Conjuntos1
Descargar como PPTX, PDF1 recomendación2,022 vistas
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. Explica formas de definir conjuntos como extensión y comprensión, e introduce diagramas de Venn, inclusión, igualdad, disyunción y conjuntos de conjuntos.
Conjuntos1
- 2. Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas
- 3. NOTACIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a; b; c; ...; x; y; z}
- 4. En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }. Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q). Ejemplo: A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)= 5 B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)= 3
- 5. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10} 2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M 5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
- 6. Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión I) POR EXTENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
- 7. B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10. B = {-9;-7;-5;-3;-1 } II) POR COMPRENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: P = { los números dígitos } se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
- 8. Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “ Ejemplo: Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana. Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo } Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana }
- 9. Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. T M A 7 6 (2;4) (5;8) o 4 8 e a 1 5 i (1;3) (7;6) 3 u 9 2
- 10. CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { } A= o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } 1 P={x/X 0 }
- 11. CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G = x / x 2 4 x 0 CONJUNTO FINITO Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplos: E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }
- 12. CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplos: R = { x / x < 6 } ; S = { x / x es un número par } CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U Ejemplo: El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.
- 13. INCLUSIÓN Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B NOTACIÓN : A B Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : B A
- 14. PROPIEDADES: I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A A II ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto. A III ) A está incluido en B ( A B) equivale a decir que B incluye a A ( B A ) IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( A B ) V ) Simbólicamente: A B x A x B
- 15. CONJUNTOS COMPARABLES Un conjunto A es COMPARABLE con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión. Ejemplo: A={1;2;3;4;5} y B={2;4} A 1 5 Observa que B está incluido en A ,por lo 4 tanto Ay B son 3 2 COMPARABLES B
- 16. IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B Simbólicamente : A B (A B) (B A)
- 17. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Como puedes A B observar los 7 9 4 conjuntos A y B no 6 tienen elementos 5 3 2 1 comunes, por lo 8 tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
- 18. CONJUNTO DE CONJUNTOS Es un conjunto cuyos elementos son conjuntos. Ejemplo: F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} } Observa que los elementos del conjunto F también son conjuntos. {a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F ¿ Es correcto decir que {b} F? NO Porque {b} es un elemento del conjunto F ,lo correcto es {b} F
- 19. CONJUNTO POTENCIA El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = { m;n;p } Los subconjuntos de A son {m},{n},{p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}, Φ Entonces el conjunto potencia de A es: P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ } ¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?
- 20. Observa que el conjunto A tiene 3 elementos y su conjunto potencia osea P(A) tiene 8 Si 5<x<15 y es un elementos. número par entonces B= {6;8;10;12;14} PROPIEDAD: el conjunto Observa que B tiene 5 elementos Dado un conjunto A cuyo número de elementos es entonces: n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es52n. Card P(B)=n P(B)=2 =32 Ejemplo: Dado el conjunto B ={x / x es un número par y 5< x <15 }. Determinar el cardinal de P(B). RESPUESTA
- 21. SUBCONJUNTOS PROPIOS Son todos los subconjuntos de A, menos el mismo conjunto A. Ejemplo: Sea A = { m;n;p } Los subconjuntos de A son {m},{n},{p}, {m;n}, {m;p}, {n;p}, Φ PROPIEDAD: Dado un conjunto A cuyo número de elementos es n , entonces el número de subconjuntos propios es 2n - 1.