Metodos No Parametricos Parte I. Est ind clase11

METODOS NO
PARAMÉTRICOS PARTE I
Ing. William León Velásquez
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
TEMA
11
UNMSM
FII
Ing William León Velásquez 1

CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
LA ESTADISTICA NO PARAMETRICA
PRUEBA DE LOS SIGNOS
PRUEBA DE SIGNOS DE LA MEDIANA
PARA OBSERVACIONES PAREADAS
PRUEBA DE WILCOXON

INTRODUCCIÓN
En las investigaciones
que se realiza siempre se
cuenta con una muestra
que permite extraer
(medir) datos para luego
afirmar (o negar) alguna
característica que
posteriormente se hará
extensiva a la población.

INTRODUCCIÓN
Se puede hacer una afirmación por ejemplo:
El 70% de los empresarios leen El Comercio.
Esta afirmación se basa en un estudio y análisis
donde la muestra debe tener ciertos
requerimientos, en especial cuando estas son
cuantitativas.

INTRODUCCIÓN
Pero que pasa cuando el tamaño de la
muestra que se quiere analizar es pequeña,
ó como cuando se quiere analizar a los
trabajadores de una pequeña empresa.

INTRODUCCIÓN
Por otro lado:
Que pasa cuando se quiere medir ya no unos
datos cuantitativo sino cualitativo,
como sexo: masculino o femenino.
o alternativas como: bueno, regular y malo,
o un grado: superior, intermedio e inferior;
o nivel socioeconómico: bajo, medio o alto.

LA ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA. Características
3.- Se pueden usar con
muestras pequeñas.
4.- Se pueden usar con
datos cualitativos.
1.- Por lo general, son fáciles de usar y entender.
2.- Eliminan la necesidad de suposiciones
restrictivas de las pruebas paramétricas.

Muchas aplicaciones de negocios
involucran opiniones o sentimientos y
esos datos se usan de manera cualitativa.
La Estadística no paramétrica nos facilita
el estudio de estos casos.
LA ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA

Las pruebas no
paramétricas son
pruebas estadísticas
que no hacen
suposiciones sobre la
naturaleza (medidas
de centralización,
dispersión, etc) de los
datos de la población.
LA ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA. Definición

Por lo general:
Las pruebas
paramétricas son mas
eficaces que las
pruebas no
paramétricas y deben
usarse siempre que
sea posible.
LA ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA

Es importante observar:
Que aunque las pruebas no paramétricas no
hacen suposiciones sobre la distribución de
la población que se muestrea, muchas veces
se apoyan en distribuciones muestrales
como la normal o la ji cuadrada.
LA ESTADÍSTICA NO
PARAMÉTRICA

Ventajas de los métodos NO
PARAMETRICOS
1.- No requieren la suposición de que una población esta distribuida en
forma de curva normal u otra forma especifica.
2.- Generalmente, es mas sencillo realizarlas y entenderlas, la mayor
parte de las pruebas no paramétricas no exigen de cálculos laboriosos
a menudo necesarios, por ejemplo: Para calcular una desviación
estándar.
3.- Algunas veces ni siquiera se requiere un
ordenamiento o clasificación formal.
4.- Muchas veces lo que podemos hacer es
describir un resultado como mejor que
otro.
Cuando esto ocurre, o cuando nuestras
mediciones no son tan exactas como es
necesario para las pruebas paramétricas,
podemos usar métodos no paramétricos.

Desventajas de los METODOS NO
PARAMETRICOS
1.- Ignoran cierta cantidad de información.
2.- A menudo no son tan eficientes o claras como las pruebas
paramétricas. Cuando se hacen pruebas no paramétricas
perdemos agudeza en la estimación de intervalos, pero
ganamos la posibilidad de usar menos información y
calcular con mayor rapidez.
Conversión de valores paramétricos a rangos no paramétricos.
Valor paramétrico 113.45 189.42 76.50 13.33 101.79
Valor no paramétricos 4 5 2 1 3
Ing. William león Velásquez 13

PRUEBAS DEL SIGNO

Es una de las pruebas no
paramétricas más simples y la más
antigua de todas.
Está reportada en la literatura desde
1710 por John Arbuthnott, hizo uso
de este procedimiento, por primera
vez, para demostrar que la
proporción de varones nacidos en
Londres en un determinado período
de tiempo era significativamente
mayor que la proporción de mujeres
PRUEBA DEL SIGNO. Introducción.

Se basa en el signo del resultado de la diferencia entre
dos observaciones relacionadas. Se designa con un
signo mas (+) una diferencia positiva, y con un signo
menos (-), una negativa.
Se basa en los signos que generan la diferencia de
comparar los datos en una población con respecto a su
media, mediana o con respecto a otros datos tomados de
la misma población
PRUEBA DEL SIGNO. Definición
Se presentan dos casos:
Con una muestra sencilla (una
sola muestra) y
Con una muestra en pares.

Se usa para hacer pruebas de hipótesis acerca de la mediana
de una población de una variable continua.
Esta prueba estadística está basada en la distribución
Binomial con probabilidad de éxito p=½, porque la
probabilidad de que un dato sea mayor o menor que la
mediana es ½.
PRUEBA DEL SIGNO. Usos
• Dada una muestra aleatoria simple de
tamaño n definida por (x1,..,xn) extraída de
una población con distribución continua, se
quiere contrastar si su mediana es igual a
cierto valor Me

La mediana de una distribución es un valor de la variable
aleatoria X tal que la probabilidad de que un valor
observado de X sea menor o igual, o mayor o igual, que la
mediana es 0.5.
Por lo tanto
PRUEBA DEL SIGNO
P(X ≤ Me) = P(X ≥ Me)= 0.5

Cuando la distribución normal es simétrica, la media de
una distribución normal es igual a la mediana.
Por consiguiente:
La prueba del signo puede emplearse también para
probar hipótesis sobre la media de una población
normal.
PRUEBA DEL SIGNO

Suponer que las hipótesis son:
Si la hipótesis nula Ho : Me = Meo es verdadera, cualquier
diferencia Xi – Meo tiene la misma probabilidad de ser
negativa o positiva.
Un estadístico de prueba apropiado es: el número de
estas diferencias positivas; que se representa así: R+.
La prueba de la hipótesis nula es en realidad una prueba de
que el número de signos positivos es un valor de una
variable aleatoria binomial con parámetro P = ½.
Se puede calcular un valor p para el número observado
de signos positivos r+ directamente de la distribución
binomial
PRUEBA DEL SIGNO
Ho : Me = Meo H1 : Me ≠ Meo

Para probar la hipótesis unilateral
 Ho : Me = Meo
 H1 : Me > Meo
 Se rechazará H0 en favor de H1, sólo si el número
observado de signos más, r+, es grande o,
 De manera equivalente: Cada vez que la fracción
observada de signos positivos es significativamente
mayor que ½.
PRUEBA DEL SIGNO
 En consecuencia, si el valor p calculado
p= P(R+ ó r+ cuando p = 1/2) es menor
que α, entonces H0 se rechaza y se
concluye que H1 es verdadera.

Para probar la alternativa bilateral.
Si las hipótesis son:
Ho : Me = Meo
H1 : Me ≠ Meo
PRUEBA DEL SIGNO
 Se rechazará H0 si la proporción de
signos positivos difiere de manera
significativa de ½ (ya sea por encima
o por debajo).

PRUEBA DEL SIGNO
Para muestras pequeñas (n<20)
a) Cuando:
>
entonces el "p-valor" se calcula por :
Ing. William león Velásquez
23
Donde:
R+ : número de diferencias positivas.
n: número de datos menos la cantidad de datos iguales al
valor Me asumido.
𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 =
𝑛
𝑖
1
2
𝑛𝑅+
𝑥=0
𝑝 = 2
𝑛
𝑥
(0.5) 𝑥(0.5) 𝑛−𝑥
𝑛
𝑥=𝑅+
R+
(número de diferencias
positivas)
R-
(número de diferencias
negativas)

PRUEBA DEL SIGNO
Para muestras pequeñas (n<20)
Ing. William león Velásquez
24
Donde:
R+ : número de diferencias positivas.
n: número de datos menos la cantidad de datos
iguales al valor Me asumido.
b) Cuando:
R+(número de diferencias positivas) <> R- (número
de diferencias negativas) ,
entonces el "p-valor" se calcula por :
2𝑝𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 =
𝑛
𝑖
1
2
𝑛𝑛
𝑥=𝑅+
2𝑝 = 2
𝑛
𝑥
(0.5) 𝑥(0.5) 𝑛−𝑥
𝑛
𝑥=𝑅+

Un artículo científico informa acerca de un estudio en el que
se modela el motor de una maquina, uniendo el
combustible y la mezcla de encendido dentro de un
contenedor metálico.
Ejemplo 01:
• La característica
importante que se
registra, es la
resistencia al esfuerzo
cortante de la unión
entre los dos tipos de
sustancias.

En la siguiente tabla se
muestran los resultados
obtenidos al probar 20
motores seleccionados al
azar.
¿La resistencia al
esfuerzo cortante será
de 2000 psi.?
Pruebe a un nivel de
significancia del 5%.
Ejemplo 01:
Nº de
motor
Resistencia
al esfuerzo
cortante
Nº de
motor
Resistencia
al esfuerzo
cortante
1 2158.70 11 2165.20
2 1678.15 12 2399.55
3 2316.00 13 1779.80
4 2061.30 14 2336.75
5 2207.50 15 1765.30
6 1708.30 16 2053.50
7 1784.70 17 2414.40
8 2575.10 18 2200.50
9 2357.90 19 2654.20
10 2256.70 20 1753.70

Solución:
Se desea probar la hipótesis de que la mediana de la
resistencia al esfuerzo cortante es 2000 psi,
α= 0.05.
La hipótesis planteada será
Ejemplo 01:
Ho : Me = 2000 psi
H1 : Me ≠ 2000 psi

Ejemplo 01:
Se observa
que el
estadístico
de prueba
r+ = 14.
Se coloca los
signos con
respecto a la
mediana.
Nº de
motor
Resistencia
al esfuerzo
cortante
Signo de la
diferencia
µ=2000
Nº de
motor
Resistencia
al esfuerzo
cortante
Signo de la
diferencia
µ=2000
1 2158.70 + 11 2165.20 +
2 1678.15 - 12 2399.55 +
3 2316.00 + 13 1779.80 -
4 2061.30 + 14 2336.75 +
5 2207.50 + 15 1765.30 -
6 1708.30 - 16 2053.50 +
7 1784.70 - 17 2414.40 +
8 2575.10 + 18 2200.50 +
9 2357.90 + 19 2654.20 +
10 2256.70 + 20 1753.70 -

Regla de decisión:
Si el valor de p correspondiente a r+=14 es menor o igual que
α=0.05 se rechaza H0.
Cálculos:
Puesto que R+=14 es mayor que n/2 => 20/2=10
El valor de p se calcula de
p=2 P(R+14cuando p = ½)
Ejemplo 01:
14 2010

La p se calcula con la fórmula de la distribución
binomial:
p=2 P(R+14cuando p = ½)
a) Aplicando la fórmula binomial:
Ejemplo 01:
b) Con Minitab
P( x>=14) = 1 - P (x<=13)
Función de distribución acumulada
Binomial con n = 20 y p = 0.5
x P( X <= x )
13 0.942341
1 - 0.942341 = 0.057659
2 * 0.057659 = 0.115318
14
0.057659
𝑝 = 2
20
𝑥
(0.5) 𝑥
(0.5)20−𝑥
20
𝑥=14
p= 2(0.057659)
p= 0.1153
𝑝 = 2
𝑛
𝑥
(0.5) 𝑥(0.5) 𝑛−𝑥
𝑛
𝑥=𝑅+

Ing. William león Velásquez 31
Ejemplo 01:
c) Con una tabla binomial
P( x>=14) = 1 - P (x<=13)
Función de distribución acumulada
Binomial con n = 20, x = 13
y p = 0.5
x P( X <= x )
13 0.942341
1 - 0.9423 = 0.0577
2 * 0.0577 = 0.1154
14
0.057659

Conclusión:
Como p=0.1153 no es menor = 0.05,
No es posible rechazar la hipótesis
nula de que la mediana de la
resistencia al esfuerzo constante es
2000 psi.
Ejemplo 01:

Cuando p=0.5, la distribución binomial
esta bien aproximada por la distribución
normal cuando n es al menos 10.
Por tanto:
La media de la distribución binomial es np
y
La varianza es npq.
La distribución de R+ es
aproximadamente normal con media 0.5n
y varianza 0.25n, cada vez que n es
moderadamente grande.
PRUEBA DEL SIGNO
Para muestra grande (n>=20).
Aproximación normal:

Las reglas de decisión se
establecerán como cualquier
ensayo en una distribución
muestral en donde se utiliza la
distribución normal.
Para calcular el Z de la muestra:
𝑍 =
𝑅+
− 0.5𝑛
0.5 𝑛

Con los datos de Ejemplo 1:
Formulamos las Hipótesis
Como la muestra es mayor que 20 se utilizará la
aproximación normal
Ejemplo 1
Ho : µo = 2000 psi
H1 : µo ≠ 2000 psi

Regla de Decisión:
Si –1.96 ≤ ZR ≤ 1.96
No se rechaza Ho
Si ZR < -1.96 ó si ZR > 1.96
Se rechaza Ho
Ejemplo 1

Cálculos:
Ejemplo 1
𝑍 =
𝑅+ − 0.5𝑛
0.5 𝑛
𝑍 =
14 − 0.5(20)
0.5 20
Z=1.789

Decisión y Conclusión:
Como 1.789 esta entre –1.96 y 1.96,
no se rechaza H0 y
Se concluye con un α=0.05 que la
mediana es de 2000 psi.
Ejemplo 1

39
La prueba de los signos también puede servir como
alternativa no paramétrica a la prueba t de muestra
pareada o a la correspondiente prueba de muestra
grande.
En tales problemas:
Cada par de valores muéstrales se remplaza por un
signo además si el primer valor es menor que el
segundo, por un signo de menos si el primer valor es
menor que el segundo, o bien se descarta si los dos
valores son iguales.
PRUEBA DE SIGNOS DE LA MEDIANA
PARA OBSERVACIONES PAREADAS

40
Se desea comparar la forma en que los
consumidores califican (en escala de 1
a 10) a dos limpiadores para ventanas.
Se selecciona al azar 6 amas de casa
de un grupo de consumidoras para
que cada una de ellas califique una
ventana tratada con el limpiador A y
otra con el limpiador B.
Se ha usado un experimento de diferencias pareadas (diseño
aleatorizado en bloques) para efectuar la comparación.
Ejemplo 2
Prueba de Signos de la Mediana
Para observaciones pareadas

41
Los limpiadores A y B son
tratamientos.
Los bloques corresponden a las
amas de casa y su objeto es
eliminar la variabilidad entre
amas de casa.
Los datos del experimento
aparecen en la tabla.
¿Presentan los datos la
suficiente evidencia que indique
una diferencia en la preferencia
de los consumidores por los
limpiadores?
Ejemplo 2
Ama
Casa
Limpiador
A B
1 10 7
2 7 5
3 8 7
4 5 2
5 7 6
6 9 6

42
Calificaciones de amas de casa a dos limpiadores de ventanas:
Ho: p = 0.5 no hay preferencia de A sobre B
Ha: p<>0.5
¿Hay evidencia
que indique
cierta
preferencia de
las amas de
casa por uno de
los limpiadores?
Ejemplo 2
Ama
Casa
Limpiador
A B A-B
1 10 7 +
2 7 5 +
3 8 7 +
4 5 2 +
5 7 6 +
6 9 6 +

43
Para contestar la pregunta, no se necesita efectuar
una prueba estadística complicada.
Se necesita efectuar una prueba del signo, que es
muy fácil de aplicar.
Del cuadro anterior se nota que la calificación para el
limpiador A excede a la B en los seis casos (por lo que
los signos de las diferencias son todos positivos).
Ejemplo 2

44
Suponiendo que no existe diferencia entren los limpiadores, el
resultado es equivalente a lanzar una moneda balanceada seis
veces y observar seis caras(o cruces).
La probabilidad de dicho evento, (½)6 + (½)6 =1/32, = 0.03125
es demasiada pequeña.
Por lo tanto, se rechazaría la hipótesis de que las
distribuciones de las calificaciones de los limpiadores son
idénticas.
Ejemplo 2

45
Se quiere probar el efecto de un
somnífero en 15 personas, para
ello se mide las horas que
duermen tomando y sin tomar el
somnífero.
Los tiempos se muestran en la
tabla
Ejemplo 3
Ho: No existen diferencias en el tiempo de sueño
H1: Existen diferencias en el tiempo de sueño

46
N1 (+) = 10 ; N2 (-) = 3 ; N = 10 + 3 = 13
Entonces: x = 10 , N=13
Aplicando la fórmula:
Ejemplo 3
𝑧 =
(2𝑥 − 𝑁)
𝑁
𝑧 =
(2(10)−13)
13
=1.941

47
De la tabla de t -
student
t(12, 0.05/2)=2.179
Como
1.941< 2.179
Por tanto no se puede
rechazar H0.
No se han encontrado
diferencias.
Ejemplo 3

48
Se quiere investigar si una publicidad de un producto puede
cambiar la preferencia de las personas de la población que
tenia sobre ese producto X.
Para ello estudia una muestra de 100 adultos que han visto
la publicidad.
Ejemplo 4
Los resultados de las pregunta si
ha cambiado su preferencia son:.
 15 dicen que siguen viendo
al producto igual,
 59 los ven con más
ventajas al producto y
 26 dicen que los ven de
menor calidad que su
producto actual
¿Cual es la conclusión?

49
Se puede aplicar la prueba de los signos, porque se tiene
una opinión después de ver la publicidad, que se prueba
con la que tenían antes de verla.
Como se observa nos proporcionan los signos ya calculados.
Y tenemos como resultados:
59→ + , 26→ - , 15 → 0
Entonces N1= 59 , N2= 26 y N=85
(los 15 que piensan igual no cuentan).
X = 59
Ho = no hay cambios de opinión con respecto al producto
H1 = si hay cambios de opinión con respecto al producto
Ejemplo 4

50
Por tanto N1= 59 , N2= 26
y N=85
X = 59
Aplicando la fórmula:
Ejemplo 4
𝑧 =
(2𝑥 − 𝑁)
𝑁
𝑧 =
(2∗59−85)
85
=3.58

51
Con un α=0.01
Zc0.01/2 = 3.30
Como: 3.58 > 3.30
Ejemplo 4
Se rechaza H0 a un nivel de significación de 0.01.
Por tanto la opinión sobre este asunto ha cambiado
significativamente, sobre todo en una mayor preferencia, pero
también, aunque menos, en sentido contrario.

PRUEBA DE WILCOXON

53
 El prueba de Wilcoxon puede ser utilizado para
comparar datos por parejas.
 Si la distribución de las diferencias es simétrica, y
nuestro propósito es probar la hipótesis nula de que
dicha distribución está centrada en 0.
 Se elimina aquellos pares para los cuales la diferencia
es 0 se calculan los rangos en orden creciente de
magnitud de los valores absolutos de las restantes
diferencias.
 Se calculan las sumas de los rangos positivos y
negativos, y la menor de estas sumas es el estadístico
de Wilcoxon.
PRUEBA DE WILCOXON
de rangos señalados y pares igualados
para dos muestras dependientes

54
La hipótesis nula será rechazada si W
es menor o igual que el valor
correspondiente.
Si el número n de diferencias no nulas
es grande y W es el valor observado
del estadístico de Wilcoxon los
siguientes contrastes tienen nivel de
significación α.
DEFINICIÓN

55
La prueba de rangos con signo de Wilcoxon es un
modelo estadístico que corresponde a un equivalente de
la prueba t de Student,
Pero se aplica en mediciones en escala ordinal para
muestras dependientes.
PRUEBA DE WILCOXON
• En 1945, Frank Wilcoxon desarrollo una prueba no
paramétrica, con base en las diferencias entre
muestras dependientes, que no requiere la
suposición de normalidad.

56
El método es aplicable a muestras
pequeñas, siempre y cuando sean
mayores que 6 y menores que 25.
Las muestras grandes deben ser
mayores o iguales a 25 y éste se debe
transformar en valor de Z, para
conocer la probabilidad de que aquella
sea o no significativa.
PRUEBA DE WILCOXON

57
Esta prueba estadística consiste
en sumar los rangos de signo
frecuente;
Es por eso que no se tiene una
ecuación o fórmula, como se
observa en otras pruebas
estadísticas.
Se utiliza cuando:
• Trabaja con datos de tipo ordinal.
• Establece diferencias de
magnitudes
(+ y -).
PRUEBA DE WILCOXON

58
Prueba de Wilcoxon
•Dirección.
Prueba de dos colas: No se sabe en que dirección se
pueden dar las diferencias.
Prueba de una cola: Si sabemos en que dirección
están las diferencias
Hipótesis no
direccionales
Hipótesis
direccionales
Ho: X1=X2
Ha: X1≠X2
Ho: X1=X2
Ha: X1<X2
El signo < o > se puede cambiar
según las necesidades
Prueba de dos
colas
Prueba de una
cola

59
Dos muestras pareadas.
Establece las diferencias .
Con muestras grandes (>= 25) se
intenta lograr la distribución normal
(se utiliza la prueba Z).
Prueba de Wilcoxon

60
1. Arreglar las observaciones pareadas
y obtener las diferencias de cada
pareja.
2. Arreglar las diferencias en función de
rangos como valores absolutos, sin
importar el signo, pero de manera
que los rangos conserven el signo
correspondiente a la diferencia.
Prueba de Wilcoxon: Pasos:

61
3. Obtener la sumatoria de los rangos
cuyo signo es el menos frecuente, por
ejemplo: si el signo es +, se
considerará para efectuar sumatorias;
sin embargo, la sumatoria
mencionada finalmente pierde el
signo.
4. Si se trata de muestras pequeñas,
comparar el valor obtenido con los
valores críticos de la tabla de
Wilcoxon.
Prueba de Wilcoxon Pasos:

62
Donde:
ZT = valor Z de la T de Wilcoxon.
W = valor estadístico de Wilcoxon.
𝑋 𝑇 = promedio de la T de Wilcoxon.
sT = desviación estándar de la T de Wilcoxon.
Prueba de Wilcoxon Pasos:
(para muestras grandes)
La fórmula es:
5. Las muestras grandes que deben ser mayores o
iguales a 25 se les debe transformar en valor Z.
𝑍 𝑇 =
𝑊 − 𝑋 𝑇
𝑆 𝑇

63
Donde:
N = tamaño de la muestra
Prueba de Wilcoxon. Pasos.
(para muestras grandes)
Cálculos previos:
𝑍 𝑇 =
𝑊 − 𝑋 𝑇
𝑆 𝑇
𝑋 𝑇 =
𝑁(𝑁 + 1)
4
𝜎 𝑇 =
𝑁 𝑁 + 1 (2𝑁 + 1)
24

64
 Se ha realizado un estudio sobre la
salud mental de la población activa
de sujetos de 60 años, con una
prueba de desajuste emocional (X)
cuya mediana es de 80
 Un psicólogo cree que tras la
jubilación esta población sufre un
aumento de sus desajustes
emocionales.
 Con el fin de verificarlo, se
selecciona al azar una muestra de
personas jubiladas, y se les realiza la
prueba de desajuste
EJEMPLO 5. Con una muestra

65
Los resultados obtenidos son los siguientes:
EJEMPLO 5
 ¿Se puede concluir, con un nivel de
significación de 0,05, que tras la jubilación
aumenta el promedio de desajuste emocional
en estas personas?
 Calcule mediante el estadístico de
Wilconxon
 Y con el ajuste a la normal (n>25)
69 70 75 79 83 86 88
89 90 93 96 97 98 99

66
SOLUCION:
1) Hipótesis
H0: Me = 80  La población no
incrementa su promedio de desajuste.
H1: Me > 80  La población aumenta su
nivel de desajuste tras la jubilación.
EJEMPLO 5

67
2.- Supuestos:
La muestra es aleatoria
La variable es continua y
El nivel de medida es de intervalo.
EJEMPLO 5

68
3.-Cálculos
Aunque la muestra es pequeña se va ha utilizar los dos
estadísticos:
a) Averigüemos Di = X – 80 y
ordenemos las | Di |:
EJEMPLO 5

EJEMPLO 5
3.-Cálculos
Diferencias
De 80
Dif.
Absolutas Rangos
Rangos
con signo
79 -1 1 1 1 -1
83 3 3 2 2 2
75 -5 5 3 3 -3
86 6 6 4 4 4
88 8 8 5 5 5
89 9 9 6 6 6
70 -10 10 7 7.5 -7.5
90 10 10 8 7.5 7.5
69 -11 11 9 9 -9
93 13 13 10 10 10
96 16 16 11 11 11
97 17 17 12 12 12
98 18 18 13 13 13
99 19 19 14 14 14
R+ 78.5
R- -20.5

70
4.- Regla de decisión:
Puesto que
α = 0,05:
W14,0,05 = 26 > 20,5,
por lo que se rechaza la H0.
EJEMPLO 5. Aplicando el estadístico de
Wilconxon

71
3.-Cálculos
b) Hallamos z
(20,5 + 0,5) – (14)(15)/4 21 – 52,5
ZT = ------------------------------------- = --------------- = -1,98
√(14)(15)(28 + 1)/24 15,93
EJEMPLO 5. Aplicando el ajuste a la
normal
Z0.05 = -1,64 > -1,98,
por lo que se rechaza H0.
𝑋 𝑇 =
𝑁(𝑁 + 1)
4
𝜎 𝑇 =
𝑁 𝑁 + 1 (2𝑁 + 1)
24
𝑍 𝑇 =
𝑊 − 𝑋 𝑇
𝑆 𝑇

72
4.-Desición y conclusión
Hay evidencia suficiente para concluir que
tras la jubilación, aumenta el nivel de
desajuste, medido por X.
EJEMPLO 5

• Las puntuaciones correspondientes a 15
obreros en destreza de manejo de un
equipo, antes y después de realizar una
capacitación son las siguientes :
EJEMPLO 6. Para dos muestras
•Antes :
5,6,6,8,7,5,4,3,7,5,6,6,3,5,5
•Después :
6,6,7,9,6,4,6,3,8,8,4,7,2,7,8
• Se desea saber si han
variado o no, con un nivel de
significancia del 5%

H0 W(+) = W(-)
Ha W(+) ≠ W(-)
Las hipótesis en la prueba de Wilcoxon se pueden
enunciar de la manera siguiente:
H0 = las puntuaciones entre los 15 obreros antes y después
de realizar la capacitación son iguales
Ha = las puntuaciones entre los 15 obreros antes y después
de realizar la capacitación son diferentes
EJEMPLO 6
PASOS

PASOS
La prueba consiste en calcular las diferencias entre los valores y se
halla su valor absoluto
EJEMPLO 06
Antes Después Diferencias Rangos Rangos con signo
5 6 -1
6 6 0
6 7 -1
8 9 -1
7 6 1
5 4 1
4 6 -2
3 3 0
7 8 -1
5 8 -3
6 4 2
6 7 -1
3 2 1
5 7 -2
5 8 -3

PASOS
Ordenarlas de menor a mayor y se elimina las diferencias 0
EJEMPLO 06
Antes Después Diferencias
Dif.
Absolutas Rangos
Rangos con
signo
6 6 0 0
3 3 0 0
5 6 -1 1
6 7 -1 1
8 9 -1 1
7 6 1 1
5 4 1 1
7 8 -1 1
6 7 -1 1
3 2 1 1
4 6 -2 2
6 4 2 2
5 7 -2 2
5 8 -3 3
5 8 -3 3

EJEMPLO 6
Una vez ordenadas las diferencias, se numeran de 1 a n, siendo n
el número de elementos de la muestra; al número asignado se le
denomina rango.
Antes Después Diferencias Dif. Absolutas
6 6 0 0
3 3 0 0
5 6 -1 1 1
6 7 -1 1 2
8 9 -1 1 3
7 6 1 1 4
5 4 1 1 5
7 8 -1 1 6
6 7 -1 1 7
3 2 1 1 8
4 6 -2 2 9
6 4 2 2 10
5 7 -2 2 11
5 8 -3 3 12
5 8 -3 3 13

El rango 1 se asigna a la mínima diferencia observada en valor
absoluto, y así sucesivamente hasta n, cuyo rango corresponde a la
máxima diferencia. Si hay empate, se asigna a cada diferencia
empatada la media de los rangos implicados en el empate
EJEMPLO 6
1+
2
3
4
5
6
7
8
---
36
36
---- =4.5
8
9+
10
11
----
30
30
---- =10
3
1
2
Antes Después Diferencias Dif. Absolutas Rangos
6 6 0 0
3 3 0 0
5 6 -1 1 1 4.5
6 7 -1 1 2 4.5
8 9 -1 1 3 4.5
7 6 1 1 4 4.5
5 4 1 1 5 4.5
7 8 -1 1 6 4.5
6 7 -1 1 7 4.5
3 2 1 1 8 4.5
4 6 -2 2 9 10
6 4 2 2 10 10
5 7 -2 2 11 10
5 8 -3 3 12 12.5
5 8 -3 3 13 12.5

EJEMPLO 6
Se asigna el signo menos a las diferencias negativas y el signo más a las
diferencias positivas. El signo (-), en este caso, significa que la puntuación ha
aumentado, puesto que al restar ANTES-DESPUÉS las puntuaciones que han
aumentado tienen diferencia negativa. El signo en esta prueba es un símbolo
diferenciador y debe tenerse cuidado con su interpretación
Antes Despues Diferencias Dif. Absolutas Rangos Rangos con signo
6 6 0 0
3 3 0 0
5 6 -1 1 1 4.5 -4.5
6 7 -1 1 2 4.5 -4.5
8 9 -1 1 3 4.5 -4.5
7 6 1 1 4 4.5 4.5
5 4 1 1 5 4.5 4.5
7 8 -1 1 6 4.5 -4.5
6 7 -1 1 7 4.5 -4.5
3 2 1 1 8 4.5 4.5
4 6 -2 2 9 10 -10
6 4 2 2 10 10 10
5 7 -2 2 11 10 -10
5 8 -3 3 12 12.5 -12.5
5 8 -3 3 13 12.5 -12.5

W+ = 23.5
W  = 67.5
Una vez ordenados los datos, se suman los rangos de las diferencias
positivas, W+, y negativas, W-, y se elige el menor de los dos. Los
casos en los que la diferencia es cero se ignoran.
EJEMPLO 6
Antes Despues Diferencias Rangos con signo
6 6 0
3 3 0
5 6 -1 -4.5
6 7 -1 -4.5
8 9 -1 -4.5
7 6 1 4.5
5 4 1 4.5
7 8 -1 -4.5
6 7 -1 -4.5
3 2 1 4.5
4 6 -2 -10
6 4 2 10
5 7 -2 -10
5 8 -3 -12.5
5 8 -3 -12.5

• W+ = 23,5 y los
negativos W- = 67,5.
• Como valor W se
considera el menor, es
decir, 23,5.
• Con
• n = 15
• El punto crítico para una
significación de (=0.05,
dos colas) es 25,
EJEMPLO 6

• El punto crítico para una significación de ( 0,05)
es 25, como el valor W obtenido' es 23,5 que es
menor se rechaza la hipótesis nula y
• Se concluye que hay diferencias estadísticamente
significativas entre las dos variables y,
consecuentemente, la capacitación ha tenido
influencia en las puntuaciones.
EJEMPLO 6

83
Un investigador desea comparar el nivel
de C.I. en jóvenes universitarios del 1er
semestre con el C.I. del los mismos
universitarios cuando estén en 6to
semestre. Se seleccionó al azar a 30
jóvenes
PRUEBA DE WILCOXON PARA MUESTRAS
GRANDES
EJEMPLO 7
Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 sem. 50 60 40 90 40 30 65 95 76 87 70 85 65 55 72
2 sem 80 70 50 90 55 60 78 100 40 100 65 70 45 45 70
Sujeto 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 sem. 87 70 85 70 50 60 90 40 90 65 95 70 100 70 85
2 sem 85 92 100 98 75 68 80 50 69 50 40 90 100 85 58

84
Elección de la prueba estadística.
El modelo experimental tiene dos muestras dependientes.
Las mediciones no tienen una escala de intervalo, por lo
que su ordenamiento se hace en escala ordinal
PRUEBA DE WILCOXON PARA MUESTRAS
GRANDES
EJEMPLO 7
Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 sem. 50 60 40 90 40 30 65 95 76 87 70 85 65 55 72
2 sem 80 70 50 90 55 60 78 100 40 100 65 70 45 45 70
Sujeto 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 sem. 87 70 85 70 50 60 90 40 90 65 95 70 100 70 85
2 sem 85 92 100 98 75 68 80 50 69 50 40 90 100 85 58

85
Planteamiento de la hipótesis.
Hipótesis nula (Ho). No habrá diferencia en el nivel
de C.I. de los jóvenes universitarios estando en 1er
semestre y cuando estén en 6to semestre.
Hipótesis alterna (Ha). El nivel de C.I. de los jóvenes
universitarios estando en 1er semestre es menor al
que adquieren al estar en 6to semestre.
EJEMPLO 7

86
Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05,
se rechaza Ho y se acepta Ha.
Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, no se
rechaza Ho y se rechaza Ha.
EJEMPLO 7

87
Aplicación de la prueba estadística.
Efectuar las diferencias entre los datos sobre le C.I. antes y
después, elaborar los rangos de las diferencias y hacer la
sumatoria de los rangos de signo de menor frecuencia.
EJEMPLO 7
Sujeto 1 sem 6 sem Diferenncia
Dif.
Absoluta Rango
Rang con
sig.
4 90 90 0 0
28 100 100 0 0
Se ha eliminado dos filas por la diferencia de cero
Ahora N=28

Sujeto 1 sem 6 sem Diferenncia Dif. Absoluta Rango Rang con sig.
15 72 70 2 2 1 1.5 1.5
16 87 85 2 2 2 1.5 1.5
8 95 100 -5 5 3 3.5 -3.5
11 70 65 5 5 4 3.5 3.5
21 60 68 -8 8 5 5 -5
2 60 70 -10 10 6 8 -8
3 40 50 -10 10 7 8 -8
14 55 45 10 10 8 8 8
22 90 80 10 10 9 8 8
23 40 50 -10 10 10 8 -8
7 65 78 -13 13 11 11.5 -11.5
10 87 100 -13 13 12 11.5 -11.5
5 40 55 -15 15 13 15 -15
12 85 70 15 15 14 15 15
18 85 100 -15 15 15 15 -15
25 65 50 15 15 16 15 15
29 70 85 -15 15 17 15 -15
13 65 45 20 20 18 18.5 18.5
27 70 90 -20 20 19 18.5 -18.5
24 90 69 21 21 20 20 20
17 70 92 -22 22 21 21 -21
20 50 75 -25 25 22 22 -22
30 85 58 27 27 23 23 23
19 70 98 -28 28 24 24 -24
1 50 80 -30 30 25 25.5 -25.5
6 30 60 -30 30 26 25.5 -25.5
9 76 40 36 36 27 27 27
26 95 40 55 55 28 28 28 88

89
Aplicación de la prueba estadística.
Finalmente se halla la suma de los rangos
EJEMPLO 7
W+ 169
W- 237
La sumatoria del valor W de Wilcoxon es
igual a 169

90
y, como se especificó en los pasos, éste se debe transformar
en valor de Z, para conocer la probabilidad de que aquella sea
o no significativa. Para ello debemos calcular primero el
promedio y la desviación estándar de la T de Wilcoxon.
EJEMPLO 7
𝑋 𝑇 =
𝑁(𝑁 + 1)
4 𝜎 𝑇 =
𝑁 𝑁 + 1 (2𝑁 + 1)
24Donde N=28
𝑋 𝑇 =
28(28 + 1)
4
=
28(29)
4
=
812
4
= 203
𝜎 𝑇 =
28 28 + 1 (2(28) + 1)
24
=
46284
24
= 1928.5 = 43.91

91
Una vez calculados el promedio y la desviación
estándar del valor T de Wilcoxon, calculamos el valor Z.
EJEMPLO 7
𝑍 𝑇 =
𝑊 − 𝑋 𝑇
𝑆 𝑇
𝑍 𝑇 =
169−203
43.91
=
−34
43.91
= −0.774 = −0.77

92
• El valor ZT calculado se localiza entre los valores Z de la
distribución normal de la tabla de probabilidades asociadas en
valores extremos como los de 2 en la distribución normal.
EJEMPLO 7
• En la intersección de la hilera donde se encuentra el 0.7 y la
columna 0.07, se puede observar la cifra 0.2206, la cual indica
la probabilidad de que la magnitud de ZT difiera de T.
0.77
0.7 0.07

93
Decisión.
La probabilidad de 0.2611 es mayor que 0.05, por lo
cual no se rechaza la Ho y no se acepta Ha.
0.2644 > 0.05 no se rechaza Ho
Interpretación.
No existe diferencia estadísticamente significativa entre
el C.I. de los jóvenes cuando están en el 1er semestre y
cuando están en 6to semestre.
EJEMPLO 7

94
Se quiere investigar qué tipo de avisos le prestan más
atención los adolescentes.
Para ello se observan a 11 adolecentes, de los cuales a
6 se les muestra avisos sobre comida y a los 5 restantes
se les muestra avisos sobre bebidas.
EJEMPLO 8
• Todos los avisos tienen duración
similar. Se registra el tiempo de
atención (en segundos) de los 11
adolecentes.

95
Como no se tiene ninguna información anterior sobre cuál de
los dos tipos de avisos son los preferidos, se planteara una
hipótesis bilateral y saber si hay o no diferencias entre ellos.
Ho: la distribución del tiempo de atención que prestan los
adolescentes a avisos sobre comida es igual a la distribución
de los avisos de bebidas
H1: la distribución del tiempo de atención que prestan los
adolescentes a avisos sobre comida es distinta a la
distribución de los avisos de bebidas
EJEMPLO 8
a) Establecer las hipótesis de interés

96
Para probar la hipótesis de interés usamos el test de
Wilcoxon para muestras independientes es decir el "Test
de suma de rangos de Wilcoxon".
Primero ordenamos los datos, sin importar el grupo:
EJEMPLO 8
b) Cálculos del estadístico W de Wilcoxon

97
Para validar la hipótesis en (a) usamos el test de suma de
rangos de Wilcoxon (test para muestras independientes).
Para resolver el test nos basamos en la distribución exacta del
estadístico W=19, y el de la tabla Wilcoxon W11, 0.05 nos da 11
EJEMPLO 8
c) Informe su análisis y conclusión
• Este valor estadístico W es
mayor que el Wtabla, por lo
tanto no se rechaza Ho.
• Se concluye que no tenemos
suficiente evidencia para decir
que hay diferencias
significativas en la atención de
avisos publicitarios.

98
El estadístico W de Wilcoxon, será la suma
menor de los rangos en este caso 19 que
corresponde a la suma de los rangos de las
bebidas.
Es test estadístico aproximado Z se
construye a partir de W, la media y la
desviación estándar:
EJEMPLO 8
Z 𝑇 =
𝑊 − 𝑋 𝑇
𝜎 𝑇
(19 + 0,5) – (11)(12)/4 19.5 – 33
ZT = ------------------------------------- = --------------- = -1.20
√[(11)(12)(22+ 1)]/24 11,25
A pesar que la muestra es pequeña se
va aplicar la aproximación normal para
comprobar si coincide el resultado

99
La sig. asintótica (bilateral ) es el valor p bilateral aproximado
2(0.1151)=0,2302 y sale de las tablas de la distribución normal.
EJEMPLO 8
Como 0.2302 > 0.05 no se
rechazaría Ho
En este caso coincide los resultados,
pero la aproximación Normal
funciona bien si el tamaño de la
muestra es grande, por lo tanto los
métodos no paramétricos son
usados para tamaños muestrales
pequeños.

FIN
wjleonv@yahoo.com

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