Clase04 eyp

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Y DE FORMA
Ing. William Jaime León Velásquez
wjleonv@yahoo.com
http://www.slideshare.net/williamleon20/clase04-eyp
Universidad
Nacional Mayor de
San Marcos
ESTADISTICA Y
PROBABILIDADES
04

Medidas de
dispersión
Medidas de forma
CONTENIDO
TEMATICO
07/09/2015 Ing. William Jaime León Velásquez 2

MEDIDAS
DE
DISPERSION
Ing. William León Velásquez

• Las Medidas de Dispersión,
son indicadores de
variabilidad y cuya
importancia reside en la
necesidad de tomar
decisiones, basadas en
estadísticas básicas.
4 ING. WILLIAM LEON V.

Ejemplo:
• Se tiene una producción de
franelas y se sabe que
semanalmente se producen un
promedio de 500 franelas, se
puede decir que todos los días se
producen 100 franelas
• Nada nos garantiza eso porque
podrían producirse en sólo dos
días 250 franelas y el promedio
semanal nos daría un valor
idéntico,

• Si adicionalmente nos informan
que tiene una variación de 5
franelas, tendremos entonces
una mejor comprensión del
proceso, pues este último
número nos indica que
semanalmente se producen
entre 495 y 505 franelas, es
decir, que diariamente sí se
deben producir
aproximadamente 100
franelas.

La Dispersión se refiere a la
variabilidad entre los valores,
es decir, qué tan grandes
son las diferencias entre
los valores.
La idea de dispersión se
relaciona con la mayor o
menor concentración de los
datos en torno a un valor
central, generalmente la
media aritmética.

• Observe las dos figuras. La primera presenta una
distribución con datos más concentrados alrededor de su
promedio 400 que la otra figura con respecto a su
promedio 800, es decir la primera figura es una
distribución con menos dispersión.
Ejemplos:

 Las figuras siguientes muestran a tres
distribuciones con promedio 70, sin
embargo las tres difieren en cuanto a su
variabilidad alrededor de la media.
poca variabilidad alguna variabilidad gran variabilidad
Ejemplos:

• Se tienen dos grupos de estudiantes que sometidos a
una prueba arrojaron los siguientes puntajes:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN. EJEMPLO
GRUPO A GRUPO B
Puntaje Nº
estudiant
es
Puntaje Nº estudiantes
9 2 11 5
10 4 12 10
11 6
13 5
13 4
Total 20
15 2
17 2
Total 20

Al calcular el promedio aritmético para ambos
grupos se obtiene:
Este resultado puede conducir a conclusiones
equivocadas cuando se está comparando
distribuciones,
Pues se podría pensar que ambas secciones son
idénticas en su rendimiento,
ING. WILLIAM LEON V. 11
12 BA xx

Siendo esta conclusión falsa ya que
observando los datos se aprecia que la
sección B es más homogénea.
Por lo tanto
En este caso el promedio no tiene
suficiente grado de representatividad
por lo tanto poco podrá describirnos
acerca de los datos en estudio.

iX
Es necesario entonces calcular
otras medidas estadísticas
para mostrar cómo varían los
datos alrededor del promedio
y esto se logra mediante las
medidas de dispersión.

1.- Para evaluar la confiabilidad del promedio
que se está utilizando:
Una dispersión pequeña indica que los datos
se encuentran acumulados muy cerca,
alrededor de la medida de tendencia central
establecida.
Por tanto, la medida de tendencia central se considera
confiable o bastante representativa de los datos.
Por el contrario, una dispersión grande indica que la medida
escogida para representar los datos no es muy confiable, es
decir, no es muy representativa de los datos.
FUNCIONES DE LAS MEDIDAS DE
DISPERSIÓN

2.- Para apreciar cuán dispersas están dos o
más distribuciones:
Para poder comparar dos distribuciones de
frecuencias entre sí, no sólo necesitamos la
medida de tendencia central, sino también
la dispersión entre las observaciones para
no elaborar conclusiones erróneas.
A mayor medida de dispersión  el grupo es
más heterogéneo.
A menor medida de dispersión  el grupo es
más homogéneo o uniforme.
FUNCIONES DE LAS MEDIDAS DE
DISPERSIÓN

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA
Cuantifican el grado de
concentración o de
dispersión de los valores
de la variable en torno de
un promedio de la
distribución.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA
Principales medidas de dispersión absoluta:
•Rango o Recorrido : R
•Varianza : S2
•Desviación Estándar : S

Es la diferencia entre los valores
máximo y mínimo de los datos.
Esta medida es muy fácil de calcular sin
embargo no es muy recomendable
porque sólo toma en cuenta los valores
extremos, sin considerar los demás
valores.
RANGO O RECORRIDO: R
mínXmáxXR 

Interpretación de Rango:
El Rango se puede interpretar
como la amplitud existente entre
una serie de datos,
Es decir,
mide cuán lejos está el valor más
pequeño y el valor más grande de
la muestra o población.

Se tiene una producción de franelas y
se sabe que diariamente se producen
un promedio de 500 franelas. Si un
día se produce un mínimo de 415
franelas y otro día se produce un
máximo de 573 franelas entonces el
RANGO de producción estará entre
158 franelas, es decir,
Podemos tener una producción de
158 franelas a partir del valor
mínimo.
Ejemplo

• Es un valor numérico que cuantifica
el grado de dispersión de los valores
de una variable respecto a su media
aritmética.
• Es el promedio de los cuadrados de
las desviaciones de la variable
respecto a su media aritmética.
VARIANZA S2 , VX
   





 
2
xiXMXV

Notación:
Varianza muestral.
Varianza poblacional.
:2
S
:2


Nota:
• La varianza nunca es negativa.
• Cuando la variable toma un
único valor; es decir cuando es
constante entonces la varianza
es cero.
• Mientras más se aproxima a
cero, más concentrados están
los valores de la serie alrededor
de la media. Por el contrario,
mientras mayor sea la varianza,
más dispersos están.

S2 para datos no agrupados:













 



2
n
iX
n2
i
X
1n
1
)x(V

• Calcular e interpretar la varianza de los pesos de un grupo de
personas.
Los datos son los siguientes:
56 65 68 70 72 76 78 80
Ejemplo:

 n = 8
565
8
1i
iX 

32940
8
1i
2
iX 

2
oskil6184,60
2
8
565
832940
7
12
XS 














Ejemplo:

En promedio los pesos
del grupo de personas,
se alejan con respecto al
promedio aritmético en
aproximadamente 61
kilos al cuadrado.
Ejemplo:

• a) Si n < 30 :
S2 para datos agrupados


































2
n
k
1i
iXif
n
k
1i
2
i
Xif
1n
12
XS

1.- Calcular e interpretar la varianza para la siguiente tabla
de frecuencias.

29
ING. WILLIAM LEON V.
Edad
Ii
n = 20
4 - 6 4
6 - 10 5
10 - 16 7  n < 30
16 - 20 3
20 - 30 1
Total n = 20
Nº de
personas
if
Ejemplo:

V ( X ) = 29,21  29 años2
• En promedio la edad de estas personas se aleja
con respecto a su promedio aritmético en
aproximadamente 29 años al cuadrado.

















































2
20
230
203200
19
1
2
n
k
1i
iXif
n
k
1i
2
i
Xif
1n
1
)X(V
Ejemplo:

b) Si n  30 :
2
2
i
2
k
1i
iXih
k
1i
XihS 












2
2
i
2
n
k
1i
iXif
n
k
1i
Xif
S
















Usando
frecuencias
relativas:
Usando
frecuencias
absolutas:

Calcular e interpretar la varianza de la siguiente tabla.
Peso
Ii
Nº de
ingenieros
fi
n = 40
 n > 30
50 - 60 6
60 - 70 8
70 - 80 10
80 - 90 9
90 -100 7
Total n = 40
Ejemplo:

En promedio el peso de los ingenieros se aleja
con respecto al peso promedio en
aproximadamente 172 kilos al cuadrado.
94,171
2
40
3030
40
400236
n
k
1i
iXif
n
k
1i
Xif
S
2
2
i
2























Ejemplo:

Si una muestra de tamaño n se particiona en k
muestras de tamaño 𝑛𝑖 cada una con su
correspondiente promedio aritmético, 𝑋𝑖 y 𝑆𝑖
2
su
varianza
VARIANZA TOTAL O GLOBAL
1 2 k
……….
.
……….
……….
.
2
kS2
2S
2
1S
kx2x1x
kn2n1n

La varianza para los k grupos juntos se calcula
mediante la fórmula:
2
n
xn
n
)Sx(n
S
k
1i
ii
k
1i
2
i
2
ii
2
T
























k
1i
inn
donde

 Se tienen tres grupos, de seis,
nueve y siete estudiantes
respectivamente. Si las notas
correspondientes a cada uno de
ellos son:
Ejemplo:
Grupo 1: 12 16 08 11 10 12
Grupo 2: 17 14 07 13 11 18 13 15 14
Grupo 3: 10 13 11 08 12 09 12

= 2,98
En promedio las notas de los estudiantes de los tres
grupos se alejan con respecto al promedio total en
aproximadamente 3 puntos.
  89,809,12
22
)24,371,10(7)53,1056,13(9)1,75,11(6
21
222
2




k
i
T
S
T
S
Ejemplo:

Es la raíz cuadrada positiva de la
varianza y posee las mismas
unidades que la media
aritmética,
Estas unidades ya no están
elevadas al cuadrado como en
la varianza.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
)X(VS 

La desviación estándar o desviación típica se
obtiene para simplificar la interpretación de la
varianza.
Cuando se calcula la varianza, se basa en datos
elevados al cuadrado, por lo que, el resultado
obtenido debe interpretarse en unidades al
cuadrado;
por esta razón se obtiene la desviación estándar
como la raíz cuadrada de la variancia.

Interpretación de la Desviación
Estándar:
• Es una medida que muestra la
distancia promedio de los valores
observados con respecto a su media.
• La distancia de cada valor con su
media se mide tomando el valor
absoluto de la diferencia entre ese
valor y la media, es decir, es la
distancia de cada dato respecto a su
promedio.

• Si se tiene una producción de
franelas y sabemos que
diariamente se producen un
promedio de 500 franelas,
adicionalmente tenemos también
que la desviación es de 25
franelas, tendremos entonces
una mejor comprensión del
proceso pues este último número
nos indica que diariamente se
producen entre 475 y 525
franelas
Ejemplo :

Distribuciones con igual promedio aritmético
y diferente desviación estándar
𝑋=52
S=24
𝑋=52
S=12
𝑋=52
S=6
𝑋=52
S=12

1.- Si la desviación típica del
salario de los ingenieros
de sistemas es $1,000 y
la media aritmética es
$3,000,
Entonces los salarios de
los ingenieros fluctúan
entre $2,000 y $4,000
dólares.
Ejemplos:

2.-Calcular la desviación estándar
de las notas obtenidas por un
grupo de alumnos del cuarto
ciclo de la Facultad de Ingeniería
Industrial de la UNMSM en la
primera evaluación de
estadística.
12 07 14 11 16
18 09 14 10
Ejemplos:

•  n = 9
111
9
1i
iX 

4671
9
1i
2
iX 

  puntos5,325,12XS25,12
2
9
111
94671
8
1
XV 














Por lo tanto:
Ejemplos:

 Nota:
 La varianza y la desviación estándar
se utilizan para comparar grupos cuya
variable está expresada en las mismas
unidades.
 Así, el grupo más homogéneo, más
uniforme o en el que la media
aritmética es más representativa será
aquel en el cual la varianza o la
desviación estándar es menor.

En varias semanas consecutivas, los oficiales de
policía: Martínez y Castro aplicaron las siguientes
infracciones por exceso de velocidad:
¿Cuál de los oficiales es más homogéneo
con respecto al número de infracciones?
Ejemplo:
Martínez : 31 38 42 32 39 26
Castro : 35 43 38 37 33 28 27

Solución:
35,87
2
6
208
63907
5
1
S2
M 














 31,95
2
7
241
74898
6
1
S2
C 















2
MS2
C
S 
El oficial Castro es más homogéneo en aplicar
infracciones por exceso de velocidad porque su
varianza es menor.
Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN
ESTÁNDAR

ESTÁNDAR
1. La desviación estándar será siempre un valor
positivo o
cero, en el caso de que las puntuaciones sean
iguales.

ESTÁNDAR
2.- Si a todos los valores de la variable se les suma un número la
desviación estándar no varía.

ESTÁNDAR
3.- Si todos los valores de la variable se multiplican por un
número la desviación estándar queda multiplicada por dicho
número.

ESTÁNDAR
4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y
conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede
calcular la desviación estándar total.
• Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
• Si las muestras tienen distinto tamaño:

• La variancia y la desviación típica
también tienen sus limitaciones.
• Es similar a la media aritmética que es
vulnerable a la influencia de casos
extremos.
• Además, cuando las medias aritméticas
no son iguales o cuando las unidades
de medición son distintas, la
comparación de desviaciones típicas
puede no ser significativa.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA

• Es la desviación estándar
dividida sobre la media
aritmética multiplicada por 100.
El mismo nos permite
comparar desviaciones típicas
de variables con unidades de
medición distintas.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
100
x
S
CV 
El coeficiente de variación se expresa en
unidades independientes de la naturaleza de la
variable.

• Interpretación del Coeficiente de
Variación:
• El Coeficiente de Variación, mide la
variabilidad relativa a la Media.
Expresa la proporción de variabilidad
de una característica por cada unidad
de la Media.

• Sabemos que la fábrica de
textiles produce 500 franelas
diarias con una desviación
típica de más o menos (±) 25
franelas, entonces, el
Coeficiente de Variación será
25/500 = 0,05, es decir,
tenemos una variación de 5%
en la producción diaria de
franelas.

• En la práctica, se acostumbra considerar que un
coeficiente de variación según la tabla.
Valor del
coeficiente
De variación (%)
Interpretación del coeficiente
Variabilidad Estabilidad
Igual a cero Nula Muy alta
Mayor de 0 hasta 20 Baja Alta
Mayor de 20 hasta
60
Moderada Moderada
Mayor de 60hata 90 Alta Baja
Mayor de 90 Muy alta Nula

• Se desea comparar los sueldos
de los trabajadores de dos
empresas A y B. Para tal efecto
se tienen los datos de la tabla
siguiente :
• ¿Se puede afirmar que los
sueldos de los trabajadores de
la empresa A son más
uniformes? ¿Por qué?
Ejemplo:

Empresa A Empresa B
Sueldos
( $ )
Nº trabajadores Sueldos
( S/.)
Nº trabajadores
380 10 600-650 7
410 9 650-700 9
450 12 700-750 14
480 8 750-800 6
500 7 800-850 4

 Por lo tanto, los sueldos de los trabajadores de la
empresa A no son más uniformes; sino los sueldos
de la empresa B porque presenta menor coeficiente
de variación.
78,439x A  75,713xB 
55,42SA
 67,59S
B

%68,9100
78,439
55,42
CVA  %36,8100
75,713
67,59
CVA 

Tipificación. Valor Z
• La tipificación es el proceso de restar la media y
dividir entre su desviación típica a una variable
X.
• De este modo se obtiene una nueva variable
 de media 0 y desviación estándar σ z = 1, que se
denomina variable tipificada.

• Ejemplo:
• Podemos preguntar si un
elefante es más grueso que
una hormiga determinada, cada
uno en relación con su
población.
Esta nueva variable carece de unidades y permite hacer
comparables dos medidas que en un principio no lo
son, por aludir a conceptos diferentes.
Tipificación. Valor Z

• Ejemplo: Comparar el nivel académico
de dos estudiantes de diferentes
Universidades para la concesión de una
beca de estudios.
• En principio sería injusto concederla
directamente al que posea una nota
media más elevada, ya que la dificultad
para conseguir una buena calificación
puede ser mucho mayor en un centro
que en el otro, lo que limita las
posibilidades de uno de los estudiante y
favorece al otro.
Ejemplo. Tipificación. Valor Z
También es aplicable al caso en que se quieran comparar
individuos semejantes de poblaciones diferentes.

Ejemplo: Tipificación
• Se desea dar una beca a uno de dos estudiantes de
sistemas educativos diferentes. Se asignará al que tenga
mejor expediente académico.
– La estudiante A tiene una calificación de 8 en un
sistema donde la calificación de los alumnos se
comporta como N(6,1).
– La estudiante B tiene una calificación de 80 en un
sistema donde la calificación de los alumnos se
comporta como N(70,10).
67

• Solución
– No se puede comparar directamente 8 puntos
de A frente a los 80 de B,
– Pero como ambas poblaciones se comportan
de modo normal, Entonces se puede tipificar y
observar las puntuaciones sobre una
distribución de referencia N(0,1)
Tema 5: Modelos probabilísticos 68.

69
1
10
7080
2
1
68










B
BB
B
A
AA
A
x
z
x
z




Como ZA>ZB, se puede decir que el
porcentaje de compañeros del
mismo sistema de estudios que ha
superado en calificación el
estudiante A es mayor que el que
ha superado el estudiante B.
Se puede concluir que el
estudiante A es mejor candidato
para la beca.

Teorema de Chebyshev.
• La desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico
que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el
valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a
una cierta distancia de su esperanza matemática o de su
media;
• Equivalentemente, el teorema proporciona una cota
superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera
de esa distancia respecto de la media.
• El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no
tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad
de datos que están o no "en medio".

Teorema: Sea X una variable aleatoria de media µ y
varianza finita s².
• Entonces, para todo número real k > 0,
𝑃( 𝑋 − 𝜇 > 𝑘𝜎) ≤
1
𝑘2
Sólo los casos con k > 1 proporcionan información útil.

Teorema de Chebyshev. Ejemplo
• El número de artículos producidos en una
fábrica durante una semana es una
variable aleatoria con media 50.
• Si la varianza de una semana de
producción se sabe que es igual a 25,
entonces
• ¿Qué se puede decir acerca de la
probabilidad de que en esta semana la
producción difiera en más de 10 a la
media?

Teorema de Chebyshev. Ejemplo
Solución:
• Por la desigualdad de Chebyshev
• μ=50, σ2=25, K=10, Reemplazando:
𝑃( 𝑋 − 𝜇 > 𝑘𝜎2) ≤
1
𝑘2
entonces la probabilidad de que en la semana de
producción el número de artículos exceda en mas
de 10 a la media es a lo más 0.25.

• Otra consecuencia del teorema es que para cada
distribución de media µ y desviación típica finita s, al
menos la mitad de los valores caerán en el intervalo
𝜇 − 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎

• En una clínica infantil se ha ido anotando, durante un mes,
el número de metros que cada niño anda, seguido y sin
caerse, el primer día que comienza a caminar,
obteniéndose la tabla de información adjunta:
número de metros
1 2 3 4 5 6 7 8
número de niños
2 6 10 5 10 3 2 2
Se pide:.
a)Calcular la media aritmética,
b) Varianza y desviación típica.
c) ¿Entre qué dos valores se encuentra, como mínimo, el 75%
de las observaciones?07/09/2015 Ing. William Jaime León Velásquez 75

a)La media x viene dada por:
b) Ahora determina las medidas de dispersión.
 Utilizar la relación

• Consecuentemente, la desviación típica es

• c) El Teorema de Chebyshev garantiza que, como
mínimo, el (1−
1
𝑘2 )· 100% de los datos se concentran
en el intervalo (𝑥−kσ, 𝑥+kσ) y, por tanto, fuera de
dicho intervalo se encuentra, a lo sumo, el
1
𝑘2 · 100% de
ellos.
Conforme a este teorema, imponemos que
De donde
y

• Por lo tanto, k = 2.
• Podemos así garantizar que, al menos, el 75% de los
datos se encuentran entre los valores
y
07/09/2015
Ing. William Jaime León Velásquez
79

MEDIDAS
DE
FORMA
Ing. William León Velásquez

MEDIDAS DE FORMA

• Una distribución es asimétrica
cuando sus datos tienden a
agruparse hacia uno de los
extremos de la distribución.
• Cuando una curva es
asimétrica, tiene un sesgo.
ASIMETRÍA O SESGO

El sesgo puede ser de dos tipos:
• Si los datos tienden a agruparse en las primeras
clases, se dice que el distribución tiene un sesgo
positivo o que es asimétrica positiva.
• Si los datos tienden a agruparse en las últimas
clases de la distribución, se dice que esta tiene
sesgo negativo o que es asimétrica negativa.
ASIMETRÍA O SESGO

• Si una distribución es simétrica, entonces: = Me = Mo.
• Entre más diferencia halla entre la y la Mo, más asimétrica
es la distribución. El coeficiente de Karl Pearson que
simbolizamos como SK, mide ésta diferencia en unidades de
desviación estándar así:
El coeficiente de asimetría
COEFICIENTE DE KARL PEARSON
X
X

• Si la media es mayor que la moda, entonces, SK es positivo.
Es decir, el sesgo es positivo.
• Si la media es menor que la moda, SK es negativo, es decir el
sesgo es negativo.
• Si la media es igual a la moda, SK=0 y la distribución es
simétrica.
El coeficiente de asimetría
COEFICIENTE DE KARL PEARSON

Según es grado de asimetría una
distribución puede ser:
El coeficiente de asimetría (CA)
Simétrica
sk = 0
Asimétrica positiva
sk > 0
Asimétrica negativa
sk< 0

EJEMPLO
• Se ha recopilado la información del
contenido de grasa(expresado en
libras) de 200 frascos de Yogur en
presentación de 2.5 libras, referidos a
una muestra aleatoria extraída de un
lote de 3.600 frascos correspondientes
a la producción de un mes de la
compañía LÁCTEOS S.A.
• El valor de la media es 0.2608, el valor
de la moda es 0.258 y el valor de la
desviación estándar es 0.0408.
Calcular el el coeficiente de karl
Pearson

EJEMPLO
• SK = (0.2608 - 0.258)/0.0408 = 0.069.
• Lo anterior significa que la asimetría es
positiva.
• Significa además, que la diferencia
entre la y la Mo equivale a 0.069
veces la desviación estándar.
Aplicando la formula:
X

Mide el grado de
elevación o de agudeza
de una distribución
comparada con la curva
normal.
CURTOSIS O APUNTAMIENTO

Según su grado de curtosis, una distribución puede
ser:
CURTOSIS O APUNTAMIENTO
90

a) En la medida en que los diferentes
tramos de la variable presenten
frecuencias muy similares en todo su
recorrido, entonces podemos
afirmar que existe poca curtosis o
concentración de los datos. Esta
situación contribuye a que la
dispersión sea alta. Una distribución
con éstas características, se
denomina PLATICÚRTICA O
ACHATADA
PLATICÚRTICA O ACHATADA
91

b) Por el contrario, si existe una
cantidad muy significativa de datos
que se encuentran concentrados en
algún tramo de la variable, entonces
decimos que la distribución es
altamente concentrada o que tiene
alta curtosis. Una distribución de
éstas características se denomina
LEPTOCÚRTICA O APUNTADA.
LEPTOCÚRTICA O APUNTADA
92

c) Si la concentración es intermedia
entre las dos situaciones anteriores,
se dice que la distribución es
MESOCÚRTICA o MODERADA
CONCENTRACIÓN DE LOS DATOS.
Una distribución con esta
característica es propia de la
distribución normal,
MESOCÚRTICA o MODERADA
93

Coeficiente de Curtosis

Éste coeficiente, resulta del cociente
existente entre el momento de orden cuatro
respecto a la media y la desviación estándar
elevada a la cuarta.
COEFICIENTE DE CURTOSIS A4

• La mayoría de los autores consideran que:
• a) Si A4 - 3 = 0, la distribución es mesocúrtica o
moderada concentración de los datos. Tal es el
caso de la distribución normal
• b) Si A4 - 3 > 0, la distribución es apuntada o
leptocúrtica o alta concentración de los datos.
• Si A4 - 3 < 0, la distribución es achatada o
platicúrtica o baja concentración de los datos.

• Las tablas siguientes, nos permiten aclarar aún más el concepto de
concentración de los datos.
• La tabla (a) es una distribución platicúrtica, puesto que las
frecuencias son más o menos similares.
• La tabla (b), es una distribución leptocúrtica, puesto que la cuarta
categoría, se destaca por tener una frecuencia muy alta frente a las
demás.
• La tabla (c), es una distribución intermedia entre la (a) y la (b), por
lo cual es muy posible que se acerque a una distribución
mesocúrtica.
97

• Se ha recopilado la información del
contenido de grasa(expresado en libras) de
200 frascos de Yogur en presentación de 2.5
libras, referidos a una muestra aleatoria
extraída de un lote de 3.600 frascos
correspondientes a la producción de un mes
de la compañía LÁCTEOS S.A.
• Se tiene el siguiente cuadro

• Reemplazando en la fórmula
En éste caso, la distribución es achatada o platicúrtica o
poca concentración de los datos. No obstante observemos,
que el valor “- 0.47”, es muy cercano a cero, lo cual quiere
decir, que la distribución es casi una distribución
mesocúrtica.

FINwjleonv@yahoo.com

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