regla del punto medio con n m 5 para hallar una aproximación de y 2 1 1 x dx. SOLUCIÓN Los puntos extremos de los cinco subintervalos son 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0, de modo que los puntos medios son 1.1, 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9. El ancho de los subintervalos es x 2 1 5 1 5, de modo que la regla del punto medio da 0.691908 1 5 1 1.1 1 1.3 1 1.5 1 1.7 1 1.9 y 2 1 1 x dx x f 1.1 f 1.3 f 1.5 f 1.7 f 1.9 Puesto que f(x) m 1Yx 0 para 1 v x v 2, la integral representa un área y la aproxima- ción dada por la regla del punto medio es la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran en la figura 11. TEC En Module 5.2Y7.7 se muestra cómo la regla del punto medio mejora cuando n se incrementa. FIGURA 11 0 x y 1 2 y= 1 x
- 775. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 379 Hasta el momento no sabemos qué tan exacta es la aproximación del ejemplo 5; pero en la sección 7.7 aprenderemos un método para estimar el error involucrado, con el uso de la regla del punto medio. En ese momento se exponen otros métodos para hallar aproxi- maciones de integrales definidas. Si aplicamos la regla del punto medio a la integral del ejemplo 2, obtenemos el dibu- jo que aparece en la figura 12. La aproximación M40 6.7563 está mucho más cerca del valor verdadero de 6.75 que la aproximación con el punto extremo de la derecha, R40 6.3998, que se muestra en la figura 7. FIGURA 12 M¢¸Å_6.7563 0 y 3 x 5 y=˛-6x Propiedades de la integral definida Cuando se definió la integral definida xb a f x dx, de manera implícita se supuso que a
- 776. b. Pero la definición como un límite de la suma de Riemann tiene sentido aun cuan- do a b. Note que si invertimos a y b, entonces $x cambia de (b a)Yn a (a b)Yn. En consecuencia, y a b f x dx y b a f x dx Si a m b, entonces $x m 0 de manera que y a a f x dx 0 Ahora aparecen algunas propiedades básicas de las integrales que lo ayudarán a la eva- luación de éstas con mayor facilidad. Suponga que f y J son funciones continuas. Propiedades de la integral 1. , donde c es cualquier constante 2. 3. , donde c es cualquier constante 4. y b a f x t x dx y b a f x dx y b a t x dx y b a cf x dx c y b a f x dx y b a f x t x dx y b a f x dx y b a t x dx y b a c dx c b a En la propiedad 1 se expresa que la integral de una función constante f(x) m c es la constante multiplicada por la longitud del intervalo. Si c 0 y a
- 777. b, esto es de esperarse porque c(b a) es el área del rectángulo de la figura 13. TEC En Visual 5.2 podemos comparar las aproximaciones izquierda, derecha y del punto medio para la integral del ejemplo 2 para diferentes valores de n. FIGURA 13 j c dx=c(b-a) D E 0 y x a b c y=c iUHD=c(b-a)
- 778. 380 CAPÍTULO 5 INTEGRALES En la propiedad 2 se afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. Para funciones positivas, esto quiere decir que el área bajo f J es el área bajo f más el área bajo J. La figura 14 ayuda a comprender por qué esto es cierto: en vista de la mane- ra en que funciona la adición de gráficas, los segmentos de recta verticales correspondien- tes tienen alturas iguales. En general, la propiedad 2 se deduce del teorema 4 y del hecho de que el límite de una suma es la suma de los límites: y b a f x dx y b a t x dx lím n l n i 1 f xi x lím n l n i 1 t xi x lím n l n i 1 f xi x n i 1 t xi x y b a f x t x dx lím n l n i 1 f xi t xi x La propiedad 3 puede demostrarse de manera semejante y en ella se expresa que la integral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la integral de la función. En otras palabras, una constante (pero sólo una constante) puede llevarse hacia afuera de un signo de integral. La propiedad 4 se demuestra escribiendo f J m f (J) y aplicando las propiedades 2 y 3 con c m 1. EJEMPLO 6 Utilice las propiedades de las integrales para evaluar y 1 0 4 3x2 dx. SOLUCIÓN Utilizando las propiedades 2 y 3 de las integrales, se tiene y 1 0 4 3x2 dx y 1 0 4 dx y 1 0 3x2 dx y 1 0 4 dx 3 y 1 0 x2 dx Por la propiedad 1, sabemos que y 1 0 4 dx 4 1 0 4 y, en el ejemplo 2 de la sección 5.1, encontramos que y 1 0 x2 dx 1 3. De manera que, 4 3 1 3 5 y 1 0 4 3x2 dx y 1 0 4 dx 3 y 1 0 x2 dx En la siguiente propiedad indica cómo combinar las integrales de la misma función sobre intervalos adyacentes: 5. y c a f x dx y b c f x dx y b a f x dx Esto no es fácil de demostrar en general; pero, para el caso donde f(x) w 0 y a
- 779. c
- 780. b, puede verse la propiedad 5 a partir de la interpretación geométrica de la figura 15: el área bajo y m f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b es igual al área total desde a hasta b. y 0 x a b f g f+g FIGURA 14 j [ƒ+©] dx= j ƒ dx+j © dx D E D E D E FIGURA 15 0 y x a b c y=ƒ La propiedad 3 parece intuitivamente razonable porque si se multiplica una función por un número positivo c, su gráfica se alarga o contrae en el sentido vertical un factor de c. De modo que alarga o contrae cada rectángulo de aproximación un factor de c y, por consecuencia, tiene el efecto de multiplicar el área por c.
- 781. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 381 v EJEMPLO 7 Si se sabe que y , encuentre x10 8 f x dx x8 0 f x dx 12 x10 0 f x dx 17 . SOLUCIÓN Por la propiedad 5, tenemos de modo que y 10 8 f x dx y 10 0 f x dx y 8 0 f x dx 17 12 5 y 8 0 f x dx y 10 8 f x dx y 10 0 f x dx Las propiedades 1 a 5 son verdaderas ya sea que a
- 782. b, a m b o a b. Las propiedades que se enuncian a continuación, en las que se comparan tamaños de funciones y tamaños de integrales, son verdaderas sólo si a v b. Propiedades de comparación de la integral 6. Si para , entonces . Si para , entonces Si para , entonces . 7. 8. m b a y b a f x dx M b a a x b m f x M y b a f x dx y b a t x dx a x b f x t x y b a f x dx 0 a x b f x 0 Si f(x) w 0, entonces xb a f x dx representa el área bajo la gráfica de f, de manera que la interpretación geométrica de la propiedad 6 es simplemente que las áreas son positivas (esto también se sigue directamente de la definición porque todas las cantidades involucra- das son positivas). La propiedad 7 expresa que una función más grande tiene una integral más grande, lo cual se infiere de las propiedades 6 y 4 porque f J w 0. La propiedad 8 se ilustra mediante la figura 16 para el caso en que f(x) w 0. Si f es continua podríamos tomar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre el intervalo [a, b]. En este caso, la propiedad 8 expresa que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que el área del rectángulo con altura M. DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 8 Puesto que m v f(x) v M, la propiedad 7 plantea que y b a m dx y b a f x dx y b a M dx Si aplicamos la propiedad 1 para evaluar las integrales en el primero y el segundo miembros, obtenemos m b a y b a f x dx M b a La propiedad 8 es útil si lo que quiere se reduce es una estimación general del tamaño de una integral sin las dificultades que representa el uso de la regla del punto medio. EJEMPLO 8 Use la propiedad 8 para estimar y 1 0 e x 2 dx. SOLUCIÓN Debido a que f x e x 2 es una función decreciente sobre [0, 1], su valor máximo absoluto es M m f(0) m 1 y su valor mínimo absoluto es m m f(1) m e1 . De 0 y m M x a b y=ƒ FIGURA 16
- 783. 382 CAPÍTULO 5 INTEGRALES esta manera, por la propiedad 8, o bien e 1 y 1 0 e x 2 dx 1 e 1 1 0 y 1 0 e x 2 dx 1 1 0 Dado que e1 0.3679, podemos escribir 0.367 y 1 0 e x 2 dx 1 El resultado del ejemplo 8 se ilustra en la figura 17. La integral es mayor que el área del rectángulo inferior y menor que el área del cuadrado. 5.2 Ejercicios 1. Evalúe la suma de Riemann para , 2 x 14 f x 3 1 2 x , con seis subintervalos, tomando los puntos extremos de la izquierda como los puntos muestra. Con ayuda de un diagrama, explique qué representa la suma de Riemann. 2. Si f(x) m x2 2x, 0 v x v 3, evalúe la suma de Riemann con n m 6 tomando los puntos extremos de la derecha como los puntos muestra. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre su respuesta con un diagrama. 3. Si f(x) m ex 2, 0 v x v 2, encuentre la suma de Riemann con n m 4 correcta hasta seis cifras decimales, tomando los puntos medios como los puntos muestra. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre con un diagrama. 4. a) Encuentre la suma de Riemann para f(x) m sen x, 0 v x v 3)Y2, con seis términos, tomando los puntos muestra como los puntos extremos de la derecha (Dé su respuesta a una aproximación de seis cifras decimales.) Explique, con ayuda de un diagrama, qué representa la suma de Riemann. b) Repita el inciso a) con los puntos medios como los puntos muestra. 5. Se da la gráfica de una función. Estime x10 0 f x dx usando cinco subintervalos con a) los puntos extremos de la derecha, b) los puntos extremos de la izquierda y c) los puntos medios. x y 0 1 1 6. Se muestra la gráfica de J. Estime x4 2 t x dx con seis subintervalos usando a) los puntos extremos de la derecha, b) los puntos extremos de la izquierda y c) los puntos medios. x y 1 1 7. Se muestra una tabla de valores de una función creciente f. Utilícela para hacer estimaciones inferiores y superiores para x30 10 f x dx. x 10 14 18 22 26 30 12 6 2 1 3 8 f x 8. En la tabla se dan los valores de una función obtenida a partir de un experimento. Con ellos estime x9 3 f x dx usando tres subintervalos iguales con a) los puntos extremos de la derecha, b) los puntos extremos de la izquierda y c) los puntos medios. Si se sabe que la función es decreciente, ¿puede decir si sus estimaciones son menores o mayores que el valor exacto de la integral? x 3 4 5 6 7 8 9 0.3 0.9 1.4 1.8 0.6 2.1 3.4 f x SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com FIGURA 17 y x 1 0 1 y=1 y=e–x2 y=1/e
- 784. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA 383 9-12 Use la regla del punto medio, con el valor dado de n, para hallar una aproximación de cada una de las siguientes integrales. Redondee cada respuesta hasta cuatro cifras decimales. 9. 10. , . 2 1 . 1 1 y 5 1 x2 e x dx, n 4 y 2 0 x x 1 dx, n 5 n 4 y 2 0 cos4 x dx y 8 0 sensx dx, n 4 SAC 13. Si tiene un SAC que evalúe las aproximaciones con los puntos medios y trace los rectángulos correspondientes (en Maple, use los comandos de RiemannSum o middlebox y middlebox), compruebe la respuesta del ejercicio 11 e ilustre con una gráfica. Después, repita con n m 10 y n m 20. 14. Con una calculadora programable o una computadora (vea las instrucciones para el ejercicio 9 de la sección 5.1), calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha para la función f(x) m x Y(x 1) sobre el intervalo [0, 2], con n m 100. Explique por qué estas estimaciones demuestran que 0.8946 y 2 0 x x 1 dx 0.9081 15. Use una calculadora o una computadora para hacer una tabla de valores de sumas de la derecha de Riemann Rn para la integral x0 sen x dx con n m 5, 10, 50 y 100. ¿A qué valor parecen aproximarse estos números? 16. Use calculadora o computadora para hacer una tabla de valores de las sumas de la izquierda y de la derecha de Riemann Ln y Rn para la integral x2 0 e x 2 dx con n m 5, 10, 50 y 100. ¿Entre que números tiene que encontrarse el valor de la integral? ¿Puede formular un enunciado similar para la integral x2 1 e x 2 dx? Explique su respuesta. 17-20 Exprese cada uno de los siguientes límites como una integral definida sobre el intervalo dado. 17. 18. 19. , 20. , 1, 3 lím nl n i 1 xi * xi * 2 4 x 2, 7] lím nl n i 1 5 xi * 3 4xi * x lím nl n i 1 cos xi xi x, , 2 lím nl n i 1 xi ln 1 xi 2 x, 2, 6 p p 21-25 Use la forma de la definición de integral que se dio en el teorema 4 para evaluar la integral. . 2 2 . 1 2 23. 24. 25. y 1 0 x3 3x2 dx y 0 2 x2 x dx y 2 0 2x x3 dx y 4 1 x2 4x 2 dx y 5 2 4 2x dx 26. a) Halle una aproximación a la integral x4 0 x2 3x dx usando una suma de Riemann con puntos extremos de la derecha y n m 8. b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustrar la aproximación del inciso a). c) Aplique el teorema 4 para evaluar x4 0 x2 3x dx. d) Interprete la integral del inciso c) como una diferencia de áreas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4. 27. Demuestre que y b a x dx b2 a2 2 . 28. Demuestre que y b a x2 dx b3 a3 3 . 29-30 Exprese la integral como un límite de sumas de Riemann. No evalúe el límite. . 0 3 . 9 2 y 10 1 x 4 ln x dx y 6 2 x 1 x5 dx SAC 31-32 Exprese cada una de las siguientes integrales como un límite de sumas. Después, evalúe utilizando un sistema algebraico computarizado para encontrar tanto la suma como el límite. . 2 3 . 1 3 y 10 2 x6 dx y0 sen 5 x dx 33. Se muestra la gráfica de f. Evalúe cada una de las siguientes integrales interpretándola en términos de áreas. ) b ) a ) d ) c y 9 0 f x dx y 7 5 f x dx y 5 0 f x dx y 2 0 f x dx x y 0 2 4 6 8 2 y=ƒ 34. La gráfica J consiste en dos rectas y una semicircunferencia. Úsela para evaluar cada una de las siguientes integrales. a) b) c) y 7 0 t x dx y 6 2 t x dx y 2 0 t x dx x y 0 2 4 7 4 y=©
- 785. 384 CAPÍTULO 5 INTEGRALES 35-40 Evalúe cada una de las siguientes integrales interpretándola en términos de áreas. . 6 3 . 5 3 37. 38. . 0 4 . 9 3 y 10 0 x 5 dx y 2 1 x dx y 0 3 (1 s9 x2 ) dx y 5 5 (x s25 x2 ) dx y 9 0 (1 3 x 2) dx y 2 1 1 x dx 41. Evalúe y sen2 x cos4 x dx. 42. Dado que , y 1 0 3xsx2 4 dx 5s5 8 ¿a qué es igual ? y 0 1 3usu2 4 du 43. En el ejemplo 2 de la sección 5.1, demostramos que x1 0 x2 dx 1 3. Utilice este hecho y las propiedades de las integrales para evaluar x1 0 5 6x2 dx. 44. Utilice las propiedades de las integrales y el resultado del ejemplo 3 para evaluar x3 1 2ex 1 dx. 45. Utilice el resultado del ejemplo 3 para evaluar x3 1 ex 2 dx. 46. A partir de los resultados del ejercicio 27 y del hecho de que x 2 0 cos x dx 1 p (según el ejercicio 25 de la sección 5.1), junto con las propiedades de las integrales, evalúe x 2 0 2cos x 5x dx. 47. Escriba como una sola integral en la forma xb a f x dx. y 2 2 f x dx y 5 2 f x dx y 1 2 f x dx 48. Si y , encuentre 49. Si y , encuentre . 50. Encuentre para f x 3 para x 3 x para x 3 x5 0 f x dx x9 0 2 f x 3t x dx x9 0 t x dx 16 x9 0 f x dx 37 x4 1 f x dx x5 4 f x dx 3.6 x5 1 f x dx 12 51. Para la función f cuya gráfica se muestra, enliste las siguientes cantidades en orden creciente, de menor a mayor, y explique su razonamiento. ) b ) a ) d ) c e) f 1 x8 4 f x dx x8 3 f x dx x3 0 f x dx x8 0 f x dx y 0 x 2 5 52. Si F x xx 2 f t dt, donde f es la función cuya gráfica está dada, ¿cuál de los siguientes valores es el más grande? a) F(0) d) F(3) b) F(1) e) F(4) c) F(2) y 0 t 1 2 3 4 y=f(t) 53. Cada una de las regiones A, B, y C, limitadas por la gráfica de f y el eje x, tiene área 3. Encuentre el valor de y 2 4 f x 2x 5 dx y 0 x _4 _2 2 A B C 54. Suponga que f tiene el valor mínimo absoluto m y el valor máximo absoluto M. ¿Entre qué valores se encuentra x2 0 f x dx? ¿Qué propiedad de las integrales le permite sostener su conclusión? 55-58 Aplique las propiedades de las integrales para verificar la desigualdad sin evaluar las integrales. 55. 56. 57. 58. s2 24 y 4 6 cos x dx s3 24 2 y 1 1 s1 x2 dx 2s2 y 4 0 x2 4x 4 dx 0 y 1 0 s1 x2 dx y 1 0 s1 x dx p p p p 59-64 Utilice la propiedad 8 para estimar el valor de cada una de las siguientes integrales. . 0 6 . 9 5 . 2 6 . 1 6 . 4 6 . 3 6 y 2 0 xe x dx y 2 x 2 sen x dx y 3 4 tan x dx y 2 0 x3 3x 3 dx y 4 1 sx dx y 2 0 1 1 x2 dx p p p p
- 786. PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO FUNCIONES ÁREA 385 65-66 Mediante las propiedades de las integrales, junto con los ejercicios 27 y 28, demuestre cada una de las siguientes desigualdades. 65. 66. y 2 0 x sen x dx 2 8 y 3 1 sx4 1 dx 26 3 p p 67. Demuestre la propiedad 3 de las integrales. 68. a) Si f es continua sobre [a, b], demuestre que y b a f x dx y b a f x dx [Sugerencia: .] f x f x f x b) Utilice el resultado del inciso a) para demostrar que y 2 0 f x sen 2x dx y 2 0 f x dx p p 69. Sea f(x) m 0 si x es cualquier número racional y f(x) m 1 si x es cualquier número irracional. Demuestre que f no es integrable sobre [0, 1]. 70. Sea f(0) m 0 y f(x) m 1Yx si 0
- 787. x v 1. Demuestre que f no es integrable sobre [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el primer término en la suma de Riemann, f(xi *) $x, puede hacerse de manera arbitraria muy grande]. 71-72 Exprese cada uno de los siguientes límites como una integral definida. 71. [Sugerencia: considere .] 72. lím n l n i 1 i 4 n5 f x x4 lím n l 1 n n i 1 1 1 i n 2 73. Determine x2 1 x 2 dx. Sugerencia: elija xi * como la media geométrica xi1 y xi (es decir, ) xi * sxi 1 xi y use la identidad 1 m m 1 1 m 1 m 1 PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO FUNCIONES ÁREA 1. a) Trace la recta y m 2t 1 y utilice la geometría para hallar el área bajo esta recta, arriba del eje t y entre las rectas verticales t m 1 y t m 3. b) Si x 1, sea A(x) el área de la región que se encuentra bajo la recta y m 2t 1, entre t m 1 y t m x. Dibuje un esquema de esta región y use la geometría a fin de hallar una expresión para A(x). c) Derive la función área A(x). ¿Qué observa? 2. a) Si x w 1, sea A x y x 1 1 t2 dt A(x) representa el área de una región. Grafique la región. b) A partir de los resultados del ejercicio 28 de la sección 5.2 encuentre una expresión para A(x). c) Determine A(x). ¿Qué observa? d) Si x w 1 y h es un número positivo pequeño, entonces A(x h) A(x) representa el área de una región. Describa y grafique la región. e) Dibuje un rectángulo que aproxime la región del inciso d). Mediante la comparación de áreas de estas dos regiones demuestre que A x h A x h 1 x2 f) Mediante el inciso e) proporcione una explicación intuitiva del resultado del inciso c). 3. a) Grafique la función f(x) m cos(x2 ) en el rectángulo de vista [0, 2] por [1.25, 1.25]. b) Si definimos una nueva función J por medio de t x y x 0 cos t2 dt entonces J(x) es el área bajo la gráfica de f de 0 a x [hasta que f(x) sea negativa, en cuyo punto J(x) es una diferencia de áreas]. Use el resultado del inciso a) para determinar el Se requiere calculadora graficadora o computadora
- 788. 386 CAPÍTULO 5 INTEGRALES El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el cálculo diferencial y el cálcu- lo integral. El Cálculo diferencial surgió del problema de la recta tangente, mientras que el Cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado, el problema del área. El profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descubrió que en realidad estos dos problemas estaban íntimamente relacionados. De hecho, se dio cuenta de que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo precisa la relación inversa entre la derivada y la integral. Newton y Leibniz explo- taron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo como un método matemático sistemático. En particular, observaron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas como en las secciones 5.1 y 5.2. La primera parte del teorema fundamental trata con funciones definidas por una ecua- ción en la forma t x y x a f t dt 1 donde f es una función continua sobre [a, b] y x varía entre a y b. Observe que J depende sólo de x, que aparece como el límite variable superior en la integral. Si x es un número fijo, entonces la integral xx a f t dt es un número definido. Si después hacemos variar x, el número xx a f t dt también varía y define una función de x que se denota mediante J(x). Si f es una función positiva, entonces J(x) puede interpretarse como el área bajo la grá- fica de f de a a x, donde x puede variar de a a b. (Piense en J como la función “el área hasta”; véase la figura 1.) valor de x en el cual J(x) empieza a decrecer. [A diferencia de la integral del problema 2, es imposible evaluar la integral que define J para obtener una expresión explícita para J(x).] c) Utilice el comando de integración de su calculadora o computadora para estimar J(0.2), J(0.4), J(0.6),..., J(1.8), J(2). Después, con estos valores dibuje una gráfica de J. d) Use su gráfica de J del inciso c) para dibujar la gráfica de J utilizando la interpretación de J(x) como la pendiente de una recta tangente. ¿Qué relación existe entre la gráfica de J y la de f? 4. Supongamos que f es una función continua sobre el intervalo [a, b] y definimos una nueva función J por la ecuación t x y x a f t dt Tomando como base sus resultados en los problemas 1 a 3, deduzca una expresión para J(x). 5.3 Teorema fundamental del cálculo 0 y t a b x iUHD=© y=f(t) FIGURA 1
- 789. SECCIÓN 5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 387 v EJEMPLO 1 Si f es la función cuya gráfica se ilustra en la figura 2 y t x xx 0 f t dt, encuentre los valores de J(0), J(1), J(2), J(3), J(4) y J(5). Luego trace una gráfica aproximada de J. SOLUCIÓN En primer lugar, observe que t 0 x0 0 f t dt 0. A partir de la figura 3 se ve que J(1) es el área de un triángulo: t 1 y 1 0 f t dt 1 2 1 2 1 Para hallar J(2) le agregamos a J(1) el área de un rectángulo: t 2 y 2 0 f t dt y 1 0 f t dt y 2 1 f t dt 1 1 2 3 Estimamos que el área bajo f de 2 a 3 es alrededor de 1.3, de manera que t 3 t 2 y 3 2 f t dt 3 1.3 4.3 t 0 1 1 2 2 4 2 y y=f(t) FIGURA 2 FIGURA 3 g(1)=1 t 0 1 1 2 2 y t 0 1 1 2 2 2 y g(2)=3 t 0 1 1 2 2 2 y 3 g(3)Å4.3 t 0 1 1 2 2 4 2 y g(4)Å3 t 0 1 1 2 2 4 2 y g(5)Å1.7 Para t 3, f(t) es negativa y, por tanto, empezamos a restar áreas: t 5 t 4 y 5 4 f t dt 3 1.3 1.7 t 4 t 3 y 4 3 f t dt 4.3 1.3 3.0 Usamos estos valores para trazar la gráfica de J en la figura 4. Observe que, debido a que f(t) es positiva para t
- 790. 3, se sigue sumando área para t
- 791. 3 y, por tanto, J es creciente hasta x m 3, donde alcanza un valor máximo. Para x 3, J decrece porque f(t) es negativa. Si tomamos f(t) m t y a m 0, entonces, aprovechando el ejercicio 27 de la sección 5.2, tenemos t x y x 0 t dt x2 2 Observe que J(x) m x; es decir, J m f. En otras palabras, si J se define como la integral de f mediante la ecuación 1, entonces J resulta ser, cuando menos en este caso, una antide- rivada de f. Y si trazamos la gráfica de la derivada de la función J que se ilustra en la figura 4 al estimar las pendientes de las rectas tangentes, obtenemos una gráfica como la de f en la figura 2. Por eso, sospechamos que en el ejemplo 1 también J m f. FIGURA 4 ©=j f(t) dt D [ x 0 1 1 2 4 2 y 3 4 5 3 g
- 792. 388 CAPÍTULO 5 INTEGRALES Con objeto de ver por qué en general esto puede ser verdadero, considere cualquier función continua f con f(x) w 0. Entonces t x xx a f t t d puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f de a a x, como en la figura 1. A fin de calcular J(x) a partir de la definición de derivada, en primer lugar observe que, para h 0, J(x h) J(x) se obtiene restando áreas; por tanto, es el área bajo la gráfica de f de x a x h (el área azul de la figura 5). Para h pequeñas, a partir de la figura puede ver que esta área es aproximadamente igual al área del rectángulo con altura f(x) y ancho h: por eso t x h t x h f x t x h t x hf x En consecuencia, por intuición, esperamos que t x lím hl 0 t x h t x h f x El hecho de que esto sea verdadero, aun cuando f no sea necesariamente positiva, es la primera parte del teorema fundamental del cálculo. y 0 t a b x x+h h ƒ FIGURA 5 Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si f es continua sobre [a, b], entonces la función J definida por t x y x a f t dt a x b es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y J(x) m f(x). El nombre de este teorema se abrevia como TFC1: expresa que la derivada de una integral definida respecto a su límite superior es el integrando evaluado tal límite. DEMOSTRACIÓN Si x y x h están en (a, b), entonces (por la propiedad 5) y x h x f t dt y x a f t dt y x h x f t dt y x a f t dt t x h t x y x h a f t dt y x a f t dt y de este modo, para h 0, 2 t x h t x h 1 h y x h x f t dt Por ahora supongamos que h 0. Puesto que f es continua sobre [x, x h], el teorema del valor extremo establece que hay números u y v en [x, x h] tales que f (u) m m y f (v) m M, donde m y M son los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre [x, x h] (Véase la figura 6.) De acuerdo con la propiedad 8 de las integrales, tenemos mh y x h x f t dt Mh FIGURA 6
- 793. SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 389 es decir, f u h y x h x f t dt f v h Dado que h 0, podemos dividir esta desigualdad entre h: f u 1 h y x h x f t dt f v Ahora, utilizamos la ecuación 2 para remplazar la parte de en medio de esta desigualdad: f u t x h t x h f v 3 La desigualdad 3 puede demostrarse de una manera similar a la del caso cuando h
- 794. 0. (Véase el ejercicio 71.) Ahora sea h l 0. Entonces u l x y v l x, ya que u y v quedan entre x y x h. Por tanto, y lím hl 0 f v lím v lx f v f x lím hl 0 f u lím ul x f u f x porque f es continua en x. De acuerdo con 3 y el teorema de la compresión concluimos que t x lím hl 0 t x h t x h f x 4 Si x m a o b, entonces la ecuación 4 puede interpretarse como un límite unilateral. Entonces el teorema 2.8.4 (modificado para límites unilaterales) demuestra que J es continua sobre [a, b]. De acuerdo con la notación de Leibniz para derivadas, podemos expresar al tfc1 como 5 d dx y x a f t dt f x cuando f es continua. En términos generales, la ecuación 5 establece que si primero inte- gramos f y luego derivamos el resultado, regresamos a la función original f. v EJEMPLO 2 Encuentre la derivada de la función t x y x 0 s1 t2 dt. SOLUCIÓN Puesto que f t s1 t2 es continua, la parte 1 del teorema fundamental del cálculo da t x s1 x2 EJEMPLO 3 Si bien una fórmula en la forma t x xx a f t dt puede parecer una forma extraña de definir una función, los libros de física, química y estadística están llenos de funciones semejantes. Por ejemplo, la función de Fresnel S x y x 0 sen t2 2 dt p recibe ese nombre en honor del físico francés Augustin Fresnel (1788-1827), que es famoso por sus trabajos en óptica. Esta función apareció por primera vez en la teoría de Fresnel de la difracción de la luz, pero a últimas fechas se ha aplicado al diseño de autopistas. TEC En Module 5.3 se proporciona evidencia visual para el TFC1.
- 795. 390 CAPÍTULO 5 INTEGRALES La parte 1 del teorema fundamental indica cómo derivar la función de Fresnel: S x sen x2 2 p Esto significa que podemos aplicar todos los métodos del cálculo diferencial para analizar S (véase el ejercicio 65). En la figura 7 se muestran las gráficas de f(x) m sen ()x2 Y2) y de la función de Fresnel S x xx 0 f t t d . Puede utilizarse una computadora para graficar S calculando el valor de esta integral para muchos valores de x. Evidentemente, parece que S(x) es el área bajo la gráfica de f de 0 hasta x [hasta que x 1.4 cuando S(x) sea una diferencia de áreas]. La figura 8 muestra una gran parte de la gráfica de S. FIGURA 7 VHQ
- 797. jVHQ
- 798. Si empezamos ahora por la gráfica de S de la figura 7 y pensamos qué aspecto debe tener su derivada, parece razonable que S(x) m f(x). [Por ejemplo, S es creciente cuando f(x) 0 y decreciente cuando f(x)
- 799. 0]. De modo que esto da una confirmación visual de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo. EJEMPLO 4 Encuentre d dx y x4 1 sec t dt. SOLUCIÓN En este caso debe ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con el tfc1. Sea u m x4 . Por tanto, (Por la regla de la cadena) (por TFC1) sec x4 4x3 sec u du dx d du y u 1 sec t dt du dx d dx y x4 1 sec t dt d dx y u 1 sec t dt En la sección 5.2 calculamos integrales a partir de la definición como un límite de las sumas de Riemann, y vimos que ese procedimiento es a veces largo y difícil. La segunda parte del teorema fundamental del cálculo, que se infiere con facilidad de la prime- ra parte, representa un método mucho más simple para evaluar integrales.
- 800. SECCIÓN 5.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 391 DEMOSTRACIÓN Sea t x xx a f t dt. De acuerdo con la parte 1, sabemos que J(x) m f(x); es decir, J es una antiderivada de f. Si F es cualquier otra antiderivada de f sobre [a, b], entonces, por el corolario 4.2.7, la diferencia entre F y J es una constante: 6 F x t x C para a
- 801. x
- 802. b. Pero tanto F como J son continuas sobre [a, b] y de este modo, al obtener los límites de ambos miembros de la ecuación 6, (cuando x l a y x l b ), vemos que también se cumple cuando x m a y x m b. Si hacemos x m a en la fórmula para J(x), obtenemos t a y a a f t dt 0 Entonces, al aplicar la ecuación 6 con x m b y x m a, tenemos t b t a t b y b a f t dt F b F a t b C t a C La parte 2 del teorema fundamental establece que si conocemos una antiderivada F de f, entonces podemos evaluar xb a f x x d simplemente calculando la diferencia de los valores de F en los extremos del intervalo [a, b]. Sorprende mucho que xb a f x dx, que fue definida mediante un procedimiento complicado que requiere todos los valores de f(x) para a v x v b, pueda determinarse conociendo los valores de F(x) en sólo dos puntos, a y b. Aunque el teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta en términos físicos. Si v(t) es la velocidad de un objeto y s(t) es su posición en el tiempo t, entonces v(t) m s(t), así que s es una antiderivada de v. En la sección 5.1 se estudia un objeto que siempre se mueve en la dirección positiva y plantea una conjetura de que el área bajo la curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida. Si lo expresamos mediante símbolos: y b a v t dt s b s a Eso es exactamente lo que el tfc2 establece en este contexto. v EJEMPLO 5 Evalúe la integral y 3 1 ex dx. SOLUCIÓN La función f(x) m ex es continua en todo su dominio, y sabemos que una antiderivada es F(x) m ex , de modo que la parte 2 del teorema fundamental da y 3 1 ex dx F 3 F 1 e3 e Observe que el tfc2 establece que podemos utilizar cualquier antiderivada F de f. De este modo podríamos usar la más sencilla, a saber F(x) m ex , en lugar de ex 7 o de ex C. Teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua sobre [a, b], entonces y b a f x dx F b F a donde F es una antiderivada de f; es decir, una función tal que F m f. Este teorema se abrevia mediante las siglas TFC2. Compare el cálculo en el ejemplo 5 con el mucho más difícil del ejemplo 3 de la sección 5.2
- 803. 392 CAPÍTULO 5 INTEGRALES A menudo se recurre a la notación F x ]a b F b F a Así que la ecuació