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- 1. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta V. ÁREA DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES 1.- ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULA GENERAL TRIÁGULO EQUILÁTERO En función de su lado: En función de su altura: FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA FÓRMULA DE HERÓN EN FUNCIÓN DEL INRADIO EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO EN FUNCIÓN DEL EXRADIO DIVERSAS EXPRESIONES DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS ALGUNAS RELACIONES DE ÁREAS 80 A B C l l l SABC = 4 32 l A B C h SABC = 3 32 h A C B a c b θ SABC = θSen b.a 2 A C B a c b Semiperímetro : p p = 2 cba ++ SABC = )cp)(bp)(ap(p −−− A C B a c b r SABC = P.r B A C R b ca SABC = R c.b.a 4 Rc a b A B C SABC = R(p-c) m n A B C SABC = m.n SABC = r(c+r) A B C c r A B R C r2 r1 r SABC = r1.r2 SABC = R.r SABC = R.r.r.r 21 rRrr 1111 21 =++ B A C hb hc ha H = ++ cba hhh 111 2 1 SABC = 2 1 111 4 1 − −+−+− cba h H h H h HH a b CA B S1 S2 b a S S = 2 1 A B C h b CA B b h h b B C A SABC = 2 h.b
- 2. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// RELACIONES DE ÁREAS DE TRIÁNGULARES SEMEJANTES Si 2 triángulos son semejantes, la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos. CASOS PARTICULARES PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Calcula el área del triángulo MOC, si el área del triángulo ABC es 240u2 . Solución : 2 Como son medianas se cumple: MOC ABC S 6 S = MOCS 6 240 = 40 u2 = S MOC 2. Según la figura, AC = 18 , BH = 12, además BH = 3 EH . Calcula el área de la región ABCE. Solución : SABC - SAEC = SABCE 2 12x18 - 2 4x18 = SABCE 108 – 36 = SABCE 72u2 = SABCE 3. Calcula el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC es 225u2 . Solución : BD : Por ser ceviana se cumple : SABC = 5k 225 = 5k 45 = k ∴ SBCD = 3k = 3(45) = 135u2 PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05 NIVEL I 1).- En la figura, hallar el área de la región sombreada. a) 60 U2 b) 65 c) 64 d) 62 e) 56 2).- Calcula el área de un triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2m. a) 10 3 b) 11 3 c) 13 3 d) 12 3 e) 9 3 3).- En un triángulo rectángulo un cateto mide 4m. Y la altura sobre la hipotenusa 2.4 m ¿Cuál es el área del triángulo?. a) 3m2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4).- Los lados de un rombo son dos radios y dos cuerdas de una circunferencia de 16cm de radio. Calcula el área del rombo en cm2 a) 121 3 b) 122 3 c) 123 3 d) 124 3 e) 128 3 5).- Los lados AB y BC de un triángulo ABC tienen longitudes de 8 y 9 cm. Respectivamente. Una semicircunferencia de radio 6cm. Es tangente a AB y BC, teniendo su diámetro sobre AC. Halla el área del triángulo. a) 50 cm2 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54 6).- En un trapecio ABCD, se conocen las longitudes de las bases BC=15cm; y AD=27cm. P es un punto de AD, tal que al unirlo con C, resulta dos regiones equivalentes. Halla PA. a) 4cm b) 5 c) 6 81 CA B S1 S2 a a S1 = S2 C S S S S S S B M P A N S 3S M N B A C a c b R1 CA B h1 r1 m p n R2 PM N h2 r2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 h h R R r r p c n b m a S S MNP ABC ====== S1 S2 CA B C B A S1 S2 S3 21 SSSABC += 321 SSSSABC ++= C O B M P A N A B C E H A B C 2K 3K D EA 15 B D C10 6 4
- 3. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// d) 7 e) 8 7).- El área de un triángulo ABC es 22cm2 . Sobre las prolongaciones de los lados BA y BC se toman longitudes AE=2AB y CF=3BC. Hallar el área del cuadrilátero ACFE. a) 240 b) 241 c) 242 d) 243 e) 244 8).- El área de un triángulo ABC es 72cm2 . Por el baricentro G se trazan paralelas a AB y BC, que interceptan a AC en los puntos E y F, respectivamente. Hallar el área del triángulo EGF. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 9).- El área de un triángulo ABC(B=90), es 24cm2 . Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BFC. Trazar EF y hallar el área del triángulo EBF a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 10).- En un triángulo rectángulo ABC, las longitudes de los catetos: AB=3cm y BC=4cm. Se dibuja el triángulo isósceles BDC (BD=DC), Equivalente a ABC, Interceptando BD a AC en el punto E. Hallar el área del triángulo BEC. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 NIVEL II 1).- En un triángulo PQR, La mediana QM corta a la ceviana interior PE en el punto A. Siendo ER=2EQ y el área del triángulo QAE 2cm2 , Hallar el área del triángulo PQR a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 e) 36 2).- Un terreno que tiene forma de un trapecio rectágulo cuyas bases son; AB=200m, DC=180m y la altura AD=120m. Ha de dividirse en tres parcelas equivalentes, de modo que sus dueños puedan, sin salir de sus propiedades respectivas, ir por agua a un pozo P, situado en la base superior DC y a 75m del punto D. Hallar la diferencia entre las longitudes de los segmentos AR y GB de la base inferior. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 3).- La longitud del lado de un cuadrado ABCD es 6cm. Se construye exteriormente l triángulo equilátero CED y se traza AE. Hallar el área del triángulo AED. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 4).- En la figura ABCD es un cuadrado BE = 4, EC=6. Calcular el área de la región sombreada. a) 10 b) 12 c) 24 d) 20 e) 16 5).- Si ABCD es un cuadrado, FB=BE y EF=8, calcula el área de la región triangular FBE: a) 8 b) 4 c) 16 d) 8 2 e) 12 6).- De la figura AC=3AM=10. Si P y T son pu8ntos de tangencia, calcular el área de la región sombreada. a) 15 b) 8 c) 16 d) 6 e) 10 7).- En la figura ABCD es un cuadrado BP=3, PA=2. Calcular el área de la región sombreada siendo T punto de tangencia. a) 5 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16 8).- En la figura m⊄TPA=mAB=60, CB=2. Calcular el área de la región sombreada. (T: Punto de tangencia) a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 2 9).- Según la figura AB=13, BC=15 y AC=14. Calcula el área de la región sombreada siendo P, Q y R puntos de tangencia. a) 36 b) 24 c) 48 d) 26 e) 30 10).- En la figura si P y Q son puntos de tangencia, calcular OBQ PBO S S a) 1/2 b) 3 c) 2/3 d) 3 /2 e) 2 3 /3 CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL II 1) b 2) d 3) d 4) e 5) b 6) c 7) c 8) c 9) 10)c NIVEL II 1) b 2) b 3) d 4) d 5) c 6) c 7) c 8) a 9) c 10)b 82 D C E B A D CB A E F A C B T M O 53 P D CB A P Q P B A C T P R Q B A C 30° P B QO C H 60°
- 4. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// 1. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES DIVERSAS EXPRESIONES DEL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO. ÁREA DEL TRAPECIO PARALELOGRAMO RECTÁNGULOS CUADRADO En función de su lado En función de su diagonal ROMBO CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS 1) Halla el valor de “S”. Solución : Prolongando y uniendo se tiene: 5S = a2 S = 5 a2 83 θ d1 d2 B A C D A B C b D h S1 S2 S3 S4 P S C D B A SABC = θSen. d.d 2 21 SABCD = 2 h.b S1.S4 =S3.S2 S = 2 ABCDS A B C Da b h A B C D n h S C DA B S1 S2 S2 S1 B A C D S S2 S1 S A B C D A B C D a b h1 h2 A B C D S S S S A B C D h b A B C D hS A B C D l l d A B C D A B C D d1 d2 A B C D a b c d r A B C D a b c d 21 SSSABC += h ba SABCD + = 2 h.nSABCD = 21 SSS += 21 SS = 21 S.SS = 21 SSSABCD += 1h.bSABCD = 2h.aSABCD = SABCD = b.h S= 2 ABCDS SABCD = l 2 SABCD = 2 2 d SABCD = 2 21 d.d S = p.r )dp)(cp)(bp)(ap(SABCD −−−−= a S S
- 5. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// 2) Calcula “S”, si el area del cuadrilátero ABCD es 84u2 . Solución: El área del cuadrilátero ABCD es: = S 2 84 = S 42u2 = S 3) Calcula S2, si S1 = 15; S3 = 45 y S4 = 30 Solución: Remplazando: 450 = 45.S2 10 = S2 PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 06 NIVEL I 1).- El perímetro de una región cuadrada es numéricamente igual al área de la región. El valor del área es igual a : a) 4 b) 16 c) 8 d) 14 e) 22 2).- En a figura AM = MB y CN =ND (ABCD : romboide) Calcula “x” : a) 10 b) 15 c) 12 d) 14 e) 5 3).- El área de una región trapezoidal es igual a 10. Calcula el área de la región limitada por aquel cuadrilátero que se forma al trazar paralelas a las diagonales por los cuatro vértices. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 4).- Dado un cuadrado ABCD, BD intersecta a la circunferencia inscrita en el punto “E”. Si AE = 3 , calcula S(ABCD) a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5 5).- En la figura AB = 28; BC =21, BPQR : cuadrado. Calcula : S(BPQR) a) 121 b) 144 c) 225 d) 81 e) 100 6).- Dado un rectángulo ABCD, M punto medio de AB ; “N” punto medio de AD ; “O” es el punto de intersección de las diagonales; “P” es el punto de intersección de MNyAC ; “Q” es el punto de intersección de CNyBD . Si AB=8 y AD=12, calcula S(NPOQ). a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 7).- Una de las diagonales de un trapecio isósceles mide 13. Sabiendo que la altura del trapecio mide 5, calcular el área de la región trapecial correspondiente. a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 8).- Dadas una región cuadrada y una región rectangular de igual perímetro : S1 = área de la región cuadrada. S2 = área de la región rectangular. Entonces : a) S1 = S2 b) S1 < S2 c) S1 > S2 d) S1 + S2 = 21 S.S e) ( )2 2121 SSS.S += 9).- Se tiene un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia; AB=7; BC=CD = 15 y AD= 25. Calcula S(ABCD) a) 190 b) 192 c) 194 d) 196 e) 198 10).- Dado un cuadrilátero ABCD, M N y Q son puntos medios de BCyCD;AB respectivamente. Si MQ=10, QN=17 y MN=21, calcula S(ABCD) a) 330 b) 332 c) 334 d) 336 e) 338 NIVEL II 1).- Dada una región rectangular cuya diagonal mide 6 2 , calcula el área de dicha región si esta es la máxima posible. a) 36 b) 36 2 c) 72 d) 48 e) 54 2).- En la figura A, B y C: puntos de tangencia. Calcula S(OPQ) a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300 3).- El perímetro de una región rectangular es igual a 100; sus diámetros están en la relación de 3 a 2. Calcula el área dela región. a) 500 b) 550 c) 600 d) 650 e) 700 4).- En la figura ABCD: paralelogramo, S(ABCD)=100. Calcula el área de la región sombreada. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 5).- En la figura PQRS : cuadrado, calcular S(PQRS). a) 20,04 b) 21,04 c) 22,04 d) 23,04 e) 24,04 6).- En la figura ABCD : cuadrado, R= 5 . Calcula S(ABCD) a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 84 D N CB M A P x 7 3 A Q C RB P O P Q 49 16 B CA D CB A M N 12R CA P S Q B 8 R CB DA S C D B A 2 ABCDS S1 S2 S3 S4 P S1.S4 =S3.S2 15.30 =45.S2
- 6. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// 7).- En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que la base menor BC mide 3cm. En la altura AB se ubica el punto F tal que el ángulo AFD es el doble del ángulo BCF y FD = 8cm. Calcula el área del triángulo CFD. a) 6 b) 12 c) 20 d) 28 e) 30 CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) b 2) a 3) c 4) c 5) b 6) c 7) d 8) c 9) b 10)d NIVEL II 1)a 2)c 3)c 4)b 5)d 6)b 7)b 3.- ÁREA DE REGIONES CURVAS 3.1. CÍRCULO Donde: π = 3,14 3.2. CORONA CIRCULAR 3.3. SECTOR CIRCULAR 3.4. SEGMENTO CIRCULAR 3.5. TRAPECIO CIRCULAR 3.6. ZONA O FAJA CIRCULAR LÚNULAS DE HIPÓCRATES PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Del gráfico, calcula la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular UNI. Solución: Para el círculo: S1 = π x r2 Para el ∆ UNI : 2 2 2 rr S × = Nos piden: π S S = 2 1 2.- En la figura , calcula S1 / S2 , Si : MA = MI = MN (M punto de tangencia) Solución: El ∆ ANI, es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en N). El ∆ MEN es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en E). Ahora, en el trapecio rectángulo IMEN por propiedad se tiene: 85 R d r R R R A B α α R R A B A D B C R S1 S2 S B A C B A C S1 S2 S = πr2 S = π(R2 -r2 ) S = 4 2 dπ S = °360 2 α Rπ S = S - S S = S - S A B D C S = S - SA B D C SABC = S1 + S2 SABC = S1 - S2 U N I S1 S2 M N E A I S1 S2 M N E A I 45° 45° 45°45° B A D C r α R U N I r r r S2 S1 r r
- 7. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// S1 = S2 2 1 S S = 1 3.- En el gráfico, calcula S1 / S2, si: ON//GI//RE mON = 2 x mGR. Solución: OLA ≅ GTA (A – L - A) Es decir (θ - - ψ) Entonces, se cumple: S1 + K = 22 2 1 2 S SK S =⇒+ 2 1 2 1 = S S 4.- Del gráfico, calcula : S1 + S2. Solución: Según el gráfico: S1 = 2 6 h× S2 = 2 66 ×− )h( 5.- Calcula Sx en función de A y B. Solución: Según el gráfico: * Sx + K = 2 2 r * A + K + B = 2 2 r 6.- En el gráfico, calcula el área de la región sombreada, si IC = 1 y CA = 3 (T, A son puntos de tangencia). Solución: En el TIA (propiedad : semejanza) TI2 = 4 x 1 TI = 2 En el FIA Notable y aproximado de 37° y 53°. Se tiene : FI = 3 Nos piden: Sx = °× × 90 2 53 sen Sx = 7,5u2 7.- En el gráfico, ON = 22 . Siendo T punto de tangencia. Calcula el área de la corona circular. Solución: En el PON (propiedad : semejanza) (2 2 )2 = (R + r)(R - r) R2 – r2 = 8 Nos piden: Sx = π(R2 - r2 ) Sx = 8πu2 PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 07 1).- De la figura calcula el área de la región sombreada si A y B son puntos de tangencia. a) 9 π b) 18 π c) 24 π d) 36 π e) 12 π 2).- Calcula el área del círculo mostrado en la figura, si AB=8 y C es punto de tangencia. a) 16 π b) 9 π c) 64 π d) 25 π 86 S1 S2 O N I ER G S2 S1 6 S1 +S2 = 18 S2 S1 6 h 6 - h 6 6 Sx A B Sx = A + B Sx A B r K r r r 45° 45° r A T I C A T I C Sx 3 1 53°37° 37°26,5° 2 3 P O T N P O T N R Sx 2 r O N I ER G T S2 /2 S2 /2 S1 K θ θ ψ ψ θ θ θ L 9 4 A B A B D C 45°
- 8. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// e) 32 π 3).- Según la figura si AB=6, calcula el área de la región sombreada. a) 323 −π b) 226 −π c) 356 −π d) 3512 −π e) )332(6 −π 4).- Calcula el área del círculo inscrito en un triángulo rectángulo, si este determina en la hipotenusa segmentos que miden 4 y 6. a) 16 π b) 4 π c) 18 π d) 9 π e) 8 π 5).- En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D, con diámetro AD se traza la semicircunferencia tangente a BC. Calcula el área del semicírculo si AB=4 y CD=9. a) 9 π b) 18 π c) 16 π d) 81 π e) 36 π 6).- Según la figura AB=BC, calcular Sx si S1 + S2=4 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 7).- De la figura si TH=1 y R=2, calcula el área de la región sombreada. (T es punto de tangencia) a) 3/2π b) 3/4π c) 3/5π d) 2/5π e) 4/5π 8).- Calcula el área de la región sombreada, si AB=1, BC=8 (t y P son puntos de tangencia). a) 3 π b) 16 π c) 8 π d) 9 π e) 4 π 9).- . En la figura calcula el área de la región sombreada, si R=2, M y N son puntos de tangencia. a) 22 +π b) 1−π c) 32 +π d) 2+π e) 3+π 10).- De la figura, si BC=15, PC=9 y B es punto de tangencia, calcula el área de la región sombreada. a) 90 π b) 100 π c) 70 π d) 82 π e) 50 π NIVEL II 1).- Se tiene un cuadrado ABCD, en la prolongación de AD se ubica el punto P, luego se traza una circunferencia de diámetro DP que interfecta a CP en “T”. Calcula el área del círculo correspondiente, si AB=4 y CT=2. a) 8 π b) 10 π c) 12 π d) 6 π e) 14 π 2).- Si ABCD es un cuadrado, P y Q son puntos de tangencia, calcula el área de la región sombreada. a) 2 34 π− b) 2 324 π− c) 3 434 π− d) 3 224 π− e) 3 44 π− 3).- Según la figura mAP=40 y m ∠ ACP=10. Calcula el área de la región sombreada, si R= 6 a) 3/2π b) 2/π c) 2/3π d) 3/5π e) 3/4π 4).- Si AD=2 3 y R=2, calcula el área de la región sombreada. a) π− 3 26 b) π− 3 5 c) π− 3 6 d) π− 5 23 e) π− 3 6 5).- De la figura si AD=6, AB=4, calcula el área de la región sombreada, si D y E son puntos de tangencia. a) 36 π b) 4 25π c) 16 π d) 4 5π e) 4 3π 6).- Si ABCD es un cuadrado; O y A son centros, calcula S1/S2 a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 3 87 O´ A B D CO A B C S1 S2 SX H T P R A O B C T B A P B M R N CA A P C B R r A B D C P Q2 R B C DA A B E C D O S1 S2 A B D C A O B C R P Q R
- 9. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// 7).- De la figura calcula el área de la región sombreada, si 2(QO)=3(PQ)=6 a) 72 265π b) 24 125π c) 36 265π d) 72 225π e) 125 π CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) d 2) d 3) e 4) b 5) b 6) a 7) b 8) d 9) d 10)d NIVEL II 1) c 2) -- 3) e 4) c 5) b 6) a 7) a 88 A C Q P O B
- 10. I.E.P “LA SORBONA” GEOMETRÍA 5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta //////////////////////// ////// 7).- De la figura calcula el área de la región sombreada, si 2(QO)=3(PQ)=6 a) 72 265π b) 24 125π c) 36 265π d) 72 225π e) 125 π CLAVES DE RESPUESTAS NIVEL I 1) d 2) d 3) e 4) b 5) b 6) a 7) b 8) d 9) d 10)d NIVEL II 1) c 2) -- 3) e 4) c 5) b 6) a 7) a 88 A C Q P O B