Conjunt0s y sistm difusos

Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación
Universidad de Málaga

Conjuntos y Sistemas Difusos
(Lógica Difusa y Aplicaciones)

1. I ntroducción: Conceptos Básicos

E.T.S.I. Informática J. Galindo Gómez

I ntroducción
• Conjuntos Difusos y su Lógica Difusa (o borrosa):
– La palabra fuzzy viene del ingles fuzz (tamo, pelusa, vello) y se
traduce por difuso o borroso.
– Lotfi A. Zadeh: Es el padre de toda esta teoría (Zadeh, 1965).
– Importancia: En la actualidad es un campo de investigación muy importante,
tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones
prácticas.
• Revistas Int.: Fuzzy Sets and Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems...
• Congresos: FUZZ-IEEE, IPMU, EUSFLAT, ESTYLF...
• Bibliografía Gral.: (Kruse, 1994), (McNeill, 1994), (Mohammd, 1993),
(Pedrycz, 1998)...
– Problemas Básicos subyacentes:
• Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los
humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona
alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?
• La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación
puede no ser ni VERDAD ( true) ni FALSA (false).
– “Yo leeré El Quijote”: ¿En qué medida es cierto? Depende de quien lo diga y...
– “Él es bueno en Física”: ¿Es bueno, muy bueno o un poco mejor que regular?
– Otras Herramientas con las que se ha usado: Sistemas basados en Reglas,
Redes Neuronales, Algoritmos Genéticos, Bases de Datos... 2

I ntroducción
• ¿Cuándo usar la tecnología fuzzy o difusa? (Sur, Omron, 1997)
– En procesos complejos, si no existe un modelo de solución sencillo.
– En procesos no lineales.
– Cuando haya que introducir la experiencia de un operador “experto” que se
base en conceptos imprecisos obtenidos de su experiencia.
– Cuando ciertas partes del sistema a controlar son desconocidas y no pueden
medirse de forma fiable (con errores posibles).
– Cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras.
– En general, cuando se quieran representar y operar con conceptos que
tengan imprecisión o incertidumbre (como en las Bases de Datos Difusas).
• Aplicaciones (Sur, Omron, 1997; Zimmermann, 1993):
– Control de sistemas: Control de tráfico, control de vehículos (helicópteros...),
control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control
en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción,
precisión en las paradas y ahorro de energía), ascensores...
– Predicción y optimización: Predicción de terremotos, optimizar horarios...
– Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de
objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento
de objetos, compensación de vibraciones en la cámara
– Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas
expertos... 3

I ntroducción: Conjuntos Crisp y Difusos
• Conceptos sobre Conjuntos Difusos:
– Surgieron como una nueva forma de representar la imprecisión y la
incertidumbre.
– Herramientas que usa: Matemáticas, Probabilidad, Estadística, Filosofía,
Psicología...
– Es un puente entre dos tipos de computaciones:
• C. Numérica: Usada en aplicaciones científicas, por ejemplo.
• C. Simbólica: Usada en todos los campos de la Inteligencia Artificial.
• Conjuntos Clásicos (crisp): Surgen de forma natural, por la
necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.
– Conjunto de Frutas: Manzana ∈ Frutas, Lechuga ∉ Frutas...
– Función de pertenencia A(x), x∈X:
• X es el Universo de Discurso.
1 si x ∈ A
• Restricción de la Función A: X → {0,1} A( x) =

– Conjunto Vacío ⇒ ∅(x)=0, ∀ x∈X
0 si x ∉ A
– Conjunto Universo ⇒ U(x)=1, ∀ x∈X
• Conjuntos Difusos (fuzzy): Relajan la restricción, A: X → [0,1]
– Hay conceptos que no tienen límites claros:
• ¿La temperatura 25ºC es “alta”?
• Definimos, por ejemplo: Alta(30)=1, Alta(10)=0, Alta(25)=0.75...
4

Conjuntos Difusos: Definición
• Definición: Un conjunto difuso A se define como una Función de
Pertenencia que enlaza o empareja los elementos de un dominio
o Universo de discurso X con elementos del intervalo [0,1]:
– A: X → [0,1]
• Cuanto más cerca esté A(x) del valor 1, mayor será la
pertenencia del objeto x al conjunto A.
– Los valores de pertenencia varían entre 0 (no pertenece en absoluto) y 1
(pertenencia total).
• Representación: Un conjunto difuso A puede representarse como
un conjunto de pares de valores: Cada elemento x∈X con su grado
de pertenencia a A. También puede ponerse como una “suma” de pares:
– A = { A(x)/x, x∈X}
– A = ∑n A( x i ) / x i (Los pares en los que A(xi)=0, no se incluyen)
i =1
• Ejemplo: Conj. de alturas del concepto difuso “Alto” en Personas:
– A = 0.25/1.75 + 0.5/1.8 + 0.75/1.85 + 1/1.9 (su universo es discreto)

• Si el Universo es Continuo: A = ∫ A( x ) / x
x
• La suma y la integral no deben considerarse como operaciones algebráicas.
5

Conjuntos Difusos: Definición
• Contexto: Es fundamental en la definición de conjuntos difusos.
– No es lo mismo el concepto “Alto” aplicado a personas que a edificios.
• Función de Pertenencia : Un conjunto difuso puede representarse
también gráficamente como una función, especialmente cuando el
universo de discurso X (o dominio subyacente) es continuo (no
discreto).
– Abcisas (eje X): Universo de discurso X.
– Ordenadas (eje Y): Grados de pertenecia en el intervalo [0,1].
• Ejemplo: Concepto de Temperatura “Alta”.

Alta Temperatura
1

0 X (ºC)
0 10 20 30 40
6

Conj . Difusos: Interpretación de Kosko (1992)

• Un Universo X es un conjunto (finito o infinito) de valores.
• Por ejemplo: X = {x1, x2 , ... , xn}, donde X tiene n valores.
• Cada subconjunto de X es miembro del conjunto potencia de X,
denotado como P(X) o 2X.
– P(X) tiene 2n elementos, incluyendo ∅ (conj. vacío).
– Cada valor de X puede pertenecer al subconjunto o no pertenecer.
• Cada uno de los 2n elementos de P(X), puede representarse como un
vector de n dimensiones (Kosko, 1992). Forma un hipercubo unidad n-dimensional.
– Conjuntos Crisp: Cada uno de los componentes de ese vector toma un valor
en el conjunto {1,0}, según ese componente de X pertenezca o no a ese
elemento de P(X). Ejemplo: El conjunto vacío tiene n ceros {0, 0, ... 0}.
– Conjuntos Difusos: Cada uno de los componentes de ese vector toma un
valor en el intervalo [0,1], según ese componente 1
de X pertenezca a ese elemento o no.
x2
Existen infinitos valores posibles.
• Ejemplo con n=2: P(X)={∅,{x1},{x2},{x1, x2} } → [0.5,0.25]
– Crisp: P(X)={[0,0], [0,1], [1,0], [1,1]}.
• Son las 4 esquinas de un cuadrado unidad: 0 x1
– Difuso: Cubre toda la superficie del cuadrado. 0 1 7

Tipos de Funciones de Pertenencia
• Función de Pertenencia : A: X → [0,1]
– Cualquier función A es válida: Su definicion exacta depende del
concepto a definir, del contexto al que se refiera, de la aplicación...
– En general, es preferible usar funciones simples, debido a que
simplifican muchos cálculos y no pierden exactitud, debido a que
precisamente se está definiendo un concepto difuso.
• Funciones de Pertenencia Típicas:
– 1. Triangular: Definido por sus límites inferior a y superior b, y el valor
modal m, tal que a<m<b.
0 si x ≤ a 1
( x − a ) /(m − a ) si x ∈ (a, m ]

A( x) = 
( b − x ) /(b − m ) si x ∈ (m , b)
0
 si x ≥ b 0 X
a m b
• También puede representarse así:
A(x;a,m,b) = máx { mín{ (x-a)/(m-a), (b-x)/(b-m) }, 0 }
8

– 2. Función Γ (gamma): Definida por su límite inferior a y el valor k>0.
0
 si x ≤ a
A( x ) =  1
1 − e

− k ( x − a) 2
si x > a
0 si x ≤ a

A(x ) =  k( x − a)2
 1 + k (x − a)2 si x > a 0 X
 a
– Esta función se caracteriza por un rápido crecimiento a partir de a.
– Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún.
– La primera definición tiene un crecimiento más rápido.
– Nunca toman el valor 1, aunque tienen una asíntota horizontal en 1.
– Se aproximan linealmente por: 1
0 si x ≤ a

A( x ) = ( x − a ) / ( m − a ) si x ∈ (a , m)
1 si x ≥ m
 0 X
– La función opuesta se llama Función L. a m 9

– 3. Función S: Definida por sus límites inferior a y superior b, y el valor
m, o punto de inflexión tal que a<m<b.
• Un valor típico es: m=(a+b) / 2.
• El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la distancia a-b.
0 si x ≤ a 1

 2 {( x − a ) / ( b − a )} si x ∈ ( a, m]
2

A( x ) =  0.5

1 − 2 {( x − b) / (b − a )} si x ∈ ( m, b )
2

1 si x ≥ b
 0
a m b
X
– 4. Función Gausiana: Definida por su
valor medio m y el valor k>0. 1

A( x ) = e − k ( x − m )2

• Es la típica campana de Gauss.
• Cuanto mayor es k, más estrecha
es la campana. 0 X
m 10

– 5. Función Trapezoidal: Definida por sus límites inferior a y superior
d, y los límites de su soporte, b y c, inferior y superior respectivamente.
0 si ( x ≤ a) o ( x ≥ d ) 1
 ( x − a ) / (b − a )
 si x ∈ (a, b]
A( x ) = 
1 si x ∈ (b, c)
(d − x) / (d − c )
 si x ∈ (b , d ) 0 X
a b c d
– 6. Función Pseudo-Exponencial: Definida por su valor medio m y el
valor k>1.
1 1
A( x ) =
1 + k ( x − m )2
• Cuanto mayor es el valor de k,
el crecimiento es más rápido aún
y la “campana” es más estrecha. 0 X
m
11

– 7. Función Trapecio Extendido: Definida por los cuatro valores de
un trapecio [a, b, c, d], y una lista de puntos entre a y b, o entre c y d,
con su valor de pertenencia asociado a cada uno de esos puntos.
1

0 X
a x1 b c y1 y2 d
– En general, la función Trapezoidal se adapta bastante bien a la
definición de cualquier concepto, con la ventaja de su fácil definición,
representación y simplicidad de cálculos.
– En casos particulares, el Trapecio Extendido puede ser de gran
utilidad. Éste permite gran expresividad aumentando su complejidad.
– En general, usar una función más compleja no añade mayor
precisión, pues debemos recordar que se está definiendo un
concepto difuso. 12

Características de un Conjunto Difuso
• Altura de un Conjunto Difuso (height): El valor más grande de su
función de pertenencia: supx∈X A(x).
• Conjunto Difuso Normalizado (normal): Si existe algún elemento
x∈X, tal que pertenece al conjunto difuso totalmente, es decir, con
grado 1. O también, que: Altura(A) = 1.
• Soporte de un Conjunto Difuso (support): Elementos de X que
pertenecen a A con grado mayor a 0: Soporte(A) = {x∈X | A(x) > 0}.
• Núcleo de un Conjunto Difuso (core): Elementos de X que
pertenecen al conjunto con grado 1: Nucleo(A) = {x∈X | A(x) = 1}.
Lógicamente, Nucleo(A) ⊆ Soporte(A).
• α-Corte: Valores de X con grado mínimo α: A α = {x∈X | A(x) ≥ α}.
• Conjunto Difuso Convexo o Concavo (convex, concave ): Si su
función de pertenencia cumple que ∀x1 ,x2 ∈ X y ∀ λ∈[0,1] :
– Convexo: A(λx1+ (1–λ)x 2) ≥ min{A(x1), A(x2)}. Que cualquier punto entre
– Concavo: A(λx1+ (1–λ)x 2) ≤ max{A(x1), A(x2)}. x1 y x2 tenga un grado de
pertenencia mayor que el
• Cardinalidad de un Conjunto Difuso mínimo de x1 y x2.

con un Universo finito (cardinality): Card(A) = Σ x∈X A(x). 13

Operaciones Unarias sobre C. Difusos
• Normalización: Convierte un conj. difuso NO normalizado en uno
normalizado, dividiendo por su altura: Norm_A(x) = A(x) / Altura(A).
• Concentración (concentration): Su función de pertenencia tomará
valores más pequeños, concentrándose en los valores mayores:
– Con_A(x) = Ap(x), con p>1, (normalmente, p=2).
• Dilatación (dilation): Efecto contrario a la concentración. 2 formas:
– Dil_A(x) = A p(x), con p∈(0,1), (normalmente, p=0.5).
– Dil_A(x) = 2A(x) – A2(x).
• Intensificación del Contraste (contrast intensification): Se
disminuyen los valores menores a 1/2 y se aumentan los mayores
2 p− 1 A p (x ) si A( x) ≤ 0 .5
– Int_ A( x ) =  p− 1
1 − 2 (1 − A( x )) en otro caso
p

– Con p>1. Normalmente p=2. Cuanto mayor p, mayor intensificación.
• Difuminación (fuzzification): Efecto contrario al anterior:
 A( x ) / 2
 si A(x ) ≤ 0.5
– Fuzzy_ A(x ) = 
1 − (1 − A(x )) / 2 en otro caso

14

Relaciones entre Conjuntos Difusos
• Igualdad (equality): Dos conjuntos difusos, definidos en el mismo
Universo, son iguales si tienen la misma función de pertenencia:
A = B ⇔ A(x) = B(x), ∀ x∈X
• Inclusión (inclusion): Un conjunto difuso está incluido en otro si su
función de pertenencia toma valores más pequeños:
A ⊆ B ⇔ A(x) ≤ B(x), ∀ x∈X
• Inclusión Difusa: Si el Universo es finito, podemos relajar la
condición anterior para medir el grado en el que un conjunto difuso
está incluido en otro (Kosko, 1992):
1  
S( A, B) = Card( A) − ∑ max{0, A( x ) − B(x )}
Card( A)  x ∈X 
– Ejemplo:
• A = 0.2/1+ 0.3/2+ 0.8/3+ 1/4 + 0.8/5 ⇒ Card(A) = 3.1;
• B = 0.2/2+ 0.3/3+ 0.8/4+ 1/5 + 0.1/6 ⇒ Card(B) = 2.4;
• S(A, B) = 1/3.1 {3.1 – {0.2+0.1+0.5+0.2+0+0} } = 2.1 / 3.1 = 0.68;
• S(B, A) = 1/2.4 {2.4 – {0+0+0+0+0.2+0.1} } = 2.1 / 2.4 = 0.88;
• B está más incluido en A, que A en B.
15

El Teorema de Representación
• Teorema de Representación o Principio de Identidad: Todo
conj. difuso puede descomponerse en una familia de conjs. difusos.
– Para ello, utilizaremos diversos α-cortes, teniendo en cuenta la
Restricción de Consistencia: Si α1>α2, entonces Aα1 ⊂ A α2
– Cualquier conjunto difuso A puede descomponerse en una serie de
sus α-cortes: A =
Uα Aα
α ∈[0,1]
o, lo que es lo mismo: A( x ) = sup {α Aα ( x )}
α ∈[0,1]

donde Aα (x) ∈ {0,1}, dependiendo de si x pertenece o no al α-corte Aα.
– Reconstrucción: Cualquier conjunto difuso puede reconstruirse a
partir de una familia de conjuntos α-cortes anidados.
– Conclusiones:
• Cualquier problema formulado en el marco de los conjuntos
difusos puede resolverse transformando esos conjuntos difusos en
su familia de α-cortes anidados, determinando la solución para
cada uno usando técnicas no difusas.
• Resalta que los conjuntos difusos son una generalización.
16

El Principio de Extensión
• Principio de Extensión (Extension Principle): Usado para
transformar conjuntos difusos, que tengan iguales o distintos
universos, según una función de transformación en esos universos.
– Sean X e Y dos conjuntos yf una función de transformación de uno en
otro: f: X → Y
– Sea A un conjunto difuso en X.
– El Principio de Extensión sostiene que la “imagen” de A en Y, bajo la
función f es un conjunto difuso B=f (A),
Y
definido como:
B(y) = sup { A(x) | x∈X, y=f(x) } B
f
– Ejemplo, representado gráficamente:
Grado de Pertenencia de B
– La función sup se aplica si
existen dos o más valores de x
que tengan igual valor f (x). 1 X
• Ese caso no ocurre en el
1
A
ejemplo.
Grado de Pertenencia de A
17

El Principio de Extensión: Generalización

• Se puede generalizar el Principio de Extensión para el caso en
el que el Universo X sea el producto cartesiano de n Universos:
– X = X1 × X 2 × ... × Xn
– La función de transformación: f: X → Y, y = f(x), con x = (x1, x2, ... , xn )
– El Principio de Extensión transforma n Conjuntos Difusos A1, A2, ... y
An, de los universos X1 , X2, ... y Xn respectivamente, en un conjunto
difuso B=f (A1, A2, ... , An) en Y, definido como:
B(y) = sup { min[A1 (x1), A2 (x2), ... , An (xn )] | x∈X, y=f(x) }
• Ejemplos: Sean X e Y, ambos, el universo de los números naturales.
– Función sumar 4: y = f (x) = x + 4:
• A = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
• B = f (A) = 0.1/6 + 0.4/7 + 1/8 + 0.6/9;
– Función suma: y = f (x1, x 2) = x1 + x2 :
• A1 = 0.1/2 + 0.4/3 + 1/4 + 0.6/5;
• A2 = 0.4/5 + 1/6;
• B = f (A 1, A2) = 0.1/7 + 0.4/8 + 0.4/9 + 1/10 + 0.6/11; 18

Cálculo de la Función de Pertenencia
• Las Funciones de Pertenencia pueden calcularse de diversas
formas. El método a elegir depende de la aplicación en particular,
del modo en que se manifieste la incertidumbre y en el que ésta
sea medida durante los experimentos.
– 1. Método HORIZONTAL:
• Se basa en las respuestas de un grupo de N “expertos”.
• La pregunta tiene el formato siguiente:
“¿Puede x ser considerado compatible con el concepto A ?”.
• Sólo se acepta un “SÍ” o un “NO”, de forma que:
A(x) = (Respuestas Afirmativas) / N.
– 2. Método VERTICAL:
• Se escogen varios valores para α, para construir sus α–cortes.
• Ahora la pregunta es la siguiente, efectuada para esos valores de
α predeterminados: “¿Identifique los elementos de X que
pertenecen a A con grado no menor que α ?”.
• A partir de esos α–cortes se identifica el conjunto difuso A (usando
el llamado Principio de Identidad o Teorema de Representación). 19

– 3. Método de Comparación de Parejas (Saaty, 1980):
• Suponemos que tenemos ya el conjunto difuso A, sobre el Universo X
de n valores (x1, x2, ... , xn).
• Calcular la Matriz Recíproca M=[ahi], matriz cuadrada n × n:
– a) Diagonal Ppal. es siempre 1.  A( x1 ) A( x1 ) A( x1 ) 
 A( x ) A( x ) L
– b) Propiedad de Reciprocidad: A( xn ) 
 1 2

ahi aih = 1  A(x2 ) A( x2 ) A(x2 ) 
O
– c) Propiedad Transitiva:  A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) 
ahi aik = ahk M= A( xi ) 
 M O M 
• El proceso es el inverso:  A(x j ) 
– Se calcula la matriz M.  A(xn ) A( xn ) A( xn ) 
– Se calcula A a partir de M.  L 
 A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) 
• Para calcular M, se cuantifica numéricamente el nivel de prioridad o
mayor pertenencia de una pareja de valores: xi con respecto a xj.
– Número de comparaciones: n(n–1)/2;
– La transitividad es difícil de conseguir ( el autovalor más grande de la matriz sirve
para medir la consistencia de los datos: Si es muy bajo, deberían repetirse los experimentos ).
20

– 4. Método basado en la Especificación del Problema:
• Requieren una función numérica que quiera ser aproximada.
• El error se define como un conjunto difuso: Mide la calidad de la
aproximación.
– 5. Método basado en la Optimización de Parámetros:
• La forma de un conjunto difuso A, depende de unos parámetros,
denotados por el vector p: Representado por A(x; p).
• Obtenemos algunos resultados experimentales, en la forma de
parejas (elemento, Grado de pertenencia): (Ek, G k) con k=1, 2, ..., N.
N

∑
• El problema consiste en optimizar el vector p,
minp [Gk − A(Ek ;p )]2
por ejemplo minimizando el error cuadrático: k =1
– 6. Método basado en la Agrupación Difusa (Fuzzy Clustering):
• Se trata de agrupar los objetos del Universo en grupos (solapados)
cuyos niveles de pertenencia a cada grupo son vistos como grados
difusos.
• Existen varios algoritmos de Fuzzy Clustering, pero el más aceptado
es el algoritmo de “fuzzy isodata” (Bezdek, 1981).
21

Agrupamiento Difuso: Algoritmo de Bezdek

• Algoritmo “Fuzzy Isodata” (Bezdek, 1981): Agrupar en c Grupos.
– Supongamos N elementos (x 1, x2, ... , xN), entre los que existe una
medida de distancia entre cada dos elementos: || xi – xj ||.
– Crear una matriz F=[ f ij ], de c filas y N columnas, donde f ij ∈ [0,1],
denota el grado de pertenencia de x j al grupo i-ésimo y se cumple que:
∀j = 1, 2, ..., N: ∑ i = 1 fij = 1, y que ∀i = 1, 2, ..., c : ∑ j = 1 fij ∈ (0 , N).
c N

• Fila i: Grados de pertenencia de los N elementos al grupo i-ésimo.

∑
N
– Algoritmo: f 2 (k )x j
j = 1 ij
• 1. k:=0; Hallar una matriz inicial F(0). vi (k ) =
∑
N
• 2. Usando F(k), calcular los centroides vi (k): j =1
fij2 ( k )
2
c 
• 3. Calcular F(k+1): || x j − vi || 
( fij (k +1)) = ∑ 
−1
 || x − v || 

h=1  j h 
• 4. Comparar F(k) con F(k+1): Si son suficientemente parecidos,
PARAR. En otro caso, k:=k+1; Ir al paso 2.
– Obtenemos soluciones locales a la siguiente
∑ j =1 ∑i =1 fij2 || x j − vi ||
N c 2
optimización no lineal, cumpliendo la min
vi fij
matriz [ f ij] las condiciones anteriores:
22

A^
Extensiones de los Conjs. Difusos 1
A+
A–
• Hay muchas formas de extender el concepto de C.D.:
– 1. Conjuntos Difusos Evaluados en Intervalo 0.5
A^: Si resulta difícil definir una determinada 0.25
función de pertenencia, podemos definir dos: 0 X
• A^=(A– , A+) siendo las funciones de pertenencia x1
inferior y superior respectivamente: A– (x) ≤ A+ (x). A~
• Así, cada valor xi tiene dos valores entre los que 1
se encuentra su grado de pertenencia. 0.75
– 2. Conjuntos Difusos de Segundo Orden A~: 0.5
• Los grados de pertenencia son, a su vez
conjuntos difusos en el intervalo unidad. 0.25

• Sólo es posible en universos finitos. 0 X
– 3. Conjuntos Difusos Evaluados en Intervalo Aα x1 x2 x3
A0.3
Difuso Aα: Es una mezcla de los dos anteriores. 1 A0.8
• Se eligen unos determinados valores α k y se 0.7 A1
crea una función de pertenencia f k para cada
0.55
uno de ellos, de forma que ∀i f k (xi) = αk A0.2
• Es factible en universos infinitos.
0.2
• Lectura: x1 pertenece al conjunto A con grado
0 X
0.8 y la certeza de que eso sea cierto es de 0.7. x1 23

Extensiones de los Cjs. Difusos
– 4. Conjuntos Difusos Tipo-Dos (Type-Two): Los grados de
pertenencia son representados por conjuntos difusos definidos, en
general, en el intervalo [0,1]:
• En universos finitos es como una colección de conjuntos difusos: Uno
para cada elemento.
• Ejemplo: Para medir la intensidad del tráfico según distintas categorías
de vehículos:
– Tráfico = {medio/motos, ligero/camiones, pesado/coches...} donde
medio, ligero, pesado... son conjuntos difusos en el espacio que mide
la intensidad del tráfico.
• Es similar a los conjuntos difusos de Segundo Orden.
• Otras generalizaciones: Pueden definirse, pero con precaución.
– Es posible que el concepto que se desea representar ya se pueda
representar de alguna forma más simple ya existente.
– Podrían construirse estructuras que sean imposibles de manejar de
forma efectiva.
• Esto ocurre, por ejemplo con lo que serían los conjuntos difusos
de Tercer Orden: A~~.
24

Bibliografía (⇒ indica que se trata de un libro
general o introductorio)

• J. Bezdek, “Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms”. Plenum
Press, New York, 1981.
• B. Kosko, “Neural Networks and Fuzzy Systems: A Dynamical Systems Approach to
Machine Intelligence”. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992.
• ⇒ R. Kruse, J. Gebhardt, F. Klawonn, “Foundations of Fuzzy Systems”'. John Wiley &
Sons, 1994. ISBN 0-471-94243X.
• ⇒ F.M. McNeill, E. Thro, “Fuzzy Logic: A Practical Approach”. AP professional, 1994.
ISBN 0-12-485965-8.
• ⇒ J. Mohammd, N. Vadiee, T.J. Ross, Eds. “Fuzzy Logic and Control. Software and
Hardware Applications”. Eaglewood Cliffs, NJ:PTR. Prentice Hall, 1993.
• ⇒ W. Pedrycz, F. Gomide, “An introduction to Fuzzy Sets: Analysis and Design”. A
Bradford Book. The MIT Press, Massachusetts, 1998. ISBN 0-262-16171-0.
• T.L. Saaty, “The Analytic Hierarchy Processes”. McGraw Hill, New York, 1980.
• ⇒ Sur A&C, Omron Electronics, S.A., “Lógica Fuzzy para Principiantes”. Ed. I.
Hernández, 1997. ISBN 84-920326-3-4.
• R. Sambuc, “Fonctions d’F-flous: Application a l’aide au diagnostic en pathologie
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• L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”. Information and Control, 8, pp. 338-353, 1965.
• ⇒ H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and Its Applications”. 2d ed. Dordrecht, the
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