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- 2. Material DidácticoAcademia ADUNI La longitud de una circunferencia de ra- dio r es igual a 2 π r. r ¡Tenga en cuenta que...! El sector circular es la región plana de un círculo definida por dos radios y el arco comprendido entre estos. A r r r O A B r B O θ θ Nota semana 03 Longitud de arco y Área de un sector circular LONGITUD DE ARCO () Se llama longitud de arco a la medida lineal de la extensión subten- dida sobre una circunferencia por un ángulo central. r r A B θ rad O Sea θ la medida del ángulo central expresada en radianes en una circunferencia de radio r, entonces la longitud del arco subtendi- do por este viene dada por = q r ; 0<q≤2p ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR (S) El área de un sector circular está determinada por la medida del radio del círculo al que pertenece y del ángulo central que lo subtiende. r r A B O θ rad SS S = = = θ θ r r2 2 2 2 2 donde S: área del sector circular AOB : longitud del arco AB θ: número de radianes del ángulo central AOB
- 3. Anual Virtual ADUNI Trigonometría Se muestra dos sectores circulares con centro en O y ángulo central q expresado en radianes. A C B D h O θ 21 θ = − 2 1 h Observación Problemas resueltos 1. En un sector circular, el arco mide L1; pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo central a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco es L2. Halle L L 2 1 . Resolución Piden L L 2 1 . 1.er caso: Se tiene un sector circular de radio r, ángulo central q rad y longitud de arco L1. r r L1θ rad Del gráfico mostrado tenemos L1= qr (I) 2.° caso: Se triplica el radio, y el ángulo central del primer sec- tor se reduce a la mitad, lo cual genera un nuevo sector circu- lar cuya longitud de arco es L2. 3r 3r L2radθ 2 Del gráfico mostrado se tiene L r2 2 3= ( )θ → =L r 2 3 2 θ (II) Luego, de (II) entre (I) tenemos que L L r r 2 1 3 2 T T ? L L 2 1 3 2
- 4. Material DidácticoAcademia ADUNI Área de un trapecio circular AA 2 1 h A = + 1 2 2 h A: área del trapecio circular sombreado Observación Para un círculo de radio r, el área se calcula mediante pr2 . rr ¡Tenga en cuenta que...! 2. Si AOB y MON son sectores circulares, tal que AB OM= y S es el área del sector circular MON, calcule el valor de q. SS 3S3Sθ rad M A B N O Resolución Por dato AB OM x= = SS 3S3Sθ rad M A B N O x x En el sector circular AOB 4 2 2 S = x θ (I) En el sector circular MON S = 1 2 2 θx (II) Reemplazamos (II) en (I). 4 1 2 2 2 2 θ θ x x = 4 2 2 θ θ x x = θ2 1 4 = ∴ θ = 1 2
- 5. Anual Virtual ADUNI Trigonometría Práctica dirigida 1. Con la ayuda del software Geogebra María di- buja una roseta como se muestra en la figura, donde los puntos A, B, C, D, E y F son los vér- tices de un hexágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio es 3 cm. Calcule la longitud del arco más pequeño AB. B A C FE D A) p cm B) 2p cm C) π 6 cm D) π 3 cm 2. El minutero de un reloj analógico tiene 6 pul- gadas de largo. En 15 min, ¿qué distancia reco- rre la punta del minutero? 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A) p pulgadas B) 2p pulgadas C) 3p pulgadas D) 4p pulgadas 3. En un campo de fútbol, un aspersor riega agua a una distancia de 20 metros al girar un ángu- lo de 135° como se observa en la figura. ¿Qué área del gras recibe agua? 135° 20 m A) 150p m2 B) 160p m2 C) 180p m2 D) 200p m2 4. El profesor de Trigonometría de las academias ADUNI le indica a sus estudiantes que r cm es la longitud del radio de un sector circular, cuya medida de su ángulo central es (4r)° y que su área es 10π r cm2 . En base a la información dada, ¿cuál es la medida del radio? A) 60 cm B) 30 cm C) 20 cm D) 10 cm Práctica domiciliaria 1. En la figura se muestra una roseta, donde los puntos A, B, C, D, E y F son los vértices de un hexágono regular inscrito en una circunferen- cia cuyo radio es 3 cm. Calcule la longitud del arco más pequeño BF. B A C FE D A) p cm B) 2p cm C) π 6 cm D) π 3 cm
- 6. Academia ADUNI Material Didáctico 2. Los faros del automóvil de Melissa iluminan un sector circular, como se observa en la figura. Determine la superficie de la región iluminada. A) 100p m2 90° 20 m B) 120p m2 C) 200p m2 D) 250p m2 3. El rectángulo de la figura tiene una altura de 30 cm y, cuando se enrolla, genera un tubo de 12 cm de diámetro. ¿Cuál es el área del rectángulo? 12 cm12 cm 30 cm A) 180p cm2 B) 90p cm2 C) 200p cm2 D) 360p cm2 4. La puerta de la biblioteca Amauta es de tipo vaivén. En base a ello, calcule la longitud de la trayectoria descrita por el extremo del borde inferior de la puerta al girar un ángulo de 135°, si dicho borde mide 112 cm. A) 81π cm B) 80π cm C) 82π cm D) 84π cm 5. Calcule el perímetro de la región sombreada si AOB es un sector circular de radio r=2 u. A O B C A) π 2 2 2 2+ − u B) π 4 2 2 2+ − u C) π 2 2 1+ − u D) π 4 2 1+ − u 6. Una torta de manzana de 32 cm de diámetro se corta en 8 trozos iguales. ¿Cuál es el área de cada trozo? A) 16p cm2 B) 18p cm2 C) 32p cm2 D) 20p cm2 7. En un sector circular el arco mide L1; pero si su radio aumenta un 20% y se reduce el án- gulo central a su tercera parte, entonces se genera un nuevo sector circular cuyo arco es L2. Calcule L L 1 2 . A) 2 5 B) 6 5 C) 5 2 D) 5 6 8. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces el área del sector inicial, determine el radio del sector resultante. A) 1 m B) 3 m C) 5 m D) 7 m
- 7. Anual Virtual ADUNI Trigonometría 9. La bolita se deja caer a partir del punto A y re- corre las longitudes de arco 1 y 2 hasta llegar al punto C. Calcule PA si 1 2 4 3 + = π u y PQ=6 u. 2 1 PP 30º 45º Q C B A A) 5,4 u B) 6,8 u C) 6,5 u D) 7 u 10. En los sectores circulares AOB y COD, AB a = 3 u y OC=b u. Calcule mSAOB. S: área del sector circular COD SS 2S2S A B C D O A) a/b B) b/a C) a/2b D) b/2a 01 - B 02 - A 03 - D 04 - D 05 - A 06 - C 07 - C 08 - D 09 - B 10 - A