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PROBLEMAS DE CONSTRUCCIONES

CONSTRUCCIONES - 2

Construcciones,
divisiones,
transposiciones, ...
con palillos, cerillas,
monedas, triángulos,
cuadrados, trapecios,
polígonos, etc.
Ángel Gutiérrez García e Iker Zurikarai Montes


41

MUCHOS CUADRADOS

¿Cuántos cuadrados
hay en la figura
adjunta?

Solución

En total hay 30. Los 16
pequeños, 9 de cuatro
cuadrados cada uno, 4
de nueve pequeños
cada uno y el
envolvente. 16 + 8 + 4
+ 1 = 30.



42

CUBO MÁGICO EN PERSPECTIVA

Un cubo mirado en perspectiva,
muestra sólo tres de sus caras
y siete vértices. En ellos es
posible acomodar los números
del 1 al 7, uno por vértice, de
modo que los cuatro vértices de
cada una de las caras sumen
15. ¿Sabrá Vd. colocarlos?

Solución

Se muestran aquí dos formas.



43

ESTRELLA CON DIAGONALES

Acomode los números del 1 al
7, uno por círculo, de modo que
cada uno de los triángulos
grandes y cada una de las
diagonales sumen igual.

Solución



44

TRIÁNGULO ANTIMÁGICO

Acomode los números del 1 al 6,
uno por círculo, de modo que
cada línea de dos o tres círculos,
los tres círculos de las esquinas,
y los tres círculos interiores,
sumen distinto, y que las ocho
sumas que entran en juego sean
valores consecutivos.

Solución

En la siguiente disposición,
que es única, se consiguen
las ocho sumas diferentes: 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13.



45

HEXÁGONO CON RAYOS

13, uno por círculo, de modo
que cada uno de los seis lados,
cada una de las seis líneas que
pasan por el centro, sumen
igual.

Solución



46

LA CRUZ

12, uno por círculo, de modo que
los cuatro vértices de cada uno
de los dos rectángulos largos,
los cuatro vértices del cuadrado
central, y las cuatro líneas de
cuatro círculos, sumen igual.

Solución
Otras soluciones, puestas
horizontalmente y de arriba abajo
son:
- 11-12-6-9-8-3-10-5-4-7-1-2.
- 10-11-7-9-8-2-5-6-3-12-1-4.
- 10-12-8-9-7-2-11-6-4-5-1-3.
- 6-12-11-9-2-4-10-8-7-1-3-5.



47

MUCHOS TRIÁNGULOS

¿Cuantos triángulos hay en la figura adjunta?
Solución
En total hay 23.
Diez de una pieza.
Nueve de dos piezas.
Dos de tres piezas.
Dos de cuatro piezas.



48

LOS TRES AROS MÁGICOS

Coloque los números del 1 al 6 en los pequeños
círculos de modo que cada aro sume lo mismo.
Hay 3 aros, cada uno engarza 4 círculos. Es
preferible pensar a tantear.
Solución



49

EL MARAVILLOSO 26 (1)

Coloque los números
del 1 al 12 en los
círculos de esta estrella
de manera que la suma
de los que ocupan cada
una de las seis líneas
sea igual a 26.

Solución

Se muestran tres de las muchas
soluciones



50


En la estrella adjunta, las seis
filas de números suman lo
mismo, 26. Pero la suma de los
números situados en las
puntas de la estrella es otra:
4+11+9+3+2+1=30.
Perfeccione Vd. la estrella
colocando los números de
modo que la suma de los que
ocupan cada una de las seis
líneas sea 26 y la suma de los
números situados en las
puntas de la estrella también
sea 26.
No lo haga tanteando, razone
un poco.

Solución


50


La suma de todos los números que intervienen es
78. La suma de los números que componen el
hexágono interior será 78-26=52. Consideremos
ahora uno de los triángulos grandes. La suma de
cada uno de sus lados es 26, y si sumamos los
números de sus tres lados, es 26x3=78, con la
particularidad de que cada uno de los números
que hay en los vértices participa dos veces. El
hexágono interior era 52; por lo tanto 78-52=26
es el doble de lo que suman los tres vértices de
cada uno de los dos triángulos grandes. O sea que
su suma simple es 13. Necesitamos dos grupos de
tres números distintos que sumen 13 para poner
en las puntas. Ahora ya sí que hay que empezar a
tantear, pero el tanteo se ha reducido
considerablemente. Se muestran dos soluciones:

Solución:


51


Coloque los números del 1 al 12
en los círculos de esta estrella
de manera que la suma de los
que ocupan cada una de las seis
líneas sea igual a 26 y que
también sumen 26 los números
que forman el hexágono central.

Solución:
Se muestra una solución.



52

RELLENANDO CUADROS

Rellene los cuadros centrales con un número del 1
al 9, sin repetir ninguno de ellos, de modo que la
suma total, horizontal y vertical, sea en todos los
casos igual a 21.

Solución:

12

12
2

8

5

6
8

4
8

7

1

9

3

6

6


53

TRIÁNGULO MÁGICO
Solución:
Coloque los números del 1 al 9,
Otras soluciones:
uno por círculo, de manera que
Comenzando por arriba y
las sumas de los números de
cada lado sea igual a 20.
siguiendo las agujas de un
Ayuda. Los números situados en
reloj: 5-8-6-1-3-7-9-4-2. 5las esquinas suman 15. Uno de
4-9-2-3-7-8-6-1. 5-6-7-2-1ellos es 5.
9-8-3-4. 6-9-1-4-3-8-5-7-2.



54

OTRO TRIÁNGULO MÁGICO

Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo,
de manera que las sumas de los números de
cada lado sea igual a 17.
Solución:



55

LOS TRIÁNGULOS PEQUEÑOS

Ponga las cifras del 1 al 8 en los círculos de los
dos cuadrados para que los tres vértices de los
triángulos pequeños sumen lo mismo.
Solución:



56

DOS TRIÁNGULOS Y DOS CUADRADOS

Ponga las cifras del 1 al 8 en los
círculos de manera que los
vértices de los cuadrados y los
triángulos sumen las cantidades
que en ellos se indican.

Solución:



57

UN TRIÁNGULO Y TRES CUADRADOS

Ponga las cifras del 1 al 9 en los
círculos de manera que los
vértices de los cuadrados y del
triángulo sumen las cantidades
que en ellos se indican.

Solución:



58

LAS SUMAS EN LA RUEDA

Ponga las cifras del 1 al 8 en las casillas de la rueda de modo que:
- Los números vecinos del 4 sumen 9.

Solución:



59

LAS SUMAS EN LOS SEGMENTOS

Ubique las cifras del 1 al 9 en los círculos de modo que las
cifras conectadas por un segmento sumen lo que se indica
en él.

Solución:



60

RECTÁNGULOS OBSTINADOS

En una hoja de papel cuadriculado dibujamos un rectángulo
formado por dos cuadrados. Trazamos una diagonal del rectángulo
y observamos que corta a los dos cuadrados. Haciendo lo mismo
con un rectángulo mayor, de dos por tres cuadrados, la diagonal
corta a cuatro cuadrados. ¿Cuántos cuadrados cortará la diagonal
de un rectángulo de seis por siete cuadrados? Se debe hacer sin
dibujar el rectángulo y sin contar los cuadrados. ¿Se puede
encontrar alguna regla?

Solución:
La diagonal corta a 12
cuadrados. Regla: base +
altura - 1.



61

¿CUÁNTOS TRIÁNGULOS?
¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

Solución:

Nueve
rectángulos.



62

LA RUEDA NUMÉRICA

Ubique las cifras del 1 al 9 en los círculos pequeños de modo que
la suma de las tres cifras de cada línea sea 15.

Solución:



63

EL TRIDENTE

Ubique las cifras del 1 al 13
en las casillas de modo
que la suma de los
números de las columnas
A, B y C y la fila D sea la
misma.

Solución:
La suma es igual a 25.



64

LA ESTRELLA MÁGICA

Coloque los números del 1 al 19
en los círculos de esta estrella
de manera que la suma de los
cinco que ocupan cada una de
las líneas sea la misma.

Solución:
La suma es igual a 46.

Una segunda solución se obtiene a partir
de ésta restando cada número de 20. Así,
haciendo 20-13, obtenemos el 7 como
central.


65

OTRA ESTRELLA MÁGICA.

Coloque los números del 1 al 16 en
los círculos de esta estrella de
manera que la suma de los cuatro
que se hallan en cada lado de los
dos cuadrados sea 34 y que la
suma de los cuatro números que
se encuentran en los vértices de
cada cuadrado sea también 34.

Solución:



66

CON DOS RECTAS
¿Sabría Vd. dibujar un cuadrado solamente con
dos rectas?
Solución:
Se muestran cuatro soluciones.

En la última, el 1 es el cuadrado de 1.


67

SIETE LÍNEAS DE CUATRO

Coloque los números 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4 y 5 en los
círculos de esta extraña estrella de manera que la suma de los
cuatro que se hallan en cada línea sea el número que se señala en
el círculo central.

Solución:



68

EN CUATRO PARTES IGUALES

La figura adjunta, que está formada por la combinación de un
cuadrado y la mitad de otro hay que dividirla en cuatro partes
exactamente iguales. ¿Sabría Vd. dividirla?

Solución:



69

EN LOS CÍRCULOS VACÍOS

Coloque los números correspondientes en los círculos vacíos para
que la suma de los números que están en los lados del cuadrado
sumen lo mismo.

Solución:



70

EL TRIÁNGULO Y LAS LÍNEAS

Coloque los números del 1 al 10 en los círculos vacíos para que
tanto la suma de los números que están en los lados del triángulo
como la suma de los que están en las tres líneas horizontales sea
la misma. La distribución es única.

Solución:


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