Complementos calculo cg

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
COMPLEMENTOS DE CÁLCULO
*****************
Semestre 2017-B
Profesor Asignado:
Cristian Guatemal
Quito-Ecuador
(8 de Marzo del 2018)

Dedicado a mi madre por sus
constantes consejos y a mi padre

Agradecimientos
¡Muchas gracias a todos!
I

Resumen
Se trata de una bonita historia.
II

Índice general
CAPÍTULOS PÁGINA
Agradecimientos I
Resumen II
1. Supremo e Ínfimo de Conjuntos 1
1.1. Conjunto Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Supremo e Ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Deberes 6
2.1. Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Matrices 14
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1. subsección1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1.1. subsubsección1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
párrafo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Nudo 17
5. Desenlace 18
A. APENDICE 19
A.1. LACA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B. Y más cosas aún 20
C. Magia 21
C.1. 1 Blanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C.2. 2 Negra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
D. Encantamientos 22
D.1. 3 Peligrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
D.2. 4 Arcanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

CAPÍTULO
1 Supremo e Ínfimo de Conjuntos
1.1. Conjunto Acotado
Axiomas de Cuerpo: Dan sentido a igualdades o ecuaciones.
2x +1 = 3 ⇒ x = 1, 1 ∈ N
5x = 7 ⇒ x = 7
5
, 7
5
∈ Q
Axiomas de Orden: Necesarios para resolver inecuaciones o desigualdades.
5x < −2 ⇒ x = −2
5
, −2
5
∈ Q
Axiomas de Completitud: Para poder diferenciar los números reales de los números racionales.
¿Existe x ∈ R, tal que x2
= 2?
¿Existe x ∈ R, tal que x2
= 1? Si. x = 1 ó x = −1
Los racionales Q satisfacen los axiomas de cuerpo y orden. Se dice que Q es un cuerpo ordenado.
Observación
Sucesión
Define y desarrolla los procesos de límites.
1
n n∈N∗
N = {0,1,2,3,...}
N∗
= {1,2,3,...}
1
n n∈N∗ = 1, 1
2
, 1
3
, 1
4
,...
l´ım
n→∞
1
n
= 0
Definición 1.1.1. Sea A⊆ R no vacío diremos que A es acotado superiormente (inferiormente) si
existe un M (m) ∈ R tal que para todo a ∈ A, se verifique que a ≤ M (a ≥ m). Es decir
(∃M (m) ∈ R)(∀ a ∈ A) a ≤ M (a ≥ m))
A M se lo conoce como cota superior de A.
A m se lo conoce como cota inferior de A.
Figura 1.1: Supremo e Ínfimo
Se dice que A es acotado, si A es acotado superior e inferiormente, de lo contrario A no es acotado.
1

2 1.2. SUPREMO E ÍNFIMO
Observación
Cualquier real mayor a M es una cota superior para A. Cualquier real menor a m es una cota inferior
para A.
1.2. Supremo e Ínfimo
Definición 1.2.1. Sea A un conjunto no vacío de R. Se dice que u ∈ R es supremo de A (extremo
superior de A), si:
1. u es cota superior de A.
2. Para toda cota superior v de A, se tiene que u ≤ v.
El supremo es el menor de las cotas superiores.
Notación: u = sup(A)
Definición 1.2.2. Sea A un conjunto no vacío de R. Se dice que w ∈ R es ínfimo de A (extremo inferior
de A), si:
1. w es cota inferior de A.
2. Para toda cota inferior x de A, se tiene que w ≥ x.
El ínfimo es el mayor de las cotas inferiores.
Notación: w = in f (A)
Observación
Notar que tanto el supremo como el ínfimo de un conjunto A no necesariamente pertenecen al
conjunto A.
Ejemplo
A={x ∈ R / 1 ≤ x < 5}. Sea CI=conjunto de todas las cotas inferiores de A: (−∞, 1], entonces
in f (A) = 1 ∈ A y CS = conjunto de todas las cotas superior de A: (5,∞), entonces sup(A) = 5 ∈ A
Si sup(A) ∈ A, entonces se lo conoce como máximo de A y de denotará como máx(A).
Si in f (A) ∈ A, entonces se lo conoce como mínimo de A y de denotará como mín(A).
Si A =
R=R∪{+∞}∪{−∞} (reales extendidos)
sup ( ) = −∞
in f ( ) = +∞
(Demostración por vacuidad).
Theorem 1.2.1. Sea A⊆ R no vacío, entonces el sup A y el inf A si existen son únicos.
Demostración:
(Unicidad Supremo de A.)
Supongamos que u1 y u2 son el supremo de A, entonces:
u1 es cota superior de A,
u1 ≤ v ∀ v cota superior de A
y

CAPÍTULO 1. SUPREMO E ÍNFIMO DE CONJUNTOS 3
u2 es cota superior de A,
u2 ≤ v ∀ v cota superior de A
como u1 = sup(A), entonces: 1) u1 ≤ u2
y como u2 = sup(A), entonces: 2) u2 ≤ u1
Así por 1) y 2) u1 = u2
(Unicidad) Ínﬁmo de A).
Supongamos que w1 y w2 son el ínﬁmo de A, entonces
w1 es cota inferior de A,
w1 ≥ x ∀ x cota inferior de A
y
w2 es cota inferior de A,
w2 ≥ x ∀ x cota inferior de A
como w1=inf A, entonces 1) w1 ≥ w2
y como w2=inf A, entonces 2) w2 ≥ u1
Por 1) y 2) w1 = w2
Axioma 1. (Axioma de Completitud.) Todo conjunto de R no vacío y acotado superiormente tiene
supremo.
Proposition 1.2.2. (Caracterización del Supremo. ) Sea A ⊆ R no vacío y acotado superiormente.
u = sup(A) ⇔
1) u es cota superior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) talque u − < a
Demostración:
(⇒) Supongo que u = sup(A). Por demostrar:
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
Es fácil ver que 1) está demostrado pues u es el supremo de A, y así es una cota superior.
Ahora para demostrar 2)
Sea > 0. Por demostrar que ∃ a ∈ A) u − < a
Vamos a seguir una demostración basada en reducción al absurdo
Por contradicción (negar la tesis). Supongamos u = sup(A) y (∃ > 0)(∀a ∈ A) u − ≥ a . Luego
a ≤ u − (∀a ∈ A) . De donde u − es cota superior de A, y como u es el supremo de A, entonces
u ≤ u − es decir 0 ≤ − , con lo cual ≤ 0 ⇒⇐ contradicción pues > 0
Por lo tanto (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a es verdadera.
(⇐) Supongamos que:
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
Por demostrar que: u = sup A, es decir que

4 1.2. SUPREMO E ÍNFIMO
2) u ≤ v ∀ v cota superior de A
Es trivial demostrar 1)
Ahora, sea v cota superior de A. Por demostrar que: u ≤ v
Por reducción al absurdo, supongamos que:
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) u − < a
y que existe v cota superior de A tal que u > v
Notemos que u − v > 0, con ello, consideremos = u − v > 0. Así, existe a ∈ A tal que u − < a
Por lo tanto, v < a ⇒⇐ contradicción pues v es cota superior de A.
Por lo tanto u ≤ v, ∀ v cota superior de A
Proposition 1.2.3. (Caracterización de ínfimo.) Sea A⊆ R no vacío y acotado inferiormente.
u = in f (A) ⇔
1) w es cota inferior de A
2) (∀ > 0)(∃ a ∈ A) talque w + > a
La demostración se deja como ejercicio para el lector
Theorem 1.2.4. Todo conjunto no vacío de R acotado inferiormente posee ínfimo.
Demostración:
Sea A⊆ R no vacío acotado inferiormente, definimos B = −A ={−a,a ∈ A }
B = , pues A = , (axiomas de cuerpo aseguran la existencia de conjuntos). Por demostrar que B es
acotado superiormente.
En efecto, como A es acotado inferiormente, existe m ∈ R, tal que m ≤ a ∀ a ∈ A ⇒ −m ≥ −a ∀ a ∈ A ⇒
−m ≥ b ∀ b ∈ B
Por el axioma del supremo, B posee supremo, llamémoslo u = sup(B) ⇔ u = sup(−A).
Veamos que u = −in f (A) ⇔ −u = in f (A). Mostremos que:
1) -u es cota inferior de A.
Como u = sup(B), ∀ b ∈ B b ≤ u ⇔ ∀ a ∈ A −a ≤ u ⇔ ∀ a ∈ A a ≥ −u
Por lo tanto -u es cota inferior de A.
2) Sea > 0 Por demostrar que (∃ > 0)(∀ a ∈ A) −u + > a . Como u = sup(B), entonces ∃ b ∈ B, tal
que u − < b ⇔ −u + > −b =: a
Tomando −b =: a se sigue el resultado.
Por lo tanto −u = in f (A)
Observación
Todo conjunto no vacío de R acotado posee un único supremo y un único ínfimo.
sup(−A) = −in f (A)

CAPÍTULO 1. SUPREMO E ÍNFIMO DE CONJUNTOS 5
Theorem 1.2.5. El conjunto de los números enteros positivos no es acotado.
Demostración:
Por reducción al absurdo. Supongamos que Z+
está acotado superiormente.
Como 1 ∈ Z+
(conjunto inductivo), entonces Z+
= , por axioma del supremo, existe sup(Z+
), es decir,
∀ a ∈ Z+
, a ≤ sup(Z+
)
Conjunto Inductivo
Se dice que A⊆ R es inductivo si:
1) 1 ∈ A
2) Si x ∈ A, entonces x +1 ∈ A
Como Z+
es un conjunto inductivo, entonces a +1 ∈ Z+
, luego
(∀ > 0)(∃ n ∈ Z+
) sup(Z+
)− < n
Tomando = 1, sup(Z+
)−1 < n1, entonces sup(Z+
) < n1 +1 ∈ Z+
⇒⇐, pues contradice el hecho de
que sup(Z+
) es cota superior para Z+
Corolario 1.2.6. (∀x ∈ R) (∃n = nx) : x < n (nx significa que no depende de x)
Demostración:
Por reducción al absurdo. Supongamos que (∃x ∈ R) (∀n ∈ Z+
) x ≥ n ⇒⇐, pues, de lo contrario Z+
sería acotado superiormente.
Corolario 1.2.7. (Propiedad Arquimediana de R) (∀x > 0)(∀y ∈ R)(∃n = n(x, y) ∈ Z+
) nx > y
Demostración:
Sean x > 0 e y ∈ R Por demostrar que ∃n = n(x, y) ∈ Z+
tal que nx > y
Definimos z =
y
x
, z ∈ R (bien definido), y por el corolario anterior, existe n = n(z) tal que z < n,
entonces
y
x
< n ⇔ y < nx
Proposition 1.2.8. (Caracterización de Cota Superior) u es cota superior de S ⇔ ∀t ∈ R tal que
t > u ⇒ t ∉ S
Demostración:
(⇒) Sea u cota superior de S. Por demostrar que ∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S
1) Como u es cota superior de S, entonces a ≤ u ∀a ∈ S
2) Sea t > u. Por demostrar que t ∉ S
Por 1) y 2) a ≤ u < t ∀a ∈ S, así t > a ∀a ∈ S Así t ∉ S
(⇐) Supongamos que ∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S Por demostrar que u es cota superior de S, es
decir demostrar que ∀a ∈ S, a ≤ u
Por reducción al absurdo, supongamos que ∃a∗ ∈ S tal que a∗ > u
Ahora tomemos t =: a∗ > u, entonces a∗ ∈ S ⇒⇐ Pues a∗ ∈ S, así por lo tanto u es cota superior de S ⇔
∀t ∈ R tal que t > u ⇒ t ∉ S

CAPÍTULO
2 Deberes
2.1. Lista 1
1. Sea M ⊆ R no vacío acotado inferiormente. Muestre que el ínfimo de A es único
Demostración:
Supongamos que W1 y W2 son ínfimos de A, es decir
W1 = in f (A) ≡
W1 es cota inferior de A
W1 ≥ u,ucota inferior de A
W2 = in f (A) ≡
W2 es cota inferior de A
W2 ≥ v ,v cota inferior de A
luego, W2 es cota inferior de A, por tanto
W1 ≥ W2
pero W1 tambien es cota inferior de A
W2 ≥ W1
Así, por tricotomía se tiene que W1 = W2
2. Sea A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente, demuestre que
w = in f (A) ⇔ 1 . w es cota suoerior de A
2 .(∀ε > 0)(∃aε ∈ A) : w +ε > aε
Demostración:
(⇒) Supongamos que
w = in f (A)
Se tiene que 1 es verdadero por la definición de ínfimo.
Para probar 2, razonemos por el absurdo, es decir, voy a suponer que
(∃ε > 0) (∀a ∈ A) | w +ε < a
luego, w +ε es una cota inferior de A, así
w > w +ε
lo cual es imposible pues ε > 0
(⇐) Supongamos que
(1) w es cota inferior de A
6

CAPÍTULO 2. DEBERES 7
(2) (∀ε > 0) (∃aε) | w +ε > aε
Voy a probar que
w = in f (A) ≡
3. w es cota inferior de A
4. w ≥ u,u cota inferior de A
Uno es trivial. Para probar dos, supongamos por contradicción que existe u que es cota inferior
de A tal que
w < u
entonces
−w +u > 0
Sea ε = −w +u tenemos que
w +(−w +u) > aε
aε < u
lo cual es imposible pues u es cota inferior de A.
3. Sea a un número primo. Muestre que no existe x ∈ Q tal que x2
= a.
Demostración:
Por contradicción supongamos que existe x ∈ Q tal que x2
= a, tenemos entonces que existen p y
q en Q con q = 0 tal que
x =
p
q
donde p y q son primos relativos, así
x2
=
p2
q2
como x2
= a se tiene
a =
p2
q2
⇔ p2
= aq2
(1)
es decir p2
es múltiplo de a. Notemos que p puede escribirse de manera única como producto de
sus factores primos, de manera que
p = f 1f 2f 3f 4f 5... ⇒ p2
= f 1f 1f 2f 2f 3f 3f 4f 4...
necesariamente uno de los factores de p2
es a, es decir
p2
= f 1f 1f 2f 2...aa...f n f n ⇒ p = f 1f 2...a...f n
luego, p es también múltiplo de a, por tanto puede escribirse como p = ak donde k es el producto
de los demás factores que no son a, así junto con (1)
(ak)2
= aq2
⇐⇒ ak2
= q2
en consecuencia, q2
es múltiplo de a, por lo que también q es múltiplo de a. Es decir hemos
llegado a demostrar que p y q son múltiplos de a, lo que contradice nuestra hipótesis de ser
primos relativos entre si.

8 2.1. LISTA 1
4. Densidad de los números Irracionales: Sean x, y con x < y. Muestre que existe t ∈ I tal que
x < t < y
Demostración:
Sabemos de la densidad de Q en R que existen r,s en Q tal que
x < r < s < y ⇒ s −r > 0
Sea w > 0 con w ∈ I, se tiene
w
s −r
> 0
así por la propiedad arquimediana de los números reales, existe n ∈ N tal que
n >
w
s −r
entonces,
1
n
<
s −r
w
⇐⇒ s >
w
n
+r (1)
por otro lado, n y w son mayores a cero, luego
w
n
> 0 ⇒ r < r +
w
n
(2)
de (1) y (2)
r < r +
w
n
< s
⇒ x < r < r +
w
n
< s < y
⇒ x < r +
w
n
< y
Resta probar que r + w
n es un número irracional, para ello hay que probar que
w
n
∈ I
Pero esto es verdad ya que si suponemos que w
n
es un número racional, entonces w ∈ Z y n ∈ Z con
n = 0, lo cual es imposible pues w ∈ I. Además teniendo en cuenta que la suma de un número
racional y un irracional da como resultado un número irracional, entonces podemos concluír
r +
w
n
∈ I
5. Sean A,B ⊆ R no vacíos, se deﬁne C = A +B = {a +b : a ∈ A,b ∈ B}. Muestre que si A y B están
acotados inferiormente, entonces C está acotado inferiormente y
in f (C) = in f (A)+in f (B)
Demostración:
En primer lugar, C no es vacío pues A y B son distintos del vacío.
Por demostrar :

(1) in f (A)+in f (B) es cota inferior de C
(2) (∀ε > 0)(∃c ∈ C) : in f (A)+in f (B)+ε > c
Como A y B son acotados, se tiene
a > in f (A) (∀a ∈ A) b > in f (B) (∀a ∈ A)
si sumanos ambas desigualdades
a +b > in f (A)+in f (B) (∀a ∈ A),(∀b ∈ B)
pero a +b ∈ C, entonces C es acotado inferiormente.
Aplicando la caracterización del supremo a los conjuntos A y B, tenemos
(∀ε > 0)(∃a ∈ A) : in f (A)+ε > a
y
(∀ε > 0)(∃b ∈ B) : in f (B)+ε > b
de donde,
in f (A)+in f (B)+2ε > a +b
sea ˜ε = 2ε obtenemos
in f (A)+in f (B)+ ˜ε > a +b
pero a+b pertenece a C.
6. Sean A,B ⊆ [0,+∞] no vacíos. Se deﬁne AB = {ab : a ∈ A,b ∈ B}. Muestre que si A y B están
acotados superiormente, entonces AB lo está también y
sup(AB) = sup(A)sup(B)
Demostración:
En primer lugar, AB no es vacío pues A y B son distintos del vacío.
Para mostrar sup(AB) = sup(A)sup(B) mostraré que
(1) sup(AB) ≤ sup(A)sup(B)
(2) sup(AB) ≥ sup(A)sup(B)
Como A y B están acotados superiormente,
0 ≤ a ≤ sup(A) (∀a ∈ A)
0 ≤ b ≤ sup(B) (∀b ∈ B)
además, al ambas desigualdades der mayores que cero, se tiene
0 ≤ ab ≤ sup(A)sup(B) (∀a ∈ A),(∀b ∈ B)
pero ab ∈ AB, así AB está acotado superiormente, luego
sup(AB) ≤ sup(A)sup(B)

10 2.1. LISTA 1
Por otro lado,
sup(AB) ≥ ab
supongamos que a = 0 y que sup(B) = 0, entonces
sup(AB)
1
a
≥ b (∀b ∈ B)
es decir, sup(AB)(1
a
) es cota superior de B, luego
sup(B) ≤
sup(AB)
a
⇔ a <
sup(AB)
sup(B)
⇒ sup(A) ≤
sup(AB)
sup(B)
Por tanto,
sup(A)sup(B) ≤ sup(AB)
En el caso de que sup(B) = 0, entonces B = {0}, así,
sup(A)sup(B) ≤ sup(AB)
7. Usando la propiedad arquimediana de R muestre que si x, y,z ∈ R satisfacen que x ≤ z ≤ x+
y
n
para todo n ∈ N entonces z = x.
Demostración:
Supongamos que existen x, y,z ∈ R tal que
x ≤ z ≤ x +
y
n
(∀n ∈ N) (1)
y por contradicción supongamos también z = x, por tricotomía solo nos quedarían dos posibili-
dades
z > x ∨ z < x
Primer caso:
Supongamos que
z < x
Esto es falso pues contradice nuestra hipótesis.
Segundo caso:
Supongamos que z > x, entonces
z − x > 0
por la propiedad arquimediana de los números reales, existe m ∈ N tal que
m(z − x) > y ⇔ z >
y
m
+ x (2)

ahora, de (1) tenemos
z ≤ x +
y
n
(∀n ∈ N)
en particular si n = m
z < x +
y
m
lo que contradice a (2).
Del primer y segundo caso concluímos que z = x.
8. Sean a > 0 y S ⊆ R no vacío y acotado. Muestre que sup(aS) = a · sup(S).
Demostracion:
Supongamos que S es acotado y a > 0, entonces
a · sup(S) ≥ as (∀s ∈ S)
es decir, a · sup(S) es cota superior de aS. (1)
Me resta mostrar que (∀ε > 0)(∃asε ∈ aS) : a · sup(S)−ε < a · sε, para ello, sea ε > 0, debido a que
S es acotado se tiene que existe sε ∈ S tal que
sup(S)−
ε
a
< sε
entonces,
a · sup(S)−
ε
a
· a < asε
⇔ a · sup(S)−ε < asε (2)
Por la caracterización del supremo, de (1) y (2) se tiene
sup(aS) = a · sup(S)
9. Sea S ⊆ R conjunto de números reales no negativos que está acotado por arriba y t := {x2
: x ∈
S}.
a) Muestre que si u = sup(S), entonces u2
= sup(T )
b) Dé un ejemplo que muestre que la conclusión puede ser falsa si se elimina la hipótesis de que
S es un conjunto de reales no negativos.
Demostracion:
Parte a)
Deﬁnamos el conjunto
S ·S := {x · x : x ∈ S}
notemos que S ·S = T , así por el ejercicio 6, tenemos que como S es acotado tiene supremo y
sup(S ·S) = sup(T ) = sup(S)sup(S)
Sea u = sup(S) se tiene que
sup(T ) = u2

12 2.2. LISTA 2
Solución:
Parte b)
Sea A := {−1,−2}, es claro que A es diferente del vacío pues −1 ∈ A, y además
sup(A) = −1
Por otro lado, sea T := {t2
: t ∈ A}, es decir,
T = {1,4}
tenemos que
sup(T ) = 4
entonces sup(T ) = sup2
(A), ya que
4 = (−1)2
⇔ 4 = 1
10. Sea S ⊆ R no vacío. Muestre que
(u ∈ R es cota superior de S ) ⇔ (∀t ∈ R : t > u ⇒ t ∉ S)
Demostracion
⇒) Sea
(1) S ⊆ R no vacío
(2) u ∈ R es cota superior de S
por reducción al absurdo, supongamos que
((∀t ∈ R) : t > u)∧ t ∈ S (3)
como t ∈ S, entonces de (2) t ≤ u, lo que contradice a (3), así,
t ∉ S
(⇐) Sea
(1) S ⊆ R no vacío
(2) (∀t ∈ R : t > u ⇒ t ∉ S)
por contradicción supongamos que u no es cota superior de S, es decir, para todo u ∈ R existe
s ∈ S tal que
s > u (3)
así debido a (2)
s ∉ S
lo que contradice a (3).
Existe una caracterización similar para una cota inferior de S, si es así, enuncielo y demues-
trelo
No existe, pues este resultado es un corolario que se deriva de la caracterización de cotas superiores.

2.2. Lista 2
1. Sean A y B dos conjuntos acotados de R
a) Muestre que A∪B es acotado y:
sup(A∪B) = max {sup(A); sup(B)}
inf(A∪B) = min {inf(A); inf(B)}
Solución:
Suponemos que si A y B están acotados ⇒ tienen supremo ⇒
∃sup(A) = µ
∃sup(B) = ν
Es decir que:
µ a ∀ a ∈ A y ν b ∀ b ∈ B
Además, por deﬁnición sabemos que A∪B={x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Entonces x µ ∨ x ν lo
que nos permite suponer que A∪B está acotado.

CAPÍTULO
3 Matrices
3.1. Deﬁnición
Érase una vez...
3.2. Tipos de matrices
Bla bla bla
3.2.1. subsección1
Ble ble ble
3.2.1.1. subsubsección1
Bli bli bli
párrafo1 Blo blo blo ncasa
cas
faﬀ
afaf
afaf
afaf
afaf
caslldas d
adsd
dadad
asdad
jajsasas
14

CAPÍTULO 3. MATRICES 15
3.3. vectores

CAPÍTULO
4 Nudo
La historia continúa con...
17

CAPÍTULO
5 Desenlace
El ﬁnal de la historia es sorprendete...
18

A
A.1. LACA
Aún faltan cosas por decir.
19

C
C.1. 1 Blanca
C.2. 2 Negra
21

D
D.1. 3 Peligrosos
D.2. 4 Arcanos
22

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