Prueba de Hipotesis Est ind clase01

PRUEBA DE
HIPOTESIS I
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
Ing. William León Velásquez
TEMA 01

CONTENIDO
CONCEPTOS BÁSICOS DE
PRUEBA DE HIPÓTESIS
PRUEBA DE HIPÓTESIS
PARA MUESTRAS GRANDES
PRUEBA DE HIPÓTESIS
PARA DOS MUESTRAS
GRANDES
Ing. William León Velásquez 3

4
CONCEPTOS BÁSICOS DE
PRUEBA DE HIPOTESIS

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
 Las Hipótesis estadísticas es una
afirmación o suposición sobre
un valor de un parámetro.
Ejemplo de parámetros:
–La media poblacional.
–La proporción poblacional
 Una Prueba de Hipótesis
estadística es un procedimiento
basado en evidencia de la
muestra y la teoría de la
probabilidad para determinar si
la hipótesis es una afirmación
razonable
Ing. William León Velásquez 5 5

DETERMINACIÓN DE LA
a. Como resultado de la
experiencia o conocimientos
pasados de un proceso, o
incluso de experimentación
previa.
 El objetivo de la prueba de
hipótesis es determinar si
la situación experimental
ha cambiado.
El valor del parámetro de la población
especificado en la hipótesis se determina de tres
maneras:
6 6

b. A partir de una teoría o
modelo con respecto al
objeto que se estudia.
 El objetivo de la prueba
de hipótesis es verificar la
teoría o modelo.
7

c. Como resultado de
consideraciones
experimentales, como las
especificaciones de diseño o
ingeniería, o de obligaciones
contractuales.
 El objetivo de la prueba de
hipótesis es la prueba de
conformidad.
8

IDENTIFICACIÓN DE
HIPÓTESIS
 En una prueba de hipótesis se inicia,
asumiendo un valor de un parámetro que, a
juicio del investigador, es el más adecuado de
acuerdo con la información disponible, a este
supuesto se le llama hipótesis nula y se
representa con Ho.
•La otra hipótesis que se define
a continuación se llama
hipótesis alternativa, que es
la opuesta de lo que se afirma
en la hipótesis nula.
La hipótesis alternativa se
representa como Ha o H1
9

IDENTIFICACIÓN DE
HIPÓTESIS
Hipótesis nula Ho
– La que se contrasta
– Los datos pueden
rechazarla
– No debería ser
rechazada sin una
buena razón.
Hipótesis. Alternativa H1
– Es la negación de la H0
– Los datos pueden mostrar
evidencia a favor
– No debería ser aceptada
sin una gran evidencia a
favor.



:H
:H
1
0
0.5p 
0.5p 

 ,,
1010

EJEMPLO
¿Debo tomar Aspirina o Ibuprofeno para el dolor de
cabeza?
Laboratorios Bayer me dice que tome Aspirina 
 Existe teoría (antigua) de que lo mejor es Aspirina
 Laboratorios Cinfa me dice que tome Ibuprofeno 
 Existe teoría (nueva) de que lo mejor es Ibuprofeno
Se tiene dos teorías que
compiten.
En estadística se va a llamar
hipótesis.

DEFINICIONES
 La hipótesis nula, denotada por Ho, es el
“status quo”, lo convencional, lo que
sabemos de la población, lo aceptado
hasta el momento.
 La hipótesis alternativa, denotada por H1,
es una alternativa a la hipótesis nula –
implica cambio, es lo que el investigador
espera que sea cierto.
Ho: El nuevo medicamento es tan
efectivo como el antiguo.
H1: El nuevo medicamento es
más efectivo que el antiguo.

Problema: El tiempo de vida promedio de una
determinada pieza usada en el ensamblaje de una
marca de computadoras es de 20,000 horas.
Solución:
– Traducir a lenguaje estadístico:
– Establecer su opuesto:
– Seleccionar la Hipótesis alternativa
– Seleccionar la hipótesis nula
¿Cuál es H0?
𝜇 = 20,000
𝐻1: 𝜇 ≠ 20,000
𝜇 ≠ 20,000
13
𝐻 𝑜: 𝜇 = 20,000

Problema: ¿El colesterol medio para la dieta de
los trabajadores de las empresas textiles es 6
mmol/l?
Solución:
– Seleccionar la Hipótesis alternativa:
¿Cuál es H0?
6
6
𝐻1: 𝜇 ≠ 6
14
𝐻0: 𝜇 = 6

Problema: ¿La altura media o promedio de los
obreros de la empresa de confecciones es de
1.60 m?
Solución:
– Seleccionar la Hipótesis alternativa:
¿Cuál es H0?
60.1
60.1
𝐻1: 𝜇 ≠ 1.60
15
𝐻0: 𝜇 = 1.60

¿Cuál es H0?
 Problema: El porcentaje de personas atacadas
por cierta enfermedad laboral en una fabrica
grande, no es mayor del 10%.
 Solución:
 Traducir a lenguaje estadístico:
 Establecer su opuesto:
 Seleccionar la Hipótesis alternativa:
 Seleccionar la hipótesis nula
10.0p
10.0p
𝐻1: 𝜇 > 0.10
16
𝐻0: 𝜇 = 0.10

Problema: ¿El estrés laboral está relacionada
con el género?
Solución:
– Seleccionar la Hipótesis alternativa
0.5p 
¿Cuál es H0?
0.5p 
𝐻1: 𝑝 ≠ 0.5
17
𝐻0: 𝑝 = 0.5

 La región crítica es el conjunto de
valores de la prueba estadística
que puede causar el rechazo de la
hipótesis nula.
REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL DE
SIGNIFICACIÓN
18
Región
de no
rechazo
• El nivel de significancia
(denotado por α) es la
probabilidad de que la prueba
estadística caerá en la región
crítica cuando la hipótesis nula
es actualmente cierta.

REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL
DE SIGNIFICACIÓN
Región
de no
rechazo
• Si la prueba estadística cae en
la región crítica, se rechaza la
hipótesis nula, entonces α es la
probabilidad de cometer el error
de rechazar la hipótesis nula
cuando ésta es cierta.
• Los valores mas usados de α
son 0.05, 0.01, y 0.10.
19

Región crítica
 Valores ‘improbables’
si...
 Es conocida antes de
realizar el experimento:
resultados
experimentales que
refutarían H0
REGIÓN CRÍTICA Y NIVEL
DE SIGNIFICACIÓNNivel de significación: α
 Número pequeño: 1% , 5%
 Fijado de antemano por el
investigador
 Es la probabilidad de
rechazar H0 cuando es
cierta
No rechazo H0
Reg. Crit.
Reg. Crit.
a=0.05
H0: =40
20

PRUEBA: UNILATERAL Y
BILATERAL
 Las pruebas pueden ser unilaterales o
bilaterales (también llamados de una o dos
colas) según establezcamos las hipótesis,
 Si se define en términos de
igual y diferente se esta ante
una prueba bilateral,
 Si se coloca una dirección
(en términos de mayor o
menor) se esta ante uno
prueba unilateral
2121

PRUEBA: UNILATERAL Y
BILATERAL
La posición de la región crítica depende de la
hipótesis alternativa
Unilateral
Unilateral
Bilateral
H1:  < 40
H1:  >40
H1:   40
22

SIGNIFICACIÓN: p
 El grado de significación 'p' o 'sig' es la
probabilidad de error al rechazar la hipótesis
nula.
• Cuanto más pequeño sea
su valor más probable
será que la hipótesis nula
sea falsa.
23

El grado de significación está relacionado con
el nivel de significación es decir con el riesgo de
error que se está dispuesto a asumir en caso de
rechazar la hipótesis nula.
.
SIGNIFICACIÓN: p
24

• El grado de significación se calcula 'a posteri',
es decir cuando se conoce el resultado de
haber aplicado una prueba de significación.
• El grado de significación indica la
probabilidad de error calculada al rechazar
la hipótesis nula.
En la práctica la forma de ejecutar es
la siguiente:
Si p >= α no se rechaza la
hipótesis nula.
Si p < α se rechaza la
hipótesis nula
SIGNIFICACIÓN: p
25

SIGNIFICACIÓN: p
43X
No se rechaza H0:  =40
p es la probabilidad que tendría
una región crítica que
comenzase exactamente en el
valor del estadístico obtenido de
la muestra.
Es la probabilidad de tener una
muestra que discrepe aún más
que la nuestra de H0.
Es la probabilidad de que por
puro azar se logre una muestra
“más extraña” que la
obtenida.
p es conocido después de
realizar el experimento aleatorio.
La verificación es no significativa
cuando p>a
P
P a
a
26
H0:  =40
H1:  >40
26

SIGNIFICACIÓN: p
Pa
a
50X
Se rechaza H0:  =40
Se acepta H1:  >40
La verificación es
estadísticamente
significativa
cuando p < α
Es decir, si el
resultado
experimental
discrepa más de “lo
tolerado” a priori.
P
27
H0:  =40
H1:  >40
27

RESUMEN: α, p y criterio de
rechazo
Sobre α
 Es un número
pequeño, preelegido
al diseñar el
experimento
– Conocido a
sabemos todo sobre
la región crítica
Sobre p
– Es conocido tras
realizar el
experimento
– Conocido p
sabemos todo
sobre el resultado
del experimento
 Sobre el criterio de rechazo
 La verificación es significativa si p menor que a
(cuando se rechaza Ho)
28

H0: Hipótesis nula
– No es culpable
H1: Hipótesis alternativa
– Es culpable
– No es inocente
RIESGOS AL TOMAR DECISIONES
Ejemplo 1:
Se juzga a un individuo por la presunta ejecución
de un delito Los datos pueden rechazarla
No se rechazará si las pruebas
no indican lo contrario
Rechazarla por error tiene
graves consecuencias
No debería ser aceptada sin
una gran evidencia a favor.
Rechazarla por error tiene
consecuencias consideradas
menos graves que la
anterior
2929

RIESGOS AL CONTRASTAR
HIPÓTESIS
Ejemplo 2:
Se cree que la implementación de
un nuevo proceso ofrece buenos
resultados
Ejemplo 3:
Parece que hay una incidencia de
productos defectuosos más alta de
lo normal
3030

RIESGOS AL CONTRASTAR
HIPÓTESIS
H0: Hipótesis nula
– (Ej.1) No es culpable
– (Ej.2) El nuevo proceso no tiene efecto en los
resultados
– (Ej.3) No hay nada que destacar en los
productos
H1: Hipótesis alternativa
– (Ej.1) Es culpable
– (Ej.2) El nuevo proceso es útil
– (Ej. 3) Hay una situación anormal en los
productos
No especulativa
Especulativa
3131

TIPOS DE ERROR AL TOMAR
UNA DECISIÓN
 En este proceso podemos incurrir
en dos tipos de errores según sea
la situación real y la decisión que
tomemos.
• La verificación de la hipótesis no establece la
verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos
permite decidir SI UNA HIPÓTESIS NO SE
RECHAZA O SE RECHAZA, o
• El determinar si las muestras observadas
difieren significativamente de los resultados
esperados.
3232

TIPOS DE ERROR AL
TOMAR UNA DECISIÓN
 Si se rechaza una
hipótesis nula, cuando
debe no ser rechazada,
se comete un error de
tipo I, mientras que
 Si no se rechaza una
hipótesis nula, debiendo
ser rechazada se comete
un error de tipo II.

TIPOS DE ERROR AL
TOMAR UNA DECISIÓN
 Minimizar los errores no es un asunto
sencillo, un caso suele ser más grave
que otro y los intentos de disminuir uno
suelen producir el aumento del otro.
La única forma de
disminuir ambos a la
vez es aumentar el
tamaño de la muestra.
34

TIPOS DE ERROR AL
TOMAR UNA DECISIÓN
REALIDAD
Inocente Culpable
VEREDICTO Inocente
OK Error
Menos grave
Culpable Error
Muy
grave
OK
3535

TIPOS DE ERROR AL
CONTRASTAR HIPÓTESIS
REALIDAD
CONCLUSIÓN H0 cierta H0 Falsa
No Rechazo H0 Correcto
El tratamiento no
tiene efecto y así se
decide.
Error de tipo II
El tratamiento si tiene
efecto pero no lo
percibimos.
Probabilidad β
Rechazo H0
Acepto H1
Error de tipo I
El tratamiento no
tiene efecto pero se
decide que sí.
Probabilidad α
Correcto
El tratamiento tiene
efecto y el experimento
lo confirma.
3636

PRUEBA DE HIPOTESIS
PARA LA MEDIA.
MUESTRAS GRANDES
37

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA
MUESTRAS GRANDES
 Cuando se plantean hipótesis para la
media de una población y para la
diferencia de medias de dos poblaciones
y las desviaciones estándar
poblacionales son conocidas o el
tamaño de la muestra es grande
El estadístico de prueba está dado por:
z

CINCO PASOS PARA PROBAR UNA
HIPOTESIS PARA LA MEDIA
 En la prueba de hipótesis, se debe
establecer el valor supuesto o
hipotetizado del parámetro de la
población antes de comenzar a
tomar la muestra.
 La suposición que se desea probar
se conoce como hipótesis nula: Ho.
1. Definir la Hipótesis estadística H0 y Ha
39

PASOS A SEGUIR EN UNA
PRUEBA DE HIPOTESIS
 En base a los datos muestrales la
hipótesis nula se rechaza o no rechaza.
 Nunca se puede aceptar la hipótesis
nula como verdadera, para demostrar
sin lugar a dudas que la hipótesis es
verdadera, se tendría que conocer el
parámetro de la población.
 El no rechazo solamente significa que la
evidencia muestral no es lo
suficientemente fuerte como para llevar
a su rechazo.
40

PRUEBA DE HIPOTESIS
 Es importante recordar que, sin
importar como se determina el
problema, la hipótesis nula siempre
lleva el signo de igual ( = ).
Ejemplo:
 Si se desea probar la hipótesis de que
la media de la población es igual a 16.
 Se simbolizará y leerá de la siguiente
manera:
 “La hipótesis nula es que la media de la
población es igual a 16”.
Ho: μ= 16
4141

PRUEBA DE HIPOTESIS
 La hipótesis alternativa describe
la conclusión a la que se llegará
si se rechaza a la hipótesis nula.
 También se conoce como
hipótesis de investigación.
 La hipótesis alternativa se acepta
si los datos de la muestra
proporcionan suficiente evidencia
estadística de que la hipótesis
nula es falsa. Ing. William León Velásquez 42
42

PRUEBA DE HIPOTESIS
 Se considera tres hipótesis alternativas
posibles:
Ha: ≠ 16
Ha: > 16
Ha: < 16
 El signo de igual ( = ) nunca aparecerá
en la hipótesis alternativa. Porque la
hipótesis nula es la declaración que se
prueba, y es necesario incluir un valor
especifico en los cálculos.
 La hipótesis alternativa se considera,
sólo si se demuestra que no es
verdadera la hipótesis nula.
43

PRUEBA DE HIPOTESIS
 El estadístico de prueba es un valor
que se calcula en base a la
información de la muestra, y que se
utiliza para determinar si se
rechaza o no la hipótesis nula.
 Existen muchos estadísticos de
prueba que pertenecen a una
distribución muestral con su propia
forma, media y desviación estándar.
Z, t, χ2, F
2. Establecer el estadístico de prueba que sea
apropiado.
4444

PRUEBA DE HIPOTESIS
Ejemplo:
• En la prueba de hipótesis para la
media, el estadístico de prueba es la Z
y se calcula por:
n
X
z



45
2. Establecer el estadístico de prueba
que sea apropiado.
45

PRUEBA DE HIPOTESIS
 El nivel de significancia es la
probabilidad de rechazar la
hipótesis nula cuando es
verdadera es a lo que se llama
error Tipo I.
 El nivel de significancia se define
con la letra griega alfa (α ).
 Se le llama también nivel de riesgo.
3. Definir el nivel de significancia y la zona de
rechazo
4646

PRUEBA DE HIPOTESIS
 No hay un nivel de significancia que
se aplique a todas las pruebas.
 Se toma la decisión de utilizar los
niveles 0.05 ( que con frecuencia se
conoce como un nivel del 5%),
 Pero se puede tomar 0.01, 0.10, o
cualquiera entre 0 y 1 a elección de la
persona que realiza la prueba.
rechazo
47

PRUEBA DE HIPOTESIS
La zona de rechazo tiene:
 Una magnitud dada por α y
 Una dirección dada por la
hipótesis alternativa.
rechazo
48

PRUEBA DE HIPOTESIS
Ejemplo
49
rechazo
49

PRUEBA DE HIPOTESIS
Existe un 95% de probabilidad de que los
resultados muestrales puedan caer entre ± 1.96 si
la hipótesis nula es verdadera
Si μ = 16, existe sólo
un 2.5% de
oportunidad de que
una media muestral
produzca un valor de
Z < -1.96
Si μ = 16, existe sólo
un 2.5% de
oportunidad de que
una media muestral
produzca un valor de
Z > 1.96
50
rechazo
50

PRUEBA DE HIPOTESIS
4. Calcular el estadístico de prueba a partir
de los datos muestrales considerando
H0 como verdadera
5151

PRUEBA DE HIPOTESIS
5. Decidir si H0 no se rechaza o se
rechaza.
Y Concluir en términos del contexto
del problema.
5252

 ¿Es la experiencia, distinta de la expresada por el
fabricante al nivel de significación de 0.05?
Datos:  = 60,000 Km
σ = 5,000 Km
n = 48 llantas
a = 0.05
= 59,500 Km
EJEMPLO 1
x
 El fabricante de una llanta especial para camiones
afirma que la duración media de la parte rodante de
agarre es de 60,000 Km. La desviación estándar del
kilometraje es de 5,000 Km.
 Una empresa de transportes compró 48 llantas y
halló que la duración media para sus vehículos fue de
59,500 Km.
53

Solución:
Paso 1
Las hipótesis se expresan de la siguiente manera:
H0 :  = 60,000 Km
La duración de las llantas es de 60,000 Km
H1 :  60,000 Km
La duración de las llantas es distinta a 60,000
Km

Solución:
Paso 2
El estadístico de prueba mas apropiado.
Teniendo en cuenta que se tiene una muestra de
48 llantas y se conoce la desviación estándar de la
población
n = 48 llantas
σ = 5,000 Km
Se utilizará la distribución Z

Solución:
Paso 3
El nivel de significancia es de 0.05
Y por la hipótesis alternativa:
H1 :  60,000 Km Se trata de una prueba bilateral
En el siguiente paso es obtener el valor de “Z” y para
ello se debe apoyar en la gráfica siguiente:
Como se trata de una prueba bilateral:
Para un α= 0.05
Se calcula α/2=0.025
*Se recurre a las tablas de la
distribución normal
* Este procedimiento va depender
del tipo de tabla que se tenga
56

Solución:
Con el valor de
α/2=0.025
Se resta de 1
1- 0.025=0.975,
Luego se ubica
un valor de Z =
1.96
Para el caso de una tabla acumulativa de -∞
hasta z
57
Paso 3

Solución:
Con el valor de
α/2=0.025
Se ubica
directamente
un valor de Z =
1.96
Para el caso de una tabla acumulativa de z hasta ∞
58
Paso 3

Solución:
Paso 3
En el siguiente paso es definir la zona de rechazo
Con z= 1.96 y una hipótesis alternativa con operador
≠ que representa una prueba de dos colas
Se rechaza la Ho si el Zc es >1.96 o Zc<-1.96
59-1.96 1.96

Solución:
Paso 4
Se calculará el estadístico de prueba Zc a partir de los
datos muestrales considerando H0 como verdadera
693.0
71.721
000,60500,59



Zc
Zc
𝑍 𝑐 =
𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥 𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
𝜎𝑥 =
5000
48
=
5000
6.928
=721.71
Donde:
60

Solución:
Paso 5
• Se va ha decidir si H0 se rechaza o no se
rechaza .
Como -0.693 es menor que -1.96 NO se rechaza la
hipótesis nula
Es decir el z de los datos (Zc) se encuentra en la
zona de no rechazo
61
61
-1.96 1.96
-0.693
ZONA DE
NO
RECHAZ
O

Solución:
Paso 5
• Conclusión: .
• Se puede afirmar con un nivel de significancia del 5%,
que la duración de las llantas NO es distinta a 60,000 Km
• Entonces se concluye que la duración media de las
llantas es muy cercana a la que afirma el fabricante de
60,000 millas.
62

Solución:
 Primero, se va a calcular el error estándar
de la media y para ello se empleará la
expresión del error estándar:
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
El Error Estándar de la media mide con cuánta precisión la
media de la muestra estima la media de la población y se utiliza
para crear intervalos de confianza para la media de la
población. Los valores del Error Estándar de la Media más
bajos indican con mayor precisión las estimaciones de la media
de la población
Desarrollando bajo el enfoque del intervalo de
confianza:
63
𝜎 𝑋 =
𝜎
𝑛
𝜎 𝑋 =
5,000
48
= 𝜎 𝑋 =
5,000
6.9282
= 𝜎 𝑋 =721.69 Km

Solución:
Se va a determinar los límites superior e inferior de
confianza para el intervalo de la media poblacional ya
que se trata de una prueba de dos extremos.
Se aplica la expresión siguiente:
Sustituyendo valores en ella, se tiene:
Lc = 60,000  1.96 (721.69)
Ls = 60,000 + 1,414.51 Ls = 61,414.51 Km.
Li = 60,000 – 1,414.51 Li = 58,585.49 Km
Entonces la media de la población fluctúa entre 58,585.49
y 61,414.51 millas en un nivel de confianza del 95%.
xH ZLc   0
64

Solución:
Al regresar a la gráfica anterior se observa los
límites de confianza y la media muestral.
Con ello se analiza si no se rechaza la
hipótesis nula además de verificar si es
verdadera o falsa.

Solución:
La media muestral se ubica dentro de la zona de
no rechazo, por lo que podemos decir que la
hipótesis nula es verdadera,
Entonces la media muestral se ubica en -0.693
𝜎𝑥= -0.693(721.69)
500.13  60,000-500 = 59,500
y se confirma que cae en la zona de no rechazo
Concluimos que la duración media de las llantas
es muy cercana a la que afirma el fabricante de
60,000 millas, con un nivel de significancia de
0.05.
66

¿Es dicho tiempo menor de 3 minutos?
Datos:  = 3 minutos.
σ= 1minuto.
n = 50 clientes.
a = 0.05
𝑥= 2.75 minutos.
EJEMPLO 2
• Una cadena de restaurantes afirma que el tiempo medio
de espera de clientes por atender está distribuido
normalmente con una media de 3 minutos y una
desviación estándar de 1 minuto.
• Su departamento de aseguramiento de la calidad halló en
una muestra de 50 clientes en un cierto establecimiento
que el tiempo medio de espera era de 2.75 minutos.
• Al nivel de significación de 0.05,

Paso 1
Las hipótesis se expresan de la siguiente manera:
Ho :  = 3
El tiempo promedio de espera es de 3 minutos.
H1 :   3
El tiempo promedio de espera es menor de 3
minutos.
EJEMPLO 2
68

SOLUCIÓN:
Paso 2
El estadístico de prueba mas apropiado.
Teniendo en cuenta que se tiene una muestra
de 50 clientes y se conoce la desviación de la
población
n = 50 clientes
σ = 1 minuto
Entonces
Se utilizará la distribución ZIng. William León Velásquez 69

SOLUCIÓN:
Paso 3
El nivel de significancia es de 0.05
Y por la hipótesis alternativa:
H1 :   3 Se trata de una prueba unilateral
En el siguiente paso vamos a obtener el valor de “Z” y
para ello vamos a apoyarnos en la gráfica siguiente:
* Este procedimiento va depender del
tipo de tabla que se tenga
70
Como se trata de una prueba
unilateral:
Para un α= 0.05
Se calcula con todo su valor
*Se recurre a las tablas de la
distribución normal

SOLUCIÓN:
Con el valor de
α=0.05
Se resta de 1
1- 0.05=0.95,
Luego se ubica
un valor de
Z = 1.64 aprox.
Para el caso de una tabla acumulativa de -∞ hasta z
71
Paso 3

SOLUCIÓN:
Con el valor de
α=0.05
Se ubica
directamente
un valor de Z = 1.64
Para el caso de una tabla acumulativa de z hasta ∞
72
Paso 3

Solución:
Paso 3
En el siguiente paso es definir la zona de rechazo
Con z= 1.64 y una hipótesis alternativa con operador
< que representa una prueba de una cola
Se rechaza la Ho si el Zc<-1.64
73
-1.64

Solución:
Paso 4
Se Calculará el estadístico de prueba Zc a partir de los
datos muestrales considerando H0 como verdadera
77.1
1414.0
375.2



Zc
Zc
𝑍 𝑐 =
𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
𝜎𝑥 =
1
50
=
1
7.071
=0.1414
Donde:
74

Solución:
Paso 5
• Se va ha decidir si H0 se rechaza o no se rechaza .
• Como -1.77 es mayor que -1.64 se rechaza la hipótesis
nula.
• Es decir el z de los datos (Zc) se encuentra en la zona
de rechazo
75
75
-1.77 ZONA
DE NO
RECHAZ
O

Solución:
Paso 5
• Conclusión.
Entonces se puede afirmar con un nivel de
significancia del 5%, que el tiempo medio de
espera del cliente para ser atendido en este
establecimiento es menor de 3 minutos.
76

Con un a = 0.05 y es una prueba de hipótesis para
un extremo, en este caso, el extremo izquierdo,
entonces, el nivel de significancia está contenido
en este extremo, por lo que el nivel de confianza
es 0.5 – 0.05 = 0.45 .
Se busca en las tablas de la distribución normal
0.45, y se encuentra que: Z= 1.64
El límite izquierdo del intervalo de confianza será:
Li = 3 – 1.64 (0.1414)
Li = 3 – 0.2319
Li = 2.768
Calcula el error estándar de la media:
1414.0
07.7
1
50
1
 xxx 
Ejemplo 2.-
nX

 
Desarrollando bajo el enfoque del intervalo de confianza
77

Gráficamente se representa así:
Ejemplo 2.-

Ejemplo 2
 La media muestral 2.75, se localiza en la
zona de rechazo, por lo que se puede
establecer que se rechaza la hipótesis nula y
se acepta la alternativa.
• Comprobemos con :
x
x
Z



77.1
1414.0
25.0
1414.0
375.2




 ZZZ
• Como se puede observar 1.77 está localizado más
hacia la izquierda del límite de confianza 1.64.
Entonces se puede afirmar con un nivel de significancia del
5%, que el tiempo medio de espera del cliente para ser
atendido en este establecimiento es menor de 3 minutos.
79

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2
MEDIAS POBLACIONALES
80

 Si se tienen dos poblaciones y se toman
muestras aleatorias independientes de tamaños
n1 y n2, se puede comparar el comportamiento de
dichas poblaciones a través de los promedios.
 Las muestras deben obtenerse de poblaciones
con distribución normal
 El estadístico de trabajo que se va ha utilizar
dependerá de las características de las
poblaciones y del tamaño de las muestras.

 Se puede plantear uno de los tres tipos de
hipótesis siguientes:
 - Prueba de hipótesis a dos colas
H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0
H1 : µ1≠µ2 ó H1 : µ1-µ2 ≠ 0
 - Prueba de hipótesis a una cola superior
H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0
H1 : µ1>µ2 ó H1 : µ1-µ2 > 0
 - Prueba de hipótesis a una cola inferior
H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 = 0
H1 : µ1<µ2 ó H1 : µ1-µ2 < 0

83
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE 2 MEDIAS
POBLACIONALES
µ1 y µ2
Si las muestras son
mayores o iguales de 30
n1 y n2>=30
Si tienen varianzas
poblacionales
desconocidas
σ2 diferentes
Varianzas
diferentes
σ2 conocidos
Varianzas
iguales
σ2
desconocidos
Si tienen varianzas
poblacionales
conocidas
σ2 iguales
Si las muestras son
menores a 30
n1 y n2<30
83
12
ESQUEMA

P. H. para la diferencia de medias, con
varianzas poblacionales conocidas
• Se asume que hay dos poblaciones de interés
μ1 y μ2,
• Además se asume que μ1 tiene media
desconocida y varianza conocida y que μ2 tiene
media desconocida y varianza conocida .
• Se estará interesado en la
prueba de la hipótesis de que las
medias µ1y µ2 sean iguales.
84
1

 Se considera primero las hipótesis
alternativas de dos lados:
Donde
 H0 = Hipótesis nula
 H1 = Hipótesis alternativa.
 μ1= media de la población 1
 μ2= media de la población 2
H0 : µ1=µ2 ó H0 : µ1-µ2 =
0
H1 : µ1≠µ2 ó H1 : µ1-
µ2 ≠ 0
1

 El procedimiento para probar es
calcular el estadístico de prueba Zc
mediante la siguiente fórmula:
Donde:
𝜇1= media de la muestra 1
𝜇1= media de la muestra 2
𝜎1
2= varianza de la población 1
𝜎2
2= varianza de la población 2
𝑛1 = tamaño de la muestra 1
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎2
1
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
1

Las hipótesis alternativas de dos lados se
analizan de la siguiente manera.
Para probar
𝐻0: 𝜇1=𝜇2
𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2
Se calcula el estadístico de prueba Z0 y se
rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2
si 𝑧 𝑐 > 𝑧 𝛼
2
o 𝑧 𝑐 < 𝑧 𝛼
2
Donde
Zc = Valor calculado del estadístico de prueba
𝑍 𝛼
2
= Valor obtenido de las tablas.
1

Las hipótesis alternativas de un lado se
analizan de manera similar. Para probar
𝐻0: 𝜇1=𝜇2
𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2
Se calcula el estadístico de prueba Z0 , y se
rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 si 𝑍0>𝑍 𝛼 .
Para probar las otras hipótesis alternativas
del otro lado
𝐻0: 𝜇1=𝜇2
𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2
Se utiliza el estadístico de prueba Z0 y se
rechaza 𝐻0: 𝜇1=𝜇2 si 𝑍0<−𝑍 𝛼
P. H. para la diferencia de medias,
con varianzas poblacionales conocidas
1

varianzas poblacionales desconocidas
• En esta prueba se asume que hay dos
poblaciones de interés μ1 y μ2,
• Además se asume que μ1 tiene media
desconocida y varianza desconocida y que
μ2 tiene media desconocida y varianza
desconocida .
• Se estará interesado en la
prueba de la hipótesis de
que las medias µ1y µ2
sean iguales.
89
2

 El procedimiento para probar es calcular la
estadística de prueba Zc mediante la siguiente
fórmula:
varianzas poblacionales desconocidas
y diferentes
Donde:
𝑥1= media de la muestra 1
𝑆1
2
= varianza de la muestra 1
𝑆2
2
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2

 Si las muestras provienen de poblaciones normales
con varianzas poblacionales iguales pero
desconocidas y tamaños de muestra grandes , es
decir, n1 > 30 y n2 > 30.
 Como se desconocen las varianzas poblacionales se
debe obtener una expresión que represente dichas
varianzas.
varianzas poblacionales desconocidas pero
iguales
Donde:
𝑆1
2
𝑆2
2
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎 𝑑𝑖𝑓
𝜎 𝑑𝑖𝑓 =
𝑛1−1 𝑆2
1+ 𝑛2−1 𝑆2
2
𝑛1+𝑛2−2
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Ing. William León Velásquez91
2

EJEMPLO 3
 El salario promedio mensual para una muestra de
30 empleados de una empresa manufacturera es
de $280.000, con desviación estándar de $14.000.
 En otra empresa del mismo tipo, una muestra
aleatoria de 40 empleados, tiene un salario
promedio de $270.000, con una desviación
estándar de $10.000.
• No se suponen iguales las
desviaciones estándar de las
poblaciones. Se requiere
probar la hipótesis de que no
existe diferencia entre los
salarios promedios mensuales
de las dos empresas,
utilizando un nivel de
significancia del 5%. 92

EJEMPLO 3
1.- Establecer las hipótesis
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0, o que 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2
 No existe diferencia entre los salarios
promedios mensuales de las dos empresas
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0, o que 𝐻0: 𝜇1 ≠ 𝜇2
 Existe diferencia entre los salarios promedios
mensuales de las dos empresas
93

EJEMPLO 3
2.- Elegir el modelo probabilístico:
– Como n> 30
– Se utiliza la curva Z
94
94
𝑛1 =30
𝑋1 = 280,000
𝜎1 =14,000
𝑛2 =40
𝑋2 = 270,000
𝜎2 =10,000
Además:
Se conoce σ
Se hará P. H. para la diferencia de medias, con
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎2
1
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2

EJEMPLO 3
3.- Establecer el criterio de contraste
REGION DE NO
RECHAZO
Z1=-1.96 0 Z2=1.96
α=0.5
Para α/2 = 0.025, entonces 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96.
El Intervalo de los Valores críticos de Z es:
−1.96 < 𝑍 < 1.96
α/2=0.025 α/2=0.025
95
Como el operador de la Hipótesis
alternativa es ≠ se hará una prueba de dos
colas
Y el nivel de significancia del 5%

EJEMPLO 3
4.- Calcular el valor del estadístico de prueba
 La desviación estándar de cada una de las
muestras es:
96
𝜎1𝑥 =
𝜎1
𝑛1
=
14000
30
= 2556.04
𝜎2𝑥 =
𝜎2
𝑛2
=
10000
40
= 1581.14
𝜎 = 𝜎1𝑥
2 + 𝜎2𝑥
2 = 2556.04 2 + 1581.14 2 = 3005.53
• Se calcula el valor del estadístico de prueba, en este
caso Z*
𝑍 =
𝑋1 − 𝑋2
𝜎
=
280000 − 270000
3005.55
= 3.33
96

EJEMPLO 3
5.- Tomar una decisión e interpretar
 Como Z = 3.33 no se encuentra en el Intervalo critico
de Z. −1.96 < 𝑍 < 1.96
 Es decir no se encuentra en la región de NO RECHAZO
según la grafica de la Campana de Gauss.
 Por ello se rechaza la Hipótesis nula y se acepta la
hipótesis alternativa:
 Entonces se pude afirmar con un nivel de significancia
del 5% que el salario promedio mensual de las dos
empresas son diferentes.

EJEMPLO 4
Un analista de salarios consideraba que el
salario promedio de la primera empresa era
mayor que en la segunda empresa.
Con la finalidad de probar tal aseveración se
realizará una segunda prueba.
Con los datos del ejemplo 1
Pruebe la hipótesis, con el nivel
de significancia del 1%.
Las desviaciones estándar de
las dos poblaciones conocidas.
98
𝑛1 =30
𝑋1 = 280,000
𝜎1 =14,000
𝑛2 =40
𝑋2 = 270,000
𝜎2 =10,000

EJEMPLO 4
 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 o 𝜇1 − 𝜇2 = 0
 El salario promedio de la primera empresa
es igual que en la segunda empresa.
 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 o 𝜇1 − 𝜇2 > 0
 El salario promedio de la primera empresa
es mayor que en la segunda empresa.
99

EJEMPLO 4
 Como n> 30
Se utiliza la curva Z:
Además:
Se conoce σ
Se hará P. H. para la diferencia de medias,
con varianzas poblacionales conocidas
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎2
1
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2

EJEMPLO 4
101
REGION DE NO
RECHAZO
0 Z2=2.33
α=0.
01
Como es para una cola, entonces el nivel de significancia
que se tiene es 𝛼 = 0.01 , el z para esta área según la
tabla es de Z= 2.33, porque el área es A=0.99.

EJEMPLO 4
4.- Calcular el valor del estadístico de
prueba
 Hallamos el z para comparar.
𝑍 =
𝑋1 − 𝑋2
𝜎
=
280000 − 270000
3005.55
= 3.33
102

EJEMPLO 4
 Como zc = 3.33 > z=2.33, entonces se
rechaza la hipótesis nula y se acepta la
hipótesis alternativa:
 Por lo tanto se puede afirmar con un nivel
de significancia del 1% que el salario
promedio de la primera empresa es mayor
que el salario promedio de la segunda
empresa.
0 Z2=2.33
3.33

EJEMPLO 5
 Una empresa está considerando dos lugares
alternativos para construir un centro comercial. Como
los ingresos de los hogares de una ciudad son un
criterio importante en ésta selección, se quiere probar
que el ingreso promedio de la primera ciudad excede al
promedio de la segunda ciudad en cuando menos
$1,500 mensuales. Con la información de un censo
realizado el año anterior se sabe que la desviación
estándar del ingreso mensual de la primera ciudad es
de $1,800 y la de la segunda es de $2,400
De una muestra aleatoria de 30 hogares de
la primera ciudad, se encuentra que el
ingreso mensual promedio es de $35,500 y
de una muestra de 40 hogares de la segunda
ciudad el ingreso promedio mensual es de
$34,600. Probar la hipótesis con un nivel de
confianza del 95 por ciento. 104

EJEMPLO 5
 Se desea probar si la diferencia entre los
ingresos de la ciudad 1 y la 2 es de $1,500 o
más, por lo tanto:
 H0 : 𝜇1 − 𝜇2 = 1,500
La diferencia en el ingreso promedio de la
primera ciudad con respecto al promedio de
la segunda ciudad es de $1.500 mensuales.
 H1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 1,500
La diferencia en el ingreso promedio de la
primera ciudad con respecto al promedio de la
segunda ciudad es menor de $1.500
mensuales.
105

EJEMPLO 5
 El tamaño de las muestras es grande y
las varianzas poblacionales son
conocidas,
 Por consiguiente el estadístico de
trabajo a utilizar es:
𝑍 𝑐 =
(𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎2
1
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
σ1 =1800
σ2 =2400
n1=30
𝑋1 = 35500
n2=40
𝑋2 = 34600

EJEMPLO 5
Para un nivel de confianza del 95 por ciento, el alfa
será 0.05
Y la hipótesis alternativa es:
H1 : 𝜇1 − 𝜇2 < 1,500 por lo tanto se trata de una prueba
unilateral negativa
De la tabla de la distribución
normal se tiene un valor de Z
de -1.64..
107

EJEMPLO 5
4.- Calcular el valor del estadístico de prueba
 Se halla el z de la prueba, para comparar.
n1=30
𝑥 = 35,500
σ1=1,800
n2=40
𝑥 = 34,600
σ2=2,400
1-α=0.95
𝑍 𝑥1−𝑥2
=
𝑥1 − 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎2
1
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
𝑍 𝑥1−𝑥2
=
35,500−34,600 −1.500
1,8002
30
+
2,4002
𝑛2
=-1.195
108

EJEMPLO 5
 De la figura se observa, que el estadístico de trabajo
se ubica en la zona de no rechazo de la hipótesis
nula;
 Por lo tanto se puede afirmar con un nivel de
significancia del 5% que la diferencia en el ingreso
promedio de la primera ciudad con respecto al
promedio de la segunda ciudad NO es menor de
$1.500 mensuales
 Es decir la empresa puede elegir la primera ciudad
para construir el nuevo centro comercial
-
1.195
109

EJEMPLO 6
Se realizó un estudio con un nivel de significancia
de 0.05 para investigar si la prensa popular está
más orientada hacia temas sexuales que la
prensa dirigida a la clase media. Se considera
en ambos casos una variabilidad igual.
Se recogieron dos muestras representativas de 40
artículos publicados en ambos tipos de revistas.
Utilizando un índice que mide el
contenido sexual de los artículos, la
muestra 1 (popular) tuvo un puntaje
medio de 3.5 con una desviación
estándar de 2, mientras que la muestra
2 (clase media) tuvo una media de 3
con una desviación de 2.2.
110

EJEMPLO 6
Ho: µ1 = µ 2
 Ho: « La orientación hacia contenidos
sexuales en la prensa popular y en la
prensa de clase media son iguales»
Ha: µ 1> µ 2
 Ha: « La orientación hacia contenidos
sexuales es mayor en la prensa
popular que en la prensa de clase
media ».

EJEMPLO 6
 Para determinar que tipo de distribución se
utilizará:
– Si n1 + n2 > 30 entonces se busca en la
tabla el valor de z correspondiente a α/2.
– Entonces n > 30 y por lo tanto se utiliza la
distribución normal a través de la tabla z
con α = .05

EJEMPLO 6
Como en este problema, α = .05 y la hipótesis
alterna contiene el signo (>) el problema es de
una cola, es decir, la región crítica se ubica en
el extremo derecho de la curva.
 Luego se aplica la fórmula de interpolación:
113
0.05
113
A1 A2
A
𝑍 = 1.64 + (𝑍2 − 𝑍1)
(𝐴1 − 𝐴)
(𝐴1 − 𝐴2)
𝑍 = 1.64 + (1.65 − 1.64)
(.0505 − .05)
(.0505 − .04947)
𝑍 =1.6448

EJEMPLO 6
4.- Calcular el valor del estadístico de prueba con
varianzas iguales
 Se el calcula error estándar de la diferencia de las
media
𝜎 𝑑𝑖𝑓 =
𝑛1−1 𝑆2
1+ 𝑛2−1 𝑆2
2
𝑛1+𝑛2−2
1
𝑛1
+
1
𝑛2
Se calcula el valor del estadístico de prueba, en este
caso Zc
114
𝜎 𝑑𝑖𝑓 =
39 (2)2+ 39 (2.2)2
78
1
40
+
1
40
= 0.47
𝑍 𝑐 =
𝑋1 − 𝑋2
𝜎 𝑑𝑖𝑓
𝑍 𝑐 =
3.5 − 3.0
0.47
= 1.063

EJEMPLO 6
 5.- Tomar una decisión e interpretar
 El estadístico de prueba queda localizado fuera
de la zona crítica, entonces no se rechaza la
hipótesis nula ( Ho),
 Por lo tanto se concluye lo siguiente:
 No hay evidencia suficiente, con un nivel de
significancia de .05, de que la prensa popular
tenga una mayor orientación al tema sexual que
la prensa de clase media

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