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Repaso UNI Seminario Especial de Matemática

SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA
Ciclo Repaso UNI - 2009 I

Aritmética Considere: Ln(1,4641)=0,38
Ln(1,1)=0,095
1. Una obra puede ser realizada por 23
obreros durante 15 días a razón de 10 A) S/.1000 B) S/.1500 C) S/.1200
horas diarias. Si el primer día trabajan D) S/.1100 E) S/.800
2 obreros, el segundo día 3 obreros, el
tercer día 4 obreros, y así sucesivamente 3. Se funden dos lingotes de oro de a y b

hasta el n - ésimo día, harían 33,3% me- kilates, en cantidades que son inversa-
nos de la obra. Al momento de repartir- mente proporcionales a sus leyes. La
se una bonificación de S/.4200 entre 3 aleación obtenida se funde con x gramos
obreros lo hacen en forma proporcional de oro puro. Para obtener 10 sortijas de
a sus edades que son n – 8; n/2 y n años.

4 gramos cada una cuya liga es 0, 2 , calcule
Calcule cuánto de más recibiría el menor el valor de x. Considere que 70a=59b, con
si el reparto fuese inversamente propor- a y b menores de 20.
cional.
A) 10 B) 20 C) 30
A) S/.500 B) S/.800 C) S/.1000 D) 25 E) 15
D) S/.300 E) S/.600
4. En una librería se vendieron cuadernos
2. Ortiz depositó S/.15 000 durante t meses. de la siguiente manera: el primer día se
Por los 4 primeros meses se pagó el 60% vendió 3/4 del total más un cuaderno,
a interés simple, luego con una capitali- el segundo día se vendió 3/4 de lo
zación bimestral por el tiempo restante que quedaba más un cuaderno, y así
a la misma tasa y al final se obtuvo una sucesivamente. Al finalizar el día d se
suma de S/.26 353,8; al cabo de ese tiem- vendieron todos los cuadernos, además,
po adquiere un artefacto cuyo costo al la cantidad total de cuadernos vendidos
contado es S/.3400; para ello da una cuo- está comprendida entre 1000 y 2000.
ta inicial equivalente a la tercera parte Calcule cuántos números enteros tienen
del interés simple obtenido y por el resto un raíz cuadrada aproximada a 1,d en
firmó letras de igual valor pagaderas bi- menos de 1/d.
mestralmente durante t/2 meses. Calcule
el valor nominal de las letras si la tasa de A) 2 B) 1 C) 3
descuento es 5% mensual. D) 5 E) 4
–1–

Academia César Vallejo

 
5. Se quiere dividir un terreno rectangular, A) 40, 6 y 70%
50, 8
cuyas dimensiones son mnpm y abnb B) 40,2 y 50,6%
 
metros, en A parcelas (A mínimo) C) 40, 6 y 58, 8%
cuadradas iguales, además, el lado de D) 40,2 y 50,8%
estas es una cantidad entera en metros y E) 40% y 50,5%
al colocar una estaca en cada vértice de
las parcelas se usaron B estacas. 7. Dado el número bacba cuya cantidad
El número mnpm tiene 30 divisores, sólo de divisores es impar, al extraer su raíz
tiene dos factores primos y estos a la cuadrada resulta un número que tiene
vez son números consecutivos. Calcule como sus dos últimas cifras ba.
cuántas fracciones equivalentes a A/B Calcule m+n+p+q+r si se cumple que
existen tales que el numerador es de 3 ab, ac8= pqr, mn...6.
cifras y el denominador de 4 cifras si el
número abnb es múltiplo de 72. A) 10 B) 13 C) 14
D) 12 E) 11

A) 14 B) 1 C) 13
D) 22 E) 7
8. Sea x una variable aleatoria que indica
el número de hijos y el siguiente cuadro
muestra la distribución de su probabi-
6. El siguiente polígono de frecuencia mues-
lidad.
tra las edades de un grupo de personas
distribuidas con igual ancho de clase.
x 2 3 4 5
P(x) 2a b a 3b

Si el valor esperado de x es 3,4
calcule lo siguiente:
I. Qué tanto por ciento de las madres de
familia tiene entre 2 y 5 hijos.
II. Si de un total de 100a madres de fa-
milia se sabe que el 25% son viudas,
calcule la probabilidad de que al se-
leccionar a 3 madres de familia a lo
Si se sabe que b < 20 más dos sean viudas.
calcule lo siguiente:
I. El promedio de las edades. A) 30%; 13/14
II. Al seleccionar una persona al azar, B) 10%; 111/190
¿cuál es la probabilidad de que la C) 20%; 11/19
edad de la persona seleccionada esté D) 30%; 113/114
comprendida entre 30 y 54 años? E) 10%; 7/16

–2–


Álgebra 13. Sea f una función cuya gráfica se muestra
a continuación.
9. Sean Z y Z0 números complejos tales que
Z+a  a −1 
W= es imaginario puro y Z 0 =  ; 
Z−i 2 2 
con a ∈R. Calcule el menor valor del
módulo del complejo (Z+Z0).

A) 0 B) 1/4 C) 1/2
D) 1 E) 2 / 2

10. Dado el sistema lineal
 x + λy = −1 Esboce la gráfica de la función

( λ − 1) x − y = λ ; λ ∈ R g(x)=f(1–|x|)
de conjunto solución
S = {( x 0 ; y0 ) / x 0 y0 < 0}
calcule el conjunto de valores de λ.

A) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉
B) λ ∈ 〈–1; 1〉
C) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1/2; 1〉
D) λ ∈ 〈– ∞; –1/2〉 ∪ 〈–1; 1〉
E) λ ∈ 〈–1; 1/2〉 ∪ 〈1; +∞〉

11. Dado el conjunto
{
Ac = x ∈ R x2 −1 − x −1 ≥ 0 }
calcule la longitud del conjunto A.

A) 3 B) 2 C) 1/2
D) 1 E) 0

12. Si (x0; y0) es una solución del sistema
 x 2 = 1 + log 4 y

 2 x 2 x +1
y = y.2 + 2


calcule el mayor valor de y0.

A) 1 B) 2 C) 2 2
D) 4 E) 4 2
–3–


 1 0 Geometría
14. Si A =   es una matriz tal que
 −1 1 
17. En el gráfico, ABCD es un trapecio
A3=mA+nI, I es la matriz identidad, isósceles (BC // AD), AM=MB, CN=ND y
determine el valor de mn. AR=RN. Calcule x.

A) 1 B) 1/4 C) 1/9
D) –1 E) – 4

15. Dada la sucesión {xn} de términos po-
∞
∑ ( xn )
K
sitivos definida por x n−1 = , si
K =1
la sucesión existe, ¿a qué valor converge?

A) 0 B) 1 C) e A) 53º/2
D) 1/e E) 3/4
B) 37º/2
C) 30º
16. Sea f: R2 → R una función definida por D) 37º
f(x; y)=2x+y. Determine el punto de E) 45º
menor abscisa de la región convexa
mostrada en la figura, donde f alcanza su 18. Del gráfico mostrado, calcule m  .
PQ
máximo.

A) (7; 1) A) 35º
B) (9; 7) B) 50º
C) (11; 3) C) 70º
D) (3; 4) D) 55º
E) (6; 6) E) 75º

–4–


19. Según el gráfico mostrado, calcule el 21. En el gráfico, T y Q son puntos de tangen-
área de la región sombreada si se sabe  
cia, m PS = m MN y mTL +m  = 200º.
 AQ
que AP = 3.
Calcule x.

A) 160º
B) 100º
C) 80º
D) 90º
A) 1 B) 2 C) 3 E) 120º
D) 4 E) 5

22. Se tiene un prisma hexagonal regular
20. La semicircunferencia y el rectángulo ABCDEF – GHIJKL tal que AG = 5 ( AF );
ABCD, de centro O, se ubican en planos
se traza FQ ⊥ GD, Q en GD. Si la distancia
perpendiculares, además, LM=MN, R=2
de Q a la región hexagonal GHIJKL es
y (AM)2+(MC)2=18. Calcule la medida
2 5, calcule el volumen del prisma.
del diedro entre el plano LON y el plano
de la semicircunferencia.
75
A) 3
2

65
B) 5
2

81
C) 15
2

85
D) 15
2
A) 15º B) 53º C) 37º 69
E) 3
D) 30º E) 45º 2

–5–


23. Del gráfico se sabe que ABCD es un cua- A) 25
drado, T y P son puntos de tangencia, B) 16
B(0; 4), TD=2 y C : x2+y2 – 12x – 2y+36=0. C) 12


Halle la ecuación de L . D) 36
E) 28

Trigonometría

25. En el gráfico se cumple que AB=DE y
BC=EF. Los cuadrados inscritos en los
triángulos rectángulos tiene por áreas
S1 y S2.

A) 3x=7y
B) 3y=7x
C) 2x=2y
D) 6x=5y
E) 8x=3y

24. Se muestra un tronco de prisma regular
ABCD – FGH. Si el volumen de la pirámide
de base regular F – EAH es 8, calcule el
volumen del sólido ABCD – EFGH.

Entonces, indique lo correcto.

A) S1=S2
B) S1=2S2
C) S2=2S1
D) S1 > S2
E) S1 < S2

–6–


26. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. A) 0; 2 + 1
Determine la medida del ángulo MPC
expresado en radianes. B) 0; 2 − 1
 

C) 0; 2 − 1


D) 0; 2 − 1

E) 0; 2 − 1


29. ¿Cuál es el equivalente de la siguiente
expresión?
 tan 70º +3 tan 250º 
θ = arc sen  
 3  2 ( tan 10º − tan 100º ) 
π 1
A) − arc sen  
3 2  4 
2π
A)
π  3 9
B) − arc sen  
3  4 
π
π  3 − 1 B)
C) − arc sen   9
3  4 
π 1  3 − 1 7π
C)
D) − arc sen   10
3 2  2 
π  3 − 1 7π
E) − arc sen   D)
3  2  18

π
27. Calcule la suma de soluciones de la E)
10
ecuación
sen 2 arccos ( cot ( 2 arctan x ) ) = 0
  30. El ángulo de inclinación de cada una de
dos rectas paralelas es α. Si una de ellas
si 0 < x <2.
pasa por el punto (a; b) y la otra por el
punto (c; d), calcule la distancia entre las
A) 1 B) 2 C) 2 − 1
rectas.
D) 2 + 1 E) 2 2

A) |(c – a)senα+(d – b)cosα|
28. Definimos la función f mediante
B) |(c – a)cosα+(d – b)senα|
2 ( sen 3 x + sen 4 x − cos 3 x − cos 4 x )
f ( x) =
sen x − cos x C) |(c+a)senα – (d+b)cosα|
π D) |(c – a)senα – (d – b)cosα|
para π < x < 3
2
Determine el rango de f. E) |(c – a)cosα – (d – b)senα|

–7–


31. Sea la función f de periodo 2 cuyo gráfico A) FFV
se indica para –1 ≤ x <1. B) VVF
C) FVF
D) FVV
E) FFF

32. En un cuadrilátero ABCD, las regiones
triangulares ABC y ADC tienen el mismo
perímetro. Determine el equivalente de
( AD )( CD )
.
( AB )( BC )

B D
A) cos sec
2 2

π  B) cosBsecD
Para la función h( x ) = cos  ( f ( x ) )  ana-
2 
B D
lice la verdad (V) o falsedad (F) de las C) cos 2 sec 2
2 2
siguientes proposiciones. B D
D) sen csc
I. Ran(h)=[–1; 1〉 2 2
II. La función h es periódica, con periodo 2. B D
E) sen 2 csc 2
III. Para x ∈ 〈0; 1〉 la función h es creciente. 2 2

Lima, 17 de febrero de 2009

–8–

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