U1 2013

1
U.D.B.
Matemática
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Avellaneda
UNIDAD I
 CONJUNTOS NUMÉRICOS
 FUNCIONES: GENERALIDADES
 TOPOLOGÍA EN
Promoción Directa

2
 UNIDAD 1: Introducción
Contenidos
Números reales: Valor absoluto: definición y enunciado de sus propiedades.
Intervalos.
Conceptos de topología en R: Entornos y entornos reducidos en R.
Clasificación de puntos de un conjunto en R. Conjuntos abiertos, cerrados.
Frontera de un conjunto. Conjuntos acotados.
Revisión del concepto de función: Definición. Dominio y codominio. Conjunto
imagen Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa.
Composición de funciones. Reconocimiento de funciones lineales, cuadráticas,
homográficas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, circulares
inversas, hiperbólicas y sus inversas.
Objetivos
Al finalizar la unidad los alumnos deberán poder:
 Resolver ecuaciones e inecuaciones.
 Reconocer soluciones extrañas.
 Expresar los conjuntos solución de inecuaciones utilizando
intervalos.
 Clasificar puntos de un conjunto.
 Reconocer conjuntos abiertos y cerrados.
 Reconocer cuándo una función está bien definida.
 Encontrar los dominios naturales de distintas funciones.
 Representar gráficamente las funciones mencionadas en
los contenidos.
 Clasificar funciones.
 Restringir dominio y/o codominio para encontrar la
función inversa de una función dada.
 Componer funciones.

3
1. Revisión de los contenidos estudiados en el Seminario Pre-
universitario
 Actividad 1: Resuelvan los ejercicios 0.1, 0.2 , 0.3 y 0.4 inclusive del
capítulo 1 de la Guía de T.P.
2. Logaritmo.
Resuelvan las siguientes ecuaciones:
a) 2x = 8 c) 10x = 30
b) x 1
3
9
 d) 5x = 2
En estas ecuaciones, la incógnita está en el exponente; por lo tanto, la
adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la
radicación no permiten despejarla. Necesitamos de otra operación, que se
denomina “logaritmación”.
 Definición: Si 1a a b 
     , se llama “logaritmo en base a de
b” al número c tal que ac = b.
En símbolos: c
alog b c a b
La expresión alog b se lee “ logaritmo en base a de b”
Analicemos el porqué de las condiciones pedidas a a y b
 Si a = 0, ¿Tiene sentido escribir 0c = b? ¿Por qué?
 Si a = 1, ¿Tiene sentido escribir 1c = b? ¿Por qué?
 Si a<0, por ejemplo a = -4 y b=2, ¿existe algún número real tal que
c
( 4) 2?
 Si b=0, sería ac = 0. Entonces, ¿para qué valor de a, es posible? En ese
caso, ¿cuánto valdría c?
 Si b<0, por ejemplo b = -4, sería 2c = -4, ¿Es posible encontrar algún
número real c que cumpla esa condición?

4
Entonces, en el conjunto de números reales:
 La base de un logaritmo es un número real positivo y distinto
de 1.
 Sólo se calculan logaritmos de números positivos.
Tomando la ecuación a), expresamos: 2x log 8 3  .
 Un poco de historia acerca de los logaritmos....
John Napier, nacido en Edimburgo (Escocia) en 1550, fue el precursor en el cálculo
logarítmico. Hijo de un rico terrateniente, que más tarde fue nombrado caballero real, tuvo
una vida cómoda, se formó con los mejores maestros en sus primeros años y luego estudió
en la Universidad de Saint Andrew. Interesado por cuestiones matemáticas, a fines del siglo
XVI escribe Rabdología donde presenta un original método con varillas y cuadros para
efectuar multiplicaciones entre números grandes.
Napier cuenta que, con el propósito constante de estudiar métodos abreviados de cálculo,
trabajó 20 años antes de publicar su sistema de logaritmos, que recién publica en 1614.Su
obra es continuada por Henry Briggs (1561-1630) que lo había visitado en Edimburgo.
Briggs construye la primera tabla de logaritmos en base 10 que publica en 1617, año de la
muerte de Napier.
Propiedades:
1. log t
a a t t  
2. log 1a a 
3. log 1 0a 
4. log ( ) log loga a auv u v  Siendo u,v números positivos
5.
log
log
log
 b
x
b
u
u
x
Siendo u un número positivo y x>0 ˄ x≠1
6. log log loga a a
u
u v
v
 
  
 
Siendo u,v números positivos
7. log .logn
a au n u Siendo u un número positivo y n, cualquier
real

5
8. log log n
n
a a
u u Siendo u un número positivo y n≠0
9. logab u
a u Siendo u un número positivo
Demostración de algunas propiedades:
4. log ( ) log loga a auv u v  Siendo u,v números positivos
Partimos del segundo miembro:
Por definición de logaritmo:
x
a
y
a
log u x a u
log v y a v
(*)
Multiplicando miembro a miembro y aplicando propiedades de la potenciación,
se tiene: x y
a u.v
Si aplicamos logaritmos en ambos miembros y por la propiedad 1, resulta:
x y
a a alog a log u.v x y log u.v
Reemplazando x e y por (*) llegamos a: log log log ( )a a au v uv 
9.
log a u
a u Siendo u un número positivo
Sea ax log u , entonces, por definición de logaritmo: x
a u , es decir:
logab u
a u
De manera similar se demuestran todas las propiedades.
 Actividad 2:
Demuestren las propiedades 6 y 7 de los logaritmos y súbanla al campus
virtual
 Actividad 3:
i) Resuelvan las siguientes ecuaciones:

6
a)   2
2 2log x 1 log (x 1) 1     b)
2
2x x 1
e .e 1

c) 3 3log (x 1) log (x 1) 2    d) 3x
60 5.2 35 
e) 4 4log x 3log 3 3  f) 2x 1 3x 1
3 5 

ii) Resuelvan los ejercicios 7 ,9 y 17 del capítulo 1 de la Guía de T.P.
3.- Conjuntos acotados. Supremo, ínfimo. Máximo y mínimo.
NOCIONES DE TOPOLOGÍA.
DEFINICIONES
Cota superior e inferior de un conjunto.
Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k es una cota
superior de A si y sólo si todos los elementos de A son menores o iguales que k.
En símbolos:
k es cota superior de A   x A x k:
La menor de las cotas superiores se llama supremo. Si pertenece al conjunto se
dice que es un máximo.
Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k es una cota
inferior de A si y sólo si todos los elementos de A son mayores o iguales que k.
En símbolos: k es cota inferior de A   x A x k:
La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo. Si pertenece al conjunto se
dice que es un mínimo.
Un conjunto es acotado si y sólo si está acotado superior e inferiormente.
Ejemplo:
Dados A =
 
   
 
1
x / x con n
n
y B =
 
n
1
x /x con n
n
  
   
  
, se pide:
a) Reconocer elementos de A y B.
b) Dar, si es posible, dos cotas inferiores y dos superiores de cada conjunto.
c) Indicar, si existen supremo e ínfimo. Decidir si son máximo y mínimo,
respectivamente.
d) ¿Alguno de los conjuntos es acotado?

7
Resolución
a) Los elementos de A que se obtienen al darle a n valores 1, 2, 3, etc. son:
1 1 1 1
1; ; ; ; ;...
2 3 4 5
.
Los elementos de B que se obtienen al darle a n valores 1, 2, 3, etc. son:
1 1 1 1
1; ; ; ; ;...
2 3 4 5
  
b) Busquemos cotas de A. Como los elementos de A son números positivos y
todos menores o iguales a 1, podemos afirmar que cualquier real negativo o cero
es cota inferior de A; y cualquier número real mayor o igual a 1 es cota superior
de A.
Busquemos cotas de B. Como
 
n
1
n : 1
n

   , podemos afirmar que
cualquier real menor o igual a -1 es cota inferior de B; y cualquier número real
mayor o igual a 1 es cota superior de B.
c) Como 0, que no pertenece al conjunto A, es la mayor de las cotas inferiores,
resulta que 0 es ínfimo. A no tiene mínimo. Por otro lado, 1 que sí pertenece al
conjunto A es la mayor de las cotas superiores, resulta que 1 es supremo y
máximo del conjunto A.
–1, que pertenece al conjunto B, es la mayor de las cotas inferiores, por lo tanto
–1 es ínfimo y mínimo del conjunto. La menor de las cotas superiores es
1
2
, ya
que para n>1,
1 1
n 2
 . Entonces
1
2
es supremo y máximo de B.
d) Como ambos conjuntos tienen cota inferior y superior, resultan acotados.
DISTANCIA. ENTORNOS
Distancia en la recta:
Dados en la recta dos puntos A y B de abscisas a y b respectivamente, la
distancia entre A y B es el valor absoluto de la diferencia entre a y b
A B d(A;B)= |b – a|
Propiedades
La distancia es una “función” que le asigna a cada par de puntos un número real
que cumple con las siguientes condiciones:
1) La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio es no negativa.
A,B : (A  B d(A,B)  0 )
a b

8
2) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son coincidentes.
A,B: ( A  B  [d(A,B)=0  A = B] )
3) Verifica la propiedad simétrica.
A,B: (A  B  d(A,B)= d(B,A) )
4) Verifica la propiedad triangular.
A,B,  C : ( A  B C  d(A,B) + d(B,C)  d(A,C) ) .
Entorno de un punto:
Si x0 es un punto de una recta, se llama entorno simétrico de x0 de radio o
amplitud  al conjunto de puntos de la recta que se encuentran a una distancia
de x0 menor que 
(////|////)
x0- x0 x0+
E(x0;) ={x  /d(x;x0) <  }={ x  /| x – x0 | < }={x  / - < x-x0 < }
Resulta: E(x0;)= { x  / x0 - < x < x0+ } = (x0- ;x0+)
Un entorno es siempre un intervalo abierto. Además, cualquier
intervalo abierto puede escribirse como un entorno cuyo centro es el punto
medio del intervalo y cuyo radio es la distancia entre un extremo y el
centro. El centro se obtiene como semisuma de los extremos y el radio como
semidiferencia de los mismos.
(a, b ) = E
b a b a 





2 2
;
Ejemplo: El intervalo (-1,3) puede escribirse como
3 ( 1) 3 ( 1)
E ;
2 2
    
 
 
=E(1; 2)
Entorno reducido:
Es el entorno sin su centro. Se indica con una señal, asterisco o coma, junto a la
E. (E*(x0;) o E´(x0;b) y se lee: “entorno reducido de centro x0 y radio ”).
E*(x0;)=E(x0; )- {x0}= {x / d(x;x0)<  xx0}
por definición de distancia
aplicando prop. de módulo
Sumando “x0” en los tres
miembros de la desigualdad
Por definición de intervalo abierto.

9
Si xx0, resulta d(x;x0)0, entonces:
E*(x0;)= {x / d(x;x0)<   d(x;x0)0}
Pero como la distancia es siempre mayor o igual a cero, si no es cero, sólo puede
ser positiva, es decir: E*(x0;) ={ x / 0<d(x;x0) <  }.
Si tenemos en cuenta la definición de distancia, se tiene:
E*(x0;)={x / 0 < | x – x0 | < }
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE UN CONJUNTO.
DEFINICIONES
Sea C 
i) x0 es punto interior de C si y sólo si existe al menos un entorno de x0
incluido en C.
En símbolos:
x0 es punto interior de C    0  E(x0; ) C
Al conjunto de puntos interiores de C lo indicamos Co.
ii) Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores.
C es abierto  C = Co
iii) x0 es punto exterior de C si y sólo si existe un entorno de x0 al que no
pertenece ningún elemento de C.
x0 es punto exterior a C 00/ E(x C     ; )
iv) x0 es punto frontera de C si y sólo si no es interior ni exterior.
x0 es punto frontera de C 0 00, x E(x ; ) x´ E(x ; )/ x C x´ C           
v) Frontera de un conjunto es el conjunto al que pertenecen todos los
puntos frontera del mismo. A la frontera del conjunto C, la indicamos FC .
vi) x0 es punto aislado de C si y sólo si x0  C pero existe un entorno
reducido de x0 al que no pertenecen puntos de C.
x0 es punto aislado de C  x0  C 00/ E*( ; ) Cx      
vii) x0 es punto de acumulación de C si y sólo si cualquier entorno
reducido de x0 tiene intersección no vacía con C.
( //// //// )
x0- x0 x0+ 

10
En símbolos:
x0 es punto de acumulación de C   0 ,E* (x0; )  C  
viii) Al conjunto de puntos de acumulación de C, lo llamamos conjunto
derivado de C y lo indicamos C’.
ix) Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de
acumulación.
En símbolos: C es cerrado  C´  C
Ejemplo:
Consideremos C ={x / | x – 2 | < 3  x=7}
Veamos cómo podemos representar al conjunto:
| x – 2 | < 3 -3 < x-2 < 3 -3 + 2 < x < 3 + 2  -1 < x < 5
Es decir: C = { x  /-1<x<5  x = 7}
Co = {x  / -1 < x < 5} FC = {-1,5,7}
7 es punto aislado C´= [ -1, 5]
El conjunto no es abierto ni cerrado.
Además, C está acotado. –1 es ínfimo de C (pero no es mínimo) y 7 es supremo y
máximo del conjunto.
 Actividad 4: Para los conjuntos solución de las inecuaciones propuestas
en el ejercicio 0.1 del Capítulo 1 de la Guía de T.P,
a) Analicen si son o no conjuntos acotados
b) En caso de ser posible determinen conjunto de cotas superiores,
conjunto de cotas inferiores, supremos e ínfimos (indiquen si son
máximos o mínimos respectivamente)
 Actividad 5: Escriban los siguientes conjuntos como intervalos y
analicen si corresponden o no a entornos o a entornos reducidos. Si la
respuesta es afirmativa, determinen centro y radio; de lo contrario, justifiquen
x / dist(x,3) 2 x / dist(x,3) 2
x / dist(x,3) 2 x / dist(x,3) 2
x / dist(x,3) 2 x 3 x / 0 dist(x,3) 2
a) b)
c) d)
e) f)
-1 5 7

C

11
 Actividad 6: Resuelvan los ejercicios 1 y 2 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
4. Revisión oral del concepto de función
Pueden releer el concepto en el módulo del Seminario Pre-Universitario
 Actividad 7: Resuelvan los ejercicios 4,5, y 6 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
5. Composición de funciones.
Además de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) entre funciones, también existe otra operación llamada composición
mediante la cual se genera una nueva función a partir de otras. Luego de
comentar el texto que aparece a continuación con el grupo de trabajo, podrán
resolver las actividades propuestas:
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Si sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos funciones obtenemos nuevas
funciones.
Dadas dos funciones :f A   y :g B   definimos
Suma de f y g:  :f g A B    /(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia de f y g:  :f g A B    /(f-g)(x) = f(x) – g(x)
Producto de f y g:  :f g A B    /(f.g)(x) = f(x) . g(x)
Cociente de f y g: / :f g C   /(f/g)(x) = f(x)/g(x) donde
    / ( ) 0C x A B g x
Muestren un ejemplo en el que no sea posible definir alguna de estas
operaciones

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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo:
Consideremos dos funciones f:AB y g:BC definidas a través de estos
diagramas
Podemos pensar en una función h:AC / h(x)=g[f(x)]
Es decir, la función h podría representarse así:
La función h es la “composición” de f con g. Se escribe: g 0 f
DEFINICIÓN
Dadas dos funciones f:AB y g:BC, se llama función compuesta de f con g a
la función g 0 f definida de A en C tal que (g 0 f)(x) = g[f(x)].
Observación: Para que la composición sea posible es suficiente que Im(f) D(g).
Con restricciones adecuadas, también puede aplicarse la misma idea si
Im(f)D(g)
Ejemplos:
1) Sea f:  / f(x) = 2x + 1 y g:  / g(x) = x2
Como Im(f) = D(g), puede definirse la función g0f:  /
(g0 f)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2
Como Im(g) = 0 D(f)
 , también puede definirse: f0 g:  /
(f 0 g )(x)=f[g(x)]=f(x2 )=2x2 +1.
C
h
A
d
c
b
a
n
m
A B
Cf g
a
b
c
1
2
m
n
d 3

13
Con este ejemplo podemos concluir además, que la composición de
funciones no es conmutativa.
2)Hallar fog(x) siendo  
2
f : 3 /f(x) 1
x 3
   

y 2
g: /g(x) x 1  
Para que exista fog(x)debe ocurrir que g(x) 3 porque f(3).
Por lo tanto debe plantearse:
2 2
g(x) 3 x 1 3 x 4 x 2       
De donde debe ser: x 2 x 2   
Por lo tanto:  fog : 2,2  
Para obtener su fórmula, hacemos
   
 
2
2
2
fog(x) f g x f x 1 1
x 1 3
        
2
2
fog(x) 1
x 4
 

Obsérvese que en este caso:    D fog 2;2   , pero D(g) 
3) Sea f : /f(x) ln x
  y g: 0 /g(x) x
  
En este caso Im(f) no está incluida en Dom(g) ya que Im(f)= , mientras que
Dom(g)= 0

Como Im(f)D(g) , el dominio de g0 f será aquel subconjunto del D(f) tal que
su imagen por f sea [0,+); es decir aquellos números reales cuyo logaritmo
natural sea mayor o igual que 0.
Pero: lnx  0 x 1.
Entonces podemos definir: g0 f: [1,+) / (g0 f) (x) = g[f(x)]= - lnx
En cambio, como Im(g)D(f) =  , la composición f0 g no puede realizarse.
 Actividad 8: Contesten los puntos a),b) y d) correspondientes a los
ítems iii) del ejercicio 8 del capítulo 1 de la Guía de T.P

14
6. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función
inversa
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
DEFINICIONES:
Función inyectiva
La función f definida de A en B es inyectiva o uno-uno si y sólo si elementos
distintos del dominio tienen imágenes distintas. O bien, si y sólo si las
imágenes de dos elementos son iguales entonces, esos elementos también lo
son.
En símbolos: f:AB es inyectiva
1 2 1 2 1 2x A, x A :[f(x ) f(x ) x x ]       
Ejemplos:
1) f:  0

/ f(x) = x2 no es inyectiva pues f(1) = f(-1) pero 1  -1
Una restricción adecuada del dominio permite convertir una función que
NO es inyectiva en inyectiva.
2) f * : 0

 / f(x) = x2
x
y

15
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
x
y
3)La función f : /f(x) 3x 2   es inyectiva porque:
a , b : f(a) f(b) 3a 2 3b 2 3a 3b a b            
Función sobreyectiva
La función f definida de A en B,es sobreyectiva , suprayectiva o suryectiva si
y sólo si todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A. Es
decir, el conjunto imagen coincide con B.
En símbolos:
f: A B es sobreyectiva y B, x A/y f(x)
Si nos referimos a los ejemplos anteriores, podemos decir que la
primera función es sobreyectiva pues cualquier número real positivo es
cuadrado de dos números reales y el cero es el cuadrado de cero.
Es decir, en el ejemplo 1 se definió f: 0

 y resulta Im(f) = 0

Si se define f**:  , si bien el gráfico no se modifica, la función no sería
sobreyectiva ya que no existe ningún número real tal que su cuadrado sea,
por ejemplo, igual a -1.
Siempre es posible hacer que una función sea sobreyectiva restringiendo el
codominio al conjunto de imágenes que corresponda.
Función biyectiva
f: A B es biyectiva  f es inyectiva y f es sobreyectiva.
a) f * es inyectiva.
En efecto:
Sean x1  R0
+  x2  0

/
f *(x1)= f *(x2) 2 2
1 2x x  
2 2
1 2x x , como las bases en
los radicandos de ambos
miembros son NO negativas,
es válida la simplificación de
exponente e índice, entonces
resulta: x1 = x2 y por lo tanto
f* es inyectiva.
También resultaría inyectiva si
se tomase como dominio 0

.

16
Ninguna de las funciones de los ejemplos anteriores es biyectiva. Para que lo
sea deberemos restringir al mismo tiempo dominio y codominio.
Ejemplo: 2
1 0 0 1: / ( )f f x x 
  es biyectiva
En efecto:
i) f1 es inyectiva
Sean x1  0

 x2  0

/f 1(x1)= f 1 (x2) 2 2 2 2
1 2 1 2x x x x 1 2x x
Como x1  0

 x2  0

, sus módulos son iguales a sus opuestos es decir:
- x1 = - x2
Luego x1= x2 , de donde f1 es inyectiva.
ii) f1 es sobreyectiva.
Sea 2
0 / | |y y x y x x y x y
         (Existen pues y 0

 )
Si tomamos 0 /x x y
   , resulta f1(x) = f1(  
2
)y y y   
Hemos probado que: 0 0 1y , x y /y f (x) 
       , por lo tanto f1 es
sobreyectiva
De i) y ii) se tiene f1 biyectiva
Entonces podemos definir: g0 f: [1,+) / (g0 f) (x) = g[f(x)]= - lnx
En cambio, como Im(g)D(f) =  , la composición f0 g no puede realizarse.

17
FUNCIÓN IDENTIDAD. FUNCIÓN INVERSA
DEFINICIONES
Función identidad
Dado un conjunto A no vacío, se llama “identidad en A” a la función
IdA:AA / IdA(x)=x, es decir que a cada elemento de un conjunto le asigna
como imagen el mismo elemento.
Si f es una función de A en B, se cumple que f 0 IdA = f , y IdB 0 f = f .
Definida de en , la identidad es y = f(x) = x
Función inversa
Sea f : A B/y f(x)  una función tal que f(a)=h. Se trata de definir una
función que aplicada a “h” dé por resultado “a”. Pero se pretende que esto
ocurra con todos los pares de f y no sólo con el par (a;h).
Analicen si es posible definir una función que cumpla esa condición, para las
funciones f : A B que quedan definidas por cada uno de estos diagramas
1) 2)
Investiguen qué condiciones debe cumplir f de A en B para que exista una
función de B en A que cumpla con lo pedido.
Definición
Dada una función f:AB , se dice que tiene función inversa ( se escribe f -1)
si y sólo si existe una función de B en A / f0 f -1= IdB y f -1
0 f = Id A.
A
B
 a
A
 b
A
 c
A
 1
 2
A
 3
f A
B
 a
A
 b
A
 c
A
 1
 2
A
 3
f
x
y

18
Observación importante
Si f no es sobreyectiva, en la inversa habría elementos de B sin imagen; si f
no es inyectiva, en la inversa existirían elementos de B con más de una
imagen, por lo tanto podemos asegurar que la condición necesaria y
suficiente para que f -1 sea función es que f sea biyectiva
Ejemplo:
Las funciones f : /f(x) 2x  y
x
g : /g(x)
2
  son biyectivas por
ser lineales y además
   
 
o o
2x
g f : es tal que g f(x) g f x g 2x x
2
x x
fog : es tal que fog(x) f g x f 2. x
2 2
       
 
       
 

Entonces son funciones inversas, es decir: 1
g f
 y 1
f g

Estrategia para hallar la función inversa de una función dada
Sea f : A B/y f(x)  una función inversible (tiene inversa).
Si el par  ha; a la gráfica de )(xf entonces el par inverso  ah; a la gráfica
de )(1
xf 
, y así ocurre con todos los pares.
Por lo tanto lo que es “x” para una función, es “y” para su inversa y lo que es
“y” para una función, es “x” para su inversa.
Entonces la fórmula que representa a ambas funciones es la misma sólo que
las variables están permutadas.
En el ejemplo anterior, )(xf tiene por fórmula a xy 2 . Si se permutan las
variables, resulta: yx 2 en la cual “y” es función de “x”; despejando “y”
queda
2
x
y  que es la fórmula de la función inversa
2
)(1 x
xf 
.
Conclusión:
Para hallar la fórmula de la función inversa de una dada hay
que invertir las variables y despejar “y”.
Obtención de la función inversa
Consideremos f:  / f(x) = x3 + 1.

19
Es sencillo deducir del gráfico que esta función es biyectiva:
Si f:  es biyectiva, entonces existe 1 1
f : / x f (y) 
  , donde ahora
x representa la imagen e y un elemento del dominio.
Si ( 2;9) pertenece a f , entonces (9;2) pertenece a f
1
Si y = x3 + 1 3x y 1.
Para evitar problemas en la representación gráfica hacemos un cambio de
nombre a las variables: como en la función inversa x representa imágenes, la
anotaremos como y; como y indica un elemento del dominio, lo
reemplazaremos por x.
Entonces:
1 1 3
f : / y f (x) x 1 
   
Representamos a continuación, en un mismo gráfico la función y su inversa:
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
x
y
y=f(x)
y=f-1 (x)
Observamos que, si se utiliza la misma escala sobre los dos ejes, los
gráficos son simétricos respecto de la recta y = x. Además las curvas, si
se cortan, lo hacen sobre dicha recta.
Resulta sencillo comprobar que la función inversa también es biyectiva.
Si una función NO es biyectiva, para obtener su función inversa deben
restringirse dominio y/o codominio hasta transformarla en biyectiva.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
x
y

20
Ejemplo: Se desea obtener la función inversa de f:  / f(x) = x2 ,
debemos restringir dominio y codominio (tal como se vio en pág.12) para
transformarla en biyectiva. Es decir, definimos f1 : 2
0 0 1/f (x) x 
  . Ya
probamos que así definida, resulta biyectiva. Entonces existe 1
1 0 0f :  
 /
x = f y1
1
( )
Si y = x2 , entonces | x |= y x y x y     . Como x 0 x y
   
Para facilitar la representación , cambiamos de nombre las variables; resulta
que:
1 1
1 0 0 1f : /f (x) x   
  
Veamos la representación de ambas funciones:
Se observa, como en el caso anterior,
simetría respecto de la recta y = x
 Actividad 9:
Completen el punto c) del ítem iii del ejercicio 8 y resuelvan el ejercicio 11 i) y
12 del capítulo 1 de la Guía de T.P
7. Funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales proporcionan un modelo matemático importante
para distintas situaciones vinculadas a la Economía, al crecimiento poblacional,
al decaimiento radioactivo, etc.
En algunas de las ecuaciones de la Actividad 2, aplicaron las propiedades de
una nueva operación y obtuvieron el logaritmo de determinados números
positivos. Ahora, definiremos las funciones exponencial y logarítmica.
Luego de la discusión con los integrantes del grupo de estudio y habiendo
hechas las consultas necesarias para despejar todas las dudas, podrán resolver
las actividades propuestas.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición:
f :  es una función exponencial si y sólo si responde a la forma :
f(x)= bx con b>0 y b 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=f(x)
y=f-1(x)

21
Su nombre se debe a que la variable independiente (x) es el exponente de la
expresión o fórmula.
Su base es una constante (b) la cual debe cumplir ciertos requisitos, como se
indica en la definición (ser un número real positivo y distinto de 1).
- Si b no fuese positivo, x no podría tomar todos los valores reales:
Ejemplos:
1) Si -1b  , no podría ocurrir que
2
1
x  , ya que ( 1   
1
x 2b -1)
2) Si 0b  , no podría ocurrir que x <0, ya que 0 no tiene inverso
multiplicativo ( recíproco) y además si x 0, 0 0 x
a. Si 1b  , entonces 11  xx
bf(x) . Se trataría de la función constante
1y  .
Veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales:
1. : / ( ) 2  x
f f x 2. : / ( ) 3  x
f f x 3. : / ( ) 10  x
f f x
4. : / ( ) 0,5  x
f f x 5. : / ( ) 0,1  x
f f x
x x
xf 2)( 
0 1
1 2
2 …
3 …
-1 ½=0,5
-
2
¼=0,25
-
3
…
x x
xf 3)( 
0 1
1 3
2 …
3 …
-1 1/3=0,3…
-
2
1/9=0,1…
-
3
…
x x
xf 10)( 
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…
x x
xf 5,0)( 
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…
x x
xf 1,0)( 
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…

22
 Actividad 10:
Consideren 
   : / ( ) ( , 1)x
f f x b b b y la función lineal
: / ( )  g g x x a . Definan y grafiquen of g y og f
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definida de en 
, la exponencial f(x) = bx con b > 0 y b 1 es biyectiva, por
lo tanto existe f –1 , definida de 
en . Para obtenerla cambiamos el nombre
de las variables en y = a x , es decir , escribimos: x = a y . Luego despejamos “y”.
Y obtenemos log by x
Conclusiones:
Sea : / ( ) ( , 1)
   x
f f x b b b
 Si 1b  la función es CRECIENTE
 Si 1b0  la función es DECRECIENTE
        








x
y
2 x
y
3 x
y
10 x
y
0,1 x
y0,5 x
y
Observando los diversos gráficos, respondan:
o Df
o fIm
o Ordenada al origen=
o Raíces o ceros=
o  
CC
o Asíntotas:

23
Resulta que llamamos función logarítmica a la función
g: / ( ) log ,
  bg x x con b > 0 y b 1 ( porque es la misma “b” que es base
de la función exponencial).
Las características del gráfico de la función logarítmica dependen de que la
base sea mayor que 1 o que esté comprendida entre 0 y 1, y se pueden
deducir de la simetría que existe entre una función y su inversa.
 Actividad 11: Resuelvan los ejercicios 8 (ítems restantes), 10, 11 iii) y iv)
y 13 del capítulo 1 de la Guía de T.P
8. Funciones trigonométricas
Encontrarán el tema desarrollado en el módulo del Seminario Pre-
Universitario y a continuación aparecen un conjunto de fórmulas
trigonométricas que les serán de utilidad en el transcurso del año y la definición
de función periódica.
y=logo,5 x
x
y=(0,5)x
y
y=log2 x
y= 2x
x
y

24
FÓRMULAS USUALES DE TRIGONOMETRÍA:
Función periódica
Sea A un subconjunto de reales sin cota superior ni inferior y sea p un número
real. Se dice que una función f no constante definida de A en es periódica con
período primitivo p si y sólo si p es el menor número real positivo que verifica
f(x) f(x p), x A   
 Actividad 12: Resuelvan el ejercicio 14 del capítulo 1 de la Guía de T.P
9. Funciones circulares inversas ( o trigonométricas inversas).
Definida de en , la función y = sen x no es inyectiva ni sobreyectiva,
pero puede transformarse en biyectiva con sólo restringirla de [- /2, /2]
en [-1,1]. Por lo tanto podemos definir su función inversa de [-1,1] en
[-/2,/2].
Si y = senx, cambiamos el nombre de las variables: x = sen y .
Para despejar “y”debemos definir una nueva función:
   
   
   
   
2 2
sen a cos a 1
sen a .cosec a 1, a k ,con k Z
cos a . sec a 1, a (2k 1). , con k Z
2
tg a . cot g a 1, a (2k 1). a k , con k Z
2
 
    
    
       
 
 
 
   
   
2 2
2 2
sen a
tg a , a (2k 1). , con k Z
2cos a
1 tg a sec a , a (2k 1). , con k Z
2
1 cot g a cosec a , a k , con k Z
    
     
     
       
   
p q p q p q p q
cos p cos q 2 cos .cos ; cos p cos q 2sen .sen
2 2 2 2
p q p q
sen p sen q 2 sen .cos
2 2
          
            
       
   
     
   
                 
           
 
2 2
2
sen(a b) sen a .cos b cos a .sen b ; cos a b cos a .cos b sen a .sen b
sen 2a 2 sen a .cos a ; cos 2a cos a sen a
tg(a) tg(b) 2tg(a)
tg(a b) ; tg 2a
1 tg(a)tg(b) 1 tg (a)
    
  

  


25
“y” es el arco cuyo seno es “ x”
“y” = arc sen “x”
A continuación mostramos los gráfico de ambas funciones y el de la recta
y=x respecto de la cual son simétricos
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
y=sen(x)
y=arc sen(x)
Con el mismo criterio se define como inversa de f:[0,][-1,1]/f(x) = cos x,
a : f- -1:[-1,1][0, ]/ f- -1 (x)=arc cos x.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=cos(x)
y=arc cos(x)
Para que la tangente admita función inversa hay que considerarla definida
de (-/2,/2) en . Su inversa, y= arc tg x se define de en (-/2,/2)

26
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=tg(x)
y=arc tg(x)
 Actividad 13: Resuelvan los ejercicios 3 y 16 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
10. Funciones hiperbólicas y sus inversas.
Veremos sólo tres:
a) Sh:
x x
e e
/ f(x) Shx
2


  
b) Ch:
x x
e e
/ f(x) Chx
2


  
c) Th:
x x
x x
e e
/ f(x) Thx
e e



  

La función seno hiperbólico es biyectiva de en , por lo tanto
admite inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar
que su inversa, que se llama “Argumento Shx”, puede expresarse a partir de
logaritmos.
 1 2
f : / f(x) ArgSh(x) ln x 1 x
    
Del mismo modo, f: 0 [1, )/ f(x) Chx
   es biyectiva y, por lo tanto
admite inversa: 1
0f :[1, ) 
  definida por  1 2
f (x) ArgChx ln x x 1
   
Gráficos de las funciones hiperbólicas
x x
e e
f : /f(x) Sh(x)
2


  

27
x x
x x
e e
f : /f(x) Th(x)
e e



  

x x
e e
f : /f(x) Ch(x)
2


  

28
Veamos algunas propiedades de las funciones hiperbólicas:
1)
Shx
Thx
Chx
 ( La demostración es muy simple).
2) 2 2
Ch x Sh x 1 
En efecto:
2 2x x x x
2 2 e e e e
Ch x Sh x
2 2
 
    
     
   
2x x x 2x 2x x x 2x
e 2e e e e 2e e e
4 4
   
   
  =
2x x x 2x 2x x x 2x x x
e 2e e e e 2e e e 4e e
4 4
    
    
  =1
3) 2 2
Ch x Sh x Ch(2x) 
2 2x x x x
2 2 e e e e
Ch x Sh x
2 2
 
    
     
   
=
2x x x 2x 2x x x 2x
e 2e e e e 2e e e
4
   
    
 
2x 2x 2x 2x
2(e e ) e e
Ch(2x)
4 2
 
 
  
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Función ArgSh(x)
La función seno hiperbólico es biyectiva de en , por lo tanto admite
inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar que su

29
inversa , que se llama “Argumento Shx”, puede expresarse a partir de
logaritmos.
En efecto
y y 2y y y 2y
2e e e 2e .e e
y Shx Shy x x
2 4
  
  
     
2y y y 2y 2y y y 2y 2
2 4 e 2e .e e | e 2e .e e
1 x Ch y
4 4
   
    
    
Resulta:
y y
y y
2
e e
x
2
e e
1 x
2



 


 
  
Sumando miembro a miembro se tiene:
2 y 2
x 1 x e y ln x 1 x ArgSh[x]        
 
Es decir, para
x x
e e
f : / f(x) Sh(x)
2


   , la función inversa es
 1 2
f : / f(x) ArgSh(x) ln x 1 x
    
Función ArgCh(x)
y= Shx
y= x
y= ArgShx

30
 1 2
f (x) ArgChx ln x x 1
   
También g: ( 1,1)/f(x) Thx   es biyectiva y resulta su función inversa
1 1 1 x
g :( 1,1) / g(x) ArgThx ln
2 1 x
  
     
 
.
y=Chx
y=x
y=ArgChx
y=Thx
y=x
y=ArgThx

31
También g: ( 1,1)/f(x) Thx   es biyectiva y resulta su función inversa
1 1 1 x
g :( 1,1) / g(x) ArgThx ln
2 1 x
  
     
 
.

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