Problemas de inducción (proyecto Auritzken)
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Este documento presenta varios problemas de inducción y generalización. Propone continuar series numéricas y analizar patrones. También plantea problemas sobre el número mínimo de pruebas necesarias para emparejar candados con llaves, y sobre el número de segmentos y regiones determinadas por puntos y rectas.
Problemas de inducción (proyecto Auritzken)
- 1. PROBLEMAS DE INDUCCIÓN/GENERALIZACIÓN SESIÓN 1 1.- Continúa las siguientes series. ¿Qué relación hay entre los valores que vas escribiendo y el puesto que ocupan en la serie? Escribe la ley que parece cumplirse. ¿Qué número ocupará el puesto 100 en cada serie? PUESTO VALOR 1º 2 LEY: PUESTO VALOR LEY: 3º 6 4º 8 5º 10 6º …… 100º 6º …… 100º 6º …… 100º VALOR = …………………………………………….. 1º 10 LEY: PUESTO VALOR 2º 4 2º 12 3º 14 4º 16 5º VALOR = …………………………………………….. 1º 6 2º 9 3º 12 4º 15 5º VALOR = …………………………………………….. Proyecto Auritzken
- 2. SESIÓN 1 PUESTO VALOR 3 1º 1 2º 1+3 3º 1+3+5 4º 1+3+5+7 1 4 9 16 LEY: PUESTO VALOR 1º 2 2º 2+4 3º 2+4+6 4º 2+4+6+8 6 12 100º 5º 6º …… 100º VALOR = …………………………………………….. 1º 1 2º 1+2 3º 1+2+3 4º 1+2+3+4 1 3 6 10 LEY: LEY: …… 20 LEY: PUESTO VALOR 6º VALOR = …………………………………………….. 2 PUESTO VALOR 5º 5º 6º …… 100º VALOR = …………………………………………….. 1º 1 2º 5 3º 9 4º 13 5º 17 VALOR = …………………………………………….. Proyecto Auritzken 6º …… 100º
- 3. SESIÓN 1 4 2.- Tenemos 100 candados en una caja y las 100 llaves que los abren en otra, pero no sabemos qué llave corresponde a cada candado. Queremos saber, en el peor de los casos, cuántas pruebas tenemos que hacer para juntar cada candado con su llave. Como son muchos los candados, vamos a ir estudiando sistemáticamente lo que pasa cuando el número de candados y de llaves es más pequeño. Rellena la siguiente tabla con los primeros casos particulares. Nº de candados/llaves Nº de pruebas 2 3 4 5 ---- 100 ¿Hay alguna ley que relaciona los números de la primera fila (candados) con los números de la segunda fila (pruebas)? Si la aplicas al caso 100 candados, ¿cuántas pruebas serán necesarias? *3.- Continúa las series siguientes: 15, 25, 20, 30, 25, 35, 30, 40, …………………………………………………… 3, 1, 6, 2, 9, 3, 12, 4, 15, 5,……………………………………………………….. 1/5, 8/2, 3/11, 14/4, 5/17, 20/6, 7/23, 26/8,……………………………………… 2/4, 10/12, 18/20, 26/28, 34/36, 42/44, 50/52,………………………………….. PUESTO VALOR 1º 2 Proyecto Auritzken 2º 2 3º 3 4º 3 5º 2 6º 2 7º 3 8º 3 9º 2 ----- 100º 3 101º
- 4. SESIÓN 2 1.- Es fácil observar que cuantos más puntos dibujamos sobre una recta, más segmentos diferentes se determinan. ____|_______|_____ A B Dos puntos (A y B) Un segmento (AB) __|_____|______|__ A B C Tres puntos (A, B y C) Tres segmentos (AB, AC, BC) Rellena la siguiente tabla para estudiar la relación que existe entre número de puntos y número de segmentos diferentes. Nº de puntos Nº de segmentos 2 1 3 3 4 5 6 ……… ……….. ¿Te resultan familiares los números de la segunda fila? ¿Cuál es la ley que parece relacionar el número de puntos con el número de segmentos? LEY Nº de segmentos = ………………………………………………………….. Si hemos dibujado 20 puntos, hemos determinado Proyecto Auritzken segmentos
- 5. SESIÓN 2 2.- Hemos encontrado una “formula” escrita en un papiro. 4 n2 - 4 n - 1 Reemplazamos la letra n en la fórmula por números enteros y observamos lo que ocurre. Rellena la tabla: Si n vale 2 3 4 5 6 7 8 9 ….. 4n2 – 4n – 1 vale ¿Podemos asegurar que el valor de 4n22 – 4n – 1 será siempre un número primo? *3.- Continúa estas series: Proyecto Auritzken
- 6. SESIÓN 3 1 1.- Observa cómo se va ampliando sistemáticamente el mosaico. Están dibujados los mosaicos de longitud 3, 5, 7 y 9. Debajo se indica el número de azulejos blancos y negros que lo forman. Dibuja tú el siguiente mosaico de longitud 11 y cuenta cuántos azulejos blancos y negros tiene. Buscar la ley que relaciona la longitud del mosaico con el número de azulejos. Aplica tu descubrimiento en este caso particular: LONGITUD DEL MOSAICO 23 Nº DE AZULEJOS BLANCOS: Nº DE AZULEJOS NEGROS: Proyecto Auritzken
- 7. SESIÓN 3 2 2.- Observa los siguientes dibujos. Una recta determina en el plano dos regiones infinitas. Dos rectas secantes determinan cuatro regiones infinitas. Tres rectas, secantes dos a dos, determinan una región finita y seis infinitas. Investiga, a borrador, lo que ocurre al ir aumentando el número de rectas. Dibuja siempre el caso general, es decir, no dibujes rectas paralelas, ni tres rectas que pasen por un mismo punto. Rellena la siguiente tabla con tus descubrimientos. Nº de rectas Nº máximo de puntos de corte Nº máximo de regiones infinitas Nº máximo de regiones finitas 1 0 2 1 3 3 4 5 6 ….. …… 2 4 6 ……. 0 0 1 20 ……. *3-. Estudia cómo aumenta el número de cuadrados necesarios para dibujar estas cruces a medida que aumenta la longitud de los brazos de las cruces. Rellena la tabla. Busca una ley general para rellenar la última casilla. LONGITUD DE LA CRUZ 3 5 Nº DE CUADRADOS 5 9 Proyecto Auritzken 7 9 11 13 … 99
- 8. SESIÓN 4 1- El tablero de ajedrez es un reticulado formado por 64 (8 x 8) casillas cuadradas. Disponemos de una plantilla cuadrada (2 x 2) que se puede superponer sobre cuatro casillas del tablero de ajedrez. Hay muchas formas de colocar la plantilla. Por ejemplo. Investiga de cuántas formas podemos colocar la plantilla sobre el tablero, de forma que cubra exactamente cuatro casillas. Haz un buen recuento sistemático. SOLUCIÓN: Investiga el mismo problema, cuando las plantillas, en lugar de ser 2 x 2, son de 3 x 3, 4 x 4, 5 x 5, ... Completa la tabla con tus descubrimientos. TAMAÑO DE LA PLANTILLA FORMAS DIFERENTES DE COLOCARLA 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 Observa los resultados de la tabla y trata de generalizar. ¿De cuántas formas podríamos colocar una plantilla 3 x 3 sobre un tablero (20 x 20)? SOLUCIÓN: Proyecto Auritzken
- 9. SESIÓN 4 * 2.- El triángulo de Pascal Fila 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 21 8 28 6ª 6 21 70 5ª 1 15 35 56 1 5 20 35 4ª 4 10 15 3ª 1 6 10 6 1 3 4 5 2ª 2 3 1 1ª 1 7 56 7ª 1 28 8ª 8 1 9ª 10ª 11ª Fíjate en cómo se van rellenando las filas. Busca la ley de formación. Continúa rellenando las dos filas siguientes de la tabla. Investiga a qué es igual la suma de los números de una fila. Rellena la siguiente tabla con tus cálculos. FILA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 SUMA ¿Qué relación hay entre el número de la fila y la suma de los números de esa fila? Aplica tu descubrimiento. Proyecto Auritzken 10