![6. Racionalice la expresión y simplifique.
(a) (b)
7. Complete el cuadrado de lo siguiente.
(a) x2
x 1 (b) 2x2
12x 11
8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.)
(a) (b)
(c) x2
x 2 0 (d) 2x2
4x 1 0
(e) x4
3x2
2 0 (f)
(g)
9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo.
(a) 4 5 3x 17 (b) x2
2x 8
(c) x(x 1)(x 2) 0 (d)
(e)
10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa.
(a) (p q)2
p2
q2
(b)
(c) (d)
(e) (f)
1x
ax bx
1
a b
1
x y
1
x
1
y
1 TC
C
1 T
sa2
b2
a b
sab sa sb
2x 3
x 1
1
x 4 3
2x4 x12
3s4 x 0
3x 4 10
2x
x 1
2x 1
x
x 5 14
1
2x
s4 h 2
h
s10
s5 2
EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxi
6. (a) (b)
7. (a) (b) 2(x 3)2
7
8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4
(d) (e) (f)
(g)
9. (a) [4, 3) (b) (2, 4)
(c) (2, 0) ª (1,
) (d) (1, 7)
(e) (1, 4]
10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa
(d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera
12
5
2
3,
22
3
1 s2
1
1
2 s2
x
1
22
3
4
1
s4 h 2
5s2 2s10
1. (a) 81 (b) 81 (c)
(d) 25 (e) (f)
2. (a) (b) 48a5
b7
(c)
3. (a) 11x 2 (b) 4x2
7x 15
(c) a b (d) 4x2
12x 9
(e) x3
6x2
12x 8
4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x 4)
(c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2
3x 9)
(e) 3x1/2
(x 1)(x 2) (f) xy(x 2)(x 2)
5. (a) (b)
(c) (d) (x y)
1
x 2
x 1
x 3
x 2
x 2
x
9y7
6s2
1
8
9
4
1
81
RESPUESTAS AL EXAMEN DE PRUEBA A: ÁLGEBRA
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review
of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxi](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-23-320.jpg)
![EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxiii
EXAMEN DE DIAGNÓSTICO: FUNCIONES
C
1. La gráfica de una función f se da a la izquierda.
(a) Exprese el valor de f(1).
(b) Estime el valor de f(2).
(c) ¿Para qué valores de x es f(x) 2?
(d) Estime los valores de x tales que f(x) 0.
(e) Exprese el dominio y rango de f.
2. Si f(x) x3
, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta.
3. Encuentre el dominio de la función.
(a) (b) (c)
4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las funciones a partir de la gráfica de f?
(a) y f(x) (b) y 2f(x) 1 (c) y (x 3) 2
5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráfica.
(a) y x3
(b) y (x 1)3
(c) y (x 2)3
3
(d) y 4 x2
(e) (f)
(g) y 2x
(h) y 1 x1
6. Sea
(a) Evaluación f(2) y f(1) (b) Dibuje la gráfica de f.
7. Si f(x) x2
2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de las siguientes funciones.
(a) f t (b) t f (c) t t t
fx 1 x2
si x 0
2x 1 si x 0
y 2sx
y sx
hx s4 x sx2
1
gx
3
sx
x2
1
fx
2x 1
x2
x 2
f2 h f2
h
(d) (e) (f)
(g) (h)
6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2
8x 2
(b) (b) (t f)(x) 2x2
4x 5
(c) (t t t)(x) 8x 21
1. (a) 2 (b) 2.8
(c) 3, 1 (d) 2.5, 03
(e) [3, 3], [2, 3]
2. 12 6h h2
3. (a) (
, 2) ª (2, 1) ª (1,
)
(b) (
,
)
(c) (
, 1] ª [1, 4]
4. (a) Refleje alrededor del eje x
(b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación
desplace 1 unidad hacia abajo
(c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba
5. (a) (b) (c)
RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNÓSTICO C: FUNCIONES
Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of
Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com.
y
0 x
1
1
FIGURA PARA PROBLEMA 1
y
x
0
y
1
1 x
0
1
_1
y
x
0
(2, 3)
y
x
0
4
2
y
x
0
y
1 x
0 1
y
x
0
1
y
x
0
1 1
_1
y
x
0
_1
1
Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-26-320.jpg)
![0, en tal caso aparecerá una aproximación a en la
pantalla. Así, la tecla de su calculadora no es la misma exactamente que la función ma-
temática f definida por .
Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3.
Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está
asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente.
El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con
dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas
Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos
los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x está en el dominio de f.
La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la
vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es
y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última
arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del
dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5.
EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f.
(a) Encuentre los valores de f1) y f5).
(b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f?
SOLUCIÓN
(a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo
que el valor de f en 1 es . En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuen-
tra arriba de x 1 está tres unidades arriba del eje x.)
Cuando x 5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por
tanto,
(b) fx) está definida cuando , de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado
[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el interva-
lo de f es
y2 y 4](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-43-320.jpg)
![EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función.
(a) (b)
SOLUCIÓN
(a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real),
el dominio de f consta de todos los valores de x tales que . Esto es equivalente
a , de modo que el dominio es el intervalo .
(b) Dado que
y la división entre 0 no está permitida, tx no está definida cuando x 0 o x 1. Por lo
tanto, el dominio de t es
lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como
La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles
curvas en el plano xy son gráficas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior.
PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una
función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de
una vez.
En la figura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical.
Si cada línea vertical x a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se
define exactamente un valor funcional mediante . Pero si una línea x a se in-
terseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar
una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a.
Por ejemplo, la parábola que aparece en la figura 14(a) en la página que sigue
no es la gráfica de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas vertica-
les que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene
las gráficas de dos funciones de x. Observe que significa , por lo
que Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas
de las funciones [del ejemplo 6(a)] y [véase las figu-
ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación
define x como función de y (con y como la variable independiente y x
como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h.
x hy y2
2
tx sx 2
fx sx 2
y sx 2.
y2
x 2
x y2
2
x y2
2
FIGURA 13
a
x=a
(a, b)
0 a
(a, c)
(a, b)
x=a
0 x
y
x
y
fa b
, 0 0, 1 1,
xx 0, x 1](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-51-320.jpg)
![22 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráfica de la función
.
33–44 Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
40.
41.
42.
44.
45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la
curva dada.
45. El segmento rectilíneo que une los puntos y
46. El segmento rectilíneo que une los puntos y
La mitad inferior de la parábola
48. La mitad superior del círculo
49. 50.
51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su
dominio.
51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del
rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.
y
0 x
1
1
y
0 x
1
1
x2
(y 22
4
x y 12
0
47.
7, 10
5, 10
5, 7
1, 3
f x
x 9
2x
6
si x 3
si x 3
si x 3
f x x 2
x2
si x 1
si x 1
43.
f x 3
1
2x
2x 5
si x 2
si x 2
f x x 2
1 x
si x 0
si x 0
tx x
x2
Gx
3x x
x
39.
Fx 2x 1
tx sx 5
Ht
4 t2
2 t
f t t2
6t
Fx
1
2 x 3
f x 5
hx s4 x2
hx
1
s
4
x2 5x
31.
la terminal, sea la distancia horizontal recorrida y la
altitud del avión. Trace.
(a) Una gráfica posible de .
(b) Una gráfica posible de .
(c) Una gráfica posible de la rapidez con respecto al suelo.
(d) Una gráfica posible de la velocidad vertical.
19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de
telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones
semestrales).
(a) Mediante los datos trace una gráfica de N en función de t.
(b) Utilice la gráfica para estimar la cantidad de usuarios de
teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999.
20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T
(en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El
tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche.
(a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T
como una función de t.
(b) Utilice la gráfica que trazó para estimar la temperatura a las
11:00 A.M.
21. Si , encuentre , , , ,
, , , , y .
22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen
. Encuentre una función que represente la cantidad
de aire que se requiere para inflarlo desde un radio de r pulga-
das hasta otro de r 1 pulgadas.
23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro-
porciona. Simplifique su respuesta.
f(x) 4 3x x2
,
24. f(x) x3
,
25. ,
26. ,
27–31 Encuentre el dominio de la función.
27. 28.
29. 30. tu su s4 u
f t st s
3
t
f x
5x 4
x2
3x 2
f x
x
3x 1
f(x) – f(1)
x 1
fx
x 3
x 1
f(x) – f(a)
x a
f(x)
1
x
f(a h) – f(a)
h
f(3 h) – f(3)
h
23.
Vr
4
3
r3
f a h
[ f a]2
f a2
f 2a
2f a
f a 1
f a
f a
f 2
f 2
f x 3x2
x 2
yt
xt
yt
xt
t 1990 1992 1994 1996 1998 2000
N 11 26 60 160 340 650
t 0 2 4 6 8 10 12 14
T 73 73 70 69 72 81 88 91
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 22](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-60-320.jpg)
![de estadística conocido como regresión lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Si
utiliza una calculadora graficadora, registre los datos de la tabla 1 en el editor de datos
y elija el comando de regresión lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square]
en el paquete de estadística; con Mathematica utilice el comando Fit). La máquina da la
pendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresión como
De esta manera nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es
En la figura 6 aparece la gráfica de la recta de regresión así como los puntos de infor-
mación. Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia que
nuestro modelo lineal anterior.
EJEMPLO 3 Use el modelo lineal que proporciona la ecuación 2 para estimar el nivel
promedio de CO2 correspondiente al año 1987 y predecir el nivel para el 2010. Según
este modelo, ¿cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón?
SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t 1987, se estima que el nivel promedio de CO2
en 1987 fue
Esto es un ejemplo de interpolación porque ha estimado un valor entre valores observados.
(De hecho, el observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue
348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.)
Con t 2010, obtiene
De modo que se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2010 será
384.8 ppm. Esto es un ejemplo de extrapolación porque pronosticó un valor fuera de
la región de las observaciones. Por consecuencia, está mucho menos seguro acerca de la
exactitud de su predicción.
Al usar la ecuación 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando
Al resolver esta desigualdad tiene
t
3134.55
1.55192
2019.79
1.55192t 2734.55 400
C2010 1.551922010 2734.55
384.81
C1987 1.551921987 2734.55
349.12
V
FIGURA 6
La recta de regresión
340
350
360
1980 1985 1990
C
t
1995 2000
370
C 1.55192t 2734.55
2
b 2734.55
m 1.55192
SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 27
Una computadora o una calculadora grafi-
cadora encuentra la recta de regresión por
medio del método de mínimos cuadrados, el
cual consiste en reducir al mínimo la suma de
los cuadrados de las distancias verticales
entre los puntos correspondientes a datos y la
recta. En la sección 14.7 se explican detalles
de lo anterior.
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 27](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-65-320.jpg)
![(i) , donde n es un entero positivo
La figura 11 ilustra las gráficas de para y 5. (Éstos son poli-
nomios con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de (una línea a
través del origen con pendiente 1) y [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en
la sección 1.1].
La forma general de la gráfica de depende de si n es par o impar. Si n es
par, entonces es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola
. Si n es impar, entonces es una función impar y su gráfica es similar a la
de . Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace
más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando . (Si x es pequeña entonces x2
es más pequeña, x3
aún más pequeña, x4
es más pequeña y así sucesivamente.)
(ii) , donde n es un entero positivo
La función es una función raíz. Para es la función raíz cuadrada
, cuyo dominio es y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola
. [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de es simi-
lar a la de . Para n 3 tenemos la función raíz cúbica cuyo dominio
es (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la
figura 13(b). La gráfica de para n impar es similar a la de .
y s
3
x
n 3
y s
n
x
f x s
3
x
y sx
y s
n
x
x y2
0,
f x sx
n 2
f x x1n
s
n
x
a 1n
x 1
y x3
fx xn
y x2
fx xn
fx xn
y x2
y x
2, 3, 4
n 1,
fx xn
a n
30 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
Gráficas de f(x) = xn
para n = 1, 2, 3, 4, 5
x
1
y
1
0
y=x%
x
1
y
1
0
y=x#
x
1
y
1
0
y=≈
x
1
y
1
0
y=x
x
1
y
1
0
y=x$
FIGURA 11
y=x$
(1, 1)
(_1, 1)
y=x^
y=≈
FIGURA 12
Familias de funciones de potencia
y=x#
y=x%
(_1, _1)
(1, 1)
0
y
x
x
y
0
(b) ƒ=Œ„
x
x
y
0
(a) ƒ=œ„
x
x
y
0
(1, 1)
FIGURA 13
Gráficas de funciones raíz
(1, 1)
CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 30](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-68-320.jpg)
![46 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS
En esta sección, se supondrá que tiene acceso a una calculadora graficadora o a una compu-
tadora con software para trazar gráficas. Se dará cuenta de que el uso de uno de esos
aparatos le da capacidad para trazar gráficas de funciones más complicadas y resolver pro-
blemas más complejos de lo que sería posible de otra forma. También encontrará algunas
de las dificultades que se pueden presentar con estas máquinas.
Ambos dispositivos pueden dar gráficas muy exactas de las funciones. Pero, en el ca-
pítulo 4, verá que sólo usando el cálculo puede estar seguro de haber descubierto todos los
aspectos interesantes de una gráfica.
Una calculadora graficadora o una computadora presentan una parte rectangular de la
gráfica de una función en una ventana de visualización o pantalla, a los cuales se hará re-
fencia simplemente como rectángulo de visualización. La pantalla predeterminada a me-
nudo da una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado
el rectángulo de visualización. Si elige que los valores x varíen desde un valor mínimo de
Xmín a hasta un valor máximo de Xmáx b y que los valores y varíen desde uno míni-
mo de Ymín c hasta uno máximo de Ymáx d, entonces la parte visible de la gráfica se
encuentra en el rectángulo
que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectángulo de visua-
lización de [a, b] por [c, d].
La máquina dibuja la gráfica de una función f de modo muy semejante a como usted lo
haría. Sitúa los puntos de la forma para un cierto número de valores igualmente
espaciados de x entre a y b. Si un valor x no está en el dominio de f o si queda fuera el
rectangulo de visualización, la máquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el an-
terior para formar una representación de la gráfica de f.
EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función en cada uno de los siguientes
rectángulos de visualización.
(a) por (b) por
(c) por (d) por
SOLUCIÓN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmín 2, Xmáx 2,
Ymín 2 y Ymáx 2. En la figura 2(a), aparece la gráfica resultante. ¡La pantalla está
en blanco! Un momento de reflexión da la explicación: observe que para toda x,
de modo que para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la función
es . Esto significa que la gráfica de f está por completo fuera de la pantalla
por .
En la figura 2, también se muestran las gráficas para las pantallas de los incisos (b), (c)
y (d). Observe que obtiene una imagen más completa en los incisos (c) y (d), pero en el
inciso (d) no se ve con claridad que la intersección con el eje y es 3.
2, 2
2, 2
3,
fx x2
3
x2
3 3
x2
0
100, 1000
50, 50
5, 30
10, 10
4, 4
4, 4
2, 2
2, 2
f x x2
3
f x
x, fx
a, b
c, d
x, y a x b, c y d](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-90-320.jpg)
![1.4
FIGURA 2 Gráficas de f(x) = x2
+ 3
(b) _4, 4
por _4, 4
(a) _2, 2
por _2, 2
2
_2
_2 2
4
_4
_4 4
(c) _10, 10
por _5, 30
30
_5
_10 10
(d) _50, 50
por _100, 1000
1000
_100
_50 50
FIGURA 1
La pantalla de [a, b] por [c, d]
y=d
x=a x=b
y=c
(a, d ) (b, d )
(a, c )
(b, c
)
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 46](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-91-320.jpg)
![Con base en el ejemplo 1, la elección de un rectángulo de visualización puede dar lugar
a una gran diferencia en el aspecto de una gráfica. A veces es necesario cambiar a un rec-
tángulo de visualización más grande para obtener una imagen más global de la gráfica. Pe-
ro una pantalla demasiado grande también puede ser engañosa. En el ejemplo siguiente, el
conocimiento del dominio y del intervalo de una función a veces proporciona información
suficiente para seleccionar un buen rectángulo de visualización.
EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de visualización apropiada para la función
y úsela para trazar la gráfica de f.
SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando
Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2
. Además,
de modo que el alcance de f es el intervalo .
Elija el rectángulo de visualización de modo que el intervalo x sea algo mayor que el
dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo define en 3, 3
por 1, 4
,
obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3.
EJEMPLO 3 Dibuje la función .
SOLUCIÓN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los números reales. Eso
no ayuda a seleccionar un rectángulo de visualización. Experimente. Si empieza
con el rectángulo de visualización 5, 5
por 5, 5
, obtiene la gráfica de la figura 4.
Al parecer está en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla con
el eje y.
Si cambia el rectángulo de visualización a 20, 20
por 20, 20
, obtiene la
imagen que se muestra en la figura 5(a). La gráfica parece consistir en rectas verticales,
pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la gráfica, veá
que ésta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica que
necesita ver más en dirección vertical, de modo que cambie el rectángulo de visualización
a 20, 20
por 500, 500
. En la figura 5(b) aparece la gráfica resultante. Todavía
no revela todas las características principales de la función, de modo que pruebe con
20, 20
por 1 000, 1 000
en la figura 5(c). Ahora tiene más confianza de contar
con un rectángulo de visualización apropiada. En el capítulo 4 será capaz de ver que
la gráfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las características principales
de la función.
y x3
150x
[0, 2s2]
0 s8 2x2
s8 2s2
2.83
? x 2 ? 2 x 2
8 2x2
0 ? 2x2
8 ? x2
4
fx s8 2x2
SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 47
FIGURA 5 y=˛-150x
(a) (c)
(b)
1 000
_1000
_20 20
500
_500
_20 20
20
_20
_20 20
FIGURA 3
4
_1
_3 3
5
_5
_5 5
FIGURA 4
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 47](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-92-320.jpg)
![Usted debe experimentar con su máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produ-
ce. Si obtiene la de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de
la función
Note que esta función es igual a , excepto cuando x 0.
Para comprender cómo se relaciona la expresión de una función con su gráfica, ayuda
trazar la gráfica de una familia de funciones; es decir, una colección de funciones cu-
yas ecuaciones están relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las gráficas de los
miembros de una familia de polinomios.
EJEMPLO 8 Dibuje y x3
cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la
gráfica al cambiar c?
SOLUCIÓN En la figura 13 se muestran las gráficas de y x3
cx para c 2, 1, 0, 1 y
2, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha sin puntos máximos
ni mínimos (picos o valles). Cuando c 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es
negativo, la gráfica tiene un punto máximo y uno mínimo. Conforme c disminuye, el
punto máximo se vuelve más alto y el mínimo, más bajo.
EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x x correcta hasta dos cifras de-
cimales.
SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x x son las coordenadas x de los puntos de
intersección de las curvas y cos x y y x. En la figura 14(a), se ve que sólo existe
una solución y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectángulo
de visualización 0, 1
por 0, 1
, en la figura 14(b) se observa que la raíz está entre
0.7 y 0.8. De modo que al acercarse más hasta el rectángulo de visualización 0.7, 0.8
por 0.7, 0.8
de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de intersección de
las dos curvas, o por inspección y con base en que la escala x es 0.01, verá que la raíz
de la ecuación es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de intersección
integrada.)
V
s
3
x
fx
x
x
x13
50 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
(a) y=˛+2x (b) y=˛+x (c) y=˛ (d) y=˛-x (e) y=˛-2x
FIGURA 13
Varios miembros de la familia de
funciones y = x3
+ cx, se grafican
todas en el rectángulo de visualización
[2, 2] por [2.5, 2.5]
0.7, 0.8
por 0.7, 0.8
escala-x=0.01
(c)
0, 1
por 0, 1
escala-x=0.1
(b)
_5, 5
por _1.5, 1.5
escala-x=1
(a)
0.8
0.7
0.8
y=x
1
0
1
y=x
1.5
_1.5
_5 5
y=x
y=cos x
FIGURA 14
Localización de las
raíces de cos x = x
y=cos x
y=cos x
En Visual 1.4 puede ver
una animación de la figura 13
TEC
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 50](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-96-320.jpg)
![entonces la función exponencial tiene dominio y rango . Observe asimismo
que, puesto que , la gráfica de es sólo el reflejo de y ax
con respecto al eje y.
En las propiedades siguientes se encuentra un motivo de la importancia de la función
exponencial. Si x y y son números racionales, entonces a partir del álgebra elemental se
conocen bien estas leyes. Es posible probar que siguen siendo verdaderas para números ar-
bitrarios reales x y y. (Vease apéndice G).
LEY DE LOS EXPONENTES Si a y b son números positivos y x y y son cualquier núme-
ro real, entonces
1. 2. 3. 4.
EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y 3 2x
y determine su dominio y su
intervalo.
SOLUCIÓN Primero se refleja la gráfica de y 2x
[que se ilustra en la figura 5(a)] con res-
pecto al eje x para obtener la gráfica de y 2x
de la figura 5(b). Luego desplace la
gráfica de y 2x
tres unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y 3 2x
que aparece en la figura 5(c). El dominio es y el intervalo .
EJEMPLO 2 Mediante un dispositivo graficador, compare la función exponencial
f(x) 2x
y la función potencia t(x) x2
. ¿Cuál función aumenta más rápido cuando x
es grande?
SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones trazadas en el rectángulo de visualización
2, 6
por 0, 40
. Observe que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x 4 la
V
, 3
abx
ax
bx
ax
y
axy
axy
ax
ay
axy
ax
ay
1
(0, 1)
(a) y=a®, 0a1 (b) y=1® (c) y=a®, a1
(0, 1)
FIGURA 4
x
0
y
x
0
y
x
0
y
y 1ax
1ax
1ax
ax
0,
y ax
54 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
FIGURA 5
0
1
(a) y=2®
x
y
0
_1
(b) y=_2®
x
y
y=3
0
2
(c) y=3-2®
x
y
www.stewartcalculus.com Para revisar y
practicar las leyes de exponentes, oprima
en Review of Algebra
Para un repaso de reflexión y
desplazamiento de gráficas, vea la sección 1.3.
CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 54](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-100-320.jpg)
![Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que
se resumen en seguida.
? y
? y
? y
No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las defini-
ciones de csc1
o sec1
. Por ejemplo, algunos autores usan en
la definición de sec1
. [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la
figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).]
y 0,
2
2,
y 0,
cot y x
y cot1
x x
y 0,
2
, 3
2
sec y x
y sec1
x x 1
y 0,
2
, 3
2
csc y x
y csc1
x x 1
11
70 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
FIGURA 26
y=sec x
0
y
x
_1
2π
π
f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la
patada de salida.
14. f(t) es su altura a la edad de t.
15. Si f es una función uno a uno tal que , ¿cuánto
es ?
16. Sea f(x) 3 x2
tan(
x2), donde 1 x 1.
(a) Halle f1
(3).
(b) Encuentre f(f1
(5)).
Si t(x) 3 x ex
, encuentre t1
(4).
18. Se proporciona la gráfica de f.
(a) ¿Por qué f es uno a uno?
(b) Defina el dominio y el rango de f1
.
(c) ¿Cuál es el valor de .
(d) ¿Estime el valor de .
La fórmula , donde F](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-116-320.jpg)
![Si aplica la ley del producto repetidas veces, con tx fx, obtiene la ley siguiente:
LEY DE LA POTENCIA 6. donde n es un entero positivo
En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesita usar dos límites especiales:
7. 8.
Estos límites son evidentes desde un punto de vista intuitivo (establézcalos verbalmente
o dibuje y c y y x), pero demostraciones en términos de la definición precisa se piden
en los ejercicios de la sección 2.4.
Si en la ley 6 pone ahora fx x y aplica la Ley 8, obtiene otro límite especial
útil.
9. donde n es un entero positivo
Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue. (En el caso de las raíces cua-
dradas la demostración se esboza en el ejercicio 37 de la sección 2.4.)
10. donde n es un entero positivo
(Si n es par, considere que a 0.)
De modo más general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencia de
la ley 10 en la sección 2.5.
LEY DE LA RAÍZ 11. donde n es un entero positivo
Si n es par, suponga que
EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso.
(a) (b)
SOLUCIÓN
(a) (por las leyes 2 y 1)
(por la 3)
252
35 4 (por las 9, 8 y 7)
39
2 lím
xl5
x2
3 lím
xl5
x lím
xl5
4
lím
xl5
2x2
3x 4 lím
xl5
2x2
lím
xl5
3x lím
xl5
4
lím
xl2
x3
2x2
1
5 3x
lím
xl5
2x2
3x 4
lím
xla
fx 0.
lím
xla
s
n
fx) s
n
lím
xla
fx)
lím
x l a
s
n
x s
n
a
lím
x l a
xn
an
lím
xla
x a
lím
xla
c c
lím
xla
f x
n
[lím
xla
fx]n
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 101
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 101](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-149-320.jpg)
![Puesto que fx 8 2x para x 4, tiene
Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y
La gráfica de f se ilustra en la figura 5.
EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x el entero más grande que es
menor o igual que x. (Por ejemplo, 4 4, 4.8 4, p 3, , )
Demuestre que límxl3 x no existe.
SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que
x 3 para 3 x 4, tiene
Dado que x 2 para 2 x 3, tiene
En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, límxl3 x
no existe.
En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus
demostraciones se proporcionan en el apéndice F.
TEOREMA Si fx tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en
a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces
TEOREMA DE LA COMPRESIÓN Si fx tx hx, cuando x está cerca de a
(excepto quizá en a) y
entonces
En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema
del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre fx y hx, cerca de
a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo
límite L en a
lím
x l a
tx L
lím
x l a
f x lím
x l a
hx L
3
lím
x l a
fx lím
x l a
tx
2
lím
x l3
x lím
x l3
2 2
lím
x l3
x lím
x l3
3 3
1
2 1.
s2 1
lím
x l 4
fx 0
lím
x l 4
f x lím
x l 4
8 2x 8 2 4 0
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 105
0 x
y
a
L
f
g
h
FIGURA 7
FIGURA 5
4 x
y
0
y=[x]
1 2 3
1
2
3
4
4 5 x
y
0
FIGURA 6
Función máximo entero
Otras expresiones para x son x
y . A
la función entero máximo algunas veces se le
llama la función piso.
⎣x⎦
CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 105](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-153-320.jpg)
![.
34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección
más grande posible de d para demostrar que límxl3 x2
9 es
.
35. (a) En el caso del límite límxl1 x3
x 1 3, determine
un valor de d mediante una gráfica que corresponde a
e 0.4.
(b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin
de resolver la ecuación cúbica x3
x 1 3 e, y
determinar el valor más grande posible de d que funciona
para cualquier e 0.
(c) Use e 0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con
su respuesta del inciso (a).
36. Demuestre que .
Demuestre que si a 0.
38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6
de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no
existe el límtl0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración
indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga
en la definición de un límite e intente llegar a una
contradicción.]
39. Si la función f se define mediante
demuestre que límxl 0 fx no existe.
40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4
demuestre el teorema 1 de la sección 2.3.
41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que
42. Demuestre aplicando la definición 6 que .
Demuestre que .
44. Suponga que límxla fx
y límxla tx c, donde c es un
número real. Demuestre cada proposición.
(a)
(b) si c 0
(c) si c 0
lím
x l a
f xtx
lím
x l a
f xtx
lím
x l a
f x tx
lím
xl 0
ln x
43.
lím
x l3
1
x 34
1
x 34 10 000
f x 0
1
si x es racional
si x es irracional
1
2
Sugerencia: utilice |sx sa | x a
sx sa
.
lím
x l a
sx sa
37.
lím
x l2
1
x
1
2
CAS
s9 3
; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investiga-
ción para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales
que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores
espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el
correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente
ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se
representa con
Tw 0.1w2
2.155w 20
donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada
de potencia en watts.
(a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura
a 200°C?
(b) Si se permite una variación de temperatura de hasta
1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en
watts se permite para la potencia de entrada?
(c) De acuerdo con la definición e, d de límxla fx L, ¿qué
es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e
se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d?
13. (a) Hallar un número d tal que si x 2 d, por lo tanto
4x 8 e, donde e 0.1.
(b) Repetir el inciso (a) con e 0.01.
14. Teniendo en cuenta que el límxl 2 5x 7 3, explicar la
definición 2 hallando valores de d que corresponda a
e 0.1, e 0.05 y e 0.01.
15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite
e ilustre con un diagrama como el de la figura 9.
15. 16.
18.
19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de
límite.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
26.
27. 28.
30.
32. lím
x l2
x3
8
lím
x l2
x2
1 3
31.
lím
x l3
x2
x 4 8
lím
x l2
x2
4x 5 1
29.
lím
xl9
s
4
9 x 0
lím
x l 0
x 0
lím
x l 0
x3
0
lím
x l 0
x2
0
25.
lím
x l a
c c
lím
x l a
x a
lím
x l1.5
9 4x2
3 2x
6
lím
x l2
x2
x 6
x 2
5
lím
x l 6
x
4
3
9
2
lím
x l3
x
5
3
5
lím
x l 4
7 3x 5
lím
x l 3
1 4x 13
17.
lím
xl2
(1
2 x 3) 2
lím
x l 1
2x 3 5
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 118](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-171-320.jpg)
![EJEMPLO 2 ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?
(a) (b)
(c) (d) fx x
SOLUCIÓN
(a) Advierta que f2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante
verá por qué es continua en todos los otros números.
(b) En este caso, f0 1 está definido pero
no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0.
(c) En este caso f2 1 está definido y
existe. Pero
por eso, f no es continua en 2.
(d) La función mayor entero fx x tiene discontinuidades en todos los enteros
porque límxln x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de
la sección 2.3.)
En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso
no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agu-
jero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los
incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al
redefinir f justo en el número único 2. [La función tx x 1 es continua.] La disconti-
nuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades
del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a
otro.
1 2 3
1
x
y
0
(d) ƒ=[x]
1 2
1
x
y
0
(c) ƒ=
si x≠2
1 si x=2
≈-x-2
x-2
(b) ƒ=
si x≠0
1 si
1
x=0
1
x
y
0
1 2 x
y
0
1
(a) ƒ=
≈-x-2
x-2
FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2
≈
lím
x l2
fx f 2
lím
x l2
fx lím
x l2
x2
x 2
x 2
lím
x l2
x 2x 1
x 2
lím
x l2
x 1 3
lím
x l 0
fx lím
x l 0
1
x2
fx
x2
x 2
x 2
si x 2
1 si x 2
fx
1
x2
si x 0
1 si x 0
fx
x2
x 2
x 2
V
120 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 120](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-173-320.jpg)
![142 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar
.
; (b) Grafique fx sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta
la asíntota?
; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a
entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando
x l
y cuando x l
.
(a) Describa y compare el comportamiento al final de las
funciones
Px 3x5
5x3
2x Qx 3x5
dibujando las dos funciones en los rectángulos de visua-
lización 2, 2
por 2, 2
y 10, 10
por 10 000,
10 000
.
(b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento
al final si su relación tiende a 1 cuando x l
. Demuestre
que P y Q tienen el mismo comportamiento al final.
Sean P y Q dos polinomios. Encuentre
si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor
que el grado de Q.
56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y xn
(n
un entero) para los cinco casos siguientes:
(i) n 0 (ii) n 0, n impar
(iii) n 0, n par (iv) n 0, n impar
(v) n 0, n par
Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes.
(a) (b)
(c) (d)
Determine límxl
fx si, para toda x 1,
58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea
salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al
depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que
la concentración de sal t minutos después (en gramos por
litro) es
(b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l
?
59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis,
la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante
t, es
vt v*1 ettv*
donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la
velocidad terminal de la gota de lluvia.
(a) Encuentre límtl
vt.
Ct
30t
200 t
10ex
21
2ex f x
5sx
sx 1
57.
lím
xl
xn
lím
xl
xn
lím
xl0
xn
lím
xl0
xn
lím
x l
Px
Qx
55.
lím
xl
sen x
x
39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si
tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la
curva y estimando las asíntotas.
39. 40.
42.
43. 44.
; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función
mediante la gráfica de f para 10 x 10. Después calcule
la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la
discrepancia?
; 46. (a) Grafique la función
¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la
gráfica para estimar el valor de los límites
y
(b) Calcular los valores de fx, proporcione estimaciones
numéricas de los límites del inciso (a).
(c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a)
obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos
límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá
que verificar su cálculo para el segundo límite].
47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las
condiciones siguientes:
, , f2 0,
,
48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales
son x 1 y x 3 y asíntota horizontal y 1.
49–52 Determine los límites cuando x l
y cuando x l
.
Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir
un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11.
49. y x4
x6
50. y x3
x 22
x 1
51. y 3 x1 x2
1 x4
52. y x2
x2
12
x 2
lím
xl3
f x
lím
xl3
f x
lím
xl0
f x
lím
xl
f x 0
lím
x l
s2x2
1
3x 5
lím
x l
s2x2
1
3x 5
fx
s2x2
1
3x 5
fx
3x3
500x2
x3
500x2
100x 2000
y
2ex
ex
5
y
x3
x
x2
6x 5
y
1 x4
x2
x4
y
2x2
x 1
x2
x 2
41.
y
x2
1
2x2
3x 2
y
2x 1
x 2
CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 142](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-197-320.jpg)
![A partir de esta tabla se ve que D1990 se localiza en alguna parte entre 257.48 y
348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la supo-
sición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y 2000.] Se
estima que la proporción de incremento de la deuda nacional de Estados Unidos en 1990
fue el promedio de estos números, específicamente
D1990
303 miles de millones de dólares por cada año
Otro método sería una gráfica de la función deuda y valorar la pendiente de la línea
tangente cuando t 1990.
En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la ve-
locidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo;
el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción con respecto al número
de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda con respecto al tiempo es de in-
terés en economía. En este caso, es una muestra pequeña de otras razones de cambio: En
física, la razón de cambio de trabajo con respecto al tiempo se le denomina potencia. Los
químicos quienes estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio
de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada velocidad de
reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colo-
nia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es
importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias so-
ciales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos.
Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto
le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que
resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve sólo un problema de geo-
metría. También resuelve implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la
ingeniería en que intervienen razones de cambio.
150 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
UNA NOTA SOBRE UNIDADES
Las unidades de la razón de cambio promedio
Dt son las unidades de D divididas entre
las unidades de t, o sea, de dólares por cada
año. La razón de cambio instantánea es el límite
de la razón de cambio promedio, de este modo,
se mide en las mismas unidades: miles de
millones de dólares por cada año.
5–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto
dado.
, 3, 2 6. y 2x3
5x, 1, 3
, 1, 1 8. , 0, 0
(a) Determine la pendiente de la tangente a la curva
y 3 4x2
2x3
en el punto donde x a.
(b) Determine las ecuaciones de las tangentes en los puntos
1, 5 y 2, 3.
; (c) Grafique la curva y ambas tangentes en una misma
pantalla.
10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva
en el punto donde x a.
(b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los puntos
1, 1 y .
; (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una misma
pantalla.
11. (a) Una partícula inicia moviéndose a la derecha a lo largo de
una línea horizontal; se muestra la gráfica de su función
de posición. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha?
¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil?
(4,
1
2 )
y 1sx
9.
y
2x
x 12
y sx
7.
y
x 1
x 2
5.
1. Una curva tiene la ecuación y fx.
(a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante
que pasa por los puntos P3, f3 y Qx, fx.
(b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta
tangente en P.
; 2. Dibuje la curva y ex
en los rectángulos de visualización
1, 1] por 0, 2
, 0.5, 0.5
por 0.5, 1.5
y 0.1, 0.1
por
0.9, 1.1
. ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un
acercamiento hacia el punto 0, 1?
3. (a) Halle la pendiente de la línea tangente a la parábola
y 4x x2
en el punto 1, 3
(i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2
(b) Encuentre una ecuación de la recta tangente del
inciso (a).
; (c) Dibuje la parábola y la tangente. Como verificación de su
trabajo, haga un acercamiento hacia el punto 1, 3 hasta
que la parábola y la tangente sean indistinguibles.
4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva
y x x3
en el punto 1, 0
(i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2
(b) Halle una ecuación de la tangente del inciso (a).
; (c) Dibuje la curva y la tangente en rectángulos de visualización
cada vez más pequeñas centradas en 1, 0 hasta que parezcan
coincidir la curva y la recta.
EJERCICIOS
2.7
CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 150](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-205-320.jpg)
![OTRAS NOTACIONES
Si usa la notación tradicional y fx para indicar que la variable independiente es x y la
dependiente es y, en tal caso algunas otras notaciones comunes para la derivada son:
Los símbolos D y ddx se llaman operadores de derivación porque indican la operación
de derivación, que es el proceso de calcular una derivada.
El símbolo dydx introducido por Leibniz no debe considerarse como una razón (por
ahora); es sencillamente un sinónimo de fx. No obstante, es una notación útil y sugeren-
te, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación 2.7.6,
puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma
Si desea indicar el valor de una derivada dydx en la notación de Leibniz en un número es-
pecífico a, use la notación
o bien
que es un sinónimo para fa.
DEFINICIÓN Una función f es derivable en a si fa existe. Es derivable en
un intervalo abierto a, b [o o o ] si es derivable en todo
número del intervalo.
EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función fx x ?
SOLUCIÓN Si x 0, entonces x x y puede elegir h suficientemente pequeño que
x h 0, de donde x h x h. Por lo tanto, para x 0 tiene
y así f es derivable para cualquier x 0.
De manera análoga, para x 0 tiene x x y se puede elegir h suficientemente
pequeño para que x h 0 y, así, x h x h. Por lo tanto, para x 0,
con lo que f es derivable para cualquier x 0.
lím
h l 0
x h x
h
lím
h l 0
h
h
lím
h l 0
1 1
f x lím
h l 0
x h x
h
lím
h l 0
x h x
h
lím
h l 0
h
h
lím
h l 0
1 1
fx lím
h l 0
x h x
h
V
,
, a
a,
3
dy
dx
xa
dy
dx
xa
dy
dx
lím
x l 0
y
x
f x y
dy
dx
df
dx
d
dx
f x Df x Dx fx
SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 157
Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig,
en 1646, y estudió leyes, teología, filosofía y
matemáticas en la universidad de allí. Obtuvo el
grado de bachiller a los 17 años. Después de
lograr su doctorado en leyes a la edad de 20,
ingresó al servicio diplomático y pasó
la mayor parte de su vida viajando por las
capitales de Europa, en misiones diplomáticas.
En particular, trabajó para conjurar una
amenaza militar francesa contra Alemania
e intentó reconciliar las Iglesias católica y
protestante.
Su estudio serio de las matemáticas no se
inició sino hasta 1672, cuando se encontraba
en una misión diplomática en París. Allí
construyó una máquina para realizar cálculos
y se encontró con científicos, como Huygens,
quienes dirigieron su atención hacia los
desarrollos más recientes en las matemáticas
y las ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar
una lógica simbólica y un sistema de notación
que simplificara el razonamiento lógico. En
la versión del cálculo que publicó en 1684
estableció la notación y las reglas para hallar
derivadas que aún se usan en la actualidad.
Por desgracia, en la década de 1690 surgió
una terrible disputa entre los seguidores de
Newton y los de Leibniz acerca de quién
había inventado el cálculo. Leibniz incluso fue
acusado de plagio por los miembros de la Real
Academia de Inglaterra. La verdad es que cada
uno lo inventó por separado. Newton llegó
primero a su versión del cálculo pero, debido
a su temor a la controversia, no la publicó de
inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz
del cálculo en 1684 fue el primero en publicarse.
LEIBNIZ
CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 157](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-213-320.jpg)
![Si divide entre x, obtiene
Si ahora hace que x l 0, obtiene la derivada de uv.
(Advierta que u l 0 cuando x l 0, puesto que f es derivable y, por lo tanto, con-
tinua.)
Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las
cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra
es válida si u, v, u y v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2,
conocida como regla del producto, para todas las funciones diferenciables u y v.
REGLA DEL PRODUCTO Si tanto f como g son derivables, en tal caso
En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos fun-
ciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la
segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.
EJEMPLO 1
(a) Si , encuentre .
(a) Hallar la n-ésima derivada, f(n)
(x).
SOLUCIÓN
(a) Por la regla del producto se tiene
(b) Aplicando la regla del producto una segunda vez se obtiene
(x 1)ex
ex
1 (x 2)ex
f x
d
dx
[x 1ex
] (x 1)
d
dx
ex
ex
d
dx
x 1
xex
ex
1 x 1ex
fx
d
dx
xex
x
d
dx
ex
ex
d
dx
x
f x
fx xex
d
dx
f xtx
f x
d
dx
tx
tx
d
dx
f x
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
2
u
dv
dx
v
du
dx
0
dv
dx
u lím
x l 0
v
x
v lím
x l0
u
x
lím
x l 0
ulím
x l 0
v
x
d
dx
uv lím
x l0
uv
x
lím
x l 0
u
v
x
v
u
x
u
v
x
uv
x
u
v
x
v
u
x
u
v
x
184 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Recuerde que en la notación de Leibniz la
definición de derivada se puede escribir como
dy
dx
lím
xl0
y
x
En notación prima:
ft ft tf
3
_1
_3 1.5
f
fª
FIGURA 2
En la figura 2 se muestran las gráficas de
la función f del ejemplo 1 y su derivada f.
Advierta que f(x) es positiva cuando f crece
y negativa cuando f disminuye.
CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 184](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-240-320.jpg)
![La aplicación adicional de la regla del producto proporciona
f(x) (x 3)ex
f(4)
(x) (x 4)ex
En realidad, cada derivada que sigue adiciona otro término ex
, de esa manera
f(n)
(x) (x n)ex
EJEMPLO 2 Derive la función .
SOLUCIÓN 1 Si se aplica la regla del producto, tiene
SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar usa las leyes de los exponentes para volver a escribir f(t),
después puede proceder directamente, sin aplicar la regla del producto.
la cual equivale a la respuesta de la solución 1.
En el ejemplo 2 se muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funcio-
nes que utilizar la regla del producto. Sin embargo, en el ejemplo 1 esta regla es el único
método posible.
EJEMPLO 3 Si , donde y , encuentre
SOLUCIÓN Si se aplica la regla del producto, obtiene
De este modo
REGLA DEL COCIENTE
Encontrar una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u f(x) y
v t(x) de manera muy similar a como se encontró la regla del producto. Si x, u y v
cambian en cantidades x, u y v, en tal caso el cambio correspondiente en el cocien-
te uv es
u
v
u u
v v
u
v
u uv uv v
vv v
f4 s4 t4
t4
2s4
2 3
2
2 2
6.5
sx tx
tx
2sx
sx tx tx
1
2 x12
fx
d
dx
[sx tx] sx
d
dx
tx
tx
d
dx
[sx]
f4.
t4 3
t4 2
f x sx tx
f t
1
2at12
3
2bt12
ft ast btst at12
bt32
bst
a bt
2st
a 3bt
2st
st b a bt
1
2 t12
f t st
d
dt
a bt a bt
d
dt
st
ft st a bt
SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 185
vu uv
vv v
En el ejemplo 2, a y b son constantes. En
matemáticas es habitual aplicar letras cerca
del inicio del alfabeto para representar
constantes y las letras cercanas del final del
alfabeto representan variables
CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 185](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-241-320.jpg)
![204 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
; 58. La función f(x) sen(x sen 2x), , surge en
aplicaciones de la síntesis de modulación de frecuencia (FM).
(a) Use una gráfica de f producida por un aparato graficador
para trazar un boceto aproximado de la gráfica de f.
(b) Calcule f(x) y utilice esta expresión, junto con un
dispositivo graficador, para graficar f. Compare con
su boceto del inciso (a).
Encuentre todos los puntos en la gráfica de la función
en los cuales la recta tangente es horizontal.
60. Determine las coordenadas x de todos los puntos de la curva
en los cuales la tangente es horizontal.
Si donde f(2) 8, f(2) 4, .
t(5) 2, y Hallar .
62. Si , donde f(1) 7 y ,
hallar .
63. Se da una tabla de valores de f, t, f y t
(a) Si , encuentre h(1).
(b) Si , halle H(1).
64. Sean f y t las funciones del ejercicio 63.
(a) Si , encuentre F(2).
(b) Si , encuentre G(3).
Si f y t son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sea
, , y . Encuentre,
si existe, cada derivada. En caso contrario, explique por qué.
(a) (b) (c)
66. Si f es la derivada cuya gráfica se muestra, sea h(x) f(f(x))
y t(x) f(x2
). Utilice la gráfica de f para estimar el valor de
cada derivada.
(a) (b)
x
y
0 1
y=ƒ
1
t2
h2
x
y
0
f
g
1
1
w1
v1
u1
wx ttx
vx t f x
ux f tx
65.
Gx ttx
Fx f f x
Hx t f x
hx f tx
h1
f 1 4
hx s4 3fx
F5
t5 6
f 5 3
Fx f tx
61.
y sen 2x 2 sen x
f x 2 sen x sen2
x
59.
0 x
21. 22.
24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47–50 Hallar la primera y segunda derivadas de la función.
47. 48.
49. 50.
51–54 Encuentre una ecuación de la recta tangente de la curva en
un punto dado.
51. , (0, 1) 52. , (0, 0)
53. , (p, 0) 54.
(a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva
en el punto (0, 1).
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente
sobre la misma pantalla.
56. (a) La curva se llama curva nariz de bala.
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el
punto (1, 1).
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente so-
bre la misma pantalla.
57. (a) Si , encuentre f(x).
; (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable
comparando las gráficas de f y f.
f x xs2 x2
y x s2 x2
y 21 ex
55.
1, 1e
y x2
ex
y sensen x
y sen x sen2
x
y 1 2x10
y eex
y ex
sen bx
y xecx
hx sx2
1
y [x x sen2
x3
]4
y cosssen tan px
y 23x2
tx 2rarx
np
y sx sx sx
ft sen2
esen2
t
y sensensen x
ft tanet
etan t
y ek tan sx
y cot2
sen
37.
ft t
t2
4
y cos1 e2x
1 e2x
y x sen
1
x
y sec2
x tan2
x
y tan2
3
y 2sen
x
G(y) y2
y 1
5
y sentan 2x
y
eu
eu
eu
eu
y
r
sr2 1
Gy
y 14
y2
2y5
Fz z 1
z 1
y 101x 2
y ex cos x
23.
y e5x
cos 3x
y x2
1
x2
1
3
x
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
tx
f x
tx
f x
CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 204](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-260-320.jpg)
![206 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
90. Aplique la regla de la cadena y la regla del producto para
obtener otra demostración de la regla del cociente.
[Sugerencia: escriba .]
91. (a) Si es un entero positivo, demuestre que
(b) Plantee una fórmula para la derivada de
que es similar a la del inciso (a).
92. Suponga que es una curva que siempre queda
arriba del eje x y nunca tiene una tangente horizontal,
donde f es derivable en todos los puntos. ¿Para qué valor
de y la relación de cambio de y5
con respecto a x es 80
veces la tasa de cambio de y con respecto a x?
Use la regla de la cadena para demostrar que si u se mide en
grados, después
(Esto da una razón para la convención de que siempre se use el
radián cuando se manejen funciones trigonométricas en el cálcu-
lo: las fórmulas de derivación no serían tan
sencillas si usara el grado.)
94. (a) Escriba y aplique la regla de la cadena para
demostrar que
(b) Si , encuentre y trace las gráficas de f
y f. ¿En dónde f no es derivable?
(c) Si , halle t(x) y dibuje t y t. ¿En dónde t
no es derivable?
95. Si y f(u) y u t(x), f y t son funciones derivables dos
veces, demuestre que
96. Si y f(u) y u t(x), donde f y t tienen tercera derivada, ha-
llar una formula por d3
y/dx3
parecida a la que se proporciona en
el ejercicio 95
d2
y
dx2
d2
y
du2 du
dx
2
dy
du
d2
u
dx2
tx sen x
f x
f x sen x
d
dx x
x
x
x sx2
d
d
sen
180
cos
93.
y f x
y cosn
x cos nx
d
dx
senn
x cos nx n senn1
x cosn 1x
n
f xtx f x tx
1
; 86. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790
hasta 1860.
(a) Use una calculadora graficadora o una computadora para
hacer coincidir una función exponencial con los datos.
Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modelo
exponencial. ¿Qué tan bien coinciden?
(b) Estime las proporción de incremento de la población en 1800
y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes.
(c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para estimar las
proporciones de crecimiento en 1800 y 1850. Compare
estas estimaciones con las del inciso (b).
(d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población
en 1870. Compare con la población real de 38 558 000.
¿Puede explicar la discrepancia?
87. Los sistemas algebraicos para computadora (CAS) tienen
comandos que derivan funciones, pero la forma de la
respuesta quizá no convenga, como consecuencia, pueden ser
necesarios otros comandos para simplificarla.
(a) Use un CAS para hallar la derivada del ejemplo 5 y
compárela con la respuesta en ese ejemplo. Enseguida, use
el comando de simplificación y vuelva a comparar.
(b) Utilice un CAS para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué
sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si
emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la res-
puesta sería la mejor para localizar las tangentes horizontales?
88. (a) Use un CAS para derivar la función
y simplificar el resultado.
(b) ¿En dónde tiene la gráfica de f tangentes horizontales?
(c) Trace las gráficas de f y f en la misma pantalla. ¿Son
coherentes las gráficas con su respuesta al inciso (b)?
89. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente.
(a) La derivada de una función par es una función impar.
(b) La derivada de una función impar es una función par.
f x x4
x 1
x4
x 1
CAS
CAS
Año Población Año Población
1790 3 929 000 1830 12 861 000
1800 5 308 000 1840 17 063 000
1810 7 240 000 1850 23 192 000
1820 9 639 000 1860 31 443 000
En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión que satisface
las condiciones siguientes:
(i) La altura de crucero es h, cuando se inicia el descenso a una distancia del punto de contacto
con la pista en el origen.
(ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo lo largo del descenso.
ᐉ
¿DÓNDE DEBE UN PILOTO INICIAR UN DESCENSO?
P R OY E C TO D E
A P L I C AC I Ó N
CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 206](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-262-320.jpg)
![Ahora resuelva para :
(b) Cuando ,
un vistazo a la figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3).
De este modo, una ecuación de la recta tangente al folio en (3, 3) es
o bien
(c) La recta tangente es horizontal si y 0. Si utiliza la expresión para y del inciso
(a), y 0 cuando 2y x2
0. (siempre que y2
2x 0). Al sustituir en la
ecuación de la curva, obtiene
lo cual se simplifica para quedar . De modo que x 0, en el primer cuadrante o
bien, x3
16. Si , entonces . Por esto, la tangente es
horizontal en (0, 0) y en , lo cual es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estu-
diar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable.
Existe una fórmula para las tres raíces de una ecuación cúbica, que es seme-
jante a la fórmula cuadrática pero mucho más complicada. Si usa esta fórmula (o un sis-
tema de cómputo algebraico) para resolver la ecuación x3
y3
6xy, para y en términos
de x, obtiene tres funciones determinadas por la ecuación:
y
(Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede
ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo, en
casos como éste. Es más, la derivación implícita funciona con igual facilidad para fun-
ciones como
las cuales son imposibles de resolver para y en términos de x.
EJEMPLO 3 Encuentre si sen(x y) y2
cos x.
SOLUCIÓN Si deriva implícitamente con respecto a x y recuerda que y es una función de x,
obtiene
cosx y 1 y y2
sen x cos x2yy
y
y5
3x2
y2
5x4
12
y
1
2 [f x s3(s
3
1
2 x3
s1
4 x6
8x3
s
3
1
2 x3
s1
4 x6
8x3
)]
y f x s
3
1
2 x3
s1
4 x6
8x3
s
3
1
2 x3
s1
4 x6
8x3
NOTA 2
243
, 253
y
1
2 283
253
x 1613
243
x6
16x3
x3
(1
2 x2
)3
6x(1
2 x2
)
y
1
2 x2
x y 6
y 3 1x 3
y
2 3 32
32
2 3
1
x y 3
y
2y x2
y2
2x
y2
2xy 2y x2
y2
y 2xy 2y x2
y
210 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
FIGURA 4
0
y
x
(3, 3)
4
0
4
FIGURA 5
El matemático noruego Niels Abel probó en
1824 que no se puede dar una fórmula general
para las raíces de una ecuación de quinto
grado. Tiempo después, el matemático francés
Evariste Galois probó que es imposible hallar
una fórmula general para las raíces de una
ecuación de n-ésimo grado (en términos de
operaciones algebraicas sobre los coeficientes),
si n es cualquier entero mayor que 4.
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 210](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-266-320.jpg)
![estas funciones son derivables. [En efecto, si es una función derivable uno a uno, se puede
demostrar que su función inversa también es derivable, excepto donde sus tangentes
son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni
bucles y, de este modo, si la refleja con respecto a , la gráfica de su función inversa
tampoco tiene vértices ni bucles.]
Recuerde la definición de la función arco seno:
significa y
Al derivar implícitamente sen y x con respecto a x, obtiene
o bien
Ahora , debido a que , de modo que
De manera que
La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejan-
te. Si y tan1
x, entonces tan y x. Si se deriva esta última ecuación implícitamente
con respecto a x, tiene
EJEMPLO 5 Derive (a) y (b) .
SOLUCIÓN
(a)
(b)
sx
21 x
arctansx
fx x
1
1 (sx)2 (1
2 x12
) arctansx
1
sen1
x2
s1 x2
dy
dx
d
dx
sen1
x1
sen1
x2
d
dx
sen1
x
fx x arctansx
y
1
sen1
x
V
d
dx
tan1
x
1
1 x2
dy
dx
1
sec2
y
1
1 tan2
y
1
1 x2
sec2
y
dy
dx
1
d
dx
sen1
x
1
s1 x2
dy
dx
1
cos y
1
s1 x2
cos y s1 sen2
y s1 x2
2 y
2
cos y 0
dy
dx
1
cos y
cos y
dy
dx
1
2
y
2
sen y x
y sen1
x
y x
f 1
f
212 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
El mismo método puede utilizarse para ha-
llar una fórmula para la derivada de cualquier
función inversa. Véase el ejercicio 67.
En la figura 8 se muestra la gráfica
de y su derivada
. Advierta que es
creciente y siempre es positiva. El hecho
de que como se
refleja en el hecho de que cuando
.
x l
f x l 0
x l
tan1
x l
2
f x
f
f x 11 x2
f x tan1
x
1.5
_1.5
_6 6
y=tan–! x
y=
1
1+≈
FIGURA 8
Recuerde que es una notación
alterna para .
tan1
x
arctan x
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 212](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-268-320.jpg)
![DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
En esta sección se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones lo-
garítmicas y logax y, en particular, de la función logaritmo natural y ln x. [Suponga
que las funciones logarítmicas son derivables; ciertamente esto es plausible a partir de sus
gráficas (véase la figura 12 de la sección 1.6).]
DEMOSTRACIÓN Sea . Entonces
Si se deriva esta ecuación de manera implícita con respecto a x, mediante la fórmula (3.45)
obtiene
y por consiguiente
Si en la fórmula (1) pone , en tal caso el factor ln a en el lado derecho se convier-
te en y obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural
:
d
dx
ln x
1
x
2
loge x ln x
ln e 1
a e
dy
dx
1
ay
ln a
1
x ln a
ay
ln a
dy
dx
1
ay
x
y loga x
d
dx
loga x
1
x ln a
1
3.6
SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 215
(b) Si y , encuentre .
68. (a) Demuestre que f(x) 2x cos x es uno a uno.
(b) ¿Cuál es el valor de f1
(1)?
(c) Use la fórmula del ejercicio 67(a) para hallar (f1
)(1).
69. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades ha-
cia la derecha del eje y y una sombra creada por la región
elíptica . Si el punto (5, 0) está en el borde de
la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara?
?
x
y
3
0
_5
≈+4¥=5
x2
4y2
5
f 1
5
f 4
2
3
f 4 5
eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son
paralelas.
64. (a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x2
xy y2
3, en el
punto (1, 1) cruza la elipse por segunda vez?
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la elipse y la recta
normal.
65. Encuentre todos los puntos de la curva x2
y2
xy 2 donde la
pendiente de la recta tangente es 1.
66. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse
x2
4y2
36 que pasen por el punto (12, 3).
(a) Suponga que f es una función derivable uno a uno y que su
función inversa f1
también es derivable. Utilice la deriva-
ción implícita para demostrar que
siempre que el denominador no sea 0.
f 1
x
1
f f 1
x
67.
La fórmula 3.4.5 expresa que
d
dx
ax
ax
ln a
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 215](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-271-320.jpg)
![SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar simplifica la función dada aplicando las leyes de los loga-
ritmos, entonces la derivación se vuelve más fácil:
(Esta respuesta se puede dejar como está pero, si usara un denominador común, vería
que da la misma respuesta que en la solución 1.)
EJEMPLO 6 Encuentre si .
SOLUCIÓN Puesto que
se concluye que
Por esto, para todo .
Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6:
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden pro-
ductos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. El método que se
aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica.
EJEMPLO 7 Derive .
SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los
logaritmos para simplificar:
Al derivar implícitamente con respecto a x, resulta
1
y
dy
dx
3
4
1
x
1
2
2x
x2
1
5
3
3x 2
ln y
3
4 ln x
1
2 lnx2
1 5 ln3x 2
y
x34
sx2
1
3x 25
d
dx
ln x
1
x
4
x 0
f x 1x
1
x
si x 0
1
x
1
1
x
si x 0
fx
f x ln x
lnx
si x 0
si x 0
fx ln x
fx
V
1
x 1
1
2
1
x 2
d
dx
ln
x 1
sx 2
d
dx
[lnx 1
1
2 lnx 2]
SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 217
En la figura 2 se muestra la gráfica de la
función del ejemplo 6 y
la de su derivada . Note que
cuando x es pequeño, la gráfica de
está inclinada y, por lo consiguiente, es
grande (positiva o negativa).
f x
y ln x
f x 1x
f x ln x
3
_3
_3 3
f
fª
FIGURA 2
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 217](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-273-320.jpg)
![Por esto
Así después de la otra mitad de la hora, la bebida se ha enfriado a casi 54°F.
(b) Tiene T(t) 50 cuando
La bebida se enfría a 50°F después de casi 1 hora 33 minutos.
Observe que en el ejemplo 3
lo que se esperaba. La gráfica de la función temperatura se muestra en la figura 3.
INTERÉS COMPUESTO CONTINUAMENTE
EJEMPLO 4 Si se inverten 1000 dólares al 6% de interés compuesto anualmente, entonces,
después de 1 año la inversión es valorada en 1000(1.06) 1060 dólares, después de
2 años su valor es [1000(1.06)] 1.06 1123.60 dólares y después de t años su valor es
1000(1.06) t dólares. En general, si se invierte una cantidad A0 con una tasa de interés
r(r 0.06, en este ejemplo), entonces después de t años su valor es de A0(1 r)t
. No
obstante, por lo general el interés es compuesto con más frecuencia, se dice, n veces al
año. Por lo tanto en cada periodo componemos con una tasa de interés r/n y existe nt pe-
riodos en t años, de este modo el valor de la inversión es
Por ejemplo, una inversión de 1000 dólares después de 3 años al 6% de interés estarán
valorados en
$1000(1.06)3
$1191.02 compuesto anualmente
$1000(1.03)6
$1194.05 compuesto semestralmente
$1000(1.015)12
$1195.62 compuesto trimestralmente
$1000(1.005)36
$1196.68 compuesto mensualmente
compuesto diariamente
$10001
0.06
365
365 3
$1197.20
A01
r
n
nt
lím
t l
Tt lím
t l
44 28e0.01663t
44 28 0 44
t
ln 6
28
0.01663
92.6
e0.01663t
6
28
44 28e0.01663t
50
T60 44 28e0.0166360
54.3
Tt 44 28e0.01663t
yt 28e0.01663t
238 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
FIGURA 3
72
T
t
60
0 30 90
44
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 238](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-294-320.jpg)
![240 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
(b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para reducir la concentra-
ción de N2O5 a 90% de su valor original?
8. El bismuto-210 tiene un tiempo de vida media de 5.0 días.
(a) Una muestra tiene originalmente una masa de 800 mg.
Establecer una formula para la masa que resta después
de t días.
(b) Calcular la masa que esta después de 30 días.
(c) ¿Cuándo se reduce la masa a 1 mg?
(d )Bosquejar la gráfica de la función masa.
El tiempo de vida media del cesio-137 es de 30 años. Considere
una masa de 100 mg.
(a) Establecer la masa que permanece después de t años.
(b )¿Cuánto de la masa permanece después de 100 años?
(c) ¿Después de cuanto tiempo permanece únicamente 1 mg?
10. Una muestra de tritium-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad
original después de 1 año.
(a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritium-3?
(b )¿Cuánto tardaría en decaer a 20% de su cantidad original?
11. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos
mediante el método del carbono. El bombardeo de la atmósfera
superior por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un
isótopo radioactivo de carbono, 14
C, con un tiempo de vida media
aproximado de 5 730 años. La vegetación absorbe dióxido de
carbono a través de la atmósfera y la vida animal asimila 14
C a
través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un animal
mueren, se detiene la sustitución de su carbono y la cantidad de
14
C inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva.
En consecuencia el nivel de radiactividad también decae de
manera exponencial.
Fue descubierto un fragmento de pergamino que tiene casi
74% de 14
C tanta radiactividad como el material de la planta en
la tierra hoy en día. Estimar la edad del pergamino.
12. Una curva pasa a través del punto (0, 5) y tiene la propiedad de
que la pendiente de la curva en cualquier punto P es dos veces
la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva?
De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura
ha alcanzado 185°F y se coloca sobre una mesa en un espacio
donde la temperatura es 75°F.
(a) Si la temperatura del pavo es 150°F después de media hora;
¿cuál es la temperatura 45 minutos después?
(b )¿Cuándo se enfriará el pavo a 100°F?
14. Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura
es 5°C. Un minuto después la lectura en el termómetro es de
12°C.
(a) ¿Cuál será la lectura en el termómetro unos minutos
después?
(b )¿Cuándo la lectura del termómetro será 6°C?
15. Cuando se toma una bebida fría del refrigerador, su temperatura
es 5°C. Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20°C
su temperatura se incrementa a 10°C.
(a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después?
(b )¿Cuándo su temperatura será de 15°C?
13.
9.
(c) Calcular el número de células después de 5 horas.
(d) Establecer la rapidez de crecimiento después de 5 horas.
(e) ¿Cuándo la población alcanzará 200 000?
La tabla proporciona estimados de la población mundial, en
millones, desde 1750 hasta 2000.
(a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población
para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en
1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales.
(b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para
1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950.
Compare con la población actual.
(c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población de
1900 y 1950 para predecir la población mundial en 2000.
Compare con la población actual e intente explicar la dis-
crepancia.
6. La tabla proporciona la población de Estados Unidos, en millo-
nes, para los años 1900-2000.
(a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de censo para
1900 y 1910 para predecir la población en 2000. Compare
con las cifras actuales e intente explicar la discrepancia.
(b) Use el modelo exponencial y las cifras del censo para 1980
y 1990 para predecir la población en 2000. Compare con la
población actual. A continuación aplique este modelo para
predecir la población en los años 2010 y 2020.
; (c) Grafique ambas funciones exponenciales de los incisos
(a) y (b) junto con una gráfica de la población actual.
¿Alguno de estos modelos es razonable?
7. Los experimentos muestran que si la reacción quimica.
se realiza a 45°C, la velocidad de reacción del pentóxido de di-
nitrógeno es proporcional a su concentración como sigue:
(a) Hallar una expresión para la concentración [N2O5] después
de t segundos si la concentración inicial es C.
d N2O5
dt
0.0005 N2O5
N2O5 S 2NO2
1
2
O2
5.
Año Población Año Población
1750 790 1900 1650
1800 980 1950 2560
1850 1260 2000 6080
Año Población Año Población
1900 76 1960 179
1910 92 1970 203
1920 106 1980 227
1930 123 1990 250
1940 131 2000 275
1950 150
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 240](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-296-320.jpg)
![se usan porque u está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con estas apro-
ximaciones se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para diseñar lentes.
[Véase Optics, 4a. edición, por Eugene Hecht (San Francisco:Addison Wesley, 2002), p. 154]
En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de las aproximaciones li-
neales a la física.
DIFERENCIALES
Las ideas detrás de las aproximaciones lineales en ocasiones se formulan en la terminolo-
gía y la notación de diferenciales. Si , donde f es una función derivable, entonces
la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La
diferencial dy se define por lo tanto en términos de dx mediante la ecuación
De modo que dy es una variable dependiente; depende de los valores de x y dx. Si a dx se
le da un valor específico y x se considera como algún número específico en el dominio de
f, entonces se determina el valor numérico de dy.
En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean
y puntos sobre la gráfica de f y sea . El cambio correspon-
diente en y es
La pendiente de la recta tangente PR es la derivada . Por esto, la distancia dirigida
de S a R es . Por consiguiente, dy representa la cantidad que la recta tangen-
te se levanta o cae (el cambio en la linealización), en tanto que representa la cantidad
que la curva se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx.
EJEMPLO 3 Compare los valores de y si y cambia
(a) de 2 a 2.05 y (b) de 2 a 2.01.
SOLUCIÓN
(a) Tiene
En general,
Cuando y , esto se transforma en
(b)
Cuando ,
dy 322
22 2
0.01 0.14
dx x 0.01
y f 2.01 f2 0.140701
f 2.01 2.013
2.012
22.01 1 9.140701
dy 322
22 2
0.05 0.7
dx x 0.05
x 2
dy fx dx 3x2
2x 2 dx
y f 2.05 f2 0.717625
f 2.05 2.053
2.052
22.05 1 9.717625
f 2 23
22
22 1 9
x
y f x x3
x2
2x 1
dy
y
y f x
y
f x dx dy
fx
y f x x fx
dx x
Qx x, fx x
Px, fx
dy f x dx
3
y f x
250 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
Si , puede dividir ambos lados de la
ecuación 3 entre dx para obtener
Antes ha visto ecuaciones similares, pero
ahora el lado izquierdo puede interpretarse
en forma genuina como una relación de
diferenciales.
dy
dx
f x
dx 0
R
0 x
y
Îy
x
P
Q
dx=Îx
x+Îx
y=ƒ
S
dy
FIGURA 5
En la figura 6 se ilustra la función del ejemplo 3
y una comparación de y cuando . El
rectángulo de visión es por .
6, 18
1.8, 2.5
a 2
y
dy
FIGURA 6
y=˛+≈-2x+1
(2, 9)
dy Îy
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![La aproximación de la recta tangente Lx es la mejor aproximación de primer grado (lineal)
a fx, cerca de x a, porque fx y Lx tienen la misma relación de cambio (derivada) en a.
Para tener una aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación de segundo grado
(cuadrática) Px. En otras palabras, aproxime una curva mediante una parábola en lugar de por
una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, estipule lo siguiente:
(i) ( y deben tener el mismo valor en a.)
(ii) ( y deben tener la misma relación de cambio en a.)
(iii) (Las pendientes de P y f deben tener la misma relación de cambio en a.)
1. Encuentre la aproximación cuadrática para la función ,
que satisfaga las condiciones (i), (ii) y (iii), con a 0. Dibuje P, f y la aproximación
lineal Lx 1, en una pantalla común. Comente cuán bien las funciones P y L se
aproximan a f.
2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática fx Px del
problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: Dibuje y Px,
y cos x 0.1 y y cos x 0.1 en una pantalla común.]
f x cos x
Px A Bx Cx2
Pa f a
f
P
Pa f a
f
P
Pa f a
PROYECTO DE LABORATORIO POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 253
de duración L, el autor obtiene la ecuación para
la aceleración tangencial del breve movimiento del péndulo.
Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de u en radianes
está muy cerca del valor de ; difieren menos que 2% hasta
alrededor de 20°”.
(a) Compruebe la aproximación lineal en 0 para la función seno:
; (b) Use un dispositivo graficador para determinar los valores
de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%.
Enseguida compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo
de radianes a grados.
Suponga que la única información acerca de una función
f es que y la gráfica de su derivada es como se
ilustra.
(a) Use una aproximación lineal para estimar y .
(b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o
demasiado pequeñas? Explique.
44. Suponga que no tiene una fórmula para pero sabe que
y para toda .
(a) Use una aproximación lineal para estimar
y .
(b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes
o demasiado pequeñas? Explique.
t2.05
t1.95
x
tx sx2 5
t2 4
tx
y
x
0 1
y=fª(x)
1
f 1.1
f 0.9
f 1 5
43.
sen x
x
sen
aT tsen
39. Si una corriente I pasa através de un resistor con resistencia
R la ley de Ohm establece que la caida de voltaje es V RI.
Si V es constante y R se mide con un cierto error, aplique
diferenciales para mostrar que el cálculo de I es aproximadamente
el mismo (en magnitud) que el error relativo en R.
Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F
(el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por
un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio
R de ese vaso:
(Ésta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4
se muestra por qué es verdadera.) Una arteria parcialmente
obstruida se puede expandir por medio de una operación
llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un
globo en la punta se infla dentro del vaso con el fin de
ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal.
Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cua-
tro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento
del 5% en el radio al flujo de sangre?
41. Deduzca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales,
donde es una constante y y son funciones de ).
(a) (b)
(b) (b)
(c) (b)
42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. edición, por Euge-
ne Hecht (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2000), mientras se
deriva la fórmula para el periodo de un péndulo
T 2
sLt
dxn
nxn1
dx
du
v
v du u dv
v2
duv u dv v du
du v du dv
dcu c du
dc 0
x
v
u
c
F kR4
40.
; POLINOMIOS DE TAYLOR
P R OY E C TO D E
LA B O R ATO R I O
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 253](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-309-320.jpg)
![FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ciertas combinaciones de las funciones exponenciales y surgen tan a menudo en la
matemática y sus aplicaciones que merecen recibir un nombre especial. En muchos aspectos
son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la hipérbola que
las funciones trigonométricas tienen con la circunferencia. Por esta razón se les llama en
forma colectiva funciones hiperbólicas y de manera individual se les conoce como seno
hiperbólico, coseno hiperbólico y así sucesivamente.
DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
coth x
cosh x
senh x
tanh x
senh x
cosh x
sech x
1
cosh x
cosh x
ex
ex
2
csch x
1
senh x
senh x
ex
ex
2
ex
ex
3.11
254 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
3. Para obtener una aproximación de una función f mediante una función cuadrática P cerca de
un número a, lo mejor es escribir P en la forma
Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) es
4. Encuentre la aproximación cuadrática para , cerca de a 1. Trace las gráfi-
cas de f, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo 2 de la sección
3.10 en una pantalla común. ¿Qué podría concluir?
5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o una cuadrática para fx, cerca
de x a, intente hallar mejores aproximaciones, con polinomios de grado más alto. Busque
un polinomio de n-ésimo grado
tal que y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x a como f y sus n
primeras derivadas. Derive repetidas veces y haga x a, para demostrar que estas condi-
ciones se satisfacen si y, en general,
donde . El polinomio resultante
se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f, con centro en a.
6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, con centro en a 0, para la función
. Dibuje f y los polinomios de Taylor , en rectángulos de
visualización [5, 5] por [1.4, 1.4]; comente cuán bien se aproximan a f.
T2, T4, T6, T8
f x cos x
Tnx f a f ax a
f a
2!
x a2
f n
a
n!
x an
k! 1 2 3 4 k
ck
f k
a
k!
c0 f a, c1 f a, c2
1
2 f a
Tn
Tnx c0 c1x a c2x a2
c3x a3
cnx an
f x sx 3
Px f a f ax a
1
2 f ax a2
Px A Bx a Cx a2
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 254](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-310-320.jpg)
![PROBLEMAS ADICIONALES
19. Suponga que reemplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 18 con un espejo esféri-
co. Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado. En
la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo paralelo
al eje a lo largo de la recta PQ, se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo que
(el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede
con el punto R a medida que P se lleva cada vez más cerca al eje?
20. Si f y son funciones derivables donde y , demuestre que
21. Evalúe .
22. (a) La función cúbica tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Dibuje f y su
rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué advierte?
(b) Suponga que la función cúbica tiene tres ceros diferentes:
a, b y c. Compruebe, con ayuda de un sistema algebraico para computadora, que una recta
tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el tercer
cero.
23. ¿Para qué valor de k la ecuación tiene exactamente una solución?
24. ¿Para qué números positivos se cumple que para toda ?
25. Si
demuestre que .
26. Dada una elipse , donde , encuentre la ecuación de todo el conjunto
de puntos a partir de los cuales hay dos tangentes a la curva cuyas pendientes son (a) recíprocos
y (b) recíprocos negativos.
27. Encuentre los dos puntos sobre la curva que tienen una recta tangente en
común.
28. Suponga que tres puntos sobre la parábola y x2
tienen la propiedad de que sus rectas nor-
males se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es cero.
29. Un punto de reticulado sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga
que se dibujan círculos con radio r usando todos los puntos reticulados como centros.
Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente cruce alguno
de estos círculos.
30. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una
rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de
agua. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente
sumergido?
31. Un recipiente en forma de un cono invertido tiene una altura de 16 cm y su radio mide
5 cm en la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados
con una rapidez proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido.
[El área superficial de un cono es , donde r es el radio y l es la altura inclinada.]
Si vierte líquido en el recipiente a razón de , entonces la altura del líquido
disminuye a razón de 0.3 cm/min cuando la altura es de 10 cm. Si el objetivo es mantener
el líquido a una altura constante de 10 cm, ¿en que proporción debe verter líquido al
recipiente?
2 cm3
min
rl
2
5
y x4
2x2
x
a b
x2
a2
y2
b2
1
y
1
a cos x
y
x
sa2 1
2
sa2 1
arctan
sen x
a sa2 1 cos x
x
ax
1 x
a
e2x
ksx
fx x ax bx c
fx xx 2x 6
CAS
lím
x l 0
sena 2x 2 sena x sen a
x2
lím
x l 0
f x
tx
f 0
t0
t0 0
f 0 t0 0
t
PQO OQR
O
R
P
Q
¨
¨
C
A
FIGURA PARA EL PROBLEMA 19
269
CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 269](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-325-320.jpg)
![Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un inter-
valo cerrado, observe que tiene un extremo local en cuyo caso, por (7), se presenta en un
número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este modo, el
procedimiento siguiente de tres pasos siempre funciona.
MÉTODO DEL INTERVALO CERRADO Para hallar los valores máximo y mínimo abso-
lutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado :
1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en .
2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el
más pequeño, el valor mínimo absoluto.
EJEMPLO 8 Calcule los valores máximo y mínimo absolutos de la función.
SOLUCIÓN Puesto que f es continua en , puede aplicar el método del intervalo
cerrado:
Puesto que existe para toda x, los únicos números críticos de f se presentan cuando
, es decir, x 0 o x 2. Observe que cada uno de estos valores críticos queda
en el intervalo . Los valores de f en estos números críticos son
Los valores de f en los extremos del intervalo son
Al comparar los cuatro números resulta que el valor máximo absoluto es y
que el valor mínimo absoluto es .
Observe que en este ejemplo el máximo absoluto se presenta en un extremo, y el
mínimo absoluto se presenta en un número crítico. La gráfica de f se ilustra en la
figura 12.
Si tiene una calculadora que grafique o una computadora con programas que le permi-
tan graficar, es posible estimar con mucha facilidad los valores máximo y mínimo. Pero,
como se puede ver en el ejemplo siguiente, el cálculo infinitesimal es necesario para de-
terminar los valores exactos.
EJEMPLO 9
(a) Use un aparato graficador para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la
función .
(b) Aplique el cálculo para hallar los valores mínimo y máximo exactos.
SOLUCIÓN
(a) En la figura 13 se muestra una gráfica de f en la pantalla por . Al
acercar el cursor al punto máximo, observe que las coordenadas y no cambian mucho en
la vecindad del máximo. El valor máximo absoluto es alrededor de 6.97 y se presenta
cuando . De manera análoga, al mover el cursor cerca del punto mínimo, el valor
mínimo absoluto es alrededor de 0.68 y se presenta cuando . Es posible
x
1.0
x
5.2
1, 8
0, 2
f x x 2 sen x, 0 x 2
f2 3
f4 17
f4 17
f (
1
2 )
1
8
f2 3
f 0 1
(
1
2, 4)
fx 0
f x
fx 3x2
6x 3xx 2
fx x3
3x2
1
[
1
2, 4]
1
2 x 4
f x x3
3x2
1
V
a, b
a, b
SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS |||| 275
FIGURA 13
0
8
_1
2π
FIGURA 12
5
10
20
_5
15
1 2
3 4
(4, 17)
(2, _3)
_1
y=˛-3≈+1
x
y
0
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 275](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-331-320.jpg)
![PROYECTO DE APLICACIÓN EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS |||| 279
(b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de v sobre el intervalo?
(c) Dibuje v sobre el intervalo .
74. Demuestre que 5 es un valor crítico de la función
pero t no tiene un valor extremo local en 5.
75. Demuestre que la función
no tiene ni máximo local ni mínimo local.
76. Si f tiene un valor mínimo en c, demuestre que la función
posee un valor máximo en c.
77. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en el cual f posee
un mínimo relativo en c.
Una función cúbica es un polinomio de grado 3; esto es, tiene
la forma , donde .
(a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos núme-
ros críticos, uno o ninguno. Dé ejemplos y trace gráficas
para ilustrar las tres posibilidades.
(b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función
cúbica?
a 0
f x ax3
bx2
cx d
78.
tx f x
f x x101
x51
x 1
tx 2 x 53
0, r0
73. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una
persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un
aumento de la presión en los pulmones. Esto viene acompaña-
do por una contracción de la tráquea, con lo cual se produce
un canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido.
Para que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo,
éste debe moverse con mayor rapidez por el canal más angos-
to que por el más amplio. Entre mayor sea la velocidad de la
corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el objeto
extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo circular
de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios de su
radio normal durante un acceso de tos. De acuerdo con un
modelo matemático de la tos, la velocidad n de la corriente
de aire se relaciona con el radio r de la tráquea mediante la
ecuación
donde es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La
restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea
se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción mayor
que (de lo contrario, la persona se sofocaría).
(a) Determine el valor de r en el intervalo al cual v tie-
ne un máximo absoluto. ¿Cómo se equipara esto con la evi-
dencia experimental?
[1
2 r0, r0]
1
2 r0
k
1
2 r0 r r0
vr kr0 rr2
Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la hu-
manidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde
la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para expli-
car la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris.
1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que entra en una gota de lluvia esférica en A.
Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra a la gota.
Advierta que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell afirma que
, donde es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción y es el
índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta hacia el aire,
pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.)
Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja pero, por el momento, hay más interés en la parte
que sale de la gota de lluvia en C. (Advierta que se refracta alejándose de la recta normal.) El
ángulo de desviación Da es la magnitud de la rotación en el sentido del movimiento de las
manecillas del reloj que ha descrito el rayo durante este proceso de tres etapas. Por lo tanto
Demuestre que el valor mínimo de la desviación es y ocurre cuando .
El significado de la desviación mínima es que, cuando tiene , de modo
que . Esto significa que muchos rayos con resultan desviados en más o
menos la misma cantidad. La concentración de los rayos que vienen de las cercanías de la
desviación mínima crea la brillantez del arcoíris primario. En la figura se muestra que el
ángulo de elevación desde el observador, hacia arriba hasta el punto más alto del arcoíris es
. (Este ángulo se conoce como ángulo del arcoíris.)
2. En el problema 1 se explica la ubicación del arcoíris primario, ¿pero cómo explica los colo-
res? La luz solar comprende una gama de longitudes de onda, desde el rojo, hasta el naranja,
180 138 42
59.4
D
0
D
0
59.4
59.4
D
138
D
2
2 4
k
4
3
sen k sen
EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS
P R OY E C TO D E
A P L I C AC I Ó N
Formación del arcoíris primario
al
observador
del
Sol
rayos de Sol
rayos del Sol
42°
138°
observador
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 279](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-335-320.jpg)
![Antes de la demostración, dé una mirada a las gráficas de algunas funciones represen-
tativas que cumplen las tres hipótesis. En la figura 1 se muestran las gráficas de cuatro de
dichas funciones. En cada caso aparece que hay por lo menos un punto en la grá-
fica donde la tangente es horizontal y, por lo tanto, . Por lo tanto, el teorema de
Rolle es posible.
DEMOSTRACIÓN Hay tres casos:
CASO I
, una constante
Entonces , de modo que el número c se puede tomar de cualquier número
en a, b.
CASO II
para cualquier x en (a, b) [como en la figura 1(b) o (c)]
Según el teorema del valor extremo, (el cual aplica por la hipótesis 1), f tiene un valor
máximo en cualquier lugar de a, b
. Puesto que , debe alcanzar su valor má-
ximo en un número c en el intervalo abierto a, b. Entonces f tiene un máximo local en
c, y, según la hipótesis 2, f es derivable en c. Por lo tanto, , de acuerdo con el
teorema de Fermat.
CASO III
para alguna x en (a, b) [como en la figura 1(c) o (d)]
De acuerdo con el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en a, b
, y como
, alcanza su valor mínimo en un número c en a, b. Una vez más, ,
según el teorema de Fermat.
EJEMPLO 1 Aplique el teorema de Rolle a la función de posición de un objeto
que se desplaza. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes t a y
t b, entonces . El teorema de Rolle establece que hay algún instante del
tiempo t c entre a y b cuando ; es decir, la velocidad es 0. (En particular, usted
puede ver que esto se cumple cuando una pelota es lanzada directamente hacia arriba.)
EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación tiene sólo una raíz real.
SOLUCIÓN Primero aplique el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar que
existe una raíz. Sea . Después y . Pues-
to que f es un polinomio, es continua, de modo que el teorema del valor intermedio
establece que hay un número c entre 0 y 1 tal que . Así, la ecuación dada
tiene una raíz.
Para demostrar que la ecuación no posee otra raíz real, aplique el teorema de Rolle y
siga un razonamiento de contradicción. Suponga que hay dos raíces a y b. Entonces,
y, como f es un polinomio, es derivable en a, b y continua en a, b
.
Por esto, de acuerdo con el teorema de Rolle, hay un número c entre a y b tal que
. Pero
para toda x
porque de modo que nunca puede ser 0. Esto es una contradicción. Por lo
tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales.
fx
x2
0
f x 3x2
1 1
fc 0
fa 0 f b
f c 0
f1 1 0
f0 1 0
fx x3
x 1
x3
x 1 0
fc 0
f a f b
s ft
f c 0
f a f b
f(x) f(a)
fc 0
fa fb
f(x) f(a)
f x 0
f(x) k
fc 0
c, fc
SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 281
FIGURA 1
(a)
b
a c¡ c™ x
y
0
(b)
a c b x
y
0
(c)
b
a c¡ c™ x
y
0
(d)
b
a c
y
x
0
Presentación de casos
En la figura 2 se ilustra una gráfica de la
función estudiada en el
ejemplo 2. El teorema de Rolle dice que no im-
porta qué tanto amplifique el rectángulo de vi-
sión, ya que nunca podrá encontrar una
segunda intersección con el eje de las x.
f x x3
x 1
FIGURA 2
_2
3
_3
2
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 281](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-337-320.jpg)
![DEMOSTRACIÓN Sea . Entonces
para toda x en a, b. Por esto, según el teorema 5, F es constante; es decir, es
constante.
Es necesario tener cuidado al aplicar el teorema 5. Sea
El dominio de f es y para toda x en D. Pero obviamente f no
es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Ob-
serve que f es constante en el intervalo 0, ∞ y también en el intervalo
, 0.
EJEMPLO 6 Demuestre la identidad .
SOLUCIÓN Aunque no se necesita al cálculo para demostrar esta identidad, la demostración
con ayuda del cálculo es muy simple. Si , entonces
para todos los valores de x. Por lo tanto, , una constante. Para determinar el
valor de C, x 1, [porque así puede evaluar en forma exacta ]. En consecuencia,
En estos términos, .
tan1
x cot1
x
2
C f1 tan1
1 cot1
1
4
4
2
f 1
fx C
f x
1
1 x2
1
1 x2
0
fx tan1
x cot1
x
tan1
x cot1
x
2
fx 0
D xx 0](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-341-320.jpg)
![286 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
(b) Suponga que f es derivable dos veces en y que tiene tres
raíces. Demuestre que tiene por lo menos una raíz real.
(c) ¿Puede generalizar los incisos (a) y (b)?
Si y para , ¿qué tan pequeña es
posible que sea ?
24. Suponga que para todos los valores de x. De-
muestre que .
¿Existe una función f tal que , y
para toda x?
26. Suponga que f y g son continuas en a, b
y derivables en
a, b. Suponga además que y para
a x b. Demuestre que . [Sugerencia: aplique
el teorema del valor medio a la función .]
27. Demuestre que si .
28. Suponga que f es una función impar y es derivable dondequie-
ra. Demuestre que por cada número positivo b, existe un núme-
ro c en b, b tal que .
29. Aplique el teorema del valor medio para demostrar la
desigualdad
para toda a y b
30. Si (c es una constante) para toda x, aplique el corolario
7 para mostrar que para alguna constante d.
31. Sean y
Demuestre que para toda x en sus dominios.
¿Puede concluir de acuerdo con el corolario 7 que f t es
constante?
32. Aplique el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad
33. Demuestre la identidad
34. A las 2:00 PM el velocímetro de un automóvil señala 30 millas/h.
A las 2:10 PM indica 50 millas/h. Demuestre que en algún ins-
tante entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración es exactamente
120 millas/h2
.
Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan
empatados. Demuestre que en algún momento durante la carre-
ra tuvieron la misma velocidad. [Sugerencia: considere
, donde g y h son las funciones de posición
de los dos corredores.]
36. Un número a se denomina punto fijo de una función f si
. Demuestre que si para todos los números
reales x, después f tiene cuando mucho un punto fijo.
f x 1
f a a
f t tt ht
35.
arcsen
x 1
x 1
2 arctan sx
2
x 0
2 sen1
x cos1
1 2x2
f x tx
tx
1
x
1
1
x
si
si
x 0
x 0
f x 1x
f x cx d
f x c
sen a sen b a b
f c f bb
x 0
s1 x 1
1
2 x
h f t
f b tb
f x tx
f a ta
f x 2
f 2 4
f 0 1
25.
18 f 8 f 2 30
3 f x 5
f 4
1 x 4
f x 2
f 1 10
23.
f
; 9. (a) Grafique la función en el rectángulo de vi-
sión 0, 10
por 0, 10
.
(b) Trace la recta secante que pasa por los puntos 1, 5 y 8,
8.5 en la misma pantalla con f.
(c) Calcule el número c que satisface la conclusión del teorema
del valor medio para esta función f y el intervalo 1, 8
.
Luego grafique la tangente en el punto y observe
que es paralela a la recta secante.
; 10. (a) En el rectángulo de visión 3, 3
por 5, 5
, grafique la
función y su recta secante que pasa por los
puntos 2, 4 y 2, 4. Mediante la gráfica estime las
coordenadas x de los puntos donde la recta tangente es
paralela a la recta secante.
(b) Calcule los valores exactos de los números c que satisfacen la
conclusión del teorema del valor medio para el intervalo
2, 2
y compare con las respuestas del inciso (a).
11–14 Compruebe que la función cumple con las hipótesis del
teorema del valor medio en el intervalo dado. Después determine
todos los números c que cumplen con la conclusión del teorema
del valor medio
,
12. ,
13.
14. ,
15. Sea . Demuestre que no hay valor de c en
(1, 4) tal que . ¿Por qué esto no
contradice el teorema del valor medio?
16. Sea . Demuestre que no hay valor de c tal
que . ¿Por qué esto no contradice el
teorema del valor medio?
17. Demuestre que la ecuación tiene
exactamente una raíz real.
18. Demuestre que la ecuación tiene exacta-
mente una raíz real.
Demuestre que la ecuación tiene cuando
mucho una raíz en el intervalo 2, 2
.
20. Demuestre que la ecuación tiene cuando mu-
cho dos raíces reales.
21. (a) Demuestre que el polinomio de grado 3 tiene a lo más tres
raíces reales.
(b) Demuestre que el polinomio de grado n tiene cuando mu-
cho n raíces reales.
22. (a) Suponga que f es derivable en y que tiene dos raíces. De-
muestre que tiene por lo menos una raíz.
f
x4
4x c 0
x3
15x c 0
19.
2x 1 sen x 0
1 2x x3
4x5
0
f 3 f 0 f c3 0
f x 2 2x 1
f 4 f 1 f c4 1
f x x 32
1, 4
f x
x
x 2
f x e2x
, 0, 3
0, 2
f x x3
x 1
1, 1
f x 3x2
2x 5
11.
f x x3
2x
c, f c
f x x 4x
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 286](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-343-320.jpg)
![EJEMPLO 5 Trace una posible gráfica de una función f que cumple con las condicio-
nes siguientes:
SOLUCIÓN La condición (i) establece que f es creciente en y decreciente en .
La condición (ii) dice que f es cóncava hacia arriba en y , y cóncava ha-
cia abajo en . Por la condición (iii) sabe que la gráfica de f tiene dos asíntotas
horizontales: y 2 y y 0.
Primero se dibuja la asíntota horizontal y 2 como una línea discontinua (véase
figura 9). Después trace la gráfica de f, que se aproxima a esta asíntota por la izquierda,
llega a su punto máximo en x 1 y decrece acercándose al eje x a la derecha. También
se tiene la certeza de que la gráfica tiene puntos de inflexión cuando x 2 y 2. Obser-
ve que se hizo que la curva se doble hacia arriba para x 2 y x 2, y se flexiona
hacia abajo cuando x está entre 2 y 2.
Otra aplicación de la segunda derivada es la siguiente prueba para encontrar los valores
máximo y mínimo. Es una consecuencia de la prueba de concavidad.
PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA Suponga que f es continua cerca de c.
(a) Si y , entonces f tiene un mínimo relativo en c.
(b) Si y , entonces f tiene un máximo relativo en c.
Por ejemplo, el inciso (a) es verdadero porque cerca de c y, por consiguien-
te, f es cóncava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica de f se encuentra
arriba de su tangente horizontal en c, por lo que f tiene un mínimo local en c. (Véase la
figura 10.)
EJEMPLO 6 Analice la curva con respecto a la concavidad, puntos de
inflexión y máximos y mínimos locales. Use esta información para dibujar la curva.
SOLUCIÓN Si , entonces
A fin de hallar los números críticos, haga fx 0 y obtiene x 0 y x 3. Para aplicar
la prueba de la segunda derivada, evalúe f en estos números críticos:
Como y , es un mínimo local. Dado que f0 0, la
prueba de la segunda derivada no da información acerca del número crítico 0. Pero como
para y también para , la prueba de la primera derivada dice que
f no tiene máximo ni mínimo locales en 0. [En efecto, la expresión de muestra
que f decrece a la izquierda de 3 y se incrementa a la derecha de 3.]
fx
0 x 3
x 0
fx 0
f 3 27
f 3 0
f3 0
f 3 36 0
f 0 0
f x 12x2
24x 12xx 2
fx 4x3
12x2
4x2
x 3
fx x4
4x3
y x4
4x3
V
f x 0
f c 0
f c 0
f c 0
f c 0
2, 2
2,
, 2
1,
, 1
iii lím
x l
fx 2, lím
x l
fx 0
ii f x 0 en
, 2 y 2,
, f x 0 en 2, 2
i f x 0 en
, 1, fx 0 en 1,
V
292 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
FIGURA 9
x
y=_2
0 1 2
-2
y
fª(c)=0
f(c)
ƒ
c
P
x x
y
0
FIGURA 10
f·(c)0, f es cóncava hacia arriba
f
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 292](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-349-320.jpg)
![298 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
79. Demuestre que si es un punto de inflexión de la gráfica
f y existe en un intervalo abierto que contiene c, entonces
. [Sugerencia: aplique la prueba de la primera deriva-
da y el teorema de Fermat a la función .]
80. Demuestre que si , entonces , pero 0, 0 no
es un punto de inflexión de la gráfica de f.
81. Demuestre que la función posee un punto de infle-
xión en 0, 0 pero no existe.
82. Suponga que es continua y , pero
. ¿La función f tiene un máximo relativo o un mínimo
relativo en c? ¿Tiene f un punto de inflexión en c?
83. Los tres casos en la prueba de la primera derivada cubren las
situaciones que por lo general uno se encuentra, pero sin extraer
todas las posibilidades. Considere las funciones f, g y h cuyos
valores en 0 todos son 0 y, para x 0,
(a) Demuestre que 0 es un número crítico de las tres funciones
pero sus derivadas cambian de signo con frecuencia de
manera infinita en ambos lados de acero.
(b) Demuestre que f no tiene un máximo local ni un mínimo lo-
cal en 0, g tiene un mínimo local, y h tiene un máximo
local.
h x x4
2 sen
1
x
f x x4
sen
1
4
tx x4
2 sen
1
x
f c 0
f c f c 0
f
t0
tx x x
f 0 0
f x x4
t f
f c 0
f
c, f c
(c) Suponga que f es creciente y que t es decreciente. Demues-
tre mediante tres ejemplos que ft podría ser cóncava hacia
arriba, cóncava hacia abajo o lineal. ¿Por qué no se aplica el
razonamiento de los incisos (a) y (b) en este caso?
74. Suponga que f y t son cóncavas hacia arriba en . ¿En
qué condiciones de f la función compuesta será
cóncava hacia arriba?
Demuestre que para . Sugerencia:
Demuestre que es creciente en .
76. (a) Demuestre que para .
(b) Infiera que para .
(c) Aplique la inducción matemática para probar que para
y cualquier entero positivo n,
77. Demuestre que una función cúbica (un polinomio de tercer gra-
do) siempre tiene con exactitud un punto de inflexión.
Si su gráfica tiene tres intersecciones x1, x2 y x3, demuestre que
la coordenada x del punto de inflexión es .
; 78. ¿Para cuáles valores de c el polinomio
tiene dos puntos de inflexión diferentes? ¿Acaso ninguno? Ilus-
tre dibujando P para diversos valores de c. ¿Cómo cambia la
gráfica a medida que c decrece?
Px x4
cx3
x2
x1 x2 x3 3
ex
1 x
x2
2!
xn
n!
x 0
x 0
ex
1 x
1
2 x2
x 0
ex
1 x
0,
2
f x tan x x
0 x
2
tan x x
75.
hx f tx
,
FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL
Suponga que intenta analizar el comportamiento de la función
Aunque F no está definida cuando x 1, necesita saber cómo se comporta F cerca de 1. En
particular, le gustaría conocer el valor del límite
Pero no puede aplicar la ley 5 de los límites (el límite del cociente es el cociente de los lí-
mites, véase sección 2.3) porque el límite del denominador es 0. De hecho, aun cuando el
límite en (1) existe, su valor no es obvio porque el numerador y el denominador tienden a
0 y no está definido.
En general, si tiene un límite de la forma
donde tanto y cuando , en tal caso este límite puede existir o
no y se conoce como forma indeterminada del tipo . En el capítulo 2 encontró al-
0
0
x l a
tx l 0
fx l 0
lím
x l a
f x
tx
0
0
lím
x l1
ln x
x 1
1
Fx
ln x
x 1
4.4
CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 298](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-356-320.jpg)
![306 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
el arco PR. Sea el área del triángulo PQR. Encuentre
.
79. Si es continua, f2 0 y , evalúe
80. ¿Para qué valores de a y b es verdadera la ecuación siguiente?
Si es continua, use la regla de l’Hospital para demostrar que
Con ayuda de un diagrama explique el significado de esta
ecuación.
82. Si es continua, demuestre que
83. Sea
(a) Mediante la definición de derivada calcule .
(b) Demuestre que f posee derivadas de todos los órdenes que
están definidas en . [Sugerencia: primero demuestre por
inducción que hay un polinomio y un entero no ne-
gativo kn tal que para .]
; 84. Sea
(a) Demuestre que f es continua en 0.
(b) Investigue en forma gráfica si f es derivable en 0 mediante
varios acercamientos al punto 0, 1 de la
gráfica de f.
(c) Demuestre que f no es derivable en 0. ¿Cómo puede conci-
liar este hecho con el aspecto de las gráficas del inciso (b)?
f x x x
1
si x 0
si x 0
x 0
f n
x pnxf xxkn
pnx
f 0
f x e1x 2
0
si x 0
si x 0
lím
h l 0
f x h 2f x f x h
h2 f x
f
lím
hl0
f x h f x h
2h
f x
f
81.
lím
xl0
sen 2x
x3 a
b
x2 0
lím
xl0
f 2 3x f 2 5x
x
f 2 7
f
P
Q R
A(¨)
B(¨)
O
¨
lím l 0 $%
B
73. Si una cantidad inicial de dinero se invierte a una tasa de inte-
rés r compuesta n veces al año, el valor de la inversión después
que transcurren t años es
si hace que , lo denomina capitalización continua del
interés. Aplique la regla de l’Hospital para demostrar que si
el interés se capitaliza de manera continua, por lo tanto el monto
después de n años es
74. Si una bola de metal con masa m es arrojada dentro de agua y la
fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad,
en tal caso la distancia que recorre la bola en el tiempo t es
donde c es una constante positiva. Hallar el
75. Si un campo electroestático E actúa en un dieléctrico líquido o un
gas polar, el momento bipolar neto P por unidad de volumen es
Demuestre que el .
76. Un cable metálico de radio r y cubierto por un aislante, de tal
manera, que la distancia desde el centro del cable al exterior
del aislante es R. La velocidad v de un impulso eléctrico en el
cable es
donde c es una constante positiva. Hallar los limites
siguientes e interprete sus respuestas.
(a) (b)
77. La primera aparición impresa de la regla de l’Hospital fue en
el libro Analyse des Infiniment Petits, publicado por el marqués
de l’Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de cálculo
alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués
para ilustrar su regla fue hallar el límite de la fución
cuando x tiende a a, donde . (En aquel tiempo era co-
mún escribir aa, en lugar de a2
.) Resuelva este problema.
78. En la figura se muestra un sector de un círculo, con ángulo
central . Sea el área del segmento entre la cuerda PR y
A
a 0
y
s2a3
x x4
a 3
saax
a 4
sax3
lím
r l0
v
lím
R lr
v
v cr
R
2
ln r
R
límE l 0PE 0
PE
eE
eE
eE
eE
1
E
límm l
st
st
m
c
ln cosh tc
mt
A A0ert
n l
A A01
r
n
nt
CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 306](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-364-320.jpg)
![SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 307
La regla de l’Hospital se publicó por primera vez en 1696, en el libro de texto del marqués de
l‘Hospital, Analyse des Infiniment Petits, pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático
suizo Johann Bernoulli. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de ne-
gocios por medio del cual el marqués de l’Hospital compró los derechos de los descubrimientos
matemáticos de Bernoulli. Los detalles, incluso una traducción de la carta de l’Hospital a Bernoulli
en la que propone el arreglo, se pueden hallar en el libro escrito por Eves [1].
Escriba un informe sobre los orígenes históricos y matemáticos de la regla de l’Hospital. Em-
piece por dar breves detalles biográficos de los dos hombres (el diccionario editado por Gillispie
[2] es una buena fuente) y describa el trato de negocios entre ellos. A continuación, mencione el
enunciado de l’Hospital de su regla, el cual se encuentra en el libro fuente de Struik [4] y, más
sintético, en el libro de Katz [3]. Advierta que l’Hospital y Bernoulli formularon la regla geo-
métricamente y dieron la respuesta en términos de diferenciales. Compare el enunciado de ellos
con la versión de la regla de l’Hospital que se dio en la sección 4.4 y demuestre que, en esencia,
los dos enunciados son los mismos.
1. Howard Eves, In Mathematic al Circles (Volumen 2: Cuadrantes III y IV) (Boston:
Prindle, Weber and Schmidt, 1969), pp. 20-22.
2. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase
el artículo sobre Johann Bernoulli, por E. A. Fellman y J. O. Fleckenstein, en el volumen II y
el artículo sobre el marqués de l’Hospital, por Abraham Robinson, en el volumen VIII.
3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Nueva York: Harper Collins,
1993), pp. 484.
4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 (Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1969), pp. 315-316.
LOS ORÍGENES DE LA REGLA DE L‘HOSPITAL
R E DAC C I Ó N
D E P R OY E C TO
www.stewartcalculus.com
La Internet es otra fuente de información para
este proyecto. Visite el sitio y haga clic en
History of Mathematics.
Thomas
Fisher
Rare
Book
Library
RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS
Hasta este momento sólo ha interesado en algunos aspectos particulares del trazo de cur-
vas: dominio, intervalo y simetría en el capítulo 1; límites, continuidad y asíntotas en el
capítulo 2; derivadas y tangentes en los capítulos 2 y 3, y valores extremos, intervalos de
incremento y decremento, concavidad, puntos de inflexión y regla de l’Hospital en este ca-
pítulo. Pero ya es tiempo de reunir toda esta información relacionada con la elaboración
de gráficas, que revela las características importantes de las funciones.
Usted podría preguntar: ¿por qué no usar sólo una calculadora o computadora para
dibujar una curva ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo?.
Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas.
Pero incluso el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligen-
te. Como se establece en la sección 1.4: es muy importante elegir un rectángulo de visión
adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. Vea en particular los ejemplos 1, 3, 4 y
5 de dicha sección. La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesan-
tes de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y mínimos
y los puntos de inflexión, y no sólo en forma aproximada.
Por ejemplo, en la figura 4 se presenta la gráfica de . A
primera vista parece razonable: tiene la misma forma que las curvas cúbicas como ,
y parece no tener máximo ni mínimo. Pero si calcula la derivada, se dará cuenta de que hay
un máximo cuando x 0.75 y un mínimo cuando x 1. En efecto, si efectúa un acerca-
miento a esta parte de la gráfica verá el comportamiento que se ilustra en la figura 2. Sin
la herramienta del cálculo, sin dificultad podría pasarlas por alto.
En la sección siguiente se elabora la gráfica de funciones recurriendo a la interacción
del cálculo y los instrumentos para graficar. En esta sección dibujará gráficas aplicando la
y x3
fx 8x3
21x2
18x 2
4.5
FIGURA 1
30
_10
_2 4
y=8˛-21≈+18x+2
FIGURA 2
y=8˛-21≈+18x+2
8
6
0 2
CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 307](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-365-320.jpg)
![información siguiente. No se supone que tenga instrumentos para graficar, pero si usted
cuenta con uno, sólo utilícelo para comprobar su trabajo.
NORMAS PARA TRAZAR UNA CURVA
La lista siguiente es una guía para graficar una curva y fx a mano. Habrá algunas fun-
ciones en las que no se apliquen todos los puntos. (Por ejemplo, una curva dada podría no
tener una asíntota o no ser simétrica.) Pero las normas proporcionan toda la información
que se necesita para elaborar un diagrama que muestre los aspectos más importantes de la
función.
A. Dominio Con frecuencia es muy útil para determinar el domino D de f, es decir, el con-
junto de valores de x para el cual está definida.
B. Intersecciones La intersección con el eje y es lo cual señala dónde la curva corta al eje
de las y. Para determinar las intersecciones con el eje de las x, hagá y 0 y (determine x.
Puede omitir este paso si la ecuación es difícil de resolver.)
C. Simetría
(i) Si para toda x en D, es decir, la ecuación de la curva no cambia
cuando x se reemplaza por , entonces f es una función par y la curva es simétrica
con respecto al eje y. Esto significa que la tarea se reduce a la mitad. Si conoce lo
que de la curva se parece a , entonces sólo necesita reflejar con respecto al eje y
para obtener la curva completa [véase figura 3(a)]. He aquí algunos ejemplos: y x2
,
y x4
y x y y cos x.
(ii) Si para toda x en D, entonces f es una función impar y la cur-
va es simétrica con respecto al origen. Una vez más, obtega la curva completa si co-
noce lo que de la curva se parece . Gire 180° con respecto al origen. Observe la
figura 3(b). Algunos ejemplos sencillos de funciones impares son
y .
(iii) Si para toda x en D, donde p es una constante positiva, enton-
ces f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo. Por
ejemplo, y sen x tiene un periodo y tiene un periodo p. Si sabe que la
gráfica luce como en un intervalo de longitud p, entonces en seguida aplica una tras-
lación para dibujar la gráfica completa (véase figura 7).
D. Asíntotas
(i) Asíntotas horizontales. Según la sección 2.6, si o
, entonces la recta y L es una asíntota horizontal de la curva
. Si resulta que (o ), entonces no hay una asíntota a la
derecha, sino que todavía es información útil para graficar la curva.
(ii) Asíntotas verticales. Recuerde que, según la sección 2.2, que la recta x a es
una asíntota vertical si por lo menos una de las siguientes proposiciones se cumple:
lím
x l a
fx
lím
x l a
fx
lím
x l a
fx
lím
x l a
fx
1
límx l
fx
y f x
límx l
fx L
límx l
fx L
FIGURA 4
Función periódica:
simetría por traslación
a-p a a+p a+2p x
y
0
y tan x
2
fx p fx
y sen x
y x, y x3
, y x5
x 0
fx f x
x 0
x
fx f x
f0
f x
308 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
FIGURA 3
(a) Función par: simetría por reflexión
(b) Función impar: simetría por rotación
x
y
0
x
y
0
CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 308](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-366-320.jpg)
![(En el caso de las funciones racionales, puede localizar las asíntotas verticales igualan-
do el denominador a 0 después de anular los factores comunes. Este método no se apli-
ca a otras funciones.) Además, al trazar la curva es muy útil conocer exactamente cuál
de las proposiciones de (1) se cumple. Si no está definida, pero a es un extremo
del dominio de f, entonces es después calcular o , sea este lí-
mite infinito o no.
(iii) Asíntotas inclinadas. Se tratan al final de la sección.
E. Intervalos de incremento o decremento Aplique la prueba . Calcule y determine los in-
tervalos en los cuales es positiva, es decir, donde (f sea creciente) y los intervalos en
donde sea negativa, (f sea decreciente).
F. Valores de los máximos locales y de los mínimos locales Determine los números críticos de f [los
números c donde o bien, no existe]. Luego aplique la prueba de la pri-
mera derivada. Si pasa de positivo a negativo en un número crítico c, entonces
es un máximo local. Si cambia de negativo a positivo en c, entonces es un mínimo
local. Por lo regular se prefiere usar la prueba de la primera derivada, pero también se
aplica la prueba de la segunda derivada si y . Entonces,
significa que es un mínimo local, en tanto que quiere decir que es
un máximo local.
G. Concavidad y puntos de inflexión Calcule y aplique la prueba de concavidad. La cur-
va es cóncava hacia arriba donde y cóncava hacia abajo donde .
Los puntos de inflexión se encuentran donde cambia la dirección de la concavidad.
H. Trace la curva A partir de la información anterior dibuje la gráfica. Trace las asíntotas co-
mo líneas discontinuas. Localice las intersecciones, los puntos máximos y mínimos y
los puntos de inflexión. Luego haga que la curva pase por estos puntos, subiendo y bajan-
do de acuerdo con E, la concavidad según G y aproxímela a las asíntotas. Si se necesita
mayor precisión cerca de algún punto, calcule el valor de la derivada en dicho punto. La
tangente indica la dirección en la cual progresa la curva.
EJEMPLO 1 Aplique las normas para graficar la curva .
A. El dominio es
B. Tanto la intersección con el eje x como la intersección con el eje y es 0.
C. Puesto que , la función f es par. La curva es simétrica con respecto al eje
de las y
D.
Por lo tanto, la recta y 2 es una asíntota horizontal.
Puesto que el denominador es 0 cuando , calcule los límites siguientes:
Por lo tanto, las rectas x 1 y x 1 son asíntotas verticales. Esta información re-
lacionada con los límites y las asíntotas posibilita el dibujo de la gráfica preliminar en
la figura 5, en la que se ilustran las partes de la curva cercanas a las asíntotas.
lím
x l1
2x2
x2
1
lím
x l1
2x2
x2
1
lím
x l1
2x2
x2
1
lím
x l1
2x2
x2
1
x 1
lím
x l
2x2
x2
1
lím
x l
2
1 1x2
2
f x f x
xx2
1 0](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-367-320.jpg)
![332 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
fin de que se maximice el ángulo u subtendido en su ojo por
la pintura?
71. Halle el área máxima de un rectángulo que pueda circunscri-
birse con respecto a un rectángulo dado con longitud L y
ancho W. [Sugerencia: Exprese el área como una función de
un ángulo u.]
72. El sistema vascular consta de vasos (arterias, arteriolas, capila-
res y venas) que llevan la sangre desde el corazón hasta los ór-
ganos y de regreso a aquél. Este sistema tiene que trabajar de
manera que se minimice la energía consumida por el corazón al
bombear la sangre. En particular, esta energía se reduce cuando
se baja la resistencia de la sangre. Una de las leyes de Poiseui-
lle da la resistencia R de la sangre como
donde L es la longitud del vaso sanguíneo, r es el radio y C
es una constante positiva determinada por la viscosidad de la
sangre. (Poiseuille estableció esta ley a nivel experimental,
pero también se deduce a partir de la ecuación 2 de la sección
8.4.2.) En la figura se muestra un vaso sanguíneo principal
con radio r1, el cual se ramifica formando un ángulo u hacia
un vaso más pequeño, con radio r2.
R C
L
r4
66. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de
9 pies de ancho. Al final de éste existe una vuelta a ángulo rec-
to hacia otro pasillo más angosto de 6 pies de ancho. ¿Cuál es
la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar hori-
zontalmente por la esquina?
67. Un observador está de pie en el punto P, una unidad alejado
de la pista. Dos corredores parten del punto S en la figura y
corren a lo largo de la pista. Un corredor corre tres veces
más rápido que el otro. Determine el valor máximo del ángu-
lo de visión u del observador entre los corredores. [Sugeren-
cia: maximice tan u.]
68. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a partir de una
lámina de metal de 30 cm de ancho doblando hacia arriba una
tercera parte de la lámina en cada lado a través de un ángulo u.
¿Cómo debe elegirse u de manera que el canal conduzca la ma-
yor cantidad de agua?
¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo
AB de modo que se maximice el ángulo u?
70. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada
de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del
ojo del observador (como se muestra en la figura). ¿Qué tan le-
jos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor
vista? (En otras palabras ¿dónde debe situarse el observador a
69.
6
¨
9
S
1
P
¨
10 cm 10 cm 10 cm
¨ ¨
5
2
A
B
P ¨
3
¨
h
d
b
A
B
r¡
r™
¨
C
a
ramificación
vascular
©
Manfred
Cage
/
Peter
Arnold
CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 332](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-397-320.jpg)
![CAPÍTULO 4 REPASO |||| 349
38.
; 39. Trace la gráfica de fx e–1x2
en un rectángulo de
visualización en que aparezcan todos los aspectos principales
de la función. Estime los puntos de inflexión. En seguida, apli-
que el cálculo para determinarlos con exactitud.
40. (a) Dibuje la función fx 11 e1x
.
(b) Explique la forma de la gráfica calculando los límites de
fx cuando x tiende a
,
, 0
y 0
.
(c) Use la gráfica de f para estimar las coordenadas de los
puntos de inflexión.
(d) Utilice su CAS para calcular y trazar la gráfica de f.
(e) Con la gráfica del inciso (d) estime el punto de inflexión con
más exactitud.
41–42 Utilice las gráficas de f, f y f para estimar la coordenada x
de los puntos máximo y mínimo y los puntos de inflexión de f.
41.
42.
; 43. Investigue la familia de funciones de fx ln sen x C.
¿Cuáles características tienen los miembros de esta familia en
común? ¿En qué difieren? ¿Para cuáles valores de C es f conti-
nua sobre
,
? ¿Para cuáles valores de C f no tiene grá-
fica? ¿Qué sucede cuando C l
?
; 44. Investigue la familia de funciones fx cxecx2
.¿Qué le ocu-
rre a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inflexión
al cambiar c? Ilustre sus conclusiones dibujando varios miem-
bros de la familia.
45. Demuestre que la ecuación posee exac-
tamente una raíz real.
46. Suponga que f es continua en , y
para toda x en 0, 4. Demuestre que .
47. Aplicando el teorema del valor medio a la función
en el intervalo [32, 33], demuestre que
48. ¿Para cuáles valores de las constantes a y b se tiene que 1, 6 es
un punto de inflexión de la curva y x3
ax2
bx 1?
49. Sea tx fx2
donde f es dos veces derivable para todo x,
fx 0 para todo x 0 y f es cóncava hacia abajo sobre
, 0 y cóncava hacia arriba sobre 0,
.
(a) ¿En cuáles números t tiene un valor extremo?
(b) Discuta la concavidad de t.
50. Halle dos números enteros positivos tales que la suma del pri-
mer número y cuatro veces el segundo sea 1000 y el producto
de los números sea lo más grande posible.
2 s
5
33 2.0125
f x x15
9 f 4 21
2 f x 5
0, 4
, f 0 1
3x 2 cos x 5 0
f x e0.1x
lnx2
1
f x
cos2
x
sx2
x 1
, p x p
CAS
CAS
f x x2
6.5 sen x, 5 x 5 51. Demuestre que la distancia más corta desde el punto x1, y1 a
la recta es
52. Encuentre el punto sobre la hipérbola xy 8 que está más cer-
cano al punto 3, 0.
53. Halle el área más pequeña posible de un triángulo isósceles que
está circunscrito a una circunferencia de radio r.
54. Encuentre el volumen del cono circular más grande que puede
inscribirse en una esfera de radio r.
55. En ¢ABC, D queda en AB, , cm y
cm. ¿Dónde se debe situar un punto P sobre CD de
tal modo que la suma sea mínima?
56. Resuelva el ejercicio 55 cuando cm.
57. La velocidad de una ola de longitud L en agua profunda es
donde K y C son constantes positivas conocidas. ¿Cuál es la
longitud de la ola que da la velocidad mínima?
58. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con
volumen V, en forma de un cilindro circular recto rematado
por un hemisferio. ¿Cuáles dimensiones requerirán la cantidad
mínima de metal?
59. Un equipo de hockey juega en una arena con una capacidad
de 15 000 espectadores. Con el precio del boleto fijado en
$12, la asistencia promedio en un juego es de 11 000 especta-
dores. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que
disminuya el precio del boleto, la asistencia promedio aumen-
tará 1 000. ¿Cómo deben de fijar los propietarios del equipo
el precio del boleto para maximizar sus ingresos provenientes
de la venta de boletos?
; 60. Un fabricante determina que el costo de fabricar x unidades de
un artículo es y la
función de demanda es .
(a) Dibuje las funciones de costo y de ingreso y úselas para
estimar el nivel de producción para obtener la utilidad
máxima.
(b) Aplique el cálculo a fin de hallar el nivel de producción
para obtener la utilidad máxima.
(c) Estime el nivel de producción que minimice el costo
promedio.
61. Aplique el método de Newton para calcular la raíz de la ecua-
ción en el intervalo [1, 2] con
una aproximación de seis posiciones decimales.
62. Aplique el método de Newton para hallar todas las raíces
de la ecuación sen x x2
3x 1 con una exactitud de
seis posiciones decimales.
63. Aplique el método de Newton para hallar el valor máximo ab-
soluto de la función fx cos t t t2
, con una exactitud
de ocho posiciones decimales.
x5
x4
3x2
3x 2 0
px 48.2 0.03x
Cx 1 800 25x 0.2x2
0.001x3
v KL
C
C
L
CD 2
PA PB PC
CD 5
AD BD 4
CD AB
Ax1 By1 C
sA2
B2
Ax By C 0
CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 349](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-414-320.jpg)
![Puede obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base
sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la
propia franja véase la figura 4(b)
. En otras palabras, las alturas de estos rectángulos
son los valores de la función en los puntos extremos de la derecha de los su-
bintervalos , , y .
Cada rectángulo tiene un ancho de y las alturas son , , y . Si denota
con la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtiene
A partir de la figura 4(b) se ve que el área A de S es menor que , de modo que
En lugar de usar los rectángulos de la figura 4(b), es posible optar por los más pequeños
de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierda de
los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se ha aplastado, debido a que su
altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es
El área de S es mayor que L4, de modo que se tiene estimaciones superior e inferior
para A:
Es posible repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figu-
ra 6 se muestra lo que sucede cuando divide la región S en ocho franjas de anchos
iguales.
FIGURA 6
Aproximación de S con (a) Usando los puntos extremos
de la izquierda
(b) Usando los puntos extremos
de la derecha
0 1
(1, 1)
1
8
0 1
1
8
y=≈
(1, 1)
y
x
y
x
ocho rectángulos
0.21875 A 0.46875
L4
1
4 02
1
4 (1
4 )2
1
4 (1
2 )2
1
4 (3
4 )2
7
32 0.21875
A 0.46875
R4
R4
1
4 (1
4 )2
1
4 (1
2 )2
1
4 (3
4 )2
1
4 12
15
32 0.46875
R4
12
(3
4 )2
(1
2 )2
(1
4 )2
1
4
[3
4, 1]
[1
2,
3
4 ]
[1
4,
1
2 ]
[0,
1
4 ]
fx x2
FIGURA 4 (b)
0 1
(1, 1)
3
4
1
2
1
4
(a)
0
y
x
1
(1, 1)
y=≈
3
4
1
2
1
4
S¢
S£
S™
S¡
y
x
356 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
0
y
x
1
(1, 1)
3
4
1
2
1
4
y=≈
FIGURA 5
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 356](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-422-320.jpg)
![366 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
n triángulos congruentes con ángulo central , demues-
tre que
.
(b) Demuestre que . Sugerencia: use la ecua-
ción 2 de la sección 3.4.
límnl
An
r2
An
1
2 nr2
sen2
n
2
n
25. Encuentre el área exacta debajo de la curva y cos x, desde
x 0 hasta x b, en donde 0 b p2. (Use un sistema
algebraico para computadora para evaluar la suma y calcular el
límite.) En particular, ¿cuál es el área si ?
26. (a) Sea el área de un polígono con n lados iguales, inscrito
en un círculo con radio r. Al dividir el polígono en
An
b
2
CAS
LA INTEGRAL DEFINIDA
En la sección 5.1 vio que surge un límite de la forma
cuando se calcula un área. También vio que aparece cuando intenta hallar la distancia
recorrida por un objeto. Resulta que este tipo de límite se presenta en una amplia varie-
dad de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. En los
capítulos 6 y 8 verá que también surgen límites de la forma (1) al hallar longitudes de
curvas, volúmenes de sólidos, centros de masa, la fuerza debida a la presión del agua y
el trabajo, así como otras cantidades. De modo que tienen un nombre y una notación
especiales.
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Si f es una función continua definida pa-
ra , divida el intervalo a, b
en n subintervalos de igual ancho
. Haga que ( b) sean los puntos
extremos de estos subintervalos y elija como los puntos muestras
en estos subintervalos, de modo que se encuentre en el i-ésimo
subintervalo . Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es
siempre que exista este límite, si existe, f es integrable en a, b
.
El significado exacto del límite que define a las integrales es como sigue:
Para cualquier número e 0 existe un entero N tal que
para cualquier entero n N y para cualquier selección de en [xi 1, xi].
Leibniz introdujo el símbolo y se llama signo de integral. Es una S alargada
y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación
se llama integrando, y a y b se conocen como los límites de integración; a es el límite
inferior y b es el límite superior. El símbolo dx no tiene significado en sí; la expresión
,vista como un todo, es un símbolo único. La dx indica simplemente que la variable
independiente es x. El procedimiento para calcular una integral se llama integración.
xb
a
fx dx
fx
xb
a
fx dx,
x
NOTA 1
xi
*
y
b
a
f x dx
n
i1
fxi
* x
y
b
a
f x dx lím
n l
n
i1
f xi
* x
xi1, xi
xi
*
x1
*, x2
*, . . . , xn
*
x0 a, x1, x2, . . . , xn
x b an
a x b
2
lím
n l
n
i1
f xi
* x lím
n l
f x1
* x f x2
* x f xn
* x
1
5.2
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 366](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-433-320.jpg)
![Si la longitud del intervalo es , debe asegurarse de que todas estas
longitudes tiendan a 0 en el proceso de detrerminación de límites. Esto sucede si la longitud
más grande, máx xi tiende a 0. De manera que en este caso la definición de una integral
definida se convierte en
Ha definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las
funciones son ntegrables (véase ejercicios 67-68). El teorema que sigue muestra que la
mayor parte de las funciones que usualmente acontecen en realidad son integrables. Esto
se comprueba en cursos más avanzados.
TEOREMA Si f es continua en [a, b], o si f tiene únicamente un número finito
de saltos discontinuos, entonces f es integrable en [a, b]; es decir, la integral definida
existe.
Si f es integrable en [a, b], entonces el límite en la definición 2 existe y pro-
porciona el mismo valor, no importa cómo seleccione el punto muestra . Para
simplificar los cálculos de la integral con frecuencia tomamos los puntos muestra
los extremos de la derecha. Por lo tanto y la definición de una integral se
simplifica como sigue.
TEOREMA Si f es integrable en [a, b], entonces
donde y
EJEMPLO 1 Exprese
como una integral en el intervalo .
SOLUCIÓN Al comparar el límite dado con el límite en el teorema 4, será idéntico si
elige . Puesto que a 0 y . Por consiguiente, mediante el
teorema 4
Más adelante, cuando aplique la integral definida a situaciones físicas, será importante
reconocer los límites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibniz eli-
gió la notación para una integral, escogió los ingredientes para recordar el proceso de tomar
el límite. En general, cuando escribe
reemplaza con , con x y con dx.
x
xi
*
x
lím
lím
n l
n
i1
f xi
* x y
b
a
fx dx
lím
n l
n
i1
xi
3
xi sen xi x y
0
x3
x sen x dx
b
fx x3
x sen x
0,
lím
n l
n
i1
xi
3
xi sen xi x
xi a i Δx
Δx
b a
n
y
b
a
f x dx lím
n l
n
i1
fxi x
4
xi
* xi
xi
*
y
b
a
fx dx
3
NOTA 5
y
b
a
fx dx lím
máx xi l 0
n
i1
f xi
* xi
x1, x2, . . . , xn
368 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 368](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-435-320.jpg)
![En la propiedad 2 se afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. Pa-
ra funciones positivas, esto quiere decir que el área debajo de f t es el área debajo de f
más el área debajo de t. La figura 14 ayuda a comprender por qué esto es cierto: en vista
de la manera en que funciona la adición gráfica, los segmentos rectilíneos verticales co-
rrespondientes tienen alturas iguales.
En general, la propiedad 2 se deduce del teorema 4 y del hecho de que el límite de una
suma es la suma de los límites:
La propiedad 3 se puede probar de manera semejante y en ella se expresa que la inte-
gral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la in-
tegral de la función. En otras palabras, una constante (pero sólo una constante) se puede
llevar hacia afuera de un signo de integral. La propiedad 4 se prueba al escribir f t
f (t) y aplicar las propiedades 2 y 3 con c 1.
EJEMPLO 6 Use las propiedades de las integrales para evaluar .
SOLUCIÓN Si se aplican las propiedades 2 y 3 de las integrales, se tiene
Por la propiedad 1, sabe que
y, en el ejemplo 2 de la sección 5.1 encuentra que . De igual manera,
En la propiedad que sigue se dice cómo combinar las integrales de la misma función
sobre intervalos adyacentes:
5.
Esto no es fácil de probar en general pero, para el caso donde y a c b, se
puede ver la propiedad 5 a partir de la interpretación geométrica de la figura 15: el área de-
bajo de y f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b es igual al área total desde
a hasta b.
f x 0
y
c
a
fx dx y
b
c
fx dx y
b
a
fx dx
4 3
1
3 5
y
1
0
4 3x2
dx y
1
0
4 dx 3 y
1
0
x2
dx
y
1
0
x2
dx
1
3
y
1
0
4 dx 41 0 4
y
1
0
4 3x2
dx y
1
0
4 dx y
1
0
3x2
dx y
1
0
4 dx 3 y
1
0
x2
dx
y
1
0
4 3x2
dx
y
b
a
fx dx y
b
a
tx dx
lím
n l
n
i1
f xi x lím
n l
n
i1
txi x
lím
n l
n
i1
fxi x
n
i1
txi x
y
b
a
f x tx
dx lím
n l
n
i1
f xi txi
x
374 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
y
0 x
a b
f
g
f+g
FIGURA 14
j [ƒ+©] dx=
j ƒ dx+j © dx
a
b
a
b
a
b
La propiedad 3 parece intuitivamente razo-
nable porque si se multiplica una función por
un número positivo c, su gráfica se alarga
o contrae en el sentido vertical un factor de
c. De modo que alarga o contrae cada rec-
tángulo de aproximación un factor de c y, por
consecuencia, tiene el efecto de multiplicar
el área por c.
FIGURA 15
0
y
x
a b
c
y=ƒ
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 374](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-441-320.jpg)
![SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 377
26. (a) Halle una aproximación a la integral usan-
do una suma de la derecha de Riemann con puntos extre-
mos de la derecha y .
(b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustrar la
aproximación del inciso (a).
(c) Aplique el teorema 4 para evaluar .
(d) Interprete la integral del inciso (c) como una diferencia de
áreas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4.
27. Demuestre que .
28. Demuestre que .
29–30 Exprese la integral como un límite de sumas de
Riemann. No evalúe el límite.
29. 30.
31–32 Exprese la integral como un límite de sumas. Enseguida eva-
lúe utilizando un sistema algebraico para computadora para encon-
trar tanto la suma como el límite.
31. 32.
Se muestra la gráfica de f. Evalúe cada integral interpretándola
en términos de áreas.
(a) (b)
(c) (d)
34. La gráfica de t consta de dos rectas y un semicírculo. Úsela para
evaluar cada integral.
(a) (b) (c)
x
y
0
2
4 7
4
y=©
y
7
0
tx dx
y
6
2
tx dx
y
2
0
tx dx
x
y
0
2
4 6 8
2
y=ƒ
y
9
0
f x dx
y
7
5
f x dx
y
5
0
f x dx
y
2
0
f x dx
33.
y
10
2
x6
dx
y
0
sen 5x dx
CAS
y
10
1
x 4 ln x dx
y
6
2
x
1 x5
dx
y
b
a
x2
dx
b3
a3
3
y
b
a
x dx
b2
a2
2
x4
0
x2
3x dx
n 8
x4
0
x2
3x dx
9–12 Use la regla del punto medio, con el valor dado de n, para ha-
llar una aproximación de cada integral. Redondee cada respuesta
hasta cuatro cifras decimales.
10.
11. 12.
13. Si tiene un CAS que evalúe las aproximaciones con los puntos
medios y trace los rectángulos correspondientes (en Maple, use
los comandos de middlesum y middlebox), compruebe la
respuesta para el ejercicio 11 e ilustre con una gráfica. Enseguida,
repita con y .
14. Con una calculadora programable o una computadora (vea las
instrucciones para el ejercicio 7 de la sección 5.1), calcule las
sumas de Riemann izquierda y derecha para la función
sobre el intervalo , con . Explique
por qué estas estimaciones demuestran que
Deduzca que la aproximación con el uso de la regla del punto
medio, con n 5, del ejercicio 11 es exacta hasta dos cifras
decimales.
15. Use una calculadora o una computadora para hacer una tabla
de valores de sumas de la derecha de Riemann para
la integral con n 5, 10, 50 y 100. ¿A qué valor pa-
recen tender estos números?
16. Use una calculadora o una sumadora para hacer una tabla de
valores de las sumas de la izquierda y de la derecha de
Riemann y , para la integral con , 10, 50 y
100. ¿Entre qué valores tiene que encontrarse el valor de la in-
tegral? ¿Puede hacer un enunciado similar para la integral
? Explique su respuesta.
17–20 Exprese el límite como una integral definida sobre el inter-
valo dado.
17.
18.
,
20. ,
21–25 Use la forma de la definición de integral que se dio en el
teorema 4 para evaluar la integral.
21. 22.
24.
25. y
2
1
x3
dx
y
5
0
1 2x3
dx
y
2
0
2 x2
dx
23.
y
4
1
x2
2x 5 dx
y
5
1
1 3x dx
0, 2
lím
nl
n
i1
4 3xi
*2
6xi
*5
x
1, 8]
lím
nl
n
i1
s2xi
* xi
*2 x
19.
lím
nl
n
i1
cos x1
x1
x,
, 2
lím
nl
n
i1
xi ln1 xi
2
x, 2, 6
x2
1
ex 2
dx
n 5
x2
0
ex 2
dx
Rn
Ln
x
0
sen x dx
Rn
0.306 y
1
0
senx2
dx 0.315
n 100
0, 1
f x senx2
n 20
n 10
CAS
y
5
1
x2
ex
dx, n 4
y
1
0
senx2
dx, n 5
y
2
0
cos4
x dx, n 4
y
10
2
sx3 1 dx, n 4
9.
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 377](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-444-320.jpg)
![378 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
54.
55–60 Aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la integral.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61–62 Mediante las propiedades de las integrales, junto con los
ejercicios 27 y 28, demuestre la desigualdad.
61. 62.
63. Demuestre la propiedad 3 de las integrales.
64. Demuestre la propiedad 6 de las integrales.
65. Si es continua en , demuestre que
[Sugerencia: .]
66. Utilice el resultado del ejercicio 65 para demostrar que
67. Sea si x es cualquier número racional y si
x es cualquier número irracional. Demuestre que f no es inte-
grable en [0, 1].
68. Sea y si . Demuestre que f no
es integrable en [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el primer
término en la suma de Riemann, f( ) puede hacerse de
manera arbitraria muy grande.]
69–70 Exprese el límite como una integral definida.
69. [Sugerencia: considere .]
70.
71. Determine . Sugerencia: elija como la media geo-
métrica de y (es decir, ) y use la identidad
1
mm 1
1
m
1
m 1
xi
* sxi1 xi
xi
xi1
xi
*
x2
1
x2
dx
lím
n l
1
n
n
i1
1
1 in2
f x x4
lím
n l
n
i1
i 4
n5
Δx
xi
*
0 x 1
f x 1
f 0 0
f x 1
f x 0
y
2
0
f x sen 2x dx
y
2
0
f x dx
f x f x f x
y
b
a
f x dx
y
b
a
f x dx
a, b
f
y
2
0
x sen x dx
2
8
y
3
1
sx4 1 dx
26
3
y
2
x 2 senx dx
y
2
0
xex
dx
y
2
0
x3
3x 3 dx
y
3
4
tan x dx
y
2
0
1
1 x2
dx
y
4
1
sx dx
s2
24
y
4
6
cos x dx
s3
24
35–40 Evalúe cada integral interpretándola en términos de áreas.
35. 36.
38.
39. 40.
41. Valorar .
42. Dado que , ¿cuánto es
?
43. En el ejemplo 2 de la sección 5.1, demostró que .
Aplique este hecho y las propiedades de las integrales para
evaluar .
44. Aplique las propiedades de las integrales y el resultado del
ejemplo 3 para evaluar .
45. Utilice el resultado del ejemplo 3 para evaluar .
46. A partir de los resultados del ejercicio 27 y del hecho de que
(según el ejercicio 25 de la sección 5.1), junto
con las propiedades de las integrales, evalúe
.
Escriba como una sola integral en la forma :
48. Si y , encuentre .
Si y , encuentre
.
50. Halle si
51. Considere que f tiene el valor mínimo absoluto m y el valor
máximo absoluto M. ¿Entre que valores se encuentra ?
¿Qué propiedad de las integrales le permite elaborar su
conclusión?
52–54 Aplique las propiedades de las integrales para verificar la
desigualdad sin evaluar las integrales.
52.
2 y
1
1
s1 x2 dx 2s2
53.
y
1
0
s1 x2
dx y
1
0
s1 x dx
x2
0
f x dx
f x 3 para x 3
x para x 3
x5
0
f x dx
x9
0
2 f x 3tx
dx
x9
0
tx dx 16
x9
0
f x dx 37
49.
x4
1
f x dx
x5
4
f x dx 3.6
x5
1
f x dx 12
y
2
2
f x dx y
5
2
f x dx y
1
2
f x dx
xb
a
f x dx
47.
x
2
0
2 cos x 5x dx
x
2
0
cos x dx 1
x3
1
ex2
dx
x3
1
2ex
1 dx
x1
0
5 6x2
dx
x1
0
x2
dx
1
3
y
0
1
3usu2
4 du
y
1
0
3xsx2
4 dx 5s5 8
y
π
π
sen2
x cos4
x dx
y
10
0
x 5 dx
y
2
1
x dx
y
3
1
3 2x dx
y
0
3
(1 s9 x2 ) dx
37.
y
2
2
s4 x2 dx
y
3
0
(1
2 x 1 dx
CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 378](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-445-320.jpg)
![La parte 2 del teorema fundamental establece que si conoce una antiderivada F de
f, entonces puede evaluar simplemente calculando la diferencia de los valo-
res de F en los extremos del intervalo . Sorprende mucho que , que fue
definida mediante un procedimiento complicado que requiere todos los valores de
para , se pueda determinar conociendo los valores de en sólo dos puntos,
a y b.
El teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta en tér-
minos físicos. Si es la velocidad de un objeto y es su posición en el tiempo t, en-
tonces , y s es una antiderivada de . En la sección 5.1 se estudia un objeto que
siempre se mueve en la dirección positiva y plantea una conjetura de que el área bajo la
curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida. Si lo expresa mediante símbolos, es
lo siguiente:
Eso es exactamente lo que el TFC2 establece en este contexto.
EJEMPLO 5 Evalúe la integral .
SOLUCIÓN La función es continua en todas sus partes y sabe que una antiderivada
es , de modo que la parte 2 del teorema fundamental da
Observe que el TFC2 establece que puede utilizar cualquier antiderivada F de f.
De este modo podría usar la más sencilla, a saber , en lugar de o de
.
A menudo se recurre a la notación
También la ecuación del TFC2 se puede expresar como
Otras notaciones comunes son y .
EJEMPLO 6 Determinar el área bajo la parábola desde 0 hasta 1.
SOLUCIÓN Una antiderivada de es . El área requerida se calcula
aplicando la parte 2 del teorema fundamental:
Si compara el cálculo del ejemplo 6 con el del ejemplo 2 de la sección 5.1, verá que el
teorema fundamental proporciona un método mucho más corto.
A y
1
0
x2
dx
x3
3
0
1
13
3
03
3
1
3
A
Fx
1
3 x3
fx x2
y x2
V
Fx
a
b
Fxa
b
F f
donde
y
b
a
f x dx Fx]a
b
Fx]a
b
Fb Fa
ex
C
ex
7
Fx ex
y
3
1
ex
dx F3 F1 e3
e
Fx ex
fx ex
y
3
1
ex
dx
V
y
b
a
vt dt sb sa
v
vt st
st
vt
Fx
a x b
f x
xb
a
fx dx
a, b
xb
a
fx dx
SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 385
Al aplicar el teorema fundamental se usa
una antiderivada particular de . No es
necesario usar la antiderivada más general.
f
F
Compare el cálculo en el ejemplo 5 con
el mucho más difícil del ejemplo 3 de la
sección 5.2.
CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 385](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-452-320.jpg)
![EJEMPLO 7 Evalúe .
SOLUCIÓN La integral dada es una forma abreviada de
Una antiderivada de es y, como , puede escribir
. De tal manera,
EJEMPLO 8 Calcule el área bajo la curva coseno desde 0 hasta b, donde .
SOLUCIÓN Puesto que una antiderivada de es
En particular, al hacer , ha comprobado que el área bajo la curva coseno
desde 0 hasta es sen . Véase figura 9.
Cuando el matemático francés Gilles de Roberval calculó por vez primera el área bajo
las curvas seno y coseno en 1635, era una empresa que requería aplicar todo el ingenio del
que fuera uno capaz. Si no tuviera la ventaja del teorema fundamental tendría que calcular
un difícil límite de sumas mediante identidades trigonométricas rebuscadas (oscuras), o
bien, un sistema algebraico computacional como en el ejercicio 25 de la sección 5.1. Fue
mucho más difícil para Roberval puesto que el artificio de los límites no se había inventa-
do aún en 1635. Pero ya después de los años de 1660 y 1670, cuando Barrow descubrió el
teorema fundamental y Newton y Leibniz lo explotaron, este problema se volvió muy fácil,
como lo puede ver por el ejemplo 8.
EJEMPLO 9 ¿Qué es lo erróneo en el cálculo siguiente?
|
SOLUCIÓN Para empezar, observe que este cálculo es erróneo porque la respuesta es negati-
va, pero y la propiedad 6 de las integrales establecen que
cuando . El teorema fundamental del cálculo se aplica en las fun-
ciones continuas. En este caso no se puede aplicar porque no es continua
en . En efecto, f tiene una discontinuidad infinita en , de modo que
no existe.
y
3
1
1
x2
dx
x 0
1, 3
fx 1x2
f 0
xb
a
fx dx 0
f x 1x2
0
y
3
1
1
x2
dx
x1
1
3
1
1
3
1
4
3
2 1
2
b
2
A y
b
0
cos x dx sen x]0
b
sen b sen 0 sen b
Fx sen x
f x cos x
0 b
2
ln
6
3
ln 2
y
6
3
1
x
dx ln x]3
6
ln 6 ln 3
Fx ln x
3 x 6
Fx ln x
fx 1x
y
6
3
1
x
dx
y
6
3
dx
x
386 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
y
0
1
x
y=cos x
área=1
π
2
FIGURA 9
CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 386](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-453-320.jpg)
![SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 389
La función integral sinusoidal
es importante en la ingeniería eléctrica. El integrando
no está definido cuando , pero sabe
que su límite es 1 cuando . De modo que defina
y esto convierte a f en una función continua en todas
partes.]
(a) Dibuje la gráfica de .
(b) ¿En qué valores de x tiene esta función valores máximos
locales?
(c) Encuentre las coordenadas del primer punto de inflexión a
la derecha del origen.
(d) ¿Esta función tiene asíntotas horizontales?
(e) Resuelva la ecuación siguiente correcta hasta una cifra de-
cimal.
63–64 Sea , donde es la función cuya gráfica se
muestra.
(a) ¿En qué valores de x se presentan los valores máximos y míni-
mos locales de t?
(b) ¿Dónde alcanza t su valor máximo absoluto?
(c) ¿En qué intervalos t es cóncava hacia abajo?
(d) Trace la gráfica de t.
64.
65–66 Evalúe el límite reconociendo primero la suma como una
suma de Riemann para una función definida en .
61.
62. lím
n l
1
n
1
n
2
n
3
n
n
n
lím
n l
n
i1
i 3
n4
0, 1
y
1 t
0 7
3 5 9
f
_0.2
0.2
0.4
y
2 t
0
_1
_2
1
2
4 6 8
3
f
63.
f
tx xx
0
f t dt
y
x
0
sen t
t
dt 1
Si
f 0 1
t l 0
t 0
f t sen tt
Six y
x
0
sen t
t
dt
62.
CAS
;47–50 Mediante una gráfica dé una estimación del área de la región
que se localiza abajo de la curva dada. Después calcule el área exacta
47. , 48. ,
49. , 50. ,
51–52 Evalúe la integral e interprétela como una diferencia de
áreas. Ilustre mediante un croquis.
52.
53–56 Determine la derivada de la función.
54.
55.
56.
57. Si , donde ,
halle .
58. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva
es cóncava hacia arriba.
59. Si , es continua y , ¿cuál es el va-
lor de ?
60. La función error
se usa en probabilidad, estadística e ingeniería.
(a) Demuestre que .
(b) Demuestre que la función satisface la ecua-
ción diferencial .
61. La función de Fresnel se definió en el ejemplo 3 y en las fi-
guras 7 y 8 se trazaron sus gráficas.
(a) ¿Sobre qué valores de x tiene valores máximos locales es-
ta función?
(b) ¿Sobre qué valores esta función es cóncava hacia arriba?
(c) Utilice una gráfica para resolver la ecuación siguiente co-
rrecta hasta dos cifras decimales.
y
x
0
sen
t2
2 dt 0.2
CAS
S
y 2xy 2s
y ex2
erfx
xb
a
et 2
dt
1
2 s
erfb erfa
erfx
2
s
y
x
0
et 2
dt
f 4
x4
1
f x dx 17
f
f 1 12
y y
x
0
1
1 t t2
dt
F2
f t y
t 2
1
s1 u4
u
du
Fx y
x
1
f t dt
y y
5x
cos x
cosu2
du
y y
x
3
sx
st sen t dt
tx y
x2
tan x
1
s2 t4
dt
Sugerencia: y
3x
2x
f u du y
0
2x
f u du y
3x
0
f u du
tx y
3x
2x
u2
1
u2
1
du
53.
y
5
2
4
sen x dx
y
2
1
x3
dx
51.
0 x
3
y sec2
x
0 x
y sen x
1 x 6
y x4
0 x 27
y s
3
x
CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 389](https://image.slidesharecdn.com/stewartjamescalculoenunavariablesextaedition-220810223919-a130cc13/85/_Stewart_James-calculo-en-una-variable-sexta-edition-pdf-456-320.jpg)
_Stewart_James calculo en una variable sexta edition.pdf
- 1. STEWART JAMES STEWART Sexta edición Sexta edición El contenido de la obra que tiene usted en sus manos,Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas,se ha reorganizado de manera tal que los profesores puedan enseñar las funciones trascendentes (más que simples funciones trigonométricas) antes de pasar a la integral.Además,el autor desarrolla el texto basándose en lo que él llama regla de tres,es decir,plantea que“los temas deben presentarse de manera geométrica,numérica y algebraica”.El énfasis en la solución de problemas,la meticulosa exactitud,las pacientes explicaciones y los conjuntos de problemas cuidadosamente graduados son conceptos que identifican este texto clásico de cálculo. Características • La obra tiene una presentación clara y selectiva.El autor conduce al estudiante a lo largo de un material crucial mediante una forma sencilla,correcta y analítica. • Se han incorporado nuevos ejercicios que van desde un nivel básico hasta los muy complicados,para obligar la práctica y adquisición de habilidades (incluyendo problemas para software y calculadora graficadora). • En el texto se enfatiza la importancia de la solución de problemas,en el apartado “Principios para la resolución de problemas”,además de las conocidas y aumentadas secciones de“Problemas adicionales”. Estamos seguros de que esta excelente obra será para usted una herramienta fundamental en la enseñanza y/o aprendizaje del Cálculo. EDICIÓN REVISADA EDICIÓN REVISADA
- 2. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv
- 3. C Á L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes tempranas SEXTA EDICIÓN (Edición revisada) JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Traducción: Jorge Humberto Romo M. Traductor Profesional Revisión técnica: Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page i
- 4. Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas, Sexta edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Javier Arellano Gutiérrez Director general México y Centroamérica: Pedro Turbay Garrido Director editorial Latinoamérica: José Tomás Pérez Bonilla Director de producción: Raúl D. Zendejas Espejel Coordinadora editorial: María Rosas López Editor de desarrollo: Sergio R. Cervantes González Editor de producción: Timoteo Eliosa García Ilustrador: Brian Betsill Composición tipográfica: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V. © D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Single Variable Calculus: Early Trascendentals, Sixth Edition Publicado en inglés por Thomson/Brooks/Cole © 2008 ISBN: 0-495-01169-X Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas Sexta edición ISBN-13: 978-607-481-317-3 ISBN-10: 607-481-317-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ii
- 5. PARA SALLY Y DON PARA ALAN Y SHARON PARA KELLY, KIM Y CALLUM PARA JACKIE Y NINO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iii
- 6. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page iv
- 7. v Prefacio xi Al estudiante xix Exámenes de diagnóstico xx PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO 2 FUNCIONES Y MODELOS 10 1.1 Cuatro maneras de representar una función 11 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones básicas 24 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones antiguas 37 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 46 1.5 Funciones exponenciales 52 1.6 Funciones inversas y logaritmos 59 Repaso 73 Principios para la resolución de problemas 76 LÍMITES Y DERIVADAS 82 2.1 La tangente y los problemas de la velocidad 83 2.2 Límite de una función 88 2.3 Cálculo de límites utilizando las leyes de los límites 99 2.4 Definición exacta de límite 109 2.5 Continuidad 119 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 130 2.7 Derivadas y razones de cambio 143 Redacción de proyecto & Métodos anticipados para la búsqueda de tangentes 153 2.8 La derivada como una función 154 Repaso 165 Problemas adicionales 170 2 1 CONTENIDO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page v
- 8. REGLAS DE DERIVACIÓN 172 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales 173 Proyecto de aplicación & Construcción de una montaña rusa 182 3.2 Las reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de las funciones trigonométricas 189 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicación & ¿Dónde debe un piloto iniciar un descenso? 206 3.5 Derivación implícita 207 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 215 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 221 3.8 Crecimiento y decaimiento exponencial 233 3.9 Relaciones afines 241 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 247 Proyecto de laboratorio & Polinomios de Taylor 253 3.11 Funciones hiperbólicas 254 Repaso 261 Problemas adicionales 265 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 270 4.1 Valores máximos y mínimos 271 Proyecto de aplicación & El cálculo de los arcoíris 279 4.2 Teorema del valor medio 280 4.3 Manera en que las derivadas afectan la forma de una gráfica 287 4.4 Formas indeterminadas y la regla de l’Hospital 298 Redacción de proyecto & Los orígenes de la regla de l‘Hospital 307 4.5 Resumen de trazo de curvas 307 4.6 Trazado de gráficas con cálculo y calculadoras 315 4.7 Problemas de optimización 322 Proyecto de aplicación & La forma de una lata 333 4.8 Método de Newton 334 4.9 Antiderivadas 340 Repaso 347 Problemas adicionales 351 4 3 vi |||| CONTENIDO y 0 y 0 π 2 m=1 m=_1 m=0 π 2 π π Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page vi
- 9. CONTENIDO |||| vii INTEGRALES 354 5.1 Áreas y distancias 355 5.2 La integral definida 366 Proyecto para un descubrimiento & Funciones de área 379 5.3 El teorema fundamental del cálculo 379 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio total 391 Redacción de proyecto & Newton, Leibniz y la invención del cálculo 399 5.5 La regla de la sustitución 400 Repaso 408 Problemas adicionales 412 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 414 6.1 Áreas entre curvas 415 6.2 Volúmenes 422 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 433 6.4 Trabajo 438 6.5 Valor promedio de una función 442 Proyecto de aplicación & ¿Dónde sentarse en las salas cinematográficas? 446 Repaso 446 Problemas adicionales 448 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 452 7.1 Integración por partes 453 7.2 Integrales trigonométricas 460 7.3 Sustitución trigonométrica 467 7.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 473 7.5 Estrategia para integración 483 7.6 Integración por medio de tablas y sistemas algebraicos 489 Proyecto para un descubrimiento & Patrones de integrales 494 7 6 5 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page vii
- 10. viii |||| CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 495 7.8 Integrales impropias 508 Repaso 518 Problemas adicionales 521 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 524 8.1 Longitud de arco 525 Proyecto para un descubrimiento & Concurso de la longitud de arco 532 8.2 Área de una superficie de revolución 532 Proyecto para un descubrimiento & Rotación sobre una pendiente 538 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 539 Proyecto para un descubrimiento & Tazas de café complementarias 550 8.4 Aplicaciones a la economía y a la biología 550 8.5 Probabilidad 555 Repaso 562 Problemas adicionales 564 ECUACIONES DIFERENCIALES 566 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 567 9.2 Campos direccionales y método de Euler 572 9.3 Ecuaciones separables 580 Proyecto de aplicación & ¿Qué tan rápido drena un tanque? 588 Proyecto de aplicación & ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 590 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 591 Proyecto de aplicación & Cálculo y béisbol 601 9.5 Ecuaciones lineales 602 9.6 Sistemas depredador-presa 608 Repaso 614 Problemas adicionales 618 9 8 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page viii
- 11. ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 620 10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 621 Proyecto de laboratorio & Círculos que corren alrededor de círculos 629 10.2 Cálculo con curvas paramétricas 630 Proyecto de laboratorio & Curvas de Bézier 639 10.3 Coordenadas polares 639 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 650 10.5 Secciones cónicas 654 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 662 Repaso 669 Problemas adicionales 672 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 674 11.1 Sucesiones 675 Proyecto de laboratorio & Sucesiones logísticas 687 11.2 Series 687 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de las sumas 697 11.4 Pruebas por comparación 705 11.5 Series alternantes 710 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 714 11.7 Estrategia para probar series 721 11.8 Series de potencias 723 11.9 Representaciones de las funciones como series de potencias 728 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 734 Proyecto de laboratorio & Un límite escurridizo 748 Redacción de proyecto & Cómo descubrió Newton la serie binomial 748 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 749 Proyecto de aplicación & Radiación proveniente de las estrellas 757 Repaso 758 Problemas adicionales 761 11 10 CONTENIDO |||| ix Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page ix
- 12. APÉNDICES A1 A Números, desigualdades y valores absolutos A2 B Geometría de coordenadas y rectas A10 C Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 D Trigonometría A24 E Notación sigma A34 F Pruebas de teoremas A39 G El logaritmo definido como una integral A48 H Números complejos A55 I Respuestas a ejercicios de número impar A63 ÍNDICE A113 x |||| CONTENIDO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page x
- 13. xi Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descu- brimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventi- vas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. GEORGE POLYA PREFACIO El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar en un descubrimiento. He tratado de escribir un libro que ayude a estudiantes a descubrir el cálculo, por su poder práctico y sorprendente belleza. En esta edición, al igual que en las primeras cinco edicio- nes, mi meta es expresar al estudiante un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica en él, pero también me esfuerzo en dar alguna apreciación de la be- lleza intrínseca de esta materia. Es indudable que Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Mi deseo es que el estudiante com- parta en algo esa emoción. El énfasis está en entender conceptos. Creo que casi todos estamos de acuerdo en que ésta debe ser el objetivo principal de aprender cálculo. De hecho, el ímpetu para el actual movimiento de reforma del cálculo provino de la Conferencia de Tulane de 1986, que formuló como su primera recomendación: Concentrarse en entender conceptos He tratado de poner en práctica esta meta a través de la Regla de Tres: “Los temas deben presentarse de manera geométrica, numérica y algebraica.” La visualización, la experimen- tación numérica y gráfica, y otros métodos, han cambiado de modo fundamental la forma en que enseñamos el razonamiento conceptual. Más recientemente, la Regla de Tres se ha expandido para convertirse en la Regla de Cuatro al resaltar también el punto de vista verbal, o descriptivo. Al escribir la sexta edición, mi promesa ha sido que es posible lograr la comprensión de conceptos y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro con- tiene elementos de reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. VERSIONES ALTERNATIVAS He escrito otros libros de cálculo diversos que podrían ser preferidos por algunos profeso- res. Casi todos ellos vienen en versiones de una variable y de varias variables. & Cálculo, Sexta edición, es semejante al presente libro con excepción de que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el segundo semestre. & Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aun cuando contiene casi todos los temas del presente libro. La brevedad relativa se alcanza por medio de expo- siciones más breves de algunos temas y poniendo algunos elementos en el sitio web. & Cálculo esencial: Primeras trascendentales se asemeja al Cálculo esencial, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se tratan en el Ca- pítulo 3. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xi
- 14. xii |||| PREFACIO & Cálculo: conceptos y contextos, Tercera edición, destaca la comprensión de conceptos con más vehemencia incluso que este libro. El tratamiento de temas no es enciclopé- dico, y el material sobre funciones trascendentales y sobre ecuaciones paramétricas se entrelaza en todo el libro, en lugar de tratarlo en capítulos separados. & Cálculo: primeros vectores introduce vectores y funciones vectoriales en el primer se- mestre y los integra en todo el libro. Es apropiado para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física de modo concurrente con cálculo. LO NUEVO EN LA SEXTA EDICIÓN Veamos a continuación algunos de los cambios para la sexta edición de Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas: & Al principio del libro hay cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geome- tría analítica, funciones y trigonometría. Se dan las respuestas y el estudiante que no lo haga bien se remite a donde pueda buscar ayuda (Apéndices, secciones de repaso del Capítulo 1, y la web). & En respuesta a las peticiones de diversos usuarios, el material que motiva la derivada es más breve: las Secciones 2.7 y 2.8 se combinan en una sola sección llamada Deri- vadas y Magnitudes de Rapidez de Cambio. & La sección de Derivadas de Orden Superior del Capítulo 3 ha desaparecido y ese material está integrado en varias secciones de los Capítulos 2 y 3. & Los profesores que no cubren el capítulo sobre ecuaciones diferenciales han comenta- do que la sección sobre Crecimiento y Decadencia Exponenciales estaba ubicada en un lugar inadecuado. De conformidad con esto, se ha cambiado al principio del libro, al Capítulo 3. Este movimiento precipita una reorganización de los Capítulos 3 y 9. & Las Secciones 4.7 y 4.8 se unen en una sola sección, con un tratamiento más breve de problemas de optimización en finanzas y economía. & Las Secciones 11.10 y 11.11 se unen en una sola. Previamente, yo había descrito la serie del binomio en su propia sección para destacar su importancia pero me enteré que algunos profesores estaban omitiendo esta sección, de modo que decidí incorpo- rar la serie del binomio en la 11.10. & Se han agregado nuevas frases y notas marginales para aclarar la exposición. & Se han vuelto a dibujar nuevas figuras. & Los datos en ejemplos y ejercicios se han actualizado para ser más oportunos. & Numerosos ejemplos se han agregado o cambiado. Por mencionar alguno, el Ejemplo 2 de la página 185 se cambió porque era frecuente que los estudiantes se desconcertaran al ver constantes arbitrarias en un problema, por lo que quise dar un ejemplo en el que se presentan. & Se han incluido pasos adicionales en algunos de los problemas existentes. & Más del 25% de los ejercicios de cada uno de los capítulos es nuevo. He aquí algunos de mis favoritos: 3.1.79, 3.1.80, 4.3.62, 4.3.83 y 11.11.30. & También hay algunos buenos problemas nuevos en las secciones de Problemas Adi- cionales. Observen, por ejemplo, los Problemas 2 y 13 de la página 413, el Problema 13 de la página 450, y el Problema 24 de la página 763. & El nuevo proyecto de la página 550, Tazas de café complementarias, proviene de un artículo de Thomas Banchoff en el que él se preguntaba cuál de dos tazas de café, cuyos perfiles convexo y cóncavo ajustaban perfectamente, contendría más café. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xii
- 15. PREFACIO |||| xiii & El capítulo de Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC, por sus siglas en in- glés) se ha rediseñado por completo y está accesible en el Internet en www.stewart- calculus.com. Ahora incluye lo que llamamos visuales, que son breves animaciones de diversas figuras del texto. Vea la descripción en la página 14. SECCIONES EJERCICIOS CONCEPTUALES La forma más importante de favorecer la comprensión de conceptos es por medio de los problemas que dejamos de tarea, para cuyo fin hemos ideado diversos tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios empiezan con peticiones para que el estudiante explique los significados de los conceptos básicos de la sección. (Vea, por ejemplo, los primeros ejer- cicios de las Secciones 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso empiezan con una Revisión de Conceptos y Preguntas de Verdadero-Falso. Otros ejercicios someten a prueba la comprensión de conceptos mediante gráficas o tablas (vea Ejerci- cios 2.7.17, 2.8.33-38, 2.8.41-44, 9.1.11-12, 10.1.24-27 y 11.10.2). Otro tipo de ejercicio emplea la descripción verbal para probar la comprensión de conceptos (Vea Ejercicios 2.5.8, 2.8.56, 4.3.63-64 y 7.8.67). En lo particular, valoro los problemas que combinan y comparan métodos gráficos, numéricos y algebraicos (vea Ejercicios 2.6.37-38, 3.7.25 y 9.4.2). CONJUNTO DE EJERCICIOS Cada uno de los conjuntos de ejercicios se califica cuidadosamente, avanzando desde ejerci- CALIFICADOS cios básicos de conceptos y problemas para desarrollo de habilidades hasta problemas de mayor grado de dificultad que comprenden aplicaciones y pruebas. DATOS REALES Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo en bibliotecas, en empresas y oficinas gubernamentales, y buscando información real en Internet para presentar, motivar e ilus- trar los conceptos de cálculo. Como resultado de esto, muchos de los problemas y ejerci- cios hablan de funciones definidas por esta información numérica o gráficas. Vea, por ejemplo, la Figura 1 de la Sección 1.1 (sismógrafos del terremoto en Northridge), el Ejer- cicio 2.8.34 (porcentaje de población de menos de 18 años), el Ejercicio 5.1.14 (velocidad del transbordador espacial Endeavour), y la Figura 4 de la Sección 5.4 (consumo de ener- gía eléctrica en San Francisco). PROYECTOS Un modo de interesar a estudiantes y hacerlos lectores activos es hacerlos trabajar (quizá en grupos) en proyectos prolongados que den la sensación de un logro importante cuan- do se terminen. He incluido cuatro clases de proyectos: Proyectos de Aplicación que com- prenden aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de estudiantes. El proyecto después de la Sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en alcan- zar su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) Los Proyectos de Laboratorio se refieren a tecnología; el que sigue de la Sección 10.2 muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Redacción de Proyectos piden a estudiantes comparar métodos ac- tuales con los de los fundadores del cálculo: el método de Fermat para hallar tangentes, por ejemplo. Se sugieren referencias. Los Proyectos para un Descubrimiento anticipan resultados que se discuten más adelante o estimulan el descubrimiento por medio del re- conocimiento de figuras (vea la que sigue a la Sección 7.6). Se pueden hallar proyectos adicionales en la Guía del Profesor (vea, por ejemplo, el Ejercicio 5.1 de Grupo: Posición desde muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es común que los estudiantes tengan dificultades con problemas para los que no hay un so- lo procedimiento bien definido para obtener una respuesta. Pienso que no hay nadie que haya mejorado en mucho la estrategia de George Polya para la resolución de problemas en cuatro etapas y, de conformidad con esto, he incluido una versión de sus principios para la resolución de problemas después del Capítulo 1. Se aplican, tanto implícita como Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiii
- 16. xiv |||| PREFACIO explícitamente, en todo el libro. Después de los otros capítulos he puesto secciones llamadas Problemas Adicionales, que presentan ejemplos de cómo atacar los desafiantes problemas de cálculo. Al seleccionar los diversos problemas para estas secciones, siempre tuve presen- te el consejo de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrarnos.” Cuando pongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes los califico de forma diferente. Aquí recompenso muy bien a un estu- diante por sus ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de tecnología no hace menos importante sino más importante entender claramente los conceptos que son las bases de las imágenes que aparecen en pantalla. Cuando se usan en forma adecuada, las calculadoras de gráficas y las computadoras son poderosas herramientas para descubrir y entender esos conceptos. Este texto se puede usar con o sin tecnología y aquí uso dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo se requiere un tipo particular de máquina. El icono ; indica un ejercicio que en forma definitiva requiere el uso de esta tecnología, pero no es para indicar que no se puede usar también en los otros ejemplos. El símbolo se reserva para problemas en los que se re- quieren todos los recursos de un sistema computarizado de álgebra (como Derive, Maple, Mathematica o TI-89/92). Con todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. A veces son preferibles los cálculos y dibujos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de deci- dir cuándo es apropiada la mano o una máquina. El TEC es un compañero de este libro de texto y está pensado para enriquecer y comple- mentar su contenido. (Ahora está accesible por Internet en www.stewartcalculus.com.) Creado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, el TEC utiliza un método de descubrimiento y exploración. En algunas secciones de este libro en donde la tecnolo- gía es particularmente apropiada, los iconos situados a los márgenes dirigen a estudiantes a módulos del TEC que dan un ambiente de laboratorio en el que pueden explorar el tema en formas diferentes y a niveles diferentes. Visual son animaciones de figuras del texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden es- coger participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente estimular al estu- diante a usar Visual y Module para exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module, o para crear ejercicios adicionales, laborato- rios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. El TEC también incluye Homework Hints para ejercicios representativos (por lo gene- ral de números impares) en cada una de las secciones de este libro, indicados al imprimir en rojo el número del ejercicio. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas y tratan de imitar un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como profesor particular silencioso. Los ejercicios están construidos para no revelar más de la solución real de lo que es el mínimo necesario para avanzar más. WEBASSIGN MEJORADO La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tareas a estudiantes, so- bre todo en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, precisión en calificación y confiabilidad. Con la sexta edición hemos estado trabajando con la comunidad de cálculo y WebAssign para crear un sistema de ta- reas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables a tareas en línea, incluyendo formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes diversas. Algunas preguntas son problemas de partes diversas sobre simulaciones de los Module del TEC. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en el material didáctico paso a paso por ejemplos del texto, con vínculos al libro de texto y soluciones en video. TOOLS FOR ENRICHING CALCULUS CAS Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xiv
- 17. PREFACIO |||| xv Este sitio se ha renovado y ahora incluye lo siguiente: & Repaso de álgebra & Miente mi Calculadora y la Computadora me Dijo & Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios web históricos & Temas adicionales (completos con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmu- las para el resto del semestre en series de Taylor, rotación de ejes & Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) & Problemas de desafío (algunos de las secciones de Problemas especiales de ediciones anteriores) & Vínculos, para temas en particular, a fuentes externas de la Web & Las Tools for Enriching Calculus (TEC), Module, Visual y Homework Hints CONTENIDO Exámenes de diagnóstico El libro empieza con cuatro exámenes de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analí- tica, funciones y trigonometría. Presentación preliminar del cálculo Éste es un repaso del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. Desde el principio, se destacan representaciones múltiples de funciones: verbales, numé- ricas, visuales y algebraicas. Un estudio de los modelos matemáticos lleva a un repaso de las funciones estándar, incluyendo funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 & Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un examen ya anterior de problemas de la tan- gente y velocidad. Los límites se tratan aquí desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La Sección 2.4, que trata de la definición precisa de e-d de un lími- te, es una sección opcional. Las Secciones 2.7 y 2.8 se refieren a derivadas (en especial con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de tratar las reglas de derivación en el Capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se introducen ahora en la Sección 2.8. Todas las funciones básicas, incluyendo funciones exponenciales, logarítmicas y trigono- métricas inversas se derivan aquí. Cuando las derivadas se calculan en situaciones de apli- cación, a los estudiantes se les pide explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se tratan ahora en este capítulo. Los datos básicos referentes a valores extremos y formas de curvas se deducen del Teore- ma del Valor Medio. Graficar con tecnología destaca la interacción entre cálculo y calcu- ladoras y el análisis de familias de curvas. Se dan algunos problemas de optimización importante, incluyendo una explicación de por qué es necesario levantar la cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. 5 & Integrales El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la notación sigma introducida según sea necesario. (Un tratamiento completo de la no- tación sigma se da en el Apéndice E). Se hace énfasis en explicar los significados de inte- grales en diversos contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. 4 & Aplicaciones de la derivación 3 & Reglas de derivación 1 & Funciones y modelos PÁGINA WEB www.stewartcalculus.com Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xv
- 18. 6 & Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de integración, es decir, área, volumen, trabajo, valor pro- medio, que razonablemente se pueden hacer sin técnicas especializadas de integración. Se destacan métodos generales. La meta es que los estudiantes puedan dividir una can- tidad en partes pequeñas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. 7 & Técnicas de integración Se tratan todos los métodos estándar pero, por supuesto, el desafío real es ser capaz de re- conocer cuál técnica se usa mejor en una situación dada. De conformidad con esto, en la Sección 7.5 presento una estrategia para integración. El uso de un sistema computarizado de álgebra se ve en la Sección 7.6. Aquí están las aplicaciones de integración —la longitud de arco y el área superficial— pa- ra las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, economía y física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he inclui- do una sección sobre probabilidad. Hay aquí más aplicaciones de las que en realidad se puedan cubrir en un curso determinado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones apropiadas para sus estudiantes y para las que ellos mismos puedan interesarse. 9 & Ecuaciones diferenciales La creación de modelos es el tema que unifica este tratamiento de introducción a las ecua- ciones diferenciales. Los campos de dirección y el método de Euler se estudian antes que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan de forma explícita, de manera que los métodos cualitativo, numérico y analítico reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos experimental, logístico y otros para crecimiento poblacional. Las primeras cuatro de cinco secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza modelos de predador-presa para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. Este capítulo introduce curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo a ellas. Las curvas paramétricas son bien apropiadas para proyectos de laboratorio; las dos que aquí se presentan comprenden familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve trata- miento de secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el Capítulo 13. Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 697) así como pruebas formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de aparatos de gráficas. MATERIAL AUXILIAR Cálculo: Trascendentes tempranas, Sexta edición, está apoyado por un conjunto completo de materiales auxiliares creados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejo- rar la comprensión del estudiante y para facilitar una enseñanza creativa. MATERIAL DE APOYO PARA EL PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el profesor, los cuales están disponibles en inglés y sólo se proporcionan a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos. Para mayor información, póngase en contacto con el área de servicio a clientes en las siguientes direcciones de correo electrónico: Cengage Learning México y Centroamérica clientes.mexicoca@cengage.com Cengage Learning Caribe clientes.caribe@cengage.com 11 & Sucesiones y series infinitas 10 & Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 8 & Más aplicaciones de la integración xvi |||| PREFACIO Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvi
- 19. Cengage Learning Cono Sur clientes.conosur@cengage.com Cengage Learning Pacto Andino clientes.pactoandino@cengage.com Los recursos disponibles se encuentran disponibles en el sitio web del libro: http://latinoamerica.cengage.com/stewart6 Las direcciones de los sitios web referidas en el texto no son administradas por Cengage Learning Latinoamérica, por lo que ésta no es responsable de los cambios o actualizacio- nes de las mismas. REVISIÓN DE LA SEXTA EDICIÓN He sido muy afortunado por haber trabajado con algunos de los mejores editores de matemáticas en el negocio por más de dos décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt y ahora, Bob Pirtle. Bob continúa en esta tradición de editores quienes mientras escuchan consejos y ofrecen una amplia ayuda, confían en mis instintos y me permiten escribir los libros que deseo escribir. JAMES STEWART AGRADECIMIENTOS Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores: Dr. Manuel Álvarez Blanco, MSc. José Ignacio Cuevas Gonzáles y MSc. Eduardo Fernandini Capurro, Profesores Principales del Área de Ciencias, de la Universidad Peruana de Ciencias Apli- cadas (UPC) miembro del grupo Laureate International Universities, en la revisión de esta sexta edición en español. ATENTAMENTE, LOS EDITORES. Marilyn Belkin, Villanova University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Frederick Gass, Miami University Nets Katz, Indiana University Bloomington James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Lila Roberts, Georgia College and State University Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University PREFACIO |||| xvii Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xvii
- 20. Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xviii
- 21. AL ESTUDIANTE xix Leer un libro de cálculo es diferente a leer un periódico o una novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para entenderlo. Debe tener lápiz, papel y calculadora a la mano para bosquejar un diagra- ma o hacer un cálculo. Algunos estudiantes empiezan por tratar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se atoran en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y entender una sección del texto antes de abordar los ejercicios. En particular, el estudian- te debe leer las definiciones para ver los significados exactos de los términos.Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que llegue hasta la solución y trate de resolver el problema por sí mismo. Obtendrá mucho más de ver la solución si lo hace así. Parte de la meta de este curso es capacitar al estudiante para pensar de una manera lógica. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios de un modo enlazado y paso a paso con fra- ses explicativas, no sólo una hilera de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de números impares apare- cen al final de este libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación verbal o interpretación o descripción. En estos casos no una sola forma correcta de expresar la respuesta, de modo que no se preocupe por no hallar la respuesta definiti- va. Además, a veces hay varias formas diferentes en las cuales se expresa una respuesta numérica o algebraica, de modo que si su respuesta difiere de la mía no suponga de inmediato que está en un error. Por ejemplo, si la respuesta dada en la parte final de este libro es y usted obtiene , en- tonces tiene razón y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso ya sea de una calculadora de gráficas o una computadora con software de gráficas. Con todo, esto no significa que los aparatos de gráficas no se puedan usar para comprobar el trabajo en los otros ejercicios. El símbolo se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sis- tema computarizado de álgebra (como el Derive, Maple, Ma- thematica, o la TI-89/92). También encontrará el símbolo | que advierte para no cometer un error. He puesto este símbolo en márgenes en situaciones donde he observado que una gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. Al Tools for Enriching Calculus, que es compañero de este libro, se hace referencia mediante el símbolo y se pue- de tener acceso al mismo en www.stewartcalculus.com. Dirige al estudiante a módulos en los que puede explorar aspectos de cálculo para los que la computadora es particularmente útil. El TEC también da Homework Hints para ejercicios representa- tivos que están indicados con un número de ejercicio impreso en rojo: . Estas sugerencias de tarea hacen preguntas al es- tudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar en realidad su respuesta. El lector tiene que seguir cada una de las sugerencias de una manera activa con papel y lápiz para trabajar los detalles. Si una sugerencia en particular no lo hace capaz de resolver un problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Recomiendo que conserve este libro como referencia después que termine el curso. Debido a que es probable que el lector olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro ser- virá como un útil recordatorio cuando necesite usar cálculo en cursos subsiguientes. También, como este libro contiene más ma- terial del que se puede cubrir en cualquier curso, puede servir como un valioso recurso para cualquier científico o ingeniero. El cálculo es una materia extraordinaria, justamente consi- derada como uno de los mayores logros de la mente humana. Espero que el lector descubra que no es sólo útil sino también intrínsecamente hermoso. JAMES STEWART 15. TEC CAS 11 s2 s2 1 Preliminares.qk 06/04/2009 17:38 Page xix
- 22. xx EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que prece- den al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los exámenes que siguen tienen el propósito de diagnosticar los puntos débiles que el lector pudiera tener en estos campos del conocimiento y, después de tomar cada uno de estos exámenes, puede verificar sus respuestas contra las respuestas dadas. Además, si es necesario, puede recordar o actualizar sus conocimientos si consulta los materiales de repaso que también se dan aquí. EXAMEN DE DIAGNÓSTICO: ÁLGEBRA A 1. Sin usar calculadora, evalúe cada una de estas expresiones. (a) (3)4 (b) 34 (c) 34 (d) (e) (f) 163/4 2. Simplifique estas expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) (b) (3a3 b3 )(4ab2 )2 (c) 3. Expanda y simplifique. (a) 3(x 6) 4(2x 5) (b) (x 3)(4x 5) (c) (d) (2x 3)2 (e) (x 2)3 4. Factorice estas expresiones. (a) 4x2 25 (b) 2x2 5x 12 (c) x3 3x2 4x 12 (d) x4 27x (e) 3x3/2 9x1/2 6x1/2 (f) x3 y 4xy 5. Simplifique la expresión racional. (a) (b) (c) (d) y x x y 1 y 1 x x2 x2 4 x 1 x 2 2x2 x 1 x2 9 x 3 2x 1 x2 3x 2 x2 x 2 sa sbsa sb 3x32 y3 x2 y12 2 s200 s32 2 3 2 523 521 Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xx
- 23. 6. Racionalice la expresión y simplifique. (a) (b) 7. Complete el cuadrado de lo siguiente. (a) x2 x 1 (b) 2x2 12x 11 8. Resuelva la ecuación. (Encuentre sólo las soluciones reales.) (a) (b) (c) x2 x 2 0 (d) 2x2 4x 1 0 (e) x4 3x2 2 0 (f) (g) 9. Resuelva estas desigualdades, use notación de intervalo. (a) 4 5 3x 17 (b) x2 2x 8 (c) x(x 1)(x 2) 0 (d) (e) 10. Exprese si cada una de estas ecuaciones es verdadera o falsa. (a) (p q)2 p2 q2 (b) (c) (d) (e) (f) 1x ax bx 1 a b 1 x y 1 x 1 y 1 TC C 1 T sa2 b2 a b sab sa sb 2x 3 x 1 1 x 4 3 2x4 x12 3s4 x 0 3x 4 10 2x x 1 2x 1 x x 5 14 1 2x s4 h 2 h s10 s5 2 EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxi 6. (a) (b) 7. (a) (b) 2(x 3)2 7 8. (a) 6 (b) 1 (c) 3, 4 (d) (e) (f) (g) 9. (a) [4, 3) (b) (2, 4) (c) (2, 0) ª (1, ) (d) (1, 7) (e) (1, 4] 10. (a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera 12 5 2 3, 22 3 1 s2 1 1 2 s2 x 1 22 3 4 1 s4 h 2 5s2 2s10 1. (a) 81 (b) 81 (c) (d) 25 (e) (f) 2. (a) (b) 48a5 b7 (c) 3. (a) 11x 2 (b) 4x2 7x 15 (c) a b (d) 4x2 12x 9 (e) x3 6x2 12x 8 4. (a) (2x 5)(2x 5) (b) (2x 3)(x 4) (c) (x 3)(x 2)(x 2) (d) x(x 3)(x2 3x 9) (e) 3x1/2 (x 1)(x 2) (f) xy(x 2)(x 2) 5. (a) (b) (c) (d) (x y) 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 9y7 6s2 1 8 9 4 1 81 RESPUESTAS AL EXAMEN DE PRUEBA A: ÁLGEBRA Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxi
- 24. xxii |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO EXAMEN DE DIAGNÓSTICO: GOMETRÍA ANALÍTICA B 1. Encuentre una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, 5) y (a) tiene pendiente 3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x 4y 3 2. Encuentre una ecuación para el círculo que tiene centro en (1, 4) y pasa por el punto (3, 2). 3. Encuentre el centro y radio del círculo con ecuación x2 y2 6x 10y 9 0. 4. Sean A(7, 4) y B(5, 12) puntos en el plano. (a) Encuentre la pendiente de la recta que contiene A y B. (b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? (c) Encuentre el punto medio del segmento AB. (d) Encuentre la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuación de la perpendicular que biseca a AB. (f) Encuentre una ecuación del círculo para el cual AB es un diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. (a) 1 y 3 (b) y (c) (d) y
- 25. x2 1 (e) x2 y2 4 (f) 9x2 16y2 144 y 1 1 2 x y 2 x 4 5. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1. (a) y 3x 1 (b) y 5 (c) x 2 (d) 2. (a) 3. Centro (3, 5), radio 5 4. (b) 4x 3y 16 0; cruce con eje x 4, cruce con eje y (c) (1, 4) (d) 20 (e) 3x 4y 13 (f) (x 1)2 (y 4)2 100 16 3 4 3 x 12 y 42 52 y 1 2 x 6 RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNÓSTICO B: GEOMETRÍA ANALÍTICA Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. y x 0 y x 0 4 _4 y x 0 2 1 _1 3 2 _2 y=1- x 1 2 y x 1 2 0 y x 0 y x 0 4 3 _1 2 y=≈-1 ≈+¥=4 Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxii
- 26. EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO |||| xxiii EXAMEN DE DIAGNÓSTICO: FUNCIONES C 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda. (a) Exprese el valor de f(1). (b) Estime el valor de f(2). (c) ¿Para qué valores de x es f(x) 2? (d) Estime los valores de x tales que f(x) 0. (e) Exprese el dominio y rango de f. 2. Si f(x) x3 , evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta. 3. Encuentre el dominio de la función. (a) (b) (c) 4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las funciones a partir de la gráfica de f? (a) y f(x) (b) y 2f(x) 1 (c) y (x 3) 2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo aproximado de la gráfica. (a) y x3 (b) y (x 1)3 (c) y (x 2)3 3 (d) y 4 x2 (e) (f) (g) y 2x (h) y 1 x1 6. Sea (a) Evaluación f(2) y f(1) (b) Dibuje la gráfica de f. 7. Si f(x) x2 2x 1 y t(x) 2x 3, encuentre cada una de las siguientes funciones. (a) f t (b) t f (c) t t t fx 1 x2 si x 0 2x 1 si x 0 y 2sx y sx hx s4 x sx2 1 gx 3 sx x2 1 fx 2x 1 x2 x 2 f2 h f2 h (d) (e) (f) (g) (h) 6. (a) 3, 3 7. (a) (f t)(x) 4x2 8x 2 (b) (b) (t f)(x) 2x2 4x 5 (c) (t t t)(x) 8x 21 1. (a) 2 (b) 2.8 (c) 3, 1 (d) 2.5, 03 (e) [3, 3], [2, 3] 2. 12 6h h2 3. (a) ( , 2) ª (2, 1) ª (1, ) (b) ( , ) (c) ( , 1] ª [1, 4] 4. (a) Refleje alrededor del eje x (b) Estire verticalmente en un factor de 2, y a continuación desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 5. (a) (b) (c) RESPUESTAS AL EXAMEN DE DIAGNÓSTICO C: FUNCIONES Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. y 0 x 1 1 FIGURA PARA PROBLEMA 1 y x 0 y 1 1 x 0 1 _1 y x 0 (2, 3) y x 0 4 2 y x 0 y 1 x 0 1 y x 0 1 y x 0 1 1 _1 y x 0 _1 1 Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiii
- 27. xxiv |||| EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO EXAMEN DE DIAGNÓSTICO: TRIGONOMETRÍA D 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300° (b) 18° 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5p/6 (b) 2 3. Encuentre la longitud de un arco de círculo con radio de 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos. (a) tan(p/3) (b) sen(7p/6) (c) sec(5p/3) 5. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de u. 6. Si sen y sec , donde x y y están entre 0 y p/2, evalúe sen(x y). 7. Demuestre las identidades. (a) tan u sen u cos u sec u (b) 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x sen x y 0 x 2p. 9. Trace la gráfica de la función y 1 sen 2x sin usar calculadora. 2 tan x 1 tan2 x sen 2x y 5 4 x 1 3 a ¨ b 24 FIGURA PARA PROBLEMA 5 6. 7. 0, p/3, p, 5p/3, 2p 8. 1 15 4 6s2 1. (a) 5p/3 (b) p/10 2. (a) 150° (b) 360/p L 114.6° 3. 2p cm 4. (a) (b) (c) 2 5. (a) 24 sen u (b) 24 cos u 1 2 s3 RESPUESTA AL EXAMEN DE DIAGNÓSTICO D: TRIGONOMETRÍA _π π x 0 2 y Si el lector tiene dificultad con estos problemas, puede consultar Review of Algebra (Repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com. Examen de diagnóstico 06/04/2009 17:41 Page xxiv
- 28. C Á L C U L O D E U N A V A R I A B L E Trascendentes tempranas Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 1
- 29. PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cam- bio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas. 2 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 2
- 30. EL PROBLEMA DEL ÁREA Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2500 años, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos triángulos. Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígo- nos aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. Sea An el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que An se aproxi- ma cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los po- lígonos inscritos y Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indi- recto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rec- tángulos (como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida, se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce co- mo cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque. A r2 . A lím n l An PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 3 3 A¡™ A¶ Aß A∞ A¢ A£ FIGURA 2 FIGURA 3 1 n 1 0 x y (1, 1) 1 0 x y (1, 1) 1 4 1 2 3 4 0 x y 1 (1, 1) FIGURA 4 1 0 x y y=≈ A (1, 1) FIGURA 1 A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ A¡ A™ A£ A¢ A∞ El Preview Visual es una investiga- ción numérica y gráfica de la aproximación del área de un círculo mediante polígonos inscritos y circunscritos. TEC Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 3
- 31. EL PROBLEMA DE LA TANGENTE Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva, con ecuación y f(x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al pro- blema, primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva y calcule la pendiente mPQ de la recta secante PQ. En la figura 6 Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la figura 7. Puede ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente m de la recta tangente. Escriba donde m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir En el capítulo 2 se darán ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo dife- rencial, el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático fran- cés Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descu- brirá en el capítulo 5. VELOCIDAD Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué informa- ción se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es de 48 mih? Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies) a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente. m lím x l a f x f a x a 2 m lím Q lP mPQ mPQ f x fa x a 1 4 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 0 y x P y=ƒ t P Q t 0 x y y 0 x a x ƒ-f(a) P{a, f(a)} x-a t Q{x, ƒ} FIGURA 5 La recta tangente en P FIGURA 6 La recta secante PQ FIGURA 7 Rectas secantes aproximándose a la recta tangente Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 4
- 32. Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, encuentre la velocidad durante el intervalo : De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo es Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t 2. De modo que imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la tabla siguiente: Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5 : En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos: Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen apro- ximarse cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en exactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se define la velocidad instan- tánea de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre intervalos cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al graficar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribe d f(t), entonces f(t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo 2, t es lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la figura 8. La velocidad v cuando t 2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tan- gente a la curva en P. v lím t l 2 f t f 2 t 2 velocidad promedio distancia recorrida tiempo transcurrido f t f2 t 2 velocidad promedio 15.80 9.00 2.5 2 13.6 piess velocidad promedio 24 9 3 2 15 piess 2 t 3 16.5 piess 42 9 4 2 velocidad promedio distancia recorrida tiempo transcurrido 2 t 4 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 5 t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1 Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 FIGURA 8 t d 0 1 2 3 4 5 10 20 P{2, f(2)} Q{t, f(t)} Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 5
- 33. Por lo tanto, al resolver el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también está resolviendo problemas referentes a velocidades. Las mismas técnicas permiten re- solver problemas en que intervienen razones de cambio en todas las ciencias naturales y sociales. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea propuso cuatro problemas, que ahora se conocen como las paradojas de Zenón, las cuales desafiaban algunas de las ideas con- cernientes al espacio y al tiempo que sostenían en sus días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba, como se hace ver a continuación, que Aquiles nunca podría rebasarla. Suponga que Aquiles arranca en la posición a1 y la tortuga en la posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles llega a a3 t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y, de este modo, ¡parece que la tortuga siempre estará adelante! Pero esto contraviene el sentido común. Una manera de explicar esta paradoja es con la idea de sucesión. Las posiciones suce- sivas deAquiles o las posiciones sucesivas de la tortuga forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión se puede describir al dar la fórmula siguiente para el n-ésimo término Puede visualizar esta sucesión situando sus términos en una recta numérica como en la figura 10(a) o trazando su gráfica como en la figura 10(b). Observe, a partir de cual- quiera de las dos figuras, que los términos de la sucesión se aproximan cada vez más a 0 al aumentar . De hecho, es posible hallar términos tan pequeños como lo desee al hacer n suficientemente grande. Entonces el límite de la sucesión es 0 y se in- dica al escribir En general, se usa la notación si los términos an se aproximan al número L, cuando n se hace suficientemente grande. Esto significa que se puede aproximar los números an al número L tanto como quiera si se toma una n lo suficientemente grande. lím n l an L lím n l 1 n 0 n an 1n an 1 n {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . .} an
- 34. t1, t2, t3, . . . a1, a2, a3, . . . 6 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Aquiles tortuga a¡ a™ a£ a¢ a∞ t¡ t™ t£ t¢ . . . . . . FIGURA 9 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 FIGURA 10 1 0 a¡ a™ a£ a¢ (a) (b) Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 6
- 35. El concepto de límite de una sucesión se presenta siempre que usa la representación de- cimal de un número real. Por ejemplo, si entonces Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales a p. De nuevo la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga for- man las sucesiones y , en donde para toda n. Se puede demostrar que las dos sucesiones tienen el mismo límite Es precisamente en este punto p en que Aquiles alcanza a la tortuga. SUMA DE UNA SERIE Otra de las paradojas de Zenón, según. Aristóteles, es: “Un hombre parado en un cuarto no puede caminar hasta la pared. Para que esto suceda, primero avanzaría la mitad de la dis- tancia, en seguida la mitad de la distancia restante y, a continuación, una vez más la mitad de la que todavía queda. Siempre se puede continuar este proceso y nunca se termina. (Véase la figura 11.) Por supuesto, sabe que el hombre llega a la pared, de modo que esto sugiere que quizá se pueda expresar la distancia total como la suma de una infinidad de distancias más pe- queñas, como sigue 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n 3 lím n l an p lím n l tn an tn tn
- 36. an
- 37. lím n l an a7 3.1415926 a6 3.141592 a5 3.14159 a4 3.1415 a3 3.141 a2 3.14 a1 3.1 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 7 1 2 1 4 1 8 1 16 FIGURA 11 Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 7
- 38. Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero existen otras situaciones en que, implícitamente, se usan sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo significa y, por lo tanto, en cierto sentido, debe ser cierto que De modo más general, si denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces Por lo tanto, algunas sumas infinitas, o series infinitas como se les llama, tienen un signi- ficado. Pero debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita. Considere de nuevo la serie de la ecuación 3 y denote con la suma de los primeros n términos de la serie. De este modo Observe que conforme agrega más y más términos, las sumas parciales se aproximan ca- da vez más a 1. De hecho, se puede demostrar que, si n es suficientemente grande (es de- cir, si se suman un número suficiente de términos de la serie), es posible aproximar la suma parcial tanto como desee al número 1. Por lo tanto, parece razonable decir que la serie infinita es 1 y escribir 1 2 1 4 1 8 1 2n 1 sn s16 1 2 1 4 1 216 0.99998474 s10 1 2 1 4 1 1024 0.99902344 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 0.9921875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s2 1 2 1 4 0.75 s1 1 2 0.5 sn 0.d1d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 102 d3 103 dn 10n dn 3 10 3 100 3 1000 3 10 000 1 3 3 10 3 100 3 1000 3 10 000 0.3 0.3333 . . . 8 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 8
- 39. En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que En el capítulo 11 se analizan con más detalle estas ideas. Entonces usará la idea de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. RESUMEN El concepto de límite surge al tratar de hallar el área de una región, la pendiente de una tangente a una curva, la velocidad de un automóvil o la suma de una serie infinita. En ca- da caso, el tema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades calculadas con facilidad. Esta idea básica de límite separa al cálculo de las otras áreas de las matemáticas. De hecho, podría definirlo como la parte de las matemáticas que trata con límites. Después que sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En la actualidad sirve para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones, estimar la rapidez con que se elevan los precios, pronosticar el tiempo, medir el ritmo car- diaco, calcular las primas de seguros y en una gran diversidad de otras áreas. En este libro encontrará algunos de estos usos. Para dar una idea del poder de la materia, finalice este panorama preliminar con una lis- ta de algunas de las preguntas que podría usted responder al aplicar el cálculo: 1. ¿Cómo explica el hecho que se ilustra en la figura 12 de que el ángulo de eleva- ción desde un observador hasta el punto más alto de un arcoíris es 42º. (Véase página 279.) 2. ¿Cómo explica las formas de las latas en los anaqueles de los supermercados? (Véase página 333.) 3. ¿Dónde es el mejor lugar para sentarse en un cine? (Véase página 446.) 4. ¿Qué tan lejos del aeropuerto debe empezar a descender el piloto? (Véase pá- gina 206.) 5. ¿Cómo usar las curvas y el diseño de formas para reprsentar letras en una impresora láser? (Véase página 639). 6. ¿Cuál será la posición del parador en corto para atrapar la pelota lanzada por el jardinero y lanzarla a la base? (Véase página 601). 7. ¿Una bola lanzada hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver al sitio del lanzamiento? (Véase página 590.) lím n l sn 1 PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 9 rayos del Sol observador rayos del Sol 42° FIGURA 12 138° Presentacion de calculo 06/04/2009 17:42 Page 9
- 40. 10 Representación gráfica de una función. Aquí el número de horas de luz solar en diferentes periodos del año y diferentes latitudes, es la manera más natural y conveniente de ilustrar la función. FUNCIONES Y MODELOS 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Horas 60° N 50° N 40° N 30° N 20° N El propósito fundamental del cálculo son las funciones. En este capítulo se prepara el camino para el cálculo al analizar las ideas básicas referentes a las funciones, sus gráficas y las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hará hincapié en que una función se puede representar de diferentes modos: mediante una ecuación, en una tabla, con una gráfica o con palabras. Se considerarán los tipos principales de funciones que se presentan en el cálculo y se describirá el proceso de usarlas como modelos matemáticos de fenómenos del mundo real. También se expondrá el uso de las calculadoras graficado- ras y del software para trazar gráficas. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 10
- 41. CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las siguientes cuatro situaciones: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuación A pr 2 . Con cada número positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es función de r. B. La población humana del mundo, P, depende del tiempo t. En la tabla se dan estima- ciones de la población del mundo, Pt, en el tiempo t, para ciertos años. Por ejemplo, P1950 2 560 000 000 Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, por lo que P es una función de t. C. El costo C de enviar por correo una carta de primera clase depende de su peso w. Aun cuando no existe una fórmula sencilla que relacione w con C, la oficina de correos tiene una regla parta determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremo- to, es una función del tiempo transcurrido t. En la figura 1 se muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un valor dado de t, la gráfica proporciona un valor correspon- diente de a. En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número r, t, w o t), se asigna otro número A, P, C o a). En cada caso, el segundo número es función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta- mente un elemento, llamado fx), de un conjunto E. A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número fx) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de fx), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente y A es la dependiente. FIGURA 1 Aceleración vertical del suelo durante el terremoto de Northridge {cm/s@} (segundos) Calif. Dept. of Mines and Geology 5 50 10 15 20 25 a t 100 30 _50 1.1 11 Población Año (en millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 11
- 42. Resulta útil concebir una función como una máquina véase la figura 2). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una en- trada y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjunto de todas las salidas posibles. Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función co- mo una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas funciones. Usted oprime la tecla marcada como o y registra la entrada x. Si x 0, en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y la calculadora indicará un error. Si x
- 43. 0, en tal caso aparecerá una aproximación a en la pantalla. Así, la tecla de su calculadora no es la misma exactamente que la función ma- temática f definida por . Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente. El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5. EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f. (a) Encuentre los valores de f1) y f5). (b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f? SOLUCIÓN (a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo que el valor de f en 1 es . En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuen- tra arriba de x 1 está tres unidades arriba del eje x.) Cuando x 5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por tanto, (b) fx) está definida cuando , de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el interva- lo de f es y2 y 4
- 44. 2, 4 0 x 7 f5 0.7 f 1 3 0 y ƒ(x) dominio intervalo FIGURA 4 {x, ƒ} ƒ f(1) f(2) 0 1 2 x FIGURA 5 x y x y x, fxx D
- 45. fx sx sx sx sx s 12 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 2 Diagrama de una máquina para una función ƒ x (entrada) ƒ (salida) f f D E ƒ f(a) a x FIGURA 3 Diagrama de flechas para ƒ FIGURA 6 x y 0 1 1 La notación para intervalos aparece en el apéndice A. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 12
- 46. EJEMPLO 2 Trace una gráfica y encuentre el dominio y el intervalo de cada función. a) b) SOLUCIÓN a) La ecuación de la gráfica es y esto se reconoce como la ecuación de la recta con pendiente 2 y ordenada al origen 1. Recuerde la forma de pendiente-ordenada al origen de la ecuación de una recta: . Véase apéndice B.) Esto permite trazar la gráfica de f. Ver la figura 7. La expresión está definida para todos los números reales, de modo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, el cual se denota con . En la gráfica se muestra que el rango también es . b) Como y , podría dibujar los puntos 2, 4) y 1, 1) junto con unos cuantos puntos más de la gráfica y unirlos para producir la gráfi- ca figura 8). La ecuación de la gráfica es , la cual representa una parábola véase el apéndice C). El dominio de t es . El rango de t consta de todos los valores de tx); es decir, todos los números de la forma x2 . Pero para todos los números x y cualquier número positivo y es un cuadrado. De este modo, el rango de t es . Esto también se ve en la figura 8. EJEMPLO 3 Si fx 2x2 5x 1 y h 0, evaluar SOLUCIÓN Primero evalúe fa h sustituyendo x mediante a h en la expresión para fx: fa h 2(a h)2 5(a h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5(a h) 1 2(a2 2ah h2 ) 5a 5h 1 Por lo tanto al sustituir en la expresión que se proporciona y simplificando: REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES Se tienen cuatro maneras posibles para representar una función: Verbalmente (mediante una descripción en palabras) Numéricamente (con una tabla de valores) Visualmente (mediante una gráfica) Algebraicamente (por medio de una fórmula explícita) Si la función se puede representar de las cuatro maneras, con frecuencia resulta útil pasar de una representación a otra, para adquirir un conocimiento adicional de la función. (En el ejemplo 2 se empieza con fórmulas algebraicas y, a continuación, se obtuvieron las gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más natural con uno de los métodos 4ah 2h2 5h h 4a 2h 5 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h 2a2 4ah 2h2 5a 5h 1 2a2 5a 1 h fa h fa h y y 0
- 47. 0, x2 0 y x2 t1 12 1 t2 22 4 2x 1 y mx b y 2x 1 tx x2 fx 2x 1 SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 13 La expresión en el ejemplo 3 se le denomina un cociente de diferencia y habitualmente sucede en cálculo. Como se verá en el capítulo 2, repre- senta la razón promedio de cambio f(x) entre x a y x a h f(a h) f(a) h FIGURA 7 x y=2x-1 0 -1 y 1 2 (_1, 1) (2, 4) 0 y 1 x 1 y=≈ FIGURA 8 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 13
- 48. que con otro. Con esto en mente, analice de nuevo las cuatro situaciones consideradas al principio de esta sección. A. Quizá la representación más útil del área de un círculo como función de su radio sea la fórmula algebraica , aunque es posible compilar una tabla de valores o trazar una gráfica (la mitad de una parábola). Como un círculo debe tener un radio positivo, el dominio es , y el rango también es . B. Se ha descrito verbalmente la función: Pt es la población humana del mundo en el tiempo t. La tabla de valores de la población mundial da una representación conve- niente de esta función. Si coloca estos valores en una gráfica, obtendrá la gráfica (lla- mada gráfica de dispersión) de la figura 9. También es una representación útil; pues nos permite absorber todos los datos a la vez. ¿Qué hay acerca de una fórmula? Por supuesto, es imposible idear una fórmula explícita que dé la población humana exacta Pt en cualquier tiempo t. Pero es posible hallar una expresión para una función que proporcione una aproximación de Pt). De hecho, con la aplicación de los métodos que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación y en la figura 10 se ilustra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que da una aproximación para el comportamiento de la función dada. Sin embargo, verá que las ideas del cálculo se pueden aplicar a una tabla de valores; no se necesita una fórmula explícita. La función P es típica entre las funciones que surgen siempre que intenta aplicar el cálculo al mundo real. Empieza con una descripción verbal de la función. En se- guida, es posible que sea capaz de construir una tabla de valores de la función, quizá a partir de lecturas de instrumentos en un experimento científico. Aun cuando no tenga el conocimiento completo de los valores de la función, a lo largo del libro verá que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo en una función de ese tipo. C. Una vez más, la función está descrita en palabras: Cw) es el costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. La regla que en 1996 aplicaba el U.S. Postal Service (Servicio Postal de Estados Unidos) es la siguiente: el costo es de 39 centavos de dólar hasta por una onza, más 24 centavos por cada onza sucesiva, hasta 13 onzas. La tabla de valores que se muestra en el margen es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible trazar una gráfica (véase el ejemplo 10). D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical at). Es cierto que se podría compilar una tabla de valores e incluso FIGURA 10 FIGURA 9 1900 6x10' P t 1920 1940 1960 1980 2000 1900 6x10' P t 1920 1940 1960 1980 2000 Pt ft 0.008079266 1.013731t 0, rr 0
- 49. 0, Ar r2 14 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Población Año (en millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 (onzas) (dólares) 0.39 0.63 0.87 1.11 1.35 3.27 12 w 13 4 w 5 3 w 4 2 w 3 1 w 2 0 w 1 Cw w Una función definida por una tabla de valores se conoce como función tabular. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 14
- 50. es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo, amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la gráfica. (Lo mismo se cumple para los patrones que se ven en los electrocardiogramas de los pacientes car- diacos y en los polígrafos para la detección de mentiras.) En el ejemplo siguiente, se grafica una función definida verbalmente. EJEMPLO 4 Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado corriendo. Trace una gráfica aproximada de T como función del tiempo t que ha transcurrido desde que se abrió el grifo. SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente está cercana a la temperatura ambiente, debido al agua que ha estado en los tubos. Cuando empieza a salir la que se encuentra en el tanque de agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la temperatura del agua calentada del tanque. Cuando éste se drena, T decrece hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de gráfica de T como una función de t en la figura 11. El ejemplo que sigue, parte de una descripción verbal de una función, en una situación física, y se obtiene una fórmula algebraica explícita. La capacidad para llevar a cabo esto constituye una habilidad útil en los problemas de cálculo en los que se piden los valores máximo y mínimo de cantidades. EJEMPLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con su parte superior abierta, tiene un volumen de 10 m3 . La longitud de su base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados, cuesta 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base. SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación to- mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h como la altura. El área de la base es , de modo que el costo, en dólares, del material para la base es . Dos de los lados tienen el área y el área de los otros dos es , así el costo del material para los lados es . En consecuencia el costo total es Para expresar C como función sólo de w, necesita eliminar h, lo que sucede al aplicar el hecho de que el volumen es 10 m3 . De este modo, lo cual da Si se sustituye esto en la expresión para C Por lo tanto, la ecuación expresa C como función de w. w 0 Cw 20w2 180 w C 20w2 36w5 w2 20w2 180 w h 10 2w2 5 w2 w2wh 10 C 102w2 6 2wh 22wh 20w2 36wh 6 2wh 22wh 2wh wh 102w2 2ww 2w2 V SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 15 t T 0 FIGURA 11 w 2w h FIGURA 12 Al establecer funciones de aplicación, como en el ejemplo 5, puede resultar útil repasar los principios para la resolución de problemas como se plantean en la página 76, en particular el paso 1: comprender el problema. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 15
- 51. EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada función. (a) (b) SOLUCIÓN (a) Ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que . Esto es equivalente a , de modo que el dominio es el intervalo . (b) Dado que y la división entre 0 no está permitida, tx no está definida cuando x 0 o x 1. Por lo tanto, el dominio de t es lo cual también podría escribirse, con la notación de intervalos, como La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿cuáles curvas en el plano xy son gráficas de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior. PRUEBA DE LA LÍNEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez. En la figura 13 se puede ver la razón de la veracidad de la prueba de la línea vertical. Si cada línea vertical x a interseca una curva sólo una vez, en a, b, por lo tanto se define exactamente un valor funcional mediante . Pero si una línea x a se in- terseca con la curva dos veces, en a, b y a, c, entonces la curva no puede representar una función, porque una función no puede asignar dos valores diferentes a a. Por ejemplo, la parábola que aparece en la figura 14(a) en la página que sigue no es la gráfica de una función de x porque, como el lector puede ver, existen líneas vertica- les que intersecan dos veces esa parábola. Sin embargo, la parábola en realidad contiene las gráficas de dos funciones de x. Observe que significa , por lo que Por esto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones [del ejemplo 6(a)] y [véase las figu- ras 14(b) y (c)]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuación define x como función de y (con y como la variable independiente y x como dependiente) y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. x hy y2 2 tx sx 2 fx sx 2 y sx 2. y2 x 2 x y2 2 x y2 2 FIGURA 13 a x=a (a, b) 0 a (a, c) (a, b) x=a 0 x y x y fa b , 0 0, 1 1, xx 0, x 1
- 52. tx 1 x2 x 1 xx 1 2, x 2 x 2 0 tx 1 x2 x fx sx 2 16 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Si se da una función mediante una fórmula y no se da el dominio explícitamente, la con- vención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula tiene sentido y define un número real. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 16
- 53. FUNCIONES SECCIONALMENTE DEFINIDAS Las funciones de los cuatro ejemplos siguientes están definidas por fórmulas diferentes en diferentes partes de sus dominios. EJEMPLO 7 Una función f se define por Evalúe f0), f1) y f2) y trace la gráfica. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada x. Si sucede que x 1, entonces el valor de fx) es 1 x. Por otra parte, si x 1, entonces el valor de fx) es x2 . ¿Cómo dibujar la gráfica de f? Observe que, si x 1, entonces fx) 1 x de modo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la línea vertical x 1 debe coincidir con la línea y 1 x, la cual tiene la pendiente 1 y 1 como ordenada al origen. Si x 1, entonces fx) x2 , por lo que la parte de la gráfica de f que está a la derecha de la línea x 1 tiene que coincidir con la gráfica de y x2 , la cual es una parábola. Esto permite trazar la gráfica de la figura 15. El punto relleno indica que el punto 1, 0) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que el punto 1, 1) está fuera de la gráfica. El ejemplo siguiente de una función seccionalmente definida es la función valor abso- luto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado con , es la distancia de a hasta 0, sobre la recta de los números reales. Las distancias siempre son positivas o 0; de tal manera para todo número a Por ejemplo, En general, (Recuerde que si a es negativo, entonces a es positivo.) si a 0 a a si a 0 a a 3 3 s2 1 s2 1 0 0 3 3 3 3 a 0 a Como 2 1, tenemos f2 22 4. Como 1 1, tenemos f1 1 1 0. Como 0 1, tenemos f0 1 0 1. f x 1 x x2 si x 1 si x 1 V FIGURA 14 (b) y=œ„„„„ x+2 _2 0 x y (_2, 0) (a) x=¥-2 0 x y (c) y=_œ„„„„ x+2 _2 0 y x SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 17 1 x y 1 FIGURA 15 Para un repaso más extenso de los valores absolutos, véase el apéndice A. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 17
- 54. EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función valor absoluto, . SOLUCIÓN Con base en el análisis precedente, sabe que Al aplicar el método del ejemplo 7, la gráfica de f coincide con la línea y x, a la derecha del eje y, y coincide con la línea y x, a la izquierda del eje y (véase la figura 16). EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f que se dibuja en la figura 17. SOLUCIÓN La línea que pasa por 0, 0) y 1, 1) tiene pendiente m 1 y su ordenada al ori- gen es b 0, de forma que su ecuación es y x. Así, para la parte de la gráfica de f que une 0, 0) con 1, 1), si La línea que pasa por 1, 1) y 2, 0) tiene pendiente m 1, de suerte que su forma punto-pendiente es De tal manera que si Observe también que, para x 2, la gráfica de f coincide con el eje x. Si reúne esta in- formación, tiene la fórmula siguiente para f, en tres secciones: EJEMPLO 10 En el ejemplo C del principio de esta sección, se consideró el costo Cw de enviar por correo una carta de primera clase con peso w. En realidad, ésta es una función seccionalmente definida porque, a partir de la tabla de valores, se tiene La gráfica se muestra en la figura 18. Usted puede ver por qué a las funciones semejantes a ésta se les llama función escalón: saltan de un valor al siguiente. En el capítulo 2 se estudiarán esas funciones. 0.39 0.63 0.87 1.11 si 0 w 1 si 1 w 2 si 2 w 3 si 3 w 4 Cw f x x 2 x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si x 2 1 x 2 fx 2 x y 2 x o y 0 1x 2 0 x 1 f x x FIGURA 17 x y 0 1 1 x x x si x 0 si x 0 f x x 18 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS x y=|x| 0 y FIGURA 16 Forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: véase el apéndice B. y y1 mx x1 FIGURA 18 C 1 1 0 2 3 4 5 w CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 18
- 55. SIMETRÍA Si una función f satisface para todo número x en su dominio, entonces f se denomina función par. Por ejemplo, la función es par porque El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y (véase la figura 19). Esto significa que si traza la gráfica de f para x
- 56. 0, obtiene toda la gráfica con sólo reflejar esta porción con respecto al eje y. Si f satisface para todo número x en su dominio, entonces f se conoce como función impar. Por ejemplo, la función es impar porque La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen (véase la figura 20). Si ya tiene la gráfica de f para x
- 57. 0, puede obtener la gráfica entera al hacerla girar 180 alrede- dor del origen. EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos. (a) (b) (c) SOLUCIÓN (a) En consecuencia, f es una función impar. (b) De modo que t es par. (c) Dado que y , se concluye que h no es par ni impar. En la figura 21 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 11. Observe que la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen. 1 1 x y h 1 1 y x g 1 _1 1 y x f _1 (a) (b) (c) FIGURA 21 hx hx hx hx hx 2x x2 2x x2 tx 1 x4 1 x4 tx f x x5 x x5 x fx x5 x 15 x5 x hx 2x x2 tx 1 x4 fx x5 x V fx x3 x3 f x fx x3 fx fx, fx x2 x2 f x fx x2 fx fx, SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 19 0 x _x f(_x) ƒ FIGURA 19 Una función par x y 0 x _x ƒ FIGURA 20 Una función impar x y CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 19
- 58. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta C, y vuelve a subir desde C hasta D. Se dice que la función f está creciendo sobre el intervalo a, b , decreciendo sobre b, c , y creciendo de nuevo sobre c, d . Observe que si x1 y x2 son dos números cualesquiera entre a y b, con , entonces . Use esto como la propiedad que define una función creciente. Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si Se dice que es decreciente sobre I si En la definición de función creciente es importante darse cuenta que se debe satisfacer la desigualdad para toda pareja de números x1 y x2 en I con . A partir de la figura 23 es posible observar que la función es decreciente sobre el intervalo y creciente sobre el intervalo . 0, , 0 f x x2 x1 x2 fx1 fx2 siempre que x1 x2 en I f x1 fx2 siempre que x1 x2 en I f x1 fx2 A B C D y=ƒ f(x¡) f(x™) a y 0 x x¡ x™ b c d FIGURA 22 fx1 fx2 x1 x2 20 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 23 0 y x y=≈ y 0 x 1 1 1. Se da la gráfica de una función f. (a) Establezca el valor de . (b) Estime el valor de . (c) ¿Para cuáles valores de x se tiene ? (d) Estime los valores de x tales que . (e) Establezca el dominio y el rango de f. (f) ¿En qué intervalo es f creciente? f x 0 f x 2 f 2 f 1 EJERCICIOS 1.1 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 20
- 59. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 21 el peso de esta persona a lo largo del tiempo. ¿Qué piensa el lec- tor que sucedió cuando esta persona tenía 30 años? 10. La gráfica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como función del tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la gráfica indica con respecto al recorrido del vendedor en este día. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido. 12. Trace una gráfica aproximada del número de horas de luz del día como función de la época del año. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como función del tiempo durante un día típico de primavera. 14. Dibuje una gráfica aproximada del valor en el mercado, por un periodo de 20 años de un automóvil nuevo. Considere que se le da buen mantenimiento. 15. Dibuje la gráfica de la cantidad de una marca particular de café vendida por una tienda como una función del precio del café. 16. Usted coloca un pastel congelado en un horno y lo hornea duran- te una hora. Luego, lo saca y lo deja enfriar, antes de comerlo. Describa cómo cambia la temperatura del pastel conforme pasa el tiempo. Después, trace una gráfica aproximada de la temperatura del pastel como función del tiempo. 17. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una gráfica aproximada de la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas. 18. Un avión sale de un aeropuerto y aterriza, una hora más tarde, en otro aeropuerto que se encuentra a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado 13. 11. 8 A.M. 10 MEDIODÍA 2 4 6 P.M. Tiempo (horas) Distancia hasta la casa (millas) Edad (años) Peso (libras) 0 150 100 50 10 200 20 30 40 50 60 70 Se proporcionan las gráficas de f y t. (a) Dé los valores de y . (b) ¿Para cuáles valores de x se tiene ? (c) Estime la solución de la ecuación . (d) ¿En qué intervalo f es decreciente? (e) Dé el dominio y el rango de f. (f) Dé el dominio y el rango de t. 3. Un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geo- logía en el Hospital Universitario de la Universidad del Sur de California (USC) en Los Ángeles, registró la figura 1. Úsela para estimar el intervalo de la funcion aceleración vertical del suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. 4. En esta sección se analizaron ejemplos de funciones, cotidia- nas: la población es una función del tiempo, el costo del porte de correos es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funcio- nes de la vida cotidiana que se describan verbalmente. ¿Qué puede decir acerca del dominio y del rango de cada una de sus funciones? Si es posible, trace una gráfica aproximada de cada función. 5–8 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y el rango de la función. 5. 6. 7. 8. La gráfica que se muestra da el peso de cierta persona como una función de la edad. Describa con palabras la manera en que varía 9. y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 y x 0 1 1 g x y 0 f 2 2 f x 1 f x tx t3 f 4 2. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 21
- 60. 22 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 28. Encuentre el dominio, el rango y trace la gráfica de la función . 33–44 Encuentre el dominio y trace la gráfica de la función. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 40. 41. 42. 44. 45–50 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 45. El segmento rectilíneo que une los puntos y 46. El segmento rectilíneo que une los puntos y La mitad inferior de la parábola 48. La mitad superior del círculo 49. 50. 51–55 Encuentre una fórmula para la función descrita y dé su dominio. 51. Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados. y 0 x 1 1 y 0 x 1 1 x2 (y 22 4 x y 12 0 47. 7, 10 5, 10 5, 7 1, 3 f x x 9 2x 6 si x 3 si x 3 si x 3 f x x 2 x2 si x 1 si x 1 43. f x 3 1 2x 2x 5 si x 2 si x 2 f x x 2 1 x si x 0 si x 0 tx x x2 Gx 3x x x 39. Fx 2x 1 tx sx 5 Ht 4 t2 2 t f t t2 6t Fx 1 2 x 3 f x 5 hx s4 x2 hx 1 s 4 x2 5x 31. la terminal, sea la distancia horizontal recorrida y la altitud del avión. Trace. (a) Una gráfica posible de . (b) Una gráfica posible de . (c) Una gráfica posible de la rapidez con respecto al suelo. (d) Una gráfica posible de la velocidad vertical. 19. En la tabla se exhibe el número N (en millones) de usuarios de telefonos celulares en el mundo. (Se proporcionan estimaciones semestrales). (a) Mediante los datos trace una gráfica de N en función de t. (b) Utilice la gráfica para estimar la cantidad de usuarios de teléfono celular a mediados de año en 1995 y 1999. 20. El 2 de junio de 2001 se tomaron lecturas de temperatura T (en °F) cada dos horas desde la medianoche hasta las 2:00 P.M. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. (a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como una función de t. (b) Utilice la gráfica que trazó para estimar la temperatura a las 11:00 A.M. 21. Si , encuentre , , , , , , , , y . 22. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene el volumen . Encuentre una función que represente la cantidad de aire que se requiere para inflarlo desde un radio de r pulga- das hasta otro de r 1 pulgadas. 23–26 Valorar el cociente de diferencia para la función que se pro- porciona. Simplifique su respuesta. f(x) 4 3x x2 , 24. f(x) x3 , 25. , 26. , 27–31 Encuentre el dominio de la función. 27. 28. 29. 30. tu su s4 u f t st s 3 t f x 5x 4 x2 3x 2 f x x 3x 1 f(x) – f(1) x 1 fx x 3 x 1 f(x) – f(a) x a f(x) 1 x f(a h) – f(a) h f(3 h) – f(3) h 23. Vr 4 3 r3 f a h [ f a]2 f a2 f 2a 2f a f a 1 f a f a f 2 f 2 f x 3x2 x 2 yt xt yt xt t 1990 1992 1994 1996 1998 2000 N 11 26 60 160 340 650 t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 22
- 61. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN |||| 23 (b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dólares y a otro de 26 000 dólares? (c) Trace la gráfica del impuesto total correspondiente T como función del ingreso I. 60. Las funciones del ejemplo 10 y de los ejercicios 58 y 59(a) se conocen como funciones escalones porque sus gráficas parecen escaleras. Dé otros dos ejemplos de funciones escalones que surjan en la vida cotidiana. 61–62 Se muestran las gráficas de f y t. Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 61. 62. 63. (a) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? (b) Si el punto 5, 3 está sobre la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar sobre la gráfica? 64. Una función f tiene el dominio 5, 5 y se muestra una parte de su gráfica. (a) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es par. (b) Complete la gráfica de f si se sabe que ésta es impar. 65–70 Determine si f es par, impar o ni par ni impar. Si tiene una calculadora graficadora, úsela para verificar de manera visual su respuesta 65. 66. 67. 68. 69. 70. f x 1 3x3 x5 f x 1 3x2 x4 f x xx f x x x 1 f x x2 x4 1 f x x x2 1 x 0 y 5 _5 y x f g y x f g 52. Un rectángulo tiene un área de 16 m2 . Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de sus lados. 53. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de los lados. 54. Exprese el área superficial de un cubo como función de su vo- lumen. Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3 , tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como fun- ción de la longitud de uno de los lados de la base. 56. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coro- nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x de la misma. 57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 12 pulgadas por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V de la caja como función de x. 58. Una compañía de taxis cobra dos dólares por la primera milla (o parte de una milla) y 20 centavos de dólar por cada décimo de milla (o parte) subsiguiente. Exprese el costo C (en dólares) de un viaje como función de la distancia x recorrida (en millas), para , y dibuje la gráfica de esta función. En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta de 10 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10 000 dólares paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de 20 000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20 000 dólares paga impuesto con una tasa del 15%. (a) Trace la gráfica de la tasa R de impuesto como función del ingreso I. 59. 0 x 2 20 12 x x x x x x x x x © Catherine karnow 55. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 23
- 62. 24 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una fun- ción o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una población, la demanda por un producto, la rapidez de caída de un objeto, la concentración de un producto en una reacción química, la expectativa de vida de una persona cuando nace o el costo de la reducción de emisiones. El propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso del modelado matemático. Una vez que se especifica un problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matemático iden- tificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes, así como hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea sus- ceptible de rastrearse en forma matemática. Utilice su conocimiento acerca de la situación física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables. En aquellas situaciones en las que no existen leyes físicas que lo guíen, tal vez necesite re- cabar información (ya sea de una biblioteca o de la Internet o llevando a cabo sus propios experimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A par- tir de esta representación numérica quizá desee obtener una representación gráfica por medio del dibujo de los datos. En algunos casos, la gráfica puede hasta sugerir una forma algebraica adecuada. La segunda etapa es aplicar las matemáticas que conoce (como por ejemplo el cálculo que se desarrollará en todas las partes de este libro) al modelo matemático formulado con el fin de deducir conclusiones matemáticas. Después, en la tercera etapa, tome esas conclu- siones matemáticas e interprételas como información acerca del fenómeno original del mundo real por medio de ofrecer explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es pro- bar las predicciones que formuló verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real. Si las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su modelo o bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo. Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir cálculos matemáticos pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas. Es importante darse cuenta de los límites del modelo. En última instancia, la madre naturaleza tiene la última palabra. Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar corre- spondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizará el comportamiento y las gráficas de estas funciones y atenderá ejemplos de situaciones mo- deladas en forma apropiada por medio de esas funciones. MODELOS LINEALES Cuando dice que y es una función lineal de x, lo que quiere dar a entender es que la grá- fica de la función es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y. y f x mx b 1.2 En el apéndice B se repasa la geometría analítica de las rectas. FIGURA 1 El proceso del modelado Problema en el mundo real Modelo matemático Predicciones en el mundo real Conclusiones matemáticas Test Formular Resolver Interpretar CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 24
- 63. Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una pro- porción constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal fx 3x 2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x. De este modo la pendiente de la gráfica y 3x 2, en este caso 3, puede interpretarse como la relación de cambio de y con respecto a x. EJEMPLO 1 (a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la tem- peratura del suelo es y la temperatura a la altura de 1 km es , exprese la temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. (b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente? (c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km? SOLUCIÓN (a) Como supone que T es una función lineal de h, puede escribir Se dice que cuando , así En otras palabras, la ordenada al origen y es . Además, cuando , de modo que Por lo tanto la pendiente de la recta es y la función lineal requerida es (b) La gráfica se traza en la figura 3. La pendiente es , y esto representa la relación de cambio de temperatura con respecto a la altura. (c) A una altura , la temperatura es Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye un modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de los puntos de los datos. T 102.5 20 5C h 2.5 km m 10Ckm T 10h 20 m 10 20 10 10 m 1 20 h 1 T 10 b 20 20 m 0 b b h 0 T 20 T mh b 10C 20C V x y 0 y=3x-2 _2 FIGURA 2 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 25 x 1.0 1.0 1.1 1.3 1.2 1.6 1.3 1.9 1.4 2.2 1.5 2.5 f x 3x 2 FIGURA 3 T=_10h+20 T h 0 10 20 1 3 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 25
- 64. EJEMPLO 2 En la tabla 1 se enumera el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la información que en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Use los datos que aparecen en la tabla 1 para trazar la gráfica de dispersión que se muestra en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm) Observe que al parecer los puntos correspondientes a la información se encuentran cerca de una recta, por tanto es natural que en este caso se elija un modelo lineal. Pero existen numerosas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de información, por eso ¿cuál debe escoger? A partir de la gráfica, la línea que pasa por el primero y el último puntos de información parece ser una posibilidad. La pendiente de esta recta es y su ecuación es o bien La ecuación 1 proporciona un modelo lineal posible para el nivel de dióxido de carbono; se grafica en la figura 5. Si bien el modelo coincide razonablemente bien con la información, da puntos más altos que la mayor parte de los niveles reales de CO2. Por medio de un procedimiento C 1.5545t 2739.21 1 C 338.7 1.5545t 1980 372.9 338.7 2002 1980 34.2 22 1.5545 V 26 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 4 Gráfica de dispersión para el nivel de CO2 340 350 360 1980 1985 1990 C t 1995 2000 370 Modelo lineal a través del primero y último puntos de información FIGURA 5 340 350 360 1980 1985 1990 C t 1995 2000 370 TABLA 1 Nivel de CO2 Año (en ppm) 1980 338.7 1982 341.1 1984 344.4 1986 347.2 1988 351.5 1990 354.2 Nivel de CO2 Año (en ppm) 1992 356.4 1994 358.9 1996 362.6 1998 366.6 2000 369.4 2002 372.9 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 26
- 65. de estadística conocido como regresión lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Si utiliza una calculadora graficadora, registre los datos de la tabla 1 en el editor de datos y elija el comando de regresión lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square] en el paquete de estadística; con Mathematica utilice el comando Fit). La máquina da la pendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresión como De esta manera nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es En la figura 6 aparece la gráfica de la recta de regresión así como los puntos de infor- mación. Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia que nuestro modelo lineal anterior. EJEMPLO 3 Use el modelo lineal que proporciona la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 correspondiente al año 1987 y predecir el nivel para el 2010. Según este modelo, ¿cuándo excederá el nivel de CO2 las 400 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t 1987, se estima que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue Esto es un ejemplo de interpolación porque ha estimado un valor entre valores observados. (De hecho, el observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue 348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.) Con t 2010, obtiene De modo que se predice que el nivel promedio de CO2 en el año 2010 será 384.8 ppm. Esto es un ejemplo de extrapolación porque pronosticó un valor fuera de la región de las observaciones. Por consecuencia, está mucho menos seguro acerca de la exactitud de su predicción. Al usar la ecuación 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando Al resolver esta desigualdad tiene t 3134.55 1.55192 2019.79 1.55192t 2734.55 400 C2010 1.551922010 2734.55 384.81 C1987 1.551921987 2734.55 349.12 V FIGURA 6 La recta de regresión 340 350 360 1980 1985 1990 C t 1995 2000 370 C 1.55192t 2734.55 2 b 2734.55 m 1.55192 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 27 Una computadora o una calculadora grafi- cadora encuentra la recta de regresión por medio del método de mínimos cuadrados, el cual consiste en reducir al mínimo la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos correspondientes a datos y la recta. En la sección 14.7 se explican detalles de lo anterior. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 27
- 66. En consecuencia, se pronostica que el nivel de CO2 excederá de 400 ppm hacia el año 2020. Esta predicción es riesgosa hasta cierto punto porque implica un momento bastante remoto con respecto a sus observaciones. POLINOMIOS A una función P se le lama polinomio si donde n es un entero no negativo y los números son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es Si el coeficiente principal , entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función es un polinomio de grado 6. Un polinomio de grado 1 tiene la forma y de este modo es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola que se obtiene, como verá en la sección siguiente, al cambiar la parábola . La parábola se abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0. (Véase la figura 7.) Un polinomio de grado 3 tiene la forma y se le da el nombre de función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cú- bica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c). Más adelante verá por qué las gráficas tienen las formas que se ilustran a continuación. a 0 Px ax3 bx2 cx d y ax2 Px ax2 bx c Px mx b Px 2x6 x4 2 5 x3 s2 an 0 , . a0, a1, a2, . . . , an Px an xn an1 xn1 a2 x2 a1 x a0 28 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 8 (a) y=˛-x+1 x 1 y 1 0 (b) y=x$-3≈+x x 2 y 1 (c) y=3x%-25˛+60x x 20 y 1 FIGURA 7 Las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas. y 2 x 1 (b) y=_2≈+3x+1 0 y 2 x 1 (a) y=≈+x+1 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 28
- 67. Usualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se susci- tan en las ciencias naturales y sociales. En la sección 3.7, por ejemplo, se explica por qué los economistas suelen usar un polinomio Px para representar el costo de producir x uni- dades de una mercancía. El ejemplo siguiente usa una fórmula cuadrática para modelar la caída de una pelota. EJEMPLO 4 Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450 m sobre el nivel, se deja caer una pelota y en la tabla 2 se registra su altura h del suelo sobre el nivel a intervalos de un segundo. Encuentre un modelo que coincida con la información y úselo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo. SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión de la información y se observa que no es adecuada una gráfica lineal. Pero parece ser que quizás los puntos de informa- ción se encuentren sobre una parábola, de este modo se hace la prueba con un modelo cuadrático. Al utilizar una calculadora graficadora o una computadora provista de siste- ma algebraico (que utiliza el método de mínimos cuadrados), se obtiene el modelo cua- drático siguiente: En la figura 10 se traza la gráfica de la ecuación 3 con los puntos de información y se observa que el modelo cuadrático da una coincidencia adecuada. La pelota toca el suelo cuando , de modo que se resuelve la ecuación cuadrática La fórmula cuadrática da La raíz positiva es , por lo tanto se pronostica que la pelota tocará el suelo después de casi de 9.7 segundos. FUNCIONES DE POTENCIA Una función de la forma , donde a es constante se llama función potencia. Con- sidere varios casos. fx xa t 9.67 t 0.96 s0.962 44.90449.36 24.90 4.90t2 0.96t 449.36 0 h 0 FIGURA 10 Modelo cuadrático para una pelota que cae 2 200 400 4 6 8 t 0 FIGURA 9 Diagrama de dispersión para una pelota que cae 200 400 t (segundos) 0 2 4 6 8 h h (metros) h 449.36 0.96t 4.90t2 3 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 29 TABLA 2 Tiempo Altura (segundos) (metros) 0 450 1 445 2 431 3 408 4 375 5 332 6 279 7 216 8 143 9 61 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 29
- 68. (i) , donde n es un entero positivo La figura 11 ilustra las gráficas de para y 5. (Éstos son poli- nomios con un solo término.) Ya conoce la forma de las gráficas de (una línea a través del origen con pendiente 1) y [una parábola, véase el ejemplo 2(b) en la sección 1.1]. La forma general de la gráfica de depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola . Si n es impar, entonces es una función impar y su gráfica es similar a la de . Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta n, la gráfica se hace más plana cerca de 0 y más pronunciada cuando . (Si x es pequeña entonces x2 es más pequeña, x3 aún más pequeña, x4 es más pequeña y así sucesivamente.) (ii) , donde n es un entero positivo La función es una función raíz. Para es la función raíz cuadrada , cuyo dominio es y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola . [Véase la figura 13(a).] Para otros valores pares de n, la gráfica de es simi- lar a la de . Para n 3 tenemos la función raíz cúbica cuyo dominio es (recuerde que todo número real tiene una raíz cúbica) y cuya gráfica se ilustra en la figura 13(b). La gráfica de para n impar es similar a la de . y s 3 x n 3 y s n x f x s 3 x y sx y s n x x y2 0, f x sx n 2 f x x1n s n x a 1n x 1 y x3 fx xn y x2 fx xn fx xn y x2 y x 2, 3, 4 n 1, fx xn a n 30 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Gráficas de f(x) = xn para n = 1, 2, 3, 4, 5 x 1 y 1 0 y=x% x 1 y 1 0 y=x# x 1 y 1 0 y=≈ x 1 y 1 0 y=x x 1 y 1 0 y=x$ FIGURA 11 y=x$ (1, 1) (_1, 1) y=x^ y=≈ FIGURA 12 Familias de funciones de potencia y=x# y=x% (_1, _1) (1, 1) 0 y x x y 0 (b) ƒ=Œ„ x x y 0 (a) ƒ=œ„ x x y 0 (1, 1) FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz (1, 1) CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 30
- 69. (iii) En la figura 14 se presenta la gráfica de la función recíproca . Su grá- fica tiene la ecuación , o y es una hipérbola con sus ejes de coordenadas como sus asíntotas. Esta función surge en la física y en la química en conexión con la ley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P: donde C es una constante. En estos términos, la gráfica de V como una función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. En el ejercicio 26 se analiza otra situación en la que se utiliza una función potencia para modelar un fenómeno físico. FUNCIONES RACIONALES Una función racional f es una razón de dos polinomios: donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que . Un ejemplo sencillo de una función racional es la función , cuyo dominio es ; esto es la función recíproca que se dibuja en la figura 14. La función es una función racional con dominio . En la figura 16 se ilustra su gráfica. FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multi- plicación y obtención de raíces) se le llama función algebraica. Cualquier función racional automáticamente es una función algebraica. A continuación dos ejemplos más: tx x4 16x2 x sx x 2s 3 x 1 fx sx2 1 xx 2
- 70. fx 2x4 x2 1 x2 4 xx 0
- 71. f x 1x Qx 0 f x Px Qx P V 0 FIGURA 15 El volumen como una función de la presión a temperatura constante V C P xy 1 y 1x f x x1 1x a 1 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 31 FIGURA 14 La función recíproca x 1 y 1 0 y=Δ FIGURA 16 ƒ= 2x$-≈+1 ≈-4 x 20 y 2 2 0 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 31
- 72. Cuando trace funciones algebraicas en el capítulo 4, verá que sus gráficas adoptan diversas formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. En la teoría de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de una partícula con velocidad v, es donde m0 es la masa en reposo de la partícula y kms es la rapidez de la luz en el vacío. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencias 2 y también en el apéndice D. En el cálculo la convención es que siempre se utiliza la me- dida en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se usa la función , se supone que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en ra- dianes es x. Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son como las que se ilustran en la figura 18. Observe que tanto para la función seno como coseno el dominio es y el alcance es el intervalo cerrado . En estos términos, para todos los valores de x, se tiene o, en términos de valores absolutos, Además, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos enteros de p; es decir, sen x 0 donde x np n es un número positivo cos x 1 sen x 1 1 cos x 1 1 sen x 1 1, 1 , fx sen x c 3.0 105 m f v m0 s1 v2 c2 FIGURA 17 x 2 y 1 (a) ƒ=xœ„„„„ x+3 x 1 y 5 0 (b) ©=$ œ„„„„„„ ≈-25 x 1 y 1 0 (c) h(x)=x@?#(x-2)@ _3 32 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (a) ƒ=sen x π 2 5π 2 3π 2 π 2 _ x y π 0 _π 1 _1 2π 3π (b) ©=cos x x y 0 1 _1 π _π 2π 3π π 2 5π 2 3π 2 π 2 _ FIGURA 18 Las páginas de referencia RP están localizadas al final del libro. CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 32
- 73. Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones perió- dicas y tienen periodos 2p. Esto significa que para todas las funciones de x, La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repe- titivos como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. En el caso del ejemplo 4 de la sección 1.3, verá que un modelo razonable para el número de horas de luz en Filadelfia t días después del 1 de enero está dado por la función La función tangente se relaciona con las funciones seno y coseno por medio de la ecuación y su gráfica se muestra en la figura 19. Es indefinida siempre que , es decir, cuan- do , Su intervalo es . Observe que la función tangente tiene periodos p: Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se ilustran en el apén- dice D. FUNCIONES EXPONENCIALES Las funciones exponenciales son las funciones de la forma , donde la base a es una constante positiva. En la figura 20 se muestran las gráficas de y . En ambos casos el dominio es y es el intervalo. En la sección 1.5 se estudiarán las funciones exponenciales con mayores detalles y verá que resultan útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como por ejemplo el creci- miento de la población (si ) y el decaimiento radiactivo (si a 1. a 1 FIGURA 20 (a) y=2® (b) y=(0.5)® y x 1 1 0 y x 1 1 0 0, , y 0.5x y 2x fx ax para toda x tanx tan x , 3 2, . . . . x 2 cos x 0 tan x sen x cos x Lt 12 2.8 sen2 365 t 80 cosx 2 cos x senx 2 sen x SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 33 FIGURA 19 y=tan x x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 _ 3π 2 _ CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 33
- 74. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Las funciones logarítmicas , donde la base es una constante positiva, son las inversas de las funciones exponenciales. Las primeras se estudian en la sec- ción 1.6. En la figura 21 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con varias bases. En cada caso el dominio es , el intervalo es , y la función crece lentamente cuando . FUNCIONES TRASCENDENTES Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye la trigonométrica, la trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica, además comprende un buen número de otras funciones que nunca han recibido nombre. En el capítulo 11 se ana- lizarán las funciones trascendentes que se definen como sumas de series infinitas. EJEMPLO 5 Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones recién analizadas. (a) (b) (c) (d) SOLUCIÓN (a) es una función exponencial. (La x es el exponente.) (b) es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerar también que es un polinomio de grado 5. (c) es una función algebraica. (d) es un polinomio de grado 4. ut 1 t 5t4 hx 1 x 1 sx tx x5 fx 5x ut 1 t 5t4 hx 1 x 1 sx tx x5 fx 5x x 1 , 0, a fx loga x 34 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 21 0 y 1 x 1 y=log£ x y=log™ x y=log∞ x y=log¡¸ x 3–4 Haga coincidir cada ecuación con su gráfica. Explique sus selecciones. (No use una computadora ni una calculadora graficadora.) (a) (b) (c) f 0 g h y x y x8 y x5 y x2 3. 1–2 Clasifique cada función como función potencia, función raíz, polinomio (señale su grado), función racional, función algebraica, fun- ción trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. 1. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2. (a) (b) (c) (d) (e) (f) y cos sen y 2t6 t4 y x10 y 10x y x x2 sx 1 y x 6 x 6 tx log10 x sx tan 2x rx x2 1 x3 x hx x9 x4 tx s1 x2 f x s 5 x EJERCICIOS 1.2 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 34
- 75. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 35 12. El gerente de un bazar de fin de semana sabe con base en experiencias anteriores que si cobra x dólares por la renta de espacio en el bazar, entonces el número y de espacios que puede rentar está dado por la ecuación . (a) Trace una gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta que se cobra por espacio y el número de espacios que pueden rentarse no pueden ser cantidades negativas.) (b) ¿Qué representan la pendiente, la ordenada al origen y y la intersección x de la gráfica? 13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit F y Celsius C está dada por la función lineal . (a) Trace una gráfica de esta función. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección de F y qué representa? 14. Jason sale de Detroit a las 2:00 P.M. y conduce con rapidez constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por Ann Arbor, a 40 millas de Detroit a las 2:50 (a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo trans- currido. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). (c) ¿Cuál es la pendiente de esta línea? ¿Qué representa? Los biólogos han notado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie está relacionada con la tem- peratura y la correspondencia parece ser casi lineal. Un grillo produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por minuto a 80F. (a) Encuentre una ecuación lineal que modele la tempera- tura como una función del número de chirridos por minuto N. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? (c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta 2 200 dólares fabricar 100 sillas en un día y 4 800 dólares producir 300 en un día. (a) Exprese el costo como una función del número de sillas que se producen, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección de y de la gráfica y qué representa? En la superficie del océano la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua, 15 lbpulg2 . Por debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en 4.34 lbpulg2 por cada 10 pies de descenso. (a) Exprese la presión del agua como función de la profundi- dad por debajo de la superficie del océano. (b) ¿A qué profundidad es 100 lbpulg2 la presión? 17. 15. F 9 5 C 32 y 200 4x 4. (a) (b) (c) (d) (a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones linea- les con pendiente 2 y trace la gráfica de varios miembros de la familia. (b) Halle una ecuación para la familia de funciones lineales tal que y dibuje varios miembros de la familia. (c) ¿Qué función pertenece a ambas familias? 6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- ciones lineales ? Trace la gráfica de varios miembros de la familia. 7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de fun- ciones lineales ? Trace la gráfica de varios miem- bros de la familia. 8. Halle las expresiones para las funciones cuadráticas cuyas gráficas son mostradas. 9. Hallar una expresión para una función cúbica f si f(1) 6 y f(1) f(0) f(2) 0. 10. Estudios recientes indican que la temperatura superficial de la Tierra se ha estado incrementando de manera firme. Algunos científicos han modelado la temperatura mediante la función lineal T 0.02t 8.50, donde T es la temperatura en °C y t representa años desde 1900. (a) ¿Qué representa la pendiente y la intersección a T? (b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura superficial global al promedio al 2100. 11. Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es D (en mg), entonces, para establecer la dósis apropiada c para un infante de edad a, el químico farmacéutico utiliza la ecuación c 0.0417D(a 1). Considere que la dósis para un adulto es 200 mg. (a) Hallar la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? (b) ¿Cuál es la dósis para un recién nacido? f x c x f x 1 mx 3 f 2 1 5. G f g F y x y s 3 x y x3 y 3x y 3x y (0, 1) (1, _2.5) (_2, 2) y x 0 (4, 2) f g x 0 3 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 35
- 76. 36 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (b) Halle y dibuje un modelo lineal utilizando el primero y el último puntos de información. (c) Encuentre y dibuje la línea de regresión por mínimos cua- drados. (d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la inci- dencia de úlcera para un ingreso de 25 000 dólares. (e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que perci- be un ingreso de 80 000 dólares sufra úlcera péptica? (f) ¿Cree usted que sería razonable aplicar el modelo a alguien que tiene un ingreso de 200 000 dólares? ; 22. Los biólogos han observado que la cantidad de chirridos que emiten los grillos de cierta especie parece estar relacionada con la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para distintas temperaturas. (a) Realice una gráfica de dispersión de la información. (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. (c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la cantidad de chirridos a . ; 23. La tabla proporciona las alturas ganadoras en las competen- cias de salto con garrocha de los Juegos Olímpicos durante el siglo XX. (a) Dibuje una gráfica de dispersión y determine si un modelo lineal es adecuado. (b) Encuentre y dibuje la línea de regresión. (c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto con garrocha ganador en los Juegos Olímpicos del año 2000 y compárelo con la altura ganadora real de 19.36 pies. (d) ¿Es razonable usar el modelo para predecir las alturas ven- cedoras en los Juegos Olímpicos del año 2100? 100F 18. El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de millas que se recorran. Lynn encontró que en el mes de ma- yo recorrer 480 millas le costó 380 dólares y en junio le costó 460 dólares recorrer 800 millas. (a) Exprese el costo mensual C como una función de la distan- cia recorrida d, suponiendo que la correspondencia lineal provee un modelo adecuado. (b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 1 500 millas por cada mes. (c) Trace la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? (d) ¿Qué representa la intersección de y? (e) ¿Por qué una función lineal proporciona un modelo apro- piado en esta situación? 19–20 Determine, para cada una de las gráficas de dispersión, qué tipo de función elegiría como modelo para la información. Expli- que sus elecciones. 19. (a) (b) 20. (a) (b) ; 21. La tabla muestra las tasas de incidencia de úlcera péptica (a lo largo de toda la vida) respecto del ingreso de diversas familias (por cada 100 habitantes) según reportó el National Health Interview Survey (Encuesta Nacional de Salud por medio de Entrevistas) en 1989. (a) Trace una gráfica de dispersión y determine si es adecuado un modelo lineal. 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y Incidencia de úlcera Ingreso (por cada 100 habitantes) $4 000 14.1 $6 000 13.0 $8 000 13.4 $12 000 12.5 $16 000 12.0 $20 000 12.4 $30 000 10.5 $45 000 9.4 $60 000 8.2 Temperatura Cantidad de chirridos (°F) (chirridosminuto) 50 20 55 46 60 79 65 91 70 113 Temperatura Cantidad de chirridos (°F) (chirridosminuto) 75 140 80 173 85 198 90 211 Año Altura (pies) Año Altura (pies) 1900 10.83 1956 14.96 1904 11.48 1960 15.42 1908 12.17 1964 16.73 1912 12.96 1968 17.71 1920 13.42 1972 18.04 1924 12.96 1976 18.04 1928 13.77 1980 18.96 1932 14.15 1984 18.85 1936 14.27 1988 19.77 1948 14.10 1992 19.02 1952 14.92 1996 19.42 CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 36
- 77. SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 37 ; 26. La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los pla- netas al Sol (suponiendo que la unidad de medida es la distan- cia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución en años). (a) Haga que un modelo de potencias coincida con la información. (b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario esta- blece que “El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media respecto del Sol.” ¿El modelo que formuló corrobora la tercera ley de Kepler? ; 24. Un estudio que realizó la U.S. Office of Science and Technology (Oficina de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos) en 1972 estimó el costo (en dólares de 1972) de reducir el costo de las emisiones de vehículos automotores en ciertos porcentajes: Encuentre un modelo que capte la tendencia de “rendimientos decrecientes” de esta información. ; 25. Utilice la información que aparece en la tabla para modelar la población del mundo en el siglo XX por medio de una función cú- bica. Utilice enseguida su modelo para estimar la población en el año 1925. Reducción de Costo por vehículo Reducción de Costo por vehículo emisiones (%) (endólares) emisiones (%) (endólares) 50 45 75 90 55 55 80 100 60 62 85 200 65 70 90 375 70 80 95 600 Población Población Años (millones) Años (millones) 1900 1650 1960 3040 1910 1750 1970 3710 1920 1860 1980 4450 1930 2070 1990 5280 1940 2300 2000 6080 1950 2560 Planeta d T Mercurio 0.387 0.241 Venus 0.723 0.615 Tierra 1.000 1.000 Marte 1.523 1.881 Júpiter 5.203 11.861 Saturno 9.541 29.457 Urano 19.190 84.008 Neptuno 30.086 164.784 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS Esta sección inicia con las funciones básicas analizadas en la sección 1.2 para obtener funciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexión de sus gráfi- cas. También es mostrará cómo combinar pares de funciones por medio de operaciones aritméticas estándar o por composición. TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, puede obtener las gráfi- cas de ciertas funciones relacionadas. Esto le proporcionará la habilidad para trazar a ma- no las gráficas de muchas funciones. Además le permitirá escribir ecuaciones para gráficas conocidas. En primer lugar, se considera las traslaciones. Si c es un número positivo, enton- ces la gráfica de es precisamente la de desplazada hacia arriba una distancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo, si , donde , entonces el valor de t en x es el mismo que el valor de f en x c (c unidades a la izquierda de x). En consecuencia, la gráfica de es precisamente la de desplazada c unidades a la derecha (véase la figura 1). DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que . Para obtener la gráfica de c 0 y f x y fx c c 0 tx f x c y f x y fx c 1.3 y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia arriba y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia abajo y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia la derecha y fx c, se desplaza la gráfica de y fx una distancia de c unidades hacia la izquierda CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 37
- 78. Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexión. Si , entonces la gráfica de es la de alargada en el factor c en la dirección vertical (porque cada coordenada y se multiplica por el mismo número c) La gráfica de es la de reflejada respecto al eje x, porque el punto x, y reemplaza al punto x, y. (Véase la figura 2 y la tabla a continuación, donde también se dan los resultados de otras trans- formaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) ALARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que . Para obtener la gráfica de La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la fun- ción coseno con . Por ejemplo, para obtener la gráfica de multiplique la coordenada y de cada punto en la gráfica de por 2. Esto significa que la grá- fica de se alarga en dirección vertical por un factor de 2. FIGURA 3 x 1 2 y 0 y=cos x y=cos 2x y=cos x 1 2 x 1 2 y 0 y=2 cos x y=cos x y= cos x 1 2 y cos x y cos x y 2 cos x c 2 y fx, refléjese la gráfica de y fx respecto al eje y y fx, refléjese la gráfica de y fx respecto al eje x y fxc, alárguese la gráfica de y fx horizontalmente en un factor de c y fcx, comprímase la gráfica de y fx horizontalmente en un factor de c y 1cfx, comprímase la gráfica de y fx verticalmernte en un factor de c y cfx, alárguese la gráfica de y fx verticalmente en un factor de c c 1 y f x y f x y f x y cf x c 1 38 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 2 Alargamiento y reflexión de la gráfica de f y= ƒ 1 c x y 0 y=f(_x) y=ƒ y=_ƒ y=cƒ (c1) FIGURA 1 Traslación de la gráfica de f x y 0 y=f(x-c) y=f(x+c) y =ƒ y=ƒ-c y=ƒ+c c c c c CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 38
- 79. EJEMPLO 1 Dada la gráfica de y x, use las transformaciones para dibujar , , , y . SOLUCIÓN En la figura 4(a) aparece la gráfica de la función raíz cuadrada , que se obtuvo de la figura 13(a) en la sección 1.2. En las otras partes de la figura, se ha trazado al desplazarla 2 unidades hacia abajo; al desplazarla 2 unidades hacia la derecha; al reflejarla respecto al eje x; al alargarla vertical- mente un factor de 2, y al reflejarla respecto al eje y. EJEMPLO 2 Dibuje la función . SOLUCIÓN Al completar el cuadrado, escriba la ecuación de la gráfica como Esto quiere decir que obtiene la gráfica deseada si parte de la parábola y la desplaza 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). y x2 y x2 6x 10 x 32 1 f (x) x2 6x 10 y sx y 2sx y sx y sx 2 y sx 2 y sx y sx y 2sx y sx y sx 2 y sx 2 V SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 39 (a) y=œ„ x (b) y=œ„-2 x (c) y=œ„„„„ x-2 (d) y=_œ„ x (e) y=2œ„ x (f) y=œ„„ _x 0 x y 0 x y 0 x y 2 0 x y _2 0 x y 1 1 0 x y FIGURA 4 FIGURA 6 x 0 y 1 π 2 π y=sen x FIGURA 7 x 0 y 1 π 2 π 4 π y=sen 2x FIGURA 5 (a) y=≈ (b) y=(x+3)@+1 x 0 _1 _3 1 y (_3, 1) x 0 y EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las funciones siguientes: (a) (b) SOLUCIÓN (a) Obtiene la gráfica de y sen 2x a partir de la de y sen x, si la comprime horizon- talmente un factor de 2 (véase las figuras 6 y 7). De modo que, mientras el periodo de y sen x es 2p, el periodo de y sen 2x es 2p/2 p. y 1 sen x y sen 2x CAPITULO-01-A 06/04/2009 17:46 Page 39
- 80. (b) Para obtener la gráfica de y 1 sen x, una vez más empiece con y sen x. La refleja con respecto al eje x, para obtener la gráfica de y sen x y, a continuación, desplácela 1 unidad hacia arriba para obtener y 1 sen x (véase la figura 8). EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz diurna como funcio- nes de la época del año en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia está ubica- da a 40° de latitud N, encuentre una función que modele la duración de la luz diurna en la ciudad mencionada. SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al observar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura alrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, de manera que la amplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es . ¿Por qué factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t en días? Debido a que en un año hay 365 días, el periodo del modelo debe ser 365 días. Pero el periodo de y sen t es 2p, por consiguiente el factor de alargamiento horizontal es c 2p/365. Se observa también que la curva inicia su ciclo el 21 de marzo, el 80o. día del año, de modo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Además, la desplaza 12 unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duración de la luz diurna en Filadelfia sobre el t-ésimo. día del año mediante la función Otra transformación de cierto interés es tomar el valor absoluto de una función. Si , entonces, según la definición de valor absoluto, cuando y cuando . Esto dice cómo obtener la gráfica de a partir de la gráfica de : la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue siendo la misma; la sección debajo del eje x se refleja respecto a este eje. y f x y fx fx 0 y f x fx 0 y fx y fx Lt 12 2.8 sen2 365 t 80 1 2 14.8 9.2 2.8 FIGURA 9 Gráfica de la duración de la luz diurna del 21 de marzo al 21 de diciembre en diversas latitudes Fuente: Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time (New York: Silver, Burdett, 1935) página 40. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic. Horas 60° N 50° N 40° N 30° N 20° N x 1 2 y π 0 2π y=1-sen x π 2 3π 2 FIGURA 8 40 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 40
- 81. EJEMPLO 5 Dibuje la función . SOLUCIÓN En primer lugar, dibuje la parábola de la figura 10(a) desplazando la parábola y x2 hacia abajo 1 unidad. La gráfica se encuentra debajo del eje x cuando , de modo que reflejamos esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener la gráfica de de la figura 10(b) COMBINACIONES DE FUNCIONES Se pueden combinar las dos funciones f y t para formar funciones nuevas , , ft y ft de manera semejante a la que aplica para sumar, restar, multiplicar y dividir números reales. Se definen la suma y resta de funciones mediante Si el dominio de f es A y el de t es B, entonces el dominio de es la intersección porque tanto y estan definidas. Por ejemplo, el dominio de es y el dominio de es , de esa manera, el dominio de es De manera análoga, se definen el producto y el cociente mediante El dominio de ft es , pero, como no se puede dividir entre 0, el dominio de ft es . Por ejemplo, si y , entonces, el dominio de la función racional es , o bien . Existe otra manera de combinar dos funciones, para obtener una función nueva. Por ejemplo, considere que y . Ya que y es una función de u y u es función de x, se sigue que y es finalmente función de x. Calculamos esto por sustitución El procedimiento se denomina composición porque la función nueva es compuesta de las dos funciones conocidas f y t. En general, conocidas dos funciones cualesquiera f y t, inicie con un número x en el dominio de t y halle su imagen . Si este número está en el dominio de f, entonces puede calcular el valor de . El resultado es una función nueva que se obtiene al sustituir t en f. Esto se denomina composición (o composite) de f y t y se señala mediante (“f círculo t”) DEFINICIÓN Conocidas dos funciones f y t, la función compuesta (también denominada la composición de f y t) se define mediante El dominio de es el conjunto de todas las x en el dominio de t tal que está en el dominio de f . En otras palabras, está definida cada vez que y estén definidas. La figura 11 exhibe cómo describir en términos de dispositivos. f t fgx gx f tx gx f t f tx fgx f t f t hx fgx fgx gx gx y fu f(gx fx2 1 sx2 1 u gx x2 1 y fu su ,1 1, xx 1
- 82. fgx x2 x 1 tx x 1 f x x2 x A B tx 0
- 83. A B f tx f xtx f t x fx tx A B 0, 2 f tx sx s2 x B , 2 tx s2 x A 0, f x sx tx fx A B f t f tx f x tx f tx f x tx f t f t y x2 1 1 x 1 y x2 1 y x2 1 V SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 41 0 x y _1 1 0 x y _1 1 FIGURA 10 (a) y=≈-1 (b) y=| ≈-1 | f g FIGURA 11 f{©} f • g El dispositivo f • g está constituido del dispositivo g (primero) y en seguida el dispositivo f. x © (entrada) (salida) CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 41
- 84. EJEMPLO 6 Si y , encuentre las funciones compuestas y . SOLUCIÓN Tiene | Con base en el ejemplo 7 puede ver que, en general, . Recuerde, la notación f t significa que primero se aplica la función t y luego f. En el ejemplo 6, es la función que primero resta 3 y a continuación eleva al cuadrado; es la función que en primer lutar eleva al cuadrado y lueto resta 3. EJEMPLO 7 Si y , encuentre cada función y su dominio. (a) (b) (c) (d) SOLUCIÓN (a) El dominio de es . (b) Para que esté definida, debe tener . Para que esté definida debe Si , entonces . tener , es decir, , o bien, . Por esto, tiene , así el dominio de es el intervalo cerrado . (c) El dominio de es . (d) Esta expresión se define cuando y La primera desigualdad significa que , y la segunda es equivalente a , o , o bien . En estos términos , de esta manera el dominio de es el inter- valo cerrado . Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la función com- puesta se encuentra al aplicar primero h, a continuación t y, luego, f, como sigue: EJEMPLO 8 Encuentre si y . SOLUCIÓN Hasta ahora, ha usado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en cálculo a menudo resulta útil descomponer una función complicada en otras más sencillas, como en el ejemplo siguiente. f x 310 x 310 x 310 1 f t hx f thx ftx 3 hx x 3 f x xx 1, tx x10 f t h f t hx f thx f t h 2, 2 t t 2 x 2 x 2 2 x 4 s2 x 2 x 2 2 s2 x 0. 2 x 0 t tx ttx t(s2 x) s2 s2 x 0, f f f f x f fx f (sx) ssx s 4 x 0, 4 t f 0 x 4 x 4 sx 2 2 sx 0 a2 b2 0 a b s2 sx x 0 sx t f x t f x t(sx) s2 sx xx 2
- 85. , 2 x2 x 0
- 86. f t f tx ftx f (s2 x) ss2 x s 4 2 x t t f f t f f t tx s2 x fx sx V t f f t f t t f NOTA t f x t f x tx2 x2 3 f tx f tx f x 3 x 32 t f f t tx x 3 fx x2 42 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 42
- 87. EJEMPLO 9 Dada , encuentre las funciones f, t y h tales que . SOLUCIÓN Como , la fórmula dada para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, por último, eleve al cuadrado. De modo que Entonces cosx 9 2 Fx f t hx fthx ftx 9 fcosx 9 f x x2 tx cos x hx x 9 Fx cosx 9 2 F f t h Fx cos2 x 9 SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 43 (c) (d) Se da la gráfica de f. Úsela para trazar la gráfica de las funcio- nes siguientes. (a) (b) (c) (d) 6–7 Se da la gráfica de . Use transformaciones para crear una función cuya gráfica sea como la que se ilustra. 6. x y 2 0 5 3 7. 1.5 y=œ„„„„„„ 3x-≈ x y 3 0 y s3x x2 x y 0 1 1 y f x y f x y f (1 2 x) y f 2x 5. x y 0 1 1 y 1 2 f x 3 y 2f x Suponga que se da la gráfica de f. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica de f, como se indica a continuación. (a) Desplácela 3 unidades hacia arriba. (b) Desplácela 3 unidades hacia abajo. (c) Desplácela 3 unidades a la derecha. (d) Desplácela 3 unidades a la izquierda. (e) Refléjela respecto al eje x. (f) Refléjela respecto al eje y. (g) Alárguela verticalmente un factor de 3. (h) Contráigala verticalmente un factor de 3. 2. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de . (a) (b) (c) (d) (e) (f) 3. Se da la gráfica de . Haga que coincida cada ecuación con su gráfica y mencione los motivos de sus elecciones. (a) (b) (c) (d) (e) 4. Se da la gráfica de f. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes. (a) (b) y f x 4 y f x 4 ! @ $ % # f y 3 _3 6 0 x 3 _3 _6 6 y 2f x 6 y f x 4 y 1 3 f x y f x 3 y f x 4 y f x y 5f x 3 y f 5x y 5f x y f x y f x 5 y 5f x y f x 1. EJERCICIOS 1.3 _4 _1 _2.5 x y _1 0 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 43
- 88. 44 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 29–30 Encuentre , , y y establezca sus dominios. , 30. , 31–36 Encuentre las funciones (a) , (b) , (c) , y (d) y sus dominios. 31. 32. , 33. , 34. , , 36. , 37–40 Encuentre 37. , , 38. , , 39. , , 40. , , 41–46 Exprese la función en la forma 41. 42. 43. 44. 45. 47–49 Exprese la función en la forma 47. 48. 49. 50. Utilice la tabla para evaluar cada expresión (a) (b) (c) (d) (e) (f) f t6 t f 3 tt1 f f 1 t f 1 f t1 Hx sec4 (sx) Hx 8 s2 x Hx 1 3x2 f t h. ut tan t 1 tan t 46. ut scos t Gx 3 x 1 x Fx 3 sx 1 3 sx Fx sen(sx) Fx x2 110 f t. hx s 3 x g x x x 1 fx tan x hx x3 2 tx x2 f x sx 3 hx 1 x tx x2 f x 2x 1 hx x 1 tx 2x f x x 1 f t h. tx sen 2x f x x 1 x tx x 1 x 2 f x x 1 x 35. gx s 3 1 x f x sx tx cos x f x 1 3x tx x2 3x 4 f x 1 2 tx 2x 1 f x x2 1 t t f f t f f t tx sx2 1 f x s3 x tx 3x2 1 f x x3 2x2 29. ft ft f t f t 8. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de con la gráfica de y sen x? Use su respuesta y la figura 6(a) para grafi- car y 2 sen x. (b) ¿Cómo se relaciona la gráfica de con la gráfi- ca de ? Use su respuesta y la figura 4(a) para gra- ficar . 9–24 Dibuje cada función a mano, no por medio de la situación de puntos, sino a partir de la gráfica de una de las funciones estánda- res que se dan en la sección 1.2 y, luego, aplicando las transforma- ciones apropiadas. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. La ciudad de Nueva Orleáns está ubicada a una latitud . Use la figura 9 para encontrar una función que modele el nú- mero de horas de luz diurna en esa ciudad como función de la época del año. Para verificar la precisión de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo, en Nueva Orleáns el Sol sale a las 5:51A.M. y se pone a las 6:18 P.M. 26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminu- ye alternadamente. Para la estrella variable más cercana Delta Céfida, el tiempo entre periodos de brillo máximo es 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0 y su brillo varía en una magnitud de . Halle una función que modele el brillo de Delta Céfida como una función del tiempo. (a) ¿Cómo se relaciona la gráfica de con la gráfica de ? (b) Dibuje . (c) Dibuje . 28. Use la gráfica de f que se dio para dibujar . ¿Cuáles características de f son las más importantes para trazar la gráfi- ca de ? Explique cómo se usan. 1 1 0 x y y 1f x y 1f x y sx y sen x f y f (x ) 27. 0.35 30N y x2 2x y sen x y 1 4 tanx 4 y 2 x 1 y 1 s 3 x 1 y 1 2 x2 8x y x 24 3 y sx 3 y 1 x 4 y senx2 15. y 4 sen 3x y 1 2 cos x y x2 4x 3 y x 12 y 1 x2 y x3 y 1 sx y sx y 1 sx y 2 sen x x 1 2 3 4 5 6 3 1 4 2 2 5 6 3 2 1 2 3 tx f x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 44
- 89. SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS |||| 45 57. La función de Heaviside H está definida por Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la oleada repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un in- terruptor se cierra instantáneamente. (a) Dibuje la función de Heaviside. (b) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte- rruptor se cierra en el instante t 0 y se aplican instantá- neamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (c) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito, si el interruptor se cie- rra en el instante t 5 segundos y se aplican de manera instantánea 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (Note que partir de t 5 corres- ponde a una traslación.) 58. La función de Heaviside que se definió en el ejercicio 57 puede utilizarse también para definir la función rampa y ctH(t), la cual representa un aumento gradual del voltaje o la corriente en un circuito. (a) Dibuje la función rampa y tH(t). (b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interruptor se cierra en el instante t 0 y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t), para . (c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito, si el inte- rruptor se cierra en el instante t 7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente hasta 100 volts durante un periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t), para . 59. Sea f y g funciones lineales con ecuaciones y . ¿También es una función lineal? Si es así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 60. Si invierte x dolares al 4% de interés compuesto anual, por lo tanto la cantidad A(x) de la inversios después de un año es A(x) 1.04x. Hallar y . ¿Qué representan estas composiciones? Encontrar una formula para la composición de n copias de A. 61. (a) Si y , encuentre una función f tal que . (Piense qué operaciones tendrá que efectuar en la formula para t para terminar por obtener la fórmula para h.) (b) Si y , encuentre una función t tal que . 62. Si y , encuentre una función tal que . 63. (a) Suponga que f y t son funciones pares. ¿Que puede decir sobre f t y f t? (b) ¿Que diría si f y t son impares? 64. Supongo que f es par y t es impar. ¿Que puede decir sobre ft? Suponga que t es una función par y sea . ¿h siempre es una función par? 66. Suponga que t es una función impar y sea .¿Es h siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué pasa si f es par? h f t h f t 65. t f h hx 4x 1 f x x 4 f t h hx 3x2 3x 2 f x 3x 5 f t h hx 4x2 4x 7 tx 2x 1 A A A A A A, A A A, f g gx m2x b2 fx m1x b1 t 32 t 60 Ht 0 1 si t 0 si t 0 51. Use las gráficas dadas de f y t para evaluar cada expresión, o bien, explique por qué no está definida. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 52. Use las gráficas dadas de f y t para estimar el valor de para . Use estas estimaciones para tra- zar una gráfica aproximada de . Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ola circular que viaja hacia afuera con rapidez de 60 cm/s. (a) Exprese el radio r de este círculo como función del tiempo t (en segundos). (b) Si A es el área de este círculo como función del radio, en- cuentre e interprétela. 54. Se infla un balón esférico y el radio del mismo se incrementa en una cantidad de 2 cm/s. (a) Exprese el radio r del balón como una función del tiempo t (en segundos). (b) Si V es el volumen del balón como una función del radio, halle e interprete 55. Un barco se mueve con una rapidez de 30 km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco está a 6 km de la playa y pasa por un faro al medio día. (a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la distancia que el barco recorre desde el medio día; es decir, hallar f de modo que s f(d) (b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido des- de el medio día; es decir, hallar g de tal manera que d g(t) (c) Hallar ¿Qué representa esta función? 56. Un avión vuela con rapidez de 350 mi/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t 0 (a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t. (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d. (c) Aplique la composición para expresar s como función de t. f g V r A r 53. g f x y 0 1 1 f t x 5, 4, 3, . . . , 5 f tx x y 0 f g 2 2 f f 4 t t2 t f 6 f t0 t f 0 f t2 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 45
- 90. 46 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS En esta sección, se supondrá que tiene acceso a una calculadora graficadora o a una compu- tadora con software para trazar gráficas. Se dará cuenta de que el uso de uno de esos aparatos le da capacidad para trazar gráficas de funciones más complicadas y resolver pro- blemas más complejos de lo que sería posible de otra forma. También encontrará algunas de las dificultades que se pueden presentar con estas máquinas. Ambos dispositivos pueden dar gráficas muy exactas de las funciones. Pero, en el ca- pítulo 4, verá que sólo usando el cálculo puede estar seguro de haber descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. Una calculadora graficadora o una computadora presentan una parte rectangular de la gráfica de una función en una ventana de visualización o pantalla, a los cuales se hará re- fencia simplemente como rectángulo de visualización. La pantalla predeterminada a me- nudo da una imagen incompleta o engañosa, de modo que es importante elegir con cuidado el rectángulo de visualización. Si elige que los valores x varíen desde un valor mínimo de Xmín a hasta un valor máximo de Xmáx b y que los valores y varíen desde uno míni- mo de Ymín c hasta uno máximo de Ymáx d, entonces la parte visible de la gráfica se encuentra en el rectángulo que se muestra en la figura 1. A este espacio se le refiere como el rectángulo de visua- lización de [a, b] por [c, d]. La máquina dibuja la gráfica de una función f de modo muy semejante a como usted lo haría. Sitúa los puntos de la forma para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si un valor x no está en el dominio de f o si queda fuera el rectangulo de visualización, la máquina pasa al valor x siguiente. Une cada punto con el an- terior para formar una representación de la gráfica de f. EJEMPLO 1 Dibuje la gráfica de la función en cada uno de los siguientes rectángulos de visualización. (a) por (b) por (c) por (d) por SOLUCIÓN Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmín 2, Xmáx 2, Ymín 2 y Ymáx 2. En la figura 2(a), aparece la gráfica resultante. ¡La pantalla está en blanco! Un momento de reflexión da la explicación: observe que para toda x, de modo que para toda x. Por lo tanto, el intervalo de la función es . Esto significa que la gráfica de f está por completo fuera de la pantalla por . En la figura 2, también se muestran las gráficas para las pantallas de los incisos (b), (c) y (d). Observe que obtiene una imagen más completa en los incisos (c) y (d), pero en el inciso (d) no se ve con claridad que la intersección con el eje y es 3. 2, 2 2, 2 3, fx x2 3 x2 3 3 x2 0 100, 1000 50, 50 5, 30 10, 10 4, 4 4, 4 2, 2 2, 2 f x x2 3 f x x, fx a, b c, d x, y a x b, c y d
- 91. 1.4 FIGURA 2 Gráficas de f(x) = x2 + 3 (b) _4, 4 por _4, 4 (a) _2, 2 por _2, 2 2 _2 _2 2 4 _4 _4 4 (c) _10, 10 por _5, 30 30 _5 _10 10 (d) _50, 50 por _100, 1000 1000 _100 _50 50 FIGURA 1 La pantalla de [a, b] por [c, d] y=d x=a x=b y=c (a, d ) (b, d ) (a, c ) (b, c ) CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 46
- 92. Con base en el ejemplo 1, la elección de un rectángulo de visualización puede dar lugar a una gran diferencia en el aspecto de una gráfica. A veces es necesario cambiar a un rec- tángulo de visualización más grande para obtener una imagen más global de la gráfica. Pe- ro una pantalla demasiado grande también puede ser engañosa. En el ejemplo siguiente, el conocimiento del dominio y del intervalo de una función a veces proporciona información suficiente para seleccionar un buen rectángulo de visualización. EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de visualización apropiada para la función y úsela para trazar la gráfica de f. SOLUCIÓN La expresión para f(x) está definida cuando Debido a eso, el dominio de f es el intervalo 2, 2 . Además, de modo que el alcance de f es el intervalo . Elija el rectángulo de visualización de modo que el intervalo x sea algo mayor que el dominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si lo define en 3, 3 por 1, 4 , obtiene la gráfica que se muestra en la figura 3. EJEMPLO 3 Dibuje la función . SOLUCIÓN En este caso, el dominio es , el conjunto de todos los números reales. Eso no ayuda a seleccionar un rectángulo de visualización. Experimente. Si empieza con el rectángulo de visualización 5, 5 por 5, 5 , obtiene la gráfica de la figura 4. Al parecer está en blanco, pero en realidad es casi tan vertical que se mezcla con el eje y. Si cambia el rectángulo de visualización a 20, 20 por 20, 20 , obtiene la imagen que se muestra en la figura 5(a). La gráfica parece consistir en rectas verticales, pero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la gráfica, veá que ésta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica que necesita ver más en dirección vertical, de modo que cambie el rectángulo de visualización a 20, 20 por 500, 500 . En la figura 5(b) aparece la gráfica resultante. Todavía no revela todas las características principales de la función, de modo que pruebe con 20, 20 por 1 000, 1 000 en la figura 5(c). Ahora tiene más confianza de contar con un rectángulo de visualización apropiada. En el capítulo 4 será capaz de ver que la gráfica que se muestra en la figura 5(c) revela todas las características principales de la función. y x3 150x [0, 2s2] 0 s8 2x2 s8 2s2 2.83 ? x 2 ? 2 x 2 8 2x2 0 ? 2x2 8 ? x2 4 fx s8 2x2 SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 47 FIGURA 5 y=˛-150x (a) (c) (b) 1 000 _1000 _20 20 500 _500 _20 20 20 _20 _20 20 FIGURA 3 4 _1 _3 3 5 _5 _5 5 FIGURA 4 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 47
- 93. EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función f(x) sen 50 x en un rectángulo de visua- lización apropiada. SOLUCIÓN En la figura 6(a) se ilustra la gráfica de f producida por una calculadora grafica- dora usando un rectángulo de visualización 12, 12 por 1.5, 1.5 . A primera vista, la gráfica parece ser razonable. Pero si cambia el rectángulo de visualización a las que se presentan en las siguientes partes de la figura 6, la gráfica se ve muy diferente. Algo extraño está pasando. Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rec- tángulo de visualización adecuado, necesita hallar el periodo de la función y sen 50 x. Puntos que la función y sen x tiene el periodo 2p, y la gráfica de y sen 50 x se comprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y sen 50 x es Esto sugiere que sólo debe tratar con valores pequeños de x con el fin de mostrar sólo unas cuantas oscilaciones de la gráfica. Si elige el rectángulo de visualización 0.25, 0.25 por 1.5, 1.5 , obtiene la gráfica que se muestra en la figura 7. Ahora sabe en dónde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y sen 50 x son tan rápidas que cuando la calculadora sitúa los puntos y los une, falla en la ma- yor parte de los puntos máximos y mínimos y, en consecuencia, da una impresión muy engañosa de la gráfica. Ha visto que el uso de un rectángulo de visualización inadecuado puede proporcionar una impresión engañosa de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3, resolvió el problema al cambiar a un rectángulo de visualización más grande. En el ejemplo 4, tuvo que reducirlo. En el ejemplo siguiente, verá una función para la que no existe un rectángu- lo de visualización sencilla que revele la verdadera forma de la gráfica. EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función . SOLUCIÓN En la figura 8 aparece la gráfica de f producida por una calculadora graficadora con el rectángulo de visualización 6.5, 6.5 por 1.5, 1.5 . Se ve muy semejante a la gráfica de y sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rec- tángulo de visualización 0.1, 0.1 por 0.1, 0.1 , puede ver con mucho mayor claridad f x sen x 1 100 cos 100x V 2 50 25 0.126 V 48 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (a) (b) (c) (d) FIGURA 6 Gráfica de f(x) = sen 50 x en cuatro rectángulos de visualización 1.5 _1.5 _10 10 1.5 _1.5 _12 12 1.5 _1.5 _9 9 1.5 _1.5 _6 6 El aspecto de las gráficas de la figura 6 depende de la máquina que se use. Es posible que las gráficas que obtenga con su dispositivo graficador no se parezcan a estas figuras, pero también serán bastante inexactas. FIGURA 7 ƒ=sen 50x 1.5 _1.5 _.25 .25 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 48
- 94. la forma de las protuberancias de la figura 9. La razón de este comportamiento es que el segundo término, , es muy pequeño en comparación con el primero, sen x. Así, en realidad necesita dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. EJEMPLO 6 Dibuje la gráfica de la función . SOLUCIÓN En la figura 10(a) se ilustra la gráfica producida por una calculadora graficadora con el réctangulo de visualización 9, 9 por 9, 9 . Al unir los puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produjo un segmento rectilíneo empinado de la parte superior a la inferior de la pantalla. Ese segmento rectilíneo en verdad no es parte de la gráfica. Note que el dominio de la función y 1(1 x) es . Puede eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambia al rectángulo de visualización más pequeño 4.7, 4.7 por 4.7, 4.7 , en esta calculadora en particular, obtiene la gráfica mucho mejor que aparece en la figura 10(b). EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función . SOLUCIÓN Algunos dispositivos graficadores despliegan la gráfica como en la figura 11, en tanto que otros producen una gráfica como la de la figura 12. Por lo que se vio en la sección 1.2 (figura 13), sabe que la gráfica de la figura 12 es la correcta; de esa manera, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que, algunas máquinas, calculan la raíz cúbica de x utilizando un logaritmo, en el cual no está definido si x es negativa, así que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica. FIGURA 11 2 _2 _3 3 FIGURA 12 2 _2 _3 3 y s 3 x (a) (b) 9 _9 _9 9 4.7 _4.7 _4.7 4.7 FIGURA 10 xx 1
- 95. y 1 1 x FIGURA 9 0.1 _0.1 _0.1 0.1 FIGURA 8 1.5 _1.5 _6.5 6.5 1 100 cos 100x SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 49 Otra forma de evitar la recta extraña es cambiar el modo de trazar las gráficas en la calculadora, de manera tal que los puntos no se unan. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 49
- 96. Usted debe experimentar con su máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produ- ce. Si obtiene la de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función Note que esta función es igual a , excepto cuando x 0. Para comprender cómo se relaciona la expresión de una función con su gráfica, ayuda trazar la gráfica de una familia de funciones; es decir, una colección de funciones cu- yas ecuaciones están relacionadas. En el ejemplo siguiente, se trazan las gráficas de los miembros de una familia de polinomios. EJEMPLO 8 Dibuje y x3 cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? SOLUCIÓN En la figura 13 se muestran las gráficas de y x3 cx para c 2, 1, 0, 1 y 2, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha sin puntos máximos ni mínimos (picos o valles). Cuando c 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es negativo, la gráfica tiene un punto máximo y uno mínimo. Conforme c disminuye, el punto máximo se vuelve más alto y el mínimo, más bajo. EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x x correcta hasta dos cifras de- cimales. SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y cos x y y x. En la figura 14(a), se ve que sólo existe una solución y que se encuentra entre 0 y l. Si se hace un acercamiento al rectángulo de visualización 0, 1 por 0, 1 , en la figura 14(b) se observa que la raíz está entre 0.7 y 0.8. De modo que al acercarse más hasta el rectángulo de visualización 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 de la figura 14(c). Si mueve el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o por inspección y con base en que la escala x es 0.01, verá que la raíz de la ecuación es casi de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una capacidad de intersección integrada.) V s 3 x fx x x x13 50 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS (a) y=˛+2x (b) y=˛+x (c) y=˛ (d) y=˛-x (e) y=˛-2x FIGURA 13 Varios miembros de la familia de funciones y = x3 + cx, se grafican todas en el rectángulo de visualización [2, 2] por [2.5, 2.5] 0.7, 0.8 por 0.7, 0.8 escala-x=0.01 (c) 0, 1 por 0, 1 escala-x=0.1 (b) _5, 5 por _1.5, 1.5 escala-x=1 (a) 0.8 0.7 0.8 y=x 1 0 1 y=x 1.5 _1.5 _5 5 y=x y=cos x FIGURA 14 Localización de las raíces de cos x = x y=cos x y=cos x En Visual 1.4 puede ver una animación de la figura 13 TEC CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 50
- 97. SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS |||| 51 24. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x) x4 100x3 y t(x) x3 termina por ser mayor. 25. ¿Para cuáles valores de x se cumple que ? 26. Trace las gráficas de los polinomios P(x) 3x5 5x3 2x y Q(x) 3x5 en la misma pantalla, usando en primer lugar el rectángulo de visualización 2, 2 por 2, 2 y luego cambie al 10, 10 por 10000, 10000 . ¿Qué observa a partir de estas gráficas? En este ejercicio se considera la familia de las funciones , en donde n es un entero positivo. (a) Trace las gráficas de las funciones , y en la misma pantalla 1, 4 por 1, 3 . (b) Trace las gráficas de las funciones , y en la misma pantalla, 3, 3 por 2, 2 . (Véase el ejemplo 7.) (c) Trace las gráficas de las funciones , , y en la misma pantalla 1, 3 por 1, 2 . (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? 28. En este ejercicio se considera la familia de funciones f(x) 1xn , en donde n es un entero positivo. (a) Trace las gráficas de las funciones y 1x y y 1x3 en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización 3, 3 por 3, 3 . (b) Trace las gráficas de las funciones y 1x2 y y 1x4 en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización del inciso (a). (c) Trace la gráfica de todas las funciones de los incisos (a) y (b) en la misma pantalla usando el rectángulo de visualización 1, 3 por 1, 3 . (d) ¿A qué conclusiones puede llegar a partir de estas gráficas? Dibuje la función f(x) x4 cx x, para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica al cambiar c? 30. Trace la gráfica de la función , para diferentes valores de c. Describa cómo influye en la gráfica el valor de c variable. 31. Trace la gráfica de la función , , para y 6. ¿Cómo cambia la gráfica al crecer n? 32. Las curvas con ecuaciones se llaman curvas de nariz de bala. Dibuje algunas para ver por qué este nombre. ¿Qué sucede al crecer c? ¿Qué sucede a la gráfica de la ecuación y2 cx3 x2 a medida que c varía? 34. En este ejercicio se examina el efecto de la función interior t sobre una función compuesta y f(t(x)). (a) Trace la gráfica de la función , usando el rec- tángulo de visualización 0, 400 por 1.5, 1.5 . ¿Qué di- ferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? y sen(sx) 33. y x sc x2 n 1, 2, 3, 4, 5 x 0 y xn 2x s1 cx2 f x 29. y s 5 x y s 4 x y s 3 x y sx y s 5 x y s 3 x y x y s 6 x y s 4 x y sx f x s n x 27. sen x x 0.1 1. Mediante una calculadora graficadora o una computadora deter- mine cuál de los rectángulos de visualización da lugar a la gráfica más adecuada de la función . (a) 5, 5 por 5, 5 (b) por (c) por 2. Por medio de una calculadora graficadora o una computadora determine cuál de los rectángulos de visualización origina la gráfica más adecuada de la función f(x) x4 16x2 20. (a) 3, 3 por 3, 3 (b) 10, 10 por 10, 10 (c) 50, 50 por 50, 50 (d) 5, 5 por 50, 50 3–14 Determine un rectángulo de visualización adecuado para la función que se proporciona y úsela para dibujar la gráfica 3. 4. 5. 6. 7. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Dibuje la elipse 4x2 2y2 1, al trazar las funciones cuyas gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. 16. Dibuje la hipérbola y2 9x2 1 dibujando las funciones cuyas gráficas son las ramas superior e inferior de la hipérbola. 17–18 ¿Los dibujos cruzan en el rectángulo de visualización que se proporciona? Si es así, ¿cuántos puntos de intersección están ahí?. 17. , ; por 18. , ; por 19–21 Encuentre todas las soluciones de la ecuación correcta hasta dos cifras decimales. 19. 20. 21. 22. En el ejemplo 9 se vio que la ecuación cos x x tiene una solución. (a) Use una gráfica para demostrar que la ecuación cos x 0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus valores correctos hasta dos cifras decimales. (b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación cos x mx tiene dos soluciones. Use gráficas para determinar cuál de las funciones f(x) 10x2 y t(x) x3 10 será mayor en algún momento (es decir, mayor cuando x es muy grande). 23. x2 sen x x3 4x 1 x3 9x2 4 0 5, 20 6, 2 y 3x 18 y 6 4x x2 2.5, 1.5 1, 3 y 0.23x 2.25 y 3x2 6x 1 y x2 0.002 sen 50x y 10 sen x sen 100x f x sec(20px) f x sen sx f x cos(0.001x) f x sen2 1000x 9. f x x x2 100 8. f x x3 225x f x s0.1x 20 f x s 4 81 x4 f x x3 30x2 200x f x 5 20x x2 0, 10 0, 10 0, 2 0, 10 f(x) sx3 5x2 ; EJERCICIOS 1.4 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 51
- 98. 52 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 36. La primera gráfica que aparece en la figura es la de y sen 45x según la exhibe una calculadora graficadora TI-83. Es inexacta y por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica se traza la curva de nuevo en la modalidad de puntos. ¿Qué dos curvas seno parece estar graficando la calculadora? Demuestre que cada punto sobre la gráfica de y sen 45x que la TI-83 decide dibujar se encuentra de hecho sobre una de es- tas dos curvas. (La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho.) 0 2π 0 2π (b) Trace la gráfica de la función y sen (x2 ) usando el rectángulo de visualización 5, 5 por 1.5, 1.5 . ¿Qué diferencia existe entre esta gráfica y la de la función seno? 35. La figura muestra las gráficas de y sen 96x y y sen 2x se- gún la exhibe una calculadora graficadora TI-83. La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráfi- cas parecen ser idénticas. Sugerencia: La ventana de graficación de la TI-83 tiene 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos dibuja la calculadora? y=sen 96x 0 2π y=sen 2x 0 2π FUNCIONES EXPONENCIALES La función f(x) 2x se denomina función exponencial porque la variable, x, es el expo- nente. No debe confundirse con la función potencia t(x) x2 en la cual la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma donde a es una constante positiva. Cabe recordar qué significa esto. Si x n, un entero positivo, entonces n factores Si x 0, en tal caso a0 1, y si x n, donde n es un entero positivo, entonces Si x es un número racional, , donde p y q son enteros positivos y , entonces Pero ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? ¿Qué quiere decir, por ejemplo, o ? Para ayudar a responder esta pregunta primero se ve la gráfica de la función y 2x , donde x es racional. La figura 1 ilustra una representación de esta gráfica. Cabe ampliar el dominio de y 2x para incluir números tanto racionales como irracionales. En la gráfica de la figura 1 hay huecos que corresponden a valores irracionales de x. Cabe llenar los huecos definiendo f(x) 2x donde , de modo que f es una función que se incrementa. En particular, debido a que el número irracional satisface 1.7 s3 1.8 s3 x 5 2s3 ax apq q sap (q sa)p q 0 x pq an 1 an an a a a f x ax 1.5 En el apéndice G aparece un planteamiento alterno para las funciones exponencial y logarítmica empleando cálculo integral. FIGURA 1 Representación de x racional y=2® x 0 y 1 1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 52
- 99. debe tener y sabe qué significa 21.7 y 21.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. De manera aná- loga, si usa mejores aproximaciones para , obtiene mejores aproximaciones para : . . . . . . . . . . . . Es posible demostrar que existe exactamente un número que es mayor que todos los nú- meros . . . y menor que todos los números . . . Defina como este número. Al utilizar el proceso de aproximación anterior puede calcular- lo correcto hasta seis cifras decimales De manera análoga, puede definir 2x (o ax , si ) donde x es cualquier número irra- cional. La figura 2 muestra cómo se llenaron todos los huecos en la figura 1 para completar la gráfica de la función . En la figura 3 se muestran las gráficas de los miembros de la familia de funciones y ax para distintos valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) porque a0 1 para . Note asimismo que a medida que aumenta la base a, se incrementa más rápido la función exponencial (para x 0). De la figura 3 puede verse que básicamente existen tres tipos de funciones exponenciales y ax . Si 0 a 1, disminuye la función exponencial; si a 1, es una constante, y si a 1, se incrementa. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si , a 1 0 1® 1.5® 2® 4® 10® ” ’® 1 4 ” ’® 1 2 FIGURA 3 x y 1 a 0 fx 2x , x a 0 2s3 3.321997 2s3 21.73206 , 21.7321 , 21.733 , 21.74 , 21.8 , 21.73205 , 21.7320 , 21.732 , 21.73 , 21.7 , 1.73205 s3 1.73206 ? 21.73205 2s3 21.73206 1.7320 s3 1.7321 ? 21.7320 2s3 21.7321 1.732 s3 1.733 ? 21.732 2s3 21.733 1.73 s3 1.74 ? 21.73 2s3 21.74 2s3 s3 21.7 2s3 21.8 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 53 Una prueba de este hecho se proporciona en J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited (Menlo Park, CA: BenjaminCummings, 1981.) Para una versión en línea, vease www.cds.caltech.edu/~marsden/ volume/cu/CU.pdf x 1 0 y 1 FIGURA 2 y=2®, real Si 0 a 1, después ax se aproxima a 0 conforme x aumenta. Si a 1, entonces ax se aproxima a 0 a medida que x disminuye a través de valores negativos. En ambos casos el eje x es una asíntota horizontal. Estos aspectos se analizan en la sección 2.6. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:07 Page 53
- 100. entonces la función exponencial tiene dominio y rango . Observe asimismo que, puesto que , la gráfica de es sólo el reflejo de y ax con respecto al eje y. En las propiedades siguientes se encuentra un motivo de la importancia de la función exponencial. Si x y y son números racionales, entonces a partir del álgebra elemental se conocen bien estas leyes. Es posible probar que siguen siendo verdaderas para números ar- bitrarios reales x y y. (Vease apéndice G). LEY DE LOS EXPONENTES Si a y b son números positivos y x y y son cualquier núme- ro real, entonces 1. 2. 3. 4. EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y 3 2x y determine su dominio y su intervalo. SOLUCIÓN Primero se refleja la gráfica de y 2x [que se ilustra en la figura 5(a)] con res- pecto al eje x para obtener la gráfica de y 2x de la figura 5(b). Luego desplace la gráfica de y 2x tres unidades hacia arriba para obtener la gráfica de y 3 2x que aparece en la figura 5(c). El dominio es y el intervalo . EJEMPLO 2 Mediante un dispositivo graficador, compare la función exponencial f(x) 2x y la función potencia t(x) x2 . ¿Cuál función aumenta más rápido cuando x es grande? SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones trazadas en el rectángulo de visualización 2, 6 por 0, 40 . Observe que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x 4 la V , 3 abx ax bx ax y axy axy ax ay axy ax ay 1 (0, 1) (a) y=a®, 0a1 (b) y=1® (c) y=a®, a1 (0, 1) FIGURA 4 x 0 y x 0 y x 0 y y 1ax 1ax 1ax ax 0, y ax 54 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 5 0 1 (a) y=2® x y 0 _1 (b) y=_2® x y y=3 0 2 (c) y=3-2® x y www.stewartcalculus.com Para revisar y practicar las leyes de exponentes, oprima en Review of Algebra Para un repaso de reflexión y desplazamiento de gráficas, vea la sección 1.3. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 54
- 101. gráfica de f(x) 2x permanece por arriba de la gráfica de t(x) x2 . La figura 7 proporciona una visión más global y denota que para valores grandes de x, la función exponencial y 2x aumenta mucho más rápido que la función potencia y x2 . APLICACIONES DE FUNCIONES EXPONENCIALES La función exponencial se presenta muy a menudo en los modelos matemáticos de la na- turaleza y la sociedad. A continuación se indica brevemente cómo surge en la descripción de crecimiento de la población. En el capítulo 1.3 se abordarán éstas y otras aplicaciones con mayor detalle. En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutriente homogé- neo. Suponga que al muestrear la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) 1000, entonces se tiene A partir de este patrón parece ser que, en términos generales, Esta función de población es un múltiplo constante de la función exponencial y 2t , de modo que manifiesta el crecimiento rápido que observa en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (espacio ilimitado así como nutrición y libertad de enfermedades) este crecimiento exponencial es típico de lo que ocurre en realidad en la naturaleza. ¿Qué sucede con la población humana? La tabla 1 muestra datos respecto de la población del mundo en el siglo XX y la figura 8 ilustra la gráfica de dispersión correspondiente. FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población en el mundo 1900 6x10' P t 1920 1940 1960 1980 2000 pt 2t 1000 10002t p3 2p2 23 1000 p2 2p1 22 1000 p1 2p0 2 1000 250 0 8 y=2® y=≈ FIGURA 7 40 0 _2 6 y=2® y=≈ FIGURA 6 SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 55 El ejemplo 2 muestra que y 2x aumenta con mayor rapidez que y x2 . Para demostrar qué tan rápido aumenta f (x) 2x , efectúe el experimento de pensamiento siguiente. Suponga que empieza con un trozo de papel de un milésimo de pulgada de espesor y lo dobla a la mitad 50 veces. Cada vez que dobla el papel a la mitad, el espesor se duplica, por lo tanto el espesor del trozo resultante sería 250 1000 pulgadas. ¿Qué tan grueso cree usted que es? Resulta ser ¡más de 17 millones de millas! TABLA 1 Población Año (millones) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6080 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 55
- 102. El patrón de los puntos de información que aparece en la figura 8 sugiere crecimiento ex- ponencial, por eso es conveniente usar una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial con los puntos de información originales. Observe que la curva exponencial coincide razonablemente bien con los datos. El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica mediante las dos guerras mundiales y la Gran Depresión ocurrida en la década de los trienta. EL NÚMERO e De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más convenien- te para los propósitos del cálculo. La elección de una base a se ve influida por la manera en que la gráfica de cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las líneas tangentes a las gráficas de y en el punto 0, 1. (Las líneas tangentes se definirán con pre- cisión en la sección 2.7. Para los propósitos actuales, puede imaginarse la línea tangente a una gráfica exponencial en un punto como la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si mide las pendientes de estas rectas tangentes en 0, 1, encontrará que para y para . Como verá en el capítulo 3, resulta que algunas de las fórmulas del cálculo se simpli- ficarán en gran medida si elige la base a de manera que la pendiente de la línea tangente a en 0, 1 sea exactamente 1 (véase la figura 12). De hecho, existe tal número y es denotado por la letra e. (Esta notación la escogió el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 10 y 11, no causa sorpresa alguna que el número e se encuentre entre 2 y 3 y la grá- fica de entre las gráficas de y . (Véase la figura 13.) En el capítulo 3 verá que el valor de e, correcto hasta cinco lugares decimales, es e 2.71828 y 3x y 2x y ex y ax FIGURA 11 0 1 mÅ1.1 FIGURA 10 0 y=2® 1 mÅ0.7 x y y=3® x y y 3x m 1.1 y 2x m 0.7 y 3x y 2x y ax P 0.008079266 1.013731t 56 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 9 Modelo exponencial para crecimiento de la población 1900 6x10' P t 1920 1940 1960 1980 2000 FIGURA 12 La función exponencial natural cruza el eje y con una pendiente de 1 0 y=´ 1 m=1 x y CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 56
- 103. EJEMPLO 3 Dibuje la función y determine el dominio y el rango. SOLUCIÓN Empiece por la gráfica de de las figuras 12 y 14(a) y refleje con respecto al eje y para obtener la gráfica de en la figura 14(b). (Note que la gráfica cruza el eje y con una pendiente de 1.) Luego comprima la gráfica verticalmente por un factor de 2 para obtener la gráfica de en la figura 14(c). Por último, desplace la gráfica una unidad hacia abajo para obtener la gráfica deseada en la figura 14(d). El dominio es y el rango es . ¿Qué tanto cree usted que tenga que ir hacia la derecha para que la altura de la gráfica de exceda de un millón? El ejemplo siguiente demuestra el crecimiento rápido de esta función al proporcionar una respuesta que quizás le sorprenda. EJEMPLO 4 Use un dispositivo graficador para hallar los valores de x para los cuales ex 1000000. SOLUCIÓN En la figura 15 aparece tanto la función como la línea horizontal y 1000000. Estas curvas se intersecan cuando . Así, cuando . Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya hayan rebasado un millón cuando x es sólo 14. 1.5x10^ 0 15 y=´ y=10^ FIGURA 15 x 13.8 ex 106 x 13.8 y ex y ex 1, y 1 2 ex y ex y ex y 1 2 ex 1 V 0 1 y=2® y=e® y=3® FIGURA 13 y x SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 57 FIGURA 14 1 2 (d) y= e–®-1 y=_1 0 1 1 2 (c) y= e–® 0 1 0 (b) y=e–® 1 x 0 y (a) y=´ 1 y x y x y x Module 1.5 le permite graficar funciones exponenciales con varias bases y con sus líneas tangentes, a fin de estimar en forma más aproximada el valor de para el cual la tangente tiene la pendiente . 1 a TEC CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 57
- 104. 58 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 17–18 Encuentre la función exponencial cuya gráfica se proporciona. 18. 19. Si , demuestre que 20. Suponga que le ofrecen un trabajo que dura un mes. ¿Cuál de los métodos de pago siguientes prefiere? I. Un millón al mes. II. Un centavo el primer día del mes. Dos centavos el segundo día, cuatro centavos el tercero y, en general, 2n1 centavos el n-ésimo día. 21. Suponga que las gráficas de y se dibujan sobre una plantilla de coordenadas donde la unidad de medi- ción es 1 pulgada. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es 48 pies pero la altura de la gráfica es alrededor de 265 mi. ; 22. Compare las funciones y al trazar ambas en varios rectángulos de visualización. Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas corregidos a un solo lugar decimal. ¿Qué función crece más rápidamente cuando x es grande? ; Compare las funciones y trazando tanto f como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo rebasa finalmente la gráfica de t la gráfica de f? ; 24. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que ex 1000000000. tx ex f x x10 23. tx 5x f x x5 tx 2x f x x2 f(x h) f(x) h 5x 5h 1 h f x 5x ”2, ’ 2 9 0 2 y x 0 (1, 6) (3, 24) y x 17. f x Cax 1. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base . (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) Si , ¿cuál es el intervalo de esta función? (d) Trace la forma general de la gráfica de la función exponen- cial para cada uno de los casos siguientes. (i) (ii) (iii) 2. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) )¿Cuál es un valor aproximado para e? (c) ¿Cuál es la función exponencial natural? ; 3–6 Dibuje las funciones que se proporcionan sobre una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 3. , , , 4. , , , , , , 6. , , , 7–12 Realice un boceto de la gráfica de la función. No utilice calcu- ladora. Sólo use las gráficas de las figuras 3 y 12 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 7. y 4x 3 8. y 4x 3 y 2x 10. 12. Comenzando por la gráfica de y ex , escriba la ecuación de la gráfica que resulta de (a) desplazarse 2 unidades hacia abajo (b) desplazarse 2 unidades hacia la derecha (c) reflejar respecto al eje x (d) reflejar respecto al eje y (e) reflejar respecto al eje x y a continuación al eje y 14. Empezando por la gráfica de , encuentre la ecuación de la gráfica resultante de (a) reflejar respecto a la recta (b) reflejar respecto a la línea 15–16 Encuentre el dominio de cada función. 15. (a) (b) 16. (a) (b) tt s1 2t tt senet f x 1 1 ex f x 1 1 ex x 2 y 4 y ex 13. y 21 ex y 1 1 2 ex 11. y 1 2ex 9. y 0.1x y 0.3x y 0.6x y 0.9x y (1 10 )x y (1 3 )x y 10x y 3x 5. y 8x y 8x y ex y ex y 20x y 5x y ex y 2x 0 a 1 a 1 a 1 a 1 a 0 EJERCICIOS 1.5 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 58
- 105. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 59 la población de Estados Unidos desde 1900. Use el modelo para estimar la población en el año 1925 y predecirla en el 2010 y el 2020. ; 29. Si gráfica la función verá que f parece una función impar. Demuéstrelo ; 30. Dibuje diferentes grupos de la familia de funciones donde a 0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia? ¿Cómo cambia cuando a cambia? fx 1 1 aebx fx 1 e1/x 1 e1/x 25. Se sabe que en condiciones ideales cierta población de bacterias se duplica cada tres horas. Suponga que al principio hay 100 bacterias. (a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? (b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? (c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas. ; (d) Dibuje la función de población y estime el tiempo que se requiere para que la población llegue a 50 000. 26. Un cultivo de bacterias inicia con 500 baterias y duplica su tamaño cada media hora.. (a) ¿Cuántas bacterias existen después de 3 horas? (b) ¿Cuántas bacterias existen después de t horas? (c) ¿Cuantas baterias existen después de 40 minutos? ; (d) Grafique la función población y estime el tiempo para que la población alcance 100 000. ; 27. Use una calculadora graficadora con capacidad de regresión ex- ponencial para modelar la población del mundo con la informa- ción de 1950 a 2000 que aparecen en la tabla 1 en la página 55. Recurra al modelo para estimar la población en el año 1993 y predecirla en el año 2010. ; 28. La tabla siguiente presenta la población de Estados Unidos, en millones, para los años 1900 a 2000. Use una calculadora gra- ficadora con capacidad de regresión exponencial para modelar Año Población Año Población 1900 76 1960 179 1910 92 1970 203 1920 106 1980 227 1930 123 1990 250 1940 131 2000 281 1950 150 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS La tabla 1 proporciona información de un experimento en el cual un cultivo de bacte- rias se inició con 100 bacterias en un medio nutriente limitado; el tamaño de la población de bacterias se registró a intervalos de horas. El número de bacterias N es una función del tiempo t: . Sin embargo, suponga que la bióloga modifica su punto de vista y se interesa en el tiem- po que se requiere para que la población alcance diversos niveles. En otras palabras, ella considera a t como una función de N. A esta función se le llama función inversa de f, denotada por , y se lee “f inversa”. De esta manera, es el tiempo que se re- quiere para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de pueden encontrarse leyendo la tabla 1 de derecha a izquierda o bien consultando la tabla 2. Por ejemplo, porque f 6 550. f 1 550 6 f 1 t f 1 N f 1 N f t 1.6 TABLA 2 t como función de N N tiempo para llegar a N bacterias 100 0 168 1 259 2 358 3 445 4 509 5 550 6 573 7 586 8 t f 1 N TABLA 1 N como una función de t t (horas) población en el tiempo t 0 100 1 168 2 259 3 358 4 445 5 509 6 550 7 573 8 586 N f t CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 59
- 106. No todas las funciones poseen inversas. Compare las funciones f y t cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca adopta el mismo valor dos veces (dos entradas cualesquiera en A tienen salidas diferentes), en tanto que t adopta el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, pero Las funciones que comparten esta función con f se llaman funciones uno a uno. DEFINICIÓN A una función f se le llama función uno a uno si nunca toma el mismo valor dos veces; es decir, Si una línea horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, como es el caso de la figura 2 existen números x1 y x2 tales que . Esto significa que f no está uno a uno. Debido a eso tenemos el método geométrico siguiente para determinar si una función es uno a uno. PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Una función es uno a uno si y sólo si, ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez. EJEMPLO 1 ¿La función es uno a uno? SOLUCIÓN 1 Si , entonces (dos números distintos no pueden tener el mis- mo cubo). Por lo tanto, por la definición 1, es uno a uno. SOLUCIÓN 2 En la figura 3 ve que ninguna línea horizontal interseca la gráfica de más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, f es uno a uno. fx x3 fx x3 x3 1 x3 2 x1 x2 fx x3 V fx1 fx2 siempre que x1 x2 fx1 fx2 1 siempre que x1 x2 fx1 fx2 t2 t3 60 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 4 3 2 1 10 4 2 A B g FIGURA 1 4 3 2 1 10 7 4 2 A B f f es uno a uno; g no lo es 0 ‡ fl y=ƒ FIGURA 2 Esta función no es uno a uno porque f(⁄)=f(¤) y x ⁄ ¤ FIGURA 3 ƒ=˛ es uno a uno 0 y=˛ y x En el lenguaje de entradas y salidas, esta definición dice que f está uno a uno si cada salida corresponde a sólo una entrada. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 60
- 107. EJEMPLO 2 ¿La función es uno a uno? SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno porque, por ejemplo, y de este modo 1 y 1 tienen la misma salida. SOLUCIÓN 2 En la figura 4 existen líneas horizontales que intersecan la gráfica de t más de una vez. Por consiguiente, mediante la prueba de la línea horizontal, t no es uno a uno Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente las funciones que poseen funciones inversas según la siguiente definición DEFINICIÓN Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f1 tiene dominio B y rango A y se define mediante para cualquier y en B. Esta definición dice que si f mapea x en y, después f1 mapea y de regreso hacia x. (Si f no fuera uno a uno, entonces f1 no estaría definida en forma única.) El diagrama de flechas de la figura 5 indica que f1 invierte el efecto de f. Observe que dominio de f1 rango de f rango f1 dominio de f Por ejemplo, la función inversa de es porque si , en tal caso | PRECAUCIÓN No confundir el 1 en con un exponente. Así no significa El recíproco podría, no obstante, escribirse como . EJEMPLO 3 Si , y , encuentre y . SOLUCIÓN De la definición de f1 porque porque porque f8 10 f 1 10 8 f1 5 f 1 5 1 f3 7 f 1 7 3 f 1 10 f 1 5 f 1 7, f8 10 f 3 7 f1 5 V f x 1 1f x 1 fx f 1 x f 1 f 1 y f 1 x3 x3 13 x y x3 f 1 x x13 fx x3 fx y ? f 1 y x 2 t1 1 t1 tx x2 V SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 61 FIGURA 4 ©=≈ no es uno a uno 0 y=≈ x y x y A B f –! f FIGURA 5 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 61
- 108. El diagrama que aparece en la figura 6 pone en evidencia la manera en que f1 in- vierte el efecto de f en este caso. Por tradición la letra x se usa como la variable independiente, así, al concentrarse en f1 en vez de f, por lo regular invierte las funciones que juegan x y y en la defini- ción 2 y escribia ? Al sustituir y en la definición 2, y sustituir x en (3), obtiene las ecuaciones de cancela- ción siguientes: La primera ecuación de cancelación dice que si empieza con x, aplica f, a continuación aplica f1 , llega de nuevo a x, donde empezamos (véase el diagrama que aparece en la figura 7). Así, f1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que f1 hace. Por ejemplo, si fx x3 , entonces f1 x x13 y de ese modo las ecuaciones de can- celación se convierten en Estas ecuaciones indican simplemente que la función cúbica y la función raíz cúbica se cancelan entre sí cuando se aplican en forma sucesiva. Vea ahora cómo calcular funciones inversas. Si tiene una función y es capaz de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces según la definición 2 tiene que . Si desea nombrar como x la variable independiente, entonces intercambie x y y y llegue a la ecuación . CÓMO ENCONTRAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN f UNO A UNO ETAPA 1 Escriba . ETAPA 2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (de ser posible). ETAPA 3 Para expresar f1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación resultante es . y f 1 x y fx 5 y f 1 x x f 1 y y f x f f 1 x x13 3 x f 1 f x x3 13 x FIGURA 7 x x f ƒ f –! f f 1 x x para toda x en B f 1 f x x para toda x en A 4 fy x f 1 x y 3 62 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 6 La función inversa invierte las entradas y las salidas B 5 7 _10 f A 1 3 8 A 1 3 8 f –! B 5 7 _10 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 62
- 109. EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de . SOLUCIÓN Según (5) primero escriba A continuación resuelva esta ecuación para x: Por último, intercambie x y y: En consecuencia, la función inversa es . El principio de intercambiar x y y para hallar la función inversa da también el método para obtener la gráfica de f1 de la gráfica de f. Puesto que si y sólo si , el punto (a, b) se encuentra en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está sobre la gráfica de f1 . Pero obtiene el punto (b, a) de (a, b) al reflejar respecto a la línea y x. (Véase la figura 8.) Por lo tanto, como lo ilustra la figura 9: La gráfica de f1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la línea y x. EJEMPLO 5 Trace las gráficas de y su función inversa usando los mis- mos ejes de coordenadas. SOLUCIÓN En primer lugar trace la curva de (la mitad superior de la parábo- la , o bien ) y a continuación refleje respecto a la línea y x para obtener la gráfica de f1 . (Véase la figura 10.) A manera de comprobación de la gráfica, observe que la expresión para f1 es . De modo que la gráfica de f1 es la mitad derecha de la parábola y a partir de la figura 10, esto parece ser razonable. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Si y , la función exponencial bien es creciente o decreciente y por eso mediante la prueba de la línea horizontal es uno a uno. Por lo tanto tiene una función inversa f1 , a la cual se le da el nombre de función logarítmica con base a y se denota me- diante loga. Si utiliza la formulación de una función inversa dada por (3) ? f y x f 1 x y f x ax a 1 a 0 y x2 1 f 1 x x2 1, x 0 x y2 1 y2 1 x y s1 x fx s1 x f 1 b a fa b f 1 x s 3 x 2 y s 3 x 2 x s 3 y 2 x3 y 2 y x3 2 f x x3 2 V SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 63 FIGURA 8 0 y x (b, a) (a, b) y=x FIGURA 9 0 y x f –! y=x f 0 y=x y=ƒ (0, _1) y=f –!(x) (_1, 0) FIGURA 10 y x Observe en el ejemplo 4 cómo f1 invierte el efecto de f. La función f sigue la regla “eleve al Cubo, entonces sume 2”, f1 sigue la regla “Reste 2, entonces obtenga la raíz cuadrada”. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 63
- 110. se tiene ? De ese modo, si , entonces logax es el exponente al cual debe elevarse la base a para dar x. Por ejemplo, porque . Las ecuaciones de cancelación (4) cuando se aplican a las funciones y , se convierten en La función logarítmica loga tiene dominio y rango . Su gráfica es el reflejo de la gráfica de y ax respecto a la línea y x. La figura 11 muestra el caso en que . (Las funciones logarítmicas más importan- tes tienen base .) El hecho de que sea una función que aumenta muy rápida- mente para se refleja en el hecho de que es una función que aumenta muy lentamente para . La figura 12 muestra las gráficas de con varios valores de la base . Como , las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las propieda- des correspondientes de las funciones exponenciales que se dieron en la sección 1.5. LEYES DE LOS LOGARITMOS Si x y y son números positivos, entonces 1. 2. 3. (donde r es cualquier número real) EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar . SOLUCIÓN Al usar la ley 2, tiene Porque . LOGARITMOS NATURALES En el capítulo 3 verá que de todas las bases a posibles para logaritmos, la elección más conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial loge x ln x 24 16 log2 80 log2 5 log280 5 log2 16 4 log2 80 log2 5 logaxr r loga x logax y loga x loga y logaxy loga x loga y loga 1 0 a 1 y loga x x 1 y loga x x 0 y ax a 1 a 1 0, aloga x x para toda x 0 logaax x para toda x 7 f 1 x loga x fx ax 103 0.001 log10 0.001 3 x 0 ay x loga x y 6 64 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 0 y=x y=a®, a1 y=loga x, a1 FIGURA 11 y x FIGURA 12 0 y 1 x 1 y=log£ x y=log™ x y=log∞ x y=log¡¸ x NOTACIÓN PARA LOGARITMOS La mayoría de los libros de texto de cálculo y de ciencias, así como las calculadoras usan la notación para el logaritmo natural y para el “logaritmo común”, . Sin embargo, en la literatura de matemáticas y científica más avanzada y en los lenguajes de computadora, la notación denota por lo general al lo- garitmo natural. log x log10 x log x ln x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 64
- 111. Si pone a e y sustituye loge con “ln” en (6) y (7), entonces las propiedades de la fun- ción logaritmo natural se convierten en ? En particular, si establece que x 1, obtiene EJEMPLO 7 Encuentre x si . SOLUCIÓN 1 De (8) observe que significa Por lo tanto, . (Si trabajar con la notación “ln” le causa problemas, sustitúyala con . Entonces la ecuación se convierte en ; por consiguiente, mediante la definición de logaritmo, .) SOLUCIÓN 2 Empiece con la ecuación y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación Pero la segunda ecuación de cancelación en (9) dice que . Por lo tanto, . EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación . SOLUCIÓN Tome logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y use (9): Como el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, puede aproximar la solución a cuatro cifras decimales: . x 0.8991 x 1 3 5 ln 10 3x 5 ln 10 5 3x ln 10 lne53x ln 10 e53x 10 x e5 eln x x eln x e5 ln x 5 e5 x loge x 5 loge x e5 e5 x ln x 5 ln x 5 ln e 1 eln x x x 0 lnex x x 9 ey x ln x y 8 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 65 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 65
- 112. EJEMPLO 9 Exprese como un solo logaritmo. SOLUCIÓN Usando las leyes 3 y 1 de los logaritmos La fórmula siguiente muestra que los logaritmos con cualquier base pueden expresarse en términos del logaritmo natural FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE Para cualquier número positivo a (a 1), se tiene DEMOSTRACIÓN Sea y logax. Entonces de (6), tiene ay x. Al tomar los logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, obtiene y ln a ln x. Por consiguiente Las calculadoras científicas tienen una tecla para logaritmos naturales, de modo que la fórmula 10 permite usar una calculadora para obtener un logaritmo con cualquier base (como se ilustra en el ejemplo siguiente). De manera análoga, la fórmula 10 permite dibu- jar cualquier función logarítmica en una calculadora o computadora graficadora (véase ejercicios 43 y 44). EJEMPLO 10 Evalúe log8 5 con una aproximación hasta seis lugares decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 produce Las gráficas de la función exponencial y ex y su función inversa, la función loga- ritmo natural, se ilustran en la figura 13. Debido a que la curva y ex cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y ln x cruza el eje x con una pen- diente de 1. Al igual que todas las demás funciones logarítmicas que tienen una base mayor que 1, el logaritmo natural es una función creciente que se define sobre (0, ) y el eje y es una asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x se convierten en negativos muy grandes en magnitud a medida que x se aproxima a cero.) EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y ln(x 2) 1. SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y ln x según se proporciona en la figura 13. Al utili- zar la transformación de la sección 1.3, vaya dos unidades hacia la derecha para obtener la gráfica de y ln(x 2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de . (Véase la figura 14.) y lnx 2 1 log8 5 ln 5 ln 8 0.773976 y ln x ln a loga x ln x ln a 10 ln(asb) ln a ln sb ln a 1 2 ln b ln a ln b12 ln a 1 2 ln b V 66 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y 1 0 x 1 y=x y=´ y=ln x FIGURA 13 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 66
- 113. Si bien ln x es una función creciente, crece muy despacio cuando x 1. De hecho, ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, compare valores aproximados de las funciones y ln x y en la tabla si- guiente que aparecen dibujados en las figuras 15 y 16. Podrá observar que en un principio las gráficas de y y ln x crecen en cantidades similares, pero en algún momen- to la función raíz rebasa por mucho al logaritmo. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Cuando tratamos de calcular las funciones trigonométricas inversas hay una pequeña difi- cultad: puesto que las funciones trigonométricas no son uno a uno o biunívocas, no tienen funciones inversas. La dificultad se vence restringiendo los dominios de estas funciones de modo que se transformen en uno a uno. Observe en la figura 17 que la función seno y sen x no es uno a uno (aplique la prueba de la línea horizontal). Pero la función (véase figura 18) es uno a uno. La función inversa de la función seno f(x) restringida existe y se denota me- diante sen1 o arcsen. Se llama función inversa del seno o función arco seno. Puesto que la definición de una función inversa establece que ? fy x f 1 x y y 0 _π π x π 2 y=sen x FIGURA 17 0 y x _π 2 π 2 FIGURA 18 y=sen x, _ ¯x¯ π 2 π 2 fx sen x, 2 x 2 y sx y x12 sx SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 67 FIGURA 14 0 y 2 x (3, 0) x=2 y=ln(x-2) 0 y x y=ln x (1, 0) 0 y 2 x x=2 (3, _1) y=ln(x-2)-1 x 0 y 1000 20 y=œ„ x y=ln x x 0 y 1 1 y=œ„ x y=ln x FIGURA 16 FIGURA 15 x 1 2 5 10 50 100 500 1000 10 000 100 000 ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316 0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04 ln x sx sx CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 67
- 114. tiene ? y | Por esto, si , sen1 x es el número entre p2 y p2 cuyo seno es x. EJEMPLO 12 Determine (a) y (b) . SOLUCIÓN (a) Tenemos porque y p6 queda entre p2 y p2. (b) Sea , de modo que . Entonces, podemos dibujar un triángulo rectángulo con ángulo u como en la figura 19 y deducir de acuerdo con el Teorema de Pitágoras que el cateto faltante mide . Esto permite que podamos saber a partir del triángulo que Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforman en El dominio de la función inversa del seno, sen1 , es y el rango es , y su gráfica, que se ilustra en la figura 20, se obtiene de la función restringida del seno (fi- gura 18) por reflexión con respecto a la línea . La función inversa del coseno se trata en forma similar. La función restringida del co- seno , , es uno a uno (véase figura 21) y, de este modo, tiene una función inversa que se denota mediante cos1 o arccos. ? y 0 y cos y x cos1 x y 0 x fx cos x y x 2, 2 1, 1 para 1 x 1 sensen1 x x para 2 x 2 sen1 sen x x tan(arcsen 1 3 ) tan 1 2s2 s9 1 2s2 sen 1 3 arcsen 1 3 sen 6 1 2 sen1 (1 2) 6 tan(arcsen 1 3 ) sen1 (1 2) 1 x 1 sen1 x 1 sen x 2 y 2 sen y x sen1 x y 68 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 0 y x 1 _1 π 2 _π 2 FIGURA 20 y=sen–!x=arcsen x 0 y x 1 π π 2 FIGURA 21 y=cos x, 0¯x¯π 2 œ„ 2 FIGURA 19 3 ¨ 1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 68
- 115. Las ecuaciones de cancelación son El dominio de la función inversa del coseno, cos1 , es y el rango es . Su gráfica se ilustra en la figura 22. La función tangente se puede hacer uno a uno si se la restringe al intervalo . Por consiguiente, la función tangente inversa se define como la inversa de la función . (Véase figura 23.) Se denota mediante tan1 o arctan. ? y EJEMPLO 13 Simplifique la expresión . SOLUCIÓN 1 Sea . Entonces y . Quiere determinar el pero como tan y se conoce, es más fácil determinar primero : De este modo SOLUCIÓN 2 En lugar de aplicar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es tal vez más fácil utilizar un diagrama. Si , entonces , y puede saber a partir de la figura 24 (que ilustra el caso ) que La función tangente inversa, , tiene por dominio y rango . Sus gráficas se muestran en la figura 25. Las líneas son asíntotas verticales de la gráfica de la tangente. Puesto que la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida con respecto a la línea , se infiere que las líneas y son asíntotas ho- rizontales de la gráfica de tan1 . y 2 y 2 y x x 2 2 2, tan1 arctan costan1 x cos y 1 s1 x2 y 0 tan y x y tan1 x costan1 x cos y 1 sec y 1 s1 x2 puesto que sec y 0 para 2 y 2 sec y s1 x2 sec2 y 1 tan2 y 1 x2 sec y cos y 2 y 2 tan y x y tan1 x costan1 x 2 y 2 tan y x tan1 x y f x tan x, 2 x 2 2, 2 0, 1, 1 para 1 x 1 coscos1 x x para 0 x cos1 cos x x SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 69 π 2 FIGURA 22 y=cos–! x=arccos x π 2 π 2 _ y 0 x FIGURA 23 y=tan x, _ x π 2 π 2 0 y x 1 π _1 FIGURA 25 y=tan–! x=arctan x π 2 _π 2 y 0 x œ„„„„„ 1+≈ FIGURA 24 1 y x CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 69
- 116. Las funciones trigonométricas inversas restantes no se aplican con frecuencia por lo que se resumen en seguida. ? y ? y ? y No hay un acuerdo universal sobre la elección de los intervalos para y en las defini- ciones de csc1 o sec1 . Por ejemplo, algunos autores usan en la definición de sec1 . [Usted puede comprobar con la gráfica de la función secante de la figura 26 que funcionan tanto esta opción como la que se encuentra en (11).] y 0, 2 2, y 0, cot y x y cot1 x x y 0, 2 , 3 2 sec y x y sec1 x x 1 y 0, 2 , 3 2 csc y x y csc1 x x 1 11 70 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS FIGURA 26 y=sec x 0 y x _1 2π π f(t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la patada de salida. 14. f(t) es su altura a la edad de t. 15. Si f es una función uno a uno tal que , ¿cuánto es ? 16. Sea f(x) 3 x2 tan( x2), donde 1 x 1. (a) Halle f1 (3). (b) Encuentre f(f1 (5)). Si t(x) 3 x ex , encuentre t1 (4). 18. Se proporciona la gráfica de f. (a) ¿Por qué f es uno a uno? (b) Defina el dominio y el rango de f1 . (c) ¿Cuál es el valor de . (d) ¿Estime el valor de . La fórmula , donde F
- 117. 459.67, expresa la temperatura en grados Celsius C como una función de la temperatura en grados Fahrenheit F. Encuentre una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapi- dez v es donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la rapidez de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y expli- que su significado. m f v m0 s1 v2 c2 C 5 9 F 32 19. f 1 0 f 1 2 17. f 1 9 f 2 9 13. 1. (a) ¿Qué es una función uno a uno? (b) ¿Cómo puede decir a partir de la gráfica de una función si ésta es uno a uno? 2. (a) Suponga que f es una función uno a uno con dominio A e intervalo B. ¿Cómo se define la función inversa f1 ? ¿Cuál es el dominio de f1 ? ¿Cuál es el rango de f1 ? (b) Si le dan una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f1 ? (c) ¿Si le dan la gráfica de f, ¿cómo encuentra la gráfica de f1 ? 3–14 Se da una función mediante una tabla, una gráfica, una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 1/x 12. tx cos x tx f x 10 3x f x x2 2x y x 8. x y y x x y 3. EJERCICIOS 1.6 x 1 2 3 4 5 6 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0 f x x 1 2 3 4 5 6 1 2 4 8 16 32 f x y x 0 1 1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 70
- 118. SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS |||| 71 ; 41–42 Use la fórmula 10 para dibujar las funciones que se propor- cionan en una pantalla común. ¿De qué manera se relacionan estas gráficas? 41. , , , 42. , , , Suponga que la gráfica de y log2x se dibuja en una plantilla de coordenadas donde la unidad de medida es una pulgada. ¿Cuántas millas hacia la derecha del origen hay que desplazarse antes que la altura de la curva llegue a 3 pies? ; 44. Compare las funciones f(x) x0.1 y t(x) ln x mediante el dibujo de tanto f como t en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo termina la gráfica de f por rebasar la gráfica de t? 45–46 Haga un trazo aproximado de la gráfica de cada función. No use una calculadora. Utilice sólo las gráficas que se proporcionan en las figuras 12 y 13 y, de ser necesario, las transformaciones de la sección 1.3. (a) (b) 46. (a) (b) 47–50 Resuelva cada ecuación para x. 47. (a) (b) 48. (a) (b) (a) (b) 50. (a) (b) , donde 51–52 Resuelva cada desigualdad para x. 51. (a) (b) 52. (a) (b) 53–54 Encuentre (a) el dominio de f y (b) f1 y su dominio. 53. 54. 55. Dibuje la función y explique por qué es uno a uno. A continuación use un sistema algebraico de computadora para encontrar una expresión explícita para f1 (x). (Su CAS generará tres expresiones posibles. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.) 56. (a) Si t(x) x6 x4 , x
- 119. 0, utilice un sistema algebraico de computadora para encontrar una expresión para t1 (x). (b) Use la expresión del inciso (a) para dibujar y t(x), y x y y t1 (x) en la misma pantalla. 57. Si una población de bacterias inicia con 100 bacterias y se du- plica cada tres horas, luego el número de bacterias una vez que transcurren t horas es n f(t) 100 2t3 . (Véase el ejercicio 25 en la sección 1.5.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuándo llegará la población a 50 000? CAS f x sx3 x2 x 1 CAS fx ln2 ln x fx s3 e2x e23x 4 2 ln x 9 ln x 1 ex 10 a b eax Cebx lnln x 1 ln x lnx 1 1 2x5 3 49. ln5 2x 3 e2x3 7 0 ex 5 2 ln x 1 y ln x y lnx y ln x y log10x 5 45. 43. y 10x y ex y log10 x y ln x y log50 x y log10 x y ln x y log1.5 x 21–26 Encuentre una fórmula para la inversa de la función. 21. 23. 24. 26. ; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f1 y úsela para dibujar f1 , f y la recta y x sobre la misma pantalla. Para verificar su trabajo, vea si las gráficas de f y f1 son reflejos respecto a la recta. 27. , 28. 29–30 Utilice la gráfica que se proporciona para f para dibujar la gráfica de f1 . 29. 30. 31. (a) ¿Cómo se define la función logarítmica y logax? (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) ¿Cuál es el rango de esta función? (d) Trace la forma general de la gráfica de la función y logax si a 1. 32. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? (b) ¿Qué es el logaritmo común? (c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la fun- ción exponencial natural con un conjunto común de ejes. 33–36 Encuentre el valor exacto de cada expresión. 33. (a) (b) 34. (a) (b) 35. (a) (b) 36. (a) (b) 37–39 Exprese la cantidad que se proporciona como un logaritmo único. 37. 38. 39. 40. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo aproximado hasta seis cifras decimales. (a) (b) log2 8.4 log12 10 ln1 x2 1 2 ln x ln sen x lna b lna b 2 ln c ln 5 5 ln 3 lnln ee10 e2 ln 5 log3 100 log318 log350 log26 log215 log220 log10 s10 ln1e log3 1 27 log5125 f x 2 ex x 0 f x x4 1 y ex 1 2ex y lnx 3 25. y 2x3 3 f x ex3 f x 4x 1 2x 3 22. f x s10 3x y x 0 1 1 y x 0 2 1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 71
- 120. 72 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 66–68 Simplifique la expresión. 66. 67. 68. ; 69–70 Grafique las funciones dadas en la misma pantalla. ¿Cuál es la relación entre estas gráficas? 69. , ; ; 70. , ; ; 71. Determine el dominio y el rango de la función. ; 72. (a) Grafique la función y explique el aspecto de la gráfica. (b) Grafique la función . ¿Cuál es su expli- cación sobre el aspecto de esta gráfica? 73. (a) Si desplaza una curva hacia la izquierda, ¿qué pasa con su reflejo respecto a la línea y x? En vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de t(x) f(x c) donde f es una función uno a uno (b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) f(cx), donde c 0. tx sen1 sen x f x sensen1 x tx sen1 3x 1 y x y tan1 x 2 x 2 y tan x y x y sen1 x 2 x 2 y sen x cos2 tan1 x sentan1 x tansen1 x 58. Cuando se apaga el flash de una cámara, las baterías empie- zan de inmediato a recargar el capacitor del flash, el cual alma- cena carga eléctrica dada por (La capacidad máxima de carga es Q0 y t se mide en segundos.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuánto tarda en cargar el capacitor hasta 90% de su capa- cidad si a 2? 59–64 Calcule el valor exacto de cada expresión. 59. (a) (b) 60. (a) (b) 61. (a) (b) 62. (a) (b) 63. (a) (b) 64. (a) (b) 65. Demuestre que . cossen1 x s1 x2 sen(2 sen1 (3 5)) tansec1 4 sen1 sen7p3 tanarctan10 arccos1 2 cot1 s3 sen1 (1s2) arctan 1 sec1 2 tan1 s3 cos1 1 sen1 (s32) Qt Q01 eta CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 72
- 121. CAPÍTULO 1 REPASO |||| 73 REPASO REVISIÓN DE CONCEPTOS 1 (b) ¿Cuál es el dominio de ft? (c) ¿Cuál es el dominio de ft? 10. ¿Cómo se define la función composición ? ¿Cuál es su dominio? 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación para cada una de las gráficas que se obtienen de la gráfica de f como se describe a continuación. (a) Desplazando 2 unidades hacia arriba (b) Desplazando 2 unidades hacia abajo (c) Desplazando 2 unidades hacia la derecha (d) Desplazando 2 unidades hacia la izquierda (e) Al reflejar respecto al eje x (f) Al reflejar respecto al eje y (g) Al alargar verticalmente por un factor de 2 (h) Al contraer verticalmente por un factor de 2 (i) Al alargar horizontalmente por un factor de 2 (j) Al contraer horizontalmente por un factor de 2 12. (a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede decir si una función es uno a uno al mirar su gráfica? (b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función inversa f1 ? ¿Cómo obtiene la gráfica de f1 a partir de la gráfica de f? 13. (a) ¿Cómo se define la función seno inversa ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (b) ¿Cómo se define la función coseno inversa ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (c) ¿Cómo se define la función tangente inversa ? ¿Cuáles son su dominio y su rango? tan1 x f x cos1 x f x f x sen1 x f t 1. (a) ¿Qué es una función? ¿Cuál es su dominio y su rango? (b) ¿Qué es la gráfica de una función? (c) ¿Cómo puede usted decir si una curva dada es la gráfica de una función? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre su análisis con ejemplos. 3. (a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede decir si una función es par al mirar su gráfica? (b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede decir si una fun- ción es impar al mirar su gráfica? 4. ¿Qué es una función creciente? 5. ¿Qué es un modelo matemático? 6. Proporcione un ejemplo de cada tipo de función (a) Función lineal (b) Función potencia (c) Función exponencial (d) Función cuadrática (e) Polinomio grado 5 (f) Función racional 7. Trace, a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones siguientes. (a) (b) (c) (d) 8. Dibuje a mano un esquema aproximado de la gráfica de cada función. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 9. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. (a) ¿Cuál es el dominio de f t? y tan1 x y sx y x y 1x y ln x y ex y tan x y sen x jx x4 hx x3 tx x2 f x x Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, expli- que por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. Si f es una función, entonces . 2. Si , luego . 3. Si f es una función, entonces . 4. Si y f es una función decreciente, luego . 5. Una línea vertical interseca la gráfica de una función más de una vez. 6. Si f y t son funciones, luego . 7. Si f es uno a uno, en tal caso . f 1 x 1 f x f t t f f x1 f x2 x1 x2 f 3x 3f x s t f s f t f s t f s f t 8. Siempre se puede dividir entre ex . 9. Si , entonces . 10. Si , entonces . 11. Si y , entonces . 12. . 13. tan1 x sen1 x cos1 x tan1 1 3p4 ln x ln a ln x a a 1 x 0 ln x6 6 ln x x 0 ln a ln b 0 a b PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 73
- 122. 74 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 1. Sea f la función cuya gráfica se da. (a) Estime el valor de f(2). (b) Estime los valores de x tales que f(x) 3. (c) Dé el dominio de f. (d) Dé el rango de f. (e) ¿Sobre cuál intervalo f es creciente? (f) ¿f es uno a uno? Explique. (g) ¿f es par, impar o de ninguno de los dos tipos? Explique 2. Se da la gráfica de t. (a) Dé el valor de t(2). (b) ¿Por qué t es uno a uno? (c) Estime el valor de t1 (2). (d) Estime el dominio de t1 . (e) Trace la gráfica de t1 . 3. Si , evalúe el cociente de diferencia 4. Trace la gráfica aproximada del rendimiento de un cultivo co- mo función de la cantidad de fertilizante que se usó. 5–8 Encuentre el dominio y el rango de la función 5. 6. 7. 8. 9. Suponga que se da la gráfica de f. Describa cómo se pueden obtener las gráficas de las funciones siguientes a partir de la gráfica de f. (a) (b) y f x 8 y f x 8 Ft 3 cos 2t hx lnx 6 g x s16 x4 fx 23x 1 fa h fa h f x x5 2x 3 g y x 0 1 1 f y x 1 1 (c) (d) (e) (f) 10. Se da la gráfica de f. Dibuje las funciones siguientes. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 11–16 Use transformaciones para trazar la gráfica de la función. 11. y sen 2x 12. 13. 14. 15. 16. 17. Establezca si f es par, impar o ninguna de las dos cosas. (a) (b) (c) (d) 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consta de un segmento de línea del punto (2, 2) hasta el punto (1, 0) junto con la mitad superior del círculo con centro en el origen y radio 1. 19. Si f (x) ln x y t(x) x2 9, encuentre las funciones (a) , (b) , (c) , (d) , y sus dominios. 20. Exprese la función como una composición de tres funciones. 21. La expectativa de vida mejoró de manera dramática en el siglo XX. La tabla proporciona la expectativa de vida (en años) al momento del nacimiento de hombres en Estados Unidos. Fx 1sx sx t t f f t f f t f x 1 sen x f x ex 2 f x x3 x7 f x 2x5 3x2 2 f x x ex 1 si x 0 si x 0 f x 1 x 2 y 2 sx y 1 2 1 ex y 3 lnx 2 y x 0 1 1 y f 1 x 3 y f 1 x y 1 2 f x 1 y 2 f x y f x y f x 8 y f 1 x y f x y f x 2 2 y 1 2f x EJERCICIOS Año de Expectativa nacimiento de vida 1900 48.3 1910 51.1 1920 55.2 1930 57.4 1940 62.5 1950 65.6 Año de Expectativa nacimiento de vida 1960 66.6 1970 67.1 1980 70.0 1990 71.8 2000 73.0 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 74
- 123. CAPÍTULO 1 REPASO |||| 75 26. Resuelva cada ecuación para x. (a) (b) (c) (d) 27. La población de cierta especie en un ambiente limitado, con población inicial de 100 y que soporta una capacidad de 1 000, es donde t se mide en años. ; (a) Dibuje esta función y estime cuánto tarda para que la po- blación llegue a 900. (b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significa- do. (c) Use la función inversa para encontrar el tiempo que se re- quiere para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso (a). ; 28. Dibuje las tres funciones y xa , y ax y y logax en la mis- ma pantalla para dos o tres valores de a 1. Para valores gran- des de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes y cuál los más pequeños? Pt 100 000 100 900et tan1 x 1 ee x 2 ln x 2 ex 5 Use una gráfica de dispersión para elegir un tipo de modelo apropiado. Utilice su modelo para predecir la duración de la vida de un hombre que nace en el año 2010. 22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que le cuesta 9 000 dólares producir 1000 hornos para tostar y 12000 dólares producir 1500 hornos por semana. (a) Exprese el costo como una función del número de hornos para tostar que se producen, suponiendo que es lineal. En- seguida trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección y de la gráfica y qué representa? 23. Si f (x) 2x ln x, encuentre f1 (2). 24. Encuentre la función inversa de . 25. Halle el valor exacto de cada expresión. (a) (b) (c) (d) sen(cos1 (4 5)) tan(arcsen 1 2 ) log10 25 log10 4 e2 ln 3 f x x 1 2x 1 CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 75
- 124. 76 No existen reglas firmes y rápidas que garanticen el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos etapas generales del proceso de solución de problemas y dar algunos principios que pueden resultar útiles en la solución de ciertos problemas. Estas etapas y principios no son más que sentido común hecho explícito. Se han adaptado del libro How To Solve It de George Polya. El primer paso es leer el problema y asegurarse de entenderlo con claridad. Hágase las pre- guntas siguientes: Para muchos problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar las cantidades dadas y requeridas en el diagrama. A menudo, es necesario introducir una notación apropiada Al elegir los símbolos para las cantidades desconocidas, use letras como a, b, c, m, n, x y y pero, en algunos casos, ayuda usar iniciales como los símbolos significantes; por ejem- plo, V para el volumen o t para el tiempo. Pensar en un plan Encuentre una relación entre la información dada y lo que desconoce que le permita calcu- lar la incógnita. Con frecuencia ayuda preguntarse: “¿Cómo puedo relacionar lo que se pro- porciona con lo desconocido?” Si no ve una relación de inmediato, las ideas siguientes pueden resultar útiles para idear un plan. Intente reconocer algo familiar Relacione la situación que se proporciona con sus conocimien- tos previos. Observe la incógnita e intente recordar un problema más familiar que tenga una incógnita semejante. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven al reconocer que se presenta alguna clase de patrón. Éste puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si reconoce re- gularidad o repetición en un problema, quizá sea capaz de conjeturar cuál es el patrón y probarlo. Use la analogía Intente pensar en un problema análogo; es decir, un problema semejante o relacionado, pero más fácil que el original. Si puede resolver un problema similar, más sencillo, en tal caso éste le podría dar los indicios que necesita para resolver el problema original, más complicado. Por ejemplo, si en un problema intervienen números muy gran- des, podría intentar primero un caso semejante con números más pequeños. O bien, si en el problema interviene geometría tridimensional, busque uno similar en geometría bidi- mensional. O también, si el problema con que empieza es general, podría intentar con un caso especial. Introduzca algo adicional A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, algo auxiliar, para ayudar a establecer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en un dia- grama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. 2 ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Comprender el problema 1 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 76
- 125. 77 Establezca casos En ocasiones habrá que dividir el problema en varios casos y dar un argu- mento diferente para cada uno. Por ejemplo, con frecuencia debe aplicar esta estrategia al tratar con el valor absoluto. Resuelva hacia atrás A veces resulta útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a la información que se proporciona. Por lo tanto, es posible invertir las etapas y, de este modo, construir una solución del problema original. Es común aplicar este procedimiento al resolver ecuaciones. Por ejemplo, al resolver la ecuación 3x 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 5 7 y proceda hacia atrás. Sume 5 a cada miembro de la ecuación y divida cada miembro entre 3 para obtener x 4. Como cada etapa se puede invertir, ha resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo suele convenir establecer metas interme- dias (en las cuales sólo se satisface parcialmente la situación deseada). Si alcanza la primera de estas metas intermedias, luego es posible que sea capaz de construir sobre ellas hasta al- canzar la meta final. Razonamiento indirecto En ocasiones es apropiado atacar un problema de manera indirecta. Al utilizar la demostración por contradicción para probar que P implica Q, suponga que P es verdadera y que Q es falsa e intente ver por qué esto no puede ser. De algún modo, debe usar esta información y llegar a una contradicción de lo que está seguros que es ver- dadero. Inducción matemática Al probar proposiciones que comprenden un entero positivo n, con fre- cuencia es útil aplicar el principio siguiente: PRINCIPIO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea Sn una proposición acerca del entero n. Si: 1. es verdadera. 2. es verdadera siempre que Sk es verdadera. Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, como S1 es verdadera, de la condición 2 (con k 1) se infiere que S2 es verdadera. En tal caso, si se aplica la condición 2 con k 2, S3 es verdadera. Al aplicar una vez más la condición 2, esta vez con k 3, S4 es verdadera. Este procedimien- to se puede seguir indefinidamente. Llevar a cabo el plan En la etapa 2 se ideó un plan. Al ponerlo en práctica debe comprobar cada etapa y escribir los detalles que prueben que cada una es correcta. Mirar retrospectivamente Luego de completar la solución, es inteligente revisarla, en parte para ver si hay errores en la solución y también para ver si es posible pensar en una manera más fácil de resol- ver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es que lo familiarizará con el método de solución y esto puede ser útil para resolver un problema futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros pro- blemas.” Estos principios de solución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de solución de proble- mas si se atora. Puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios de los capítulos restantes del libro. 4 3 Sk1 S1 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 77
- 126. 78 EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 como función de su perímetro P. SOLUCIÓN Primero clasifique la información, identificando la cantidad desconocida y los datos: Incógnita: hipotenusa h Cantidades dadas: perímetro P, área de 25 m2 Ayuda dibujar un diagrama como el de la figura 1. Para relacionar las cantidades dadas con la incógnita, introduzca dos variables adicionales, a y b, que son las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la condición dada, que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras: Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: Como se da P, note que ahora tiene tres ecuaciones en las tres incógnitas a, b y h: Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver de manera directa; pero si aplica la estrategia de intentar reconocer algo familiar, en tal caso puede resolverlas con un método más fácil. Vea el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: Si aplica esta idea puede expresar (a b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 tiene De la ecuación 3 En estos términos, Es la expresión requerida para h como función de P. h P2 100 2P 2Ph P2 100 h2 100 P2 2Ph h2 a b2 P h2 P2 2Ph h2 a b2 a2 b2 2ab h2 425 a b2 a2 2ab b2 P a b h 3 25 1 2 ab 2 h2 a2 b2 1 P a b h 25 1 2 ab h2 a2 b2 a h b FIGURA 1 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Comprender el problema. Relacionar con algo familiar. Dibujar un diagrama. Relacionar lo dado con lo desconocido. Introducir algo adicional. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 78
- 127. 79 Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario aplicar el principio de resolución de problemas de establecer casos, al tratar con valores absolutos. EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad . SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto: Se concluye que De manera análoga, Estas expresiones hacen ver que debe considerar tres casos: CASO I Si x 2, tiene CASO II Si la desigualdad dada queda (siempre cierto) CASO III Si , la desigualdad se transforma en Si combina los casos I, II y III, observe que la desigualdad se satisface cuando . De modo que la solución es el intervalo (5, 6). 5 x 6 x 6 2x 12 x 3 x 2 11 x 3 5 11 x 3 x 2 11 2 x 3, x 5 2x 10 x 3 x 2 11 x 3 x 2 11 x 3 2 x 3 x 2 x 2 x 2 si x 2 si x 2 x 2 x 2 x 2 si x 2 0 si x 2 0 x 3 x 3 si x 3 si x 3 x 3 x 3 x 3 si x 3 0 si x 3 0 x x x si x 0 si x 0 x 3 x 2 11 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Establecer casos. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 79
- 128. 80 En el ejemplo siguiente, primero suponga una respuesta revisando los casos especiales y reconociendo un patrón. A continuación, pruébelo mediante inducción matemática. Al aplicar el principio de inducción matemática, sigue tres etapas: ETAPA 1 Se prueba que Sn es verdadera cuando n 1. ETAPA 2 Se supone que Sn es verdadera cuando n k y se deduce que Sn es verdadera cuando n k 1. ETAPA 3 Se concluye, por el principio de inducción matemática, que Sn es verdadera para toda n. EJEMPLO 3 Si y , para n 0, 1, 2, . . ., encuentre una fórmula para fn(x). SOLUCIÓN Empiece por hallar fórmulas para fn(x), para los casos especiales n 1, 2 y 3. Note un patrón: en los tres casos que se calcularon, el coeficiente de x en el denomi- nador de fn(x) es n 1. De modo que conjeture que, en general, Para probar esto, aplique el principio de inducción matemática. Ya ha comprobado que (4) es verdadera para n 1. Suponga que es verdadera para n k; es decir, fkx x k 1x 1 fnx x n 1x 1 4 x 3x 1 x 3x 1 1 x 3x 1 4x 1 3x 1 x 4x 1 f3x f0 f2 x f0 f2x f0 x 3x 1 x 2x 1 x 2x 1 1 x 2x 1 3x 1 2x 1 x 3x 1 f2x f0 f1 x f0 f1x f0 x 2x 1 x x 1 x x 1 1 x x 1 2x 1 x 1 x 2x 1 f1x f0 f0x f0 f0x f0 x x 1 fn1 f0 fn f0x xx 1 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Analogía: intente un problema semejante, más sencillo. Buscar un patrón. CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 80
- 129. 81 Entonces Esta expresión hace ver que (4) es verdadera para n k 1. En consecuencia, por inducción matemática, es verdadera para todos los enteros positivos n. x k 1x 1 x k 1x 1 1 x k 1x 1 k 2x 1 k 1x 1 x k 2x 1 fk1x f0 fk x f0 fkx f0 x k 1x 1 PRINCIPIOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa como función de longitud de esta última. 2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 12 cm. Exprese la lon- gitud de la hipotenusa como función del perímetro. 3. Resuelva la ecuación . 4. Resuelva la desigualdad . 5. Trace la gráfica de la función fx . 6. Dibuje la gráfica de la función . 7. Trace la gráfica de la ecuación 8. Dibuje la gráfica de la ecuación . 9. Esquematice la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que . 10. Dibuje la región en el plano que consta de todos los puntos (x, y) tales que 11. Evalúe . 12. (a) Demuestre que la función es una función impar. (b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad . 14. Aplique un razonamiento indirecto para probar que log2 5 es un número irracional. 15. Una conductora emprende un viaje. A lo largo de la primera parte del trayecto conduce a un paso moderado de 30 mih; en la segunda parte conduce a 60 mih. ¿Cuál es su rapidez promedio en esta travesía? 16. ¿Es cierto que ? 17. Compruebe que si n es un entero positivo, entonces, 7n 1 es divisible entre 6. 18. Pruebe que . 19. Si f0(x) x2 y para encuentre una fórmula para fn(x). 20. (a) Si y para encuentre una expresión para fn(x) y aplique la inducción matemática para probarla. ; (b) Trace la gráfica de en la misma pantalla y describa los efectos de la composi- ción repetida. f0, f1, f2, f3 n 0, 1, 2, . . . , fn1 f0 fn f0x 1 2 x n 0, 1, 2, . . . , fn1x f0 fnx 1 3 5 2n 1 n2 f t h f t f h lnx2 2x 2 0 f x ln(x sx2 1) log2 3log3 4log4 5log31 32 x y x y 2 x y 1 x4 4x2 x2 y2 4y2 0 x x y y . tx x2 1 x2 4 x2 4x 3 x 1 x 3 5 x 5 3 2x 1 PROBLEMAS CAPITULO-01-B 06/04/2009 18:08 Page 81
- 130. 82 La idea de un límite se ilus- tra mediante líneas secantes que se aproximan a una lí- nea tangente. LÍMITES Y DERIVADAS 2 En la presentación preliminar del Cálculo (página 2) se ve cómo la idea de límite sus- tenta las diversas ramas del cálculo; de ahí la importancia de empezar el estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límites utilizados para la obtención de tangentes y velocidades conducen a la idea central del Cálculo Diferencial: la derivada. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 82
- 131. 83 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD En esta sección se analiza cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto. PROBLEMA DE LA TANGENTE La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa “tocar”. De este modo, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. ¿De qué manera se puede precisar esta idea? Para una circunferencia podría seguirse la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que intersecta a la circunferencia una y sólo una vez como en la figura 1(a). Pa- ra curvas más complicadas, esta definición es inadecuada. En la figura 1(b), se muestran dos rectas, l y t, que intersectan a la curva C en un punto P. La recta l interseca C sólo una vez, pero es evidente que no se parece a lo que consideramos una tangente. Por otra parte, la recta t parece una tangente pero intersecta a la curva C dos veces. Para ser específicos, considere el problema de intentar hallar una recta tangente t a la parábola y x2 en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y x2 en el punto P1, 1. SOLUCIÓN Podremos obtener la ecuación de la recta tangente al conocer su pendiente. La dificultad es que se conoce sólo un punto P, de t, en tanto que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente. Pero puede calcular una aproximación para m si elige un punto cercano Qx, x2 de la parábola (como en la figura 2) y calcular la pendiente mPQ de la línea secante PQ. Elija x 1, de modo que Q P. Entonces Por ejemplo, para el punto Q1.5, 2.25 Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Entre más cerca está Q de P, más lo está x de 1 y, por lo que se ve en las tablas, mPQ está más próxima a 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m 2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes y, simbólicamente, expresamos esto al escribir y Si supone que, en efecto, la pendiente de la recta tangente es 2, use la forma punto-pen- diente de la ecuación de una recta (véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente que pasa por 1, 1 como y 1 2x 1 o y 2x 1 lím xl1 x2 1 x 1 2 lím Q lP mPQ m mPQ 2.25 1 1.5 1 1.25 0.5 2.5 mPQ x2 1 x 1 V 2.1 (a) (b) t P C t l FIGURA 1 FIGURA 2 x y 0 y=≈ t Q{x, ≈} P(1, 1) x mPQ 2 3 1.5 2.5 1.1 2.1 1.01 2.01 1.001 2.001 x mPQ 0 1 0.5 1.5 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 83
- 132. La figura 3 ilustra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Conforme Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes rotan en torno a P y se aproximan a la recta tangente t. 84 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describen mediante una ecua- ción explícita; se definen por medio de información experimental. En el ejemplo siguiente se indica cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ese tipo de funciones. EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona por el almacena- miento de carga en un capacitor y su liberación repentina al disparar la unidad. Los datos que se muestran al margen describen la carga Q que resta en el capacitor (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que la unidad de destello ha sido apagada). Use los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde t 0.04. Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica que circula del capacitor al bulbo del flash (medida en microamperes). SOLUCIÓN En la figura 4 está la información que se proporcionó y se usa para dibujar una curva que se aproxime a la gráfica de la función. FIGURA 4 t Q A B C P P 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 90 100 60 70 80 50 (segundos) (microcoulombs) o o V P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t P y x 0 Q t FIGURA 3 Q se aproxima a P desde la izquierda Q se aproxima a P desde la derecha t Q 0.00 100.00 0.02 81.87 0.04 67.03 0.06 54.88 0.08 44.93 0.10 36.76 En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para funciones adicionales. TEC CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 84
- 133. A partir de los puntos P0.04, 67.03 y R0.00, 100.00 de la gráfica la pendiente de la recta secante es En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cabe esperar que la pendiente de la recta tangente en t 0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es Así, mediante este método estimamos la pendiente de la recta tangente como 675. Otro método es trazar una aproximación a la recta tangente en P y medir los lados del triángulo ABC como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD Si observa el velocímetro de un automóvil al viajar en el tráfico de la ciudad, puede ver que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, el vehículo tiene una velocidad definida en cada mo- mento, ¿pero cómo se define la velocidad “instantánea”? Investiguemos el ejemplo de una pelota que cae. EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN en Toronto, 450 m por encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidad de la pelota una vez que transcurren 5 segundos. SOLUCIÓN A través de experimentos que se llevaron a cabo cuatro siglos atrás, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es propor- cional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante st y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa con la ecuación st 4.9t2 La dificultad para hallar la velocidad después de 5 s es que trata con un solo ins- tante t 5, de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo, puede tener una aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el breve intervalo de una décima de segundo, desde t 5 hasta t 5.1: 4.95.12 4.952 0.1 49.49 ms s5.1 s5 0.1 velocidad promedio cambio en la posición tiempo transcurrido V AB BC 80.4 53.6 0.06 0.02 670 1 2 742 607.5 674.75 mPR 100.00 67.03 0.00 0.04 824.25 SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 85 R mPR 0.00, 100.00 824.25 0.02, 81.87 742.00 0.06, 54.88 607.50 0.08, 44.93 552.50 0.10, 36.76 504.50 El significado físico de la respuesta del ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que fluye del capacitor al foco del flash después de 0.04 de segundo es de casi de –670 microamperes. La Torre CN en Toronto es el edificio autoes- table más alto del mundo en la actualidad. © 2003 Brand X Pictures CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 85
- 134. En la tabla siguiente se muestran los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos sucesivamente cada vez más pequeños Parece que conforme acorta el periodo, la velocidad promedio se aproxima a 49 ms. La velocidad instantánea, cuando t 5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que se inician en t 5. En estos términos, la velocidad (instantánea) después de 5 s es v 49 ms Quizá sienta que los cálculos que se utilizan en la solución de este problema son muy se- mejantes a los que se aplicaron con anterioridad en esta sección para hallar tangentes. De hecho, existe una relación íntima entre el problema de la tangente y el de hallar velocidades. Si dibuja la gráfica de la función distancia de la pelota (como en la figura 5) y considera los puntos Pa, 4.9a2 y Qa h, 4.9a h2 de la gráfica, en tonces la pendiente de la recta secante PQ es la cual es la misma que la velocidad promedio durante el periodo a, a h . Por lo tanto, la velocidad en el instante t a (el límite de estas velocidades promedio a medida que h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). Los ejemplos 1 y 3 hacen ver que para resolver problemas de tangentes y de veloci- dades, debe ser capaz de hallar límites. Después de estudiar los métodos para calcular lí- mites en las cinco secciones siguientes, en la sección 2.7 regresará a los problemas de hallar tangentes y velocidades. FIGURA 5 t s Q a a+h 0 pendiente de la recta secante ⫽ velocidad promedio P s=4.9t@ t s 0 a pendiente de la tangente ⫽ velocidad instantánea P s=4.9t@ mPQ 4.9a h2 4.9a2 a h a 86 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Intervalo de tiempo Velocidad promedio (ms) 5 t 6 53.9 5 t 5.1 49.49 5 t 5.05 49.245 5 t 5.01 49.049 5 t 5.001 49.0049 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 86
- 135. SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 87 (c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuación de la recta tangente a la curva en P3, 1. (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de 40 piess, su altura en pies, después de t segundos, se expresa por y 40t 16t2 . (a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t 2 y dura: (i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg (iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg (b) Estime la velocidad instantánea cuando t 2. 6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 ms, su altura en metros t segundos después se proporciona mediante y 10t 1.86t2 . (a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo que se proporcionan: (i) 1, 2 (ii) 1, 1.5 (iii) 1, 1.1 (iv) 1, 1.01 (v) 1, 1.001 (b) Estimar la velocidad instantánea cuando t 1. 7. La tabla exhibe la posición de un ciclista. (a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo: (i) 1, 3 (ii) 2, 3 (iii) 3, 5 (iv) 3, 4 (b) Use la gráfica de s como una función de t para estimar la velocidad instantánea cuando t 3. 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula de atrás hacia adelante en una línea recta se conoce por la ecuación de movimiento s 2 sen pt 3 cos pt, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo: (i) 1, 2 (ii) 1, 1.1 (iii) 1, 1.01 (iv) 1, 1.001 (b) Estimar la velocidad instantánea de la partícula cuando t 1. El punto P1, 0 está sobre la curva y sen10px. (a) Si Q es el punto x, sen10px, encuentre la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales) para s 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Parece que las pendientes tienden a un límite? ; (b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. (c) Mediante la selección de rectas secantes apropiadas, estime la pendiente de la recta tangente en P. 9. 5. 1. Un depósito contiene 1000 galones de agua que se drenan desde la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en galones) una vez que transcurren t minutos. (a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto en la gráfica con t 5, 10, 20, 25 y 30. (b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando las pendientes de dos rectas secantes. (c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la canti- dad a la que fluye el agua desde el tanque después de 15 minutos.) 2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. Éste recopila el núme- ro de latidos cardiacos después de t minutos. Cuando se si- túan los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante entre los puntos (a) t 36 y t 42 (b) t 38 y t 42 (c) t 40 y t 42 (d) t 42 y t 44 ¿Cuáles son sus conclusiones? El punto está sobre la curva . (a) Si Q es el punto x, x1 x, use su calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran a continuación: (i) 0.5 (ii) 0.9 (iii) 0.99 (iv) 0.999 (v) 1.5 (vi) 1.1 (vii) 1.01 (viii) 1.001 (b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en . (c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en . 4. El punto P3, 1 se encuentra sobre la curva (a) Si Q es el punto , mediante una calculadora determine la pendiente de la secante PQ (con seis cifras decimales) para los valores siguientes de x: (i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999 (v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001 (b) Por medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor de la pendiente de la recta tangente en P3, 1. (x, sx 2) y sx 2 P(1, 1 2) P(1, 1 2) y x1 x P(1, 1 2) 3. EJERCICIOS 2.1 t (min) 5 10 15 20 25 30 V (gal) 694 444 250 111 28 0 t (min) 36 38 40 42 44 Latidos cardiacos 2530 2661 2806 2948 3080 t (segundos) 0 1 2 3 4 5 s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 87
- 136. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Luego de ver en la sección anterior cómo surgen los límites cuando desea hallar la tangen- te a una curva o la velocidad de un objeto, dirija su atención hacia los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Investigue el comportamiento de la función f definida por fx x2 x 2 para valo- res cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de fx para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. A partir de la tabla y de la gráfica de f (una parábola) que se ilustra en la figura 1, es claro cuando x está cercana a 2 (por cualquiera de los dos lados de 2), fx lo está a 4. De hecho, parece posible acercar los valores de fx a 4 tanto como desee si toma una x lo suficientemente cerca de 2. Expresa este hecho al decir: “el límite de la fun- ción fx x2 x 2, cuando x tiende a 2, es igual a 4”. La notación para esta ex- presión es En general, se usa la siguiente notación DEFINICIÓN Escriba que se expresa como: “el límite de fx cuando x tiende a a, es igual a L” si podemos acercar arbitrariamente los valores de fx a L (tanto como desee) esco- giendo una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. En términos generales, esto afirma que los valores de fx se aproximan cada vez más al número L cuando x se acerca a a (desde cualquiera de los dos lados de a) pero x a. (En la sección 2.4 se proporciona una definición más exacta.) Una notación alternativa para es fx l L cuando x l a que suele leerse “fx tiende a L cuando x tiende a a”. lím xl a fx L lím xl a fx L 1 lím xl2 x2 x 2 4 2.2 88 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4 ƒ tiende a 4 x y 2 A medida que x tiende a 2 y=≈-x+2 0 FIGURA 1 x fx x fx 1.0 2.000000 3.0 8.000000 1.5 2.750000 2.5 5.750000 1.8 3.440000 2.2 4.640000 1.9 3.710000 2.1 4.310000 1.95 3.852500 2.05 4.152500 1.99 3.970100 2.01 4.030100 1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 88
- 137. Advierta la frase “pero x a” en la definición de límite. Esto significa que al hallar el límite de fx cuando x tiende a a, nunca consideró x a. De hecho, incluso no es necesario que fx esté definida cuando x a. Lo único que importa es cómo está de- finida f cerca de a. En la figura 2 se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la parte (c), fa no está definida y, en la parte (b), fa L. Pero en cada caso, sin importar lo que suceda en a, es verdadero que límxl a fx L. EJEMPLO 1 Conjeture el valor de . SOLUCIÓN Advierta que la función fx x 1x2 1 no está definida cuando x 1, pero eso no importa porque la definición de límxl a fx dice que considere valores de x próximos a a pero diferentes de a. En las tablas que aparecen al margen izquierdo se proporcionan los valores de fx (correctos hasta seis posiciones decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no son iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráfica de f de la figura 3. Cambie ahora ligeramen- te el valor de f, dándole un valor de 2 cuando x 1 y denominando a la función resultante como t. Esta nueva función t todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la figura 4). 0 1 0.5 x-1 ≈-1 y= FIGURA 3 FIGURA 4 0 1 0.5 y=© 2 y x y x t(x) x 1 x2 1 si x 1 2 si x 1 lím x l1 x 1 x2 1 0.5 lím x l1 x 1 x2 1 (c) x y 0 L a (b) x y 0 L a (a) x y 0 L a FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos x a SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 89 x 1 fx 0.5 0.666667 0.9 0.526316 0.99 0.502513 0.999 0.500250 0.9999 0.500025 x 1 fx 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 1.001 0.499750 1.0001 0.499975 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 89
- 138. EJEMPLO 2 Estime el valor de . SOLUCIÓN En la tabla se enumeran los valores de la función para varios valores de t cer- canos a 0. A medida que t tiende a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666... y, por consiguiente, supone que En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiera tomado valores incluso más pequeños de t? En la tabla al margen se muestran los resultados que se obtuvieron con una calcula- dora; usted puede ver que parece suceder algo extraño. Si intenta realizar estos cálculos en su calculadora podría obtener valores diferentes, pero llegará un momento en que obtendrá el valor 0, si reduce t lo suficiente. ¿Significa esto que la respuesta en realidad es 0, en lugar de ? No, el valor del límite es , como se demostrará | en la sección siguiente. El problema es que las calculadoras dan valores falsos porque está muy cercana a 3 cuando t es pequeño. (De hecho, cuando t es lo suficien- temente pequeño, el valor para de una calculadora es 3.000... hasta el número de dígitos que la calculadora es capaz de llevar.) Algo similar sucede cuando intenta trazar la gráfica de la función del ejemplo 2 en una calculadora graficadora o en una computadora. Los incisos (a) y (b) de la figura ilustran gráficas bastante exactas de f y, cuando se usa el modo de trazo (si cuenta con él), puede estimar con facilidad que el límite es alrededor de . Pero si realiza un acercamiento muy grande, como en los incisos (c) y (d), obtiene gráficas inexactas, una vez más debido a problemas con la sustracción. 1 6 ft st2 9 3 t2 st2 9 st2 9 1 6 1 6 lím tl 0 st2 9 3 t2 1 6 lím tl 0 st2 9 3 t2 90 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS t 1.0 0.16228 0.5 0.16553 0.1 0.16662 0.05 0.16666 0.01 0.16667 st2 9 3 t2 t 0.0005 0.16800 0.0001 0.20000 0.00005 0.00000 0.00001 0.00000 st2 9 3 t2 FIGURA 5 0.1 0.2 (a) _5, 5 por _0.1, 0.3 0.1 0.2 (b) _0.1, 0.1 por _0.1, 0.3 (c) _10–^, 10–^ por _0.1, 0.3 (d) _10–, 10– por _0.1, 0.3 www.stewartcalculus.com Para una explicación más detallada de por qué en ocasiones las calculadoras dan valores falsos, véase el sitio en la red. Dé un clic en Additional Topics y luego en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, refiérase a la sección llamada The Perils of Subtraction. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 90
- 139. EJEMPLO 3 Encuentre el valor de . SOLUCIÓN La función fx sen xx no está definida cuando x 0. Con una calculadora (y recordando que si x , sen x quiere decir el seno del ángulo cuya medida en radianes es x), construya la tabla siguiente de valores, correctos hasta ocho posiciones decimales. A partir de la tabla a la izquierda y de la gráfica de la figura 6, suponga que De hecho, esta conjetura es correcta, como se probará en el capítulo 3 mediante la aplicación de un argumento geométrico. EJEMPLO 4 Investigue . SOLUCIÓN Una vez más, la función fx senpx no está definida en 0. Si se evalúa la función para algunos valores pequeños de x, resulta f1 sen p 0 f0.1 sen 10p 0 f0.01 sen 100p 0 De manera análoga, f0.001 f0.0001 0. Con base en esta información, podría sentirse tentado a presumir que | pero en esta ocasión su conjetura es errónea. Advierta que aun cuando f1n sen np 0, para cualquier entero n, también se cumple que fx 1 para un número infinito de valores de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la figura 7. FIGURA 7 y=sen(π/x) x y 1 1 _1 _1 lím x l 0 sen x 0 f (1 4 ) sen 4 0 f (1 3) sen 3 0 f (1 2 ) sen 2 0 lím x l 0 sen x V 0 x _1 1 y sen x x y= 1 FIGURA 6 lím x l 0 sen x x 1 lím x l 0 sen x x V SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 91 x 1.0 0.84147098 0.5 0.95885108 0.4 0.97354586 0.3 0.98506736 0.2 0.99334665 0.1 0.99833417 0.05 0.99958339 0.01 0.99998333 0.005 0.99999583 0.001 0.99999983 sen x x SISTEMAS ALGEBRAICOS PARA COMPUTADORA Los sistemas algebraicos para computadora (CAS: computer algebra systems, CAS) tienen comandos que calculan límites. En virtud de las dificultades que se demostraron en los ejemplos 2, 4 y 5, no encuentran los límites por experimentación numérica, sino que apli- can técnicas más elaboradas, como el cálculo de series infinitas. Si tiene acceso a un CAS, use el comando límite, calcule los límites de los ejemplos de esta sección y compruebe sus respuestas a los ejercicios de este capítulo. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 91
- 140. Los valores de sen fluctúan entre 1 y 1 infinidad de veces, cuando x tiende a cero. (Véase el ejercicio 39.) Ya que el valor de fx no se aproxima a un número fijo cuando x se aproxima a cero. EJEMPLO 5 Encuentre . SOLUCIÓN Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla que apa- rece en el margen Pero si perseveran con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que Más adelante verá que límxl 0 cos 5x 1 y en tal caso se concluye que el límite es 0.0001. | Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposición del valor de un límite. Es fácil suponer un valor erróneo, si se usan valores inapropiados de x, pero es difícil saber cuándo suspender el cálculo de valores.Y, como hace ver el análisis que sigue al ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores erróneos. Sin embargo, más adelante se desarrollan métodos infalibles para calcular límites. EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por Esta función recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heaviside (1850-1925) y se puede usar para describir una corriente eléctrica que se hace circular en el instante t 0. En la figura 8 se muestra su gráfica. Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, Ht tiende a 0. Cuando t se aproxima a 0 por la derecha, Ht tiende a 1. No existe un número único al que Ht se aproxime cuando t tiende a 0. Por consiguiente, límtl0 Ht no existe. LÍMITES LATERALES En el ejemplo 6 se vio que Ht tiende a 0 cuando t lo hace a 0 por la izquierda y que esa función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 por la derecha. Se indica simbólicamente esta situa- ción escribiendo y El símbolo “t l 0 ” indica que sólo se consideran valores de t menores que 0. Del mismo modo “t l 0 ” indica que sólo se consideran valores de t mayores que 0. lím tl0 Ht 1 lím tl0 Ht 0 Ht 0 1 si t 0 si t 0 V lím x l 0 x3 cos 5x 10 000 0.000100 1 10 000 lím xl0 x3 cos 5x 10 000 0 lím x l 0 x3 cos 5x 10 000 lím x l 0 sen x no existe (p x ) 92 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS x 1 1.000028 0.5 0.124920 0.1 0.001088 0.05 0.000222 0.01 0.000101 x3 cos 5x 10 000 x 0.005 0.00010009 0.001 0.00010000 x3 cos 5x 10 000 t y 1 0 FIGURA 8 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 92
- 141. DEFINICIÓN Escriba y se lee el límite izquierdo de f x cuando x tiende a a o el límite de fx cuando x se acerca a a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de fx a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a. Advierta que la definición 2 difiere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: “el límite de fx por la de- recha cuando x se aproxima a a es igual a L” y escribe Así, el símbolo “x l a ” significa que considere sólo x a. En la figura 9 se ilustran estas definiciones Al comparar la definición 1 con las definiciones de los límites laterales, se cumple lo siguiente si y sólo si y EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la gráfica de una función t. Úsela para dar los valores (si existen de los límites siguientes: (a) (b) (c) (d) (e) (f) SOLUCIÓN A partir de la gráfica es claro que los valores de tx tienden a 3 cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Por consiguiente (a) y (b) (c) Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, con base en (3) se concluye que límxl2 tx no existe La gráfica muestra también que (d) y (e) lím xl 5 tx 2 lím xl5 tx 2 lím xl 2 tx 1 lím xl2 tx 3 lím xl5 tx lím xl5 tx lím x l 5 tx lím xl2 tx lím xl2 tx lím xl 2 tx V lím xla fx L lím xla fx L lím xla fx L 3 0 x y L x a 0 x y ƒ L x a ƒ x a+ x a_ (a) lím ƒ=L (b) lím ƒ=L FIGURA 9 lím xla fx L lím x la f x L 2 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 93 FIGURA 10 y 0 x y=© 1 2 3 4 5 1 3 4 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 93
- 142. (f) En esta ocasión los límites por la izquierda y la derecha son los mismos y, de este modo, con base en (3) A pesar de este hecho, observe que t5 2. LÍMITES INFINITOS EJEMPLO 8 Halle si existe. SOLUCIÓN Conforme x se aproxima a 0, x2 también se aproxima a 0 y 1x2 se hace muy grande. (Vea la tabla en el margen.) De hecho, al ver la gráfica de la función fx 1x2 que se muestra en la figura 11, parece que los valores de fx se pueden aumentar en forma arbitraria, si se escoge una x lo suficientemente cerca de 0. De este modo los valores de fx no tienden a un número, de tal manera que límxl0 1x2 no existe. Para indicar la clase de comportamiento que se muestra en el ejemplo 8, utilice la notación | Esto no quiere decir que se considere ∞ como un número. Ni siquiera significa que el lí- mite existe. Simplemente expresa la manera particular en la cual el límite no existe: 1/x2 puede ser tan grande como guste llevando a x lo suficientemente cerca de 0. En general, se escribe simbólicamente para indicar que los valores de fx se vuelven más y más grandes, es decir (se “incrementan sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a. DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posi- blemente en a; entonces significa que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero no es igual que a. Otra notación para límxl a fx es fx l cuando x l a Recuerde que el símbolo ∞ no es un número, pero la expresión límxl a fx se lee con frecuencia como “el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito” o bien, “fx se vuelve infinita cuando x se aproxima a a” o bien, “fx se incrementa sin límite cuando x tiende a a” Esta definición se ilustra en la figura 12. lím xla f x ∞ 4 lím xla f x ∞ lím xl0 1 x2 ∞ lím xl0 1 x2 lím xl 5 tx 2 94 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 11 y= 1 ≈ 0 y x x 1 1 0.5 4 0.2 25 0.1 100 0.05 400 0.01 10 000 0.001 1 000 000 1 x2 x a x y x=a y=ƒ a 0 FIGURA 12 lím ƒ=` CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 94
- 143. Un tipo similar de límite, para el caso de funciones que manifiestan valores negativos muy grandes cuando x tiende a a, se presenta en la definición 5 y se ilustra en la figura 13. DEFINICIÓN Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posible- mente en a misma. Entonces significa que los valores de fx se pueden hacer de manera arbitraria grandes y negativos al dar valores a x que estén muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser iguales a a. El símbolo límxla fx quiere decir “el límite de fx cuando x tiende a a es el infinito negativo” o bien, “fx decrece sin cota inferior cuando x tiende a a”. Como ejem- plo tiene Definiciones similares se pueden dar para los límites infinitos laterales sin olvidar que “x l a ” significa que considera sólo valores de x que sean menores que a y, de igual manera, “x l a ” quiere decir que considera sólo x a. Ejemplos de estos cuatro casos se presentan en la figura 14. DEFINICIÓN La recta x a se llama asíntota vertical de la curva y fx si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y 1x2 porque límxl 0 1x2 . En la figura 14, la recta x a es una asíntota vertical en cada uno de los cuatro casos mostrados. En general, es muy útil conocer las asíntotas verticales para trazar las gráficas. lím xla fx lím xla fx lím xla fx lím xla fx lím xla fx lím xla fx 6 (d) lím ƒ=_` a 0 x a+ x a_ (c) lím ƒ=_` 0 a (a) lím ƒ=` 0 a x a_ (b) lím ƒ=` a x a+ 0 FIGURA 14 y x y x y x y x lím xla fx lím xla fx lím xla fx lím xla fx lím xl0 1 x2 lím xla fx ∞ 5 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 95 0 x y x=a y=ƒ a FIGURA 13 lím ƒ=_` x a Al decir que un número es “negativo muy grande” significa que es negativo pero su magnitud (valor absoluto) es muy grande o considerablemente grande. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 95
- 144. EJEMPLO 9 Determine y . SOLUCIÓN Si x está en la vecindad de 3, pero es mayor que 3, entonces el denominador x 3 es un número positivo pequeño y 2x está cercano a 6. Así, el cociente 2xx 3 es un número positivo grande. En estos términos, ve intuitivamente que De manera similar, si x está cerca de 3 pero es más pequeña que 3, entonces x 3 es un número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo, cercano a 6. De esa manera, 2xx 3 es en su magnitud un número negativo grande. Por esto, La gráfica de la curva y 2xx 3 se ilustra en la figura 15. La recta x 3 es una asíntota vertical. EJEMPLO 10 Determine las asíntotas verticales de fx tan x. SOLUCIÓN Puesto que hay asíntotas verticales potenciales donde cos x 0. En efecto, como cos x l 0 cuando x l p2 y cos x l 0 cuando x l p2 , en vista de que sen x es positiva cuando x está cerca de p2, y Esto demuestra que la recta x p2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar muestra que las rectas x 2n 1p2, donde n es un entero, son asíntotas verticales de fx tan x. La gráfica de la figura 16 lo confirma. Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función loga- ritmo natural y ln x. A partir de la figura 17 y de este modo la recta x 0 (el eje y) es una asíntota vertical. En efecto, lo mismo se cumple para y loga x siempre que a 1. (Véase figuras 11 y 12 de la sección 1.6.) lím xl0 ln x lím x lp2 tan x lím x l 2 tan x tan x sen x cos x lím xl3 2x x 3 lím xl3 2x x 3 lím xl3 2x x 3 lím xl3 2x x 3 96 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 15 5 2x x-3 y= 0 x y x=3 _ _ x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 3π 2 FIGURA 16 y=tan x FIGURA 17 El eje y es una asíntota vertical de la función logaritmo natural. x 0 y 1 y=ln x EJERCICIOS 2.2 2. Explique qué se quiere dar a entender con y En esta situación ¿es posible que límxl 1 fx exista? Dé una explicación. lím xl 1 f x 7 lím xl 1 f x 3 1. Explique con sus propias palabras qué se quiere dar a entender mediante la ecuación ¿Es posible que se cumpla esta proposición y todavía f2 3? Dé una explicación. lím xl2 f x 5 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 96
- 145. SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 97 7. Para la función t cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si acaso existe. Si no existe, explique la razón. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) t2 (h) 8. En el caso de la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. (a) (b) (c) (d) (e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. lím xl3 Rx lím xl3 Rx lím xl5 R x lím xl2 R x y t 2 4 4 2 lím tl 4 t t lím tl 2 t t lím xl0 t t lím tl 2 t t lím tl 0 t t lím tl 0 t t lím tl 0 t t 3. Explique el significado de cada una de las expresiones siguientes. (a) (b) Para la función f cuya gráfica se proporciona, establezca el valor de cada cantidad, si existe. Si no la hay, explique por qué. (a) (b) (c) (d) (e) f3 5. Use la gráfica de f que se proporciona para establecer el valor de cada cantidad, si existe. Si no existe, explique por qué. (a) (b) (c) (d) (e) f5 6. Para la función h, cuya gráfica se da, determine el valor de cada cantidad, si existe. En caso que no exista explique por qué. (a) (b) (c) (d) h3 (e) (f) (g) (h) h0 (i) (j) h2 (k) (l) lím xl5 hx lím xl5 hx lím xl2 hx lím xl0 hx lím xl0 hx lím xl0 hx lím xl3 hx lím xl3 hx lím xl3 hx y 0 x 2 4 4 2 lím xl5 f x lím xl1 f x lím xl1 f x lím xl1 f x y 0 x 2 4 4 2 lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl0 f x 4. lím xl4 f x ∞ lím xl3 f x ∞ y 0 x 2 _2 _4 4 6 x y 0 2 5 _3 9. En el caso de la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. lím xl6 f x lím xl6 f x lím xl0 f x lím xl3 f x lím xl7 f x x y 0 6 _3 _7 10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medica- mento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad ft del CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 97
- 146. 98 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS medicamento en el torrente sanguíneo, después de t horas. y y explique el significado de estos límites laterales. ; Use la gráfica de la función fx 11 e1x para estable- cer el valor de cada límite, si es que existe. Si no existe dé la razón. (a) (b) (c) 12. Trace la gráfica de la función siguiente y úsela para determinar los valores de a para los cuales existe límxla fx si: 13–16 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas. 13. , , f 1 2 14. f2 1, f0 no está definida f3 3, f2 1 16. , , , f1 1, f4 1 17–20 Suponga el valor del límite (siempre y cuando exista) eva- luando la función en los números dados (con seis cifras decimales). 17. x 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 lím xl2 x2 2x x2 x 2 , lím xl4 f x 3 lím xl 4 f x 3 lím xl1 f x 3 lím xl2 f x 2, lím xl3 f x 2, lím xl3 f x 4, 15. lím xl2 f x 1, lím xl2 f x 0, lím xl0 f x 1, lím xl0 f x 1, lím x l1 fx 2 lím xl1 fx 2 fx 2x x x 1)2 si x 1 si 1 x 1 si x 1 lím xl0 f x lím xl0 f x lím xl0 f x 11. 4 8 12 16 t f(t) 150 0 300 lím tl12 f t lím tl12 f t 18. x 0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 0.999, 2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 19. , x 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 20. , x 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001 21–24 Mediante una tabla de valores estime el valor del límite. Si dispone de una calculadora o de una computadora para graficar, úsela para confirmar gráficamente sus resultados. 21. 22. 23. 24. 25–32 Determine el límite infinito. 25. 26. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Determine y (a) evaluando fx 1x3 1 para encontrar valores de x que se aproximen a 1 desde la izquierda y desde la derecha. (b) planteando un razonamiento como en el ejemplo 9 y ; (c) a partir de la gráfica de f. 34. (a) Determine las asíntotas verticales de la función ; (b) Confirme su respuesta del inciso (a) graficando la función. (a) Estime el valor del límite límxl 0 1 x1x hasta cinco cifras decimales. ¿Le resulta familiar este número? ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la función y 1 x1x . ; 36. (a) Grafique la función fx tan 4xx y realice un acerca- miento hacia el punto donde la gráfica cruza el eje y, estimar el valor de límxl0 fx. (b) Verificar su respuesta del inciso (a) evaluando fx para valores de x que se aproximan a cero. 35. y x2 1 3x 2x2 lím x l1 1 x3 1 lím x l1 1 x3 1 lím xl2 x2 2x x2 4x 4 lím x l2 x csc x lím xl cot x lím xl3+ lnx2 9 lím xl5 ex x 53 lím xl1 2 x x 12 27. lím x l3 x 2 x 3 lím x l3+ x 2 x 3 lím xl0 9x 5x x lím xl1 x6 1 x10 1 lím xl0 tan 3x tan 5x lím xl0 sx 4 2 x lím xl0 x lnx x2 lím xl0 ex 1 x x2 lím xl 1 x2 2x x2 x 2 , CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 98
- 147. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 99 37. (a) Evalúe la función fx x2 2x 1000 para x 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 y conjeture el valor de (b) Evalúe fx para x 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Conjeture de nuevo. 38. (a) Evalúe hx tan x xx3 para x 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 y 0.05 (b) Conjeture el valor de . (c) Evalúe hx para valores cada vez más pequeños de x hasta que finalmente llegue a valores 0 para hx. ¿Aún está seguro de que lo que conjeturó en el inciso (b) es correcto? Expli- que por qué obtuvo valores 0 en algún momento. (En la sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) ; (d) Dibuje la función h en el rectángulo de visualización 1, 1 por 0, 1 . A continuación haga un acercamiento hasta el punto en que la gráfica cruza el eje y para estimar el límite de hx conforme x se aproxima a 0. Prosiga con el acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados del inciso (c). ; 39. Grafique la función fx senpx del ejemplo 4 en el rec- tángulo de visión 1, 1 por 1, 1 . Después efectúe varias lím x l 0 tan x x x3 lím x l 0 x2 2x 1000 veces un acercamiento hacia el origen. Comente el comporta- miento de esta función. 40. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez de la luz. ¿Qué sucede cuando v l c ? ; 41. Estime mediante una gráfica las ecuaciones de todas las asíntotas verticales de la curva y tan2 sen x p x p Luego determine las ecuaciones exactas de estas asíntotas. ; (a) Use evidencia numérica y gráfica para conjeturar el valor del límite. (b) ¿Qué tan cerca de 1 tiene que estar x para asegurar que la función del inciso (a) esté dentro de una distancia 0.5 respecto de su límite? lím x l 1 x3 1 sx 1 42. m m0 s1 v2 c2 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES En la sección 2.2 usó calculadoras y gráficas para suponer los valores de los límites, pero fue claro que esos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección aplicará las siguientes propiedades de los límites, conocidas como leyes de los límites, pa- ra calcularlos. LEYES DE LOS LÍMITES Suponga que c es una constante y que los límites y existen. Entonces 1. 2. 3. 4. 5. lím xla f x tx lím xl a fx lím xl a tx si lím xl a tx 0 lím xla f xtx lím xla fx lím xla tx lím xla cfx c lím xla fx lím xla f x tx lím xl a fx lím xla tx lím xla f x tx lím xl a fx lím xla tx lím x la tx lím xl a fx 2.3 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 99
- 148. Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue LEY DE LA SUMA 1. El límite de una suma es la suma de los límites. LEY DE LA DIFERENCIA 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. LEY DE MÚLTIPLO CONSTANTE 3. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por el límite de la función LEY DEL PRODUCTO 4. El límite de un producto es el producto de los límites. LEY DEL COCIENTE 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea cero). Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si fx está cercano a L y tx lo está de M, resulta razonable concluir que fx tx está cercano a L M. Esto da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 aparece una defini- ción precisa de límite; la cual se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones de las leyes restantes se proporcionan en el apéndice F. EJEMPLO 1 Use las leyes de los límites y las gráficas de f y t de la figura 1 para evaluar los límites siguientes, si existen. (a) (b) (c) SOLUCIÓN (a) A partir de las gráficas de f y t, y Por lo tanto, (por la ley 1) (por la ley 3) 1 51 4 (b) Observe que límxl 1 fx 2. Pero límxl 1 tx no existe porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes: De suerte que no es posible usar la ley 4 para el límite deseado. Pero puede usar la ley 4 para los límites laterales: los límites izquierdo y derecho no son iguales, así límxl1 fxtx no existe. (c) Las gráficas muestran que y Ya que el límite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un número no cero. lím xl 2 tx 0 lím xl2 fx 1.4 lím xl1 f xtx 2 1 2 lím xl 1 f xtx 2 2 4 lím xl1 tx 1 lím xl1 tx 2 lím xl2 f x 5 lím xl2 tx lím x l2 f x 5tx lím xl 2 fx lím xl 2 5tx lím xl2 tx 1 lím xl 2 fx 1 lím xl2 f x tx lím xl1 f xtx lím xl2 f x 5tx 100 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 1 x y 0 f g 1 1 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 100
- 149. Si aplica la ley del producto repetidas veces, con tx fx, obtiene la ley siguiente: LEY DE LA POTENCIA 6. donde n es un entero positivo En la aplicación de estas seis leyes de los límites, necesita usar dos límites especiales: 7. 8. Estos límites son evidentes desde un punto de vista intuitivo (establézcalos verbalmente o dibuje y c y y x), pero demostraciones en términos de la definición precisa se piden en los ejercicios de la sección 2.4. Si en la ley 6 pone ahora fx x y aplica la Ley 8, obtiene otro límite especial útil. 9. donde n es un entero positivo Se cumple un límite similar para las raíces, como sigue. (En el caso de las raíces cua- dradas la demostración se esboza en el ejercicio 37 de la sección 2.4.) 10. donde n es un entero positivo (Si n es par, considere que a 0.) De modo más general, tiene la siguiente ley, que es verificada como una consecuencia de la ley 10 en la sección 2.5. LEY DE LA RAÍZ 11. donde n es un entero positivo Si n es par, suponga que EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso. (a) (b) SOLUCIÓN (a) (por las leyes 2 y 1) (por la 3) 252 35 4 (por las 9, 8 y 7) 39 2 lím xl5 x2 3 lím xl5 x lím xl5 4 lím xl5 2x2 3x 4 lím xl5 2x2 lím xl5 3x lím xl5 4 lím xl2 x3 2x2 1 5 3x lím xl5 2x2 3x 4 lím xla fx 0. lím xla s n fx) s n lím xla fx) lím x l a s n x s n a lím x l a xn an lím xla x a lím xla c c lím xla f x n [lím xla fx]n SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 101 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 101
- 150. (b) Empiece con la ley 5, pero su aplicación sólo se justifica plenamente en la etapa final, cuando los límites del numerador y del denominador existen, y este último no es 0. (por la ley 5) (por las 1, 2 y 3) (por las 9, 8 y 7) Si fx 2x2 3x 4, entonces f5 39. En otras palabras, habría obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitu- ción directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 son un polinomio y una función racional, respectivamente y el uso semejante de las leyes de los límites prueba que la sustitución directa siempre funciona para este tipo de funciones (vea los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente: PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN DIRECTA Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominio de f, entonces Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se estudian en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sus- titución directa, como los ejemplos siguientes hacen ver. EJEMPLO 3 Encuentre . SOLUCIÓN Sea fx x2 1x 1. No puede hallar el límite al sustituir x 1 porque f1 no está definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es 0. En lugar de ello, necesita algo de álgebra preliminar. Factorice el numerador como una diferencia de cuadrados: El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando toma el límite a medida que x tiende a 1, tiene x 1 y, por lo tanto, x 1 0. Por consiguiente, can- cele el factor común y calcule el límite como sigue: 1 1 2 El límite de este ejemplo surgió en la sección 2.1, cuando trató de hallar la tangente a la parábola y x2 en el punto 1, 1. En el ejemplo 3 fue capaz de calcular el límite sustituyendo la función dada fx x2 1x 1 por una función más sencilla, tx x 1, con el mismo límite. NOTA lím xl 1 x 1 lím xl1 x2 1 x 1 lím xl1 x 1x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1x 1 x 1 lím xl1 x2 1 x 1 lím xla fx f a NOTA 1 11 23 222 1 5 32 lím xl2 x3 2 lím xl2 x2 lím xl2 1 lím xl2 5 3 lím xl2 x lím xl2 x3 2x2 1 5 3x lím xl2 x3 2x2 1 lím xl2 5 3x 102 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Isaac Newton nació el día de Navidad, en 1642, el año en que murió Galileo. Cuando ingresó a la Universidad de Cambridge, en 1661, no sabía mucho de matemáticas, pero aprendió con rapidez leyendo a Euclides y Descartes y asistiendo a las conferencias de Isaac Barrow. Cambridge se cerró debido a la plaga de 1665 y 1666, y Newton regresó a casa a reflexionar en lo que había aprendido. Esos dos años fueron asombrosamente produc- tivos porque hizo cuatro de sus principales descubrimientos: 1) su representación de funciones como sumas de series infinitas, in- cluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal y 4) sus experimentos del prisma acerca de la naturaleza de la luz y del color. Debido a cierto temor a la controversia y a la crítica, se mostró renuente a publicar sus descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley, que publicó Principia Mathematica. En este trabajo, el tra- tado científico más grande jamás escrito, New- ton expuso su versión del cálculo y lo usó para investigar la mecánica, la dinámica de fluidos y el movimiento ondulatorio, así como para explicar el movimiento de los planetas y de los cometas. Los inicios del cálculo se encuentran en las operaciones para hallar las áreas y los volúme- nes que realizaron los antiguos eruditos grie- gos, como Eudoxo y Arquímedes. Aun cuando los aspectos de la idea de límite se encuentran implícitos en su “método de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explí- citamente el concepto de límite. Del mismo modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat y Barrow, los precursores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo, no usaron los lími- tes. Isaac Newton fue el primero en hablar ex- plícitamente al respecto. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las canti- dades “se acercan más que cualquier diferencia dada”. Newton expresó que el límite era el concepto básico del cálculo, pero fue tarea de matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar sus ideas acerca de los límites. NEWTON Y LOS LÍMITES CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 102
- 151. Esto es válido porque fx tx excepto cuando x 1, y al calcular un límite con- forme x se aproxima a 1 no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. En general tiene el hecho útil siguiente. Si fx tx cuando x a, entonces , en caso de que exista el límite. EJEMPLO 4 Encuentre , donde SOLUCIÓN En este caso, t está definida en x 1 y t1 p, pero el valor de un límite cuando x tiende a 1 no depende del valor de la función en 1. Como tx x 1 para x 1, Advierta que los valores de las funciones de los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x 1 (véase la figura 2), de modo que tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. EJEMPLO 5 Evalúe . SOLUCIÓN Si define en tal caso, como en el ejemplo 3, no puede calcular límhl 0 Fh haciendo h 0, ya que F0 no está definido. Pero si simplifica Fh algebraicamente, encuentra que (Recuerde que sólo se considera h 0 cuando se hace que h tienda a 0.) De este modo, EJEMPLO 6 Encuentre . SOLUCIÓN No puede aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el límite del deno- minador es 0. En el presente caso, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador: Este cálculo confirma lo que se conjeturó en el ejemplo 2 de la sección 2.2. lím tl0 1 st2 9 3 1 slím tl 0 t2 9 3 1 3 3 1 6 lím t l 0 t2 9 9 t2 (st2 9 3) lím t l 0 t2 t2 (st2 9 3) lím t l 0 st2 9 3 t2 lím t l 0 st2 9 3 t2 st2 9 3 st2 9 3 lím t l 0 st2 9 3 t2 lím h l 0 3 h2 9 h lím h l 0 6 h 6 Fh 9 6h h2 9 h 6h h2 h 6 h Fh 3 h2 9 h lím h l 0 3 h2 9 h V lím xl1 tx lím xl1 x 1 2 tx x 1 si x 1 si x 1 lím x l1 tx lím xl a f x lím xl a tx SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 103 y=© 1 2 3 1 x y 0 2 3 y=ƒ 1 2 3 1 x y 0 2 3 FIGURA 2 Las gráficas de las funciones f (del ejemplo 3) y g (del ejemplo 4) CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 103
- 152. Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por la iz- quierda y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Afirma que existe un límite bilateral si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales. TEOREMA si y sólo si Cuando calculamos un límite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los Límites también se cumplen para los límites de este tipo. EJEMPLO 7 Demuestre que . SOLUCIÓN Recuerde que Como x x para x 0, tiene Para x 0, tiene x x y, por consiguiente, En consecuencia, por el teorema 1, EJEMPLO 8 Compruebe que no existe. SOLUCIÓN Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, por el teorema 1 se concluye que límxl 0 x x no existe. La figura 4 muestra la gráfica de la función fx x x y apoya los límites laterales que encontró. EJEMPLO 9 Si determine si existe límxl 4 fx. SOLUCIÓN Puesto que para x 4, tiene lím x l 4 fx lím x l 4 sx 4 s4 4 0 f x sx 4 fx sx 4 8 2x si x 4 si x 4 lím x l 0 x x lím x l 0 x x lím x l 0 1 1 lím x l 0 x x lím x l 0 x x lím x l 0 1 1 lím x l 0 x x V lím x l 0 x 0 lím x l 0 x lím x l 0 x 0 lím x l 0 x lím x l 0 x 0 x x x si x 0 si x 0 lím x l 0 x 0 lím xla fx L lím xla fx lím x l a f x L 1 104 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Según la figura 3, el resultado del ejemplo 7 parece plausible. FIGURA 3 y x 0 y=|x| 1 _1 x y 0 y= |x| x FIGURA 4 Se demuestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4 que . límx l 0 sx 0 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 104
- 153. Puesto que fx 8 2x para x 4, tiene Los límites del lado derecho y del lado izquierdo son iguales. Por lo tanto, el límite existe y La gráfica de f se ilustra en la figura 5. EJEMPLO 10 La función mayor entero se define como x el entero más grande que es menor o igual que x. (Por ejemplo, 4 4, 4.8 4, p 3, , ) Demuestre que límxl3 x no existe. SOLUCIÓN En la figura 6 se muestra la gráfica de la función entero máximo. Puesto que x 3 para 3 x 4, tiene Dado que x 2 para 2 x 3, tiene En virtud de que estos límites unilaterales no son iguales, por el teorema 1, límxl3 x no existe. En los dos teoremas siguientes se dan dos propiedades adicionales de los límites. Sus demostraciones se proporcionan en el apéndice F. TEOREMA Si fx tx, cuando x está cerca de a (excepto posiblemente en a), y los límites de f y t existen cuando x tiende a a, entonces TEOREMA DE LA COMPRESIÓN Si fx tx hx, cuando x está cerca de a (excepto quizá en a) y entonces En la figura 7 se ilustra el teorema de la compresión, a veces conocido como teorema del emparedado o del apretón. Afirma que si tx se comprime entre fx y hx, cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, por lo tanto es forzoso que t tenga el mismo límite L en a lím x l a tx L lím x l a f x lím x l a hx L 3 lím x l a fx lím x l a tx 2 lím x l3 x lím x l3 2 2 lím x l3 x lím x l3 3 3 1 2 1. s2 1 lím x l 4 fx 0 lím x l 4 f x lím x l 4 8 2x 8 2 4 0 SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 105 0 x y a L f g h FIGURA 7 FIGURA 5 4 x y 0 y=[x] 1 2 3 1 2 3 4 4 5 x y 0 FIGURA 6 Función máximo entero Otras expresiones para x son x y . A la función entero máximo algunas veces se le llama la función piso. ⎣x⎦ CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 105
- 154. EJEMPLO 11 Demuestre que . SOLUCIÓN En primer lugar, note que no puede aplicar | porque límxl0 sen1x no existe (véase el ejemplo 4, en la sección 2.2). Sin embargo, como tiene, como se ilustra mediante la figura 8, Sabe que y Al tomar fx x2 , tx x2 sen 1x y hx x2 en el teorema de la compresión, obtiene lím x l 0 x2 sen 1 x 0 lím x l 0 x2 0 lím x l 0 x2 0 x2 x2 sen 1 x x2 1 sen 1 x 1 lím x l 0 x2 sen 1 x lím x l 0 x2 lím x l 0 sen 1 x lím x l 0 x2 sen 1 x 0 V 106 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y=≈ y=_≈ 0 x y FIGURA 8 y=≈ sen(1/x) EJERCICIOS 2.3 1. Dado que encuentre los límites que existan. Si el límite no existe, explique por qué. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2. Se dan las gráficas de f y t. Úselas para evaluar cada límite, si existe. Si el límite no existe, explique por qué. (a) (b) lím xl1 f x tx lím xl2 f x tx x 1 y y=ƒ 1 0 x y 1 y=© 1 lím xl2 txhx f x lím xl2 tx hx lím xl2 3fx tx lím x l2 sfx lím xl2 tx 3 lím xl2 f x 5tx lím xl2 hx 0 lím xl2 tx 2 lím xl2 fx 4 (c) (d) (e) (f) 3–9 Evalúe el límite y justifique cada etapa indicando la(s) ley(es) de los límites apropiada(s). 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. (a) ¿Qué está incorrecto en la ecuación siguiente? x2 x 6 x 2 x 3 lím x l 4 s16 x2 lím u l2 su4 3u 6 8. lím xl1 1 3x 1 4x2 3x4 3 lím tl1 t2 13 t 35 lím xl8 (1 s 3 x)2 6x2 x3 lím xl2 2x2 1 x2 6x 4 lím xl2 3x4 2x2 x 1 lím xl1 s3 f x lím xl2 x3 f x lím xl1 f x tx lím xl0 f xtx CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 106
- 155. SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES |||| 107 (b) En vista del inciso (a), explique por qué la ecuación es correcta. 11–30 Evalúe el límite, si existe. 11. 12. 13. 14. 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. ; 31. (a) Estime el valor de dibujando la función . (b) Haga una tabla de valores de fx para x cerca de 0 e intente el valor del límite. (c) Use las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta. ; 32. (a) Use una gráfica de para estimar el valor de límxl 0 fx hasta dos cifras decimales. (b) Use una tabla de valores de fx para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. (c) Utilice las leyes de los límites para hallar el valor exacto del límite. ; 33. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que límxl 0 x2 cos 20px 0. Ilustre dibujando las funciones f x s3 x s3 x f x x(s1 3x 1) lím xl0 x s1 3x 1 lím x l4 sx2 9 5 x 4 lím t l 0 1 ts1 t 1 t lím hl 0 3 h1 31 h lím x l16 4 sx 16x x2 lím tl 0 1 t 1 t2 t lím xl4 1 4 1 x 4 x lím xl 1 x2 2x 1 x4 1 lím xl7 sx 2 3 x 7 lím hl0 s1 h 1 h lím t l 9 9 t 3 st lím hl0 2 h3 8 h 20. lím x l2 x 2 x3 8 19. lím xl1 x3 1 x2 1 lím hl0 4 h2 16 h lím xl1 x2 4x x2 3x 4 lím tl3 t2 9 2t2 7t 3 15. lím xl 4 x2 4x x2 3x 4 lím xl2 x2 x 6 x 2 lím xl4 x2 5x 4 x2 3x 4 lím xl2 x2 x 6 x 2 lím xl2 x2 x 6 x 2 lím xl2 x 3 fx x2 , tx x2 cos 20px y hx x2 en la misma pantalla. ; 34. Aplique el teorema de la compresión para demostrar que Ilustre dibujando las funciones f, t y h (en la notación de ese teorema) en la misma pantalla. Si 4x 9 fx x2 4x 7 para x
- 156. 0, hallar el límxl 4 fx. 36. Si 2x tx x4 x2 2 para toda x, valorar el límxl 1 tx. 37. Demuestre que 38. Demuestre que . 39–44 Determine el límite, si acaso existe. Si el límite no existe ex- plique la razón. 40. 41. 42. 43. 44. 45. La función signum o signo se denota mediante sgn y se define como (a) Trace la gráfica de esta función. (b) Calcule cada uno de los límites siguientes o explique por qué no existe. (i) (ii) (iii) (iv) 46. Sea (a) Determine límxl 2 fx y límxl 2 fx. (b) ¿Existe límxl 2 fx? (c) Trace la gráfica de f. 47. Sea . (a) Encuentre (i) (ii) lím xl1 Fx lím xl1 Fx Fx x2 1 x 1 f x 4 x2 x 1 si x 2 si x 2 lím x l 0 sgn x lím x l 0 sgn x lím x l 0 sgn x lím x l 0 sgn x sgn x 1 0 1 si x 0 si x 0 si x 0 lím xl0 1 x 1 x lím xl01 x 1 x lím x l2 2 x 2 x lím x l0.5 2x 1 2x3 x2 lím xl6 2x 12 x 6 lím xl 3 (2x x 3 ) 39. lím xl0 sx esen x 0 lím xl0 x4 cos 2 x 0. 35. lím xl0 sx3 x2 sen x 0 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 107
- 157. 108 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (b) ¿Existe límxl1 Fx? (c) Trace la gráfica de F. 48. Sea (a) Evalúe cada uno de los límites siguientes, si es que existe. (i) (ii) (iii) t1 (iv) (v) (vi) (b) Trace la gráfica de t. (a) Si el símbolo denota la función mayor entero definida en el ejemplo 10, evalúe (i) (ii) (iii) (b) Si n es un entero, evalúe (i) (ii) (c) ¿Para cuáles valores de a existe límxla x? 50. Sea fx cos x, p x p. (a) Trace la gráfica de f (b) Evalúe cada límite, si es que existe. (i) (ii) (iii) (iv) (c) ¿Para cuáles valores de a existe límxla fx? 51. Si fx x x, demuestre que límxl2 fx existe pero no es igual a f2. 52. En la teoría de la relatividad, la fórmula de la contracción de Lorentz expresa la longitud L de un objeto como función de su velo- cidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre límvl c L e interprete el resultado. ¿Por qué se necesita un límite por la izquierda? 53. Si p es un polinomio, demuestre que límxla px pa. 54. Si r es una función racional, aplique el resultado del ejercicio 53 para demostrar que límxla rx ra, para todo número a en el dominio de r. L L0 s1 v2c2 lím xl 2 fx lím xl 2 fx lím xl 2 f x lím xl0 f x lím xln x lím xln x lím xl2.4 x lím xl2 x lím xl2 x 49. lím x l2 tx lím xl2 tx lím xl2 tx lím x l1 tx lím xl1 tx tx x 3 2 x2 x 3 si x 1 si x 1 si 1 x 2 si x 2 55. Si , hallar . 56. Si , hallar los límites que siguen. (a) (b) 57. Si demuestre que límxl 0 fx 0. Muestre por medio de un ejemplo que límxl a fx tx puede existir aunque no existan ni límxl a fx ni límxl a tx. 59. Muestre por medio de un ejemplo que límxl a fxtx puede existir aunque no existan ni límxl a fx ni límxl a tx. 60. Evalúe . ¿Hay un número a tal que exista? Si es así, encuentre los valores de a y del límite. 62. En la figura se muestra una circunferencia C1 con ecuación x 12 y2 1 y una circunferencia C2 que se contrae, con radio r y centro en el origen. P es el punto 0, r, Q es el punto superior de intersección de los dos círculos y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje x. ¿Qué le sucede a R al contraerse C2; es decir, cuando r l 0 ? x y 0 P Q C™ C¡ R lím x l2 3x2 ax a 3 x2 x 2 61. lím x l2 s6 x 2 s3 x 1 58. f x x2 0 si x es racional si x es irracional lím xl0 fx x lím xl0 fx lím xl0 fx x2 5 lím xl1 fx lím xl1 fx 8 x 1 10 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 108
- 158. DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE La definición intuitiva de límite que se presenta en la sección 2.2 es inaceptable en al- gunos casos porque son vagas las frases como “x se acerca a 2” y “fx se acerca más y más a L”. Con objeto de ser capaz de demostrar en forma concluyente que o bien se tiene que hacer una definición precisa de límite. Para motivar la definición precisa de límite considere la función Es evidente y claro que cuando x se acerca a 3 con x 3, entonces fx está cerca de 5 y así límxl3 fx 5. Con el fin de obtener más detalles con respecto a cómo varía fx cuando x se acerca a 3, se plantean las siguientes preguntas: ¿Qué tan cerca de 3 tiene que estar x para que fx difiera de 5 en menos de 0.1? La distancia de x a 3 es x 3 y la distancia desde fx a 5 es fx 5 , de modo que el problema es encontrar un número d tal que fx 5 0.1 si x 3 d pero x 3 Si x 3 0, entonces x 3, de modo que una formulación equivalente del problema es determinar un número d tal que fx 5 0.1 si 0 x 3 d Observe que si 0 x 3 0.12 0.05, entonces fx 5 2x 1 5 2x 6 2 x 3 0.1 es decir, fx 5 0.1 si 0 x 3 0.05 De este modo, una respuesta al problema lo da d 0.05; es decir, si x está dentro de una distancia de 0.05 desde 3, entonces fx estará dentro de una distancia de 0.1 desde 5. Si cambia la cantidad 0.1 del problema por una cantidad menor 0.01, entonces usando el mismo método se encuentra que fx difiere de 5 por menos de 0.01 siempre que x di- fiera de 3 en menos de (0.01)2 0.005: fx 5 0.01 si 0 x 3 0.005 De manera igual, fx 5 0.001 si 0 x 3 0.0005 Las cantidades 0.1, 0.01 y 0.001 son consideradas como tolerancias de error que podría per- mitir. Para que 5 sea el límite exacto de fx cuando x tiende a 3, tiene no sólo que ser capaz de llevar la diferencia entre fx y 5 por abajo de cada una de estas tres cantidades; tiene que f x 2x 1 6 si x 3 si x 3 lím x l 0 sen x x 1 lím x l 0 x3 cos 5x 10 000 0.0001 2.4 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 109 El uso de la letra griega d (delta) ya es una costumbre en esta situación. CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 109
- 159. conservar abajo a cualquier número positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si escribe e (la letra griega épsilon) para que represente un número positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes que fx 5 e si Ésta es una forma exacta de decir que f x está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque (1) establece que es posible hacer que los valores de f x queden dentro de una distancia arbitraria e a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia e2 a partir de 3 (pero x 3). Observe que otra forma de (1) es: si 3 d x 3 d x 3 en tal caso 5 e f x 5 e lo cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x 3 queden en el inter- valo 3 d, 3 d es posible hacer que los valores de f x se ubiquen en el intervalo 5 e, 5 e. Usando (1) como modelo, damos una definición precisa de límite. DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de fx cuando x tiende a a es L, se escribe si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que si 0 x a d entonces fx L e Puesto que x a es la distancia desde x hasta a y fx L es la distancia desde fx hasta L y como e puede ser arbitrariamente pequeño, la definición de límite se puede ex- presar en palabras como se indica a continuación: límxl a fx L quiere decir que la distancia entre fx y L puede hacerse pequeña en forma arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequeña (pero no 0). Otra posibilidad es límxl a fx L significa que los valores de f x pueden ser tan cercanos como quiera a L al hacer que x se acerque lo suficiente a a (pero que no sea igual a a). Asimismo, puede replantear la definición 2 en términos de intervalos si observa que la de- sigualdad x a d equivale a d x a d, que a su vez se puede escribir como a d x a d. También 0 x a es verdadera si y sólo si x a 0 es decir, x a. De manera similar, la desigualdad fx L e equivale al par de desigualdades L e fx L e. Por lo tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede plantear como sigue: límxl a fx L quiere decir que para todo e 0 (sin que importe lo pequeño que sea e) puede encontrar una d 0 tal que si x está en el intervalo abierto a d, a d y x a, entonces fx queda en el intervalo abierto L e, L e. La interpretación geométrica de este enunciado se consigue representando una función mediante un diagrama de flechas como en la figura 2, donde f mapea un subconjunto de en otro subconjunto de . lím x l a f x L 2 0 x 3 2 1 110 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 1 0 x y 5+∑ 5 5-∑ 3 3+∂ 3-∂ ƒ está aquí cuando x está aquí (x≠3) CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 110
- 160. La definición de límite establece que si cualquier intervalo pequeño L e, L e alrededor de L, entonces es posible encontrar un intervalo a d, a d alrededor de a tal que f mapea todos los puntos en a d, a d (excepto posiblemente en a) en el inter- valo L e, L e. Véase figura 3. Otra interpretación geométrica de los límites se puede hacer en términos de la grá- fica de la función. Si e 0 trace las rectas horizontales y L e y y L e y la gráfica de f (véase figura 4). Si límxla fx L, entonces se puede encontrar un número d 0 tal que si restringe a x a que quede en el intervalo a d, a d y hace x a, entonces la curva y fx está entre las rectas y L e y y L e. (Véase figura 5.) Usted puede ver que si se ha encontrado tal d en tal caso cualquier d más pequeña también funcionará. Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo e sin que importe qué tan pequeño sea. En la figura 6 se ilustra que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña. EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que si x 1 d entonces x3 5x 6 2 0.2 En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e 0.2 en la definición de límite para la función fx x3 5x 6 en donde a 1 y L 2. SOLUCIÓN Una gráfica de f se presenta en la figura 7; estamos interesados en la región cercana al punto 1, 2. Observe que puede volver a escribir la desigualdad x3 5x 6 2 0.2 como 1.8 x3 5x 6 2.2 FIGURA 3 a-∂ a ƒ a+∂ x f L-∑ L L+∑ FIGURA 2 x a f(a) ƒ f SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 111 FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6 a 0 x y y=L+∑ y=L-∑ a-∂ a+∂ L+∑ L-∑ 0 x y a y=L+∑ y=L-∑ a-∂ ∂ ∑ ∑ L cuando est aquí (x a) ƒ está aquí a 0 x y y=ƒ y=L+∑ y=L-∑ ∑ ∑ L FIGURA 7 15 _5 _3 3 CAPITULO-02-A 06/04/2009 18:35 Page 111
- 161. Necesitamos establecer los valores de x para los cuales la curva y x3 5x 6 se sitúa entre las horizontales y 1.8 y y 2.2. Por lo tanto, grafique las curvas y x3 5x 6, y 1.8 y y 2.2 cerca del punto 1, 2 en la figura 8. Luego utilice el cursor para estimar que la coordenada x del punto donde se cortan la recta y 2.2 y la curva y x3 5x 6 está por 0.911. De igual manera, y x3 5x 6 corta la recta y 1.8 cuando x 1.124. De este modo, al redondear para estar seguro, puede decir que si 0.92 x 1.12 entonces 1.8 x3 5x 6 2.2 Este intervalo 0.92, 1.12 no es simétrico con respecto a x 1. La distancia desde x 1 hasta el extremo izquierdo es 1 0.92 0.08 y la distancia hasta el extremo derecho es 0.12. Puede escoger d como el más pequeño de estos números, es decir, d 0.08. Luego puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue: si x 1 0.08 entonces x3 5x 6 2 0.2 Esto dice justamente que al mantener a x dentro del 0.08 de 1, es capaz de conservar a fx dentro de 0.2 de 2. Aunque seleccionamos d 0.08, cualquier valor positivo más pequeño de d habría funcionado. El procedimiento gráfico del ejemplo 1 ilustra la definición para e 0.2, pero no demues- tra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para cada e. Para mejorar los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número e. Después usted debe ser capaz de obtener una d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e 0, no sólo para una e en particular. Considere una contienda entre dos personas A y B, piense que usted es B. La persona A estipula que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de fx dentro de un grado de exactitud e (por ejemplo 0.01). Por lo tanto, la persona B responde determi- nando un número d tal que 0 x a d siempre que fx L e. Luego A podría volverse más exigente y desafiar a B con un valor más pequeño de e, por ejemplo, 0.0001. Una vez más, B tiene que responder encontrando una d correspondiente. Por lo regular, a medida que el valor de e es más pequeño, es menor el correspondiente valor de d. Si B siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces límxla fx L. EJEMPLO 2 Demuestre que . SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (adivinar un valor de d). Sea e un número positivo dado. Queremos encontrar un número d tal que si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e Pero 4x 5 7 4x 12 4x 3 4 x 3 . Por lo tanto, si 0 x 3 d entonces 4 x 3 e es decir, si 0 x 3 d entonces Esto hace pensar que debe escoger d e4. 2. Comprobación (presentación de que esta d funciona). Dado e 0, elija d e4. Si 0 x 3 d, entonces 4x 5 7 4x 12 4x 3 4 4 4 x 3 4 lím x l3 4x 5 7 V 112 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 8 y=˛-5x+6 y=2.2 y=1.8 (1, 2) 0.8 1.2 2.3 1.7 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 112
- 162. por lo tanto si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e Por lo tanto, de acuerdo con la definición de límite, Este ejemplo se ilustra en la figura 9. Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efectuó un análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, tu- vo que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Es- te procedimiento es característico de gran parte de la matemática. Algunas veces se necesita hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites unilaterales que se presentan en la sección 2.2 se pueden reformular exactamente como se señala a continuación DEFINICIÓN DE LÍMITE IZQUIERDO si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que si a d x a entonces fx L e DEFINICIÓN DE LÍMITE DERECHO si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que si a x a d entonces fx L e Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2 salvo que x está restrin- gida a estar en la mitad izquierda a d, a del intervalo a d, a d. En la defini- ción 4, x tiene que estar en la mitad derecha a, a d del intervalo a d, a d. EJEMPLO 3 Mediante la definición 4 demuestre que SOLUCIÓN 1. Adivinar un valor de d. Sea e un número positivo dado. Aquí a 0 y L 0, de modo que buscamos un número d tal que si 0 x d entonces es decir, si 0 x d entonces sx sx 0 lím x l 0 sx 0. V lím x l a fx L 4 lím x l a fx L 3 lím x l3 4x 5 7 SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 113 FIGURA 9 y 0 x 7+∑ 7 7-∑ 3-∂ 3+∂ 3 y=4x-5 Después de la invención del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, siguió un periodo de libre desa- rrollo de esta materia en el siglo XVIII. Matemáti- cos como los hermanos Bernoulli y Euler estaban ansiosos por explotar el poder del cálculo y exploraron con audacia las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática sin preocuparse mucho por si las demostraciones eran correctas del todo. En cambio, el siglo XIX fue la Época del Rigor en la matemática. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos de la materia –para proporcionar definiciones cuidadosas y demos- traciones. A la vanguardia de este movimiento se encontraba el matemático francés Augustin- Louis Cauchy (1789-1857), quien fue primero ingeniero militar antes de convertirse en profe- sor de matemáticas en París. Cauchy tomó la idea de límite de Newton, idea que el matemáti- co francés Jean d’Alembert había mantenido viva en el siglo XVIII y la hizo más exacta. Su defini- ción de límite era: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se aproximan indefini- damente a un valor fijo para terminar diferen- ciándose de éste por tan poco como uno quiere, esto se llama límite de todos los otros.” Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en ejemplos y demostraciones utilizaba a menudo desigualdades delta-épsilon similares a las de esta sección. Una demostración representativa de Cauchy inicia con: “Denótese mediante d y e dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba e de- bido a la correspondencia entre épsilon y la palabra francesa erreur. Posteriormente, el ma- temático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) estableció la definición de un límite exactamente como en la definición de este texto. CAUCHY Y LOS LÍMITES CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 113
- 163. o bien, al elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad , obtiene si 0 x d por lo tanto x e2 Esto lleva a pensar que debe elegir d e2 . 2. Demostración de que sí trabaja esta d. Dado e 0, sea d e2 . Si 0 x d, entonces de modo que De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que . EJEMPLO 4 Demuestre que . SOLUCIÓN 1. Adivinar un valor de d. Dado que e 0. Debe encontrar un número d 0 tal que si 0 x 3 d entonces x2 9 e Para relacionar x2 9 con x 3 escriba x2 9 x 3x 3 . Luego quiere si 0 x 3 d entonces x 3 x 3 e Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que x 3 C, entonces x 3 x 3 C x 3 y puede hacer C x 3 e tomando x 3 eC d. Puede determinar tal número C si restringe a x a quedar en un intervalo con centro en 3. En efecto, puesto que está interesado sólo en valores de x que estén cercanos a 3, es ra- zonable suponer que x está a una distancia 1 desde 3, es decir, x 3 1. Por lo tanto 2 x 4, de modo que 5 x 3 7. Así, x 3 7, y por eso C 7 es una elec- ción aceptable para la constante. Pero ahora ya hay dos restricciones en x 3 , a saber x 3 1 y Para tener la certeza de que ambas desigualdades se cumplen, haga que d sea la más pequeña de los dos números 1 y e7. La notación para esto es d mín1, e7
- 164. . 2. Demostración de que esta d funciona. Dado e 0, sea d mín1, e7
- 165. . Si 0 x 3 d, entonces x 3 1 ? 2 x 4 ? x 3 7 (como en la parte 1). También tiene que x 3 e7, de modo que Esto demuestra que límxl3 x2 9. Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que son verdaderos los enunciados de límite usando la definición e, d. En efecto, si tiene una función más complicada como fx 6x2 8x 92x2 1, una demostración requeriría una gran x2 9 x 3x 3 7 7 x 3 C 7 lím xl 3 x2 9 límx l 0 sx 0 sx 0 sx s s2 sx 114 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 114
- 166. cantidad de ingenio. Por fortuna esto es innecesario porque las leyes de los límites es- tablecidas en la sección 2.3 se demuestran usando la definición 2 y luego los límites de funciones complicadas se pueden determinar en forma rigurosa a partir de las leyes de los límites sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo la ley de la suma: si existen tanto límxl a fx L como límxla tx M entonces Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Se proporciona e 0. Es necesario determinar d 0 tal que si 0 x a d entonces fx tx L M e Si usa la desigualdad triangular puede escribir Haga que fx tx L M sea menor que e dejando que los términos fx L y tx M sean menores que e2. Puesto que e2 0 y límxl a fx L, existe un número d1 0 tal que si 0 x a d1 entonces De manera similar, puesto que límxl a tx M, existe un número d2 0 tal que si 0 x a d2 entonces Sea mín1, 2
- 167. . Observe que si 0 x a d entonces 0 x a d1 y 0 x a d2 de modo que y Por lo tanto, de acuerdo con (5) fx tx L M fx L tx M Para resumir, si 0 x a d entonces fx tx L M e De esta manera, según la definición de límite, lím x l a f x tx L M 2 2 tx M 2 fx L 2 tx M 2 fx L 2 fx L tx M fx tx L M f x L tx M 5 lím x l a f x tx L M SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 115 Desigualdad triangular a b a b (Véase apéndice A.) CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 115
- 168. LÍMITES INFINITOS Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta. La que sigue es una ver- sión exacta de la definición 4 de la sección 2.2. DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto tal vez en a misma. Entonces, quiere decir que para todo número positivo M hay un número positivo d tal que si 0 x a d entonces fx M Esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número dado M) al acercar x lo suficiente a a (a una distancia d, donde d depende de M, pero x a). Una representación geométrica se ilustra en la figura 10. Dada una línea horizontal y M, puede hallar un número d 0 tal que si restringe a que x se sitúe en el intervalo a d, a d donde x a, entonces la curva y fx queda por arriba de la recta y M. Se puede ver si escoge una M más grande, entonces se requeriría una d más pequeña. EJEMPLO 5 Aplique la definición 6 para demostrar que . SOLUCIÓN Sea M un número positivo determinado. Busca un número d tal que si 0 x d entonces 1x2 M Pero fi fi Si seleccionamos y 0 x , entonces 1x2 M. Esto demuestra que 1x2 l cuando x l 0. La que sigue es una versión exacta de la definición 5 de la sección 2.2. Se ilustra en la figura 11. DEFINICIÓN Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente para a misma. Entonces quiere decir que para todo número negativo N hay un número positivo d tal que si 0 x a d entonces fx N lím x l a f x 7 1sM 1sM x 1 sM x2 1 M 1 x2 M lím x l 0 1 x2 V lím x l a f x 6 116 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 10 0 x y y=M M a a+∂ a-∂ FIGURA 11 y y=N 0 x N a a+∂ a-∂ CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 116
- 169. SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 117 ; 5. Por medio de una gráfica determine un número d tal que si entonces tan x 1 0.2 ; 6. Con la ayuda de una gráfica determine un número d tal que si x 1 d entonces ; 7. Para el límite ilustre la definición 2 calculando valores de d que correspon- den a e 1 y e 0.1. ; 8. Para el límite ilustre la definición 2 determinando valores de d que corres- ponden a e 0.5 y e 0.1. ; 9. Teniendo en cuenta que el límxlp2 tan2 x , explicar la definición 6 hallando valores de d que corresponda (a) M 1 000 y (b) M 10 000. ; 10. Utilice una gráfica para hallar un número d tal que si 5 x 5 d entonces 11. Se requiere un tornero para fabricar un disco circular de metal cuya área sea de 1 000 cm2 . (a) ¿Qué radio produce dicho disco? (b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio ideal del inciso (a) debe el tornero controlar el radio? (c) Según la definición e, d de límxla fx L, ¿qué es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? x2 sx 5 100 lím xl 0 e x 1 x 1 lím xl 1 4 x 3x3 2 2x x2 4 0.4 0.1 x 4 x y ? 1 ? 0 1.5 1 0.5 y=≈ 1. Utilice la gráfica dada de fx 1x para calcular un número d tal que si x 2 d en seguida 2. Utilice la gráfica dada de f para determinar un número d tal que si 0 x 5 d en consecuencia fx 3 0.6 Mediante la gráfica dada de hallar un número d tal que si x 4 d por lo tanto 4. Con la gráfica dada de fx x2 encuentre un número d tal que si x 1 d después x2 1 1 2 ? ? y=œ„ œ œx œ œ x y 4 0 2 2.4 1.6 sx 2 0.4 f x sx 3. 4 5.7 x y 5 0 3 3.6 2.4 10 3 10 7 y= 1 x x y 2 0 1 0.5 0.7 0.3 1 x 0.5 0.2 EJERCICIOS 2.4 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 117
- 170. 118 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 33. Compruebe que otra elección posible de d es demostrar que límxl3 x2 9 en el ejemplo 4 es d mín 2, e8
- 171. . 34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección más grande posible de d para demostrar que límxl3 x2 9 es . 35. (a) En el caso del límite límxl1 x3 x 1 3, determine un valor de d mediante una gráfica que corresponde a e 0.4. (b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin de resolver la ecuación cúbica x3 x 1 3 e, y determinar el valor más grande posible de d que funciona para cualquier e 0. (c) Use e 0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con su respuesta del inciso (a). 36. Demuestre que . Demuestre que si a 0. 38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6 de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no existe el límtl0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga en la definición de un límite e intente llegar a una contradicción.] 39. Si la función f se define mediante demuestre que límxl 0 fx no existe. 40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4 demuestre el teorema 1 de la sección 2.3. 41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que 42. Demuestre aplicando la definición 6 que . Demuestre que . 44. Suponga que límxla fx y límxla tx c, donde c es un número real. Demuestre cada proposición. (a) (b) si c 0 (c) si c 0 lím x l a f xtx lím x l a f xtx lím x l a f x tx lím xl 0 ln x 43. lím x l3 1 x 34 1 x 34 10 000 f x 0 1 si x es racional si x es irracional 1 2 Sugerencia: utilice |sx sa | x a sx sa . lím x l a sx sa 37. lím x l2 1 x 1 2 CAS s9 3 ; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investiga- ción para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se representa con Tw 0.1w2 2.155w 20 donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada de potencia en watts. (a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura a 200°C? (b) Si se permite una variación de temperatura de hasta 1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en watts se permite para la potencia de entrada? (c) De acuerdo con la definición e, d de límxla fx L, ¿qué es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? 13. (a) Hallar un número d tal que si x 2 d, por lo tanto 4x 8 e, donde e 0.1. (b) Repetir el inciso (a) con e 0.01. 14. Teniendo en cuenta que el límxl 2 5x 7 3, explicar la definición 2 hallando valores de d que corresponda a e 0.1, e 0.05 y e 0.01. 15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite e ilustre con un diagrama como el de la figura 9. 15. 16. 18. 19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 26. 27. 28. 30. 32. lím x l2 x3 8 lím x l2 x2 1 3 31. lím x l3 x2 x 4 8 lím x l2 x2 4x 5 1 29. lím xl9 s 4 9 x 0 lím x l 0 x 0 lím x l 0 x3 0 lím x l 0 x2 0 25. lím x l a c c lím x l a x a lím x l1.5 9 4x2 3 2x 6 lím x l2 x2 x 6 x 2 5 lím x l 6 x 4 3 9 2 lím x l3 x 5 3 5 lím x l 4 7 3x 5 lím x l 3 1 4x 13 17. lím xl2 (1 2 x 3) 2 lím x l 1 2x 3 5 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 118
- 172. CONTINUIDAD En la sección 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el límite de una función cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funcio- nes con esta propiedad son continuas en a. Ahora verá que la definición matemática de continuidad corresponde íntimamente al significado de la palabra continuidad en el lengua- je cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupción ni cambio abrupto.) DEFINICIÓN Una función f es continua en un número a si Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: 1. fa está definido (es decir, a está en el dominio de f) 2. existe 3. La definición afirma que f es continua en a si fx tiende a fa cuando x tiende a a. Así, una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una pequeña alteración en fx. De hecho, el cambio en fx se puede mantener tan pequeño co- mo desee, restringiendo el cambio en x lo necesario. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto que contiene a, excepto tal vez en a), f es discontinua en a (o f tiene una discontinui- dad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velo- cidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatu- ra de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como las corrientes eléctricas. Vea el ejemplo 6, de la sección 2.2, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque límtl 0 Ht no existe. Geométricamente, una función continua en todo número en un intervalo se puede con- cebir como una función cuya gráfica no se interrumpe. La gráfica se puede trazar sin le- vantar la pluma del papel. EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f discontinua? ¿Por qué? SOLUCIÓN Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a 1 porque la gráfica tiene una ruptura allí. La razón oficial de que f sea discontinua en 1 es que f1 no está definido. La gráfica también tiene una ruptura cuando a 3, pero la razón de la discontinuidad es diferente. En este caso, f3 está definido, pero límxl3 fx no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo tanto, f es discontinua en 3. ¿Qué pasa cuando x 5? En tal caso, f5 está definido y límxl5 fx existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero De este modo, f es discontinua en 5. Observe ahora cómo detectar las discontinuidades cuando una fórmula define a la función. lím xl5 fx f 5 lím xla fx f a lím xla fx lím xla fx f a 1 2.5 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 119 f(a) x 0 y a y=ƒ ƒ tiende a f(a). Conforme x se aproxima a a, FIGURA 1 FIGURA 2 y 0 x 1 2 3 4 5 Como se ilustra en la figura 1, si f es continua, después los puntos x, fx de la gráfica de f tienden al punto a, fa de la gráfica. Así, no hay brecha alguna en la curva. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 119
- 173. EJEMPLO 2 ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes? (a) (b) (c) (d) fx x SOLUCIÓN (a) Advierta que f2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante verá por qué es continua en todos los otros números. (b) En este caso, f0 1 está definido pero no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0. (c) En este caso f2 1 está definido y existe. Pero por eso, f no es continua en 2. (d) La función mayor entero fx x tiene discontinuidades en todos los enteros porque límxln x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de la sección 2.3.) En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agu- jero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al redefinir f justo en el número único 2. [La función tx x 1 es continua.] La disconti- nuidad del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a otro. 1 2 3 1 x y 0 (d) ƒ=[x] 1 2 1 x y 0 (c) ƒ= si x≠2 1 si x=2 ≈-x-2 x-2 (b) ƒ= si x≠0 1 si 1 x=0 1 x y 0 1 2 x y 0 1 (a) ƒ= ≈-x-2 x-2 FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2 ≈ lím x l2 fx f 2 lím x l2 fx lím x l2 x2 x 2 x 2 lím x l2 x 2x 1 x 2 lím x l2 x 1 3 lím x l 0 fx lím x l 0 1 x2 fx x2 x 2 x 2 si x 2 1 si x 2 fx 1 x2 si x 0 1 si x 0 fx x2 x 2 x 2 V 120 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 120
- 174. DEFINICIÓN Una función f es continua desde la derecha en un número a si y f es continua desde la izquierda en a si EJEMPLO 3 En cada entero n, la función fx x véase la figura 3(d) es continua des- de la derecha pero discontinua desde la izquierda porque pero DEFINICIÓN Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo. (Si f se define únicamente en un lado de un punto ex- tremo del intervalo, continua quiere decir continua desde la derecha o continua desde la izquierda.) EJEMPLO 4 Demuestre que la función es continua sobre el intervalo 1, 1 . SOLUCIÓN Si 1 a 1 entonces, al aplicar las leyes de los límites (por las leyes 2 y 7) (por la ley 11) (por las leyes 2, 7 y 9) fa De suerte que por la definición 1, f es continua en a si 1 a 1. Cálculos similares hacen ver que y de modo que f es continua desde la derecha en 1 y continua desde la izquierda en 1. Por consiguiente, según la definición 3, f es continua sobre 1, 1 . En la figura 4 se ilustra la gráfica de f. Es la mitad inferior de la circunferencia x2 y 12 1 En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para comprobar la continuidad de una función, como en el ejemplo 4, a menudo resulta conveniente aplicar el teorema siguiente, el cual muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de fun- ciones sencillas. lím xl1 fx 1 f 1 lím xl1 fx 1 f1 1 s1 a2 1 slim x l a 1 x2 1 lím x l a s1 x2 lím x l a f x lím x l a (1 s1 x2 ) fx 1 s1 x2 3 lím xln fx lím xln x n 1 fn lím xln fx lím xln x n f n lím xla fx f a lím xla fx f a 2 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 121 1 -1 1 x y 0 ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈ FIGURA 4 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 121
- 175. TEOREMA Si f y t son continuas en a y c es una constante, entonces las funcio- nes siguientes también son continuas en a: 1. f t 2. f t 3. cf 4. ft 5. si ta 0 DEMOSTRACIÓN Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de los lí- mites correspondiente de la sección 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto que f y t son continuas en a, y En consecuencia, (por la Ley 1) fa ta f ta Esto muestra que f t es continua en a. Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y t son continuas sobre un intervalo, también lo son las funciones f t, f t, cf, ft y (si t nunca es 0) ft. En la sección 2.3 se enunció el siguiente teorema como propiedad de sustitución directa. TEOREMA (a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre , . (b) Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es continua en su dominio. DEMOSTRACIÓN (a) Un polinomio es una función de la forma donde c0, c1, . . . , cn son constantes. Sabe que (por la ley 7) y m 1.2, . . . , n (por la ley 9) Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función fx xm es una función continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la función tx cxm es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, a partir de la parte 1 del teorema 4 se deduce que P es continua. lím x l a xm am lím x l a c0 c0 Px cn xn cn1xn1 c1x c0 5 lím x l a f x lím x l a tx lím x l a f tx lím x l a f x tx lím x l a tx ta lím x l a fx f a f t 4 122 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 122
- 176. (b) Una función racional es una función de la forma donde P y Q son polinomios. El dominio de f es D x Qx 0
- 177. . Sabe, del in- ciso (a), que P y Q son continuas en todas partes. De esta manera, f es continua en todo número en D, de acuerdo con la parte 5 del teorema 4. Como ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamen- te con su radio porque la fórmula hace ver que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si se lanza una pelota verticalmente en el aire, con una velocidad de 50 fts, después la fórmula h 50t 16t2 expresa la altura de la pelota, en pies, después de t segundos. De nuevo, es una función polinomial, de modo que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. Saber cuáles funciones son continuas permite evaluar algunos límites con mucha rapidez, como demuestra el ejemplo siguiente. Compárelo con el ejemplo 2(b) de la sec- ción 2.3. EJEMPLO 5 Encuentre . SOLUCIÓN La función es racional, de modo que por el teorema 5 es continua sobre su dominio, el cual es . En consecuencia Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número en su dominio. Por ejemplo, la ley de los límites 10 (página 110) es exactamente la propo- sición de que las funciones raíz son continuas. Con base en el aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 18, en la sección 1.2), podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la defini- ción de sen u y cos u sabe que las coordenadas del punto P de la figura 5 son cos u, sen u. Cuando u l 0, P tiende al punto 1, 0 y, por consiguiente, cos u l 1 y sen u l 0. De esta manera Como cos 0 1 y sen 0 0, las ecuaciones dadas en (6) afirman que las funciones seno y coseno son continuas en 0. Por lo tanto se pueden aplicar las fórmulas de la adición pa- ra coseno y seno para deducir que estas funciones son continuas en todas partes (véase los ejercicios 56 y 57). De la parte 5 del teorema 4, se deduce que tan x sen x cos x lím l 0 cos 1 lím l 0 sen 0 6 23 222 1 5 32 1 11 lím x l2 x3 2x2 1 5 3x lím x l2 fx f 2 {xx 5 3} fx x3 2x2 1 5 3x lím xl2 x3 2x2 1 5 3x Vr 4 3 r3 fx Px Qx SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 123 Otra forma de establecer los límites en (6) es usar el teorema de la compresión con la desigualdad sen u u (para u 0), lo cual se prueba en la sección 3.3. ¨ 1 x 0 y (1, 0) P(cos ¨, sen ¨) FIGURA 5 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 123
- 178. es continua excepto donde cos x 0. Esto sucede cuando x es un múltiplo impar de p2, de modo que y tan x tiene discontinuidades infinitas cuando x p2, 3p2, 5p2, y así sucesivamente (véase la figura 6). La función inversa de cualquier función uno a uno continua también es continua. (Este hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razo- nable: La gráfica de f1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y x. Tam- bién, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f1 .) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.5 se definió la función exponencial y ax de modo que se llenaran los agujeros en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple definición de y ax la hace una función continua sobre . Por lo tanto, su función inversa y loga x es continua sobre 0, . TEOREMA Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo número en sus dominios: polinomios funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales funciones logarítmicas EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función ? SOLUCIÓN Por el teorema 7, sabe que la función y ln x es continua para x 0 y que y tan1 x es continua sobre . Así, por la parte 1 del teorema 4, y ln x tan1 x es continua sobre 0, . El denominador, y x2 1, es un polinomio, de modo que es continuo en todas partes. Por lo tanto, por la parte 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2 1 0. De este modo, f es continua en los intervalos 0, 1 y 1, . EJEMPLO 7 Hallar el valor numérico del . SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y sen x es continua. La función en el denominador, y 2 cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua. Dese cuenta que esta función jamás es cero porque cos x
- 179. 1 para toda x y también 2 cos x 0 en todas partes. En estos términos la relación es continua en todas partes. Por lo tanto, mediante la definición de función continua, Otra manera de combinar las funciones continuas f y t para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f t. Este hecho es una consecuencia del teorema siguiente. lím xl sen x 2 cos x lím xl fx f sen 2 cos 0 2 1 0 fx sen x 2 cos x lím x l sen x 2 cos x f x ln x tan1 x x2 1 7 124 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En la sección 1.6 se hace un repaso de las funciones trigonométricas inversas. _ _ x y π 0 _π 1 π 2 3π 2 π 2 3π 2 FIGURA 6 y=tan x CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:38 Page 124
- 180. TEOREMA Si f es continua en b y entonces En otras palabras, A nivel intuitivo, este teorema resulta razonable porque si x está cerca de a, después tx está cerca de b y como f es continua en b, si tx está cerca de b, en seguida ftx está cerca de fb. Una demostración del teorema 8 se proporciona en el apéndice F. EJEMPLO 8 Evalúe . SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8: Aplique el teorema 8 en el caso especial donde , y n es un entero positivo. Entonces y Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Supone que las raíces existen.) TEOREMA Si t es continua en a y f es continua en ta, entonces la función compuesta f t dada por f tx ftx es continua en a. A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función conti- nua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como t es continua en a Como f es continua en b ta, puede aplicar el teorema 8 para obtener lím x l a f tx fta lím x l a tx ta 9 s n lím xla tx lím x l a s n tx s n lím xla tx f (lím x l a tx) f tx s n tx fx s n x arcsen 1 2 6 arcsenlím xl1 1 1 sx arcsenlím xl1 1 sx (1 sx)(1 sx) lím xl1 arcsen1 sx 1 x arcsenlím x l1 1 sx 1 x lím xl1 arcsen1 sx 1 x lím x l a f tx f (lím x l a tx) lím xla ftx fb. lím xla tx b, 8 SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 125 Este teorema expresa que se puede mover un símbolo de límite a través de un símbolo de función, si la función es continua y el límite existe. En otras palabras, se puede invertir el orden de estos dos símbolos. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 125
- 181. que es precisamente la proposición de que la función hx ftx es continua en a; es decir, f t es continua en a. EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las funciones siguientes? (a) hx senx2 (b) Fx ln1 cos x SOLUCIÓN (a) Tiene hx ftx donde tx x2 y fx sen x Ahora t es continua sobre , puesto que es un polinomio, y f también es continua en todas partes. Por consiguiente, h f t es continua sobre por el teorema 9. (b) Con base en el teorema 7, sabe que fx ln x es continua y tx 1 cos x es continua (porque tanto y 1 como y cos x son continuas). Por lo tanto, del teorema 9, Fx ftx es continuo siempre que esté definido. Ahora bien, ln 1 cos x está definido cuando 1 cos x 0. De este modo, no está definido cuando cos x 1, y esto sucede cuando x p, 3p, .... Por esto, F tiene discontinuidades cuando x es un múlti- plo impar de p y es continua sobre los intervalos entre estos valores. (Véase la figura 7.) Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Suponga que f es continua sobre el inter- valo cerrado a, b y sea N cualquier número entre fa y fb, donde fa fb. Entonces existe un número c en a, b tal que fc N. El teorema del valor intermedio afirma que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función fa y fb. Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N se puede tomar una vez como en la parte a o más de una vez como en la parte (b) . Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene agujeros o rupturas, en tal caso es fácil creer que el teorema del valor intermedio es cierto. En tér- minos geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y N entre y fa y y fb, como en la figura 9, por lo tanto la gráfica de f no puede saltar sobre la recta. Debe intersecar y N en alguna parte. Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 44). Un uso del teorema del valor intermedio es hallar las raíces de ecuaciones, como en el ejemplo siguiente. (b) 0 x y f(b) N f(a) a c£ b y=ƒ c™ c¡ (a) 0 x y f(b) N f(a) a c b y=ƒ FIGURA 8 10 V 126 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 7 y=ln(1+cos x) 2 _6 _10 10 b 0 x y f(a) N f(b) a y=ƒ y=N FIGURA 9 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 126
- 182. EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x3 6x2 3x 2 0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea fx 4x3 6x2 3x 2. Busca una solución de la ecuación dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que fc 0. Por lo tanto, en el teorema 10, toma a 1, b 2 y N 0. Tiene f1 4 6 3 2 1 0 y f2 32 24 6 2 12 0 Por esto, f 1 0 f 2; es decir, N 0 es un número entre f 1 y f 2. Ahora bien, f es continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que existe un número c entre 1 y 2 tal que f c 0. En otras palabras, la ecuación 4x3 6x2 3x 2 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo 1, 2. De hecho, podemos localizar una raíz con mayor precisión aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Puesto que f1.2 0.128 0 y f1.3 0.548 0 una raíz se debe encontrar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por tanteos, f1.22 0.007008 0 y f1.23 0.056068 0 de modo que una raíz se encuentra en el intervalo 1.22, 1.23. Use una calculadora graficadora o una computadora para ilustrar la aplicación del teo- rema del valor intermedio en el ejemplo 10. En la figura 10 se muestra la gráfica de f en rectángulo de visualización 1, 3 por 3, 3 y se puede ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. En la figura 11 se muestra el resultado de realizar un acercamiento hacia la pantalla 1.2, 1.3 por 0.2, 0.2 . De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un papel en la manera en que funcionan estos aparatos graficadores. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y hace aparecer los pixeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos pun- tos consecutivos. En consecuencia, la computadora une los pixeles al hacer aparecer los pixeles intermedios. 0.2 _0.2 1.2 1.3 FIGURA 11 FIGURA 10 3 _3 _1 3 V SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 127 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 127
- 183. 128 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (d) El costo de un viaje en taxi como función de la distancia recorrida. (e) La corriente en el circuito para las luces de una habitación como función del tiempo. 9. Si f y t son funciones continuas con f3 5 y , encuentre t3. 10–12 Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el número a dado. 10. , a 4 , a 1 12. , a 1 13–14 Use la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en el intervalo 13. , 2, 14. , , 3 . 15–20 Explique por qué la función es discontinua en el punto dado a. Dibuje la gráfica de la función. 15. a 2 16. a 1 17. a 0 a 1 19. a 0 20. a 3 21–28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por qué la función es continua en todo número en su dominio. Dé el dominio. 21. 22. Gx s 3 x 1 x3 Fx x x2 5x 6 fx 2x2 5x 3 x 3 6 si x 3 si x 3 fx cos x 0 1 x2 si x 0 si x 0 si x 0 f x x2 x x2 1 1 si x 1 si x 1 18. f x ex x2 si x 0 si x 0 f x 1 x 1 2 si x 1 si x 1 f x ln x 2 tx 2s3 x f x 2x 3 x 2 ht 2t 3t2 1 t3 f x x 2x3 4 11. f x x2 s7 x límx l 3 2 f x tx 4 1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función f es continua en el número 4. 2. Si f es continua sobre , , ¿qué puede decir acerca de su gráfica? (a) A partir de la gráfica de f, establezca el número al cual f es discontinua y explique por qué. (b) Para cada uno de los números que se determinaron en el inciso (a), determine si f es continua desde la derecha, desde la izquierda o desde ninguno de los dos lados. 4. A partir de la gráfica de t, dé los intervalos sobre los que t es continua. 5. Trace la gráfica de una función que sea continua en todas partes, excepto en x 3, y sea continua desde la izquierda en 3. 6. Dibuje una función que tenga una discontinuidad de salto en x 2 y una discontinuidad removible en x 4, pero que sea continua en todas las demás partes. En un lote de estacionamiento se cobran $3 por la primera hora (o fracción) y $2 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo diario de $10. (a) Dibuje el costo de estacionar un automóvil en este lote, como función del tiempo que permanezca allí. (b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que estacione su automóvil en el lote. 8. Explique por qué cada función es continua o discontinua. (a) La temperatura en un lugar específico como función del tiempo. (b) La temperatura en un momento dado como función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York (c) La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York. 7. y x _4 2 4 6 _2 8 y x _4 2 4 6 _2 0 3. EJERCICIOS 2.5 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 128
- 184. SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 129 ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre , ? 42. Hallar el valor de a y b que hace a f continua en todas partes fx 43. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad removible en a? Si la discontinuidad es removible, determine una función t que concuerde con f para x a y es continua en . (a) , a 1 (b) , a 2 (c) fx sen x, a p 44. Suponga que una función f es continua sobre 0, 1 , excepto en 0.25, y que f 0 1 y f 1 3. Sea N 2. Trace dos gráficas posibles de f, una en que se muestre que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del valor intermedio y la otra que muestre que f todavía podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 45. Si fx x2 10 sen x, demuestre que hay un número c tal que fc 1 000. 46. Considere que f es continua en 1, 5 y la única solución de f x 6 son x 1 y x 4. Si f2 8, explique ¿por qué f3 6? 47–50 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación dada en el intervalo especificado. x4 x 3 0, 1, 2 48. , 0, 1 49. cos x x, 0, 1 50. ln x ex , 1, 2 51–52 (a) Compruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz real. (b) Use su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. 51. cos x x3 52. ln x 3 2x ; 53–54 (a) Pruebe que la ecuación tiene cuando menos una raíz real. (b) Utilice su dispositivo graficador para encontrar la raíz correcta hasta tres cifras decimales. 100ex100 0.01x2 54. arctan x 1 x 53. s 3 x 1 x 47. f x x3 x2 2x x 2 f x x4 1 x 1 x2 4 x 2 ax2 bx 3 2x a b si x 2 si 2 x 3 si x 3 f x cx2 2x x3 cx si x 2 si x 2 41. 23. 24. 25. Lt e5t cos 2pt 26. 28. ; 29–30 Localice las discontinuidades de la función e ilústrelas tra- zando una gráfica. 30. 31–34 Aplique la continuidad para evaluar el límite. 31. 33. 34. 35–36 Demuestre que f es continua sobre , . 35. 36. 37–39 Determine los números en los que f es discontinua. ¿En cuáles de estos valores f es continua por la derecha, por la iz- quierda o no lo es ni por la derecha ni por la izquierda? Trace la gráfica de f. 37. 38. 40. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿F es una función continua de r? Fr GMr R3 GM r2 si r R si r R f x x 2 ex 2 x si x 0 si 0 x 1 si x 1 39. f x x 1 1x sx 3 si x 1 si 1 x 3 si x 3 f x 1 x2 2 x x 22 si x 0 si 0 x 2 si x 2 f x sen x si x 4 cos x si x 4 f x x2 si x 1 sx si x 1 lím xl2 arctan x2 4 3x2 6x lím xl1 ex2 x lím xl senx sen x 32. lím xl4 5 sx s5 x y lntan2 x y 1 1 e1x 29. Hx cos(esx ) Gt lnt4 1 27. Fx sen1 x2 1 hx sen x x 1 Rx x2 s2x 1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 129
- 185. LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se dejó que x se aproximara a un número y el resultado es que los valores de y se vuelven arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección se permite que x se vuelva arbitrariamente grande en magnitud y se observa qué le sucede a y. Empiece por investigar el comportamiento de la función f definida por cuando x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función correctos hasta seis posiciones decimales (o seis dígitos decimales) y, en la figura 1, se ha trazado la gráfica de f por medio de una computadora. Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de fx se aproximan cada vez más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de fx a 1 eligiendo una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo lím xl x2 1 x2 1 1 1 0 y=1 y= ≈-1 ≈+1 FIGURA 1 x y fx x2 1 x2 1 2.6 130 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 62. Si a y b son números positivos, comprobar que la ecuación tiene por lo menos una solución en el intervalo 1, 1. 63. Demuestre que la función es continua en , . 64. (a) Demuestre que la función de valor absoluto Fx x es continua en todas partes. (b) Compruebe que si f es una función continua sobre un intervalo, entonces también lo es f . (c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso (b) también es verdadero? En otras palabras, ¿si f es continua se deduce que f es continua? De ser así, compruébelo. En caso de no ser así, halle un ejemplo contrario. 65. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 A.M. y emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, a donde llega a las 7:00 P.M. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 A.M. y llega al monasterio a las 7:00 P.M. Mediante el teorema del valor intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días. fx x4 sen1x 0 si x 0 si x 0 a x3 2x2 1 b x3 x 2 0 55. Demuestre que f es continua en a si y sólo si 56. Para demostrar que seno es continuo necesita demostrar que límxl a sen x sen a para todo número real a. Según el ejercicio 55, una proposición equivalente es que Aplique (6) para demostrar que esto es cierto. 57. Compruebe que coseno es una función continua. 58. (a) Demuestre el teorema 4, parte 3. (b) Demuestre el teorema 4, parte 5. 59. ¿Para qué valores de x es continua f ? 60. ¿Para qué valores de x es continua g? ¿Hay un número que es exactamente 1 más que su cubo? 61. tx 0 x si x es racional si x es irracional f x 0 1 si x es racional si x es irracional lím h l 0 sena h sen a lím h l 0 f a h f a x fx 0 1 1 0 2 0.600000 3 0.800000 4 0.882353 5 0.923077 10 0.980198 50 0.999200 100 0.999800 1000 0.999998 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 130
- 186. En general, use el simbolismo para indicar que los valores de fx tienden a L conforme x se hace más y más grande. DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces significa que los valores de fx se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge una x suficientemente grande. Otra notación para límxl fx L es fx l L conforme x l El símbolo no representa un número. No obstante, la expresión a menudo se lee como “el límite de fx, cuando x tiende al infinito, es L” o “el límite de fx, cuando x se hace infinito, es L” o bien “el límite de fx, cuando x crece sin cota, es L” La definición 1 da el significado de esas frases. Una definición más exacta, similar a la definición de e, d de la sección 2.4 se encuentra al final de esta sección En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y L (la cual se llama asín- tota horizontal) a medida que ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. Si vuelve a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de fx están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota, puede acercar fx a 1 cuanto quiera. Esto se expresa escribiendo La definición general es como sigue: DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo , a. Entonces quiere decir que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud. lím x l fx L 2 lím xl x2 1 x2 1 1 x y 0 y=ƒ y=L 0 x y y=ƒ y=L x y 0 y=ƒ y=L lím xl fx L lím xl fx L 1 lím xl fx L SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 131 x ` FIGURA 2 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 131
- 187. Es necesario remarcar que el símbolo no representa un número, pero la expresión se lee a menudo como “el límite de fx, cuando x tiende al infinito negativo, es L”. La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y L como en el extremo izquierdo de cada gráfica. DEFINICIÓN La recta y L se llama asíntota horizontal de la curva y fx si o bien Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene la recta y 1 como asíntota horizontal porque Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y tan1 x. (Véase la figura 4.) En efecto, de modo que las dos rectas y p2 y y p2 son asíntotas horizontales. (Éste surge a partir del hecho de que las rectas x p2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan.) EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5. SOLUCIÓN Ya que los valores de fx se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos lados; por lo tanto Advierta que fx se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la iz- quierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo, y De esta suerte, las dos rectas x 1 y x 2 son asíntotas verticales. Cuando x crece, fx tiende a 4. Pero cuando x decrece a través de valores negativos, fx tiende a 2. Así entonces, y Esto significa que tanto y 4 como y 2 son asíntotas horizontales. lím xl fx 2 lím xl fx 4 lím xl2 fx lím xl2 f x lím x l1 fx lím xl tan1 x 2 lím xl tan1 x 2 4 lím xl x2 1 x2 1 1 lím xl fx L lím xl fx L 3 lím x l fx L 132 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS x _` FIGURA 3 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L 0 y x y=ƒ y=L x 0 y y=ƒ y=L FIGURA 4 y=tan–!x y 0 x π 2 _π 2 FIGURA 5 0 x y 2 2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 132
- 188. EJEMPLO 2 Encuentre y . SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1x es pequeño. Por ejemplo, De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1x a 0 cuanto quiera. Por lo tanto, según la definición 4 Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1x es pequeño negativo; de este modo, también tiene Se infiere que la recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y 1x (que es una hipérbola equilátera; véase la figura 6). La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x l a” se reemplaza con “x l ” o con “x l ”. En particular, si combina la ley 6 con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo de límites. TEOREMA Si r 0 es un número racional, entonces Si r 0 es un número racional tal que xr está definida para toda x, entonces EJEMPLO 3 Evalúe e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa. SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador se hacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesi- ta hacer algunas operaciones algebraicas preliminares. Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer lím xl 3x2 x 2 5x2 4x 1 V lím x l 1 xr 0 lím x l 1 xr 0 5 lím xl 1 x 0 lím xl 1 x 0 1 1 000 000 0.000001 1 10 000 0.0001 1 100 0.01 lím xl 1 x lím xl 1 x SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 133 x x ` x _` 1 x 1 x 0 y y=Δ FIGURA 6 lím =0, lím =0 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 133
- 189. que x 0, puesto que sólo está interesado en los valores grandes de x.) En este caso, la mayor potencia de x en el dominador es x2 , con lo cual tiene (por la ley de los Límites 5) (por 1, 2 y 3) (por 7 y el teorema 5) Un cálculo semejante hace ver que el límite cuando x l también es . En la figura 7 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función ra- cional dada se aproxima a la asíntota horizontal . EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función SOLUCIÓN Al dividir tanto el numerador como el denominador entre x y aplicar las propie- dades de los límites tiene (puesto que s x2 x para x 0) Por lo tanto, la recta es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Si calcula el límite cuando x l , debe recordar que para x 0, tiene . De donde, al dividir el numerador entre x, para x 0 obtiene 1 x s2x2 1 1 sx2 s2x2 1 2 1 x2 sx2 x x y s23 s2 0 3 5 0 s2 3 lím x l 2 1 x2 lím x l 3 5 x lím x l 2 lím x l 1 x2 lím x l 3 5 lím x l 1 x lím x l s2x2 1 3x 5 lím x l 2 1 x2 3 5 x f x s2x2 1 3x 5 y 3 5 3 5 3 5 3 0 0 5 0 0 lím xl 3 lím xl 1 x 2 lím xl 1 x2 lím xl 5 4 lím xl 1 x lím xl 1 x2 lím xl 3 1 x 2 x2 lím xl 5 4 x 1 x2 lím xl 3x2 x 2 5x2 4x 1 lím xl 3x2 x 2 x2 5x2 4x 1 x2 lím xl 3 1 x 2 x2 5 4 x 1 x2 134 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 1 y=0.6 x y 0 FIGURA 7 y= 3≈-x-2 5≈+4x+1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 134
- 190. Por lo tanto, Así, la recta también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 5, es 0, es decir, cuando . Si x tiende a y , después el denominador está cercano a 0 y 3x 5 es positivo. El numerador siempre es positivo, de modo que fx es positivo. Por lo tanto, Si x está cerca de pero , en seguida 3x 5 0 y fx es grande y negativa. De esta manera, La asíntota vertical es . Las tres asíntotas se ilustran en la figura 8. EJEMPLO 5 Calcule . SOLUCIÓN Ya que tanto como x son grandes cuando x es grande, es difícil ver qué sucede con su diferencia, por eso, use el álgebra para escribir de nuevo la función. En primer lugar multiplique el numerador y el denominador por el radical conjugado. Se podría aplicar el teorema de la compresión para demostrar que este límite es 0. Pero un método más fácil es dividir el numerador y el denominador entre x. Al efectuar esto y aplicar las leyes de los límites obtiene En la figura 9 se ilustra este resultado. En la gráfica de la función exponencial natural y ex tiene la recta y 0 (el eje x) como asíntota horizontal. (Lo mismo se cumple para cualquier función exponencial con lím xl 1 x 1 1 x2 1 0 s1 0 1 0 lím xl (sx2 1 x) lím xl 1 sx2 1 x lím xl 1 x sx2 1 x x lím xl x2 1 x2 sx2 1 x lím xl 1 sx2 1 x lím xl (sx2 1 x) lím xl (sx2 1 x) sx2 1 x sx2 1 x sx2 1 lím xl (sx2 1 x) x 5 3 lím x l 53 s2x2 1 3x 5 x 5 3 5 3 lím x l 53 s2x2 1 3x 5 s2x2 1 x 5 3 5 3 x 5 3 y s23 2 lím x l 1 x2 3 5 lím x l 1 x s2 3 lím x l s2x2 1 3x 5 lím x l 2 1 x2 3 5 x SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 135 FIG 8 y= 3x-5 +1 x y y= œ„ 3 y=_ œ„ 3 x= 5 3 FIGURA 9 y=œ„„„„„ ≈+1-x x y 0 1 1 Puede considerar que la función dada tiene un denominador de 1. CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 135
- 191. base a 1.) En efecto, a partir de la gráfica de la figura 10 y la tabla correspondiente de valores observe que Advierta que los valores de ex tienden a 0 con mucha rapidez. EJEMPLO 6 Evalúe . SOLUCIÓN Si hace que t 1x, sabe que t l cuando x l 0 . Por lo tanto, de acuerdo con (6), (Véase ejercicio 71.) EJEMPLO 7 Evalúe . SOLUCIÓN Cuando x crece, los valores de sen x oscilan entre 1 y 1 infinitamente a menudo, y, de este modo, no se aproximan a ningún número definido. Así, límxl sen x no existe. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO La notación se usa para indicar que los valores de fx se agrandan cuando x se hace grande. Se aso- cian significados semejantes a los símbolos siguientes: EJEMPLO 8 Determine y . SOLUCIÓN Cuando x se incrementa, también lo hace x3 . Por ejemplo, 103 1000 1003 1000000 10003 1000000000 En efecto, puede hacer a x3 tan grande como quiera incrementando de manera suficiente a x. Por lo tanto, de manera similar, cuando x toma un valor negativo grande, así es x3 . En estos términos Asimismo, eatas proposiciones de los límites se pueden ver en la gráfica de y x3 en la figura 11. lím x l x3 lím x l x3 lím x l x3 lím x l x3 lím x l fx lím x l fx lím x l fx lím x l fx lím xl sen x lím xl0 e1x lím tl et 0 lím xl0 e1x V x ex 0 1.00000 1 0.36788 2 0.13534 3 0.04979 5 0.00674 8 0.00034 10 0.00005 y=´ x 0 1 y 1 FIGURA 10 lím xl ex 0 6 136 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS La estrategia para resolver problemas para el ejemplo 6 es introducir algo adicional (véase página 76). En este caso, lo adicional, el elemento auxiliar, es la variable t. y=˛ x y 0 FIGURA 11 lím x#=`, lím x#=_` x ` x _` CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 136
- 192. Al examinar la figura 10 observe que pero, como se muestra en la figura 12, y ex se hace grande cuando x l con mucha mayor rapidez que y x3 . EJEMPLO 9 Encuentre . | SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque no es un nú- mero ( está indefinido). Sin embargo, puede escribir porque tanto x como x 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, también su producto. EJEMPLO 10 Encuentre . SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia más alta de x en el denominador, que es justamente x: porque x 1 l y 3x 1 l 1 cuando x l . En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, junto con intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomio sin tener que graficar una gran cantidad de puntos. EJEMPLO 11 Trace la gráfica de con ayuda de las intersecciones y sus límites cuando x l y cuando x l . SOLUCIÓN La intersección con el eje y es y los cortes con el eje x se encuentran al hacer y 0: x 2, 1, 1. Observe que como es positiva, la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. La gráfica corta el eje en 1 y 1. Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13. lím x l x 24 x 13 x 1 lím x l x 24 x 13 x 1 x 24 f0 24 13 1 16 y x 24 x 13 x 1 V lím x l x2 x 3 x lím x l x 1 3 x 1 lím xl x2 x 3 x lím xl x2 x lím xl xx 1 lím xl x2 x lím xl x2 lím xl x lím x l x2 x lím x l ex SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 137 x 0 100 y 1 y=˛ y=´ FIGURA 12 ´ es tan grande como ˛ cuando x es grande. y y=(x-2)$(x +1)#(x-1) FIGURA 13 0 x _1 _16 2 1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 137
- 193. DEFINICIONES EXACTAS La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación. DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces, significa que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que si x N entonces fx L e En lenguaje común, esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitraria- mente cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) al hacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N depende de e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x (mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rec- tas horizontales y L e y y L e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplir sin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge un valor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N. De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante la definición 8, la cual se ilustra en la figura 16. DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo de , a. Entonces, quiere decir que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que si x N entonces fx L e lím x l f x L 8 FIGURA 14 lím ƒ=L x ` FIGURA 15 lím ƒ=L x ` y 0 x N L y=ƒ y=L-∑ y=L+∑ 0 y x N L donde x está aquí ƒ está aquí y=L-∑ y=L+∑ ∑ ∑ y=ƒ lím x l fx L 7 138 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 138
- 194. En el ejemplo 3 se calculó que En el ejemplo siguiente se utiliza una calculadora o computadora para relacionar este enunciado de la definición 7 con y e 0.1. EJEMPLO 12 Mediante una gráfica determine un número N tal que si x N entonces SOLUCIÓN Reescriba la desigualdad como Es necesario determinar los valores de x para los cuales la curva dada queda entre las rectas horizontales y 0.5 y y 0.7. La curva y las rectas están graficadas en la figura 17. Luego, por medio del cursor, se estima que la curva cruza la recta y 0.5 cuando x 6.7. A la derecha de este número, la curva se localiza entre las rectas y 0.5 y y 0.7. Efectúe un redondeo y después si x 7 entonces En otras palabras, para e 0.1 puede elegir N 7 (o cualquier otro número mayor) en la definición 7. EJEMPLO 13 Mediante la definición 7 demuestre que . SOLUCIÓN Dado e 0, busque N tal que si x N entonces Al calcular el límite podría suponer que x 0. Entonces 1x e fi x 1e. Seleccione N 1e. De esa manera si entonces 1 x 0 1 x x N 1 1 x 0 lím x l 1 x 0 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.6 0.1 0.5 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.7 3x2 x 2 5x2 4x 1 0.6 0.1 L 3 5 lím x l 3x2 x 2 5x2 4x 1 3 5 x _` FIGURA 16 lím ƒ=L x N y L y=L-∑ y=L+∑ y=ƒ 0 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 139 FIGURA 17 1 0 15 y=0.7 y=0.5 y= 3≈-x-2 5 +4x+1 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 139
- 195. De donde, según la definición 7, En la figura 18 se ilustra la demostración en la que se muestran algunos valores de y los valores correspondientes de N. Para finalizar, observe que se puede definir un límite infinito en el infinito como sigue. La representación geométrica se proporciona en la figura 19. DEFINICIÓN Si f es una función definida en algún intervalo a, . entonces significa que para todo número positivo M hay un número positivo correspondiente N tal que si x N entonces fx M Definiciones similares son válidas cuando el símbolo se reemplaza con . (Véase ejercicio 70.) lím x l fx 9 lím x l 1 x 0 140 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS x y 0 N=5 ∑=0.2 FIGURA 18 x y 0 N=1 ∑=1 x y 0 N=10 ∑=0.1 FIGURA 19 lím ƒ=` x ` 0 x y N M y=M (d) (e) (f) Las ecuaciones de las asíntotas. x y 1 1 lím xl f x lím xl f x 1. Explique con sus propias palabras el significado de cada una de las expresiones siguientes. (a) (b) (a) ¿La gráfica de y fx se puede intersecar con una asíntota vertical? ¿Se puede intersecar con una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. (b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de y fx? Trace gráficas para ilustrar las posibilidades. 3. Para la función f cuya gráfica se ilustra, dé lo siguiente: (a) (b) (c) lím xl1 f x lím xl1 f x lím xl2 f x 2. lím x l f x 3 lím x l f x 5 EJERCICIOS 2.6 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 140
- 196. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 141 13–14 Evalúe un límite y justifique cada etapa señalando las pro- piedades adecuadas de los límites. 13. 14. 15–36 Calcule el límite. 15. 16. 17. 18. 20. 21. 22. 23. 24. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. ; 37. (a) Estime el valor de dibujando la función . (b) Use una tabla de valores de fx para conjeturar el valor del límite. (c) Pruebe que su conjetura es correcta. ; 38. (a) Use una gráfica de para estimar el valor de límxl fx hasta una cifra decimal. (b) Use una tabla de valores de fx para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. (c) Halle el valor exacto del límite. f x s3x2 8x 6 s3x2 3x 1 f x sx2 x 1 x lím xl (sx2 x 1 x) lím xl 2 etan x lím xl e2x cos x lím x l tan1 x2 x4 lím xl 1 ex 1 2ex lím xl x3 2x 3 5 2x2 lím xl x4 x5 lím xl sx2 1 lím xl x x3 x5 1 x2 x4 lím xl cos x lím xl (sx2 ax sx2 bx ) lím x l (x sx2 2x) lím xl (s9x2 x 3x) 25. lím xl s9x6 x x3 1 lím xl s9x6 x x3 1 lím xl x 2 s9x2 1 lím ul 4u4 5 u2 22u2 1 lím tl t2 2 t3 t2 1 lím xl x3 5x 2x3 x2 4 19. lím yl 2 3y2 5y2 4y lím xl 1 x x2 2x2 7 lím xl 3x 5 x 4 lím xl 1 2x 3 lím x l 12x3 5x 2 1 4x2 3x3 lím xl 3x2 x 4 2x2 5x 8 4. Para la función t cuya gráfica se ilustra, proporcione lo siguiente: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Las ecuaciones de las asíntotas. 5–10 Dibuje el ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas. 5. f0 0, f1 1, f es impar 6. 8. 9. f0 3, , , , , , 10. , , f0 0, f es par ; 11. Determine el valor del límite evaluando la función fx x2 2x para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. A continuación, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. ; 12. (a) Use una gráfica de para estimar el valor de límxl fx correcto hasta dos ci- fras decimales (b) Use una tabla de valores de fx para estimar el límite hasta cuatro cifras decimales. f x 1 2 x x lím xl x2 2x lím x l fx 2 lím x l3 fx lím xl fx 3 lím x l 4 fx lím x l4 fx lím xl fx lím xl 0 fx 2 lím xl0 fx 4 lím xl f x 3 lím xl f x 3, lím xl2 f x , lím xl0 f x lím xl0 f x , lím xl f x 0, lím xl f x , lím xl2 f x , 7. lím xl f x 1 lím xl f x 1, lím xl0 f x , lím xl0 f x , lím xl f x 0, 2 0 x y 1 lím xl2 tx lím xl0 tx lím xl3 tx lím xl tx lím xl tx CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 141
- 197. 142 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar . ; (b) Grafique fx sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta la asíntota? ; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando x l y cuando x l . (a) Describa y compare el comportamiento al final de las funciones Px 3x5 5x3 2x Qx 3x5 dibujando las dos funciones en los rectángulos de visua- lización 2, 2 por 2, 2 y 10, 10 por 10 000, 10 000 . (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento al final si su relación tiende a 1 cuando x l . Demuestre que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor que el grado de Q. 56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y xn (n un entero) para los cinco casos siguientes: (i) n 0 (ii) n 0, n impar (iii) n 0, n par (iv) n 0, n impar (v) n 0, n par Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes. (a) (b) (c) (d) Determine límxl fx si, para toda x 1, 58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es (b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l ? 59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis, la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es vt v*1 ettv* donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la velocidad terminal de la gota de lluvia. (a) Encuentre límtl vt. Ct 30t 200 t 10ex 21 2ex f x 5sx sx 1 57. lím xl xn lím xl xn lím xl0 xn lím xl0 xn lím x l Px Qx 55. lím xl sen x x 39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas. 39. 40. 42. 43. 44. ; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función mediante la gráfica de f para 10 x 10. Después calcule la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia? ; 46. (a) Grafique la función ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la gráfica para estimar el valor de los límites y (b) Calcular los valores de fx, proporcione estimaciones numéricas de los límites del inciso (a). (c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a) obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá que verificar su cálculo para el segundo límite]. 47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las condiciones siguientes: , , f2 0, , 48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales son x 1 y x 3 y asíntota horizontal y 1. 49–52 Determine los límites cuando x l y cuando x l . Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11. 49. y x4 x6 50. y x3 x 22 x 1 51. y 3 x1 x2 1 x4 52. y x2 x2 12 x 2 lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl0 f x lím xl f x 0 lím x l s2x2 1 3x 5 lím x l s2x2 1 3x 5 fx s2x2 1 3x 5 fx 3x3 500x2 x3 500x2 100x 2000 y 2ex ex 5 y x3 x x2 6x 5 y 1 x4 x2 x4 y 2x2 x 1 x2 x 2 41. y x2 1 2x2 3x 2 y 2x 1 x 2 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 142
- 198. DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la veloci- dad de un objeto, involucran encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección 2.1. Esta clase especial de límite se denomina derivada y puede ser interpretada como una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o ingeniería. TANGENTES Si una curva C tiene la ecuación y fx y quiere hallar la tangente a C en el punto Pa, fa, entonces considere un punto cercano Qx, fx, donde x a, y calcule la pendiente de la línea secante PQ: En seguida, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende a un número m, entonces defina la tangente t como la recta que pasa por P con mPQ f x fa x a 2.7 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 143 (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 1x2 0.0001? (b) Al hacer r 2 en el Teorema 5, tenemos la proposición Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. 66. (a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que ? (b) Al hacer en el Teorema 5, tenemos la proposición Demuéstrela directamente aplicando la Definición 7. 67. Aplique la Definición 8 para demostrar que . 68. Demuestre mediante la Definición 9 que . 69. Mediante la definición 9 demuestre que 70. Formule una definición exacta de Luego aplique su definición para demostrar que 71. Demuestre que y si existen los límites. lím x l f x lím tl0 f 1t lím x l f x lím tl 0 f 1t lím x l 1 x3 lím x l f x lím x l ex lím x l x3 lím x l 1 x 0 lím x l 1 sx 0 r 1 2 1sx 0.0001 lím x l 1 x2 0 65. ; (b) Trace la gráfica de vt si v* 1 ms y g 9.8 ms2 . ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance el 99% de su velocidad terminal? ; 60. (a) Mediante el trazo de y ex10 y y 0.1 en una pantalla común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que ex10 0.1. (b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un aparato graficador? ; 61. Mediante una gráfica determine un número N tal que si x N entonces ; 62. En el caso del límite ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que corresponden a e 0.5 y e 0.1. ; 63. Ilustre la definición 8 para el límite determinando valores de N que corresponden a e 0.5 y e 0.1. ; 64. Ilustre la definición 9 para el límite calculando valores de N que corresponden a M 100. lím x l 2x 1 sx 1 lím x l s4x2 1 x 1 2 lím x l s4x2 1 x 1 2 3x2 1 2x2 x 1 1.5 0.05 CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 143
- 199. pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta se- cante PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.) DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y fx en el punto Pa, fa es la recta que pasa por P con pendiente cuando el límite existe. En el primer ejemplo, se confirma la suposición hecha en el ejemplo 1 de la sec- ción 2.1. EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y x2 , en el punto P1, 1. SOLUCIÓN En este caso, a 1 y fx x2 , de modo que la pendiente es Con la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se encuentra que una ecuación de la recta tangente en 1, 1 es y 1 2x 1 o bien y 2x 1 A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un pun- to como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la curva y x2 del ejemplo 1. Entre más se acerque, la parábola más parece una recta. En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente. Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h x a, en este caso x a h y así la pendiente de la línea secante PQ es mPQ fa h fa h FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) sobre la parábola y=≈ (1, 1) 2 0 2 (1, 1) 1.5 0.5 1.5 (1, 1) 1.1 0.9 1.1 lím x l1 x 1 1 1 2 lím x l1 x 1x 1 x 1 m lím x l1 f x f 1 x 1 lím x l1 x2 1 x 1 V m lím x l a f x f a x a 1 144 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Forma punto-pendiente para una recta que pasa por el punto x1, y1 con pendiente m: y y1 mx x1 Visual 2.7 muestra una animación de la figura 2. TEC FIGURA 1 0 x y P t Q Q Q 0 x y a x P{a, f(a)} ƒ-f(a) x-a Q{x, ƒ} CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 144
- 200. (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si h 0, Q estaría a la izquierda de P.) Advierta que, cuando x tiende a a, h lo hace a 0 (porque h x a) y, de este modo, la expresión para la pendiente de la recta tangente, que se da en la definición 1, se convierte en EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y 3x, en el punto 3, 1. SOLUCIÓN Sea fx 3x. Por lo tanto, la pendiente de la tangente en 3, 1 es En consecuencia, una ecuación de la tangente en el punto 3, 1 es la cual se simplifica hasta En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente. VELOCIDADES En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la To- rre CN y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre periodos cada vez más cortos. En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s ft, donde s es el desplazamiento (distancia directa) del objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de t a hasta t a h, el cambio en la posición es fa h fa. (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es que es lo mismo que la pendiente de la secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre lapsos a, a h más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) va en el instante t a como el límite de estas velocidades promedio: va lím h l 0 f a h fa h 3 velocidad promedio desplazamiento tiempo f a h fa h x 3y 6 0 y 1 1 3 x 3 1 3 lím h l 0 h h3 h lím h l 0 1 3 h lím h l 0 3 3 h 1 h lím h l 0 3 3 h 3 h h m lím h l 0 f 3 h f3 h m lím h l 0 f a h fa h 2 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 145 FIGURA 3 0 x y a a+h P{a, f(a)} h Q{a+h, f(a+h)} t f(a+h)-f(a) FIGURA 4 y= (3, 1) x+3y-6=0 x y 0 3 x 0 P{a, f(a)} Q{a+h, f(a+h)} h a+h a s t mPQ= ⫽ velocidad promedio FIGURA 6 FIGURA 5 0 s f(a+h)-f(a) posición en el instante t=a posición en el instante t=a+h f(a) f(a+h) f(a+h)-f(a) h CAPITULO-02-B 06/04/2009 18:39 Page 145
- 201. Esto significa que la velocidad en el instante t a es igual a la pendiente de la recta tan- gente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.) Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae. EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, 450 m sobre el nivel del suelo. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Con qué velocidad viaja cuando choca contra el suelo? SOLUCIÓN Necesita hallar la velocidad cuando t 5 y cuando la pelota golpea el suelo, de tal manera, que es eficaz iniciar la búsqueda de la velocidad en un tiempo común t a. Empleando la ecuación de movimiento s ft 4.9t2 , tiene (a) La velocidad después de 5 s es v5 9.85 49 ms. (b) Como la plataforma de observación está 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t1, cuando st1 450; es decir, 4.9t2 1 450 Esto da y Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es DERIVADAS Ha visto que surge la misma clase de límite en la búsqueda de la pendiente de una línea tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3). En realidad, los límites de la forma surgen cuando calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que esta clase de límite sucede, muy seguido, se proporciona un nombre y notación especial. DEFINICIÓN La derivada de una función f en un número a, se indica mediante fa, es si este límite existe. fa lím h l 0 fa h fa h 4 lím h l 0 fa h fa h vt1 9.8t1 9.8450 4.9 94 ms t1 450 4.9 9.6 s t1 2 450 4.9 lím h l 0 4.92a h 9.8a lím h l 0 4.9a2 2ah h2 a2 h lím h l 0 4.92ah h2 h va lím h l 0 f a h fa h lím h l 0 4.9a h2 4.9a2 h V 146 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Recuerde que en la sección 2.1 vimos que la distancia (en metros) que recorre la pelota que cae una vez que transcurren t segundos es 4.9t2 . fa se lee “f es fundamental de a”. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 146
- 202. Si escribe x a h, en tal caso, tiene h x a y h se aproxima a 0 si y sólo si x se aproxima a a. En consecuencia, una manera equivalente de establecer la definición de la derivada, como se mencionó en la búsqueda de rectas tangentes, es EJEMPLO 4 Hallar la derivada de la funcion fx x2 8x 9 en el número a. SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene 2a 8 Defina la recta tangente a la curva y fx en el punto Pa, fa como la recta tan- gente que pasa a través de P y tiene pendiente m, proporcionada por la ecuación 1 o 2, ya que, mediante la definición 4, es la misma que la derivada fa, ahora puede decir lo siguiente. La recta tangente a y fx en a, fa es la recta tangente a través de a, fa cuya pendiente es igual a fa, la derivada de f en a. Si usa la forma punto pendiente de la ecuación de una recta, puede escribir una ecuación de la recta tangente a la curva y fx en el punto a, fa: y fa fax a EJEMPLO 5 Halle una ecuación de la recta tangente a la parábola y x2 8x 9 en el punto 3, 6. SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabe que la derivada de fx x2 8x 9 en el número a es fa 2a 8. En consecuencia la pendiente de la recta tangente en 3, 6 es f3 23 8 2. En estos términos, una ecuación de la recta tangente, se muestra en la figura 7, es y 6 2x 3 o bien y 2x RELACIONES DE CAMBIO Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y escriba y fx. Si x cambia de x1 a x2, por lo tanto el cambio en x (también conocido como incremento de x) es x x2 x1 V lím h l 0 2ah h2 8h h lím h l 0 2a h 8 lím h l 0 a2 2ah h2 8a 8h 9 a2 8a 9 h lím h l 0 a h2 8a h 9 a2 8a 9 h fa lím h l 0 fa h fa h V fa lím x l a fx fa x a 5 SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 147 y=≈-8x+9 (3, _6) y=_2x FIGURA 7 0 x y CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 147
- 203. y el cambio correspondiente en y es y fx2 fx1 El cociente de diferencias se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo x1, x2 y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 7. Por analogía con la velocidad, considere la relación de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por lo tanto, al hacer que x tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón (instantánea) de cambio de y con respecto a x en x x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la tan- gente a la curva y fx en Px1, fx1: razón de cambio instantánea Reconocer este límite como la derivada fx1. Sabe que una interpretación de la derivada fa es como la pendiente de la tangente a la curva y fx cuando x a. Ahora tiene una segunda interpretación: La derivada fa es la razón de cambio instantánea de y fx con respecto a x cuando x a. El enlace con la primera interpretación es que si dibuja la curva y fx, a conti- nuación la razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a esta curva en el punto donde x a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y en consecuen- cia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana y el valor de y cambia lentamente. En particular, si s ft es la función posición de una partícula que se traslada a lo largo de una línea recta, entonces fa es la razón de cambio del desplazamiento s con respecto al tiempo t. En otras palabras, fa es la velocidad de la partícula en el tiempo t a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, fa. En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que es definida verbalmente. EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con un ancho fijo. El costo de producir x yardas de este tejido es de C fx dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada fx? ¿Cuáles son sus unidades? (b) En términos prácticos, ¿qué significa decir qué f1000 9? (c) ¿Qué le hace pensar que es más grande f50 o f500? ¿Qué hay con respecto a f5000? SOLUCIÓN (a) La derivada fx es la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, es de- cir, fx significa la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esto rapidez de cambio del costo marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) V lím x2 l x1 f x2 fx1 x2 x1 lím x l 0 y x 6 y x fx2 fx1 x2 x1 148 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS FIGURA 9 Los valores de y cambian con rapidez en P y con lentitud en Q P Q x y razón promedio de cambio ⫽ mPQ razón instantánea de cambio ⫽ pendiente de la tangente en P FIGURA 8 0 x y ⁄ ¤ Q{¤, ‡} Îx Îy P{⁄, fl} CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 148
- 204. Porque las unidades para fx son las mismas que las unidades para el cociente de diferencia Cx. Ya que C se mide en dólares y x en yardas, por lo que las unidades para fx son dólares por cada yarda. (b) El enunciado de que f1000 9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresyarda. (Cuando x 1000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.) Ya que x 1 es pequeño si se le compara con x 1000, podría usarse la apro- ximación y decir que el costo de fabricación de la yarda 1000 (o de la 1001) es de casi 9 dó- lares. (c) La proporción a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) pro- bablemente es inferior cuando x 500 que cuando x 50 (el costo de fabricación de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la economía de proporción. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f50 f500 Pero, como se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será de- ficiente y con eso los costos de horas extras de trabajo. En estos términos es posible que la proporción de incremento de costos por último aumentarán. De este modo, es posi- ble que suceda f5000 f500 En el ejemplo siguiente estimará la proporción de cambio de la deuda nacional con respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino me- diante una tabla de valores. EJEMPLO 7 Sea Dt la deuda nacional de Estados Unidos en el tiempo t. La tabla en el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin de año, en miles de míllones de dólares, desde 1980 hasta 2000. Explique y juzgue el valor de D1990. SOLUCIÓN La derivada D1990 significa que la razón de cambio de D con respecto a t cuando t 1990, es decir, la proporción de incremento de la deuda nacional en 1990. De acuerdo a la ecuación 5, Así calcule y tabule los valores del cociente de diferencia (la razón de cambio promedio) como sigue. D1990 lím t l1990 Dt D1990 t 1990 V f1000 C x C 1 C fx lím x l 0 C x SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 149 t 1980 230.31 1985 257.48 1995 348.14 2000 244.09 Dt D1990 t 1990 En este caso suponga que la función costo se conduce bien, en otras palabras, Cx no oscila rápidamente cerca de x 1000. t Dt 1980 930.2 1985 1945.9 1990 3233.3 1995 4974.0 2000 5674.2 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 149
- 205. A partir de esta tabla se ve que D1990 se localiza en alguna parte entre 257.48 y 348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la supo- sición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y 2000.] Se estima que la proporción de incremento de la deuda nacional de Estados Unidos en 1990 fue el promedio de estos números, específicamente D1990 303 miles de millones de dólares por cada año Otro método sería una gráfica de la función deuda y valorar la pendiente de la línea tangente cuando t 1990. En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la ve- locidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda con respecto al tiempo es de in- terés en economía. En este caso, es una muestra pequeña de otras razones de cambio: En física, la razón de cambio de trabajo con respecto al tiempo se le denomina potencia. Los químicos quienes estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (denominada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colo- nia de bacterias con respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias so- ciales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio se pueden interpretar como pendientes de tangentes. Esto le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resulva problemas en que intervienen rectas tangentes, no resulve sólo un problema de geo- metría. También resuelve implícitamente una gran variedad de problemas de la ciencia y la ingeniería en que intervienen razones de cambio. 150 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS UNA NOTA SOBRE UNIDADES Las unidades de la razón de cambio promedio Dt son las unidades de D divididas entre las unidades de t, o sea, de dólares por cada año. La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio promedio, de este modo, se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año. 5–8 Encuentre una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado. , 3, 2 6. y 2x3 5x, 1, 3 , 1, 1 8. , 0, 0 (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva y 3 4x2 2x3 en el punto donde x a. (b) Determine las ecuaciones de las tangentes en los puntos 1, 5 y 2, 3. ; (c) Grafique la curva y ambas tangentes en una misma pantalla. 10. (a) Determine la pendiente de la tangente a la curva en el punto donde x a. (b) Plantee las ecuaciones de las tangentes en los puntos 1, 1 y . ; (c) Grafique la curva y las tres tangentes en una misma pantalla. 11. (a) Una partícula inicia moviéndose a la derecha a lo largo de una línea horizontal; se muestra la gráfica de su función de posición. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? (4, 1 2 ) y 1sx 9. y 2x x 12 y sx 7. y x 1 x 2 5. 1. Una curva tiene la ecuación y fx. (a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P3, f3 y Qx, fx. (b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P. ; 2. Dibuje la curva y ex en los rectángulos de visualización 1, 1] por 0, 2 , 0.5, 0.5 por 0.5, 1.5 y 0.1, 0.1 por 0.9, 1.1 . ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un acercamiento hacia el punto 0, 1? 3. (a) Halle la pendiente de la línea tangente a la parábola y 4x x2 en el punto 1, 3 (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Encuentre una ecuación de la recta tangente del inciso (a). ; (c) Dibuje la parábola y la tangente. Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento hacia el punto 1, 3 hasta que la parábola y la tangente sean indistinguibles. 4. (a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y x x3 en el punto 1, 0 (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Halle una ecuación de la tangente del inciso (a). ; (c) Dibuje la curva y la tangente en rectángulos de visualización cada vez más pequeñas centradas en 1, 0 hasta que parezcan coincidir la curva y la recta. EJERCICIOS 2.7 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 150
- 206. SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO |||| 151 (a) Halle una ecuación de la línea tangente a la gráfica de y tx en x 5 si t5 3 y t5 4. (b) Si la línea tangente a y fx en 4, 3 pasa a través del punto 0, 2, halle f4 y f4. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f0 0, f0 3, f1 0 y f2 1. 20. Dibuje la gráfica de una función t para la que t0 t0 0, t1 1, t1 3 y t2 1. 21. Si fx 3x2 5x, halle f2 y utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la parábola y 3x2 5x en el punto 2, 2. 22. Si tx 1 x3 , halle t0 y utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la curva y 1 x3 en el punto 0, 1. (a) Si Fx 5x1 x2 , halle F2 utilice esto para hallar una ecuación de la línea tangente a la curva y 5x1 x2 en el punto 2, 2. ; (b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y la línea tangente en la misma pantalla. 24. (a) Si Gx 4x2 x3 , hallar Ga utilice esto para encontrar una ecuación de la línea tangente a la curva y 4x2 x3 en los puntos 2, 8 y 3, 9. ; (b) Ilustre el inciso (a) mediante la gráfica de la curva y la línea tangente en la misma pantalla. 25–30 Hallar fa. 25. fx 3 2x 4x2 26. ft t4 5t 28. 29. 30. 31–36 Cada límite representa la derivada de alguna función f en algún número a. Presente en cada caso las f y a. 31. 32. 33. 34. 36. lím t l1 t4 t 2 t 1 lím h l 0 cos h 1 h 35. lím x l 4 tan x 1 x 4 lím x l 5 2x 32 x 5 lím h l 0 s 4 16 h 2 h lím h l 0 1 h10 1 h fx s3x 1 fx 1 sx 2 fx x2 1 x 2 ft 2t 1 t 3 27. 23. 19. 18. y=© 1 3 4 _1 0 x 2 y (b) Dibuje una gráfica de la función velocidad. 12. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y terminan en empate. (a) Relate y compare cómo desarrollaron la competencia. (b) ¿En qué momento la distancia entre las competidoras es la más grande? (c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? Si una pelota se lanza al aire hacia arriba, con una velocidad de 40 fts, su altura (en ft) una vez que transcurren t segundos, está dada por y 40 t 16t2 . Encuentre la velocidad después de t 2. 14. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 ms, su altura (en metros) después de t segundos se conoce por H 10t 1.86t2 . (a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. (b) Halle la velocidad de la roca cuando t a. (c) ¿Cuándo incidirá en la superficie la roca? (d) ¿Con qué velocidad la roca incidirá en la superficie? 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por la ecuación del movimiento s 1t2 , donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes t a, t 1, t 2 y t 3. 16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por s t2 8t 18, donde t se mide en segundos (a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo (i) 3, 4 (ii) 3.5, 4 (iii) 4, 5 (iv) 4, 4.5 (b) Halle la velocidad instantánea cuando t 4. (c) Dibuje la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio del inciso (a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea del inciso (b). Se proporciona la gráfica de la función t, reordene los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. 0 t2 t0 t2 t4 17. 13. (metros) 0 4 8 12 80 40 t (segundos) A B s (metros) 0 2 4 6 4 2 t (segundos) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 151
- 207. 152 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 considerando el promedio de dos relaciones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 midiendo la pendiente de una tangente. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es Cx 5000 10x 0.05x2 . (a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con respecto a x, cuando se cambia el nivel de producción: (i) de x 100 a x 105 (ii) de x 100 a x 101 (b) Halle la razón de cambio instantánea de C con respecto a x, cuando x 100. (Esto se conoce como costo marginal. En la sección 3.7 se explica su significado.) 44. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como 0 t 60 Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantánea de V con respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? El costo de producir x onzas de oro a partir de una mina de oro reciente es C fx dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada fx? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Qué significa enunciar f800 17? (c) ¿Los valores de fx se incrementarán o disminuirán en corto tiempo, cuál es su opinión? ¿Y a largo plazo? Explique. 46. El número de bacterias después de t horas en un experimento de laboratorio controlado es n ft. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f5? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrimentos para la bacteria. ¿Cuál es mayor f5 o f10? Si se limita el suministro de nutrimentos, ¿afectaría su conclusión? Sea Tt la temperatura (en °F) en Dallas t horas después de la medianoche el 2 de junio de 2001. La tabla muestra los valores de esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T10? Estime su valor. 47. 45. Vt 100 0001 t 60 2 43. 37–38 Una partícula se traslada a lo largo de una línea recta con ecuación de movimiento s ft, donde s se mide en metros y t en segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t 5. 37. ft 100 50t 4.9t2 38. ft t1 t Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Grafique la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura es mayor o menor que la relación de cambio después de una hora? 40. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora. 41. La tabla muestra el porcentaje estimado P de la población de Europa que utiliza teléfono celular. (Se proporcionan estimaciones semestrales.) (a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares (i) de 2000 a 2002 (ii) de 2000 a 2001 (iii) de 1999 a 2000 En cada caso, incluya las unidades. (b) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 tomando el promedio de dos relaciones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Estime la razón de crecimiento instantánea en 2000 midiendo la pendiente de la tangente. 42. En la tabla se proporciona el número N de establecimientos de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 30 de junio.) (a) Determine la tasa media de crecimiento (i) desde 2000 a 2002 (ii) desde 2000 a 2001 (iii) de 1999 a 2000 En cada caso incluya las unidades. P T (°F) 0 30 60 90 120 150 100 200 t (min) 39. Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 P 28 39 55 68 77 83 Año 1998 1999 2000 2001 2002 N 1886 2135 3501 4709 5886 t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 73 73 70 69 72 81 88 91 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 152
- 208. REDACCIÓN DE PROYECTO MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES |||| 153 50. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón Coho. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime los valores de S15 y S25 e interprételos. 51–52 Establezca si existe f0. 52. f x x2 sen 1 x si x 0 0 si x 0 f x x sen 1 x si x 0 0 si x 0 51. 20 0 T (°C) 10 S (cm/s) 20 48. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una compañía en un precio de p dólares por cada libra es Q fp. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f8? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿f8 es positiva o negativa? Explique. 49. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en agua depende de la temperatura del agua. (De esa manera la polución térmica induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra cómo varía la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada ST? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Estime e interprete el valor de S16. Adaptada de Environmental Science: Science: Living Within the System of Nature, 2d ed.; por Charles E. Kupchella, © 1989. Reimpreso, por autoriza- ción de Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ. 4 8 12 16 8 16 S (mg/L) 0 T (°C) 24 32 40 La primera persona en formular explícitamente las ideas de los límites y derivadas fue Isaac Newton, en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes.” Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para hallar rectas tangentes y los métodos de ambos tuvieron que ver con la formulación final del cálculo a la que llegó Newton. Las referencias siguientes contienen explicaciones de estos métodos. Lea una o varias y escriba un informe en que compare los métodos de Fermat o de Barrow con los métodos modernos. En particular, aplique el método de la sección 2.7 para hallar una ecuación de la recta tangente a la curva y x3 2x en el punto 1, 3 y muestre cómo habrían resuelto Fermat o Barrow el mismo problema. Aunque usted usó derivadas y ellos no, señale las semejanzas entre los dos métodos. 1. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History of Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989), pp. 389, 432. 2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), pp. 124, 132. 3. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders, 1990), pp. 391, 395. 4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford University Press, 1972), pp. 344, 346. MÉTODOS ANTICIPADOS PARA LA BÚSQUEDA DE TANGENTES R E DAC C I Ó N D E P R OY E C TO CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 153
- 209. LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN En la sección anterior consideró la derivada de una función f en un número fijo a: Ahora cambie su punto de vista y haga que el número a varíe. Si en la ecuación 1 reem- plaza a con una variable x, obtiene Dado cualquier número x para el cual este límite exista, asigne a x el número fx. De mo- do que considere f como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Sabe que el valor de f en x, fx, se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x, fx. La función f se conoce como derivada de f, porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite en la ecuación 2. El dominio de f es el conjunto x fx existe
- 210. y puede ser menor que el dominio de f. EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Úsela para dibujar la derivada f. SOLUCIÓN Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto x, fx y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x 5, trace la tangente en P de la figura 2(a) y estime su pendiente como alrededor de , por tanto, f5 1.5. Esto permite situar el punto P5, 1.5 en la gráfica de f directamente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos, obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2(b). Advierta que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí y la gráfica de f cruza el eje x en los puntos A, B y C, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B, las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que fx es positiva allí. Pero entre B y C, las tangentes tienen pendientes negativas, de modo que fx es negativa allí. 3 2 FIGURA 1 x y 1 0 1 y=ƒ V fx lím h l 0 f x h fx h 2 fa lím h l 0 f a h fa h 1 2.8 154 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 154
- 211. EJEMPLO 2 (a) Si , encuentre una fórmula para fx. (b) Ilústrela comparando las gráficas de f y f. SOLUCIÓN (a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la va- riable es h y que x se considera temporalmente como una constante, durante el cálculo del límite. lím h l 0 3x2 3xh h2 1 3x2 1 lím h l 0 3x2 h 3xh2 h3 h h lím h l 0 x3 3x2 h 3xh2 h3 x h x3 x h fx lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 x h3 x h x3 x h fx x3 x V FIGURA 2 m=0 m=0 m=0 Pª(5, 1.5) y B A mÅ C P (a) x 1 1 0 5 y=ƒ y Aª Bª Cª (b) x 1 1 0 5 y=fª(x) 3 2 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 155 Visual 2.8 muestra una animación de la figura 2 para diferentes funciones. TEC CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 155
- 212. (b) Use un aparato para trazar las gráficas de f y f de la figura 3. Advierta que fx 0 cuando f tiene tangentes horizontales y que fx es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. De modo que estas gráficas sirven como comprobación de nuestra solución del inciso (a). EJEMPLO 3 Si , encuentre la derivada de f. Establezca el dominio de f. SOLUCIÓN Observe que fx existe si x 0, de modo que el dominio de f es 0, . Éste es menor que el dominio de f, el cual es 0, . Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las gráficas de f y f en la figura 4. Cuando x está cerca de 0, está cerca de 0, por lo tanto, es muy grande y esto corresponde a las rectas tangentes empinadas cerca de 0, 0 de la figura 4(a) y a los valores grandes de fx justo a la derecha de 0 en la figura 5(b). Cuando x es grande, fx es muy pequeño y esto corresponde a las rectas tangentes más aplanadas en la extrema derecha de la gráfica de f y la asíntota horizontal de la gráfica de f. EJEMPLO 4 Encuentre f si . SOLUCIÓN lím h l 0 3 2 x h2 x 3 2 x2 lím h l 0 3h h2 x h2 x lím h l 0 2 x 2h x2 xh 2 x h x2 xh h2 x h2 x lím h l 0 1 x h2 x 1 x2 x h h2 x h2 x lím h l 0 1 x h 2 x h 1 x 2 x h fx lím h l 0 f x h fx h f x 1 x 2 x fx 1(2sx) sx 1 sx sx 1 2sx lím h l 0 1 sx h sx lím h l 0 x h x h(sx h sx) lím h l 0 sx h sx h sx h sx sx h sx lím h l 0 sx h sx h f x lím h l 0 f x h fx h f x sx FIGURA 3 2 _2 _2 2 2 _2 _2 2 f fª 156 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS a b c d e ad bc bd 1 e FIGURA 4 (a) ƒ=œ„ x 1 2œ„ x (b) fª(x)= x 1 y 1 0 x 1 y 1 0 Aquí racionalice el numerador. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 156
- 213. OTRAS NOTACIONES Si usa la notación tradicional y fx para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, en tal caso algunas otras notaciones comunes para la derivada son: Los símbolos D y ddx se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo dydx introducido por Leibniz no debe considerarse como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de fx. No obstante, es una notación útil y sugeren- te, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación 2.7.6, puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma Si desea indicar el valor de una derivada dydx en la notación de Leibniz en un número es- pecífico a, use la notación o bien que es un sinónimo para fa. DEFINICIÓN Una función f es derivable en a si fa existe. Es derivable en un intervalo abierto a, b [o o o ] si es derivable en todo número del intervalo. EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función fx x ? SOLUCIÓN Si x 0, entonces x x y puede elegir h suficientemente pequeño que x h 0, de donde x h x h. Por lo tanto, para x 0 tiene y así f es derivable para cualquier x 0. De manera análoga, para x 0 tiene x x y se puede elegir h suficientemente pequeño para que x h 0 y, así, x h x h. Por lo tanto, para x 0, con lo que f es derivable para cualquier x 0. lím h l 0 x h x h lím h l 0 h h lím h l 0 1 1 f x lím h l 0 x h x h lím h l 0 x h x h lím h l 0 h h lím h l 0 1 1 fx lím h l 0 x h x h V , , a a, 3 dy dx xa dy dx xa dy dx lím x l 0 y x f x y dy dx df dx d dx f x Df x Dx fx SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 157 Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, en 1646, y estudió leyes, teología, filosofía y matemáticas en la universidad de allí. Obtuvo el grado de bachiller a los 17 años. Después de lograr su doctorado en leyes a la edad de 20, ingresó al servicio diplomático y pasó la mayor parte de su vida viajando por las capitales de Europa, en misiones diplomáticas. En particular, trabajó para conjurar una amenaza militar francesa contra Alemania e intentó reconciliar las Iglesias católica y protestante. Su estudio serio de las matemáticas no se inició sino hasta 1672, cuando se encontraba en una misión diplomática en París. Allí construyó una máquina para realizar cálculos y se encontró con científicos, como Huygens, quienes dirigieron su atención hacia los desarrollos más recientes en las matemáticas y las ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar una lógica simbólica y un sistema de notación que simplificara el razonamiento lógico. En la versión del cálculo que publicó en 1684 estableció la notación y las reglas para hallar derivadas que aún se usan en la actualidad. Por desgracia, en la década de 1690 surgió una terrible disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibniz acerca de quién había inventado el cálculo. Leibniz incluso fue acusado de plagio por los miembros de la Real Academia de Inglaterra. La verdad es que cada uno lo inventó por separado. Newton llegó primero a su versión del cálculo pero, debido a su temor a la controversia, no la publicó de inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz del cálculo en 1684 fue el primero en publicarse. LEIBNIZ CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 157
- 214. 158 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para x 0 debe investigar Compare los límites por la izquierda y por la derecha, por separado: y Como estos límites son diferentes, f0 no existe. Así, f es derivable en toda x, excepto 0. Se da una fórmula para f y su gráfica aparece en la figura 5(b). La inexistencia de f0 se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y x no tiene una recta tangente en 0, 0. Véase la figu- ra 5(a). Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una fun- ción y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan ambas TEOREMA Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. DEMOSTRACIÓN Para probar que f es continua en a, debe probar que límxl a fx fa. Lleve a cabo esto demostrando que la diferencia fx fa tiende a 0. La información dada es que f es derivable en a; es decir, existe. (Véase la ecuación 2.7.5.) Para vincular lo dado con lo desconocido, divida y multiplique fx fa por x a (lo cual es viable cuando x a): De este modo, si usa la ley de producto y la ecuación (2.7.5), puede escribir f a 0 0 lím x l a f x f a x a lím x l a x a lím x l a f x fa lím x l a f x f a x a x a fx fa f x fa x a x a f a lím x l a f x f a x a 4 fx 1 1 si x 0 si x 0 lím h l 0 0 h 0 h lím h l 0 h h lím h l 0 h h lím h l 0 1 1 lím h l 0 0 h 0 h lím h l 0 h h lím h l 0 h h lím h l 0 1 1 lím h l 0 0 h 0 h (si existe) f0 lím h l 0 f 0 h f0 h x 1 y _1 0 x y 0 FIGURA 5 (a) y=ƒ=| x | (b) y=fª(x) CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 158
- 215. Para utilizar lo que acaba de probar, parta de fx y súmele y réstele fa: En consecuencia, f es continua en a. | El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas pero no son derivables. Por ejemplo, la función fx x es continua en 0 porque (Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero, en el ejemplo 5 demostró que f no es derivable en 0. ¿CÓMO DEJA DE SER DERIVABLE UNA FUNCIÓN? En el ejemplo 5 vio que la función y x no es derivable en 0 y en la figura 5(a) muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x 0. En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “rizos”, la gráfica de f no tiene tangente en esos puntos y f no es derivable allí. Al intentar calcular fa, encuentra que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes. El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que si f no es continua en a, después f no es derivable en a. Por ende, en cualquier discontinuidad (por ejemplo, una discontinuidad por salto), f deja de ser derivable. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x a; es decir, f es continua en a y Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7(c) ilustra otra. Las tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7. Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabili- dad. Si f es derivable en a, por lo tanto, con un acercamiento al punto a, fa, la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo (a) Una esquina o rizo (c) Una tangente vertical (b) Una dicontinuidad FIGURA 7 Tres maneras para que ƒ no sea derivable en a x y a 0 x y a 0 x y a 0 lím x l a fx lím x l 0 f x lím x l 0 x 0 f 0 NOTA f a 0 fa lím x l a f a lím x l a f x fa lím x l a f x lím x l a f a fx f a SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 159 FIGURA 6 recta tangente vertical x y a 0 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 159
- 216. específico es la figura 2 de la sección 2.7.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos como los de las figuras 6 y 7(a), no puede eliminar el punto agudo o esquina. (Véase la figura 9.) DERIVADAS SUPERIORES Si f es una función derivable, entonces su derivada f también es una función, así, f puede tener una derivada de sí misma, señalada por f f . Esta nueva función f se denomi- na segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, se escribe la segunda derivada de y fx como EJEMPLO 6 Si fx x3 x, hallar e interpretar f x. SOLUCIÓN En el ejemplo 2 encontró que la primera derivada es fx 3x2 1. De este modo, la segunda derivada es Las gráficas de f, f y f se exhiben en la figura 10. Puede interpretar f x como la pendiente de la curva y fx en el punto x, fx. En otras palabras, es la relación de cambio de la pendiente de la curva original y fx. Observe de la figura 10 que f x es negativa cuando y fx tiene pendiente negativa y positiva cuando y fx tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven co- mo una comprobación de sus cálculos. En general, se puede interpretar una segunda derivada como una relación de cambio de una relación de cambio. El ejemplo más familiar es la aceleración, que se define co- mo sigue. Si s st es la función posición de un objeto que se traslada en una línea recta, se sabe que su primera derivada representa la velocidad vt del objeto como una función del tiempo: vt st ds dt lím h l 0 3x2 6xh 3h2 1 3x2 1 h lím h l 0 6x 3h 6x f x f x lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 3x h2 1 3x2 1 h d dx dy dx d2 y dx2 FIGURA 8 ƒ es derivable en a FIGURA 9 ƒ no es derivable en a x y a 0 x y a 0 160 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En Module 2.8 puede ver cómo cambian los coeficientes de un polinomio f que afecta el aspecto de la gráfica de f, f y f . TEC FIGURA 10 f · fª f 1.5 _2 2 _1.5 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 160
- 217. A la relación de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo se le llama ace- leración at del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la fun- ción velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición: at vt st o en la notación de Leibniz La tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada: f f . De este mo- do, f x se puede interpretar como la pendiente de la curva y f x o como la relación de cambio de f x. Si y fx, entonces, las notaciones alternativas para la tercera deri- vada son y f x El proceso puede continuar. La cuarta derivada f usualmente se señala mediante f 4 . En general, la n-esima derivada de f se señala mediante f n y se obtiene de f derivando n veces. Si y fx, escriba EJEMPLO 7 Si fx x3 x, hallar f x e interpretar f 4 x. SOLUCIÓN En el ejemplo 6 encontró que f x 6x. La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y 6x y de este modo, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada f x es la pendiente de f x, se tiene f x 6 para todos los valores de x. Así, f es una función constante y su gráfica es una línea horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x, f 4 x 0 Se puede interpretar la tercera derivada físicamente en el caso donde la función es la función posición s st de un objeto que se traslada a lo largo de una línea recta. Porque s s a, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le denomina jerk (impulso): Por esto el jerk j es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento repentino en un vehículo. Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f proporciona in- formación acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 vera cómo la segunda derivada y derivadas superiores permiten representar funciones como sumas de series in- finitas. j da dt d3 s dt3 yn f n x dn y dxn d dx d2 y dx2 d3 y dx3 a dv dt d2 s dt2 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 161 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 161
- 218. 162 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4–11 Trace o copie la gráfica de la función dada f. (Suponga que los ejes tienen escalas iguales.) Luego aplique el método del ejem- plo 1 para trazar la gráfica de f debajo de ella. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 12. Se muestra la gráfica de la función de población Pt para célu- las de levadura en un cultivo de laboratorio. Use el método del (células de levadura) t (horas) P 0 5 10 15 500 0 x y 11. x y 0 0 x y 0 x y x y 0 0 x y x y 0 5. 0 x y 1–2 Use la gráfica que se proporciona para estimar el valor de cada derivada. Luego dibuje f. 1. (a) f3 (b) f2 (c) f1 (d) f0 (e) f1 (f) f2 (g) f3 2. (a) f0 (b) f1 (c) f2 (d) f3 (e) f4 (f) f5 Correlacione la gráfica de cada función dada en las figuras (a)- (d) con las gráficas de sus derivadas en las figuras I a IV. Dé las razones para sus selecciones. II I III IV y 0 y 0 y 0 x x y 0 x x y 0 y 0 y 0 y 0 x x x x (b) (a) (c) (d) 3. y 0 x 1 1 y=f(x) y 0 x 1 1 y=f(x) EJERCICIOS 2.8 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 162
- 219. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 163 26. 28. 29. fx x4 30. (a) Dibuje a partir de la gráfica de apli- cando las transformaciones de la sección 1.3. (b) Use la gráfica del inciso (a) para trazar la de f. (c) Aplique la definición de derivada para hallar fx. ¿Cuáles son los dominios de f y de f? ; (d) Use un aparato graficador para trazar la gráfica de f y compárela con su esquema del inciso (b). 31. (a) Si fx x4 2x, encuentre fx. ; (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y de f. 32. (a) Si , encuentre ft. ; (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y de f. La tasa de desempleo Ut varía con el tiempo. La tabla del Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadísticas de Empleo) proporciona el porcentaje de desempleados en la fuerza laboral de Estados Unidos de 1993 al 2002. (a) ¿Cuál es el significado de Ut? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores para Ut. 34. Sea Pt el porcentaje de estadounidenses por debajo de 18 años de edad en el instante t. La tabla proporciona valores de esta función en los años en que se levantó un censo de 1950 a 2000. (a) ¿Cuál es el significado de P(t)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores para Pt. (c) Dibuje P y P. (d) ¿Cómo sería posible obtener valores más precisos para Pt? 33. f t t2 st y sx f x s6 x tx 1 st Gt 4t t 1 27. f x 3 x 1 3x tx s1 2x 25. ejemplo 1 para dibujar la derivada Pt. ¿Qué indica la gráfica de P acerca de la población de levadura? 13. La gráfica ilustra cómo ha variado la edad promedio en que contraían matrimonio por primera vez los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo XX. Trace la gráfica de la función derivada Mt. ¿Durante cuáles años fue negativa la derivada? 14–16 Trace una gráfica cuidadosa de f y, debajo de ella, la gráfica de f de la misma manera que en los ejercicios 4–11. ¿Puede intentar una fórmula para fx a partir de su gráfica? 14. fx sen x 15. fx ex 16. fx ln x ; Sea fx x2 . (a) Estime los valores de f0, , f1 y f2 usando un aparato graficador para hacer un acercamiento sobre la gráfica de f. (b) Aplique la simetría para deducir los valores de , f1 y f2. (c) Con los resultados de los incisos (a) y (b), proponga una fórmula para fx. (d) Aplique la definición de derivada para probar que su proposición del inciso (c) es correcta. ; 18. Sea fx x3 . (a) Estime los valores de f0, , f1, f2 y f3 usando un aparato graficador para hacer un acercamiento sobre la gráfica de f. (b) Aplique la simetría para deducir los valores de , f1, f2 y f3. (c) Use los valores de los incisos (a) y (b) para trazar la gráfica f. (d) Proponga una fórmula parar fx. (e) Aplique la definición de derivada para probar que su propo- sición del inciso (d) es correcta. 19–29 Encuentre la derivada de la función dada aplicando la defini- ción de derivada. Dé los dominios de la función y de su derivada. 19. 20. fx mx b 21. ft 5t 9t2 22. fx 1.5x2 x 3.7 23. fx x3 3x 5 24. f x x sx fx 1 2 x 1 3 f (1 2 ) f (1 2 ) f ( 1 2 ) f (1 2 ) 17. 1990 2000 25 M 1960 1970 1980 27 t t t 1993 6.9 1998 4.5 1994 6.1 1999 4.2 1995 5.6 2000 4.0 1996 5.4 2001 4.7 1997 4.9 2002 5.8 Ut Ut t t 1950 31.1 1980 28.0 1960 35.7 1990 25.7 1970 34.0 2000 25.7 Pt Pt CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 163
- 220. 164 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 43. La figura describe las gráficas de tres funciones. Una es la fun- ción posición de un automóvil, otra es la velocidad del mismo, y la de su aceleración. Identifique cada curva y explique su opción. 44. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones posición de un automóvil, otra la velocidad de él, la aceleración y la que resta su jerk. Identifique cada curva y explique su preferencia. ; 45–46 Aplique la definición de una derivada para hallar fx y f x. Después, grafique f, f y f en una misma pantalla y verifi- que para ver si sus respuestas son justas. 45. fx 1 4x x2 46. fx 1x ; Si fx 2x2 x3 , hallar fx, f x, f x y f4 x. Grafique f, f, f y f en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpretación geométrica de estas derivadas? 48. (a) Se muestra la gráfica de una función posición de un automó- vil, donde s se mide en pies y t en segundos. Utilice la gráfi- ca de la velocidad y la aceleración del automóvil. ¿Cuál es la aceleración en t 10 segundos? (b) Aplique la curva de aceleración del inciso (a) para estimar el jerk en t 10 segundos. ¿Cuáles son las unidades del jerk? 10 0 t s 100 20 47. 0 t y a b c d t y a b c 0 35–38 Se proporciona la gráfica de f. Establezca, con argumentos, los números en que f no es derivable. 36. 37. 38. ; 39. Dibuje la función . Haga acercamientos su- cesivos primero hacia el punto 1, 0 y luego en dirección al origen. ¿Qué diferencia existe en cuanto al comportamiento de f en las cercanías de estos dos puntos? ¿Qué conclusiones infie- re acerca de la derivabilidad de f ? ; 40. Haga un acercamiento hacia los puntos 1, 0, 0, 1 y 1, 0 sobre la gráfica de la función tx x2 123 . ¿Qué ad- vierte? Registre lo que observa en términos de la derivabilidad de t. La figura exhibe las gráficas de f, f y f . Indique cada curva y explique su elección. 42. La figura muestra gráficas de f, f, f y f . Identifique cada cur- va y explique su alternativa. x y a b c d x y a b c 41. f x x sx _2 2 x y 0 _2 4 x y 0 2 4 x y 0 _2 2 x y 0 35. CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:42 Page 164
- 221. CAPÍTULO 2 REPASO |||| 165 (a) Halle f 4 y f 4 para la función (b) Dibuje la gráfica de f. (c) ¿Dónde es f discontinua? (d) ¿Dónde f no es derivable? 55. Recuerde que a una función se le denomina como par si fx fx para toda x en su dominio e impar si fx fx para toda x. Pruebe cada uno de los siguientes (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par. 56. Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo. (a) Trace una gráfica posible de T como función del tiempo transcurrido desde que abrió la llave. (b) Describa cómo varía la relación de cambio de T con res- pecto a t, conforme ésta aumenta. (c) Dibuje la derivada de T. 57. Sea ᐍ la recta tangente a la parábola y x2 en el punto 1, 1. El ángulo de inclinación de ᐍ es el ángulo f que ᐍ describe con la dirección positiva del eje x. Calcule f correcto al grado más cercano. 1 5 x si x 4 f x 0 5 x si x 0 si 0 x 4 49. Sea . (a) Si a 0, use la ecuación 2.7.5 para hallar fa. (b) Demuestre que f0 no existe. (c) Demuestre que tiene una recta tangente vertical en 0, 0. (Recuerde la forma de la función de f. Véase la figura 13 de la sección 1.2.) 50. (a) Si tx x23 , demuestre que t0 no existe. (b) Si a 0, encuentre ta. (c) Demuestre que y x23 tiene una recta tangente vertical en 0, 0. ; (d) Ilustre el inciso (c) dibujando y x23 . Demuestre que la función fx x 6 no es derivable en 6. Encuentre una fórmula para f y trace su gráfica. 52. ¿Dónde es no derivable la función entero máximo fx x? Halle una fórmula para f y trace su gráfica. (a) Dibuje la gráfica de la función fx x x . (b) Para qué valores de x es f derivable. (c) Halle una fórmula para f. 54. Las derivadas izquierda y derecha de f en a están definidas por y si existen estos límites. En tal caso, fa existe si y sólo si es- tas derivadas laterales existen y son iguales. f a lím h l 0 f a h f a h f a lím h l 0 f a h f a h 53. 51. y s 3 x f x s 3 x REPASO REVISIÓN DE CONCEPTOS 2 (b) Qué significa decir que la recta es una asíntota hori- zontal de la curva ? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. 6. ¿Cuál de las curvas siguientes tiene asíntotas verticales? ¿Cuál tiene asíntotas horizontales? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 7. (a) ¿Qué significa que f sea continua en a? (b) ¿Qué significa que f sea continua en el intervalo ? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de tal función? 8. ¿Qué dice el teorema del valor intermedio? 9. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto . a, f a y f x , y sx y 1x y ln x y ex y tan1 x y tan x y sen x y x4 y f x y L 1. Explique qué significa cada una de las siguientes e ilustre me- diante un boceto. (a) (b) (c) (d) (e) 2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilus- tre con bocetos. 3. Enuncie las leyes de los límites siguientes. (a) Ley de la suma (b) Ley de la diferencia (c) Ley del múltiplo constante (d) Ley del producto (e) Ley del cociente (f) Ley de la potencia (g) Ley de la raíz 4. ¿Qué dice el teorema de la compresión? 5. (a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x a es una asíntota vertical de la curva y f(x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. lím xl f x L lím xla f x lím xla f x L lím xla f x L lím xla f x L CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 165
- 222. 166 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 13. Defina la segunda derivada de f. Si f(x) es la función de posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la segunda derivada? 14. (a) ¿Qué significa que sea derivable en a? (b) ¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función? (c) Trace la gráfica de una función que es continua pero no derivable en . 15. Describa varias maneras en que una función puede no ser de- rivable. Ilustre con bocetos. a 2 f 10. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posición f(t) en el instante t. Escriba una expresión para la velocidad instantánea de un objeto en el instante t a. ¿Cómo puede interpretar esta velocidad en términos de la gráfica de f? 11. Si y f(x) y x cambia de a , escriba expresiones para lo siguiente: (a) La razón promedio de cambio de y con respecto a x a lo largo del intervalo . (b) La razón instantánea de cambio de y con respecto a x en . 12. Defina la derivada f(a). Analice dos maneras de interpretar este número. x x1 x1, x2 x2 x1 Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. 2. 3. 4. Si y , entonces no existe. 5. Si y , entonces no existe. 6. Si existe, entonces el límite tiene que ser 7. Si p es un polinomio, entonces 8. Si y , luego . 9. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas. 10. Si f tiene un dominio y no tiene asíntota horizontal entonces o . límxl f x límxl f x 0, límxl0 f x tx 0 límxl 0 tx límxl0 f x límxlb px pb. f 6t6. límxl6 f xtx límxl5 f xtx límxl5 tx 0 límx l5 f x 0 límxl5 f xtx límxl 5 tx 0 límxl5 f x 2 lím x l1 x 3 x2 2x 4 lím x l1 x 3 lím x l1 x2 2x 4 lím xl1 x2 6x 7 x2 5x 6 lím xl1 x2 6x 7 lím xl1 x2 5x 6 lím xl4 2x x 4 8 x 4 lím xl4 2x x 4 lím xl4 8 x 4 11. Si la recta x 1 es una asíntota vertical de y f(x), entonces f no está definida en 1. 12. Si y , entonces existe un número c entre 1 y 3 tal que f(c) 0. 13. Si f es continua en 5 y f(5) 2 y f(4) 3, entonces 14. Si f es continua en y y entonces existe un número r tal que y . 15. Sea una función tal que . Entonces existe un número tal que si , entonces . 16. Si para toda x y entonces . 17. Si f es continua en a, entonces f es derivable en a. 18. Si existe, entonces 19. 20. La ecuación tiene una raíz en el intervalo (0, 2) x10 10x2 5 0 d2 y dx2 dy dx 2 límxl r f x f r. f r límx l 0 f x 1 límx l 0 f x f x 1 f x 6 1 0 x límx l 0 f x 6 f f r r 1 f 1 3, f 1 4 1, 1 límxl 2 f 4x2 11 2. f 3 0 f 1 0 PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 166
- 223. CAPÍTULO 2 REPASO |||| 167 1. Se da la gráfica de f. (a) Encuentre cada uno de los límites o explique por qué no existe. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (b) Enuncie las ecuaciones de las asíntotas horizontales. (c) Enuncie las ecuaciones de las asíntotas verticales. (d) ¿En qué números f es discontinua? 2. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes , , , , , f es continua desde la derecha en 3. 3–20 Encuentre el límite 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. lím xl exx2 lím x l sx2 4x 1 x lím xl 1 2x2 x4 5 x 3x 4 lím xlp lnsen x lím xl sx2 9 2x 6 lím xl sx2 9 2x 6 lím x l3 sx 6 x x3 3x2 lím u l1 u4 1 u3 5u2 6u lím v l 4 4 v 4 v lím r l9 sr r 94 lím tl2 t2 4 t3 8 lím hl0 h 13 1 h lím xl1 x2 9 x2 2x 3 lím xl3 x2 9 x2 2x 3 lím xl3 x2 9 x2 2x 3 lím xl1 ex3 x lím xl3 f x 2 lím xl3 f x lím xl 3 f x lím xl0 f x 0 lím xl f x 2 0 x y 1 1 lím xl f x lím xl f x lím xl2 f x lím xl0 f x lím xl4 f x lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl2 f x 19. 20. ; 21–22 Use las gráficas para descubrir las asíntotas de la curva. Luego pruebe qué ha descubierto. 21. 22. 23. Si para , encuentre . 24. Pruebe que . 25–28 Demuestre que cada afirmación es verdadera usando la definición precisa de límite. 25. 26. 27. 28. 29. Sea (a) Evalúe cada límite, si existe. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (b) ¿Dónde es discontinua f? (c) Trace la gráfica de f. 30. Sea (a) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si es continua por la izquierda, por la derecha o continua en el número. (b) Bosqueje la gráfica de t. 31–32 Demuestre que cada función es continua en su dominio. Dé el dominio. 31. 32. tx sx2 9 x2 2 hx xesen x t tx 2x x2 2 x x 4 si 0 x 2 si 2 x 3 si 3 x 4 si x 4 lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl3 f x lím xl0 f x lím xl0 f x lím xl0 f x f x sx 3 x x 32 si x 0 si 0 x 3 si x 3 lím x l 4 2 sx 4 lím xl2 x2 3x 2 lím x l 0 s 3 x 0 lím x l2 14 5x 4 límxl 0 x2 cos1x2 0 límxl1 f x 0 x 3 2x 1 f x x2 y sx2 x 1 sx2 x y cos2 x x2 lím xl1 1 x 1 1 x2 3x 2 lím xl0 tan1 1/x EJERCICIOS CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 167
- 224. 168 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 42–44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego dibuje directamente debajo su derivada. 42. 43. 44. 45. (a) Si , use la definición de derivada para ha- llar f(x). (b) Encuentre los dominios de f y f. ; (c) Trace f y f en una pantalla común. Compare las gráficas para ver si su respuesta al inciso (a) es razonable. 46. (a) Encuentre las asíntotas de la gráfica de y úselas para dibujar la gráfica. (b) Use la gráfica del inciso (a) para graficar f. (c) Aplique la definición de derivada para hallar f(x). ; (d) Utilice un aparato graficador para trazar la gráfica de f y compárela con su dibujo del inciso (b). 47. Se muestra la gráfica de f. Enuncie, con razones, los números en que f no es diferenciable. ; 48. La figura muestra la gráfica de f, f y f. Identifique cada cuerva y explique su elección. x y a b c 0 x y 2 0 4 6 _1 f x 4 x3 x f x s3 5x x y 0 x y 0 x y 33–34 Aplique el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado. 33. 34. , 35. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente en la curva en el punto . (b) Escriba una ecuación de esta tangente. 36. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva en los puntos de abcisas 0 y 1. 37. La expresión , da el desplazamiento (en metros) de un objeto que se mueve en una línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en los siguientes periodos (i) (ii) (iii) (iv) (b) Halle la velocidad instantánea cuando t 1. 38. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para cierto gas, PV 800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas. (a) Encuentre la razón promedio de cambio de P cuando V se incrementa de 200 pulg3 a 250 pulg3 . (b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón instantánea de cambio de V con respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de esta última. 39. (a) Use la definición de derivada para hallar , donde . (b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y x3 2x en el punto (2, 4). ; (c) Ilustre el inciso (b) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 40. Encuentre una función f y un número a tales que 41. El costo total de pagar un préstamo para estudiante, a una tasa de interés de r% por año es C f(r). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f(r)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Qué significa la proposición f(10) 1200? (c) ¿f(r) siempre es positiva o cambia de signo? lím h l0 2 h6 64 h f a f x x3 2x f 2 1, 1.1 1, 1.5 1, 2 1, 3 s 1 2t 1 4 t2 y 2 1 3x 2, 1 y 9 2x2 0, 1 ex2 x 2, 1 2x3 x2 2 0, CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 168
- 225. CAPÍTULO 2 REPASO |||| 169 51. Suponga que fx tx para todo x, y que límxla tx 0. Encuentre el límxla fx. 52. Sea fx x x. (a) ¿Para qué valores de a existe límxla fx? (b) ¿En qué números es discontinua la función f? t y 1940 1960 1970 1980 1990 1950 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 y=F(t) incremento de nacimientos reducción de nacimientos recuperación de nacimientos 49. Sea Ct el valor total de certificados bancarios en circulación en el instante t. La tabla de valores de esta función de 1980 a 2000, en miles de millones de dólares. Estime e interprete el valor de C(1990). 50. La tasa de fertilidad total, en el tiempo t, denotada con F(t), es una estimación del número promedio de niños nacidos de cada mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales perma- nezcan constantes). En la gráfica de la tasa de fertilidad total en Estados Unidos, se muestran las fluctuaciones desde 1940 hasta 1990. (a) Estime los valores de F(1950), F(1965) y F(1987). (b) ¿Cuáles son los significados de estas derivadas? (c) ¿Puede sugerir razones de los valores de estas derivadas? t 1980 1985 1990 1995 2000 C(t) 129.9 187.3 271.9 409.3 568.6 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 169
- 226. PROBLEMAS ADICIONALES En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia para resolver problemas llamada Introduzca algo adicional (véase la página 76). En el ejem- plo siguiente, se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La idea es cambiar la variable —introducir una nueva variable relacionada con la original— de tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, utilizará más esta idea general. EJEMPLO 1 Evalúe , donde c es una constante. SOLUCIÓN Según se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 evaluó varios límites en los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Allí, la estrategia fue realizar cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una cancelación simplificadora, pero en este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita. Por lo tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuación También necesita expresar x en términos de t, de modo que resuelva esta ecuación: Advierta que equivale a . Esto permite convertir el límite dado en uno que comprende la variable t: El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno más sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un diferencia de cubos, obtiene Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar, de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna dificultad, quizás le sirva consultar el análisis de los principios para la resolución de problemas en la página 76. 1. Evalúe . 2. Encuentre los números a y b tales que . lím x l 0 sax b 2 x 1 lím x l1 s 3 x 1 sx 1 PROBLEMAS lím t l1 c t2 t 1 c 3 lím t l1 ct 1 t3 1 lím t l1 ct 1 t 1t2 t 1 lím t l1 ct 1 t3 1 lím x l 0 s 3 1 cx 1 x lím t l1 t 1 t3 1c t l 1 x l 0 x t3 1 c t3 1 cx t s 3 1 cx lím x l 0 s 3 1 cx 1 x 170 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 170
- 227. PROBLEMAS ADICIONALES 3. Evalúe . 4. En la figura se muestra un punto P, en la parábola y el punto Q donde la mediatriz de OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. 5. Si denota la función entero, encuentre . 6. Dibuje la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes. (a) (b) (c) (d) 7. Encuentre todos los valores de a tales que sea continua en : 8. Un punto fijo de una función es un número en su dominio tal que . (La función no mueve a ; éste permanece fijo.) (a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio cuyo rango también se encuentre en . Localice un punto fijo de . (b) Intente graficar una función continua con dominio y rango en que no tenga un punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo? (c) Use el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio y rango en tiene que tener un punto fijo. 9. Si y , encuentre . 10. (a) En la figura se muestra un triángulo isósceles con . La bisectriz del ángulo interseca el lado en el punto P. Suponga que la base permanece fija, pero que la altura del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio de . ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. (b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación halle la ecuación de esta curva y úsela para dibujarla. 11. (a) Si parte de la latitud 0° y avanza en dirección oeste, puede denotar con la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. (b) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier círculo sobre la superficie de la Tierra? (c) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba del nivel del mar? 12. Si f es una función derivable y , use la definición derivada para demostrar que . 13. Suponga que f es una función que satisface para todos los números reales x y y. Suponga también que (a) Encuentre . (b) Encuentre . (c) Encuentre . 14. Suponga que f es una función con la propiedad de que para toda x. Muestre que . Enseguida, muestre que . f 0 0 f 0 0 f x x2 f x f 0 f 0 lím x l 0 f x x 1 f x y f x f y x2 y xy2 tx xf x f x tx xf x Tx BC M AM BC AC B B C ABC límx l a f xtx límx l a f x tx 1 límx l a f x tx 2 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1 f 0, 1 0, 1 c f c c c f f x x 1 x2 si x a si x a f x y 1 x y2 1 x2 y2 3 x2 y2 1 lím x l x x x y x2 lím x l 0 2x 1 2x 1 x FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 0 P Q y=≈ x y A C B M P FIGURA PARA EL PROBLEMA 10 171 CAPITULO-02-C 06/04/2009 18:43 Page 171
- 228. 172 Al medir las pendientes en puntos que se localizan en la curva seno obtiene claras evidencias de que la derivada de la función seno es la función coseno REGLAS DE DERIVACIÓN 3 x ƒ= y= sen x 0 x y y fª(x y= ) 0 π 2 m=1 m=_1 m=0 π 2 π π Hasta aquí, ha visto cómo interpretar las derivadas como pendientes y relaciones de cambio y ha estudiado cómo estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores. También ha aprendido la manera de graficar las derivadas de funciones que se definen gráficamente y ha usado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas mediante fórmulas. Pero sería tedioso si siempre tuviéra que aplicar la definición, de modo que, en este capítulo se desarrollan reglas para hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definición. Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad las derivadas de polinomios, funciones racionales, funciones algebraicas, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones tri- gonométricas inversas. A continuación usará estas reglas para resolver problemas en que intervienen relaciones de cambio, tangentes a curvas paramétricas y la aproximación de funciones. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 172
- 229. 173 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, funciones de poten- cias, polinomios y funciones exponenciales. Empiece por la más sencilla de todas las funciones, la función constante f(x) c. La gráfica de esta función es la recta horizontal y c, la cual tiene pendiente 0, de modo que debe tener f(x) 0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la defini- ción de derivada, también es fácil: En la notación de Leibniz, se escribe está notación como sigue: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE FUNCIONES POTENCIA En seguida, se consideran las funciones f(x) xn , donde n es un entero positivo. Si n 1, la gráfica de f(x) x es la recta y x, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura 2). De modo que (También puede comprobar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya ha in- vestigado los casos n 2 y n 3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 17 y 18), encontró que Para n 4, la derivada de f(x) x4 , queda como sigue: Así d dx x4 4x3 3 lím h l 0 4x3 6x2 h 4xh2 h3 4x3 lím h l 0 4x3 h 6x2 h2 4xh3 h4 h lím h l 0 x4 4x3 h 6x2 h2 4xh3 h4 x4 h fx lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 x h4 x4 h d dx x3 3x2 d dx x2 2x 2 d dx x 1 1 d dx c 0 lím h l 0 0 0 f x lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 c c h 3.1 FIGURA 1 La gráfica de ƒ=c es la recta y=c, por tanto fª(x)=0 y c 0 x y=c pendiente=0 y 0 x y=x pendiente=1 FIGURA 2 La gráfica de ƒ=x es la recta y=x, por tanto fª(x)=1 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 173
- 230. Si compara las ecuaciones (1), (2), (3), surge un patrón. Parece razonable presumir que, cuando n es un entero positivo, (d/dx)(xn ) nxn1 . Esto resulta cierto. Se demuestra de dos modos; en la segunda demostración se aplica el teorema del binomio REGLA DE LA POTENCIA Si n es un entero positivo, en consecuencia PRIMERA DEMOSTRACIÓN Puede verificar la fórmula multiplicando sólo el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una se- rie geométrica). Si , puede aplicar la ecuación 2.7.5 para y la ecuación anterior para escribir SEGUNDA DEMOSTRACIÓN Al hallar la derivada de x4 , tuvo que desarrollar (x h)4 . En este caso, necesita desarrollar (x h)n y, para hacerlo, aplique el teorema del binomio: porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por lo tanto, tienden a 0. En el ejemplo 1, se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones. EJEMPLO 1 (a) Si f(x) x6 , después f(x) 6x5 . (b) Si y x1000 , por lo tanto y 1000x999 . (c) Si , en seguida . (d) d dr r3 3r2 dy dt 4t3 y t4 nxn1 lím hl 0 nxn1 nn 1 2 xn2 h nxhn2 hn1 lím hl 0 nxn1 h nn 1 2 xn2 h2 nxhn1 hn h fx lím hl0 xn nxn1 h nn 1 2 xn2 h2 nxhn1 hn xn h f x lím hl 0 f x h fx h lím h l0 x hn xn h nan1 an1 an2 a aan2 an1 lím x l a xn1 xn2 a xan2 an1 fa lím x l a f x f a x a lím x l a xn an x a fa f x xn xn an x axn1 xn2 a xan2 an1 d dx xn nxn1 174 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El teorema del binomio se da en la página de referencia 1. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 174
- 231. ¿Qué se puede decir acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negati- vos? En el ejercicio 61 se le pide al lector que compruebe, a partir de la definición de derivada, que Por lo que puede escribir de nuevo esta ecuación como y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n 1. De hecho, en la sección siguiente ejercicio 58(c) se demuestra que se cumple para todos los enteros negativos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 en- contró que lo cual se puede escribir como Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando . De hecho, en la sección 3.6, se demuestra que es verdadera para todos los números reales n. REGLA DE LA POTENCIA (VERSIÓN GENERAL) Si n es cualquier número real, entonces EJEMPLO 2 Derive: (a) (b) SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x. (a) Como f(x) x2 , aplique la regla de la potencia con n 2: (b) La regla de la potencia permite hallar las líneas tangentes sin hacer uso de la defini- ción de una derivada. Además permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En el estudio de lo óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal al lente.) dy dx d dx (s 3 x2 ) d dx x23 2 3 x231 2 3 x13 fx d dx x2 2x21 2x3 2 x3 y s 3 x2 fx 1 x2 d dx xn nxn1 n 1 2 d dx x12 1 2 x12 d dx sx 1 2sx d dx x1 1x2 d dx 1 x 1 x2 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 175 En la figura 3 se muestra la función y del ejemplo 2(b) y su derivada y. Advierta que y no es derivable en 0 (y no está definida allí). Observe que y es positiva cuando y crece, y negativa cuando y decrece. 2 _2 _3 3 y yª FIGURA 3 y=# œ„ ≈ CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 175
- 232. EJEMPLO 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas. SOLUCIÓN La derivada de es De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es . Por consiguiente la ecuación de la recta tangente es o bien La línea normal es perpendicular a la línea tangente de tal manera que, su pendiente es el reciproco negativo de , es decir, . En estos términos una ecuación de la línea normal es o bien En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal. NUEVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTERIORES Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustrac- ción o multiplicación por una constante, sus derivadas se pueden calcular en términos de la derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la fórmula siguiente se afirma que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si c es una constante y f es una función derivable, entonces COMPROBACIÓN Sea t(x) cf(x). Después (por la ley de los límites 3) EJEMPLO 4 (a) (b) La siguiente regla dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. d dx x d dx 1x 1 d dx x 11 1 d dx 3x4 3 d dx x4 34x3 12x3 cf x c lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 cfx h fx h tx lím h l 0 tx h tx h lím h l 0 cf x h cf x h d dx cfx c d dx f x y 2 3 x 2 3 y 1 2 3 x 1 2 3 3 2 y 3 2 x 1 2 y 1 3 2 x 1 f 1 3 2 fx 3 2 x321 3 2 x12 3 2 sx fx xsx xx12 x32 y xsx V 176 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN x y 0 y=2ƒ y=ƒ La multiplicación por c 2 estira la gráfica verticalmente en un factor de 2. Todas las elevaciones se han duplicado, pero los avances permanecen iguales. Las pendientes también se duplican. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE 3 _1 _1 3 tangente normal FIGURA 4 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 176
- 233. REGLA DE LA SUMA Si f y t son derivables, entonces PRUEBA F(x) f(x) t(x). Entonces (por la ley 1) La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema dos veces obtiene Al escribir f t como f (1)t y aplicando la regla de la suma y la del múltiplo cons- tante, obtiene la fórmula siguiente. REGLA DE LA DIFERENCIA Si tanto f como t son derivables, entonces Estas tres reglas se pueden combinar con la regla de la potencia para derivar cualquier polinomio, como se demuestra en los ejemplos que siguen EJEMPLO 5 8x7 60x4 16x3 30x2 6 8x7 125x4 44x3 103x2 61 0 d dx x8 12 d dx x5 4 d dx x4 10 d dx x3 6 d dx x d dx 5 d dx x8 12x5 4x4 10x3 6x 5 d dx f x tx d dx f x d dx tx f t h f t h f t h f t h f x tx lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 tx h tx h lím h l 0 f x h fx h tx h tx h lím h l 0 f x h tx h f x tx h Fx lím h l 0 Fx h Fx h d dx f x tx d dx f x d dx tx SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 177 Si se utiliza la notación prima, puede escribir la regla de la suma como f t f t CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 177
- 234. EJEMPLO 6 Encuentre sobre la curva y x4 6x2 4, los puntos donde la recta tan- gente es horizontal. SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que, Así, dydx 0 si x 0 o x2 3 0, es decir, . Por eso, la curva dada tiene tangentes horizontales cuando x 0, y . Los puntos correspondientes son (0, 4) y . (Véase la figura 5.) EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s 2t3 5t2 3t 4, donde s se mide en centimetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son La aceleración después de 2 s es a(2) 14 cm/s2 . FUNCIONES EXPONENCIALES Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) ax , aplicando la función de derivada El factor ax no depende de h, de modo que puede llevarlo adelante del límite: Advierta que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es, En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f(x) ax es derivable en 0, entonces es derivable en todas partes y En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la propia función. (La pendiente es proporcional a la altura.) fx f 0ax 4 lím h l 0 ah 1 h f0 f x ax lím h l 0 ah 1 h lím h l 0 ax ah ax h lím h l 0 ax ah 1 h f x lím h l 0 f x h fx h lím h l 0 axh ax h a(t) dv dt 12t 10 v(t) ds dt 6t2 10t 3 (s3, 5) (s3, 5) s3 s3 x s3 4x3 12x 0 4xx2 3 dy dx d dx x4 6 d dx x2 d dx 4 V 178 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 5 La curva y=x$-6x@+4 y sus tangentes horizontales 0 x y (0, 4) {œ„ 3, _5} {_œ„ 3, _5} CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 178
- 235. En la tabla que aparece a la izquierda, se da evidencia numérica de la existencia de f(0) en los casos a 2 y a 3. (Los valores se dan correctos hasta cuatro posiciones decimales.) Parece que los límites existen y Para a 2 Para a 3 De hecho, se establecen los límites existentes y, correctos hasta seis cifras decimales, los valores son Por esto, de la ecuación 4 De todas las ecuaciones posibles para la base a de la ecuación 4, se tiene la fórmula más sencilla de derivación cuando f(0) 1. En vista de las estimaciones de f(0) para a 2 y a 3, parece razonable que exista un número a entre 2 y 3 para el que f(0) 1. Es tradicional denotar este valor con la letra e. (De hecho, así se presentó e en la sección 1.5.) Por esto se tiene la siguiente definición DEFINICIÓN DEL NÚMERO e e es el número tal que Geométricamente, esto significa que de todas las funciones exponenciales posibles y ax , la función f(x) ex es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene una pendiente f(0) que es exactamente 1. (Véase las figuras 6 y 7.) Si pone a e y, por lo tanto, f(0) 1 en la ecuación 4, se convierte en la importante fórmula de derivación que se proporciona a continuación. FIGURA 7 0 y 1 x pendiente=1 pendiente=e® y=e® {x, e®} 0 y 1 x y=2® y=e® y=3® FIGURA 6 lím h l 0 eh 1 h 1 d dx 3x 1.103x d dx 2x 0.692x 5 d dx 3x x0 1.098612 d dx 2x x0 0.693147 f0 lím h l 0 3h 1 h 1.10 f 0 lím h l 0 2h 1 h 0.69 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 179 h 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 3h 1 h 2h 1 h En el ejercicio 1 verá que e se encuentra entre 2.7 y 2.8. Más adelante será capaz de demostrar que e con cinco dígitos (o posiciones) decimales es e 2.71828 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 179
- 236. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL De donde la función exponencial f(x) ex tiene la propiedad de que es su propia deri- vada. El significado geométrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la curva y ex es igual a la coordenada y del punto (véase la figura 7). EJEMPLO 8 Si f(x) ex x, encuentre f y f. Compare las gráficas de f y f. SOLUCIÓN Si se aplica la regla de la diferencia, tiene En la sección 2.8 se define la segunda derivada como la derivada de f, así La función f y su derivada f se grafican en la figura 8. Observe que f tiene una tan- gente horizontal cuando ; esto corresponde al hecho de que . Asimismo, observe que para , es positiva y f es creciente. Cuando , es nega- tiva y f es decreciente. EJEMPLO 9 ¿En cuál punto de la curva y ex la recta tangente es paralela a la recta y 2x? SOLUCIÓN Como y ex , tenemos y ex . Sea a la coordenada x del punto en cuestión. Después, la pendiente de la recta tangente en ese punto es ea . Esta recta tangente será pa- ralela a la recta y 2x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualan las pendien- tes, se tiene Por lo tanto, el punto requerido es (a, ea ) (ln 2, 2). (Véase la figura 9.) a ln 2 ea 2 f x x 0 f x x 0 f 0 0 x 0 f x d dx ex 1 d dx ex d dx 1 ex fx d dx ex x d dx ex d dx x ex 1 V d dx ex ex 180 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 8 3 _1 1.5 _1.5 f fª FIGURA 9 1 1 0 x 2 3 y y=´ y=2x (ln 2, 2) Visual 3.1 aplica el alcance de una pendiente para examinar esta formula TEC (b) ¿Qué tipos de funciones son f(x) ex y t(x) xe ? Compare las fórmulas de derivación para f y t. (c) ¿Cuál de las dos funciones del inciso (b) crece con mayor rapidez cuando x es grande? 3–32 Derive la función. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ft 1 2 t6 3t 4 t f x x3 4x 6 Fx 3 4 x8 f t 2 2 3 t f x s30 f x 186.5 1. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites y correctos hasta dos dígitos decimales. ¿Qué puede concluir acerca del valor de e? 2. (a) Dibuje, a mano, la función f(x) ex , poniendo particular atención a la forma en que la gráfica cruza el eje y. ¿Qué hecho le permite hacer esto? lím hl0 2.8h 1 h lím hl0 2.7h 1 h EJERCICIOS 3.1 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 180
- 237. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE POLINOMIOS Y DE FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 181 (b) Utilizando la gráfica del inciso (a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la gráfica de f. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.9.) (c) Calcule f(x) y use esta expresión, con un aparato grafica- dor, para dibujar f. Compare con el boceto que trazó usted en el inciso (b). ; 44. (a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para dibujar la función t(x) ex 3x2 en el rectángulo de visualización 1, 4 por 8, 8 . (b) Aplicando la gráfica del inciso (a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la gráfica de t. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) (c) Calcule t(x) y aplique esta expresión, con un dispositivo gra- ficador, para dibujar t. Compare con su boceto del inciso (b). 45–46 Hallar la primera y segunda derivadas de la función 45. f(x) x4 3x2 16x ; 47–48 Hallar la primera y segunda derivadas de la función. Verifique para ver que sus respuestas sean razonables al comparar las gráficas de f, f y f 47. f(x) 2x 5x3/4 48. f(x) ex x3 La ecuación de movimiento de una partícula es s t3 3t, donde s está en metros y t en segundos. Hallar (a) la velocidad y aceleración como funciones de t. (b) la aceleración después de 2 s, y (c) la aceleración cuando la velocidad es 0 50. La ecuación de movimiento de una partícula es s 2t3 7t2 4t 1, donde s esta en metros y t en segundos. (a) Hallar la velocidad y aceleración como funciones de t. (b) Hallar la aceleración después de 1 s. ; (c) grafíque las funciones, posición, velocidad y aceleración en la misma pantalla Encuentre los puntos sobre la curva y 2x3 3x2 12x 1 donde la tangente es horizontal 52. ¿Para qué valores de x tiene una tangente horizontal la gráfica de f(x) x3 3x2 x 3? 53. Demuestre que la curva y 6x3 5x 3 no tiene recta tan- gente con pendiente 4. 54. Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva que es paralela a la línea y 1 3x 55. Hallar una ecuación de ambas rectas que son tangente a la curva y 1 x3 y paralela a la línea 12x y 1 ; 56. ¿En qué punto sobre la curva y 1 2ex 3x es la recta tan- gente paralela a la recta 3x y 5. Ilústrelo dibujando la curva y ambas rectas. 57. Establezca una ecuación de la recta normal a la parábola y x2 5x 4 que es paralela a la recta normal x 34 5 y x sx 51. 49. G(r) sr 3 sr 46. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. B(y) cy6 17. 18. 19. 20. 21. y ax2 bx c 22. 24. 25. 26. 27. H(x) (x x1 )3 28. 29. 30. 32. 33–34 Hallar una ecuación de la línea tangente a la curva en el punto que se indica. 33. (1.1) 34. y x4 2x2 x, (1.2) 35–36 Determine una ecuación de la tangente y la normal a la curva en el punto dado. , 36. , ; 37–38 Formule una ecuación para la tangente a la curva en el punto dado. Grafique la curva y la tangente en la misma pantalla. 37. , 38. , ; 39–42 Encuentre f(x). Compare las gráficas de f y f y úselas enseguida para explicar por qué su respuesta es razonable. 39. 40. 41. 42. ; 43. (a) Use una calculadora graficadora o una computadora para dibujar la función f(x) x4 3x3 6x2 7x 30 en el rectángulo de visualización 3, 5 por 10, 50 . f x x 1 x f x 3x15 5x3 3 f x 3x5 20x3 50x f x ex 5x 1, 0 y x sx 1, 2 y 3x2 x3 1, 9 y 1 2x2 0, 2 y x4 2ex 35. y 4 sx, y ex1 1 z A y10 Bey 31. v sx 1 3 sx 2 u 5 st 4st5 y aev b v c v2 tu s2u s3u y 4 2 y x2 2sx x y x2 4x 3 sx 23. y sx x 1 f t st 1 st F x (1 2 x)5 y s 3 x Gx sx 2ex As 12 s5 Rt 5t35 Vr 4 3 r3 y 5ex 3 y x25 h(x) (x 2)(2x 3) f t 1 4t4 8 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 181
- 238. 182 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 69. (a) ¿Para qué valores de la función es derivable? Encuentre una fórmula para f. (b) Grafique f y f. 70. ¿Dónde es derivable la función ? Proporcione una fórmula para h y grafique h y h. 71. Determine la parábola con ecuación cuya tangente en (1, 1) tiene por ecuación . 72. Considere la curva y x4 ax3 bx2 cx d que tiene una recta tangente donde x 0 con ecuación y 2x 1 y una recta tangente cuando x 1 con ecuación y 2 3x. Halle los valores de a, b, c y d. ¿Para qué valores de a y b es la recta 2x y b tangente a la parábola y ax2 cuando x 2? 74. Hallar el valor de c tal que la línea es tangente a la curva . 75. Sea Determine los valores de m y b que hacen que f sea siempre derivable. 76. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy c en un punto P. (a) Demuestre que el punto medio de este segmento de la recta que se corta de su recta tangente mediante los ejes de coor- denadas es P. (b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y los ejes de coordenadas tiene siempre la misma área, sin importar dónde se ubique P sobre la hipérbola. Evalúe . 78. Dibuje un diagrama en el que se muestren dos rectas perpendi- culares que se intersecan sobre el eje y, y son tangentes a la pa- rábola y x2 . ¿Dónde se intersecan estas rectas? 79. Si , ¿cuántas líneas a través del punto (0, c) son rectas normales a la parábola y x2 ? ¿que sucede si ? 80. Dibuje la parábola y x2 y y x2 2x 2. ¿Considera que existe una recta que es tangente a ambas curvas? De ser así, hallar su ecuación. Si no es así, ¿Por qué no? c 1 2 c 1 2 lím xl 1 x1000 1 x 1 77. f x x2 mx b si x 2 si x 2 y c sx y 3 2 x 6 73. y 3x 2 y ax2 bx hx x 1 x 2 f x x2 9 x 58. ¿Dónde corta por segunda vez la normal a la parábola que pasa por el punto (1, 0) a la misma parábola? Elabore un esquema. Dibuje un diagrama para demostrar que hay dos rectas tan- gentes a la parábola y x2 que pasan por el punto (0, 4). Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersecan la parábola. 60. (a) Halle ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 3) que sean tangentes a la parábola y x2 x. (b) Muestre que no hay ninguna recta que pase por el punto (2, 7) que es tangente a la parábola. Cuando dibuje el diagrama verá por qué. 61. Aplique la definición de derivada para demostrar que si , entonces . (Esto demuestra la regla de la potencia para el caso .) 62. Encuentre la derivada n-ésima de cada función calculando las primeras derivadas y observe el patrón que se desarrolla (a) f(x) xn f(x) 1/x 63. Hallar un polinomio de segundo grado P de tal manera que P(2) 5, P(2) 3, y P(2) 2 64. La ecuación y y 2y x2 se le llama ecuación diferencial porque involucra uno función desconocida y y sus derivadas y y y. Hallar las constantes A, B y C de tal manera que la fun- ción y Ax2 Bx C satisface esta ecuación. (Las ecuaciones diferenciales se estudiarán con detalle en el capítulo 9.) 65. Hallar una función cúbica y ax3 bx2 cx d cuya gráfica tiene una tangente horizontal en los puntos (2,6) y (2,0). 66. Hallar una parábola con ecuación y ax2 bx c que tiene pendiente 4 en x 1, pendiente 8 en x 1, y pasa a través de el punto (2, 15). 67. Sea ¿Es derivable f en 1? Dibuje las gráficas f y f. 68. ¿En qué valores la función siguiente t es derivable? Proporcione una fórmula para t y trace las gráficas de t y t. tx 1 2x x2 x si x 1 si 1 x 1 si x 1 f x 2 x x2 2x 2 si x 1 si x 1 n 1 f x 1x2 f x 1x 59. y x x2 Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una montaña rusa nueva. Des- pués de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente del ascenso 0.8 y la del descenso 1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y L1x y y L2x me- diante parte de una parábola y fx ax2 bx c, donde x y fx se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo tanto desea que los CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA P R OY E C TO D E A P L I C AC I Ó N CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 182
- 239. LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de ante- riores, por multiplicación o división. REGLA DEL PRODUCTO | Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría sentirse la tentación de presumir —como Leibniz lo hizo hace tres siglos— que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al considerar un ejemplo particular. Sea y . Por lo tanto la regla de la potencia da y . Pero , de modo que . Por eso, ft ft. La fórmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo des- pués de su falso inicio) y se llama regla del producto. Antes de enunciar la regla del producto, vea cómo podría descubrirla. En el caso don- de tanto u f(x) como v g(x) son funciones positivas, puede interpretar el producto uv como un área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad x, en seguida los cambios correspondientes en u y v son y el nuevo valor del producto, (u u)(v v), se puede interpretar como el área del rectángulo grande en la figura 1 (siempre que u y v sean positivos). El cambio en el área del rectángulo es la suma de las tres áreas sombreadas uv u uv v uv u v v u u v 1 v tx x tx u f x x fx ftx 3x2 ftx x3 tx 2x fx 1 tx x2 fx x 3.2 SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 183 segmentos directos L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la figura.) Para simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P. 1. (a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición. (b) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para fx. ; (c) Dibuje L1, f y L2 para verificar que las transiciones son uniformes. (d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. 2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido a que la pieza definida como función consistente de L1x para x 0, fx para 0 x 100 y L2(x) para x 100 no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar el diseño aplicando una función cuadrática qx ax2 bx c únicamente en el intervalo 10 x 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: (a) Escriba un sistema de ecuaciones en 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición. (b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de computo algebraico para encontrar las fórmulas para qx, tx y hx. (c) Dibuje L1, t, q, h y L2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso (c). CAS 90 x 100 hx px3 qx2 rx s tx kx3 lx2 mx n 0 x 10 L™ L¡ P f Q u Î√ Î√ √ u√ u Îu Î√ √ Îu Îu FIGURA 1 La geometría de la regla del producto CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 183
- 240. Si divide entre x, obtiene Si ahora hace que x l 0, obtiene la derivada de uv. (Advierta que u l 0 cuando x l 0, puesto que f es derivable y, por lo tanto, con- tinua.) Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra es válida si u, v, u y v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2, conocida como regla del producto, para todas las funciones diferenciables u y v. REGLA DEL PRODUCTO Si tanto f como g son derivables, en tal caso En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos fun- ciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función. EJEMPLO 1 (a) Si , encuentre . (a) Hallar la n-ésima derivada, f(n) (x). SOLUCIÓN (a) Por la regla del producto se tiene (b) Aplicando la regla del producto una segunda vez se obtiene (x 1)ex ex 1 (x 2)ex f x d dx [x 1ex ] (x 1) d dx ex ex d dx x 1 xex ex 1 x 1ex fx d dx xex x d dx ex ex d dx x f x fx xex d dx f xtx f x d dx tx tx d dx f x d dx uv u dv dx v du dx 2 u dv dx v du dx 0 dv dx u lím x l 0 v x v lím x l0 u x lím x l 0 ulím x l 0 v x d dx uv lím x l0 uv x lím x l 0 u v x v u x u v x uv x u v x v u x u v x 184 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Recuerde que en la notación de Leibniz la definición de derivada se puede escribir como dy dx lím xl0 y x En notación prima: ft ft tf 3 _1 _3 1.5 f fª FIGURA 2 En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 1 y su derivada f. Advierta que f(x) es positiva cuando f crece y negativa cuando f disminuye. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 184
- 241. La aplicación adicional de la regla del producto proporciona f(x) (x 3)ex f(4) (x) (x 4)ex En realidad, cada derivada que sigue adiciona otro término ex , de esa manera f(n) (x) (x n)ex EJEMPLO 2 Derive la función . SOLUCIÓN 1 Si se aplica la regla del producto, tiene SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar usa las leyes de los exponentes para volver a escribir f(t), después puede proceder directamente, sin aplicar la regla del producto. la cual equivale a la respuesta de la solución 1. En el ejemplo 2 se muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funcio- nes que utilizar la regla del producto. Sin embargo, en el ejemplo 1 esta regla es el único método posible. EJEMPLO 3 Si , donde y , encuentre SOLUCIÓN Si se aplica la regla del producto, obtiene De este modo REGLA DEL COCIENTE Encontrar una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u f(x) y v t(x) de manera muy similar a como se encontró la regla del producto. Si x, u y v cambian en cantidades x, u y v, en tal caso el cambio correspondiente en el cocien- te uv es u v u u v v u v u uv uv v vv v f4 s4 t4 t4 2s4 2 3 2 2 2 6.5 sx tx tx 2sx sx tx tx 1 2 x12 fx d dx [sx tx] sx d dx tx tx d dx [sx] f4. t4 3 t4 2 f x sx tx f t 1 2at12 3 2bt12 ft ast btst at12 bt32 bst a bt 2st a 3bt 2st st b a bt 1 2 t12 f t st d dt a bt a bt d dt st ft st a bt SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 185 vu uv vv v En el ejemplo 2, a y b son constantes. En matemáticas es habitual aplicar letras cerca del inicio del alfabeto para representar constantes y las letras cercanas del final del alfabeto representan variables CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 185
- 242. por eso A medida que x l 0, v l 0 también porque t es derivable y por consiguiente con- tinua. Así, al aplicar las leyes de los límites, obtiene REGLA DEL COCIENTE Si tanto f como t son diferenciables, entonces En palabras, en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el de- nominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplica- do por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. La regla del cociente y las otras fórmulas de derivación permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4 Sea . Entonces EJEMPLO 5 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto . SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente 1 x2 ex ex 2x 1 x2 2 ex 1 x2 1 x2 2 dy dx 1 x2 d dx ex ex d dx 1 x2 1 x2 2 1, e2 y ex 1 x2 V x4 2x3 6x2 12x 6 x3 62 2x4 x3 12x 6 3x4 3x3 6x2 x3 62 x3 62x 1 x2 x 23x2 x3 62 y x3 6 d dx x2 x 2 x2 x 2 d dx x3 6 x3 62 y x2 x 2 x3 6 V d dx fx tx tx d dx f x fx d dx tx tx 2 d dx u v v lím xl0 u x u lím xl 0 v x v lím xl 0 v v v du dx u dv dx v2 d dx u v lím xl 0 uv x lím xl0 v u x u v x vv v 186 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En notación prima f t t f ft t2 Puede usar un aparato graficador para comprobar que la respuesta al ejemplo 4 es plausible. En la figura 3 se muestran las gráfi- cas de la función de ese ejemplo y su derivada. Advierta que cuando y crece con rapidez (cerca de 2), y es grande. Y cuando y crece con lentitud, y está cercana a 0. 1.5 _1.5 _4 4 yª y FIGURA 3 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 186
- 243. De modo que la pendiente de la recta tangente en es Esto significa que la recta tangente en es horizontal y su ecuación es . Véase la figura 4. Advierta que la función es creciente y cruza su recta tangente en . No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más fácil volver a escribir un cociente para ponerlo en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función aplicando la regla del cociente es más fácil dividir primero y escribir la función como antes de derivar. Se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el momento como se des- cribe a continuación: TABLA DE FÓRMULAS DE DERIVACIÓN f t tf ft t2 ft ft tf f t f t f t f t cf cf d dx ex ex d dx xn nxn1 d dx c 0 Fx 3x 2x12 Fx 3x2 2sx x NOTA 1, 1 2 e y 1 2 e 1, 1 2 e dy dx x1 0 1, 1 2 e SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 187 2.5 0 _2 3.5 y= ´ 1+≈ FIGURA 4 y=_ e 2 7. 8. 9. 10. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. y 1 s kes y r2 2rer y t t 12 y t2 2 t4 3t3 1 y x 1 x3 x 2 y x3 1 x2 Rt t et (3 st) Fy 1 y2 3 y4 y 5y3 11. Yu u2 u3 u5 2u2 Vx 2x3 3x4 2x f t 2t 4 t2 tx 3x 1 2x 1 1. Encuentre la derivada de de dos maneras: aplicando la regla del producto y efectuando primero la multi- plicación. ¿Sus respuestas son equivalentes? 2. Encuentre la derivada de la función de dos maneras: primero aplicando la regla del cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere? 3–26 Derive la función 3. 4. 5. 6. y ex 1 x y ex x2 tx sx ex f x x3 2xex Fx x 3xsx sx y x2 1x3 1 EJERCICIOS 3.2 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 187
- 244. 188 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 39. (a) Si , hallar f(x) y f(x). ; (b) Verifique para ver que sus respuestas en el inciso (a) son razonables al comparar los gráficas de f, f y f. (a) Si , hallar f(x) y f(x). ; (b) Verifique para comprobar que sus respuestas en el inciso (a) son son justas al comparar los gráficas de f, f y f. 41. Si , hallar f(1). 42. Si , hallar t(n) (x). Suponga que , , y . En- cuentre los valores siguientes (a) (b) (c) 44. Considere que , , y , encuentre . (a) (b) (c) (d) Si , donde y , halle . 46. Si y , encuentre 47. Si y son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sean y . (a) Encuentre (b) Encuentre 48. Sea y , donde y son las funciones cuyas gráficas se muestran (a) Encuentre . (b) Encuentre . F G x y 0 1 1 Q7 P2 G F Qx FxGx Px FxGx f g x y 0 1 1 v5. u1. vx f xtx ux f xtx t f d dx hx x x2 h2 3 h2 4 f 0 t0 5 t0 2 f x ex tx 45. hx tx 1 fx hx fx tx hx fxtx hx 5f x 4tx h2 t2 7 f 2 2 t2 4 f 2 3 tf 5 ft5 ft5 t5 2 t5 3 f 5 6 f 5 1 43. tx x/ex f x x2 /1 x f x x/x2 1 40. f x x 1ex 19. 20. 21. 22. 23. 24. 26. 27–30 Hallar f(x) y f(x) 27. 28. 29. 30. 31–32 Encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva que se proporciona en el punto especifico. 31. , 32. , 33–34 Halle ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a la curva dada en el punto que se especifica. , 34. , 35. (a) La curva se llama bruja de Agnesi. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto . ; (b) Ilustre el inciso (a) trazando las gráficas de la curva y la recta tangente en la misma pantalla. (a) La curva se llama serpentina. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 37. (a) Si , encuentre . ; (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. 38. (a) Si , halle . ; (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. f x f x xx2 1 f x f x ex x3 y x1 x2 36. (1, 1 2 ) y 11 x2 4, 0.4 y sx x 1 0, 0 y 2xex 33. 1, e y ex x 1, 1 y 2x x 1 f x x 3 ex f x x2 1 2x f x x5/2 ex f x x4 ex f x ax b cx d f x x x c x 25. f x 1 xex x ex f x A B Cex tt t st t1/3 f t 2t 2 st z w32 w cew y v3 2vsv v CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 188
- 245. SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 189 modo que . Luego el ingreso total que se percibe con el precio de venta p es . (a) ¿Qué significa afirmar que y ? (b) Suponiendo los valores del inciso (a), encuentre R(20) e interprete su respuesta. (a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que si f, t y h son derivables, en tal caso . (b) Tome f t h en el inciso (a) y demuestre que (c) Aplique el resultado del inciso (b) para derivar . 56. (a) Si , donde f y t son derivables en todos los ordenes y demostrar que F ft 2ft ft. (b) Hallar formulas similares para F y F(4) . (c) Intente una formula para F(n) . 57. Hallar expresiones para las primeras cinco derivadas de f(x) x2 ex . ¿Observa algún patrón en estas expresiones? Intente una formula para f(n) (x) y compruebe aplicando inducción matemática. 58. (a) Si t es derivable la regla del recíproco dice que Aplique la regla del cociente para comprobar la regla del recíproco (b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del ejercicio 18. (c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la potencia es válida para números enteros negativos, es decir, para todos los números enteros positivos n. d dx xn nxn1 d dx 1 tx tx tx 2 Fx fxtx y e3x d dx fx 3 3 fx 2 fx fth f th fth fth 55. f 20 350 f 20 10000 Rp pf p q f p 49. Si es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. (a) (b) (c) Si es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. (a) (b) (c) (d) ¿Cuántas rectas tangentes a la curva ) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas tangentes? 52. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que sean paralelas a la recta . 53. En este ejercicio estime la proporción a la que se está elevando el ingreso personal total en el área metropolitana de Richmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de 9 200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30593 per cápita, y este promedio aumentaba en cerca de $1 400 al año (ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de $1 225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para estimar la proporción en la que estaba aumentando el ingreso personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término en la regla del producto. 54. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. La cantidad q de esta tela (medida en yardas) que se ven- de es función del precio de venta p (en dólares por yarda), de x 2y 2 y x 1 x 1 y xx 1 51. y 1 xf x sx y x2 f x y f x x2 y x2 f x f 50. y tx x y x tx y xtx t DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Antes de iniciar esta sección, quizá podría necesitar repasar las funciones trigonométricas. En particular, es importante recordar que cuando habla de la función f definida para todos los números reales x por f(x) sen x se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Se cum- ple una convención similar para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y cot. Recuerde, por lo que se vio en la sección 2.5, que todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios. Si traza la gráfica de la función f(x) sen x y utiliza la interpretación de como la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la gráfica de (véase el ejercicio 14 f fx 3.3 En el apéndice D se da un repaso de las funciones trigonométricas CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 189
- 246. de la sección 2.8), parece que la gráfica de esta última es la misma que la curva coseno (véase figura 1). Intente confirmar la conjetura de que si f(x) sen x, por lo tanto f(x) cos x. A partir de la definición de derivada Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como cons- tante al calcular un límite cuando , tiene y El límite de no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el ejemplo 3 de la sección 2.2, se infiere que Ahora, use un argumento geométrico para probar la ecuación 2. Suponga primero que se encuentra entre 0 y p2. En la figura 2(a) se muestra un sector de círculo con centro en O, ángulo central u y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián, lím l 0 sen 1 2 sen hh lím h l 0 cos x cos x lím h l 0 sen x sen x h l 0 lím h l 0 sen x lím h l 0 cos h 1 h lím h l 0 cos x lím h l 0 sen h h 1 lím h l 0 sen x cos h 1 h cos x sen h h lím h l 0 sen x cos h sen x h cos x sen h h lím h l 0 sen x cos h cos x sen h sen x h lím h l 0 senx h sen x h fx lím h l 0 f x h fx h x 0 2π x 0 π 2 FIGURA 1 π π 2 π ƒ= y= sen x y y fª(x y= ) 190 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Visual 3.3 muestra una animación de la figura 1 TEC Se usa la fórmula de la adición para el seno. Véase el apéndice D. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 190
- 247. arco . Asimismo, . Con base en el diagrama, se ve que En consecuencia de igual manera Suponga que las tangentes en A y B se intersecan en E. Puede ver, con base en la figura 2(b) que la circunferencia de un círculo es menor que la longitud de un polígono circunscri- to, de modo que arco . Así, (En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad a partir de la defi- nición de la longitud de un arco, sin recurrir a la intuición geométrica como se hizo aquí.) Por lo tanto, de modo que Sabe que y ; de este modo, por el teorema de la com- presión Pero la función es una función par, de suerte que sus límites por la derecha y la izquierda deben ser iguales. De donde, tiene de forma que ha probado la ecuación 2. Puede deducir el valor del límite restante en (1), como sigue: (por la ecuación 2) 1 0 1 1 0 lím l 0 sen lím l 0 sen cos 1 lím l 0 sen2 cos 1 lím l 0 sen sen cos 1 lím l 0 cos 1 lím l 0 cos 1 cos 1 cos 1 lím l 0 cos2 1 cos 1 lím l 0 sen 1 sen lím l 0 sen 1 lím l 0 cos 1 lím l 0 1 1 cos sen 1 sen cos tan tan AD OA tan AE ED arco AB AE EB AB AE EB sen 1 sen BC AB arco AB BC OBsen sen AB SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 191 (b) (a) FIGURA 2 B A E O ¨ B A O 1 D E C Multiplique el numerador y el denominador por para poner la función en una forma en que pueda usar los límites que conoce. cos 1 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 191
- 248. Si ahora pone los límites (2) y (3) en (1), obtiene Así ha probado la fórmula para la derivada de la función seno: EJEMPLO 1 Derive y x2 sen x. SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, tiene Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, se puede pro- bar (véase el ejercicio 20) que También se puede derivar la función tangente aplicando la definición de derivada, pero es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5: 1 cos2 x sec2 x cos2 x sen2 x cos2 x cos x cos x sen x sen x cos2 x cos x d dx sen x sen x d dx cos x cos2 x d dx tan x d dx sen x cos x d dx cos x sen x 5 x2 cos x 2x sen x dy dx x2 d dx sen x sen x d dx x2 V d dx sen x cos x 4 sen x 0 cos x 1 cos x f x lím h l 0 sen x lím h l 0 cos h 1 h lím h l 0 cos x lím h l 0 sen h h lím l 0 cos 1 0 3 192 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN La figura 3 muestra las gráficas de la función del ejemplo 1 y su derivada. Advierta que y 0 siempre que y tenga una tangente horizontal. 5 _5 _4 4 y yª FIGURA 3 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 192
- 249. También es fácil hallar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, aplicando la regla del cociente (véase los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente apare- cen todas las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son válidas sólo cuando x se mide en radianes. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLO 2 Derive . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene una tangente horizontal? SOLUCIÓN La regla del cociente da Al simplificar la respuesta, se usó la identidad . Como sec x nunca es 0, fx 0 cuando tan x 1, y esto sucede cuando , donde n es un entero (véase la figura 4). Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, las ondas, los movimientos elásticos y otras cantidades que varían de manera periódica, se pueden describir por medio de las funcio- nes trigonométricas. En el ejemplo siguiente, se analiza un caso de movimiento armónico simple. EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza hacia abajo 4 cm más allá de su posición de reposo, para estirar el resorte, y se deja en libertad en el instante t 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es s f t 4 cos t V x n 4 tan2 x 1 sec2 x sec x tan x 1 1 tan x2 sec x tan x tan2 x sec2 x 1 tan x2 1 tan x sec x tan x sec x sec2 x 1 tan x2 fx 1 tan x d dx sec x sec x d dx 1 tan x 1 tan x2 fx sec x 1 tan x d dx cot x csc2 x d dx tan x sec2 x d dx sec x sec x tan x d dx cos x sen x d dx csc x csc x cot x d dx sen x cos x d dx tan x sec2 x 6 SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 193 Cuando memorice esta tabla, resulta útil notar que los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”; es decir, coseno, cosecante y cotangente. 3 _3 _3 5 FIGURA 4 Las tangentes horizontales del ejemplo 2 s 0 4 FIGURA 5 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 193
- 250. Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el movimiento del objeto. SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son El objeto oscila desde el punto más bajo s 4 cm hasta el punto más alto s 4 cm. El periodo de la oscilación es 2p, el periodo de cos t. La rapidez (magnitud de la velocidad) es , la cual es máxima cuando ; es decir, cuando cos t 0. De modo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio s 0. Su rapidez es 0 cuando sen t 0; esto es, en los puntos alto y bajo. La aceleración a 4 cos t 0 cuando s 0. Alcanza la magnitud máxima en los puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6. EJEMPLO 4 Hallar la vigésima séptima derivada de cos x. SOLUCIÓN Las primeras derivadas de fx cos x son como sigue: fx sen x fx cos x fx sen x f(4) x cos x f(5) x sen x Así que las derivadas sucesivas suceden en un ciclo de extención 4 y, en particular, f(n) x cos x cada vez que n es un múltiplo de 4. En consecuencia f(24) x cos x y, derivando tres veces más, tiene f(27) x sen x La principal aplicación del límite en la ecuación 2 ha sido comprobar la formula de deri- vación de la función seno. Pero este límite también se aplica en la búsqueda de otros límites trigonométricos, como en los dos ejemplos siguientes. EJEMPLO 5 Determine . SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la ecuación 2, primero vuelva a escribir la función para multiplicar y dividir entre 7: sen 7x 4x 7 4 sen 7x 7x lím x l 0 sen 7x 4x sen t 1 v 4sen t a dv dt d dt 4 sen t 4 d dt sen t 4 cos t v ds dt d dt 4 cos t 4 d dt cos t 4 sen t 194 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Observe que . sen 7x 7 sen x Busque la norma FIGURA 6 2 _2 √ s a π 2π t 0 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 194
- 251. Si considera , entonces , cuando , de este modo, mediante la ecuación 2 EJEMPLO 6 Calcule . SOLUCIÓN En este caso se divide tanto al numerador como el denominador entre x: (según la continuidad del coseno y la ecuación 2) 1 cos 0 1 lím x l 0 cos x sen x x lím x l 0 cos x lím x l 0 sen x x lím x l 0 x cot x lím x l 0 x cos x sen x lím x l 0 x cot x V lím x l 0 sen 7x 4x 7 4 lím x l 0 sen 7x 7x 7 4 lím x l 0 sen 7 4 1 7 4 x l 0 u l 0 7x SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS |||| 195 21–24 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado. 21. 23. , 24. , 25. (a) Halle una ecuación de la recta tangente a la curva y 2x sen x en el punto . ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y sec x 2 cos x en el punto . ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 27. (a) Si , encuentre . ; (b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso (a) es razonable trazando las gráficas de f y f para . 28. (a) Si , calcule y fx. ; (b) Verifique que su respuesta del inciso (a) sea razonable graficando , y f. Si H(u) u sen u hallar H(u) y H(u) 30. Si fx sec x, hallar f . 4 29. f f f x f x ex cos x x p/2 f x f x sen x x 3, 1 2, 0, 1 y 1 sen x cos x 0, 1 y x cos x 0, 1 y ex cos x, 22. 3, 2 y sec x, 1–16 Encuentre las derivadas de: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Pruebe que . 18. Pruebe que . 19. Pruebe que . 20. Aplique la definición de derivada y pruebe que si fx cos x, por lo tanto fx sen x. d dx cot x csc2 x d dx sec x sec x tan x d dx csc x csc x cot x y x2 sen x tan x f x exx csc x y csc cot y sen x x2 y 1 sec x tan x f sec 1 sec y 1 sen x x cos x y x 2 tan x 9. y eu cos u cu h csc e cot tt 4 sec t tan t tt t3 cos t y 2 csc x 5 cos x f x sen x 1 2 cot x f x sx sen x f x 3x2 2 cos x EJERCICIOS 3.3 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 195
- 252. 196 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea u el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a u cuando ? 38. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, después la magnitud de la fuerza es donde m es una constante llamada coeficiente de fricción. (a) Encuentre la relación de cambio de F con respecto a u. (b) ¿Cuándo es igual a 0 esta relación de cambio? ; (c) Si lb y dibuje la gráfica de F como función de u y úsela para localizar el valor de esta última para el cual . ¿Resulta coherente el valor con su respuesta al inciso (b)? 39–48 Determine el límite 39. 40. 42. 43. 44. 46. 47. 48. 49. Derive cada identidad trigonométrica para obtener una identi- dad nueva (o conocida) (a) (b) (c) 50. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo isósceles PQR para formar una región en forma de cono, como sen x cos x 1 cot x csc x sec x 1 cos x tan x sen x cos x lím xl1 senx 1 x2 x 2 lím p l p/4 1 tan x sen x cos x lím xl0 sen (x2 ) x lím l0 sen tan 45. lím tl0 sen2 3t t2 lím l0 sencos sec lím l0 cos 1 sen lím tl0 tan 6t sen 2t 41. lím xl0 sen 4x sen 6x lím xl0 sen 3x x dFd 0 0.6 W 50 F W sen cos 3 37. 31. (a) Aplique la regla del cociente para derivar la función. (b) Simplifique la expresión de fx expresándola en términos de sen x y cos x y en seguida halle fx. (c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son equivalentes 32. Considere f(p/3) 4 y f(p/3) 2, y sea y Hallar (a) t(p/3) y (b) h(p/3). ¿Para qué valores de x la gráfica de tiene una tangente horizontal? 34. Determine los puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal. 35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada, en un movimiento armónico simple. (Véase la figura.) Su ecuación del movimiento es xt 8 sen t, donde t está en segundos y x en centímetros. (a) Encuentre la velocidad y aclaración en el instante t. (b) Encuentre la posición, la velocidad y la aclaración de la masa en el instante . ¿En qué dirección se desplaza en ese instante? ; 36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente en un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento es , , donde s se mide en centímetros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente hacia abajo.) (a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. (b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración. (c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por primera vez? (d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa? (e) ¿Cuándo es máxima la magnitud de la velocidad? t 0 s 2 cos t 3 sen t x x 0 posición de equilibrio t 2 3 y cos x2 sen x f x x 2 sen x 33. h(x) cos x f (x) t(x) f (x) sen x f (x) tan x 1 sec x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 196
- 253. SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 197 En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos subtendidos por un ángulo central . Encuentre d ¨ s lím l 0 s d 51. el que se ilustra en la figura. Si es el área del semicírculo y es el área del triángulo, halle P Q R B(¨) A(¨) ¨ 10 cm 10 cm lím l0 A B B A LA REGLA DE LA CADENA Suponga que se le pide derivar la función Las fórmulas de derivación que aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no lo capacitan para calcular . Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hace y , en este caso puede escribir , es decir, . Sabe cómo derivar tanto f como t, de modo que sería útil contar con una regla que le diga cómo hallar la derivada de en términos de las derivadas de f y t. Resulta que la derivada de la función compuesta es el producto de las derivadas de f y t. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se lla- ma regla de la cadena. Parece plausible, si interpreta las derivadas como razones de cambio. Considere como la relación de cambio de u con respecto a x, co- mo la relación de cambio de y en relación a u y como la relación de cambio de y con respecto de x. Si u cambia al doble de rapidez de x y y cambia tres veces más rápido que u, en este caso resulta razonable que y cambie seis veces más rápido que x y por lo tanto esperamos que REGLA DE LA CADENA Si t es derivable en x y f en t(x), entonces la función compuesta definida mediante , en derivable x y F está dada por el producto En la notación de Leibniz, si tanto como son funciones diferen- ciables, por lo tanto dy dx dy du du dx u tx y f u Fx f tx tx Fx f tx F f t dy dx dy du du dx dydu dydu dudx f t F f t F f t y Fx ftx u tx x2 1 y fu su Fx Fx sx2 1 3.4 Vea la sección 1.3 para un repaso de funciones compuestas CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 197
- 254. COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea el cambio en u correspondiente a un cambio de en x; es decir Por lo tanto el cambio correspondiente en es Resulta tentador escribir El único defecto de este razonamiento es que, en (1), podría suceder que (incluso cuando ) y, por supuesto, no puede dividir entre 0. No obstante, este razonamiento por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da una prueba completa de la regla de la cadena. La regla de la cadena se puede escribir con apóstrofos o bien, si y , en la notación de Leibniz: La ecuación 3 es fácil de recordar porque, si y fueran cocientes, después po- dría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir como un cociente real. EJEMPLO 1 Encuentre si . SOLUCIÓN 1 (Con la ecuación 2): Al principio de esta sección, se expresó como donde y . Dado que y tiene 1 2sx2 1 2x x sx2 1 Fx ftx tx tx 2x f u 1 2 u12 1 2su tx x2 1 fu su Fx f tx ftx F Fx sx2 1 Fx dudx dudx dydu dy dx dy du du dx 3 u tx y f u f tx f tx tx 2 x 0 u 0 dy du du dx lím u l 0 y u lím x l 0 u x lím x l 0 y u lím x l 0 u x lím x l 0 y u u x 1 dy dx lím x l 0 y x y f u u f u y u tx x tx x u 198 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN (Advierta que cuando porque es continua.) t x l 0 u l 0 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 198
- 255. SOLUCIÓN 2 (con la ecuación 3): Si hace y , después Al utilizar la fórmula 3, debe tener presente que dydx se refiere a la derivada de y cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y con respecto a x), en tanto que dydu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la derivada de y en función de u). Por lo tanto, en el ejemplo 1 y se puede considerar como función de y como función de u . Advierta que en tanto que En la aplicación de la regla de la cadena, trabaja del exterior hacia el interior. La fórmula 2 expresa que deriva la función exterior f en la función interior tx y, a continuación, multiplica por la derivada de la función interior. EJEMPLO 2 Derive (a) y senx2 y (b) y sen2 x. SOLUCIÓN (a) Si y senx2 , por lo tanto la función exterior es la función seno y la interior es la función de elevar al cuadrado, de modo que la regla de la cadena da (b) Observe que sen2 x sen x2 . En este caso, la función exterior es la de elevar al cuadrado y la interior es la función seno. Por lo tanto, La respuesta se puede dejar como 2 sen x cos x, o bien, escribirse como sen 2x (por una identidad trigonométrica conocida como la fórmula del ángulo doble). En el ejemplo 2(a), combinó la regla de la cadena con la regla para derivar la función se- no. En general, si y sen u, donde u es una función diferenciable de x, en consecuencia, por la regla de la cadena, dy dx dy du du dx cos u du dx dy dx d dx sen x2 2 sen x cos x 2x cosx2 dy dx d dx sen x2 cos x2 2x V d dx f tx f tx tx NOTA dy du f u 1 2su dy dx Fx x sx2 1 (y su) x (y sx2 1) 1 2sx2 1 2x x sx2 1 Fx dy du du dx 1 2su 2x y su u x2 1 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 199 función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior función exterior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior Véase la página de referencia 2 o el apéndice D. CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 199
- 256. De esta manera, De manera semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas se pue- den combinar con la regla de la cadena. Para hacer explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior f es una función potencia. Si y tx n , entonces puede escribir y fu un , donde u tx. Si aplica la regla de la cadena y, a continuación, la regla de la potencia, ob- tiene REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON LA REGLA DE LA CADENA Si n es cualquier número real y u tx es derivable, entonces De modo alternativo, Advierta que la derivada del ejemplo 1 pudo calcularse al tomar en la regla 4. EJEMPLO 3 Derive y x3 1100 . SOLUCIÓN Si, en (4), se toma u tx x3 1 y n 100, tiene EJEMPLO 4 Encuentre fx si . SOLUCIÓN En primer lugar, reescriba f: . De este modo EJEMPLO 5 Encuentre la derivada de la función SOLUCIÓN Si se combina la regla de la potencia, la de la cadena y la del cociente, obtiene 9t 2 2t 1 8 2t 1 1 2t 2 2t 12 45t 28 2t 110 tt 9t 2 2t 1 8 d dt t 2 2t 1 tt t 2 2t 1 9 1 3 x2 x 143 2x 1 fx 1 3 x2 x 143 d dx x2 x 1 f x x2 x 113 fx 1 s 3 x2 x 1 V 100x3 199 3x2 300x2 x3 199 dy dx d dx x3 1100 100x3 199 d dx x3 1 n 1 2 d dx tx n n tx n1 tx d dx un nun1 du dx 4 dy dx dy du du dx nun1 du dx n tx n1 tx d dx sen u cos u du dx 200 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 200
- 257. EJEMPLO 6 Derive . SOLUCIÓN En este ejemplo debe aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de la cadena: Al observar que cada término tiene el factor común , podría factorizarlo y escribir la respuesta como EJEMPLO 7 Derive y esen x . SOLUCIÓN En este caso, la función interior es t(x) sen x y la exterior es la función ex- ponencial f(x) ex . Por lo tanto, por la regla de la cadena, Puede aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cualquier base . Recuerde, por lo visto en la sección 1.6, que a eln a . De este modo, y la regla de la cadena da porque ln a es una constante. De este modo, tiene la fórmula En particular, si a 2, obtiene d dx 2x 2x ln 2 6 d dx ax ax ln a 5 eln ax ln a ax ln a d dx ax d dx eln ax eln ax d dx ln ax ax eln a x eln ax a 0 dy dx d dx esen x esen x d dx sen x esen x cos x dy dx 22x 14 x3 x 13 17x3 6x2 9x 3 22x 14 x3 x 13 42x 15 x3 x 13 3x2 1 5x3 x 14 2x 14 2 x3 x 14 52x 14 d dx 2x 1 2x 15 4x3 x 13 d dx x3 x 1 dy dx 2x 15 d dx x3 x 14 x3 x 14 d dx 2x 15 y 2x 15 x3 x 14 SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 201 En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones y y ydel ejemplo 6. Advierta que y es grande cuando y crece con rapidez, y y 0 cuando y tiene una tangente horizontal. De modo que la respuesta parece ser razonable. 10 _10 _2 1 y yª FIGURA 1 No confunda la fórmula 5 (donde es el exponente) con la regla de la potencia (donde es la base): d dx xn nxn1 x x La regla de la cadena en su forma más general d dx eu eu du dx CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 201
- 258. En la sección 3.1, se dio la estimación Esto resulta coherente con la fórmula exacta (6), porque . Queda clara la razón del nombre “regla de la cadena”, cuando se alarga una cadena, se agrega al otro eslabón. Suponga que y f(u), u t(x) y x h(t), donde f, t y h son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y con respecto a t, aplique dos veces la regla de la cadena: EJEMPLO 8 Si f(x) sen(cos(tan x)), por lo tanto Advierta que la regla de la cadena se ha aplicado dos veces. EJEMPLO 9 Derive . SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función media es la función se- cante y la función interna es la función triplicadora. De modo que CÓMO PROBAR LA REGLA DE LA CADENA Recuerde que si y f(x) y x cambia de a a , se define el incremento de y como Según la definición de derivada Por consiguiente, si denota por medio de e la diferencia entre el cociente de diferencia y la derivada, obtiene lím x l 0 lím x l 0 y x f a f a fa 0 lím x l 0 y x f a y fa x f a a x 3esec 3 sec 3 tan 3 esec 3 sec 3 tan 3 d d 3 dy d esec 3 d d sec 3 y esec 3 coscostan x sentan x sec2 x coscostan x sentan x d dx tan x fx coscostan x d dx costan x V dy dt dy dx dx dt dy du du dx dx dt ln 2 0.693147 d dx 2x 0.692x 202 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 202
- 259. pero Si define e como 0 cuando , entonces e se convierte en función continua de . De esta manera para una función f derivable, podemos escribir y es una función continua de . Esta propiedad de las funciones derivables es lo que permite probar la regla de la cadena. PRUEBA DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que es derivable en a y y f(u) lo es en b t(a). Si es un incremento en x y y son los incrementos correspon- dientes en u y y, en seguida puede aplicar la ecuación 7 para escribir donde cuando . De manera análoga donde cuando . Si ahora sustituye la expresión para de la ecuación 8 en la ecuación 9, obtiene de modo que Cuando , la ecuación 8 demuestra que . De modo que tanto el y a medida que Debido a eso Esto prueba la regla de la cadena. f bta f tata dy dx lím x l 0 y x lím x l 0 f b 2 ta 1 x l 0. 2 l 0 1 l 0 u l 0 x l 0 y x f b 2 ta 1 y fb 2 ta 1 x u u l 0 2 l 0 y f b u 2 u f b 2 u 9 x l 0 1 l 0 u ta x 1 x ta 1 x 8 y u x u tx x y fa x x donde l 0 a medida que x l 0 7 x x 0 y x f a ? y f a x x SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 203 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. y x2 1s 3 x2 2 y 2x 54 8x2 53 ht t4 13 t3 14 tx 1 4x5 3 x x2 8 y 3 cos(nu) y xekx y a3 cos3 x y cosa3 x3 f t s 3 1 tan t tt 1 t4 13 f x 1 x4 23 Fx s 4 1 2x x3 1–6 Escriba la función compuesta en la forma f(t(x)). Identifique la función interior u t(x) y la exterior y f(u) . Luego, encuentre la derivada dydx. 1. 2. 3. 4. 6. 7–46 Halle la derivada de la función. 7. 8. Fx 4x x2 100 Fx x4 3x2 25 y senex y esx 5. y tansen x y 1 x2 10 y s4 3x y sen 4x EJERCICIOS 3.4 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 203
- 260. 204 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ; 58. La función f(x) sen(x sen 2x), , surge en aplicaciones de la síntesis de modulación de frecuencia (FM). (a) Use una gráfica de f producida por un aparato graficador para trazar un boceto aproximado de la gráfica de f. (b) Calcule f(x) y utilice esta expresión, junto con un dispositivo graficador, para graficar f. Compare con su boceto del inciso (a). Encuentre todos los puntos en la gráfica de la función en los cuales la recta tangente es horizontal. 60. Determine las coordenadas x de todos los puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal. Si donde f(2) 8, f(2) 4, . t(5) 2, y Hallar . 62. Si , donde f(1) 7 y , hallar . 63. Se da una tabla de valores de f, t, f y t (a) Si , encuentre h(1). (b) Si , halle H(1). 64. Sean f y t las funciones del ejercicio 63. (a) Si , encuentre F(2). (b) Si , encuentre G(3). Si f y t son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sea , , y . Encuentre, si existe, cada derivada. En caso contrario, explique por qué. (a) (b) (c) 66. Si f es la derivada cuya gráfica se muestra, sea h(x) f(f(x)) y t(x) f(x2 ). Utilice la gráfica de f para estimar el valor de cada derivada. (a) (b) x y 0 1 y=ƒ 1 t2 h2 x y 0 f g 1 1 w1 v1 u1 wx ttx vx t f x ux f tx 65. Gx ttx Fx f f x Hx t f x hx f tx h1 f 1 4 hx s4 3fx F5 t5 6 f 5 3 Fx f tx 61. y sen 2x 2 sen x f x 2 sen x sen2 x 59. 0 x 21. 22. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47–50 Hallar la primera y segunda derivadas de la función. 47. 48. 49. 50. 51–54 Encuentre una ecuación de la recta tangente de la curva en un punto dado. 51. , (0, 1) 52. , (0, 0) 53. , (p, 0) 54. (a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0, 1). ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente sobre la misma pantalla. 56. (a) La curva se llama curva nariz de bala. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1). ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente so- bre la misma pantalla. 57. (a) Si , encuentre f(x). ; (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y f. f x xs2 x2 y x s2 x2 y 21 ex 55. 1, 1e y x2 ex y sensen x y sen x sen2 x y 1 2x10 y eex y ex sen bx y xecx hx sx2 1 y [x x sen2 x3 ]4 y cosssen tan px y 23x2 tx 2rarx np y sx sx sx ft sen2 esen2 t y sensensen x ft tanet etan t y ek tan sx y cot2 sen 37. ft t t2 4 y cos1 e2x 1 e2x y x sen 1 x y sec2 x tan2 x y tan2 3 y 2sen x G(y) y2 y 1 5 y sentan 2x y eu eu eu eu y r sr2 1 Gy y 14 y2 2y5 Fz z 1 z 1 y 101x 2 y ex cos x 23. y e5x cos 3x y x2 1 x2 1 3 x 1 3 2 4 6 2 1 8 5 7 3 7 2 7 9 tx f x tx f x CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 204
- 261. SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 205 Aplique este modelo para comparar cómo aumentan las horas de luz diurna en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo. ; 81. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un amorti- guador en un automóvil) se modela a menudo mediante el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es donde s se mide en centímetros y t en segundos. Halle la velocidad después que transcurren t segundos y dibuje las funciones de posición y de velocidad para . 82. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. En la sección 9.4 verá que ésta es una ecuación razonable para p(t). (a) Encuentre . (b) Halle la rapidez de esparcimiento del rumor. ; (c) Dibuje p para el caso en que a 10, k 0.5, con t medido en horas. Use la gráfica para estimar cuánto tiempo transcurrirá para que el 80% de la población escuche el rumor. 83. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con desplazamiento s(t), velocidad v(t), y aceleración a(t). Demuestre que Explique la diferencia entre los significados de los derivados dv/dt y dv/ds. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima. En cual- quier tiempo t, el volumen del globos es V(t) y su radio es r(t). (a) ¿qué representa las derivadas dV/dr y dV/dt. (b) Expres dV/dt en terminos de dr/dt. ; 85. El flash (unidad de destello) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación repentina cuando se lanza el destello. Los datos siguientes descri- ben la carga que queda en el capacitor (en microcoulombs, C) en el instante t (en segundos) (a) Halle, usando una calculadora graficadora o una computadora, un modelo exponencial para la carga. (b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (en microamperes, A) que fluye del capacitor hacia el bulbo de la lámpara de destello. Con el resultado del inciso (a), estime la corriente cuando t 0.04 s. Compare la respuesta con el resultado del ejemplo 2 de la sección 2.1. 84. at vt dv ds límtl pt pt 1 1 aek t 0 t 2 st 2e1.5t sen 2 t Suponga que f es derivable en . Sea F(x) f(ex ) y G(x) e f(x) . Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x). 68. Suponga que f es derivable en y a es un número real. Sea y . Encuentre expresiones para (a) F(x) y (b) G(x). 69. Sea r(x) f(t(h(x))), donde h(1) 2, t(2) 3, h(1) 4, t(2) 5 y f(3) 6. Encuentre r(1). 70. Si t es una función derivable dos veces y f(x) xt(x2 ), hallar f en términos de t, t, y t. 71. Si F(x) f(3f(4f(x))), donde f(0) 0 y f(0) 2, hallar F(0). 72. Si F(x) f(xf(xf(x))), donde f(1) 2,f(2) 3,f(1) 4, f(2) 5, y f(3) 6, hallar F(1). 73. Demuestre que la función y Aex Bxex satisface la ecuación diferencial y 2y y 0. 74. ¿Para que valores de r la función y erx satisface la ecuación y 5y 6y 0? Hallar la quincuagésima derivada de y cos 2x. 76. Encuentre la derivada 1000 de f(x) xex . La ecuación expresa el desplazamiento de una partícula de una cuerda vibrante. En ella s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad y la aceleración de la partícula después de t segundos. 78. Si la ecuación del movimiento de una partícula está dada por , se dice que la partícula describe un movimiento armónico simple. (a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t. (b) ¿Cuándo es 0 la velocidad? 79. Una estrella variable Cefeida tiene brillantez que aumenta y disminuye de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es la Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0 y su brillantez cambia en . En vista de estos datos, la brillantez de la Delta Cefeida en el tiempo t, donde éste se mide en días, se ha modelado mediante la función (a) Halle la relación de cambio de la brillantez después de t días. (b) Encuentre, correcta hasta dos cifras decimales, la relación de aumento después de un día. 80. En el ejemplo 4 de la sección 1.3, obtuvo un modelo para la duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo día del año Lt 12 2.8 sen2 365 t 80 Bt 4.0 0.35 sen2 t 5.4 0.35 s A cost st 10 1 4 sen10 t 77. 75. Gx f x Fx f x 67. t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 205
- 262. 206 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 90. Aplique la regla de la cadena y la regla del producto para obtener otra demostración de la regla del cociente. [Sugerencia: escriba .] 91. (a) Si es un entero positivo, demuestre que (b) Plantee una fórmula para la derivada de que es similar a la del inciso (a). 92. Suponga que es una curva que siempre queda arriba del eje x y nunca tiene una tangente horizontal, donde f es derivable en todos los puntos. ¿Para qué valor de y la relación de cambio de y5 con respecto a x es 80 veces la tasa de cambio de y con respecto a x? Use la regla de la cadena para demostrar que si u se mide en grados, después (Esto da una razón para la convención de que siempre se use el radián cuando se manejen funciones trigonométricas en el cálcu- lo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usara el grado.) 94. (a) Escriba y aplique la regla de la cadena para demostrar que (b) Si , encuentre y trace las gráficas de f y f. ¿En dónde f no es derivable? (c) Si , halle t(x) y dibuje t y t. ¿En dónde t no es derivable? 95. Si y f(u) y u t(x), f y t son funciones derivables dos veces, demuestre que 96. Si y f(u) y u t(x), donde f y t tienen tercera derivada, ha- llar una formula por d3 y/dx3 parecida a la que se proporciona en el ejercicio 95 d2 y dx2 d2 y du2 du dx 2 dy du d2 u dx2 tx sen x f x f x sen x d dx x x x x sx2 d d sen 180 cos 93. y f x y cosn x cos nx d dx senn x cos nx n senn1 x cosn 1x n f xtx f x tx 1 ; 86. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790 hasta 1860. (a) Use una calculadora graficadora o una computadora para hacer coincidir una función exponencial con los datos. Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bien coinciden? (b) Estime las proporción de incremento de la población en 1800 y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes. (c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para estimar las proporciones de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estimaciones con las del inciso (b). (d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población en 1870. Compare con la población real de 38 558 000. ¿Puede explicar la discrepancia? 87. Los sistemas algebraicos para computadora (CAS) tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta quizá no convenga, como consecuencia, pueden ser necesarios otros comandos para simplificarla. (a) Use un CAS para hallar la derivada del ejemplo 5 y compárela con la respuesta en ese ejemplo. Enseguida, use el comando de simplificación y vuelva a comparar. (b) Utilice un CAS para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la res- puesta sería la mejor para localizar las tangentes horizontales? 88. (a) Use un CAS para derivar la función y simplificar el resultado. (b) ¿En dónde tiene la gráfica de f tangentes horizontales? (c) Trace las gráficas de f y f en la misma pantalla. ¿Son coherentes las gráficas con su respuesta al inciso (b)? 89. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente. (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par. f x x4 x 1 x4 x 1 CAS CAS Año Población Año Población 1790 3 929 000 1830 12 861 000 1800 5 308 000 1840 17 063 000 1810 7 240 000 1850 23 192 000 1820 9 639 000 1860 31 443 000 En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión que satisface las condiciones siguientes: (i) La altura de crucero es h, cuando se inicia el descenso a una distancia del punto de contacto con la pista en el origen. (ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo lo largo del descenso. ᐉ ¿DÓNDE DEBE UN PILOTO INICIAR UN DESCENSO? P R OY E C TO D E A P L I C AC I Ó N CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 206
- 263. SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 207 DERIVACIÓN IMPLÍCITA La mayor parte de las funciones vistas pueden describirse expresando una variable explíci- tamente en términos de otra variable; por ejemplo, o bien o, en general, . Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x y y como o bien En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para como una función explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si resuelve la ecuación 1 para y, obtie- ne , de modo que dos de las funciones determinadas por la ecuación implícita 1 son y . Las gráficas de f y t son las semi- circunferencias superior e inferior de la circunferencia . (Véase la figura 1.) No es fácil resolver a mano la ecuación 2 para y explícitamente como función x. (Con un sistema algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que se FIGURA 1 0 x y 0 x y 0 x y (c) ©=_œ„„„„„„ 25-≈ (b) ƒ=œ„„„„„„ 25-≈ (a) ≈+¥=25 x2 y2 25 tx s25 x2 fx s25 x2 y s25 x2 y x3 y3 6xy 2 x2 y2 25 1 y f x y x sen x y sx3 1 3.5 (iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mu- cho menor que la aceleración debida a la gravedad). 1. Encuentre un polinomio cúbico Px ax3 bx2 cx d que satisfaga la condición (i), im- poniendo condiciones adecuadas sobre Px y Px en el inicio del descenso y el contacto con la pista. 2. Use las condiciones (ii) y (iii) para demostrar que 3. Suponga que una aerolínea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un avión sea mayor que k 860 mi/h2 . Si la altitud de crucero de un avión es de 35 000 pies y la rapidez de 300 mi/h, ¿a qué distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso? ; 4. Trace la gráfica de la trayectoria de aproximación, si se satisfacen las condiciones que se enuncian en el problema 3. 6hv2 ᐉ2 k y x 0 y=P(x) ᐉ h CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 207
- 264. obtienen son muy complicadas.) Pero (2) es la ecuación de una curva llamada folio de Descartes, que se ilustra en la figura 2 y, de manera implícita, define y como varias fun- ciones de x. En la figura 3 se muestran las gráficas de esas tres funciones. Cuando se dice que f es una función definida implícitamente por la ecuación 2, se da a entender que la ecuación es verdadera para todos los valores de x en el dominio de . Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x con el fin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, aplica el método de derivación implícita. Éste consiste en derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x y, a continuación, re- solver la ecuación resultante para y. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación dada determina y implícitamente como una función derivable de x, de modo que puede aplicarse el método de derivación implícita. EJEMPLO 1 (a) Si , encuentre . (b) Encuentre la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 y2 25, en el punto (3, 4). SOLUCIÓN 1 (a) Derive ambos miembros de la ecuación : Recuerde que y es una función de x, aplique la regla de la cadena y tendrá Por lo tanto Ahora, se resuelve esta ecuación para : dy dx x y dydx 2x 2y dy dx 0 d dx y2 d dy y2 dy dx 2y dy dx d dx x2 d dx y2 0 d dx x2 y2 d dx 25 x2 y2 25 dy dx x2 y2 25 V x y 0 ˛+Á=6xy FIGURA 2 Folio de Descartes x y 0 FIGURA 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folio de Descartes x y 0 x y 0 f x3 fx 3 6x f x 208 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 208
- 265. (b) En el punto (3, 4), se tiene x 3 y y 4, de modo que Por lo tanto, una ecuación de la tangente a la circunferencia en (3, 4) es o bien SOLUCIÓN 2 (b) Al resolver la ecuación x2 y2 25, obtiene . El punto (3, 4) se encuentra en la semicircunferencia superior y, por consiguiente, considere la función . Si al aplicar la regla de la cadena a la función f, se tiene De modo que y, como en la solución 1, la ecuación de la tangente es 3x 4y 25. La expresión en la solución 1 da la derivada en términos tan- to de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para en tanto que, para EJEMPLO 2 (a) Encuentre si . (b) Halle la tangente al folio de Descartes x3 y3 6xy, en el punto (3, 3). (c) ¿En cuáles puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal o vertical? SOLUCIÓN (a) Si se derivan ambos miembros de x3 y3 6xy con respecto a x, considerando y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y3 y la regla del producto en el término 6xy, obtiene o bien x2 y2 y 2xy 2y 3x2 3y2 y 6xy 6y x3 y3 6xy y V dy dx x y x s25 x2 x s25 x2 y tx s25 x2 dy dx x y x s25 x2 y f x s25 x2 dydx xy NOTA 1 f3 3 s25 32 3 4 1 2 25 x2 12 2x x s25 x2 fx 1 2 25 x2 12 d dx 25 x2 fx s25 x2 y s25 x2 y s25 x2 3x 4y 25 y 4 3 4 x 3 dy dx 3 4 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 209 En el ejemplo 1 se ilustra que incluso cuando es posible resolver una ecuación explicita para y en términos de x puede ser más fácil aplicar la derivación implicita CAPITULO-03-A 06/04/2009 18:52 Page 209
- 266. Ahora resuelva para : (b) Cuando , un vistazo a la figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). De este modo, una ecuación de la recta tangente al folio en (3, 3) es o bien (c) La recta tangente es horizontal si y 0. Si utiliza la expresión para y del inciso (a), y 0 cuando 2y x2 0. (siempre que y2 2x 0). Al sustituir en la ecuación de la curva, obtiene lo cual se simplifica para quedar . De modo que x 0, en el primer cuadrante o bien, x3 16. Si , entonces . Por esto, la tangente es horizontal en (0, 0) y en , lo cual es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estu- diar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable. Existe una fórmula para las tres raíces de una ecuación cúbica, que es seme- jante a la fórmula cuadrática pero mucho más complicada. Si usa esta fórmula (o un sis- tema de cómputo algebraico) para resolver la ecuación x3 y3 6xy, para y en términos de x, obtiene tres funciones determinadas por la ecuación: y (Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo, en casos como éste. Es más, la derivación implícita funciona con igual facilidad para fun- ciones como las cuales son imposibles de resolver para y en términos de x. EJEMPLO 3 Encuentre si sen(x y) y2 cos x. SOLUCIÓN Si deriva implícitamente con respecto a x y recuerda que y es una función de x, obtiene cosx y 1 y y2 sen x cos x2yy y y5 3x2 y2 5x4 12 y 1 2 [f x s3(s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 )] y f x s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 s 3 1 2 x3 s1 4 x6 8x3 NOTA 2 243 , 253 y 1 2 283 253 x 1613 243 x6 16x3 x3 (1 2 x2 )3 6x(1 2 x2 ) y 1 2 x2 x y 6 y 3 1x 3 y 2 3 32 32 2 3 1 x y 3 y 2y x2 y2 2x y2 2xy 2y x2 y2 y 2xy 2y x2 y 210 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 4 0 y x (3, 3) 4 0 4 FIGURA 5 El matemático noruego Niels Abel probó en 1824 que no se puede dar una fórmula general para las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático francés Evariste Galois probó que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una ecuación de n-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si n es cualquier entero mayor que 4. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 210
- 267. (Note que en el lado izquierdo aplica la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cade- na y la del producto.) Si agrupa los términos que contienen y, obtiene Por lo que En la figura 6 dibujada con el comando de construir gráficas en forma implícita de un sistema de cálculo algebraico, se muestra parte de la curva sen(x y) y2 cos x. Como comprobación del cálculo, advierta que y 1, cuando x y 0 y al parecer de la gráfica la pendiente es aproximadamente a 1 en el origen. El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función si es definida implícita. EJEMPLO 4 Hallar y sí x4 y4 ) 16. SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implicita con respecto a x, obtiene Resolviendo para y Para hallar y derive esta expresión para y aplicando la regla del cociente recordando que y es una función de x: Si ahora sustituye la ecuación 3 dentro de esta expresión, obtiene Pero el valor de x y y debe satisfacer la ecuación original x4 y4 16. De esa manera la respuesta se simplifica a DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5 analizó su continuidad y en la sección 2.6 sus asíntotas. Aquí se usa la derivación implíci- ta para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, porque se supone que y 3x2 16 y7 48 x2 y7 3x2 y4 x6 y7 3x2 y4 x4 y7 y 3x2 y3 3x2 y2 x3 y3 y6 y3 3x2 x3 3y2 y y6 y d dx x3 y3 y3 d/dxx3 x3 d/dxy3 y3 2 y x3 y2 3 4x3 4y3 y 0 y y2 sen x cosx y 2y cos x cosx y cosx y y2 sen x 2y cos xy cosx y y SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 211 FIGURA 6 2 _2 _2 2 La figura 7 muestra la gráfica de la curva x4 y4 16 del ejemplo y observe que su versión del círculo se extiende y se achata x2 y2 4. Por esta razón algunas veces se le llama círculo grueso, inicia muy escarpador a la izquierda pero rapidamente se hace muy plano. Se puede ver de la expresión. FIGURA 7 x 2 y 2 0 x$+y$=16 y x3 y3 x y 3 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 211
- 268. estas funciones son derivables. [En efecto, si es una función derivable uno a uno, se puede demostrar que su función inversa también es derivable, excepto donde sus tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni bucles y, de este modo, si la refleja con respecto a , la gráfica de su función inversa tampoco tiene vértices ni bucles.] Recuerde la definición de la función arco seno: significa y Al derivar implícitamente sen y x con respecto a x, obtiene o bien Ahora , debido a que , de modo que De manera que La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejan- te. Si y tan1 x, entonces tan y x. Si se deriva esta última ecuación implícitamente con respecto a x, tiene EJEMPLO 5 Derive (a) y (b) . SOLUCIÓN (a) (b) sx 21 x arctansx fx x 1 1 (sx)2 (1 2 x12 ) arctansx 1 sen1 x2 s1 x2 dy dx d dx sen1 x1 sen1 x2 d dx sen1 x fx x arctansx y 1 sen1 x V d dx tan1 x 1 1 x2 dy dx 1 sec2 y 1 1 tan2 y 1 1 x2 sec2 y dy dx 1 d dx sen1 x 1 s1 x2 dy dx 1 cos y 1 s1 x2 cos y s1 sen2 y s1 x2 2 y 2 cos y 0 dy dx 1 cos y cos y dy dx 1 2 y 2 sen y x y sen1 x y x f 1 f 212 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El mismo método puede utilizarse para ha- llar una fórmula para la derivada de cualquier función inversa. Véase el ejercicio 67. En la figura 8 se muestra la gráfica de y su derivada . Advierta que es creciente y siempre es positiva. El hecho de que como se refleja en el hecho de que cuando . x l f x l 0 x l tan1 x l 2 f x f f x 11 x2 f x tan1 x 1.5 _1.5 _6 6 y=tan–! x y= 1 1+≈ FIGURA 8 Recuerde que es una notación alterna para . tan1 x arctan x CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 212
- 269. Las funciones trigonométricas inversas que se generan con mayor frecuencia son las que acaba de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguien- te. Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS d dx tan1 x 1 1 x2 d dx cot1 x 1 1 x2 d dx cos1 x 1 s1 x2 d dx sec1 x 1 xsx2 1 d dx sen1 x 1 s1 x2 d dx csc1 x 1 xsx2 1 SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 213 Las fórmulas de las derivadas de y dependen de las definiciones que se aplican para estas funciones. Véase ejercicio 58. sec1 x csc1 x 25–30 Utilice la derivación implícita para encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 25. , (elipse) 26. , (hipérbola) 28. (cardioide) (astroide) 29. 30. (3, 1) (0, 2) (lemniscata) (curva del diablo) 31. (a) La curva con ecuación y2 5x4 x2 se llama kampila de Eudoxo. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2). ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en una pantalla común. (Si su aparato graficador puede trazar las gráficas de curvas definidas implícitamente, después x y x y 0 y2 y2 4 x2 x2 5 2x2 y2 2 25x2 y2 x y 0 8 x y (3s3, 1) (0, 1 2) x23 y23 4 x2 y2 2x2 2y2 x2 27. 1, 2 x2 2xy y2 x 2 1, 1 x2 xy y2 3 1–4 (a) Encuentre y por derivación implícita. (b) Resuelva en forma explícita la ecuación para y y derive para obtener y en términos de x. (c) Compruebe que sean coherentes sus soluciones a los incisos (a) y (b) sustituyendo la expresión para y en su solución del in- ciso (a). 1. 2. 3. 4. 5–20 Encuentre por derivación implícita. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Si y , encuentre . 22. Si , determine . 23–24 Considere a como la variable independiente y a como la variable dependiente, y aplique la derivación implícita para calcular . 23. 24. ysec x x tan y x4 y2 x3 y 2xy3 0 dxdy x y t0 tx x sen tx x2 f 1 f 1 2 f x x2 f x 3 10 sen x cos y sen x cos y ey cos x 1 senxy tanx y y 1 x2 sxy 1 x2 y sx y 1 x2 y2 ex2 y x y 15. y senx2 x seny2 4 cos x sen y 1 1 x senxy2 x2 y2 x sen y 4 y5 x2 y3 1 yex2 x4 x y y2 3x y 2x3 x2 y xy3 2 x2 xy y2 4 2sx sy 3 x2 y2 1 dydx cos x sy 5 1 x 1 y 1 4x2 9y2 36 xy 2x 3x2 4 EJERCICIOS 3.5 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 213
- 270. 214 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 44. La regla de la potencia se puede demostrar por medio de la derivación implícita para el caso donde es un número racional, , y se presupone que es una función derivable. Si , entonces . Mediante la derivación implícita demuestre que 45–54 Halle la derivada de la función. Simplifique donde se pueda. 45. 46. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. ; 55–56 Encuentre . Compruebe si su respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f. 55. 56. 57. Compruebe las fórmulas y por medio del mismo método. 58. (a) Una manera de definir es decir que y , o bien, . Demuestre que con esta definición, (b) Otro modo de definir que se utiliza a veces es decir que y , . Demuestre que con esta definición 59–62 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias dadas de curvas son trayectorias ortogonales entre sí, es decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas usando los mismos ejes de coordenadas. 59. 60. 62. La ecuación x2 xy y2 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el 63. x2 3y2 b y ax3 , x2 2y2 k y cx2 , 61. x2 y2 by x2 y2 ax, ax by 0 x2 y2 r2 , d dx sec1 x 1 x sx2 1 y 0 0 y y sec1 x ? sec y x sec1 x d dx sec1 x 1 xsx2 1 y 3 2 0 y 2 y sec1 x ? sec y x sec1 x ddxsen1 x ddxcos1 x f x arctan x2 x fx s1 x2 arcsen x f x y arctan 1 x 1 x y cos1 e2x Fu arcsin ssen u ht cot1 t cot1 1t y tan1 (x s1 x2 ) Gx s1 x2 arcos x tx sx2 1 sec1 x y sen1 2x 1 47. y stan1x y tan1 sx y p q x pq1 yq xp y xpq y f x xn n pq n utilice esa capacidad. Si no es así, puede dibujar esta curva trazando sus mitades superior e inferior por separado.) 32. (a) La curva con ecuación y2 x3 3x2 se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, 2). (b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene una tangente horizontal? ; (c) Ilustre los incisos (a) y (b) dibujando la curva y las rectas tangentes en una pantalla común. 33–36 Hallar por derivación implicita 33. 34. 35. 36. 37. Se pueden crear formas caprichosas con las capacidades de construir gráficas en forma implícita de los sistemas algebraicos para computadora (sistema de computo algebraico). (a) Trace la gráfica de la curva con ecuación ¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. (b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). (c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionados en el inciso (a). (d) Cree curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación del inciso (a). 38. (a) La curva con ecuación se ha ligado a un carretón que rebota. Utilice un sistema de computo algebraico para dibujarla y descubra por qué. (b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 29 donde la tangente sea horizontal. 40. Demuestre por derivación implícita que la tangente a la elipse en el punto (x0, y0) es 41. Formule una ecuación para la tangente a la hipérbola en el punto . 42 Demuestre que la suma de las intersecciones x y y de cualquier recta tangente a la curva es igual a c. 43. Mediante la derivación implícita demuestre que cualquier tangente en un punto a una circunferencia con centro es perpendicular al radio . OP O P sx sy sc x0, y0 x2 a2 y2 b2 1 x0 x a2 y0 y b2 1 x2 a2 y2 b2 1 39. 2y3 y2 y5 x4 2x3 x2 CAS yy2 1y 2 xx 1x 2 CAS x4 y4 a4 x3 y3 1 sx sy 1 9x2 y2 9 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 214
- 271. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS En esta sección se usa la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones lo- garítmicas y logax y, en particular, de la función logaritmo natural y ln x. [Suponga que las funciones logarítmicas son derivables; ciertamente esto es plausible a partir de sus gráficas (véase la figura 12 de la sección 1.6).] DEMOSTRACIÓN Sea . Entonces Si se deriva esta ecuación de manera implícita con respecto a x, mediante la fórmula (3.45) obtiene y por consiguiente Si en la fórmula (1) pone , en tal caso el factor ln a en el lado derecho se convier- te en y obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural : d dx ln x 1 x 2 loge x ln x ln e 1 a e dy dx 1 ay ln a 1 x ln a ay ln a dy dx 1 ay x y loga x d dx loga x 1 x ln a 1 3.6 SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 215 (b) Si y , encuentre . 68. (a) Demuestre que f(x) 2x cos x es uno a uno. (b) ¿Cuál es el valor de f1 (1)? (c) Use la fórmula del ejercicio 67(a) para hallar (f1 )(1). 69. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades ha- cia la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica . Si el punto (5, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara? ? x y 3 0 _5 ≈+4¥=5 x2 4y2 5 f 1 5 f 4 2 3 f 4 5 eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 64. (a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x2 xy y2 3, en el punto (1, 1) cruza la elipse por segunda vez? ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la elipse y la recta normal. 65. Encuentre todos los puntos de la curva x2 y2 xy 2 donde la pendiente de la recta tangente es 1. 66. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x2 4y2 36 que pasen por el punto (12, 3). (a) Suponga que f es una función derivable uno a uno y que su función inversa f1 también es derivable. Utilice la deriva- ción implícita para demostrar que siempre que el denominador no sea 0. f 1 x 1 f f 1 x 67. La fórmula 3.4.5 expresa que d dx ax ax ln a CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 215
- 272. Si se comparan las fórmulas (1) y (2), aparece una de las razones principales por la que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el cálculo. La fórmula de deriva- ción es más sencilla cuando a e, porque ln e 1. EJEMPLO 1 Derive . SOLUCIÓN Para aplicar la regla de la cadena, se hace u x3 1. Entonces y ln u, de modo que En general, si combina la fórmula (2) con la regla de la cadena como en el ejemplo 1 obtiene o bien EJEMPLO 2 Encuentre . SOLUCIÓN Al aplicar (3), tiene EJEMPLO 3 Derive . SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, de modo que la regla de la cadena da EJEMPLO 4 Derive . SOLUCIÓN Si se usa la fórmula 1 con a 10 EJEMPLO 5 Encuentre . SOLUCIÓN 1 x 2 1 2 x 1 x 1x 2 x 5 2x 1x 2 sx 2 x 1 sx 2 1 x 1(1 2 )x 212 x 2 d dx ln x 1 sx 2 1 x 1 sx 2 d dx x 1 sx 2 d dx ln x 1 sx 2 cos x 2 sen x ln 10 fx d dx log102 sen x 1 2 sen x ln 10 d dx 2 sen x fx log102 sen x f x 1 2 ln x12 d dx ln x 1 2sln x 1 x 1 2xsln x fx sln x d dx lnsen x 1 sen x d dx sen x 1 sen x cos x cot x d dx lnsen x d dx ln tx tx tx d dx ln u 1 u du dx 3 dy dx dy du du dx 1 u du dx 1 x3 1 3x2 3x2 x3 1 y lnx3 1 V 216 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En la figura 1 se muestra la gráfica de la fun- ción f del ejemplo 5, junto con la gráfica de su derivada. Proporciona una comprobación visual del cálculo. Advierta que es grande ne- gativa cuando f está decreciendo con rapidez. f x x 0 y 1 f fª FIGURA 1 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 216
- 273. SOLUCIÓN 2 Si en primer lugar simplifica la función dada aplicando las leyes de los loga- ritmos, entonces la derivación se vuelve más fácil: (Esta respuesta se puede dejar como está pero, si usara un denominador común, vería que da la misma respuesta que en la solución 1.) EJEMPLO 6 Encuentre si . SOLUCIÓN Puesto que se concluye que Por esto, para todo . Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6: DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden pro- ductos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica. EJEMPLO 7 Derive . SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los logaritmos para simplificar: Al derivar implícitamente con respecto a x, resulta 1 y dy dx 3 4 1 x 1 2 2x x2 1 5 3 3x 2 ln y 3 4 ln x 1 2 lnx2 1 5 ln3x 2 y x34 sx2 1 3x 25 d dx ln x 1 x 4 x 0 f x 1x 1 x si x 0 1 x 1 1 x si x 0 fx f x ln x lnx si x 0 si x 0 fx ln x fx V 1 x 1 1 2 1 x 2 d dx ln x 1 sx 2 d dx [lnx 1 1 2 lnx 2] SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 217 En la figura 2 se muestra la gráfica de la función del ejemplo 6 y la de su derivada . Note que cuando x es pequeño, la gráfica de está inclinada y, por lo consiguiente, es grande (positiva o negativa). f x y ln x f x 1x f x ln x 3 _3 _3 3 f fª FIGURA 2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 217
- 274. Al resolver para obtiene Como tiene una expresión explícita para y, puede sustituir y escribir PASOS EN LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 1. Tome logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y utilice las leyes de los logaritmos para simplificar. 2. Derive implícitamente con respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y. Si para algunos valores de x, entonces ln fx no está definido, pero puede escribir y aplicar la ecuación (4). Se ilustra este procedimiento probando la versión general de la regla de la potencia, según se prometió en la sección 3.1. REGLA DE LA POTENCIA Si n es cualquier número real y , entonces DEMOSTRACIÓN Sea y aplique la derivación logarítmica: Por lo tanto, De donde, | Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia xn nxn1 , donde la base es variable y el exponente constante de la regla para derivar funciones exponenciales ax ax ln a , donde la base es constante y el exponente es variable. En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases 1. (a y b son constantes) 2. 3. 4. Para hallar , se puede aplicar la derivación logarítmica, como en el ejemplo que sigue: ddx f x tx d dx atx atx ln atx d dx f x b b fx b1 fx d dx ab 0 y n y x n xn x nxn1 y y n x x 0 ln y ln xn n ln x y xn fx nxn1 fx xn y fx fx 0 y f x dy dx x34 sx2 1 3x 25 3 4x x x2 1 15 3x 2 dy dx y3 4x x x2 1 15 3x 2 dydx 218 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si no hubiera utilizado la derivación logarítmica en el ejemplo 7, habría tenido que aplicar tanto la regla del cociente como la regla del producto. El cálculo resultante habría sido horrendo. Si x 0 puede demostrar que f0 0, para n 1, de modo directo a partir de la definición de derivada. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 218
- 275. EJEMPLO 8 Derive SOLUCIÓN 1 Con la derivación logarítmica tiene SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir : (como en la solución 1) EL NÚMERO e COMO LÍMITE Se ha demostrado que si , después . Por esto, . Aplique ahora esto para expresar el número e como un límite. A partir de la definición de derivada como un límite, tiene Ya que , tiene Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, tiene En la figura 4 se ilustra la fórmula (5) mediante la gráfica de la función y una tabla de valores para valores pequeños de x. Con esto se ilustra una aproximación correcta hasta siete dígitos decimales e 2.7182818 y 1 x1x e lím x l 0 1 x1x 5 e e1 elímxl0 ln1x1x lím xl 0 eln1x1x lím xl0 1 x1x lím xl0 ln1 x1x 1 f 1 1 lím x l 0 ln1 x1x lím x l 0 ln1 x ln 1 x lím x l 0 1 x ln1 x f 1 lím h l 0 f 1 h f1 h lím x l 0 f 1 x f 1 x f1 1 fx 1x f x ln x xsx 2 ln x 2sx d dx (xsx ) d dx (esx ln x ) esx ln x d dx (sx ln x) xsx eln x sx y y 1 sx ln x 2sx xsx 2 ln x 2sx y y sx 1 x ln x 1 2sx ln y ln xsx sx ln x y xsx V SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 219 La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando las gráficas de y su derivada. f x xsx FIGURA 3 1 1 f fª x 0 y x 0.1 2.59374246 0.01 2.70481383 0.001 2.71692393 0.0001 2.71814593 0.00001 2.71826824 0.000001 2.71828047 0.0000001 2.71828169 0.00000001 2.71828181 (1 x)1/x FIGURA 4 2 3 y=(1+x)!?® 1 0 y x CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 219
- 276. Si hace en la fórmula (5), en seguida cuando y, por consiguiente una expresión alternativa para e es e lím n l 1 1 n n 6 x l 0 n l n 1x 220 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 33–34 Determine una ecuación de la tangente a la curva en un punto dado. 33. , 34. ; 35. Si , encuentre . Compruebe si su res- puesta es razonable comparando las gráficas de f y f. ; 36. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva , en los puntos 1, 0 y . Ilustre lo anterior dibujando la curva y sus rectas tangentes. 37–48 Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de la función. 37. 38. 39. 40. 42. 44. 45. 46. 47. 48. 49. Encuentre si . Halle si . 51. Encuentre una fórmula para si . 52. Encuentre . Use la definición de derivada para probar que 52. Demuestre que para cualquier . x 0 lím n l 1 x n n ex lím xl 0 ln1 x x 1 53. d9 dx9 x8 ln x f x lnx 1 f n x xy yx y 50. y lnx2 y2 y y ln xcos x y tan xl/x y sen xln x y cos xx y sxx y xsen x 43. y xcos x y x x 41. y 4 x2 1 x2 1 y sen2 x tan4 x x2 12 y sx ex 2 x2 110 y 2x 15 x4 36 e, 1e y ln xx f x f x sen x ln x y lnx3 7, 2, 0 1,1 y lnxex2 1. Explique por qué en cálculo se usa con mucha más frecuencia la función logarítmica natural, , que las otras funciones logarítmicas, . 2–22 Derive la función. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 20. 21. 22. 23–26 Encuentre y . 23. 24. 25. 26. 27–30 Derive y encuentre su dominio. 28. 29. 30. 31. Si , determine . 32. Si , determine . f 0 f x ln1 e2x f 1 f x ln x x2 f x ln ln ln x f x lnx2 2x f x 1 1 ln x f x x 1 lnx 1 27. f y lnsec x tan x y lnx s1 x2 y ln x x2 y x2 ln2x y y y log2ex cos x x 2xlog10sx y ln1 ex 2 y lnex xex 19. Hz lna2 z2 a2 z2 y ln 2 x 5x2 y 1 ln x f u ln u 1 ln2u Fy y ln1 ey tx ln(x sx2 1) hx ln(x sx2 1) Ft ln 2t 13 3t 14 f t 1 ln t 1 ln t f x sen x ln5x f x ln s 5 x f x s 5 ln x f x log5xex f x log21 3x f x lnsen2 x f x senln x f x lnx2 10 y loga x y ln x EJERCICIOS 3.6 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 220
- 277. RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES Sabemos que si y f(x) la derivada dydx se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias. Con base en la sección 2.7, recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razo- nes de cambio. Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x es y el cambio correspondiente en y es El cociente de diferencia es la razón promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo y se pue- de interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 1. Su límite, cuando es la derivada , la cual, puede interpretarse como la razón de cambio ins- tantánea de y con respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en . Si se usa la notación de Leibniz, escriba el proceso en la forma Siempre que la función y f(x) tenga una interpretación específica en una de las cien- cias, su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se analizó en la sección 2.7, las unidades de dydx son las unidades correspondientes a y divididas entre las de x.) Vea ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias natu- rales y sociales. FÍSICA Si s f(t) es la función de posición de una partícula que se mueve en una línea recta, en- tonces representa el promedio de la velocidad en un periodo t, y representa la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo). La razón de cambio instantáneo de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración: a(t) v(t) s(t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que conoce las fórmulas de derivación puede resolver con más facilidad, problemas que involucran el movimiento de objetos. EJEMPLO 1 La ecuación siguiente da la posición de una partícula donde t se mide en segundos y s en metros. (a) Encuentre la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 s? (c) ¿Cuándo está en reposo la partícula? (d) ¿Cuándo se mueve hacia adelante (es decir, en dirección positiva)? (e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. (f) Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos. s f t t3 6t2 9t V v ds dt s t dy dx lím x l 0 y x Px1, fx1 fx1 x l 0 x1, x2 y x fx2 fx1 x2 x1 y fx2 fx1 x x2 x1 3.7 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 221 FIGURA 1 0 x y Îy ⁄ P{⁄, fl} Q{¤, ‡} Îx ¤ mPQ ⫽ relación promedio de cambio m=fª(⁄)=relación de cambio instantánea CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 221
- 278. (g) Hallar la aceleración en el tiempo t y después de 4 s. (h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 t 5. (i) ¿Cuándo incrementa se rapidez la partícula? ¿cuándo la disminuye. SOLUCIÓN (a) La función velocidad es la derivada de la función de posición. (b) La velocidad después de 2 s significa la velocidad instantánea cuando t 2; es decir, La velocidad después de 4 s es (c) La partícula está en reposo cuando , esto es, y esto se cumple cuando t 1 o t 3. Por lo tanto, la partícula está en reposo después de 1 s y después de 3 s. (d) La partícula se mueve en dirección positiva cuando , es decir, Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos (t 3) o cuando los dos son negativos (t 1). Así, la partícula se mueve en dirección positiva en los periodos t 1 y t 3. Se mueve hacia atrás (en la dirección negativa) cuando 1 t 3. (e) En la figura 2, se esquematiza el movimiento de la partícula hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una recta (el eje s), aplicando la información del inciso (d). (f) En virtud de los incisos (d) y (e), necesita calcular las distancias recorridas durante los periodos 0, 1 , 1, 3 y 3, 5 , por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es De t 1 a t 3, la distancia recorrida es De t 3 a t 5, la distancia recorrida es La distancia total es 4 4 20 28 m. (g) La aceleración es la derivada de la función velocidad: a4 64 12 12 m/s2 at d 2 s dt2 dv dt 6t 12 f5 f 3 20 0 20 m f3 f 1 0 4 4 m f1 f 0 4 0 4 m 3t2 12t 9 3t 1t 3 0 vt 0 3t2 12t 9 3t2 4t 3 3t 1t 3 0 vt 0 v4 342 124 9 9 ms v2 ds dt t2 322 122 9 3 ms vt ds dt 3t2 12t 9 s f t t3 6t2 9t 222 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN t=0 s=0 t=1 s=4 s t=3 s=0 FIGURA 2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 222
- 279. (h) La figura 3 escribe las gráficas de s, v y a. (i) El incremento de la rapidez de la partícula cuando la velocidad es positiva y creciente (v y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente (v y a son negativas). En otras palabras, el aumento en la rapidez cuando la velocidad y la aceleración tiene el mismo signo. (La partícula es empujada en la misma dirección en que se está moviendo.) De la figura 3 se ve que ésta sucede cuando 1 t 2 y cuando t 3. La partícula disminuye su rapidez cuando v y a tienen signos opuestos, es decir, cuando 0 t 1 y cuando 2 t 3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud y se mide en kilogramos por cada metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea sino que su masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m f(x), como se muestra en la figura 5. La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x x1 y x x2 se expresa con m f(x2) f(x1), de modo que la densidad promedio de esa sección es Si ahora hace que (es decir ), calcule la densidad promedio sobre un intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal r en x1 es el límite de estas densidades promedio cuando ; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de la masa con respecto a la longitud. En forma simbólica, De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa con respecto a la longitud. lím x l 0 m x dm dx x l 0 x2 l x1 x l 0 densidad promedio m x f x2 fx1 x2 x1 x¡ x™ Esta parte de la varilla tiene una masa ƒ. x FIGURA 5 ml FIGURA 4 1 5 _5 √ s a hacia adelante disminuye su rapidez t 0 hacia atras hacia adelante aumenta su rapidez disminuye su rapidez aumenta su rapidez SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 223 En Module 3.7 puede ver una ani- mación de la figura 4 con una expresión para s que selecione. TEC 25 -12 0 5 √ s a FIGURA 3 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 223
- 280. Por ejemplo, si , en donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la densidad promedio de la parte de la varilla dada por es en tanto que la densidad en x 1 es EJEMPLO 3 Hay corriente siempre que las cargas eléctricas se mueven. En la figura 6 se muestra parte de un alambre con electrones que cruzan una superficie plana som- breada. Si Q es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo t, entonces la corriente promedio durante este intervalo se define como Si toma el límite de esta corriente promedio sobre lapsos más y más pequeños, obtiene lo que se llama corriente I en un instante dado : Por esto, la corriente es la rapidez con que la carga fluye por una superficie. Se mide en unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por segundo, llamados amperes). La velocidad, la densidad y la corriente no son las únicas razones de cambio de impor- tancia para la física. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la cual se consume trabajo), la relación de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la razón de cambio de la temperatu- ra con respecto a la posición) y la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva en la física nuclear. QUÍMICA EJEMPLO 4 El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustan- cias (llamadas productos) a partir de uno o más materiales (reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Considere la reacción donde A y B son los reactivos y C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles (1 mol 6.022 1023 moléculas) por litro y se denota con A . La concentración varía durante una reacción, de modo que A , B y C son funciones A B l C 2H2 O2 l 2H2O I lím t l 0 Q t dQ dt t1 corriente promedio Q t Q2 Q1 t2 t1 V dm dx x1 1 2sx x1 0.50 kgm m x f 1.2 f 1 1.2 1 s1.2 1 0.2 0.48 kgm 1 x 1.2 m f x sx 224 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ FIGURA 6 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 224
- 281. del tiempo (t). La velocidad de reacción promedio del producto C en un intervalo de tiempo es Pero los químicos tienen más interés en la velocidad instantánea de reacción, la cual se obtiene tomando el límite de la velocidad promedio de reacción conforme el intervalo t tiende a 0: Como la concentración del producto aumenta a medida que la reacción avanza, la derivada será positiva, y así la velocidad de reacción de C es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reacción; por eso, para que las velocidades de reacción de A y B sean números positivos, ponga signos negativos delante de las derivadas y . Dado que A y B disminuyen con la mis- ma rapidez que C crece, tiene De modo más general, resulta que para una reacción de la forma tiene La velocidad de reacción se puede determinar a partir de datos y con métodos gráfi- cos. En algunos casos existen fórmulas explícitas para las concentraciones como funciones del tiempo, que permiten calcular la velocidad de reacción (véase el ejercicio 22). EJEMPLO 5 Una de las cantidades de interés en termodinámica es la compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, en tal caso su volumen V depende de su presión P. Puede considerar la razón de cambio del volumen con respecto a la presión: a saber, la derivada dVdP. Cuando P crece, V decrece, de modo que . La compresibilidad se define al introducir un signo menos y dividir esta derivada entre el volumen V: En estos términos, mide cuán rápido, por unidad de volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se encontró que la siguiente ecuación relaciona el volumen V (en metros cúbicos) de una muestra de aire a 25°C se encontró que está relacionada con la presión P (en kilopascales) mediante la ecuación. V 5.3 P compresibilidad isotérmica 1 V dV dP dVdP 0 1 a d A dt 1 b d B dt 1 c d C dt 1 d d D dt aA bB l cC dD velocidad de reacción d C dt d A dt d B dt d B dt d A dt d C dt velocidad de reacción lím t l 0 C t d C dt C t C t2 C t1 t2 t1 t1 t t2 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 225 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 225
- 282. La razón de cambio de V con respecto a P, cuando P 50 kPa, es La compresibilidad a esa presión es BIOLOGÍA EJEMPLO 6 Sea n f(t) el número de individuos de una población de animales o plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t t1 y t t2 es , de modo que la rapidez de crecimiento promedio durante el periodo es La rapidez instantánea de crecimiento se obtiene a partir de esta rapidez promedio al hacer que el periodo t tienda a 0: razón de crecimiento En términos estrictos, esto no es muy exacto porque la gráfica real de una función de población n f(t) sería una función escalón que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por lo tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, es posible reemplazar la gráfica con una curva de aproximación uniforme como en la figura 7. FIGURA 7 Una curva uniforme que se hace con una aproximación a una función de crecimiento t n 0 lím t l 0 n t dn dt rapidez de crecimiento promedio n t f t2 ft1 t2 t1 t1 t t2 n ft2 ft1 1 V dV dP P50 0.00212 5.3 50 0.02 m3 kPam3 5.3 2500 0.00212 m3 kPa dV dP P50 5.3 P2 P50 226 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 226
- 283. Para ser más específicos, considere una población de bacterias en un medio nutriti- vo homogéneo. Suponga que, por medio de la toma de muestras de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es n0 y el tiempo t se mide en horas, entonces y, en general, La función de población es . En la sección 3.4 se demostró que Por eso, la rapidez de crecimiento de la población de bacterias, en el tiempo t, es Por ejemplo, suponga que inicia con una población inicial de bacterias. En consecuencia, la rapidez de crecimiento después de 4 horas es Esto significa que, después de 4 horas, la población de bacterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora. EJEMPLO 7 Cuando considera el flujo de la sangre por un vaso sanguíneo, como una ve- na o una arteria, puede tomar la forma de este vaso como el de un tubo cilíndrico con radio R y longitud l, como se ilustra en la figura 6. Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es máxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta que v se vuelve 0 en la pared. La relación entre v y r está dada por la ley del flujo laminar descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En ésta se afirma que donde h es la viscosidad de la sangre y P es la diferencia en la presión entre los extre- mos del tubo. Si P y l son constantes, entonces v es función de r, con dominio 0, R . v P 4l R2 r2 1 FIGURA 8 Flujo de sangre dentro de una arteria R r l dn dt t4 100 24 ln 2 1600 ln 2 1109 n0 100 dn dt d dt n02t n02t ln 2 d dx ax ax ln a n n0 2t ft 2t n0 f 3 2f2 23 n0 f2 2f 1 22 n0 f1 2f 0 2n0 SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 227 Para información más detalladas, véase W. Nichols y M. ORourke (eds.), McDonalds Blood Flow in Arteries: Theoretic, Experimental, and Clinical Principles, 4th ed. (Nueva York: Oxford University Press, 1998). CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 227
- 284. La razón promedio de la velocidad, al moverse de r r1 hacia afuera, hasta r r2 es y si hace que , obtiene el gradiente de velocidad, es decir, la razón de cambio instantánea de la velocidad con respecto a r: Al aplicar la ecuación (1) obtiene Para una de las arterias humanas más pequeñas, puede tomar , cm, cm y , lo cual da En cm la sangre fluye a una rapidez de y el gradiente de velocidad en ese punto es Para tener una idea de lo que esto significa, cambie las unidades de centímetros a micrómetros (1 cm 10 000 m). Por lo tanto el radio de la arteria es de 80 m. La velocidad en el eje central es de 11 850 ms, la cual disminuye hasta 11 110 ms a una distancia de r 20 m. El hecho de que (m/s)m significa que cuando r 20 m, la velocidad disminuye en una cantidad de casi 74 ms por cada micrómetro que se aleja del centro. ECONOMÍA EJEMPLO 8 Suponga que C(x) es el costo total en que una compañía incurre al produ- cir x unidades de cierto artículo. La función C se llama función de costo. Si el número de artículos producidos se incrementa de x1 hasta x2, el costo adicional es C C(x2) C(x1) y la razón promedio del costo es C x Cx2 Cx1 x2 x1 Cx1 x Cx1 x V dvdr 74 dv dr r0.002 40000.002 20.0272 74 cmscm 1.11 cms v0.002 1.85 104 64 106 4 106 r 0.002 1.85 104 6.4 105 r2 v 4000 40.0272 0.000064 r2 P 4000 dinascm2 l 2 R 0.008 0.027 dv dr P 4l 0 2r Pr 2l gradiente de velocidad lím r l 0 v r dv dr r l 0 v r vr2 vr1 r2 r1 228 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 228
- 285. Los economistas llaman costo marginal al límite de esta cantidad, cuando es decir, la razón instantánea del cambio del costo con respecto al número de artículos producidos: Como x suele tomar sólo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que x tienda a 0, pero siempre podrá reemplazar C(x) con una función suave de aproximación uni- forme, como en el ejemplo 6. Si se toma x 1 y n grande (de modo que x sea pequeño en comparación con n), tiene Así entonces, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al cos- to de elaborar una unidad más la (n 1)-ésima unidad . A menudo, resulta apropiado representar una función de costo total con un polinomio donde a representa el costo de los gastos generales (renta, calefacción, mantenimiento) y los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y demás. (El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los costos del tiempo extra y de las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a gran escala.) Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir x artículos es C(x) 10 000 5x 0.01x2 Entonces la función de costo marginal es El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es Esto da la cantidad a la cual se incrementan los costos con respecto al nivel de produc- ción, cuando x 500, y predice el costo del artículo 501. El costo real de producir el artículo 501 es Advierta que . Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Éstas se consideran en el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para hallar los valores máximos y míni- mos de funciones. OTRAS CIENCIAS Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en cono- cer la rapidez a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual C500 C501 C500 $15.01 10000 5500 0.015002 C501 C500 10000 5501 0.015012 C500 5 0.02500 $15artículo Cx 5 0.02x Cx a bx cx2 dx3 Cn Cn 1 Cn costo marginal lím x l 0 C x dC dx l 0 x SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 229 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 229
- 286. el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un depósito. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población en una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la razón de cambio de la presión atmosférica con respecto a la altura. (Véase el ejercicio 17, de la sección 3.8.) En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica el rendimiento P(t) de alguien que apren- de una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. Tiene un interés particular la rapidez a la cual mejora el rendimiento a medida que pasa el tiempo; es decir, dPdt. En sociología, el cálculo diferencial se aplica al análisis del esparcimiento de rumores (o de innovaciones, novedades o modas). Si p(t) denota la proporción de una población que conoce un rumor en el momento t, por lo tanto la derivada dpdt denota la rapidez de esparcimiento de ese rumor. (Véase el ejercicio 82 de la sección 3.4.) UNA SOLA IDEA, VARIAS INTERPRETACIONES La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en física; la velocidad de reacción y la compresibilidad, en química; la rapidez de crecimiento y el gradi- ente de velocidad de la sangre, en biología; el costo marginal y la utilidad marginal, en eco- nomía; la rapidez de flujo del calor, en geología; la rapidez de mejora del rendimiento, en psicología, y la rapidez de esparcimiento de un rumor, en sociología, son casos especiales de un concepto matemático: la derivada. Ésta es una ilustración del hecho de que parte del poder de las matemáticas descansa en su abstracción. Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrolle las propiedades del con- cepto matemático, de una vez y por todas, podrá dar la vuelta y aplicar estos resultados a todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos especiales en cada una por separado. El matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) lo expresó de manera sucinta: “Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen.” 230 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 6. Se exhiben las funciones de posición de dos partículas, donde t se mide en segundos ¿Cuándo incrementa su rapidez cada una de las partícula? ¿cuándo la disminuyen? Explique. 7. La función de posición de una partícula está dada por (a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s? (b) ¿Cuándo la aceleración es 0? ¿Cuál es el significado de este valor de t? s t3 4.5t2 7t, t 0 t s 0 1 t s 0 1 (a) (b) t √ 0 1 t √ 0 1 (b) (a) 1–4 Una partícula se mueve según una ley del movimiento , , donde t se mide en segundos y s en pies. (a) Encuentre la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 3 s? (c) ¿Cuándo está la partícula en reposo? (d) ¿Cuándo se mueve hacia la dirección positiva? (e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8 s. (f) Dibuje un diagrama, como el de la figura 2, con el fin de ilustrar el movimiento de la partícula. (g) Hallar la aclaración en el tiempo t y después de 3 s. ; (h) Grafique las funciones de posición, velocidad, yaceleración para 0 t 8. (i) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿cuándo disminuye. 2. 3. 4. 5. Se exhiben las gráficas de los funciones velocidad de dos partícu- las, donde t se mide en segundos ¿Cuándo incrementa su rapidez cada partícula? Cuándo disminuyen su rapidez? Explique f t tet/2 f t cospt/4, t 10 f t 0.01t4 0.04t3 f t t3 12t2 36t 1. t 0 s f t EJERCICIOS 3.7 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 230
- 287. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 231 Se está inflando un globo esférico. Encuentre la proporción de aumento del área superficial (S 4pr2 ) con respecto al radio r, cuando éste es de (a) 1 pie, (b) 2 pies y (c) 3 pies. ¿A qué conclusiones llega? 16. (a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es , donde el radio r se mide en micrómetros (1 m ). Encuentre la razón de cambio promedio de V con respecto a r, cuando éste cambia de (i) 5 a 8 m (ii) 5 a 6 m (iii) 5 a 5.1 m (b) Halle la razón de cambio instantánea de V con respecto a r, cuando m. (c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio es igual a su área superficial. Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente por analogía con el ejercicio 13(c). 17. La masa de parte de una varilla metálica que se encuentra entre su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x2 kg. Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2) cuando x es (a) 1 m, (b) 2 m y (c) 3 m. ¿En dónde es más alta la densidad y dónde es más baja? 18. Si un tanque contiene 5 000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min, en tal caso la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como Encuentre la cantidad de drenado después de (a) 5 min, (b) 10 min, (c) 20 min y (d) 40 min. ¿En qué momento fluye el agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma sus hallazgos. La cantidad de carga, Q, en coulombs (C) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segun- dos) se expresa con . Encuentre la corriente cuando (a) s y (b) s. Véase el ejemplo 3. La unidad de corriente es el ampere ( A Cs). ¿En qué momento la corriente es la más baja? 20. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. (a) Encuentre y explique su significado. ¿Qué indica el signo menos? (b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye en proporción de 2 N/km, cuando r 20 000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza cuando r 10 000 km? La ley de Boyle expresa que cuando se comprime una muestra de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y el volumen se mantiene constante: PV C. (a) Encuentre la razón de cambio del volumen en relación con la presión. 21. dFdr F GmM r2 1 1 t 1 t 0.5 Qt t3 2t2 6t 2 19. 0 t 40 V 5 0001 t 40 2 r 5 106 m V 4 3 r3 15. 8. Si se empuja una pelota de modo que alcance una velocidad inicial de 5 ms hacia abajo a lo largo de cierto plano inclinado, en tal caso la distancia que ha rodado después de t segundos es s 5t 3t2 . (a) Encuentre la velocidad una vez que transcurren 2 s. (b) ¿Cuánto tiempo tarda para que la velocidad alcance 35 ms? 9. Si se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde la superficie de la Luna, con una velocidad de 10 ms, su altura (en metros) después de t segundos es h 10t 0.83t2 . (a) ¿Cuál es la velocidad de la piedra después que transcurren 3 s? (b) ¿Cuál es la velocidad de la piedra una vez que se ha elevado 25 m? 10. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 fts, en seguida su altura después de t segundos es s 80t 16t2 . ( (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? (b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 pies arriba de la superficie de la tierra en su trayectoria hacia arriba y luego hacia abajo? 11. (a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas placas muy próxima a 15 mm y, asimismo, saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando cambia la longitud x del lado. Encuentre y explique su significado en esta situación. (b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los cuadrados con respecto a la longitud de su lado es la mitad de su perímetro. Intente explicar geométricamente por qué esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x del lado se incremente en una cantidad x. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área, A, si x es pequeño? 12. (a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos cubos, con longitud x del lado, calcule cuando mm y explique su significado. (b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo con respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por qué este resultado es cierto; básese en el ejercicio 11 (b) para establecer una analogía. 13. (a) Encuentre la razón promedio del cambio del área de un círculo con respecto a su radio r, cuando éste cambia de (i) 2 a 3 (ii) 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1 (b) Encuentre la razón de cambio instantánea cuando r 2. (c) Demuestre que la razón de cambio del área de un círculo con respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la circunferencia del círculo. Intente explicar geométricamente por qué esto es cierto dibujando un círculo cuyo radio se incrementa en una cantidad r. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área, A, si r es pequeño? 14. Se deja caer una piedra en un lago que crea una onda circular que viaja hacia afuera con una rapidez de 60 cms. Encuentre la proporción a la cual aumenta el área dentro del círculo después de (a) 1 s, (b) 3 s y (c) 5 s. ¿Qué puede concluir? x 3 dVdx A15 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 231
- 288. 232 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN (c) Aplique su modelo del inciso (b) para encontrar un modelo para la rapidez de crecimiento de la población en el siglo XX. (d) Use el inciso (c) para estimar las rapidez de crecimiento en 1920 y 1980. Compare sus estimados con los del inciso (a). (e) Estime la rapidez de crecimiento en 1985. ; 26. La tabla muestra cómo varió la edad promedio en que las mujeres japonesas contraen matrimonio por primera vez a lo largo de la segunda mitad del siglo XX. (a) Use una calculadora graficadora o una computadora para modelar estos datos con un polinomio de cuarto grado. (b) Recurra al inciso (a) para encontrar un modelo para . (c) Estime la razón de cambio de la edad en que contraen matrimonio las mujeres durante la década de 1990. (d) Dibuje los puntos correspondientes a datos así como los modelos para A y A. 27. Remítase a la ley de flujo laminar que se da en el ejemplo 7. Considere un vaso sanguíneo con radio 0.01 cm, longitud 3 cm, diferencia de presión 3 000 dinascm2 , y viscosidad . (a) Halle la velocidad de la sangre a lo largo de la línea central , en el radio cm, y en la pared . (b) Encuentre el gradiente de velocidad en , , y . (c) ¿Adónde es máxima la velocidad? ¿Adónde cambia en mayor medida? La frecuencia de las vibraciones de una cuerda vibrante de un violín se expresa por medio de donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y r es su densidad lineal. Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical Acoustics, 3a. ed. (Pacific Grove, CA: BrooksCole, 2002). (a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia con respecto a (i) La longitud (cuando y son constantes). (ii) La tensión (cuando y son constantes). (iii) La densidad lineal (cuando y son constantes). (b) El tono de una nota (qué tan alto o bajo suena) está determi- nado por la frecuencia f (entre más alta es la frecuencia más alto es el tono). Use los signos de las derivadas del inciso (a) para hallar qué sucede en el tono de una nota (i) cuando se disminuye la longitud efectiva de una cuerda colocando un dedo sobre ésta de modo que vibre una parte más corta de la misma, (ii) cuando se aumenta la tensión haciendo girar una de las clavijas, (iii) cuando se incrementa la densidad lineal al cambiar hacia otra cuerda, T L L T f 1 2L T 28. r 0.01 r 0.005 r 0 r R 0.01 cm r 0.005 r 0 0.027 At (b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y se le comprime paulatinamente a temperatura constante durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique. (c) Pruebe que la compresibilidad isotérmica (véase el ejemplo 5) se expresa mediante . 22. Si en el ejemplo 4 se forma una molécula del producto C a partir de una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo B y las concentraciones iniciales de A y B tienen un valor común , después donde es una constante. (a) Halle la velocidad de reacción en el instante t. (b) Demuestre que si C , en seguida (c) ¿Qué sucede con la concentración cuando ? (d) ¿Qué ocurre con la velocidad de reacción cuando ? (e) ¿Qué significan en términos prácticos los resultados de los incisos (c) y (d)? 23. En el ejemplo 6 consideró una población de bacterias que se duplican cada hora. Considere que otra población de bacterias se triplica cada hora y se inicia con 400 bacterias. Hallar una expresión para el número n de bacterias después de t horas y aplique para estimar la rapidez de crecimiento de la población después de 2.5 horas 24. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio se incrementa rapidamente al principio pero los niveles con el tiempo terminan. La población se modela por la función donde t se mide en horas. En el tiempo t 0 la población es de 20 células y se incrementa en una proporción de 12 células/hora. Hallar los valores de a y b. De acuerdo a este modelo, ¿finalmente que sucede a la población de levadura? ; 25. La tabla proporciona la población del mundo en el siglo XX. (a) Estime la rapidez de crecimiento de la población en 1920 y 1980 promediando las pendientes de dos rectas secantes. (b) Use un dispositivo graficador o una computadora para encontrar una función cúbica (un polinomio de tercer grado) que modele los datos. n ft a 1 be0.7t t l t l dx dt ka x2 x k C a2 ktakt 1 A B a molesL 1P Población Población Año (en millones) Año (en millones) 1900 1650 1960 3040 1910 1750 1970 3710 1920 1860 1980 4450 1930 2070 1990 5280 1940 2300 2000 6080 1950 2560 t t 1950 23.0 1980 25.2 1955 23.8 1985 25.5 1960 24.4 1990 25.9 1965 24.5 1995 26.3 1970 24.2 2000 27.0 1975 24.7 At At CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 232
- 289. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL En muchos fenómenos naturales, las cantidades crecen o decaen en una cantidad propor- cional a su tamaño. Por ejemplo, si y f(t) es el número de individuos en una población de animales o bacterias en el tiempo t, entonces, parece razonable esperar que la rapidez de crecimiento f(t) es proporcional a la población f(t); es decir, f(t) kf(t) por algu- na constante k. A propósito, bajo condiciones ideales (ambientes sin límite, nutrición ade- cuada, inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático conocido por la ecuación f(t) kf(t) sin duda predice lo que realmente sucede con precisión. Otro ejemplo suce- de en física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae en una cantidad pro- porcional a su masa. En química la velocidad de una reacción de primer orden unimolecu- lar es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta 3.8 SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 233 33. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (en kelvin), la presión P (en atmósferas) y el volumen V (en litros) es PV nRT, donde n es el número de moles del gas y R 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en cierto instante, P 8.0 atm y aumenta en una de 0.10 atm/min y V 10 L y disminuyen proporción de 0.15 L/min. Encuentre la razón de cambio de T con respecto al tiempo en ese instante si n 10 mol. 34. En una granja piscícola se introduce una población de peces en un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la razón de cambio de la población se expresa con la ecuación donde r0 es la rapidez de nacimientos, Pc es la población máxima que el estanque puede sostener (llamada capacidad de conten- ción) y b es el porcentaje de la población que se cosecha. (a) ¿Cuál valor de dPdt corresponde a una población estable? (b) Si el estanque puede sostener 10 000 peces, la rapidez de nacimiento es del 5% y la cantidad de cosecha es del 4%, encuentre el nivel estable de la población. (c) ¿Qué sucede si b se eleva hasta el 5%? En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los modelos depredador-presa para estudiar la interacción entre las especies. Considere una población de lobos de la tundra, dada por W(t), y de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá. La interacción se ha modelado mediante las ecuaciones (a) ¿Cuáles valores de dCdt y dWdt corresponden a pobla- ciones estables? (b) ¿Cómo se representaría matemáticamente la afirmación “los caribúes van hacia la extinción”? (c) Suponga que a 0.05, b 0.001, c 0.05 y d 0.0001. Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W) que con- ducen a poblaciones estables. De acuerdo con este modelo, ¿es posible que las especies vivan en armonía o una de ellas, o ambas, se extinguirán? dW dt cW dCW dC dt aC bCW 35. dP dt r01 Pt Pc Pt Pt 29. El costo, en dolares, de producir x yardas de una cierta tela es (a) Hallar la función costo marginal. (b) Hallar y explique su significado. ¿Qué predice? (c) Compare con el costo de fabricación de la yarda 201 de tela. 30. La función de costo para la producción de una mercancia es (a) Hallar e interpretar (b) Comparar con el costo de producir el artículo 101. Si p(x) es el valor total de la producción cuando se tienen x trabajadores en una planta, por lo tanto la productividad promedio de la fuerza de trabajo en la planta es (a) Encuentre . ¿Por qué la compañía desea contratar más trabajadores si ? (b) Demuestre que si es mayor que la productividad promedio. 32. Si R denota la reacción del cuerpo ante cierto estímulo de intensidad x, la sensibilidad S se define como la razón de cambio de la reacción con respecto a x. Un ejemplo específico es cuando aumenta el brillo x de una fuente de luz, el ojo reacciona disminuyendo el área R de la pupila. La fórmula experimental se ha utilizado para modelar la dependencia de R con respecto a x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en unidades de brillo adecuadas. (a) Encuentre la sensibilidad. ; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando tanto R como S como función de x. Comente acerca de los valores de R y S en los niveles de brillo más bajos. ¿Es esto lo que esperaba? R 40 24x0.4 1 4x0.4 px Ax 0 Ax 0 Ax Ax px x 31. C100 C100. Cx 339 25x 0.09x2 0.0004x3 C200 C200 Cx 1200 12x 0.1x2 0.0005x3 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 233
- 290. de ahorros con interés compuesto se incrementa de manera continua en una cantidad pro- porcional a ese valor. En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y con respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier tiempo, entonces donde k es una constante. Algunas veces la ecuación 1 se le llama ley de crecimiento na- tural (si k 0) o la ley de decaimiento natural (si k 0). Se le denomina una ecuación diferencial porque involucra una función desconocida y y su derivada dy/dt. No es dificil pensar una solución de la ecuación 1. Esta ecuación pregunta hallar una función cuya derivada es un múltiplo constante de sí mismo. Conocerá tales funciones en este capítulo. Cualquier función exponencial de la forma y(t) Cekt , donde C es una cons- tante, que satisface Verá en la sección 9.4 que cualquier función que satisface dy/dt ky es de la forma Y Cekt . Para ver el significado de la constante C, observe que En consecuencia C es el valor inicial de la función TEOREMA Las únicas soluciones de la ecuación diferencial y dy/dt ky son las funciones exponenciales CRECIMIENTO DE POBLACIÓN ¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimien- to de la población, cuando P(t) es el tamaño de una población en el tiempo t, escriba La cantidad es la rapidez de crecimiento dividido entre el tamaño de la población; a esto se le deno- mina la razón de crecimiento relativa. De acuerdo a (3), en lugar de decir “la rapidez de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” podría decir “la rapidez de cre- cimiento relativo es constante.” Por lo tanto, de acuerdo a (2) dice que la población con rapidez de crecimiento relativo k aparece como el coeficiente de t en la función exponen- cial Cekt . Por ejemplo, si dP dt 0.02P 1 P dP dt dP dt kP o 1 P dP dt k 3 yt y0ekt 2 y0 Cek0 C yt Ckekt kCekt kyt dy dt ky 1 234 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 234
- 291. t se mide en años, entonces la rapidez de crecimiento relativo es k 0.02 y el crecimiento de población relativa de 2% por cada año EJEMPLO 1 Use el hecho de que la población mundial fue 2 560 millones en 1950 y 3 040 millones en 1960 para modelar la población del mundo en la segunda mitad del siglo XX. (Suponga que la razón de crecimiento es proporcional al tamaño de la pobla- ción. ¿Cuál es la razón de crecimiento relativo? Aplique el modelo para estimar la po- blación mundial en 1993 y del mismo modo predecir la población en el año 2020. SOLUCIÓN Mida el tiempo t en años y sea que t 0 en el año 1950. Mida la población P(t) en millones de personas. Entonces, P(0) 2 560 y P(10) 3 040. Ya que está supo- niendo que dP/dt kP, el teorema 2 proporciona La razón de crecimiento relativo es casi 1.7% por cada año y el modelo es Se estima que en 1993 la población mundial fue El modelo predice que en 2020 la población será La gráfica en la figura 1 muestra que el modelo ya es exacto para finales del siglo XX (los puntos representan la población actual), de esta manera la estimación para 1993 es com- pletamente confiable. Pero la predicción para 2020 es aventurado. DECAIMIENTO RADIACTIVO Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontánea. Si m(t) es la masa que queda a partir de una masa inicial m0 de la sustancia después de tiempo t, por lo tanto, se ha encontrado de manera experimental que la rapidez de decaimiento 1 m dm dt FIGURA 1 Un modelo del crecimiento 6000 P t 20 40 Años desde 1950 Población (en millones) P=2560e0.017185t de la población mundial en la segunda mitad del siglo xx P70 2560e0.01718570 8524 millones P43 2560e0.01718543 5360 millones Pt 2560e0.017185t k 1 10 ln 3040 2560 0.017185 P10 2560e10k 3040 Pt P0ekt 2560ekt V Pt P0e0.02t SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 235 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 235
- 292. relativa es constante. (Ya que dm/dt es negativo, la rapidez de desintegración relativa es pó- sitiva.) Lo que permite que donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen en una cantidad proporcional a la masa restante. Esto significa que puede usar (2) para de- mostrar que la masa decae de manera exponencial: Los fisicos expresan la relación de decaimiento en términos del tiempo de vida media, el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre. EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1590 años. (a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Hallar una formula para la ma- sa de la muestra que permanece después de t años. (b) Hallar la masa después de 100 años exacto a lo más cercano de los miligramos. (c) ¿Cuándo se ha reducido la masa a 30 mg? SOLUCIÓN (a) Sea m(t) la masa de radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años. Entonces dm/dt km y y(0) 100, de tal manera que (2) proporciona Con la finalidad de establecer el valor de k, aplique el hecho de de que y(1590) . En estos términos, y En consecuencia Podría aplicar el hecho de que eln 2 2 y escribir la expresión para m(t) de forma alterna (b) La masa después de 1000 años es (c) Busque el valor de t tal que m(t) 30, es decir, Resuelva esta ecuación para t tomando el logaritmo natural de ambos lados: Por esto t 1590 ln 0.3 ln 2 2762 años ln 2 1590 t ln 0.3 100eln 2t/1590 30 o bien eln 2t/1590 0.3 m1000 100eln 21000/1590 65 mg mt 100 2t/1590 mt 100eln 2t/1590 k ln 2 1590 1590k ln 1 2 ln 2 100e1590k 50 o e1590k 1 2 1 2 100 mt m0ekt 100ekt V mt m0ekt dm dt km 236 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 236
- 293. Para una verificación del ejemplo 2, aplique un dispositivo gráfico para dibujar la grá- fica de m(t) en la figura 2 junto con la línea horizontal m 30. Estas curvas cruzan cuando t 2800, y está de acuerdo con la respuesta del inciso (c). LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su medio ambiente, siempre que esta diferncia no sea muy grande (además esta ley se aplica al calentamiento.) Si per- mite que T(t) sea la temperatura del objeto en el tiempo t y Ts la temperatura del medio ambiente. Entonces, puede formular la ley de enfriamiento de Newton como una ecuación diferencial: Donde k es una constante. Esta ecuación no es completamente la misma que la ecuación 1, así que hacemos el cambio de variable y(t) T(t) Ts. Ya que Ts, es constante, y(t) T(t) y de este modo la ecuación se convierte en Por lo tanto puede usar (2) para hallar una expresión para y, de la que puede encontrar T. EJEMPLO 3 Un recipiente con una bebida gasificada a temperatura ambiente (72°F) se coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 44°F. Después de media hora la bebida se ha enfriado hasta 61°F. (a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora? (b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 50°F? SOLUCIÓN (a) Sea T(t) la temperatura de la bebida después de t minutos. La temperatura ambiente es Ts 44°F, por consiguiente la ley de enfriamiento de Newton establece que Si permite que y T 44, entonces y(0) T(0) 44 72 44 28, de este modo y satisface que y mediante (2) tiene Entonces T(30) 61, igualmente y(30) 61 44 17 y Tomando logaritmos, tiene k ln 17 28 30 0.01663 28e30k 17 e30k 17 28 yt y0ekt 28ekt dy dt ky y0 28 dT dt kT 44 dy dt ky dT dt kT Ts SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 237 m=30 0 4000 150 m=100e_(ln 2)t/1590 FIGURA 2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 237
- 294. Por esto Así después de la otra mitad de la hora, la bebida se ha enfriado a casi 54°F. (b) Tiene T(t) 50 cuando La bebida se enfría a 50°F después de casi 1 hora 33 minutos. Observe que en el ejemplo 3 lo que se esperaba. La gráfica de la función temperatura se muestra en la figura 3. INTERÉS COMPUESTO CONTINUAMENTE EJEMPLO 4 Si se inverten 1000 dólares al 6% de interés compuesto anualmente, entonces, después de 1 año la inversión es valorada en 1000(1.06) 1060 dólares, después de 2 años su valor es [1000(1.06)] 1.06 1123.60 dólares y después de t años su valor es 1000(1.06) t dólares. En general, si se invierte una cantidad A0 con una tasa de interés r(r 0.06, en este ejemplo), entonces después de t años su valor es de A0(1 r)t . No obstante, por lo general el interés es compuesto con más frecuencia, se dice, n veces al año. Por lo tanto en cada periodo componemos con una tasa de interés r/n y existe nt pe- riodos en t años, de este modo el valor de la inversión es Por ejemplo, una inversión de 1000 dólares después de 3 años al 6% de interés estarán valorados en $1000(1.06)3 $1191.02 compuesto anualmente $1000(1.03)6 $1194.05 compuesto semestralmente $1000(1.015)12 $1195.62 compuesto trimestralmente $1000(1.005)36 $1196.68 compuesto mensualmente compuesto diariamente $10001 0.06 365 365 3 $1197.20 A01 r n nt lím t l Tt lím t l 44 28e0.01663t 44 28 0 44 t ln 6 28 0.01663 92.6 e0.01663t 6 28 44 28e0.01663t 50 T60 44 28e0.0166360 54.3 Tt 44 28e0.01663t yt 28e0.01663t 238 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 3 72 T t 60 0 30 90 44 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 238
- 295. Puede ver que el pago del interés se incrementa cuando el número de periodos compuesto (n) se incrementa. Si permite que n → entonces, estará componiendo el interés de manera continua; el valor de la inversión será (donde m n/r) Pero el límite en esta expresión es igual al número e. (Véase la ecuación 3.6.6). Así, com- poniendo en forma continua con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es Si deriva esta función, obtiene la cual dice que, componiendo continuamente el interés, la proporción de incremento de una inversión es proporcional a su tamaño. Regresando al ejemplo de 1000 dólares invertidos por 3 años al 6% de interés anual, el valor de la inversión será Observe cómo se acerca a la cantidad calculada por componer diariamente 1197.20 dólares. Pero es más fácil calcular la cantidad si aplica composición continua. A3 $1000e0.063 $1197.22 dA dt rA0ert rAt At A0ert A0 lím m l 1 1 m m rt A0 lím n l 1 r n n/r rt At lím n l A01 r n nt lím n l A0 1 r n n/r rt SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 239 Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la población se ha incrementado a 420. (a) Establecer una expresión para el número de bacterias después de t horas. (b) Calcular el número de bacterias después de 3 horas. (c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas. (d) ¿Cuándo la población alcanza 10 000? 4. Un cultivo de bacterias crece con una rapidez de crecimiento relativo constante. Después de 2 horas existen 600 bacterias y después de 8 horas la cuenta es de 75 000. (a) Hallar la población inicial. (b )Establecer una expresión para la población después de t horas. 3. 1. Una población de protozoarios se desarrollan en una razón de crecimiento relativo constante de 0.7944 por miembro por cada día. En el día cero la población consiste de dos miembros. Ha- llar el tamaño de la población después de seis días. 2. Un habitante común del intestino humano es la bacteria Escherichia coli. Una célula de esta bacteria en un caldo nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La población inicial de un cultivo es de 60 células (a) Hallar la razón de crecimiento relativo. (b) Encontrar una expresión para el número de células después de t horas. (c) Calcular el número de células después de 8 horas. (d )Establecer la razón de crecimiento después de 8 horas. (e )¿Cuándo la población alcanzará 20 000 células. EJERCICIOS 3.8 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 239
- 296. 240 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN (b) ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para reducir la concentra- ción de N2O5 a 90% de su valor original? 8. El bismuto-210 tiene un tiempo de vida media de 5.0 días. (a) Una muestra tiene originalmente una masa de 800 mg. Establecer una formula para la masa que resta después de t días. (b) Calcular la masa que esta después de 30 días. (c) ¿Cuándo se reduce la masa a 1 mg? (d )Bosquejar la gráfica de la función masa. El tiempo de vida media del cesio-137 es de 30 años. Considere una masa de 100 mg. (a) Establecer la masa que permanece después de t años. (b )¿Cuánto de la masa permanece después de 100 años? (c) ¿Después de cuanto tiempo permanece únicamente 1 mg? 10. Una muestra de tritium-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad original después de 1 año. (a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritium-3? (b )¿Cuánto tardaría en decaer a 20% de su cantidad original? 11. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el método del carbono. El bombardeo de la atmósfera superior por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un isótopo radioactivo de carbono, 14 C, con un tiempo de vida media aproximado de 5 730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera y la vida animal asimila 14 C a través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un animal mueren, se detiene la sustitución de su carbono y la cantidad de 14 C inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. En consecuencia el nivel de radiactividad también decae de manera exponencial. Fue descubierto un fragmento de pergamino que tiene casi 74% de 14 C tanta radiactividad como el material de la planta en la tierra hoy en día. Estimar la edad del pergamino. 12. Una curva pasa a través del punto (0, 5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la curva en cualquier punto P es dos veces la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva? De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 185°F y se coloca sobre una mesa en un espacio donde la temperatura es 75°F. (a) Si la temperatura del pavo es 150°F después de media hora; ¿cuál es la temperatura 45 minutos después? (b )¿Cuándo se enfriará el pavo a 100°F? 14. Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es 5°C. Un minuto después la lectura en el termómetro es de 12°C. (a) ¿Cuál será la lectura en el termómetro unos minutos después? (b )¿Cuándo la lectura del termómetro será 6°C? 15. Cuando se toma una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5°C. Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20°C su temperatura se incrementa a 10°C. (a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después? (b )¿Cuándo su temperatura será de 15°C? 13. 9. (c) Calcular el número de células después de 5 horas. (d) Establecer la rapidez de crecimiento después de 5 horas. (e) ¿Cuándo la población alcanzará 200 000? La tabla proporciona estimados de la población mundial, en millones, desde 1750 hasta 2000. (a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales. (b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población actual. (c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población de 1900 y 1950 para predecir la población mundial en 2000. Compare con la población actual e intente explicar la dis- crepancia. 6. La tabla proporciona la población de Estados Unidos, en millo- nes, para los años 1900-2000. (a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de censo para 1900 y 1910 para predecir la población en 2000. Compare con las cifras actuales e intente explicar la discrepancia. (b) Use el modelo exponencial y las cifras del censo para 1980 y 1990 para predecir la población en 2000. Compare con la población actual. A continuación aplique este modelo para predecir la población en los años 2010 y 2020. ; (c) Grafique ambas funciones exponenciales de los incisos (a) y (b) junto con una gráfica de la población actual. ¿Alguno de estos modelos es razonable? 7. Los experimentos muestran que si la reacción quimica. se realiza a 45°C, la velocidad de reacción del pentóxido de di- nitrógeno es proporcional a su concentración como sigue: (a) Hallar una expresión para la concentración [N2O5] después de t segundos si la concentración inicial es C. d N2O5 dt 0.0005 N2O5 N2O5 S 2NO2 1 2 O2 5. Año Población Año Población 1750 790 1900 1650 1800 980 1950 2560 1850 1260 2000 6080 Año Población Año Población 1900 76 1960 179 1910 92 1970 203 1920 106 1980 227 1930 123 1990 250 1940 131 2000 275 1950 150 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 240
- 297. RELACIONES AFINES Si está inflando un globo, tanto su volumen como su radio se incrementan y sus proporciones de incremento están relacionadas entre sí. Pero es mucho más fácil medir de modo directo la proporción de aumento de volumen que la proporción de incremento del radio. En un problema de relaciones afines, la idea es calcular la relación de cambio de una can- tidad en términos de la relación de cambio de otra cantidad, la cual, además, se podría medir con más facilidad. El procedimiento es determinar una ecuación que relaciona las dos canti- dades y aplicar la regla de la cadena para derivar ambos miembros con respecto al tiempo. EJEMPLO 1 Se infla un globo esférico y su volumen se incrementa en una proporción de 100 cm3 s. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm? SOLUCIÓN Empiece por identificar dos aspectos: la información que se proporciona: la proporción de incremento del volumen del aire es 100 cm3 s y lo que se desconoce: la rapidez de incremento del radio cuando el diámetro es 50 cm Con objeto de expresar estas cantidades en forma matemática, introduzca una nota- ción sugerente: Sea V el volumen del globo y r su radio. La clave que hay que tener presente es que las razones de cambio son derivables. En este problema, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo t. La proporción de incremento del volumen con respecto al tiempo es la derivada , y la rapidez del in- cremento del radio es . Por lo tanto, replantee lo que conoce y lo que desconoce de la manera siguiente: Conocido: Desconocido: dr dt cuando r 25 cm dV dt 100 cm3 s drdt dVdt V 3.9 SECCIÓN 3.9 RELACIONES AFINES |||| 241 ; (b) Considere que se prestan 1000 dólares y el interés es com- puesto de manera continua. Si A(t) es la cantidad que se debe en t años, donde 0 t 3, grafique A(t) para cada una de las tasas de interés anual 6%, 8% y 10% en una pantalla común. (a) Si invierta 3000 dólares al 5% de interés anual, calcule el valor de la inversión al final de 5 años si el interés es com- puesto (i) anual, (ii) semestral, (iii) mensual, (iv) semanal, (v) por día, y (vi) de manera contínua. (b )Si A(t) es la cantidad de la invesión al tiempo t para el caso de composición combinada, escriba una ecuación diferencial y una condición inicial que satisfaga A(t). 20. (a) ¿Cuánto transcurrirá para que una inversión se duplique en valor si la tasa de interés anual es de 6% compuesto de manera continua? (b) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente? 19. 16. Una taza de café recién hecha tiene 95°C de temperatura en una habitación a 20°C. Cuando la temperatura es de 70°C, se enfría en una proporción de 1°C por cada minuto. ¿Cuándo sucede esto? 17. La razón de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h es proporcional a P, considere que la temperatura es constante. En 15°C la presión es 101.3 kPa al nivel del mar y 87.14 kPa en h 100 m. (a) ¿Cuál es la presión en una altitud de 3000 m? (b )¿Cuál es la presión en la cima del monte McKinly, en una altitud de 6187 m? 18. (a) Si se prestan 1000 dólares al 8% de interés anual, calcular la cantidad que se debe al final de 3 años si el interés es com- puesto. (i) anual, (ii) trimestral, (iii) mensual, (iv) semanal, (v) diario, (vi) por hora, y (vii) de manera continua. De acuerdo con los principios de la resolución de problemas estudiados en la página 76, el primer paso es entender el problema. Ahí está incluida la lectura cuidadosa del problema, la identificación de los datos con que se cuenta y lo que se desconoce y la introducción de una notación conveniente. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 241
- 298. Con objeto de relacionar y , primero relacione V y r mediante la fórmula del volumen de una esfera: Para utilizar la información dada, derive con respecto a t a ambos miembros de la ecua- ción. Para derivar el lado derecho necesita aplicar la regla de la cadena: Ahora resuelva para la cantidad desconocida: Si sustituye y en esta ecuación, obtiene El radio del globo se incrementa en una proporción de cms. EJEMPLO 2 Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared en una proporción de 1 pies, ¿qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro? SOLUCIÓN Primero dibuje un esquema y ponga los datos como se muestra en la figura 1. Sea x pies la distancia desde la parte inferior de la escalera al muro y y pies la distan- cia desde la parte superior de la escalera al piso. Observe que x y y son funciones del tiempo t (tiempo que se mide en segundos) Sabe que pie/s y se pide determinar cuando pies (véase figura 2). En este problema, la relación entre x y y la define el teorema de Pitágoras: Al derivar con respecto a t ambos miembros aplicando la regla de la cadena y al resolver esta ecuación para determinar la relación deseada Cuando , el teorema de Pitágoras da y al sustituir estos valores y , llega a El hecho de que sea negativa quiere decir que la distancia desde la parte superior de la escalera al suelo decrece una proporción de . En otras palabras, la parte supe- rior de la escalera se resbala hacia abajo de la pared una proporción de . 3 4 pies 3 4 pies dydt dy dt 6 8 1 3 4 piess dxdt 1 y 8 x 6 dy dt x y dx dt 2x dx dt 2y dy dt 0 x2 y2 100 x 6 dydt dxdt 1 125 0.0127 dr dt 1 4 252 100 1 25 dVdt 100 r 25 dr dt 1 4 r2 dV dt dV dt dV dr dr dt 4 r2 dr dt V 4 3 r3 drdt dVdt 242 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN La segunda etapa de la resolución de problemas es pensar en un plan para relacionar la información conocida con la desconocida. Observe que aunque es constante, no lo es. drdt dVdt piso muro 10 y x FIGURA 1 y x dy dt =? dx dt =1 FIGURA 2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 242
- 299. EJEMPLO 3 Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2 m y la altura es de 4 m. Si el agua se bombea hacia el depósito a una razón de 2 m3 min, determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3 m de profundidad. SOLUCIÓN Primero elabore un diagrama del cono y anote la información como en la figura 3. Sean V, r y h el volumen del agua, el radio de la superficie circular y la altura en el tiempo t, donde t se mide en minutos. Sabe que m3 min y se pide determinar cuando h es 3 m. Las can- tidades V y h se relacionan mediante la ecuación pero es muy útil expresar V sólo en función de h. Con objeto de eliminar r, recurra a los triángulos semejantes en la figura 3 para escribir y la expresión para V se vuelve Ahora puede derivar con respecto a t cada miembro: de modo que Al sustituir m y m3 min obtiene El nivel del agua sube a razón de . ESTRATEGIA Es útil recordar algunos de los principios para resolver problemas que se encuentran en la página 76 y adaptarlos a las razones relacionadas luego de lo que aprendió en los ejemplos 1 a 3: 1. Lea con cuidado el problema. 2. Si es posible, dibuje un diagrama. 3. Introduzca la notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que están en función del tiempo. 4. Exprese la información dada y la relación requerida en términos de derivadas. 5. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del problema. Si es necesario, aplique las propiedades geométricas de la situación para eliminar una de las variables por sustitución, como en el ejemplo 3. 6. Aplique la regla de la cadena para derivar con respecto a ambos miembros de la ecuación. 7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y determine la proporción desconocida. Los ejemplos siguientes son otras ilustraciones de la estrategia. t 89 0.28 mmin dh dt 4 32 2 8 9 dVdt 2 h 3 dh dt 4 h2 dV dt dV dt 4 h2 dh dt V 1 3 h 2 2 h 12 h3 r h 2 r h 2 4 V 1 3 r2 h dhdt dVdt 2 SECCIÓN 3.9 RELACIONES AFINES |||| 243 FIGURA 3 2 r h 4 | ADVERTENCIA: Un error común es la sustitución de la información numérica conocida (por cantidades que varían con el tiempo) muy pronto. La sustitución se efectúa sólo después de la derivación. (El paso 7 va después del paso 6.) Es decir, en el ejemplo 3 se tratan valores generales de hasta que finalmente sustituye en la última etapa. (Si hubiera sustituido desde antes, habría obtenido , lo cual es evidentemente erróneo.) dVdt 0 h 3 h 3 h Reflexione. ¿Qué ha aprendido de los ejemplos 1 a 3 que le ayude a resolver problemas futuros? CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 243
- 300. EJEMPLO 4 El automóvil A se dirige hacia el oeste a 50 millash y el vehículo B viaja hacia el norte a 60 millash. Ambos se dirigen hacia la intersección de los dos caminos. ¿Con que rapidez se aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a 0.3 millas y el vehículo B está a 0.4 millas de la intersección? SOLUCIÓN Dibuje la figura 4 donde es la intersección de los caminos. En un tiempo dado t, sea x la distancia entre el automóvil A y C, sea y la distancia desde el automóvil B a C, y sea la distancia entre los vehículos, donde x, y y se miden en millas. Sabe que millash y millas/h. Las derivadas son negativas porque x y y son decrecientes. Se pide calcular . La ecuación que relaciona x, y y la proporciona el teorema de Pitágoras: Al derivar ambos lados con respecto a obtiene Cuando millas y millas, el teorema de Pitágoras da millas, de modo que Los vehículos se aproximan entre sí a razón de 78 millash. EJEMPLO 5 Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de 4 piess. Un faro está situado sobre el nivel de la tierra a 20 pies de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con que rapidez el faro gira cuando el hombre está a 15 pies del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz? SOLUCIÓN Trace la figura 5 y haga que sea la distancia desde el hombre hasta el punto sobre la trayectoria que esté más cercana al faro. Sea el ángulo entre el rayo desde el faro y la perpendicular a la trayectoria. Sabe que piess y se pide calcular cuando . La ecuación que relaciona y se puede escribir a partir de la figura 5: Al derivar con respecto a t ambos miembros obtiene por lo que d dt 1 20 cos2 dx dt 1 20 cos2 4 1 5 cos2 dx dt 20 sec2 d dt x 20 tan x 20 tan x x 15 ddt dxdt 4 x V 78 millash dz dt 1 0.5 0.350 0.460 z 0.5 y 0.4 x 0.3 dz dt 1 z x dx dt y dy dt 2z dz dt 2x dx dt 2y dy dt t z2 x2 y2 z dzdt dydt 60 dxdt 50 z z C V 244 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 4 C z y x B A FIGURA 5 x 20 ¨ CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 244
- 301. Cuando , la longitud del rayo es 25, por eso y El faro gira con una rapidez de 0.128 rads. d dt 1 5 4 5 2 16 125 0.128 cos 4 5 x 15 SECCIÓN 3.9 RELACIONES AFINES |||| 245 avión a la estación se incrementa cuando está a 2 millas de la estación. Si una bola de nieve se funde de tal modo que el área superficial disminuye a razón de 1 cm min, calcule la rapidez a la cual dis- minuye el diámetro cuando éste es 10 cm. 13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 piess a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido la punta de su sombra se desplaza cuando está a 40 pies del poste? 14. A mediodía, un barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A navega hacia el este a 35 kmh y el barco B navega hacia el norte a 25 kmh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 4:00 PM? Dos vehículos parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el sur a 60 millash y el otro hacia el oeste a 25 millash. ¿En que proporción se incrementa la distancia entre los vehículos dos horas después? 16. Una luminaria sobre el piso ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de estatura camina desde la luminaria hacia el edificio a una rapidez de 1.6 ms, ¿qué tan rápido disminuye la longitud de su sombra sobre el muro cuando está a 4 m del edificio? 17. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 piess desde el punto . Cinco minutos más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 piess desde un punto a 500 pies directo al este de . ¿Con qué rapidez se están separando las personas 15 min después de que la mujer empezó a caminar? 18. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base con una rapidez de 24 piess. (a) ¿En qué proporción su distancia desde la segunda base decrece cuando está a medio camino de la primera base? (b) ¿En qué proporción su distancia desde la tercera base se incrementa en el mismo momento? 90 pies P P 15. 2 12. 1. Si es el volumen de un cubo que mide por lado y, además, el cubo se expande a medida que transcurre el tiempo, calcule en términos de . 2. (a) Si es el área de un círculo cuyo radio es y el círculo se amplía a medida que pasa el tiempo, determine en términos de . (b) Suponga que el aceite se derrama de un depósito agrietado y que se extiende según un patrón circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa a una proporción constante de , ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuado el radio es de 30 m? 3. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 cm/s. ¿En que proporción se incrementa el área del cuadrado cuando el área del cuadrado es de 16 cm2 ? 4. El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8 cm/s y el ancho en 3 cm/s. Cuando la longitud es 20 cm y el ancho es 10 cm, ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo? 5. Un tanque cilíndrico con 5 m de diámetro se está llenando con agua a razón de 3 cm3 /min. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de agua’? 6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4 mm/s. ¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el diámetro es de 80 mm? 7. Si y , determine cuando . 8. Si y , determine cuando . 9. Si , , y , encuentre cuando y . 10. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva . Cuando alcanza el punto , la coordenada se incrementa a una rapidez de . ¿Qué tan rápido cambia la coordenada del punto variable en ese instante? 11–14 (a) ¿Qué cantidades se proporcionan en el problema? (b) ¿Qué se desconoce? (c) Trace un diagrama de la situación en cualquier tiempo t. (d) Plantee una ecuación que relacione las cantidades. (e) Termine de resolver el problema. 11. Un avión que vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una rapidez de 500 millash pasa directamente sobre una estación de radar. Calcule la rapidez a la cual la distancia desde el x 4 cms y 2, 3 y s1 x3 y 12 x 5 dzdt dydt 3 dxdt 2 z2 x2 y2 y 4 dxdt dydt 6 x2 y2 25 x 2 dydt dxdt 5 y x3 2x 1 ms drdt dAdt r A dxdt dVdt x V EJERCICIOS 3.9 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 245
- 302. 246 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN altura son siempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila cuando ésta mide 10 pies de alto? 28. Un papalote que está a 100 pies por arriba de la superficie de la tierra se desplaza en forma horizontal a una rapidez de 8 piess. ¿En que proporción disminuye el ángulo entre la cuerda y la horizontal cuando se han soltado 200 pies de cuerda? 29. Dos lados de un triángulo miden 4 y 5 m, y el ángulo entre ellos se incrementa a razón de 0.06 rads. Calcule la proporción a la cual el área del triángulo se incrementa cuando el ángulo entre los lados de longitud constante es de . 30. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo entre el muro y la escalera cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro? La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión y el volumen cumplen la ecuación , donde es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es de 600 cm3 , la presión es de 150 kPa y que la presión se incrementa una cantidad de 20 kPamin. ¿En que proporción disminuye el volumen en este instante? 32. Cuando el aire se expande en forma adiabática, es decir, no gana ni pierde calor, su presión y su volumen se relacionan mediante la ecuación , donde es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es 400 cm y que la presión es 80 kPa y está disminuyendo en una cantidad de 10 kPamin. ¿En que proporción se incrementa el volumen en este instante? 33. Si se conectan dos resistencias y en paralelo, como se ilustra en la figura, por lo tanto la resistencia total , medida en ohms ( ) es Si R1 y R2 se incrementan en proporción de y , respectivamente, ¿qué tan rápido cambia R cuando y ? 34. El peso B del cerebro en función del peso del cuerpo en los peces ha sido modelado mediante la función potencia , donde B y W se dan en gramos. Un modelo B 0.007W 23 W R¡ R™ R2 100 R1 80 0.2 s 0.3 s 1 R 1 R1 1 R2 R R2 R1 3 C PV1.4 C V P C PV C V P 31. 3 La altitud de un triángulo se incrementa a razón de 1 cmmin mientras que el área del triángulo aumenta en una proporción de 2 cm2 min. ¿En qué proporción cambia la base del triángulo cuando la altitud es de 10 cm y el área es de ? 20. Una embarcación se jala hacia un muelle mediante una soga unida a la proa del bote y pasa por una polea que se encuentra instalada en el muelle a 1 m más arriba que la proa del bote. Si la soga se jala a una rapidez de 1 ms, ¿qué tan rápido se aproxima al muelle cuando está a 8 m de éste? 21. A mediodía, el barco A está a 100 km al oeste del barco B. El barco A se dirige hacia el sur a 35 kmh y el barco B va hacia el norte a 25 kmh. ¿Qué tan rápido se modifica la distancia entre los barcos a las 4:00 PM? 22. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva . Cuando pasa por el punto , su coordenada se incrementa en una proporción de . ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la partícula al origen en ese instante? 23. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a una relación de 10 000 cm3 min al mismo tiempo que se bombea agua al depósito a una proporción constante. El depósito mide 6 m de alto y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua se eleva a una relación de 20 cmmin cuando la altura del agua es de 2 m, calcule la proporción a la cual el agua está siendo bombeada hacia el tanque. 24. Un canalón mide 10 pies de largo y sus extremos tienen la forma de un triángulo isósceles; el ancho del canalón es de 3 pies, lo que sería la base del triángulo, y la altura es de 1 pie. Si el canalón se llena con agua a razón de 12 pies cúbicos por minuto, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 6 pulg? Un canal de agua mide 10 pies de largo y su sección transversal tiene la forma de un trapezoide isósceles que tiene 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y mide 50 cm de alto. Si el canal se está llenando con agua a razón de 0.2 , ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene 30 cm de profundidad? 26. Una piscina mide 20 pies de ancho, 40 pies de largo y 3 pies en el extremo polo profundo, y tiene 9 pies de fondo en la parte más profunda. En la figura se ilustra una sección transversal de la piscina. Si ésta se llena a razón de 0.8 pies cúbicosmin, ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando la altura del agua en el punto más profundo es de 5 pies? Se entrega grava por medio de una cinta transportadora a razón de 30 pies cúbicos por minuto; las dimensiones de sus fragmen- tos permiten formar una pila en forma de cono cuyo diámetro y 27. 3 6 12 6 16 6 m3 min 25. 3 cms x 4, 2 y sx 100 cm2 19. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 246
- 303. APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES Ya vio que una curva se encuentra muy cerca de su recta tangente cerca del punto de tan- gencia. De hecho, al realizar un acercamiento hacia el punto en la gráfica de una función derivable, advirtio que la gráfica se parece cada vez más a su recta tangente. (Véase la figura 2 en la sección 2.7.) Esta observación es la base de un método para hallar valores aproximados de funciones. La idea es que puede resultar fácil calcular un valor fa de una función, pero difícil (si no es que imposible) calcular valores cercanos de f. Por lo tanto, recurra a los valores calcu- lados fácilmente de la función lineal L cuya gráfica es la recta tangente de f en . (Véase la figura 1.) En otras palabras, use la recta tangente en como una aproximación a la cur- va cuando x está cerca de a. Una ecuación para la recta tangente es y la aproximación fx fa fax a 1 y f a fax a y fx a, f a a, fa 3.10 SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES |||| 247 (b) Si la cámara de televisión se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿qué tan rápido cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento? 38. Un faro se localiza en una pequeña isla a 3 km del punto más cercano que se encuentra en una playa recta; la lámpara del faro da cuatro revoluciones por minuto. ¿Qué tan rápido se mueve el haz de luz a lo largo de la playa cuando está a 1 km de ? 39. Un avión vuela horizontalmente en una altitud de 5 km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la superficie de la tierra. Cuando el ángulo de elevación es , este ángulo está disminuyendo en una prororción de rad/min. ¿En ese instante con que rapidez está viajando el avión? 40. Una rueda de la fortuna de 10 m de radio está girando con una proporción de una revolución cada 2 minutos. ¿Qué tan rápido se está elevando un pasajero cuando su silla está a 16 m arriba del nivel de la superficie de la tierra? 41. Un avión que vuela con rapidez constante de 300 kmh pasa sobre una estación terrestre de radar a una altitud de 1 km y se eleva con un ángulo de 30°. ¿En que proporción se incrementa la distancia del avión a la estación de radar un minuto más tarde? 42. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 millas/h y la otra camina hacia el noreste a 2 millas/h. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personas después de 15 minutos? Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7 m/s. Un amigo del corredor está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m? 44. La manecilla de los minutos de un reloj mide 18 mm de largo y la manecilla de las horas mide 4 mm de largo. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las puntas de las manecillas cuando es la 1 de la tarde? 43. 6 3 P P para el peso corporal en función de la longitud del cuerpo L en centímetros, es . Si en 10 millones de años la longitud promedio de ciertas especies de peces evolucionaron desde 15 cm a 20 cm a una proporción constante, ¿qué tan rápido creció el cerebro de estas especies cuando la longitud promedio era de 18 cm? 35. Los lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ángulo entre ellos se incrementa a razón de 2°/min ¿Qué tan rápido se incrementa la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es de 60°? 36. Dos carros A y B están conectados por medio de una soga de 39 pies de longitud que pasa por una polea P (véase la figura). El punto O está en el suelo a 12 pies directamente abajo de P y entre los carros. El carro A es jalado a partir de O a una rapidez de 2 piess. ¿Qué tan rápido se mueve el carro B hacia O en el instante en que el carro A está a 5 pies de O? Se instala una cámara de televisión a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la proporción correcta con el objeto de tener siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva. Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado 3 000 pies. (a) ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? 37. A B Q P 12 pies W 0.12L2.53 x 0 y {a, f(a)} y=ƒ y=L(x) FIGURA 1 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 247
- 304. se conoce con el nombre de aproximación lineal o aproximación de la recta tangente de f en a. A la función lineal cuya gráfica es su recta tangente, es decir, se le llama linealización de f en a. EJEMPLO 1 Encuentre la linealización de la función en y úsela para obtener una aproximación de los números y . ¿Estas aproximaciones son sobrestimaciones o subestimaciones? SOLUCIÓN La derivada de es y, de este modo se tiene y . Si se ponen estos valores en la ecuación (2) la linealización es La aproximación lineal correspondiente (1) es (cuando está cerca de ) En particular, tiene y En la figura 2 se ilustra la aproximación lineal. En efecto, la aproximación de la recta tangente funciona para la función dada cuando x está cerca de 1. También que las aproximaciones son sobrestimaciones porque la recta tangente se encuentra por arriba de la curva. Por supuesto, una calculadora podría dar aproximaciones para y , pero la aproximación lineal da esa aproximación sobre un intervalo completo. En la tabla siguiente se compara las estimaciones de la aproximación lineal del ejemplo 1 con los valores reales. Advierta en esta tabla, y asimismo en la figura 2, que la aproximación de la recta tangente da buenas estimaciones cuando x está cerca de 1 pero la precisión de la aproximación disminuye cuando x está más lejos de 1. s4.05 s3.98 s4.05 7 4 1.05 4 2.0125 s3.98 7 4 0.98 4 1.995 1 x sx 3 7 4 x 4 Lx f1 f1x 1 2 1 4 x 1 7 4 x 4 f 1 1 4 f1 2 fx 1 2 x 312 1 2sx 3 fx x 312 s4.05 s3.98 a 1 fx sx 3 V Lx fa f ax a 2 248 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN x A partir de Valor real 0.9 1.975 1.97484176 . . . 0.98 1.995 1.99499373 . . . 1 2 2.00000000 . . . 1.05 2.0125 2.01246117 . . . 1.1 2.025 2.02484567 . . . 2 2.25 2.23606797 . . . 3 2.5 2.44948974 . . . s6 s5 s4.1 s4.05 s4 s3.98 s3.9 Lx y= x+3 _3 0 x y 1 (1, 2) y= + x 4 7 4 œ„„„„ FIGURA 2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 248
- 305. ¿Qué tan buena es la aproximación obtenida en el ejemplo 2? El ejemplo siguiente mues- tra que usando una calculadora graficadora o una computadora es posible determinar un intervalo a lo largo del cual una aproximación lineal proporciona una precisión especificada. EJEMPLO 1 ¿Para cuáles valores de x la aproximación lineal es exacta con una diferencia menor que 0.5? ¿Qué puede decir de una exactitud con una diferencia menor que 0.1? SOLUCIÓN Una exactitud con una diferencia menor que 0.5 significa que las funciones deben diferir en menos de 0.5: De modo equivalente podría escribir Con esto se expresa que la aproximación lineal debe encontrarse entre las curvas que se obtienen al desplazar la curva hacia arriba y hacia abajo en una cantidad de 0.5. En la figura 3 se muestra la recta tangente que interseca la curva superior en y en . Al hacer un acercamiento y usar el cursor, estima que la coordenada x de se aproxima a y la coordenada x de Q es más o menos 8.66. Por esto, con base en la gráfica, la aproximación es exacta con una diferencia menor que 0.5, cuando . (Se ha redondeado para quedar dentro del margen de seguridad.) De manera análoga, en la figura 5 la aproximación es exacta con una diferencia menor que 0.1 cuando . APLICACIONES EN LA FÍSICA Las aproximaciones lineales se usan con frecuencia en la física. Al analizar las consecuencias de una ecuación, a veces un físico necesita simplificar una función sustituyéndola con una aproximación lineal. Por ejemplo, al derivar una fórmula para el periodo de un péndulo, los libros de texto de física obtienen la expresión para la aceleración tangencial y luego sustituyen sen u por u haciendo la observación de que sen u está muy cerca de u si u no es demasiado grande. Véase, por ejemplo, Physics: Calculus, 2a. edición, por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2000), p. 431. Puede comprobar que la linealización de la función en a 0 es y así la aproximación lineal en 0 es sen x x (véase el ejercicio 42). Por consiguiente, en efecto, la derivación de la fórmula para el periodo de un péndulo utiliza la aproximación a la recta tangente para la función seno. Otro ejemplo se presenta en la teoría de la óptica donde los rayos de luz que llegan con ángulos bajos con relación al eje óptico se llaman rayos paraxiales. En la óptica paraxial (o gaussiana) tanto sen u como cos u se sustituyen con sus linealizaciones. En otras pala- bras, las aproximaciones lineales sen u u y cos u 1 Lx x f x sen x aT t sen 1.1 x 3.9 2.6 x 8.6 sx 3 7 4 x 4 2.66 P Q P y sx 3 0.5 y 7 x4 y sx 3 sx 3 0.5 7 4 x 4 sx 3 0.5 sx 3 7 4 x 4 0.5 sx 3 7 4 x 4 SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES |||| 249 4.3 _1 _4 10 y= x+3-0.5 œ„„„„ Q P L(x) FIGURA 3 y= x+3+0.5 œ„„„„ 3 1 _2 y= x+3-0.1 œ„„„„ Q P 5 y= x+3+0.1 œ„„„„ FIGURA 4 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 249
- 306. se usan porque u está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con estas apro- ximaciones se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para diseñar lentes. [Véase Optics, 4a. edición, por Eugene Hecht (San Francisco:Addison Wesley, 2002), p. 154] En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de las aproximaciones li- neales a la física. DIFERENCIALES Las ideas detrás de las aproximaciones lineales en ocasiones se formulan en la terminolo- gía y la notación de diferenciales. Si , donde f es una función derivable, entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La diferencial dy se define por lo tanto en términos de dx mediante la ecuación De modo que dy es una variable dependiente; depende de los valores de x y dx. Si a dx se le da un valor específico y x se considera como algún número específico en el dominio de f, entonces se determina el valor numérico de dy. En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean y puntos sobre la gráfica de f y sea . El cambio correspon- diente en y es La pendiente de la recta tangente PR es la derivada . Por esto, la distancia dirigida de S a R es . Por consiguiente, dy representa la cantidad que la recta tangen- te se levanta o cae (el cambio en la linealización), en tanto que representa la cantidad que la curva se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx. EJEMPLO 3 Compare los valores de y si y cambia (a) de 2 a 2.05 y (b) de 2 a 2.01. SOLUCIÓN (a) Tiene En general, Cuando y , esto se transforma en (b) Cuando , dy 322 22 2 0.01 0.14 dx x 0.01 y f 2.01 f2 0.140701 f 2.01 2.013 2.012 22.01 1 9.140701 dy 322 22 2 0.05 0.7 dx x 0.05 x 2 dy fx dx 3x2 2x 2 dx y f 2.05 f2 0.717625 f 2.05 2.053 2.052 22.05 1 9.717625 f 2 23 22 22 1 9 x y f x x3 x2 2x 1 dy y y f x y f x dx dy fx y f x x fx dx x Qx x, fx x Px, fx dy f x dx 3 y f x 250 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Si , puede dividir ambos lados de la ecuación 3 entre dx para obtener Antes ha visto ecuaciones similares, pero ahora el lado izquierdo puede interpretarse en forma genuina como una relación de diferenciales. dy dx f x dx 0 R 0 x y Îy x P Q dx=Îx x+Îx y=ƒ S dy FIGURA 5 En la figura 6 se ilustra la función del ejemplo 3 y una comparación de y cuando . El rectángulo de visión es por . 6, 18 1.8, 2.5 a 2 y dy FIGURA 6 y=˛+≈-2x+1 (2, 9) dy Îy CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 250
- 307. Advierta, en el ejemplo 3, que la aproximación mejora a medida que se ha- ce más pequeña. Observe también que es más fácil de calcular que . En el caso de funciones más complicadas sería imposible calcular exactamente . En estos casos, la apro- ximación mediante diferenciales es especialmente útil. En la notación de diferenciales, la aproximación lineal (1) se puede escribir como Por ejemplo, para la función del ejemplo 2, tiene Si a 1 y , entonces y igual a lo que halló en el ejemplo 1. El ejemplo final ilustra el uso de diferenciales al estimar los errores que ocurren debi- do a las mediciones aproximadas. EJEMPLO 4 Se midió el radio de una esfera y se encontró que es 21 cm con un posible error en medición de cuanto mucho 0.05 cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera? SOLUCIÓN Si el radio de la esfera es r, entonces el volumen es . Si el error en el valor medido de r se denota por medio de , entonces el error correspondiente en el valor calculado de V es , el cual puede aproximarse mediante el diferencial Cuando y , esto se convierte en El error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 277 cm3 Si bien el posible error en el ejemplo 4 puede parecer bastante grande, el error relativo ofrece un mejor panorama del error; se calcula dividiendo el error entre el volumen total: Por esto el error relativo en el volumen es aproximadamente tres veces el error relativo en el radio. En el ejemplo 4, el error relativo en el radio es y produce un error relativo de alrededor de 0.007 en el volumen. Los errores pueden expresarse asimismo como errores de porcentaje de 0.24% en el radio y 0.7% en el volumen. drr 0.0521 0.0024 V V dV V 4 r2 dr 4 3 r3 3 dr r NOTA dV 4 212 0.05 277 dr 0.05 r 21 dV 4 r2 dr V dr r V 4 3 r3 V s4.05 f 1.05 f1 dy 2.0125 dy 0.05 2s1 3 0.0125 dx x 0.05 dy f x dx dx 2sx 3 fx sx 3 fa dx fa dy y y dy x y dy SECCIÓN 3.10 APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES |||| 251 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 251
- 308. 252 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 25. 26. 27. 28. 29–31 Explique, en términos de aproximaciones lineales o diferenciales, por qué es razonable la aproximación. 30. 31. 32. Sean y (a) Encuentre la linealización de f , t y h en a 0. ¿Qué advierte? ¿Cómo explica lo que sucedió? ; (b) Dibuje f , t y h y su aproximación lineal. ¿Para cuál función es mejor la aproximación lineal? Explique. Se encontró que la arista de un cubo es 30 cm, con un error posible en la medición de 0.1 cm. Utilice diferenciales para estimar el error posible máximo, error relativo, y el porciento de error al calcular (a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo. 34. Se da el radio de un disco circular como de 24 cm, con un error máximo en la medición de 0.2 cm. (a) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del disco. (b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el error en porcentaje? 35. La circunferencia de una esfera se midió como 84 cm, con un error posible de 0.5 cm. (a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo? (b) Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo? 36. Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un diámetro de 50 m. 37. (a) Aplique diferenciales para determinar una fórmula para el volumen aproximado de un cascarón cilíndrico de altura , radio interno y espesor . (b) ¿Cuál es el error que hay al utilizar la fórmula del inciso (a)? 38. Se conocen un lado de un triángulo rectángulo de 20 cm de longitud y se mide el ángulo opuesto de 30°, con un error posible de ±1°. (a) Use diferenciales para estimar el error máximo en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo? (b) Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo? r r h 33. hx 1 ln1 2x tx e2x f x x 12 ln 1.05 0.05 1.016 1.06 sec 0.08 1 29. s99.8 tan 44 11002 8.0623 1–4 Encuentre la linealización Lx de la función en a. 1. 2. , , 8. ; Encuentre la aproximación lineal a la función en a 0 y úsela para hacer una aproximación a los números y . Ilustre dibujando f y la recta tangente. ; 6. Encuentre la aproximación lineal de la función en a 0 y aplíquela para hacer una aproximación a los números y . Ilustre dibujando t y la recta tangente. ; 7–10 Compruebe la aproximación lineal dada en a 0. A continua- ción determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal es exacta hasta un valor menor que 0.1. 7. 8. 10. 11–14 Calcule la diferencial de las funciones. 11. (a) (b) 12. (a) (b) (a) (b) 14. (a) (b) 15–18 (a) Calcule la diferencial de y (b) evalúe para los valores dados de y . , , 16. , , 17. , , 18. , , 19–22 Calcule y para los valores dados de y . Luego elabore un esquema como el de la figura 5 en el que se muestren los segmentos lineales con longitudes , y . 19. , , 20. , , 21. , , 22. , , 23–28 Aplique la aproximación lineal o bien las diferenciales para estimar el número dado. 23. 24. e0.015 2.0015 x 0.5 x 0 y ex x 1 x 4 y 2/x x 1 x 1 y sx x 0.4 x 2 y 2x x2 y dy dx dx x x dy y dx 0.05 x 3 y cos x dx 0.1 x 4 y tan x dx 0.01 x 1 y 1x 1 dx 0.1 x 0 y ex10 , 15. dx x dy dy y s1 ln z y etan pt y 1 r3 2 y u 1 u 1 13. y eu cos u y s/1 2s y lns1 t2 y x2 sen 2x ex 1 x 11 2x4 1 8x 9. tan x x s 3 1 x 1 1 3 x s 3 1.1 s 3 0.95 tx s 3 1 x s0.99 s0.9 f x s1 x 5. f x x3/4 , a 16 a 2 f x cos x 3. a 1 f x ln x f x x4 3x2 , a 1 EJERCICIOS 3.10 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 252
- 309. La aproximación de la recta tangente Lx es la mejor aproximación de primer grado (lineal) a fx, cerca de x a, porque fx y Lx tienen la misma relación de cambio (derivada) en a. Para tener una aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación de segundo grado (cuadrática) Px. En otras palabras, aproxime una curva mediante una parábola en lugar de por una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, estipule lo siguiente: (i) ( y deben tener el mismo valor en a.) (ii) ( y deben tener la misma relación de cambio en a.) (iii) (Las pendientes de P y f deben tener la misma relación de cambio en a.) 1. Encuentre la aproximación cuadrática para la función , que satisfaga las condiciones (i), (ii) y (iii), con a 0. Dibuje P, f y la aproximación lineal Lx 1, en una pantalla común. Comente cuán bien las funciones P y L se aproximan a f. 2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática fx Px del problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: Dibuje y Px, y cos x 0.1 y y cos x 0.1 en una pantalla común.] f x cos x Px A Bx Cx2 Pa f a f P Pa f a f P Pa f a PROYECTO DE LABORATORIO POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 253 de duración L, el autor obtiene la ecuación para la aceleración tangencial del breve movimiento del péndulo. Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de u en radianes está muy cerca del valor de ; difieren menos que 2% hasta alrededor de 20°”. (a) Compruebe la aproximación lineal en 0 para la función seno: ; (b) Use un dispositivo graficador para determinar los valores de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%. Enseguida compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo de radianes a grados. Suponga que la única información acerca de una función f es que y la gráfica de su derivada es como se ilustra. (a) Use una aproximación lineal para estimar y . (b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique. 44. Suponga que no tiene una fórmula para pero sabe que y para toda . (a) Use una aproximación lineal para estimar y . (b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique. t2.05 t1.95 x tx sx2 5 t2 4 tx y x 0 1 y=fª(x) 1 f 1.1 f 0.9 f 1 5 43. sen x x sen aT tsen 39. Si una corriente I pasa através de un resistor con resistencia R la ley de Ohm establece que la caida de voltaje es V RI. Si V es constante y R se mide con un cierto error, aplique diferenciales para mostrar que el cálculo de I es aproximadamente el mismo (en magnitud) que el error relativo en R. Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F (el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio R de ese vaso: (Ésta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4 se muestra por qué es verdadera.) Una arteria parcialmente obstruida se puede expandir por medio de una operación llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un globo en la punta se infla dentro del vaso con el fin de ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal. Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cua- tro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento del 5% en el radio al flujo de sangre? 41. Deduzca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales, donde es una constante y y son funciones de ). (a) (b) (b) (b) (c) (b) 42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. edición, por Euge- ne Hecht (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2000), mientras se deriva la fórmula para el periodo de un péndulo T 2 sLt dxn nxn1 dx du v v du u dv v2 duv u dv v du du v du dv dcu c du dc 0 x v u c F kR4 40. ; POLINOMIOS DE TAYLOR P R OY E C TO D E LA B O R ATO R I O CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 253
- 310. FUNCIONES HIPERBÓLICAS Ciertas combinaciones de las funciones exponenciales y surgen tan a menudo en la matemática y sus aplicaciones que merecen recibir un nombre especial. En muchos aspectos son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la hipérbola que las funciones trigonométricas tienen con la circunferencia. Por esta razón se les llama en forma colectiva funciones hiperbólicas y de manera individual se les conoce como seno hiperbólico, coseno hiperbólico y así sucesivamente. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS coth x cosh x senh x tanh x senh x cosh x sech x 1 cosh x cosh x ex ex 2 csch x 1 senh x senh x ex ex 2 ex ex 3.11 254 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 3. Para obtener una aproximación de una función f mediante una función cuadrática P cerca de un número a, lo mejor es escribir P en la forma Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) es 4. Encuentre la aproximación cuadrática para , cerca de a 1. Trace las gráfi- cas de f, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo 2 de la sección 3.10 en una pantalla común. ¿Qué podría concluir? 5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o una cuadrática para fx, cerca de x a, intente hallar mejores aproximaciones, con polinomios de grado más alto. Busque un polinomio de n-ésimo grado tal que y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x a como f y sus n primeras derivadas. Derive repetidas veces y haga x a, para demostrar que estas condi- ciones se satisfacen si y, en general, donde . El polinomio resultante se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado, de f, con centro en a. 6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, con centro en a 0, para la función . Dibuje f y los polinomios de Taylor , en rectángulos de visualización [5, 5] por [1.4, 1.4]; comente cuán bien se aproximan a f. T2, T4, T6, T8 f x cos x Tnx f a f ax a f a 2! x a2 f n a n! x an k! 1 2 3 4 k ck f k a k! c0 f a, c1 f a, c2 1 2 f a Tn Tnx c0 c1x a c2x a2 c3x a3 cnx an f x sx 3 Px f a f ax a 1 2 f ax a2 Px A Bx a Cx a2 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 254
- 311. Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se pueden delinear mediante suma gráfica como en las figuras 1 y 2. Observe que el dominio de senh es y el intervalo es , pero que cosh tiene por do- minio y intervalo 1, . En la figura 3 se muestra la gráfica de tanh. Ésta tiene las asíntotas horizontales y 1. (Véase ejercicio 23.) Algunos de los usos matemáticos de las funciones hiperbólicas se tratan en el capítulo 7. Las aplicaciones en la ciencia y la ingeniería se tienen siempre que una entidad, como luz, velocidad, electricidad o radiactividad se absorbe o se extingue en forma gradual, puesto que el decaimiento se puede representar mediante funciones hiperbólicas. La apli- cación más famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante. Se puede demostrar que si un cable pesado y flexible (como los que se usan para las líneas telefónicas o eléctricas) se tiende entre dos puntos a la misma altura, en- tonces el cable toma la forma de una curva con ecuación que se de- nomina catenaria (véase figura 4). (Esta palabra proviene de la palabra latina catena que significa “cadena”.) Otras aplicación de las funciones hiperbólicas suceden en la descripción de los olas del mar: La velocidad de una ola con longitud L que se traslada através de un cuerpo de agua con profundidad d se modela por la función donde t es la aceleración debido a la gravedad (véase figura 5 y ejercicio 49.) Las funciones hiperbólicas satisfacen un número de identidades que son similares a las muy bien conocidas identidades trigonométricas. A continuación se listan algunas de ellas y la mayoría de las demostraciones se deja para los ejercicios. IDENTIDADES HIPERBÓLICAS coshx y cosh x cosh y senh x senh y senhx y senh x cosh y cosh x senh y 1 tanh2 x sech2 x cosh2 x senh2 x 1 coshx cosh x senhx senh x v tL 2p tanh 2pd L y c a coshxa FIGURA 3 y=tanh x y 0 x y=_1 y=1 FIGURA 1 y=senhx= ´- e–® 1 2 1 2 1 2 y= ´ –® 1 2 y=senh x 0 y x FIGURA 2 y=cosh x= ´+ e–® 1 2 1 2 y= e–® 1 2 1 2 y= ´ y=cosh x 1 0 y x SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS |||| 255 FIGURA 4 Catenaria y=c+a cosh(x/a) y 0 x L d FIGURA 5 Ola en el mar idealizada CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:57 Page 255
- 312. EJEMPLO 1 Demuestre (a) cosh2 x senh2 x 1 y (b) . SOLUCIÓN (a) (b) Empiece con la identidad demostrada en el inciso (a): cosh2 x senh2 x 1 Si divide los dos lados por cosh2 x, obtiene o bien, La identidad demostrada en el ejemplo 1(a) proporciona una pista sobre el nombre de funciones “hiperbólicas”: Si t es cualquier número real, entonces el punto queda en el círculo uni- tario porque . En efecto, t se puede interpretar como la medida en radianes de de la figura 6. Ésta es la razón por la que las funciones trigonométricas se denominan algunas veces funciones circulares. De manera similar, si t es cualquier número real, entonces el punto queda en la rama derecha de la hipérbola porque y . Pero ahora t no representa la medida de un ángulo. Resulta que t representa el doble del área del sector hiperbólico sombreado de la figura 7, de la misma manera como en el caso trigonométrico t representa el doble del área del sector circular sombreado en la figura 6. Las derivadas de las funciones hiperbólicas son fáciles de calcular. Por ejemplo, Se da una lista de las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas en la tabla 1 si- guiente. El resto de las demostraciones se dejan como ejercicios. Observe la similitud con las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas, pero advierta que los signos son diferentes en algunos casos. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS d dx tanh x sech2 x d dx coth x csch2 x d dx cosh x senh x d dx sech x sech x tanh x d dx senh x cosh x d dx csch x csch x coth x 1 d dx senh x d dx ex ex 2 ex ex 2 cosh x cosh t 1 cosh2 t senh2 t 1 x2 y2 1 Pcosh t, senh t POQ cos2 t sen2 t 1 x2 y2 1 Pcos t, sen t 1 tanh2 x sech2 x 1 senh2 x cosh2 x 1 cosh2 x e2x 2 e2x 4 e2x 2 e2x 4 4 4 1 cosh2 x senh2 x ex ex 2 2 ex ex 2 2 1 tanh2 x sech2 x V 256 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN FIGURA 7 0 y x ≈-¥=1 P(cosh t, senh t) FIGURA 6 O y x P(cos t, sen t) ≈+¥=1 Q © 2006 Getty Images El arco Gateway en St. Louis se diseñó aplicando una función coseno hiperbólico (ejercicio 48). CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 256
- 313. EJEMPLO 2 Cualquiera de estas reglas de derivación se puede combinar con la regla de la cadena. Por ejemplo, FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS De acuerdo con las figuras 1 y 3, senh y tanh son funciones uno a uno por lo que tienen fun- ciones inversas denotadas por senh1 y tanh1 . En la figura 2 se observa que cosh no es uno a uno, sino que cuando queda restringido al dominio se transforma en uno a uno. La función coseno hiperbólico inversa se define como la inversa de esta función restringida. Las funciones hiperbólicas inversas que faltan se definen de manera similar (véase ejerci- cio 28). Las funciones senh1 , cosh1 y tanh1 se grafican en las figuras 8, 9, y 10 con ayuda de las figuras 1, 2 y 3. Puesto que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones exponen- ciales, no sorprende enterarse que las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar en términos de logaritmos. En particular, tiene que: EJEMPLO 3 Demuestre que . SOLUCIÓN Sea . En tal caso x senh y ey ey 2 y senh1 x senh1 x ln(x sx2 1) tanh1 x 1 2 ln1 x 1 x 1 x 1 5 cosh1 x ln(x sx2 1) x 1 4 senh1 x ln(x sx2 1) x 3 FIGURA 8 y=senh–! x dominio=R rango=R 0 y x FIGURA 9 y=cosh–! x dominio=[1, `} rango=[0, `} 0 y x 1 FIGURA 10 y=tanh–! x dominio = (_1, 1) rango=R 0 y x 1 _1 y tanh1 x ? tanh y x y cosh1 x ? cosh y x y y 0 y senh1 x ? senh y x 2 0, d dx (cosh sx) senh sx d dx sx senh sx 2sx SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS |||| 257 La fórmula 3 se demuestra en el ejemplo 3. En los ejercicios 26 y 27 se piden las demostraciones de las fórmulas 4 y 5. CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 257
- 314. por lo que o bien, si multiplica por , Esto es ni más ni menos que una ecuación cuadrática en : Al resolver la ecuación cuadrática Observe que , pero (porque ). Por esto, el signo menos es inadmisible y Por lo tanto, (Refiérase al ejercicio 25 donde se ilustra otro método.) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Las funciones hiperbólicas inversas son derivables porque las funciones hiperbólicas son derivables. Las fórmulas de la tabla 6 se pueden demostrar por el método de las fun- ciones inversas o mediante la derivación de las fórmulas 3, 4 y 5. EJEMPLO 4 Demuestre que . SOLUCIÓN 1 Sea . Entonces . Si deriva esta ecuación en forma implícita con respecto a x, obtiene Puesto que y , tiene , de modo que dy dx 1 cosh y 1 s1 senh2 y 1 s1 x2 cosh y s1 senh2 y cosh y 0 cosh2 y senh2 y 1 cosh y dy dx 1 senh y x y senh1 x d dx senh1 x 1 s1 x2 V d dx tanh1 x 1 1 x2 d dx coth1 x 1 1 x2 d dx cosh1 x 1 sx2 1 d dx sech1 x 1 xs1 x2 d dx senh1 x 1 s1 x2 d dx csch1 x 1 xsx2 1 6 y lney ln(x sx2 1) ey x sx2 1 x sx2 1 x sx2 1 0 ey 0 ey 2x s4x2 4 2 x sx2 1 ey 2 2xey 1 0 ey e2y 2xey 1 0 ey ey 2x ey 0 258 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Observe que, al parecer, las fórmulas para las derivadas de y son idénticas, pero los dominios de estas funciones no tienen números comunes: se define por , mientras que se define por x 1. coth1 x x 1 tanh1 x coth1 x tanh1 x CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 258
- 315. SOLUCIÓN 2 De acuerdo con la ecuación 3 (demostrada en el ejemplo 3) obtiene EJEMPLO 5 Determine . SOLUCIÓN Con ayuda de la tabla 6 y de la regla de la cadena obtiene 1 1 sen2 x cos x cos x cos2 x sec x d dx tanh1 sen x 1 1 sen x2 d dx sen x d dx tanh1 sen x V 1 sx2 1 sx2 1 x (x sx2 1)sx2 1 1 x sx2 1 1 x sx2 1 1 x sx2 1 d dx (x sx2 1) d dx senh1 x d dx ln(x sx2 1) SECCIÓN 3.11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS |||| 259 13. 14. 16. 17. 18. 19. ( es un número real) 20. Si , calcular los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 21. Si , calcular los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 22. (a) Utilice las gráficas de senh, cosh y tanh de las figuras 1 a 3 para dibujar las gráficas de csch, sech y coth. cosh x 5 3 y x 0 tanh x 12 13 n cosh x senh xn cosh nx senh nx 1 tanh x 1 tanh x e2x tanhln x x2 1 x2 1 cosh 2x cosh2 x senh2 x senh 2x 2 senh x cosh x 15. tanhx y tanh x tanh y 1 tanh x tanh y coth2 x 1 csch2 x 1–6 Calcule el valor numérico de cada expresión. 1. (a) (b) 2. (a) (b) 3. (a) (b) 4. (a) (b) 5. (a) (b) 6. (a) (b) 7–19 Demuestre la identidad 7. (Esto demuestra que senh es una función impar.) 8. (Esto demuestra que cosh es una función par.) 10. 11. 12. coshx y cosh x cosh y senh x senh y senhx y senh x cosh y cosh x senh y cosh x senh x ex cosh x senh x ex 9. coshx cosh x senhx senh x senh1 1 senh 1 cosh1 1 sech 0 coshln 3 cosh 3 senh 2 senhln 2 tanh 1 tanh 0 cosh 0 senh 0 EJERCICIOS 3.11 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 259
- 316. 260 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN para la curva central del acrco. Donde x y y se miden en metros y | x | ! 91.20. ; (a) Grafique la curva central. (b) ¿Cuál es la altura del arco en su centro? (c) ¿En qué punto la altura es de 100 m? (d) ¿Cuál es la pendiente del arco en el punto del inciso (c)? 49. Si las olas con longitud L se mueven con velocidad v en un cuerpo de agua con profundidad d en tal caso. Donde t es la aceleración debida a la gravedad. (Véase figura 5.) Explique por que la aproximación es apropiada en aguas profundas. ; 50. Un cable flexible siempre forma una catenaria , donde c y a son constantes y (véase figura 4 y ejercicio 50). Grafique varios miembros de la familia de las funciones . ¿Cómo cambia la gráfica cuando a varía? Un cable de teléfono cuelga entre dos postes que están separados entre sí 14 metros y forma una catenaria , donde y se miden en metros. (a) Encuentre la pendiente de esta curva donde se encuentra con el poste derecho. (b) Calcule el ángulo u entre el cable y el poste. 52. Mediante los principios de la física se puede demostrar que cuando un cable cuelga entre dos postes toma la forma de una curva que cumple con la ecuación diferencial donde r es la densidad lineal del cable, t es la aceleración de la gravedad y T es la tensión del cable en su punto más bajo. El sistema coordenado se elige en forma adecuada. Compruebe que la función es una solución de esta ecuación diferencial. y f x T t coshtx T d2 y dx2 t T 1 dy dx2 y f x y 0 x _7 7 5 ¨ y x y 20 coshx20 15 51. y a coshxa a 0 y c a coshxa v tL 2p v tL 2p tanh2pd L ; (b) Compruebe las gráficas que trazó en el inciso (a) mediante una calculadora graficadora o de una computadora. 23. Aplique las definiciones de las funciones hiperbólicas para determinar cada uno de los límites siguientes. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 24. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 1 para el caso de las derivadas de las funciones (a) cosh, (b) tanh, (c) csch, (d) sech y (e) coth. 25. Encuentre otra solución para el ejemplo 3 haciendo y luego usando el ejercicio 9 y el ejemplo 1(a) en donde y reemplaza a x. 26. Demuestre la ecuación 4. 27. Demuestre la ecuación 5 aplicando (a) el método del ejemplo 3 y (b) el ejercicio 18 en donde y reemplaza a x. 28. Para cada una de las funciones siguientes (i) proporcione una definición como la de (2), (ii) trace la gráfica y (iii) encuentre una fórmula similar a la ecuación 3. (a) (b) (c) 29. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 6 para las derivadas de las funciones siguientes. (a) (b) (c) (d) (e) 30–47 Encuentre la derivada. 30. 31. 32. 33. 34. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 46. 47. 48. El Arco Gateway en St. Louis fue diseñado por Eero Saarinen y fue construido empleando la ecuación. y 211.49 20.96 cosh 0.03291765x y coth1 sx2 1 y sech1 s1 x2 , x 0 y x senh1 x3 s9 x2 45. y x tanh1 x ln s1 x2 y tanh1 sx y x2 senh1 2x Gx 1 cosh x 1 cosh x x 4 1 tanh x 1 tanh x y arctantanh x y senhcosh x ft sech2 et f t csch t1 ln csch t y ecosh 3x 35. y x coth1 x2 hx lncosh x tx coshln x f x x senh x cosh x f x tanh1 e2x coth1 sech1 csch1 tanh1 cosh1 coth1 sech1 csch1 y senh1 x lím x l csch x lím x l 0 coth x lím x l 0 coth x lím x l coth x lím x l sech x lím x l senh x lím x l senh x lím x l tanh x lím x l tanh x CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 260
- 317. CAPÍTULO 3 REPASO |||| 261 55. ¿En qué punto de la curva la tangente tiene pen- diente 1? 56. Si , demuestre que . 57. Demuestre que si y , entonces existen números y tales que es igual a o a . En otras palabras, casi toda función de la forma es una función seno hiperbólico o coseno hiperbólico desplazada o estirada. f x aex bex coshx senhx aex bex b 0 a 0 sec cosh x x lnsec tan y cosh x (a) Demuestre que cualquier función de la forma cumple con la ecuación diferencial . (b) Determine tal que , , y . 54. Evalúe . lím x l senh x ex y0 6 y0 4 y 9y y yx y m2 y y A senh mx B cosh mx 53. REPASO REVISIÓN DE CONCEPTOS 3 3. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) Exprese e como un límite. (c) ¿Por qué en cálculo se usa la función exponencial natural, y ex , con más frecuencia que las demás funciones exponenciales, ? (d) ¿Por qué en el cálculo se usa más la función logarítmica natural, que las demás funciones logarítmicas, ? 4. (a) Explique cómo funciona la derivación implícita. (b) Explique cómo funciona la derivación logarítmica. 5. (a) Escriba una expresión para la linealización de f en a. (b) Si , escriba un expresión para la diferencial . (c) Si , dibuje un esquema para mostrar el significado geométrico de y . dy y dx x dy y f x y loga x y ln x y ax 1. Exprese cada una de las siguientes reglas de derivación, tanto en símbolos como en palabras. (a) Regla de la potencia (b) Regla del múltiplo constante (c) Regla de la suma (d) Regla de la diferencia (e) Regla del producto (f) Regla del cociente (g) Regla de la cadena 2. Proporcione las derivadas de cada función (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) y tanh1 x y cosh1 x y senh1 x y tanh x y cosh x y senh x y tan1 x y cos1 x y sen1 x y cot x y sec x y csc x y tan x y cos x y sen x y loga x y ln x y ax y ex y xn Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o mencione un ejemplo que refute la proposición. 1. Si f y t son derivables, entonces 2. Si f y t son derivables, entonces 3. Si f y t son derivables, entonces 4. Si f es derivable, entonces . 5. Si f es derivable, entonces . d dx f (sx) f x 2sx d dx sf x f x 2sf x d dx f tx f txtx d dx f xtx f xtx d dx f x tx f x tx 6. Si , entonces . 7. 8. 9. 10. 11. Si , entonces . 12. Una ecuación de la recta tangente a la parábola en es . y 4 2xx 2 2, 4 y x2 lím xl2 tx t2 x 2 80 tx x5 d dx x2 x 2x 1 d dx tan2 x d dx sec2 x d dx ln 10 1 10 d dx 10x x10x1 y 2e y e2 PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 261
- 318. 262 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJERCICIOS 1–50 Calcule . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. Si , encuentre . f 2 f t s4t 1 y sen2 cosssen px y cosestan 3x y x tanh1 sx y cosh1 senh x y ln x2 4 2x 5 y lncosh 3x y sen mx x y x senhx2 y x 4 x4 4 y sx 1 2 x5 x 37 xey y 1 y tan2 sen y arctan(arcsen sx) y sen(tan s1 x3 ) y st lnt4 y cot3x2 5 y 10tan y ln sec 5x tan 5x y ecos x cosex y x tan1 4x y x2 14 2x 13 3x 15 y ln sen x 1 2 sen2 x y cos xx y log51 2x y ssen sx senxy x2 y y 1s 3 x sx y 1 x1 1 y sec1 x2 y eex y lnx2 ex y ecx c sen x cos x x2 cos y sen 2y xy y sec 2 1 tan 2 y lncsc 5x xy4 x2 y x 3y y 1 senx sen x y e1/x x2 y arcsen 2x2 y sx cos sx y emx cos nx y t 1 t2 y et t2 2t 2 y esen 2 y ex 1 x2 y 2xsx2 1 y 3x 2 s2x 1 y sx 1 s 3 x4 y costan x y x4 3x2 53 y 52. Si , halle . 53. Encuentre si . 54. Determine si . 55. Aplique la inducción matemática (página 77) para demostrar que si , entonces . 56. Evalúe . 57–59 Encuentre ecuaciones de la recta tangente a la curva en el punto dado. 57. , 58. , 59. , 60–61 Hallar ecuaciones de línea tangente y normal a la curva en el punto que se especifica. 60. , 61. , ; 62. Si , halle . Dibuje y en la misma panta- lla y haga comentarios. 63. (a) Si , halle . (b) Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en los puntos y . ; (c) Ilustre el inciso (b) dibujando la curva y las rectas tangen- tes en la misma pantalla. ; (d) Verifique si su respuesta al inciso (a) es razonable compa- rando las gráficas de y . 64. (a) Si , , encuentre y . ; (b) Verifique si su respuesta al inciso (a) es razonable compa- rando las gráficas de , y . 65. ¿En qué puntos de la curva , , la tangente es una recta horizontal? 66. Encuentre los puntos sobre la elipse donde la recta tangente tiene pendiente 1. 67. Si , demuestre que 68. (a) Al derivar la fórmula del coseno del ángulo doble obtenga la fórmula correspondiente para la función seno. (b) Al derivar la fórmula de la adición obtenga la fórmula de la adición para la función coseno. senx a sen x cos a cos x sen a cos 2x cos2 x sen2 x f x f x 1 x a 1 x b 1 x c f x x ax bx c x2 2y2 1 0 x 2 y sen x cos x f f f f f 2 x 2 f x 4x tan x f f 4, 4 1, 2 y xs5 x f x f x xs5 x f f f x f x xesen x 0, 2 y 2 xex 2, 1 x2 4xy y2 13 0, 1 y s1 4 sen x 0, 1 y x2 1 x2 1 6, 1 y 4 sen2 x lím t l 0 t3 tan3 2t f n x x nex f x xex f x 12 x f n x x6 y6 1 y t 6 t sen CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 262
- 319. CAPÍTULO 3 REPASO |||| 263 (b) Encuentre C(t), la rapidez con que el medicamento se disipa en la circulación. (c) ¿Cuándo es esta rapidez igual a 0? 87. Una ecuación de movimiento de la forma representa oscilación amortiguada de un objeto. Encuentre la velocidad y la aceleración del objeto. 88. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de modo que su coordenada en el instante t es , , donde b y c son constantes positivas. (a) Encuentre las funciones de aceleración y de velocidad. (b) Demuestre que la partícula siempre se desplaza en dirección positiva. 89. Una partícula se desplaza sobre una recta vertical de manera que su ordenada en el instante t es , . (a) Encuentre las funciones de aceleración y de velocidad. (b) ¿Cuándo se mueve hacia arriba la partícula y cuándo hacia abajo? (c) Halle la distancia a lo largo de la cual se desplaza la partícula en el intervalo de tiempo . ; (d) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para . (e) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿Cuándo disminuye su rapidez ? 90. El volumen de un cono circular recto es V pr2 h3, en donde r es el radio de la base y h es la altura. (a) Halle la proporción de cambio del volumen con respecto a la altura, si el radio es constante. (b) Encuentre la proporción de cambio del volumen con respecto al radio, si la altura es constante. 91. La masa de una parte de un alambre es kilogramos, donde x se mide en metros desde uno de los extremos del alambre. Encuentre la densidad lineal del alambre cuando x 4 m. 92. El costo, en dólares, de producir x unidades de un artículo es (a) Encuentre la función de costo marginal. (b) Halle C(100) y explique su significado. (c) Compare C(100) con el costo para producir el artículo 101. 93. Inicialmente un cultivo de bacterias contiene 200 células y crecen con una razón porporcional a su tamaño. Después de media hora la población se ha incrementado a 360 células (a) Establecer el número de bacterias después de t horas. (b) Calcular el número de bacterias después de 4 horas. (c) Encontrar la rapidez de crecimiento después de 4 horas. (d) ¿Cuándo la población alcanzá 10 000? 94. El cobalto-60 tiene una vida media de 5.24 años. (a) Hallar la masa que queda de una muestra de 100 mg después de 20 años. (b) ¿Cuánto tardaría la masa en decaer a 1 mg? Cx 920 2x 0.02x2 0.00007x3 x(1 sx) 0 t 3 0 t 3 0 t 3 t 0 y t3 12t 3 t 0 x sb2 c2 t2 s Aect cost 69. Suponga que h(x) f(t)t(x) y F(x) f(t(x)), donde f(2) 3, t(2) 5, t(2) 4, f(2) 2 y f(5) 11. Encuentre (a) h(2) y (b) F(2). 70. Si f y t son las funciones cuyas gráficas se muestran, sea P(x) f(x)t(x), Q(x) f(x)t(x) y C(x) f(t(x). Encuentre (a) P(2), (b) Q(2) y (c) C(2). 71–78 Encuentre f en términos de t. 71. fx x2 tx 72. fx tx2 73. fx tx 2 74. fx ttx 75. fx tex 76. fx etx 77. fx ln tx 78. fx tln x 79–81 Halle h en términos de f y t. 79. 80. 81. hx f tsen 4x ; 82. (a) Dibuje la función fx x 2 sen x en el rectángulo de visualización 0, 8 por 2, 8 . (b) ¿En qué intervalo es más grande la razón de cambio promedio: 1, 2 o 2, 3 ? (c) ¿En qué valor de x es más grande la razón de cambio instantánea: x 2 o x 5? (d) Compruebe sus estimaciones visuales del inciso (c) calculando fx y comparando los valores numéricos de f2 y f5. 83. ¿En qué punto sobre la curva es la tangente horizontal? 84. (a) Encuentre una ecuación de la tangente a la curva que sea paralela a la recta . (b) Encuentre una ecuación para la tangente de la curva que pase a través del origen. 85. Halle una parábola que pase por el punto (1, 4) y cuyas rectas tangentes en x 1 y x 5 tengan pendientes 6 y 2 respectivamente. 86. La función , donde a, b y K son constantes positivas y , se usa para modelar la concentración en el instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente sanguíneo. (a) Demuestre que . límtl Ct 0 b a Ct Keat ebt y ax2 bx c y ex x 4y 1 y ex y lnx 4 2 hx f x tx hx f xtx f x tx 0 g f y x 1 1 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 263
- 320. 264 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ;102. (a) Encuentre la aproximación lineal de cerca de 3. (b) Ilustre el inciso (a) graficando y la aproximación lineal. (c) ¿Para qué valores de es exacta la aproximación lineal dentro de 0.1? 103. (a) Halle la linealización de en . Enuncie la aproximación lineal correspondiente y úsela para proporcionar un valor aproximado de . ; (b) Determine los valores de x para los que la aproximación lineal dada en el inciso (a) sea exacta con una diferencia menor que 0.1. 104. Evalúe si , y . 105. Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 60 cm, con un error posible en la medición de 0.1 cm. Use diferenciales para estimar el error posible máximo al calcular el área de la ventana. 106–108 Exprese el límite como una derivada y evalúelo. 106. 107. 108. 109. Evalúe 110. Suponga que es una función derivable tal que y . Demuestre que . 111. Encuentre si se sabe que 112. Demuestre que la longitud de la parte de cualquier recta tangente a la astroide limitada por los ejes de coordenadas es constante. x23 y23 a23 d dx f 2x x2 f x tx 11 x2 f x 1 f x 2 f tx x f lím x l 0 s1 tan x s1 sen x x3 lím l 3 cos 0.5 3 lím h l 0 s 4 16 h 2 h lím x l1 x17 1 x 1 dx 0.2 x 2 y x3 2x2 1 dy s 3 1.03 a 0 f x s 3 1 3x x f f x s25 x2 95. Sea C(t) la concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo. Cuando el cuerpo elimina el medicamento, C(t) disminuye con una rapidez que es proporcional a la cantidad de medicamento que está presente en el tiempo t. En estos términos C(t) kC(t), donde k es un número positivo o denominado constante de eliminación del medicamento. (a) Si Co es la concentración en el tiempo t 0, hallar la concentración en el tiempo t. (b) Si el cuerpo elimina la mitad del medicamento en 30 horas, ¿cuánto tiempo transcurre para eliminar el 90% de medicamento. 96. Una taza con chocolate caliente tiene una temperatura de 80°C en una habitación que se mantiene en 20°C. Después de media hora el chocolate caliente se enfría a 60°C. (a) ¿Cuál es la temperatura del chocolate después de otra media hora. (b) ¿Cuándo se enfriará el chocolate a 40°C? 97. El volumen de un cubo se incrementa a razón de 10 . ¿Qué tan rápido se incrementa el área superficial cuando la longitud de un lado es de 30 cm? 98. Un vaso de papel tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y radio de 3 cm, en la parte superior. Si el agua se vierte en el vaso a razón de , ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta tiene 5 cm de profundidad? 99. Un globo sube con rapidez constante de . Un niño va en bicicleta por un camino recto a una rapidez de . Cuando pasa bajo el globo, éste está a 45 pies arriba de él. ¿Qué tan rápido se incrementa la distancia entre el niño y el globo 3 s más tarde? 100. Una esquiadora pasa por la rampa que se ilustra en la figura con una rapidez de . ¿Qué tan rápido se eleva cuando deja la rampa? 101. El ángulo de elevación del Sol decrece a razón de . ¿Qué tan rápido se incrementa la sombra de un edificio de 400 pies de altura cuando el ángulo de elevación del Sol es ? 6 0.25 radh 4 pies 15 pies 30 piess 15 piess 5 piess 2 cm3 s cm3 min CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 264
- 321. PROBLEMAS ADICIONALES 265 Antes de trabajar en el ejemplo, cubra la solución e intente resolverlo primero EJEMPLO 1 ¿Cuántas rectas son tangentes a las dos parábolas y ? Calcule las coordenadas de los puntos en los cuales estas tangentes tocan a las parábolas. SOLUCIÓN Para entender este problema es esencial elaborar un esquema en donde estén las parábolas (que es la parábola estándar desplazada una unidad hacia arriba) y (la cual se obtiene al reflejar la primera parábola con respecto al eje x). Si trata de dibujar una tangente para ambas parábolas, pronto descubrirá que sólo hay dos posibilidades, que se ilustran en la figura 1. Sea P un punto en el cual una de estas tangentes toca la parábola superior y sea a su coordenada x. (Es muy importante escoger la notación para la incógnita. Muy bien podía haber escogido b o c o o en lugar de a. Sin embargo, no se recomienda utilizar x en lugar de a porque se podría confundir con la variable x de la ecuación de la parábola.) Entonces, como P está en la parábola , su coordenada y debe ser Debido a la simetría mostrada en la figura 1, las coordenadas del punto Q donde la tangente toca a la parábola inferior debe ser . Para usar la información de que la recta es una tangente, iguale la pendiente de la rec- ta PQ con la pendiente de la tangente en P. Así tiene que Si , entonces la pendiente de la tangente en P es . Por consiguiente, la condición que necesita aplicar es Al resolver esta ecuación tiene , por lo que y . Por lo tanto, los puntos son 1, 2 y 1, 2. Por simetría, los dos puntos restantes son 1, 2 y 1, 2. EJEMPLO 2 ¿Para cuáles valores de c la ecuación tiene exactamente una solución? SOLUCIÓN Uno de los principios más importantes de la solución de problemas es dibujar un diagrama, incluso si el problema, según se enuncia, no menciona en forma explícita una situación geométrica. Este problema se puede formular de nuevo en términos geométri- cos, como sigue: ¿Para cuáles valores de c la curva interseca la curva exactamente en un punto? Empiece por trazar las gráficas de y para diversos valores de c. Sabe que, para , es una parábola que se abre hacia arriba si c 0 y, hacia abajo, si . En la figura 2 se muestran las parábolas para varios valores positivos de c. La mayor parte no se cruzan con y una la corta dos veces. Se tiene la sensación de que debe haber un valor de c (en alguna parte entre 0.1 y 0.3) para el cual las curvas se cruzan exactamente una vez, como en la figura 3. Para hallar ese valor de c en particular, denote con a la coordenada x del punto único de intersección. En otras palabras, , de modo que a sea la solución única de la ecuación dada. En la figura 2 las curvas sólo se tocan, de modo que tienen una tangente ln a ca2 y ln x y cx2 c 0 y cx2 c 0 y cx2 y ln x y cx2 y ln x ln x cx2 a 1 a2 1 1 a2 2a2 1 a2 a 2a f a 2a f x 1 x2 mPQ 1 a2 1 a2 a a 1 a2 a a, 1 a2 1 a2 . y 1 x2 x1 x0 y 1 x2 y x2 y 1 x2 y 1 x2 y 1 x2 x y P Q 1 _1 FIGURA 1 0 3≈ ≈ 0.3≈ 0.1≈ y=ln x ≈ 1 2 x y FIGURA 2 y=ln x y=c≈ c=? y x 0 a FIGURA 3 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 265
- 322. PROBLEMAS ADICIONALES 266 común cuando x a. Esto significa que las curvas y tienen la misma pen- diente cuando x a. Por lo tanto, Si se resuelven las ecuaciones y , se obtiene De donde, y Para los valores negativos de c, la situación que se ilustra en la figura 4: todas las parábolas con valores negativos de c cruzan y ln x exactamente una vez. Y no olvide lo referente a c 0. La curva es el eje x, el cual cruza exactamente una vez. Para resumir, los valores requeridos de c son y . 1. Determine los puntos y sobre la parábola de modo que el triángulo for- mado por el eje y las tangentes en y sea un triángulo equilátero. ; 2. Determine el punto donde las curvas y son tangentes entre sí, es decir, tienen una tangente común. Ilustre mediante la representación gráfica de ambas cur- vas y la tangente común. 3. Demuestre que las líneas tangente a la parábola en dos puntos cualesquiera con coordenadas-x p y q se cruzan en un punto cuya coordenada-x está a la mitad entre p y q. 4. Demuestre que d dx sen2 x 1 cot x cos2 x 1 tan x cos 2x y ax3 bx c y 3x2 x y x3 3x 4 x y P Q A 0 B C 0 Q P x ABC y 1 x2 Q P PROBLEMAS c 0 c 12e y ln x y 0x2 0 y cx2 c ln a a2 ln e12 e 1 2e a e12 ln a ca2 c 1 2c 1 2 1a 2ca ln a ca2 1 a 2ca 1 a 2ca y ln x y y=ln x x 0 FIGURA 4 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 266
- 323. PROBLEMAS ADICIONALES 5. Demuestre que . 6. Un automóvil viaja por la noche por una carretera que tiene la forma de parábola con vértice en el origen (véase figura). El automóvil parte del punto 100 m al oeste y 100 m al norte del origen, y se desplaza en una dirección hacia el este. Hay una estatua localizada 100 m al este y 50 m al norte del origen. ¿En qué punto de la carretera los faros del vehículo iluminarán a la estatua? 7. Demuestre que . 8. Determine la -ésima derivada de la función 9. En la figura se muestra un círculo con radio 1 inscrito en la parábola . Encuentre el centro del círculo. 10. Si f es derivable en a, donde a 0, evalúe el siguiente límite en términos de : 11. En la figura se muestra una rueda giratoria, con radio de 40 cm y una leva AP de longitud 1.2 m. El pasador P se desliza hacia atrás y hacia adelante, a lo largo del eje x, conforme la rueda gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj con una rapidez de 360 revoluciones por minuto. (a) Encuentre la velocidad angular de la leva, dadt, en radianes por segundo, cuando u p3. (b) Exprese la distancia , en términos de u. (c) Halle una expresión para la velocidad del pasador P, en términos de u. 12. Se trazan las rectas tangentes T1 y T2 en los dos puntos P1 y P2 sobre la parábola y se cruzan en un punto P. Se traza otra recta tangente T en un punto entre P1 y P2; ésta cruza T1 en Q1 y T2 en Q2. Demuestre que 13. Demuestre que en donde a y b son números positivos, y . 14. Evalúe . lím xl esen x 1 x tan1 ba r2 a2 b2 dn dxn eax sen bx rn eax senbx n PQ1 PP1 PQ2 PP2 1 y x2 x OP lím x l a f x f a sx sa f a x 0 y 1 1 y=≈ y x2 f x xn 1 x n dn dxn sen4 x cos4 x 4n1 cos4x n 2 sen1 tanh x tan1 senh x 267 x y FIGURA PARA EL PROBLEMA 6 x y O A P(x, 0) ¨ å FIGURA PARA EL PROBLEMA 11 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 267
- 324. 15. Sean T y N las rectas tangente y normal a la elipse , en cualquier punto P de ésta en el primer cuadrante. Sean xT y yT las intersecciones de T con los ejes x y y, y xN y yN las intersecciones de N. Conforme P se mueve a lo largo de la elipse en el primer cuadrante (pero no sobre los ejes), ¿qué valores pueden adoptar xT, yT, xN y yN? En primer lugar, intente inferir las respuestas con sólo mirar la figura. A continuación, aplique el cálculo para resolver el problema y vea qué tan buena es su intuición. 16. Evalúe . 17. (a) Use la identidad para (véase la ecuación 14 (b) del apéndice D) para demostrar que si dos rectas L1 y L2 se intersecan en un ángulo a, después donde m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2, respectivamente. (b) El ángulo entre las curvas C1 y C2 en un punto de intersección se define como el ángulo entre las rectas tangentes a C1 y C2 en P (si estas rectas tangentes existen). Use el inciso (a) para hallar, correcto hasta el grado más cercano, el ángulo entre cada par de curvas en cada punto de intersección. (i) y (ii) y 18. Sea un punto sobre la parábola con foco . Sea a el ángulo entre la parábola y el segmento rectilíneo FP y sea b el ángulo entre la recta horizontal y la parábola como en la figura. Demuestre que a b. (De modo que, por un principio de óptica geométrica, la luz proveniente de una fuente colocada en F se reflejará a lo largo de una recta paralela al eje x. Esto explica por qué las paraboloides, las superficies que se obtienen al hacer girar las parábolas sobre sus ejes, se emplean como la forma de algunos faros delanteros de automóviles y espejos para telescopios.) 0 x y F(p, 0) P(⁄, ›) ¥=4px y=› å ∫ y y1 Fp, 0 y2 4px Px1, y1 x2 4x y2 3 0 x2 y2 3 y x 22 y x2 tan m2 m1 1 m1m2 tan x y lím x l 0 sen3 x2 sen 9 x xN xT yT yN 3 2 T N P x y 0 x2 9 y2 4 1 PROBLEMAS ADICIONALES 268 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 268
- 325. PROBLEMAS ADICIONALES 19. Suponga que reemplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 18 con un espejo esféri- co. Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado. En la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo paralelo al eje a lo largo de la recta PQ, se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo que (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede con el punto R a medida que P se lleva cada vez más cerca al eje? 20. Si f y son funciones derivables donde y , demuestre que 21. Evalúe . 22. (a) La función cúbica tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Dibuje f y su rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué advierte? (b) Suponga que la función cúbica tiene tres ceros diferentes: a, b y c. Compruebe, con ayuda de un sistema algebraico para computadora, que una recta tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el tercer cero. 23. ¿Para qué valor de k la ecuación tiene exactamente una solución? 24. ¿Para qué números positivos se cumple que para toda ? 25. Si demuestre que . 26. Dada una elipse , donde , encuentre la ecuación de todo el conjunto de puntos a partir de los cuales hay dos tangentes a la curva cuyas pendientes son (a) recíprocos y (b) recíprocos negativos. 27. Encuentre los dos puntos sobre la curva que tienen una recta tangente en común. 28. Suponga que tres puntos sobre la parábola y x2 tienen la propiedad de que sus rectas nor- males se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es cero. 29. Un punto de reticulado sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga que se dibujan círculos con radio r usando todos los puntos reticulados como centros. Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente cruce alguno de estos círculos. 30. Un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce por la punta con una rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de agua. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente sumergido? 31. Un recipiente en forma de un cono invertido tiene una altura de 16 cm y su radio mide 5 cm en la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados con una rapidez proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido. [El área superficial de un cono es , donde r es el radio y l es la altura inclinada.] Si vierte líquido en el recipiente a razón de , entonces la altura del líquido disminuye a razón de 0.3 cm/min cuando la altura es de 10 cm. Si el objetivo es mantener el líquido a una altura constante de 10 cm, ¿en que proporción debe verter líquido al recipiente? 2 cm3 min rl 2 5 y x4 2x2 x a b x2 a2 y2 b2 1 y 1 a cos x y x sa2 1 2 sa2 1 arctan sen x a sa2 1 cos x x ax 1 x a e2x ksx fx x ax bx c fx xx 2x 6 CAS lím x l 0 sena 2x 2 sena x sen a x2 lím x l 0 f x tx f 0 t0 t0 0 f 0 t0 0 t PQO OQR O R P Q ¨ ¨ C A FIGURA PARA EL PROBLEMA 19 269 CAPITULO-03-B 06/04/2009 18:58 Page 269
- 326. 270 El cálculo revela todos los aspectos importantes de las gráficas de las funciones. Se examinan grupos de la familia de funciones f(x) cx sen x APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 4 x y Ya ha investigado algunas de las aplicaciones de las derivadas, pero ahora que conoce las reglas de derivación se encuentra en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivación, con mayor profundidad. Aquí aprendera cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica de una función y, particularmente, cómo ayudan a localizar valores máximos y mínimos de funciones. En la práctica muchos problemas exigen minimizar un costo o maximizar un área o bien encontrar el mejor resultado posible para una situación. En particular, será capaz de investigar la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los arcoíris en el cielo. CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 270
- 327. 271 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de op- timización, en los cuales se pide la manera óptima (la mejor) de hacer algo. En seguida se lis- tan ejemplos de esos problemas, los cuales se resuelven en este capítulo. ¿Cuál es la forma de una lata que minimice los costos de fabricación? ¿Cuál es la aceleración máxima de un trasbordador espacial? (Ésta es una cues- tión importante para los astronautas que tienen que soportar los efectos de la aceleración.) ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido al toser? ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse de modo que se mi- nimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre? Estos problemas se pueden reducir a encontrar los valores máximo o mínimo de una función. En seguida se define con exactitud lo que son valores máximo y mínimo. DEFINICIÓN Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número fc se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si para todo x en D; el número f c se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f. En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en d y mí- nimo absoluto en a. Observe que d, fd es el punto más alto de la gráfica y a, f a es el más bajo. Si sólo considera valores de x cercanos a b en la figura 1 por ejemplo, si restringe su atención al intervalo a, c , entonces es el más grande de esos valo- res de y se conoce como valor máximo local de f. De modo semejante, es el valor mínimo local de f porque para x cercano a c por ejemplo en el interva- lo b, d . La función f también tiene un mínimo local en e. En general, se da la definición siguiente: DEFINICIÓN Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si cuando x está cercano a c. Esto significa que para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c. De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si cuando x está cerca de c. EJEMPLO 1 La función toma su valor máximo (local y absoluto) de un número infinito de veces, ya que para cualquier entero n y para todo x. Del mismo modo, es su valor mínimo, donde n es cualquier entero. EJEMPLO 2 Si , entonces porque para todo x. Por lo tanto, es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola . (Véase la figura 2.) Sin em- bargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo. EJEMPLO 3 En la gráfica de la función , que se muestra en la figura 3, esta función no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales. fx x3 y x2 f0 0 x2 0 f x f 0 f x x2 cos2n 1 1 1 cos x 1 cos 2n 1 fx cos x f c fx f c fx fc fx 2 fc f x f c fx f b f c f x fc fx 1 4.1 FIGURA 2 Valor mínimo 0, no hay valor máximo FIGURA 3 No hay mínimo ni máximo x y 0 y=≈ x y 0 y=˛ f(a) f(d) b x y 0 d e a c FIGURA 1 Valor mínimo f(a), valor máximo f(d) CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 271
- 328. EJEMPLO 4 La gráfica de la función se muestra en la figura 4. Puede ver que es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es . (Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un punto extremo.) Asimismo, es un mínimo local y es un mínimo tanto local como absoluto. Advierta que f no tiene valor local ni máximo absoluto en . Ha visto que algunas funciones tienen valores extremos y otras no. En el teorema siguiente se dan las condiciones con que se garantiza que una función posea valores extremos. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es continua sobre un intervalo cerrado a, b , entonces f alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en algunos números c y d en a, b . En la figura 5 se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se puede tomar más de una vez. Aun cuando el Teorema del valor extremo es muy posible a ni- vel intuitivo, es difícil de probar y, por consiguiente, se omite la demostración. En las figuras 6 y 7 se hace ver que una función no tiene que poseer valores extremos si se omite cualquiera de las dos hipótesis (continuidad e intervalo cerrado) del teorema del valor extremo. La función f, cuya gráfica se muestra en la figura 6, está definida sobre el intervalo cerrado 0, 2 pero no tiene valor máximo. (Advierta que el intervalo de f es 0, 3. La fun- ción toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.) Esto no contradice el teorema del valor extremo porque f no es continua. Sin embargo, una función discontinua pudiera tener valores máximo y mínimo. Véase el ejercicio 13(b). FIGURA 7 Esta función continua g no tiene máximo ni mínimo FIGURA 6 1 x y 0 2 3 1 x y 0 2 Esta función tiene valor mínimo f(2) 0, pero no valor máximo FIGURA 5 x y 0 b a c d x y 0 b a c¡ d c™ x y 0 d=b a c fd fc 3 x 4 f3 27 f0 0 f 1 37 f1 5 1 x 4 f x 3x4 16x3 18x2 V 272 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 4 (_1, 37) _1 1 2 3 4 5 (3, _27) (1, 5) y x y=3x$-16˛+18≈ CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 272
- 329. La función t que se muestra en la figura 7 es continua sobre el intervalo abierto 0, 2, pe- ro no tiene valor máximo ni mínimo. El intervalo de t es . La función toma valores arbitrariamente grandes. Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el inter- valo 0, 2 no es cerrado. El teorema del valor extremo dice que una función continua sobre un intervalo cerrado tiene un valor máximo y uno mínimo, pero no indica cómo hallarlos. Empiece por buscar valores extremos locales. En la figura 8 se muestra la gráfica de una función f con un máximo local en c y un mí- nimo local en d. Parece que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente es horizontal y, por consiguiente, tiene pendiente 0. Sabe que la derivada es la pendiente de la recta tan- gente, de modo que parece que y . En el teorema siguiente se afirma que esto siempre se cumple para las funciones derivables. TEOREMA DE FERMAT Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, y si existe, entonces . DEMOSTRACIÓN Por consideración de la definitividad, suponga que f tiene un máximo local en c. Entonces, según la definición 2, si x es suficientemente cercana a c. Esto ocasiona que si h está lo suficiente cerca de 0 y h es positiva o negativa, entonces y, por lo tanto, Puede dividir ambos miembros de una desigualdad entre un número positivo. Por consiguiente, si h 0 y h es suficientemente pequeña, tiene Si calcula el límite derecho de ambos lados de esta desigualdad (aplicando el teorema 2.3.2), obtiene Pero como existe y de este modo ha demostrado que . Si h 0, entonces la dirección de la desigualdad (5) se invierte al dividir entre h: Así, al calcular el límite izquierdo obtiene fc lím h l 0 f c h fc h lím h l 0 f c h fc h 0 h 0 f c h fc h 0 f c 0 f c lím h l 0 f c h fc h lím h l 0 f c h fc h fc lím h l 0 f c h fc h lím h l 0 0 0 f c h fc h 0 f c h fc 0 5 fc f c h fc fx f c 0 fc 4 fd 0 f c 0 1, SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS |||| 273 0 x c d y {c, f(c)} {d, f(d)} FIGURA 8 El teorema de Fermat lleva ese nombre en honor de Pierre Fermat (1601-1665), un abogado francés que tomó las matemáticas como un pasatiempo. A pesar de su condición de aficionado, Fermat fue uno de los dos inven- tores de la geometría analítica (Descartes fue el otro). Sus métodos para hallar tangentes a las curvas y valores máximos y mínimos (antes de la invención de los límites y de las derivadas) lo hicieron un precursor de Newton en la creación del cálculo diferencial. CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 273
- 330. Ya se demostró que y también que . Puesto que ambas desigualdades deben ser verdaderas, la única posibilidad es que . Ya se demostró el teorema de Fermat para el caso de un máximo relativo. El caso de un mínimo local se puede demostrar de modo similar, o bien, puede usar el ejercicio 76 para deducirlo del caso que justamente ha demostrado (véase ejercicio 77). Los ejemplos siguientes advierten contra la interpretación excesiva del teorema de Fermat. No puede esperar localizar valores extremos simplemente haciendo y resolviendo para x. EJEMPLO 5 Si , entonces , de modo que . Pero f no tiene máximo ni mínimo en 0, como puede ver en la gráfica de la figura 9. (O bien, observe que x3 0 para x 0 pero x3 0 para x 0. El hecho de que sólo significa que la curva tiene una tangente horizontal en 0, 0. En lugar de tener un máximo o un mínimo en 0, 0, la curva cruza allí su tangente horizontal. EJEMPLO 6 La función muestra un valor mínimo (local y absoluto), en 0, pe- ro ese valor no se puede determinar haciendo porque, como se demostró en el ejemplo 5 de la sección 2.8, no existe (véase figura 10). | PRECAUCIÓN ■ Los ejemplos 5 y 6 demuestran que debe ser cuidadoso al aplicar el teo- rema de Fermat. El ejemplo 5 demuestra que aun cuando f c 0, no necesariamente hay un máximo o un mínimo en c. (En otras palabras, el inverso del teorema de Fermat es en general falso.) Además, podría haber un valor extremo aun cuando f c no exista, (como en el ejemplo 6). El teorema de Fermat en realidad sugiere que, por lo menos, debe empezar a buscar los valores extremos de f en los números c , donde o donde no existe. Es- tos números reciben un nombre especial. DEFINICIÓN Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que o no existe. EJEMPLO 7 Encuentre los números críticos de . SOLUCIÓN La regla del producto da Pudo obtenerse el mismo resultado escribiendo primero . Por lo tanto, si , esto es, , y no existe cuando . Por esto, los números críticos son y 0. En términos de los números críticos, el teorema de Fermat se puede volver a redactar como sigue (compare la definición 6 con el teorema 4): Si f tiene un máximo o minimo local en c, entonces c es un número crítico de f. 7 3 2 x 0 f x x 3 2 12 8x 0 fx 0 fx 4x35 x85 5x 34 x 5x25 12 8x 5x25 fx x35 1 4 x 3 5 x25 x35 34 x 5x2 5 fx x35 4 x V fc f c 0 6 fc f c 0 f0 f x 0 fx x y x3 f0 0 f 0 0 f x 3x2 fx x3 fx 0 fc 0 f c 0 f c 0 274 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 9 Si ƒ=˛, entonces fª(0)=0 pero ƒ no tiene máximo o mínimo. y=˛ x y 0 En la figura 11 se muestra una gráfica de la función f del ejemplo 7. Sirve de apoyo a la respuesta porque hay una tangente horizontal cuando y una vertical cuando . x 0 x 1.5 FIGURA 11 3.5 _2 _0.5 5 FIGURA 10 Si ƒ=| x |, entonces f(0)=0 es un valor mínimo, pero fª(0) no existe. x 0 y=|x| y CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 274
- 331. Para hallar un máximo o un mínimo absolutos de una función continua sobre un inter- valo cerrado, observe que tiene un extremo local en cuyo caso, por (7), se presenta en un número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo. De este modo, el procedimiento siguiente de tres pasos siempre funciona. MÉTODO DEL INTERVALO CERRADO Para hallar los valores máximo y mínimo abso- lutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado : 1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en . 2. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo. 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto. EJEMPLO 8 Calcule los valores máximo y mínimo absolutos de la función. SOLUCIÓN Puesto que f es continua en , puede aplicar el método del intervalo cerrado: Puesto que existe para toda x, los únicos números críticos de f se presentan cuando , es decir, x 0 o x 2. Observe que cada uno de estos valores críticos queda en el intervalo . Los valores de f en estos números críticos son Los valores de f en los extremos del intervalo son Al comparar los cuatro números resulta que el valor máximo absoluto es y que el valor mínimo absoluto es . Observe que en este ejemplo el máximo absoluto se presenta en un extremo, y el mínimo absoluto se presenta en un número crítico. La gráfica de f se ilustra en la figura 12. Si tiene una calculadora que grafique o una computadora con programas que le permi- tan graficar, es posible estimar con mucha facilidad los valores máximo y mínimo. Pero, como se puede ver en el ejemplo siguiente, el cálculo infinitesimal es necesario para de- terminar los valores exactos. EJEMPLO 9 (a) Use un aparato graficador para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la función . (b) Aplique el cálculo para hallar los valores mínimo y máximo exactos. SOLUCIÓN (a) En la figura 13 se muestra una gráfica de f en la pantalla por . Al acercar el cursor al punto máximo, observe que las coordenadas y no cambian mucho en la vecindad del máximo. El valor máximo absoluto es alrededor de 6.97 y se presenta cuando . De manera análoga, al mover el cursor cerca del punto mínimo, el valor mínimo absoluto es alrededor de 0.68 y se presenta cuando . Es posible x 1.0 x 5.2 1, 8 0, 2 f x x 2 sen x, 0 x 2 f2 3 f4 17 f4 17 f ( 1 2 ) 1 8 f2 3 f 0 1 ( 1 2, 4) fx 0 f x fx 3x2 6x 3xx 2 fx x3 3x2 1 [ 1 2, 4] 1 2 x 4 f x x3 3x2 1 V a, b a, b SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS |||| 275 FIGURA 13 0 8 _1 2π FIGURA 12 5 10 20 _5 15 1 2 3 4 (4, 17) (2, _3) _1 y=˛-3≈+1 x y 0 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 275
- 332. lograr estimaciones más exactas al hacer un acercamiento hacia los puntos máximo y mínimo pero, en lugar de ello, aplique el cálculo. (b) La función es continua sobre . Puesto que , tiene cuando esto ocurre cuando o . Los valores de f en estos puntos críticos son y Los valores de f en los puntos extremos son y Si se comparan estos cuatro números y se aplica el método del intervalo cerrado, el valor mínimo absoluto es y el valor máximo absoluto es . Los valores del inciso (a) sirven de comprobación. EJEMPLO 10 El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990 por el trasbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del trasborda- dor durante su misión desde el lanzamiento en hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en el instante , está dado por (en pies por segundo). Usando este modelo, estime los valores máximo y mínimo abso- lutos de la aceleración del trasbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. SOLUCIÓN Se pide hallar los valores extremos no de la función de velocidad dada sino de la función de aceleración. Por consiguiente, primero necesita derivar para encontrar la aceleración: Ahora aplique el método del intervalo cerrado a la función continua a en el intervalo . Su derivada es El único número crítico se presenta cuando : Al evaluar a en el número crítico y en los extremos, tiene De modo que la aceleración máxima es alrededor de y la aceleración míni- ma es alrededor de . 21.52 piess2 62.87 piess2 a126 62.87 at1 21.52 a0 23.61 at t1 0.18058 0.007812 23.12 at 0 at 0.007812t 0.18058 0 t 126 0.003906t2 0.18058t 23.61 at vt d dt 0.001302t3 0.09029t2 23.61t 3.083 vt 0.001302t3 0.09029t2 23.61t 3.083 t 126 s t 0 f 5 3 5 3 s3 f 3 3 s3 f2 2 6.28 f 0 0 f5 3 5 3 2 sen 5 3 5 3 s3 6.968039 f 3 3 2 sen 3 3 s3 0.684853 5 3 x 3 cos x 1 2 fx 0 fx 1 2 cos x 0, 2 fx x 2 sen x 276 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN NASA CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 276
- 333. SECCIÓN 4.1 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS |||| 277 (c) Trace la gráfica de una función que tenga un máximo local en 2 y no sea continua en 2. 12. (a) Trace la gráfica de una función sobre 1, 2 que tenga un máximo absoluto pero no máximo local. (b) Trace la gráfica de una función en 1, 2 que tiene un má- ximo local pero no un máximo absoluto. (a) Trace la gráfica de una función sobre 1, 2 que tenga un máximo absoluto pero no mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función sobre 1, 2 que sea dis- continua pero que tenga tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. 14. (a) Trace la gráfica de una función que tenga dos máximos lo- cales, un mínimo local y no mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función que tenga tres mínimos lo- cales, dos máximos locales y siete números críticos. 15–28 Trace a mano la gráfica de f y use su boceto para encon- trar los valores máximos y mínimos, absolutos y locales de f. (Utilice las gráficas así como las transformaciones de las secciones 1.2 y 1.3.) 15. , 16. , 17. , 18. , 19. , 20. , 21. , 22. , 23. , 24. , 26. 27. 28. 29–44 Encuentre los números críticos de la función. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. h p p 1 p2 4 t y y 1 y2 y 1 tt 3t 4 st 3t4 4t3 6t2 f x x3 x2 x f x x3 3x2 24x f x x3 x2 x f x 5x2 4x f x 4 x2 2x 1 si 2 x 0 si 0 x 2 f x 1 x 2x 4 si 0 x 2 si 2 x 3 f x e x f x 1 sx 25. 3p2 t 3p2 f t cos t 0 x 2 f x ln x 2 x 5 f x 1 x 12 3 x 2 f x x2 0 x 2 f x x2 0 x 2 f x x2 0 x 2 f x x2 0 x 2 f x x2 x 5 f x 3 2x x 1 f x 8 3x 13. 1. Explique la diferencia entre un mínimo absoluto y un mínimo local. 2. Suponga que f es una función continua definida sobre un inter- valo . (a) ¿Qué teorema garantiza la existencia de un valor máximo ab- soluto y uno mínimo absoluto para f? (b) ¿Qué pasos emprendería para hallar esos valores máximo y mínimo? 3–4 Para cada uno de los números a, b, c, d, r, y s, determine si la función cuya gráfica se ilustra tiene un máximo o un mínimo abso- lutos, un máximo o un mínimo locales o no tiene ni máximo ni mí- nimo. 3. 4. 5–6 Use la gráfica para determinar los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función. 5. 6. 7–10 Dibuje la gráfica de una función f que sea continua sobre 1, 5 y tenga las propiedades dadas. 7. Mínimo absoluto en 2, máximo absoluto en 3, mínimo local en 4. 8. Mínimo absoluto en 1, máximo absoluto en 5, mínimo local en 2, mínimo local en 4. Máximo absoluto en 5, mínimo absoluto en 2, máximo local en 3, mínimo local en 2 y 4. 10. f no tiene máximo ni mínimo locales, pero 2 y 4 son números críticos. (a) Trace la gráfica de una función que tenga un máximo local en 2 y sea derivable en 2. (b) Trace la gráfica de una función que tenga un máximo local en 2 y no sea derivable en 2. 11. 9. a, b EJERCICIOS 4.1 x y 0 a b c d r s x y 0 a b c d r s y 0 x y=ƒ 1 1 y 0 x y=© 1 1 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 277
- 334. 278 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 68. 69. Entre 0C y 30C el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T se expresa aproximadamente mediante la fórmula Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima. 70. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizon- tal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, por lo tanto la magnitud de la fuerza es donde es una constante positiva denominada coeficiente de fricción y . Demuestre que F se minimiza cuando . 71. Se proporciona un modelo para el precio en Estados Unidos de una libra de azúcar blanca desde 1993 a 2003 donde t se mide en años desde agosto de 1993. Estime las oca- siones en que el azúcar estuvo más barata y más cara durante el periodo de 1993 a 2007. ; 72. El 7 de mayo de 1992, el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo en un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de la velo- cidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. (a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para hallar el polinomio cúbico que modele de la mejor manera la velocidad del transbordador para el lapso . A continuación, dibuje este polinomio. (b) Encuentre un modelo para su aceleración y úselo para estimar los valores máximo y mínimo de la aceleración durante los primeros 125 s. t 0, 125 It 0.03629t2 0.04458t 0.4074 St 0.00003237t5 0.0009037t4 0.008956t3 tan 0 2 F W sen cos V 999.87 0.06426T 0.0085043T 2 0.0000679T 3 f x x 2 cos x, 2 x 0 f x xsx x2 67. 37. 38. 40. 42. 43. 44. ; 45–46 Se proporciona una formula para la derivada de una fun- ción f. ¿Cuántos números críticos tiene f?. 45. 46. 47–62 Halle los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el intervalo dado. 47. , 48. , , 50. , 51. , 52. , 53. , 54. , 55. , 56. , 57. , 58. , 59. 60. 61. 62. 63. Si a y b son números positivos, encuentre el valor máximo de , . ; 64. Use una gráfica para estimar los números críticos de correctos hasta un lugar decimal. ; 65–68 a Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo de la función hasta dos lugares decimales. b Use el cálculo para encontrar los valores máximo y mínimo exactos. 65. 66. f x ex3 x , 1 x 0 f x x5 x3 2, 1 x 1 f x x3 3x2 2 0 x 1 f x xa 1 xb f x ex e2x , 0, 1 f x lnx2 x 1, 1, 1 f x x ln x, 1 2,2 f x xex , 1, 4 4, 7 4 f t t cott2 0, 2 f x 2 cos t sen 2t 0, 8 f t s 3 t 8 t 1, 2 f t ts4 t2 4, 4 f x x2 4 x2 4 0, 2 f x x x2 1 1, 2 f x x2 13 2, 3 f x x4 2x2 3 1, 4 f x x3 6x2 9x 2 2, 3 f x 2x3 3x2 12x 1 49. 0, 3 f x x3 3x 1 0, 3 f x 3x2 12x 5 f x 100 cos2 x x2 1 f x 5e0.1x sen x 1 f x x2x ln x f x x2 e3x t 4 tan f 2 cos sen2 41. tx x1/3 x2/3 Fx x45 x 42 39. tx s1 x2 ht t34 2t14 Hecho Tiempo s Velocidad piess Lanzamiento 0 0 Inicio de maniobra de giro 10 185 Fin de maniobra de giro 15 319 Válvula de estrangulación al 89% 20 447 Válvula de estrangulación al 67% 32 742 Válvula de estrangulación al 104% 59 1325 Presión dinámica máxima 62 1445 Separación de los cohetes auxiliares de combustible sólido 125 4151 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:12 Page 278
- 335. PROYECTO DE APLICACIÓN EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS |||| 279 (b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de v sobre el intervalo? (c) Dibuje v sobre el intervalo . 74. Demuestre que 5 es un valor crítico de la función pero t no tiene un valor extremo local en 5. 75. Demuestre que la función no tiene ni máximo local ni mínimo local. 76. Si f tiene un valor mínimo en c, demuestre que la función posee un valor máximo en c. 77. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en el cual f posee un mínimo relativo en c. Una función cúbica es un polinomio de grado 3; esto es, tiene la forma , donde . (a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos núme- ros críticos, uno o ninguno. Dé ejemplos y trace gráficas para ilustrar las tres posibilidades. (b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función cúbica? a 0 f x ax3 bx2 cx d 78. tx f x f x x101 x51 x 1 tx 2 x 53 0, r0 73. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un aumento de la presión en los pulmones. Esto viene acompaña- do por una contracción de la tráquea, con lo cual se produce un canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido. Para que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo, éste debe moverse con mayor rapidez por el canal más angos- to que por el más amplio. Entre mayor sea la velocidad de la corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo circular de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios de su radio normal durante un acceso de tos. De acuerdo con un modelo matemático de la tos, la velocidad n de la corriente de aire se relaciona con el radio r de la tráquea mediante la ecuación donde es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción mayor que (de lo contrario, la persona se sofocaría). (a) Determine el valor de r en el intervalo al cual v tie- ne un máximo absoluto. ¿Cómo se equipara esto con la evi- dencia experimental? [1 2 r0, r0] 1 2 r0 k 1 2 r0 r r0 vr kr0 rr2 Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la hu- manidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para expli- car la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris. 1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que entra en una gota de lluvia esférica en A. Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra a la gota. Advierta que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell afirma que , donde es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción y es el índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta hacia el aire, pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.) Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja pero, por el momento, hay más interés en la parte que sale de la gota de lluvia en C. (Advierta que se refracta alejándose de la recta normal.) El ángulo de desviación Da es la magnitud de la rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj que ha descrito el rayo durante este proceso de tres etapas. Por lo tanto Demuestre que el valor mínimo de la desviación es y ocurre cuando . El significado de la desviación mínima es que, cuando tiene , de modo que . Esto significa que muchos rayos con resultan desviados en más o menos la misma cantidad. La concentración de los rayos que vienen de las cercanías de la desviación mínima crea la brillantez del arcoíris primario. En la figura se muestra que el ángulo de elevación desde el observador, hacia arriba hasta el punto más alto del arcoíris es . (Este ángulo se conoce como ángulo del arcoíris.) 2. En el problema 1 se explica la ubicación del arcoíris primario, ¿pero cómo explica los colo- res? La luz solar comprende una gama de longitudes de onda, desde el rojo, hasta el naranja, 180 138 42 59.4 D 0 D 0 59.4 59.4 D 138 D 2 2 4 k 4 3 sen k sen EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS P R OY E C TO D E A P L I C AC I Ó N Formación del arcoíris primario al observador del Sol rayos de Sol rayos del Sol 42° 138° observador CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 279
- 336. 280 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Como Newton descubrió en sus experimento del prisma de 1666, el índice de refracción es diferente para cada color. (El efecto se llama dispersión.) Para la luz roja, el índice de refracción es en tanto que para la luz violeta es . Al repetir el cálculo del problema 1 para estos valores de k, se demues- tra que el ángulo del arcoíris es alrededor de 42.3 para el arco rojo y de 40.6 para el arco violeta. Así pues, el arcoíris en realidad consta de siete arcos separados que corresponden a los siete colores. 3. Quizá haya visto un arcoíris secundario más tenue, arriba del arco primario. Se produce por la parte de un rayo que entra en una gota de lluvia y se refracta en A, se refleja dos veces (en B y C ) y se refracta al salir de la gota en D (véase la figura que aparece a la izquierda). En esta ocasión, el ángulo de desviación es la magnitud total de la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que describe el rayo en este proceso de cuatro etapas. Demuestre que y tiene un valor mínimo cuando Si se toma , demuestre que la desviación mínima es alrededor de 129 y, por lo tanto, el ángulo del arcoíris secundario es de más o menos 51, como se muestra en la figura siguiente. 4. Demuestre que los colores del arcoíris secundario aparecen en orden opuesto al del primario. 42° 51° k 4 3 cos k2 1 8 D D 2 6 2 D k 1.3435 k 1.3318 Formación del arcoíris secundario del Sol al observador TEOREMA DEL VALOR MEDIO Verá que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho principal, que es el llamado teorema del valor medio. Pero para llegar a este teorema es necesario prime- ro el siguiente resultado. TEOREMA DE ROLLE Sea f una función que satisface las siguientes tres hipótesis: 1. f es continua en el intervalo cerrado a, b . 2. f es derivable en el intervalo abierto a, b. 3. Entonces hay un número c en a, b tal que . f c 0 f a f b 4.2 El matemático francés Michel Rolle (1652-1719) publicó por primera vez el teorema de Rolle en un libro titulado Méthode pour résoudre les égalitéz en 1691. Sin embargo, tiempo después, se volvió un fuerte crítico de los métodos de su época y atacó al cálculo calificándolo de “una colección de ingeniosas falacias”. © C. Donald Ahrens CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 280
- 337. Antes de la demostración, dé una mirada a las gráficas de algunas funciones represen- tativas que cumplen las tres hipótesis. En la figura 1 se muestran las gráficas de cuatro de dichas funciones. En cada caso aparece que hay por lo menos un punto en la grá- fica donde la tangente es horizontal y, por lo tanto, . Por lo tanto, el teorema de Rolle es posible. DEMOSTRACIÓN Hay tres casos: CASO I , una constante Entonces , de modo que el número c se puede tomar de cualquier número en a, b. CASO II para cualquier x en (a, b) [como en la figura 1(b) o (c)] Según el teorema del valor extremo, (el cual aplica por la hipótesis 1), f tiene un valor máximo en cualquier lugar de a, b . Puesto que , debe alcanzar su valor má- ximo en un número c en el intervalo abierto a, b. Entonces f tiene un máximo local en c, y, según la hipótesis 2, f es derivable en c. Por lo tanto, , de acuerdo con el teorema de Fermat. CASO III para alguna x en (a, b) [como en la figura 1(c) o (d)] De acuerdo con el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en a, b , y como , alcanza su valor mínimo en un número c en a, b. Una vez más, , según el teorema de Fermat. EJEMPLO 1 Aplique el teorema de Rolle a la función de posición de un objeto que se desplaza. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes t a y t b, entonces . El teorema de Rolle establece que hay algún instante del tiempo t c entre a y b cuando ; es decir, la velocidad es 0. (En particular, usted puede ver que esto se cumple cuando una pelota es lanzada directamente hacia arriba.) EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación tiene sólo una raíz real. SOLUCIÓN Primero aplique el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar que existe una raíz. Sea . Después y . Pues- to que f es un polinomio, es continua, de modo que el teorema del valor intermedio establece que hay un número c entre 0 y 1 tal que . Así, la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que la ecuación no posee otra raíz real, aplique el teorema de Rolle y siga un razonamiento de contradicción. Suponga que hay dos raíces a y b. Entonces, y, como f es un polinomio, es derivable en a, b y continua en a, b . Por esto, de acuerdo con el teorema de Rolle, hay un número c entre a y b tal que . Pero para toda x porque de modo que nunca puede ser 0. Esto es una contradicción. Por lo tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales. fx x2 0 f x 3x2 1 1 fc 0 fa 0 f b f c 0 f1 1 0 f0 1 0 fx x3 x 1 x3 x 1 0 fc 0 f a f b s ft f c 0 f a f b f(x) f(a) fc 0 fa fb f(x) f(a) f x 0 f(x) k fc 0 c, fc SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 281 FIGURA 1 (a) b a c¡ c™ x y 0 (b) a c b x y 0 (c) b a c¡ c™ x y 0 (d) b a c y x 0 Presentación de casos En la figura 2 se ilustra una gráfica de la función estudiada en el ejemplo 2. El teorema de Rolle dice que no im- porta qué tanto amplifique el rectángulo de vi- sión, ya que nunca podrá encontrar una segunda intersección con el eje de las x. f x x3 x 1 FIGURA 2 _2 3 _3 2 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 281
- 338. El uso principal que se le da al teorema de Rolle es en la demostración del importan- te teorema siguiente, el cual fue planteado por primera vez por otro matemático francés, Joseph-Louis Lagrange. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f una función que cumple con las hipótesis siguientes: 1. f es continua en el intervalo cerrado a, b . 2. f es derivable en el intervalo abierto a, b. Entonces hay un número c en a, b tal que o, en forma equivalente, Antes de demostrar este teorema, conviene ver que es razonable interpretarlo desde el punto de vista geométrico. Las figuras 3 y 4 muestran los puntos y sobre las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la secante AB es la cual es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación 1. Como es la pen- diente de la recta tangente en el punto , el teorema del valor medio, en la forma da- da por la ecuación 1, expresa que existe por lo menos un punto sobre la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la de la recta secante AB. En otras palabras, existe un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB. DEMOSTRACIÓN Aplique el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la secante AB. Si usa la ecuación 3 verá que la ecuación de la recta AB se puede escribir como o bien, como y fa fb fa b a x a y f a fb fa b a x a Pc, fc c, fc fc mAB f b fa b a 3 Bb, fb Aa, fa f b fa fcb a 2 fc f b fa b a 1 282 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 3 FIGURA 4 0 x y a c b B{b, f(b)} 0 x y a b c¡ c™ B P¡ A P™ A{a, f(a)} P{c, f(c)} El teorema del valor medio es un ejemplo de lo que se llama un teorema de existencia. Al igual que el teorema del valor intermedio, el teorema del valor extremo y el teorema de Rolle, garantiza que existe un número con una cierta propiedad, pero no dice cómo determinar dicho número. CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 282
- 339. De tal manera, como se muestra en la figura 5, Primero hay que comprobar que h cumple con las tres hipótesis del teorema de Rolle. 1. La función h es continua en a, b porque es la suma de f y de un polinomio de pri- mer grado, y ambos son continuos. 2. La función h es derivable en a, b porque tanto f como el polinomio de primer grado son derivables. En efecto, es posible calcular directamente con la ecuación 4: (Observe que y son constantes.) 3. Por lo tanto, . Como h cumple con las hipótesis del teorema de Rolle, ese teorema establece que hay un número c en a, b tal que . Por lo tanto, y de esa manera EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica, conside- re . Puesto que f es un polinomio, es continuo y derivable para toda x, por lo que es ciertamente continuo en 0, 2 y derivable en 0, 2. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema del valor medio, hay un número c en 0, 2 tal que Ahora, y , de modo que esta ecuación se vuelve lo cual da , es decir, . Pero c debe estar en 0, 2, de modo que . En la figura 6 se ilustra este cálculo: la tangente en este valor de c es paralela a la secante OB. EJEMPLO 4 Si un objeto se mueve en una línea recta con función de posición s ft, entonces la velocidad promedio entre t a y t b es f b f a b a V c 2s3 c 2s3 c2 4 3 6 3c2 12 6c2 2 fx 3x2 1 f 2 6, f 0 0 f 2 f0 fc2 0 fx x3 x, a 0, b 2 V fc f b fa b a 0 hc fc f b f a b a hc 0 ha hb f b fa f b f a 0 hb fb f a fb f a b a b a ha f a f a fb fa b a a a 0 f b fa b a f a hx f x fb f a b a h hx f x fa f b f a b a x a 4 SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 283 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) formuló por primera vez el teorema del valor medio. Nacido en Italia, de padre francés y de madre italiana. Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en Turín, a la temprana edad de 19 años. Lagrange hizo grandes colaboraciones a la teoría de números, la teoría de funciones, la teoría de ecuaciones y la mecánica analítica y celeste. En particular, aplicó el cálculo al análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico el Grande, se convirtió en el sucesor de Euler en la Academia de Berlín; al morir su mecenas aceptó la invitación del rey Luis XVI para trasladarse a París, donde se le dieron apartamentos en el Louvre. A pesar de todas las tentaciones del lujo y la fama, fue un hom- bre bondadoso y tranquilo, aunque sólo vivió para la ciencia. FIGURA 5 0 x y x h(x) y=ƒ ƒ A B f(a)+ (x-a) f(b)-f(a) b-a FIGURA 6 y=˛- x B x y c 2 O LAGRANGE Y EL TEOREMA DE VALOR MEDIO CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 283
- 340. y la velocidad en t c es . De este modo, el teorema del valor medio (en la forma de la ecuación 1) dice que en algún instante t c, entre a y b, la velocidad instantánea es igual a esa velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil recorrió 180 km en 2 h, en seguida el velocímetro debió indicar 90 kmh por lo menos una vez. En general, una interpretación del teorema del valor medio es que hay un número en el cual la relación de cambio instantánea es igual a la relación de cambio promedio en el intervalo. El principal significado del Teorema del Valor Medio es que permite obtener informa- ción relacionada con una función a partir de información con respecto a su derivada. El ejemplo siguiente ilustra este principio. EJEMPLO 5 Suponga que y para todos los valores de x. ¿Qué tan grande es posible que sea ? SOLUCIÓN Sabe que f es derivable (y, por lo tanto, continua) dondequiera. En particular, puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo 0, 2 . Allí existe un número c tal que por lo que Con la información de que para toda x, de modo que en particular sabe que . Al multiplicar ambos lados de esta desigualdad por 2 obtiene , y por eso El valor más grande posible para es 7. Mediante el teorema del valor medio se pueden establecer algunos de los hechos bási- cos del cálculo diferencial. Uno de estos hechos básicos es el teorema siguiente. Otros se tratan en las secciones siguientes. TEOREMA Si para toda x en un intervalo a, b, entonces f es cons- tante en a, b. DEMOSTRACIÓN Sean x1 y x2 dos números cualquiera en a, b donde x1 x2. Puesto que f es derivable en a, b, debe ser derivable en x1, x2 y continua en x1, x2 . Al aplicar el teorema del valor medio a f en el intervalo x1, x2 obtiene un número c tal que x1 c x2 y Puesto que para toda x, , y así la ecuación 6 se transforma en o bien, Por lo tanto, f tiene el mismo valor en dos números cualquiera x1 y x2 en a, b. Esto quiere decir que f es constante en a, b. COROLARIO Si para toda x en el intervalo a, b, entonces f t es constante en a, b; es decir, donde c es constante. fx tx c fx tx 7 fx2 fx1 f x2 fx1 0 fc 0 fx 0 fx2 fx1 fcx2 x1 6 fx 0 5 f2 f2 3 2fc 3 10 7 2fc 10 fc 5 fx 5 f2 f0 2f c 3 2f c f2 f 0 fc2 0 f 2 f x 5 f0 3 V fc f c 284 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 284
- 341. DEMOSTRACIÓN Sea . Entonces para toda x en a, b. Por esto, según el teorema 5, F es constante; es decir, es constante. Es necesario tener cuidado al aplicar el teorema 5. Sea El dominio de f es y para toda x en D. Pero obviamente f no es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Ob- serve que f es constante en el intervalo 0, ∞ y también en el intervalo , 0. EJEMPLO 6 Demuestre la identidad . SOLUCIÓN Aunque no se necesita al cálculo para demostrar esta identidad, la demostración con ayuda del cálculo es muy simple. Si , entonces para todos los valores de x. Por lo tanto, , una constante. Para determinar el valor de C, x 1, [porque así puede evaluar en forma exacta ]. En consecuencia, En estos términos, . tan1 x cot1 x 2 C f1 tan1 1 cot1 1 4 4 2 f 1 fx C f x 1 1 x2 1 1 x2 0 fx tan1 x cot1 x tan1 x cot1 x 2 fx 0 D xx 0
- 342. f x x x 1 1 si x 0 si x 0 NOTA f t Fx fx tx 0 Fx fx tx SECCIÓN 4.2 TEOREMA DEL VALOR MEDIO |||| 285 7. Use la gráfica f para estimar los valores de c que satisfagan la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo 0, 8 . 8. Mediante la gráfica de f del ejercicio 7 estime los valores de c que cumplen con la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo 1, 7 . y 0 x y =ƒ 1 1 1–4 Verifique que la función cumple las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo dado. Luego determine todos los números c que cumplen con la conclusión del teorema de Rolle. 1. , 2. , 3. , 4. , Sea . Demuestre que pero no hay número c en 1, 1 tal que . ¿Por qué esto no contradice al teorema de Rolle? 6. Sea . Demuestre que pero no hay nú- mero c en 0, p tal que . ¿Por qué esto no contradice al teorema de Rolle? f c 0 f 0 f p f x tan x f c 0 f 1 f 1 f x 1 x23 5. p8, 7p8 f x cos 2x 0, 9 f x sx 1 3 x 0, 3 f x x3 x2 6x 2 1, 3 f x 5 12x 3x2 EJERCICIOS 4.2 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 285
- 343. 286 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN (b) Suponga que f es derivable dos veces en y que tiene tres raíces. Demuestre que tiene por lo menos una raíz real. (c) ¿Puede generalizar los incisos (a) y (b)? Si y para , ¿qué tan pequeña es posible que sea ? 24. Suponga que para todos los valores de x. De- muestre que . ¿Existe una función f tal que , y para toda x? 26. Suponga que f y g son continuas en a, b y derivables en a, b. Suponga además que y para a x b. Demuestre que . [Sugerencia: aplique el teorema del valor medio a la función .] 27. Demuestre que si . 28. Suponga que f es una función impar y es derivable dondequie- ra. Demuestre que por cada número positivo b, existe un núme- ro c en b, b tal que . 29. Aplique el teorema del valor medio para demostrar la desigualdad para toda a y b 30. Si (c es una constante) para toda x, aplique el corolario 7 para mostrar que para alguna constante d. 31. Sean y Demuestre que para toda x en sus dominios. ¿Puede concluir de acuerdo con el corolario 7 que f t es constante? 32. Aplique el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad 33. Demuestre la identidad 34. A las 2:00 PM el velocímetro de un automóvil señala 30 millas/h. A las 2:10 PM indica 50 millas/h. Demuestre que en algún ins- tante entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración es exactamente 120 millas/h2 . Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan empatados. Demuestre que en algún momento durante la carre- ra tuvieron la misma velocidad. [Sugerencia: considere , donde g y h son las funciones de posición de los dos corredores.] 36. Un número a se denomina punto fijo de una función f si . Demuestre que si para todos los números reales x, después f tiene cuando mucho un punto fijo. f x 1 f a a f t tt ht 35. arcsen x 1 x 1 2 arctan sx 2 x 0 2 sen1 x cos1 1 2x2 f x tx tx 1 x 1 1 x si si x 0 x 0 f x 1x f x cx d f x c sen a sen b a b f c f bb x 0 s1 x 1 1 2 x h f t f b tb f x tx f a ta f x 2 f 2 4 f 0 1 25. 18 f 8 f 2 30 3 f x 5 f 4 1 x 4 f x 2 f 1 10 23. f ; 9. (a) Grafique la función en el rectángulo de vi- sión 0, 10 por 0, 10 . (b) Trace la recta secante que pasa por los puntos 1, 5 y 8, 8.5 en la misma pantalla con f. (c) Calcule el número c que satisface la conclusión del teorema del valor medio para esta función f y el intervalo 1, 8 . Luego grafique la tangente en el punto y observe que es paralela a la recta secante. ; 10. (a) En el rectángulo de visión 3, 3 por 5, 5 , grafique la función y su recta secante que pasa por los puntos 2, 4 y 2, 4. Mediante la gráfica estime las coordenadas x de los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta secante. (b) Calcule los valores exactos de los números c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio para el intervalo 2, 2 y compare con las respuestas del inciso (a). 11–14 Compruebe que la función cumple con las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo dado. Después determine todos los números c que cumplen con la conclusión del teorema del valor medio , 12. , 13. 14. , 15. Sea . Demuestre que no hay valor de c en (1, 4) tal que . ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio? 16. Sea . Demuestre que no hay valor de c tal que . ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio? 17. Demuestre que la ecuación tiene exactamente una raíz real. 18. Demuestre que la ecuación tiene exacta- mente una raíz real. Demuestre que la ecuación tiene cuando mucho una raíz en el intervalo 2, 2 . 20. Demuestre que la ecuación tiene cuando mu- cho dos raíces reales. 21. (a) Demuestre que el polinomio de grado 3 tiene a lo más tres raíces reales. (b) Demuestre que el polinomio de grado n tiene cuando mu- cho n raíces reales. 22. (a) Suponga que f es derivable en y que tiene dos raíces. De- muestre que tiene por lo menos una raíz. f x4 4x c 0 x3 15x c 0 19. 2x 1 sen x 0 1 2x x3 4x5 0 f 3 f 0 f c3 0 f x 2 2x 1 f 4 f 1 f c4 1 f x x 32 1, 4 f x x x 2 f x e2x , 0, 3 0, 2 f x x3 x 1 1, 1 f x 3x2 2x 5 11. f x x3 2x c, f c f x x 4x CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 286
- 344. SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 287 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de la habilidad para deducir hechos re- lacionados con una función f a partir de información que aportan sus derivadas. Como representa la pendiente de la curva en el punto , indica la dirección en la cual la curva progresa en cada punto. Por eso es razonable esperar que la informa- ción con respecto a proporcione información relacionada con . ¿QUÉ DICE CON RESPECTO A ? Para ver cómo la derivada de f puede decir dónde una función es creciente o decreciente observe la figura 1. (Las funciones crecientes y decrecientes se definen en la sección 1.1.) Entre A y B y entre C y D, las tangentes tienen pendiente positiva y de este modo . Entre B y C, las tangentes tienen pendiente negativa por lo que . Por esto, pare- ce que f se incrementa cuando es positiva y decrece cuando es negativa. Para demostrar que siempre es así, se recurre al teorema del valor medio. PRUEBA CRECIENTE/DECRECIENTE (a) Si sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. (b) Si sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo. DEMOSTRACIÓN (a) Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en el intervalo, con . Según la definición de una función creciente (página 20) tiene que demostrar que . Debido a que , sabe que f es derivable sobre x1, x2 . De modo que, por el teorema del valor medio existe un número c entre x1 y x2 tal que Ahora bien, por hipótesis y porque . De este modo, el lado derecho de la ecuación 1 es positivo, con lo cual, Esto demuestra que f es creciente. El inciso (b) se prueba de manera análoga. EJEMPLO 1 Encuentre dónde crece la función y dónde decrece. SOLUCIÓN Para aplicar la prueba CD, debe saber dónde y dónde . Esto depen- de de los signos de los tres factores de ; a saber, , y . Divida la recta real en intervalos cuyos puntos extremos sean los números críticos y y ordene su trabajo en una tabla. Un signo de más indica que la expresión dada es positiva y uno de menos, que es negativa. En la última columna de la tabla se da la conclusión basada en la prueba CD. Por ejemplo, para , de modo que f es decreciente 0 x 2 fx 0 2 1, 0 x 1 x 2 12x f x fx 0 fx 0 f x 12x3 12x2 24x 12xx 2x 1 fx 3x4 4x3 12x2 5 V fx1 fx2 o f x2 fx1 0 x1 x2 x2 x1 0 fc 0 fx2 fx1 fcx2 x1 1 fx 0 fx1 fx2 x1 x2 fx 0 f x 0 fx f x fx 0 f x 0 f f fx fx x, fx y f x f x 4.3 Abrevie el nombre de esta prueba llamándola prueba C/D. D A B C y 0 x FIGURA 1 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 287
- 345. sobre 0, 2. (También sería verdadero decir que f es decreciente sobre el intervalo cerrado 0, 2 .) La gráfica de f que se muestra en la figura 2, confirma la información que aparece en la tabla. Recuerde, por lo visto en la sección 4.1, que si f tiene un máximo o un mínimo lo- cales en c, en tal caso c debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), pero no todos los números críticos dan lugar a un máximo o un mínimo. Debido a eso, ne- cesita una prueba que le diga si f tiene o no un máximo o un mínimo locales en un nú- mero crítico. En la figura 2 puede ver que f0 5 es un valor máximo local porque f crece sobre 1, 0 y decrece sobre 0, 2. O, en términos de derivadas, para y para . En otras palabras, el signo de cambia de positivo a negati- vo en 0. Esta observación constituye la base de la prueba siguiente. PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA Suponga que c es un número crítico de una función continua f. (a) Si cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c. (b) Si cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c. (c) Si no cambia de signo en c (es decir, es positiva en ambos lados de c, o ne- gativa en ambos lados), entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c. La prueba de la primera derivada es consecuencia de la prueba CD. En el inciso (a), por ejemplo, como el signo de cambia de positivo a negativo en c, f es creciente a la izquierda de c y decreciente a su derecha. Se concluye que f tiene un máximo lo- cal en c. Para recordar fácilmente la prueba de la primera derivada, observe los diagramas de la figura 3 fx f f f f fx 0 x 2 f x 0 1 x 0 f x 0 288 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 20 _30 _2 3 FIGURA 2 Intervalo 12x x 2 x 1 fx f x 1 decreciente sobre , 1 1 x 0 creciente sobre 1, 0 0 x 2 decreciente sobre 0, 2 x 2 creciente sobre 2, FIGURA 3 c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 (d) Ni máximo ni mínimo (c) Ni máximo ni mínimo c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 c 0 x y fª(x)0 fª(x)0 (b) Mínimo local 0 x y c fª(x)0 fª(x)0 (a) Máximo local CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 288
- 346. EJEMPLO 2 Encuentre los valores máximos y mínimos locales de la función f del ejemplo 1. SOLUCIÓN A partir de la tabla de la solución para el ejemplo 1, cambia de negativa a positiva en 1, de modo que es un valor mínimo local por la Prueba de la primera derivada. De manera análoga, cambia de negativa a positiva en 2, de modo que también es un valor mínimo local. Como ya se hizo notar, es un valor máximo local porque cambia de positiva a negativa en 0. EJEMPLO 3 Determine los valores máximo y mínimo de la función SOLUCIÓN Con el fin de calcular los números críticos de derive: De tal manera cuando . Las soluciones de esta ecuación son y . Como es derivable dondequiera, los únicos números críticos son y y de esta manera se analiza en la tabla siguiente. Puesto que cambia de positivo a negativo en , la prueba de la primera derivada establece que hay un máximo local en y que el máximo local es De manera similar, pasa de negativo a positivo en por lo que es un valor mínimo local. La gráfica de en la figura 4 apoya esta conclusión. t t4 3 4 3 2 sen 4 3 4 3 2 s3 2 4 3 s3 2.46 4 3 tx t2 3 2 3 2 sen 2 3 2 3 2s3 2 2 3 s3 3.83 2 3 2 3 tx t 4 3 2 3 t 4 3 2 3 cos x 1 2 tx 0 tx 1 2 cos x t 0 x 2 tx x 2 sen x fx f 0 5 f2 27 f f 1 0 f x V SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 289 Intervalo tx 1 2 cos x t 0 x 2p3 creciente en (0, 2 3) 2p3 x 4p3 decreciente en (23, 4 3) 4p3 x 2p creciente en (4 3, 2 ) Los signos + de la tabla provienen del hecho de que cuando . A partir de la gráfica de , esto es verdadero en los intervalos indicados. y cos x cos x 1 2 tx 0 FIGURA 4 y=x+2 sen x 6 0 2π CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 289
- 347. ¿QUÉ DICE CON RESPECTO A ? En la figura 5 se ilustran las gráficas de dos funciones crecientes en a, b. Ambas grá- ficas unen el punto A con el punto B, pero lucen distintas porque se flexionan en direc- ciones diferentes. ¿Cómo se puede distinguir entre estos dos tipos de comportamientos? En la figura 6, las tangentes a estas curvas se han dibujado en diferentes puntos. En (a) la curva queda por arriba de las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en a, b. En (b), la curva se sitúa abajo de las tangentes y entonces se dice que es cóncava hacia abajo en . DEFINICIÓN Si la gráfica de f queda por arriba de todas sus tangentes en un intervalo I, entonces se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si la gráfica de f queda por abajo de todas sus tangentes en I, se dice que es cóncava hacia abajo en I. En la figura 7 se muestra la gráfica de una función que es cóncava hacia arriba (abrevia- do CA) en los intervalos b, c, d, e y e, p y cóncava hacia abajo (CAB) en los intervalos a, b, c, d y . Vea cómo la segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad. Al inspeccionar la figura 6(a) se puede ver que se incrementa, de izquierda a derecha, la pendiente de la tangente. FIGURA 7 a b c d e p q B C D P x y 0 CAB CA CAB CA CAB CA p, q FIGURA 5 FIGURA 6 a b f A B x y 0 a b g A B x y 0 g A B x y 0 f A B x y 0 (b) (a) Cóncava hacia arriba (b) Cóncava hacia abajo (a) a, b t f f 290 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 290
- 348. Esto quiere decir que la derivada es una función creciente y, por lo tanto, su derivada es positiva. En forma similar, en la figura 6(b) la pendiente de la tangente disminuye de izquier- da a derecha, por lo que decrece y, por consiguiente, es negativa. Este razonamiento se puede invertir y lleva a pensar que el teorema siguiente es verdadero. En el apéndice F se pre- senta una demostración con la ayuda del teorema del valor medio. PRUEBA DE LA CONCAVIDAD (a) Si para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre I. (b) Si para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre I. EJEMPLO 4 En la figura 8 se ilustra una gráfica de una población de las abejas mieleras que han sido criadas en un apiario. ¿Cuál es el incremento de la proporción de población con respecto al tiempo? ¿Cuándo este incremento alcanza su punto más alto? ¿En qué in- tervalos P es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? SOLUCIÓN Al examinar la pendiente de la curva cuando t se incrementa, se ve que la proporción del incremento de la población es al principio muy pequeña, luego aumenta hasta que alcanza un valor máximo alrededor de t 12 semanas, y disminuye cuando la población empieza a nivelarse. A medida que la población se aproxima a su valor máximo de casi 75 000 (que se denomina capacidad conducción, el incremento, , tiende a 0. Al parecer, la curva es cóncava hacia arriba en 0, 12 y cóncava hacia aba- jo en 12, 18. En el ejemplo 4, la curva de población pasó de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo por el punto 12, 38 000. Este punto se llama punto de inflexión de la curva. La importancia de este punto es que el valor máximo del incremento de la población está allí. En general, un punto de inflexión es un punto donde cambia de dirección la conca- vidad de una curva. DEFINICIÓN Un punto P en una curva recibe el nombre de punto de inflexión si f es continua ahí y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cónca- va hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P. Por ejemplo, en la figura 7, B, C, D y P son los puntos de inflexión. Observe que si una curva tiene una tangente en un punto de inflexión, después la curva corta a la tangente en ese punto. De acuerdo con la prueba de concavidad, hay un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada cambia de signo. y fx Pt f x 0 f x 0 f f f f SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 291 FIGURA 8 t P 3 20 0 Tiempo (semanas) 6 9 12 15 40 60 80 Cantidad de abejas (en miles) 18 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 291
- 349. EJEMPLO 5 Trace una posible gráfica de una función f que cumple con las condicio- nes siguientes: SOLUCIÓN La condición (i) establece que f es creciente en y decreciente en . La condición (ii) dice que f es cóncava hacia arriba en y , y cóncava ha- cia abajo en . Por la condición (iii) sabe que la gráfica de f tiene dos asíntotas horizontales: y 2 y y 0. Primero se dibuja la asíntota horizontal y 2 como una línea discontinua (véase figura 9). Después trace la gráfica de f, que se aproxima a esta asíntota por la izquierda, llega a su punto máximo en x 1 y decrece acercándose al eje x a la derecha. También se tiene la certeza de que la gráfica tiene puntos de inflexión cuando x 2 y 2. Obser- ve que se hizo que la curva se doble hacia arriba para x 2 y x 2, y se flexiona hacia abajo cuando x está entre 2 y 2. Otra aplicación de la segunda derivada es la siguiente prueba para encontrar los valores máximo y mínimo. Es una consecuencia de la prueba de concavidad. PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA Suponga que f es continua cerca de c. (a) Si y , entonces f tiene un mínimo relativo en c. (b) Si y , entonces f tiene un máximo relativo en c. Por ejemplo, el inciso (a) es verdadero porque cerca de c y, por consiguien- te, f es cóncava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica de f se encuentra arriba de su tangente horizontal en c, por lo que f tiene un mínimo local en c. (Véase la figura 10.) EJEMPLO 6 Analice la curva con respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Use esta información para dibujar la curva. SOLUCIÓN Si , entonces A fin de hallar los números críticos, haga fx 0 y obtiene x 0 y x 3. Para aplicar la prueba de la segunda derivada, evalúe f en estos números críticos: Como y , es un mínimo local. Dado que f0 0, la prueba de la segunda derivada no da información acerca del número crítico 0. Pero como para y también para , la prueba de la primera derivada dice que f no tiene máximo ni mínimo locales en 0. [En efecto, la expresión de muestra que f decrece a la izquierda de 3 y se incrementa a la derecha de 3.] fx 0 x 3 x 0 fx 0 f 3 27 f 3 0 f3 0 f 3 36 0 f 0 0 f x 12x2 24x 12xx 2 fx 4x3 12x2 4x2 x 3 fx x4 4x3 y x4 4x3 V f x 0 f c 0 f c 0 f c 0 f c 0 2, 2 2, , 2 1, , 1 iii lím x l fx 2, lím x l fx 0 ii f x 0 en , 2 y 2, , f x 0 en 2, 2 i f x 0 en , 1, fx 0 en 1, V 292 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 9 x y=_2 0 1 2 -2 y fª(c)=0 f(c) ƒ c P x x y 0 FIGURA 10 f·(c)0, f es cóncava hacia arriba f CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 292
- 350. Como fx 0 cuando x 0 o 2, divida la recta real en intervalos con estos números como puntos extremos y complete la tabla siguiente. El punto 0, 0 es un punto de inflexión, ya que la curva cambia allí de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. Asimismo, 2, 16 es un punto de inflexión, puesto que la curva cambia allí de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Con el uso del mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se dibuja la curva de la figura 11. La prueba de la segunda derivada no es concluyente cuando fc 0. En otras palabras, en ese punto podría haber un máximo, un mínimo o ninguno de los dos (como en el ejemplo 6). Esta prueba no funciona cuando fc no existe. En estos casos, debe aplicar- se la prueba de la primera derivada. De hecho, incluso cuando ambas pruebas son aplicables, a menudo la prueba de la primera derivada es más fácil de usar. EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función . SOLUCIÓN Puede recurrir a las reglas de la derivación para comprobar que las dos primeras derivadas son Como cuando y no existe cuando o , los números crí- ticos son 0, 4 y 6. Para hallar los valores extremos locales, use la prueba de la primera derivada. Dado que f cambia de negativa a positiva en 0, f0 0 es un mínimo local. Como f pasa de positiva a negativa en 4, es un máximo local. El signo de f no varía en 6, de modo que allí no hay mínimo ni máximo. (Se podría usar la prueba de la segunda derivada en 4, pero no en 0 o 6, puesto que f no existe en ninguno de estos números.) Si se estudia la expresión para fx y se observa que para todo x, tiene para y para y para . De modo que f es cóncava hacia abajo sobre y 0, 6, cóncava hacia arriba sobre , y el único punto de inflexión es 6, 0. En la figura 12 se encuentra la gráfica. Observe que la curva tiene tangentes verticales en 0, 0 y 6, 0 porque cuando y cuando . EJEMPLO 8 Use la primera y segunda derivadas de , más las asíntotas para di- bujar su gráfica. SOLUCIÓN Advierta que el dominio de f es , de modo que se hace la comproba- ción en relación con las asíntotas verticales calculando los límites por la izquierda y por la derecha cuando . Cuando , sabe que , de suerte que t 1x l x l 0 x l 0 xx 0
- 351. fx e1x x l 6 x l 0 fx l 6, , 0 x 6 f x 0 0 x 6 x 0 f x 0 x43 0 f 4 253 x 6 x 0 f x x 4 fx 0 f x 8 x43 6 x53 fx 4 x x13 6 x23 fx x23 6 x13 NOTA SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 293 FIGURA 11 x y 2 3 (2, _16) (3, _27) y=x$-4˛ puntos de inflexión (0, 0) Intente reproducir la gráfica de la figura 12 con una calculadora graficadora o una computa- dora. Algunas máquinas producen la gráfica completa, otras generan sólo la parte de la de- recha del eje y algunas otras nada más la parte entre x 0 y x 6. Para obtener la explica- ción y el remedio, vea el ejemplo 7 de la sección 1.4. Una expresión equivalente que da la gráfica correcta es y x2 13 6 x 6 x 6 x 13 FIGURA 12 y x 0 2 3 4 1 2 3 4 5 7 (4, 2%?#) y=x@?#(6-x)!?# Intervalo f x 12xx 2 Concavidad , 0 hacia arriba 0, 2 hacia abajo 2, hacia arriba Intervalo 4 x x13 6 x23 fx f x 0 decreciente en ( , 0) 0 x 4 creciente en (0, 4) 4 x 6 decreciente en (4, 6) x 6 decreciente en (6, ) CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 293
- 352. y esto hace ver que es un asíntota vertical. Cuando , tiene , de igual manera Cuando , tiene de este modo, Esto demuestra que y 1 es una asíntota horizontal. Calcule ahora la derivada. la regla de la cadena da Dado que y para todo , tiene para todo . Por esto, es decreciente sobre y sobre . No hay número crítico, de forma que la función no tiene máximo ni mínimo. La segunda derivada es Como y , tiene cuando y cuando . Por consiguiente, la curva es cóncava hacia abajo sobre y cóncava hacia arriba sobre y sobre . El punto de inflexión es . Para dibujar f, primero trace la asíntota horizontal y 1 (como una línea intermitente), junto con las partes de la curva que están cerca de ella, en un esquema preliminar figura 13(a) . Estas partes reflejan la información referente a los límites y al hecho de que f es decreciente tanto sobre como sobre . Advierta que ha indicado que cuando aun cuando no exista. En la figura 13(b) se termina el dibujo incorporando la información referente a la concavidad y al punto de inflexión. En la figura 13(c) se comprueba el trabajo con un aparato graficador. f0 x l 0 fx l 0 0, , 0 ( 1 2, e2 ) 0, ( 1 2, 0) ( , 1 2 ) x 1 2 f x 0 x 0 x 1 2 f x 0 x4 0 e1x 0 f x x2 e1x 1x2 e1x 2x x4 e1x 2x 1 x4 0, , 0 f x 0 f x 0 x 0 x2 0 e1x 0 fx e1x x2 lím xl e1x e0 1 1x l 0 x l lím xl0 e1x lím tl et 0 t 1x l x l 0 x 0 lím xl0 e1x lím tl et 294 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN (a) Esquema preliminar (b) Dibujo terminado FIGURA 13 (c) Conformación por computadora 4 0 _3 3 x 0 y y=1 y=‰ punto de inflexión x 0 y y=1 En Module 4.3 puede practicar usando la información gráfica sobre f para determinar la forma de la gráfica de f. TEC CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 294
- 353. SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 295 (c) ¿Sobre cuáles intervalos f es cóncava hacia arriba o cónca- va hacia abajo? Explique. (d) ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos de inflexión de f? ¿Por qué? 9–18 (a) Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente o decreciente. (b) Halle los valores máximos y mínimos locales de f. (c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. 9. 10. 12. 13. , 14. , 15. 16. 18. 19–20 Encuentre los valores máximos y mínimos locales de f utilizando las pruebas de la primera y la segunda derivadas. ¿Cuál método prefiere? 19. 20. 21. 22. (a) Halle los números críticos de fx x4 x 13 . (b) ¿Qué le dice la prueba de la segunda derivada con respecto al comportamiento de f sobre estos puntos críticos? (c) ¿Qué le dice la prueba de la segunda derivada? 23. Suponga que f es continua sobre . (a) Si y , ¿qué puede usted decir acerca de f? (b) Si y , ¿qué puede usted decir acerca de f? 24–29 Trace la gráfica de una función que cumple todas las condi- ciones dadas. 24. para toda , asíntota vertical , si o , si , si o , si o , si , si o x 3 x 1 f x 0 1 x 3 f x 0 x 4 0 x 2 f x 0 2 x 4 x 0 f x 0 f 0 f 2 f 4 0 25. 1 x 3 f x 0 x 3 x 1 f x 0 x 1 x 1 f x 0 f 6 0 f 6 0 f 2 5 f 2 0 , f x x s1 x f x x x2 4 f x x5 5x 3 f x sxex f x ln xsx 17. f x x2 ln x f x e2x ex 0 x 2 f x cos2 x 2 sen x 0 x 2 f x sen x cos x f x x2 x2 3 f x x4 2x2 3 11. f x 4x3 3x2 6x 1 f x 2x3 3x2 36x 1–2 Mediante la gráfica de f que se proporciona determine lo si- guiente: (a) Los intervalos abiertos en los cuales f es creciente. (b) Los intervalos abiertos en los cuales f es decreciente. (c) Los intervalos abiertos en los cuales f es cóncava hacia arriba. (d) Los intervalos abiertos en los cuales f es cóncava hacia abajo. (e) Las coordenadas de los puntos de inflexión. 3. Suponga que se le da una fórmula para una función f. (a) ¿Cómo determina dónde f es creciente o decreciente? (b) ¿Cómo determina en dónde la gráfica de f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? (c) ¿Cómo localiza los puntos de inflexión? 4. (a) Enuncie la prueba de la primera derivada. (b) Enuncie la prueba de la segunda derivada. ¿En cuáles cir- cunstancias no es concluyente? ¿Qué haría si falla? 5–6 Se ilustra la gráfica de la derivada de una función f. (a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente? (b) ¿En qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mínimo local? 6. Se muestra la gráfica de la segunda derivada f de una función f. Dé las coordenadas x de los puntos de inflexión de f. Exprese las razones que fundamentan sus respuestas. 8. Se ilustra la gráfica de la primera derivada f de una función f. (a) ¿Sobre cuáles intervalos f es creciente? Explique. (b) ¿En cuáles valores de x tiene f un máximo o un mínimo lo- cales? Explique. y=f·(x) 2 y 0 x 4 6 8 7. 2 4 6 x y 0 y=fª(x) 2 4 6 x y 0 y=fª(x) 5. f y 0 x 1 1 y 0 x 1 1 EJERCICIOS 4.3 3 y 0 x 5 7 1 9 y=fª(x) 1. 2. CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 295
- 354. 296 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN (d) Use la información de los incisos (a), (b) y (c) para dibujar f. Compruebe su respuesta con un aparato graficador si cuenta con uno. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 40. 42. 43. , 44. 45–52 (a) Encuentre las asíntotas verticales y horizontales. (b) Halle los intervalos donde crece o decrece. (c) Encuentre los valores máximos y mínimos locales. (d) Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. (e) Use la información de los incisos (a) y (d) para dibujar f. 45. 46. 47. 48. , 49. 50. 52. 53. Considere que la derivada de una función . ¿En qué intervalo se incrementa f? 54. Aplique los métodos de esta sección para bosquejar la curva donde a es una constante positiva. ¿Qué tienen de común los miembros de esta familia de curvas? ¿Cómo difieren entre si? ; 55–56 (a) Utilice una gráfica de f para estimar los valores máximos y mí- nimos. Enseguida encuentre los valores exactos. (b) Estime el valor de x con el cual f se incrementa más rápida- mente. Después encuentre el valor exacto. 56. ; 57–58 (a) Use una gráfica de f para dar un estimado aproximado de los intervalos de concavidad y las coordenadas de los puntos de inflexión. (b) Use una gráfica de f para ofrecer estimaciones mejores. 57. , 0 x 2 f x cos x 1 2 cos 2x f x x2 ex f x x 1 sx2 1 55. y x3 3a2 x 2a3 f x x 12 x 35 x 64 f x earctan x f x e1x1 51. f x ex 1 ex f x ln1 ln x 2 x 2 f x x tan x f x sx2 1 x f x x2 x 22 f x x2 x2 1 f t t cos t, 2 t 2 0 2 f 2 cos cos2 f x lnx4 27 Cx x13 x 4 41. Bx 3x23 x Ax xsx 3 39. hx x5 2x3 x hx x 15 5x 2 tx 200 8x3 x4 f x 2 2x2 x4 f x 2 3x x3 f x 2x3 3x2 12x 26. , si , si , si , si , punto de inflexión 27. si , si , , , si 28. si , si , , , , si , si 29. y para toda x 30. Considere , , y y para toda x (a) Dibuje una gráfica posible para f. (b) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación ¿Por qué? (c) ¿Es posible que ¿Por qué? 31–32 Se proporciona la gráfica de la derivada de una función continua f. (a) ¿En qué intervalos la función f es creciente o decreciente? (b) ¿En qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mínimo local? (c) ¿En qué intervalos f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? (d) Establezca la(s) coordenada(s) x del punto o de los puntos de inflexión. (e) Suponga que , y grafique f. 32. 33–44 (a) Halle los intervalos de crecimiento o decremento. (b) Encuentre los valores máximos y mínimos locales. (c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. y 0 x 2 4 6 8 _2 y=fª(x) 2 2 y 0 x 4 6 8 _2 y=fª(x) 2 31. f 0 0 f f 2 1 3 f x 0 f x 0 f x 0 f 3 1 2 f 3 2 f x 0 f x 0 x 3 f x 0 0 x 3 f x 0 f x f x lím xl f x 1 f 2 0 x 2 f x 0 x 2 f x 0 x 2 f x 0 lím xl2 f x f 2 0 x 2 f x 0 x 2 f x 0 0, 1 2 x 0 f x 0 x 2 f x 1 1 x 2 f x 0 x 1 f x 0 f 1 f 1 0 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 296
- 355. SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 297 ; 65. Una curva de respuesta a un medicamento describe los niveles de dosificación en el torrente sanguíneo después de que se ha administrado un medicamento. Con frecuencia se aplica una función de onda de impulso S(t) Atp ekt para representar la curva de respuesta, revelando una oleada inicial en el nivel de medicamento y a continuación una declinación gradual. Si, para un medicamento particular, A 0.01, p 4, k 0.07, y t se mide en minutos, estimar el tiempo correspondiente a los puntos de inflexión y explique su significado. Si tiene un dispositivo graficador, utilícelo para dibujar la curva de respuesta. 66. La familia de curvas acampanadas se presenta en probabilidad y estadística y se le denomina función de densidad normal. La constante m se conoce como media y la constante positiva s es la desviación estándar. Por sencillez, cambie la escala de la función de modo que se elimine el factor y analice el caso especial donde . Por lo tanto, estudie la función (a) Encuentre la asíntota, el valor máximo y los puntos de in- flexión de f. (b) ¿Qué función desempeña s en la forma de la curva? ; (c) Ilustre lo anterior trazando la gráfica de cuatro miembros de esta familia en la misma pantalla. Encuentre una función cúbica que tenga un valor máximo local de 3 en 2 y un valor mínimo local de 0 en 1. 68. ¿Para cuáles valores de los números a y b la función tiene el valor máximo ? 69. Demuestre que la curva insertar formula tiene tres puntos de inflexión y se encuentran en una línea recta. 70. Demuestre que las curvas y ex y y ex toca la curva y ex sen x en sus puntos de inflexión. 71. Suponga que f es derivable en un intervalo I y para todos los números x en I, excepto para un número c. Demues- tre que f es creciente en el intervalo completo I. 72–74 Suponga que todas las funciones son derivables dos veces y que la segunda derivada nunca es 0. 72. (a) Si f y t son cóncavas hacia arriba en I, demuestre que es cóncava hacia arriba en I. (b) Si f es positiva y cóncava hacia arriba en I, demuestre que la función es cóncava hacia arriba en I. 73. (a) Si f y t son funciones positivas, crecientes, cóncavas hacia arriba en I, demuestre que la función producto es cóncava hacia arriba en I. (b) Demuestre que el inciso (a) sigue siendo verdadero si f y son decrecientes. t ft tx f x 2 f t f x 0 f 2 1 f x axebx2 f x ax3 bx2 cx d 67. f x ex 2 2# 2 0 1(#s2 ) y 1 #s2 ex2 2# 2 58. 59–60 Estime los intervalos de concavidad hasta una cifra decimal con un sistema algebraico para computadora con el fin de calcular y trazar la gráfica de f. 59. 60. 61. Se conoce una gráfica de la población de células de levadura en un cultivo de laboratorio reciente como una función del tiempo (a) Describa cómo varía la rápidez de incremento de población. (b) ¿Cuándo es más alta la rápidez? (c) ¿En qué intervalos la función población es cóncava hacia arriba o hacia abajo? (d) Estimar las coordenadas del punto de inflexión 62. Sea ft la temperatura en el tiempo t donde habita y considera que en el tiempo t 3 se siente incomodo por lo caluroso. ¿Có- mo se sente con respecto a la información que se proporciona en cada caso? (a) f (3) 2, f (3) 4 (b) f (3) 2, f (3) 4 (c) f (3) 2, f (3) 4 (d) f (3) 2, f (3) 4 Sea Kt una medida de los conocimientos que obtiene usted al estudiar para un examen durante t horas. ¿Cuál opina usted que es más grande, K8 K7 o K3 K2? ¿La gráfica de K es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? ¿Por qué? Se vierte café en la jarrita que se ilustra en la figura a una rapidez constante (medida en volumen por unidad de tiempo). Trace una gráfica aproximada del espacio ocupado por el café como fun- ción del tiempo. Explique la forma de la gráfica en términos de la concavidad. ¿Cuál es el significado del punto de inflexión? 64. 63. f x x2 tan1 x 1 x3 f x x4 x3 1 sx2 x 1 CAS f x x3 x 24 2 6 10 14 18 4 8 12 16 0 Tiempo (en horas) Número de celdas de levadura 100 200 300 400 500 600 700 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 297
- 356. 298 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 79. Demuestre que si es un punto de inflexión de la gráfica f y existe en un intervalo abierto que contiene c, entonces . [Sugerencia: aplique la prueba de la primera deriva- da y el teorema de Fermat a la función .] 80. Demuestre que si , entonces , pero 0, 0 no es un punto de inflexión de la gráfica de f. 81. Demuestre que la función posee un punto de infle- xión en 0, 0 pero no existe. 82. Suponga que es continua y , pero . ¿La función f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en c? ¿Tiene f un punto de inflexión en c? 83. Los tres casos en la prueba de la primera derivada cubren las situaciones que por lo general uno se encuentra, pero sin extraer todas las posibilidades. Considere las funciones f, g y h cuyos valores en 0 todos son 0 y, para x 0, (a) Demuestre que 0 es un número crítico de las tres funciones pero sus derivadas cambian de signo con frecuencia de manera infinita en ambos lados de acero. (b) Demuestre que f no tiene un máximo local ni un mínimo lo- cal en 0, g tiene un mínimo local, y h tiene un máximo local. h x x4 2 sen 1 x f x x4 sen 1 4 tx x4 2 sen 1 x f c 0 f c f c 0 f t0 tx x x f 0 0 f x x4 t f f c 0 f c, f c (c) Suponga que f es creciente y que t es decreciente. Demues- tre mediante tres ejemplos que ft podría ser cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo o lineal. ¿Por qué no se aplica el razonamiento de los incisos (a) y (b) en este caso? 74. Suponga que f y t son cóncavas hacia arriba en . ¿En qué condiciones de f la función compuesta será cóncava hacia arriba? Demuestre que para . Sugerencia: Demuestre que es creciente en . 76. (a) Demuestre que para . (b) Infiera que para . (c) Aplique la inducción matemática para probar que para y cualquier entero positivo n, 77. Demuestre que una función cúbica (un polinomio de tercer gra- do) siempre tiene con exactitud un punto de inflexión. Si su gráfica tiene tres intersecciones x1, x2 y x3, demuestre que la coordenada x del punto de inflexión es . ; 78. ¿Para cuáles valores de c el polinomio tiene dos puntos de inflexión diferentes? ¿Acaso ninguno? Ilus- tre dibujando P para diversos valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica a medida que c decrece? Px x4 cx3 x2 x1 x2 x3 3 ex 1 x x2 2! xn n! x 0 x 0 ex 1 x 1 2 x2 x 0 ex 1 x 0, 2 f x tan x x 0 x 2 tan x x 75. hx f tx , FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL Suponga que intenta analizar el comportamiento de la función Aunque F no está definida cuando x 1, necesita saber cómo se comporta F cerca de 1. En particular, le gustaría conocer el valor del límite Pero no puede aplicar la ley 5 de los límites (el límite del cociente es el cociente de los lí- mites, véase sección 2.3) porque el límite del denominador es 0. De hecho, aun cuando el límite en (1) existe, su valor no es obvio porque el numerador y el denominador tienden a 0 y no está definido. En general, si tiene un límite de la forma donde tanto y cuando , en tal caso este límite puede existir o no y se conoce como forma indeterminada del tipo . En el capítulo 2 encontró al- 0 0 x l a tx l 0 fx l 0 lím x l a f x tx 0 0 lím x l1 ln x x 1 1 Fx ln x x 1 4.4 CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 298
- 357. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 299 gunos límites de este tipo. Para las funciones racionales, puede cancelar los factores comunes: Aplique un argumento geométrico para demostrar que Pero estos métodos no funcionan para límites como el (1) de modo que, en esta sección, se presenta un método sistemático, conocido como regla de l’Hospital, para la evalua- ción de formas indeterminadas. Se tiene otra situación en que un límite no es obvio cuando busca una asíntota horizontal de F y necesita evaluar el límite No es evidente cómo evaluar este límite porque el numerador y el denominador se hacen grandes cuando . Hay una lucha entre el numerador y el denominador. Si gana el nume- rador, el límite será ; si gana el denominador, la respuesta será 0. O puede haber un término medio, en cuyo caso la respuesta puede ser algún número positivo finito. En general, si tiene un límite de la forma donde tanto (o ) y (o ), entonces el límite puede existir o no y se conoce como forma indeterminada del tipo . En la sección 2.6 vio que este tipo de límite se puede evaluar para ciertas funciones, incluso las racionales, al dividir el nu- merador y el denominador entre la mayor potencia de x que se presenta en el denominador. Por ejemplo, Este método no funciona para límites como el (2), pero también puede aplicarse la regla de l’Hospital a este tipo de forma indeterminada. REGLA DE l’HOSPITAL Suponga que f y t son funciones derivables y que en un intervalo abierto I que contiene a (excepto quizás en a). Suponga que y o que y (En otras palabras, tiene una forma indeterminada del tipo o del .) Entonces si el límite en el lado derecho existe (o es o es ). lím x l a f x tx lím x l a f x tx 0 0 lím xla tx lím xl a fx lím xl a tx 0 lím xla fx 0 tx 0 lím x l x2 1 2x2 1 lím x l 1 1 x2 2 1 x2 1 0 2 0 1 2 tx l f x l lím x l a f x tx x l lím x l ln x x 1 2 lím x l 0 sen x x 1 lím x l1 x2 x x2 1 lím x l1 xx 1 x 1x 1 lím x l1 x x 1 1 2 Se le nombre la regla de l’Hôspital en honor al Marqués de l´Hôspital (1661-1704) pero fue descubierta por un matemático suizo, John Bernoulli (1667-1748). Algunas veces podría ver l’Hôspital escrito como l’Hôspital, pero él escribió su propio nombre l’Hôspital como era común en el siglo XVII. Véase Redacción de un proyecto, pág. 307, para más detalles. L’HOSPITAL CAPITULO-04-A 06/04/2009 19:13 Page 299
- 358. 300 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN La regla de l’Hospital afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones dadas. Antes de aplicar la regla de l’Hospital es muy importante comprobar las condiciones re- ferentes a los límites de f y t. La regla de l’Hospital también es válida para los límites laterales y los límites en el infinito o en el infinito negativo; es decir, “ ” se puede reemplazar con cualquie- ra de los símbolos siguientes , o . Para el caso especial en que fa ta 0, f y t son continuas y ta 0, es fácil ver por qué la regla de l’Hospital es verdadera. En efecto, si se aplica la forma alternativa de la definición de derivada, tiene Es más difícil demostrar la versión general de la regla de l’Hospital. Véase el apén- dice F. EJEMPLO 1 Encuentre . SOLUCIÓN Puesto que y puede aplicar la regla de l’Hospital: EJEMPLO 2 Calcule . SOLUCIÓN Tiene que y , de modo que la regla de l’Hos- pital da Puesto que y cuando , el límite del segundo miembro también es indeterminado, pero una segunda aplicación de la regla de l’Hospital da lím x l ex x2 lím x l ex 2x lím x l ex 2 x l 2x l ex l lím x l ex x2 lím xl d dx ex d dx x2 lím x l ex 2x límx l x2 límx l ex lím x l ex x2 lím x l1 1 x 1 lím x l1 ln x x 1 lím x l1 d dx ln x d dx x 1 lím x l1 1x 1 lím x l1 x 1 0 lím x l1 ln x ln 1 0 lím x l1 ln x x 1 V lím x l a f x tx lím x l a f x f a tx ta lím x l a f x fa x a tx ta x a lím x l a f x tx f a ta lím x l a f x f a x a lím x l a tx ta x a NOTA 3 x l x l x l a x l a , x l a NOTA 2 NOTA 1 0 y x a y=m¡(x-a) y=m™(x-a) 0 y x a f g FIGURA 1 En la figura 1 se sugiere en forma visual por qué la regla de l’Hospital podría ser verdadera. En la primera gráfica se muestran dos funciones derivables f y t, cada una de las cuales tiende a 0 cuando . Con un acer- camiento hacia el punto , las gráficas empezarán a verse casi lineales. Pero si las funciones fueran en realidad lineales, como en la segunda gráfica, después su gráfica sería lo cual es la proporción entre sus derivadas. Esto sugiere que lím x l a fx tx lím x l a fx tx m1x a m2x a m1 m2 a, 0 x l a | Advierta que cuando se usa la regla de l’Hospital, deriva el numerador y el denominador por separado. No utiliza la regla del cociente. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función del ejemplo 2. Con anterioridad ha visto ver que, con mucho, las funciones expo- nenciales crecen con más rapidez que las potencias, de modo que el resultado del ejemplo 2 no es inesperado. Véase también el ejercicio 69. y=´ ≈ 10 20 0 FIGURA 2 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 300
- 359. EJEMPLO 3 Calcule . SOLUCIÓN Dado que y cuando , puede aplicarse la regla de l’Hospital: Advierta que ahora el límite del segundo miembro es indeterminado del tipo . Pero, en lu- gar de aplicar la regla de l’Hospital por segunda vez, como en el ejemplo 2, se simplifica la expresión y se ve que una segunda aplicación es innecesaria: EJEMPLO 4 Encuentre . Véase el ejercicio 38 de la sección 2.2. SOLUCIÓN Al observar que tanto como cuando , aplique la regla de l’Hospital: Como el límite del lado derecho todavía es indeterminado del tipo , aplique una vez más dicha regla: Puesto que , simplifica el cálculo al escribir Puede evaluar el último límite usando ya sea la regla de l’Hospital por tercera vez o escribiendo como y utilizando su conocimiento de los límites trigo- nométricos. Al reunir todos los pasos, obtiene EJEMPLO 5 Encuentre . SOLUCIÓN Si intenta aplicar la regla de l’Hospital a ciegas, obtendría | ¡Esto es erróneo! Aun cuando el numerador cuando , advierta que el denominador no tiende a 0, de modo que en este caso no se puede aplicar la regla de l’Hospital. 1 cos x x l sen x l 0 lím x l sen x 1 cos x lím x l cos x sen x lím x l sen x 1 cos x 1 3 lím xl0 tan x x 1 3 lím xl 0 sec2 x 1 1 3 lím xl 0 tan x x x3 lím xl0 sec2 x 1 3x2 lím xl 0 2 sec2 x tan x 6x sen xcos x tan x lím xl0 2 sec2 x tan x 6x 1 3 lím xl 0 sec2 x lím xl0 tan x x 1 3 lím xl 0 tan x x límxl0 sec2 x 1 lím x l 0 sec2 x 1 3x2 lím x l 0 2 sec2 x tan x 6x 0 0 lím x l 0 tan x x x3 lím x l 0 sec2 x 1 3x2 x l 0 x3 l 0 tan x x l 0 lím x l 0 tan x x x3 lím x l ln x s 3 x lím x l 1x 1 3 x23 lím x l 3 s 3 x 0 0 0 lím x l ln x s 3 x lím x l 1x 1 3 x23 x l s 3 x l ln x l lím x l ln x s 3 x V SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 301 En la figura 3 se muestra la gráfica de la función del ejemplo 3. Ya analizamos el crecimiento lento de los logaritmos, de suerte que no es sorprendente que esta proporción tienda a 0 cuando . Véase también el ejercicio 70. x l 0 _1 2 10 000 y= ln x Œ„ x FIGURA 3 La gráfica de la figura 4 da una confirmación visual del resultado del ejemplo 4. Sin embargo, si hiciera un acercamiento muy grande, obtendría una gráfica inexacta, porque está cercana a cuando este último es pequeño. Véase el ejercicio 38(d) de la sección 2.2. x tan x FIGURA 4 y= tan x-x ˛ 0 _1 1 1 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 301
- 360. De hecho, el límite requerido es fácil de hallar porque la función es continua y el de- nominador es diferente de cero en: El ejemplo 5 hace ver hasta qué punto puede equivocarse si aplica la regla de l’Hospital sin pensar. Es posible hallar otros límites aplicando dicha regla, pero se encuentran con mayor facilidad con otros métodos. (Véanse los ejemplos 3 y 5 de la sección 2.3, el ejem- plo 3 de la sección 2.6 y el análisis al principio de esta sección.) Por lo tanto, al evaluar cualquier límite, considere otros métodos antes de aplicar la regla de l’Hospital. PRODUCTOS INDETERMINADOS Si y (o bien ), por lo tanto no resulta claro cuál es el valor de , si lo hay. Se tiene una lucha entre f y t. Si f gana, la respuesta es 0; si t gana, la respuesta será (o bien ). O puede haber un término medio donde la respuesta es un número finito diferente de cero. Esta clase de límite se llama forma indeterminada del tipo . Puede manejarla escribiendo el producto ft como un cociente: o Esto convierte el límite dado en una forma indeterminada del tipo o de modo que aplique la regla de l’Hospital. EJEMPLO 6 Evalúe . SOLUCIÓN El límite dado es indeterminado porque, cuando , el primer factor x tiende a 0, en tanto que el segundo ln x lo hace a . Si se escribe , tiene cuando , de modo que la regla de l’Hospital da En la resolución del ejemplo 6 se podría escribir lo siguiente como otra posible opción: Esto da una forma indeterminada del tipo 00, pero si aplica la regla de l’Hospital, ob- tiene una expresión más complicada que aquella con la que empezó. En general, cuando escribe de nuevo un producto indeterminado, trate de escoger la opción que conduzca al lí- mite más sencillo. DIFERENCIAS INDETERMINADAS Si y , entonces el límite se conoce como forma indeterminada del tipo . Una vez más, existe una compe- tencia entre f y t. ¿La respuesta es (f gana), o será (t gana) o se tiene un término lím x l a f x tx límx l a tx límx l a f x lím x l 0 x ln x lím x l 0 x 1ln x NOTA lím xl0 x 0 lím x l0 x ln x lím xl0 ln x 1x lím xl0 1x 1x2 x l 0 1x l x 11x x l 0 límxl0 x ln x V 0 0 ft t 1f ft f 1t 0 límx l a f xtx límx l a tx límx l a fx 0 lím x l sen x 1 cos x sen 1 cos 0 1 1 0 302 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN En la figura 5 se ilustra la gráfica de la función en el ejemplo 6. Note que la función es indefinida en ; la gráfica se aproxima al origen pero nunca lo alcanza. x 0 0 y x 1 y=x ln x FIGURA 5 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 302
- 361. medio en un número finito? Para averiguarlo, intente convertir la diferencia en un cociente (por ejemplo, usando un denominador común o racionalización o factorizando un factor común) de modo que tenga una forma indeterminada del tipo o . EJEMPLO 7 Calcule . SOLUCIÓN En primer lugar, advierta que y cuando , de modo que el límite es indeterminado. En este caso, use un denominador común: Observe que se justifica el uso de la regla de l’Hospital porque y cuando . POTENCIAS INDETERMINADAS Varias formas indeterminadas surgen del límite 1. y tipo 2. y tipo 3. y tipo Cada uno de estos tres casos se puede tratar tomando el logaritmo natural: , por lo tanto o bien, al escribir la función como una exponencial: (Recuerde que se usaron estos dos métodos al derivar esas funciones.) Cualquiera de los dos conduce al producto indeterminado tx ln fx, que es del tipo . EJEMPLO 8 Calcule . SOLUCIÓN En primer lugar, advierta que cuando , tiene y , por lo que el límite es indeterminado. Sea Entonces de modo que la regla de l’Hospital da Hasta ahora ha calculado el límite de ln y, pero lo que desea es el límite de y. lím xl 0 4 cos 4x 1 sen 4x sec2 x 4 lím xl 0 ln y lím xl0 ln1 sen 4x tan x ln y ln 1 sen 4xcot x cot x ln1 sen 4x y 1 sen 4xcot x cot x l 1 sen 4x l 1 x l 0 lím x l 0 1 sen 4xcot x 0 fx tx etx ln f x ln y tx ln f x y f x tx sea 1 lím x l a tx lím x l a fx 1 0 lím x l a tx 0 lím x l a fx 00 lím x l a tx 0 lím x l a fx 0 lím x l a f x tx x l 2 cos x l 0 1 sen x l 0 lím x l 2 1 sen x cos x lím x l 2 cos x sen x 0 lím x l 2 sec x tan x lím x l 2 1 cos x sen x cos x x l 2 tan x l sec x l lím x l 2 sec x tan x 0 0 SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 303 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 303
- 362. Para hallarlo aplique : EJEMPLO 9 Encuentre . SOLUCIÓN Advierta que este límite es indeterminado puesto que para cualquier pero para cualquier . Podría proceder como en el ejemplo 8 o escribir la fun- ción como una exponencial: En el ejemplo 6 aplique la regla de l’Hospital para demostrar que Por lo tanto, lím x l 0 xx lím x l 0 ex ln x e0 1 lím x l 0 x ln x 0 xx eln x x ex ln x x 0 x0 1 x 0 0x 0 lím x l 0 xx lím x l 0 1 sen 4xcot x lím x l 0 y lím x l 0 eln y e4 y eln y 304 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 5–64 Halle el límite. Aplique la regla de l’Hospital donde resulte apropiado. Si existe un método más elemental, considere la posi- bilidad de utilizarlo. Si no puede aplicar la regla de l’Hospital, explique por qué. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 22. lím x l 0 ex 1 x 1 2 x2 x3 lím xl0 ex 1 x x2 21. lím xl1 ln x sen x lím x l ex x3 lím xl ln ln x x lím xl0 ln x x lím x l2 x x2 1 2x2 lím x l ln x sx lím l 2 1 sen csc lím xl0 tan px tan qx lím tl0 e3t 1 t lím tl0 et 1 t3 lím x l 0 sen 4x tan 5x lím xl 2 cos x 1 sen x lím xl1 xa 1 xb 1 lím x l1 x9 1 x5 1 lím x l2 x2 x 6 x 2 lím x l2 x2 1 x2 x 1–4 Dado que ¿cuáles de los límites siguientes son formas indeterminadas? Para aquellos que no son una forma indeterminada, evalúe el límite don- de sea posible hacerlo. (a) (b) (c) (d) (e) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) (d) (e) (f) lím xla qx spx lím xla px qx lím xla px f x lím xla hx px lím xla f x px lím xla f x tx lím xla px qx lím xla px qx lím xla f x px lím xla pxqx lím xla hxpx lím xla f xpx lím xla px qx lím xla px f x lím xla hx px lím xla f x px lím xla f x tx 1. lím xla px lím xla qx lím xla f x 0 lím xl a tx 0 lím xla hx 1 EJERCICIOS 4.4 En la figura 6 se muestra la gráfica de la función , . Advierta que aun cuando no está definido, los valores de la función tienden a 1 cuando . Esto confirma el resultado del ejemplo 9. x l 0 00 x 0 y x x 2 0 2 _1 FIGURA 6 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 304
- 363. SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 305 63. 64. ; 65–66 Use una gráfica para estimar el valor del límite. Enseguida utilice la regla de l’Hospital para hallar el valor exacto. 65. 66. ; 67–68 Ilustre la regla de l’Hospital dibujando tanto y cerca de con el fin de observar que estas relaciones tienen el mismo límite cuando . Calcule, asimismo, el valor exacto del límite. 67. , 68. , Pruebe que para cualquier entero positivo n. Esto demuestra que la función exponencial se acerca a infinito con mayor rapidez que cual- quier potencia de x. 70. Compruebe que para cualquier número . Esto demuestra que la función logarítmica tiende a más despacio que cualquier potencia de x. 71. ¿Qué sucesde si intente aplicar la regla del l’Hospital para evaluar Evalúe el límite aplicando otro método. 72. Si un objeto con masa m se deja caer desde el estado de reposo, un modelo para su rapidez v una vez que transcurren t segun- dos, tomando en cuenta la resistencia del aire, es donde t es la aceleración debida a la gravedad y c es una constante positiva. (En el capítulo 9 podrá deducir esta ecuación a partir de la hipótesis de que la resistencia del aire es proporcional a la rapidez del objeto; c es la constante de proporcionalidad.) (a) Calcule . ¿Cuál es el significado de este límite? (b) Para t fijo, utilice la regla de l’Hospital para calcular . ¿Qué puede concluir acerca de la velocidad de un objeto en caída dentro de vacío? límm l v límt l v v mt c 1 ectm lím x l x sx2 1 p 0 lím xl ln x x p 0 lím xl ex xn 69. tx sec x 1 f x 2x sen x tx x3 4x f x ex 1 x l 0 x 0 f xtx f xtx lím x l0 5x 4x 3x 2x lím x l 1 2 x x lím x l 2x 3 2x 5 2x1 lím xl0 cos x1x2 23. 24. 25. 26. 27. 28. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 44. 45. 46. 47. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. lím x l1 2 xtanpx2 lím x l0 4x 1cot x lím x l ex x1x lím x l x1x lím xl xln 21 ln x lím x l 1 3 x 5 x2 x lím xl 1 a x bx lím xl0 1 2x1x 55. lím xl0 tan 2xx lím xl0 x x2 lím xl xe1x x lím xl x ln x lím x l0 cot x 1 x lím xl (sx2 x x) lím xl0 csc x cot x 48. lím x l1 x x 1 1 ln x lím xl x tan1x lím xl1 ln x tan x2 lím xl 4 1 tan xsec x lím xl x3 ex 2 43. lím xl0 sen x ln x lím xl0 cot 2x sen 6x lím xl x2 ex lím x l x senpx lím x la cos x lnx a lnex ea lím x l 0 cos x 1 1 2 x2 x4 lím x l 0 ex ex 2x x sen x lím xl1 xa ax a 1 x 12 lím xl sx2 2 s2x2 1 lím xl1 1 x ln x 1 cos x lím xl0 x tan1 4x lím xl0 x sen x x cos x lím xl0 cos mx cos nx x2 lím x l 0 1 cos x x2 29. lím xl ln x2 x lím x l 0 sen1 x x lím x l 0 sen x x x3 lím t l 0 5 t 3 t t lím x l 0 x sen x x tan x lím x l 0 tanh x tan x CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 305
- 364. 306 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN el arco PR. Sea el área del triángulo PQR. Encuentre . 79. Si es continua, f2 0 y , evalúe 80. ¿Para qué valores de a y b es verdadera la ecuación siguiente? Si es continua, use la regla de l’Hospital para demostrar que Con ayuda de un diagrama explique el significado de esta ecuación. 82. Si es continua, demuestre que 83. Sea (a) Mediante la definición de derivada calcule . (b) Demuestre que f posee derivadas de todos los órdenes que están definidas en . [Sugerencia: primero demuestre por inducción que hay un polinomio y un entero no ne- gativo kn tal que para .] ; 84. Sea (a) Demuestre que f es continua en 0. (b) Investigue en forma gráfica si f es derivable en 0 mediante varios acercamientos al punto 0, 1 de la gráfica de f. (c) Demuestre que f no es derivable en 0. ¿Cómo puede conci- liar este hecho con el aspecto de las gráficas del inciso (b)? f x x x 1 si x 0 si x 0 x 0 f n x pnxf xxkn pnx f 0 f x e1x 2 0 si x 0 si x 0 lím h l 0 f x h 2f x f x h h2 f x f lím hl0 f x h f x h 2h f x f 81. lím xl0 sen 2x x3 a b x2 0 lím xl0 f 2 3x f 2 5x x f 2 7 f P Q R A(¨) B(¨) O ¨ lím l 0 $% B 73. Si una cantidad inicial de dinero se invierte a una tasa de inte- rés r compuesta n veces al año, el valor de la inversión después que transcurren t años es si hace que , lo denomina capitalización continua del interés. Aplique la regla de l’Hospital para demostrar que si el interés se capitaliza de manera continua, por lo tanto el monto después de n años es 74. Si una bola de metal con masa m es arrojada dentro de agua y la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, en tal caso la distancia que recorre la bola en el tiempo t es donde c es una constante positiva. Hallar el 75. Si un campo electroestático E actúa en un dieléctrico líquido o un gas polar, el momento bipolar neto P por unidad de volumen es Demuestre que el . 76. Un cable metálico de radio r y cubierto por un aislante, de tal manera, que la distancia desde el centro del cable al exterior del aislante es R. La velocidad v de un impulso eléctrico en el cable es donde c es una constante positiva. Hallar los limites siguientes e interprete sus respuestas. (a) (b) 77. La primera aparición impresa de la regla de l’Hospital fue en el libro Analyse des Infiniment Petits, publicado por el marqués de l’Hospital en 1696. Fue el primer libro de texto de cálculo alguna vez publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla fue hallar el límite de la fución cuando x tiende a a, donde . (En aquel tiempo era co- mún escribir aa, en lugar de a2 .) Resuelva este problema. 78. En la figura se muestra un sector de un círculo, con ángulo central . Sea el área del segmento entre la cuerda PR y A a 0 y s2a3 x x4 a 3 saax a 4 sax3 lím r l0 v lím R lr v v cr R 2 ln r R límE l 0PE 0 PE eE eE eE eE 1 E límm l st st m c ln cosh tc mt A A0ert n l A A01 r n nt CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 306
- 365. SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 307 La regla de l’Hospital se publicó por primera vez en 1696, en el libro de texto del marqués de l‘Hospital, Analyse des Infiniment Petits, pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de ne- gocios por medio del cual el marqués de l’Hospital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli. Los detalles, incluso una traducción de la carta de l’Hospital a Bernoulli en la que propone el arreglo, se pueden hallar en el libro escrito por Eves [1]. Escriba un informe sobre los orígenes históricos y matemáticos de la regla de l’Hospital. Em- piece por dar breves detalles biográficos de los dos hombres (el diccionario editado por Gillispie [2] es una buena fuente) y describa el trato de negocios entre ellos. A continuación, mencione el enunciado de l’Hospital de su regla, el cual se encuentra en el libro fuente de Struik [4] y, más sintético, en el libro de Katz [3]. Advierta que l’Hospital y Bernoulli formularon la regla geo- métricamente y dieron la respuesta en términos de diferenciales. Compare el enunciado de ellos con la versión de la regla de l’Hospital que se dio en la sección 4.4 y demuestre que, en esencia, los dos enunciados son los mismos. 1. Howard Eves, In Mathematic al Circles (Volumen 2: Cuadrantes III y IV) (Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1969), pp. 20-22. 2. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase el artículo sobre Johann Bernoulli, por E. A. Fellman y J. O. Fleckenstein, en el volumen II y el artículo sobre el marqués de l’Hospital, por Abraham Robinson, en el volumen VIII. 3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Nueva York: Harper Collins, 1993), pp. 484. 4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1969), pp. 315-316. LOS ORÍGENES DE LA REGLA DE L‘HOSPITAL R E DAC C I Ó N D E P R OY E C TO www.stewartcalculus.com La Internet es otra fuente de información para este proyecto. Visite el sitio y haga clic en History of Mathematics. Thomas Fisher Rare Book Library RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS Hasta este momento sólo ha interesado en algunos aspectos particulares del trazo de cur- vas: dominio, intervalo y simetría en el capítulo 1; límites, continuidad y asíntotas en el capítulo 2; derivadas y tangentes en los capítulos 2 y 3, y valores extremos, intervalos de incremento y decremento, concavidad, puntos de inflexión y regla de l’Hospital en este ca- pítulo. Pero ya es tiempo de reunir toda esta información relacionada con la elaboración de gráficas, que revela las características importantes de las funciones. Usted podría preguntar: ¿por qué no usar sólo una calculadora o computadora para dibujar una curva ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo?. Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas. Pero incluso el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligen- te. Como se establece en la sección 1.4: es muy importante elegir un rectángulo de visión adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. Vea en particular los ejemplos 1, 3, 4 y 5 de dicha sección. La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesan- tes de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión, y no sólo en forma aproximada. Por ejemplo, en la figura 4 se presenta la gráfica de . A primera vista parece razonable: tiene la misma forma que las curvas cúbicas como , y parece no tener máximo ni mínimo. Pero si calcula la derivada, se dará cuenta de que hay un máximo cuando x 0.75 y un mínimo cuando x 1. En efecto, si efectúa un acerca- miento a esta parte de la gráfica verá el comportamiento que se ilustra en la figura 2. Sin la herramienta del cálculo, sin dificultad podría pasarlas por alto. En la sección siguiente se elabora la gráfica de funciones recurriendo a la interacción del cálculo y los instrumentos para graficar. En esta sección dibujará gráficas aplicando la y x3 fx 8x3 21x2 18x 2 4.5 FIGURA 1 30 _10 _2 4 y=8˛-21≈+18x+2 FIGURA 2 y=8˛-21≈+18x+2 8 6 0 2 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 307
- 366. información siguiente. No se supone que tenga instrumentos para graficar, pero si usted cuenta con uno, sólo utilícelo para comprobar su trabajo. NORMAS PARA TRAZAR UNA CURVA La lista siguiente es una guía para graficar una curva y fx a mano. Habrá algunas fun- ciones en las que no se apliquen todos los puntos. (Por ejemplo, una curva dada podría no tener una asíntota o no ser simétrica.) Pero las normas proporcionan toda la información que se necesita para elaborar un diagrama que muestre los aspectos más importantes de la función. A. Dominio Con frecuencia es muy útil para determinar el domino D de f, es decir, el con- junto de valores de x para el cual está definida. B. Intersecciones La intersección con el eje y es lo cual señala dónde la curva corta al eje de las y. Para determinar las intersecciones con el eje de las x, hagá y 0 y (determine x. Puede omitir este paso si la ecuación es difícil de resolver.) C. Simetría (i) Si para toda x en D, es decir, la ecuación de la curva no cambia cuando x se reemplaza por , entonces f es una función par y la curva es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que la tarea se reduce a la mitad. Si conoce lo que de la curva se parece a , entonces sólo necesita reflejar con respecto al eje y para obtener la curva completa [véase figura 3(a)]. He aquí algunos ejemplos: y x2 , y x4 y x y y cos x. (ii) Si para toda x en D, entonces f es una función impar y la cur- va es simétrica con respecto al origen. Una vez más, obtega la curva completa si co- noce lo que de la curva se parece . Gire 180° con respecto al origen. Observe la figura 3(b). Algunos ejemplos sencillos de funciones impares son y . (iii) Si para toda x en D, donde p es una constante positiva, enton- ces f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo. Por ejemplo, y sen x tiene un periodo y tiene un periodo p. Si sabe que la gráfica luce como en un intervalo de longitud p, entonces en seguida aplica una tras- lación para dibujar la gráfica completa (véase figura 7). D. Asíntotas (i) Asíntotas horizontales. Según la sección 2.6, si o , entonces la recta y L es una asíntota horizontal de la curva . Si resulta que (o ), entonces no hay una asíntota a la derecha, sino que todavía es información útil para graficar la curva. (ii) Asíntotas verticales. Recuerde que, según la sección 2.2, que la recta x a es una asíntota vertical si por lo menos una de las siguientes proposiciones se cumple: lím x l a fx lím x l a fx lím x l a fx lím x l a fx 1 límx l fx y f x límx l fx L límx l fx L FIGURA 4 Función periódica: simetría por traslación a-p a a+p a+2p x y 0 y tan x 2 fx p fx y sen x y x, y x3 , y x5 x 0 fx f x x 0 x fx f x f0 f x 308 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 3 (a) Función par: simetría por reflexión (b) Función impar: simetría por rotación x y 0 x y 0 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 308
- 367. (En el caso de las funciones racionales, puede localizar las asíntotas verticales igualan- do el denominador a 0 después de anular los factores comunes. Este método no se apli- ca a otras funciones.) Además, al trazar la curva es muy útil conocer exactamente cuál de las proposiciones de (1) se cumple. Si no está definida, pero a es un extremo del dominio de f, entonces es después calcular o , sea este lí- mite infinito o no. (iii) Asíntotas inclinadas. Se tratan al final de la sección. E. Intervalos de incremento o decremento Aplique la prueba . Calcule y determine los in- tervalos en los cuales es positiva, es decir, donde (f sea creciente) y los intervalos en donde sea negativa, (f sea decreciente). F. Valores de los máximos locales y de los mínimos locales Determine los números críticos de f [los números c donde o bien, no existe]. Luego aplique la prueba de la pri- mera derivada. Si pasa de positivo a negativo en un número crítico c, entonces es un máximo local. Si cambia de negativo a positivo en c, entonces es un mínimo local. Por lo regular se prefiere usar la prueba de la primera derivada, pero también se aplica la prueba de la segunda derivada si y . Entonces, significa que es un mínimo local, en tanto que quiere decir que es un máximo local. G. Concavidad y puntos de inflexión Calcule y aplique la prueba de concavidad. La cur- va es cóncava hacia arriba donde y cóncava hacia abajo donde . Los puntos de inflexión se encuentran donde cambia la dirección de la concavidad. H. Trace la curva A partir de la información anterior dibuje la gráfica. Trace las asíntotas co- mo líneas discontinuas. Localice las intersecciones, los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Luego haga que la curva pase por estos puntos, subiendo y bajan- do de acuerdo con E, la concavidad según G y aproxímela a las asíntotas. Si se necesita mayor precisión cerca de algún punto, calcule el valor de la derivada en dicho punto. La tangente indica la dirección en la cual progresa la curva. EJEMPLO 1 Aplique las normas para graficar la curva . A. El dominio es B. Tanto la intersección con el eje x como la intersección con el eje y es 0. C. Puesto que , la función f es par. La curva es simétrica con respecto al eje de las y D. Por lo tanto, la recta y 2 es una asíntota horizontal. Puesto que el denominador es 0 cuando , calcule los límites siguientes: Por lo tanto, las rectas x 1 y x 1 son asíntotas verticales. Esta información re- lacionada con los límites y las asíntotas posibilita el dibujo de la gráfica preliminar en la figura 5, en la que se ilustran las partes de la curva cercanas a las asíntotas. lím x l1 2x2 x2 1 lím x l1 2x2 x2 1 lím x l1 2x2 x2 1 lím x l1 2x2 x2 1 x 1 lím x l 2x2 x2 1 lím x l 2 1 1x2 2 f x f x xx2 1 0
- 368. xx 1
- 369. , 1 1, 1 1, y 2x2 x2 1 V f x 0 f x 0 f x fc f c 0 fc f c 0 f c 0 f c 0 f c f fc f f c f c 0 fx fx fx ID límx l a fx límx l a f x f a SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 309 Se muestra la curva que se acerca a su asínto- ta horizontal desde arriba en la figura 5. Esto se confirma mediante los intervalos de incremento y decremento. FIGURA 5 Trazos preliminares x=1 x=_1 y=2 x y 0 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 309
- 370. E. Puesto que cuando y cuando , es creciente en y y decreciente en 0, 1 y . F. El único número crítico es x 0. Como pasa de positiva a negativa en 0, es un máximo local según la prueba de la primera derivada. G. Como para toda x y . Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba en los in- tervalos y y cóncava hacia abajo en . Carece de punto de inflexión ya que 1 y 1 no están en el dominio de f. H. A partir de la información reunida en E a G termine de trazar la gráfica en la figura 6. EJEMPLO 2 Trace la gráfica de . A. Dominio B. Las intersecciones con los ejes x y y son 0. C. Simetría: ninguna D. Puesto que no hay asíntota horizontal. Como cuando y siempre es positiva y entonces y de este modo la recta x 1 es una asíntota vertical. E. Se ve que cuando . (Observe que no está en el dominio de f), así, el único número crítico es 0. Puesto que cuando y cuando , es decreciente en 1, 0 y creciente en . F. Como y cambia de negativa a positiva en 0, es un mínimo local, (y absoluto), según la prueba de la primera derivada. G. Observe que el denominador es siempre positivo. El numerador es el polinomio cua- drático , que siempre es positivo por que su discriminante es , el cual es negativo, y el coeficiente de x2 es positivo. Por esto, para toda x en el dominio de f, lo cual significa que f es cóncava hacia arri- ba en y no hay punto de inflexión. H. La curva se ilustra en la figura 7. 1, f x 0 b2 4ac 32 3x2 8x 8 f x 2x 132 6x 4 3x2 4x3x 112 4x 13 3x2 8x 8 4x 152 f0 0 f f 0 0 0, f x 0 f x 0 1 x 0 f x 0 4 3 x 0 fx 0 f x 2xsx 1 x2 1(2sx 1) x 1 x3x 4 2x 132 lím x l1 x2 sx 1 fx x l 1 sx 1 l 0 lím x l x2 sx 1 xx 1 0
- 371. xx 1
- 372. 1, f x x2 sx 1 1, 1 1, , 1 f x 0 ? x 1 x 1 ? x2 1 0 ? f x 0 12x2 4 0 f x 4x2 12 4x 2x2 12x x2 14 12x2 4 x2 13 f0 0 f 1, 1, 0 , 1 f x 1 x 0 fx 0 x 1 x 0 f x 0 f x 4xx2 1 2x2 2x x2 12 4x x2 12 310 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 6 Gráfica terminada de y= x=1 x=_1 y=2 x y 0 2≈ ≈-1 FIGURA 7 x=_1 x y 0 œ„„„„ y= ≈ x+1 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 310
- 373. EJEMPLO 3 Grafique . A. El dominio es . B. Las intersecciones con los ejes x y y son 0. C. Simetría: ninguna D. Puesto que x y ex se vuelven grandes cuando , . Como , sin embargo, cuando y de igual manera tiene un producto indeterminado que requiere la aplicación de la regla de l’Hospital: Por lo tanto, el eje x es una asíntota horizontal. E. Como ex es siempre positiva, cuando , y cuando . De tal manera, f es creciente en y decreciente en . F. Debido a que y f pasa de negativo a positivo en , es un mínimo local (y absoluto). G. Como si y si , es cóncava hacia arriba en y cóncava hacia abajo en . El punto de inflexión es . H. Aproveche toda la información para graficar la curva en la figura 8. EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de . A. El dominio es . B. El cruce con y es . El cruce con x sucede cuando , esto es, , donde n es un entero. C. F no es par ni impar, pero para toda x y de este modo f es periódica y tiene periodo 2p. En estos términos, y lo que sigue, necesita considerar únicamente y por lo tanto extender la curva por translación en la parte H. D. Asíntota: ninguna E. Por esto cuando 2 fi fi . De esa manera f es creciente en y decreciente en . F. De la parte E y la prueba de la primera derivada, resulta que el valor del mínimo local es y el valor del máximo local es . G. Si aplica la regla del cociente una vez más y simplifica, obtiene Ya que y para toda x, sabe que cuando , es decir, . De esa manera f es cóncava hacia arriba en y cóncava hacia abajo . Los puntos de reflexión son . p2, 0 y 3p2, 0 0, p2 y 3p2, 2p p2, 3p2 p2 x 3p2 cos x 0 f x 0 1 sen x 0 2 sen x3 0 f x 2 cos x 1 sen x 2 sen x3 f7p6 1s3 f7p6 1s3 0, 7p6 y 11p6, 2p 7p6, 11p6 7p6 x 11p6 sen x 1 2 sen x 1 0 f x 0 fx 2 sen xsen x cos x cos x 2 sen x 2 sen x 1 2 sen x2 0 ! x ! 2p fx 2 f x x 2n 1p2 cos x 0 f 0 1 2 fx cos x 2 sen x 2, 2e2 , 2 2, f x 2 f x 0 x 2 f x 0 f x x 1ex ex x 2ex f1 e1 x 1 f 1 0 , 1 1, x 1 0 fx 0 x 1 0 fx 0 f x xex ex x 1ex lím x l xex lím x l x ex lím x l 1 ex lím x l ex 0 ex l 0 x l límx l xex x l f x xex V SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 311 FIGURA 8 x y 1 _1 _2 y=x´ (_1, _1/e) CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 311
- 374. H. La gráfica de la función restringida a se muestra en la figura 9. Después la extenderá, aplicando periodicidad para completar la gráfica en la figura 10. EJEMPLO 5 Grafique . A. El dominio es B. La intersección con el eje y es . Para determinar la intersección con el eje x hagá Sabe que y así y, por lo tanto, se corta al eje x en . C. Como , es par y la curva es simétrica con respecto al eje de las y. D. Busque asíntotas verticales en los extremos del dominio. Como cuando y también cuando , tiene Por esto, las rectas x 2 y x 2 son asíntotas verticales. E. Puesto que cuando y cuando , es cre- ciente en 2, 0 y decreciente en 0, 2. F. El único número crítico es x 0. Como cambia de positiva a negativa en 0, es un máximo local de acuerdo con la prueba de la primera derivada. G. Como para toda x, la curva es cóncava hacia abajo en 2, 2 y carece de punto de inflexión. H. Por medio de esta información se traza la gráfica de la figura 11. ASÍNTOTAS INCLINADAS Algunas curvas poseen asíntotas que son oblicuas, es decir, ni horizontales ni verticales. Si entonces la recta y mx b se llama asíntota inclinada porque la distancia vertical entre la curva y la recta tiende a 0, como en la figura 12. Una situación y mx b y fx lím x l f x mx b 0 f x 0 f x 4 x2 2 2x2x 4 x2 2 8 2x2 4 x2 2 f0 ln 4 f f 0 x 2 f x 0 2 x 0 fx 0 fx 2x 4 x2 lím x l2 ln4 x2 lím x l2 ln4 x2 x l 2 x l 2 4 x2 l 0 f f x fx s3 4 x2 1 ? x2 3 ln 1 0 y ln4 x2 0 f0 ln 4 x4 x2 0
- 375. xx2 4
- 376. xx 2
- 377. 2, 2 y ln4 x2 FIGURA 9 y x π π 2 1 2 2π 3π 2 ” , ’ 11π 6 1 œ„ 3 - ” 7π 6 1 œ„ 3 , ’ FIGURA 10 y x π _π 1 2 2π 3π 0 ! x ! 2p 312 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN {œ„ 3, 0} {_œ„ 3, 0} FIGURA 11 0 y x x=2 x=_2 (0, ln 4) y=ln(4 -≈) CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 312
- 378. similar existe si . Por lo que se refiere a las funciones racionales, las asíntotas in- clinadas se presentan cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denomi- nador. En tal caso, la ecuación de la asíntota inclinada se determina mediante la división larga como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6 Trace la gráfica de . A. El dominio es . B. Las intersecciones con los ejes x y y son 0. C. Puesto que , es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen. D. Puesto que nunca es 0, no hay asíntota vertical. Como cuando y cuando , no hay asíntota horizontal. Pero junto con la división da cuando Por lo que la recta y x es una asíntota inclinada. E. Puesto que para toda x, excepto para 0, f es creciente en . F. Aunque , no cambia de signo en 0, de modo que no hay máximo local ni mínimo local G. Puesto que cuando o , resulta la tabla siguiente: Los puntos de inflexión son y . H. La gráfica de f se ilustra en la figura 13. (s3, 3 4 s3) (s3, 3 4 s34), 0, 0 x s3 x 0 f x 0 f x 4x3 6xx2 12 x4 3x2 2x2 12x x2 14 2x3 x2 x2 13 f f0 0 , f x 0 f x 3x2 x2 1 x3 2x x2 12 x2 x2 3 x2 12 x l fx x x x2 1 1 x 1 1 x2 l 0 f x x3 x2 1 x x x2 1 x l fx l x l fx l x2 1 f fx f x , fx x3 x2 1 V x l SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 313 FIGURA 12 y=ƒ x y 0 y=mx+b ƒ-(mx+b) FIGURA 13 y=x ”_œ„ 3, _ ’ 3œ„ 3 4 puntos de inflexión y= ˛ ≈+1 x y 0 ”œ„ 3, ’ 3œ„ 3 4 Intervalo x 3 x2 x2 13 fx f x 3 CA en , 3 3 x 0 CAB en 3, 0 0 x 3 CA en 0, 3 x 3 CAB en 3, CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 313
- 379. 314 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 51. 52. 53. En la teoría de la relatividad, la masa de la partícula es donde m0 es la masa en reposo de la partícula, m es la masa cuando la partícula se mueve con rapidez v con respecto al observador, y c es la rapidez de la luz. Dibuje la gráfica de m como una función v. 54. En la teoria de la relatividad, la energía de una partícula es Donde m0 es la masa en reposo de la particula, l es la longitud de onda, y h es la constante de Planck. Dibuje la gráfica de E como una función de l. ¿Qué le dice la gráfica con respecto a la energia? 55. La figura ilustra una viga de longitud L empotrada en paredes de concreto. Si una carga constante W se distribuye proporcional- mente a lo largo de su longitud, la viga adopta la forma de la curva de deflexión donde E e I son constantes positivas. (E es el módulo de elastici- dad de Young e I es el momento de inercia de una sección trans- versal de la viga.) Trace la gráfica de la curva de deflexión. 56. La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción entre dos partículas cargadas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distan- cia entre ellas. La figura muestra partículas con carga 1 ubicadas en las posiciones 0 y 2 sobre una recta de coordenadas y una partícula con carga 1 en una posición x entre ellas. De la ley de Coulomb se infiere que la fuerza neta que actúa sobre la partícula ubicada en el centro es donde k es una constante positiva. Trace la gráfica de la función de la fuerza neta. ¿Qué indica la gráfica acerca de la fuerza? _1 x x +1 2 +1 0 Fx k x2 k x 22 0 x 2 W y 0 L y W 24EI x4 WL 12EI x3 WL2 24EI x2 E sm0 2 c4 h2 c2 l2 m m0 s1 v2 c2 y tan1 x 1 x 1 y e3x e2x 1–52 Aplique las normas de esta sección para graficar la curva. 1. 2. 3. 4. 6. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. , 34. , 35. , 36. , 37. 38. 39. 40. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. y x2 3ex y xex 2 y ln x x2 y lnsen x y lnx2 3x 2 y 1 ex 2 y ex x y x ln x y e2 x ex y 11 ex 41. 0 x 2 y ex sen x y esen x y sen x 2 cos x y sen x 1 cos x 0 x 2 y sec x tan x 0 x 3 y 1 2 x sen x 2 x 2 y 2x tan x 2 x 2 y x tan x 33. y x cos x y 3 sen x sen3 x y s 3 x3 1 y s 3 x2 1 y x53 5x23 y x 3x13 y x sx2 1 y s1 x2 x y xs2 x2 y x sx2 1 y sx2 x x y sx2 x 2 y 2sx x y xs5 x 19. y x x3 1 y x2 x2 3 y 1 1 x 1 x2 y x 1 x2 y x2 x2 9 y x x2 9 y x x2 9 y 1 x2 9 y x2 4 x2 2x y x x 1 9. y 4 x2 5 y 2x5 5x2 1 y xx 23 y x4 4x3 5. y 8x2 x4 y 2 15x 9x2 x3 y x3 6x2 9x y x3 x EJERCICIOS 4.5 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 314
- 380. SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 315 68. Demuestre que la curva tiene dos asíntotas in- clinadas: y . Aproveche este hecho para graficar la curva. 69. Demuestre que las rectas y son asín- totas inclinadas de la hipérbola . 70. Sea . Demuestre que Esto muestra que la gráfica de f tiende a la gráfica de y x2 , y decimos que la curva es asintótica a la parábola y x2 . A partir de este hecho trace la gráfica de f. 71. Analice el comportamiento asintótico de de la misma manera que en el ejercicio 70. Utilice después sus re- sultados para trazar la gráfica de f. 72. A partir del comportamiento asintótico de trace la gráfica sin recurrir al procedimiento de graficación de curvas que se estudia en esta sección. f x cos x 1x2 f x x4 1x y f x lím x l f x x2 0 f x x3 1x x2 a2 y2 b2 1 y bax y bax y x 2 y x 2 y sx2 4x 57–60 Determine una ecuación de la asíntota inclinada. No grafi- que la curva. 58. 59. 60. 61–66 Por medio de las normas de esta sección grafique la curva. En la norma D encuentre una ecuación de la asíntota inclinada. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. Demuestre que la curva tiene dos asíntotas inclinadas: y . Aproveche este hecho para graficar la curva. y x 2 y x 2 y x tan1 x y x 13 x 12 y 2x3 x2 1 x2 1 y ex x xy x2 4 y x2 12 x 2 y 2x2 5x 1 2x 1 y 5x4 x2 x x3 x2 2 y 4x3 2x2 5 2x2 x 3 y 2x3 x2 x 3 x2 2x y x2 1 x 1 57. TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS El método empleado en la sección anterior para trazar curvas fue la culminación de gran parte del estudio del cálculo diferencial que llevó a cabo. La gráfica fue el objeto final que se genera. En esta sección el punto de vista es totalmente distinto. En este caso empieza con una gráfica generada por una calculadora graficadora o una computadora y después la afina. Usará el cálculo con objeto de asegurarse que revela todos los aspecto importantes de la curva. Y con el uso de aparatos graficadores abordará curvas que serían demasiado complicadas de considerar sin la tecnología. El tema es la interacción entre el cálculo y las calculadoras. EJEMPLO 1 Dibuje el polinomio . Use las gráficas de f y f para estimar todos los puntos máximos y mínimos así como los intervalos de concavidad. SOLUCIÓN Si especifica un dominio pero no un intervalo, muchos dispositivos graficado- res deducirán un intervalo apropiado a partir de los valores que se calculan. La figura 1 muestra el trazo de uno de esos aparatos si especifica que . Si bien este rectángulo de visualización resulta útil para demostrar que el comportamiento asintótico (o comportamiento en los extremos) es el mismo para , es evidente que oculta algunos detalles más finos. De manera que cambie el rectángulo de visualización por que se ilustra en la figura 2. A partir de esta gráfica, parece que hay un valor mínimo absoluto de más o menos 3 cuando (mediante el uso del cursor) y que f es decreciente sobre y creciente sobre . Parece, asimismo, que hay una tangente hori- zontal en el origen y puntos de inflexión cuando x 0 y cuando x está en alguna parte entre 2 y 1. Ahora intente confirmar estas impresiones mediante el cálculo. Derive y obtenga f x 60x4 60x3 18x 4 fx 12x5 15x4 9x2 4x 1.62, , 1.62 x 1.62 15.3 50, 100 3, 2 y 2x6 5 x 5 f x 2x6 3x5 3x3 2x2 4.6 Si no ha leído la sección 1.4, debe hacerlo ahora. En particular, en esa sección se explica cómo evitar algunas de las trampas que se en- cuentran al usar los aparatos graficadores, si se eligen rectángulos de visualización apropiadas. FIGURA 1 FIGURA 2 100 _50 _3 2 y=ƒ 41 000 _1000 _5 5 y=ƒ CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 315
- 381. Cuando trace la gráfica de f de la figura 3, verá que fx cambia de negativa a positiva cuando ; esto confirma (por la prueba de la primera derivada) el valor mínimo encontrado al principio. Pero, quizá para sorpresa, advierta también que fx cambia de positiva a negativa cuando x 0, y de negativa a positiva cuando . Esto significa que f tiene un máximo local en 0 y un mínimo local cuando , pero éstos se en- contraban escondidos en la figura 2. En efecto, si ahora se acerca al origen en la figura 4, verá lo que no había percibido antes: un valor máximo relativo de 0 cuando x 0 y un valor mínimo local de casi 0.1 cuando . ¿Qué decir acerca de la concavidad y los puntos de inflexión? Por las figuras 2 y 4 parece haber puntos de inflexión cuando x está un poco a la izquierda de 1 y cuando x está un poco a la derecha de 0. Pero es difícil determinar los puntos de inflexión a partir de la gráfica de f, de modo que dibuje la segunda derivada de f en la figura 5. f cambia de positiva a negativa cuando y de negativa a positiva cuando . Así, correcto hasta dos cifras decimales, f es cóncava hacia arriba sobre y y cóncava hacia abajo sobre 1.23, 0.19. Los puntos de inflexión son 1.23, 10.18) y 0.19, 0.05. Ha descubierto que ninguna gráfica por sí sola revela todas las características im- portantes de este polinomio. Pero las figuras 2 y 4, tomadas en conjunto, proporcionan una imagen exacta. EJEMPLO 2 Dibuje la función en un rectángulo de visualización que contenga todas las características importantes de la función. Estime los valores máximos y mínimos y los intervalos de concavidad. A conti- nuación, aplique el cálculo para determinar estas cantidades exactas. SOLUCIÓN La figura 6, producida por una computadora con establecimiento automático de escala, es un desastre. Algunas calculadoras graficadoras usan 10, 10 por 10, 10 como rectángulos de visualización predeterminada, de modo que inténtelo. Obtendra la gráfica que se muestra en la figura 7, una mejora importante. El eje y parece ser una asíntota vertical y lo es porque La figura 7 también permite estimar las intersecciones con el eje x: alrededor de 0.5 y 6.5. Los valores exactos se obtienen con la fórmula cuadrática para resolver la ecuación ; obtiene . Para mirar mejor las asíntotas horizontales, cambie el rectángulo de visualización 20, 20 por 5, 10 de la figura 8. Parece que y 1 es la asíntota horizontal y es- to se confirma con facilidad: lím x l x2 7x 3 x2 lím x l 1 7 x 3 x2 1 x (7 s37)2 x2 7x 3 0 lím x l 0 x2 7x 3 x2 f x x2 7x 3 x2 V 0.19, , 1.23 x 0.19 x 1.23 x 0.35 x 0.35 x 0.35 x 1.62 316 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 20 _5 _3 2 y=fª(x) FIGURA 3 1 _1 _1 1 y=ƒ FIGURA 4 10 _30 _3 2 y=f·(x) FIGURA 5 3 10!* _5 5 y=ƒ FIGURA 6 10 _10 _10 10 y=ƒ FIGURA 7 10 _5 _20 20 y=ƒ y=1 FIGURA 8 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 316
- 382. Para estimar el valor mínimo, acerque el rectángulo de visualización 3, 0 por 4, 2 de la figura 9. El cursor indica que el valor mínimo absoluto es alrededor de 3.1, cuando , y que la función decrece en y , mientras que crece sobre 0.9, 0. Los valores exactos se obtienen al derivar: Esto hace ver que cuando y cuando cuando . El valor mínimo exacto es . La figura 9 también muestra que se presenta un punto de inflexión en alguna parte entre y . Podrá estimarlos con mucho más exactitud si usa la gráfica de la segunda derivada, pero en este caso es igual de fácil hallar los valores exactos. Puesto que resulta que cuando . De modo que f es cóncava hacia arriba sobre y y cóncava hacia abajo sobre . El punto de inflexión es . El análisis que usa las dos primeras derivadas hace ver que las figuras 7 y 8 exhiben todos los aspectos importantes de la curva. EJEMPLO 3 Dibuje la función . SOLUCIÓN Si recurre a su experiencia con una función racional del ejemplo 2, empiece por dibujar f en el rectángulo de visualización 10, 10 por 10, 10 . Con base en la figura 10, parece que necesita acercar para ver un detalle más fino y alejarse para ver la imagen más grande. Pero, como guía para realizar acercamientos o alejamientos inteli- gentes, primero observe con más cuidado la expresión de fx. Debido a la existencia de los factores x 22 y x 44 en el denominador, espere que x 2 y x 4 sean las asíntotas verticales. En efecto y Para hallar las asíntotas horizontales, divida numerador y denominador entre x6 : Muestra que fx S 0 cuando x S de modo que el eje de las x es la asíntota horizontal. Asimismo, es muy útil considerar el comportamiento de la gráfica cerca de la inter- sección con el eje de las x recurriendo a un análisis como el del ejemplo 11 en la sec- ción 2.6. Como x2 es positivo, fx no cambia de signo en 0 y, de este modo, su gráfica no cruza el eje x en 0. Pero en virtud del factor x 13 , la gráfica cruza el eje x en 1 y tiene una tangente horizontal allí. Si reúne toda esta información sin usar las derivadas, la curva tiene que parecerse a la figura 11. x2 x 13 x 22 x 44 x2 x3 x 13 x3 x 22 x2 x 44 x4 1 x 1 1 x 3 1 2 x 2 1 4 x 4 lím x l 4 x2 x 13 x 22 x 44 lím x l2 x2 x 13 x 22 x 44 f x x2 x 13 x 22 x 44 V ( 9 7, 71 27 ) ( , 9 7 ) 0, ( 9 7, 0) x 0 x 9 7 f x 0 f x 14 x3 18 x4 27x 9 x4 x 2 x 1 f ( 6 7 ) 37 12 3.08 x 0 x 6 7 fx 0 6 7 x 0 fx 0 f x 7 x2 6 x3 7x 6 x3 0, , 0.9 x 0.9 SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 317 _4 _3 0 y=ƒ FIGURA 9 2 10 _10 _10 10 y=ƒ FIGURA 10 FIGURA 11 x y 1 2 3 _1 4 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 317
- 383. Ahora que sabe qué buscar, acérquese varias veces para producir las gráficas de las figuras 12 y 13; también aléjese varias veces para lograr la figura 14. A partir de estas gráficas lea que el mínimo absoluto es alrededor de 0.02 y se tiene cuando . También hay un máximo local cuando y un mínimo local cuando . Asimismo, estas gráficas muestran puntos de inflexión cerca de 35, 5 y 1, y dos entre 1 y 0. Para estimar mejor los puntos de inflexión, necesita dibujar f, pero calcular esta segunda derivada a mano es una tarea irrazonable. Si cuenta con un sistema de cómputo algebraico es fácil (véase el ejercicio 15). Queda claro que para esta función en particular, se necesitan tres gráficas (figuras 12, 13 y 14) a fin de reunir toda la información útil. La única manera de exhibir todas es- tas características de la función en una gráfica es dibujarla a mano. A pesar de las exage- raciones y las distorsiones, la figura 11 es útil para resumir la naturaleza esencial de la función. EJEMPLO 4 Dibuje la función . Para , estime todos los valores máximos y mínimos, los intervalos de incremento y decremento, y los puntos de inflexión, correctos a una cifra decimal. SOLUCIÓN En primer lugar, observe que f es periódica con periodo 2p. Además, f es impar y para todo x. De modo que la selección de un rectángulo de visua- lización no es un problema para esta función: empiece con por . (Véase la figura 15.) Parece que existen tres valores máximos locales y dos valores mínimos locales en esa ventana. Para confirmar esto y localizarlos con más exactitud, calcule que y dibuje f y f en la figura 16. f x cosx sen 2x 1 2 cos 2x 1.1, 1.1 0, fx 1 0 x fx senx sen 2x x 2.5 211 x 0.3 0.00002 x 20 318 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 0.05 _0.05 _100 1 y=ƒ FIGURA 12 0.0001 _0.0001 _1.5 0.5 y=ƒ FIGURA 13 500 _10 _1 10 y=ƒ FIGURA 14 1.1 _1.1 0 FIGURA 15 1.2 _1.2 0 π π y=ƒ y=fª(x) FIGURA 16 La familia de funciones donde es una constante, se encuentra en aplicaciones a la síntesis de modulación de frecuencia (FM). Una onda senoidal se modula por medio de una onda con frecuencia diferente . En el ejemplo 4 se estudia el caso en que . En el ejercicio 25 se examina otro caso especial. c 2 sen cx c f x senx sen cx CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 318
- 384. Con el acercamiento y la prueba de la primera derivada, resultan los valores aproximados siguientes hasta una cifra decimal. Intervalos de crecimiento: 0, 0.6, 1.0, 1.6, 2.1, 2.5 Intervalos de decrecimiento: 0.6, 1.0, 1.6, 2.1, 2.5, p Valores máximos locales: f0.6 1, f1.6 1, f2.5 1 Valores mínimos locales: f1.0 0.94, f2.1 0.94 La segunda derivada es Si dibuja f y f en la figura 17, obtiene los valores aproximados siguientes: Luego de comprobar que la figura 15 representa f con exactitud en , puede decir que la gráfica extendida de la figura 18 representa f con exactitud en . El ejemplo final se relaciona con las familias de funciones. De acuerdo con la sección 1.4, esto quiere decir que las funciones de la familia se relacionan entre sí mediante una fórmu- la que contiene una o más constantes arbitrarias. Cada valor de la constante impulsa a un miembro de la familia, y la idea es ver cómo la gráfica de la función cambia cuando la constante se modifica. EJEMPLO 5 ¿Cómo varía la gráfica de al cambiar c? SOLUCIÓN Las gráficas de las figuras 19 y 20 (los casos especiales c 2 y c 2) mues- tran dos curvas muy distintas. Antes de dibujar más gráficas, vea qué tienen en común los miembros de esta familia. Puesto que para cualquier valor c, todos tienen el eje x como asíntota horizontal. Se tendrá una asín- tota vertical cuando . Si se resuelve esta ecuación cuadrática, se obtiene . Cuando , no hay asíntota vertical (como en la figura 19). Cuan- do c 1, la gráfica tiene una sola asíntota vertical x 1 porque Cuando , se tienen dos asíntotas verticales: (como en la fi- gura 20). Ahora, calcule la derivada: Esto hace ver que f(x) 0 cuando x 1 (si ), cuando , y cuando . Para , esto significa que f crece sobre y decre- , 1 c 1 x 1 fx 0 x 1 f x 0 c 1 fx 2x 2 x2 2x c2 x 1 s1 c c 1 lím x l1 1 x2 2x 1 lím x l1 1 x 12 c 1 x 1 s1 c x2 2x c 0 lím x l 1 x2 2x c 0 f x 1x2 2x c V 2 x 2 0 x Puntos de inflexión: 0, 0, 0.8, 0.97, 1.3, 0.97, 1.8, 0.97, 2.3, 0.97 Cóncava hacia abajo sobre: 0, 0.8, 1.3, 1.8, 2.3, Cóncava hacia arriba sobre: 0.8, 1.3, 1.8, 2.3 f x 1 2 cos 2x2 senx sen 2x 4 sen 2x cosx sen 2x SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 319 1.2 _1.2 0 π f f · FIGURA 17 1.2 _1.2 _2π 2π FIGURA 18 FIGURA 19 c=2 y= 1 ≈+2x+2 2 _2 _5 4 FIGURA 20 c=_2 2 _2 _5 4 y= 1 ≈+2x-2 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 319
- 385. ce sobre . Para hay un valor máximo absoluto . Para , es un valor máximo local y los intervalos de incremento y de decremento se interrumpen en las asíntotas verticales. La figura 21 es una “presentación de transparencias” en que se exhiben cinco miem- bros de la familia, todos con sus gráficas en el rectángulo de visualización 5, 4 por 2, 2 . Como se predijo, c 1 es el valor en que ocurre la transición de dos asíntotas verticales a una y, a continuación, a ninguna. A medida que c crece a partir de 1, el punto máximo se vuelve más bajo; esto se explica por el hecho que cuando . Cuando c decrece a partir de 1, las asíntotas verticales se separan cada vez más porque la distancia entre ellas es , la cual aumenta a medida que . Una vez más, el punto máximo se aproxima al eje x porque cuando . Es evidente que no hay punto de inflexión cuando . Para calcula que y deduce que se tiene punto de inflexión cuando . De modo que los puntos de inflexión se extienden al crecer c y esto parece plausible por lo que se ve en las dos últimas partes de la figura 21. x 1 s3c 13 f x 23x2 6x 4 c x2 2x c3 c 1 c 1 c l 1c 1 l 0 c l 2s1 c c l 1c 1 l 0 f 1 1c 1 c 1 1c 1 f 1 c 1 1, 320 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN c=3 c=2 c=1 c=0 c=_1 FIGURA 21 La familia de funciones ƒ=1/(≈+2x+c) 9–10 Elabore gráficas de f que revelen todos los aspectos importan- tes de la curva. Estime los intervalos de incremento y de decremen- to, los intervalos de concavidad y aplique el cálculo para hallar con exactitud estos intervalos. 9. 10. 11–12 (a) Grafique la función. (b) Aplique la regla de l’Hospital para explicar el comportamiento cuando . (c) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavidad. Luego, mediante cálculo determine los valores exactos. 12. f x xe1x f x x2 ln x 11. x l 0 f x 1 x8 2 108 x4 f x 1 1 x 8 x2 1 x3 1–8 Trace gráficas de f que revelen todos los aspectos importantes de la curva. En particular, use gráficas de f y f para estimar los intervalos de incremento y de decremento, los valores extremos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. , 8. f x ex x2 9 4 x 4 f x x2 4x 7 cos x f x tan x 5 cos x f x x x3 x2 4x 1 f x x2 1 40x3 x 1 f x x6 10x5 400x4 2500x3 f x x6 15x5 75x4 125x3 x f x 4x4 32x3 89x2 95x 29 ; EJERCICIOS 4.6 Vea la animación de la figura 21 en Visual 4.6. TEC CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 320
- 386. SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 321 inflexión. A continuación trace la gráfica de f en el rectángulo de visualización 2p, 2p por 1.2, 1.2 y haga comentarios en cuanto a la simetría. 26–33 Describa cómo cambia la gráfica de f conforme varía c. Trace la gráfica de varios miembros de la familia para ilustrar las tenden- cias que descubra. En particular, deberá investigar cómo se mueven los puntos máximos y mínimos y los puntos de inflexión cuando cam- bia c. Debe, asimismo, identificar cualesquiera valores de transición de c en los cuales cambie la forma básica de la curva. 26. 27. 28. 29. 32. 33. La familia de funciones , donde a, b y C son números positivos y , se ha utilizado para modelar la concentración de un medicamento administrado por vía intravenosa en el instante t 0. Trace la gráfica de varios miembros de esta familia. ¿Qué tienen en común? Para valo- res fijos de C y a, descubra en forma gráfica qué sucede a medida que b crece. Enseguida aplique el cálculo para probar lo que ha descubierto. 35. Investigue la familia de curvas dada por , donde c es un número real. Empiece por calcular los límites de . Identifique los valores de la transición de c donde cambia la forma básica. ¿Qué sucede con los puntos máximo y mínimo y los puntos de inflexión cuando se modifica c? Ilustre mediante gráficas de varios miembros de la familia. 36. Investigue la familia de curvas dadas por la ecuación f(x) x4 cx2 x. Empiece por determinar el valor de tran- sición de c en los cuales cambia el número de los puntos de in- flexión. Luego trace la gráfica de varios miembros de la familia con el fin de observar cuáles formas son posibles. Existe otro valor de transición de c en el cual cambia la cantidad de núme- ros críticos. Trate de descubrirlo en forma gráfica. En seguida, demuestre lo que descubrió. 37. (a) Investigue la familia de polinomios dada por la ecuación f(x) cx4 2x2 1. ¿Para qué valores de c tiene puntos mínimos la curva? (b) Demuestre que los puntos mínimo y máximo de cada curva de la familia se encuentran sobre la parábola y 1 x2 . Ilustre trazando la gráfica de esta parábola y de varios miembros de la familia. 38. (a) Investigue la familia de polinomios dada por la ecuación . ¿Para qué valores de c la curva tiene puntos máximos y mínimos? (b) Demuestre que los puntos mínimo y máximo de cada curva de la familia se encuentran sobre la curva y x x3 . Ilus- tre dibujando esta curva y varios miembros de la familia. f x 2x3 cx2 2x x l f x xecx b a f t Ceat ebt 34. f x cx sen x f x 1 1 x2 2 cx2 f x cx 1 c2 x2 31. f x lnx2 c 30. f x ecx 2 f x x2 sc2 x2 f x x4 cx2 f x x3 cx 13–14 Dibuje a mano la gráfica utilizando las asíntotas y las inter- secciones, pero no las derivadas. Enseguida use su dibujo como guía para producir gráficas (con un aparato graficador) que exhiba las características importantes de la curva. Utilice estas gráficas pa- ra estimar los valores máximos y mínimos. 14. 15. Si f es la función considerada en el ejemplo 3, use un sistema algebraico para computadora para calcular f y dibújela para confirmar que todos los valores máximos y mínimos son como los que se dan en el ejemplo. Calcule f y úsela para estimar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. 16. Si f es la función del ejercicio 14 encuentre f y f y use sus gráficas para estimar los intervalos de incremento y decremento y la concavidad de f. 17–22 Use un sistema algebraico para computadora para dibujar f y hallar f y f. Utilice las gráficas de estas derivadas para estimar los intervalos de incremento y decremento, los valores máximos, los valores extremos, los intervalos de concavidad y los puntos de infle- xión de f. 17. 18. 19. , 20. 21. 22. 23–24 (a) Grafique la función. (b) Explique la forma de la gráfica mediante el cálculo del límite cuando o cuando . (c) Estime los valores máximo y mínimo, y luego, mediante cálculo, determine los valores exactos. (d) Utilice una gráfica de para estimar las coordenadas x de los puntos de inflexión. 24. 25. En el ejemplo 4 se consideró un miembro de la familia de fun- ciones que se presentan en la síntesis de frecuencia modulada (FM). En este ejercicio investigue la función para c 3. Empiece por dibujar f en el rectángulo de visualización 0, p por 1.2, 1.2 ¿Cuántos puntos máximos locales observa? La gráfica tiene más que son visibles a simple vista. Para descubrir los puntos máximos y mínimos ocultos necesitará analizar con mucho cuidado la gráfica de f. De hecho, ayuda mirar al mismo tiempo la gráfica de f. Encuentre todos los valores máximos y mínimos así como los puntos de f x senx sen cx f x sen xsen x f x x1x 23. f x l x l 0 CAS f x 1 1 etan x f x 1 e1x 1 e1x f x x2 1earctan x x 20 f x sx 5 sen x f x x2/3 1 x x4 f x sx x2 x 1 CAS CAS CAS f x 2x 32 x 25 x3 x 52 f x x 4x 32 x4 x 1 13. CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 321
- 387. 322 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Los métodos para hallar valores extremos aprendidos en este capítulo tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los cos- tos y maximizar las utilidades. El principio de Fermat, en óptica, afirma que la luz sigue la trayectoria que le toma menos tiempo. En esta sección y en la siguiente resolverá pro- blemas como los de maximizar áreas, volúmenes y utilidades, y minimizar distancias, tiempos y costos. En la solución de esos problemas prácticos, el desafío más grande suele ser convertir el problema en palabras en un problema matemático de optimización, establecer la función que debe maximizarse o minimizarse. Recuerde los principios de solución de problemas que se analizaron en la página 76 y adaptelos a esta situación: PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. Comprenda el problema El primer paso es leer el problema con cuidado, hasta que se entienda con claridad. Hágase las preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades dadas? ¿Cuáles son las condiciones dadas? 2. Dibuje un diagrama En la mayor parte de los problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas. 3. Introduzca notación Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar (llámela Q por ahora). Asimismo, seleccione símbolos para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos sugerentes; por ejemplo, A para el área, h para altura y t pa- ra el tiempo. 4. Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso 3. 5. Si en el paso 4 Q se ha expresado como función de más de una variable, utilice la información dada para hallar correspondencias (en la forma de ecuaciones) entre estas variables. Enseguida, use estas ecuaciones para eliminar todas las variables, excepto una, en la expresión para Q. De esta suerte, Q se expresará como función de una variable x, por ejemplo, Q f(x). Escriba el dominio de esta función. 6. Aplique los métodos de las secciones 4.1 y 4.3 para hallar el valor máximo o el míni- mo absolutos de f. En particular, si el dominio de f es un intervalo cerrado, después se puede utilizar el método del intervalo cerrado de la sección 4.1. EJEMPLO 1 Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? SOLUCIÓN Para tener idea de lo que ocurre en este problema, experimente con algunos casos especiales. En la figura 1 se muestran (no a escala) tres maneras posibles de emplear los 2400 pies de cerca. a, b, c, . . . , x, y 4.7 FIGURA 1 100 2200 100 Área=100 · 2200=220 000 pies@ 700 1000 700 Área=700 · 1000=700 000 pies@ 1000 400 1000 Área=1000 · 400=400 000 pies@ Comprenda el problema Analogía. Intente casos especiales Dibuje diagramas CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 322
- 388. Cuando intenta cercar campos poco profundos y anchos, o profundos y anchos, obtiene áreas más o menos pequeñas. Parece que existe alguna configuración intermedia que produce al área más grande. En la figura 2 se ilustra el caso general. Desea maximizar el área A del rectángulo. Sean x y y la profundidad y el ancho del campo (en pies). Enseguida exprese A en términos de x y y: Quiere expresar A como expresión sólo de una variable, de modo que elimina y al expre- sarla en términos de x. Para llevar a cabo esto, usa la información dada de que la longitud total de la cerca es 2400 pies. Por esto. A partir de esta ecuación , lo cual da Observe que 0 y (de lo contrario ). De manera que la función que desea maximizar es La derivada es , de suerte que para encontrar los números críticos re- suelve la ecuación lo cual da x 600. El valor máximo de A debe ocurrir en este número o en uno de los puntos extremos del intervalo. Como A(0) 0, A(600) 720 000 y A(1200) 0, el método del intervalo cerrado da el valor máximo como A(600) 720 000. De modo alternativo, podría ver que para todo x, de modo que A siempre es cóncava hacia abajo y el máximo local en x 600 debe ser un máximo absoluto. En estos términos, el campo rectangular debe tener 600 pies de profundidad y 1200 pies de ancho. EJEMPLO 2 Se va a fabricar una lata para que contenga 1 L de aceite. Halle las di- mensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata. SOLUCIÓN Dibuje el diagrama como el de la figura 3, donde r es el radio y h la altura (ambos en cm). Para minimizar el costo del metal, minimice el área superficial total del cilindro (tapa, fondo y lados). A partir de la figura 4, observe que los lados se fabrican de una lámina rectangular con dimensiones , y h de manera que el área superficial es Para eliminar h, aplique el hecho de que se da el volumen como de 1 L, lo cual to- mamos como 1000 cm3 . Por lo tanto lo cual da . Si se sustituye esto en la ecuación para A, se tiene A 2 r2 2 r1000 r2 2 r2 2000 r h 1 000 r2 r2 h 1000 A 2 r2 2 rh 2 r V Ax 4 0 2400 4x 0 Ax 2 400 4x 0 x 1200 Ax 2400x 2x2 A 0 x 1 200 x A x2400 2x 2400x 2x2 y 2400 2x 2x y 2400 A xy SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 323 x y A x FIGURA 2 Introduzca notación FIGURA 3 r h r Área 2{πr@} FIGURA 4 Área (2πr)h 2πr h CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 323
- 389. Por lo tanto, la función que desea minimizar es Para hallar los números críticos derive Entonces, A(r) 0 cuando , de modo que el único número crítico es . Como el dominio de A es , no puede aplicar el argumento del ejemplo 1 relativo a los puntos extremos; pero observe que para y para , por lo que A es decreciente para todo r a la izquierda del número crítico y creciente para todo r a la derecha. De este modo, debe dar lugar a un mínimo absoluto. Como otra posibilidad podría argumentar que cuando y cuando , de manera que debe haber un valor mínimo de A(r), el cual tiene que ocurrir en el número crítico. Véase la figura 5. El valor de h correspondiente a es En estos términos, a fin de minimizar el costo de la lata, el radio debe ser cm, y la altura debe ser igual al doble del radio; a saber, el diámetro. El argumento que se usó en el ejemplo 2 para justificar el mínimo absoluto es una variante de la prueba de la primera derivada (la cual sólo se aplica a los valores máxi- mos o mínimos locales) y se enuncia a continuación para referencia futura: PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS Suponga que c es un número crítico de una función continua f definida sobre un intervalo. (a) Si para toda y para toda , entonces fc es el valor máximo absoluto de f. (b) Si para toda y para toda , fc es el valor mí- nimo absoluto de f. Otro método para resolver problemas de optimización consiste en usar la deri- vación implícita. Vea el ejemplo 2 una vez más para ilustrar el método. Trabaje con las mismas ecuaciones Pero en vez de eliminar h, derive las dos ecuaciones implícitamente con respecto a r El mínimo se presenta en un número crítico, de tal suerte que A 0, simplifique y llegue a las ecuaciones y al restar, da , o bien . h 2r 2r h 0 2h rh 0 2r h rh 0 2 rh r2 h 0 A 4 r 2 h 2 rh r2 h 100 A 2 r2 2 rh NOTA 2 x c fx 0 x c f x 0 x c f x 0 x c f x 0 NOTA 1 s 3 500 h 1000 r2 1000 500 23 2 3 500 2r r s 3 500 r l Ar l r l 0 Ar l r s 3 500 r s 3 500 Ar 0 r s 3 500 Ar 0 0, r s 3 500 r3 500 Ar 4 r 2000 r2 4 r3 500 r2 r 0 Ar 2 r2 2000 r 324 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN En el proyecto de aplicación que se presenta en la página 333 se investiga la for- ma más económica para una lata tomando en cuenta otros costos de fabricación. r y 0 10 1000 y=A(r) FIGURA 5 En Module 4.7 podrá ver seis pro- blemas de optimización adicionales, in- cluyendo animaciones de las situaciones físicas. TEC CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 324
- 390. EJEMPLO 3 Encuentre el punto sobre la parábola y2 2x más cercano al punto (1, 4). SOLUCIÓN La distancia entre el punto (1, 4) y el punto (x, y) es (Véase la figura 6.) Pero si (x, y) se encuentra sobre la parábola, entonces , de modo que la expresión para d se convierte en (Como otra opción pudo sustituir para obtener d en términos de sólo x.) En lugar de minimizar d, minimice su cuadrado: (Convénzase por usted mismo que el mínimo de d se tiene en el mismo punto que el mí- nimo de , pero es más fácil trabajar con este último.) Al derivar, obtiene de modo que f(y) 0 cuando y 2. Observe que cuando y cuando , de suerte que por la prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos, se presenta el mínimo absoluto cuando y 2. (O podría decir que, debido a la naturaleza geométrica del problema, es obvio que existe un punto lo más próximo, pe- ro no un punto que esté lo más alejado.) El valor correspondiente de 2. Por esto, el punto de y2 2x más cercano a (1, 4) es (2, 2). EJEMPLO 4 Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribe- ra opuesta, tan rápido como le sea posible (véase la figura 7). Podría remar en su bote, cruzar directamente el río hasta el punto C y correr hasta B, o podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B, y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 kmh y correr a 8 kmh, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? (Suponga que la rapidez del agua es insignificante comparada con la rapidez a la que rema el hombre.) SOLUCIÓN Sea x la distancia de C hasta D, entonces la distancia por correr es ; el teorema de Pitágoras da la distancia por remar como . Utilice la ecuación Por lo tanto el tiempo que tiene que remar es y el que debe correr es (8 x)8, de modo que el tiempo total T, como función de x, es El dominio de esta función t es 0, 8 . Advierta que si x 0, el hombre rema hacia C y si x 8 rema directamente hacia B. La derivada de T es Tx x 6sx2 9 1 8 Tx sx2 9 6 8 x 8 sx2 96 tiempo distancia velocidad AD sx2 9 DB 8 x x 1 2 y2 y 2 fy 0 y 2 fy 0 fy 2(1 2 y2 1)y 2y 4 y3 8 d2 d2 f y (1 2 y2 1)2 y 42 y s2x d s(1 2 y2 1)2 y 42 x 1 2 y2 d sx 12 y 42 V SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 325 x y 0 1 1 2 3 4 ¥=2x (1, 4) (x, y) FIGURA 6 8 km C D B A 3 km FIGURA 7 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 325
- 391. De este modo, si se aplica el hecho de que El único número crítico es . Para ver si el mínimo se presenta en este número crítico o en uno de los puntos extremos del dominio 0, 8 , evalúe T en los tres puntos: Dado que el valor menor de estos valores de T se tiene cuando , el valor mí- nimo absoluto de T debe tenerse allí. En la figura 8 se ilustra este cálculo con la gráfica de T. Por esto el hombre debe atracar en un punto km ( km) corriente abajo del punto de partida. EJEMPLO 5 Encuentre el área del rectángulo más grande que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio r. SOLUCIÓN 1 Tome la semicircunferencia como la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen. Entonces la palabra inscrito significa que el rectángulo tiene dos de sus vértices sobre la semicircunferencia y los otros dos sobre el eje x, como se muestra en la figura 9. Sea (x, y) el vértice que se encuentra en el primer cuadrante. En tal caso el rectángu- lo tiene lados de longitudes 2x y y, de manera que su área es Para eliminar y, aproveche que se encuentra sobre la circunferencia por consiguiente . De esta forma El dominio de esta función es . Su derivada es la cual es 0 cuando 2x2 r2 ; es decir (ya que ). Este valor de x da un valor máximo de A, porque y . Por lo tanto, el área del rectángulo ins- crito más grande es SOLUCIÓN 2 Es posible una solución más sencilla si usa un ángulo como variable. Sea u el ángulo que se ilustra en la figura 10. Despues el área del rectángulo es A 2r cosr sen r2 2 sen cos r2 sen 2 A r s2 2 r s2 r2 r2 2 r2 Ar 0 A0 0 x 0 x rs2 A 2sr2 x2 2x2 sr2 x2 2r2 2x2 sr2 x2 0 x r A 2xsr2 x2 y sr2 x2 x2 y2 r2 x, y A 2xy x2 y2 r2 V 3.4 9s7 x 9s7 T8 s73 6 1.42 T 9 s7 1 s7 8 1.33 T0 1.5 x 9s7 x 9 s7 ? 7x2 81 ? 16x2 9x2 9 ? 4x 3sx2 9 ? x 6sx2 9 1 8 ? Tx 0 x 0 326 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 8 x T 0 1 2 4 6 y=T(x) x y 0 2x (x, y) y _r r FIGURA 9 r ¨ r cos ¨ r sen ¨ FIGURA 10 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 326
- 392. Sabe que tiene un valor máximo de 1 y se alcanza cuando . De modo que tiene un valor máximo de y se presenta cuando . Advierta que esta solución trigonométrica no comprende la derivación. De hecho, no necesita aplicar el cálculo en absoluto. APLICACIONES A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMÍA En la sección 3.7 se introdujo la idea de costo marginal. Recuerde que si Cx, la función de costo, es el costo de producir x unidades de cierto producto, por lo tanto el costo mar- ginal es la relación de cambio de C respecto de x. En otras palabras, la función de costo marginal es la derivada Cx de la función de costo. Considere ahora el mercadeo. Sea px el precio por unidad que la compañía carga si vende x unidades. Entonces p se llama función de demanda (o función de precio) y cabe esperar que sea una función decreciente de x. Si se venden x unidades y el precio por uni- dad es px, en consecuencia el ingreso total es y R se llama función de ingreso (o función de ventas). La derivada R de la función de ingreso se denomina función de ingreso marginal y es la relación de cambio del ingreso con respecto al número de unidades vendidas. Si se venden x unidades, entonces la utilidad total es y P es la función de utilidad. La función de utilidad marginal es P’, la derivada de la función de utilidad. En los ejercicios 53-58 se le pide aplicar las funciones del costo marginal, el ingreso, y la de utilidad para minimizar costos y maximizar el ingreso y la utilidad. EJEMPLO 6 Una tienda ha vendido 200 quemadores de DVD a la semana, a $350 cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de descuento que se ofrezca a los compradores, el número de aparatos vendidos se incrementará en 20 a la semana. En- cuentre las funciones de demanda y de ingreso ¿Qué tan grande debe ser la rebaja para maximizar el ingreso? SOLUCIÓN Si x denota los reproductores vendidos a la semana, entonces, el incremento semanal en las ventas es x 200. Por cada incremento de 20 reproductores vendidos, el precio disminuye $10. De manera que por cada reproductor adicional vendido, la disminución en el precio es y la función de demanda es La función de ingreso es Como Rx 450 x, Rx 0 cuando x 450. Por la prueba de la primera derivada (o sencillamente al observar que la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo), este valor de x da un máximo absoluto. El precio correspondiente es y el descuento es de 350 225 125. Por consiguiente, para maximizar el ingreso la tienda debe ofrecer un descuento de $125. p450 450 1 2 450 225 Rx xpx 450x 1 2 x2 px 350 10 20 x 200 450 1 2 x 1 20 10 V Px Rx Cx Rx xpx 4 r2 A 2 2 sen 2 SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 327 CAPITULO-04-B 06/04/2009 19:16 Page 327
- 393. 328 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN (d) Use la información dada para escribir una ecuación que re- lacione las variables. (e) Utilice el inciso (d) para escribir el área total como fun- ción de una variable. (f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo en el inciso (a). 10. Considere el problema que se enuncia enseguida: se va a cons- truir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene 3 pies de ancho, al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que puede tener una caja semejante. (a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación; algunas ca- jas cortas con bases grandes y otras con bases pequeñas. En- cuentre el volumen de varias de esas cajas. ¿Parece que existe un volumen máximo? Si es así, estímelo. (b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. Intro- duzca la notación y marque el diagrama con sus símbolos. (c) Escriba una expresión para el volumen. (d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables. (e) Utilice el inciso (d) para escribir el volumen como fun- ción de una variable. (f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo en el inciso (a). 11. Un granjero quiere cercar un área de 1.5 millones de pies cua- drados de un campo rectangular, y luego dividirla a la mitad mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo. ¿De qué manera debe hacerlo para que los costos de la cerca sean mínimos? 12. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. Si se cuenta con 1200 cm de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja. 14. Un recipiente rectangular de almacenaje con la parte superior abierta debe tener un volumen de 10 m . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta $10 por me- tro cuadrado. El material para los costados, $6 por metro cuadra- do. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes. 15. Resuelva el ejercicio 14 suponiendo que el recipiente tiene una tapa que se fabrica del mismo material que los lados. (a) Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el perímetro menor es un cuadrado. (b) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene el área máxima es un cuadrado. Encuentre el punto en la recta que está más cerca al origen. 18. Determine el punto en la recta que está más cerca al punto (3, 1). 19. Halle los puntos sobre la elipse que se encuen- tran más lejos del punto (1, 0). 4x2 y2 4 6x y 9 y 4x 7 17. 16. 3 2 13. 3 1. Considere el problema siguiente. Encuentre dos números cuya suma es 23 y cuyo producto es un máximo. (a) Formule una tabla de valores, como la que aparece a conti- nuación, de tal suerte que la suma de los números en las primeras dos columnas sea siempre 23. Con base en la evidencia de su tabla, estime la respuesta al problema (b) Aplique el cálculo para resolver el problema y compárelo con su respuesta al inciso (a). 2. Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo pro- ducto sea un mínimo. 3. Encuentre dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea un mínimo. 4. Halle un número positivo tal que la suma del número y su recí- proco sean lo más pequeños posible. 5. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de 100 m cuya área sea lo más grande posible. 6. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de 1000 m2 cuyo perímetro sea lo más pequeño posible. 7. Un modelo aplicado para el rendimiento Y de un cultivo agrícola como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (que se mide en unidades apropiadas) es donde k es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeneo proporciona el mejor rendimiento? 8. La cantidad (en mg de carbón/m3 /h) en que se lleva a cabo la fotosíntesis de un especie de fitoplancton se diseña mediante la función donde I es la intensidad de luz (que se mide en millares de bujía-pie). ¿Para qué intensidad de luz P es máxima? 9. Considere el problema siguiente: un granjero que dispone de 750 pies de cerca desea cercar un área rectangular y luego divi- dirla en cuatro corrales con un cercado paralelo a un lado del rectángulo. ¿Cuál es el área total más grande posible de los cuatro corrales? (a) Dibuje varios diagramas que ilustren la situación, algunos con corrales poco profundos y anchos y algunos con corrales profundos y estrechos. Halle el área total de estas configura- ciones. ¿Parece existir un área máxima? De ser así, estímela. (b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación en general. Intro- duzca notaciones e identifique el diagrama con sus símbolos. (c) Escriba una expresión para el área total. P 100I I2 I 4 Y kN 1 N2 EJERCICIOS 4.7 Primer número Segundo número Producto 1 22 22 2 21 42 3 20 60 . . . . . . . . . CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 328
- 394. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 329 la escalera más corta que llegará desde el suelo pasando por encima de la cerca, hasta la pared del edificio? 37. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar un sector y unir los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima del cono. 38. Se va a fabricar un cono de papel para beber que debe contener 27 cm3 de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que usará la menor cantidad de papel. 39. Se inscribe un cono con altura h dentro de un cono más grande con altura H de modo que su vértice se encuentra en el centro de la base del cono más grande. Demuestre que el cono interno tiene un volumen máximo cuando . 40. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de una superficie horizontal mediante una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda unida al objeto. Si la cuerda hace un ángulo u con un plano, en tal caso la magnitud de la fuerza es donde m es una constante llamada el coeficiente de fricción. ¿Para que valor de u, F es la más pequeña? 41. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una batería de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es Si E y r son constantes pero R varía, ¿cuál es el valor máximo de la potencia? 42. Para un pez que nada con una rapidez v con relación al agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a v3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la ener- gía total requerida para nadar una distancia fija. Si nada contra una corriente uu v, el tiempo requerido para nadar una distancia L es L/v u y la energía total E necesaria para nadar la distancia se expresa por medio de donde a es la constante de proporcionalidad. (a) Determine el valor de v que minimice E. (b) Dibuje la gráfica de E. Nota: Este resultado se ha comprobado de manera experimen- tal; el pez migratorio nada contra corriente con una rapidez 50% mayor que la rapidez de esa corriente. Ev av3 L v u P E2 R R r2 F mW m sen u cos u h 1 3 H ; 20. Encuentre las coordenadas del punto sobre la curva y tan x que esté más cerca al punto 1, 1 con una aproximación de 2 dígitos decimales. 21. Determine las dimensiones del rectángulo con el área más grande que se puede inscribir en un círculo de radio r. Encuentre el área del rectángulo más grande que puede inscri- birse en la elipse x2 a2 y2 b2 1. 23. Halle las dimensiones del rectángulo de área más grande que se pueda inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un lado del rectángulo se encuentra en la base del triángulo. 24. Encuentre las dimensiones del rectángulo de área más grande que tenga su base sobre el eje x y sus otros dos vértices por arriba del eje x sobre la parábola y 8 x2 . 25. Calcule las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que se puede inscribir en el círculo de radio r. 26. Calcule el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, si dos lados del rectángulo coinciden con los catetos. 27. Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio r. Encuentre el volumen más grande posible de ese cilindro. 28. Se inscribe un cilindro circular recto en un cono con una altura h y radio de la base r. Halle el volumen más grande posible de semejante cilindro. 29. Un cilindro circular recto está inscrito en una esfera de radio r. Determine el área superficial más grande posible de dicho ci- lindro. Una ventana normanda tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. (Por esto, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo. Véase el ejercicio 56 de la pá- gina 23.) Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, encuen- tre las dimensiones de la ventana de modo que entre la cantidad más grande de luz. 31. Los márgenes superior e inferior de un poster miden 6 cm, y los márgenes laterales miden 4 cm. Si el área impresa del pos- ter se fija en 384 cm2 , determine las dimensiones del poster cu- ya área sea la mínima. 32. El área de un poster tiene que ser de 180 pulg2 , y los márgenes laterales e inferior deben medir 1 pulg y el margen superior debe ser de 2 pulg. ¿Qué dimensiones darán el área impresa máxima? Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total encerrada sea (a) máxima, y (b) mínima. 34. Resuelva el ejercicio 33 si un trozo se dobla para formar un cuadrado y el otro forma un círculo. 35. Se fabrica una lata cilíndrica sin tapa de tal modo que contenga V cm3 de líquido. Calcule las dimensiones que minimizarán el costo del metal para hacer la lata. 36. Una cerca de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de este último. ¿Cuál es la longitud de 33. 30. 22. A B R C CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 329
- 395. 330 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 47. Una refinería se localiza al norte de la orilla de un río recto que es de 2 km de ancho. Se debe construir una tubería desde la refinería hasta un tanque de almacenamiento que se localiza al sur de la orilla del río 6 km al este de la refinería. El costo de instalación de la tubería es 400 000 dólares/km en tierra hasta el punto P al norte de la orilla y 800 000 dólares/km bajo el río hasta el tanque. Con la finalidad de minimizar el costo de la tubería, ¿dónde se localiza P? ; 48. Considere que la refinería en el ejercicio 47 se localiza a 1 km al norte del río. ¿Dónde se localiza P? La iluminación de un objeto por una fuente luminosa es directa- mente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a esa fuente. Si se co- locan dos fuentes luminosas, una tres veces más fuerte que la otra, separadas una distancia de 10 pies, ¿dónde debe colocarse un objeto sobre la recta entre las dos fuentes de modo que reci- ba la iluminación mínima? Encuentre una ecuación de la recta que pasa por el punto 3, 5 que elimine el área mínima del primer cuadrante. 51. Sean a y b números positivos. Encuentre la longitud más corta del segmento rectilíneo que sea cortado por el primer cuadrante y pase por el punto a, b. 52. ¿En qué puntos de la curva y 1 40x3 3x5 la recta tan- gente tiene la pendiente más grande? 53. (a) Si C(x) es el costo de producir x unidades de una mercancía, en tal caso el costo promedio por cada unidad es c(x) C(x)/x. Demueste que si el costo promedio es un mínimo, en tal caso el costo marginal es igual al costo promedio. (b) Si C(x) 16 000 200x 4x3/2 , en dólares, hallar (i) el costo, costo promedio, y costo marginal en un nivel de producción de 1000 unidades; (ii) el nivel de producción que minimizará el costo promedio; y (iii) el costo prome- dio mínimo. 54. (a) Demuestre que si la utilidad P(x) es un máximo, por lo tanto el ingreso marginal es igual al costo marginal. (b) Si C(x) 16 000 500x 1.6 x2 0.004x3 es la función costo y p(x) 1700 7x es la función demanda, hallar el nivel de producción que maximice la utilidad. Un equipo de béisbol juega en un estadio con una capacidad de 55 000 espectadores. Con precios de los boletos en $10, la asis- tencia promedio fue de 27 000 espectadores. Cuando el precio bajó hasta $8, la asistencia promedio subió hasta 33 000. (a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es lineal. (b) ¿A qué precio deben fijarse los boletos para maximizar el ingreso? 56. Durante los meses de verano, Andrés hace y vende collares en la playa. El verano anterior los vendió a $10 cada uno y sus ventas promediaron 20 unidades por día. Cuando aumentó el precio $1, encontró que perdió dos ventas diarias. (a) Encuentre la función de demanda, suponiendo que es lineal. (b) Si el material para cada collar le cuesta $6 a Andrés, ¿cuál de- be ser el precio de venta para que maximice su utilidad? 55. 50. 49. 43. En una colmena cada celda es un prisma hexagonal regular, abierto en uno de sus extremos y con un ángulo triedro en el otro como en la figura. Se cree que las abejas forman sus celdas de manera que se minimice el área superficial para un volumen dado, usando de esta forma la menor cantidad de cera en la construcción de las mismas. El examen de estas celdas ha hecho ver que la medida del ángulo u es sorprendentemente coherente. Con base en la geometría de la celda, se puede demostrar que el área superficial S se expresa con donde s, la longitud de los lados del hexágono, y h la altura, son constantes. (a) Calcule . (b) ¿Cuál ángulo deben preferir las abejas? (c) Determine el área superficial mínima de la celda (en tér- minos de s y h). Nota: Se han hecho medidas reales del ángulo u en las colme- nas y las medidas de estos ángulos rara vez difieren del valor calculado más de 2°. 44. Un barco sale de un muelle a las 2:00 P.M. y viaja con rumbo al sur con una rapidez de 20 kmh. Otro buque ha estado nave- gando con rumbo al este a 15 kmh y llega al mismo muelle a las 3:00 P.M. ¿A qué hora estuvieron más cerca entre sí los dos navíos? 45. Resuelva el problema del ejemplo 4 si el río mide 5 km de anchura y el punto B está a sólo 5 km corriente abajo de A. 46. Una mujer que se encuentra en un punto A sobre la playa de un la- go circular con radio de 2 mi desea llegar al punto C, opuesto al A sobre el otro lado del lago, en el tiempo más corto posible. Puede caminar a razón de 4 mih y remar en un bote a 2 mih. ¿En qué ángulo en relación con el diámetro debe remar? dSd S 6sh 3 2 s2 cot (3s2 s32) csc s h b parte posterior de la celda ángulo triedro parte delantera de la celda ¨ B A C 2 2 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 330
- 396. SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 331 galones por milla. Denote este consumo con G. Use la gráfica para estimar la rapidez la cual G tiene el valor mínimo. Sean v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la luz en el agua. Según el principio de Fermat, un rayo de luz viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorri- do. Demuestre que donde u1 (el ángulo de incidencia) y u2 (el ángulo de refracción) son como se muestra en la figura. Esta ecuación se conoce como ley de Snell. 64. Dos postes verticales, PQ y ST, se aseguran por medio de un cable PRS extendido desde el extremo superior del primer pos- te hasta un punto R sobre el piso y, a continuación, hasta el extremo superior del segundo poste, como se ve en la figura. Demuestre que se tiene la longitud más corta de ese cable cuando u1 u2 65. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 pulgadas de ancho por 12 pulgadas de largo para llevarla has- ta el borde de la derecha, como en la figura. ¿Cómo la doblaría de modo que se minimice la longitud del doblez? En otras palabras, ¿cómo elegiría x para minimizar y? sen1 sen2 v1 v2 63. 57. Un fabricante ha vendido 100 aparatos de televisión por sema- na a $450 cada uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de descuento que ofrezca, el número de aparatos se incrementará en 1000 por semana. (a) Encuentre la función de demanda. (b) ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la compa- ñía para maximizar su ingreso? (c) Si la función de costo semanal es Cx 68 000 150x, ¿cuál tiene que ser la magnitud del descuento para maximizar la utilidad? 58. Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se ocuparán todas si la renta es de $800 al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad vacía por cada incremento de $10 en la renta. ¿Cuánto debe cobrar el gerente por renta para maximizar el ingreso? 59. Demuestre que de todos los triángulos isósceles con un períme- tro dado el que posee el área más grande es equilátero. 60. Se va a construir el armazón de una cometa a partir de seis trozos de madera. Se han cortado los cuatro trozos exteriores con las longitudes que se indican en la figura. Para maximi- zar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales? ; 61. Un punto P necesita ser ubicado en algún lugar de la recta AD de modo que la longitud total L de cables que unen P con los puntos A, B y C sea mínima (véase figura). Exprese L en fun- ción de y mediante las gráficas de L y dL/dx para estimar el valor mínimo. 62. En la gráfica se muestra el consumo c de combustible de un au- tomóvil (medido en galones por hora) como función de la rapi- dez v del mismo. Con rapidez muy bajas, el motor funciona de manera ineficiente; de modo que, inicialmente, c decrece a me- dida que la rapidez aumenta. Pero con rapidez, se incrementa el consumo de combustible. Usted puede ver que para este au- tomóvil, cv se minimiza cuando mih. Sin embargo, para lograr la eficiencia respecto al combustible, lo que debe minimizarse no es el consumo de galones por hora sino de v 30 x AP CAS a a b b B C P A 2 m 3 m D 5 m √ c 0 20 40 60 C A B ¨¡ ¨™ Q R T P S ¨¡ ¨™ x y 8 12 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 331
- 397. 332 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN fin de que se maximice el ángulo u subtendido en su ojo por la pintura? 71. Halle el área máxima de un rectángulo que pueda circunscri- birse con respecto a un rectángulo dado con longitud L y ancho W. [Sugerencia: Exprese el área como una función de un ángulo u.] 72. El sistema vascular consta de vasos (arterias, arteriolas, capila- res y venas) que llevan la sangre desde el corazón hasta los ór- ganos y de regreso a aquél. Este sistema tiene que trabajar de manera que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre. En particular, esta energía se reduce cuando se baja la resistencia de la sangre. Una de las leyes de Poiseui- lle da la resistencia R de la sangre como donde L es la longitud del vaso sanguíneo, r es el radio y C es una constante positiva determinada por la viscosidad de la sangre. (Poiseuille estableció esta ley a nivel experimental, pero también se deduce a partir de la ecuación 2 de la sección 8.4.2.) En la figura se muestra un vaso sanguíneo principal con radio r1, el cual se ramifica formando un ángulo u hacia un vaso más pequeño, con radio r2. R C L r4 66. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al final de éste existe una vuelta a ángulo rec- to hacia otro pasillo más angosto de 6 pies de ancho. ¿Cuál es la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar hori- zontalmente por la esquina? 67. Un observador está de pie en el punto P, una unidad alejado de la pista. Dos corredores parten del punto S en la figura y corren a lo largo de la pista. Un corredor corre tres veces más rápido que el otro. Determine el valor máximo del ángu- lo de visión u del observador entre los corredores. [Sugeren- cia: maximice tan u.] 68. Se va a construir un canal para el agua de lluvia a partir de una lámina de metal de 30 cm de ancho doblando hacia arriba una tercera parte de la lámina en cada lado a través de un ángulo u. ¿Cómo debe elegirse u de manera que el canal conduzca la ma- yor cantidad de agua? ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se maximice el ángulo u? 70. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se muestra en la figura). ¿Qué tan le- jos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otras palabras ¿dónde debe situarse el observador a 69. 6 ¨ 9 S 1 P ¨ 10 cm 10 cm 10 cm ¨ ¨ 5 2 A B P ¨ 3 ¨ h d b A B r¡ r™ ¨ C a ramificación vascular © Manfred Cage / Peter Arnold CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 332
- 398. PROYECTO DE APLICACIÓN LA FORMA DE UNA LATA |||| 333 (d) Si los ornitólogos observan que los pájaros de ciertas espe- cies alcanzan la costa en un punto a 4 km de B, ¿cuántas veces más energía consume un ave para volar sobre el agua que sobre la tierra? ; 74. Se colocan dos fuentes luminosas de intensidad idéntica se- paradas 10 m. Un objeto está en un punto P, sobre una recta ᐉ paralela a la recta que une las fuentes luminosas y a una distancia de d metros de esta línea (véase la figura). Desea localizar P sobre ᐉ de manera que se minimice la intensidad de la iluminación. Necesita aplicar el hecho de que la inten- sidad de la iluminación de una sola fuente es directamente proporcional a la intensidad de ésta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a ella. (a) Encuentre una expresión para la intensidad Ix en el punto P. (b) Si d 5 m, use las gráficas de Ix e Ix para demostrar que la intensidad se minimiza cuando x 5 m, es decir, cuando P está en el punto medio de ᐉ. (c) Si d 10 m, demuestre que la intensidad (quizás de modo sorprendente) no se minimiza en el punto medio. (d) En algún lugar entre d 5 m y d 10 m se tiene un valor de transición de d en el cual el punto de iluminación míni- ma cambia de manera abrupta. Estime este valor de d mediante métodos gráficos. Enseguida, encuentre el valor exacto de d. ᐉ P d 10 m x 13 km B C D isla 5 km nido (a) Aplique la ley de Poiseuille para demostrar que la resis- tencia total de la sangre a lo largo de la trayectoria en ABC es donde a y b son las distancias que se ven en la figura. (b) Pruebe que esta resistencia se minimiza cuando (c) Encuentre el ángulo óptimo de ramificación (correcto hasta el grado más cercano) cuando el radio del vaso sanguíneo menor es dos tercios el radio del mayor. 73. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de pájaros tienden a evitar vuelos sobre grandes masas de agua durante las horas diurnas. Se cree que se requiere más ener- gía para volar sobre al agua que sobre la tierra porque, en general, el aire se eleva sobre la tierra y cae sobre el agua durante el día. Se libera un pájaro con estas tendencias desde una isla que está a 5 km del punto más cercano B de una cos- ta recta, vuela hasta un punto C de la costa y luego a lo largo de ésta hasta la zona D en que se encuentra su nido. Suponga que el pájaro busca de manera instintiva una trayectoria que minimice su consumo de energía. Los puntos B y D están separados 13 km. (a) En general, si consume 1.4 veces más energía para volar sobre el agua que sobre la tierra, ¿hasta cuál punto C debe volar el pájaro para minimizar el consumo total de energía de regreso a la zona donde está su nido? (b) Denote con W y L la energía (en joules) por kilómetro volado sobre el agua y sobre la tierra, respectivamente. ¿Qué significaría un valor grande de la proporción WL en términos del vuelo del pájaro? ¿Qué significado tendría un valor pequeño? Determine la proporción WL corres- pondiente al consumo mínimo de energía. (c) ¿Cuál debe ser el valor de WL para que el ave vuele direc- tamente hasta la zona D donde está su nido? ¿Cuál tiene que ser el valor de WL para que vuele hasta B y, a conti- nuación, a lo largo de la costa hasta D? cos r4 2 r4 1 R Ca b cot r1 4 b csc r2 4 En este proyecto se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto signi- fica que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimi- ce el costo del metal para fabricarla (véase la figura). Si hace caso omiso de cualquier desecho de metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el ejemplo 2 de la sección 4.7, resolvió este problema y halló que h 2r; es decir, la altura debe ser igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación hr varía desde 2 hasta alrededor de 3.8. Vea si puede explicar este fenómeno. 1. El material para las latas se corta de láminas metálicas. Los costados cilíndricos se forman al doblar rectángulos; estos rectángulos se cortan de la hoja con poco o ningún desperdicio. Pero LA FORMA DE UNA LATA P R OY E C TO D E A P L I C AC I Ó N r h CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 333
- 399. 334 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN si los discos superior y del fondo se cortan a partir de cuadrados de lado 2r (como en la figu- ra), esto genera una cantidad de metal de desecho considerable, el cual puede reciclarse pero que tiene poco o ningún valor para quienes fabrican latas. Si éste es el caso, demuestre que se minimiza la cantidad de metal usado cuando 2. Se obtiene un apiñamiento más eficiente de los discos dividiendo la hoja metálica en hexágo- nos y luego cortar las tapas y bases circulares a partir de ellos (véase la figura). Demuestre que, si se adopta esta estrategia, en tal caso 3. Los valores de hr que se encontraron en los problemas 1 y 2 están un poco más cercanos a los que se encuentran en los anaqueles del supermercado, pero todavía no toman en cuenta todo. Si mira con más atención algunas latas reales, la tapa y la base se forman a partir de discos con radios más grandes que r, los cuales se doblan sobre los extremos de la lata. Si toma en cuenta esto, incrementa hr. Lo que es más significativo, además del costo del metal, necesita incorpo- rar la fabricación de la lata al costo. Suponga que se incurre en la mayor parte del desembolso al unir los costados a los bordes de las latas. Si corta los discos a partir de hexágonos, como en el problema 2, después el costo es proporcional a donde k es el recíproco de la longitud que se puede unir para el costo de una unidad de área de metal. Demuestre que esta expresión se minimiza cuando ; 4. Trace la gráfica de como función de x hr y úsela para argumentar que cuando una lata es grande o realizar la unión es barato, debe hacer que hr sea aproximadamente igual a 2.21 (como en el problema 2). Pero cuando la lata es pequeña o unir resulta costoso, hr tie- ne que ser apreciablemente mayor. 5. El análisis hace ver que las latas grandes deben ser casi cuadradas y las pequeñas altas y delga- das. Eche una mirada a las formas relativas de las latas en un supermercado. ¿La conclusión suele ser cierta en la práctica? ¿Hay excepciones? ¿Puede sugerir las razones por las que las latas pequeñas no siempre son altas y delgadas? s 3 Vk s 3 V k h r 2 hr hr 4s3 4s3 r2 2 rh k4 r h h r 4s3 2.21 h r 8 2.55 Discos cortados de cuadrados Discos cortados de hexágonos MÉTODO DE NEWTON Suponga que un distribuidor de automóviles le ofrece uno en $18 000 al contado o en pagos de $375 al mes durante cinco años. A usted le gustaría saber qué tasa de interés le está car- gando el distribuidor. Para hallar la respuesta, tiene que resolver la ecuación (Los detalles se explican en el ejercicio 41.) ¿Cómo podría resolver una ecuación de es- te tipo? Para una ecuación cuadrática ax2 bx c 0, existe una fórmula bien conocida para las raíces. Para las ecuaciones de tercer y cuarto grados también existen fórmulas para las raí- ces, pero son en extremo complicadas. Si f es un polinomio de grado 5 o superior, no existe 48x1 x60 1 x60 1 0 1 4.8 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 334
- 400. una fórmula de este tipo (véase la nota de la página 210). Del mismo modo, no hay una fórmu- la que permita hallar las raíces exactas de una ecuación trascendente como cos x x. Puede hallar una solución aproximada para la ecuación 1 dibujando el lado izquierdo de la misma. La gráfica de la figura 1 se produjo con un aparato graficador y después de experi- mentar con los rectángulos de visualización. Además de la solución x 0 que no interesa, hay una solución entre 0.007 y 0.008. Un acercamiento muestra que la raíz es más o menos 0.0076. Si necesita más exactitud, haga varios acercamientos, pero esto se vuelve tedioso. Una opción más rápida es usar un buscador numérico de raíces en una calculadora o en un sistema algebraico para compu- tadora. Si así lo hace, encuentra que la raíz, correcta hasta nueve dígitos decimales, es 0.007628603. ¿Cómo funcionan estos buscadores numéricos de raíces? Se aplican diversos métodos pe- ro en la mayor parte se usa el método de Newton, que también se conoce como método de Newton-Raphson. Se explica cómo trabaja este método, en parte para mostrar qué sucede en el interior de la calculadora o computadora y, en parte, como una aplicación de la idea de aproximación lineal. En la figura 2 se muestra la geometría que se encuentra detrás del método de Newton, don- de se ha asociado una r a la raíz que intenta hallar. Empiece con una primera aproximación x1, la cual se obtiene por tanteos, o de un esquema aproximado de la gráfica de f a partir de la grá- fica de f generada por una computadora. Considere la recta tangente L a la curva y fx en el punto x1, fx1 y vea la intersección de L con el eje x, marcada como x2. La idea tras el método de Newton es que la recta tangente está cercana a la curva y, por consiguiente, su in- tersección con el eje x, x2, está cerca de la intersección de la curva con el eje x (a saber, la raíz r que busca). Debido a que la tangente es una recta, puede hallar con facilidad su inter- sección con el eje x. Para encontrar una fórmula para x2 en términos de x1, usa el hecho de que la pendiente de L es fx1, de modo que su ecuación es Como la intersección x de L es x2, se establece y se obtiene Si fx1 0, puede resolver esta ecuación para x2: Use x2 como una aproximación para r. En seguida repita este procedimiento con x1 reemplazada por x2, usando la recta tangen- te en x2, fx2. Ésta da una tercera aproximación: Si sigue repitiendo este proceso, obtendrá una sucesión de aproximaciones x1, x2, x3, x4, . . . , como se observa en la figura 3. En general, si la n-ésima aproximación es xn y fxn 0, por lo tanto la siguiente aproximación se expresa con xn1 xn f xn fxn 2 x3 x2 f x2 fx2 x2 x1 f x1 fx1 0 fx1 fx1x2 x1 y 0 y f x1 fx1x x1 SECCIÓN 4.8 MÉTODO DE NEWTON |||| 335 0.15 _0.05 0 0.012 FIGURA 1 Intente resolver la ecuación 1 con el buscador numérico de raíces de su calculadora o computadora. Algunas máquinas no pueden resolverla. Otras tienen éxito, pero requieren que se les especifique un punto de partida para la búsqueda. FIGURA 2 y 0 x {x¡, f(x¡)} x™ x¡ L r y=ƒ y 0 x x™ x¡ x£ x¢ r FIGURA 3 {x™, f(x™)} {x¡, f(x¡)} CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 335
- 401. Si los números xn se aproximan cada vez más a r cuando n se hace grande, entonces la sucesión converge a r y se escribe | Aun cuando la sucesión de aproximaciones sucesivas converge a la raíz deseada, para funciones del tipo que se ilustra en la figura 3, en ciertas circunstancias la sucesión pue- de no converger. Por ejemplo, considere la situación que se ilustra en la figura 4. Puede ver que x2 es una aproximación más deficiente que x1. Quizás éste sea el caso cuando fx1 este cercana a 0. Incluso podría suceder que una aproximación (como la de x3 de la figura 4) caiga fuera del dominio de f. Por lo tanto el método de Newton falla y debe elegirse una mejor aproximación inicial x1. Véanse los ejercicios 31 a 34 en rela- ción con ejemplos específicos en que el método de Newton funciona con mucha lentitud o no funciona en absoluto. EJEMPLO 1 Empiece con x1 2, y encuentre la tercera aproximación x3 para la raíz de la ecuación x3 2x 5 0. SOLUCIÓN Aplique el método de Newton con y El propio Newton utilizó esta ecuación para ilustrar su método y eligió x1 2 después de experimentar un tanto porque f1 6, f2 1 y f3 16. La ecuación 2 se convierte en Con n 1, tiene En seguida con n 2 obtiene Resulta que esta tercera aproximación es exacta hasta cuatro posiciones decimales. Suponga que quiere lograr una exactitud dada, hasta ocho cifras decimales, aplicando el método de Newton. ¿Cómo sabrá cuándo detenerse? La regla empírica que se usa en ge- neral es parar cuando las aproximaciones sucesivas xn y xn1 concuerdan hasta los ocho dígitos decimales (posiciones decimales). (En el ejercicio 37 de la sección 11-11 se dará un enunciado más preciso referente a la exactitud del método de Newton.) Advierta que el procedimiento al ir de n hacia n 1 es el mismo para todos los valo- res de n (se llama proceso iterativo). Esto significa que el método de Newton es en par- ticular conveniente para una calculadora programable o una computadora. x3 2.0946 2.1 2.13 22.1 5 32.12 2 2.0946 x3 x2 x2 3 2x2 5 3x2 2 2 2 23 22 5 322 2 2.1 x2 x1 x1 3 2x1 5 3x1 2 2 xn1 xn xn 3 2xn 5 3xn 2 2 fx 3x2 2 f x x3 2x 5 V lím n l xn r 336 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN Las sucesiones se presentaron de manera breve en Presentación preliminar del cálculo en la página 6. En la sección 11.1 se inicia un análisis más detallado. x y 0 r x™ x£ x¡ FIGURA 4 En la figura 5 se muestra la geometría detrás del primer paso del método de Newton del ejemplo 1. Como , la recta tangente en tiene una ecuación de manera que su intersección x es . x2 2.1 y 10x 21 2, 1 y x3 2x 5 f 2 10 FIGURA 5 1 1.8 2.2 _2 y=10x-21 x™ En Module 4.8 puede investigar cómo funciona el método de Newton para diferentes funciones cuando cambie x1 TEC CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 336
- 402. EJEMPLO 2 Aplique el método de Newton para hallar con una aproximación de ocho posiciones decimales. SOLUCIÓN En primer lugar, observe que encontrar equivale a hallar la raíz positiva de la ecuación Por consiguiente, tome . Después y la fórmula 2 (método de Newton) se convierte en Si elige como la aproximación inicial, obtiene Dado que x5 y x6 concuerdan hasta las ocho posiciones decimales, concluye que hasta ocho posiciones decimales. EJEMPLO 3 Encuentre, una aproximación hasta seis posiciones decimales, de la raíz de la ecuación . SOLUCIÓN Primero escriba de nuevo la ecuación en la forma estándar: Por lo tanto, . Entonces , de modo que la fórmula 2 se convierte en Con el fin de estimar un valor apropiado para x1, en la figura 6 trace las gráficas de y cos x y y x. Parece que se cruzan en un punto cuya coordenada x es algo menor que 1, de modo que tome x1 1 como una aproximación inicial conveniente. Luego, al poner su calculadora en modo de radianes, obtiene Dado que x4 y x5 concuerdan hasta seis posiciones decimales (ocho, de hecho), se concluye que la raíz de la ecuación es correcta hasta seis posiciones decimales es 0.739085. En vez de usar el esquema aproximado de la figura 6 para obtener una aproximación de partida para el método de Newton del ejemplo 3, puede usar la gráfica más exacta que x5 0.73908513 x4 0.73908513 x3 0.73911289 x2 0.75036387 xn1 xn cos xn xn sen xn 1 xn cos xn xn sen xn 1 f x sen x 1 fx cos x x cos x x 0 cos x x V s 6 2 1.12246205 x6 1.12246205 x5 1.12246205 x4 1.12249707 x3 1.12644368 x2 1.16666667 x1 1 xn1 xn xn 6 2 6xn 5 fx 6x5 fx x6 2 x6 2 0 s 6 2 s 6 2 V SECCIÓN 4.8 MÉTODO DE NEWTON |||| 337 FIGURA 6 1 y x π y=cos x y=x π 2 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 337
- 403. proporciona una calculadora o una computadora. La figura 7 sugiere que utilice x1 0.75 como la aproximación inicial. Entonces el método de Newton da y así obtiene la misma respuesta de antes, pero con unos cuantos pasos menos. Tal vez se pregunte por qué molestarse con el método de Newton si se tiene disponible un dispositivo graficador. ¿Verdad que es más fácil hacer acercamientos repetidamente y encontrar las raíces como en la sección 1.4? Si sólo se requieren una o dos cifras de- cimales de exactitud, después el método de Newton es inapropiado y basta con cualquier graficador. Pero si es necesario llegar a las seis u ocho cifras decimales, los acercamientos continuos se vuelven molestos. En general, a menudo conviene usar una computadora y el método de Newton uno tras otro: el aparato graficador para arrancar y el método de Newton para terminar. x4 0.73908513 x3 0.73908513 x2 0.73911114 338 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN FIGURA 7 1 0 1 y=x y=cos x 5–8 Use el método de Newton con la aproximación inicial dada para hallar , la tercera aproximación para la raíz de la ecuación dada. (Dé sus respuestas hasta cuatro cifras decimales.) 5. , 6. , 7. , 8. , ; 9. Use el método de Newton con la aproximación inicial para hallar , la segunda aproximación a la raíz de la ecuación . Explique cómo funciona el método dibujando en primer lugar la función y su recta tangente en . ; 10. Use el método de Newton con la aproximación inicial para encontrar , la segunda aproximación a la raíz de la ecua- ción . Explique cómo funciona el método dibu- jando en primer lugar la función y su recta tangente en . 11–12 Aplique el método de Newton para aproximar el número da- do correcto hasta ocho cifras decimales. 11. 12. 13–16 Aplique el método de Newton para aproximar la raíz indi- cada de la ecuación correcta hasta seis cifras decimales. 13. La raíz de en el intervalo 14. La raíz de en el in- tervalo 15. La raíz positiva de sen x x2 16. La raíz positiva de 17–22 Mediante el método de Newton determine todas las raíces de la ecuación con seis posiciones decimales. 17. 18. ex 3 2x x4 1 x 2 cos x x4 2, 1 2.2x5 4.4x3 1.3x2 0.9x 4.0 0 1, 2 x4 2x3 5x2 6 0 100 s1000 5 s30 1, 1 x4 x 1 0 x2 x1 1 1, 1 x3 x 3 0 x2 x1 1 x1 1 x5 2 0 x1 1 x5 x 1 0 x1 3 1 3 x3 1 2 x2 3 0 x1 1 x3 2x 4 0 x3 x1 1. En la figura se muestra la gráfica de una función f. Suponga que se usa el método de Newton para obtener una aproxima- ción de la raíz r de la ecuación fx 0, con aproximación lineal x1 1. (a) Dibuje las rectas tangentes que se usan para hallar x2 y x3, y estime los valores numéricos de estas dos. (b) ¿Sería x1 5 una mejor aproximación inicial? Explique. 2. Siga las instrucciones que se dieron para el inciso (a) del ejer- cicio 1, pero use x1 9 como la aproximación de arranque para hallar la raíz s. 3. Suponga que la recta y 5x 4 es tangente a la curva y fx cuando x 3. Con el método de Newton para locali- zar una raíz de la ecuación fx 0 y una aproximación inicial de x1 3, encuentre la segunda aproximación x2. Para cada aproximación inicial, determine gráficamente qué sucede si se aplica el método de Newton para la función cuya gráfica se muestra. (a) (b) (c) (d) (e) 3 y 0 5 1 x x1 5 x1 4 x1 3 x1 1 x1 0 4. x y 0 r 1 1 s EJERCICIOS 4.8 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 338
- 404. SECCIÓN 4.8 MÉTODO DE NEWTON |||| 339 importar cuál aproximación inicial se use. Ilustre la expli- cación con un diagrama. 35. (a) Aplique el método de Newton para calcular los números crí- ticos de la función correcta hasta tres posiciones decimales. (b) Calcule el valor mínimo absoluto de f correcta hasta cuatro posiciones decimales. 36. Utilice el método de Newton para encontrar el valor mínimo ab- soluto de la función fx x cos x, 0 x p sen x correcto hasta seis posiciones decimales. Con el método de Newton halle las coordenadas del punto de inflexión de la curva , , correctas hasta seis posiciones decimales. 38. De la infinidad de rectas que son tangentes a la curva y sen x y pasan por el origen, una tiene la pendiente más grande. Use el método de Newton para hallar la pendiente de esa recta correcta hasta seis posiciones decimales. 39. Aplique el método de Newton para hallar las coordenadas, correctas hasta seis posiciones decimales, del punto en la parábola y (x 1)2 que esté lo más cercano al origen. 40. En la figura, la longitud de la cuerda AB es 4 cm y la del arco AB es 5 cm. Encuentre el ángulo central u, en radianes, correcto hasta cuatro posiciones decimales. A continuación dé la respuesta hasta el grado más cercano. Un distribuidor de automóviles vende uno nuevo en $18 000. También ofrece venderlo en pagos de $375 al mes durante cinco años. ¿Qué tasa de interés mensual está cargando este distribuidor? Para resolver este problema necesitará usar la fórmula para el valor actual A de un anualidad que consta de n pagos igua- les de tamaño R con la tasa de interés i durante el periodo Demuestre, sustituyendo i por x, que Utilice el método de Newton para resolver esta ecuación. 42. En la figura se muestra el Sol ubicado en el origen y la Tierra en el punto 1, 0. (La unidad, en este caso, es la distancia entre los centros de la Tierra y el Sol, llamada unidad astronómica: 1 AU km.) Existen cinco lugares L1, L2, L3, L4 y L5 en este plano de rotación de la Tierra alrededor del Sol donde un satélite permanece estático con aquélla, debido a que las fuerzas que actúan sobre el satélite (incluyendo las atracciones 1.496 108 48x1 x60 1 x60 1 0 A R i 1 1 in 41. 0 x y ecos x 37. f x x6 x4 3x3 2x x1 0 19. 20. 21. 22. ; 23–28 Use el método de Newton para hallar todas las raíces de las ecuaciones correctas hasta ocho posiciones decimales. Empiece por dibujar una gráfica para hallar aproximaciones iniciales. 23. 25. 26. 27. 28. 29. (a) Aplique el método de Newton a la ecuación para deducir el siguiente algoritmo de raíz cuadrada (que usaron los antiguos babilonios para calcular : (b) Utilice el inciso (a) para calcular correcta hasta seis posiciones decimales. 30. (a) Aplique el método de Newton a la ecuación para deducir el algoritmo siguiente del recíproco: (Este algoritmo permite que una computadora encuentre recíprocos sin dividir en realidad.) (b) Use el resultado del inciso (a) para calcular 11.6984 correcta hasta seis posiciones decimales. Explique por qué el método de Newton no funciona para hallar la raíz de la ecuación si se elige que la apro- ximación inicial sea . 32. (a) Use el método de Newton con x1 1 para hallar la raíz de la ecuación x3 x 1 correcta hasta seis posiciones decimales. (b) Resuelva la ecuación del inciso (a) con x1 0.57 como la aproximación inicial. (c) Resuelva la ecuación del inciso (a) con x1 0.57. (Necesi- ta una calculadora programable para esta parte.) ; (d) Trace la gráfica de fx x3 x 1 y de sus rectas tangen- tes en x1 1, 0.6 y 0.57 para explicar por qué el método de Newton es muy sensible al valor de la aproximación inicial. 33. Explique por qué falla el método de Newton cuando se aplica a la ecuación con cualquier aproximación inicial . Ilustre su explicación con un esquema. 34. Si por lo tanto la raíz de la ecuación es . Explique por qué el método de Newton falla para determina la raíz sin x 0 f x 0 f x sx sx si x 0 si x 0 x1 0 s 3 x 0 x1 1 x3 3x 6 0 31. xn1 2xn axn 2 1x a 0 s1 000 xn1 1 2 xn a xn sa) x2 a 0 earctan x sx3 1 4ex 2s sen x x2 x 1 3 senx2 2x x2 s2 x x2 1 x2 4 x2 4 x2 1 24. x6 x5 6x4 x3 x 10 0 tan x s1 x2 cos x sx 1 x 1 x3 x 22 ln x 5 cm 4 cm ¨ B A CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 339
- 405. 340 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN Utilizando el valor , encuentre las ubica- ciones de los puntos de libramiento (a) L1 y (b) L2. L¡ L™ L∞ L¢ L£ Sol Tierra x y r 3.04042 106 gravitacionales de la Tierra y el Sol) se equilibran entre sí. Estos lugares se conocen como puntos de libración. (En uno de estos puntos de libramiento se ha colocado un satélite de inves- tigación solar.) Si m1 es la masa del Sol, m2 es la masa de la Tierra, y r m2m1 + m2, resulta que la coordenada x de L1 es la raíz única de la ecuación de quinto grado y la coordenada x de L2 es la raíz de la ecuación px 2rx2 0 21 rx r 1 0 px x5 2 rx4 1 2rx3 1 rx2 ANTIDERIVADAS Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una función F cuya derivada es en la función conocida f. Si tal función F existe, se llama antiderivada de f. DEFINICIÓN Una función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un interva- lo I si para todo x en I. Por ejemplo, sea fx x2 . No es difícil descubrir una antiderivada de f si utiliza la regla de la potencia. En efecto, si , entonces . Pero la función también satisface . Por lo tanto, F y G son antiderivadas de f. De hecho, cualquier función de la forma , donde C es una constante, es una antiderivada de f. Surge la pregunta: ¿hay otras? Para contestar la pregunta, refiérase a la sección 4.2 donde se aplicó el teorema del va- lor medio para demostrar que si dos funciones tienen derivadas idénticas en un intervalo, en tal caso deben diferir por una constante (corolario 4.2.7). Por esto, si F y G son dos antide- rivadas cualquiera de f, entonces así Gx Fx C, donde C es una constante. Puede escribir esto como Gx Fx C, de modo que tiene el resultado siguiente. TEOREMA Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la anti- derivada más general de f sobre I es donde C es una constante arbitraria. De nuevo con la función fx x2 , se ve que la antiderivada general de f es Al asignar valores específicos a la constante C, obtiene una familia de funciones cuyas grá- ficas son traslaciones verticales de una a otra (véase la figura 1). Esto tiene sentido porque cada curva debe tener la misma pendiente en cualquier valor conocido de x. 1 3 x3 C Fx C 1 Fx fx Gx Hx 1 3 x3 C Gx x2 Gx 1 3 x3 100 Fx x2 fx Fx 1 3 x3 Fx f x 4.9 x y 0 y= ˛ 3 y= -2 ˛ 3 y= -1 ˛ 3 y= +1 ˛ 3 y= +2 ˛ 3 y= +3 ˛ 3 FIGURA 1 Miembros de la familia de antiderivadas de ƒ=≈ CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 340
- 406. EJEMPLO 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones siguientes. (a) (b) (c) , SOLUCIÓN (a) Si , entonces , de manera que una antiderivada de sen x es . Por el teorema 1, la antiderivada más general es . (b) Con base en lo que se vio en la sección 3.6, recuerde que Por consiguiente, en el intervalo la antiderivada general de 1x es ln x C. Asimis- mo, para todo . El teorema 1 entonces afirma que la antiderivada general de es sobre cualquier intervalo que no contenga 0. En particular, esto es verda- dero sobre cada uno de los intervalos y . Por consiguiente, la antiderivada general de f es (c) Use la regla de la potencia para descubrir una antiderivada de . De hecho, si , entonces Así, la antiderivada general de es Esto es válido para ya que después está definida sobre el intervalo. Si n es negativo (pero ), sólo es válida sobre cualquier intervalo que no con- tenga a 0. Como en el ejemplo 1, toda fórmula de derivación leída de derecha a izquierda da lugar a una fórmula de antiderivación. En la tabla 2 se enumeran algunas antiderivadas. Cada fórmula de la tabla es verdadera, puesto que la derivada de la función de la columna de la derecha aparece en la columna izquierda. En particular, en la primera fórmula se afirma que la antiderivada de una constante multiplicada por una función es una constante multi- plicada por la antiderivada de la función. En la segunda se expresa que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas. (Se usa la notación , .) TABLA DE FÓRMULAS DE ANTIDERIVACIÓN 2 G t F f n 1 fx xn n 0 Fx xn1 n 1 C fx xn d dx xn1 n 1 n 1xn n 1 xn n 1 xn Fx ln x C1 lnx C2 si x 0 si x 0 0, , 0 ln x C f x 1x x 0 d dx ln x 1 x 0, d dx ln x 1 x Gx cos x C cos x Fx sen x Fx cos x n 1 f x xn fx 1x fx sen x SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS |||| 341 Para obtener la antiderivada más general, sobre un intervalo, a partir de las particulares de la tabla 2, sume una constante, como en el ejemplo 1. Función Antiderivada particular Función Antiderivada particular cos x sen x ex ex ln x 1x xn1 n 1 xn n 1 Fx Gx f x tx cFx cf x sen x cos x tan x sec x tan x sec x tan1 x 1 1 x2 sen1 x 1 s1 x2 sec2 x CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 341
- 407. EJEMPLO 2 Encuentre todas las funciones t tales que SOLUCIÓN Primero, escriba de nuevo la función dada en la forma siguiente: De esta manera, desea hallar una antiderivada de Al usar las fórmulas de la tabla 2 con el teorema 1, obtiene En las aplicaciones del cálculo es muy común tener una situación como la del ejemplo 2, donde se requiere hallar una función, dado el conocimiento acerca de sus derivadas. Una ecuación que comprende las derivadas de una función se llama ecuación diferencial. Éstas se estudian con cierto detalle en el capítulo 9 pero, por el momento, es posible resolver algu- nas ecuaciones diferenciales elementales. La solución general de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria (o varias constantes arbitrarias), como en el ejemplo 2. Sin embargo, pueden haber algunas condiciones adicionales que determinan las constantes y, por lo tanto, especifican de manera única la solución. EJEMPLO 3 Encuentre si . SOLUCIÓN La antiderivada general de es Para determinar C, use el hecho de que : En estos términos, tiene , de modo que la solución particular es EJEMPLO 4 Encuentre si , y . SOLUCIÓN La antiderivada general de es Si usa una vez más las reglas de antiderivación encuentra que f x 4 x4 4 3 x3 3 4 x2 2 Cx D x4 x3 2x2 Cx D fx 12 x3 3 6 x2 2 4x C 4x3 3x2 4x C f x 12x2 6x 4 f1 1 f 0 4 f x 12x2 6x 4 f V fx ex 20 tan1 x 3 C 2 1 3 f0 e0 20 tan1 0 C 2 f 0 2 f x ex 20 tan1 x C f x ex 20 1 x2 fx ex 201 x2 1 y f 0 2 f 4 cos x 2 5 x5 2sx C tx 4cos x 2 x5 5 x12 1 2 C tx 4 sen x 2x4 x12 tx 4 sen x 2x5 x sx x 4 sen x 2x4 1 sx tx 4 sen x 2x5 sx x 342 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN En la figura 2 se muestran las gráficas de la función del ejemplo 3 y de su antiderivada . Advierta que , de manera que siem- pre es creciente. Observe asimismo que, cuando tiene un máximo o un mínimo, parece que tiene un punto de inflexión. De modo que la gráfica sirve como una comprobación de dicho cálculo. f f f f x 0 f f 40 _2 3 f fª _25 FIGURA 2 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 342
- 408. Para determinar C y D, utilice las condiciones dadas de que y . Como , tiene . Puesto que tiene . Debido a eso, la función requerida es Si conoce la gráfica de una función f, sería razonable que fuera capaz de dibujar la gráfica de una antiderivada F. Por ejemplo, suponga que sabe que . Entonces, hay un punto de donde partir, el punto 0, 1, y la dirección en la cual tiene que desplazar su lápiz la proporciona, en cada etapa, la derivada . En el ejemplo siguiente aplique los principios de este capítulo para mostrar cómo graficar F aun cuando no tiene una fórmula para f. Éste sería el caso cuando datos experimentales determinan . EJEMPLO 5 La gráfica de una función f se ilustra en la figura 3. Trace un croquis de una antiderivada F, dado que . SOLUCIÓN Le guía el hecho de que la pendiente de es . Parta del punto 0, 2 y dibuje F como una función inicialmente decreciente ya que es negativa cuando . Observe que , de modo que F tiene tangentes horizontales cuando x 1 y x 3. En el caso de , es positiva y de este modo F es creciente. Observe que F tiene un mínimo local cuando x 1 y un máximo local cuando x 3. Para x 3, es negativa y F es decre- ciente en . Como cuando , la gráfica de F se vuelve más plana cuando . También note que cambia de positiva a negativa en x 2, y de negativa a positiva en x 4; así F tiene puntos de inflexión cuando x 2 y x 4. Se aprovecha esta información para trazar la gráfica de la antiderivada en la figura 4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO La antiderivación es en particular útil al analizar el movimiento de un objeto que se mue- ve en línea recta. Recuerde que si el objeto tiene la función de posición s ft, en tal caso la función de velocidad es vt st. Esto significa que la función de posición es una antiderivada de la función de velocidad. Del mismo modo, la función de aceleración es at vt, de suerte que la función de velocidad es una antiderivada de la acelera- ción. Si se conocen la aceleración y los valores iniciales s0 y v0, entonces se puede hallar la función de posición al antiderivar dos veces. EJEMPLO 6 Una partícula se mueve en línea recta y tiene la aceleración dada por at 6t 4. Su velocidad inicial es v0 6 cm/s y su desplazamiento inicial es s0 9 cm. Encuentre su función de posición st. SOLUCIÓN Dado que , la antiderivada da Observe que v0 C, pero v0 6, de tal suerte que C 6 y vt 3t2 4t 6 vt 6 t2 2 4t C 3t2 4t C vt at 6t 4 V Fx fx x l x l f x l 0 3, f x f x 1 x 3 f 1 f3 0 0 x 1 fx fx y Fx F0 2 V fx Fx fx F0 1 f x x4 x3 2x2 3x 4 C 3 f1 1 1 2 C 4 1 D 4 f 0 0 D 4 f1 1 f 0 4 SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS |||| 343 1 2 3 0 4 FIGURA 3 x y y=ƒ FIGURA 4 1 x y 1 2 0 y=F(x) CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 343
- 409. Como vt st, s es la antiderivada de v: Esto da . Si , de modo que y la función de posición reque- rida es Un objeto cerca de la superficie de la tierra está sujeto a una fuerza gravitacional que produce una aceleración hacia abajo denotada con t. Para el movimiento cercano a la tierra supone que t es constante y su valor es de unos 9.8 m/s2 (o 32 pies/s2 ). EJEMPLO 7 Se lanza una pelota hacia arriba a una rapidez de 48 pies/s desde el bor- de de un acantilado a 432 pies por arriba del nivel de la tierra. Encuentre su altura sobre el nivel de la tierra t segundos más tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca contra el nivel de la tierra? SOLUCIÓN El movimiento es vertical y se elige la dirección positiva como la correspondiente hacia arriba. En un instante t, la distancia arriba del nivel de la tierra st y la velocidad vt es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe ser negativa y Con antiderivadas Para determinar C, use la información dada de que v0 48. Esto da 48 0 C, de manera que La altura máxima se alcanza cuando vt 0; es decir, después de 1.5 s. Como st vt, antiderive una vez más y obtiene Aplique s0 432 y tiene 432 0 D; por consiguiente La expresión para st es válida hasta que la pelota choca contra el nivel de la tierra. Esto sucede cuando st 0; o sea cuando o, equivalentemente, Con la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación obtiene Rechace la solución con signo menos, ya que da un valor negativo para t. En consecuen- cia, la pelota choca contra el nivel de la tierra después de s. 3(1 s13)2 6.9 t 3 3s13 2 t2 3t 27 0 16t2 48t 432 0 st 16t2 48t 432 st 16t2 48t D vt 32t 48 vt 32t C at dv dt 32 V st t3 2t2 6t 9 D 9 s0 9 s0 D st 3 t3 3 4 t2 2 6t D t3 2t2 6t D 344 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN En la figura 5, se muestra la función de posición de la pelota del ejemplo 7. La gráfica corrobora la conclusión obtenida: la pelota alcanza su altura máxima después de y choca contra el suelo luego de . 6.9 s 1.5 s 500 0 8 FIGURA 5 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 344
- 410. SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS |||| 345 43. , , 44. , , 45. , , , 46. , , , 47. Dado que la gráfica de f pasa por el punto 1, 6 y que la pendiente de su recta tangente en x, fx es 2x 1, en- cuentre f2. 48. Encuentre una función f tal que fx x3 y la recta x y 0 sea tangente a la gráfica de f. 49–50 Se proporciona la gráfica de una función f. ¿Qué gráfica es una antiderivada de f y por qué? 50. 51. Se presenta la gráfica de una función en la figura. Trace un cro- quis de una antiderivada F, dado que . 52. La gráfica de la función velocidad de un automóvil se ilustra en la figura. Elabore la gráfica de la función posición. Se muestra la gráfica de f. Dibuje la gráfica de f si ésta es continua y f0 1. 53. F0 1 x y f b c a y x f b c a 49. f 0 3 f 0 2 f 0 1 f x cos x f 2 0 f 1 0 x 0 f x x2 f 0 f 0 0 f t 2et 3 sen t f 2 0 f 0 1 f x 2 cos x 1–20 Encuentre la antiderivada más general de la función. (Com- pruebe su respuesta mediante la derivación.) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. ; 21–22 Encuentre la antiderivada F de f que satisfaga la condición dada. Compruebe su respuesta comparando las gráficas de F y f. 22. 23–46 Halle . 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. , 32. , , 33. , , 34. , 35. 36. 37. , , 38. , , , , 40. , , 41. , , 42. , , f 1 5 f 0 8 f x 20x3 12x2 4 f 2 15 f 0 9 f x 2 12x f 4 7 f 4 20 f t 3st f 0 4 f 0 3 f sen cos 39. f 0 1 f 0 2 f x 4 6x 40x3 f 1 3 f 1 5 f x 24x2 2x 10 f x 4s1 x2 , f (1 2 ) 1 f 1 1 f 1 1, f x x13 , f 1 0 f 1 1 2, f x x2 1x f 3 4 2 t 2 f t 2 cos t sec2 t f 1 3 x 0 f x 2x 3x4 f 1 10 f x sx6 5x f x 8x3 12x 3, f 1 6 f x 1 6x, f 0 8 f t t st f t et f x 6x sen x f x 2 3 x23 f x 2 x3 x6 f x 6x 12x2 23. f f x 4 31 x2 1 , F1 0 f x 5x4 2x5 , F0 4 21. f x 2 x2 1 x2 f x x5 x3 2x x4 f x 2sx 6 cos x f x 5ex 3 cosh x f x sen t 2 senh t t cos 5 sen f x 3ex 7 sec2 x f u u4 3su u2 13. tx 5 4x3 2x6 x6 f x 10 x9 f x s 4 x3 s 3 x4 f x 6sx s 6 x f x 2x 3x1.7 f x 5x14 7x34 f x x2 x2 f x x 1 2x 1 f x 8x9 3x6 12x3 f x 1 2 3 4 x2 4 5 x3 f x 1 2 x2 2x 6 f x x 3 EJERCICIOS 4.9 y y=ƒ 0 x 1 √ 0 t _1 x y 0 1 2 1 2 y=fª(x) CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 345
- 411. 346 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN E e I son constantes positivas que dependen del material con que está hecha la plataforma y es la aceleración debido a la gravedad. (a) Halle una expresión para la forma de la curva. (b) Use fL para estimar la distancia debajo de la horizontal al borde de la plataforma. 69. Una compañía estima que el costo marginal (en dólares por ar- tículo) de producir x artículos es de 1.92 0.002x. Si el costo de producción de un artículo es de $562, encuentre el costo de producir 100 artículos. 70. La densidad lineal de una varilla con una longitud de 1 m se expresa por medio de en gramos por centímetro, donde x se mide en centímetros desde uno de los extremos de la varilla. Encuentre la masa de esta última. 71. Dado que las gotas de lluvia crecen a medida que caen, su área superficial aumenta y, por lo tanto, se incrementa la resistencia a su caída. Una gota de lluvia tiene una velocidad inicial ha- cia abajo de 10 ms y su aceleración hacia abajo es Si al inicio la gota de lluvia está a 500 m arriba de la superficie de la tierra, ¿cuánto tarda en caer? 72. Un vehículo se desplaza a 50 millas/h cuando aplica los frenos, lo que produce una desaceleración constante de 22 pies/s2 . ¿Cuál es la distancia que recorre el automóvil antes de detenerse? ¿Que aceleración constante se requiere para incrementar la rapidez de un vehículo desde 30 millas/h hasta 50 millas/h en 5 s? 74. Un automóvil frenó con una desaceleración constante de 16 pies/s2 , lo que genera antes de detenerse unas marcas de desli- zamiento que miden 200 pies. ¿Qué tan rápido se desplazaba el vehículo cuando se aplicaron los frenos? 75. Un automóvil se desplaza a 100 km/h cuando el conductor ve un accidente 80 m más adelante y aplica los frenos apresurada- mente. ¿Qué desaceleración constante se requiere para detener el vehículo a tiempo de evitar chocar con los vehículos acci- dentados? 76. Un modelo de cohete se dispara verticalmente hacia arriba des- de el reposo. Su aceleración durante los primeros tres segundos es at 60t, momento en que se agota el combustible y se convierte en un cuerpo en “caída libre”. Después de 14 segundos, se abre el paracaídas del cohete y la velocidad (hacia abajo) disminuye linealmente hasta 18 pies/s en 5 s. Entonces el cohete “flota” hasta el piso a esa velocidad. (a) Determine la función de posición s y la función de veloci- dad v (para todos los tiempos t). Dibuje s y v. 73. a 9 0.9t 0 si 0 t 10 si t 10 x 1sx t 0 ; 54. (a) Use un aparato graficador para dibujar fx 2x . (b) A partir de la gráfica del inciso (a), dibuje una gráfica aproxi- mada de la antiderivada F que satisfaga F0 1. (c) Aplique las reglas de esta sección a fin de hallar una expre- sión para Fx. (d) Dibuje F usando la expresión del inciso (c). Compare con su esquema del inciso (b). ; 55–56 Dibuje una gráfica de f y mediante ella elabore un croquis de la antiderivada que pasa por el origen. 55. 56. 57–62 Una partícula se desplaza de acuerdo con la información da- da. Determine la posición de la partícula. 58. 59. 60. , , 61. , , 62. , , 63. Se deja caer una piedra desde la plataforma superior de obser- vación (la plataforma espacial) de la Torre CN, 450 m arriba del nivel de la tierra. (a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel de la tierra en el instante t. (b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel de la tierra? (c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel de la tierra? (d) Si la piedra se lanza hacia arriba a una rapidez de 5 m/s, ¿cuánto tarda en llegar el nivel de la tierra? 64. Demuestre que para el movimiento en línea recta con acelera- ción constante a, velocidad inicial v0 y desplazamiento inicial s0, el desplazamiento después del tiempo t es. Se proyecta un objeto hacia arriba con velocidad inicial v0 me- tros por segundo, desde un punto a s0 metros arriba del nivel de la tierra. Demuestre que 66. Se lanzan dos pelotas hacia arriba desde el borde del acantilado del ejemplo 7. La primera con una rapidez de 48 pies/s y la se- gunda se arroja 1 s más tarde con una rapidez de 24 pies/s. ¿En algún momento rebasa una a la otra? 67. Se dejó caer una piedra de un desfiladero y chocó contra el nivel de la tierra con una rapidez de 120 pies/s. ¿Cuál es la al- tura del desfiladero? 68. Si un clavadista con masa m está en el borde de una plataforma de clavados con longitud L y densidad lineal r, después la plata- forma adopta la forma de una curva y fx, donde EIy mtL x 1 2 tL x2 vt 2 v0 2 19.6 st s0 65. s 1 2 at2 v0 t s0 s1 20 s0 0 at t2 4t 6, s2 12 s0 0 at 10 sen t 3 cos t v0 5 s0 0 at cos t sen t at t 2, s0 1, v0 3 vt 1.5st, s4 10 vt sen t cos t, s0 0 57. f x sx4 2x2 2 1, 1.5 x 1.5 f x sen x 1 x2 , 2p x 2p 3sx y x 0 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 346
- 412. CAPÍTULO 4 REPASO |||| 347 (b) Suponga que el tren parte del reposo y debe detenerse por completo en 15 minutos. ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer en estas condiciones? (c) Encuentre el tiempo mínimo que tarda el tren en viajar entre dos estaciones consecutivas que se encuentran a 45 millas de distancia. (d) El viaje de una estación a la siguiente dura 37.5 minutos. ¿Cuál es la distancia entre las estaciones? (b) ¿En qué momento el cohete alcanza su altura máxima y cuál es esa altura? (c) ¿En qué momento aterriza? 77. Un tren “bala” de magnitud de velocidad alta acelera y desacele- ra a una proporción de 4 pies/s2 . Su rapidez de crucero máxima es de 90 mi/h. (a) ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer el tren si se acelera desde el reposo hasta que alcanza su rapidez de crucero y, a continuación, corre a esa rapidez durante 15 minutos? REPASO REVISIÓN DE CONCEPTOS 4 (c) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene una diferencia fx tx donde y cuando ? (d) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene una poten- cia fx gx donde fx l 0 y tx l 0 cuando x l a? 8. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, ¿por qué necesita el cálculo para dibujar una función? 9. (a) Dada una aproximación inicial x1 a una raíz de la ecuación fx 0, explique geométricamente, mediante un diagra- ma, ¿cómo se obtiene la segunda aproximación x2 en el mé- todo de Newton? (b) Escriba una expresión para x2 en términos de x1, fx1 y fx1. (c) Escriba una expresión para xn 1 en términos de xn, fxn y fxn. (d) ¿Bajo qué circunstancias es probable que el método de Newton falle o funcione muy despacio? 10. (a) ¿Qué es una antiderivada de una función f? (b) Suponga que F1 y F2 son antiderivadas de f sobre un inter- valo I. ¿Cómo se relacionan F1 y F2? x l a tx l f x l 1. Explique la diferencia entre máximo absoluto y máximo local. Ilustre por medio de un esquema. 2. (a) ¿Qué dice el teorema del valor extremo? (b) Explique cómo funciona el método del intervalo cerrado. 3. (a) Enuncie el teorema de Fermat. (b) Defina un número crítico de f. 4. (a) Enuncie el teorema de Rolle. (b) Enuncie el teorema del valor medio y proporcione una in- terpretación geométrica. 5. (a) Enuncie la prueba de crecientedecreciente. (b) ¿Que significa que f es cóncava hacia arriba en un intervalo I? (c) Enuncie la prueba de la concavidad. (d) ¿Qué son los puntos de inflexión? o Cómo puede hallar los? 6. (a) Enuncie la prueba de la primera derivada. (b) Enuncie la prueba de la segunda derivada. (c) ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas relativas de estas pruebas? 7. (a) ¿Qué dice la regla de l’Hospital? (b) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene un producto fxtx donde y cuando ? x l a tx l f x l 0 Determine si la proposición es verdadera o falsa.Si es verdadera,explique por qué.Si es falsa,explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. Si fc 0 después f tiene un máximo o un mínimo locales en c. 2. Si f tiene un valor mínimo absoluto en c, en tal caso fc 0. 3. Si f es continua sobre a, b en seguida f alcanza un valor má- ximo absoluto fc y un valor mínimo absoluto fd en algunos números c y k en a, b. 4. Si f es derivable y f1 f1, entonces existe un número c tal que y fc 0. 5. Si fx 0 para 1 x 6, entonces f es decreciente sobre 1, 6. 6. Si f2 0, entonces 2, f2 es un punto de inflexión de la curva y fx. c 1 7. Si fx tx para 0 x 1, a continuación fx tx para 0 x 1. 8. Existe una función f tal que f1 2, f3 0 y fx 1 para todo x. 9. Existe una función f tal que fx 0, fx 0 y fx 0 para todo x. 10. Existe una función f tal que fx 0, fx 0 y fx 0 para todo x. 11. Si f y t son crecientes en un intervalo I, entonces es cre- ciente en I. 12. Si f y t son crecientes en un intervalo I, entonces es creciente en I. f t f t PREGUNTAS DE VERDADERO O FALSO CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 347
- 413. 348 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 13. Si f y t son crecientes en un intervalo I, entonces ft es creciente en I. 14. Si f y t son funciones crecientes positivas en un intervalo I, entonces ft es creciente en I. 15. Si f es creciente y en I, entonces es decreciente en I. 16. Si f es par, entonces f es par. tx 1f x f x 0 17. Si f es periódico, entonces f es periódica. 18. La antiderivada más general de fx x2 es 19. Si fx existe y es diferente de cero para todo x, entonces . 20. lím xl0 x ex 1 f 1 f 0 Fx 1 x C 1–6 Encuentre los valores extremos locales y absolutos de la fun- ción sobre el intervalo dado. 1. 2. 3. , 4. , 5. , 6. , 7–14 Obtenga el límite. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15–17 Trace la gráfica de una función que cumple con las condi- ciones dada. 15. , en y en y en y en y 16. , f es continua y par si si , si 17. f es impar para , para , para , para , límx l f x 2 x 3 f x 0 0 x 3 f x 0 x 2 f x 0 0 x 2 f x 0 x 3 f x 1 1 x 3 0 x 1, f x 1 f x 2x f 0 0 6, 12 0, 6 f x 0 12, , , 0 f x 0 6, 9, 2, 1 f x 0 9, , , 2, 1, 6 f x 0 límxl f x 0, límxl6 f x , f 0 0, f 2 f 1 f 9 0 lím x l 2 tan xcos x lím x l 1 x x 1 1 ln x lím xl0 x2 ln x lím xl x3 ex lím xl e4x 1 4x x2 lím xl0 e4x 1 4x x2 lím xl0 1 cos x x2 x lím xl0 tan x ln1 x 1, 3 f x ln xx2 0, f x x sen 2x 2, 1 f x x2 2x3 2, 2 f x 3x 4 x2 1 f x xs1 x, 1, 1 f x x3 6x2 9x 1, 2, 4 18. En la figura se ilustra la gráfica de la derivada f de una función f. (a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente? (b) ¿Para qué valores de x la función f tiene un máximo local o un mínimo local? (c) Trace la gráfica de f. (d) Trace la gráfica posible de f. 19–34 Mediante los criterios de la sección 4.5 trace la curva. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. ; 35–38 Produzca gráficas de f que revelen todos los aspectos impor- tantes de la curva. Use las gráficas de f y f para estimar los inter- valos de incremento y decremento, los valores extremos los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. En el ejercicio 35 aplique el cálculo para determinar estas cantidades con exactitud. 35. 36. 37. f x 3x6 5x5 x4 5x3 2x2 2 f x x3 x x2 x 3 f x x2 1 x3 y x lnx2 1 y xe2x y e2xx2 y sen1 1x y 4x tan x, 2 x 2 y sen2 x 2 cos x y s 3 x2 1 y xs2 x y s1 x s1 x y x2 x 8 y 1 x2 1 x 22 y 1 xx 32 y 1 1 x2 y x4 3x3 3x2 x y x3 6x2 15x 4 y 2 2x x3 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 _1 _2 y=fª(x) EJERCICIOS CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 348
- 414. CAPÍTULO 4 REPASO |||| 349 38. ; 39. Trace la gráfica de fx e–1x2 en un rectángulo de visualización en que aparezcan todos los aspectos principales de la función. Estime los puntos de inflexión. En seguida, apli- que el cálculo para determinarlos con exactitud. 40. (a) Dibuje la función fx 11 e1x . (b) Explique la forma de la gráfica calculando los límites de fx cuando x tiende a , , 0 y 0 . (c) Use la gráfica de f para estimar las coordenadas de los puntos de inflexión. (d) Utilice su CAS para calcular y trazar la gráfica de f. (e) Con la gráfica del inciso (d) estime el punto de inflexión con más exactitud. 41–42 Utilice las gráficas de f, f y f para estimar la coordenada x de los puntos máximo y mínimo y los puntos de inflexión de f. 41. 42. ; 43. Investigue la familia de funciones de fx ln sen x C. ¿Cuáles características tienen los miembros de esta familia en común? ¿En qué difieren? ¿Para cuáles valores de C es f conti- nua sobre , ? ¿Para cuáles valores de C f no tiene grá- fica? ¿Qué sucede cuando C l ? ; 44. Investigue la familia de funciones fx cxecx2 .¿Qué le ocu- rre a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inflexión al cambiar c? Ilustre sus conclusiones dibujando varios miem- bros de la familia. 45. Demuestre que la ecuación posee exac- tamente una raíz real. 46. Suponga que f es continua en , y para toda x en 0, 4. Demuestre que . 47. Aplicando el teorema del valor medio a la función en el intervalo [32, 33], demuestre que 48. ¿Para cuáles valores de las constantes a y b se tiene que 1, 6 es un punto de inflexión de la curva y x3 ax2 bx 1? 49. Sea tx fx2 donde f es dos veces derivable para todo x, fx 0 para todo x 0 y f es cóncava hacia abajo sobre , 0 y cóncava hacia arriba sobre 0, . (a) ¿En cuáles números t tiene un valor extremo? (b) Discuta la concavidad de t. 50. Halle dos números enteros positivos tales que la suma del pri- mer número y cuatro veces el segundo sea 1000 y el producto de los números sea lo más grande posible. 2 s 5 33 2.0125 f x x15 9 f 4 21 2 f x 5 0, 4 , f 0 1 3x 2 cos x 5 0 f x e0.1x lnx2 1 f x cos2 x sx2 x 1 , p x p CAS CAS f x x2 6.5 sen x, 5 x 5 51. Demuestre que la distancia más corta desde el punto x1, y1 a la recta es 52. Encuentre el punto sobre la hipérbola xy 8 que está más cer- cano al punto 3, 0. 53. Halle el área más pequeña posible de un triángulo isósceles que está circunscrito a una circunferencia de radio r. 54. Encuentre el volumen del cono circular más grande que puede inscribirse en una esfera de radio r. 55. En ¢ABC, D queda en AB, , cm y cm. ¿Dónde se debe situar un punto P sobre CD de tal modo que la suma sea mínima? 56. Resuelva el ejercicio 55 cuando cm. 57. La velocidad de una ola de longitud L en agua profunda es donde K y C son constantes positivas conocidas. ¿Cuál es la longitud de la ola que da la velocidad mínima? 58. Se va a construir un tanque metálico de almacenamiento con volumen V, en forma de un cilindro circular recto rematado por un hemisferio. ¿Cuáles dimensiones requerirán la cantidad mínima de metal? 59. Un equipo de hockey juega en una arena con una capacidad de 15 000 espectadores. Con el precio del boleto fijado en $12, la asistencia promedio en un juego es de 11 000 especta- dores. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que disminuya el precio del boleto, la asistencia promedio aumen- tará 1 000. ¿Cómo deben de fijar los propietarios del equipo el precio del boleto para maximizar sus ingresos provenientes de la venta de boletos? ; 60. Un fabricante determina que el costo de fabricar x unidades de un artículo es y la función de demanda es . (a) Dibuje las funciones de costo y de ingreso y úselas para estimar el nivel de producción para obtener la utilidad máxima. (b) Aplique el cálculo a fin de hallar el nivel de producción para obtener la utilidad máxima. (c) Estime el nivel de producción que minimice el costo promedio. 61. Aplique el método de Newton para calcular la raíz de la ecua- ción en el intervalo [1, 2] con una aproximación de seis posiciones decimales. 62. Aplique el método de Newton para hallar todas las raíces de la ecuación sen x x2 3x 1 con una exactitud de seis posiciones decimales. 63. Aplique el método de Newton para hallar el valor máximo ab- soluto de la función fx cos t t t2 , con una exactitud de ocho posiciones decimales. x5 x4 3x2 3x 2 0 px 48.2 0.03x Cx 1 800 25x 0.2x2 0.001x3 v KL C C L CD 2 PA PB PC CD 5 AD BD 4 CD AB Ax1 By1 C sA2 B2 Ax By C 0 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 349
- 415. 350 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN 64. Aplique las normas de la sección 4.5 para trazar la curva y x sen x, . Recurra al método de Newton si es necesario. 65–72 Determine f. 65. 66. 67. 68. 69. , 70. , 71. , , 72. , , 73–74 Se está moviendo una partícula con la información que se proporciona. Halle la posición de la partícula. 73. 74. ; 75. (a) Si , use una gráfica de f para dibujar una gráfica aproximada de la antiderivada F de f que satisfaga F0 0. (b) Encuentre una expresión para Fx. (c) Dibuje F con la expresión del inciso (b). Compare con su esquema del inciso (a). ; 76. Investigue la familia de curvas dada por En particular, determine el valor de transición de c en que cam- bia la cantidad de números críticos y el valor de transición en que varía el número de puntos de inflexión. Ilustre las formas posibles con gráficas. 77. Se deja caer un recipiente metálico desde un helicóptero a 500 m arriba de la superficie de la tierra. Su paracaídas no se abre, pero el recipiente ha sido diseñado para soportar una velocidad de impacto de 100 ms. ¿Se reventará o no? 78. En una carrera de automóviles a lo largo de una pista recta, el auto A deja atrás dos veces al vehículo B. Demuestre que en algún momento en la carrera las aceleraciones de los automóvi- les fueron iguales. Plantee las suposiciones que haga. 79. Se va a cortar una viga rectangular a partir de un tronco cilín- drico que tiene un radio de 10 pulgadas. (a) Demuestre que la viga de área máxima de sección transver- sal es cuadrada. f x x4 x3 cx2 f x 0.1ex sen x, 4 x 4 a t sen t 3 cos t, s0 0, v0 2 v t 2t 11 t2 , s0 1 f 1 0 f 0 2 f x 2x3 3x2 4x 5 f 0 2 f 0 1 f x 1 6x 48x2 f 1 3 f u u2 su u f 0 5 f t 2t 3 sen t f x senh x 2 cosh x, f 0 2 f x sx3 3 sx2 f x 2ex sec x tan x f x cos x 1 x2 12 0 x 2 (b) Se van a cortar cuatro tablones rectangulares de las cuatro secciones del tronco que quedan después de cortar la viga cuadrada. Determine las dimensiones de los tablones que tendrán el área máxima de la sección transversal. (c) Suponga que la resistencia de la viga rectangular es propor- cional al producto de su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las dimensiones de la viga más fuerte que se puede cortar a partir del tronco cilíndrico 80. Si se dispara un proyectil a una velocidad inicial v a un ángulo de inclinación u a partir de la horizontal, por lo tanto su trayectoria, despreciando la resistencia del aire, es la parábola (a) Suponga que el proyectil se dispara desde la base de un pla- no inclinado que forman un ángulo a, a 0, respecto de la horizontal, como se muestra en la figura. Demuestre que el alcance del proyectil, medido hacia arriba de la pendiente, se expresa mediante (b) Determine u de modo que sea un máximo. (c) Suponga que el plano forma un ángulo a hacia abajo de la horizontal. Determine el alcance R en este caso y el ángu- lo al cual debe dispararse el proyectil para maximizar R. 81. Demuestre que, para , 82. Trace la gráfica de una función f tal que para toda para para y . límx l f x x 0 x 1 f x 0 x 1, x, f x 0 f x 0 x 1 x2 tan1 x x x 0 R R 2v2 cos sen t cos2 0 2 y tanx t 2v2 cos2 x2 altura ancho 10 ¨ å x y 0 R CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 350
- 416. 351 PROBLEMAS ADICIONALES Uno de los principios más importantes en la solución de los problemas es la analogía (véase la página 76). Si tiene dificultades para comenzar un problema, conviene resolver un problema semejante más sencillo. En el ejemplo siguiente se ilustra el principio. Cubra la solución e intente solucionarlo primero. EJEMPLO 1 Si x, y y z son números positivos demuestre que SOLUCIÓN Puede resultar difícil empezar con este problema. (Algunos estudiantes lo han atacado multiplicando el numerador, pero eso sólo genera un lío.) Intente pensar en un problema similar, más sencillo. Cuando intervienen varias variables, a menudo resulta útil pensar en un problema análogo con menos variables. En el presente caso, puede reducir el número de variables de tres a una y probar la desigualdad análoga De hecho, si puede probar (1), entonces se deduce la desigualdad deseada porque La clave para probar (1) es reconocer que es una versión disfrazada de un problema de mínimo. Si hace entonces fx 1 1x2 , de tal suerte que fx 0 cuando x 1. Asimismo, fx 0 para 0 x 1, y fx 0 para x 1. Por consiguiente, el valor mínimo ab- soluto de f es f1 2. Esto significa que para todos los valores positivos de x y, como se mencionó con anterioridad, por multiplicación se infiere la desigualdad dada. La desigualdad (1) pudo probarse sin cálculo. De hecho, si x 0 Debido a que la última desigualdad obviamente es verdadera, la primera también lo es. ? x 12 0 x2 1 x 2 ? x2 1 2x ? x2 2x 1 0 x2 1 x 2 x 0 fx x2 1 x x 1 x x2 1y2 1z2 1 xyz x2 1 x y2 1 y z2 1 z 2 2 2 8 x2 1 x 2 para x 0 1 x2 1y2 1z2 1 xyz 8 Retome el concepto ¿Qué ha aprendido a partir de la solución de este ejemplo? Para resolver un problema que comprende varias variables, podría ayudar resolver un problema semejante con una variable. Cuando intente probar una desigualdad, po- dría ayudar si piensa en ella como en un problema de máximo y mínimo. CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 351
- 417. 352 PROBLEMAS ADICIONALES 1. Si un rectángulo tiene su base sobre el eje x y dos vértices sobre la curva y ex2 , demuestre que el rectángulo tiene el área más grande posible cuando los dos vértices están en los puntos de inflexión de la curva. 2. Demuestre que para todo x. 3. Demuestre que para todos los valores positivos de x y y, 4. Demuestre que para todos los números x y y tales que y . 5. Si a, b, c y d son constantes tal que halle el valor de la suma a b c d. 6. Encuentre el punto sobre la parábola y 1 x2 en el cual la recta tangente corta el primer cuadrante en un triángulo con área mínima. 7. Encuentre los puntos más altos y más bajos sobre la curva x2 xy y2 12. 8. Esquematice el conjunto de todos los puntos x, y tales que . 9. Si es cualquier punto en la parabola y x2 , excepto en el origen, sea Q el punto donde la línea normal cruza la parábola una vez más. Demuestre que el segmento de línea PQ tiene la longitud más corta posible cuando 10. ¿Para que valores de c la curva tiene puntos de inflexión? 11. Determine los valores del número a para los cuales la función f no tiene números críticos. 12. Trace la región en el plano que consta de todos los puntos x, y tales que 13. La recta corta a la parábola y x2 en los puntos A y B (véase la figura). Determine el punto P en el arco AOB de la parábola que maximiza el área del triángulo PAB. 14. ABCD es un trozo cuadrado de papel con lados de longitud 1 m. Se dibuja un cuarto de círculo desde B hasta D, con centro en A. El trozo de papel se dobla a lo largo de EF con E sobre AB y F sobre AD, de suerte que A cae sobre el cuarto de círculo. Determine las áreas máxima y mínima que podría tener el triángulo AEF. 15. ¿Para qué números positivos a la curva corta a la recta y x? 16 ¿Para qué valores de a es verdadera la ecuación siguiente? 17. Sea , donde , , . . . , son números reales y n es un entero positivo. Si sabe que para toda x, demuestre que a1 2a2 nan 1 f x sen x an a2 a1 f x a1 sen x a2 sen 2x an sen nx lím xl x a x a x e y ax y mx b 2xy x y x2 y2 f x a2 a 6 cos 2x a 2x cos 1 y cx3 ex a 1s2 Pa, a2 x y ex lím xl 0 ax2 sen bx sen cx sen dx 3x2 5x4 7x6 8 y 2 x 2 x2 y2 4 x2 4 y2 16 exy xy e2 sen x cos x s2 PROBLEMAS O y x y=≈ y=mx+b P B A FIGURA PARA EL PROBLEMA 13 0 x y P Q FIGURA PARA EL PROBLEMA 9 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 352
- 418. 353 PROBLEMAS ADICIONALES 18. Un arco PQ de un círculo subtiende un ángulo central u, como en la figura. Sea Au el área entre la cuerda PQ y el arco PQ. Sea Bu el área entre las rectas tangentes PR, QR y el arco. Encuentre 19. La velocidad del sonido c1 en una capa superior y c2 en una capa inferior de roca y el espesor h de la capa superior se pueden calcular mediante la exploración sísmica si la velocidad del sonido en la capa inferior es mayor que la velocidad en la capa superior. Se hace detonar una carga de dinamita en el punto P y las señales transmitidas se registran en el punto Q, el cual está a una distancia D de P. La primera señal que llega a Q viaja por la superficie y tarda T1 segundos. La siguiente señal viaja desde el punto P al punto R, desde R a S en la capa inferior y luego a Q, lo cual le lleva T2 segundos. La tercera señal es reflejada por la capa inferior en el punto medio O de RS y tarda T3 segundos en llegar a Q. (a) Exprese T1, T2 y T3 en función de D, h, c1, c2 y u. (b) Demuestre que T2 es un mínimo cuando . (c) Suponga que , , , . Calcule c1, c2 y h. Nota: Los geofísicos usan esta técnica cuando estudian la estructura de la corteza terrestre, ya sea con fines de detectar petróleo o enormes grietas en las rocas. 20. ¿Para qué valores de c existe una recta que cruce la curva en cuatro puntos diferentes? 21. Uno de los problemas que planteó el marqués de l’Hospital en su libro de texto Analyse des Infi- niment Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto C me- diante una cuerda de longitud r. En otro punto B sobre el techo, a una distancia d de C (donde d r), una cuerda de longitud ᐉ se conecta a la polea y pasa por ésta en F y se conecta a un peso W. El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio D. Tal y como argu- mentó l’Hospital, esto sucede cuando la distancia se maximiza. Demuestre que cuando el sistema alcanza el punto de equilibrio, el valor de x es observe que esta expresión es independiente tanto de W como de ᐉ. 22. Dada una esfera con radio r, encuentre la altura de una pirámide de volumen mínimo cuya base es un cuadrado y cuyas caras base y triangular son tangentes a la esfera. ¿Qué sucede si la base de la pirámide es un n-gono regular? (Un n-gono regular es un polígono con n lados y ángulos iguales.) (Use el hecho de que el volumen de una pirámide es , donde A es el área de la base.) 23. Suponga que una bola de nieve se funde de tal modo que su volumen disminuye en proporción directa a su área superficial. Si tarda tres horas en que la bola disminuya a la mitad de su vo- lumen original, ¿cuánto tardará la bola en fundirse totalmente? 24. Una burbuja hemiesférica se coloca sobre una burbuja esférica de radio 1. Después, una burbuja hemisférica más pequeña se coloca sobre la primera. Este proceso prosigue hasta que se forman n cámaras, incluso la esfera. (La figura muestra el caso n 4.) Utilice la inducción matemática para probar que la altura máxima de cualquier torre de burbujas con n cámaras es . 1 sn 1 3 Ah r 4d (r sr2 8d2 ) ED y x4 cx3 12x2 5x 2 T3 0.34 s T2 0.32 s T1 0.26 s D 1 km sen c1c2 lím l0 A B D h R P ¨ Rapidez del sonido=c™ Q O S ¨ Rapidez del sonido=c¡ P Q B(¨) A(¨) ¨ R FIGURA PARA EL PROBLEMA 18 r C F D d x B E FIGURA PARA EL PROBLEMA 21 FIGURA PARA EL PROBLEMA 24 CAPITULO-04-C 06/04/2009 19:19 Page 353
- 419. 354 Para calcular un área aproxime una región mediante una gran cantidad de rectángulos. El área exacta es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos. INTEGRALES 5 En el capítulo 2 utilizó los problemas de la tangente y de la velocidad para introducir la derivada, la cual constituye la idea central del cálculo diferencial. De manera muy semejante, en este capítulo se empieza con los problemas del área y de la distancia y se utilizan para formular la idea de integral definida, la cual representa el concepto básico del cálculo integral. En los capítulos 6 y 8 verá cómo usar la integral para resolver pro- blemas referentes a volúmenes, longitudes de curvas, predicciones sobre población, gasto cardiaco, fuerzas sobre la cortina de una presa, trabajo, superávit del consumidor y béisbol, entre muchos otros. Existe una conexión entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. El teorema funda- mental del cálculo relaciona la integral con la derivada y, en este capítulo, verá que sim- plifica en gran parte la solución de muchos problemas. CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 354
- 420. 355 ÁREAS Y DISTANCIAS En esta sección se descubre que al intentar hallar el área debajo de una curva o la distan- cia recorrida por un automóvil, se finaliza con el mismo tipo especial de límite. EL PROBLEMA DEL ÁREA Empiece por intentar resolver el problema del área: hallar el área de la región S que está debajo de la curva y f(x), desde a hasta b. Esto significa que S (figura 1) está limita- da por la gráfica de una función continua f donde f(x)
- 421. 0 , las rectas verticales x a y x b, y el eje x. Al intentar resolver el problema del área, debe preguntarse: ¿cuál es el significado de la palabra área? Esta cuestión es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para un rectángulo, se define como el producto del largo y el ancho. El área de un triángulo es la mitad de la base multiplicada por la altura. El área de un polígono se encuentra al di- vidirlo en triángulos (figura 2) y sumar las áreas de esos triángulos. Sin embargo, no es fácil hallar el área de una región con lados curvos. Todos tiene una idea intuitiva de lo que es el área de una región. Pero parte del problema del área es hacer que esta idea sea precisa dando una definición exacta de área. Recuerde que al definir una tangente, primero se obtuvo una aproximación de la pen- diente de la recta tangente por las pendientes de rectas secantes y, a continuación tomó el límite de estas aproximaciones. Siga una idea similar para las áreas. En primer lugar obtenga una aproximación de la región S por medio de rectángulos y después tome el lí- mite de las áreas de estos rectángulos, como el incremento del número de rectángulos En el ejemplo siguiente se ilustra el procedimiento. EJEMPLO 1 Use rectángulos para estimar el área debajo de la parábola y x2 , desde 0 hasta 1 (la región parabólica S se ilustra en la figura 3). SOLUCIÓN En primer lugar, el área de S debe encontrarse en alguna parte entre 0 y 1, porque S está contenida en un cuadrado cuya longitud del lado es 1 pero, en verdad, puede lograr algo mejor que eso. Suponga que divide S en cuatro franjas S1, S2, S3 y S4, al trazar las rectas verticales , y como en la figu- ra 4(a). x 3 4 x 1 2 x 1 4 V FIGURA 2 h b A= bh A¡ A™ A£ A¢ A=A¡+A™+A£+A¢ A=lw l w 1 2 0 y a b x y=ƒ S x=a x=b FIGURA 1 S=s(x, y) | a¯x¯b, 0¯y¯ƒd 5.1 Ahora es un buen momento para leer (o volver a leer) Presentación preliminar del cálculo (véase la página 2), que analiza las ideas unificadoras del cálculo y le ayuda a situarse en la perspectiva de dónde está y hacia dónde va. FIGURA 3 0 y x 1 (1, 1) y=≈ S CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 355
- 422. Puede obtener una aproximación de cada franja por medio de un rectángulo cuya base sea la misma que la de la franja y cuya altura sea la misma que la del lado derecho de la propia franja véase la figura 4(b) . En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función en los puntos extremos de la derecha de los su- bintervalos , , y . Cada rectángulo tiene un ancho de y las alturas son , , y . Si denota con la suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación, obtiene A partir de la figura 4(b) se ve que el área A de S es menor que , de modo que En lugar de usar los rectángulos de la figura 4(b), es posible optar por los más pequeños de la figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos extremos de la izquierda de los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se ha aplastado, debido a que su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos de aproximación es El área de S es mayor que L4, de modo que se tiene estimaciones superior e inferior para A: Es posible repetir este procedimiento con un número mayor de franjas. En la figu- ra 6 se muestra lo que sucede cuando divide la región S en ocho franjas de anchos iguales. FIGURA 6 Aproximación de S con (a) Usando los puntos extremos de la izquierda (b) Usando los puntos extremos de la derecha 0 1 (1, 1) 1 8 0 1 1 8 y=≈ (1, 1) y x y x ocho rectángulos 0.21875 A 0.46875 L4 1 4 02 1 4 (1 4 )2 1 4 (1 2 )2 1 4 (3 4 )2 7 32 0.21875 A 0.46875 R4 R4 1 4 (1 4 )2 1 4 (1 2 )2 1 4 (3 4 )2 1 4 12 15 32 0.46875 R4 12 (3 4 )2 (1 2 )2 (1 4 )2 1 4 [3 4, 1] [1 2, 3 4 ] [1 4, 1 2 ] [0, 1 4 ] fx x2 FIGURA 4 (b) 0 1 (1, 1) 3 4 1 2 1 4 (a) 0 y x 1 (1, 1) y=≈ 3 4 1 2 1 4 S¢ S£ S™ S¡ y x 356 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 0 y x 1 (1, 1) 3 4 1 2 1 4 y=≈ FIGURA 5 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 356
- 423. Al calcular la suma de las áreas de los rectángulos más pequeños y la suma de las áreas de los rectángulos más grandes , obtiene mejores estimaciones inferior y superior para A: De modo que una respuesta posible para la pregunta es decir que el área verdadera de S se encuentra en alguna parte entre 0.2734375 y 0.3984375. Podría obtener estimaciones mejores al incrementar el número de franjas. En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos semejantes (con una computadora), usando n rectángulos cuyas alturas se encontraron con los puntos extre- mos de la izquierda o con los puntos extremos de la derecha . En particular, al usar 50 franjas, el área se encuentra entre 0.3234 y 0.3434. Con 1000 franjas, lo estrecha incluso más: A se halla entre 0.3328335 y 0.3338335. Se obtiene una buena aproximación, promediando estos números: . Con base en los valores de la tabla en el ejemplo 1, parece que tiende a conforme n crece. Se confirma esto en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2 Para la región S del ejemplo 1, demuestre que la suma de las áreas de los rectángulos superiores de aproximación tiende a ; es decir, SOLUCIÓN es la suma de las áreas de los n rectángulos de la figura 7. Cada rectángulo tie- ne un ancho de y las alturas son los valores de la función en los puntos ; es decir, las alturas son . De este modo, En este punto necesita la fórmula para la suma de los cuadrados de los n primeros enteros positivos: Es posible que ya haya visto esta fórmula. Se prueba en el ejemplo 5 del apéndice E. Al agregar la fórmula 1 a la expresión para , obtiene De modo que 1 6 1 2 1 3 lím n l 1 6 1 1 n 2 1 n lím n l 1 6 n 1 n 2n 1 n lím n l Rn lím n l n 12n 1 6n2 Rn 1 n3 nn 12n 1 6 n 12n 1 6n2 Rn 12 22 32 n2 nn 12n 1 6 1 1 n3 12 22 32 n2 1 n 1 n2 12 22 32 n2 Rn 1 n 1 n 2 1 n 2 n 2 1 n 3 n 2 1 n n n 2 1n2 , 2n2 , 3n2 , . . . , nn2 1n, 2n, 3n, . . . , nn f x x2 1n Rn lím n l Rn 1 3 1 3 V 1 3 Rn A 0.3333335 Rn Ln 0.2734375 A 0.3984375 R8 L8 SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 357 n 10 0.2850000 0.3850000 20 0.3087500 0.3587500 30 0.3168519 0.3501852 50 0.3234000 0.3434000 100 0.3283500 0.3383500 1000 0.3328335 0.3338335 Rn Ln FIGURA 7 1 n 0 y x 1 (1, 1) y=≈ En este caso se calcula el límite de la sucesión . En Presentación preliminar del cálculo se analizaron las sucesiones y en el capítulo 11 se estudian con detalle. Sus límites se calculan de la misma manera que los límites en el infinito (sección 2.6). En particular, sabe que lím n l 1 n 0 Rn
- 424. CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 357
- 425. Se puede demostrar que las sumas inferiores de aproximación también tienden a ; es decir, Con base en las figuras 8 y 9 parece que conforme n crece, tanto como se vuelven cada vez mejores aproximaciones para el área de S. Por tanto, se define el área A como el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación; esto es, 1 0 x y n=10 L¡¸=0.285 1 0 x y n=30 L£¸Å0.3169 1 0 x y n=50 L∞¸=0.3234 FIGURA 9 El área es aquel número que es menor que todas las sumas superiores y mayor que todas las sumas inferiores FIGURA 8 1 0 y n=50 R∞¸=0.3434 1 0 y n=30 R£¸Å0.3502 1 0 x x x y n=10 R¡¸=0.385 A lím n l Rn lím n l Ln 1 3 Rn Ln lím n l Ln 1 3 1 3 358 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES En Visual 5.1 puede crear figuras como la 8 y 9 para otros valores de n. TEC Aplique la idea de los ejemplos 1 y 2 a la región más general S de la figura 1. Empiece por subdividir S en n franjas de anchos iguales, como en la figura 10. S1, S2, . . . , Sn FIGURA 10 b a 0 y x . . . . . . y=ƒ S¡ S™ S£ Si Sn xi xi-1 xn-1 ¤ ⁄ ‹ CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 358
- 426. El ancho del intervalo es , de modo que el ancho de cada una de las n fran- jas es Estas franjas dividen el intervalo a, b en n subintervalos donde y . Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son Obtenga una aproximación de la i-ésima franja, Si, con un rectángulo con ancho y altura , que es el valor de f en el punto extremo de la derecha (véase la figura 11). Después, el área del i-ésimo rectángulo es . Lo que concebió de manera intuiti- va como el área de S que se aproxima con la suma de las áreas de estos rectángulos, la cual es: En la figura 12 se muestra esta aproximación para n 2, 4, 8 y 12. Advierta que esta aproximación parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidad de franjas; es decir, cuando . Por consiguiente, se define el área A de la región S de la manera si- guiente: n l FIGURA 11 0 y x Îx f(xi) xi xi-1 a b ¤ ⁄ ‹ Rn f x1 x f x2 x f xn x f xi x f xi x x3 a 3 x, x2 a 2 x, x1 a x, xn b x0 a x0, x1 , x1, x2 , x2, x3 , . . . , xn1, xn x b a n b a a, b SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 359 FIGURA 12 0 y x a ⁄ (a) n=2 b 0 y x a ⁄ ¤ ‹ (b) n=4 b 0 y x a (c) n=8 b 0 y x a b (d) n=12 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 359
- 427. DEFINICIÓN El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: Se puede probar que el límite de la definición 2 siempre existe, porque se supone que f es continua. También es posible demostrar que se obtiene el mismo valor con los puntos extremos de la izquierda: De hecho, en lugar de usar los puntos extremos de la izquierda o los de la derecha, po- dría tomar la altura del i-ésimo rectángulo como el valor de f en cualquier número en el i-ésimo subintervalo . A estos números , , . . . , se les llaman puntos muestras. En la figura 13 se presentan los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestras diferentes de los puntos extremos. De suerte que una expresión más gene- ral para el área de S es A menudo se usa la notación sigma para escribir de manera más compacta las sumas con muchos términos. Por ejemplo Con lo cual las expresiones para el área, que se dan en las ecuaciones 2, 3 y 4, se pueden escribir como: A lím n l n i1 fxi * x A lím n l n i1 f xi1 x A lím n l n i1 fxi x n i1 fxi x f x1 x f x2 x f xn x FIGURA 13 xi xi-1 0 y x a b ¤ ⁄ ‹ xn-1 x¡ * x™ * x£ * xn * xi * Îx f(xi *) A lím n l f x1 * x f x2 * x f xn * x 4 xn * x2 * x1 * xi1, xi xi * A lím n l Ln lím n l f x0 x f x1 x f xn1 x 3 A lím n l Rn lím n l f x1 x f x2 x f xn x 2 360 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES Esto indica que termine con i=n. Esto indica que hay que sumar. Esto indica que hay que emprezar con i=m. μf(xi) Îx n i=m Si necesita practicar la notación sigma vea los ejemplos e intente resolver algunos de los ejemplos del apéndice E. CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 360
- 428. También podría volver a escribir la fórmula 1 de esta manera: EJEMPLO 3 Sea A el área de la región que está debajo de la gráfica de , entre x 0 y x 2. (a) Con los puntos extremos de la derecha, encuentre una expresión para A como un lí- mite. No evalúe ese límite. (b) Estime el área al tomar los puntos muestras como los puntos medios y con cuatro sub- intervalos; luego con diez subintervalos. SOLUCIÓN (a) Como a 0 y b 2, el ancho de un subintervalo es Por lo tanto, y . La suma de las áreas de los rectángulos de aproximación es De acuerdo con la definición 2, el área es Si se usa la notación sigma, se podría escribir Es difícil evaluar este límite directamente a mano, no así con la ayuda de un sistema al- gebraico para computadora (véase el ejercicio 24). En la sección 5.3 halla A con más facilidad, aplicando un método diferente. (b) Con n 4, los subintervalos de ancho igual, ¢x 0.5, son 0, 0.5 , 0.5, 1 , 1, 1.5 y 1.5, 2 . Los puntos medios de estos subintervalos son x1 * 0.25, x2 * 0.75, x3 * 1.25 y x4 * 1.75, y la suma de las áreas de los cuatro rectángulos de aproximación (véase la fi- gura 14) es De este modo, una estimación para el área es A 0.8557 1 2 e0.25 e0.75 e1.25 e1.75 0.8557 e0.25 0.5 e0.75 0.5 e1.25 0.5 e1.75 0.5 f 0.25 x f 0.75 x f1.25 x f1.75 x M4 4 i1 fxi * x A lím n l 2 n n i1 e2in A lím n l Rn lím n l 2 n e2n e4n e6n e2nn e2n 2 n e4n 2 n e2nn 2 n ex1 x ex2 x exn x Rn f x1 x f x2 x f xn x xn 2nn x1 2n, x2 4n, x3 6n, xi 2in x 2 0 n 2 n fx ex n i1 i2 nn 12n 1 6 SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 361 FIGURA 14 1 2 1 y=e–® 0 y x CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 361
- 429. Con n 10, los subintervalos son , , . . . , y los puntos medios son . Por consiguiente, Con base en la figura 15, parece que esta estimación es mejor que la que se hizo con n 4. EL PROBLEMA DE LA DISTANCIA Considere ahora el problema de la distancia: hallar la distancia recorrida por un obje- to durante cierto periodo, si se conoce la velocidad del objeto en todos los momentos. (En cierto sentido, éste es el problema inverso del que se analizó en la sección 2.1.) Si la veloci- dad permanece constante, entonces el problema de la distancia es fácil de resolver por medio de la fórmula: distancia velocidad tiempo Pero si la velocidad varía, no es fácil hallar la distancia recorrida. Investigue el problema en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4 Suponga que el odómetro del automóvil está averiado y que desea estimar la distancia que ha recorrido en 30 segundos. Las lecturas del velocímetro cada cinco segundos están registradas en la tabla siguiente: Para tener el tiempo y la velocidad en unidades coherentes, convierta las lecturas de velocidad a pies por segundo (1 mih 5 280/3 600 piess): Durante los primeros cinco segundos, la velocidad no cambia mucho, de modo que puede estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponer que la velocidad es constante. Si la considera igual a la velocidad inicial (25 piess), por lo tanto obtiene la distancia aproximada recorrida durante los primeros cinco segundos: De manera análoga, durante el segundo intervalo, la velocidad es aproximadamente constante y se toma como la velocidad correspondiente a t 5 s. De modo que la estimación para la distancia recorrida desde t 5 s hasta t 10 s es Si suma las estimaciones semejantes para los otros intervalos de tiempo, obtiene una estimación para la distancia total recorrida: 25 5 31 5 35 5 43 5 47 5 46 5 1 135 pies 31 piess 5 s 155 pies 25 piess 5 s 125 pies V 0.2e0.1 e0.3 e0.5 e1.9 0.8632 A M10 f 0.1 x f 0.3 x f 0.5 x f1.9 x x1 * 0.1, x2 * 0.3, x3 * 0.5, . . . , x10 * 1.9 1.8, 2 0.2, 0.4 0, 0.2 362 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES y=e–® 1 1 0 y x FIGURA 15 2 Tiempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 Velocidad (mih) 17 21 24 29 32 31 28 Tiempo (s) 0 5 10 15 20 25 30 Velocidad (piess) 25 31 35 43 47 46 41 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 362
- 430. Con igual propiedad podría haber usado la velocidad correspondiente al final de cada periodo, en lugar de la velocidad al principio de los mismos, como la supuesta velocidad constante. En tal caso las estimaciones quedarían Si buscara una estimación más exacta, habría tomado las lecturas de la velocidad cada dos segundos o cada segundo. Tal vez los cálculos del ejemplo 4 le recuerden las sumas usadas al principio para esti- mar las áreas. La semejanza se explica cuando dibuja una gráfica de la función de veloci- dad del automóvil de la figura 16 y dibuja ractángulos cuyas alturas son las velocidaes iniciales de cada intervalo. El área del primer rectángulo es , lo que también es su estimación de la distancia recorrida en los primeros cinco segundos. De hecho, el área de cada rectángulo se puede interpretar como una distancia, porque la altura represen- ta velocidad y el ancho al tiempo. La suma de las áreas de los rectángulos de la figura 16 es , lo cual es la estimación inicial de la distancia total recorrida. En general, suponga que un objeto se mueve con velocidad , en donde y (de modo que el objeto siempre se mueve en la dirección positiva). Tome las lecturas de la velocidad en los instantes , de forma que la velocidad sea aproximadamente constante en cada subintervalo. Si estos instantes están igualmente espaciados, entonces el tiempo entre lecturas consecutivas es . Durante el primer intervalo, la velocidad es más o menos y, por consiguiente, la dis- tancia recorrida es alrededor de . De manera análoga, la distancia recorrida durante el segundo intervalo es alrededor de y la distancia total recorrida durante el inter- valo es poco más o menos Si usa la velocidad en los puntos extremos de la derecha, en lugar de los puntos extremos de la izquierda, su estimación para la distancia total se convierte en Entre mayor sea la frecuencia con que se mide la velocidad, más exactas se vuelven las es- timaciones, de modo que parece plausible que la distancia exacta d recorrida sea el límite de esas expresiones: En la sección 5.4 verá que, en efecto, esto es verdadero. En virtud de que la ecuación 5 tiene la misma forma que las expresiones para el área, da- das en las ecuaciones 2 y 3, se concluye que la distancia recorrida es igual al área debajo de la gráfica de la función de velocidad. En los capítulos 6 y 8 verá que otras cantidades de in- terés en las ciencias naturales y sociales como el trabajo realizado por una fuerza variable o el gasto cardiaco también pueden interpretarse como el área debajo de la curva. De modo que cuando calcule áreas en este capítulo, tenga presente que pueden interpretarse de diver- sas maneras prácticas. d lím n l n i1 fti1 t lím n l n i1 fti t 5 ft1 t ft2 t f tn t n i1 f ti t f t0 t ft1 t ftn1 t n i1 f ti1 t a, b f t1 t f t0 t ft0 t b an t0 a, t1, t2, . . . , tn b ft 0 a t b v ft L6 1 135 25 5 125 31 5 35 5 43 5 47 5 46 5 41 5 1 215 pies SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 363 FIGURA 16 10 20 20 40 30 0 √ t CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 363
- 431. 364 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES puntos extremos de la derecha. Enseguida mejore su esti- mación usando seis rectángulos. Dibuje la curva y los rec- tángulos de aproximación. (b) Repita el inciso (a) usando los puntos extremos de la izquierda. (c) Repita el inciso (a) usando los puntos medios. (d) Con base en sus dibujos de los incisos (a) a (c), ¿cuál pare- ce ser la mejor estimación? ; 6. (a) Trace la gráfica de la función . (b) Estime el área debajo de la gráfica de f con cuatro rectán- gulos de aproximación y considerando que los puntos mues- tras son (i) los puntos extremos de la derecha y (ii) los puntos medios. En cada caso, trace la curva y los rectángulos. (c) Mejore sus estimados del inciso (b) utilizando 8 rectán- gulos. 7–8 Con una calculadora programable (o una computadora) es posi- ble evaluar las expresiones para las sumas de las áreas de los rectán- gulos de aproximación, incluso para valores grandes de n, con el uso de lazos. (En una TI, use el comando Is o un rizo For-EndFor, en una Casio, use Isz, en una HP o en BASIC, use un lazo FOR-NEXT.) Calcule la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación; use subintervalos iguales y los puntos extremos de la derecha, para n 10, 30, 50 y 100. Luego, infiera el valor del área exacta. 7. La región debajo de y sen x4 desde hasta 1. 8. La región debajo de y cosx desde 1 hasta /2. 9. Algunos sistemas algebraicos para computadora tienen coman- dos que dibujan los rectángulos de aproximación y evalúan las sumas de sus áreas, por lo menos si es un punto extremo de la izquierda o de la derecha. (Por ejem- plo, en Maple, use leftbox, rightbox, leftsum, y rightsum.) (a) Si , encuentre las sumas iz- quierda y derecha para y . (b) Ilustre mediante el trazado de las gráficas de los rectángulos del inciso (a). (c) Demuestre que el área exacta debajo de f se encuentra en- tre 0.780 y 0.791 10. (a) Si , use los comandos que se analizaron en el ejercicio 9 con el fin de hallar las sumas iz- quierda y derecha, para n 10, 30 y 50. (b) Ilustre trazando las gráficas de los rectángulos del inciso (a). (c) Demuestre que el área exacta debajo de f se encuentra en- tre 2.50 y 2.59. La rapidez de una competidora aumentó de manera constante durante los tres primeros segundos de una carrera. En la tabla se da su rapidez a intervalos de medio segundo. Encuentre las es- timaciones inferior y superior para la distancia que recorrió du- rante estos tres segundos. 11. f x ln x, 0.791 x 4 CAS 50 n 10, 30 f x 1/x2 1, 0 x 1 xi * CAS 0 f x ex 2 , 2 x 2 1. (a) Lea los valores a partir de la gráfica dada de f, use cinco rec- tángulos para hallar una estimación inferior y una superior para el área debajo de esa gráfica dada de f, desde x 0 hasta x 10. En cada caso, dibuje los rectángulos que use. (b) Encuentre nuevas estimaciones usando diez rectángulos en cada caso. (a) Use seis rectángulos para encontrar estimaciones de cada tipo para el área debajo de la gráfica de f desde x 0 hasta x 12. (i) (los puntos muestras son los puntos extremos de la izquierda) (ii) (los puntos muestras son los puntos extremos de la derecha) (iii) (los puntos muestras son los puntos medios) (b) ¿ sobreestima o subestima el área verdadera? (c) ¿ sobreestima o subestima el área verdadera? (d) ¿Cuál de los números L6, R6 o M6 da la mejor estimación? Explique la respuesta. 3. (a) Estime el área debajo de la gráfica de f(x) cosx desde x 0 hasta x π/2, usando cuatro rectángulos de aproxima- ción y los puntos extremos de la derecha. Dibuje la curva y los rectángulos de aproximación. ¿Su estimación es una su- bestimación o una sobrestimación? (b) Repita el inciso (a), con los puntos extremos de la izquierda. 4. (a) Estime el área debajo de la gráfica de desde x 0 hasta x 4 usando cuatro rectángulos de aproxima- ción y puntos extremos de la derecha. Trace la gráfica y los rectángulos. ¿Su estimación es una sobrestimación o una subestimación? (b) Repita el inciso (a) con los puntos extremos de la izquierda. (a) Estime el área debajo de la gráfica de de x 1 hasta x 2 con tres rectángulos de aproximación y f x 1 x2 5. f x sx y x 0 4 4 8 y=ƒ 8 12 R6 L6 M6 R6 L6 2. y x 0 5 5 y=ƒ 10 EJERCICIOS 5.1 t (s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (piess) 0 6.2 10.8 14.9 18.1 19.4 20.2 v CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 364
- 432. SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 365 16. Se muestra la gráfica de velocidad de un automóvil que acelera del estado de reposo hasta una velocidad de 120 kmh durante un periodo de 30 segundos. Estime la distancia recorrida duran- te este periodo. 17–19 Recurra a la definción 2 para hallar una expresión para el área debajo de la gráfica de f como límite. No evalúe el límite. 17. , 18. , 19. , 20–21 Determine una región cuya área sea igual al límite dado. No evalúe el límite. 20. 22. (a) Aplique la definición 2 para encontrar una expresión para el área debajo de la curva y x3 desde 0 hasta 1 como límite. (b) La fórmula siguiente para la suma de los cubos de los pri- meros n enteros se prueba en el apéndice E. Úsela para eva- luar el límite del inciso (a). 23. (a) Exprese el área debajo de la curva y x5 desde 0 hasta 2 co- mo límite. (b) Utilice un sistema algebraico para computadora a fin de en- contrar la suma de su expresión del inciso (a). (c) Evalúe el límite del inciso (a). 24. Halle el área exacta de la región debajo de la gráfica de desde 0 hasta 2 utilizando un sistema algebraico para computadora con objeto de evaluar la suma y enseguida el límite del ejemplo 3(a). Compare su respuesta con la esti- mación obtenida en el ejemplo 3(b). y ex CAS CAS 13 23 33 n3 nn 1 2 2 lím n l n i1 4n tan i 4n 21. lím n l n i1 2 n 5 2i n 10 0 x 2 f x x cos x 3 x 10 f x ln x x 1 x 16 f x s 4 x 40 80 √ (km/h) t (segundos) 0 10 20 30 12. En la tabla se proporcionan las lecturas del velocímetro de una motocicleta a intervalos de 12 segundos. (a) Estime la distancia recorrida por la motocicleta durante este periodo usando las velocidades al principio de los interva- los. (b) Dé otra estimación usando las velocidaddes al final de los periodos. (c) ¿Sus estimaciones de los incisos (a) y (b) son estimaciones superiores e inferiores? Explique su respuesta. 13. Se fugó aceite de un tanque en una cantidad de litros por hora. La proporción disminuyó conforme transcurrió el tiempo y los valores de la cantidad en intervalos de dos horas se mues- tran en la tabla. Halle estimaciones inferiores y superiores para la cantidad total de aceite que se fugó. 14. Cuando estima distancias a partir de datos de la velocidad, a veces es necesario usar instantes , que no están igualmente espaciados. Aún así, puede estimar las distancias usando los periodos . Por ejemplo, el 7 de mayo de 1992, el trasbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad era instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo en un satélite Intelsat de comunicacio- nes. En la tabla, proporcionada por la NASA, se dan los datos de la velocidad del trasbordador entre el despegue y el des- prendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. Utilice estos datos con objeto de estimar la altura por arriba de la superficie de la Tierra a la que se encontró el Endeavour, 62 segundos después del lanzamiento. Se muestra la gráfica de la velocidad de un automóvil al frenar. Úsela para estimar la distancia que recorre mientras se aplican los frenos. √ (pies/s) t (segundos) 0 2 20 40 60 4 6 15. ti ti ti1 t0, t1, t2, t3, . . . rt t (s) 0 12 24 36 48 60 (piess) 30 28 25 22 24 27 v 0 2 4 6 8 10 (lh) 8.7 7.6 6.8 6.2 5.7 5.3 rt t h Hecho Tiempo (s) Velocidad (piess) Lanzamiento 0 0 Inicio de la maniobra de giro 10 185 Fin de la maniobra de giro 15 319 Válvula de estrangulación al 89% 20 447 Válvula de estrangulación al 67% 32 742 Válvula de estrangulación al 104% 59 1325 Presión dinámica máxima 62 1445 Separación del cohete auxiliar de combustible sólido 125 4151 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 365
- 433. 366 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES n triángulos congruentes con ángulo central , demues- tre que . (b) Demuestre que . Sugerencia: use la ecua- ción 2 de la sección 3.4. límnl An r2 An 1 2 nr2 sen2 n 2 n 25. Encuentre el área exacta debajo de la curva y cos x, desde x 0 hasta x b, en donde 0 b p2. (Use un sistema algebraico para computadora para evaluar la suma y calcular el límite.) En particular, ¿cuál es el área si ? 26. (a) Sea el área de un polígono con n lados iguales, inscrito en un círculo con radio r. Al dividir el polígono en An b 2 CAS LA INTEGRAL DEFINIDA En la sección 5.1 vio que surge un límite de la forma cuando se calcula un área. También vio que aparece cuando intenta hallar la distancia recorrida por un objeto. Resulta que este tipo de límite se presenta en una amplia varie- dad de situaciones, incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. En los capítulos 6 y 8 verá que también surgen límites de la forma (1) al hallar longitudes de curvas, volúmenes de sólidos, centros de masa, la fuerza debida a la presión del agua y el trabajo, así como otras cantidades. De modo que tienen un nombre y una notación especiales. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Si f es una función continua definida pa- ra , divida el intervalo a, b en n subintervalos de igual ancho . Haga que ( b) sean los puntos extremos de estos subintervalos y elija como los puntos muestras en estos subintervalos, de modo que se encuentre en el i-ésimo subintervalo . Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es siempre que exista este límite, si existe, f es integrable en a, b . El significado exacto del límite que define a las integrales es como sigue: Para cualquier número e 0 existe un entero N tal que para cualquier entero n N y para cualquier selección de en [xi 1, xi]. Leibniz introdujo el símbolo y se llama signo de integral. Es una S alargada y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación se llama integrando, y a y b se conocen como los límites de integración; a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo dx no tiene significado en sí; la expresión ,vista como un todo, es un símbolo único. La dx indica simplemente que la variable independiente es x. El procedimiento para calcular una integral se llama integración. xb a fx dx fx xb a fx dx, x NOTA 1 xi * y b a f x dx n i1 fxi * x y b a f x dx lím n l n i1 f xi * x xi1, xi xi * x1 *, x2 *, . . . , xn * x0 a, x1, x2, . . . , xn x b an a x b 2 lím n l n i1 f xi * x lím n l f x1 * x f x2 * x f xn * x 1 5.2 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 366
- 434. La integral definida es un número; que no depende de x. De hecho, podría utilizar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral: La suma que se presenta en la definición 2 se llama suma de Riemann, en honor del matemá- tico alemán Bernhard Riemann (1826-1866). De tal manera que la definición 2 menciona que la integral definida de una función integrable pueda aproximarse dentro de cualquier grado de exactitud mediante la suma de Riemann. Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación (véase la figura 1). Al comparar la definición 2 con la definición de área de la sección 5.1, tiene que la integral definida se puede interpretar como el área bajo la curva y f(x), desde a hasta b (véase la figura 2). Si f toma valores tanto positivos como negativos, como en la figura 3, entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje x y los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x (las áreas de los rec- tángulos en color oro menos las áreas de los rectángulos en color azul). Cuando toma el límite de esas sumas de Riemann, obtiene la situación que se ilustra en la figura 4. Una integral definida puede interpretarse como un área neta, es decir, una diferencia de áreas: donde A1 es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f y A2 correspon- de a la región debajo del eje x y arriba de la gráfica de f. Aunque ha definido dividiendo a, b en subintervalos del mismo an- cho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de ancho desigual. Por ejemplo, en el ejercicio 14 de la sección 5.1, la NASA proporcionó datos de velocidad en tiempos que no estaban igualmente espaciados, pero aun así fue capaz de estimar la distancia recorrida.Y existen métodos para la integración numérica que aprovechan los su- bintervalos desiguales. xb a fx dx NOTA 4 y b a f x dx A1 A2 xi * 0 y x a Îx FIGURA 1 Si ƒ˘0, la suma de Riemann μ f(xi *) Îx es la suma de las áreas de los rectángulos y=ƒ 0 y x a b b FIGURA 2 Si ƒ˘0, la integral j ƒ dx es el área bajo la curva y=ƒ desde a hasta b a b xb a f x dx n i1 fxi * x NOTA 3 y b a f x dx y b a ft dt y b a fr dr xb a f x dx, NOTA 2 SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 367 Bernhard Riemann recibió su doctorado en Filosofía bajo la dirección del legendario Gauss, en la Universidad de Göttingen, y per- maneció allí para enseñar. Gauss, quien no tenía el hábito de elogiar a otros matemáticos, habló de “la mente creativa, activa, en verdad matemática y la gloriosamente fértil originali- dad” de Riemann. La definición (2) de integral se debe a Riemann. También hizo colaboraciones importantes a la teoría de funciones de una variable compleja, a la fisicomatemática, a la teoría de números y a los fundamentos de la geometría. El amplio concepto de Riemann del espacio y de la geometría resultó ser, 50 años más tarde, el apoyo correcto para la teoría general de la relatividad de Einstein. La salud de Riemann fue mala durante toda su vida y murió de tuberculosis a los 39 años. RIEMANN _ FIGURA 3 μ f(xi *) Îx es una aproximación al área neta 0 y=ƒ y a b x + + y=ƒ y x a b + _ + 0 FIGURA 4 j ƒ dx es el área neta a b CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 367
- 435. Si la longitud del intervalo es , debe asegurarse de que todas estas longitudes tiendan a 0 en el proceso de detrerminación de límites. Esto sucede si la longitud más grande, máx xi tiende a 0. De manera que en este caso la definición de una integral definida se convierte en Ha definido la integral definida para una función integrable, pero no todas las funciones son ntegrables (véase ejercicios 67-68). El teorema que sigue muestra que la mayor parte de las funciones que usualmente acontecen en realidad son integrables. Esto se comprueba en cursos más avanzados. TEOREMA Si f es continua en [a, b], o si f tiene únicamente un número finito de saltos discontinuos, entonces f es integrable en [a, b]; es decir, la integral definida existe. Si f es integrable en [a, b], entonces el límite en la definición 2 existe y pro- porciona el mismo valor, no importa cómo seleccione el punto muestra . Para simplificar los cálculos de la integral con frecuencia tomamos los puntos muestra los extremos de la derecha. Por lo tanto y la definición de una integral se simplifica como sigue. TEOREMA Si f es integrable en [a, b], entonces donde y EJEMPLO 1 Exprese como una integral en el intervalo . SOLUCIÓN Al comparar el límite dado con el límite en el teorema 4, será idéntico si elige . Puesto que a 0 y . Por consiguiente, mediante el teorema 4 Más adelante, cuando aplique la integral definida a situaciones físicas, será importante reconocer los límites de sumas como integrales, como en el ejemplo 1. Cuando Leibniz eli- gió la notación para una integral, escogió los ingredientes para recordar el proceso de tomar el límite. En general, cuando escribe reemplaza con , con x y con dx. x xi * x lím lím n l n i1 f xi * x y b a fx dx lím n l n i1 xi 3 xi sen xi x y 0 x3 x sen x dx b fx x3 x sen x 0, lím n l n i1 xi 3 xi sen xi x xi a i Δx Δx b a n y b a f x dx lím n l n i1 fxi x 4 xi * xi xi * y b a fx dx 3 NOTA 5 y b a fx dx lím máx xi l 0 n i1 f xi * xi x1, x2, . . . , xn 368 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 368
- 436. EVALUACIÓN DE INTEGRALES Cuando aplica la definición para evaluar una integral definida, necesita saber cómo trabajar con sumas. Las tres ecuaciones siguientes dan las fórmulas para las sumas de potencias de enteros positivos. Es posible que conozca la ecuación 5 desde un curso de álgebra. Las ecua- ciones 6 y 7 se analizaron en la sección 5.1 y se prueban en el apéndice E. Las fórmulas restantes son reglas sencillas para trabajar con la notación sigma: EJEMPLO 2 (a) Evalúe la suma de Riemann para , tomando los puntos muestras de los puntos extremos de la derecha y a 0, b 3 y n 6. (b) Evalúe . SOLUCIÓN (a) Con el ancho del intervalo es y los puntos extremos de la derecha son , , , , y . De modo que la suma de Riemann es 3.9375 1 2 2.875 5 5.625 4 0.625 9 f 0.5 x f 1.0 x f 1.5 x f2.0 x f 2.5 x f3.0 x R6 6 i1 f xi x x6 3.0 x5 2.5 x4 2.0 x3 1.5 x2 1.0 x1 0.5 x b a n 3 0 6 1 2 n 6 y 3 0 x3 6x dx fx x3 6x n i1 ai bi n i1 ai n i1 bi 11 n i1 ai bi n i1 ai n i1 bi 10 n i1 cai c n i1 ai 9 n i1 c nc 8 n i1 i3 nn 1 2 2 7 n i1 i2 nn 12n 1 6 6 n i1 i nn 1 2 5 SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 369 Las fórmulas 8 a 11 se prueban escribiendo cada uno de los miembros en forma desarrolla- da. El lado izquierdo de la ecuación 9 es El lado derecho es Por la propiedad distributiva, éstas son iguales. Las otras fórmulas se analizan en el apéndice E. ca1 a2 an ca1 ca2 can CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 369
- 437. Advierta que f no es una función positiva, por lo que la suma de Riemann no representa una suma de áreas de rectángulos. Pero sí representa la suma de las áreas de los rectán- gulos de color oro (que están arriba del eje x) menos la suma de las áreas de los rectángulos de color azul (que están abajo del eje x) de la figura 5. (b) Con n subintervalos, tiene Por consiguiente, , , , , y, en general, . Dado que usa los puntos extremos de la derecha, puede utilizar el teorema 4: (La ecuación 9 con ) (Ecuaciones 11 y 9) (Ecuaciones 7 y 5) Esta integral no se puede interpretar como un área porque f toma tanto valores positivos como negativos; pero puede interpretarse como la diferencia de áreas A1 A2, donde A1 y A2 se muestran en la figura 6. En la figura 7 se ilustra el cálculo al mostrar los términos positivos y negativos en la suma de Riemann de la derecha, para . Los valores que aparecen en la tabla hacen ver que las sumas de Riemann tienden al valor exacto de la integral, , cuan- do . 0 y 3 x 5 y=˛-6x FIGURA 7 R¢¸Å_6.3998 n l 6.75 n 40 Rn 81 4 27 27 4 6.75 lím n l 81 4 1 1 n 2 271 1 n lím n l 81 n4 nn 1 2 2 54 n2 nn 1 2 lím n l 81 n4 n i1 i3 54 n2 n i1 i lím n l 3 n n i1 27 n3 i3 18 n i c 3n lím n l 3 n n i1 3i n 3 63i n y 3 0 x3 6x dx lím n l n i1 fxi x lím n l n i1 f3i n 3 n xi 3in x3 9n x2 6n x1 3n x0 0 x b a n 3 n 370 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 0 y 3 x 5 y=˛-6x FIGURA 5 En la suma, n es una constante (diferente de i), por eso puede mover 3/n enfrente del signo Σ. FIGURA 6 j (˛-6x) dx=A¡-A™=_6.75 0 3 A™ A¡ 0 y 3 x 5 y=˛-6x n 40 6.3998 100 6.6130 500 6.7229 1000 6.7365 5000 6.7473 Rn CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 370
- 438. Ahora un método mucho más sencillo para evaluar la integral del ejemplo 2. EJEMPLO 3 (a) Plantee una expresión para como un límite de sumas. (b) Use un sistema algebraico por computadora para evaluar la expresión. SOLUCIÓN (a) En este caso, tiene , , , y De modo que , , , , y A partir del teorema 4, obtiene (b) Si le pide a un sistema algebraico para computadora que evalúe la suma y simplifi- que, obtiene Ahora le pide al sistema algebraico por computadora que evalúe el límite: En la siguiente sección se estudia un método más sencillo para la evolución de integrales. EJEMPLO 4 Evalúe las integrales siguientes interpretando cada una en términos de áreas. (a) (b) SOLUCIÓN (a) Dado que , puede interpretar esta integral como el área debajo de la curva desde 0 hasta 1. Pero, como , obtiene , lo cual muestra que la gráfica de f es el cuarto de circunferencia, con radio de 1, que aparece en la figura 9. Por lo tanto, (En la sección 7.3 usted será capaz de demostrar que el área de un círculo con radio r es pr2 .) y 1 0 s1 x2 dx 1 4 12 4 x2 y2 1 y2 1 x2 y s1 x2 fx s1 x2 0 y 3 0 x 1 dx y 1 0 s1 x2 dx V y 3 1 ex dx lím n l 2 n e3n2n en2n e2n 1 e3 e n i1 e12in e3n2n en2n e2n 1 lím n l 2 n n i1 e12in lím n l n i1 f1 2i n 2 n y 3 1 ex dx lím n l n i1 f xi x xi 1 2i n x3 1 6n x2 1 4n x1 1 2n x0 1 x b a n 2 n b 3 a 1 f x ex x3 1 ex dx SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 371 Como es positiva, la integral del ejemplo 3 representa el área que se muestra en la figura 8. f x ex Un sistema algebraico por computadora es capaz de hallar una expresión explícita para esta suma porque es una serie geométrica. El límite podría encontrarse usando la regla de l’Hospital. x y 0 1 3 10 y=´ FIGURA 8 x y 1 0 1 y= 1-≈ o ≈+¥=1 œ„„„„„ FIGURA 9 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 371
- 439. (b) La gráfica de es la recta con pendiente 1 que se presenta en la figura 10. Calcule la integral como la diferencia de las áreas de los dos triángulos: LA REGLA DEL PUNTO MEDIO A menudo se elige el punto muestra como el extremo de la derecha del i-ésimo inter- valo como el punto muestra porque resulta conveniente para calcular el límite. Pero si la finalidad es hallar una aproximación para una integral, conviene escoger como el punto medio del intervalo, el cual se denota con . Cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, pero si usa los puntos medios, obtiene la aproximación siguiente: REGLA DEL PUNTO MEDIO donde y EJEMPLO 5 Use la regla del punto medio con para hallar una aproximación de . SOLUCIÓN Los puntos extremos de los cinco subintervalos son 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0. de modo que los puntos medios son 1.1, 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9. El ancho de los subintervalos es , de suerte que la regla del punto medio da Puesto que , para , la integral representa un área y la aproxi- mación dada por la regla del punto medio es la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran en la figura 11. 1 x 2 f x 1x 0 0.691908 1 5 1 1.1 1 1.3 1 1.5 1 1.7 1 1.9 y 2 1 1 x dx x f1.1 f 1.3 f1.5 f 1.7 f 1.9 x 2 15 1 5 y 2 1 1 x dx n 5 V xi 1 2 xi1 xi punto medio de xi1, xi x b a n y b a f x dx n i1 f xi x x f x1 fxn xi xi * xi * x y 1 0 _1 3 y=x-1 A¡ (3, 2) A™ FIGURA 10 y 3 0 x 1 dx A1 A2 1 2 2 2 1 2 1 1 1.5 y x 1 372 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES En Module 5.2/ 7.7 se muestra cómo la regla del punto medio mejora cuando se incrementa. n TEC FIGURA 11 0 x y 1 2 y= 1 x CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 372
- 440. Hasta el momento no sabe qué tan exacta es la aproximación del ejemplo 5; pero en la sección 7.7 aprenderá un método para estimar el error relacionado con el uso de la regla del punto medio. En ese momento, se exponen otros métodos para hallar aproximaciones de integrales definidas. Si aplica la regla del punto medio a la integral del ejemplo 2, obtiene la imagen que aparece en la figura 12. La aproximación está mucho más cerca del va- lor verdadero de que la aproximación con el punto extremo de la derecha, , que se muestra en la figura 7. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cuando se definió la integral definida , de manera implícita se hizo la suposi- ción de que . Pero la definición como un límite de la suma de Riemann tiene senti- do aun cuando . Advierta que si invierte a y b, en tal caso cambia de a . En consecuencia Si , luego y así Ahora aparecen algunas propiedades básicas de las integrales que le ayudarán a eva- luarlas con mayor facilidad. Suponga que f y t son funciones continuas. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL 1. , donde c es cualquier constante 2. 3. , donde c es cualquier constante 4. En la propiedad 1 se expresa que la integral de una función constante f(x) c es la constante multiplicada por la longitud del intervalo. Si c 0 y a b, esto es de esperar- se porque c(b a) es el área del rectángulo de la figura 13. y b a f x tx dx y b a fx dx y b a tx dx y b a cf x dx c y b a fx dx y b a f x tx dx y b a fx dx y b a tx dx y b a c dx cb a y a a fx dx 0 x 0 a b y a b fx dx y b a f x dx a bn b an x a b a b y b a fx dx FIGURA 12 M¢¸Å_6.7563 0 y 3 x 5 y=˛-6x R40 6.3998 6.75 M40 6.7563 SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 373 En Visual 5.2 puede comparar las aproximaciones, izquierda, derecha y del punto medio para la integral del ejemplo 2 para diferentes valores de n. TEC FIGURA 13 j c dx=c(b-a) a b 0 y x a b c y=c área=c(b-a) CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 373
- 441. En la propiedad 2 se afirma que la integral de una suma es la suma de las integrales. Pa- ra funciones positivas, esto quiere decir que el área debajo de f t es el área debajo de f más el área debajo de t. La figura 14 ayuda a comprender por qué esto es cierto: en vista de la manera en que funciona la adición gráfica, los segmentos rectilíneos verticales co- rrespondientes tienen alturas iguales. En general, la propiedad 2 se deduce del teorema 4 y del hecho de que el límite de una suma es la suma de los límites: La propiedad 3 se puede probar de manera semejante y en ella se expresa que la inte- gral de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la in- tegral de la función. En otras palabras, una constante (pero sólo una constante) se puede llevar hacia afuera de un signo de integral. La propiedad 4 se prueba al escribir f t f (t) y aplicar las propiedades 2 y 3 con c 1. EJEMPLO 6 Use las propiedades de las integrales para evaluar . SOLUCIÓN Si se aplican las propiedades 2 y 3 de las integrales, se tiene Por la propiedad 1, sabe que y, en el ejemplo 2 de la sección 5.1 encuentra que . De igual manera, En la propiedad que sigue se dice cómo combinar las integrales de la misma función sobre intervalos adyacentes: 5. Esto no es fácil de probar en general pero, para el caso donde y a c b, se puede ver la propiedad 5 a partir de la interpretación geométrica de la figura 15: el área de- bajo de y f(x), desde a hasta c, más el área desde c hasta b es igual al área total desde a hasta b. f x 0 y c a fx dx y b c fx dx y b a fx dx 4 3 1 3 5 y 1 0 4 3x2 dx y 1 0 4 dx 3 y 1 0 x2 dx y 1 0 x2 dx 1 3 y 1 0 4 dx 41 0 4 y 1 0 4 3x2 dx y 1 0 4 dx y 1 0 3x2 dx y 1 0 4 dx 3 y 1 0 x2 dx y 1 0 4 3x2 dx y b a fx dx y b a tx dx lím n l n i1 f xi x lím n l n i1 txi x lím n l n i1 fxi x n i1 txi x y b a f x tx dx lím n l n i1 f xi txi x 374 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES y 0 x a b f g f+g FIGURA 14 j [ƒ+©] dx= j ƒ dx+j © dx a b a b a b La propiedad 3 parece intuitivamente razo- nable porque si se multiplica una función por un número positivo c, su gráfica se alarga o contrae en el sentido vertical un factor de c. De modo que alarga o contrae cada rec- tángulo de aproximación un factor de c y, por consecuencia, tiene el efecto de multiplicar el área por c. FIGURA 15 0 y x a b c y=ƒ CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 374
- 442. EJEMPLO 7 Si se sabe que y , encuentre SOLUCIÓN Por la propiedad 5 de modo que Advierta que las propiedades 1 a 5 son verdaderas ya sea que , o . Las propiedades que se enuncian a continuación, en las que se comparan tamaños de fun- ciones y tamaños de integrales, son verdaderas sólo si PROPIEDADES DE COMPARACIÓN DE LA INTEGRAL 6. Si para , entonces . 7. Si para , entonces . 8. Si para , entonces Si , entonces representa el área debajo de la gráfica de f, de ma- nera que la interpretación geométrica de la propiedad 6 es simplemente que las áreas son positivas. Pero se puede demostrar la propiedad a partir de la definición de una integral (ejercicio 64). La propiedad 7 expresa que una función más grande tiene una integral más grande. Se infiere de las propiedades 6 y 4 porque La propiedad 8 se ilustra mediante la figura 16 para el caso en que . Si f es conti- nua podría considerar m y M como los valores mínimo y máximo absolutos de f sobre el intervalo a, b . En este caso, la propiedad 8 expresa que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que el área del rectángulo con altura M. DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 8 Puesto que , la propiedad 7 plantea Si aplica la propiedad 1 para evaluar las integrales en el primero y el segundo miembros obtiene La propiedad 8 es útil si lo que quiere se reduce a una estimación general del tamaño de una integral sin las dificultades que representa el uso de la regla del punto medio. EJEMPLO 8 Use la propiedad 8 para estimar . SOLUCIÓN Debido a que es una función decreciente sobre , su valor máximo absoluto es y su valor mínimo absoluto es . m f1 e1 M f0 1 0, 1 f x ex 2 y 1 0 ex2 dx mb a y b a f x dx Mb a y b a m dx y b a f x dx y b a M dx m fx M f x 0 f t 0. xb a fx dx f x 0 mb a y b a f x dx Mb a a x b m fx M y b a f x dx y b a tx dx a x b fx tx y b a fx dx 0 a x b fx 0 a b. a b a b a b y 10 8 fx dx y 10 0 f x dx y 8 0 f x dx 17 12 5 y 8 0 f x dx y 10 8 f x dx y 10 0 fx dx x10 8 fx dx x8 0 f x dx 12 x10 0 fx dx 17 V SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 375 0 y m M x a b y=ƒ FIGURA 16 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 375
- 443. De esta manera, por la propiedad 8, o Como , puede escribir El resultado del ejemplo 8 se ilustra en la figura 17. La integral es mayor que el área del rectángulo inferior y menor que el área del cuadrado. 0.367 y 1 0 ex 2 dx 1 e1 0.3679 e1 y 1 0 ex 2 dx 1 e1 1 0 y 1 0 ex 2 dx 11 0 376 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES FIGURA 17 y x 1 0 1 y=1 y=e–x2 y=1/e 6. Se muestra la gráfica de g. Estime con seis sub- intervalos usando (a) los puntos extremos de la derecha, (b) los puntos extremos de la izquierda y (c) los puntos medios. 7. Se muestra una tabla de valores de una función creciente f. Utilícela para hallar estimaciones inferiores y superiores para . 8. En la tabla se dan los valores de una función obtenida a partir de un experimento. Con ellos estime usando tres subin- tervalos iguales con (a) los puntos extremos de la derecha, (b) los puntos extremos de la izquierda y (c) los puntos me- dios. Si se sabe que la función es decreciente, ¿puede decir si sus estimaciones son menores o mayores que el valor exacto de la integral? x6 0 f x dx x25 0 f x dx x y 0 g 1 1 x3 3 tx dx 1. Evalúe la suma de Riemann para , con seis subintervalos; tome los puntos extremos de la izquierda como los puntos muestra. Con ayuda de un diagrama explique, qué representa la suma de Riemann. 2. Si , valore la suma de Riemann con tome los puntos extremos de la derecha como los puntos muestra, dé su respuesta correcta hasta seis cifras deci- males. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre la respues- ta con un diagrama. 3. Si , encuentre la suma de Riemann con n 4 correcta hasta seis cifras decimales, considerando los puntos medios como los puntos muestra. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre con un diagrama. 4. (a) Encuentre la suma de Riemann para , , con seis términos, considerando los puntos muestra como los puntos extremos de la derecha (Dé su respuesta correcta hasta seis cifras decimales.) Explique, con ayuda de un diagrama, qué representa la suma de Riemann. (b) Repita el inciso (a) con los puntos medios como los puntos muestra. Se da la gráfica de una función. Estime usando cuatro subintervalos con (a) los puntos extremos de la derecha, (b) los puntos extremos de la izquierda y (c) los puntos medios. x y 0 f 1 1 x8 0 f x dx 5. 0 x 3π2 f x sen x f x ex 2, 0 x 2 n 6 f x x2 2x, 0 x 3 f x 3 1 2 x, z x 4 EJERCICIOS 5.2 x 0 5 10 15 20 25 42 37 25 6 15 36 f x x 3 4 5 6 7 8 9 3.4 2.1 0.6 0.3 0.9 1.4 1.8 f x CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 376
- 444. SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 377 26. (a) Halle una aproximación a la integral usan- do una suma de la derecha de Riemann con puntos extre- mos de la derecha y . (b) Dibuje un diagrama como el de la figura 3 para ilustrar la aproximación del inciso (a). (c) Aplique el teorema 4 para evaluar . (d) Interprete la integral del inciso (c) como una diferencia de áreas e ilustre con un diagrama como el de la figura 4. 27. Demuestre que . 28. Demuestre que . 29–30 Exprese la integral como un límite de sumas de Riemann. No evalúe el límite. 29. 30. 31–32 Exprese la integral como un límite de sumas. Enseguida eva- lúe utilizando un sistema algebraico para computadora para encon- trar tanto la suma como el límite. 31. 32. Se muestra la gráfica de f. Evalúe cada integral interpretándola en términos de áreas. (a) (b) (c) (d) 34. La gráfica de t consta de dos rectas y un semicírculo. Úsela para evaluar cada integral. (a) (b) (c) x y 0 2 4 7 4 y=© y 7 0 tx dx y 6 2 tx dx y 2 0 tx dx x y 0 2 4 6 8 2 y=ƒ y 9 0 f x dx y 7 5 f x dx y 5 0 f x dx y 2 0 f x dx 33. y 10 2 x6 dx y 0 sen 5x dx CAS y 10 1 x 4 ln x dx y 6 2 x 1 x5 dx y b a x2 dx b3 a3 3 y b a x dx b2 a2 2 x4 0 x2 3x dx n 8 x4 0 x2 3x dx 9–12 Use la regla del punto medio, con el valor dado de n, para ha- llar una aproximación de cada integral. Redondee cada respuesta hasta cuatro cifras decimales. 10. 11. 12. 13. Si tiene un CAS que evalúe las aproximaciones con los puntos medios y trace los rectángulos correspondientes (en Maple, use los comandos de middlesum y middlebox), compruebe la respuesta para el ejercicio 11 e ilustre con una gráfica. Enseguida, repita con y . 14. Con una calculadora programable o una computadora (vea las instrucciones para el ejercicio 7 de la sección 5.1), calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha para la función sobre el intervalo , con . Explique por qué estas estimaciones demuestran que Deduzca que la aproximación con el uso de la regla del punto medio, con n 5, del ejercicio 11 es exacta hasta dos cifras decimales. 15. Use una calculadora o una computadora para hacer una tabla de valores de sumas de la derecha de Riemann para la integral con n 5, 10, 50 y 100. ¿A qué valor pa- recen tender estos números? 16. Use una calculadora o una sumadora para hacer una tabla de valores de las sumas de la izquierda y de la derecha de Riemann y , para la integral con , 10, 50 y 100. ¿Entre qué valores tiene que encontrarse el valor de la in- tegral? ¿Puede hacer un enunciado similar para la integral ? Explique su respuesta. 17–20 Exprese el límite como una integral definida sobre el inter- valo dado. 17. 18. , 20. , 21–25 Use la forma de la definición de integral que se dio en el teorema 4 para evaluar la integral. 21. 22. 24. 25. y 2 1 x3 dx y 5 0 1 2x3 dx y 2 0 2 x2 dx 23. y 4 1 x2 2x 5 dx y 5 1 1 3x dx 0, 2 lím nl n i1 4 3xi *2 6xi *5 x 1, 8] lím nl n i1 s2xi * xi *2 x 19. lím nl n i1 cos x1 x1 x, , 2 lím nl n i1 xi ln1 xi 2 x, 2, 6 x2 1 ex 2 dx n 5 x2 0 ex 2 dx Rn Ln x 0 sen x dx Rn 0.306 y 1 0 senx2 dx 0.315 n 100 0, 1 f x senx2 n 20 n 10 CAS y 5 1 x2 ex dx, n 4 y 1 0 senx2 dx, n 5 y 2 0 cos4 x dx, n 4 y 10 2 sx3 1 dx, n 4 9. CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 377
- 445. 378 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 54. 55–60 Aplique la propiedad 8 para estimar el valor de la integral. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61–62 Mediante las propiedades de las integrales, junto con los ejercicios 27 y 28, demuestre la desigualdad. 61. 62. 63. Demuestre la propiedad 3 de las integrales. 64. Demuestre la propiedad 6 de las integrales. 65. Si es continua en , demuestre que [Sugerencia: .] 66. Utilice el resultado del ejercicio 65 para demostrar que 67. Sea si x es cualquier número racional y si x es cualquier número irracional. Demuestre que f no es inte- grable en [0, 1]. 68. Sea y si . Demuestre que f no es integrable en [0, 1]. [Sugerencia: demuestre que el primer término en la suma de Riemann, f( ) puede hacerse de manera arbitraria muy grande.] 69–70 Exprese el límite como una integral definida. 69. [Sugerencia: considere .] 70. 71. Determine . Sugerencia: elija como la media geo- métrica de y (es decir, ) y use la identidad 1 mm 1 1 m 1 m 1 xi * sxi1 xi xi xi1 xi * x2 1 x2 dx lím n l 1 n n i1 1 1 in2 f x x4 lím n l n i1 i 4 n5 Δx xi * 0 x 1 f x 1 f 0 0 f x 1 f x 0 y 2 0 f x sen 2x dx y 2 0 f x dx f x f x f x y b a f x dx y b a f x dx a, b f y 2 0 x sen x dx 2 8 y 3 1 sx4 1 dx 26 3 y 2 x 2 senx dx y 2 0 xex dx y 2 0 x3 3x 3 dx y 3 4 tan x dx y 2 0 1 1 x2 dx y 4 1 sx dx s2 24 y 4 6 cos x dx s3 24 35–40 Evalúe cada integral interpretándola en términos de áreas. 35. 36. 38. 39. 40. 41. Valorar . 42. Dado que , ¿cuánto es ? 43. En el ejemplo 2 de la sección 5.1, demostró que . Aplique este hecho y las propiedades de las integrales para evaluar . 44. Aplique las propiedades de las integrales y el resultado del ejemplo 3 para evaluar . 45. Utilice el resultado del ejemplo 3 para evaluar . 46. A partir de los resultados del ejercicio 27 y del hecho de que (según el ejercicio 25 de la sección 5.1), junto con las propiedades de las integrales, evalúe . Escriba como una sola integral en la forma : 48. Si y , encuentre . Si y , encuentre . 50. Halle si 51. Considere que f tiene el valor mínimo absoluto m y el valor máximo absoluto M. ¿Entre que valores se encuentra ? ¿Qué propiedad de las integrales le permite elaborar su conclusión? 52–54 Aplique las propiedades de las integrales para verificar la desigualdad sin evaluar las integrales. 52. 2 y 1 1 s1 x2 dx 2s2 53. y 1 0 s1 x2 dx y 1 0 s1 x dx x2 0 f x dx f x 3 para x 3 x para x 3 x5 0 f x dx x9 0 2 f x 3tx dx x9 0 tx dx 16 x9 0 f x dx 37 49. x4 1 f x dx x5 4 f x dx 3.6 x5 1 f x dx 12 y 2 2 f x dx y 5 2 f x dx y 1 2 f x dx xb a f x dx 47. x 2 0 2 cos x 5x dx x 2 0 cos x dx 1 x3 1 ex2 dx x3 1 2ex 1 dx x1 0 5 6x2 dx x1 0 x2 dx 1 3 y 0 1 3usu2 4 du y 1 0 3xsx2 4 dx 5s5 8 y π π sen2 x cos4 x dx y 10 0 x 5 dx y 2 1 x dx y 3 1 3 2x dx y 0 3 (1 s9 x2 ) dx 37. y 2 2 s4 x2 dx y 3 0 (1 2 x 1 dx CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 378
- 446. SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 379 1. (a) Trace la recta y 2t 1 y aplique la geometría para hallar el área debajo de esta recta, arriba del eje t y entre las rectas verticales t 1 y t 3. (b) Si x 1, sea A(x) el área de la región que se encuentra debajo de la recta y 2t 1, entre t 1 y t x. Dibuje un esquema de esta región y use la geometría con el fin de hallar una expresión para A(x). (c) Derive la función de área A(x). ¿Qué advierte? 2. (a) Si , sea representa el área de una región. Grafique la región. (b) A partir de los resultados del ejercicio 28 de la sección 5.2 encuentre una expresión para . (c) Determine . ¿Qué se puede observar? (d) Si y h es un número positivo pequeño, por lo tanto representa el área de una región. Describa y grafique la región. (e) Dibuje un rectángulo que sea una aproximación de la región del inciso (d). Mediante la comparación de áreas de estas dos regiones demuestre que (f) Mediante el inciso (e) ofrezca una explicación intuitiva del resultado del inciso (c). ; 3. (a) Dibuje la gráfica de la función f(x) cos (x2 ) el rentángulo de visualización 0, 2 por [1.25, 1.25 . (b) Si define una nueva función t por medio de entonces t(x) es el área debajo de la gráfica de f, desde 0 hasta x hasta que f(x) se vuelve negativa, en cuyo punto t(x) se convierte en una diferencia de áreas . Use el resultado del inciso (a) para determinar el valor de x en el cual t(x) empieza a decrecer. A diferencia de la integral del problema 2, es imposible evaluar la integral que define t para obtener una expresión explícita para t(x). (c) Utilice el comando de integración de su calculadora o computadora para estimar t(0.2), t(0.4), t(0.6), . . . , t(1.8), t(2). En seguida, con estos valores dibuje una gráfica de t. (d) Use la gráfica de t del inciso (c) para dibujar la gráfica de t; use la interpretación de t(x) como la pendiente de una recta tangente. ¿Qué relación existe entre la gráfica de t y la de f? 4. Suponga que f es una función continua en el intervalo a, b y se define una nueva función t por la ecuación Tomando como base sus resultados en los problemas 1–3 deduzca una expresión para t(x). tx y x a f t dt tx y x 0 cost2 dt Ax h Ax h 1 x2 Ax h Ax x 1 Ax Ax Ax Ax y x 1 1 t2 dt x 1 FUNCIONES DE ÁREA P R OY E C TO PA R A U N DESCUBRIMIENTO EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque esta- blece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El primero surgió del problema de la tangente, el cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado, el problema del área. El profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descubrió que estos dos problemas en realidad estaban íntimamente relacionados. De hecho, se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos inver- 5.3 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 379
- 447. sos. El teorema fundamental del cálculo da la correspondencia inversa inequívoca entre la derivada y la integral. Newton y Leibniz explotaron esta correspondencia y la apli- caron para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas como en las secciones 5.1 y 5.2. La primera parte del teorema fundamental trata funciones definidas por una ecuación de la forma donde f es una función continua sobre a, b y x varía entre a y b. Observe que t depende sólo de x, que aparece como el límite superior variable en la integral. Si x es un número fijo, entonces la integral es un número definido. Si después hace variar x, el núme- ro también varía y define una función de x que se denota mediante . Si f es una función positiva, entonces t(x) puede interpretarse como el área debajo de la gráfica de f de a a x, donde x puede cambiar de a a b. (Considere a t como la función “el área hasta”; véase la figura 1.) EJEMPLO 1 Si f es la función cuya gráfica se ilustra en la figura 2 y , encuentre los valores de t(0), t(1), t(2), t(3), t(4) y t(5). Luego trace una gráfica aproximada de t. SOLUCIÓN En primer lugar observe que . A partir de la figura 3 se ve que t(1) es el área de un triángulo: Para hallar t(2) le agrega a t(1) el área de un rectángulo: Estime que el área debajo de f de 2 a 3 es alrededor de 1.3, de manera que FIGURA 3 t 0 1 1 2 2 2 y 3 t 0 1 1 2 2 2 y g(1)=1 t 0 1 1 2 2 y t 0 1 1 2 2 4 2 y t 0 1 1 2 2 4 2 y g(2)=3 g(3)Å4.3 g(4)Å3 g(5)Å1.7 t3 t2 y 3 2 ft dt 3 1.3 4.3 t2 y 2 0 f t dt y 1 0 ft dt y 2 1 f t dt 1 1 2 3 t1 y 1 0 ft dt 1 2 1 2 1 t0 x0 0 ft dt 0 tx xx 0 ft dt V tx xx a ft dt xx a ft dt tx y x a ft dt 1 380 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 0 y t a b x área=© y=f(t) FIGURA 1 t 0 1 1 2 2 4 2 y y=f(t) FIGURA 2 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 380
- 448. Para , es negativa y por tanto empiece a restar áreas: Use estos valores para trazar la gráfica de g en la figura 4. Advierta que, debido a que f(t) es positiva para , se sigue sumando área para y por lo tanto t es creciente hasta , donde alcanza un valor máximo. Para , t decrece porque f(t) es negativa. Si hace y , después, aprovechando el ejercicio 27 de la sección 5.2, tiene Observe que , es decir, . En otras palabras, si t se define como la integral de f mediante la ecuación 1, entonces t resulta ser, cuando menos en este caso, una antideri- vada de f. Y si traza la gráfica de la derivada de la función t que se ilustra en la figura 4 al estimar las pendientes de las tangentes, obtiene una gráfica como la de f en la figura 2. Por eso, sospeche que en el ejemplo 1 también t f. Con objeto de observar por qué esto puede ser verdadero en general considere cualquier función continua f con . Entonces puede interpretarse como el área debajo de la gráfica de f de a a x, como en la figura 1. Con el fin de calcular t(x) a partir de la definición de derivada, en primer lugar ob- serve que, para se obtiene restando áreas, por lo tanto es el área debajo de la gráfica de f de x a x h (el área sombreada de la figura 5). Para h peque- ñas, a partir de la figura puede ver que esta área es aproximadamente igual al área del rec- tángulo con altura f(x) y ancho h: por eso En consecuencia, por intuición, espere que El hecho de que esto sea verdadero, aun cuando f no sea necesariamente positiva, es la pri- mera parte del teorema fundamental del cálculo. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, PARTE 1. Si f es continua en a, b , enton- ces la función t definida por es continua en y derivable en , y . tx f x a, b a, b a x b tx y x a ft dt tx lím hl 0 tx h tx h fx tx h tx h fx tx h tx hfx h 0, tx h tx tx xx a f t dt fx 0 t f tx x tx y x 0 t dt x2 2 a 0 f t t x 3 x 3 t 3 t 3 t5 t4 y 5 4 f t dt 3 1.3 1.7 t4 t3 y 4 3 f t dt 4.3 1.3 3.0 f t t 3 SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 381 FIGURA 4 ©=j f(t) dt a x x 0 1 1 2 4 2 y 3 4 5 3 g y 0 t a b x x+h h ƒ FIGURA 5 El nombre de este teorema se abrevia como TFC1: expresa que la derivada de una inte- gral definida con respecto a su límite superior es el integrando evaluado sobre el límite superior. CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 381
- 449. DEMOSTRACIÓN Si y están en , entonces (por la propiedad 5) y de este modo, para , Por ahora suponga que . Puesto que f es continua en , el teorema del valor extremo establece que hay números u y v en tal que y , donde m y M son los valores máximo y mínimo absolutos de en . Véase figura 6. De acuerdo con la propiedad 8 de las integrales, tiene es decir, Como , puede dividir esta desigualdad entre h: Enseguida use la ecuación 2 para reemplazar la parte media de esta desigualdad: Se puede demostrar la desigualdad 3 de una manera similar a la del caso cuando . Véase ejercicio 67. Ahora deje que . Después y , ya que u y v quedan entre x y . Por lo tanto, y porque f es continua en x. De acuerdo con (3) y el teorema de la compresión que lím h l 0 fv lím v lx f v fx lím h l 0 fu lím u lx f u f x x h v l x u l x h l 0 h 0 f u tx h tx h fv 3 fu 1 h y xh x ft dt f v h 0 f uh y xh x ft dt f vh mh y xh x f t dt Mh x, x h f fv M fu m x, x h x, x h h 0 tx h tx h 1 h y xh x ft dt 2 h 0 y xh x ft dt y x a ft dt y xh x f t dt y x a f t dt tx h tx y xh a ft dt y x a ft dt a, b x h x 382 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 0 y x x u √=x+h y=ƒ m M En Module 5.3 se proporciona evidencia visual para TFC1. TEC FIGURA 6 CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 382
- 450. Si o b, entonces la ecuación 4 se puede interpretar como un límite unilateral. Entonces el teorema 2.8.4 (modificado para límites unilaterales), muestra que t es continua en . De acuerdo con la notación de Leibniz para las derivadas, puede expresar al TFC1 como cuando f es continua. En términos generales, la ecuación 5 establece que si primero inte- gra f y luego obtiene la derivada del resultado, regresa a la función original f. EJEMPLO 2 Encuentre la derivada de la función . SOLUCIÓN Puesto que es continua, la parte 1 del teorema fundamental del cálculo da EJEMPLO 3 Si bien una fórmula de la forma puede parecer una forma extraña de definir una función, los libros de física, química y estadística están llenos de funciones semejantes. Por ejemplo, la función de Fresnel recibe ese nombre en honor del físico francés Augustin Fresnel (1788-1827), quien es famoso por su trabajo en la óptica. Esta función apareció por primera vez en la teoría de Fresnel de la difracción de la luz, pero a últimas fechas se ha aplicado al diseño de autopistas. La parte 1 del teorema fundamental indica cómo derivar la función de Fresnel: Esto significa que puede aplicar todos los métodos del cálculo diferencial para analizar S (véase el ejercicio 61). En la figura 7 se muestran las gráficas de y de la función de Fresnel . Se usó una computadora para dibujar S por medio de calcu- lar el valor de esta integral para muchos valores de x. Evidentemente parece que es el área debajo de la gráfica de f de 0 hasta x hasta que cuando se convierte en una diferencia de áreas . La figura 8 muestra una gran parte más grande de la gráfica de S. Si ahora empieza por la gráfica de S de la figura 7 y piensa en qué aspecto debe tener su derivada, parece razonable que . Por ejemplo, S es creciente cuando f(x) 0 y decreciente cuando f(x) 0. De modo que esto da una confirmación visual de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo. Sx f x Sx x 1.4 Sx Sx xx 0 f t dt f x sen x2 2 Sx sen x2 2 Sx y x 0 sen t2 2 dt tx xx a ft dt tx s1 x2 ft s1 t2 tx y x 0 s1 t2 dt V d dx y x a f t dt f x 5 a, b x a tx lím h l 0 tx h tx h fx 4 SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 383 FIGURA 7 ƒ=sen(π≈/2) S(x)=j sen(πt@/2) dt 0 x 1 0 x 1 y f S FIGURA 8 La función de Fresnel S(x)=j sen(πt@/2) dt 0 x y 1 0.5 x CAPITULO-05-A 06/04/2009 19:24 Page 383
- 451. 384 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES EJEMPLO 4 Encuentre . SOLUCIÓN En este caso debe que ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con FTC1. Sea u x4 . Por lo tanto (por la regla de la cadena) (por TFC1) En la sección 5.2 calculó integrales a partir de la definición como un límite de las sumas de Riemann, y vio que ese procedimiento es a veces largo y difícil. La segunda parte del teorema fundamental del cálculo, la cual se infiere con facilidad de la primera parte, repre- senta un método mucho más simple para evaluar integrales. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, PARTE 2 Si es continua en , entonces donde es una antiderivada de , es decir, una función tal que . DEMOSTRACIÓN Sea . De acuerdo con la parte 1, sabe que ; es decir, es una antiderivada de . Si es cualquier otra antiderivada de en , entonces, por el corolario 4.2.7, la diferencia entre y es una constante: para . Pero tanto como son continuas en y de este modo, al obtener los límites de ambos miembros de la ecuación 6, cuando y , esto también se cumple cuando y . Si hace en la fórmula para , obtiene Entonces, al aplicar la ecuación 6 con y , llega a y b a ft dt tb ta tb Fb Fa tb C ta C x a x b ta y a a ft dt 0 tx x a x b x a x l b x l a a, b t F a x b Fx tx C 6 t F a, b f F f t tx fx tx xx a f t dt F f f F y b a f x dx Fb Fa a, b f secx4 4x3 sec u du dx d du y u 1 sec t dtdu dx d dx y x4 1 sec t dt d dx y u 1 sec t dt d dx y x4 1 sec t dt Se abrevia a este teorema mediante las siglas TFC2. CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 384
- 452. La parte 2 del teorema fundamental establece que si conoce una antiderivada F de f, entonces puede evaluar simplemente calculando la diferencia de los valo- res de F en los extremos del intervalo . Sorprende mucho que , que fue definida mediante un procedimiento complicado que requiere todos los valores de para , se pueda determinar conociendo los valores de en sólo dos puntos, a y b. El teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta en tér- minos físicos. Si es la velocidad de un objeto y es su posición en el tiempo t, en- tonces , y s es una antiderivada de . En la sección 5.1 se estudia un objeto que siempre se mueve en la dirección positiva y plantea una conjetura de que el área bajo la curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida. Si lo expresa mediante símbolos, es lo siguiente: Eso es exactamente lo que el TFC2 establece en este contexto. EJEMPLO 5 Evalúe la integral . SOLUCIÓN La función es continua en todas sus partes y sabe que una antiderivada es , de modo que la parte 2 del teorema fundamental da Observe que el TFC2 establece que puede utilizar cualquier antiderivada F de f. De este modo podría usar la más sencilla, a saber , en lugar de o de . A menudo se recurre a la notación También la ecuación del TFC2 se puede expresar como Otras notaciones comunes son y . EJEMPLO 6 Determinar el área bajo la parábola desde 0 hasta 1. SOLUCIÓN Una antiderivada de es . El área requerida se calcula aplicando la parte 2 del teorema fundamental: Si compara el cálculo del ejemplo 6 con el del ejemplo 2 de la sección 5.1, verá que el teorema fundamental proporciona un método mucho más corto. A y 1 0 x2 dx x3 3 0 1 13 3 03 3 1 3 A Fx 1 3 x3 fx x2 y x2 V Fx a b Fxa b F f donde y b a f x dx Fx]a b Fx]a b Fb Fa ex C ex 7 Fx ex y 3 1 ex dx F3 F1 e3 e Fx ex fx ex y 3 1 ex dx V y b a vt dt sb sa v vt st st vt Fx a x b f x xb a fx dx a, b xb a fx dx SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 385 Al aplicar el teorema fundamental se usa una antiderivada particular de . No es necesario usar la antiderivada más general. f F Compare el cálculo en el ejemplo 5 con el mucho más difícil del ejemplo 3 de la sección 5.2. CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 385
- 453. EJEMPLO 7 Evalúe . SOLUCIÓN La integral dada es una forma abreviada de Una antiderivada de es y, como , puede escribir . De tal manera, EJEMPLO 8 Calcule el área bajo la curva coseno desde 0 hasta b, donde . SOLUCIÓN Puesto que una antiderivada de es En particular, al hacer , ha comprobado que el área bajo la curva coseno desde 0 hasta es sen . Véase figura 9. Cuando el matemático francés Gilles de Roberval calculó por vez primera el área bajo las curvas seno y coseno en 1635, era una empresa que requería aplicar todo el ingenio del que fuera uno capaz. Si no tuviera la ventaja del teorema fundamental tendría que calcular un difícil límite de sumas mediante identidades trigonométricas rebuscadas (oscuras), o bien, un sistema algebraico computacional como en el ejercicio 25 de la sección 5.1. Fue mucho más difícil para Roberval puesto que el artificio de los límites no se había inventa- do aún en 1635. Pero ya después de los años de 1660 y 1670, cuando Barrow descubrió el teorema fundamental y Newton y Leibniz lo explotaron, este problema se volvió muy fácil, como lo puede ver por el ejemplo 8. EJEMPLO 9 ¿Qué es lo erróneo en el cálculo siguiente? | SOLUCIÓN Para empezar, observe que este cálculo es erróneo porque la respuesta es negati- va, pero y la propiedad 6 de las integrales establecen que cuando . El teorema fundamental del cálculo se aplica en las fun- ciones continuas. En este caso no se puede aplicar porque no es continua en . En efecto, f tiene una discontinuidad infinita en , de modo que no existe. y 3 1 1 x2 dx x 0 1, 3 fx 1x2 f 0 xb a fx dx 0 f x 1x2 0 y 3 1 1 x2 dx x1 1 3 1 1 3 1 4 3 2 1 2 b 2 A y b 0 cos x dx sen x]0 b sen b sen 0 sen b Fx sen x f x cos x 0 b 2 ln 6 3 ln 2 y 6 3 1 x dx ln x]3 6 ln 6 ln 3 Fx ln x 3 x 6 Fx ln x fx 1x y 6 3 1 x dx y 6 3 dx x 386 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES y 0 1 x y=cos x área=1 π 2 FIGURA 9 CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 386
- 454. LA DERIVACIÓN Y LA INTEGRACIÓN COMO PROCESOS INVERSOS Esta sección finaliza conjuntando las dos partes del teorema fundamental. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Suponga que f es continua sobre a, b . 1. Si , entonces . 2. , donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F f La parte 1 se puede volver a escribir como en la cual se afirma que si integra f y, a continuación, deriva el resultado, regresa a la función original f. Como , la parte 2 puede reescribirse así En esta versión se afirma que si toma una función F, la deriva y luego integra el resultado, vuelve a la función original F, pero en la forma F(b) F(a). Tomadas juntas, las dos par- tes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra. Sin duda, el teorema fundamental del cálculo es el teorema más importante en este campo y, de hecho, alcanza el nivel de uno de los más grandes logros de la mente huma- na. Antes de ser descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquímedes, hasta la época de Galileo y Fermat, los problemas de hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía afrontar el reto. Pero ahora, armados con el método sistemático que Newton y Leibniz desarrollaron como el teorema fundamental, en los próximos capítulos verá que estos estimulantes problemas son accesibles para todos. y b a Fx dx Fb Fa Fx f x d dx y x a ft dt f x xb a fx dx Fb Fa tx f x tx xx a ft dt SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 387 (a) Evalúe para y 6. (b) Estime . (c) ¿Dónde tiene un valor máximo t? ¿Dónde tiene un valor mínimo? (d) Trace una gráfica aproximada de t. Sea , donde f es la función cuya gráfica se muestra. (a) Evalúe , , , y . (b) ¿En qué intervalo es creciente t? t6 t3 t2 t1 t0 tx xx 0 f t dt 3. t7 x 0, 1, 2, 3, 4, 5 tx 1. Explique con exactitud qué se quiere decir con la proposición de que “la derivación y la integración son procesos inversos”. 2. Sea , donde f es la función cuya gráfica se muestra. t y 0 1 1 4 6 tx xx 0 ft dt EJERCICIOS 5.3 CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 387
- 455. 388 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 15. 16. 17. 18. 19–42 Evalúe la integral. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. donde 42. donde ; 43–46 ¿Con la ecuación, qué es incorrecto? 43. 44. 45. 46. y 0 sec2 x dx tan x 0 0 y 3 sec tan d sec '3 3 y 2 1 4 x3 dx 2 x2 2 1 3 2 y 1 2 x4 dx x3 3 1 2 3 8 f x 2 4 x2 si 2 x 0 si 0 x 2 y 2 2 f x dx f x sen x cos x si 0 x 2 si 2 x y 0 f x dx y 2 1 4 u2 u3 du y 1 1 eu1 du y 1 0 4 t2 1 dt y s32 12 6 s1 t2 dt y 1 0 10x dx y 9 1 1 2x dx y 1 0 cosh t dt y 2 1 1 2y2 dy y 4 0 sec tan d y 4 0 sec2 t dt y 2 0 y 12y 1 dy y 9 1 x 1 sx dx y 1 0 3 xsx dx y 2 0 x2 x5 dx y 2 cos d y 2 1 3 t4 dt y 8 1 s 3 x dx y 1 0 x45 dx y 1 0 1 1 2 u4 2 5 u9 du y 4 1 5 2t 3t2 dt y 5 2 6 dx y 2 1 x3 2x dx y y 0 e sen3 t dt y y 1 13x u3 1 u2 du y y cos x 1 1 v2 10 dv y y tan x 0 st st dt (c) ¿Dónde tiene un valor máximo t? (d) Trace una gráfica aproximada de t? 4. Sea , donde f es la función cuya gráfica se muestra. (a) Evalúe y . (b) Estime y . (c) ¿En qué intervalo es creciente t? (d) ¿Dónde tiene un valor máximo t? (e) Trace una gráfica aproximada de t. (f) Utilice la gráfica del inciso (e) para trazar la gráfica de . Compárela con la gráfica de f. 5–6 Trace el área representada por . A continuación halle de dos maneras: (a) aplicando la parte 1 del teorema fundamental y (b) evaluando la integral utilizando la parte 2 y después derivar. 5. 6. 7–18 Use la parte 1 del teorema fundamental del cálculo para en- contrar la derivada de la función. 7. 8. 10. 11. 12. 14. hx y x2 0 s1 r3 dr hx y 1x 2 arctan t dt 13. Gx y 1 x cos st dt Sugerencia: y x s1 sec t dt y x s1 sec t dt Fx y x s1 sec t dt tr y r 0 sx2 4 dx ty y y 2 t2 sen t dt 9. tx y x 3 et2 t dt tx y x 1 1 t3 1 dt tx y x 0 (1 st) dt tx y x 1 t2 dt tx tx 1 t y 1 0 f tx t0 t2, t1 t3 t3 tx xx 3 f t dt 1 5 t y 1 0 f CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 388
- 456. SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 389 La función integral sinusoidal es importante en la ingeniería eléctrica. El integrando no está definido cuando , pero sabe que su límite es 1 cuando . De modo que defina y esto convierte a f en una función continua en todas partes.] (a) Dibuje la gráfica de . (b) ¿En qué valores de x tiene esta función valores máximos locales? (c) Encuentre las coordenadas del primer punto de inflexión a la derecha del origen. (d) ¿Esta función tiene asíntotas horizontales? (e) Resuelva la ecuación siguiente correcta hasta una cifra de- cimal. 63–64 Sea , donde es la función cuya gráfica se muestra. (a) ¿En qué valores de x se presentan los valores máximos y míni- mos locales de t? (b) ¿Dónde alcanza t su valor máximo absoluto? (c) ¿En qué intervalos t es cóncava hacia abajo? (d) Trace la gráfica de t. 64. 65–66 Evalúe el límite reconociendo primero la suma como una suma de Riemann para una función definida en . 61. 62. lím n l 1 n 1 n 2 n 3 n n n lím n l n i1 i 3 n4 0, 1 y 1 t 0 7 3 5 9 f _0.2 0.2 0.4 y 2 t 0 _1 _2 1 2 4 6 8 3 f 63. f tx xx 0 f t dt y x 0 sen t t dt 1 Si f 0 1 t l 0 t 0 f t sen tt Six y x 0 sen t t dt 62. CAS ;47–50 Mediante una gráfica dé una estimación del área de la región que se localiza abajo de la curva dada. Después calcule el área exacta 47. , 48. , 49. , 50. , 51–52 Evalúe la integral e interprétela como una diferencia de áreas. Ilustre mediante un croquis. 52. 53–56 Determine la derivada de la función. 54. 55. 56. 57. Si , donde , halle . 58. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva es cóncava hacia arriba. 59. Si , es continua y , ¿cuál es el va- lor de ? 60. La función error se usa en probabilidad, estadística e ingeniería. (a) Demuestre que . (b) Demuestre que la función satisface la ecua- ción diferencial . 61. La función de Fresnel se definió en el ejemplo 3 y en las fi- guras 7 y 8 se trazaron sus gráficas. (a) ¿Sobre qué valores de x tiene valores máximos locales es- ta función? (b) ¿Sobre qué valores esta función es cóncava hacia arriba? (c) Utilice una gráfica para resolver la ecuación siguiente co- rrecta hasta dos cifras decimales. y x 0 sen t2 2 dt 0.2 CAS S y 2xy 2s y ex2 erfx xb a et 2 dt 1 2 s erfb erfa erfx 2 s y x 0 et 2 dt f 4 x4 1 f x dx 17 f f 1 12 y y x 0 1 1 t t2 dt F2 f t y t 2 1 s1 u4 u du Fx y x 1 f t dt y y 5x cos x cosu2 du y y x 3 sx st sen t dt tx y x2 tan x 1 s2 t4 dt Sugerencia: y 3x 2x f u du y 0 2x f u du y 3x 0 f u du tx y 3x 2x u2 1 u2 1 du 53. y 5 2 4 sen x dx y 2 1 x3 dx 51. 0 x 3 y sec2 x 0 x y sen x 1 x 6 y x4 0 x 27 y s 3 x CAPITULO-05-B 06/04/2009 19:30 Page 389
- 457. 390 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES 75. Una empresa de fabricación tiene una pieza importante de un equipo que se deprecia a la tasa (continua) , donde t es el tiempo medido en meses desde que se le sometió a su más reciente reparación. Como cada vez que la máquina se somete a una reparación mayor se incurre en un costo fijo, la compa- ñía desea determinar el tiempo óptimo T (en meses) entre