Dispersion04
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1. El documento introduce conceptos sobre medidas de dispersión estadística como recorridos, varianza y desviación estándar. 2. Explica que las medidas de dispersión absoluta miden qué tan dispersos están los datos respecto a un promedio, mientras que las medidas relativas lo hacen en relación al promedio. 3. Proporciona fórmulas y ejemplos para calcular medidas de dispersión como varianza, desviación estándar y coeficiente de variación tanto para datos continuos como discretos.
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clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2
[0,5 , 3,5] 2 40 80 2,70 108 160
(3,5 , 6,5] 5 30 150 0,30 9 750
(6,5 , 9,5] 8 30 240 3,30 99 1920
100 470 216 2830
Ejemplo_2
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Variable continua. Tabla ampliada.
VARIANZA
∑ fi .xi 2
V = ------------- - x 2
= 28,30 – 4,72
∑ fi V = 6,21
DESVIACIÓN TÍPICA
S = √V =√6,21 = 2,49
DESVIACIÓN MEDIA
Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 =
= 2,16
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53](https://image.slidesharecdn.com/dispresion021-130908062223-/85/Dispersion04-19-320.jpg)
Dispersion04
- 1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABILIDAD ESTADÍSTICA Prof. Alejandra Camors
- 2. Algunas consideraciones 1. Variación, se refiere a la cantidad en que los datos u observaciones varían entre si, esta variación puede medirse. 2. Los datos que están relativamente cercanos entre si, tienen bajas medidas de variabilidad, mientras que los que están mas alejados entre si tienen medidas de variación mas grandes.
- 3. MEDIDAS DE DISPERSION Definición 1 Una medida de dispersión de un conjunto de datos, mide cuan esparcidos se encuentran estos o que tan heterogéneos son.
- 4. Clasificación de las Medidas de Dispersión: MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA No hacen referencia a ningún promedio: Recorridos. Hacen referencia a algún promedio: Desviación Absoluta Media respecto a un promedio. Desviación Cuadrática Media respecto a un promedio: Varianza, Desviación Típica. MEDIDAS DE DISPERSION RELATIVA No hacen referencia a ningún promedio: Coeficiente de Apertura, Recorrido relativo, Recorrido Semi-intercuartílico Hacen referencia a algún promedio: Coeficiente de Variación, 1.- Introducción
- 5. Recorrido o rango: Re = x(k) - x(1) (En el ejemplo anterior 60 – 10 = 50 y 33 – 28 = 5 respectivamente, la 1ª más dispersa) Recorrido Intercuartílico: RI = C3 - C1 Longitud del intervalo que recoge el 50% de las observaciones centrales Recorrido Décil: RD = D9 - D1 Recorrido Percentil: RP = P99 - P1 150 160 170 180 190 0.000.010.020.030.040.05 150 160 170 180 190 25% 25% 25% 25% Mín. P25 P50 P75 Máx. Rango intercuartílico Rango 2.2.1- Medidas de Dispersión Absolutas. Recorridos
- 6. RANGO Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas: 2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1 Calcule el rango de la variable Solución El Rango es R = 5 – 0 = 5 R = X máx – X min
- 7. La varianza N x N i xi∑= − = 1 2 2 )( µ σ 2 2 1 ( ) 1 n i i x x s n = − = − ∑ Muestral Poblacional
- 8. VARIANZAVARIANZA La varianza es otra medida de dispersión que se basa en la diferencia entre el valor de cada dato (Xi) y la media ( ). La diferencia entre cada dato (Xi) y su media ( ) para una muestra se llama desviación con respecto a la media o promedio y se expresa con la siguiente fórmula: Para calcular la varianza, las desviaciones respecto a la media se elevan al cuadrado y se dividen entre (N – 1). x (Xi – X)(Xi – X) x
- 9. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN Fórmula para calcular la varianza: S = Veamos como calculamos la varianza en el siguiente ejemplo: Se tienen los siguientes datos; 15, 12, 18, 20 y 25. Primero, calculamos la media: = = 18 ∑ − − 2 1 )( N xxi 2 N x x ∑= 5 2520181512 ++++
- 10. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN Segundo, buscamos la desviación estándar respecto a la media ( ), que es la diferencia entre cada valor de (Xi) y el promedio ( ) luego, calculamos la sumatoria ∑( )2 , como se presenta a continuación: Xi X ( ) ∑( )2 12 18 -6 36 15 18 -3 9 18 18 0 0 20 18 2 4 25 18 7 49 total 98 2 x xxi − xxi − xxi − xxi −
- 11. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN Ahora, sustituimos las variables de la fórmula por los valores obtenidos como se presenta a continuación: S = = = = 24.5∑ − − 2 1 )( N xxi2 15 98 − 4 98
- 12. Desviación estándarDesviación estándar N x N i xi∑= − = 1 2 )( µ σ 2 1 ( ) 1 n i i x x s n = − = − ∑ Muestral Poblacional
- 13. DESVIACIÓN ESTÁNDARDESVIACIÓN ESTÁNDAR Es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos. Se calcula sacando la raíz cuadrada de la varianza. Nos indica cuánto tienden a alejarse los datos del promedio. Si los datos son de una muestra, la desviación estándar se representa como: S = 2 s
- 14. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN En el ejemplo anterior la desviación estándar es: S = S = S = 4.95 2 s 5.24
- 15. Coeficiente de variación Compara la variabilidad de series de datos que tengan unidades diferentes. No tiene unidades de medida. Se calcula para variables medidas en escala de razón 100% S CV x = × Muestral Poblacional 100%CV σ µ = ×
- 16. Ejemplo 4 Calcule el coeficiente de variabilidad para los datos del ejemplo 1 Solución: %7759,64100 1667,2 4035,1 = = xcv
- 17. Medidas de dispersión en tablas de frecuencias (caso discreto) Medidas de dispersión en tablas de frecuencias (caso discreto) 11 )( 1 2 12 1 2 2 − − = − − = ∑ ∑ ∑ = = = n n fx xf n xxf s k i k i ii ii k i ii 21 2 1 2 2 )( µ µ σ −= − = ∑∑ == N xf N xf k i ii k i ii Muestral Poblacional
- 18. 18 Ejemplo_1 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable discreta. Tabla ampliada. xi fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2 3 40 120 1,80 72 360 5 30 150 0,20 6 750 7 30 210 3,20 96 1470 100 480 174 2580 VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 25,80 – 4,82 ∑ fi V = 2,76 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√2,76 = 1,66 DESVIACIÓN MEDIA Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 =1,74 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346
- 19. 19 clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2 [0,5 , 3,5] 2 40 80 2,70 108 160 (3,5 , 6,5] 5 30 150 0,30 9 750 (6,5 , 9,5] 8 30 240 3,30 99 1920 100 470 216 2830 Ejemplo_2 Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas Variable continua. Tabla ampliada. VARIANZA ∑ fi .xi 2 V = ------------- - x 2 = 28,30 – 4,72 ∑ fi V = 6,21 DESVIACIÓN TÍPICA S = √V =√6,21 = 2,49 DESVIACIÓN MEDIA Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 = = 2,16 COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53
- 20. Calcular y comparar (hombres/mujeres): Coeficiente de Apertura, Recorrido Relativo y Recorrido Semi-Intercuartílico Coeficiente de Variación ¿Qué salario es más homogéneo, el de hombres o el de mujeres?