Derivada implícita
- 1. Derivación Implícita En General las funciones se han presentado de la forma , expresando una variable en terminos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables estan implicitas. En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Estrategia para la Derivación Implìcitas 1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x 2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha. 3. Sacar factor común en la izquierda. 4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda. Ejemplo # 1 si , encontrar . Derivamos ambos lados de la ecuacion.
- 2. Recordemos que y es una funcion de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la cadena. y resolvemos para . Ejemplo #2 Encontrar y' de: aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion, para quitar el exponente x. por leyes de los logaritmos. derivamos implicitamente. despejamos y'- sustituimos y.
- 3. Ejemplo #3 Derivamos implicitamente: Dejamos y prima de un solo lado Aplicamos Factor comun y prima dividimos de ambos lados Ejemplo # 4 Cambiamos el cos(y) a funcion de el sen(y) que seria despejamos cos(y) Respuesta:
- 4. Ejemplo # 5 Cambiamos el sen(y) a funcion de el cos(y) que seria despejamos sen(y) Respuesta: Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y basta derivar miembro a miembro utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
- 5. Ejemplos Derivar las funciones: 1. 2. El método de regla de la cadena para funciones implícitas Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena. Ejemplo 1: Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente. Ejemplo 2: Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena. Ejemplo 3: Hallar , de la función implícita: Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
- 6. . En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término. . La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis, quitando paréntesis y ordenando los términos, , pasando algunos términos al lado derecho, extrayendo el factor común , y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida: dy/dx con derivadas parciales
- 7. Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente: donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x, y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.