Conceptualización de Rotación
- 1. ROTACIÓN Santiago y Marcela quieren jugar a la ruleta. La ruleta que tienen es como la que se muestra En la figura 6.34. Fig. 6.34 En las instrucciones del juego dice que debe hacen las instrucciones del juego dice que debe hacer girar la flecha de acuerdo con el color en que se detenga y de la posición de la flecha se asignará el puntaje. Ganará quien después de 5 giros haya obtenido el mayor puntaje. Santigo y Marcela quieren entender cómo es que la flecha se mueve. ¿Podríamos ayudarlos? El movimiento que la flecha hace de denomina giro y siempre se realiza alrededor de un punto fijo, en este caso el centro de la ruleta. La flecha en la ruleta puede moverse en dos sentidos: Fig. 6.35ª Fig. 6.35b Dependiendo de la fuerza con la que se impulse la flecha varía la amplitud del giro. El movimiento de la flecha en la ruleta es similar al funcionamiento del minutero y el horario en el reloj, sólo que en éste el giro se hace en un solo sentido. Como se mueven las manecillas del reloj. En sentido contrario de las manecillas del reloj. En geometría, una rotación o giro es un movimiento que realiza una figura alrededor de un punto fijo, cuyos elementos básicos son: El centro de rotación, que puede estar en el interior, en el exterior p en el borde de la figura que quiere rotar. El sentido, que puede ser positivo, es decir contrario al de las manecillas del reloj o negativo si es en el sentido de las manecillas del reloj. El ángulo de giro o amplitud, que se expresa en grados.
- 2. EJEMPLO DE ROTACIÓN 1. Recortemos en cartulina un polígono como el de la figura 3.39 y con un alfiler o con un dedo fijemos la figura por un extremo o punta. c Fig.3.39 2. Rotemos la figura alrededor del punto fijo C y detengámonos en cualquier posición. Dibujemos el contorno de la figura antes y después de la rotación y llamemos A, a la posición inicial de la figura y B a la posición después de la rotación, es decir a la posición final. B A CENTRO DE ROTACIÓN c Fig.3.40 Decimos que B es la imagen A mediante la rotación. El único punto que no se ha desplazado es el punto fijo C (centro de rotación). El centro de rotación puede ser cualquier punto de la figura. En nuestro caso es un vértice de la figura. 3. Desde el centro de rotación trazamos pares de semirrectas que pasen, una por un punto cualquiera en A y la otra por su correspondiente imagen en B. Observamos que cada pareja de semirrectas forman un ángulo con vértice en C ¿Cómo es la amplitud de estos ángulos? B A CENTRO DE ROTACIÓN C Fig. 3.41
- 3. Los ángulos formados tienen la misma amplitud, en este caso e3s de un cuarto de vuelta. Luego la figura se ha rotado un cuarto de vuelta desde la posición inicial A hasta la posición final B. El valor del ángulo que ha girado la figura se llama amplitud de la rotación. Para determinar la amplitud de una rotación se puede tomar como referencia la vuelta o el grado. 4. Al rotar la figura podemos hacerlo en dos sentidos: en el de las manecillas del reloj y en el sentido contrario. B sentido contrario de las manecillas del reloj. A CENTRO DE ROTACIÓN C Fig. 3.42 En este caso, la figura se ha rotado en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. De esta manera el ángulo que indica la amplitud de la rotación queda orientado a través del sentido. Por tanto, para rotar una figura en el plano es necesario conocer el centro de rotación, la magnitud y el sentido en que ésta se de hacer. En el juego de la ruleta el centro de rotación se encuentra en el interior de la misma veamos un ejemplo de giro cuando el centro de rotación está en el exterior de la figura. Ejemplo: Rotemos el triángulo PJE, 45º en sentido negativo, con centro de rotación en el punto (0,0) Hay tres elementos que caracterizan una rotación: centro de rotación, amplitud y sentido.
- 4. Lo primero que debemos de hacer es ubicar los vértices del triángulo y el centro de rotación. Trazamos suavemente segmentos desde el centro a Cada uno de los vértices, como se indica en la Figura 6.36b Luego, con el transportador, medimos el ángulo de 45º en sentido negativo, tomando como vértice del ángulo el centro de rotación y cómo lado inicial el segmento OJ. En el lado final del ángulo trazamos el segmento OJ’ de igual longitud que el segmento OJ y ubicamos al final de este nuevo segmento el vértice j’, como indica la figura 6.36c. Realizamos el mismo procedimiento con los demás vértices del triángulo y, finalmente, trazamos los segmentos entre los puntos J’, E’, y P’ para obtener la imagen de rotación del triángulo PJE. 45º 4 5º
- 5. COMPOSICIÓN DE ROTACIONES Dados el triángulo MNP y las rotaciones R, S y T definidas de la siguiente manera: R: rotación de 100º en el sentido de las manecillas del reloj, con centro de rotación en P. S: rotación de 70º en el sentido de las manecillas del reloj, con centro de rotación en P. T: rotación de 50º en sentido contrario al de las manecillas del reloj, con centro de rotación en P. Observemos el resultado de aplicar S después de R: Fig.5.31 S(R(MNP)) =M’’ N’’ P’’ Apliquemos ahora T después de R, o sea: T(R(MNP)). 100º 50º Fig.5.32 Comparemos los triángulos MNP y M’’ N’’ P’’; ¿qué cambio?; ¿qué no cambió? Aplicando sólo una rotación a MNP, ¿se puede obtener M’’ N’’ P’’?; ¿Cuál sería esa rotación? ¿Qué cambió al aplicar la composición de las dos rotaciones? Con una sola rotación, ¿Se podrá obtener M’’ N’’ P’’?; ¿con cuál? ¿Puede afirmarse que la composición de dos rotaciones con el mismo centro siempre es una rotación? M N M’ N’ M’N’ P’’=P’=P 100º 70º M N N’’ M’’ M’ P’’=P’=P N’’