control estadistico de procesos-prueba de hipotesis

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“PRUEBA DE HIPÓTESIS”
CONTROL ESTADÍSTICO DE
PROCESOS
“PRUEBA
DE
HIPÓTESIS”
IV – “A”

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"AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL
COMPROMISO CLIMÁTICO"
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SAN LUIS GONZAGA” DE ICA
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN
Curso : CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS
Doctor : Dr. ORLANDO GABRIEL HERNÁNDEZ
Año : IV - “A”
Turno : MAÑANA
Autores : CARRILLO MAMANI, GERALD
FLORES JAUJE, LUIS
HUARIPAUCAR GAMBOA, SONIA
OCHOA SUAREZ, GIUSEPI
2014

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INTRODUCCIÓN
Es evidente que las distribuciones muestrales, vistas en el capítulo
anterior, basadas en la teoría de la distribución normal, desarrollan un
papel de gran importancia en la inferencia estadística.
La inferencia estadística comprende dos partes principales, a saber: la
estimación de parámetros y la prueba o docimasia de hipótesis. En este
capítulo estudiaremos la segunda de ellas, con el fin de desarrollar
métodos y observar su aplicación a problemas corrientes de la vida
diaria.
La inferencia estadística está basada en el supuesto de tomar muchas
muestras, todas con igual probabilidad de ser seleccionadas y a través
de una de ellas sabremos algo acerca de la población, mediante el cálculo
de estimadores, que nos permitan hacer aseveraciones, incorrectas
algunas veces, estableciéndose la probabilidad de error.
Este método se basa en la aplicación de técnicas de muestreo, para lo
cual se requiere de un buen diseño, además de la aplicación de métodos
aleatorios de selección, cuando las probabilidades son iguales para cada
elemento de una población. En algunos casos no requieren ser iguales,
siempre que se conozcan y sean diferentes a cero.
CONTENIDO
 Conceptos generales, usos y procedimientos de aplicación.
 Pruebas de hipótesis con aplicaciones en distribuciones de:
Medias, Proporciones.
 Teoría de las muestras pequeñas. Distribución “t” de Student.

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Definición:
Es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa,
extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis
previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de una
población.
Denominada también prueba de significación, tiene como objeto principal
evaluar suposiciones evaluar suposiciones o afirmaciones acerca de los
valores estadísticos de la población denominados parámetros.
Hipótesis estadística: es un supuesto acerca de un parámetro o acerca de
algún valor estadístico de una Población. Con ello encontramos que no todas
las hipótesis son hipótesis estadísticas. Se debe tomar con referencia a un
parámetro, ya sea una media aritmética, una proporción o varianza para que
sea hipótesis estadística.
Ejercicios:
1. Supongamos que se efectúan 100 lanzamientos de un amoneda y que
se obtienen 60 caras (40 sellos). Vamos a probar la “legitimidad de la
moneda” (que no esté cargada) tomando en cuenta que al lanzar 100
monedas, lo lógico sería que cayeran 50 caras y 50 sellos. Sin
embargo, al realizar el experimento, encontramos que envés de
obtener las 50 caras, se presentan 60; esta pequeña diferencia puede
llevarnos a pensar, que la probabilidad de presentación de cara es
mayor que la de sello, dicho en otras palabras que la moneda está
cargada.
Determinaremos en primer lugar la probabilidad de que se obtengan
60 caras o más.
Una hipótesis estadística, también puede considerarse como la afirmación acerca
de una característica ideal de una población sobre la cual hay inseguridad en el
momento de formularla y que, a la vez es expresada de tal forma que puede ser
rechazada

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µ=np 𝜎 = √ 𝑛𝑝𝑞
µ = (1/2)100= 50 σ= √100 (
1
2
) (
1
2
) = √25 = 5
Al determinar la probabilidad de que en el lanzamiento de 100 monedas
obtengamos 60 caras o más, utilizamos la distribución normal, como
aproximación a la binomial.
𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
59.5−50
5
= 1.9
El área es igual a 0.4713
0.5000- 0.4713 = 0.0287
p (x≥60)= 2.87%
Se observa que la probabilidad de que se obtengan 60 caras o más, al lanzar
100 monedas, es de 2.87 % lo que se considera como una probabilidad muy
pequeña. Se puede concluir:
a. Que la hipótesis es cierta (la moneda es legitima) pero ha sucedido
algo raro.
b. La hipótesis no es correcta (luego la moneda no es legítima).
La hipótesis puede ser formulada con el fin de rechazarla de acuerdo
con el análisis estadístico. Esta clase de hipótesis se denomina
hipótesis nula y se representa por 𝐻0. Se tiene también la hipótesis
alternativa representada por 𝐻 𝑎: 𝜇 ≠ 50 (que el número de caras sea

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mayor o menor de 50), es decir la moneda no es legítima o está
cargada.
Tipo de Error
En la decisión anterior de aceptar o rechazar una hipótesis pueden
cometerse dos tipos de error.
a) Aceptar una moneda que es falsa (error tipo II). Aceptar las hipótesis
cuando ha debido rechazarse.
b) Rechazar una moneda que es verdadera (error tipo I). rechazar la
hipótesis cuando ha debido aceptarse.
Existen por lo tanto dos posibles decisiones: aceptar o rechazar la
hipótesis, la que a la vez, puede ser cierta o falsa.

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Tipos de Error
Si se acepta una hipótesis verdadera la decisión es correcta.
Si se acepta una hipótesis falsa. Cometemos error de tipo II.
Si rechazamos una hipótesis verdadera, cometemos error tipo I.
Si rechazamos una hipótesis falsa, la decisión es correcta.
EJEMPLO:
A. Supongamos que se detiene a una persona por robo y se le envía al
juez quien podrá declararlo inocente o culpable. Al juez se les
presenta los PRO Y los CONTRA y con base en toda la información,
decide dejar libre o condenarlo. El juez no sabrá si hubo error en su
decisión, solo lo podrá saber la persona que ha sido juzgada.
D
E
C
I
S
I
O
N
E
S
Persona Juzgada
Del Juez Inocente Error
LIBRE CONDENADO ERROR
CONDENADO ERROR DECISIÓN
CORRECTA
HIPOTESIS NULA y ALTERNATIVA
Se ha dicho que una hipótesis estadística es un supuesto concerniente a los
parámetros de la forma o la forma de distribución de probabilidad
correspondiente a una o más poblaciones dadas. En otras palabras, se
resumen diciendo que corresponde a un enunciado acerca del valor
estadístico (parámetro poblacional baja).
La hipótesis se debe formular en forma correcta o lógica y debe ser
enunciada antes de obtener los datos muéstrales. Son ejemplos de hipótesis
estadística:
a) El promedio de calificación que tendrán los alumnos en mi curso de
estadística será superior a 4.0.
b) El 90% de mis estudiantes aprobaran el curso
c) El 5% de las unidades producidas por una maquina serán defectuosas.

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Hay dos tipos de hipótesis que se debe formular: la hipótesis nula
simbolizada por 𝐻0 y la hipótesis alternativa por 𝐻 𝑎.
La hipótesis nula es aquella por medio de la cual se hace una afirmación
sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestrual.
Cuando el fabricante dice que su producto tiene una duración de 5000 horas,
se le considera como hipótesis nula, pues es lo que se quiere probar.
La hipótesis alternativa, es toda aquella hipótesis que difiera de la hipótesis
nula, es decir ofrece una alternativa afirmando que la hipótesis nula es falsa
para ejemplo se podría decir que la hipótesis alternativa podría ser:
a) El fabricante ha exagerado la duración de su producto (prueba
unilateral a la izquierda)
b) El producto tiene una duración superior al señalado por el fabricante
(prueba unilateral la derecha)
c) La duración del producto no es la señalada por el fabricante (prueba
bilateral)
Prueba unilateral y bilateral
La prueba de hipótesis unilateral es aquella en la cual la zona de rechazo o
zona crítica está completamente comprendida en unos de los extremos de
la distribución. La prueba es unilateral a la derecha (de la curva); cuando la
hipótesis alternativa de la que se quiere probar hace mención por ejemplo a
los salarios que paga una empresa son mayores; que la calidad de un
producto es superior; que el rendimiento académico es mejor, etc. Si, por
contrario, la hipótesis alternativa se refiere a los salarios son inferiores que
el producto es de menor de calidad que el rendimiento académico es bajo o
que el productor exagera la duración del producto, etc.; corresponderá a
una prueba unilateral a la izquierda.
En el caso de que la prueba comprenda áreas o zona de rechazo y no en los
extremos de la distribución, se dice que la prueba es bilateral asea que la
hipótesis alternativa es diferente; por lo tanto se omiten los términos:
superior, mayor, inferior, bajo, menor, etc.

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Nivel de significación y puntos críticos
Se entiende por nivel de significación, la máxima probabilidad de que
especifique, con el fin de ser mínimo el primer tipo de error. Generalmente,
esta probabilidad se fija antes de escoger la muestra.
a) El nivel de significación de simboliza por alfa (α) siendo generalmente
del 1%, 5% o 10%, pero se puede usar cualquier nivel dependiendo
del tipo de investigación que se adelante. Existe la costumbre de
trabajar con el nivel de 0.05 ósea del 5%, especialmente cuando el
enunciado del problema no lo da. Cuando se trabaja con un nivel del
5% el resultado es significativo; si se emplea el 1%, el resultado.
El valor del nivel de significación corresponde a un área bajo la curva de
probabilidad o normal, denominada región critica o zona de rechazo. Se
tendrán casos en que la región critica este situado a la derecha de la curva y
se dirá que se trata de una docima unilateral. Si se sitúa a la izquierda será
una docima unilateral hacia la izquierda. En caso de tener de tener dos
regiones críticas, se hablara de una docima bilateral.
En las docimas unilaterales se tomara el valor total de alfa; para las docimas
bilaterales alfa se dividirá por dos. La región no sombreada o no cubierta por
el nivel de significación se determinara zona de aceptación o de no rechazo.
Grafica de regiones criticas
a) Docima unilateral hacia la derecha con α = 0.05
b) Docima unilateral hacia la izquierda con α = 0.05
c) Docima bilateral con α = 0.05
Procedimiento a seguir en las pruebas hipótesis
1. Formular la hipótesis nula, y la alternativa
2. Seleccionar el nivel de significación
3. Conocer a estimar la varianza
4. Determinar la técnica y la prueba de estadística
5. Determinar los valores críticos y sus regiones de rechazo
6. Calcular los datos muestrales, utilizando las formulas
correspondientes.
7. Tomar la decisión estadística.

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Ampliaremos el resumen anterior; para ello se recomienda tener
presente, además de los siguientes pasos, las alternativas que se dan
para cada situación especial.
1.- Establecer las hipótesis Ho: hipótesis nula
Ha: hipótesis alternativa
a) En el caos de la moneda se podrían presentar las hipótesis de la
siguientes formas:
Ho: µ=50 Ho: µ= 50 Ho: µ=50
Ha: µ≠50 Ha: µ< 50 Ha: µ >50
(Docima Bilateral) (Docima Unilateral a la izquierda)
(Docima Unilateral a la derecha)
b) En el caso de una distribución de diferencias entre dos medias
muestrales, puede plantearse, así:
Ho: µx= µy Ho: µx= µy Ho: µx= µy
Ha: µx≠ µy Ha: µx >µy Ha: µx < µy
c) En las proporciones se escribirá para cada caso, así:
Ho: µp= 0.50 Ho: µp= 0.50 Ho: µp= 0.50
Ha: µp≠ 0.50 Ha: µp >0.50 Ha:
µp<0.50
d) Diferencias entre dos proporciones:
Ho: µp1= µp1 Ho: µp1= µp1 Ho: µp1=
µp1

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Ha: µp2≠ µp2 Ha: µp2 >µp2 Ha: µp2<
µp2
2.- Elegir riesgo α= %
Los niveles de significación más utilizados son:
a) α=0.05 ó 5%
b) α= 0.01 ó 1%
c) α= 0.10 ó 10%
3.- Se establecen riesgos supuestos
a) La muestra es aleatoria.
b) La población es normal.
c) La varianza poblacional es conocida (en la mayoría de casos como no se
conoce es estimada).
4.- Se formula la respectiva variante estadística.
a) Distribución normal: 𝑍 =
x−u
𝜎
b) Distribución de medias muestrales: 𝑧 =
𝑥̅
𝜎/√ 𝑛
o 𝑧 =
𝑥̅−µ
𝑠/√ 𝑛
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 > 30
c) Distribución de proporciones muestrales: 𝑧 =
𝑝−𝑃
√
𝑝𝑞
𝑛
siendo n>30
d) Distribución de diferencias entre dos medias muestrales:
𝑧 =
(𝑥̅− 𝑦̅)−(𝜇𝑥−𝜇𝑦)
√ 𝜎 𝑥
2
𝑛1
+
𝜎 𝑦
2
𝑛2
O 𝑧 =
(𝑥̅− 𝑦̅)−(𝑢 𝑥−𝑢 𝑦)
√ 𝑠 𝑥
2
𝑛1
+
𝑠 𝑦
2
𝑛2
(Siendo 𝑛1 y 𝑛2 mayores que 30)
e) Distribución de diferencias entre dos proporciones muestrales:

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𝑧 =
(𝑝1 − 𝑝2) − (𝜇 𝑝1 − 𝜇 𝑝2)
√
𝑝1 𝑞1
𝑛1
+
𝑝2 𝑞2
𝑛2
5.- Formular los puntos críticos Z1 y Z2
a) Al trabajar con un nivel de significación del 5% de docima bilateral, se
obtendrá:
𝑧 𝑠=1.96 y 𝑧𝑖 = −1.96
b) Con el mismo nivel de significación y una docima unilateral: 𝑧 𝑠 = 1.64
si la prueba es hacia la derecha;
𝑧1 = −1.64, 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎.
6.- Descripción de la región critica:
(Bilateral con un α= 0.05)
𝑧 𝑠 ≥ 1.96 𝑧𝑖 ≤ 1.96
Docima unilateral a la izquierda
𝑧𝑖 < −1.64

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Docima Unilateral a la derecha
𝑧 𝑠 < 1.64
7.- Se le dan valores a la variante estadística, con el fin de obtener
el valor de Z.
En el ejemplo de la moneda, se tiene que: 𝑧 =
59.5−50
5
= 1.9
8.- Adoptar una decisión, se acepta o se rechaza la hipótesis nula,
al nivel de significación dado.
Siguiendo el ejemplo, donde Z=1.9 y trabajando con una docima
bilateral, además con un nivel de significación del 5% encontramos que
1. 9 se sitúa en la zona de aceptación, por lo tanto aceptamos la hipótesis
nula (𝐻0: 𝜇 = 50), es decir, es legitima o correcta (no está cargada). En
otras palabras la diferencia no es significativa.
Pruebas cuando se conoce σ o la muestra es grande
Recordemos que en los pasos que se han señalado para la realización de
una prueba, se decía (paso 3), que la varianza es conocida; esto hace
referencia a que se tiene información sobre la varianza poblacional (σ).
En el supuesto de que no se conozca deberá ser sustituida por la
varianza muestral, siempre y cuando el número de elementos que
constituyen la muestra sea mayor de 30, la cual se considera como
muestra grande. De todas formas el procedimiento y calculo será igual,
conociendo o no la varianza o la desviación típica poblacional.

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Prueba de hipótesis cuando se conoce y no se
conoce el error estándar de la población σ, siendo
n > 30
Recordemos que en los pasos que se han señalado para la realización de
una prueba, se decía que la varianza es conocida, esto hace referencia a
que se tiene información sobre la varianza poblacional (σ). En el
supuesto de que no se conozca deberá ser sustituida por la varianza
muestral, siempre y cuando el número de elementos que constituyen la
muestra sea mayor a 30, la cual se considera como muestra grande. De
todas formas el procedimiento y calculo será igual, conociendo o no la
varianza o la desviación típica poblacional.
Distribución de medias muéstrales
Veamos algunos ejemplos, cuando se conoce la varianza poblacional y
cuando es desconocida. Como orientación en este último caso, por lo
general, después de señalar el tamaño de la muestra, y su media, vendrá
la identificación de la desviación típica, evitando que se confunda la
desviación o la varianza poblacional con la de la muestra.
Ejemplos:
1. un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una
embotelladora por su deficiente llenado que debe ser, en
promedio, de 32.5 onzas. Para ello toma una muestra de 60
botellas, encontrando que el contenido medio es de 31.9 onzas de
líquido. Se sabe que la maquina embotelladora debe producir un
llenado con una desviación típica de 3.6 onzas. ¿Puede el inspector
llegar a la conclusión, a un nivel de significación del 5 %, que se
está llenando las botellas por debajo de su especificación de
contenido?

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Datos Solución
µ = 32.5
σ = 3.6
n = 60
𝑥̅ = 31.9
a) 𝐻0 : µ = 32.5
𝐻 𝑎 : µ < 32.5
b) α = 0.05
c) z =
31.9−32.5
3.6
√60
= -1.29
como -1.29 se sitúa en la zona
de aceptación, es válida la
hipótesis nula, lo cual significa
que el inspector no debe llegar a la conclusión de que se
esté llenando y vendiendo un producto por debajo de su
especificación, al nivel del 5 %
2. un proceso está programado para empacar la cantidad, media, de
una libra (16 onzas) de café. Se toma una muestra aleatoria de 36
paquetes; resulta una media de 14.2 onzas y desviación típica de
5.3 onzas. Al nivel del 5%, ¿se podrá afirmar que no se está
cumpliendo con lo indicado en el empaque?
Datos Solución
µ = 16
n = 36
𝑥̅ = 14.2
S = 5.3
a) 𝐻0 : µ = 16
𝐻 𝑎 : µ ≠ 16
b) α = 0.05
c) z =
14.2−16
5.3
√36
⁄
z=- 2.03
Al nivel del 5% se
podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado
por la fábrica por lo tanto aceptamos la hipótesis
alternativa y rechazamos la hipótesis nula.

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3. Muchos años de experiencia en un examen de ingreso a la
universidad en ingles arroja una calificación promedio de 64, con
una desviación estándar de 8. Todos los estudiantes de cierta
ciudad, en la cual existen 64, han obtenido una calificación
promedio de 68. ¿Puede tener la certeza de que los estudiantes
de esta ciudad son superiores en inglés?
Datos Solución
µ = 64
σ = 8
n = 64
𝑥̅ = 68
a) 𝐻0 : µ = 64
𝐻 𝑎 : µ > 64
b) α = 0.05
c) z =
68−64
8
64
= 4
Z = 4 se ubica en la zona de rechazo por lo tanto
puede tenerse la certeza, con un nivel de
significación del 5 % que los estudiantes de
esta ciudad son superiores en inglés.

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4. Docimar la hipótesis de que la distancia media requerida para
poder detener un automóvil que va a 20 km/h. es de 25 metros.
Con base en una muestra de 100 conductores se obtiene que la
distancia media es de 𝑥̅ = 27.3 metros, con una desviación
estándar s = 2.1 metros. Utilizar un nivel de significación del 5 %.
Datos Solución
µ = 25
α = 0.05
n = 100
𝑥̅ = 27.3
S = 2.1
a) 𝐻0 : µ = 25
𝐻 𝑎 : µ ≠ 25
b) α = 0.05
c) 𝑧 =
27.3−25
2.1
√100
= 10.95
La distancia media requerida es diferente a 25 mts,
al nivel del 5%

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5. Cuatrocientos estudiantes, elegidos aleatoriamente se someten a
un “test” de rendimiento, obteniéndose los siguientes resultados:
𝑥̅ = 76 y s = 16, con base en esta información docimar la hipótesis
µ = 74 frente a la alternativa µ ≠ 74, al nivel del 1 %.
Datos Solución
n = 400
𝑥̅ = 76
S = 16
a) 𝐻0 : µ = 74
𝐻 𝑎 : µ ≠ 74
b) α = 0.01
c) Z =
76−74
16
√400
= 2.5
Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que µ = 74,
al nivel del 1 %

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6. Una encuesta revela que los 100 autos particulares, que
constituyen una muestra aleatoria, se condujeron a un promedio
de 12,500 km. Durante un año, con una desviación estándar de
2400 km. Con base en esta información, docimar la hipótesis
donde, en promedio, los autos particulares se condujeron a
12,000 km durante un año, frente a la alternativa de que el
promedio sea superior. Utilizar el nivel de significación del 5%.
Datos Solución
n = 100
𝑥̅ = 12,500
S = 2,400
a) 𝐻0 : µ = 12,000
𝐻 𝑎 : µ > 12,000
b) α = 0.05
c) z =
12,500−12,000
2,400
√100
= 2.083
rechazamos la hipótesis de que µ = 12,000, luego
aceptamos que los autos se condujeron durante un nivel
superior en ese año, al nivel del 5%

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7. Una fábrica de cuerdas ha establecido con base en una experiencia
de muchos años, que las cuerdas tienen una fuerza de ruptura de
15.9 libras, con una desviación estándar de 2.3 libras. Se efectúa
un cambio en el proceso de fabricación, y se obtiene una muestra
de 64 artículos cuya fuerza media de ruptura es de 15.0 libras.
¿Debe considerarse que el nuevo proceso tiene un efecto
significativo negativo a la resistencia de las cuerdas?
Datos Solución
µ = 15.9
σ = 2.3
n = 64
𝑥̅ = 15
a) 𝐻0 : µ = 15.9
𝐻 𝑎 : µ < 15.9
b) α = 0.05
c) Z =
15−15.9
2.3
√64
= - 3.13
Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto aceptamos
que el nuevo proceso tiene un efecto significativo
negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel
del 5%

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8. Los salarios diarios en una sector de la industria están
distribuidos normalmente con una media de $ 13,200 y una
desviación estándar de $ 2,500. Si una empresa del sector, que
cuenta con 40 obreros, paga, en promedio, $ 12,200, ¿puede
decirse que esta compañía paga salarios inferiores al nivel de
significación del 1%?
Datos Solución
µ = 13,200
σ = 2,500
n = 40
𝑥̅ = 12,200
a) 𝐻0 : µ = 13,200
𝐻 𝑎 : µ < 13,200
b) α = 0.01
c) z =
12,200 − 13,200
2,500
√40
=
− 1,000
2,500
6.33
= -2.53
Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede
decir que la compañía paga salarios inferiores, al nivel
del 1%

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9. Un distribuidor de botas especiales de trabajo le garantiza al jefe
de una empresa que el promedio de duración de las botas es de 8
meses con una desviación típica de mes y medio. El cliente de la
empresa decide comprar 36 pares de botas, que en promedio
duran 8 meses 10 días. ¿Tiene razón el fabricante con un nivel
de significación del 5%?
Datos Solución
µ = 8
σ = 1.5
n = 36
𝑥̅ = 8.33
a) 𝐻0 : µ = 8
𝐻 𝑎 : µ ≠ 8
b) α =0.05
c) z =
8.33−8
1.5
√36
=
0.33 (6)
1.5
= 1.32
Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%

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10.- un fabricante de aparatos de calefacción, tiene un proveedor que le
suministra ciertos componentes, que tienen como especificación una
resistencia de 400 °C al calor. El fabricante realiza una selección al azar
de 64 de dichos componentes y comprueba que si resistencia media al
calor es de 395 °C, con desviación estándar de 20 °C. ¿Puede llegar a la
conclusión de que su proveedor no sostiene las especificaciones
acordadas, a un nivel de significación del 5%?
Datos Solución
µ = 400
α = 0.05
n = 64
𝑥̅ = 395
S = 20
a) 𝐻0 : µ = 400
𝐻 𝑎 : µ ≠ 400
b) Z =
395−400
20
√64
= - 2
El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas,
al nivel del 5%

24
𝑧 =
𝑝 − 𝑃
√
𝑝𝑞
𝑛
Distribución de proporciones
Los procedimientos de decisión de las proporciones son similares a los
ya indicados para las medias, salvo que por lo general la desviación
típica y por ende el error estándar de la proporción se calcula con datos
obtenidos en la muestra, la cual debe tener, en este, caso más de 30
elementos.
Su fórmula:
1.-Por estadística que se tienen, se ha podido establecer que por lo
menos el 40% de los jóvenes toman regularmente coca- cola, cuando
tiene sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes revelo que 200 de ellos
solían tomar dicha bebida, cuando tenían sed. ¿Cuál podría ser su
conclusión al nivel del 1%, acerca de lo que muestran las estadísticas?
Datos Solución
p =200/450
= 44%
n = 450
q = 250/450
= 0.56
a) 𝐻0: 𝑃 = 0.40
𝐻1: 𝑃 ≠ 0.40
b) α = 0.01
𝑍 =
0.44 − 0.40
√0.44(0.56)
450
= 1.71

25
z= 1.71 se ubica en la zona de aceptación,
luego al nivel del 5%, la conclusión a que se
llega, es la de aceptar el 40% que arrojan las
estadísticas; por lo tanto no hay razón para
rechazarlas.
2.-una empresa al seleccionar su personal lo somete a un curso de
entrenamiento. Por experiencia, el 76% de los aspirantes aprueban el
curso. Se efectúan en el programa para la cual se inscriben 40 y
aprueban 24. ¿Podría afirmarse que los cambios introducidos reducen
la selección? 1%
Datos Solución
n = 40
p = 24/40
= 0.60
q = 0.40
a) 𝐻0: 𝑃 = 0.76
𝐻1: 𝑃 < 0.76
b) α = 0.01
c) 𝑧 =
0.60−0.76
√
(0.6)(0.4)
40
= -2.07
Como -2.07 cae en la
región de aceptación, no
reducen la selección los
cambios introducidos, al
nivel del 1%

26
3.- el fabricante de cierto producto estima tener el 50% del mercado de
la categoría del producto. Al realizar un sondeo en una muestra
probabilística de 400 consumidores de la categoría del producto, 180 de
ellos indicaron ser consumidores. ¿Es correcta la estimación hacha
por el fabricante? (5 %)
Datos Solución
P = 0.50
n = 400
p = 0.45
α = 0.05
a) 𝐻0: 𝑃 = 0.50
𝐻1: 𝑃 ≠ 0.50
b) 𝑧 =
0.45− 0.50
√
(0.45)(0.50)
400
= −2
No es correcta la estimación hecha por el
fabricante, al nivel del 5%

27
4.- por evidencia experimental se sabe que cierta droga pediátrica es
eficaz en un 80% de los casos, cuando está correctamente administrada.
Se aplica dicha droga a 400 niños y se obtienen únicamente 300
resultados positivos. ¿Puede considerarse este resultado como
evidencia de que la droga no estuvo bien administrada? (1%)
Datos Solución
P = 0.80
n = 400
p = 0.75
α = 0.01
a) 𝐻0: 𝑃 = 0.80
𝐻1: 𝑃 < 0.80
b) 𝑧 =
0.75−0.80
√
(0.75)(0.25)
400
= −2.27
Este resultado si puede ser considerado como
evidencia de que la droga estuvo bien
administrada, al nivel del 1%

28
TABLA DE DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT
Grados
de
libertad
Nivel de significación para pruebas de una cola
0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
Nivel de significación para pruebas de dos colas
0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01
1
2
3
4
5
1.0000
0.8165
0.7649
0.7407
0.7267
3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
31.8207
6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
63.6574
9.9248
5.8409
4.6041
4.0322
6
7
8
9
10
0.7176
0.7111
0.7064
0.7027
0.6998
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
11
12
13
14
15
0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1315
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
16
17
18
19
20
0.6901
0.6892
0.6884
0.6876
0.6870
1.3368
1.3334
1.3304
1.3277
1.3253
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.5835
2.5669
2.5524
2.5395
2.5280
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453
21
22
23
24
25
0.6864
0.6858
0.6853
0.6848
0.6844
1.3232
1.3212
1.3195
1.3178
1.3163
1.7207
1.7171
1.7139
1.7109
1.7081
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.5177
2.5083
2.4999
2.4922
2.4851
2.8314
2.8188
2.8073
2.7969
2.7874
26
27
28
29
30
0.6840
0.6837
0.6834
0.6830
0.6828
1.3150
1.3137
1.3125
1.3114
1.3104
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.4786
2.4727
2.4671
2.4620
2.4573
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
40 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045
60 0.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603
120 0.6765 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174
 0.6745 1.2816 1.6449 1.9600 2.3263 2.5758

29
Distribución de las medias muestrales
Cuando el problema de la desviación típica muestral y el tamaño de la
muestra es menor o igual a 30 (n ≤ 30), se considera que esta sin
corregir, procediendo a su corrección, para ser aplicada en la variante
estadística “t”. Simbolicemos a 𝑆̂ (desviación típica sin corregir) y S
(desviación típica corregida).
𝑠 = 𝑠̂√
𝑛
𝑛 − 1
𝑠 = √
∑(𝑥1 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
= √
∑ 𝑥𝑖
2
− 𝑛𝑥̅2
𝑛 − 1
También se le puede corregir directamente, al calcular la variante
estadística:
𝑡 =
𝑥̅ − 𝜇
𝑠̂
√ 𝑛 − 1
Ejemplo:
1. Una muestra de 25 observaciones tiene una media de 42.0 y una
desviación de 8. Trabajando con un nivel de significación del 1%.
¿existe razón para rechazar la hipótesis de que la media de la
población es 46.0?
Datos: Solución:
n =25
𝑥̅=42
𝜇=46
ŝ = 8
𝛼 = 0.01
𝐻0 : 𝜇 𝑥 = 46
𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑥 ≠ 46
𝑡 =
𝑥̅ − 𝜇
𝑠̂
√ 𝑛 − 1

30
𝑡 =
42 − 46
8
√25 − 1
t = -
4
8
√24
t = -2.45
gl= n-1=25-1=24
Tabla “t” => 2.7969
Respuesta: Se acepta la hipótesis de que 𝜇= 46,
es decir, no existe razón para rechazar, que la
media de la población es 46, al nivel de confianza
del 1%.
 Es necesario observar que si el nivel de significación, como en este
ejemplo, es de 𝛼=0.01, se tomara el mismo nivel para cada una de
las zonas críticas (zona de rechazo) tal como aparece en la tabla
donde dice “nivel de significación para pruebas de dos colas”
 En caso de que sea de una cola, suponiendo que 𝛼=0.05, debe
observarse, en la tabla, donde dice, “nivel de significación para
pruebas de una cola”, es decir, debe corresponder al doble para
pruebas de dos colas, así que a pesar de ser 𝛼=0.05, se está
trabajando con 𝛼=0.10.

31
2. Una inspectora de calidad, investiga las acusaciones contra una
fábrica de cerveza, porque no llena bien sus envases, afirmando
que contienen 35 onzas de líquido. Se muestrearon 28 latas de
cerveza, encontrando un contenido medio de 33.2 onzas, con una
desviación estándar de 2.2 onzas. ¿Debe la inspectora llegar a la
conclusión, al nivel del 5%, que se está exagerando su
contenido?
Datos: Solución:
n = 28
𝑥̅ = 33.2
ŝ = 2.2
u = 35
𝛼 = 0.05
𝐻0 : 𝜇 𝑥 = 35
𝐻 𝑎 : 𝜇 𝑥 < 35
𝑡 =
𝑥̅ − 𝜇
𝑠̂
√ 𝑛 − 1
𝑡 =
32.2 − 35
2.2
√28 − 1
t = -
2.8
2.2
√27
t = -4.25
gl= n-1=28-1=27
Tabla “t” => 1.703
Obsérvese como se
tiene el valor del
punto crítico,
siendo
𝛼 = 0.05 (nivel de
significación),
localizamos el 0.05 donde dice la prueba de una sola cola, y
encontramos que equivale al 10%, en las pruebas de dos colas, es
decir el doble, por lo tanto siendo el grado de libertad de 27 y el
punto crítico del 0.10 será de 1.703 y como se localiza a la
izquierda se le da signo negativo.
Respuesta: Al nivel del 5%, el inspector si puede llegar a la
conclusion de que se esta exagerando el llenado

32
3. Un fabricante desea hacer, a fin de aumentar sus ventas, que el
contenido de nicotina de sus cigarrillos tiene un promedio inferior
a los 22mg. Una oficina gubernamental de salud y del medio
ambiente, realiza un análisis de 10 cigarrillos y obtiene los
contenidos de nicotina para cada uno, siendo de: 21, 24, 18, 16, 22,
23, 20, 20, 24, 16.
a. ¿tiene justificación lo aseverado por el fabricante?
b. ¿Cuándo cometería un error de tipo 1?
Datos: Solución:
n=10
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
=
204
10
= 20.4
𝜇 = 22
𝛼 = 0.05
𝐻0 : 𝜇 = 22
𝐻 𝑎 : 𝜇 < 22
s = √ 𝜮 𝒙 𝒊
𝟐 − 𝒏𝒙̅
𝟐
𝒏−𝟏
𝑠 = √
4242 − 10 (20.4)²
10 − 1
𝑠 = √
4242 − 10 (16.16)
9
S= 2.99
t =
𝑥̅–𝑢
𝑆
√ 𝑛
t =
20.4 − 22
2.99
√10
t=
−1.6
0.9455210204
t=-1.69
gl= n-1=10-1=9 𝛼 = 0.10
Tabla “t” => 1.833
a) No hay justificacion
al nivel del 5%.
b) Aceptar que u=22
mg, cuando el contenido de nicotina es en realidad
diferente.

33
DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL
El proceso a seguir, en la correccion de la desviacion típica de una
proporcion, al realizar una prueba de hipotesis, consiste en trabajar con
n-1, es decir, se resta 1 al tamano de la muestra, lo demas es igual a lo
visto hasta el momento para distribuciones de medias proporcionales.
La formula a utilizar es:
t =
𝒑 − 𝑷
√
𝒑.𝒒
𝒏 − 𝟏

34
EJEMPLOS:
1. Se dice con frecuencia que la proporción de funcionarios públicos
que tienen el hábito de fumar en horas de trabajo es del 42%. La
oficina gubernamental de salud desea realizar una campaña a fin
de disminuir este porcentaje, para ello debe comprobar ese
porcentaje, así que decide realizar una investigación por
muestreo a 25 funcionarios encontrando que 13 de ellos fuman.
¿Al nivel del 1% la oficina puede aceptar el porcentaje del 42%
como indicador?
DATOS: SOLUCIÓN:
𝝁 𝒑 = 𝑷 = 𝟒𝟐%
p =
13
25
= 0.52
n =25
𝛼 = 0.01
𝐻0: 𝜇 𝑝=0.42
𝐻 𝑎: 𝜇 𝑝 ≠0.42
t =
𝒑 − 𝑷
√
𝒑.𝒒
𝒏 − 𝟏
t =
0.52 − 0.42
√
0.52 . (0.48)
25 − 1
t =
0.1
√
0.2496
24
t =
0.1
0.1019803903
t= 0.98
gl= n-1=25-1=24 𝛼 = 0.01
Tabla “t” => 2.797
Respuesta: Si hay razon para aceptar el % de
42, como indicador de fumadores en horas de
trabajo, al nivel del 1%.

35
2. El distribuidor de una maquina afirma que el máximo de
elementos defectuosos por hora que presente su funcionamiento
es del 3%. En una determinada hora, se toman como muestra 20
artículos producidos, los que a su vez son sometidos a control,
encontrando un artículo defectuoso. ¿Al nivel del 5% se podrá
decir que el % de defectuosos es superior al señalado por el
distribuidor?
DATOS: SOLUCIÓN:
𝝁 𝒑 = 𝑷 = 𝟑%
p =
1
20
= 0.03
n =20
𝛼 = 0.05
𝐻0: 𝜇 𝑝=0.03
𝐻 𝑎: 𝜇 𝑝>0.03
t =
𝒑 − 𝑷
√
𝒑.𝒒
𝒏 − 𝟏
t =
0.05 − 0.03
√
0.05 (0.95)
20 − 1
t =
0.02
√
0.0475
19
t =
0.02
0.05
t= 0.4
gl= n-1=20-1=19 𝛼 = 0.1
Tabla “t” =>1.729
Respuesta: No se puede concluir que el
porcentaje de defectuosos sea superior al
señalado por el distribuidor, al nivel del 5%.

36
CONCLUSIÓN
Si se condensan los resultados hasta aquí obtenidos, a manera de
conclusiones se puede abordar, que todo problema de prueba de
hipótesis consiste en lo siguiente:
1. Identificar una variable aleatoria X que tiene una distribución
conocida, es decir, que pertenece a una clase determinada, por
ejemplo a las del tipo normal, y con relación a la cual se quiere
tomar una decisión respecto al valor de un parámetro
desconocido, pero asociado a ella.
2. Se plantea una hipótesis nula, donde se asume un valor para el
parámetro; y una hipótesis alternativa donde se contradice lo
expresado en la hipótesis nula.
3. Se escoge el nivel de significación a, que es la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula siendo esta cierta.
4. Se selecciona una muestra de tamaño n para estimar el parámetro
desconocido y poder posteriormente decidir si se rechaza o no H0.
5. Se define la región crítica para la prueba de hipótesis de interés.
6. Se toma la decisión de rechazar H0, con un nivel de significación a
si el valor estimado del parámetro está en la región crítica y de no
rechazar Ho si este valor no está en la región crítica.

37
RECOMENDACIÓN
 Se recomienda usar las tablas de distribución.
BIBLIOGRAFÍA
 CIRO MARTÍNEZ BENCARDINO: ESTADÍSTICA Y MUESTREO
AÑO 2008. EDICIÓN 2/R ACT UALIZADA EDICIONES ECOE.

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