Alg(3) 4° 2 b

75 76COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria ÁLGEBRA 4to. Año Secundaria
ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Reconoce y clasifica una ecuación algebraica
desarrollando la percepción y acumulando
experiencias que servirán de soporte para futuras
formalizaciones
 Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado,
trabaja creativamente y con actitud crítica
situaciones problemáticas, utilizando una variedad
de técnicas de cálculo y aplicando correctamente
las propiedades que correspondan.
COMENTARIO PREVIO:
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las
ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange
(1736 – 1813). Lagrange fue uno de los mayores
analistas de su época. Su mayor aportación al álgebra es
su famosa memoria “sobre la resolución de las
ecuaciones numéricas” escrita en 1767.
La interpretación de los fenómenos físicos de la
naturaleza se realiza en general mediante modelos
matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones
algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la
teoría de ecuaciones.
En este módulo aprenderemos a resolver ecuaciones de
primer grado, de segundo grado, sistemas de
ecuaciones, ecuaciones bicuadráticas y demás
ecuaciones polinomiales.
CONTENIDO TEÓRICO:
1. IGUALDAD DE NUMEROS REALES
Es la relación matemática donde nos indica que dos
cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el
signo =, que se lee igual. Veamos:
27 = 27
|9| = |- 9|
A = B
Axiomas de la igualdad.- Enunciaremos los
siguientes axiomas sobre la Igualdad de Números
Reales.
Axioma de Reflexividad: Todo número real es
igual a si mismo.
SI a ∈ R ⇒ a = a
Axioma de Simetría: Si un número real es igual a
otro , entonces el segundo es igual al primero.
Si a = b ⇒ b = a, a; b ∈ R
Axioma de Transitividad: Si un número real es
igual a otro, y este otro es igual a un tercero,
entonces el primero es igual al tercero.
Si a= b ∧ b = c ⇒ a = c; a; b; c ∈ R
Axioma de Sustitución o Principio de
Sustitución: En cualquier preposición referente a
los números reales todo número puede ser
reemplazado por su igual sin alterar el valor
veritativo de tal proposición.
Si a = b ∧ c = d ⇒ a+c= m
a+d= m
Si a = b ∧ c = d ⇒ a . c= m
a . d= m
2. ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad condicional entre dos
expresiones matemáticas definidas sobre un mismo
conjunto numérico, donde participa por lo menos
una variable (cantidad desconocida llamada
variable). Es todo enunciado abierto en que aparece
el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina
mediante su correspondiente conjunto de valores
admisibles para la variable (conjunto solución).
Notación: A(x) = B(x)
OBSERVACIÓN:
Enunciado abierto: es toda expresión que
contiene por lo menos una variable, que para
determinados valores de su dominio se convierte en
un enunciado verdadero o falso llamado
proposición.
Variable: es el símbolo que puede tomar un valor
cualquiera de un determinado conjunto llamado
dominio. A las variables que intervienen en la
ecuación se les llama incógnitas
Conjunto Solución:
El conjunto solución de una ecuación es el conjunto
de valores (soluciones) que permiten que la
ecuación sea una proposición verdadera.
Si una ecuación no posee solución alguna, entonces
definiremos a su conjunto solución como el vacío y
lo denotaremos por φ o {}
Ejemplo 1. Sea la ecuación: x3
= 4x.
Si x=1 : 13
= 4(1) → 1= 4 Proposición falsa
Si x=2 : 23
= 4(2) → 8= 8 Proposición
verdadera
Si x=- 2 : (- 2)3
=4(- 2) → - 8= – 8 Proposición
verdadera
Si x=0 : 03
= 4(0) → 0= 0 Proposición
verdadera
De lo expuesto; vemos que 2, – 2, 0 son soluciones
de la ecuación de acuerdo a la definición, luego:
CS= {2, - 2, 0}
Ejemplo 2: La ecuación 3x – 5 = 0, tiene como
raíz o solución a: x = 5/3.
Luego, su conjunto solución es:
C.S. =






3
5
3. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES
ALGEBRAICAS
3.1.De acuerdo a su forma:
Ecuación polinomial: Es una ecuación algebraica
racional entera.
P(x)=ax+b= 0
P(x)=ax2
+bx+c= 0
P(x)=ax3
+bx2
+cx+d= 0
P(x)=a0xn
+a1xn-1
+a2xn-2
+a3xn-3
+...+an–1x+an= 0
n ∈ Z+
∧ {a0; a1
;
a2; a3; ...an - 1;an} ⊂ R
a0; a1; a2; a3; ...; ; an - 1; an son los coeficientes.
Nota: El conjunto de valores admisibles en una
ecuación polinomial son todos los reales.
Ecuación fraccionaria: Es una ecuación algebraica
racional fraccionaria.
P(x)=
2x
7
+
- 5x+11= 0 .......CVA= R –{– 2}
P(x)= 0
1x
4
3x
5
1x
3
=
−
−
+
+
+
...CVA=
R–{–1, –3,1}
Ecuación Irracional:
P(x)= 03x2x 2 =−+−
Restricción de la ecuación: x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Luego C V A= x ∈ [2,+∞>
Nota: El hecho de haber establecido el conjunto de
valores admisibles (CVA), no implica haber
resuelto la ecuación, sólo se le ha restringido.
3.2 De acuerdo a su conjunto solución:
Ecuaciones consistentes o compatibles: Son
aquellas que tienen o aceptan por lo menos una
solución. A su vez se dividen en:
- Determinadas.- Son aquellas que tienen un
número limitado de soluciones. Ejm:
x3
= x, CS={1, 0, - 1}
- Indeterminadas.- Son aquellas que tienen un
número ¡limitado de soluciones. Ejm:
x+1= x+1, CS= R
Ecuaciones inconsistentes o incompatibles.- Son
aquellas que no tienen solución, también se les
denomina absurdas o imposibles.
x
1
= 0 CS= φ
S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
ECUACIO

4. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 0 LINEALES
EN UNA VARIABLE:
Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:
P(x)= ax + b = 0
Donde: a, b son los coeficientes, “x” es la
incógnita.
Para obtener la única raíz o solución de la ecuación,
basta con despejar la incógnita, así tendremos que:
x=
a
b
− (presentación única solución).
5. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN
VARIABLE “X”.
ax= b .........( * )
Caso I:
- Si: a ≠ 0 (no importa el valor de b),
reemplazamos en (*), obteniéndose x=b/a una
sola solución, con lo cual su conjunto solución
es finito, luego (*) es compatible determinada.
Caso II:
- Si: a=0 , b=0, evaluando en (*) se tiene 0x=0,
indicando que existen infinitas soluciones,
luego (*) es compatible indeterminada
Caso III:
- Si: a=0 , b ≠ 0, al reemplazar en (*) se obtiene
0x= b que carece de soluciones, con lo cual su
conjunto solución es vacío, luego (*) es
incompatible.
Ejemplo: En la ecuación paramétrica en “x”:
(a - 5)(a+3)x= (a+2)(a+3)
Halle los valores de a para que sea:
I) Determinada
II) Indeterminada
III) Incompatible
Resolución:
I) (a - 5)(a+3) ≠



−≠
≠
3a
5a
0
∀a ∈ R -{- 3, 5}
II) (a - 5 ) (a+3)= 0 ∧ (a+2)(a+3)= 0
(a=5; a=- 3) ∧ (a=- 2; a= - 3)
∴ a= - 3
III)(a - 5)(a+3)= 0 ∧ (a+2)(a+3) ≠ 0
(a=5; a=- 3) ∧ (a ≠ - 2; a ≠ - 3)
∴ a= 5
6. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos o más
ecuaciones de las mismas variables son
equivalentes, si y solo si poseen el mismo conjunto
solución.
Ejemplos:
P1= 14
3
x2
2
x
=+ → CS= {12}
P2= 5x - 36= 24 → CS= {12}
Como los conjuntos solución son iguales, entonces
P1 y P2 son equivalentes:
Para resolver una ecuación de primer grado es fácil,
bastará con aplicar algunas propiedades básicas de
los números reales hasta hallar el valor de la
incógnita.
Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece
en el denominador o cuando se presenta un término
radical; es justamente en estos casos que aparece
una raíz extraña en algunas ecuaciones.
Luego, para resolver ecuaciones en general y de
primer grado en particular es necesario tener en
cuenta lo siguiente:
a) Si se divide ambos miembros de una ecuación
por una misma expresión que contenga a la
incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto
se puede evitar si la expresión que se divide
(simplifica) se iguala a cero. Ejemplo:
Resolver: (x + 3) (x - 2) = 4 (x – 2)
Solución:
Simplificando: (x - 2) → x - 2=0
Para no perder solución x = 2
Luego, tendremos: x+3=4 → x=1
La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de
no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la
solución x=2).
b) Si se multiplican ambos miembros de una
ecuación por una misma expresión que
contenga a la incógnita, entonces se puede
introducir soluciones extrañas.
Esto se puede evitar si previamente se
simplifica por separado cada miembro de la
ecuación. Ejemplo:
Resolver:
( )( ) 4
2x
2x3x
=
−
−+
Solución:
Primero simplificamos (x - 2), y tendremos;
x+3= 4 → x= 1
Observación:
Si hubiésemos trasladado (x – 2) a multiplicar,
tendríamos que una solución sería x=2, que es
una solución extraña, pues no verifica la
igualdad.
c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a
un mismo exponente, entonces se pueden
introducir soluciones extrañas.
Ejemplo:
Resolver
7x7x 2
−=+
Solución: Elevando al cuadrado:
( ) ( )222
7x7x −=+
x2
+ 7 = x2
– 14x + 49
14x = 42
x = 3
Pero si reemplazamos; x = 3 en la ecuación
dada tendremos:
444167373 2
−=→−=→−=+
(Proposición Falsa)
(No cumple), luego: x = 3 es una solución
extraña, y la ecuación es incompatible, pues no
tiene solución:
Observación:
Siempre que se potencie los dos miembros de
una ecuación. El valor o los valores obtenidos
para “x” deben comprobarse en la ecuación
original pues pueden no ser soluciones
verdaderas.
d) Si a ambos miembros de una ecuación le
sumamos un mismo número o un mismo
polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la
inicial.
Observación:
Si a ambos miembros se suma o resta una
función arbitraria la ecuación resultante no
necesariamente es equivalente a la inicial.
La ecuación: x2
- 12= 2x+3 tiene por raíces:
x= 5; x= - 3
Sumando a los dos miembros:
5x
2
−
Obtenemos: x2
- 12+
5x
2
−
= 2x+3+
5x
2
−
Para lo cual x= 5 no es solución.
Observaciones:
1. El conjunto solución de una ecuación depende del
conjunto numérico en que se quiere resolver la
ecuación, por ejemplo:
Se queremos resolver en el conjunto de los
racionales (Q), entonces el conjunto solución de la
ecuación: x2
= 2, es vacío; pues no existe número
racional cuyo cuadrado es 2. Si embargo si
resolvemos en el conjunto de los reales (R),
entonces el conjunto solución es { 2− , 2
}.
De la misma manera, la ecuación x2
=- 1, no tiene en
R, pero si la tiene en el conjunto C. Al despejar x se
obtiene: x= 1− ó x= - 1− .

Si definimos 1− =i( i es la unidad imaginaria
del conjunto C), el conjunto solución es: {- i, i}.
2. Si p y q son expresiones algebraicas en una
variable “x”, entonces un enunciado de la forma
“p=q” se llama una ecuación algebraica en “x”. Si
obtenemos una proposición verdadera cuando
reemplazamos x por x0; entonces x0 es llamada una
solución de la ecuación. x0 es un valor del dominio
(conjunto de valores admisibles) para x.
3. Si el conjunto solución de una ecuación es todo el
dominio para x, entonces la ecuación se llama una
IDENTIDAD, por ejemplo:
La ecuación: 2x1 − =
)x1)(x1( +− es una identidad; pues es
cierta para todo número en el dominio para x, esto
es, en el intervalo cerrado: [- 1, 1].
4. Si en el dominio para “x” existen números que no
son soluciones, entonces la ecuación se llama
ecuación condicional o un enunciado abierto. Por
ejemplo; en la ecuación: x2
= x , cuyo dominio
para x es: [0, ∞> existen números en el dominio
que no son soluciones, por ejemplo x= 4 ∈ [0,
+∞>, y no es solución, luego se trata de una
ecuación condicional.
PROBLEMAS EXPLICATIVOS
01. Sayumi tenía 120 nuevos soles. Si gastó los
7
5
de lo que no gastó. ¿Cuánto dinero gastó Sayumi?
Solución:
Sea x la cantidad de nuevos soles que gastó
Sayumi. Entonces (120 - x) nuevos soles es lo que
no gastó.
Luego: Gasto =
7
5
(No gastó)
Entonces: x=
7
5
(120 - x)↔ 7x= 600 - 6x
↔ 7x+5x= 600
↔ 12x= 600
↔ x=
12
600
↔ x= 50 .
Respuesta: Sayumi gastó 50 nuevos soles.
02. Walter llega tarde al colegio cuando había pasado
un
8
1
de la clase de álgebra; 6 minutos después
llega Jimmi y sólo escucha los
5
4
de la clase. Si
la clase empezó a las 8:00 de la mañana. ¿A que
hora terminó?
Solución:
Sea t el tiempo (en minutos) que duró la clase.
Jimmi se pierde ( '6t
8
1
+ ) de la clase, que
equivale a
5
1
t (pues Jimmi sólo escuchó los
5
4
t).
Luego:
5
1
t =
8
1
t + 6 ↔
5
1
t -
8
1
t= 6
↔
40
t3
= 6
↔ t=
3
6x40
↔ t= 80’
Respuesta: Como la clase empezó a las 8:00 a.m.
y duró 80 minutos entonces término a las 9:20 a.m.
03. Un río tiene una corriente de 3 kilómetros por hora.
Si el bote de Aly Boydi tarda el mismo tiempo en ir
18 kilómetros río abajo y 15 km. río arriba. Calcule
la velocidad del bote en aguas tranquilas.
Solución:
Sea V la velocidad del bote en aguas tranquilas,
entonces (V+3) es la velocidad del bote río abajo
(con la corriente a favor) y (V - 3) es la velocidad
del bote río arriba (contra la corriente), entonces
tenemos:
Distancia Velocidad Tiempo
Río Abajo 18 V+3
3V
18
+
Río Arriba 15 V- 3
3V
15
−
Como el tiempo es el mismo:
3V
18
+
=
3V
15
−
.
↔ 18 (V - 3)= 15 (V+3)
↔ 18V - 54= 15 V+45
↔ 18V - 15V= 45+54
↔ 3V= 99
↔ V=
3
99
↔ V=33
Respuesta: La velocidad del bote en aguas
tranquilas es 33 kilómetros por hora.
PRÁCTICA DE CLASE
01. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas de
acuerdo a su forma.
a) 7xx2x 23 −+− = 0
..............................................................
b) x2
2x
5
−
−
= 0
..............................................................
c) x24x −−− = 0
..............................................................
d)
3x
3
5
2x
x3
−
−+
+
= 0
..............................................................
02. Clasificar las siguientes ecuaciones algebraicas en
función de soluciones:
a) x3
= 9x ....................................................
b) 2x+5= 2x+5 ............................................
c) x+
x
1
x
1
= ..................................................
d) x(x - 2)= (x - 1)2
.......................................
e) 5x = 5x ...................................................
f) 5x − - 2x +−
...................................
03. Encierra en una circunferencia V(Verdadero) o
F(Falso).
- El conjunto de valores admisibles en una
ecuación algebraica implica que la ecuación ha
sido resuelta. V - F
- En una ecuación polinomial sus coeficientes son
números naturales V - F
- Una ecuación es una proposición matemática
V - F
- Una ecuación compatible indeterminada tiene
infinitas soluciones. V - F

04. Una ecuación compatible:
a) Tiene 2 incógnitas
b) No tiene solución
c) Tiene un número finito de soluciones
d) Tiene un número infinito de soluciones
e) c y d
05. Toda ecuación lineal presenta:
a) 1 solución b) 2 soluciones
c) 3 soluciones d) 4 soluciones
e) N.a.
06. Se llama ecuación polinomial a la:
a) Ecuación algebraica racional entera
b) Ecuación algebraica racional fraccionaria
c) Ecuación trascendente
d) Ecuación irracional
e) N.a.
07. Una ecuación se llama incompatible si:
a) Tiene infinitas soluciones
b) Tiene 3 incógnitas
c) Tiene un número finito de soluciones
d) Es irracional
e) No admite solución
08. Resolver:
x + 5 +
6x
4
x7
6x
4
−
+−=
−
a) 6
b) – 6
c) 6 y – 6
d) Indeterminado
e) Incompatible
09. Resolver:
x - 4+2 x420x8x5 −+−=−
a) 6
b) – 6
c) 6 y – 6
d) Indeterminado
e) Incompatible
10. Resolver:
2xx
9x
2x
3x
2
2
−+
−
=
+
−
Marque lo correcto:
a) Tiene una raíz b) Tiene dos raíces
c) Tiene tres raíces d) Indeterminado
e) Incompatible
11. Resolver: x9)x1( 2 −=− .
a) Incompatible b) 0
c) 5 d) 5, – 5
e) Indeterminado
12. Resolver: 1x16x51x3 +=++ .
Indique la suma de sus raíces.
a) 0 b) 5 c) 6
d) 7 e) 9
13. Resolver:
6x
10x
1x
3x
3x
7x
2x
5x
+
+
+
−
+
=
+
+
+
+
+
Indique: x3)x27( ++
a) 4 b) 2 c) - 27
d) 3 3 e) 2
14. Dada la ecuación en x:
6
7x5
3
2x
x
1x +
=
+
+
+
Dar el valor de verdad:
I. La ecuación dada es lineal
II. La ecuación tiene infinitas soluciones
III. La ecuación tiene solución única
IV. x= 32 + es solución de la ecuación
V. La ecuación dada es ecuación polinomial
a) FVFVV b) FVFVF c) VVVFF
d) FFVVV e) VFVFV
15. Para que valor real del parámetro “n”, la ecuación
del primer grado “x”:
(2n - 1)x+ 2= nx – 3n2
será compatible y determinada.
a) ∀n ∈ R b) 2 c) 3
d) ∀n ∈ R+
e) ∀ n ∈ R - {+1}
16. En la siguiente ecuación:
(x+1) + (x+2) + (x+3) +...+ (x + n) = n2
,
n entero positivo, el valor de x es:
a)
2
)1n( −
b)
2
)1n( +
c)
2
n
d)
2
n3
e)
2
)1n2( +
17. Si se define: P(n)= n+3; f(m)= 3m. Calcular “x” en:
f(P(f(P(2)))) - P(f(P(x)))= 75.
a) 4 b) – 11 c) 12
d) – 15 e) – 1
18. Resolver:
1
x2x2
1
x2x2
1
=
−−+
+
−++
a) 1 b) 4 c) 5
d) 2 e) - 1
19. Resolver: x+ 2x25 − = 7. ¿Cuántas
soluciones tiene?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
20. Hallar x en: x141221 +++ = 5
a) 1 b) 4 c) 9
d) 16 e) 0
21. Si |– 9x|= 72. Calcular: |x - 3|.
a) 0 b) {1, 2} c) {5, 11}
d) 11 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01. Sea la ecuación en “x” :
a3
x – a4
+6a2
=(3a – 2)x+8a – 3 e indicar el valor de
a apara el cual la ecuación presenta infinitas
soluciones:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
02. Hallar el valor del parámetro “a” de modo que la
ecuación a2
x+2x+2=a2
+a+3ax sea:
Compatible determinado compatible
indeterminado incompatible
03. Resolver: 285 





++++
306
1
...
20
1
12
1
6
1
x= 285(1+4+9+16+ ... +81)
3
x
a) 1 b) 7 c) 8
d) 9 e) 570
04. Si a ≠ b, resolver en x. a(x - a2
) - b(x -b2
)= 0.
a) φ b) {0} c) {1}
d) {a + b} e) {a2
+ ab + b2
}
05. Determinar el cardinal del conjunto solución de la
ecuación: =− 2)2x( - 9.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 4 e) N.a.
06. Al resolver la ecuación:
(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+20) = 420 – x .
a) 0 b) 5 c) 10
d) 12 e) 21
07. Hallar m y p para que la ecuación:
3mx – 4p = 2x + m.
Sea:
I) Incompatible II) Indeterminada
Señalar la suma de soluciones de m:
a) 2/3 b) 1/3 c) 1
d) 4/3 e) 5/3
08. Si: 2)1x( − = 1 - x. El conjunto solución de
la ecuación es:
a) x= 1 b) x= 3 c) x > 1
d) x < 1 e) x= 2
09. Resolver la ecuación:

(m – 3)x2
+5m+(m –2)x – 14= 0 de primer grado
a) 1 b) - 1 c) 0
d) 19 e) 15
10. Resolver: x - 7+
5x
11
−
= 3 - x+
5x
11
−
a) 5 b) 5; - 5 c) - 5
d) Indeterminado e) Incompatible
11. Compre cierto número de folletos de álgebra por
100 nuevos soles. Si el precio por el ejemplar me
hubiese costado un nuevo sol menos, tendría 5
ejemplares más por el mismo dinero. ¿Cuántos
folletos compre?
a) 5 b) 4 c) 25
d) 20 e) 15
12. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo
cuando el tenía 16 años. Ricardo tiene 24. Hallar la
edad de José.
a) 25 b) 20 c) 40
d) 30 e) 35
13. En un reloj se lee: 8: 48 cuando en realidad son:
8:52, más tarde a las 9:42 se lee 9:34, y según esto;
¿A que hora deba una lectura correcta?
a) 8:02 b) 8:00 c) 8:04
d) 8:25 e) 9:11
14. En una ala de juego para entrar se paga 1 dólar y
para salir 1 dólar. Una persona juega en 3 salas y
pierde en cada una la mitad de lo que tiene.
¿Cuánto tenía antes de empezar a jugar si al final se
queda sin dinero?
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) N.a.
15. El conjunto solución de:
9x
15x6x
3x
4x
3x
1x2
2
2
−
+−
=
−
−
−
+
−
, es:
a) IR b) {3, - 3} c) {4, - 4}
d) IR - {3, - 3} e) N.a.
16. Resolver: x133210 +++ = 4
a) 12 b) 16 c) 25
d) 36 e) 9
2
1
6x5x
5x
3x
4x
2
=
+−
−
+
−
−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3
11
3
1x
1x
x
=
+
−
−
a) 18 b) 9 c) 25
d) 16 e) 4
19. Resolver:
2x
4
x2x
+
=++ .
a) 1/2 b) 4/5 c) 2/3
d) 3/2 e) 3/4
20. Resolver:
ab
)ba(ax3
a
bx
b
ax2 2−+
=
−
−
+ .
a)
2
ba +
b)
ba
ab
+
c)
ba
ba
−
+
d)
ba
ab2
+
e)
ba
ba
+
−
21. Indique que pares de ecuaciones son equivalentes:
I. x= 4; x2
= 16
II. x= 4; x2
= 4x
III. x = 4; x = 16
IV. x= 4; 4x = 16
a) Las 4 posibilidades planteadas
b) Sólo I y II
c) Sólo II y III
d) Sólo III y IV
e) Sólo I y IV
22. El valor de x que satisface la ecuación fraccionaria:
3
1
1
1
1
1
2
1
x
1
1
1
+
+
=
+
+ .
a) 3/4 b) 1/2 c) 2/3
d) 5/6 e) 7/6
23. Hallar el valor de x en:
64......xxxx
3 3 32424 =∞÷÷÷÷
a) 2 b) 32 c) 16
d) 4 e) 64
ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
DEFINICIÓN:
Se llama ecuación de 2do
grado a toda ecuación que
admite ser reducida a la siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0 , {a; b; c} ⊂ R / a ≠ 0
Frecuentemente a dicha ecuación se le llama: Ecuación
Cuadrática y se caracteriza por presentar 2 soluciones
(su incógnita “x” asume dos valores)
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.
Toda ecuación de 2do
grado podrá resolverse por al
menos una de las siguientes formas:
A) Por Factorización
Este método se aplica únicamente si el trinomio :
ax2
+bx+c es factorizable, para lo cual se debe tener
en cuenta la siguiente propiedad:
Si : m . n = 0 ⇒ m = 0 ∨ n= 0
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
x2
– x–12=0
Solución:
La ecuación dada es: x2
– x–12=0
Factoricemos al trinomio: x2
– x–12
Según el criterio del aspa x2
– x – 12= (x – 4)(x+3)
simple tendremos: x – 4
x 3
Luego la ecuación dada será: (x-4) (x+3) = 0
Finalmente de acuerdo a la propiedad señalada líneas
arriba; se tendrá:
x – 4 = 0 ∨ x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ∨ x = -3
Es decir el conjunto solución de la ecuación :
x2
– x – 12= 0, es : C.S. = {4; – 3}
B) Por la Fórmula de Carnot

Dada la ecuación : ax2
+ bx + c = 0, sus raíces se
obtienen utilizando la fórmula deducida por Sadi
Carnot:
a2
ac4bb
x
2
−±−
=
Donde las raíces son:
a2
ac4bb
x
2
1
−+−
= ;
a2
ac4bb
x
2
2
−−−
=
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
x2
+ 3x – 1= 0
Solución:
De la ecuación se deduce que: a=1 ∧ b=3 ∧ c=-1
Reemplazando en la fórmula tenemos:
)1(2
)1)(1(433
x
2
−−±−
=
Efectuando y reduciendo:
2
133
x
±−
=
Finalmente las raíces de la ecuación son:
2
133
x1
+−
= ;
2
133
x2
−−
=
En consecuencia el conjunto solución es :







 −−+−
=
2
133
;
2
133
.S.C
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN.
Para la ecuación : ax2
+ bx + c = 0 , se tiene:
I) Si : a ≠ 0 ∧ {b ; c} ⊂ R , la ecuación es :
Compatible Determinada.x
II) Si : a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0 , la ecuación es :
Compatible Indeterminada.
III) Si : a = 0 ∧ b = 0 ∧ c ≠ 0 , la ecuación es :
Incompatible.
NATURALEZA DE LAS RAÍCES.
A) DISCRIMINANTE (∆)
Llamamos discriminante a la expresión subradical
contenida en la fórmula de Carnot :
∆ = b2
– 4ac
De este modo la fórmula que da solución a una
ecuación de 2do
grado queda así :
a2
b
x
∆±−
=
B) ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE
Observando la relación anterior, resulta previsible
que el valor y/o signo del discriminante
determinará la naturaleza de las raíces de una
ecuación de 2do
grado. Veamos los siguientes casos:
Primero : Si : ∆ > 0
En este caso las raíces de la ecuación serán
reales y diferentes.
Segundo : Si : ∆ = 0
reales e iguales. Este caso se presenta
cuando el trinomio “ax2
+bx+c” es un
cuadrado perfecto.
Tercero : Si : ∆ < 0
imaginarias y conjugadas. Debe notarse
que las raíces imaginarias y conjugadas.
Debe notarse que las raíces imaginarias
siempre se presentan en parejas, siendo
una la conjugada de la otra.
Cuarto : Si : ∆ = k2
(cuadrado perfecto)
Siendo a, b ∧ c números racionales, las
raíces de la ecuación serán reales
racionales. Pero si ∆ ≠ k2
, las raíces de la
ecuación serán reales irracionales y
conjugadas.
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES:
Para la ecuación : ax2
+ bx + c = 0 / a ≠ 0, de raíces x1
∧ x2 , tenemos:
I) Suma de Raíces : s = x1 + x2 =
a
b
−
II) Producto de Raíces : p = x1 . x2 =
a
c
III) Diferencia de Raíces : d =| x1 – x2 |=
a
∆
A) RAÍCES PARTICULARES:
En algunas ecuaciones las raíces se condicionan de
tal modo que efectuando alguna operación
elemental entre ellas, se podrá deducir alguna
propiedad particular como por ejemplo:
Raíces Simétricas: Si x1 ∧ x2 son raíces
simétricas, se podrá establecer lo siguiente:
x1 = m ∧ x2 = – m ⇒ x1 + x2 = 0
Raíces Recíprocas: Si x1 ∧ x2 son raíces
recíprocas, se podrá establecer lo siguiente:
x1 = m ∧ x2 =
m
1
⇒ x1 . x2 = 1
B) RAÍCES ESPECIALES:
Llamaremos así a las siguientes raíces:
Raíz Nula: Dada la ecuación cuadrática ax2
+bx+c
= 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz nula (x=0), se
cumplirá que : c = 0.
Raíz Unidad: Dada la ecuación cuadrática
ax2
+bx+c = 0 / a ≠ 0, si ésta presenta una raíz
unidad (x=1), se cumplirá que : a+b+c = 0.
RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA:
Considerando a x1 ∧ x2 como raíces de la ecuación tal
que:
S = Suma de raíces
P = Producto de raíces
Entonces la ecuación que originó a dichas raíces se
determina así:
x2
– Sx + P = 0
PROPIEDADES IMPORTANTES.
A. De las Ecuaciones Equivalentes
Sean:
a1 x2
+ b1 x + c1 = 0 ...... (1)
a2 x2
+ b2 x + c2 = 0 ...... (2)
dos ecuaciones equivalentes, luego entre ellas se
cumplirá la siguiente relación:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
PRÁCTICA DE CLASE
Bloque I:
01. Resolver las siguientes ecuaciones
a) +
+
3
1x
5
2x −
=
15
1x8 +
b) x - 721x2
=−
c)
3x4x
4
9x
1x
3x2x
2x
222
+−
=
−
+
−
−+
−
02. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) (x+1)(x+2)(x+3) = x(x+4)(x+5)
b) 3
2x
2x
1x
1x
=
+
−
+
−
+
c) 3
x72 − -
3
x16 − = 2
d)
2
5
2x
3x
3x
2x
=
−
−
+
−
−
03. Completar:
a) 2x2
– 7x – 3 = 0 ∆ = ……………………
b) 7x2
– 11x – 14 = 0 S = ……………………
c) x2
– 5x + 6 = 0 =+
21 x
1
x
1
………………

d) 2x2
+ 7x + 1 = 0
1
2
1
1 xx −−
+ = ……………
e) 2x2
+ x – 1 = 0 ( )( )1x1x 21 ++ =
…………
f) x2
+ 2x – 1 = 0 ( )( )1x1x 21 ++ =
…………
04. Relaciona correctamente :
I) x2
- 4 3 x+12=0 a) Raíces reales iguales
II) x2
– 2x – 1 = 0 b) Raíces reales diferentes
III) x2
– 2x + 3 = 0 c) Raíces complejas
a) I A – II B – III C b) I C – II B – III A
c) I B – II C – III A d) I A – II C – III B
e) I C – II A – III B
05. Calcular “m” para cada uno de los siguientes casos,
siendo la ecuación cuadrática :
(m+1)x2
– (3m - 5)x + 2m – 5 = 0
a) Suma de raíces es 5/2 m = …………......
b) Producto de raíces es 9/4 m = …………......
c) Raíces recíprocas. m = …………......
d) Raíces simétricas m = …………......
e) Una raíz es – 2 m = …………......
06. Calcular “n” para cada uno de los siguientes casos,
siendo la ecuación cuadrática :
(2n - 5)x2
+ (3n - 5)x + n + 1 = 0
a) Raíces iguales m = ………….....
b) Suma de las inversas de
las raíces es – 5/2 m = ………….....
c) Diferencia de raíces es 0,5 m = ………….....
d) Suma de los cuadrados
de las raíces es 5/4 m = ………….....
07. Formar una ecuación cuadrática con coeficientes
enteros para cada uno de los siguientes casos:
a) x1 = 7 x2 = 4
b) x1 = 2/3 x2 = - 3/5
c) x1 = 3 - 2
d) x1 = 4 + i
e) x1 + x2 = - 7/3 x1 . x2 = 5/9
Bloque II
01. Indicar la mayor raíz de la ecuación :
x2
– 3x + 2,16 = 0
a) 1,2 b) 0,8 c) 1,8
d) 0,3 e) 1,2
02. En la siguiente ecuación:
2
5
1y
1yy2
1x
2xx
2
22
=
−
−−
+
+
−+
determine el valor de “y”.
a) 1 b) 0,1 c) 0
d) –3 e) a y d
03. Si : x = ....221 +++ , puede decirse
que:
a) x= 3 b) 0<x<1 c) x>2
d) x=2 e) x es infinitamente grande
04. Cuál o cuáles de las siguientes ecuaciones:
I. x2
– x – 1 = 0 II. x2
– 2x + 3 = 0
III. 3x2
+ x – 2 = 0
no admite raíces reales.
a) Solo I b) Solo II c) Solo III
d) II y III e) I y II
05. Halle la menor raíz de la siguiente ecuación mónica
de 2do
grado:
(m – 2) x2
– (3m-8) x + m – 9 = 0
a) -2 b) -3 c) 2
d) 3 e) -1
06. Calcular el valor de “m – 2n” si la ecuación
cuadrática:
5 (m + n + 18)x2
+ 4(m – n) x+ 3mn = 0
es incompatible.
a) –9 b) –18 c) 9
d) 18 e) –13
07. Calcular la mayor solución de la ecuación:
(m – 2) x2
– (2m – 1) x + m – 1 = 0
sabiendo que su discriminante es 25.
a) 3 b) 0,5 c) 2,5
d) 1,5 e) N.a.
08. Calcular “m” para que la ecuación :
6x2
+ (2m+3x) + m = 0
tenga solo una raíz.
a) 3 b) 3/4 c) 1/2
d) 3/2 e) 5/3
09. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación :
ax2
+bx+c=0 ; el valor de :
22
s
1
r
1
+ , es:
a) b2
– 4ac b)
a2
ac4b2
− c)
2
2
c
ac4b −
d)
2
2
c
ac2b −
e) b2
+ 4ac
10. Si la ecuación : x2
– nx + 36 = 0, admite como
raíces a : x1 ∧ x2, tal que:
12
5
x
1
x
1
21
=+ ; encontrar el valor de “n”.
a) 25 b) 18 c) 12
d) 24 e) 15
11. Siendo : x1 ∧ x2 las raíces de la ecuación :
5x2
– 23x + 11 = 0 , el valor de:
9x2
1x3
.
9x2
1x3
2
2
1
1
−
+
−
+
; es:
a)
35
17
b)
35
143
c)
35
153
d)
35
183
e)
35
173
12. ¿Para qué valores de “m” la ecuación:
x2
– 2(3m+1) x + 7(2m+3) = 0
tendrá sus dos raíces iguales?
a) 5 ; 2 b) 1 ; – 3 / 2 c) 4 ; – 2
d) 3 ; – 1 e) 2 ; – 10 /9
13. La ecuación cuadrática cuyas raíces son :
2+ 2 ∧ 2 – 2 , es:
a) x2
+ 2x – 1= 0 b) x2
+ 4x +2= 0
c) 2x2
– 4x + 1= 0 d) x2
– 4x + 2= 0
e) x2
– 8x + 2= 0
14. Si “α” y “θ” son las raíces de la ecuación:
x2
– 2x – 5 = 0, encontrar una ecuación cuadrática
cuyas raíces sean: α2
y θ2
.
a) x2
+14x + 25= 0 b) x2
+14x +15= 0
c) x2
– 2x - 1= 0 d) x2
– 14x - 25= 0
e) x2
– 14x + 25= 0
15. ¿Para qué valor de “m” las raíces de la ecuación: x2
– (m+3)x +
4
m 2
+1=0; se diferencian en 2?
a) –
6
1
b)
3
1
c) –
3
1
d)
6
1
e)
3
2
16. La ecuación de 2do
grado una de cuyas raíces es la
fracción :
x =

1
2
1
3
1
2
1
3
1
1
+
+
+
+
+
; está dada por:
a) 3x2
– 5 = 0 b) 5x2
– 3 = 0
c) 3x2
–x–5 = 0 d) 5x2
– x – 3 = 0
e) 2x2
– 4 = 0
17. Determine la suma de los valores que puede tomar
“a” para que la ecuación:
(a+1) x2
+ax+1 = 0

tenga una sola solución si “a” es un número real y
diferente de –1.
a) 12 b) 4 2 c) 4
d) 5 e) 6
18. Sea : {x1 ; x2} el conjunto solución de :
3x2
– x – 1 = 0. A continuación se establece que:
P(n) = n n
2
n
1
xx + ; calcular : P(2)
a) 7 b)
3
7
c) 3
d) 7 e) 3
19. Si la ecuación : x2
– 6x + n + 1 = 0 , admite como
raíces a x1 ∧ x2 , tal que :
5
3
x2
1
x2
1
21
=+ ;
encontrar el valor de n:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
20. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la
ecuación : x2
– 8x + n = 0, es igual a 20?
a) 44 b) 11 c) 33
d) 22 e) 17
TAREA DOMICILIARIA
01. Indicar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones, en base a la ecuación:
x(x – 1)2
(2x – 3)3
(x2
– 3 )2
= 0
( ) Posee 4 raíces o soluciones
( ) Su conjunto solución posee 5 elementos
( ) Posee a x = 0 como raíz simple y a x = 3/2
como raíz triple.
a) VVV b) FVV c) FFV
d) VFV e) VVF
02. En la ecuación cuadrática : ax2
+bx+c=0
afirmamos :
I) Si la suma de sus raíces es igual a su producto
entonces b + c = 0
II) Si una raíz es la opuesta de la otra entonces b =
0
III) Si una raíz es el doble de la otra, entonces 2b2
= 9ac
a) Las 3 afirmaciones son verdaderas
b) I y II son verdaderas
c) I y III son verdaderas
d) II y III son verdaderas
e) Sólo II es verdadera
03. Sea la ecuación : 0x21x =++
indicar el valor de verdad de las proposiciones:
( ) Si la ecuación admite solución, ésta debe
estar en [-1; 0]
( ) La ecuación tiene dos soluciones reales
( ) La ecuación tiene una única solución
a) VFV b) VFF c) VVF
d) VVV e) FVV
04. Resolver: (1+x)(1+2x)(1+3x) = - 15
Indicar la suma de las raíces no reales :
a) 0 b) 1/2 c) – 1/2
d) – 1 e) 1/6
05. Sea el polinomio cuadrático:
P(x) ≡ (n+1)! x + n! (x) + (n-1)!; n ∈ N, indicar
verdadero o falso, si P(x) = 0, según corresponda:
( ) P(x) tiene raíces reales y diferentes ∀ n ∈ N
( ) P(x) tiene siempre raíces imaginarias y
conjugadas
( ) Para algún n ∈ N, P(x) tiene raíces iguales
a) FFV b) FVV c) VFV
d) VVV e) FVF
06. Si x1 y x2 son raíces reales de : ax2
+bx+c=0 (a ≠
0), calcular el valor de “m” para que la ecuación de
raíces (x1 + m) y (x2 + m); carezca de término lineal
a) – b / 2a b) b / 2a c) b / a
d) – b / a e) b / 3a
07. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas
raíces sean: una la suma y la otra el producto de las
raíces de: ax2
+ bx + c = 0; a ≠ 0
a) a2
x2
– a(b - c)x – bc = 0
b) a2
x2
– a(b + c)x – bc = 0
c) a2
x2
– a(b + c)x + bc = 0
d) a2
x2
+ a(b - c)x + bc = 0
e) a2
x2
+ a(b - c)x – bc = 0
08. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación :
ax2
+ bx + b = 0; a ∧ b ≠ 0
tales que x1 es a x2 como “b” es a “a” calcular:
21xx
a
b
b
a
R ++=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
09. La ecuación x2
+bx+c=0 ……… (1); tiene raíces
reales positivas distintas, entonces de las raíces de
la ecuación :
2
x +b x +c=0; se puede
afirmar :
a) Son las mismas de (1)
b) Algunas son negativas
c) Algunas son complejas
d) Son todas positivas
e) Son todas negativas
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficiente
principal 1 y de raíces m y n se sabe que :
i) x2
+(m – 1) x + m – 2 = 0; tiene una sola
solución real
ii) x2
– (n+1)x +2n =0; tiene una raíz igual a 3.
a) x2
+9x+18 = 0 b) x2
– 6x + 18 = 0
c) x2
– 9x – 18 = 0 d) x2
– 9x + 18 = 0
e) x2
– 6x – 18 = 0
11. En la ecuación: 2x2
– (m – 1)x + m + 1 = 0, ¿qué
valor positivo debe darse a “m” para que las raíces
difieran en uno?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
12. Sabiendo que : (p+q)2
y (p - q)2
son raíces de cierta
ecuación cuadrática recíproca donde “p” y “q” son
raíces de la ecuación : ax2
+bx+c=0; a > b > 0,
calcular a4
– b4
a) 2abc b) – 2abc2
c) 4abc2
d) – 4 ab2
c e) – 4abc2
13. Sabiendo que la ecuación : x4
– 9x+λ = 0 admite
dos raíces que suman 3, calcular el producto de
todas las raíces
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 18
14. Si las raíces de la ecuación en “x”
x2
– 3x + m + 1 = 0
3x2
+ 5x + m = 0
Son imaginarias y reales respectivamente determine
el valor entero de “m”
a) 0 b) 1 c) - 1
d) 4 e) 2
15. Determine a + b +c de modo que la ecuación :
x3
– ax2
+ bx + c = 0
admita por raíces : a, b, c; abc ≠ 0
a) 1 b) – 1 c) 0
d) 4 e) 8
16. Resolver :
18
x
1
x3
x
1
x
3
=





+−





+
indicar la raíz de mayor valor
a) 2 +1 b) 3-2 2 c) ( 2 +1)2
d) 2+3 2 e) (3+ 5 )/2
17. Si r y s son raíces de la ecuación cuadrática :
mx2
– 2(m-1)x+m=0 y cumplen
r
s
s
r
+ =4, halle
la suma de todos los valores “m” que satisfacen la
condición
a) 1 b) – 4 c) – 1
d) 0 e) 4
18. El producto de multiplicar el término independiente
con el coeficiente del término cuadrático de la
ecuación que tiene por raíces el cuadrado de la
inversa de las raíces de :
ax2
+ bx + c = 0, a ≠ 0, es :
a) ac b) a2
c2
c) a/c
d) 1/a2
c2
e) c/a

19. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la
ecuación polinomial :
F(x) = x3
– 3x + 6 = 0
a) 1 b) – 1 c) 4
d) 8 e) 6
20. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación :
4x3
+ mx2
– 4x + m2
= 0
además :
x1 =
cb4a3
cba
++
++
; x2 =
ca
cba
+
++
;
x3 =
c2
cba ++
, calcule un valor de “m”
a) 0 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) 1
21. Resolver las ecuaciones:
1) x2
= 7
2) (x + 1) (x – 3) = 12
3) 15x2
– 34x + 15 = 0
4) (x + 3) (x + 5) = 13x2
5) x (x – 1997) = (x – 1997)
Indicar la ecuación que posee la menor raíz
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
22. Sea la ecuación :
[(m+n)2
– (m – n)2
]x2
+[(m – 1)2
]x – [(m+n)2
+(m – n)2
] = 0
siendo m ≠ 0 ∧ n ≠ 0 y x1 y x2 son sus raíces. ¿En
cuántas unidades es necesario disminuir dichas
raíces para que sean simétricas?
a) 1/n b) – 1/n c) 1/2 n
d) – 2n e) – 1/2 n
23. Hallar una de las raíces de la ecuación :
a(b – c)x2
+ b(c – a)x + c (a – b) = 0
si x es la incógnita
a)
ba
cb
−
−
b)
cb
ac
−
−
c)
( )
( )cba
cab
−
−
d)
ac
ba
−
−
e)
( )
( )cba
cab
−
−
24. Dada la ecuación : x2
- 2x + m 0
Calcular “m” si una de las raíces es 1 + 2i,
(i = 1− ); m ∈ R
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 8
25. Si la ecuación: x2
+px+q = 0; tiene por conjunto
solución
(r, s) si: r – s = 4 y r3
– s3
= 208
entonces p / q es:
a) 2/3 b) 3/2 c) 2/5
d) 2/7 e) 1/7
26. Hallar el valor de “a” para que las raíces de la
ecuación: x2
– (a+3)+ 1
4
a 2
+ =0 se diferencien en
5
a) 5/3 b) 7/3 c) 10/3
d) 5/6 e) 20/3
27. Resolver e indicar la solución :
275x232x5x22x =−+++−+−
a) 7 b) 13 c) 15
d) 5 e) 16
28. Calcular “m” para que la ecuación :
6x2
+ (2m+3)x+m=0 tenga una raíz solamente
a) 3 b) 3/4 c) 1/2
d) 3/2 e) 5/3
29. Sabiendo que las raíces de la ecuación :
x2
– (3n - 2)x + n2
– 1 = 0
son números enteros y una de ellas es el triple de la
otra, calcular éstas
a) 4 y 12 b) 2 y 6 c) 5 y 15
d) 3 y 2 e) 1 y 3
30. Sabiendo que las ecuaciones:
x2
+ mx + n = 0
x2
+ nx + m = 0
presentan una raíz común, formar otra ecuación
cuadrática cuyas raíces sean las no comunes de las
anteriores
a) x2
+ x – 1 = 0
b) x2
+ (m - n)x + mn = 0
c) x2
– x + 1 = 0
d) x2
– (m + n)x + mn = 0
e) x2
– mn = 0
ECUACIONES BINOMIAS,
TRINOMIAS,
BICUADRÁTICAS
ECUACIÓN BINOMIA:
Se denomina así a las ecuaciones de dos términos que
presenta la siguiente forma general:
0bax n =+ ∀ a . b ≠ 0 ∧ n ∈ N
Éstas se resuelven factorizando o utilizando la fórmula
de “Abraham de Moivre”
Ejemplo: Resolver: 01x9 4 =−
Factorizando:
0)1x3)(1x3( 22 =−+
01x301x3 22 =−∨=+⇒
3
1
x
3
1
x 22 =∨−=
3
1
x
3
1
x ±=∨−±=
3
3
x¡
3
3
x ±=∨±=
∴ C.S. =








−−
3
3
;
3
3
;¡
3
3
;¡
3
3
Teorema: Las ecuaciones binomias sólo tienen raíces
simples, no aceptan raíces múltiples.
ECUACIÓN TRINOMIA
Son aquellas ecuaciones de tres términos que presentan
la siguiente forma general:
0cbxax nn2 =++ ; ∀ abc ≠ 0 ∧ n ∈ N
Estas ecuaciones se resuelven factorizando o realizando
el cambio de variable: zx n = ; lo que la convierte en

una ecuación cuadrática después de resolver esta, se
repone la variable original y se hallan las soluciones de
la ecuación trinomia.
Resolver: 01x7x8 36 =−+
Factorizando: 0)1x)(1x8( 33 =−+
0)1xx)(1x)(1x2x4)(1x2( 22 =++−+−+
01xx01x01x2x401x2 22 =++∨=−∨=+−∨=+⇒
2
¡31
x1x
4
¡31
x
2
1
x
±−
=∨=∨
±
=∨−=







 −−+−−+
=∴
2
¡31
;
2
¡31
;1;
2
¡31
;
4
¡31
;
2
1
.S.C
ECUACIÓN RECÍPROCA
Se denomina así a las ecuaciones cuyos coeficientes de
los términos equidistantes de los extremos son iguales
en valor absoluto.
Ejemplo:
02x5x5x2 23 =+++
01x7x6x7x 234 =+−+−
03x2x5x5x2x3 2345 =−−−++
Propiedades:
1. Si “r” es raíz de la ecuación recíproca entonces
“1/r” también es raíz de la ecuación.
2. Si la ecuación es recíproca de grado impar, tiene
una raíz “1” ó “- 1” (se evalúa para determinar cual
de ellas es la raíz)
3. Si P(x)= 0 es una ecuación polinómica recíproca de
grado “n”, se cumple:






≡
x
1
Px)x(P n
Para resolver la ecuación recíproca se consideran los
siguientes casos:
Casos:
I. Si el grado es par:
- Se factoriza la parte literal del término central y
se agrupa convenientemente; luego se realiza el
cambio de variable respectivo:
Si: a
x
1
x =+ Si:
a
x
1
x =−
2a
x
1
x 2
2
2 −=+
2a
x
1
x 2
2
2 +=+
a3a
x
1
x 3
3
3 −=+
a3a
x
1
x 3
3
3 +=−
- Se resuelve la ecuación con la nueva variable
luego se repone, la variable original y se
resuelve, hallándose las soluciones de la
ecuación recíproca.
Ejemplo: Resolver:
06x25x38x25x6 234 =+−+− *
0
x
6
x
25
38x25x6x
2
22 =








+−+−⇒
Agrupando:
038
x
1
x25
x
1
x6x
2
22 =








+





+−








+⇒
...... (α)
Realizando el cambio de variable en el corchete:
038)a(25)2a(6 2 =+−−
026a25a6 2 =+−⇒ Fact. (aspa
simple)
⇒ (6a - 13)(a - 2) = 0
Reponiendo “x” y reemplazando en “α”
02
x
1
x13
x
1
x6x2 =





−+








−





+⇒
Efectuando:
0)1x2x)(6x13x6( 22 =+−+−
0)1x)(3x2)(2x3( 2 =−−−
Igualando a cero cada factor el C.S.=






1;
2
3
;
3
2
* También se puede factorizar por aspa doble
especial
II. Si el Grado es Impar
- Se factoriza mediante el método de los divisores
binómicos, evaluar para x=1∨ x=- 1
- Luego de obtener el factor lineal, el otro factor
es un polinomio recíproco de grado par al cual se
le aplica el método para resolver la ecuación
recíproca de grado par.
Resolver:
06x29x27x27x29x6 2345 =+−++−
Factorizando por divisores binómicos:
x+1= 0
x= - 1
6 -29 27 27 -29
-6 35 -62 35
6 -35 62 -35 6
6
-6
0
0)6x35x62x35x6)(1x( 234 =+−+−+⇒
Igualando cada factor a cero:
1x;01x −==+⇒
06x35x62x35x6 234 =+−+−
Aplicando el método para la ecuación recíproca
de grado par:
Se obtiene:
0)3x10x3)(2x5x2( 22 =+−+−
Fact: (2x - 1)(x - 2)(3x - 1)(x - 3) = 0
Igualando a cero cada factor el conjunto solución
final es:






−= 3;
3
1
;2;
2
1
;1.S.C
ECUACIÓN BICUADRADA
Se denomina así a las ecuaciones de cuarto grado que
tienen la siguiente forma general:
0cbxax 24 =++ ; ∀ abc ≠ 0
Para resolver esta ecuación se factoriza o se utiliza la
resolvente de la bicuadrada:
a2
ac4bb
x
2 −±−
±=
Resolver: 016x73x36 24 =+−
Factorizando por aspa simple:
0)6x9)(1x4( 22 =−−
Igualando cada factor a cero:
4/1x01x4 22 ==− 2/1x ±=
016x9 2 =−
3/4x9/16x 2 ±==
∴ C.S. =






−−
3
4
;
3
4
;
2
1
;
2
1
Resolver: 01x3x 24 =+−
Por la fórmula:
2
53
x1
+
=
2
53
x 2
+
−=

2
53
x
±
±=
2
53
x 3
−
=
2
53
x 4
−
−=
Propiedades de: 0cbxax 24 =++
1. Las raíces de la ecuación bicuadrada son opuestas
dos a dos es decir:
β−=β=α−=α= 4321 x;x;x;x
2. Suma de productos binarios
a
b
)(
a
b
xxxx 22
4321 =β+α−∨=+
3. Producto de raíces:
α
=βα∨=
c
.
a
c
xxxx 22
4321
Reconstrucción de la ecuación bicuadrada
0
raícesde
producto
x
binariosproductos
deSuma
x 24 =





+





+
Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas
raíces son: – 3 y 2¡
Por teoría sabemos que las otras dos son las opuestas:
Sean: 3x3x 21 =∧−=
¡2x¡2x 43 −=∧=
0)¡4)(9(x)¡49(x 2224 =−−+−−+⇒
0)4)(9(x)49(x 24 =−++−+⇒
∴ 036x5x 24 =−−
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Son aquellas que se reducen a la forma:
0
)x(Q
)x(P
= ∀ Q(x) ≠ 0
Para resolver estas ecuaciones se debe restringir el
denominador (diferente de cero), luego resolver la
ecuación y finalmente intersectar los conjuntos de
valores obtenidos
Ejemplo: Resolver:
6x5x
x
2x
x
3x
2
2 +−
=
−
−
−
Restringiendo: x - 3 ≠ 0 ∧ x - 2 ≠ 0
x ≠ 3 ∧ x ≠ 2 ............. (α)
Efectuando operaciones:
6x5x
x
6x5x
x3x4x2
22
2
+−
=
+−
+−−
4x4x0xx4x5 22 +−=⇒=−−⇒
0 = (x - 2)2
∴ x = 2 ................ (β)
De α ∧ β: Vemos que x = 2 no satisface la ecuación:
∴ C.S. = ∅
TAREA DOMICILIARIA
01. Determinar los números enteros p; q; r de manera
que las ecuaciones:
0qpxxxx3x 2345 =++−+−
03rxxx3xx 2345 =++−−+
tenga tres raíces comunes e indicar el valor de:
p+ q + r
a) 1 b) – 2 c) 5
d) – 7 e) – 9
02. Indicar una raíz de:
3
3
2
2
2
4
x
2
4
x
1
x
2
2
x
x
1
4
x
+=








−+








−
a) 34 − b) 2¡2 + c) 3
d)
2
6
¡
2
2
+ e) - 3
03. Indicar una de las soluciones de:
0edxcxbxax 234 =++++
Si: a + b = b + c + d = d + e
a) ¡ b) ¡3
2
1
− c) ¡
2
3
1 −
d) ¡
2
3
2
1
− e) - ¡
04. Resolver la ecuación bicuadrada:
0)2n(3x)9n4(x)2n5( 22442 =+++−+
Si el producto de raíces es igual a 1. Dar como
respuesta la raíz de mayor valor absoluto
a)2/ 3 b) 3 /2 c) 2
d) 2/2 e) 3
05. Calcular los valores de “α” para que la ecuación:
062x)1(x 24 =−α+α−+ , tenga sólo
dos raíces reales
a) ]- ∞; 3[ b) ]- ∞; 5[ c) ]- ∞; +4[
d) ]3; +∞[ e) ]4; +∞[
06. Sea la ecuación de coeficientes enteros:
04cxbxx)2a(x 234 =++++−
Calcule:
cb
2a6
−
+
, si una de sus raíces es igual a:
;51 



 + “b” toma su mínimo valor positivo
a) 1 b) – 1 c) 4
d) – 4 e) – 2
07. Indicar una raíz de: 01x4 4 =+
a) ¡
2
3
2
1
+ b) ¡
2
1
2
1
+ c)
¡
3
3
3
1
−
d) 1 + ¡ e) 1 - ¡
08. Luego de resolver:






+=+ −
x
1
x2002xx 33
podemos afirmar que:
a) x = 1 es una raíz
b) x = – ¡ no es una raíz
c) x = – 2002 es una raíz
d) Sólo posee una raíz imaginaria
e) x = ¡ es una raíz imaginaria
09. Si 21 xyx son las soluciones reales de la
ecuación recíproca:
06bx)a5(x10x)3b(ax 234 =++−+−−+
proporcione el valor de: 21xx
21 )xx( +
a) 1 b) 2 c) 4
d) 9 e) 36
10. En la ecuación bicuadrada:
0a;0cbxax 24 ≠=++ , de raíces
{ }4321 x;x;x;x
si se cumple: a + c = 2b ∧ 22 c49a =
Calcular el valor de:
1
42
1
31 )xx()xx(E −− += ; si
0xx 31 =+

a) 3 b) – 4 c) 5
d) – 3 e) 3,5
11. Calcular una raíz de:
;0)1mx)(mx(m4)mx( 3222 =−−−−
m ∈ R ∧ m
>1
a)
m21
m2)1m(m
−
−+− b)
m21
m2)1m(m
−
−+
c)
m21
m2)1m(m
+
−+− d)
m21
m2)1m(m
+
−+
e)
m1
1m)1m(1
−
+−+
12. Luego de resolver:
0
3
1x2
3
2x3
3
3x4
3
4x5 =−+−−−−−
qué se puede afirmar de sus raíces:
a) Son reales y negativos
b) Una es real y la otra es imaginaria
c) Son irracionales
d) Son reales e iguales
e) Son dos números consecutivos
13. De las proposiciones:
I. De la ecuación: 8x9x 24 +− ; al resolver
se obtienen sólo como raíces a 1 y 2
II. De la ecuación bicuadrada:
0CBxAx 24 =++ ; la suma de sus
raíces es
A
B
−
III. En toda ecuación bicuadrada de coeficientes
reales A; B; C; A ≠ 0 siempre existirán 4
raíces
Son verdaderas:
a) Todas b) Sólo II c) I y II
d) Sólo III e) I y III
14. Calcular la suma de raíces reales de:
43
42
6
)3x4()3x4(
)4x3()4x3(
33
44
=
−++
−−+
a) – 1 b) 0 c) 1
d) 3 e) 7
15. En la ecuación:
05RxQxPxNxMx 2345 =+++++
donde: QP;RN;SM ===
Calcular la suma de sus raíces si dos de ellas son a
y b(a ≠ b), si a + b = 10 ∧ ab = - 10
a) 3 b) – 2 c) 8
d) 1 e) 0
16. Luego de resolver: 15 435 x3xx2 =+
si dos de sus raíces toman la forma: nm 2y2 ,
calcular m + n
a) 12 b) 13 c) – 5
d) 0 e) 15
17. La ecuación: 0k4mx5x5 =+− ; tiene una
raíz “r” de multiplicidad 2. Calcular el valor de:
54
45
mk5
k2m
T
−
+
=
a) 1 / 2 b) 1 / 4 c) 4 / 3
d) 3 / 4 e) 5 / 4
18. Hallar la suma de las quintas potencias de las raíces
de la ecuación: 03x4x7x 24 =−+−
a) 120 b) – 140 c) –110
d) 110 e) – 12
19. La ecuación bicuadrada:
04x)2p(x 24 =++− tiene las raíces de
la ecuación: 0qpxx 2 =++ , calcular “p” y
“q” sabiendo que son reales. Indicar pq
a) 2 b) 6 c) – 4
d) – 8 e) 1
20. Al resolver:
++++++ −−−−−− )ax)(cb()cx)(ba( 111111
)cba(2)bx)(ca( 111 ++=++ −−−
Señale el denominador de la raíz obtenida:
a) a + b +c b) 1
c) – a – b – c d) ab + ac + bc
e) abc
21. Indicar una raíz de la ecuación:
a)
2
¡1−
b)
2
)¡21(3 + c)
¡
2
3
d)
3
¡1+
e)
3
)¡1(2 +−
22. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raíces se
pueden determinar a partir de:
16x 2 = ................ (1)
25x 2 = ................. (2)
a) 0400x31x 24 =−+
b) 0400x31x 24 =++
c) 0400x41x 24 =+−
d) 029x30x 24 =+−
e) 036x13x 24 =++
23. Hallar el valor de “n” en la siguiente ecuación
bicuadrada
0)3n(4x)25n(x 24 =−+−+
Si el producto de sus raíces es 36
a) 48 b) 6 c) 9
d) 12 e) 4
24. Sabiendo que x = c es una raíz de la ecuación:
acx)bca(bxbcxx)acb(ax 2345 =+−−−−−+
; a ≠ 0, ¿qué condición se debe cumplir entre “a” y
“b”, para que las otras raíces sean reales?
a) a + 2b ≥ 0 b) a + 2b2 ≥ 0
c) a ≥ 2b d) b2a ≥
e) a2b ≥
25. Si 21 xyx son las soluciones reales de la
ecuación recíproca:
06bx)a5(x10x)3b(ax 234 =++−+−−+
proporcionar: 21 x.x
21 )xx( +
a) 2 b) 2 c) 4
d) 9 e) 25
26. Al resolver la ecuación recíproca:
03xxxxx3 2345 =−++−−
una de sus raíces es:
a) - 1 b) ¡
2
3
2
1
+− c)
¡
2
3
2
1
−−
d) ¡
8
11
6
5
+ e)
¡
6
11
6
5
−−

27. Una raíz real de:
4
19
x
1
x4
x
1
x3
2
2 +





+=








+ es:
a) 1,5 b) 2 c) 0,6
d) 1 e) 3/4
28. Resolver:
xx
4
1xx
2
2
2
+
=++ , dando
enseguida la suma de sus soluciones enteras
a) – 3 b) – 2 c) – 1
d) 1 e) 2
29. En la ecuación polinomial:
0m4237x)9m4(x5x)x(F 23 =−++−−=
sabiendo que sus raíces: 321 x;x;x
satisfacen la condición:
38
2
1x
2
1x
2
1x
2
3
2
2
2
1
=




 +
+




 +
+




 +
Calcular el valor de m.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
ECUACIONES POLINOMIALES
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
 Reconocer una ecuación polinomial e indicar la
relación existente entre solución y raíz.
 Resolver ecuaciones de cualquier grado aplicando
los teoremas y técnicas adecuada.
COMENTARIO PREVIO:
Al - Guarismi, el año 1 100 estudia ecuaciones del tipo:
ax 2+ e = bx
ax2 + bx = e
ax? + bx + c = d; etc y da soluciones para cada
caso.
La época de oro de las matemáticas Italianas se da en el
siglo XVI, en Scipiene del Ferro, Nicola Tartaglia,
Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Frencois Viette,
ete, quienes resolvieron las ecuaciones del tercer y
cuarto grado. Hecho de trascendental importancia en
esa época.
La historia da cuenta de que el profesor Scipiene del
Ferro logré resolver la ecuación de tercer grado en
1515, pero no la dio a conocer siguiendo las normas
científicas de su época. Aún así, confió sus resultados a
Antonio Fiore.
En 1541 Antonio Fiore se bate en duelo matemático con
el profesor Nicola Trataglia para ver quién resuelve la
ecuación de tercer grado, saliendo vencedor este último.
Cardano quien era médico, adivino y matemático logra
con tretas y promesas, que tartaglia le hiciera conocer la
solución de la ecuación de tercer grado. El mismo año
Cardano publica su libro “Arte Mayor” en donde da la
solución de la ecuación de tercer grado como suya y
menciona que tartaglia no es sino un redescubridor ya
que del Ferro había dado la primera prueba hace 30
años.
En la misma obra aparece la solución de la ecuación de
cuarto grado, debido a Ludovico Ferrari, discípulo de
Cardano. Posteriormente se dieron otras pruebas tanto
de la ecuación de tercer grado (F. Viette) como de la
ecuación de cuarto grado (R- Descartes)
Después de los rotundos éxitos de los matemáticos
Italianos viene nuevamente un largo periodo de
estancamiento en la tarea de la solución de ecuaciones
de quinto grado. Recién en 1825, el joven matemático
noruego Niels Henrick Abel demostró que la ecuación
general de quinto grado no es resoluble mediante la
extracción de raíces y las operaciones aritméticas
conocidas.
Por otro lado en 1929 Evaristo Galois, probaría que las
ecuaciones de grado superior a cuatro no son resolubles
por radicales y dio las condiciones necesarias y
suficientes para que una ecuación de cualquier grado
sea resoluble por radicales. Actualmente existen
técnicas que permiten resolver ecuaciones de cualquier
grado.
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
ECUACION POLINOMIAL EN UNA INCÓGNITA
Es aquella ecuación que tiene la siguiente forma
general:
P(X) = a0 xn
+a1xn-1
+ ......... + an-1 x+ an = 0
Donde: a0 : a1 : a2 :.............. : an-1 ; an → son sus
coeficientes
Si: a 0 # 0 →el grado de la ecuación es “n” (n ∈N)
X → es la incógnita
RAIZ DE UN POLINOMIO.-
Dado el polinomio P(x). Se denomina raíz o cero del
polinomio, al número “a” si y solo si el polinomio P(x)
es divisible entre (x - a).
El polinomio P(x) tiene una raíz de valor “a”
P(x) = (x - a) q (x)
Ejemplo hallar las raíces de:
P(x) = x3
- 6x2
+ 11x - 6
Factorizando se tiene : P(x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)
Luego las raíces o ceros de P(x). Son: ( 1, 2, 3)
Observación: Una manera práctica de hallar las raíces
de un polinomio P(x), es formar la ecuación: P(x) = 0
Así: (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 CS = {1, 2, 3}
En este ejemplo las raíces del polinomio P(x) coinciden
con las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo cual no
ocurrirá siempre.
Raíz de Multiplicidad “k”:
Dado el polinomio P(x) se denomina raíz de
multiplicidad “k” (k ∈ Z+
) del polinomio P(x). Al
número “a”, si y sólo si el polinomio P(x) es divisible
entre (x – a)k
, pero no es divisible entre (x – a)k+1
, es
decir si:
P(x) = x4
– x3
– 3x2
+ 5x – 2
Factorizando se tiene: P(x) = (x – 1)3
(x + 2)
Luego las raíces de P(x) son: {1 . 1 . 1 . – 2}
y se dice que:
“1” es una raíz de multiplicidad 3 (raíz triple)
“2” es una raíz de multiplicidad 1 (raíz simple)
Formemos la ecuación : P(x) = 0
(x – l)3
(x + 2) = 0
* (x – 1)3
= 0 x = 1
* x + 2 = 0 x = -2
Luego: CS {1 . -2}
Observación:
Cuando un polinomio tiene raíces múltiples el número
de raíces y el número de soluciones no coincide.
Ejercicio:
En la ecuación polinomial:
x3
(x – 2)2
(x2
+ 9) (x + 3
3 ) = 0
Señale:
a) El número de raíces
b) El número de soluciones
c) Su conjunto solución
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Toda ecuación polinomial con cualquier tipo de
coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz que
generalmente es compleja.
Corolario:
Toda ecuación polinomial de grado n > 1. Tiene
exactamente “n” raíces complejas en general.
• Luego dada la ecuación polinomial
P(x) = a0 xn
+ a1xn-1
+.......+an-1- x+an= 0: a0 ≠ 0
Se tiene : P(x) = a0(x – x1) (x – x2) ...... (x – xn) = 0
Donde: {x1 : x2: x3: .......... : xn) son raíces de P(x)
TEOREMA DE CARDANO – VIETTE
Sea la ecuación polinomial:

P(x)=a0 xn
+a1xn-1
+ a2xn-2
+...+an-1x+an = 0 : a0 ≠0
Cuyas raíces son: {x1 : x2 : x3 : ............ : xn}
Se cumple las siguientes relaciones
• Suma de Raíces:
Si = x1 + x2 + x3 + ............... + xn = -
0
1
a
a
• Suma de Productos Binarios:
S2=x1 x2+ x1 x3 + x2 x3 +...... + xn-1 xn = -
0
2
a
a
• Suma de Productos Ternarios:
S3= x1 x2 x3 + x1 x2 x + ...... xn-2 xn-1 xn = -
0
3
a
a
• Producto de Raíces:
Sn = x1 x2 x3 .............. xn-1 xn =(-1)n
0
n
a
a
Ejemplo:
• En: 4x4
+ 3x3
– 2x2
+ 3x – 1 = 0
Calcular :
4
3
S
S
En: 3x5
+ 10x12
- 2x10
- 25x5
+ 15 = 0
Calcular: S10
TEOREMA SOBRE LA ECUACIÓN POLINOMIAL
1. Toda ecuación polinomial de coeficientes
racionales y de grado n ≥ 2. Que tenga una raíz de
la forma: “a + b ”, donde:
a y b ∈ Q (b > 0) ∧ b ∈ I : tendrá como raíz
necesariamente al número “a - b ”
2. Toda ecuación polinomial de coeficientes
racionales y de grado n ≥ 4: que tenga una raíz
de la forma" ba + , donde:
a y b ∈ Q+∧ Iab,b,a ∈ . Tendrá
como raíces necesariamente a los números:
ba:ba:ba −−+−−
:
3. Toda ecuación polinomial de coeficientes reales y
de grado n ≥ 2 que tengan una raíz compleja de la
forma ,”a + bi”
Donde a y b ∈ R (b ≠ 0). Tendrá necesariamente
como raíz al complejo conjugado de dicha raíz es
decir otra raíz será: "a - bi"
Observación:
Q : conjunto de los números racionales
I : conjuntos de los números irracionales
Ejemplos
• En la siguiente ecuación:
P(X) = 0baxx7x 23 =++− . a, b
∈ Q
Hallar (a + b) si su raíz es : 3 + 5
• Formar la ecuación de menor grado posible
sabiendo que una raíz es 35 + y además
sus coeficientes son racionales.
• Dadas la ecuación:
x3
+ x2
+ mx + n = 0. m, n ∈ R
Donde : 1 + 7 i es una de las raíces.
Hallar 1 asuma de coeficientes de la ecuación
TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES:
Sea la ecuación polinomial:
0a:0axaxaxa on1n
1n
1
n
o ≠=+++ −
− 
con raíces: { x1 . x2 ................ xn }entonces
1. La ecuación de raíces aumentados o disminuidos en
un valor “k”, es decir con raíces:
{ }nx;kx;kx n21 ±±±  : es:
( ) ( ) ( ) 0akxakxakxa n1n
1n
1
n
o =+±++±+± −
− 
Ejemplos:
* Halle la ecuación cuyas raíces son las de la
ecuación: x2
- 2x - 8 = 0, pero aumentadas en 1
La ecuación es: (x - 1)2
- 2(x - 1) - 8 =O
• Encuentre la ecuación cuyas raíces son los de la
ecuación x3
- 2x2
+ x - 5 = 0 disminuidas en 2.
La ecuación es:
(x + 2 )3
– 2(x + 2)2
+ (x + 2) – 5 0.
Efectuando se obtiene: x3
+ 4x2
+ 5x – 3 = 0
También se puede usar el siguiente método:
x=2
1 - 2 1 - 5
↓ 2 0 2
x= 2
1 0 1 - 3
↓ 2 4
x=2
1 2 5
↓ 2
1 4
Luego la ecuación es:
03x5x4x 23 =−++
• Encontrar la ecuación cuyas raíces son las de la
ecuación: x5
- 3x3
+ 2x2
+ 1 = 0, disminuidas en 1.
2. La ecuación de raíces multiplicadas por un valor
“k” (k ≠ 0) : es decir con raíces:
0a
k
x
a
k
x
a
k
x
a n1n
1n
1
n
o =+





++





+





−
−

o también:
0kaxkaxkaxa n
n
2n2
2
1n1
1
n
o =++++ −− 
Ejemplos:
• Encuentre la ecuación, cuyas raíces son las de la
ecuación: x2
- x - 6=0. Multiplicadas por 2
La ecuación es : x2
- 21
x - 22
. 6 = 0
024x22x =−−
• Halle la ecuación cuyas raíces son las de la
ecuación: x3
+ 2x2
- 5 x 6 = 0 multiplicadas por 3.
La ecuación es:
x3
+2 . 31
x2
+ 5 . 32
x - 6 . 33
= 0
x3
+ 6x2
- 45x - 162 = 0
3. La ecuación de raíces invertidas es decir con raíces:






Xn
1
,
2X
1
,
1X
1
 es :
0axaxa o
1n
1n
n
n =+++ −
− 
Ejemplo:
Dada la ecuación: x3
- 5x2
+ 7x + 2 = 0. De raíces
{a, b, c) entonces la ecuación cuyas raíces son:






c
1
,
b
1
,
a
1
: es
2x3
+ 7x2
- 5x + 1 = 0
TEOREMA DE BOLZANO
Dada la ecuación polinomial F(x) = 0. Donde
F(x) es una función continua definida en [a : b]
Si F(a) . F(b) < 0. Entonces existe al menos una
solución real: x0 ∈ < a. b > / F(xo) = 0
F(b)
F(a) F
b
a x0
x
y
PRÁCTICA DE CLASE
01. Sean: x1 . x2 . x3 raíces de la ecuación:
2x3
– x + 5 = 0
Calcular:
321
1
3
1 xxx
3x
1x
+
−
+

a) 1 b) 2 c) -2
d) – 3/2 e) 4/3
02. Sean: a, b, y c raíces de la ecuación:
x3
- 4x2
+ 2x + 4 = 0
Calcular:
ab
c
ac
b
bc
a 222
++
a) 5 b) – 5 c) – 4
d) – 7 e) 2
03. En la ecuación : x3
- 63x + α = 0
Determinar un valor de α para que una de las raíces
sea el doble de otra.
a) 162 b) 180 c) 400
d) 800 e) N.a.
04. En la ecuación polinomial:
P(x)=x3
+(m + 2) x2
+ (m2
- 3) x + m2
+ 2 = 0
De raíces x1 , x2 , x3. Calcular el valor de “m” de tal
manera que la expresión:
A=
2
3
2
2
2
1
xxx ++ tenga el máximo
valor.
a) l b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. Hallar la relación que debe existir entre los
coeficientes de la ecuación:
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 : a ≠ 0
Si una de sus raíces es el negativo de otra
a) ab = cd b) ac = bd
c) ad = bc d) a+b = c+d
e) a+d = b+c
06. Sabiendo que: x = c es una raíz de la ecuación
ax5
+ (b-ac)x4
- bcx3
- bx2
-(a-bc)x+ac = 0:(a>0)
¿Qué condición deben cumplir a , b y c para que las
otras raíces sean reales?
a) |b| ≥ a b) |b| ≤ a c) |b| ≥ 2a
d) |b| ≤ 2a e) 2 c = a + b
07. Indicar el menor valor que debe tener el grado del
polinomio P(x). Con coeficientes reales, tal que:
(2 + 3 ) sea una raíz simple, (3 + 2i) sea una
raíz de multiplicidad 2 y ( 3 + 2 ) sea una
raíz triple.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
08. Hallar un polinomio mónico P(x) con coeficientes
enteros y de menor grado posible una de cuyas
raíces sea: 3
32 + .
Indicar la suma de los coeficientes de este
polinomio.
a) 34 b) 24 e) - 24
d) 62 e) - 34
09. Encontrar un polinomio mónico en "x" de
coeficientes en Z que acepte a 33
32 −
como raíz. Hallar la suma de coeficientes de dicho
polinomio.
a) 165 b) 168 e) 170
d) 174 e) 162
10. Formar la ecuación de menor grado posible con
coeficientes racionales, en la que una de sus raíces
sea. 2i3 +
a) x4
- 2x2
+ 25 = 0 b) x4
+ 2x2
- 25 = 0
c) x4
+ 2x2
+ 25 = 0 d) x4
+ x2
+ 25 = 0
e) x4
+ 2x2
+ 5 = 0
11. Hallar el valor de “k” si las raíces de la ecuación:
x3
- 9x2
+ kx - 24 = 0
Están en progresión aritmética.
a) 12 b) 13 c) 24
d) 26 e) 28
12. Sea el polinomio: F(x) = x3
+ 3x2
- 9
Además : F(m) = F(n) = F(p)= 0
Calcular: F 





++
mn
p
mp
n
np
m
a) – 5 b) – 1 c) 2
d) – 2 e) 4
13. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del
siguiente polinomio:
P(x) = x5
+ ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + 25
Hallar: a + b + c + d
Además: a , b , c , d ∈ R.
a) 17 b) 18 c) 19
d) –18 e) –17
14. La ecuación: x4
– 12x – 5 = 0. Contiene 2 raíces
cuya suma es 2. Calcular la suma de las inversas de
las otras dos.
a) 0,2 b) 0,4 c) - 0,2
d) - 0,4 e) 5
15. Sea la ecuación polinomial:
P(x) = ax3
+ x2
+ x + b = 0: a ≠ 0
Determinar los valores de “a” de modo que P(x)
admita una raíz real “r” de multiplicidad 2.
a) { }4
3
1
; −−∞−∈α
b)
3
1
; −∞−∈α
c)
3
1
;∞−∈α
d) { }0
3
1
; −∞−∈α
e) α ∈ R
16. Si la ecuación: x4
+ mx3
+ 2x + n = 0 m ∧ n ∈ R;
admite una raíz triple.
Hallar: m2
+ n3
a) 3 b) 4 c) 5
d) – 3 e) –1
17. Se sabe que : x1 , x2 y x3 son las raíces de la
ecuación. x3
– x2
– 1 = 0. Encontrar una nueva
ecuación cuyas raíces son:
x1 + x2 ; x2 + x3 ; x3 + x1
a) 01yy2y 23 =−+−
b) 01yy2y 23 =++−
c) 01yyy 23 =−−−
d) 01yy2y 23 =+−−
e) 01yy2y 23 =−+−
18. ¿Cuál será la ecuación cúbica cuyas raíces sean el
duplo de los recíprocos de cada una de las raíces de
la ecuación polinomial?
Ax3
- Bx + C = 0 ; C ≠ 0
a) Cx3
- Bx + A = 0
b) Cx3
+ 2Bx2
+ 4A = 0
c) Cx3
+ 2Bx2
– 4A = 0
d) Cx3
- 2Bx2
+ 8A = 0
e) Ax3
- 2Bx + 4C =O
19. Si: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+(x - 2)(x - 4)
Indicar la alternativa más correcta:
a) Tiene 3 raíces reales
b) Tiene 3 raíces reales negativas
c) Tiene 3 raíces reales positivas
d) Tiene 2 raíces reales positivas y una es
negativa
e) N.a.
20. Sea el polinomio : P(x) = x3
– 3x2
+ 5
Indicar si es verdadero o falso:
I. Sólo tiene una raíz real positiva
II. Tiene 2 raíces complejas
III. Tiene una raíz comprendida entre <-2; - 1>
IV. Tiene un mínimo absoluto en x= 2
a) VVVF b)VFVF c)VFFF
d) FVVF e)FFFV
TAREA DOMICILIARIA
01. Si: F(x) = 1 / (x3
- 1)2
y además a, b y c son raíces
de la ecuación: x3
- 3x - 1= 0
Calcular S = F(a) + F(b) + F(c)
a) 1 b) 3 c) 1 / 3
d) 9 e) N.a.
02. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:
4x4
– ax3
+ bx2
– cx + 5 = 0
a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4

d) 1 e) N.a.
03. Halle las raíces r1 , r2 , r3 , r4 de la ecuación:
4x4
- ax3
+ bx2
- cx + 5 = 0
sabiendo que son reales positivos y que:
1
8
r
5
r
4
r
2
r 4321 =+++
Indique el valor de: r4
a) 1/2 b) 1/4 c) 5/4
d) 1 e) 2
04. Determinar el polinomio P(x) de grado 7. Sabiendo
que:
I) Para: x = 3 : P(x) =PI
(x)=PII
(x)= PIII
(x)=0 y
PIV
(x) ≠ 0
II) Para: x = - 2 : P(x) = 0 : PI
(x) ≠ 0
III) Para: x = 4 : P(x) = 0 : PI
(x) =0 : PII
(x) ≠ 0
IV) P(2) = – 32
Dar como respuesta el valor de P(5)
a) – 112 b) 224 e) 32
d) – 32 e) – 224
05. Si la ecuación:
x5
- 10a3
x2
+ b4
x + c5
= 0 tiene 3 raíces iguales.
Hallar el valor de: ab4
- 9a5
a) c b) – c5
c) 0
d) c2
e) 1
06. Sean a . b y c raíces de la ecuación:
x3
+ px + q = 0 (a, b, c diferentes) expresar en
términos de p y q a:
M=(a – b)2
(b – c)2
(a – c)2
a) 23 q27p4 + b) 23 q27p4 −−
c) 43 q2p + d) 23 q9p +−
e) 23 q27p4 −
07. Sabiendo que: a b y c son raíces de la ecuación:
x3
- 7x2
+ 5x + 6 = 0
Calcular:
M = (a + b – c) –1
+ (b+c – a)–1
+ (c + a – b)–1
a) 31/55 b) 9/55 e) 7/155
d) 29/155 e) 27/55
08. Sobre la ecuación:
P(x) = x5
+ ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + c = 0
Donde: 2a2
< 3b ∧ {a, b, c, d, e}⊂ R
Indicar (V) o (F)
I) Todas sus raíces son reales
II) Al menos dos raíces son complejas
III) Una raíz es real
a) VFF b) FFV c) FVF
d) FFF e) VVV
09. El producto de los coeficientes de la función
polinomial de menor grado que pasa por los puntos:
( 0 ; 0) ; (1 ; 1) ; (2 ; 0) y (3 ; -1) es:
a) –15/4 b) –14/9 c) 5/9
d) –15/9 e) –16/9
10. La única raíz real de: x5
+ x - 10 = 0 se encuentran
en:
a) 〈 3/2: 7/4 〉 b) 〈 7/4: 2 〉
c) 〈 1 : 2 〉 d) 〈 5/4: 3/2 〉
e) 〈 1 ; 5/4 〉
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