Concepto de matriz
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Un documento describe los conceptos básicos de las matrices, incluyendo que son conjuntos de números organizados en filas y columnas, cada uno de los cuales se denomina elemento. Las matrices se caracterizan por su dimensión dada por el número de filas y columnas, y pueden ser cuadradas u ordenadas si tienen el mismo número de filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como filas, columnas, cuadradas, nulas y triangulares.
Concepto de matriz
- 1. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.
- 2. Tipos de matrices Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
- 3. Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz escalar
- 4. Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At Matriz regular
- 5. Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa. Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A. Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I. Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At. Matriz ortogonal
- 6. Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I. Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición. Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa:
- 7. A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A
- 8. Problemas resueltos de fluidos Consideremos el movimiento de un objeto de volumen V y masa M que cae a través de un fluido con viscosidad cero (sin rozamiento). • Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. • ¿La aceleración del objeto en caída es independiente de su masa?, ¿y de su volumen? Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcular la superficie mínima que se debe emplear para que flote en agua, sosteniendo a un naúfrago de 70 kg. La densidad del corcho es de 0.24 g/cm2. Nota: entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella. Un cable anclado en el fondo de un lago sostiene una esfera hueca de plástico bajo su superficie. El volumen de la esfera es de 0.3 m3 y la tensión del cable 900 N. • ¿Qué masa tiene la esfera? • El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. Cuando está en equilibrio, ¿qué fracción del volumen de la esfera estará sumergida?. Densidad del agua de mar 1.03 g/cm3
- 9. Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12 m2 y 1200 kg de peso. El nivel del agua en el depósito es de 3.5 m de altura. Calcular la presión en el fondo. Si se abre un orificio circular de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcúlese el volumen de agua que sale por segundo por este orificio. (Se considera que el área del orificio es muy pequeño frente al área del depósito). Dato: la presión atmosférica es de 105 Pa La prensa hidráulica de la figura está formada por dos depósitos cilíndricos, de diámetros 10 y 40 cm respectivamente, conectados por la parte inferior mediante un tubo, tal como se indica en la figura. Contienen dos líquidos inmiscibles: agua, de densidad 1 g/cm3 y aceite 0.68 g/cm3. Determinar el valor de la masa m para que el sistema esté en equilibrio. Tomar g=9.8 m/s2. Presión atmosférica = 101293 Pa. El depósito de la figura contiene agua. a) Si abrimos la llave de paso, ¿qué altura tendrá el agua en cada lado del depósito cuando se alcance el equilibrio? b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance el equilibrio?
- 10. De un gran depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es PB - PA = 500 Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son SA= SC = 10 cm2 y SB=20 cm2, calcular las velocidades y las presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la atmosférica, igual a 105 Pa. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en forma de T de menor sección, colocamos tubos manométricos A y B, como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles superiores del líquido en tales tubos. • Sabiendo que la sección del tubo estrecho es 10 veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta. • Calcúlese el gasto, si el área de la sección mayor es 40 cm2
- 11. El gasto en una tubería por la que circula agua es 208 l/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si las secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2, Calcular el desnivel h que se produce en el mercurio. Dato: densidad del mercurio 13.6 gr/cm3 Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, véase la figura, contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del nivel del líquido en A. ¿A qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E?. Expresar la respuesta en función de h1. Del depósito A de la figura sale agua continuamente pasando través de depósito cilíndrico B por el orificio C. El nivel de agua en A se supone constante, a una altura de 12 m sobre el suelo. La altura del orificio C es de 1.2 m. El radio del depósito cilíndrico B es 10 cm y la del orificio C, 4 cm.
- 12. Calcular: La velocidad del agua que sale por el orificio C. La presión del agua en el punto P depósito pequeño B La altura h del agua en el manómetro abierto vertical. Dato: la presión atmosférica es 101293 Pa.