Complemento el poder del solver
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Este documento presenta ejemplos de cómo utilizar Solver en Excel para resolver problemas de optimización. Se muestran dos ejemplos: 1) maximizar los beneficios determinando el presupuesto óptimo de publicidad trimestral sujeto a restricciones, y 2) resolver un problema de mezcla de productos para maximizar ganancias teniendo en cuenta la disminución de los márgenes con el volumen. También se explica cómo agregar, cambiar y guardar restricciones, y cargar modelos guardados anteriormente.
![Ejercicio 06:
Valor de la resistencia en un circuito eléctrico.
Hallar el valor de la resistencia en un circuito eléctrico que emitirá una descarga
equivalente al uno por ciento de su valor inicial en una vigésima de segundo desde
el momento en que se mueve el interruptor.
Este modelo presenta un circuito eléctrico que contiene una batería, un interruptor,
un condensador, una resistencia y un inductor. Con el interruptor en la posición de
la izquierda, la batería conecta con el condensador. Con el interruptor a al derecha,
el condensador conecta con el inductor y la resistencia, los cuales consumen la
energía eléctrica.
Por medio de la segunda ley de Kirchhoff se puede formular y resolver una ecuación
diferencial para determinar cómo la carga en el condensador varía con el tiempo. La
fórmula relaciona la carga q[t] con el tiempo t, con la inducción L, la resistencia R y la
condensación C de los
elementos del circuito.
Utilice Solver para escoger un valor apropiado para la resistencia R (dados los
valores del inductor L y el condensador C) que emitirán la carga a un uno por ciento
del valor inicial en una vigésima parte de segundo después de haberse presionado
el interruptor.
Especificaciones del problema
Celda objetivo
G15
El objetivo es lograr un valor de 0,09.
Celdas a cambiar
G12
Resistencia.
Restricciones
D15:D20
Solución algebraica a la ley de Kirchhoff.](https://image.slidesharecdn.com/complementoelpoderdelsolver-140216233556-phpapp02/85/Complemento-el-poder-del-solver-14-320.jpg)
Complemento el poder del solver
- 1. CASOS PRACTICOS DEL SOLVER En los ejemplos siguientes se muestra la forma de trabajar con este modelo para resolver uno o varios valores para maximizar o minimizar otro valor, escribir y cambiar restricciones y guardar un problema modelo. Ejemplo de Aplicación: Éste es un modelo típico de mercadotecnia que muestra el crecimiento de las ventas a partir de una cifra base (quizás debido personal de ventas) además del incremento en publicidad, pero con una caída constante en el flujo de caja. Por ejemplo, los primeros 5.000 $ de publicidad en el T1 producen aproximadamente un incremento de 1.092 unidades vendidas, pero los 5.000 $ siguientes producen cerca de 775 unidades adicionales. Puede utilizar Solver para averiguar si el presupuesto publicitario es escaso y si la publicidad debe orientarse de otra manera durante algún tiempo para sacar provecho del factor de cambio de temporada. Fila Contiene Explicación Factor de temporada: las ventas son mayores el los trimestres 2 y 4, y menores en los trimestres 1 y 3. 3 Valores fijos 5 Predicción de las unidades vendidas cada trimestre: la fila 3 contiene el factor de temporada; la =35*B3*(B11+3000)^0,5 fila 11 contiene el costo de publicidad 6 Ingresos por las ventas: predicción de las unidades vendidas (fila 5) por el precio (celda B18) =B5*$B$18
- 2. 7 =B5*$B$19 Costo de las ventas: predicción de las unidades vendidas (fila 5) por el costo del producto (celda B19). 8 =B6-B7 Margen bruto: ingresos por las ventas (fila 6) menos el costo de las ventas (fila 7). 10 Valores fijos Gastos del personal de ventas. 11 Valores fijos Presupuesto de publicidad (aprox. 6,3% de las ventas). 12 =0.15*B6 Gastos fijos corporativos: ingresos por las ventas (fila 6) por el 15%. 13 =SUMA(B10:B12) Costo total: gastos del personal de ventas (fila 10) más publicidad (fila 11) más gastos fijos (fila 12). 15 =B8-B13 Beneficios: margen bruto (fila 8) menos el costo total (fila 13). 16 =B15/B6 Margen de beneficio: beneficio (fila 15) dividido por los ingresos por las ventas (fila 6). 18 Valores fijos Precio por producto. 19 Valores fijos Costo por producto. Resolver un valor para maximizar otro Puede utilizar Solver para determinar el valor máximo de una celda cambiando el valor de otra. Las dos celdas deben estar relacionadas por medio de las fórmulas de las hoja de cálculo. Si no es así, al cambiar el valor de una celda no cambiará el valor de la otra celda. Por ejemplo, en la hoja de cálculo de muestra se desea saber cuánto es necesario gastar en publicidad para generar el máximo beneficio en el primer trimestre. El objetivo es maximizar el beneficio cambiando los gastos en publicidad. • En el menú Herramientas, haga clic en Solver. En el cuadro Celda objetivo, • escriba b15 o seleccione la celda B15 (beneficios del primer trimestre) en la hoja de cálculo. • Seleccione la opción Máximo. En el cuadro Cambiando las celdas, escriba b11 o • seleccione la celda B11 (publicidad del primer trimestre) en la hoja de cálculo. • Haga clic en Resolver. Aparecerán mensajes en la barra de estado mientras se configura el problema y Solver empezará a funcionar. Después de un momento, aparecerá un mensaje advirtiendo que Solver ha encontrado una solución. El resultado es que la publicidad del T1 de 17.093 $ produce un beneficio máximo de 15.093 $.
- 3. • Después de examinar los resultados, seleccione Restaurar valores originales y haga clic en Aceptar para desestimar los resultados y devolver la celda B11 a su estado original. Restablecer las opciones de Solver Si desea restablecer las opciones del cuadro de diálogo Parámetros de Solver a su estado original de manera que pueda iniciar un problema nuevo, puede hacer clic en Restablecer todo. Resolver un valor cambiando varios valores También puede utilizar Solver para resolver varios valores a la vez para maximizar o minimizar otro valor. Por ejemplo, puede averiguar cuál es el presupuesto publicitario de cada trimestre que produce el mayor beneficio durante el año. Debido a que el factor de temporada en la fila 3 se tiene en cuenta en el cálculo de la unidad de ventas en la fila 5 como multiplicador, parece lógico que se gaste más del presupuesto publicitario en el trimestre T4 cuando la respuesta a las ventas es mayor, y menos en el T3 cuando la respuesta a las ventas es menor. Utilice Solver para determinar la mejor dotación trimestral. • En el menú Herramientas, haga clic en Solver. • En el cuadro Celda objetivo, escriba f15 o seleccione la celda F15 (beneficios totales del año) en la hoja de cálculo. • Asegúrese de que la opción Máximo está seleccionada. • En el cuadro Cambiando las celdas, escriba b11:e11 o seleccione las celdas B11:E11 (el presupuesto publicitario de cada uno de los cuatro trimestres) en la hoja de cálculo. • Haga clic en Resolver. • Después de examinar los resultados, haga clic en Restaurar valores originales y haga clic en Aceptar para desestimar los resultados y devolver a las celdas sus valores originales. Acaba de solicitar a Solver que resuelva un problema de optimización no lineal moderadamente complejo, es decir, debe encontrar los valores para las incógnitas en las celdas de B11 a E11 que maximizan los beneficios. Se trata de un problema no lineal debido a los exponentes utilizados en las fórmulas de la fila 5. El resultado de esta optimización sin restricciones muestra que se pueden aumentar los beneficios durante el año a 79.706 $ si se gastan 89.706 $ en publicidad durante el año. Sin embargo, problemas con un modelo más realista tienen factores de restricción que es necesario aplicar a ciertos valores. Estas restricciones se pueden aplicar a la celda objetivo, a las celdas que se van a cambiar o a cualquier otro valor que esté relacionado con las fórmulas de estas celdas. Agregar una restricción
- 4. Hasta ahora, el presupuesto recupera el costo publicitario y genera beneficios adicionales, pero se está alcanzado un estado de disminución de flujo de caja. Debido a que nunca es seguro que el modelo de ventas y publicidad vaya a ser válido para el próximo año (de forma especial a niveles de gasto mayores), no parece prudente dotar a la publicidad de un gasto no restringido. Supongamos que desea mantener el presupuesto original de publicidad en 40.000 $. Agregue el problema de restricción que limita la cantidad en publicidad durante los cuatro trimestres a 40.000 $. • En el menú Herramientas, haga clic en Solver y después en Agregar. • Aparecerá el cuadro de diálogo Agregar restricción. En el cuadro Referencia de celda, escriba f11 o seleccione la celda F11 (total en publicidad) en la hoja de cálculo. • La celda F11 debe ser menor o igual a 40.000 $. La relación en el cuadro Restricción es <= (menor o igual que) de forma predeterminada, de manera que no tendrá que cambiarla. • En el cuadro que se encuentra junto a la relación, escriba 40000. Haga clic en Aceptar y, a continuación, haga clic en Resolver. • Después de examinar los resultados, haga clic en Restaurar valores originales y, a continuación, haga clic en Aceptar para desestimar los resultados y devolver a las celdas sus valores originales. La solución encontrada por Solver realiza una dotación de cantidades desde 5.117 $ en el T3 hasta 15.263 $ en el T4. El beneficio total aumentó desde 69.662 $ en el presupuesto original a 71.447 $, sin ningún aumento en el presupuesto publicitario. Cambiar una restricción Cuando utilice Microsoft Excel Solver, puede experimentar con parámetros diferentes para decidir la mejor solución de un problema. Por ejemplo, puede cambiar una restricción para ver si los resultados son mejores o peores que antes. En la hoja de cálculo de muestra, cambie la restricción en publicidad de 4.000 $ a 50.000 $ para ver qué ocurre con los beneficios totales. • En el menú Herramientas, haga clic en Solver. • La restricción, $F$11<=40000 debe estar seleccionada en el cuadro Sujetas a las siguientes restricciones. • Haga clic en Cambiar. En el cuadro Restricción, cambie de 40000 a 50000. • Haga clic en Aceptar y después en Resolver. • Haga clic en Utilizar la solución de Solver y, a continuación, • haga clic en Aceptar para mantener los resultados que se muestran en la pantalla. Solver encontrará una solución óptima que produzca un beneficio total de 74.817 $. Esto supone una mejora de 3.370 $ con respecto al resultado de 71.447 $. En la mayoría de las organizaciones no resultará muy difícil justificar un incremento en inversión de 10.000 $ que produzca un beneficio adicional de 3.370 $ o un 33,7% de flujo de caja. Esta solución también produce un resultado de 4.889 $ menos que el
- 5. resultado no restringido, pero es necesario gastar 39.706 $ menos para lograrlo. Guardar un problema modelo Al hacer clic en Guardar en el menú Archivo, las últimas selecciones realizadas en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver se vinculan a la hoja de cálculo y se grabarán al guardar el libro. Sin embargo, puede definir más de un problema en una hoja de cálculo si las guarda de forma individual utilizando Guardar modelo en el cuadro de diálogo Opciones de Solver. Cada modelo de problema está formado por celdas y restricciones que se escribieron en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver. Cuando haga clic en Guardar modelo, aparecerá el cuadro de diálogo Guardar modelo con una selección predeterminada, basada en la celda activa, como el área para guardar el modelo. El rango sugerido incluirá una celda para cada restricción además de tres celdas adicionales. Asegúrese de que este rango de celdas se encuentre vacío en la hoja de cálculo. • En el menú Herramientas, haga clic en Solver y después en Opciones. • Haga clic en Guardar modelo. • En el cuadro Seleccionar área del modelo, escriba h15:h18 o seleccione las celdas H15:H18 en la hoja de cálculo. • Haga clic en Aceptar. Nota También puede escribir una referencia a una sola celda en el cuadro Seleccionar área del modelo. Solver utilizará esta referencia como la esquina superior izquierda del rango en el que copiará las especificaciones del problema. Para cargar estas especificaciones de problemas más tarde, haga clic en Cargar modelo en el cuadro de diálogo Opciones de Solver, escriba h15:h18 en el cuadro Seleccionar área del modelo o seleccione las celdas H15:H18 en la hoja de cálculo de muestra y, a continuación, haga clic en Aceptar. Solver mostrará un
- 6. mensaje ofreciendo la posibilidad de restablecer las opciones de configuración actuales de Solver con las configuraciones del modelo que se está cargando. Haga clic en Aceptar para continuar.
- 7. Ejercicio 01: Problema de la mezcla de productos combinado con la disminución del margen de ganancias Su organización fabrica televisores, estéreos y altavoces usando piezas en común del inventario, tales como generadores de electricidad y conos de altavoces. Debido a que las piezas son limitadas, se debe determinar la mezcla óptima de productos que se van a fabricar. Pero la ganancia por unidad disminuye al aumentar el volumen fabricado puesto que se necesitan más incentivos de precio para producir un incremento en la demanda. Este modelo proporciona datos de varios productos utilizando piezas comunes, cada una con un margen de beneficio diferente por unidad. El número de piezas es limitado, por lo que el problema consiste en determinar el número de cada producto del inventario disponible que se utilizará para construir los componentes, maximizando así los beneficios. Especificaciones del problema Celda objetivo Celdas cambiar Restricciones D18 El objetivo es maximizar el beneficio. D9:F9 Unidades de cada producto que se van A CONSTRUIR a El número de piezas utilizadas debe ser menor o igual al número de piezas del C11:C15<=B11:B15 inventario. D9:F9>=0 El número del valor a construir debe ser mayor o igual a 0. Las fórmulas de beneficio por producto en las celdas D17:F17 incluyen el factor ^L8 para mostrar que el beneficio por unidad disminuye con el volumen. L8 contiene 0,9, lo que hace que el problema sea no lineal. Si cambia L8 a 1,0 para indicar que el beneficio por unidad permanece constante con relación al volumen y después vuelve
- 8. a hacer clic en Resolver, la solución óptima cambiará. Este cambio también hace que el problema sea lineal. Ejercicio 02: Problema de transporte. Minimizar el costo de envío de mercancías desde las plantas de producción hasta los almacenes cercanos a los centros de demanda regionales, sin exceder las existencias disponibles en cada planta y satisfaciendo la demanda de cada almacén regional. El problema que se presenta en este modelo implica el envío de mercancías desde tres plantas a cinco almacenes diferentes. Las mercancías pueden enviarse desde cualquier planta a cualquier almacén, pero obviamente es más costoso enviar mercancías a largas distancias que a cortas distancias. El problema consiste en determinar las distancias desde cada planta a cada almacén con un mínimo costo de envío para poder satisfacer la demanda regional sin sobrepasar los suministros de cada planta. Especificaciones del problema Celda objetivo B20 El objetivo es minimizar el costo total de envío. Celdas a cambiar C8:G10 La cantidad que se va a enviar desde cada planta a cada almacén. Restricciones El total enviado debe ser menor o igual a la cantidad disponible en cada planta. B8:B10<=B16:B18 El total enviado a los almacenes debe ser mayor o igual a la demanda de los C12:G12>=C14:G14 almacenes. C8:G10>=0 El número que se va a enviar debe ser mayor o igual a 0.
- 9. Puede resolver este problema con mayor rapidez seleccionando la casilla Adoptar modelo lineal en el cuadro de diálogo Opciones de Solver antes de hacer clic en Resolver. Este tipo de problema tiene una solución óptima en la que las cantidades que se van a enviar son números enteros, si todas las restricciones de la oferta y la demanda son números enteros. Ejercicio 03: Planificación del horario para el personal de un parque de diversiones. Cada empleado trabaja cinco días consecutivos y dispone de dos días de descanso. Se trata de confeccionar un horario adecuado, de manera que el parque cuente con personal suficiente en cada momento, minimizando los costos salariales. El objetivo de este modelo es programar el horario de los empleados de manera que se cuente siempre con suficiente plantilla al menor coste. En este ejemplo se paga a todos los empleados utilizando la misma tasa, de forma que al minimizar el número de empleados que trabajan cada día, también se minimizan los costos. Cada empleado trabaja cinco días consecutivos y dispone de dos días libres. Especificaciones del problema Celda objetivo D20 El objetivo es minimizar el costo de la plantilla. Celdas cambiar D7:D13 Empleados en cada horario. D7:D13>=0 El número de empleados debe ser mayor o igual a 0. D7:D13=Entero El número de empleados debe ser un número Restricciones a
- 10. entero. El número de empleados que trabajan cada F15:L15>=F17:L17 día debe ser mayor o igual a la demanda. Horarios posibles Filas 7-13 1 significa que el empleado en ese horario trabaja ese día. En este ejemplo, se utiliza una restricción de número entero de forma que las soluciones no den un resultado de números fraccionarios de empleados en cada horario. Si se selecciona la casilla de verificación Asumir modelo lineal en el cuadro de diálogo Opciones de Solver antes de hacer clic en Resolver, se acelerará el proceso de solución. Ejercicio 04: Administración del capital de trabajo. Determinar cómo invertir los excedentes de efectivo en certificados de depósito a plazo fijo de 1, 3 y 6 meses, de modo que se aumenten los ingresos por intereses al tiempo que se conservan fondos suficientes para cubrir los gastos (más un margen de seguridad). Una de las funciones de un directivo gerente financiero es el manejo de dinero líquido y de las inversiones a corto plazo de forma que se maximicen los ingresos por intereses, a la vez que se mantienen fondos disponibles para poder hacer frente a los gastos. Es preferible la flexibilidad que proporcionan las inversiones a largo plazo que las altas tasas de interés de las inversiones a corto plazo.
- 11. En este modelo se calcula la liquidez final en base a la liquidez inicial (del mes anterior), la entrada de flujo financiero debida a los plazos de los certificados de depósito, la salida de flujo financiero motivada por la compra de nuevos certificados de depósito y el dinero necesario para las operaciones mensuales de la organización. Puede tomar hasta nueve decisiones: las cantidades a invertir en certificados a un mes entre los meses 1 al 6, las cantidades a invertir en certificados a tres meses entre los meses 1 al 4 y las cantidades a invertir en certificados a seis meses en el mes 1. Especificaciones del problema H8 Celda objetivo Celdas cambiar El objetivo es maximizar las tasas de interés. B14:G14 El dinero invertido certificado. a en cada tipo de B15, E15, B16 Restricciones B14:G14>=0 La inversión en cada tipo de certificado debe ser mayor o igual a 0. B15:B16>=0 E15>=0 La liquidez final debe ser mayor o igual a B18:H18>=100000 100.000 $. La solución óptima que Solver determina logra unos ingresos totales por intereses de 16.531 $ invirtiendo lo máximo posible en certificados a seis y a tres meses y, posteriormente, vuelve a invertir en certificados a un mes. Esta solución cumple con todas las restricciones. Supongamos, sin embargo, que desea garantizar la disponibilidad de dinero suficiente en el mes 5 para pagos de bienes de equipo. Agregue una restricción que disponga que el plazo medio de las inversiones realizadas en el mes 1 debe superar los cuatro meses. La fórmula en la celda B20 determina las cantidades totales a invertir en el mes 1 (B14, B15 y B16), teniendo en cuenta el plazo (de los meses 1, 3 y 6) y, a continuación, sustrae de esta cantidad la inversión total, teniendo en cuenta el mes 4. Si esta cantidad es cero o negativa, el plazo medio no será mayor de cuatro meses. Para agregar esta restricción, restaure los valores originales y haga clic en Solver en el menú Herramientas. Haga clic en Agregar. Escriba b20 en el cuadro Referencia de la celda, escriba 0 en el cuadro Restricción y, a continuación, haga clic en Aceptar. Para resolver el problema, haga clic en Resolver. Para cumplir con la restricción del plazo de cuatro meses, Solver cambia los fondos inversión de certificados a seis meses a certificados de tres meses. Estos fondos caducan en el cuarto mes y, de acuerdo con el plan, se invierten en certificados nuevos a tres meses. Si los fondos fueran necesarios se puede retener el dinero en lugar de invertirlo. La respuesta de los 56.896 $ en el mes 4 es más que suficiente
- 12. para el pago de los bienes de equipo del mes 5. Se renunció a 460 $ de ingresos por intereses para obtener esta flexibilidad. Ejercicio 05: Cartera de valores rentable. Hallar la ponderación de acciones en una cartera de valores rentable que permita incrementar la rentabilidad para un determinado nivel de riesgo. En esta hoja se utiliza el modelo de índice simple de Sharpe. También se puede utilizar el método de Markowitz si existen términos de covarianza. Uno de los principios básicos en la gestión de inversiones es la diversificación. Con una cartera de valores variada, por ejemplo, puede obtener una tasa de interés que represente la media de los flujos financieros de los valores individuales, a la vez que se reduce el riesgo de que un valor en concreto dé un mal resultado. Al utilizar este modelo, puede utilizar Solver para obtener la dotación de fondos en valores que minimice el riesgo de la cartera de valores para una tasa de flujo financiero dada o que maximice la tasa de flujo financiero para un tipo de riesgo conocido. Esta hoja de cálculo contiene los números (riesgo relativo al mercado) y la varianza residual de cuatro valores distintos. Además, la cartera de valores incluye inversiones en Deuda del Tesoro, para las que se asume un riesgo de flujo financiero y de varianza de 0. Inicialmente, cantidades iguales (20 por ciento de la cartera de valores) se invierten en cada valor del mercado.
- 13. Utilice Solver para probar las diferentes dotaciones de fondos en los valores y Deuda del Tesoro para maximizar el flujo financiero de la cartera de valores para un nivel específico de riesgo o para minimizar el riesgo para una tasa de flujo financiero específica. Con la dotación inicial del 20 por ciento, la cartera de valores devuelve un 16.4 por ciento y la varianza es del 7.1 por ciento. Especificaciones del problema Celda objetivo E18 El objetivo es maximizar el flujo financiero de la cartera de valores. Celdas a cambiar E10:E14 Proporción de influencia de cada valor. Restricciones E10:E14>=0 Las proporciones de influencia deben ser mayores o iguales a 0. E16=1 La proporción de influencia debe ser igual a 1. G18<=0.071 La varianza debe ser menor o igual a 0,071. Beta de cada valor B10:B13 Varianza valor C10:C13 de cada Las celdas D21:D29 contienen las especificaciones del problema para minimizar el riesgo para una tasa de flujo financiero del 16,4. Para cargar las especificaciones de este problema en Solver, haga clic en Solver en el menú Herramientas, haga clic en Opciones, haga clic en Cargar modelo, seleccione las celdas D21:D29 en la hoja de cálculo y después haga clic en Aceptar. Se presentará el cuadro de diálogo Parámetros de Solver. Haga clic en Resolver. Como podrá ver, Solver obtiene unas dotaciones de cartera de valores que en ambos casos sobrepasan la regla del 20 por ciento. Puede obtener una tasa de flujo financiero mayor (17.1 por ciento) para el mismo riesgo o puede reducir el riesgo sin renunciar a ningún ingreso. Estas dos dotaciones representan carteras de valores eficientes. Las celdas A21:A29 contienen el modelo del problema original. Para volver a cargar el problema, haga clic en Resolver en el menú Herramientas, haga clic en Opciones y en Cargar modelos, seleccione las celdas A21:A29 en la hoja de cálculo y, a continuación, haga clic en Aceptar. Solver presentará un mensaje ofreciendo la posibilidad de restablecer las opciones de configuración de Solver con las configuraciones del modelo que está cargando. Haga clic en Aceptar para continuar.
- 14. Ejercicio 06: Valor de la resistencia en un circuito eléctrico. Hallar el valor de la resistencia en un circuito eléctrico que emitirá una descarga equivalente al uno por ciento de su valor inicial en una vigésima de segundo desde el momento en que se mueve el interruptor. Este modelo presenta un circuito eléctrico que contiene una batería, un interruptor, un condensador, una resistencia y un inductor. Con el interruptor en la posición de la izquierda, la batería conecta con el condensador. Con el interruptor a al derecha, el condensador conecta con el inductor y la resistencia, los cuales consumen la energía eléctrica. Por medio de la segunda ley de Kirchhoff se puede formular y resolver una ecuación diferencial para determinar cómo la carga en el condensador varía con el tiempo. La fórmula relaciona la carga q[t] con el tiempo t, con la inducción L, la resistencia R y la condensación C de los elementos del circuito. Utilice Solver para escoger un valor apropiado para la resistencia R (dados los valores del inductor L y el condensador C) que emitirán la carga a un uno por ciento del valor inicial en una vigésima parte de segundo después de haberse presionado el interruptor. Especificaciones del problema Celda objetivo G15 El objetivo es lograr un valor de 0,09. Celdas a cambiar G12 Resistencia. Restricciones D15:D20 Solución algebraica a la ley de Kirchhoff.
- 15. Este problema y su solución son apropiados para un margen de valores muy pequeño; la función representada por la carga del condensador durante la prueba es en realidad la proyección de la función del seno.